transformada de laplace

Universidade Federal do Rio Grande - FURGInstituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF

Transformada de Laplace

NOTAS DE AULA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

André Meneghetti([email protected])

(www.sites.google.com/site/andreimef)

(última atualização: 4 de Janeiro de 2015)

Conteúdo

1 Transformada de Laplace 11.1 Transformadas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Transformada de uma derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Transformada de Laplace em EDO’s 192.1 Resolvendo uma EDO com TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Resolvendo um sistema de EDO’s com TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Teoremas de translação 313.1 Teorema de translação no eixo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Função de Heaviside ou degrau unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Teorema de translação no eixo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Outras propiedades 494.1 Derivadas das transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Transformada da convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Forma inversa da transformada de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Transformada de uma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6 Transformada de uma função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ii

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

Prof. André Meneghetti 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

1 Transformada de Laplace

Seja f : [0,∞) → R. Definimos a transformada de Laplace da função f(t) (notaçãoL {f(t)}) por

L {f(t)} =∫ ∞0

e−stf(t)dt (1)

Observação 1.1. A transformada de Laplace é uma função que depende apenas de s.Por esse motivo é comum denotar a transformada por

F (s) = L {f(t)} (2)

Observação 1.2. Nem toda a função possui transformada de Laplace. Dizemos que

uma função f(t) possui transformada de Laplace se a integral∫ ∞0

e−stf(t)dt converge

para algum valor de s.

Definição 1.1. Uma função f é dita de ordem exponencial c se existem constantesc,M > 0 e T > 0 tais que |f(t)| ≤Mect para todo t > T .

Exemplo 1.0.1. A função cos(t) é de ordem exponencial c = 1, pois cos(t) ≤Mect paratodo t ≥ 0 tomando M = 1, c = 1.

1

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Teorema 1.1. Se f(t) for contínua no intervalo [0,∞) e de ordem exponencial c, entãoL {f(t)} existe para s > c.

Prova:

Como f(t) é de ordem exponencial c, existem M,T, c > 0 tais que f(t) ≤Mect para todo t > T .

Por definição

L {f(t)} = limb→∞

∫ b

0

f(t)e−stdt.

Observe que

limb→∞

∫ b

0

f(t)e−stdt =

∫ T

0

f(t)e−stdt+ limb→∞

∫ b

T

f(t)e−stdt.

Seja A(b) =∫ b

T

f(t)e−stdt.

Afirmação 1: A(b) é limitada.

De fato,

|A(b)| =∣∣∣∣∫ b

T

f(t)e−stdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

T

|f(t)|e−stdt ≤∫ b

T

Mecte−stdt =M

∫ b

T

e(c−s)tdt.

Geometricamente,∫ b

T

e(c−s)tdt é a área total da função positiva e(c−s)t no intervalo (T, b). Então, é

claro que se b < B, temos que∫ b

T

e(c−s)tdt <

∫ B

T

e(c−s)tdt.

Impondo a condição (c− s) < 0, temos que limB→∞

∫ B

T

e(c−s)tdt converge, ou seja,

|A(b)| ≤∫ b

T

e(c−s)tdt ≤ limB→∞

∫ B

T

e(c−s)tdt = L.

Ou seja, |A(b)| ≤ L com L ∈ (0,∞).

Afirmação 2: O limite limb→∞

A(b) existe.

Sejam

f+(t)

{f(t) se f(t) > 00 se f(t) ≤ 0

f−(t)

{0 se f(t) ≥ 0(t) se f(t) < 0

Note que f(t) = f+(t) + f−(t). Multiplicando ambos os lados da igualdade por e−st, obtemos

f(t)e−st = f+(t)e−st + f−(t)e−st.

O esboço abaixo mostra a ideia.

2

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Além disso, ∫ b

T

f(t)e−stdt =

∫ b

T

f+(t)e−stdt+

∫ b

T

f−(t)e−stdt

Definimos agora

A+(b) =

∫ b

T

f+(t)e−stdt,

A−(b) =

∫ b

T

f−(t)e−stdt.

Note que |A(b)| = A+(b)−A−(b). Observe que A−(b) ∈ (−L, 0] e A+(b) ∈ [0, L). O esboço abaixo ajudaa entender.

3

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Por construção A+(b) é uma função positiva, monótona, crescente e limitada, logo limb→∞

A+(b) existe.

Também por construção a função A−(b) é negativa, monótona, decrescente e limitada, logo limb→∞

A−(b)

existe.

Visto que

A(b) = A+(b) +A−(b)

então

limb→∞

A(b) = limb→∞

A+(b) + limb→∞

A−(b)︸︷︷︸Esse limite existe!

logo existe limb→∞

A(b) = limb→∞

∫ b

T

f(t)e−stdt.

Por último, obeserve que ∫ T

0

f(t)e−stdt+ limb→∞

∫ b

T

f(t)e−stdt =

limb→∞

[∫ T

0

f(t)e−stdt+

∫ b

T

f(t)e−stdt

]=

limb→∞

[∫ b

0

f(t)e−stdt

]= L {f(t)}

que existe, desde que s > c.

�

4

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Teorema 1.2. Se α e β são constantes, então

L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)}+ βL {g(t)} (3)

para todo s tal que as transformadas de f(t) e g(t) existam.

Prova:

L {αf(t) + βg(t)} =∫ ∞0

[αf(t) + βg(t)] e−stdt

α

∫ ∞0

e−stf(t)dt︸︷︷︸L{f(t)}

+β

∫ ∞0

g(t)e−stdt︸︷︷︸L{g(t)}

= αL {f(t)}+ βL {g(t)}

�

1.1 Transformadas básicas

Existem uma infinidade de funções que possuem transformadas de Laplace. Vamos co-meçar estudando a transformada de algumas funções elementares, mais precisamente dasfunções constante, polinômio, seno, cosseno, seno hiperbólico e cosseno hiperbólico.

Vamos chamar de transformadas básicas as transformadas de algumas funções ele-mentares.

L {1} =1

ss > 0

L {tn} =n!

sn+1s > 0

L{eat}

=1

s− as > a

L {sen(at)} =a

s2 + a2s > a

L {cos(at)} =s

s2 + a2s > a

L {senh(at)} =a

s2 − a2s > |a|

L {cosh(at)} =s

s2 − a2s > |a|

5

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Prova:

Seja f(t) = 1.

Pela definição (1)

L {f(t)} =∫ ∞0

e−stf(t)dt

logo,

L {1} =∫ ∞0

e−st1dt =

[e−st

−s

]∞0

Supondo que −s < 0, ou equilalentemente, se s > 0 a integral imprópria converge:

L {1} = (0)−(

1

−s

)=

1

s

Portanto se s > 0

L {1} = 1

s

Seja f(t) = tn.

L {tn} =∫ ∞0

e−sttndt

L {tn} =[tne−st

(−s) − ntn−1 e

−st

−s2 + n(n− 1)tn−2 e−st

−s3 − · · ·+ (−1)nn!t0 e−st

(−s)n+1

]∞0

L {tn} =[e−st

(− t

n

s− ntn−1

s2− n(n− 1)tn−2

s3− · · · − n!

sn+1

)]∞0


L {tn} = (0)−(− n!

sn+1

)=

n!

sn+1

Portanto se s > 0

L {tn} = n!

sn+1

6

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Seja f(t) = eat.

L{eat}=

∫ ∞0

e−steatdt =

∫ ∞0

e−(s−a)tdt

Supondo que (a− s) < 0, ou equilalentemente, se s > a a integral imprópria converge:

L{eat}=

[e(a−s)t

a− s

]∞0

L{eat}= (0)−

(1

a− s

)=

1

s− aPortanto se s > a

L{eat}=

1

s− a

Seja f(t) = sen(at).

L {sen(at)} =∫ ∞0

e−stsen(at)dt

L {sen(at)} =(sen(at)

e−st

(−s)

)∞0

−∫ ∞0

e−st

(−s)a cos(at)dt


e−st

(−s)

)∞0

+a

s

∫ ∞0

e−st cos(at)dt

Observe que ∫ ∞0

e−st cos(at)dt =

(cos(at)

e−st

(−s)

)∞0

−∫ ∞0

e−st

(−s) (−a) sen(at)dt∫ ∞0

e−st cos(at)dt =

(cos(at)

e−st

(−s)

)∞0

− a

s

∫ ∞0

e−st sen(at)dt︸︷︷︸L{sen(at)}

Logo,


e−st

(−s)

)∞0

+a

s

[(cos(at)

e−st

(−s)

)∞0

− a

sL {sen(at)}

]


e−st

(−s)

)∞0

+a

s

(cos(at)

e−st

(−s)

)∞0

− a2

s2L {sen(at)}

L {sen(at)}+ a2

s2L {sen(at)} =

(sen(at)

e−st

(−s)

)∞0

+a

s

(cos(at)

e−st

(−s)

)∞0(

1 +a2

s2

)L {sen(at)} =

(sen(at)

e−st

(−s) +a

scos(at)

e−st

(−s)

)∞0

7

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



(s2 + a2

s2

)L {sen(at)} = lim

b→∞

(sen(ab)

e−sb

(−s) +a

scos(ab)

e−sb

(−s)

)︸︷︷︸

0

−

sen(a0)e−s0

(−s)︸︷︷︸0

+a

scos(a0)

e−s0

(−s)︸︷︷︸a/(−s2)

(s2 + a2

��s2

)L {sen(at)} = a

��s2

Portanto, se s > 0

L {sen(at)} = a

s2 + a2

Analogamente se f(t) = cos(at) e s > 0

L {cos(at)} = s

s2 + a2

Seja f(t) = senh(at).

