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Marcos Jardim & Henrique N. Sá Earp

Notas de Aula: Introdução a Teoria de Calibre

CAMPINAS2014

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Resumo

Estas notas foram digitadas pelos os alunos da disciplina Tópicos de Geometria I: Introdução ateoria de Calibre, ministrado no segundo semestre de 2014, na Universidade Estadual de Campinaspelos professores Dr. Marcos Jardim e Dr. Henrique de Sá Earp.

Palavras-chave: Fibrado, Conexão, espaço de Modulos, Transformação de Calibre.

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Sumário

1 Revisão de Variedades Suaves e Grupos de Lie 11.1 Variedades Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Funções Suaves e Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Fibrados Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.6 Álgebra Exterior em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.7 Orientabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.8 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.9 Estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2 Variedades complexas e Kähler 692.1 Preliminares: Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2 Variedades Quase Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3 Funções Holomorfas em C𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4 Variedades Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Estruturas Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 Fibrados Vetoriais Reais e Complexos 913.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Funções de Transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3 Seções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Conexões e Curvatura 1014.1 Conexões em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.1 Conexões em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2 Conjunto das conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.1 Transformação de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2.2 Conjunto das conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.3 Conexões em somas diretas e em produtos tensoriais . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.1 Curvatura em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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4.3.2 Curvatura em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4 Conexão no fibrado de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Integrabilidade de Estruturas Holomorfas 1115.1 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1.1 Fibrados Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Condição de Autodualidade e Anti-Autodualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Classes características e teoria de Chern Weil 1196.1 Funções Ad-Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2 Classes Características para fibrados vetoriais complexos . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3 Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.4 Obstrução pela existência de conexões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5 Exemplos de Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.5.1 Conexões via Projeções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7 Teorema de Gauss Bonnet em superfície 1317.1 Estrutura Quase-Complexa em Fibrados Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Generalizações do Teorema Gauss Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Exemplos sobre fibrados complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8 Eletromagnetismo em variedades 1378.1 Revisitando o operador estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.2 Reescrevendo as equações de Maxwell em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2.1 O par homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2.2 O par não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 O eletromagnetismo como uma 𝑈(1) teoria de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.4 O efeito Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.4.2 Solenóide de Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.3 Sobreposição de funções de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9 Equação de Yang-Mills e Autodualidade 1519.1 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.1.1 Funcional de Yang-Mills (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.1.2 Cotas topologicas de energia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.1.3 Redução 𝑈(𝑛) 𝑆𝑈(𝑛) (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.1.4 Teoria de Hodge (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.1.5 Teorema de decomposição de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.1.6 Norma do representante harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.2 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.2.1 Exemplos de instantos AAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

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10 O espaço das Conexões 15910.1 O grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.2 Variedades de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.3 A ação do grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11 Modelo local do espaço de moduli de instantons 16711.1 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2 Fibrados e transformações de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.3 Modelo local do espaço de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.4 O espaço de módulos de instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.5 Modelo local do espaço de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12 Teorema de Narasimhan Seshadri e Teoria de Deformação 17312.1 Teorema de Narasimhan Seshandri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.2 Operadores Elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.2.1 Teoria de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17712.2.2 Operadores Elípticos em fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

12.3 Teorema do Índice de Atiyah-Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.4 Cobordismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.5 Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Referências 182

Índice Remissivo 183

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Capítulo 1

Revisão de Variedades Suaves e Gruposde Lie

1.1 Variedades SuavesO objetivo desta seção é discutir o conceito de suavidade. A noção de suavidade de uma varie-

dade tem como ancestral o conceito de regularidade de curvas e superfícies no espaço Euclideano,que, a grosso modo, são as curvas e superfícies nas quais se consegue definir naturalmente umplano tangente em cada ponto.Definição 1.1.1. Um espaço topológico é um par (𝑋, 𝜏) formado por um conjunto 𝑋 (cujoselementos são chamados de pontos) e uma coleção 𝜏 (chamada de topologia de 𝑋) de subconjuntosde 𝑋 (chamados de abertos de 𝑋) tais que

(i) ∅ e 𝑋 são abertos de 𝑋;

(ii) Se {𝑈𝜆}𝜆∈Λ ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∪𝜆∈Λ𝑈𝜆 é um aberto;

(iii) Se {𝑈𝑛}16𝑛6𝑘 ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∩𝑘𝑛=1𝑈𝑛 é um aberto.

