transformacoes lorentz

7/25/2019 Transformacoes Lorentz

1/10

R e v i s t a B r a s i l e i r a d e E n s i n o d e F s i c a , v o l . 1 9 , n

o

.

3 , s e t e m b r o , 1 9 9 7 3 1 5

A D e d u c ~ a o d a s T r a n s f o r m a c ~ o e s d e L o r e n t z e m 1 9 0 5

V a l d i r M o n t e i r o d o s S a n t o s G o d o i

E s t r a d a d e S ~ a o F r a n c i s c o , 1 6 6 8 , a p t o . 1 4 , b l o c o 2

0 6 7 6 5 - 0 0 0 , T a b o ~ a o d a S e r r a , S P

a l u n o d e g r a d u a c ~ a o d o I F U S P

T r a b a l h o r e c e b i d o e m 1 5 d e a b r i l d e 1 9 9 4

E x p ~o e - s e c r i t i c a m e n t e a d e d u c ~a o d a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z f e i t a p o r E i n s t e i n e m 1 9 0 5 .

A s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z s ~a o d e d u z i d a s s e g u i n d o - s e u m m e t o d o p a r e c i d o c o m o d e

E i n s t e i n .

I . I n t r o d u c ~ a o

E I N S T E I N ( 1 9 0 5 ) , e m s e u a r t i g o s o b r e a e l e -

t r o d i n â m i c a d o s c o r p o s e m m o v i m e n t o , d e d u z i u d a

c i n e m a t i c a a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z u s a n d o o

p r i n c p i o d a c o n s t â n c i a d a v e l o c i d a d e d a l u z e a p l i c o u -

a s n a i n t e r p r e t a c ~a o d e a l g u n s f e n ô m e n o s ( e f e i t o D o p -

p l e r , a b e r r a c ~a o d a l u z , p r e s s ~a o d e r a d i a c ~a o ) , d a n d o o r i -

g e m a T e o r i a d a R e l a t i v i d a d e . A s s i m , f u n d a m e n t a n d o -

a s t e o r i c a m e n t e , f o r a m r e t i r a d a s d a m e r a a r t i c i a l i d a d e

e s t a s t r a n s f o r m a c ~o e s q u e 1 3 a n o s a n t e s L O R E N T Z

( 1 8 9 2 ) c o m e c o u a b u s c a r . L O R E N T Z ( 1 9 0 4 ) o b t e v e

a f o r m a n a l d a s s u a s t r a n s f o r m a c ~o e s n o a n o q u e a n -

t e c e d e u a o a r t i g o d e E i n s t e i n , e e x i s t i r a m c o n t r o v e r s i a s

s o b r e o f a t o d e E i n s t e i n c o n h e c e r o u n ~a o e s t a s t r a n s -

f o r m a c ~o e s e m 1 9 0 5 . E m V I L L A N I ( 1 9 8 1 ) c i t a - s e q u e

E . W h i t t a k e r e W . P a u l i a c r e d i t a v a m q u e o t r a b a l h o

d e E i n s t e i n e r a u m a c o n t i n u i d a d e d a s t e o r i a s d e L o -

r e n t z e P o i n c a r e s o b r e o e t e r e o e l e t r o n , e n q u a n t o

G . H o l t o n e G . B a t t i m e l l i d i s s e r a m q u e E i n s t e i n n ~a o c o -

n h e c i a o t r a b a l h o d e L o r e n t z d o a n o d e 1 9 0 4 , s e n d o

e s t a a o p i n i ~a o h o j e a c e i t a a p r i m e i r a d e l a s p o d e s e r

c o n s i d e r a d a \ a n t i - h i s t o r i c a " , o u s e j a , u m a v i o l ^ e n c i a a

h i s t o r i a . F o i V O I G T ( 1 8 8 7 ) , e n t r e t a n t o , 1 8 a n o s a n -

t e s d e E i n s t e i n , o p r i m e i r o a c o n s i d e r a r a v a r i a c ~a o d o

t e m p o e m t r a n s f o r m a c ~o e s d e c o o r d e n a d a s , a o e s t u d a r

o e f e i t o D o p p l e r .

I n d e p e n d e n t e m e n t e d o f a t o d e E i n s t e i n t e r t i d o o u

n ~a o c o n h e c i m e n t o p r e v i o d a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o -

r e n t z , o u d e q u e s o u b e s s e n a e p o c a d a e x i s t ^ e n c i a d e

t r a n s f o r m a c ~o e s l i n e a r e s n a s q u a i s o t e m p o n ~a o e r a o

m e s m o e m o u t r o s i s t e m a i n e r c i a l d e c o o r d e n a d a s , o q u e

s e p r e t e n d e m o s t r a r a q u i e q u e a d e d u c ~a o f e i t a p o r e l e

e m 1 9 0 5 d a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z n ~a o f o i u m a b o a

d e d u c ~a o , p o r q u e i n t r o d u z i u d e s n e c e s s a r i a m e n t e u m a

e q u a c ~a o d i f e r e n c i a l p a r c i a l , d e r i v a n d o e m r e l a c ~a o a v a -

l o r e s c o n s i d e r a d o s i n n i t a m e n t e p e q u e n o s , c o m e t e u u m

e r r o d e m u d a n c a d e v a r i a v e i s n a s u a \ t e o r i a d e t r a n s -

f o r m a c ~a o d a s c o o r d e n a d a s e d o t e m p o n a p a s s a g e m d e

u m s i s t e m a e m r e p o u s o p a r a o u t r o q u e e s t a a n i m a d o e m

r e l a c ~a o a o p r i m e i r o d e u m a t r a n s l a c ~a o u n i f o r m e " ( x 3 d o

o r i g i n a l a l e m ~a o , p a g i n a 9 0 0 ) e d e u u m a d e n i c ~a o i n a -

d e q u a d a p a r a s i n c r o n i s m o d e r e l o g i o s . N ~a o f o s s e i s s o ,

o t r a t a m e n t o q u e d e u a d e p e n d ^ e n c i a e n t r e p o s i c ~a o e

t e m p o t a m b e m f o i i n a d e q u a d o , o q u e t e n t a r a s e m o s -

t r a r n a s e c ~a o I V , e m b o r a p o s s a s e r e s t e u m a s s u n t o s e m

n o v i d a d e s e e x a u s t i v a m e n t e d i s c u t i d o .

N a s e c ~a o I I s e r a m o s t r a d o q u e a s o l u c ~a o l i n e a r d a

p r i m e i r a e q u a c ~a o d a t e o r i a d e E i n s t e i n , u m a e q u a c ~a o

f u n c i o n a l p a r a o t e m p o r e l a t i v s t i c o , p o d e r i a s e r e n c o n -

t r a d a d e m a n e i r a m a i s s i m p l e s e r i g o r o s a q u e a u t i l i z a d a

p o r e l e , a d e r i v a c ~a o d e u m a e q u a c ~a o d i f e r e n c i a l p a r c i a l

l i n e a r e d e p r i m e i r a o r d e m e q u i v a l e n t e a e q u a c ~a o f u n -

c i o n a l p a r a c o m p r i m e n t o s i n n i t a m e n t e p e q u e n o s .

N a s e c ~a o I I I s e r a m o s t r a d o c o m o E i n s t e i n c h e g o u

a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z a p a r t i r d a s o l u c ~a o e n c o n -

t r a d a p a r a o t e m p o r e l a t i v s t i c o e n a s e c ~a o I V s e r a m o s -

t r a d o q u e d e v e s e r c o n s i d e r a d o c o m o u m p o s t u l a d o q u e

e s t a s t r a n s f o r m a c ~o e s v a l h a m p a r a t e m p o s e p o s i c ~o e s i n -

d e p e n d e n t e s e n t r e s i , c o n f o r m e a d e d u c ~a o a n a l i s a d a .

A s e c ~a o V p r o v a r a q u e E i n s t e i n r e a l m e n t e c o m e -

t e u u m e r r o e m s e u a r t i g o s o b r e a e l e t r o d i n â m i c a d o s

c o r p o s e m m o v i m e n t o e n a s e c ~a o V I s e r ~a o d e d u z i d a s

a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z a t r a v e s d e u m r a c i o c n i o

p a r e c i d o c o m o d e E i n s t e i n , m a s s e m u t i l i z a r m u d a n c a


2/10


3/10


o

.