Como, por definição, senh(at) =eat − e−at

2

L {senh(at)} = L

{eat − e−at

2

}=

1

2L{eat}− 1

2L{e−at

}L {senh(at)} = 1

2

(1

s− a −1

s+ a

)=

1

�2�2a

s2 − a2

Portanto, se s > |a|

L {senh(at)} = a

s2 − a2

Analogamente se f(t) = cosh(at) e s > |a|

L {senh(at)} = s

s2 − a2

�

8

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 1.1.1. Calcule L{sen2(t)

}.

Resolução:

Observe que não conhecemos essa transformada diretamente. A ideia então é usar umaidentidade trigonometrica e reescrever a função para que possamos usar as transformadasbásicas.

Usaremos uma identidade trigonométrica, a equação (3) e transformadas básicas.

L{sen2(t)

}= L

{1− cos(2t)

2

}=

1

2L {1} − 1

2L {cos(2t)}

L{sen2(t)

}=

1

2

1

s− 1

2

s

s2 + 22=

2

s(s2 + 4).

Exemplo 1.1.2. Calcule L{t2 + 6t− 3

}.

Resolução:

Usando a linearidade, equação (3), temos

L{t2 + 6t− 3

}= L

{t2}+ 6L {t} − 3L {1}

Portanto,

L{t2 + 6t− 3

}=

2!

s3+ 6

1

s2− 3

1

s

L{t2 + 6t− 3

}=

2!

s3+

6

s2− 6

s.

9

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 1.1.3. Calcule L {f(t)}, sendo que

f(t) =

{sen(t) , se t ∈ [0, π]

0 , se t ∈ (π,∞].

Resolução:

Para determinar essa transformada não será possível usar as transformadas básicas.Como a função f(t) é definida por partes a única maneira de determinar sua tans-formada é usando a definição:

L {f(t)} =∫ ∞0

e−stf(t)dt

L {f(t)} =∫ π

0e−stsen(t)dt+

��

��

∫ ∞π

e−st0dt

L {f(t)} =��

��

[sen(t)

e−st

(−s)

]π0

−[(

cos te−st

(−s)2

)π0

+

∫ π

0

e−st

(−s)2sen(t)dt

]

L {f(t)} = −(cos t

e−st

(−s)2

)π0

− 1

s2

∫ π

0e−st sen(t)dt︸︷︷︸L {f(t)}

.

Então

L {f(t)}+ 1

s2L {f(t)} = −

(cos t

e−st

s2

)π0(

1 +1

s2

)L {f(t)} = −

(cosπ

e−sπ

s2− cos 0

e−s0

s2

)(s2 + 1

s2

)L {f(t)} = −

(−e−sπ

s2− 1

s2

)(s2 + 1

��s2

)L {f(t)} = e−sπ + 1

��s2

L {f(t)} = e−sπ + 1

s2 + 1.

10

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


1.2 Exercícios

◦ Exercício 1. Utilize a definição da transformada de Laplace, L {f(t)} =∫ ∞0

f(t)e−stdt,

para determinar L {f(t)} para as seguintes funções f(t):

a) f(t) ={−1, t ∈ [0, 1)1, t ∈ (1,∞)

b) f(t) ={

t, t ∈ [0, 1)1, t ∈ (1,∞)

c) f(t) ={

sen(t), t ∈ [0, π)0, t ∈ (π,∞)

d) f(t) = te4t

e) f(t) = e−t sen(t)

◦ Exercício 2. Usando a propriedade de linearidade e as seguintes transformadas básicasde Laplace determine as seguintes transformadas:

a) L{2t4}

b) L {4t− 10}

c) L{t2 + 6t− 3

}d) L

{(t+ 1)3

}e) L

{1 + e4t

}

f) L{(1 + e2t)2

}g) L

{4t2 − 5 sen(3t)

}h) L {senh(2t)}

i) L{et senh(t)

}

◦ Exercício 3. Use alguma identidade trigonométrica para reescrever as funções

f(t) = sen(2t) cos(2t) g(t) = cos2(t)

de modo que seja possível determinas duas respectivas transformadas de Laplace, isso é,determinar

a) L {f(t)} b) L {g(t)}

◦ Exercício 4. (*) Para a, b ∈ R e i2 = −1, mostre que L{e(a+ib)t

}=

s− a+ ib

(s− a)2 + b2.

Use a fórmula de Euler e mostre também que

i) L{eat cos(bt)

}=

(s− a)(s− a)2 + b2

ii) L{eat sen(bt)

}=

b

(s− a)2 + b2

11

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


RESPOSTAS

Exercício 1

a)2

se−s − 1

s

b)1

s2− 1

s2e−s

c)1 + e−sπ

s2 + 1

d)1

(s− 4)2

e)1

s2 + 2s+ 2

Exercício 2

a)48

s5

b)4

s2− 10

s

c)2

s3+

6

s2− 3

s

d)6

s4+

6

s3+

3

s2+

1

s

e)1

s+

1

s− 4

f)2

s− 2+

1

s+

1

s− 4

g)8

s3− 15

s2 + 9

h)2

s2 − 4

i)1

2(s− 2)− 1

2s

Exercício 3

a)2

s2 + 16b)

1

2s+

s

2(s2 + 4)

12

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


1.3 Transformada inversa de Laplace

Se L {f(t)} é a transformada de Laplace de f(t), a transformada inversa é L −1 tal queL −1 {L {f(t)}} = f(t).

Transformadas inversas básicas

L {1} =1

s→ L −1

{1

s

}= 1

L {tn} =n!

sn+1→ L −1

{n!

sn+1

}= tn

L{eat}

=1

s− a→ L −1

{1

s− a

}= eat

L {sen(at)} =a

s2 + a2→ L −1

{a

s2 + a2

}= sen(at)

L {cos(at)} =s

s2 + a2→ L −1

{s

s2 + a2

}= cos(at)

L {senh(at)} =a

s2 − a2→ L −1

{a

s2 − a2

}= senh(at)

L {cosh(at)} =s

s2 − a2→ L −1

{s

s2 − a2

}= cosh(at)

Teorema 1.3. Se α e β são constantes, então

L −1 {αL {f(t)}+ βL {g(t)}} = αL −1 {L {f(t)}}+ βL −1 {L {g(t)}}

L −1 {αL {f(t)}+ βL {g(t)}} = αf(t) + βg(t)(4)

Observação 1.3. Quando trabalhamos com a transformada inversa de Laplace é muitocomum, diria usual, usar a notação vista em (2) no início dessa seção.Com essa notação o teorema acima (4) poderia escrito como

L −1 {αF (s) + βG(s)} = αL −1 {F (s)}+ βL −1 {G(s)} = αf(t) + βg(t)

13

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 1.3.1. Calcule L −1{

1

s5

}.

Resolução:

Para poder aplicar uma das transformadas inversas básicas faremos uma “manipulaçãoalgébrica”:

L −1{

1

s5

}=

1

4!L −1

{4!

s5

}︸︷︷︸

t4

=1

4!t4

Logo,

L −1{

1

s5

}=

1

4!t4.

Exemplo 1.3.2. Calcule L −1{3s+ 5

s2 + 7

}.

Resolução:

Vamos separar a fração para assim usar as transformadas inversas básicas:

L −1{3s+ 5

s2 + 7

}= L −1

{3

s

s2 +√72 +

5√7

√7

s2 +√72

}

L −1{3s+ 5

s2 + 7

}= 3L −1

{s

s2 +√72

}︸︷︷︸

cos(√7t)

+5√7

L −1

{ √7

s2 +√72

}︸︷︷︸

sen(√7t)

L −1{3s+ 5

s2 + 7

}= 3 cos(

√7t) +

5√7sen(√7t).

14

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



1

(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)

}.

Resolução:

A fim de usar as transformadas inversas básicas novamente vamos fazer alguns ajustes.Por frações parciais

1

(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)=

A

s− 1+

B

s+ 2+

C

s+ 4

1

(((((((

((((s− 1)(s+ 2)(s+ 4)

=A(s+ 2)(s+ 4) +B(s− 1)(s+ 4) + C(s− 1)(s+ 2)

(((((((

((((s− 1)(s+ 2)(s+ 4)

.

