~.

Sé rie E - 018 - Agosto/85

TEORIA ERGÓDICA "DAS TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS

Marcos Craizcr

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVI~ffiNTO CIENTiFICO E TECNOLÓGICO

INSTITUTO DE :t-1ATEHÁTICA PURA E APLICADA

INFORMES DE :t-1ATEMÁTICA

série E - 018/85

TEORIA.ERGÓDICA DAS TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS

J.1arcos Craizer

Rio de Janeiro

Agosto/85 1 - ,,,,­(\ I '• ' • )

1) •• .. _, •' J \._.,

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO

INSTITUTO DE V~TEMÁTICA PURA E APLICADA

TEORIA ERGÓDICA DAS TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS

~.

Marcos Craizer

Dissertação apresentada para obtenção do Grau de Jl~est~e

em Matemática

Rio de Janeiro

. - 1985-

- 1-

I - INTRODUÇÃO

Seja M variedade compacta sem bordo . Uma aplicação

f : M;> , e expansora se é de classe c l e existe À "> 1 tal que

IID f . v\1 ~ X

>.IJvll. ~ X E M, v E TxM. Um exemplo destas transfor

mações pode ser construÍdo tomando uma transformação linear

L: Rn..) tal que L(Zln) c 7ln e I y I > 1 para todo autovalor

de L. Então a aplicação f: Tn = Rn /7.ln.,:) induzida por L

y , e

expansora. ' Reciprocamente toda transformação eX2ansora de , e

topologicamente equivalente a uma gerada por este método (Shub

[ Sl]) . A dinâmica das transformações expansoras de variedades

é muito bem entendida , estando caracterizadas todas as variedades

que as admitem e nelas estas são sempre topologicamente equiva-

lentes a modelos "lineares" construídos de forma semelhante à des

crita acima para Tn (Gromov [Gl ]) .

Neste trabalho estudar emos a teor ia ergÓdica das trans­

formações expansoras . Mai s especificamente demonstraremos r esul­

tados sobre a existência de cer tas medidas invariantes que exibem

propriedades que as vinculam de forma particularmente expressiva

com a dinâmica da transformação . O prim~iro destes r esul tados

mostra que toda transformação expansora possui uma e só uma proba

bilidade invariante equivalente à 'de Lebesgue , que é obtida como

o limite da iteração da medida de Lebesgue pela transformação .

Denotemos por ~(M) o espaço das probabilidades em M

e por ~(f) o espaço das probabilidades em M f - invariantes .

. Dizemos que f : ~ E c 1

Holder- contínuo e denotamos por

Holder-C1 com constante de Hol der

é Holder- c 1 se det

c 1+Y o espaço das

y .

, e

funções

- 2-

Dizemos que u E ~(M) é exata com respeito a f se pa

ra todo A E n f-n( 6(M)) , temos ~(A) = O ou 1 , onde 6(M) é n~o

a o-álgebra dos borelianos de M. Se ~ E ~(f) e é exata , então

u é ergÓdica. Denotemos por hu(f) a entropia de ~ com res­

peito a f.

Teorema I. 1. Seja f: M .,.:)

Existe uma Única u E ~(f)

1 uma transformação expansora Holder-C .

absolutamente continua com respeito a

medida de Lebesgue m. Além disso u satisfaz :

(1) du E c V (M) .dm

(2) ·u é exata

e é estritamente positiva .

~.

(.3) lÇ~(f) = r log ldet f ' ldu M

(4) hv(f) < r log ldet f ' I dv , .!t.f v E ~(f) , se M

m(f- n(A)) ~(A) ' ..!t.f boreliano A. t . q . m(M) n-+m

(5)

v I= u

m('bA) = o

Consideremos agora a questão de estudar a distribuição

assintÓtica das pré-imagens de um ponto X por f -n quando

n --+m. Seja v (x) n E ~(M) definida por

-v (x) 1 E ô = n dn :fn(y)=x

y

onde d = :/1: f- 1 (a), ,

número independente de que e um a.

Teorema I . 2 . Seja f : M .;:> expansora. Existe v E ~(f) tq .

v = lim n-+m

v n (x) , · -v- x. Além disso, v

(1) ,

v e exata e positiva sobre abertos

satisfaz :

.•

- 3-

(2) hv(f) = log d

~ ~ E ~(f) , se ~ :/: v.

A questão da relação entre ~

sultado .

, e v e resolvida pelo seguinte re

Teor em a I. 3. -As seguintes propriedades sao equivalentes:

(1) ~ << \)

(2) v « u

(3) ~ = \)

(4) Para todo x E M t . q: fn( x ) = x vale ~-

(5) Existe u E C0 (r1) t . q . logldet f ' l - log d ·= uo f - u .

Este teorema tem uma aplicação interessante sobre a

equivalência topolÓgica g : Tn ~ entre uma transformação eÃ~an­

sora f : Tn ~ e seu modelo linear fL: Tn ~ gerado , como des

cr·evemos acima , por uma aplicação linear L: :Rn...::> t . q . Lt/Zn) c ?ln.

Corolário 1.4. Se existe x t . q . fn(x) = x e ldel:;(fn)'(x)l:/:dn

então existe um boreliano K c Tn co~ medida de Lebesgue total,

completamente invariante (i . e ., .f-l (K) = K) e t . q . g (K) tem

medida de Lebesgue zero .

Demonstracão : Suponhamos que -1 gfg = fL . Seja m a probabi-

lidade de Lebesgue em Tn i . é1

m(A) medida de Lebesgue de A = medida de Lebesgue de M

, Esta e fL- invariante e portanto m = ~' onde

, u e a

- 4-

medida cuja existência é afirmada pelo Teorema I . l . aplicado a

transformação expansora fL . Também, como ldet fil = ldet LI é . -1

constante , ldet fil = d onde d = # fL (a) independente de a .

Então a condição (5) do Teorema I . 3, com ~ = O, nos afirma que

m = ~ = v.

Como -1 gfg = fL' * g m f ~(f)

= log d .

Portanto * g m , e a medida v cuja existência é afir-

mada pelo Teorema I . 2 , aplicado a f . Como a condição (4) do

Teorema I . 3 não ~ satisfeita por hip6tese , g*m e -~ sao mu-

tuamente singulares e portanto existe um boreliano K t . q .

f - 1 (K) = K, ~ (K) = 1 , (g*m) (K) = O.

Mas \J (K) = 1 implica m(K) = 1 e

p lica m(g(K)) =O .

* (g m)(K) =O im-

Os Teoremas I . l e I . 2 -sao casos particulares de uma

11

unificação dev.:i.da a Ruelle ( C Rl] , [ Bl] ) , que per mi te . a construção

sistemática de probabilidades invariantes exatas . Suponhamos que

f : M ~ é uma transformação continua c w: M ~ R é·uma função

continua . Denotemos por C0 (M) o espaç.o das funções continuas

em M. Definimos ~ W: C0 (M) ,..;:> como

í:

yEf-1 (x)

Teorema I . 5 . Sejam f : M -+" expansora e w: M ~ R Holder- con-

tinua . Existem h : M ~R Holder-continua e estritamente posi -

tiva , v E ~(M) e ).. > o tais que :

- 5-

(1) r hd'J = 1

(2) .C *h = ,,h

(3) * = ~'V S- I v '11

(4) u ~-n n - h f C!'d \1 11 --+ o, C0 (M) ~ ~ tP ~ cp E

c o

(5) h é a única auto-função positiva de ~~ , a menos de mul­

tiplicação por· escalares . .

(6)

(7)

A probabilidade ~ = h\1

bre abertos e satisfaz

log À =. h~(f) + r ~d~ l og ~ > h..,(f) + f td.., ,

, e f - invariante, exata, positiva so-

~'V E m(M) , \1 ~ u.

Teorema 1. 6 . Sejam f : M ...;:::> expansora e ~ : M -+ ]t , ' • M -+ JR.

Holder- contínuas . Então as seguintes condiçÕes são equi valentes :

(1)

(2) U << LI~ f

(3)

(4) Para todo x t . q . fn(x) = x vale

1 n - 1 . !: "i(fJx ) = log >..,1, - log >.._

n j=O v ~~

(5) ~ u E C0 (M) t . q .

u o f - u = log \r, - log À + C'W- $) v ~

- 6-

Observamos que a condição (4) é extremamente forte e que "em ge-

r al" funções

lares .

diferentes induzem medidas mutuamente sin-

Vejamos como os Teoremas I . l, I . 2 e I . 3 decorrem dos

Teoremas I.5 e I. G. ' Demonstremos o teorema I.l . Seja w(x) = -log\det f (x)\,

que é Holder-contínua, pois f é Holder-c1

. Seja ~E C0

(M) .