3 , s e t e m b r o , 1 9 9 7 3 1 7

= a t ; v x

0

= ( V

2

; v

2

) ] ( 5 )

o n d e a e r a u m a f u n c ~a o d e s c o n h e c i d a d a v e l o c i d a d e v d o

s i s t e m a e m m o v i m e n t o , e s u p ô s q u e n o p o n t o o r i g e m d e

k ( o n d e x

0

= 0 ) e t = 0 p a r a = 0 :

E m b o r a ( 5 ) s e j a , d e f a t o , s o l u c ~a o d e ( 3 ) e d e ( 2 ) , a

r e s t r i c ~a o d e s e r x

0

i n n i t a m e n t e p e q u e n o n ~a o p o d e s e r

a c e i t a , j a q u e s e a d m i t e o u s o d e s s a t e o r i a p a r a q u a i s -

q u e r d i s t â n c i a s . P o r o u t r o l a d o , a r e s t r i c ~a o d e s e r x

0

i n n i t a m e n t e p e q u e n o r e t i r o u d e s t e a r g u m e n t o o s t a t u s

d e v a r i a v e l , q u e p o d e a s s u m i r q u a l q u e r v a l o r , p r o i b i n d o

d e r i v a c ~o e s e m r e l a c ~a o a x

0

. I s s o i n v a l i d a r i a t o d o o r a -

c i o c n i o d e E i n s t e i n s o b r e a e l e t r o d i n â m i c a d o s c o r p o s

e m m o v i m e n t o , n ~a o f o s s e s e u o b j e t i v o d e e n c o n t r a r u m a

s o l u c ~a o l i n e a r p a r a o s i s t e m a d e e q u a c ~o e s .

A s o l u c ~a o ( 5 ) p o d e s e r e n c o n t r a d a d i r e t a m e n t e a

p a r t i r d e ( 2 ) , e e m c o n f o r m i d a d e c o m a s e q u a c ~o e s ( 4 ) ,

i m p o n d o - s e q u e s e j a d a f o r m a = A t + B x

0

+ C o n d e

A B e C s ~a o c o n s t a n t e s d o m o v i m e n t o , o u s e j a , u m a

f u n c ~a o l i n e a r , e a s s i m a r e s t r i c ~a o d e s e r x

0

i n n i t a m e n t e

p e q u e n o p o d e s e r d e s p r e z a d a , b e m c o m o a e q u a c ~a o ( 3 ) ,

e ( 5 ) p a s s a a s e r v a l i d a p a r a q u a l q u e r v a l o r d e x

0

( e x c e t o

s e r a z ~o e s d e o r d e m f s i c a i m p e d i s s e m t a l l i b e r d a d e , m a s

n e m o a r t i g o d e E i n s t e i n , n e m a c i ^ e n c i a a t u a l , a p o n t a m

t a i s r a z ~ o e s ) . B a s t a a p l i c a r a c i t a d a f o r m a d e e m ( 2 )

p a r a o b t e r m o s B = ; A v = ( V

2

; v

2

) e A p a s s a a s e r

a n o s s a c o n s t a n t e a d e t e r m i n a r . C o m o s e s u p ô s q u e

( x

0

= 0 t = 0 ) = 0 e n t ~a o C = 0 .

M e s m o l e v a n d o - s e e m c o n s i d e r a c ~a o q u e E i n s t e i n

d i s s e q u e a e q u a c ~a o ( 3 ) d e v e s e r v a l i d a p a r a t o d o s o s

v a l o r e s d e x

0

y z a e x p l i c a c ~a o d a d a p o r e l e n ~a o a s s e -

g u r a a v a l i d a d e d a p a s s a g e m d o i n n i t a m e n t e p e q u e n o

p a r a o i n t e r v a l o d o s n u m e r o s r e a i s . F o i d i t o a p e n a s

q u e e m v e z d a o r i g e m d a s c o o r d e n a d a s ( d o s i s t e m a k )

p o d e r i a - s e t e r t o m a d o q u a l q u e r o u t r o p o n t o p a r a p o n t o

d e p a r t i d a d a l u z , o u s e j a , s e t i v e s s e m o s

0

= ( x

0

0

y

0

0

z

0

0

t )

1

= ( x

0

0

+ x

0

y

0

0

z

0

0

t + x

0

= ( V ; v ) )

2

= t ( x

0

0

y

0

0

z

0

0

f t + x

0

= ( V ; v ) + x

0

= ( V + v ) g )

a e q u a c ~a o ( 3 ) o b t i d a a p a r t i r d e ( 1 ) i n d e p e n d e r i a d o v a -

l o r d e ( x

0

0

y

0

0

z

0

0

) , o p o n t o d e p a r t i d a d o r a i o d e l u z , o

q u e p o d e s e r p r o v a d o f a c i l m e n t e , m a s a i n d a l e v a n d o - s e

e m c o n s i d e r a c ~a o q u e x

0

e p e q u e n o .

A i n u t i l i d a d e d a e q u a c ~a o ( 3 ) p r o v a v e l m e n t e f o i p e r -

c e b i d a p o r S H A M O S ( 1 9 8 7 ) p o i s e l e , a o f a z e r u m a

t r a d u c ~a o c o m e n t a d a d o s p r i m e i r o s p a r a g r a f o s d o \ Z u r

E l e k t r o d y n a m i k B e w e g t e r K o p e r " ( E I N S T E I N , 1 9 0 5 ) ,

n ~a o m e n c i o n o u e s t a e q u a c ~a o e m s u a t r a d u c ~a o .

N o t a - s e e m ( 2 ) q u e a p a r t c u l a d e l u z , n u m a s i t u a c ~a o

i d e a l i z a d a , t e m u m a a c e l e r a c ~a o d e m a g n i t u d e i n n i t a

e m

1

, a l t e r a n d o s u a v e l o c i d a d e d e V p a r a ; V n u m

i n t e r v a l o d e t e m p o ! 0 , m e s m o n a a u s ^ e n c i a d e

s u b s t â n c i a s p e r f e i t a m e n t e r e e t o r a s , e n ~a o s o f r e i n t e r -

f e r ^ e n c i a c o m o u t r a s p a r t c u l a s d e l u z . O v a l o r x

0

u s a d o

e m

2

n ~a o c o r r e s p o n d e a o a r g u m e n t o x

0

d e

2

, q u e e

i g u a l a z e r o , m a s c o r r e s p o n d e a o a r g u m e n t o x

0

d e

1

, e

a s s i m s e r i a p o s s v e l s u p ô r q u e ( 5 ) n ~a o e s o l u c ~a o d e ( 2 ) .

I I I . A s t r a n s f o r m a c ~ o e s d e L o r e n t z

U t i l i z a n d o ( 5 ) e d e c o n s i d e r a c ~o e s a d i c i o n a i s E i n s -

t e i n d e d u z i u s u a s l e i s d e t r a n s f o r m a c ~o e s . S e g u i n d o s e u

p e n s a m e n t o , p a r a u m r a i o d e l u z e m i t i d o n o i n s t a n t e

= 0 n o s e n t i d o d e c r e s c e n t e , t e m - s e

= V = a V t ; v x

0

= ( V

2

; v

2

) ] ( 6 )

d e a c o r d o c o m o p r i n c p i o d a c o n s t â n c i a d a v e l o c i d a d e

d a l u z e m c o m b i n a c ~a o c o m o p r i n c p i o d a r e l a t i v i d a d e ,

d e n i d o s p o r e l e ( c o n f o r m e d e n i c ~o e s a t u a i s , b a s t a r i a

a p e n a s o p r i n c p i o d a c o n s t â n c i a d a v e l o c i d a d e d a l u z

p a r a j u s t i c a r o u s o d e ( 6 ) e m 1 9 0 5 e s s e p r i n c p i o d i -

z i a r e s p e i t o s o m e n t e a c o n s t â n c i a d a v e l o c i d a d e d a l u z

m e d i d a n o s i s t e m a \ e m r e p o u s o " ) .

C o m o o r a i o d e l u z e m r e l a c ~a o a o p o n t o o r i g e m d e

k s e m o v e c o m a v e l o c i d a d e V ; v , m e d i d a n o s i s t e m a

e m r e p o u s o , t e m - s e

x

0

= ( V ; v ) = t : ( 7 )

N o t a - s e q u e a q u i x

0

e t m a n t e m u m a d e p e n d ^ e n c i a l i n e a r

( j a q u e e t a m b e m m a n t e m ) , c o m t ( x

0

= 0 ) = 0 , c o n -

t r a r i a n d o o s s i g n i c a d o s o r i g i n a i s d e x

0

e t , c o m p a t v e i s

c o m a e q u a c ~a o f u n c i o n a l ( 2 ) .

I n t r o d u z i n d o e s t e v a l o r d e t n a e q u a c ~a o ( 6 ) p a r a

v e m

= a V

2

x

0

= ( V

2

; v

2

) : ( 8 )

D e m o d o a n a l o g o , c o n s i d e r a n d o r a i o s d e l u z q u e s e

m o v a m a o l o n g o d o s o u t r o s d o i s e i x o s , e n c o n t r a - s e


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3 1 8 V . M . d o s S a n t o s G o d o i

= V = a V t ; v x

0

= ( V

2

; v

2

) ]

s e n d o

y = ( V

2

; v

2

)

1 = 2

= t x

0

= 0

e p o r i s s o ,

= a V y = ( V

2

; v

2

)

1 = 2

= a V z = ( V

2

; v

2

)

1 = 2

:

A q u i y e t e z e t t a m b e m s ~a o d e p e n d e n t e s , c o m

y = t = z = t V :

S u b s t i t u i n d o , e m ( 5 ) e ( 8 ) , x

0

p e l o s e u v a l o r c o m o

f u n c ~a o d e x ,

x

0

= x ; v t

o b t e m - s e e q u a c ~o e s d e t r a n s f o r m a c ~a o p a r a e . E x -

p r e s s a n d o , , e e m t e r m o s d e = 1 = 1 ; v

2

= V

2

]

1 = 2

c h e g a - s e a

= ' ( v ) ( t ; v x = V

2

) ( 9 : 1 )

= ' ( v ) ( x ; v t ) ( 9 : 2 )

= ' ( v ) y ( 9 : 3 )

= ' ( v ) z ( 9 : 4 )

p a r a ' ( v ) = a . E i n s t e i n n o s l e m b r a q u e s e n ~a o s e

z e r q u a l q u e r s u p o s i c ~a o s o b r e a p o s i c ~a o i n i c i a l d o s i s -

t e m a m o v e l e s o b r e a o r i g e m a d o t a d a p a r a a m e d i c ~a o

d e t h a v e r a q u e s e e s c r e v e r n o s e g u n d o m e m b r o d e c a d a

u m a d e s s a s e q u a c ~o e s u m a c o n s t a n t e a d i t i v a .