Se 𝐹 ⊂ 𝑋 e 𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏 , dizemos que 𝐹 é um fechado de 𝑋. Por conveniência, quando a topologiade (𝑋, 𝜏) estiver clara no contexto, nos referiremos a 𝑋 como um espaço topológico e omitiremosa topologia 𝜏 .

Exemplo 1.1.2. (a) O conjunto R dos números reais possui uma topologia canônica na qualos abertos são ∅, R e as uniões de intervalos abertos (i.e. uniões de conjuntos da forma(𝑎, 𝑏) := {𝑥 ∈ R: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}).

(b) Se (𝑋𝑖, 𝜏𝑖), 𝑖 = 1, 2,. . . , 𝑛, são espaços topológicos então 𝑋 = 𝑋1 × 𝑋2 × . . . 𝑋𝑛 possuiuma estrutura de espaço topológico na qual os abertos são as uniões de conjuntos da forma𝑈1 ×𝑈2 × . . .×𝑈𝑛, onde 𝑈𝑖 ∈ 𝜏𝑖. Esta estrutura de espaço topológico é chamada de topologiaproduto. Em particular, a topologia produto de R𝑛 = R× . . .×R é conhecida como topologiacanônica de R𝑛. A menos que seja mencionado o contrário, os espaços 𝑅𝑛, conhecidos comoespaços Euclideanos, serão sempre considerados como munido de sua topologia canônica.

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(c) Dados espaços topológicos (𝑋𝑖, 𝜏𝑖), 𝑖 ∈ 𝐼, a união disjunta 𝑋 = ⊔𝑖∈𝐼𝑋𝑖 possui uma estruturade espaço topológico no qual os abertos são os conjuntos da forma ∪𝑖∈𝐼𝑈𝑖, onde 𝑈𝑖 ∈ 𝜏𝑖.Dizemos que esta é a topologia união de 𝑋.

(d) Se (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico e 𝑌 ⊂ 𝑋 então a coleção

𝜏 |𝑌 := {𝑌 ∩ 𝑈 :𝑈 ∈ 𝜏}

é tal que (𝑌, 𝜏 |𝑌 ) é um espaço topológico. Neste caso, dizemos que (𝑌, 𝜏 |𝑌 ) é um subespaçode (𝑋, 𝜏).

(e) Sejam (𝑋, 𝜏) um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalência em 𝑋. O mapa 𝜋:𝑋 →𝑋/∼, entre 𝑋 e o conjunto das classes de equivalência 𝑋/∼ de 𝑋 pela relação ∼, que mandacada ponto em sua classe de equivalência, é chamado de mapa quociente. A coleção

𝜏/∼:= {𝑉 ⊂ 𝑋/∼: 𝜋−1(𝑉 ) ∈ 𝜏}

é tal que (𝑋/∼, 𝜏/∼) é um espaço topológico. Dizemos que 𝜏/∼ é a topologia quociente de𝑋/∼.

Um espaço topológico (𝑋, 𝜏) também pode ser descrito pela família de seus subespaços fechados𝜌. De fato, o par (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico se e somente se o conjunto 𝜌 := {𝐹 ⊂ 𝑋:𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏}satisfaz as condições:

(i) ∅ e 𝑋 ∈ 𝜌;

(ii) Se {𝐹𝑛}16𝑛6𝑘 ⊂ 𝜌 então ∪𝑘𝑛=1𝐹𝑛 ∈ 𝜌;

(iii) Se {𝐹𝜆}𝜆∈Λ ⊂ 𝜌 então ∩𝜆∈Λ𝐹𝜆 ∈ 𝜌.