Temos

= D( x:_1

I det f ' (y) 1- \,(y )\ dm(x)

yEf (x) )

Como dct f ' (x ) ~ nao se anula , usando a compacc,idade de

M, podemos tomar uma coleção de abertos disjuntos A1 , . .. , An que

cobrem M, a menos de um conjunto de medida de Lebesque zero , e

consista de um nº finito de abertos disjuntos , res

trita aos quais f seja difeomorfismo . Então

r ~d(.C-:m) = ~ ( ( I: ldet f0 (y) l -1q> (y ~ dm (x)

j Aj yEf- 1 (x) .

* Portanto ~~m = m.

= I: j

f q>dm = J q>dm .

f-1 (Aj)

Sejam Ã, h e ~ dados pelo Teorema I . 5 .

Integrando com relação a m obtemos

r hdm r tpd\J .

Logo , / I ( .. ' "

Então ,

Fazendo

Portanto

-7-:-

~ = 1, como h > O, obtemos que À = 1 e r hdm=m(M) .

r cpdm = m(M) r cpd\1,

\) = m

m(M) ·

Resulta que

A probabilidade ~ = hv satisfaz então as condições

(1), (2), (3) e (4) do teorema. Observamos que a condição (1)

na realidade implica na equivalência de ~ e m. A afirmação s~

bre a unicidade de ~ segue então do fato de que como

gÓdica, ~l << ~ ~ u1 = u.

, ~ e er-

Resta mostrar (5) .

r cp o r dm = r ~ ~ ( t.? o fn) dm

Logo

Ã, h e v

item (4)

= r \> .S:~l dm -> Jl> · hdm = m(H) J <:>d i-<

mo f - n ~ m(M) ·~ s o que prova (5) .

Vejamos agora o Teorema I . 2. Tomamos w = O e sejam

dados pelo Teorema I . 5 . Temos que

S. , · l(x) = 'i(

1 · (y) = d.

Pelo item (5) , do Teorema I . 5 , d = ~, h = 1 , e pelo

ln E c.? (y) __.... r e;:>dv , .li- cp ç C0 (M) . d yEf- n(x)

O Teorema I . 2, segue então diretamente .

O Teorema I . 3, é aplicação imediata do Teorema I . 6 .

Os Teoremas I.5 e I . 6 valem para uma classe de trans-

- 8-

formações de espaços métricos compactos muito mais geral que as

transformações expansoras de variedades , que em particular contém

os subshifts unilaterais de tipo finito . Isto possibilita , via

partições de Markov, extender boa parte dos resultados anteriores

à conjuntos hiperbÓlicos; mas esta é uma ramificação dos teoremas

I.5 e I.6 que não apresentaremos aqui. Esta classe de transfor­

mações será definida no Capitulo II, e para um elemento dela con­

servaremos o nome de transformação expansora porque quando o espª

ço métrico compacto em que está definida é uma variedade , a defi­

nição é equivalente a dada acima .

No método que seguiremos para demonstrar o teorema de

Ruelle (Teorema l . 5) tem import~ncia o conceito de Jacobiano de

uma transformação com respeito a uma probabilidade invariante . Se

ja f : M ~ uma transformação expansora e u uma probabili dade

f - invariante . Dizemos que uma função continua · J : M ~ R

Jacobiano de f com respeito a ~ se

~ (f(A)) =r Jd~ A

, e o

para todo boreliano A onde fjA é injetiva . t fácil ver que

se Ju existir é única . Algwnas propriedades ergÓdicas de u

podem ser analisadas via J .

Teorema I . 7 . (a) h~(f) =r log J d~

(b) Se J é Holder-continua e estritamente posi­tiva então ~ é exata .

A demonstração desse resultado será dada no Capitulo III .

Consideremos o problema de encontrar uma probabilidade

i-invariante com Jacobiano J > O dado . É fácil ver que toda

....

. .

- 9-

·função J > O que seja Jacobiano de f com respeito a alguma

probabilidade i - invariante deve satisfazer

L: f(x)=y

1

I J(x) I = 1 , -~ y EM (*)

Essa condição é também suficiente. De fat o, no Capitu­

lo III demonstraremos o seguinte resultado.

Teorema I.S. Seja f: M ~ expansora e J : M -+JR. estritamente

positiva e Holder-continua. Sejam ~' h, ~ dados pelo Teorema

I.5, onde * = - log J . Então o Jacobiano de f com respeito a , e

-- -·

ma I. 5 .

hof J~ f'· = Ã.J . h

A condição ( ·*) implica que >. = 1 e ·h = 1 no Teor e-

Portanto o Jacobiano de f com r espeito a ,

1.1 e J .

·.

CAPÍTULO II

II - DINÂMICA DAS TRANSFORMAÇ0ES EXPANSORAS E O

CRITÉRIO DE HOMOLOGIA

Seja K um espaço métrico compacto.

Definição II.l. f: K -\::> contínua ,

dita se existirem e expansora

r > o, o < ).. < 1 e c > o t. q. :

(a) x~y e f(x) = f(y) ~ d(x , y) > c

(b) ~X E K e a E f - 1 (x) existe çp: Br(x) _.K t . q . çp(x)=a e

f . ep(y) = y , ~ y E Br(x ) ~

d(cp(z) . cp(w)) s:: ).d(z ,w) .li- z , w E Br (x )

Exem:elos : (a) Sejam M variedade compacta sem bordo e f : M.....:>

aplicação cl . Então f é expansora pela definição acima se e

somente se f é expansora pela definição anterior , i . é . ,

:3: o < À < 1 t . q . !ln f · vll ~ X ~ llv ll , ~X E M, ·v E TXM.

Para verificarmos isto , suponhamos primeiramente f expansora p~

1~ definição antiga . Dado x E M, :3: vi~inhança V de x t . q.

r··l(V) consiste de um número finito de abertos Wl' ... , Wn t . q .

f lw j seja difeomorfismo . Cobrimos M com vizinhanças V dessa

forma e seja r o ,

o numero de Lebesgue dessa cobertura .

Seja r 1 > O t . q. se z,w E M, e d(z,w) < rl ,

:3: geodésica f3 : [ O, 1] ___. M, com S(O) = z , f3(1) = w e

d(z,w) = 't (S) ( = comprimento de s) . Seja r = min(r0 ,I'I) .

Então , Br(x) .--+ M ,

de inversa para se rp: e um ramo

então

f ,

. . •

- 11-

d(cp(z) , cp(w)) s: -<,(~;po 13) = \l cp '(S(t))~' (t)lldt.s: fol

s: 1 À

1

f lls ' (t)lldt= f d(z , w) . o

Isto verifica a condição (b) da definição acima . Como

a condição (a) decorre de (b), no caso de K ser localmente co­

nexo, f efetivamente satisfaz a definição acima .

Reciprocamente r seja x E M. Tomamos y E ~(Br (f (x)),

onde ,

I:P e t . q . ~(f(x)) = x , e suficientemente prÓximo de x

de maneira que x e y possam ser ligados por uma geodésica 13,

com ·d(x,y) = -<,(S) . Então -.

-<,(13) = d(x ,y) s: Ãd(f(x),f(y)) s: ). -<,(fo S)

1 1 ~ f llf3

1 ( t ) \I d t S: r >- li f I ( f3 ( t ) ) • f3 t ( t ) 11 çl t

o o

' Fazendo y tender a x pelo caminho 13 , com 13 (O)=v

obtemos

\lvll s: Ã\lf ' (x) ·vll

(b) Sejam M uma variedade , f : M ~ uma aplicação c1

um compacto invariante (i . é ., f(A) = A) . Dizemos que

ser se

(1) A é isolado, i . é ., ~ vizinhança U de A t . q .

n f - n U = A n;;>:O

(2) g o < À < 1 t . q .

e A cM , e expag

- 12-

Por (1) temos que f - 1 (A) = A. A partir disso , ~ f~-

cil verificar que fiA

portanto expansora .

herda todas as propriedades de f ,

(c) Se f: K~ , e expansora, A

, e e um compacto invariante,

tão fi/\ ,

necessariamente na o e expansora.

I '

, e e

en

(d) Seja A = (ai j) matriz mxm constituida de o s e 1 s.

Definimos o operador a em B+(A) "= [ (x0

, x1 , ... ) lxi f= [l, ... , m) e

O par

(a, B+(A)) é chamado um subshift do tipo finito unilateral . Defi­

nimos uma métrica em B+(A) por

co

d (-d.-, a ) = r: n=O

-. 1 I o.(n) - S (n) I ,

2n onde

a= (S(O) , a(l) , ... ) .