I n t r o d u z i n d o u m t e r c e i r o s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s ,

K

0

, q u e s e m o v e s o b r e o e i x o , s u p o r t e d o s , c o m v e -

l o c i d a d e ; v e m r e l a c ~a o a o r i g e m d e k e c u j o s e i x o s s ~a o

c o i n c i d e n t e s a o s d e K e k e m t = 0 e a p l i c a n d o d u a s

v e z e s a s e q u a c ~o e s d e t r a n s f o r m a c ~a o p a r a r e l a c i o n a r a s

g r a n d e z a s m e d i d a s e m K

0

, k e K o b t e m - s e d a s e q u a c ~o e s

( 9 )

t

0

= ' ( ; v ) f + v = V

2

g = ' ( v ) ' ( ; v ) t ( 1 0 : 1 )

x

0

= ' ( ; v ) f + v g = ' ( v ) ' ( ; v ) x ( 1 0 : 2 )

y

0

= ' ( ; v ) = ' ( v ) ' ( ; v ) y ( 1 0 : 3 )

z

0

= ' ( ; v ) = ' ( v ) ' ( ; v ) ( 1 0 : 4 )

o n d e t

0

x

0

y

0

z

0

s ~a o o t e m p o e a s c o o r d e n a d a s d e

p o s i c ~a o m e d i d a s e m K

0

.

V i s t o s e r e m i n d e p e n d e n t e s d o t e m p o a s t r a n s -

f o r m a c ~o e s e n t r e K

0

e K e s t ~ a o e s t e s s i s t e m a s e m r e p o u s o

u m e m r e l a c ~a o a o o u t r o , e s ~a o i d ^ e n t i c o s , d o n d e

' ( v ) ' ( ; v ) = 1

e c h e g a - s e a

' ( v ) = ' ( ; v )

d a e v i d ^ e n c i a d e q u e n ~a o d e p e n d e d o s e n t i d o d o m o v i -

m e n t o s o b r e o e i x o d o s x o c o m p r i m e n t o d e u m a h a s t e

m e d i d o n o s i s t e m a e m r e p o u s o , q u a n d o d i s p o s t a p a r a -

l e l a m e n t e a o e i x o d o s y , e e n t ~a o s e c o n c l u i q u e d e v e

s e r

' ( v ) = 1

i . e . , a = 1 = . O c a s o ' ( v ) = ; 1 e e x c l u d o , e a s s i m y e

e z e t ^ e m o m e s m o s i n a l .

A s t r a n s f o r m a c ~o e s ( 9 ) c a m , n a l m e n t e ,

= ( t ; v x = V

2

) ( 1 1 : 1 )

= ( x ; v t ) ( 1 1 : 2 )

= y ( 1 1 : 3 )

= z ( 1 1 : 4 )

q u e s ~a o a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z , a n o t a d a s n a

p a g i n a 9 0 2 d o A n n a l e n d e r P h y s i k .

S e f o s s e u t i l i z a d o ' ( v ) = a , s e g u i n d o - s e o q u e p a r e c e

s u g e r i d o n a p a g i n a 8 9 9 d o a r t i g o a l e m ~a o ( \ w o b e i a e i n e

v o r l a u g u n b e k a n n t e F u n k t i o n ' ( v ) " ) , e n c o n t r a r i a - s e

' ( v ) = 1 = , e x c l u i n d o - s e n o v a m e n t e a s o l u c ~a o n e g a t i v a ,

e s e r i a m a s m e s m a s a s t r a n s f o r m a c ~o e s a s s i m o b t i d a s .

O s s e g u n d o s m e m b r o s d a s s e g u n d a s i g u a l d a d e s d e c a d a

u m a d a s e q u a c ~o e s ( 1 0 ) f o r a m o b t i d o s i n t r o d u z i n d o - s e

o s v a l o r e s d a d o s e m ( 9 ) n o s r e s p e c t i v o s p r i m e i r o s m e m -

b r o s d e s t a s i g u a l d a d e s .

N o t a - s e q u e e m b o r a t e n h a - s e s u p o s t o a p e n a s q u e o s

e i x o s X d o s d o i s s i s t e m a s e r a m c o i n c i d e n t e s e q u e o s e i -

x o s Y e Z e r a m r e s p e c t i v a m e n t e p a r a l e l o s , p e r m i t i n d o -

n o s c o n c l u i r q u e i n i c i a l m e n t e a s o r i g e n s d o s d o i s s i s -

t e m a s p o d e r i a m e s t a r d i s t a n c i a d a s a r b i t r a r i a m e n t e , o s

c a l c u l o s u s a d o s o b r i g a m q u e t o d o s o s e i x o s s e j a m r e s -

p e c t i v a m e n t e c o i n c i d e n t e s e m t = 0 . S o m e n t e a s s i m

v a l e s e m p r e a r e l a c ~a o x

0

= x ; v t :


5/10


o

.

3 , s e t e m b r o , 1 9 9 7 3 1 9

I V . A d e p e n d ^ e n c i a e n t r e p o s i c ~ a o e t e m p o

V i u - s e q u e n a e q u a c ~a o ( 6 ) p a r a = V f e z - s e

t = x

0

= ( V ; v ) e , a p o s e s t a s u b s t i t u i c ~a o , u s o u - s e

x

0

= x ; v t e n c o n t r a n d o - s e e n t ~a o a e q u a c ~a o ( 9 . 2 ) p a r a

, c o m ' ( v ) = a . S e t = x

0

= ( V ; v ) e n t ~a o a i g u a l d a d e

x

0

= x ; v t e v a l i d a a p e n a s p a r a x = V t , i . e . , a p e n a s

p a r a o s p o n t o s o n d e s e e n c o n t r a a p a r t c u l a d e l u z , i s t o

d e s d e q u e a p a r t c u l a n ~a o t e n h a s o f r i d o a r e e x ~a o u s a d a

n a e q u a c ~a o f u n c i o n a l ( 2 ) . A s s e g u r a - s e , a s s i m , q u e p a r a

= V t e n h a - s e s e m p r e x = V t , c o n f o r m e o p r i n c p i o

d a c o n s t ^a n c i a d a v e l o c i d a d e d a l u z .

D e a c o r d o c o m a d e d u c ~a o d e E i n s t e i n , d e v e s e r c o n -

s i d e r a d o c o m o u m p o s t u l a d o q u e a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e

L o r e n t z v a l h a m p a r a v a l o r e s d e x e t i n d e p e n d e n t e s

e n t r e s i , j a q u e d u r a n t e p a r t e d e s s a d e d u c ~a o u s a - s e a

d e p e n d ^ e n c i a e n t r e e e e n t r e x e t , a t r a v e s d a v e l o -

c i d a d e V d a l u z , m a s a s e g u i r t a l d e p e n d ^ e n c i a d e i x a d e

s e r u s a d a , s e m e s c l a r e c i m e n t o s a o l e i t o r . V e j a m o s q u a i s

s e r i a m a s e x p r e s s ~o e s p a r a e s e m a n t i v e s s e m o s e m

s u a d e m o n s t r a c ~a o e s t a d e p e n d ^ e n c i a .