Definição 1.1.3. Se (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico e 𝑆 ⊂ 𝑋, denotamos por 𝑆 o subespaço fechadode 𝑋 que é dado pela interseção de todos os subespaços fechados de 𝑋 que contém 𝑆.

Os espaços Euclideanos, são os exemplos de espaços topológicos mais importantes desta se-ção, pois, em certo sentido, são as variedades mais simples de variedade possíveis. Em especial,queremos que todas as variedades possuam algumas propriedades em comum com os espaços Eu-clideanos. Uma delas é a noção de distância entre pontos como veremos na próxima definição.

Definição 1.1.4. Seja 𝑋 um conjunto com uma função d:𝑋 ×𝑋 → R satisfazendo, para cada 𝑥,𝑦 e 𝑧 em 𝑋:

(i) d(𝑥, 𝑦) = 0 se e somente se 𝑥 = 𝑦;

(ii) d(𝑥, 𝑦) = d(𝑦, 𝑥);

(iii) d(𝑥, 𝑦) 6 d(𝑥, 𝑧) + d(𝑧, 𝑥).

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Neste caso, dizemos que (𝑋, d) é um espaço ( topológico) métrico e que d é a métrica de 𝑋. Porconveniência, quando a métrica de (𝑋, d) estiver clara no contexto, nos referiremos a 𝑋 como umespaço métrico e omitiremos a métrica d.

Exemplo 1.1.5. (a) Seja d:R𝑛 × R𝑛 → R a função dada por

d(𝑥, 𝑦) =𝑛∑𝑖=1

(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)2,

para todos 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) em R𝑛. O par (R𝑛, d) é um espaço métrico ed é chamada de métrica Euclideana.

(b) Outra métrica importante nos espaços euclideanos é a métrica do supremo dsup. Esta édefinida pela igualdade

d(𝑥, 𝑦) = sup{|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖|}𝑛𝑖=1,

para todos 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) em R𝑛.

Os espaços topológicos métricos são assim chamados pois suas métricas induzem topologias.

Definição 1.1.6. Seja (𝑋, d) um espaço métrico.

• Para cada 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝜀 > 0, denotemos por 𝐵(𝑥, 𝜀) o conjunto

{𝑦 ∈ 𝑋: d(𝑥, 𝑦) < 𝜀}.

Chamamos 𝐵(𝑥, 𝜀) de bola aberta de raio 𝜀 centrada em 𝑥;

• A coleção𝜏 = {∅, 𝑋} ∪ {∪𝑖∈𝐼𝐵(𝑥𝑖, 𝜀𝑖):𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝜀𝑖 > 0}

é chamada de topologia induzida por d em 𝑋.

Segue direto da definição de espaço topológico que, de fato, (𝑋, 𝜏) é um espaço topológico se𝜏 é a topologia induzida por uma métrica d em um espaço métrico (𝑋, d).

Observação 1.1.7. As topologias de R𝑛 induzidas pelas métricas Euclideana e do supremo sãoiguais. Mais do que isto, elas coincidem com a topologia canônica de R𝑛. Pelo menos umademonstração de tal fato é acessível ao leitor, porém é um tanto trabalhosa. O leitor pode, porexemplo, utilizar como lema o artifício a seguir, que ele mesmo pode demonstrar. Para provar quea topologia 𝜏 de um espaço topológico 𝑋 coincide com a topologia induzida por métrica de 𝑋 bastaverificar que:

• Para cada ponto 𝑦 de uma bola aberta 𝐵(𝑥, 𝜀) existe um 𝑈 ∈ 𝜏 tal que 𝑦 ∈ 𝑈 ⊂ 𝐵(𝑥, 𝜀). (Ouseja, toda bola aberta é um aberto de (𝑋 < 𝜏));

• Para cada ponto 𝑦 de um aberto 𝑈 da topologia 𝜏 existe 𝛿 > 0 tal que 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥, 𝜀) ⊂ 𝑈 . (Ouseja, toda aberto em (𝑋, 𝜏) está na topologia induzida pela métrica).