Com essa métrica ,

a e expansora , com r = 1 , À = 1 /2'

c < 1. Pois se o. f S, e a( a) = a(a) então a (O) ~ S(O) e

l ogo d(~ , S) ~ 1 > c , o que verifica (a) . Também se ~ e S sa

tisfazem d(a , S) < 1 , então a(O) = S(O) .

por a de

e axj ,a. (O)

1 = 2 d(x , S) .

a e ~ são (xj , a) e (xj , a) Cl)

= 1 , e d((xJ.,a ) , (xJ. , S)) = L: n=l

Isto verifica (b) .

Logo as pré- imagens

onde xj E ( l ~ . .. ,m) 1 l ~ (n-1) -S(n-l) l= 2n

(e) Seja f : s1 ~ uma aplicação c2 , com grau (f) > 1 e t . q.

' f (x) f: O, .li- x .

Definimos ~(f) = (U bacia de poços)c . Então se todos

os pontos periÓdicos de f são hiperbÓlicos (o que é uma 'proprie-

dade genérica) , , e expansora ..

- 13-

Defini cão II. 2 . Sejam f : K ~ expansora e S c: K. Dizemos que

S -+ K ,

contrativo de f - n g : e ramo se rg(x ) = x , -V- X E s e

d(fjg(x ) , fjg(y)) ~ >P - j d(x, y) , ~ x, y E s, Os: j ~ n .

, E imediato observar que dados X E K e a E

- n f X existe

g : Br(x) --+ K ramo contrativo de f-n t . q . g(x) = a .

Lema II.3 . Seja B(n, e,x) = (z E K I d(fjz,fjx) ~ e,

Existe e0

> O t . q . se O < e < e0

, temos

(a) Para n ;::: 1 , seja g : Br(r(x)) -+ K ramo contrativo de f-n

t.q. g fn(x) = x. Então B(n,e,x ) = g(Be(fn(x)))

(b) Se d(fnz , fnw) ~ e, - .!>1-n ;::: o ==> z = w.

Demonstração : Suponhamos n = 1 e seja e0

< min (r ; 1~~) , onde

r > O, O < À < 1, c > O são dadas pela definição II . l . Se

z E B(l ,e,x) então d(z ,x) ~ e e d(fz , fx) ~ e: , e portanto

d(gfz,x) ~ h E: . Pe la desigualdade triangul ar , d(z , gfz) < c . Logo

z = gfz , ou seja, z E g(Be(f(x))) . Isto prova (a) para n = l.

Com argumento idêntico, completamos a prova de (a) por i ndução .

d(z,w) ~

Lema II.4 ..

quência

tão existe

~ n;::: O, pelo item (a),

* n . Logo z = w, o que prova (b) .

e é chamado uma constante de expansividade para f. o

.C3

Para todo c '> o, existe ô > o t . q . s e uma se-

fx I n ~ n O) satisfaz d(fxn, xn+l) < õ, ~ n;::: o, en

X E K satisfa?.endo d(fnx, xn) < e, -ll-n :.o: o.

-ll~-

Demonstração : Sejam (pn : Br(xn) -+ K ramos contrativos de f-l

( ) ( l-À r ) com ~n fxn- l =Xn-l · Tomamos ô < mip -x-· e, I- r .

d(cpnz, xn_1 ) ~ >.(r+ ô) <r. Resulta que cpn(Br(x11))c Br~xn_1 ),

l./- n ~ l.

Consideremos a seqUência [cp1 ..... cpn(Br(xn))Jn~ 1 . É

uma seqUência decrescente de compactos e cujo diâmetro tende a

zero . Logo n ~l ·····~n (Br(x )) n~l n

consiste de um Único ponto

que chamaremos x.

Seja .t E JN . Temos

k ( t ·l k ) + ). d f x , x.t+k • (*)

Fazendo k-+ Ol '

11

Lema II . 5 . No Lema II . 4 , se a seqÜência (xn, n ~ O) . ,

fo r per1.9..

dica de perÍodo N, então x ~ p~ri6dico de perÍodo N, se as-

sumirmos que 2 € < € ' o

dada pelo Lema II . 3 .

onde ~ a constante de expansividade

Demonstração : Consideramos as 6rbitas 2 (x , fx , f x, ... ) e

( N N+l ) f x, f x, .... Como elas estão 2€- pr6ximas, usando o Lema N II . 3,(b) , X= f x.

..

, - 15-

·Observacões : (1) Usaremos futuramente o seguinte refinamento dos

Lemas II. L~ e II . 5 . No caso de x0

, x1 , . . . ser periÓdica de perío­

do N e xj+l = fxj , j = O, ... ,N- 2 e d(fxN_1 ,x0 ) < ô, resulta

de (*) que

d(fjx,fjx0

) = d(fjx,xj) ~ ÀN- jd(fNx,fxN_1

) = ÀN- jd(x,fxN_1

),

O ~ j ~ N.

(2) No próximo lema, usaremos (*), com t = O, i.é,

Lema.II . 6. Dado e > O, o ~.

:!I õ > o o

existem N E JN e õ1 > O t . q .

tisfaz

então existe x E K t.q.

t . q . para todo

~ n ~ O

~ n ~ O

& > o,

Demonstração : Dado e0

> O, tomamos ô0

como no Lema II . 4 .

Pela observação (2) ,

sa-

-16-

, Se N . e suficientemente grande e õ1 suficientemente

pequeno, resulta que

• Definição II.7. Uma sequência (xn!n ~ O) é uma pré-órbita de x

se X= X o e

Lema II.B. Se d(x,y) < r e (xn!n ~ O) é uma pré-órbit~ de x,

então existe uma pré-Órbita de y, (yn!n ~ O) t.q . d(xn,yn) ~

~ ).nd(xo , yo) .

Demonstração: Consideramoo g : Br (x) --+ K

com g(x) = xn . Definimos - Yn = g(y) .

ramo contrativo de . f -n

• Lema II . 9 . Sejam Per f = (pontos periÓdicos de f 1 e A = Per f .

fI A: A ..._...) ,

transformação e uma expansora .

Demonstração : Sejam r > o, o < ). < 1 e c > o dadas pela de-

finição II.l . Seja r 1 = mi n (r , õ 0

) , õ o dado pelo lema II.6 ,

para e0

constante de expansividade . Para provarmos que f!A

é expansora , basta provarmos que ~ (Br (x) n A) c A, se x E A 1

e ~: Br(x) -+ k

Seja z E Br (x) 1

é ramo contrativo de :...1 f '

n A. Devemos verificar que

com tp (x)

~(z) E A.

= a E A.

Sem per

da de generalidade, podemos assumir que z e a (e portanto x)

sao periÓdicos . Sejam s = perÍodo a = perÍodo x e t = perío-

do z.

~-.

• I

-17-

Seja w = cp (z) . Tomamos uma pré- ór bita [wnln ~ O} de

\*i assintótica a pr é- órbita periÓdica de a e uma pr é- órbita

de x assintóti ca a pré- Órbita periÓdica de como

no Lema II. 8 .

Dado e:>O , tomamos N grande como no Lema II.6 , e cons~dera:nos

Pelo Lema II . 6 , existe p t . q . d(p , w) < e: e t . q.

sua órbita e:0

- sombreia a

p é periÓdico e portanto

õ0

- pseudo- Órbita aci~a .

w E /\ .

Teorema II. lO . K = U f - n (Per f) . n:2:0

Pelo Lema II.4 ,

Demonstraç2o : Seja x E K e w(x) . "'" o conJunt,O w- limite da Órbi

ta de X ' i . é. '

-18-

n· w(x) ·- (yl:!! seqUência (nk} c::]~ t . q . f k(x) __.. y }.

k

tomamos

Se y E w(x) , e € > O,

t e N t . q. d(ftx,y) < õ/2

seja õ dado pelo Lema II . 5 .

e d(f~Nx,y) < õ/2 . Logo t t+l t~N-1 t f x,f x, • .. ,f x,f x, . .. é uma õ-pseudo-Órbita periÓdica .

Pelo Lema II.5, ela pode ser E-sombreada por uma Órbita periÓdica.

Então y E Per f .

Cons:ideramos a transformação f j/\ ' que é expansora pelo

Lema II . 9 . Fixo € > O, seja ô dado pelo Lema. II . 4 , apl icado

' Seja õ < ô/2 t . q . I

d(z , w) < õ implique

d(fz ,.fw) < õ/2 , ~ z , w E K .

Seja x c K. Como w(x) c /\ , ex istem N E M e

(xn) n~o c 1\ t . q . d(fN+nx, xn) < õ', .lf- n ~ O. Também

s: õ/2 + ô/2 = õ ' .l.l- n ~ O.

Pelo Lema II . 4, ex iste z em 1\ t . q . d (fnz , xn) s: s,

~ n ~ O. Logo

Mas pela expansividade da f ,

Portanto x f f-N(A) .