F a z e n d o x

0

= x ; v t e m ( 5 ) , s e m c r i t i c a r a m a n e i r a

c o m o f o i o b t i d a , v e m

= a

2

( t ; v x = V

2

) : ( 1 2 )

P a r a = V e x = V t t e m - s e

= V = a

2

( V t ; v x = V ) = a

2

( x ; v t ) = a

2

x

0

( 1 3 )

c o n f o r m e a e q u a c ~a o ( 8 ) o b t i d a p o r E i n s t e i n , v a l i d a n d o -

s e a s s i m o u s o d a i g u a l d a d e x = V t . C o n t i n u a n d o ,

u s a n d o n o v a m e n t e o f a t o d e s e r x = V t , o u s e j a ,

d e s p r e z a n d o - s e o p o s t u l a d o q u e a g o r a t e r i a s i d o i n t r o -

d u z i d o i m p l i c i t a m e n t e d e q u e p o s i c ~a o e t e m p o s ~a o i n -

d e p e n d e n t e s , ( 1 2 ) e ( 1 3 ) c a m

= a V t = ( V + v ) ( 1 4 : 1 )

= V = a V

2

t = ( V + v ) : ( 1 4 : 2 )

O v a l o r d e a a ( v ) p o d e s e r o b t i d o a p a r t i r d a i n -

v e r s a d e ( 1 4 . 1 ) , e x i g i n d o - s e q u e t e s e j a m s i m e t r i c o s

e m r e l a c ~a o a v e l o c i d a d e v . A s s i m ,

t = ( V + v ) = V 1 = a ( v ) = a ( ; v ) V = ( V ; v )

d o n d e

a ( v ) a ( ; v ) = 1 ; v

2

= V

2

:

S e o s i s t e m a e m m o v i m e n t o e ( i n i c i a l m e n t e ) a

p a r t c u l a d e l u z s e m o v e m n o s e n t i d o d e c r e s c e n t e d o s x

d e v e - s e t e r

( ; v ; V t ) = ( v V t )

( ; v ; V t ) = ; ( v V t )

d o n d e

a ( v ) = a ( ; v )

e e n t ~a o

a ( v ) = ( 1 ; v

2

= V

2

)

1 = 2

= 1 = :

C o m o d e v e s e r > 0 e > 0 p a r a v > 0 e

V > 0 e n t ~a o a ( v ) = 1 = 0 , c o n f o r m e o v a l o r e n c o n -

t r a d o p a r a a n a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z , e a s s i m a s

e q u a c ~o e s ( 1 4 ) c a m

= ( V ; v ) = ( V + v ) ]

1 = 2

t ( 1 5 : 1 )

= ( V ; v ) = ( V + v ) ]

1 = 2

V t ( 1 5 : 2 )

s e n d o v = ; V a v e l o c i d a d e q u e t o r n a r a e i n n i t a -

m e n t e g r a n d e s ( i n d i c a n d o q u e a p o s a r e e x ~a o u s a d a

n a e q u a c ~a o f u n c i o n a l ( 2 ) a p a r t c u l a d e l u z j a m a i s

a l c a n c a r a n o v a m e n t e a o r i g e m d o s i s t e m a e m m o v i -

m e n t o ) . P a r a v = V t e m - s e = = 0 ( i n d i c a n d o

q u e a p a r t c u l a d e l u z p e r m a n e c e n a o r i g e m d o s i s t e m a

e m m o v i m e n t o , n ~a o h a v e n d o a r e e x ~a o m e n c i o n a d a ) e

p a r a v e l o c i d a d e s v p e q u e n a s e m v a l o r a b s o l u t o , c o m p a -

r a d a s c o m o v a l o r a b s o l u t o d a v e l o c i d a d e d a l u z , t e m - s e

=

t e

=

V t : N o c a s o g e r a l , p a r a V p o s i t i v o o u n e -

g a t i v o , s e v > 0 e n t ~a o < t , e s e v < 0 e n t ~a o > t . O s

v a l o r e s d e e s e r ~ a o r e a i s p a r a ; j V j v j V j :

C o m o e r a d e s e e s p e r a r , a s e q u a c ~o e s ( 1 5 ) p o d e m

s e r o b t i d a s d i r e t a m e n t e d a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z

( 1 1 . 1 ) e ( 1 1 . 2 ) f a z e n d o x = V t :

O u t r a a n a l i s e p o d e s e r f e i t a p a r a a s v a r i a v e i s y

e z . S e a l u z e e m i t i d a a o l o n g o d o e i x o Y m o v e l

( o n d e x

0

= 0 ) d e s d e a o r i g e m e n o s e n t i d o c r e s c e n t e

d e e n t ~a o a e q u a c ~a o h o r a r i a d o s e u m o v i m e n t o e

= V = a V y = ( V

2

; v

2

)

1 = 2

= a y , c o n f o r m e v i s t o

n a s e c ~a o I I I . U s o u - s e o f a t o d e q u e a l u z , o b s e r v a d a

d e q u a l q u e r p o n t o d o s i s t e m a e m r e p o u s o , t e m c o m -

p o n e n t e d e v e l o c i d a d e a o l o n g o d o e i x o Y x o i g u a l a

( V

2

; v

2

)

1 = 2

.


6/10


C o m o a = 1 = v a l o r o b t i d o , p o r e x e m p l o , n a s

t r a n s f o r m a c ~o e s ( 1 1 . 1 ) e ( 1 1 . 2 ) p a r a e , r e s p e c t i v a -

m e n t e , e n t ~a o = y , c o n f o r m e ( 1 1 . 3 ) . M a s d e v e - s e l e m -

b r a r q u e t a l d e d u c ~a o u s o u a r e s t r i c ~a o d e s e r x

0

= 0 ,

i . e . , x = v t , e p o r t a n t o e v a l i d a a p e n a s p a r a o s p o n -

t o s d o p l a n o q u e c o n t e m a o r i g e m d o s i s t e m a m o v e l

e e p a r a l e l o a o p l a n o y z . N a d a s e p o d e d i z e r s o b r e a

r e l a c ~a o e n t r e e y d a s c o o r d e n a d a s e s p a c o - t e m p o r a i s

( ) e ( x y z t ) s e x 6= v t a d e d u c ~a o a p r e s e n t a d a

l i m i t o u - s e a o e i x o Y m o v e l a p e n a s , e n ~a o a q u a l q u e r

e i x o p a r a l e l o a e l e . C r t i c a i d ^ e n t i c a p o d e s e r f e i t a p a r a

a d e p e n d ^ e n c i a e n t r e z , x e t . U m a d e m o n s t r a c ~a o m a i s

c o m p l e t a d a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z ( 1 1 . 3 ) e ( 1 1 . 4 )

e d a d a n a s e c ~a o V I .

V . O e r r o d e E i n s t e i n

P o r m e n o s r i g o r o s o q u e t e n h a s i d o o r a c i o c n i o d e

E i n s t e i n m o s t r a d o a t e a q u i , h a u m e r r o a i n d a n ~a o m o s -

t r a d o e q u e c o m p r o m e t e a s u a t e n t a t i v a d e d e d u z i r

t e o r i c a m e n t e a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z . P r i m e i r a -

m e n t e , e s t a c l a r o q u e o s a r g u m e n t o s d e , , e n a s

e q u a c ~o e s d e t r a n s f o r m a c ~a o ( 1 1 ) s ~a o x y z e t , p o i s e r a

i s s o q u e E i n s t e i n s e p r o p ^o s a r e s o l v e r , i . e . , e n c o n t r a r

u m s i s t e m a d e e q u a c ~o e s q u e l i g a m e n t r e s i a s p o s i c ~o e s

e i n s t a n t e s m e d i d o s p o r K , o s i s t e m a x o , n a s v a r i a v e i s

( x y z t ) , e k , o s i s t e m a m o v e l , n a s v a r i a v e i s ( ) .

Q u a n d o d a p a s s a g e m d e ( 5 ) p a r a ( 9 . 1 ) u s a n d o - s e

x

0

= x ; v t e ' ( v ) = a n ~a o s e t r a n s f o r m o u c o r r e -

t a m e n t e o s a r g u m e n t o s d a f u n c ~a o ( x

0

y z t ) , p o i s d o

l a d o e s q u e r d o d a i g u a l d a d e ( 5 ) s u b s t i t u i u - s e i m p l i c i t a -

m e n t e x

0

p o r x , m a s d o l a d o d i r e i t o u s o u - s e x

0

= x ; v t ,

o q u e e m a t e m a t i c a m e n t e r e p r o v a v e l . P a r a e s t a d e l i -

c a d a q u e s t ~a o s o b r e c o m p o s i c ~a o d e f u n c ~o e s p o d e - s e c o n -

s u l t a r , v . g . , O S T R O W S K I ( 1 9 8 1 , p . 2 2 8 ) .

S e ( x

0

y z t ) = a t ; v x

0

= ( V

2

; v

2

) ] , c o n f o r m e ( 5 )

e p a r a q u e s e j a s o l u c ~a o d e ( 2 ) , e n t ~a o , o b v i a m e n t e ,

( x y z t ) = a t ; v x = ( V

2

; v

2

) ] ( 1 6 )

s e n d o a u m a f u n c ~a o d a v e l o c i d a d e v d o s i s t e m a m o v e l ,

m a s n ~a o d a s c o o r d e n a d a s d e p o s i c ~a o o u d o t e m p o .

E n e c e s s a r i o , p a r a q u e a s o l u c ~a o n a l d a d a p o r E i n s -

t e i n p a r a a f u n c ~a o e s t e j a c o r r e t a , e n c o n t r a r u m o u t r o

v a l o r p a r a a q u e s o d e p e n d a d e v e t a l q u e

( x y z t ) = ( t ; v x = V

2

) ( 1 7 )

c o n f o r m e a t r a n s f o r m a c ~a o d e L o r e n t z ( 1 1 . 1 ) p a r a o

t e m p o .