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Definição 1.1.8. Sejam 𝑋 e 𝑌 espaços topológicos. Um mapa 𝜙:𝑋 → 𝑌 é dito contínuo se a ima-gem inversa 𝜙−1(𝑉 ) de qualquer aberto 𝑉 de 𝑌 é um conjunto aberto em 𝑋. Se um mapa bijetivo𝜙:𝑋 → 𝑌 e seu inverso 𝜙−1:𝑌 → 𝑋 são contínuos então dizemos que 𝜙 é um homeomorfismo eque 𝑋 é homeomorfo a 𝑌 (relação denotada por 𝑋 ≃ 𝑌 ).

Exemplo 1.1.9. (a) O mapa identidade id𝑋 :𝑋 → 𝑋 (que leva um ponto nele mesmo) de umespaço topológico é sempre um homeomorfismo.

(b) A noção de continuidade dos cursos de cálculo coincidem com as definições acima. Isto é,𝐹 :R𝑛 → R𝑚 é contínua se e somente se, para todos 𝑥 ∈ R𝑛 e 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 tal qued(𝑥, 𝑦) < 𝛿 implica que d(𝐹 (𝑥), 𝐹 (𝑦)) < 𝜀.

(c) Segue do exemplo anterior que toda aplicação linear R𝑛 → R𝑚 é contínua.

Definição 1.1.10. Dizemos que um espaço topológico (𝑋, 𝜏) é Hausdorff se dados pontos distintos𝑥1 e 𝑥2 em 𝑋 existem abertos 𝑈1 e 𝑈2 de 𝑋 tais que

(i) 𝑥1 ∈ 𝑈1 e 𝑥2 ∈ 𝑈2;

(ii) 𝑈1 ∩ 𝑈2 = ∅.

Exemplo 1.1.11. (a) Se (𝑋, d) é um espaço métrico então a topologia induzida pela métrica dé Hausdorff. De fato, dados 𝑥 e 𝑦 em 𝑋, tomando 𝜀 = d(𝑥, 𝑦)/2, temos que 𝐵(𝑥, 𝜀) e 𝐵(𝑦, 𝜀)são abertos em 𝑋 contendo, respectivamente, 𝑥 e 𝑦 e tais que 𝐵(𝑥, 𝜀) ∩𝐵(𝑦, 𝜀) = ∅.

(b) Pelo exemplo anterior e pela observação 1.1.7, o espaço Euclideano R𝑛, para qualquer 𝑛 > 1,com sua topologia canônica, é um espaço topológico Hausdorff.

(c) O espaço topológico (𝑋, 𝜏), onde 𝑋 = {𝑥, 𝑦} e 𝜏 = {∅, 𝑋}, não é Hausdorff.

(d) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços Hausdorff então 𝑋 = 𝑋1 × . . . × 𝑋𝑛 (com atopologia produto) é um espaço Hausdorff. Sejam 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) em 𝑋,com algum 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖, e 𝑈𝑖 e 𝑉𝑖 abertos de 𝑋𝑖 contendo 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖, respectivamente. Temos que𝑈 = 𝑋1 × . . .×𝑋𝑖−1 × 𝑈𝑖 ×𝑋𝑖+1 × . . .×𝑋𝑛 e 𝑉 = 𝑋1 × . . .×𝑋𝑖−1 × 𝑉𝑖 ×𝑋𝑖+1 × . . .×𝑋𝑛

são abertos de 𝑋 contendo, respectivamente, 𝑥 e 𝑦 e tais que 𝑈 ∩ 𝑉 é o conjunto vazio.

(e) Se {𝑋𝑖}𝑖∈𝐼 é uma coleção de espaços Hausdorff então a união disjunta 𝑋 = ⊔𝑖∈𝐼𝑈𝑖 (com atopologia união) é um espaço Hausdorff.

(f) Todo subespaço de um espaço topológico de Hausdorff é Hausdorff.