.JY- n ~ O.

se õ e - N e sao pequenos f x = z .

Teorema II. 11. , .

Existem compactos disjuntos unJ.cos

i = 1 , . . . , nm , m = 1 , . . . , M t . q .

(a)

= 1\ (m) 1

. .

(b)

(c)

(d)

u i;m

A~m) =. h(= Per f) l.

-19-

, e topologicamente mixing .

Além disso valem as seguintes propriedades:

é uma transformação expansora

(e) ~ aberto V de (m)

Ai , existe N t.q.

nm N (m) (f ) (V) = Ai .

Demonstração : Sejam p e q periÓdicos , e (pn ln ~ o )

(qn I n ~ O) suas pré- órbitas periÓdicas . Definimos p ""

existem pré- órbitas {p~ I n ~ O) de p e (q~ ln ~ O) de ,

e

q se

q t . q .

d(q~ , pn) __.... O e d(p~ , qn) --+ O.

l ação de equivalência em Per f .

Verifiquemos que e uma re-

Claramente é r efl exiva e si-

métrica . Se p ~ q e q ~r, então ex istem pr é- órbitas

( q~ln ~ O) de q e {r~ln ~ O) de r assintóticas as pré- órbi

tas periÓdicas (pnln ~ O} de p e (qn ln ~ O) de q r especti

vamente. Seja no t.q . d(r~,qn)

mo > n o mÚltiplo dos perÍodos de

d(r~ , q) o

Pelo Lema II.B, existe

< r, se

p e q .

< r

pr~-Órbita

n > n0

, e seja

Então

(rn"ln ~O) de r' mo

assintótica a (pn ln ~ O). Como m0

é mÚltiplo do perÍodo dessa

Órbita, a pré- órbita é assintótica a

(pnln ~ O). Por simetria, r - p .

Logo - é realmente uma relação de equivalência em

Per f . Se d(p , q) < r , então p - q , o que implica que temos

- 20-

apenas um número i:lni to de classes de equivalência Xl' ... , ~ e

que elas são aberta s e fechadas em Per f . Além disso, f trans­

forma classes de equivalência em classes de equivalência . Portan

to podemos enumerar as classes como xlm), 1 ~i ~ nm , 1 ~ m ~ ~ M satisfazendo

(m) f(Xi ) =

(m) f(Xn ) =

. m

Definimos

estão obviamente s a tisfeitas .

1 ~ i < n , m

Então as condiçÕes (a) e

n Provemos (d) . Como . f 1/\ é expansora (Lema II. 9) , f mI A

(b)

, t- d f-nm(/\(_m)) -_/l.(m) fnm l , e expansora. Segue cn ao e 1 i que . (rn) e expan-. /l.i sora .

n Provemos agora (e) . Sejam g = f mi (m) e

/\i V aberto de

1\~m) . Seja p E V 1

periÓdico , de g-perÍodo n0

, e seja

(pnln ~ O) sua g-pré-6rbita peri6dica . Sejam q peri6dico em

/\~m) 1

e g- pré- 6rbitas de q t . q.

d(q~j), pj+n)----+ O, quando n -+ 03 •

Sejam ô t . q . B5

(p) c V - e N t . q . d(q~j), pj+n) < õ,

~ n ~ N, O ~ j s: n0-1 . Então se n ~ N,

t . q. j +n seja mÚJtip1o de n0

, obtemos

gn(q(j)) = q. n

tomando O ~ j ~ n-1

q~j) E B5

(p) c V e

Na realidade , como g é expansora , gn(B 5 (p)) :') Br (q) ,

se ~ n < ô . Tomando um número finito de Br ( q) cobrindo 1\lm) ,

obtemos (e) .

. .

-·

- 21-

A afirmação (c) é corolário de (e)

Suponhamos agora que tenhamos uma decomposição de A em

compactos disjuntos Alm) , 1 ~ i ~ nm , 1 ~ m ~ M satisfazendo

(a) e (c) . Sejam p e q periÓdicos . De (a) segue que se

p N q , p e q estão no mesmo Alm) . De (c) segue que se p

e q estão no mesmo A~m) ' l.

então p N q. Logo tal decomposi-

ção fica bem determinada por (a) e (c). 11

Teorema 11 . 12 . Se K , e conexo e f : K ~ é expansora , então

f é· topologicamente mi.xing .

Demonstração : Sejam r > O, c > O e O <À < 1 dados pe la de­

finição II . l aplicada a fiA : A~ que é expansora , pelo Lema

II . 9 . Sejam E: ·< min(r , 1~)) e ô <e t . q . se d(z , w) < õ en­

tão d(fz , fw) < e.

Afirmação : Se z E f - 1 (A) e d(z, A) < õ, então z E A. Pois

nesse caso , existe w E A t . q . d(z,w) < õ . Logo d(fz , f w) < E:.

Considerando o ramo contrativo ep: Br(fw) n /\ -+ A t . q .

rpfw = w temos que d(~· fz ,z ) < õ + ÂE: < c . Logo ~· fz = z e

portanto z E A.

Da afirmação segue que S = f - 1 (A)\A é fechado . Do fato

de f ser invariante segue que . - 1 - 2

A, S, f S, f S, ... é uma cole-

ção disjunta de fechados . Pelo Teorema II . lO ; tal coleção cobre

K. Segue então do teorema de Baire, que algum deles tem in~erior

não vazio . Como f é uma aplicação aberta, isto implica que /\

tem interior não vazio .

- 22-

Consideramos a decomposição de ~· dada pelo Teorema II .

( ) n N m Algum dos Aim contém um aberto V, e como (f m) V = Ai ,

para certo N, concluÍ mos que Aim) é aberto em K. Como K

conexo , concluÍmos que ~Im) = K. Isto demonstra o teorema.

Critério de Homologia

Suponhamos f expansora e topologicamente mixing.

, e

11

Definição II .l3. Dizemos que ~ E ~ em C(K) são homÓlogas se

existir u E C(K) t . q . ~ = ~ + u o f - u e denotaremos • ~ ~.

Teorema II.l4 . Suponhamos • Holder- contínua . Então

= x > S w (x) n

·Demonstração : Se IV ,..., O, ~ = u o f - u , u E C(K) . Resulta que

n- 1 sn w(x) = ~ IV( fjx) =

j =O

e portanto se sn ~(x ) = o.

Reciprocamente , suponhamos sn w(x) = o, ~ X t . q .

fn(x) = x . Seja a E K, transitivo para f (i . é ., Cfn(a) ) n:2:0

é denso em K) e definimos u na'Órbita de a por

onde u(a) está definido arbitrariamente .

Afirmação . ,

u e uniformemente contínua na Órbita de a . Pois ,

se d(fma , fm+na) < õ , podemos formar a õ- pseudo-Órbita

m m+l m+n- 1 m f a, f a , . .. , f a , f a , ...

·I i

• I I

I ; I

,

-23-

Dado e>O, tomam9s õ t . q . existe x periÓdico de p~

riodo n cuja Órbita e-sombreia a õ- pseudo- Órbita acima . Mais

' d(fjx , fm+J.a) / , n-j d(x , fm+na) , do que isso, tal orbita satisfaz ~ h

O s: j s: n , conforme a observação (1) seguinte ao Lema II . 5 . En­

tão

lu(~+na) -u(fna) I = lsm+n *(x)- sm ~(a) I = lsn ~(fma) I =

= lsn w(fma)- sn '(x)i ~ n~ll~(fm+ja)- '(fjx)l s:

o o

Isto ·demonstra a afirmação .

Da afirmação segue que podemos extender n .

ção continua em K. Seja y E K, y = lim f Ja . j -+ ro

u a uma fun-

Então

n.+l n. u(fy) - u(y) = lim u(f J a) - lim u(f Ja) =

j -+ro j -+Q)

= lim 8n .+l H a) - sn. w(a) = j -+0) J J

= lim * (f n.

Ja) = * (y) j -+ro

Portanto * = u o f - u , ou seja ,

* ,...., o.

• Corolário II .l5 . Sejam w E ~ Holder-continuas . Então

. CAPiTULO III

,J ACOBIANOS

Recordemos algumas definições dadas na introdução, dadas

com !JOuco ·mais de generalidade aqui . Sejam f: K ~ continua e lo­

calmente injeti va e ~~ E ~(K). Dj zemos que uma função F E L 1 ( ~)

~ Jacobiano de f se

IJ.(f(A)) =!A FdiJ.

para todo boreliano A t . q . fiA seja injetiva . O Jacobiano , se

existir , ~ ~nico q .t . p .

definimos

(.s:w tP) (x) =

, e e denotado por J\J.f .

por.