Então

1 = (s+ 2)(s+ 4) +B(s− 1)(s+ 4) + C(s− 1)(s+ 2)

∗ se s = 1 ⇒ 1 = A(3)(5) ⇒ A =1

15

∗ se s = −2 ⇒ 1 = B(−3)(2) ⇒ B =−16

∗ se s = −4 ⇒ 1 = C(−5)(−2) ⇒ C =−110

.

Portanto,

L −1{

1

(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)

}= L −1

{115

s− 1+

−16

s+ 2+

−110

s+ 4

}

L −1{

1

(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)

}=

1

15L −1

{1

s− 1

}︸︷︷︸

et

−1

6L −1

{1

s+ 2

}︸︷︷︸

e−2t

− 1

10L −1

{1

s+ 4

}︸︷︷︸

e−4t

L −1{

1

(s− 1)(s+ 2)(s+ 4)

}=

1

15et − 1

6e−2t − 1

10e−4t.

15

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



3s− 2

s3(s2 + 4)

}.

Resolução:

Novamente por frações parciais,

3s− 2

s3(s2 + 4)=A

s+B

s2+C

s3+Ds+ E

s2 + 4

3s− 2

s3(s2 + 4)=As2(s2 + 4) +Bs(s2 + 4) + C(s2 + 4)s3(Ds+ E)

s3(s2 + 4)

3s− 2

��s3(s2 + 4)

=(A+D)s2 + (B + E)s3 + (C + 4A)s2 + (4B)s2 + 4C

��s3(s2 + 4)

3s− 2 = (A+D)s2 + (B + E)s3 + (C + 4A)s2 + (4B)s2 + 4C.

Portanto, A+D = 0B + E = 0C + 4A = 04B = 34C = −2

Resolvendo o sistema, obtem-se

A =1

8B =

3

4C = −1

2D = −1

8E = −3

4.

Portanto,

L −1{

3s− 2

s3(s2 + 4)

}= L −1

{(18)

s+

(34)

s2−

(12)

s3+

(−18s−

34

s2 + 4

}=

1

8L

{1

s

}+

3

4L −1

{1!

s2

}− 1

2(2!)L −1

{2!

s3

}− 1

8L −1

{s

s2 + 22

}− 3

4(2)L −1

{2

s2 + 22

}

L −1{

3s− 2

s3(s2 + 4)

}=

1

8+

3

4t− 1

4t2 − 1

8cos(2t)− 3

8sen(2t)

16

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


1.4 Transformada de uma derivada

Teorema 1.4. Seja f(t) uma função n-vezes diferencial com f (m)(t) de ordem expo-nencial para m = 0, 1, 2, . . . , n.

Então

L{f (n)(t)

}= snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) (5)

Prova:

Observe que f (m)(t) de ordem exponencial, então

limt→∞

e−stf (m)(t) ≤ limt→∞

e−stMect =M limt→∞

e(−s+c)t = 0.

Determinando L{f ′(t)

}:

Pela definição (1)

L{f ′(t)

}=

∫ ∞0

e−stf ′(t)dt

L{f ′(t)

}=[e−stf(t)

]∞0−∫ ∞0

−se−stf(t)dt =

L{f ′(t)

}= 0− f(0) + s

∫ ∞0

e−stf(t)dt︸︷︷︸L{f(t)}=F (s)

Portanto,

L{f ′(t)

}= sF (s)− f(0)

Determinando L{f ′′(t)

}:

L{f ′′(t)

}=

∫ ∞0

e−stf ′′(t)dt

L{f ′′(t)

}=[e−stf ′(t)

]∞0−∫ ∞0

−se−stf ′(t)dt

L{f ′′(t)

}= 0− f ′(0) + s

∫ ∞0

e−stf(t)dt︸︷︷︸L{f ′(t)}=sF (s)−f(0)

17

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Portanto,

L{f ′′(t)

}= −f ′(0) + s [sF (s)− f(0)]

L{f ′′(t)

}= s2F (s)− sf(0)− f ′(0)

Determinando L{f ′′′(t)

}:

L{f ′′′(t)

}=

∫ ∞0

e−stf ′′′(t)dt

L{f ′′′(t)

}=[e−stf ′′(t)

]∞0−∫ ∞0

−se−stf ′′(t)dt

L{f ′′′(t)

}= 0− f ′′(0) + s

∫ ∞0

e−stf ′′(t)dt︸︷︷︸L{f ′′(t)}

Portanto,

L{f ′′′(t)

}= −f ′′(0) + s

[s2F (s)− sf(0)− f ′(0)

]L{f ′′′(t)

}= s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0)

(. . . )

Continuando teremos que (por indução)

L{f (n)(t)

}= snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)

�

18

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

Prof. André Meneghetti 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM EDO’S

2 Transformada de Laplace em EDO’s

Nessa seção veremos como resolver EDO’s lineares com coeficientes constantesusando a transformada de Laplace. O diagrama a baixo ilustra qual a ideia e a seguiralguns exemplos aplicando essa metodologia.

19

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


2.1 Resolvendo uma EDO com TL

Exemplo 2.1.1. Resolva o seguinte PVI usando transformada de Laplace.y′′(t)− 3y′(t) + 2y(t) = e−4t

y(0) = 1y′(0) = 5

Resolução:

Da equação

y′′(t)− 3y′(t) + 2y(t) = e−4t,

aplicamos a transformada de Laplace

L{y′′(t)− 3y′(t) + 2y(t)

}= L

{e−4t

}.

Pela linearidade

L{y′′(t)

}− 3L

{y′(t)

}+ 2L {y(t)} = L

{e−4t

},

logo

[s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸1

− y′(0)︸︷︷︸5

]− 3[sY (s)− y(0)︸︷︷︸1

] + 2Y (s) =1

s+ 4

(substituindo as condições iniciais y(0) = 1, y′(0) = 5)[s2Y (s)− s− 5

]− 3 [sY (s)− 1] + 2Y (s) =

1

s+ 4

s2Y (s)− s− 5− 3sY (s) + 3 + 2Y (s) =1

s+ 4{s2 − 3s+ 2

}Y (s)− s− 5 + 3 =

1

s+ 4

Y (s) =(s+ 2) + 1

s+4

s2 − 3s+ 2=

(s+ 2) + 1s+4

(s− 1)(s− 2)

Y (s) =s2 + 6s+ 9

(s− 1)(s− 2)(s+ 4)

20

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Lembre que Y (s) = L {y(t)} ⇒ y = L −1 {Y (s)}. Portanto, aplicando a inversa

L −1 {Y (s)} = L −1{

s2 + 6s+ 9

(s− 1)(s− 2)(s+ 4)

}.

Por frações parciais

L −1 {Y (s)} = L −1

{−16

5

s− 1+

256

s− 2+

130

s+ 4

}

L −1 {Y (s)} = −16

5L −1

{1

s− 1

}+

25

6L −1

{1

s− 2

}+

1

30L −1

{1

s+ 4

}y(t) = −16

5et +

25

6e2t +

1

30e−4t.

Confira o gráfico da solução do PVI no intervalo de (0, 4).

21

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 2.1.2. Resolva o PVI usando a transformada de Laplace.y′′′(t) + 2y′′(t)− y′(t)− 2y(t) = sen 3ty(0) = 0y′(0) = 0y′′(0) = 1

Resolução:

Aplicando a transformada de Laplace na EDO

L{y′′′(t)

}+ 2L

{y′′(t)

}−L

{y′(t)

}− 2L {y(t)} = L {sen 3t}

[s3Y (s)− s2 y(0)︸︷︷︸0

−s y′(0)︸︷︷︸0

− y′′(0)︸︷︷︸1

] + 2[s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸0

− y′(0)︸︷︷︸0

]− [sY (s)− y(0)︸︷︷︸0

]− 2Y (s) =3

s2 + 32

s3Y (s)− 1 + 2s2Y (s)− sY (s)− 2Y (s) =3

s2 + 32

(s3 + 2s2 − s− 2)Y (s) =3

s2 + 32+ 1

Y (s) =s2 + 12

(s2 + 9)(s3 + 2s2 − s− 2).

Obs.: s3 + 2s2 − s− 2 = (s− 1)(s+ 1)(s+ 2).

Obs.:s2 + 12

(s2 + 9)(s− 1)(s+ 1)(s+ 2)=

13

60

(1

s− 1

)− 13

20

(1

s+ 1

)+

16

39

(1

s+ 2

)+

3

130

(s− 2

s2 + 9

).