I g u a l a n d o ( 1 6 ) e ( 1 7 ) o b t e m o s

a = 1 = ( V

2

t ; v x ) = ( V

2

t ; v x ; v

2

t )

o u s e j a , o v a l o r e n c o n t r a d o p a r a a n ~a o e u m a f u n c ~a o

i n d e p e n d e n t e d a s c o o r d e n a d a s d e p o s i c ~a o e d o t e m p o ,

c o n t r a r i a n d o o q u e e r a n e c e s s a r i o , e , p o r t a n t o , E i n s -

t e i n r e a l m e n t e c o m e t e u u m e r r o n a d e d u c ~a o d a s t r a n s -

f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z e m 1 9 0 5 .

V I . D e d u c ~ a o a l t e r n a t i v a d a s t r a n s f o r m a c ~ o e s d e

L o r e n t z

V a m o s a g o r a d e d u z i r a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z

s e m u s a r a v a r i a v e l x

0

. P o d e r a m o s c o n t i n u a r a d e m o n s -

t r a c ~a o d e E i n s t e i n d e m a n e i r a b e m r a p i d a d e n i n d o

u m a v a r i a v e l T = T ( x y z t ) t a l q u e T ( x y z t ) =

( x ; v t y z t ) , m a s , n u m a t e n t a t i v a d e a u x i l i a r n a

c o m p r e e n s ~a o d e s t a s t r a n s f o r m a c ~o e s , o p t o u - s e p o r u m a

n o v a d e m o n s t r a c ~a o .

I d e n t i q u e m o s a s e g u i n t e s u c e s s ~a o d e e v e n t o s :

1 ) n o p o n t o ( x

0

0 0 ) e n o i n s t a n t e t

0

e e m i t i d o u m

r a i o ( p a r t c u l a ) d e l u z a o l o n g o d o e i x o X , i n d o e m

d i r e c ~a o a u m p o n t o P . A o r i g e m d o s i s t e m a m o v e l e

c o i n c i d e n t e c o m o p o n t o d e e m i s s ~a o d a l u z n o i n s t a n t e

t

0

. O s i s t e m a m o v e l e o r a i o d e l u z t o m a m a d i r e c ~a o d o

e i x o X n o s e n t i d o c r e s c e n t e d o s x .

2 ) n o i n s t a n t e t

1

a l u z a t i n g e o p o n t o P n a p o s i c ~a o

x

1

, a p o s p e r c o r r e r u m a d i s t ^a n c i a t o t a l L , m u d a i n s -

t a n t a n e a m e n t e o s e n t i d o d e s e u m o v i m e n t o e v a i e m

d i r e c ~a o a o r i g e m d o s i s t e m a e m m o v i m e n t o . S u p o n h a -

m o s a e x i s t ^ e n c i a d e e s p e l h o s p e r f e i t a m e n t e r e e t o r e s

e m P .

3 ) a l u z a t i n g e a o r i g e m d o s i s t e m a e m m o v i m e n t o

n o i n s t a n t e t

2

e n a p o s i c ~a o x

2

. O s v a l o r e s p a r a t

0

, t

1

,

t

2

, L , x

0

, x

1

e x

2

f o r a m m e d i d o s e m r e l a c ~a o a o s i s t e m a

x o .

E f a c i l v e r q u e x

1

= x

0

+ L e t

1

= t

0

+ L = c : D o i n s -

t a n t e t

0

a t e o i n s t a n t e t

1

a o r i g e m d o s i s t e m a m o v e l s e

d e s l o c o u d e x

0

p a r a x

0

+ v L = c : R e s o l v e n d o u m s i m -

p l e s p r o b l e m a d e \ e n c o n t r o d e 2 m o v e i s " s e o b t e m

x

2

= x

0

+ 2 v L = ( c + v ) e t

2

= t

0

+ 2 L = ( c + v ) : A q u i

s e u s o u c p a r a i n d i c a r a v e l o c i d a d e d a l u z e v p a r a a

v e l o c i d a d e d o s i s t e m a m o v e l e m r e l a c ~a o a o s i s t e m a x o .


7/10


o

.

3 , s e t e m b r o , 1 9 9 7 3 2 1

S e ( x y z t ) m e d e o i n s t a n t e o b s e r v a d o n a o r i -

g e m d o s i s t e m a m o v e l e m q u e o c o r r e u u m d e t e r m i -

n a d o e v e n t o n a p o s i c ~a o ( x y z ) e i n s t a n t e t , m e d i d o s

p e l o s i s t e m a x o , e n t ~a o , d e a c o r d o c o m o p r i n c p i o d a

c o n s t â n c i a d a v e l o c i d a d e d a l u z ,

( x

1

0 0 t

1

) = 1 = 2 ( x

0

0 0 t

0

) + ( x

2

0 0 t

2

) ]

d o n d e , p a r a ( x 0 0 t ) = A t + B x + C s e n d o A , B e

C c o n s t a n t e s d o m o v i m e n t o , o b t e m - s e B = ; A v = c

2

e

( x 0 0 t ) = A ( t ; v x = c

2

) + C :

S u p o n d o q u e ( x = 0 t = 0 ) = 0 e n t ~a o C = 0 :

V a m o s a g o r a o b t e r a e x p r e s s ~a o g e r a l r e l a t i v s t i c a

p a r a a c o o r d e n a d a d a s a b s c i s s a s , .

C o m o o r a i o d e l u z p a r t e d a o r i g e m d o s i s t e m a e m

m o v i m e n t o n o i n s t a n t e t

0

e r e t o r n a a e s t e m e s m o p o n t o

n o i n s t a n t e t

2

e n t ~a o

( x

0

0 0 t

0

) = ( x

2

0 0 t

2

)

d o n d e , p a r a ( x 0 0 t ) = D t + E x + F s e n d o D , E e

F c o n s t a n t e s d o m o v i m e n t o , o b t e m - s e D = ; E v e

( x 0 0 t ) = E ( x ; v t ) + F :

S u p o n d o q u e ( x = 0 t = 0 ) = 0 e n t ~a o F = 0 :

V a m o s a g o r a d e t e r m i n a r a r e l a c ~a o e n t r e E e A .

P a r a o m o v i m e n t o d a l u z n o s e n t i d o c r e s c e n t e d o

e i x o X d e s d e x = 0 e a p a r t i r d o i n s t a n t e t = 0 d e v e -

m o s t e r = c t e x = c t . A s s i m ,

E t ( c ; v ) = c A ( t ; v t = c )

d o n d e E = A :

V a m o s a g o r a , n a l m e n t e , o b t e r o v a l o r d e A .

E m r e l a c ~a o a o s i s t e m a m o v e l e o s i s t e m a x o q u e s e

m o v e c o m v e l o c i d a d e ; v : S e n d o a s s i m ,

t ( 0 0 t ) = A ( + v = c

2

)

x ( 0 0 ) = A ( + v ) :

R e s o l v e n d o o s i s t e m a a c i m a , s a b e n d o - s e q u e

= A ( t ; v x = c

2

)

= A ( x ; v t )

e q u e p a r a x > v t d e v e m o s t e r > 0 , o b t e m o s

A = 1 = 1 ; v

2

= c

2

]

1 = 2

q u e e o v a l o r d e n a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z .

S e n o i n s t a n t e t

0

a o i n v e s d o p o n t o ( x

0

0 0 ) o r a i o

d e l u z p a r t e d e u m p o n t o g e n e r i c o ( x

0

y

0

z

0

) e s e g u e

s u a t r a j e t o r i a p a r a l e l a m e n t e a o e i x o X c h e g a - s e a s e x -

p r e s s ~o e s

( x y z t ) = ( t ; v x = c

2

)

( x y z t ) = ( x ; v t )

s u p o n d o - s e q u e t o d o e v e n t o n o p l a n o x = 0 o c o r r e n a

p o s i c ~a o = 0 e i n s t a n t e = 0 p a r a t = 0 :

O p r i n c p i o d a c o n s t â n c i a d a v e l o c i d a d e d a l u z e

s a t i s f e i t o , p o i s v e r i c a - s e

(

1

;

0

) = (

1

;

0

) = c

(

2

;

1

) = (

2

;

1

) = ; c

p a r a

i

= ( x

i

y z t

i

) e

i

= t ( x

i

y z t

i

) i = 0 1 2 :

T a l v e r i c a c ~a o t o r n a - s e i m p o r t a n t e p o i s e m n o s s a d e -

m o n s t r a c ~a o o r a i o d e l u z p a r t i u d o s i s t e m a x o .

P a r a o b t e r m o s o c o n j u n t o c o m p l e t o d a s t r a n s -

f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z p r e c i s a m o s a i n d a o b t e r a s e x -

p r e s s ~o e s p a r a a o r d e n a d a e a c o t a .

I d e n t i q u e m o s a s e g u i n t e s u c e s s ~a o d e e v e n t o s :

1 ) n o p o n t o ( x

0

y

0

z

0

) e i n s t a n t e t

0

e e m i t i d o u m

r a i o d e l u z p a r a l e l a m e n t e a o e i x o Y x o , n o s e n t i d o

c r e s c e n t e d e s s e e i x o .