E

yEf-1 (x)

e * (y) cp (y) ,

* Lema. III.l. Seja 'J r:. m(K) satisfazendo .Cw 'Y = '>.'J, '>. '> O.

Então

Seja h continua (') estritamente posi tj.va e

J f \.L

Demonstração : Seja A boreliano t . q .

\.L = h 'Y. Então

, e injetiva . Tomemos

seqUência (hn1n~l em C0 (K) t.q . h11

--+ lA q.t . p . ('J] e

11 hn 11 0

s: 2 , ~ n ~ 1. c

.C*(e ... ~ hn)(x) =

Então

Esta Última expressao converge a lf(A)(x) q . t . p . ('Y] e

•

. .

- 25-

portanto , pelo ~eorema da convergência dominada

Logo

Também

Como u e ~ são equivalentes , esta Última expressao

converge a ~ (f(A)) e portanto

De agora em diante , suporemos f e:>.."'Pansora e topologicamente

mixing . Se ~ E ~(K) , definimos o suporte de ~ como

Supp( ~ ) = {x E K I ~ vizinhança V de x, u (V) > O)

Lema III. 2 .

supp(u) = K.

Se ~ E ~(K) admite um Jacobiano J f \J

então

Demonstração : Suponhamos que exista V aberto , com ~ (V) = O.

Cobri~os V com borelianos A c V t . q . fjA seja injetiva .

Então

u(f(A)) = J J f du =o. A ~

Logo ~(f(V)) = O. Por indução , u (fn(V)) =O . Como sabemos

- 26-

que existe n E JN t . q . fn(V) = K, chegamos a uma contradiçio .

Lema III. 3 .:.. Se J f ~1

existe A > O t.q.

de -n f , então

11

é estritamente positivo e Holder- contínuo ,

~ n , se g : S -+ K , e um ramo contrativo

~ x,y E g(S) .

Demonstração : Corno g é ramo contrativo de I

- n f . e x,y E g(S)

O ~ j ~ n.

onde , d = diimetro (S) . Então

J\Jfn(x) =

J IJ fn(y)

~

onde c = inf xEK

n-1 Jnf(fjx) n-1 IJ~f(fjx ) -J~f(fjy) I TI ~ TI j=O J \Jf(fjy) j=O J f (fjy)

IJ

n-1 1 IJ f(fjx) - J uf(fjy) I TI 1 + -j =O c u

JIJf(x) > o. Prosseguindo

m . def ~ TT 1 + c p.Y)J d = A

c j =O

+ 1

Corolário III . 4 . (Lema de Distorsão) - Existe B > O t . q .

v sl' s2 c s .

•

·-.

•

- 27-

u(g(s1))

u (g ( s2 ))

Demonstracão : Fixo x0

E g(S) , temos

Então

u(s1 ) = f J~fnd~ ~A J~~(x0 )·~(g(S1 )) g(Sl)

u(S2) = r Jufndu :<!: í Ju~(xo) .u (g(S2)). g(S2)

u (g(s1 ))

~ (g(S2))

Invertendo os papéis de s1 e s2 , obtemos a.outra desigua l da­

de .

Corolário III . 5 . Sejam e0

uma constante de expansividade de

f ' dada pelo Lema II . 3 , e O < e ~ e0

. Então existe c€ t . q .

l.l- n :2: O, .Y.. x E K.

Demonstração : Pelo Lema II . 3 , B(h , e,x) = g(Be(fnx)) , onde

g : Br(fnx) ~ K é ramo contrativo de f - n . Cobrimos K cem bo-,

las B1 . . . B~ de raio ~/3 e seja ó = min u (B1.) . õe e estrita­

e l~is:l.,

mente positivo, pois, pelo Lema III . 2, u é positiva sobre aber-

tos . Também, ~ y E K, temos

Logo

- 28-

ô t ~ IJ.(Be(fnx)).- f J IJ fn diJ s: A J u.fn(x) . IJ (B(n , e, x)) . g ( B e: ( fnx) )

Portanto

Também

Portanto

Corolário III . 6 . Suponhamos ll f-invar i ante , erg.Ódica . Então

Demonstração : O teorema de Brin-Katok ( [ B2]) afirma que

lim e: ~ o

lim sup n -+oo

- ~ log l.l(B(n , e: , x)) ,

Do Corol~rio III . 5 , segue que

q . t . p . X€=K .

1 1 n lim sup - n log ~ (B(n , e: , x)) = lim sup n log J IJ. f (x) , se O< e:< e0 • n-+oo n -+oo

Do teorema de Birkhoff , resulta

q . t . p . xEK.

Portanto

-29-

Lema III. 7 . Sejam K espaço metrico compacto , ~ E ~(K) e

r uma partição boreliana de K, r= (P1 , ... ,Pn) . Seja

(Cm)~ 1 uma seqfiência de partições com diam Cm = max (diam C) CE Cm

convergindo a zero, quando m --+ m. Então existem partiçÕes m m

(El' ... , En ) t.q.

(1) Cada E~m) ,. . - de átomos de cm. ~ e a un~ao

(2) lim ~(E~m) 6. Pi) = o, ~i m-tco ~

Demonstracão : Sejam Kl' ... , Kn compactos com Ki c P. ~

e

~ (Pi\ Ki) < e. Seja õ = inf d(Ki,Kj) > o, e consideremos i;tj

'

m

t . q . diam cm < õ/2 . Dividimos os elementos c E cm em grupos - (m) (m) cujas unioes denominaremos E1 , ... , En da seguinte forma :

pode interceptar

no máximo um K. e caso ele não intercepte nenhum, podemos in­~

clui- lo arbitrariamente em qualquer E~m) . Então ~

~ (E~m) A P .) = ~ ~

~ (P. \ E~m)) + ~J (E~m) \ p·.) ~ ~ ~ ~

n ~ ~ (Pi\Ki) + ~ (K\ U Ki) ~ (n+l) e:

j=l

Teorema III.8 . Se J~f é estritamente positivo e Holder- conti

nuo , então ,.

1.1. e exata .

Demonstração : Seja uma partição de K, com

diam r0

< r e Podemos então de-

finir ramos contra ti vos g~j : p? __... ~

K de - n o::; j =:;n. f ' ' ~

1 n n · o

Então ~ i ~ to . Sejam P .. = g .. (P. ) . ~J ~ J ~

-30-

n P = (P .. , os: j~n. , l !: iS:.{, } é uma partição de K com n lJ 1 . o

diam p -+ o. n

Suponhamos por contradição que exista A E j~Of-j(a(K))

t.q. ~(A) '> O

que )./- e: '> o,

Como A E n j;;"::O

c u.(Ac) '> o. :!IN ( e) '>O t.q.

Aplicando o Lema III.7 temos

se n ;;:: N(e:), :3: ~. E P t.q. lJ n

u.(A n F:.) ------~l~J-;;:: l-e: . ~<~j)

f - j ( 3(K)) , A = f-n(An) , para certo An E n f -j (S(K)) j;;"::O

e portanto g~j(An n P~) A n n Pelo lema de distorsão = pij '

(Corolário III . 4},

De maneira análoga,

1-4 (A n p?) n 1

u. ( p~)

t . q .

Como f , e topologicamente mixing , existe N t . q .

N J.llS: 1' S:' "'o , existe j(i) t . q . o ram~ contrativo gl ,,j (i) de

f - N satisfaz N o

Pl,j(i) c pi

Para simplificar a notação , denotaremos

Qi N

e gl , j(i)

Seja c -= min que é estritamente i

Qi tem interior não- vazio . Tomemos e t . q . o

eB Sl;lP u(Pi) 1

onde 1 ô < 2B

< ô c

N Pl, j(i) por

positivo , pois

Dessa maneira

-31-

IJ(An n Qi) ----- '> 1-ô

~ (Qi)

> 1- ô

Observando que An = f-N ~

mente o lema de distorsão

. Ac = f-N R.': e n -N

u (B n P?) n l. > 1- õB

> 1- õB

Somando resulta

1 > 2- 2õB .

e chegamos a uma contradição .

e aplicando nova-

-32-

CAPÍTULO IV

O TEOREMA DE RUELLE

Teorema IV.l. Sejam K um espaço métrico compacto : f: K ~

expansora e topo logicamente mixing; e v Holder-contínua. Então ·

existem h: K --+ ~ Ilolder-contínua e estritamente positiva,

v f ~(K) e À > O t.q .

l.

2 .

