aula 23 - transformacoes lineares

Transformação LinearTransformação Linear

Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de

se:

eU V

emU V

a) 1 2 1 2 1 2, ,T u u T u T u u u U

b) 1 1 1, ,T u T u u R U

Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear.

U V

ExemplosExemplos1) Transformação Linear Nula

2) Operador Linear Identidade

3) tal que

4) dada por

5) definida por

:T U V , fixo,T u u u R U

2 3:T R R , 2 ,0,T x y x x y

: n nT P R P R

´f

T f x f xx

Contra - ExemploContra - Exemplo

definida por

:T R R

2 ,T x x x R

2 2 21 2 1 2 1 1 2 22T u u u u u u u u

pois temos que:

2 21 2 1 2T u T u u u

PropriedadesPropriedades

Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então:

P1) 0 0T

P2) ,T u T u u U

P3) , ,T u v T u T v u v U


P4) Se é um subespaço de , então a imagem de pela transformação linear é um subespaço vetorial de , isto é, é subespaço vetorial real.

P5)

U

W UW

T W

1 1

n n

i i i ii i

T u T u


P6) Sejam e espaços vetoriais reais e uma base de .

Dados vetores arbitrários de , existe uma transformação linear tal que:

e

VUU 1 2, ,..., nB u u u

1 2, ,..., nv v v V

:T U V

1 1 ,T u v 2 2T u v ,..., n nT u v

Núcleo e ImagemNúcleo e Imagem

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio da função dado por:

ker( ) ( ) ( ) 0T N T u T u U


Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da Transformação o subconjunto do contra-domínio da função dado por:

Im( ) onde ( )T v u T u v V U

ExercíciosExercíciosExercício 01: Verificar se as funções

abaixo são transformações lineares e determinar seus núcleos e imagens:

2:T R R dada por , 2 3T x y x y a)

b)

c)

32: definida porT P R R

22 1 0 1 0 2 1 02 , ,3T a x a x a a a a a a

22: tal queT R M R 2

,x x y

T x yy x


Proposição: Dada uma transformação linear, temos que:

1. O núcleo da transformação é um subespaço vetorial do domínio da função.

2. A imagem da transformação é um subespaço vetorial do contra-domínio da função.

RecordandoRecordando

Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita:

1. Injetora se: 1 2 1 2, , entãoa a A a a 1 2( ) ( )F a F a

1 2 1 2 1 2ou seja, , ,a a A F a F a a a

, tal queb B a A F a b

ou seja, Im .F B

2. Sobrejetora se:

RecordandoRecordando

Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita bijetora se é injetora e sobrejetora simultâneamente.

TeoremasTeoremas

Proposição: Uma transformação linear é injetora se e somente se . 0N T

Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então:

dim dim dim ImN T T U

Resultados ImportantesResultados Importantes

Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se

1 2

1 2

, ,..., então

Im , ,...,

n

n

u u u

T T u T u T u

U

Resultados ImportantesResultados ImportantesCorolário: Dada uma transformação

linear de espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as afirmações abaixo são equivalentes:

(1) É sobrejetora

(2) É bijetora

(3) É injetora

(4) Transforma base do domínio em

base do contradomínio.

IsomorfismoIsomorfismo

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).

Notação: U V~

AutomorfismoAutomorfismo

Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo.

Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.


Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.

1 1

,

onde pertence a base de e

pertence a base de

n n

i i i ii i

i

i

T u v

u

v

U

V


Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se

dim dimU V

Exercícios: Transformações Lineares

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