(g) Nem sempre o espaço topológico 𝑋/∼ (com a topologia quociente) é Hausdorff, onde 𝑋 é umespaço topológico com uma relação de equivalência ∼. Veja o exemplo 1.1.14 a seguir.

Definição 1.1.12. Seja 𝑋 um espaço topológico.

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• Um par (𝑈,𝜙), onde 𝑈 é um aberto em 𝑋 e 𝜙:𝑈 → �� é um homeomorfismo entre 𝑈 e umaberto de um espaço Euclideano, é chamado de carta local em 𝑋.

• Um atlas de de dimensão 𝑛 de 𝑋 é uma coleção {(𝑈𝛼, 𝜙𝛼)}𝛼∈Λ de cartas locais em 𝑋 tal que𝑋 = ∪𝛼∈Λ𝑈𝛼 e a imagem 𝜙𝛼(𝑈𝛼) é um aberto de R𝑛, para cada 𝛼 ∈ Λ.

• Se 𝑋 possuir um atlas de dimensão 𝑛, dizemos que 𝑋 é localmente Euclideano de dimensão𝑛. Neste caso, denotaremos 𝑛 por dim𝑋.

Exemplo 1.1.13. (a) Todo espaço Euclideano é localmente Euclideano.

(b) O espaço topológico (𝑋, 𝜏), onde 𝑋 = {𝑥, 𝑦} e 𝜏 = {∅, {𝑥}, 𝑋}, não é localmente Euclidiano.De fato, não existe vixinhança de 𝑦 que seja homeomorfa a um espaço Euclideano.

(c) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços localmente Euclideanos então 𝑋 = 𝑋1 × . . .×𝑋𝑛

(com a topologia produto) é localmente euclideano. Podemos tomar cartas 𝜙𝛼1,...,𝛼𝑛 :𝑈𝛼1 ×. . .× 𝑈𝛼𝑛 → ��𝛼1 × . . .× ��𝛼𝑛, onde (𝜙𝛼𝑖

, 𝑈𝛼𝑖) é uma carta em 𝑋𝑖 e

𝜙𝛼1,...,𝛼𝑛(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = (𝜙𝛼1(𝑥1), . . . , 𝜙𝛼𝑛(𝑥𝑛)),

para cada (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝑋.

(d) Se {𝑋𝑖}𝑖∈𝐼 é uma coleção de espaços localmente Euclideanos então a união disjunta 𝑋 =⊔𝑖∈𝐼𝑋𝑖 (com a topologia união) é um espaço localmente Euclideano.

(e) Todo subespaço aberto de um espaço localmente Euclideano é localmente Euclideano.

(f) O quociente de um espaço localmente Euclideano nem sempre é localmente Euclideano. Porexemplo, 𝑋 = R/𝑠𝑖𝑚, com as classes de equivalência

[𝑥] ={

{𝑦 ∈ R: 𝑦 6 0}, caso 𝑥 6 0,{𝑦 ∈ R: 𝑦 > 0}, caso 𝑥 > 0,

tem topologia {∅, {[1]}, 𝑋}, que não é localmente Euclideana.

Como os espaços Euclideanos são Hausdorff, o leitor pode ter, à primeira vista, a impressãode que todo espaço localmente Euclideano também é Hausdorff. O próximo exemplo é sobre umespaço topológico, conhecido como a ‘reta com duas origens’, localmente euclideano que não éHausdorff. De onde concluimos que não basta um espaço topológico possuir um atlas para queeste seja Hausdorff.

Exemplo 1.1.14. Considetemos os espaços topológicos R𝑎 = R × {𝑎} e R𝑏 = R × {𝑏} com atopologia produto e o espaço 𝑋 = R𝑎 ∪R𝑏 com a topologia união. Podemos definir uma relação deequivalência ∼ em 𝑋 tal que a classe de equivalência [x,c] do elemento (𝑥, 𝑐) de 𝑋 é dada por

[𝑥, 𝑐] ={

{(𝑥, 𝑎), (𝑥, 𝑏)}, caso 𝑥 = 0{(0, 𝑐)}, caso 𝑥 = 0.