3 .

f hdV = 1

t · h = hh * * twv = Àv

4 . 11 >--n .r.; rp - h r cpdvllco _. o,

5. h é a única auto-função positiva de tw

plicação por escalares .

a menos de multi-

def 6 . A probabilidade ~ = hv

log À

é invariante , exata e

= h f + r * d~ l.l

7 . log À> hA f 1 f w d~ , para toda ~ E ~(f), ~ f- ~ 1.1

Demonstração : (1) Consideramos * * G: ~(K) ~ dada por G(bl) = .S: tJ/t u (1)

G está bem definida , pois t(l) > O

.r.*u(l) = r .1.'.(1) du > o .

· Também, como t , e positiva , G(u)

habilidade .

e portanto

é realmente uma pro-

O teoren1a de Tychonoff- Schauder (Larsen C Ll]) nos ga-

- 33-

rante então que G tem um ponto fixo ~.

temos

* Se À = ~ u (l) > O ,

* r. ~ = À~ •

Para simplificar a notação , estamos usando t em vez

e \lcp\1 denotará a norma C0 de cp.

(2) :!I A> O t.q. m m

S. (1) (x)/~ (1) (y) < A, .li- x,y E K.

Demonstração: ·Provaremos primeiro o seguinte lema.

Lema 1. ~ õ > o t . q . li- x,y E K, d(x , y) < õ e n > o podemos

escrever f - n(x) = fx1 , . .. ,xk), f - n(y) = fyl , ..• ,yk) satisfa-

zendo d(fjxi ' :fjy.) J.

n- j ( ) ~ À d x, y , para todo O~j~n , l~i~k .

Demonstração : Seja

tivo de f - 1 t . q .

õ = min(r,c/2À) .

g(i)x = xi , onde

e: seja .g(i) ramo contra­

f-1(x) = tx1 , . .. , xk ) . De-

finimos

Logo

t . q .

Y· = g(i)y. J.

Então se Y· = y. ' J. J temos que

d (x. , x.) ~ d (x . , y. ) + d (xJ. , yJ.) ~ 2 Àô ~ c . J. J J. J.

xi = xj. Então a cada correspondem Y· J. distin"!::os

d (X . , y . ) ~ Àd (X , y ) . J. J.

Invertendo os papéis de x e y, ve-

mos que tal correspondência é bi- unívoca . Isto demonstra o lema

para n = 1 . Por indução , usando raciocÍnio análogo ao feito aci-

ma, completamos a demonstração do lema . Iii

Demonstraremos então (2) . Suponhamos primeiramente que d(x , y) < õ.

Então f -m (x ) { J = xl' ... 'xk

ma acima . Temos

Logo

k sm~(xi) E e s:

i =l

- 34-

k sm~ (y i) E e

i=l

A' e

s: .

Para o caso geral, conbrimos K por bolas de diâmetro

õ ; Bl' ..• , Bt e ·tomamos N t . q . fN(Bi) = K , .J.I- 1 s: i s: t .

com+N(l) (x) = ~ S '" (z) <~.- LJ e m+N "' = z Ef-m-N( x)

= E z : fmz E f - N (x)

Escrevemos

f-N(x) = (xfl) ' .•. , x~l) ' .. , , xit ) ' • •. , x~.t) ) 1 t

f-N(y) = (yil)' .•. '~~~)' ... , yft) ' ... ,y~~)} .

onde o Índice em cima indica que

dição sobre N acima implica que k1 , •.. , kt' s 1 , .•. , st são estri

tamente positivos .

.I

!

- 35-

.tm+N (1) (x) s: eNII*\1 t I:

j=1.

eN \1~ 11 t

= I: j=1

Sabemos que

tm(1)(x1~j)) s: A :m(1)(yr(j)). ~ i= 1 k r 1 , , .•• , j' = , ••. ,sj.

Portanto

--- - ;::.

max k. 1S: j s:t J

1 =A '----

max k. 1s:js:t J

Como kj(x) , x E K é limitado , (2) está demonstr ado .

(3) (a) sup \:>.-n .1:n(1) :: < c

n

(b) inf inf l h-n : n(1)(x)l > O. n x

Demonstração : De (1) temos

r). - n ( 1 )d v = 1~ ~ n E :N •

Segue que existem sn e tn t . q .

L.

- 36-

Usando (2) , resulta

, -n ~n(l )(x) <A e , -n ~n( )( ) 1 ,.. ""' ,.. ... 1 X '> A ' ~ X !== K , n E :N .

(4) Seja cV o espaço das funções Holder-contínuas com constante

de de IIolder v provido da norma

llepll + sup. x-/=y

d(x,y)<a

lcp(x)~(y) I d(x , y) v

Suponhamos que v é uma constante de Holder de w e

que a = õ dado pelo lema 1 . Então

e

onde \1 ).-n t,n ll é a norma do operador À- n s.n no espaço cV. v, a

Para simplificar a notação não escreveremos mais ll · ll v, a , mas

apenas 11 · llv.

como no Lema 1. Suponhamos u E c V , u ~ O. Temos

Também'

I v :s: C d(x ,y) •

Portanto

'

- 37-

Então

= ~n u(y)(l + C11 d(x,y)Y) +

+ C(u) )..ny d(x,y)Y (1 +c" d(x,y)V).~n· .(l)(y).

Rearranjando os termos

--- -

onde D = 1 +C" õV. Prosseguindo

1>.- n ~nu(x) - >.-n ~nu(y)l ------~--- s: c"l >.-n ~n(l)(y)lllull +

d(x , y)Y

onde, após utilizarmos 3 . (a), juntamos todas as constantes em

uma única constante E.

Novamente usando 3 . (a) temõs

Portanto

- 38-

-Para u qualquer em cY temos u = u+ - u- , e u

em e positivas. Então

11 >--n ~nully ~ 11 >. - n ,cn u+lly + 1! >. - n .cnu-lly ~

~ Fllu+ll y + F!lu-lly ~ 2FIIull y.

Logo e supll>.-n ~nlly <to n

(5) Existe h E cY estritamente positiva t . q. ~h = >.h e

r hd\1 = 1.

Demonstração : Consideramos a seqü&ncia (gn) n dada por n- 1 .

gn = l-~ E À- J .r. j 1 . n . O J=

Por ( 4) ,

•

Recorrendo ao teorema de Arzelá-Áscol~, encontramos sub-

s eqtl&ncia t .q . em Então

nk ~h = lim ~ E À- j ~ j 1 =

k--+to nk j=l

h E cY

).- j .l:jl - 1 + ).-nk .l:nkl)

= >.h

pois s up 11 >.-n ~ n 111 < to n

e

Além disso, como r g d\1 = 1, .temos que f hd\1 = 1 . nk

De (3),(b) decorre que h , e estritamente positiva.

(6) Seja ~ = hv . Então ~ é invariante e exata .

-j':J-

Demonstração : Seja u E C0 (K) . Então

f Uo f dl.l =rUo f ·h ~\1 = ~-l f .r.(h. uo f)d\1

= ~-l f .r.h . ud\1 = r uhd\1 = r ud~ .

Portanto ,

~ e invariante . No Lema III . l, vimos que

Jvf = ~e-w e portanto é Holder-continuo e estritamente positivo.

Resulta do Teorema III.8 que

a v, ~ também e. exata.

v é exata. Como ,

\.l e equivalente

(7) Sejam u e ~ em C0 (K) . Então

Esta Última expressão converge a [ ~di.L · r E d~, pois 1.1

mixing . Logo

Demonstraremos agora o seguinte lema .

Lema 2 . Sejam v E ~(K) positiva sobre abertos e

•

, e

uma seqUência limitada e equicontínua t . q . existe * ~ CO(K) sa­

tisfazendo

Então

Demonstracão:

pologia C0•

Seja

Então,

* d\1 ___. n dv,

w ponto de acumulação de o

se ,,, ---+ ,,, "n '+'o

j temos

( ,,, } na to-"n n~o

Logo

.h dv 'n . J

- 40-

Suponhamos por absurdo que ~ f ~0 • Então existe um aberto V

aonde ~-* > ô '> o o (ou * -* > ô '> O) . Escolhemos ~ E C0 (K) o es-

tritamente positiva e com suporte em V. Resulta que

e chegamos a uma contradição . Então ~ = o '+' e o , uni c o ponto de

acumulação de (wn ) n:<!:O c o , ~ . Como (wn }n:<!:O

, r el ati va-em e e

ment e compacto em c o '

'f_. n * em co . a

Do Lema 2 conc l uÍmos que x. - n .Cnu --+ h [ udv , em C0 . ' ~ u E c V(K ) .

Observando que c V(k) ~ denso em C0 {K) e

s up 1l ). -n .s:nll < (J) ' concluímos que -X. - n .s:nu - • h J udv em C0

n

A AA

(8) Suponhamos h ~ O em C0 (K) t . q . .S:h = ).h . Então

(9)

pois

Como v

Logo

A

x.-n .cn h = (~)n h __. h r hdv

A , e positiva sobre abertos e h>- O,

A

). = X. . Concluímos que h = h r hdv .