2 ) n o i n s t a n t e t

1

, a p o s p e r c o r r e r u m a d i s t â n c i a t o t a l

h , a l u z m u d a i n s t a n t a n e a m e n t e o s e n t i d o d e s e u m o v i -

m e n t o , i n d o e m d i r e c ~a o a o p o n t o d e p a r t i d a . S u p o n h a -

m o s a e x i s t ^ e n c i a d e e s p e l h o s p e r f e i t a m e n t e r e e t o r e s n o

p o n t o d e i n v e r s ~a o d o s e n t i d o d o m o v i m e n t o .

3 ) a l u z c h e g a a o p o n t o ( x

0

y

0

z

0

) n o i n s t a n t e t

2

.

O s v a l o r e s p a r a t

0

, t

1

, t

2

, h , x

0

, y

0

e z

0

f o r a m m e -

d i d o s e m r e l a c ~a o a o s i s t e m a x o , e o s i s t e m a m o v e l ,

c o m o a n t e r i o r m e n t e , s e g u e a d i r e c ~a o d o e i x o X c o m

v e l o c i d a d e v e m r e l a c ~a o a o s i s t e m a x o .

F a c a m o s

0

= ( x

0

y

0

z

0

t

0

)

1

= ( x

0

y

0

+ h z

0

t

0

+ h = c )

2

= ( x

0

y

0

z

0

t

0

+ 2 h = c )


8/10


c o m ( x y z t ) = F t + G x + H y + I z + J , s e n d o F , G ,

H , I e J c o n s t a n t e s d o m o v i m e n t o .

0

e

2

s ~a o a s o r d e n a d a s d o s p o n t o s d e e m i s s ~a o e

d e c h e g a d a , r e s p e c t i v a m e n t e , d o r a i o ( p a r t c u l a ) d e l u z ,

e m r e l a c ~a o a o s i s t e m a m o v e l , e

1

a o r d e n a d a d o p o n t o ,

e m r e l a c ~a o a e s s e m e s m o s i s t e m a , e m q u e a l u z m u d a

i n s t a n t a n e a m e n t e o s e n t i d o d e s e u m o v i m e n t o .

C o m o @ = @ y = 0 c o n f o r m e ( 1 7 ) , e , c o n s e q u e n t e -

m e n t e , @ t = @ = 0 e n t ~a o @ = @ t = 0 , d o n d e F = 0 .

S a b e n d o - s e q u e @ = @ y = 0 e @ x = @ = 0 e n t ~a o

t a m b e m t e r e m o s @ y = @ = 0 e @ = @ x = 0 d o n d e G = 0 :

S u p o n d o - s e ( 0 0 0 0 ) = 0 e ( 0 0 z 0 ) = 0 o b t e m -

s e J = 0 e I = 0 :

R e s t a - n o s o b t e r o v a l o r d e H .

P a r a o o b s e r v a d o r n o c e n t r o d o s i s t e m a e m m o v i -

m e n t o o t r a j e t o d a l u z o b e d e c e a s e g u i n t e e q u a c ~a o ,

(

1

;

0

)

2

+ (

1

;

0

)

2

= c

2

(

1

;

0

)

2

( 1 8 )

o u , e q u i v a l e n t e m e n t e ,

(

2

;

1

)

2

+ (

2

;

1

)

2

= c

2

(

2

;

1

)

2

( 1 9 )

p a r a

0

= ( x

0

y

0

z

0

t

0

)

1

= ( x

0

y

0

+ h z

0

t

0

+ h = c )

2

= ( x

0

y

0

z

0

t

0

+ 2 h = c )

e

0

= ( x

0

y

0

z

0

t

0

)

1

= ( x

0

y

0

+ h z

0

t

0

+ h = c )

2

= ( x

0

y

0

z

0

t

0

+ 2 h = c ) :

R e s o l v e n d o u m a d a s d u a s e q u a c ~o e s a n t e r i o r e s , ( 1 8 )

o u ( 1 9 ) , o b t e m o s h

2

= H

2

h

2

d o n d e H = 1 . E s c o l h e -

s e H = + 1 p a r a q u e y e t e n h a m o m e s m o s i n a l .

F i n a l m e n t e ,

( x y z t ) = y :

R e p e t i n d o - s e o r a c i o c n i o a n t e r i o r p a r a a v a r i a v e l

o b t e m - s e

( x y z t ) = z

e a s s i m f o r a m o b t i d a s t o d a s a s e q u a c ~o e s d a s t r a n s -

f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z .

V I I . S i n c r o n i s m o d e r e l o g i o s

N o x 1 d o a r t i g o e m e s t u d o , o n d e s e d e n i u s i m u l -

t a n e i d a d e , d e n e - s e t e m p o e s i n c r o n i s m o . P a r e c e q u e

E i n s t e i n o p t a p e l a v i s ~a o e m d e t r i m e n t o d e t o d a s a s o u -

t r a s f o r m a s d e p e r c e p c ~a o , j a q u e a p e n a s a l u z e l e v a d a

e m c o n s i d e r a c ~a o e m s u a s d e n i c ~o e s . S a b e - s e , v . g . , q u e

a v e l o c i d a d e d o s o m t a m b e m e i n d e p e n d e n t e d a v e l o c i -

d a d e d a f o n t e , e n t r e t a n t o , n a d a e m e n c i o n a d o s o b r e a

a u d i c ~a o o u a v e l o c i d a d e d o s o m e m s e u a r t i g o .

P a r a d e s c r e v e r o m o v i m e n t o d e u m p o n t o m a t e r i a l

E i n s t e i n d i s s e q u e b a s t a d a r o v a l o r d a s s u a s c o o r d e n a -

d a s e m f u n c ~a o d o t e m p o , s e n d o t o d a s a s n o s s a s a p r e -

c i a c ~o e s e m q u e i n t e r v e m o t e m p o b a s e a d a s e m a c o n t e c i -

m e n t o s s i m u l t ^ a n e o s . Q u a n d o s e d i z , v . g . , \ a q u e l e c o m -

b o i o c h e g a a q u i a s 7 h o r a s " s i g n i c a - s e \ a i n d i c a c ~a o 7

d a d a p e l o p o n t e i r o p e q u e n o d o m e u r e l o g i o e a c h e g a d a

d o c o m b o i o s ~a o a c o n t e c i m e n t o s s i m u l t ^a n e o s " .

A s d i c u l d a d e s d a d e n i c ~a o d o t e m p o n o l u g a r o n d e

s e e n c o n t r a u m r e l o g i o p o d e m s e r e l i m i n a d a s s e e m

v e z d o t e m p o d i s s e s s e - s e \ p o s i c ~a o d o p o n t e i r o p e q u e n o

d o m e u r e l o g i o " ( E i n s t e i n , c e r t a m e n t e , n ~a o c o n h e c i a

o s m o d e r n o s r e l o g i o s a t u a i s , d i g i t a i s , c o m 3 p o n t e i -

r o s e c r o n ^o m e t r o ) . T a l d e n i c ~a o , n ~a o o b s t a n t e , n ~a o

b a s t a q u a n d o s e p r e t e n d e e s t a b e l e c e r u m a r e l a c ~a o t e m -

p o r a l e n t r e s e r i e s d e a c o n t e c i m e n t o s q u e s e d e s e n r o l a m

e m l u g a r e s d i v e r s o s , i . e . , q u a n d o s e t r a t a d e l o c a l i z a r

n o t e m p o a c o n t e c i m e n t o s q u e s e p r o d u z e m l o n g e d o

r e l o g i o .

U m a o r d e n a c ~a o t e m p o r a l d o s a c o n t e c i m e n t o s , f e i t a

p o r m e i o d e u m o b s e r v a d o r c o l o c a d o n a o r i g e m d a s c o -

o r d e n a d a s , m u n i d o d e u m r e l o g i o e q u e r e c e b e r i a o s

s i n a i s l u m i n o s o s e n v i a d o s a t r a v e s d o e s p a c o v a z i o p o r

c a d a u m d e s s e s a c o n t e c i m e n t o s , o r d e n a n d o - o s s e g u n d o

a s i n d i c a c ~o e s d a d a s p e l o r e l o g i o a c h e g a d a d o s r e s p e c t i -

v o s s i n a i s , t e m a d e s v a n t a g e m d e n ~a o s e r i n d e p e n d e n t e

d a l o c a l i z a c ~a o d o o b s e r v a d o r . P e r c e b e - s e a q u i q u e n ~a o

s e p r e t e n d i a d a r a o t e m p o u m a d e n i c ~a o q u e d e p e n -

d e s s e d e p o s i c ~o e s , e n t r e t a n t o , a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o -

r e n t z m o s t r a m j u s t a m e n t e o c o n t r a r i o .

U m p r o c e s s o d e d e t e r m i n a c ~a o d o t e m p o m a i s

p r a t i c o , s e g u n d o E i n s t e i n , p o d e s e r o s e g u i n t e : s e n u m

p o n t o A d o e s p a c o e s t i v e r s i t u a d o u m r e l o g i o t o r n a -

s e p o s s v e l p a r a u m o b s e r v a d o r a l o c a l i z a d o d e t e r m i n a r


9/10


o

.