Portanto,

L −1 {Y (s)} = 13

60L −1

{1

s− 1

}− 13

20L −1

{1

s+ 1

}+

16

39L −1

{1

s+ 2

}+

3

130L −1

{s− 2

s2 + 9

}

y(t) =13

60et − 13

20e−t +

16

39e−2t +

3

130

[L −1

{s

s2 + 9

}− 2

3L −1

{3

s2 + 9

}]

y(t) =13

60et − 13

20e−t +

16

39e−2t +

3

130

(cos(3t)− 2

3sen(3t)

)

22

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 2.1.3. Resolva o PVI usando a transformada de Laplace.y′′(t)− 4y′(t) = 6e3t − 3e−t

y(0) = 1y′(0) = −1

Resolução:

Aplicando a tranformada de Laplace na EDO

L{y′′(t)

}− 4L

{y′(t)

}= 6L

{e3t}− 3L

{e−t}

s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸1

− y′(0)︸︷︷︸−1

−4[sY (s)− y(0)︸︷︷︸1

] = 61

s− 3− 3

1

s+ 1

s2Y (s)− s+ 1− 4sY (s) + 4 =6

s− 3− 3

s+ 1

(s2 − 4s)Y (s) = s− 5 +6

s− 3− 3

s+ 1

Y (s) =s− 5 + 6

s−3 −3s+1

s2 − 4s

Y (s) =(s− 5)(s− 3)(s+ 1) + 6(s+ 1)− 3(s− 3)

(s2 − 4s)(s− 3)(s+ 1)

Y (s) =s3 − 7s2 + 10s+ 30

(s2 − 4s)(s− 3)(s+ 1)

Y (s) =11

10

(1

s− 4

)− 2

(1

s− 3

)+

5

2

(1

s

)− 3

5

(1

s+ 1

)

L −1 {Y (s)} = 11

10L −1

{1

s− 4

}− 2L −1

{1

s− 3

}+

5

2L −1

{1

s

}− 3

5L −1

{1

s+ 1

}

y(t) =11

10e4t − 2e3t +

5

2− 3

5e−t

23

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


2.2 Resolvendo um sistema de EDO’s com TL

Exemplo 2.2.1. Resolve o PVI {x′ = 2x− 2yy′ = −3x+ y

x(0) = 5 y(0) = 0

Resolução:

Aplicando a tranformadade Laplace{L {x′} = L {2x− 2y}L {y′} = L {−3x+ y}{sX − x(0) = 2X − 2YsY − y(0) = −3X + Y

.

Aplicando as condições iniciais{sX − 5 = 2X − 2YsY = −3X + Y{

(s− 2)X = −2Y + 5(s− 1)Y = −3XX =

−2Y + 5

(s− 2)(A)

Y = −3 X

(s− 1)(B)

.

Substituindo (B) em (A)

X =−2Y + 5

(s− 2)

X =−2(−3 X

(s−1)

)+ 5

(s− 2)

X =6X + 5(s− 1)

(s− 1)(s− 2).

24

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


X(s− 1)(s− 2) = 6X + 5(s− 1)

[(s− 1)(s− 2)− 6]X = 5(s− 1)

X =5(s− 1)

(s− 1)(s− 2)− 6

X =5(s− 1)

(s+ 1)(s− 4).

Por frações parciais,

X =3

s− 4)+

2

s+ 1)

Aplicando a inversa,

L −1 {X} = L −1{

3

s− 4)

}+ L −1

{2

s+ 1)

}

x(t) = 3e4t + 2e−t

.Para descobrir y(t) usaremos a primeira equação do sistema,

x′ = 2x− 2y

y = x− 1

2x′

y = 3e4t + 2e−t − 1

23e4t + 2e−t′

y(t) = 3e−t − 3e4t

25

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 2.2.2. Resolve o PVI{2x′′ = −6x+ 2yy′′ = 2x− 2y + 40 sen(3t)

x(0) = x′(0) = y(0) = y′(0) = 0

Resolução:

Aplicando a transformada de Laplace no sistema{L {2x′′} = L {−6x+ 2y}L {y′′} = L {2x− 2y + 40 sen(3t)}

2(s2X − sx(0)− x′(0)

)= −6X + 2Y

s2Y − sy(0)− y′(0) = 2X − 2Y + 403

s2 + 32

Aplicando as condições iniciais 2s2X = −6X + 2Y

s2Y = 2X − 2Y +120

s2 + 9 (2s2 + 6)X = 2Y

(s2 + 2)Y = 2X +120

s2 + 9X =

2

(2s2 + 6)Y

Y =2X

(s2 + 2)+

120

(s2 + 9)(s2 + 2)

Substituindo Y em X

X =2

(2s2 + 6)Y

X =2

(2s2 + 6)

[2X

(s2 + 2)+

120

(s2 + 9)(s2 + 2)

]

26

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


X =2

(2s2 + 6)

2X

(s2 + 2)+

2

(2s2 + 6)

120

(s2 + 9)(s2 + 2)(1− 4

(2s2 + 6)(s2 + 2)

)X =

240

(2s2 + 6)(s2 + 9)(s2 + 2)((2s2 + 6)(s2 + 2)− 4

(2s2 + 6)(s2 + 2)

)X =

240

(2s2 + 6)(s2 + 9)(s2 + 2)

X =240��

��(2s2 + 6)��

(s2 + 2)

[(2s2 + 6)(s2 + 2)− 4]��(2s2 + 6)(s2 + 9)��

�(s2 + 2)

X =240

[(2s2 + 6)(s2 + 2)− 4](s2 + 9)=

120

[(s2 + 3)(s2 + 2)− 2](s2 + 9).

Usando frações perciais

X =5

s2 + 12− 8

s4 + 22+

3

s2 + 33

Aplicando a inversa de Laplace

L −1 {X} = 5L −1{

1

s2 + 12

}− 4L −1

{2

s4 + 22

}+ L −1

{3

s2 + 33

}x(t) = 5 sen(t)− 4 sen(2t) + sen(3t)

.Para descobrir a função y(t) podemos usar a primeira equação do sistema,

2x′′ = −6x+ 2y.

Isolando y, temos

y = x′′ + 3x

y = (5 sen(t)− 4 sen(2t) + sen(3t))′′ + 3 (5 sen(t)− 4 sen(2t) + sen(3t))

y(t) = 10 sen(t) + 4 sen(2t)− 6 sen(3t)

.

27

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


2.3 Exercícios

◦ Exercício 5. Determine as seguintes transformadas inversas de Laplace:

a) L −1{

1

s3

}

b) L −1{

1

s2− 48

s5

}

c) L −1{(s+ 1)3

s4

}

d) L −1{

1

s2− 1

s+

1

s− 2

}

e) L −1{

1

4s+ 1

}

f) L −1{

5

s2 + 49

}

g) L −1{

4s

4s2 + 1

}

h) L −1{2s− 6

s2 + 9

}

i) L −1{

1

s2 + 3s

}

j) L −1{

s

s2 + 2s− 3

}

k) L −1{

s

(s− 2)(s− 3)(s− 6)

}

l) L −1{

1

s3 + 5s

}

m) L −1{

2s− 4

(s2 + s)(s2 + 1)

}

n) L −1{

1

(s2 + 1)(s2 + 4)

}

◦ Exercício 6. Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI) utilizando a tran-formada de Laplace.

a){y′ − y = 1y(0) = 0

b){y′ + 4y = e−4t

y(0) = 2

Dica: Mostre que L −1{

1(s+4)2

}= te−4t

c)

y′′ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

d)

y′′ − 6y′ + 9y = ty(0) = 0y′(0) = 1

Dica: Mostre que L −1{

1(s−3)2

}= te3t

e)

y′′ − 4y′ + 4y = t3e2t

y(0) = 0y′(0) = 0

f)

y′′ + y = sen(t)y(0) = 1y′(0) = −1

Dica: É necessário usar convolução (4.2)

g)

y′′ − y′ = et cos(t)y(0) = 0y′(0) = 0

h)

2y′′′ + 3y′′ − 3y′ − 2y = e−t

y(0) = 0y′(0) = 0y′′(0) = 1

28

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


◦ Exercício 7. Resolva os seguintes sistemas de EDO’s utilizando a tranformada deLaplace.

a){x′ = −x+ yy′ = 2x

x(0) = 0, y(0) = 1

b){x′ = x− 2yy′ = 5x− y

x(0) = −1, y(0) = 2

c){

2x′ + y′ − 2x = 1x′ + y′ − 3x− 3y = 2

x(0) = 0, y(0) = 0

d){x′′ + x− y = 0y′′ + y − x = 0

x(0) = 0, x′(0) = −2, y(0) = 0, y′(0) = 1

e){x′′ + y′′ = t2

x′′ − y′′ = 4t

x(0) = 8, x′(0) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0

f){x′′ + 3y′ + 3y = 0x′′ + 3y = te−t

x(0) = 0, x′(0) = 2, y(0) = 0

DICA: Mostre que L{te−t

}=

1

(s+ 1)2

29

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


RESPOSTAS

Exercício 5

a)1

2t2

b) t− 2t4

c) 1 + 3t+3

2t2 +

1

6t3

d) t− 1 + e2t

e)1

4e−t/4

f)5

7sen(7t)

g) cos(t/2)

h) 2 cos(3t)− 2 sen(3t)

i)1

3− 1

3e−3t

j)3

4e−3t +

1

4et

k)1

2e2t − e3t + 1

2e6t

l)1

5− 1

5cos(√5t)

m) −4 + 3e−t + cos(t) + 3 sen(t)

n)1

3sen(t)− 1

6sen(2t)