Do Lema III . l, temos que

Recorrendo ao Corol~rio III . 6 , temos

A

h f: o,

hu. (f) = r log J ~./ du = log ).. ..:. f '+r dhl

, u e invariante .

f hdv > O.

- 1-

Os i tens (1) a (9) · demonstram o teorema de Rue11e ,

exceto por 7 .

(10) Demonstremos 'i .

Seja r= (P1 , ... , Pm} uma partição de K com diâmetro

< r .

Lema 3 . Existem c1 > O e c2 > O t . q. .li- m :<! O e g:P ---+ K

ramo contrativo de - m f .

~(g(P)) c1 ~ ~ c2 '

exp[ - m 1og ~ + Sm W(x) }

Demonstração : '

Do Lema III-. 3 , e imediato que

~ xEg(P) .

1 m u (P) ~ A Ju f (x ) ~ u (g (P)) ~ A J \.4 (x ) , .li- ·x E g(P) .

Segue que

1 inf u (P) ~ u (g(P)) · J fm( x ) ~ A sup u (P) . A PEr u PEr

Lembrando que

exp (-, 1og >. + Sm ~ (x) }

- 111 h o f Jf= ~ e "

IJ h

; exp {- log h(fm(x))

h(x) ~nf h

= h(fm(x)) E L~up h

I sto demonst ra o Lema 3 .

temos que

+ log h(x)}

sup ~l inf hj .

a

- 42-

Seja p(m) = (g < P ) I g : P _. K ,

ramo contrativo de -m) Então , se e f .

'11 E ~(f) ,

H'l1(f , P(m)) + r sm *d, = E [-n(g(P) - log n(g(P)) r sn ~d~ g,P g(P)

Seja zm ,, = sup s ·'· (x) g(P) ' xf=g(P) m ~~' . Então

H11(f,P(m)) +r Sm Wd'l1 :S: E n(~(P))[-log n(g(P )) + z;(P) wJ g,P

Lema 4 . E

Pl' · • · , pn~ 0

pl+ . · . +pn=l

A demonstraç~o do lema 4 s~r~ dada adiante . Prosseguindo, temos

Pelo lema 3 ,

Logo

Substituindo acima

E g , P

m z * e g(P)

n pei_Tlonstração do Lema 4: Seja v(::c1 , .•• ,xn) = E xi log xi +

i =l n + E a1xi uma função definida em ((x1 , ... , xn) I xi ~O e

:i.=l n

(*)

E x . = 1). i= 1 J.

Suponhamos que p = (p1 , ... , p11

) é um máximo de v

• .

·.

..

Logo

1 ~ j ~ n .

bv = 0 be. - e. l. J

- 4)-

Então

2 ~ j ~ n .

2 ~ j s:: n.

Resulta que

1 -log p 1 - p ·-- + a1 = 1 pl

1 -log p. - p. ·-- + a. J J pj J

Rearranjando os termos

--E como

n r: p . = 1

j=l J · temos que

(

n = r:

j=l

Calculando o valor de v nesse ponto encontramos

n a. v(p) = l og r: e J

j=l

Observamos que se v atinge o máximo em um ponto da

fronteira p = (p1 , ... , pn) podemos supor sem perda de generalid~

de que 1Ç =O . Mas por cálculos idênticos v não pode assumir , .

seu max1.mo em (pl ' ... 'p 1' o) - n - com p. > o J

1 ~ j s:: n- 1 , pois

tal máximo seria menor do que o máximo obtido acima . Reduzindo o

problema dessa maneira, chegaríamos a conclusão que v atinge seu , .

max1.mo em (1,0, ... , O)

n a. l og E e J

j=l

, o que e um absurdo pois

al > log e = a 1 = v(l , O, . . . , O) .

- 44-

Portanto v atinge seu máximo no interior e

a . v(x1 , . .. ,xn ) ~ log ( ~ e J )

j=l

Lema 5 . Sejam K wn espaço métrico compacto, T) f 'm(K) , e > O

e C uma partição boreliana . Existe õ > O t . q . HT) (C/D) < e .

sempre que D for uma partição de diam D < õ .

Demonstracão . Seja C= (c1 , ... , Cn}. Recorrendo ao Lema III . 7 ;

a ó >O t . q . se diam D < õ , ex iste . E= (El' . .. , En) c

A expressão

n (Ei) , e s e depende continuamente dos n~meros n (Ei n Cj ) e

anula quando n(C.1• n E. ) = õ .. n (C . ) . Logo para ~ 1 lJ J

e1 suficientemen

te pequeno , temos

Logo

Lema 6 . Suponhamos diam P < õ

mais fina do que p(m) .

Demonstração : Sejam gl (P) e

diam gl (P) < >.õ e diam g2 (P)

x 2 E g2 (P) t . q . cl(x1 ,x2 ) > c ,

c = ~ ·

g2 (P)

< >. õ.

temos

• ~ - m Entao .P v ... V· f P

, e

átomos de p(l) . Então

Como 3x1 ~ gl(P) e

que não existe Q E p t . q .

a n g1 ( P) -1= o e Q n g2 (P) I= </J . Isto demonstra que P V·f- l(P)

, e mais fina do que r( l ) . Como dlam r v f - 1 ( r ) < >. õ < ó podemos

. .

-45-

repetir o argumento para mostrarmos que PV f - 1 (P) V f - 2 (P)

fina do que P(2 ). E assim sucessivamente .

, e mais

11

Definição . Uma coleção R= (R1 , ... ,Rn )

uma partição de Markov de f se

, de abertos disjuntos e

(1) n U R.

. 1 ~ ~=

= K

(2) diam R. <r, ~i = 1, ... , ~

e para todo ramo contrativo

~: R. ~ K de f-l vale ~

~ (R.) n R.~ </J~ ttl (R.;) c R. , ~ J ... J

~ 1 s: j s: n .

Lema 7. Existem partições de Markov de f com diâmetro arbitra-

riamente pequeno .

Demonstracão : Seja a= [B1, ... , B~) urna cobertura de K por bolas

abertas com diâmetro < e. Definimos , para n ~ O, nCn) =

= (~ (Bi)l ~: Bi ~ K é ramo contrativo de· f - n) . Para ls:i s:~ , defi

nimos indutivamente B~O) = B. e B~r) = B~r-l) U( U B\ l l ~ l BE e(r) , B n B(r-1)~0)

Temos então que diam B~r) s: e + 2e ~+ ... +2e~r . Sejam~= · U B~r) r=O 2

A e Então diam Bi s: l ->. . Observamos também que se

contrativo de f - l e

. prÓpria construção dos

Seja R a coleção dos abertos R c K A

então R c B. J

e t . q . R seja maximal com essa ,

coleção finita de abertos disjuntos t . q . e uma e

A

cp: B. ---+ K l

t . q . se

, e ramo

pela

Rn Êj ~ <tJ

propriedade . R

u R = K. Para R E R.

completarmos a demonstração do Lema , dvemos mostrar que vale a con­

dição (2) da definição acima .

- l1.6--

Afirmação : Os cp(Êj) t . q . cp(Bj) n Bl f- f/J cobrem , Pois se X ( 131 , ~c E riJ(n) (Dn) , onde cp(n) e ramo contrativo de

f-n e Dn E [B1 , . . . , B~ ). Além disso existe seqüencia ~(j)(D.) ,

1~ j~ n t . q. ~P(j)( Oj) n rp(j+l)(Dj+l) f- o. 1 ~ j:: n-1 e J

(1) cp (Dl) n B1 f r/>. Suponhamos que D1 = Bj . Pela construção dos

Êj, a seqtlêncla cp( j-l) (Dj), 1 ~ j ~ n está inteiramente contida em

Bj , onde tp(j-l) = fo Cfl(j)_ Portanto x está em cp(rp(n-l)Dn)c

c cp(Bj) c cp(Bj) n B1 f- f/J. Isto demonstra a afirmação .

Seja R r R, t . q . cp(R) n Êl f- rt> . Da afirmação acima de

corre que podemos encontrar Bj satisfazendo cp(Bj) n Bl f- r/> e

cp (Êj) n cp (R) I= r/> : Portanto Bj nRf-rt> e resulta que R c B .. J

Logo Isto demonstra que cp(R) c R' '

para

algum R ' c: R. •

Os Lemas 6 e 7 nos permitem considerar partiçÕes r

satisfazendo m v f -i r= (g (P . )I~ : P.-4· K

l . l

, ' e ramo cont rativo de i =O

f-m) = p(m) _ Basta tomar como r uma partição de Markov (dis tri ­

buindo os bordos dos abertos arbitrariamente) com diâmetro < c/3'1.. ,

como no Lema 6 .