3 , s e t e m b r o , 1 9 9 7 3 2 3

t e m p o r a l m e n t e o s a c o n t e c i m e n t o s d a v i z i n h a n c a i m e -

d i a t a d e A r e c o r r e n d o a s p o s i c ~o e s d o p o n t e i r o d e s s e

r e l o g i o q u e s e j a m s i m u l t â n e o s a t a i s a c o n t e c i m e n t o s .

A s s i m e d e t e r m i n a d o u m \ t e m p o A " , o u , c o m o u s a d o

a q u i , i n s t a n t e

A

:

F a c a m o s a g o r a c o m q u e d o i s o b s e r v a d o r e s d i s t i n t o s ,

A e B , m u n i d o s d e r e l o g i o s d e i d ^ e n t i c o e b o m f u n c i o n a -

m e n t o e s t e j a m e m r e p o u s o u m e m r e l a c ~a o a o o u t r o . S e

u m r a i o d e l u z p a r t e d e A n o i n s t a n t e

A

, m e d i d o p e l o

r e l o g i o d e A , c h e g a e m B n o i n s t a n t e

B

, m e d i d o p e l o

r e l o g i o d e B , r e e t e - s e n e s t e i n s t a n t e i n d o e m d i r e c ~a o a

A e c h e g a a A n o i n s t a n t e

0

A

m e d i d o p e l o r e l o g i o d e A ,

e n t ~a o o s r e l o g i o s d e A e B e s t a r ~a o s n c r o n o s , s e g u n d o

E i n s t e i n , s e

(

A

+

0

A

) = 2 =

B

: ( 2 0 )

I s t o e b a s t a n t e c l a r o s e A e B e s t ~ a o x o s e m r e l a c ~a o

a T e r r a , c o n s i d e r a d a e m r e p o u s o , p o i s o t e m p o q u e a

l u z l e v a p a r a i r d e A a t e B e o m e s m o q u e a l u z l e v a

p a r a i r d e B a t e A . N e s t e c a s o , e o b v i o q u e o s r e l o g i o s

d e A e B d e v e m m a r c a r o m e s m o h o r a r i o , e m q u a l q u e r

i n s t a n t e .

P a s s a m o s , a s s i m , a t e r u m \ t e m p o " c o m u m a A e

B . \ T e m p o " d e u m a c o n t e c i m e n t o ( m e d i d o n u m s i s -

t e m a c o n s i d e r a d o e m r e p o u s o ) s e r a e n t ~a o a i n d i c a c ~a o

s i m u l t â n e a d e s s e a c o n t e c i m e n t o q u e e f o r n e c i d a p o r u m

r e l o g i o q u e s a t i s f a z a s s e g u i n t e s c o n d i c ~o e s : e s t a c o l o -

c a d o e m r e p o u s o , n o l o c a l d o a c o n t e c i m e n t o e s n c r o n o

d e u m o u t r o r e l o g i o e m r e p o u s o , m a n t e n d o - s e e s s e s i n -

c r o n i s m o e m t o d a s a s d e t e r m i n a c ~o e s d o t e m p o .

I n t r o d u z a m o s a s e g u i r n o s s o s o b s e r v a d o r e s A e B -

x o s u m e m r e l a c ~a o a o o u t r o , m a s m o v e n d o - s e c o m v e l o -

c i d a d e c o n s t a n t e v e m r e l a c ~a o a T e r r a , c o n s i d e r a d a x a

e s u c i e n t e m e n t e p l a n a n a r e g i ~a o d o m o v i m e n t o . C a d a

u m p o s s u i u m r e l o g i o ( o u c r o n ô m e t r o ) e s e u s r e l o g i o s

p o s s u e m i d ^ e n t i c o e b o m f u n c i o n a m e n t o . S u p o n h a m o s

q u e n o s s o s o b s e r v a d o r e s e r e l o g i o s s e j a m p u n t u a i s , p a r a

q u e o m o v i m e n t o d o s b r a c o s e c o r p o s d e A e B n ~a o i n -

t e r r a n o f u n c i o n a m e n t o d o s r e l o g i o s , n e m p e r c a - s e a

c o n d i c ~a o d e i m o b i l i d a d e r e l a t i v a .

E m r e l a c ~a o a T e r r a a e q u a c ~a o h o r a r i a d e A e x =

x

A

+ v t e a e q u a c ~a o h o r a r i a d e B e x = x

B

+ v t , c o m

x

B

> x

A

. x

A

e x

B

s ~a o a p o s i c ~a o i n i c i a l d e A e B ,

r e s p e c t i v a m e n t e , q u a n d o t = 0 :

A p l i c a n d o e s t a s e q u a c ~o e s n a t r a n s f o r m a c ~a o d e L o -

r e n t z ( 1 1 . 1 ) o b t e m o s

A

= t = ; v x

A

= c

2

( 2 1 : 1 )

B

= t = ; v x

B

= c

2

: ( 2 1 : 2 )

A

i n d i c a o t e m p o ( o u i n s t a n t e ) m a r c a d o n o r e l o g i o d e

A e

B

o t e m p o ( o u i n s t a n t e ) m a r c a d o n o r e l o g i o d e B .

N o t a - s e c l a r a m e n t e q u e o s r e l o g i o s d e A e B n ~a o s ~a o

s n c r o n o s . A m b o s m a n t e m a m e s m a \ m a r c h a " , d a d a

p o r t = , m a n t e m s e m p r e a m e s m a d i s t â n c i a u m d o o u -

t r o ( i g u a l a ( x

B

; x

A

) ( c o n t r a c ~a o d o e s p a c o ) ) , m a s

A

>

B

p a r a q u a l q u e r v a l o r d e t , i n c l u s i v e p a r a t = 0 ,

p o i s x

B

> x

A

. O u s e j a , o r e l o g i o d e A e s t a a d i a n t a d o

e m r e l a c ~a o a o d e B , t a l q u e

A

;

B

= v ( x

B

; x

A

) = c

2

>

0 , e , c o n f o r m e a T e o r i a d a R e l a t i v i d a d e R e s t r i t a , a m -

b o s o s r e l o g i o s t ^ e m u m a m a r c h a m a i s l e n t a q u e a d e

u m r e l o g i o x o n a T e r r a ( d i l a t a c ~a o d o t e m p o ) .

V a m o s v e r i c a r a g o r a q u e , s e g u n d o a d e n i c ~a o d e

E i n s t e i n , A e B t ^ e m r e l o g i o s s n c r o n o s . F a c a m o s u m

r a i o d e l u z p a r t i r n o i n s t a n t e t = 0 d e A , n a p o s i c ~a o

x = x

A

, e i r e m d i r e c ~a o a B . E n t ~a o , s e g u i n d o a n o t a c ~a o

d a d a e m ( 2 0 ) , a e x p r e s s ~a o ( 2 1 . 1 ) c a

A

= ; v x

A

= c

2

( 2 2 )

( s u p o n h a m o s q u e r e l o g i o s e c r o n ô m e t r o s p o d e m m a r c a r

t e m p o s n e g a t i v o s ) . C o n f o r m e v i s t o , o r e l o g i o d e B n ~a o

m a r c a r a p a r a o e v e n t o \ i n c i o d o m o v i m e n t o " o m e s m o

h o r a r i o q u e o d e A , e m b o r a a m b o s t e n h a m c o m e c a d o a

s e m o v e r a o m e s m o t e m p o .

P r e c i s a m o s a g o r a c a l c u l a r a p o s i c ~a o i n i c i a l d e B

p a r a o b t e r o v a l o r d e

B

. S e x

B

e a p o s i c ~a o i n i c i a l d e

B e n t ~a o x

B

+ v t = x

A

+ c t , o u s e j a , x

B

= x

A

+ ( c ; v ) t

s e n d o t o t e m p o q u e a l u z l e v o u p a r a i r d e A a t e B .