Exercício 6

a) y(t) = −1 + et

b) y(t) =11

5et − 1

5e−4t

c) y(t) =4

3e−t − 1

3e−4t

d) y(t) =1

9t+

2

27− 2

27e3t +

10

9te3t

e) y(t) =1

20t5e2t

f) y(t) = cos(t)− 1

2sen(t)− 1

2t cos(t)

g) y(t) =1

2− 1

2et cos(t) +

1

2et sen(t)

h) y(t) = −8

9e−t/2 +

1

9e−2t +

5

18et +

1

2e−t

Exercício 7

a) x(t) = −13e−2t + 1

3et; y(t) = 1

3e−2t + 2

3et

b) x(t) = − cos(3t)− 53 sen(3t); y(t) = 2 cos(3t)− 7

3 sen(3t)

c) x(t) = −2e3t + 52e

2t − 12 ; y(t) = 8

3e3t − 5

2e2t − 1

6

d) x(t) = −12 t−

34

√2 sen(

√2t); y(t) = −1

2 t+34

√2 sen(

√2t)

e) x(t) = 8 + 23! t

3 + 14! t

4; y(t) = − 23! t

3 + 14! t

4

f) x(t) = 12 t

2 + t+ 1− e−t; y(t) = −13 + 1

3e−t + 1

3 te−t

30

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

Prof. André Meneghetti 3 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO

3 Teoremas de translação

3.1 Teorema de translação no eixo s

Teorema 3.1. Se L {f(t)} = F (s) e a ∈ R, então

L{eatf(t)

}= F (s−a)

Prova:

L{eatf(t)

}=

∫ ∞0

e−steatf(t)dt =

∫ ∞0

e−(s−a)tf(t)dt = F (s− a)

�

Exemplo 3.1.1. Calcule L{e5tt3

}.

Resolução:

Observe que L{t3}= 3!

s4, então usando o teorema acima (3.1)

L{e5tt3

}=

3!

(s−5)4

Exemplo 3.1.2. Calcule L{e−2t cos(4t)

}.

Resolução:

Observe que L {cos(4t)} = s

s2 + 42, então usando o teorema (3.1)

L{e−2t cos(4t)

}=

s+2

(s+2)2 + 42.

31

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Forma inversa do teorema:

Corolário 3.1. Pelo teorema (3.1)

L{eatf(t)

}= F (s−a),

aplicando a inversa de Laplace obtemos

L −1 {F (s−a)} = eatf(t) (6)


2s+ 5

(s− 3)2

}.

Resolução:

Usando frações parciais, verifica-se que

2s+ 5

(s− 3)2=

2

(s− 3)+

11

(s− 3)2.

Logo, aplicando a transformada inversa

L −1{

2s+ 5

(s− 3)2

}= L −1

{2

(s− 3)+

11

(s− 3)2

}

L −1{

2s+ 5

(s− 3)2

}= 2L −1

{1

(s− 3)

}︸︷︷︸

e3t

+11L −1{

1

(s− 3)2

}.

Para resolver L −1{

1(s−3)2

}, lembre que

L {t} = 1

s2⇐⇒ L −1

{1

s2

}= t.

Agora usando o teorema (3.1) e o corolário (3.1)

L{e3tt}=

1

(s−3)2⇐⇒ L −1

{1

(s− 3)2

}= e3tt.

Portanto,

L −1{

2s+ 5

(s− 3)2

}= 2L −1

{1

(s− 3)

}+ 11L −1

{1

(s− 3)2

}= 2e3t + 11e3tt.

32

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



s

s2 + 4s+ 6

}.

Resolução:

Primeiramente completando quadrados tem-se que

s2 + 4s+ 6 = (s+ 2)2 + 2

Ou seja,

L −1{

s

s2 + 4s+ 6

}= L −1

{s

(s+ 2)2 + 2

}Obs.: Lembre que

L −1{

s

s2 + (√2)2

}= cos

((√2)t)

e, pelo teorema (3.1) ,

L −1{

(s+2)

(s+2)2 + (√2)2

}= e−2t cos

((√2)t).

Retornando ao problema atual

L −1{

s

(s+ 2)2 + 2

}= L −1

{(s+2)− 2

(s+ 2)2 + 2

}= L −1

{(s+ 2)

(s+ 2)2 + 2

}−L −1

{2

(s+ 2)2 + 2

}

L −1{

s

(s+ 2)2 + 2

}= L −1

{(s+ 2)

(s+ 2)2 + (√2)2

}︸︷︷︸

e−2t cos((√2)t)

− 2√2

L −1

{ √2

(s+ 2)2 + (√2)2

}︸︷︷︸

e−2t sen((√2)t)

L −1{

s

(s+ 2)2 + 2

}= e−2t cos

((√2t)−√2e−2t sen

((√2)t).

33

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 3.1.5. Resolva o PVIy′′(t) + 4y′(t) + 6y(t) = 1− e−ty(0) = 0y′(0) = 0

.

Resolução:

Aplicando Laplace

L{y′′(t)

}+ 4L

{y′(t)

}+ 6L {y(t)} = L {1} −L

{e−t}

[s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸0

− y′(0)︸︷︷︸0

] + 4[sY (s)− y(0)︸︷︷︸0

] + 6Y (s) =1

s− 1

s+ 1

s2Y (s) + 4sY (s) + 6Y (s) =1

s− 1

s+ 1

(s2 + 4s+ 6)Y (s) = �s+ 1− �ss(s+ 1)

Y (s) =1

(s2 + 4s+ 6)s(s+ 1).

Obs.: Note que (s2 + 4s+ 6) é irredutível (4 < 0).

Por frações parciais

1

(s2 + 4s+ 6)s(s+ 1)=

As+B

s2 + 4s+ 6+C

s+

D

s+ 1.

Resolvendo, obtemos

A =1

6B =

1

3C =

1

6D = −1

3.

Logo,

Y (s) =16s+

13

s2 + 4s+ 6+

16

s+−1

3

s+ 1.

Aplicando a transformada inversa de Laplace e usando o fato de s2+4s+6 = (s+2)2+2

L −1 {Y (s)} = 1

6L −1

{s

(s+ 2)2 + 2

}+

1

3L −1

{1

(s+ 2)2 + 2

}+

1

6L −1

{1

s

}− 1

3L −1

{1

s+ 1

}

34

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Obs.:

L −1{

s

(s+ 2)2 + 2

}= L −1

{(s+ 2)− 2

(s+ 2)2 + 2

}

L −1

{(s+ 2)

(s+ 2)2 +√22

}− 2√

2L −1

{ √2

(s+ 2)2 +√22

}Portanto,

y(t) =1

6L −1

{(s+ 2)

(s+ 2)2 +√22

}+

2

6√2L −1

{ √2

(s+ 2)2 +√22

}+

1

3√2L −1

{ √2

(s+ 2)2 +√22

}− 1

6L −1

{1

s

}− 1

3L −1

{1

s+ 1

}

y(t) =1

6e−2t cos(

√2t)−

��

��1

3√2e−2t sen(

√2t) +

��

��1

3√2e−2t sen(

√2t) +

1

6− 1

3e−t

y(t) =1

6− 1

3e−t +

1

6e−2t cos(

√2t)

35

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


3.2 Função de Heaviside ou degrau unitário

A função de Heaviside ou degrau unitário, denotado por U (t), é definida por

U (t) =

0 , se t ∈ (−∞, 0)

1 , se t ∈ (0,∞)

Gráfico da função de Heaviside U (t):

No contexto da transformada de Laplace, essa função será útil quando deslocada paradireita e com domínio apenas positivo. Isso é, se a > 0

U (t− a) =

0 , se t ∈ [0, a)

1 , se t ∈ [a,∞)(7)

Gráfico da função de Heaviside deslocada a > 0 unidades para a direita U (t− a):

36

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Usaremos a função de Heaviside para reescrever funções definidas porpartes.

Exemplo 3.2.1. Usando a função de Heaviside, reescreve a função

f(t) =

0 , se t ∈ [0, 5)

e−t , se t ∈ [5,∞).

Resolução:

A partir dos gráficos de U (t− 5) e e−t, vamos mostrar que f(t) = U (t− 5) e−t.

Observe que o gráfico de f(t) é dado por

37

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Já os gráficos de U (t− 5) e e−t, respectivamente:

Note que o produto entre esses gráficos é exatamente a função f(t):

38

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 3.2.2. Usando a função de Heaviside, reescreve a função

f(t) =

2t , se t ∈ [0, 4)

0 , se t ∈ [4,∞)

Resolução:

A partir dos gráficos de U (t− 4) e 2t, vamos mostrar que f(t) = U (t− 4) 2t.