Pois ness e caso os átomos das duas partiçÕes são exata-

mente da forma O =s: is: m} .

O Lema 5 nos mostra que h~(f) = h~(f , P) , l.f T1 E <ffi(f) .

Pols se C é uma partição qualquer de K , tomo t . q .

r V •• • V f-mp tenha. diâmetro menor do que ô . Então

e

. '

. -~

-47-

A partir desses fatos e de (*) , temos que

Adiante nós iremos reo-bter esse fato, e ainda mos.trare-

mos que a igualdade só é válida no caso n = ~. A demonstração

acima nos fornece uma idéia intuitiva de porque u é a probabili­

dade que maximiza a expressão hn(f) + r * dn. De fato , o Lema 4

nos informa qual devem ser os valores de ~(p) para que valha a

igualdade acima , e tais vàlores são exatamente os valores de

~ (p) , pelo Lema 3 .

Devemos mostrar que se n f u, n E ~(f) , então

hn ( f) + r w d n < log ,.. .

1º caso . n singular com r espeito a u .

Nesse caso , existe cl t . q . ~ (C l) = o e ~(Cl) = 1.

Se c = n u f - j (C1 ) , então N~l j~N

f - 1 (C) = C, u (C) = o e TJ(C) = 1.

m Usando novamente o Lema II·I . 7 , encontramos F união de

átomos de P(m) t . q .

(n+u )(Fm llC) -t O quando m-+ cn .

Suponhamos por absurdo que

-48-

Logo

m 1og À ~ E ( )(-n(B) 1og n(B) + J s v dn) Bff-l m B m

Seja Zm ' ( ) ( P) '11 = s up sm ~ x . g xEg ( P)

Então

m m log). ~ E ( ) n(B)(ZB ~ - 1og n(B)) ~

BEP m

m 0- 1og n(B))'+ E n(B)( ZB t- 1og n(B)).

BC(Fm)c

Lema 8 . Suponhamos p. ~ J

o, j = 1, ... , n , s =

ai , . · . . , an c n . Então

n n a. r: P. (a . - 1og p j) ~ s(1og r: e l.

j=1 J J i=1

Demo!!.§tração : Análoga à do Lema q .

Prosseguindo , temos então

onde C = sup (-s 1og s) . Rearranjando temos o~s~1

Recorrer do ao Lema 3,

-2C ~ r: 1-J.(B)

h E Pj ~

j=1

- 1og s) .

r: ~(B) n(Fm) 1og n(Fm)c) 1og +

BcFm c BC{Fm)c c1 1

1

1og 1 + n(Fm) 1og ~(Fm) + n( (Fm) c) 1og ~ ( ( Fm) c) . = c1

e

=

. ..;

- ... Portanto a expressao a direita converge a e -chegamos a uma

contradição .

ConcluÍmos que

e portanto, utilizando a partição adequada

log ). > l H ( P V ••• V f - m P) + r ~ d T'l m T'l

Como a expressão à direita é decrescente com m,

hT'l(f) + r w dT'l < log ).

2º Caso . T'l não-singular com respeito a u. Como n também nao

é absolutamente contínua com respeito a u, po~emos decompÔ- la

como n = an' + (1-~) u', onde O < ~ < 1, n' singular e u'

absolutamente contínua (com respeito a u) . Seja A t . q .

f - 1 (A) =A ; n'(A) = 1 e u (A) =O . Então , para todo B borelia

no-,

= ~ T'l(B nA)= n'(B nA)= T'l ' (B) .

Portanto T'l' E !llt(f) . Resulta que u' E !llt(f) e logo~' = u .

Lema 9 . Sejam 'J,V' E !llt(f), mutuamente singulares, e 0< ~<1.

- 50-

·Demonstração : Se jam A :f-invariante t . q . v(A) = 1 e v' (A) = O,

a = (A,Ac) e 11 = a.v+(l-a.)v '. Então , se ~ é uma partição de

K, temos

H (~ v a) = 11

v(R) log a.v( R) +

+ (1-o.) E v'(R) log (1-a.) v'(R) = Rf= RVa RCA

= a. log a.+ (1- a.) log(l-o.) + a. Hv (R. V a)+ (l-a) ~,(RV a) .

Portanto

--h"' (f) .= lim l ·H ((P V a) V . . . V f-n+l (P V O)) =

'I n -+oo n '!)

= lini l H ( P v .•. V f - n+l P V a) n -+oo n 11

= 1im 1 ra. log a. + (1-a. ) log(l-a.) + n -+oo n L

= a.hv ( f) + ( 1-a.) ~ , ( f) .

Do lema temos que

< a. log ~ + (1-a.) log À

= log À.

Isto demonstra o item 7 , e portanto todo o teorema IV . l .

•

- 51-

Teorema IV. 2 . Sejam w e . ~ Holder- contínuas . Então

se e somente se w - log ~~ - ~ - log À~.

Demonstração : Se então J f u~

= J f . ucp

, Isto e ,

Definimos Então

E portanto

(log h) o f - log h= ( v - l og À*) - (rp - log Àtp ) .

Reciprocamente , suponhamos que exista H E C0 (k)- t . q .

H o f - H = ( $ - log À W) - ( tp - log Àçp )

Para mostrarmos que \.Lw = uc.?, bas ta mostrarmos que

Ucp « uw, pois são probabilidades ergÓdicas . Para isto , basta

mostrarmos que v~ << v* . Seja h = exp H. Então , se U. E C0 (K)

- 1 1 ( w- log >-w) (y) (h- l À* ~*h u)(x) =h- (x ) ~ e h (y ) u(y) =

yEf- 1 (x)

(v-log À*+H)(y) = h-l (x) ( ) ~ e u y =

yEf- 1 (x)

($ - log Àw+H-Ho f)(y) e u(y) =

- 52-

Logo

h-1 >..-n w

.r,n w h = >..-n

cp .~:n

cp' li-n :<! o

Por outro lado

h cp f ud'Vcp 1im - n .r.n = ~cp u n-+oo cp

-1 1im -n .r.n u h = h ~w n-.oo w

= h- 1 hw r h Ud'V * .

Porta~to , se u f C0 (k) , u :<!O , temos

f 1 ~ udvm ~ , - inf h cp ·

Isto mostra que vcp << v~ .

.!

J

- 53-

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Il\"FORHES DF K.\.TEHÁTICA

Série E

OOl/82 - Conjetura de Blaschke

Enaldo Silva Vergasta

002/82 - Realização de Subschift

Jaques Gheiner

003/83 - Hipersuper~Ícies de Rotação em Espaços de Curvatura Constante

Isaac Costa Lázaro

004/83 - O Teorema do :Lndice de ':t-iorse

Hermando Frid Neto

005/.83 - Sobre as Várias NoçÕes de Dif'erenciabilidade

Ramiro A~fonso Tadeu Guerreiro

006/83 - Sobre a Integralidade de Subanéis Fixos

Daniel Levcovitz-

007/83 - O Princípio .da Tangência e AplicaçÕes

Katia Rosenvald Frensel Leão

008/83 - Órbitas PeriÓdicas na Vizinhança de um Ponto de EquilÍbrio de um Sistema Hamiltoniano : O Teorema de· iveinstein

009/83

Pedro Paulo Serpa Schirmer

- ExtensÕes de Equivalências TopolÓgicas em Subvarie­dades Normalmente HiperbÓlicas e AplicaçÕes

Edson Vargas

c:o Ol0/83 - Sobre a Dinâmica dos C -Homeomor~ismos do CÍrculo

~ , Joao Marcos Bezerra do O

Oll/83 - FÓrmulas Integrais e Teoremas de Uni·cidade

M~nica Moulin Ribeiro Levcovitz

Ol2/84 - Perturbação do Oscilador Harm~nico QuruLtico por um Campo Elétrico Dependente do Tempo

Celius Antonio Hagalhães

Ol3/84 - Produtos de Somas de Quadrados

ErmÍnia de Lourdes Campello Fanti

OJ.4/8Jr. - Trabalhos de· Norse Sobre os ProlJlemas de Schoen:fl ies

Renato Dnartc Carneiro Nonteiro

015/84 - O M6todo de Dona- Boso - Dcnjamin para a Exist~ncia de Onda SoLitária na Eqnação de Nokrasov

Paulo Marcelo Dias de Hagalhães

016/85 - Variedades Con:formemente Euclidiru1.as

Marco Antonio Noguej.ra Fernandes

017/85 - Ri~ldez ue Superi'Ícies Convexas

Fibio Corr~a Dutra

018/85 - Teoria ErgÓU.ica das Traus:formaçÕes Expansoras

Harcos -Craizor

1

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