S e , e m r e l a c ~a o a T e r r a x a , a d i s t â n c i a d e A a t e B e

L e n t ~a o t = L = c , d o n d e x

B

= x

A

+ ( c ; v ) L = c . S e n d o

a s s i m , s e g u i n d o a n o t a c ~a o d a d a e m ( 2 0 ) , a e x p r e s s ~a o

( 2 1 . 2 ) c a

B

= L = ( c ) ; v x

A

+ ( c ; v ) L = c ] = c

2

: ( 2 3 )

R e s t a - n o s c a l c u l a r o v a l o r d e

0

A

: Q u a n d o a l u z a t i n -

g i u B o o b s e r v a d o r A e s t a v a n a p o s i c ~a o x

A

+ v L = c e B

e s t a v a n a p o s i c ~a o x

A

+ L , a m b a s m e d i d a s e m r e l a c ~a o

a T e r r a x a . R e s o l v e n d o u m s i m p l e s p r o b l e m a d e \ e n -

c o n t r o d e 2 m o v e i s " o b t e m o s p a r a o i n s t a n t e d e e n c o n -

t r o d a l u z e d o o b s e r v a d o r A o v a l o r t = 2 L = ( c + v ) :


10/10


S e g u i n d o a n o t a c ~a o d a d a e m ( 2 0 ) , a e x p r e s s ~a o ( 2 1 . 1 )

c a

0

A

= 2 L = ( c + v ) ] ; v x

A

= c

2

: ( 2 4 )

U s a n d o ( 2 2 ) , ( 2 3 ) e ( 2 4 ) e m ( 2 0 ) v e r i c a - s e q u e a

r e l a c ~a o e s a t i s f e i t a , o u s e j a , r e l o g i o s n o t a d a m e n t e n ~a o

s n c r o n o s ( q u e n ~a o m a r c a m o m e s m o h o r a r i o a q u a l -

q u e r i n s t a n t e ) p o d e m o b e d e c e r a d e n i c ~a o d e s i n c r o -

n i s m o d a d a p o r E i n s t e i n . O b v i a m e n t e , d e v e - s e c o n c l u i r

q u e a s u a d e n i c ~a o d e s i n c r o n i s m o e i n a d e q u a d a p a r a

a d e d u c ~a o a n a l i s a d a .

V I I I . C o m e n t a r i o s n a i s e c o n c l u s ~ a o

C l a r o q u e h a a i n d a o u t r a s d e d u c ~o e s a l t e r n a t i v a s

p a r a a s t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z , e u m t r a b a l h o s o b r e

o a s s u n t o p o d e s e r e n c o n t r a d o e m L U C A S , H O D G S O N

( 1 9 9 0 , p . 1 5 1 - 1 8 6 ) , n o q u a l 2 2 o u t r a s m a n e i r a s s ~a o e s -

q u e m a t i z a d a s e m q u a d r o s e c o m e n t a d a s , i n c l u i n d o - s e

a a q u e E i n s t e i n f e z e m 1 9 2 2 , d a i n v a r i a n c a d a f o r m a

q u a d r a t i c a d x

2

+ d y

2

+ d z

2

; c

2

d t

2

( E I N S T E I N , 1 9 2 2 ) .

C o n f o r m e c i t a d o e m R O N ( 1 9 8 5 ) , d e n t r e o u t r a s p o s s i b i -

l i d a d e s h a d e r i v a c ~o e s p u r a m e n t e e l e t r o m a g n e t i c a s ( v . g . ,

F O C K , 1 9 5 9 ) , p u r a m e n t e m e c ^a n i c a s ( L E W I S , T O L -

M A N , 1 9 0 9 ) e b a s e a d a s n a p r o p a g a c ~a o d a l u z ( v . g . ,

M I L N E , 1 9 3 5 ) . O p r o p r i o E i n s t e i n m e n c i o n o u e m n o t a

d e r o d a p e n o s e u x 3 q u e \ a s e q u a c ~ o e s d a t r a n s f o r m a c ~ a o

d e L o r e n t z d e d u z e m - s e d i r e t a m e n t e , c o m m a i s s i m p l i c i -

d a d e , a p a r t i r d a c o n d i c ~ a o d e q u e , p o r v i r t u d e d e l a s ,

a r e l a c ~ a o

2

+

2

+

2

; V

2

2

= 0 d e v e i m p l i c a r e s t a

o u t r a : x

2

+ y

2

+ z

2

; V

2

t

2

= 0 " . E m L O P E S ( 1 9 9 2 ,

p . 6 2 2 - 6 2 8 ) h a u m a p r o v a a s s i m .

D a e x p o s i c ~a o f e i t a c o n c l u i - s e q u e a d e d u c ~a o d a s

t r a n s f o r m a c ~o e s d e L o r e n t z e m 1 9 0 5 n ~a o f o i b o a p o r q u e :

1 ) i n t r o d u z i u d e s n e c e s s a r i a m e n t e u m a e q u a c ~a o d i -

f e r e n c i a l p a r c i a l , d e r i v a n d o e m r e l a c ~a o a v a l o r e s c o n s i -

d e r a d o s i n n i t a m e n t e p e q u e n o s

2 ) n ~a o d e i x o u c l a r o q u a n d o p o s i c ~a o e t e m p o s ~a o i n -

d e p e n d e n t e s

3 ) c o m e t e u u m e r r o d e m u d a n c a d e v a r i a v e i s

4 ) u t i l i z o u - s e d e u m a d e n i c ~a o i n a d e q u a d a p a r a s i n -

c r o n i s m o d e r e l o g i o s .

E e v i d e n t e q u e o a r t i g o d e E i n s t e i n e t r e m e n d a -

m e n t e c o m p l i c a d o , d e d i f c i l a n a l i s e , p o i s r o m p e u c o m

a s n o c ~o e s m a i s f a m i l i a r e s d e t e m p o e e s p a c o . E n t r e -

t a n t o , s e t u d o o q u e f o i e x p o s t o p o r e l e a r e s p e i t o d e

t e m p o e e s p a c o ( p o s i c ~a o ) e s t i v e s s e c o r r e t o n ~a o p o d e r i a

o c o r r e r o e r r o d e s c r i t o n a s e c ~a o V d o p r e s e n t e a r t i g o ,

n e m o f a t o d e q u e r e l o g i o s e m m o v i m e n t o n ~a o s n c r o n o s

s e j a m s n c r o n o s c o n f o r m e a s u a d e n i c ~a o . V ^ e - s e d a q u i

a s d i c u l d a d e s e m s e a c e i t a r o r a c i o c n i o d e E i n s t e i n .

A g r a d e c i m e n t o s

A o p r o f e s s o r A . F . R . d e T o l e d o P i z a , d o I n s t i t u t o

d e F s i c a d a U S P , p o r t e r m o s t r a d o q u e ( 5 ) t a m b e m e

s o l u c ~a o d e ( 2 ) , e n ~a o a p e n a s d e ( 3 ) , c o m o s u p u s i n i c i -

a l m e n t e .

R e f e r ^ e n c i a s b i b l i o g r a c a s

E I N S T E I N , A . 1 9 0 5 , Z u r E l e k t r o d y n a m i k B e w e g t e r

K o r p e r , A n n a l e n d e r P h y s i k , 1 7 , 8 9 1 - 9 2 1 .

E I N S T E I N , A . 1 9 2 2 , V i e r V o r l e s u n g e n u b e r R e l a t i -

v i t a t s t h e o r i e , p . 2 1 .

F O C K , V . A . 1 9 5 9 , T h e T h e o r y o f S p a c e , T i m e a n d

G r a v i t a t i o n . O x f o r d : P e r g a m o n P r e s s .

L E W I S , G . N . , T O L M A N , R . C . , P h i l . M a g . , 1 8 , 5 1 0 - 5 2 3

( 1 9 0 9 ) .

L O P E S , J . L . 1 9 9 2 , A E s t r u t u r a Q u ^ a n t i c a d a M a t e r i a .

R i o d e J a n e i r o : e d i t o r a d a U . F . R . J .

L O R E N T Z , H . A . , L a t h e o r i e e l e c t r o m a g n e t i c d e M a x -

w e l l e t s o n a p p l i c a t i o n a u x c o r p s m o u v a n t s , A r c h .

N e e r l . , 2 5 , 3 6 3 ( 1 8 9 2 ) .

L O R E N T Z , H . A . , E l e c t r o m a g n e t i c P h e n o m e n a i n a

S y s t e m M o v i n g w i t h a n y V e l o c i t y l e s s t h a n t h a t o f

L i g h t , P r o c . R o y . A c a d . S c . A m s t e r d a m , 6 , 8 0 9

( 1 9 0 4 ) .

L U C A S , J . R . , H O D G S O N , P . E . 1 9 9 0 , S p a c e t i m e &

E l e c t r o m a g n e t i s m . O x f o r d : C l a r e n d o n P r e s s .

M I L N E , E . A . 1 9 3 5 , R e l a t i v i t y , G r a v i t a t i o n a n d W o r l d

S t r u c t u r e . O x f o r d : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s .

O S T R O W S K I , A . 1 9 8 1 , L i c ~ o e s d e C a l c u l o D i f e r e n c i a l

e I n t e g r a l , 4 a . e d i c ~a o . L i s b o a : F u n d a c ~a o C a l o u s t e G u l -

b e n k i a n .

R O N , J . M . S . 1 9 8 5 , E l o r i g e n y d e s a r r o l l o d e l a r e l a t i -

v i d a d , 2 a . e d i c ~a o . M a d r i d : A l i a n z a U n i v e r s i d a d .

S H A M O S , M . H . ( e d . ) 1 9 8 7 , G r e a t E x p e r i m e n t s i n P h -

y s i c s . N e w Y o r k : D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c .

V I L L A N I , A . 1 9 8 1 , C o n f r o n t o E i n s t e i n - L o r e n t z e s u a s

i n t e r p r e t a c ~ o e s , p u b l i c a c ~a o I F U S P .

V O I G T , W . 1 8 8 7 ,

U b e r d a s D o p p l e r s c h e P r i n z i p ,

G o t t i n g e r N a c h r i c h t e n , p . 4 1 .

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