Observe que o gráfico de f(t) é dado por

Já os gráficos de 2t e 2tU (t− 4), respectivamente:

39

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Note que a soma entre esses gráficos é exatamente a função f(t):

40

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


3.3 Teorema de translação no eixo t

Teorema 3.2. Se F (s) = L {f(t)} e a ∈ R+, então

L {U (t− a) f(t− a)} = e−asF (s) (8)

Prova:

L {U (t− a) f(t− a)} =∫ t→∞

t=0

e−stU (t− a) f(t− a)dt =∫ t→∞

t=a

e−stf(t− a)dt =

Fazendo a mudança de variável u = t− a, temos que, t = u+ a e que du = dt. Substituindo:∫ u+a→∞

u+a=a

e−s(u+a)f(u��+a��−a)du = e−sa∫ u→∞

u=0

e−suf(u)du =

Renomeando por t a variável muda u, segue que

e−sa∫ t→∞

t=a

e−stf(t)dt = e−saL {f(t)} = e−saF (s).

�

Exemplo 3.3.1. Calcule L {U (t− π) sen(t)}.

Resolução:

Observe que se sen(t−π) = f(t−π), então f(t) = sen(t) e consequentemente F (s) = 1s2+1

.

Logo,

L {U (t− π) sen(t)} = −L {U (t− π) sen(t− π)} = −e−πs 1

s2 + 1

L {U (t− π) sen(t)} = −e−πs 1

s2 + 1.

41

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 3.3.2. Calcule L{e2−tU (t− 2)

}.

Resolução:

Note que se e−(t−2) = f(t− 2), então f(t) = e−t e consequentemente F (s) = 1s+1 .

L{e2−tU (t− 2)

}= L

{e−(t−2)U (t− 2)

}= e−2s

1

s+ 1

L{e2−tU (t− 2)

}= e−2s

1

s+ 1.

Exemplo 3.3.3. Calcule L {(3t+ 1)U (t− 1)}.

Resolução:

Se f(t−1) = 3(t−1)+4, então f(t) = 3t+4, portanto F (s) = L {f(t)} = L {3t+ 4} =3 1s2

+ 41s . Isso é, F (s) = 3 1

s2+ 41

s .

L {(3t+ 1)U (t− 1)} = e−s(

3

s2+

4

s

).

42

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Corolário 3.2. Pelo teorema (8)

L {f(t− a)U (t− a)} = e−asF (s),

logo aplicando a transformada inversa de Laplace

L −1 {e−asF (s)} = f(t− a)U (t− a) (9)

Exemplo 3.3.4. Resolva a transformada inversa de Laplace

L −1{e−2s

1

s− 4

}.

Resolução:

Como e−as = e−2s, então a = 2. Agora, como 1s−4 = F (s) = L {f(t)}, logo f(t) = e4t e

f(t− a) = f(t− 2) = e4(t−2).

Portanto,

L −1{e−2s

1

s− 4

}= e4(t−2)U (t− 2) .

Exemplo 3.3.5. Resolva a transformada inversa de Laplace

L −1{e−

π2s s

s2 + 9

}.

Resolução:

Como e−as = e−π2s, então a = π

2 .

Agora, como ss2+9

= F (s) = L {f(t)}, logo f(t) = cos(3t) e f(t − a) = f(t − π2 ) =

cos(3(t− π

2 )).

Portanto,

L −1{eπ2s s

s2 + 9

}= cos

(3t− 3π

2

)U(t− π

2

).

43

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 3.3.6. Resolva o PVIy′(t) + y(t) = f(t)

y(0) = 5

No qual

f(t) =

0 , se t ∈ [0, π)

3 sen(t) , se t ∈ [π,∞)

Resolução:

Inicialmente observe que a função f(t) pode ser reescrito como

f(t) = 3 sen(t)U (t− π) .

Logo,

y′ + y = 3 sen(t)U (t− π) ,

no qual y(0) = 5.

Aplicando a transformada de Laplace

L{y′(t)

}+ L {y(t)} = L {3 sen(t)U (t− π)}

sY (s)− y(0) + Y (s) = 3L {sen(t)U (t− π)}

Aplicando a condição inicial

sY (s)− 5 + Y (s) = 3L {sen(t)U (t− π)}

Pelo exemplo (3.3.1)

sY (s)− 5 + Y (s) = 3L {sen(t)U (t− π)}

sY (s)− 5 + Y (s) = 3

(−e−πs 1

s2 + 1

)

Y (s)(s+ 1)− 5 = −3 e−πs

s2 + 1

44

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Y (s) = −3e−πs 1

(s2 + 1)(s+ 1)+

5

s+ 1.

Usando frações parciais se estabece que

1

(s2 + 1)(s+ 1)=−1

2s+12

s2 + 1+

12

(s+ 1).

Logo,

Y (s) = −3e−πs[−1

2s+12

s2 + 1+

12

(s+ 1)

]+

5

s+ 1

Aplicando a transformada inversa,

Y (s) =3

2e−πs

s

s2 + 1− 3

2e−πs

1

s2 + 1− 3

2e−πs

1

s+ 1+

5

s+ 1

y(t) =3

2L −1

{e−πs

s

s2 + 1

}− 3

2L −1

{e−πs

1

s2 + 1

}− 3

2L −1

{e−πs

1

s+ 1

}+ 5L −1

{1

s+ 1

}

y(t) =3

2cos(t− π)U (t− π)− 3

2sen(t− π)U (t− π)− 3

2et−πU (t− π) + 5e−t

y(t) =

[3

2cos(t− π)− 3

2sen(t− π)− 3

2e−(t−π)

]U (t− π) + 5e−t.

45

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


3.4 Exercícios

◦ Exercício 8. Determine as seguintes transformadas:

Dica: Use L{eatf(t)

}= F (s− a)⇐⇒ L −1 {F (s− a)} = eatf(t)

a) L{te10t

}b) L

{t3e−2t

}c) L

{t(et + e2t

)2}d) L

{et sen(3t)

}e) L

{(1− et + 3e−4t

)cos(5t)

}f) L −1

{1

(s+ 2)3

}

g) L −1{

1

s2 − 6s+ 10

}

h) L −1{

s

s2 + 4s+ 5

}

i) L −1{

s

(s+ 1)2

}

j) L −1{

2s− 1

s2(s+ 1)3

}

◦ Exercício 9. Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI) utilizando a tran-formada de Laplace.

Dica: Use L{eatf(t)

}= F (s− a)⇐⇒ L −1 {F (s− a)} = eatf(t)

a){y′ + 4y = e−4t

y(0) = 2

b)

y′′ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

c)

y′′ − 6y′ + 9y = ty(0) = 0y′(0) = 1

d)

y′′ − 6y′ + 13y = 0y(0) = 0y′(0) = −3

e)

y′′ − y′ = et cos(t)y(0) = 0y′(0) = 0

46

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


◦ Exercício 10. Escreva cada uma das funções em termos da função de Heaviside:

a) f(t) ={

2, t ∈ [0, 3),−2, t ∈ [3,∞)

b) f(t) ={

0, t ∈ [0, 1),t2, t ∈ [1,∞)

c) f(t) ={t, t ∈ [0, 2),0, t ∈ [2,∞)

◦ Exercício 11. Determine as seguintes transformadas:

Dica: Use L {f(t− a)U (t− a)} = e−asF (s)⇐⇒ L −1 {e−asF (s)} = f(t−a)U (t− a)

a) L {(t− 1)U (t− 1)}

b) L {tU (t− 2)}

c) L {cos(2t)U (t− π)}

d) L −1{e−2s

s3

}

e) L −1{e−πs

s2 + 1

}

f) L −1{

e−s

s(s− 1)

}

◦ Exercício 12. Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI) utilizando atranformada de Laplace.

a) y′ + y = f(t), y(0) = 0, no qual f(t) ={

0, t ∈ [0, 1),5, t ∈ [1,∞)

b) y′ + 2y = f(t), y(0) = 0, no qual f(t) ={t, t ∈ [0, 1),0, t ∈ [1,∞)

c) y′′ + 4y = sen(t)U (t− 2π), y(0) = 1, y′(0) = 0

d) y′′ + y = f(t), y(0) = 0, y′(0) = 1, no qual f(t) =

0, t ∈ [0, π),1, t ∈ [π, 2π),0, t ∈ [2π,∞)

47

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


RESPOSTAS

Exercício 8

a)1

(s− 10)2

b)6

(s+ 2)4

c)1

(s− 2)2+

2

(s− 3)2+

1

(s− 4)2

d)3

(s− 1)2 + 9

e)s

s2 + 25− s− 1

(s− 1)2 + 25+3

s+ 4

(s+ 4)2 + 25

f)1

2e−2tt2

g) e3t sen(t)

h) e−2t cos(t)− 2e−2t sen(t)

i) e−t(1− t)

j) 5− t+ e−t(−5− 4t− 3

2t2)

Exercício 9

a) y(t) = (t+ 2)e−4t

b) y(t) = (1 + 2t)e−t

c) y(t) =t

9+

2

27− 2

27e3t +

10

9te3t

d) y(t) = −3

2e3t sen(2t)

e) y(t) =1

2− 1

2et cos(t) +

1

2et sen(t)

Exercício 10

a) f(t) = 2− 4U (t− 3) b) f(t) = t2U (t− 1) c) f(t) = t− tU (t− 2)

Exercício 11

a)e−s

s2

b)e−2s

s2+ 2

e−2s

s

c)s

s2 + 4e−πs

d)1

2(t− 2)2U (t− 2)

e) − sen(t)U (t− π)

f)(et−1 − 1

)U (t− 1)

Exercício 12

a) y(t) =(5− 5e−(t−1)

)U (t− 1)

b) y(t) = −1

4+

1

2t+

1

4e−2t − 1

4U (t− 1)− 1

2(t− 1)U (t− 1) +

1

4e−2(t−1)U (t− 1)

c) y(t) = cos(2t)− 1

6sen (2(t− 2π))U (t− 2π) +

1

3sen (t− 2π)U (t− 2π)

d) y(t) = sen(t) + (1− cos(t− π))U (t− π)− (1− cos(t− 2π))U (t− 2π)

48

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

Prof. André Meneghetti 4 OUTRAS PROPIEDADES

4 Outras propiedades

4.1 Derivadas das transformadas

Teorema 4.1. Se F (s) = L {f(t)} então ∀n ∈ {1, 2, 3, . . .}

dn

dsnF (s) = (−1)nL {tnf(t)}

ou, equivalentemente,

L {tnf(t)} = (−1)n dn

dsnF (s)

Prova:

dn

dsnF (s) =

dn

dsn

∫ ∞0

e−stf(t)dt =

∫ ∞0

dn

dsne−stf(t)dt =⇒

dn

dsnF (s) =

∫ ∞0

(−t)ne−stf(t)dt =∫ ∞0

(−1)ntne−stf(t)dt =⇒

dn

dsnF (s) = (−1)n

∫ ∞0

e−st (tnf(t)) dt = (−1)nL {tnf(t)}

�

Exemplo 4.1.1. Calcule a transformada de Laplace L{t2 sen(7t)

}.

Resolução:

Pelo teorema (4.1)

L {tnf(t)} = (−1)n dn

dsnF (s) =⇒

Vamos usar a relação com n = 2

L{t2 sen(7t)

}= (−1)2 d

2

ds2

(7

s2 + 72

)=⇒

L{t2 sen(7t)

}=

14(3s2 − 72)

(s2 + 72)3.

49

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 4.1.2. Calcule a transformada de Laplace L −1{

1

(s2 + 42)2

}.

Resolução:

Do teorema (4.1)

L {tnf(t)} = (−1)n dn

dsnF (s)

e usaremos esta relação com n = 1.

Assim,

L {tf(t)} = − d

dsF (s) ⇐⇒ L −1

{d

dsF (s)

}= −tf(t)

Note que se

d

dsF (s) =

s

(s2 + 42)2=⇒ F (s) =

∫s

(s2 + 42)2ds =⇒ F (s) =

−12(s2 + 42)

Identificanco o nosso problema com a identidade quadriculada temos

L −1{

s

(s2 + 42)2

}= L −1

{d

ds

(−1

2(s2 + 42)

)}

Além disso, para usar o resultado na identidade quadriculada precisamos descobrir f(t):

F (s) =−1

2(s2 + 42)=⇒ f(t) = −1

8L

{4

s2 + 42

}=⇒ f(t) = −1

8sen(4t)

Poratnto,

L −1{

s

(s2 + 42)2

}= L −1

{d

ds

(−1

2(s2 + 42)

)}= −t

(−1

8sen(4t)

)

L −1{(

s

(s2 + 42)2

)}=t

8sen(4t)

50

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 4.1.3. Resolva o seguinte PVI:y′′ + 16y = cos(4t)y(0) = 0y′(0) = 1

Resolução:

Seja Y = L {y}.

Aplicando a transformada de Laplace na EDO

L{y′′}+ 16L {y} = L {cos(4t)}

s2Y − s y(0)︸︷︷︸=0

− y′(0)︸︷︷︸=1

+16Y =s

s2 + 42

s2Y − 1 + 16Y =s

s2 + 42

(s2 + 16)Y =s

s2 + 42+ 1

Y =s

(s2 + 42)2+

1

s2 + 42

Aplicando a transformada inversa de Laplace

y(t) = L −1{

s

(s2 + 42)2

}+ L −1

{1

s2 + 42

}

y(t) = L −1{

s

(s2 + 42)2

}︸︷︷︸exercício anterior

+1

4L −1

{4

s2 + 42

}

y(t) =t

8sen(4t) +

1

4sen(4t).

51

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


4.2 Convolução

Sejam f(t) e g(t) funções contínuas por partes em [0,∞). Definimos a convoluçãof(t) ∗ g(t) por

f(t) ∗ g(t) =∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ (10)

Propiedade: Uma propriedade importante da convolução é a comutatividade, ou seja,é verdade que

f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t)

Prova:

Pela definição,

f(t) ∗ g(t) =∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

Fazendo τ̃ = t− τ ⇒ dτ̃ = −dτ . Além disso decorrem as seguintes mudanças

se τ = 0 então τ̃ = t se τ = t então τ̃ = 0 como τ̃ = t− τ então τ = t− τ̃ = t

Logo,

f(t) ∗ g(t) =∫ 0

t

f(t− τ̃)g(τ̃)(−dτ̃) =∫ t

0

g(τ̃)f(t− τ̃)dτ̃ = g(t) ∗ f(t).

�

52

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


4.3 Transformada da convolução

A seguir um dos principais teoremas envolvendo convolução:

Teorema 4.2. Sejam f e g funções definidas em [0,∞) que possuem transformada deLaplace. Então,

L {f(t) ∗ g(t)} = F (s)G(s)

Prova:

F (s)G(s) =

∫ ∞0

e−sτf(τ)dτ

∫ ∞0

e−sβg(β)dβ.

Podemos juntar as integrais da seguinte forma:

F (s)G(s) =

∫ ∞0

(∫ ∞0

e−s(τ+β)f(τ)g(β)dβ

)dτ

A troca de variável que será feita na integral interior (em destaque) será t = τ + β. A ideia é escrever βem função de t. Assim

i) t = τ + β =⇒ β = t− τ ;ii) dt = dβ

iii) β = 0 =⇒ t = τ ;

iv) β →∞ =⇒ t→∞.

Substituindo na integral obtemos

F (s)G(s) =

∫ ∞0

(∫ ∞τ

e−stf(τ)g(t− τ)dt)dτ.

Observação fundamental: Como a função g está definida apenas na parte positiva, então g(t − τ)implica que t− τ > 0, ou seja, que t > τ . Se observarmos o plano t× τ veremos que a área referente aregião de integração é o seguinte:

53

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


O que acontece aqui é que estamos integrando a função e−stf(τ)g(t − τ) na área em destaque. Namaneira que estão dispostas as integrais, podemos pensar que para cada altura fixa τ temos a variaçãoem t no intervalo (τ,∞).

Para obter o resultado que queremos será necessário modificar a maneira de obter essa área de integração.Pelas condições do problema o teorema de Fubini assegura ser possível a troca de ordem de integração.Observe a próxima figura:

Trocando a ordem de integração, agora por fora teremos a integral em t. Observe então que a variaçãode t agora será de 0 ao ∞ e que para cada t fixado a variável τ tem que partir de 0 e chegar em t.

Assim, ∫ ∞0

(∫ ∞τ

e−stf(τ)g(t− τ)dt)dτ =

∫ ∞0

(∫ t

0

e−stf(τ)g(t− τ)dτ)dt

A experessão e−st é constante com relação a τ podendo assim sair da integral em τ .∫ ∞0

e−st(∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ)

︸︷︷︸f(t)∗g(t)

dt.

O que está é a definição de transformada de Laplace aplicada na convolução, ou seja,∫ ∞0

e−stf(t) ∗ g(t) = L {f(t) ∗ g(t)} .

�

54

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 4.3.1. Calcule L

{∫ t

0eτ sen(t− τ)dτ

}.

Resolução:

Note que ∫ t

0eτ sen(t− τ)dτ = et ∗ sen(t)

Portanto,

L

{∫ t


}= L

{et ∗ sen(t)

}= L

{et}

L {sen(t)}

Ou seja,

L

{∫ t


}=

1

s− 1

1

s2 + 1=

1

(s− 1)(s2 + 1).

4.4 Forma inversa da transformada de convolução

Corolário 4.1. Aplicando a transformada inversa de Laplace no resultado obtido noteorema (4.2), obtemos que

L {f(t) ∗ g(t)} = F (s)G(s)⇐⇒ L −1 {F (s)G(s)} = f(t) ∗ g(t)


1

s2(s− 1)

}.

Resolução:

L −1{

1

s21

s− 1

}= t ∗ et = et ∗ t =

∫ t

0eτ (t− τ)dτ

[(t− τ)eτ ]t0 + [eτ ]t0 = (0− t) + (et − 1) = −t+ et − 1.

55

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



1

(s2 + 1)2

}.

Resolução:

L −1{

1

(s2 + 1)

1

(s2 + 1)

}= sen(t) ∗ sen(t) =

∫ t

0sen(τ) sen(t− τ)dτ

Obs:• cos(A+B) = cos(A) cos(B)− sen(A) sen(B)• cos(A−B) = cos(A) cos(B) + sen(A) sen(B).

Logo

sen(A) sen(B) =cos(A−B)− cos(A+B)

2.

Fazendo A = τ e B = t− τ

sen(τ) sen(t− τ) = cos(τ + t+ τ)− cos(τ + t− τ)2

.

Integrando de 0 à t, temos∫ t

0sen(τ) sen(t− τ)dτ =

∫ t

0

cos(τ − t+ τ)− cos(τ + t− τ)2

dτ =

1

2

∫ t

0cos(2τ − t)dτ − 1

2

∫ t

0cos(t)dτ =

1

4[sen(2τ − t)]t0 −

1

2

∫ t

0cos(t)dτ =

1

4[sen(t)− sen(−t)︸︷︷︸

sen(t)

]− 1

2cos(t)[t− 0] =

1

4[2 sen(t)]− t

2cos(t) =

sen(t)− t cos(t)2

.

Logo,

L −1{

1

(s2 + 1)2

}=

sen(t)− t cos(t)2

.

56

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


4.5 Transformada de uma integral

Já sabemos que

L {f(t) ∗ g(t)} = F (s)G(s)

Além disso, sabemos também que

f(t) ∗ g(t) =∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ,

ou seja,

L

{∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ

}= F (s)G(s) (11)

Em particular, se g(t) = 1 i) = g(t− τ) = 1

ii) = G(s) = 1s

Substituindo em (11) obtemos

L

{∫ t

0f(τ)dτ

}=F (s)

s(12)

e consequentemente,

L −1{F (s)

s

}=

∫ t

0f(τ)dτ (13)

57

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



3

s(s2 + 32)

}.

Resolução:

Primeiramente vamos reescrever essa inversa da seguinte maneira:

L −1

{3

(s2+32)

s.

}Comparando com o lado esquerdo de (13)

F (s) =3

s2 + 32

logo,

f(t) = sen(3t).

Usando a identidade (13)

L −1{

3

s(s2 + 32)

}=

∫ t

0sen(3τ)dτ = −

[cos(3t)

3

]t0

=

−cos(3t)

3+

cos(3.0)

3=

1− cos(3t)

3.

Portanto,

L −1{

3

s(s2 + 32)

}=

1− cos(3t)

3.

58

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-



1

s3(s− 1)

}.

Resolução:

Primeiramente vamos reescrever essa inversa da seguinte maneira:

L −1

{1

s2(s−1)

s

}.

Comparando com o lado esquerdo de (13)

F (s) =1

s2(s− 1)=

1

s21

(s− 1)

f(t) = L −1{

1

s21

s− 1

}= t ∗ et =

∫ t

0eτ (t− τ)dτ = [(t− τ)eτ + eτ ]t0 .

Logo,

f(t) = −t+ et − 1.

Usando a identidade (13)

L −1

{1

s2(s−1)

s

}=

∫ t

0(−τ + eτ − 1)dτ =

[−τ

2

2+ eτ − τ

]t0

=

(− t

2

2+ et − t

)− (0 + 1− 0)

Isso é,

L −1{

1

s3(s− 1)

}= − t

2

2+ et − t− 1.

59

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


4.6 Transformada de uma função periódica

Teorema 4.3. Seja f(t) uma função periódica, de período T , que possui uma transfor-mada de Laplace. Então,

L {f(t)} = 1

1− e−sT

∫ T

0e−stf(t)dt

Prova:Pela definição

L {f(t)} =∫ ∞0

e−stf(t)dt =

∫ T

0

e−stf(t)dt+

∫ ∞T

e−stf(t)dt︸︷︷︸reescrever

(14)

Fazendo a mudança de variável δ = t − T , temos, consequentemente, que dδ = dt. Além disso, quandot = T então δ = 0, quando t→∞ temos que δ →∞ e também sabemos que t = δ + T .

Substituindo tudo na ntegral que queremos reescrever, vamos obter que∫ ∞T

e−stf(t)dt =

∫ ∞0

e−s(δ+T )f(δ + T )dδ = e−sT∫ ∞0

e−sδf(δ)dδ∫ ∞T

e−stf(t)dt = e−sT∫ ∞0

e−sδf(δ)dδ︸︷︷︸(?)

Em (?) temos que δ é uma variável muda. Vamos substitui-la por t.∫ ∞T

e−stf(t)dt = e−sT∫ ∞0

e−stf(t)dt

Note que a integral à esquerda é aquela que gostariamos de reescreve-la, o que acabamos de fazer. Então,substituindo em (14) ∫ ∞

0

e−stf(t)dt =

∫ T

0

e−stf(t)dt+

∫ ∞T

e−stf(t)dt∫ ∞0

e−stf(t)dt =

∫ T

0

e−stf(t)dt+ e−sT∫ ∞0

e−stf(t)dt

Agora observe existe uma integral em comum emambos os lados da igualdade∫ ∞0

e−stf(t)dt =

∫ T

0

e−stf(t)dt+ e−sT∫ ∞0

e−stf(t)dt

Colocando em evidência a integral em destaque (em vermelho) que é a tranformada de f(t), obtemos

(1− esT )∫ ∞0

e−stf(t)dt =

∫ T

0

e−stf(t)dt

L {f(t)} = 1

(1− e−sT )

∫ T

0

e−stf(t)dt

�

60

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 4.6.1. Considere a função f(t), cujo o gráfico é

Calcule L {f(t)}.

Resolução:

Vemos facilmente que f(t) é periódica, com periódo fundamental T = 2.

Pelo teorema (4.3)

L {f(t)} = 1

1− e−s2

∫ 2

0e−stf(t)dt

L {f(t)} = 1

1− e−2s

[∫ 1

0e−st1dt+

��

��∫ 2

1e−st0dt

]

L {f(t)} = 1

1− e−2s

[e−st

−s

]10

=1

1− e−2s

[e−s − 1

−s

]

L {f(t)} = 1

1− e−2s

[1− e−s

s

]=

1

(1− e−s)��(1− e−s)��

��(1− e−s)s

L {f(t)} = 1

s(1 + e−s).

61

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


Exemplo 4.6.2. Calcule L {| sen(t)|}.

Resolução:

Note que | sen(t)| é periódico de periódo T = π.

1 2 3 4 5 6 7 8 9t

1

f HtL

Logo, pelo teorema (4.3)

L {| sen(t)|} = 1

1− e−sπ

∫ π

0e−st sen(t)dt.

Fica como exercício ao leitor verificar que∫ π

0e−st sen(t)dt =

e−sπ + 1

s2 + 1.

Portanto,

L {| sen(t)|} = 1

1− e−sπ

(e−sπ + 1

s2 + 1

).

Uma maneira alternativa e mais “elegante” de apresentar a solução pode ser feita daseguinte maneira:

L {| sen(t)|} = −1s2 + 1

(e−sπ + 1

e−sπ − 1

)︸︷︷︸cosh(−sπ/2)

L {| sen(t)|} = −1s2 + 1

cosh(−sπ

2

).

Como cosh é uma função ímpar, então

L {| sen(t)|} = 1

s2 + 1cosh

(sπ2

).

62

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


4.7 Exercícios

◦ Exercício 13. Determine as seguintes transformadas de Laplace:

a) L {t cos(2t)}

b) L{t2 senh(t)

}c) L

{te2t sen(6t)

}d) L

{1 ∗ t3

}e) L

{e−t ∗ et cos(t)

}

◦ Exercício 14. Sem calcular as integrais, determine as seguintes tranformadas de La-place.

a) L

{∫ t

0eτdτ

}

b) L

{∫ t

0e−τ cos(τ)dτ

}

c) L

{∫ t

0τet−τdτ

}

d) L

{t

∫ t

0sen(τ)dτ

}

◦ Exercício 15. Determine as seguintes tranformadas inversas de Laplace.

a) L −1{

1

s(s− 1)

}

b) L −1{

1

s2(s− 1)

}

c) L −1{

1

s3(s− 1)

}

63

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


◦ Exercício 16. Obtenha a transformada de Laplace das seguintes funções periódicas.

a)

b)

c)

64

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-

IME

F-

FUR

G-


RESPOSTAS

Exercício 13

a)s2 − 4

(s2 + 4)2

b)6s2 + 2

(s2 − 1)3

c)12s− 24

((s− 2)2 + 36)2

d)6

s5

e)s− 1

(s+ 1)[(s− 1)2 + 1]

Exercício 14

a)1

s(s− 1)

b)s+ 1

s[(s+ 1)2 + 1]

c)1

s2(s− 1) d)3s2 + 1

s2(s+ 1)2

Exercício 15

a) et − 1 b) et − t− 1 c) et − 1

2t2 − t− 1

Exercício 16

a)1− e−s

s(1 + e−s)b)

1− (s+ 1)e−s

s2(1− e−2s)c)

coth(πs/2)

s2 + 1

65

transformada de laplace

Documents