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Tomemos 𝑌 := 𝑋/∼ com a topologia quociente. Se 𝑈 é uma vizinhança de [0, 𝑎] em 𝑌 que nãocontém [0, 𝑏] então

𝜋−1(𝑈) =((𝑥, 𝑦) × {𝑎}

)∪(((𝑥, 𝑦)∖{0}) × {𝑏}

),

onde 𝑥 < 0 < 𝑦 e (𝑥, 𝑦) é o intervalo aberto dos pontos 𝑧 entre 𝑥 e 𝑦. Analogamente, se 𝑉 é umavizinhança de [0, 𝑏] em 𝑌 que não contém [0, 𝑎] então

𝜋−1(𝑉 ) =(((𝑥′, 𝑦′)∖{0}) × {𝑎}

)∪((𝑥′, 𝑦′) × {𝑏}

),

onde 𝑥 < 0 < 𝑦 e (𝑥, 𝑦). Segue daí que a interseção entre 𝑈 e 𝑉 , como acima, nunca é vazia. Em,particular, não existem abertos disjuntos 𝑈 e 𝑉 de 𝑌 contendo [0, 𝑎] e [0, 𝑏], respectivamente. Comisso, concluímos que 𝑌 não é Hausdorff. Por outro lado, 𝑌 possui um atlas {(𝑈𝑎, 𝜙𝑎), (𝑈𝑏, 𝜙𝑏)},onde 𝑈𝑐 = 𝜋(R𝑐) e 𝜙𝑐:𝑈𝑐 → R é dado pela igualdade

𝜙𝑐([𝑥, 𝑐]) = 𝑥.

Definição 1.1.15. Um espaço topológico (𝑋, 𝜏) é dito segundo enumerável se existe uma famíliaenumerável {𝑈𝑛}𝑛∈Z+ contida em 𝜏 tal que, para todo 𝑈 ∈ 𝜏 , existe 𝐼 ⊂ Z+ tal que 𝑈 = ∪𝑛∈𝐼𝑈𝑛.

Exemplo 1.1.16. (a) Todo espaço Euclideano é segundo enumerável.

(b) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços segundo enumerável então 𝑋 = 𝑋1 × . . . × 𝑋𝑛

(com a topologia produto) é segundo enumerável.

(c) Se {𝑋𝑖}𝑛𝑖=1 é uma coleção finita de espaços segundo enumerável então a união disjunta 𝑋 =⊔𝑛𝑖=1𝑋𝑖 (com a topologia união) é um espaço segundo enumerável.

(d) Todo subespaço de um espaço segundo enumerável é segundo enumerável.

(e) O quociente de um espaço topológico segundo enumerável é sempre segundo enumerável.

Lembremos, dos cursos de Cálculo, que uma mapa (𝑓1, . . . , 𝑓𝑚):𝑈 → 𝑉 , de um aberto 𝑈 de R𝑛

para um aberto 𝑉 de R𝑚 é suave (ou 𝐶∞) se as funções coordenadas 𝑓𝑖:𝑈 → R possuem derivadasparciais de todas as ordens em todos os pontos.

Definição 1.1.17. Dizemos que um espaço topológico 𝑀 munido de um atlas 𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜙𝛼)}𝛼∈Λde dimensão 𝑛 = dim𝑀 é uma variedade suave de dimensão 𝑛 se

(i) 𝑀 é Haussdorf e segundo enumerável;

(ii) Dadas duas cartas locais (𝑈𝛼, 𝜙𝛼) e (𝑈𝛽, 𝜙𝛽) em 𝒜 tais que 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅, o mapa

𝜙𝛽 ∘ 𝜙−1𝛼 :𝜙𝛼(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽) → 𝜙𝛽(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽)

é suave.

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(iii) Se (𝑉, 𝜓), com 𝜓(𝑉 ) sendo um aberto de R𝑛, for tal que, para todo 𝛼 ∈ Λ com 𝑈𝛼 ∩ 𝑉 = ∅,o mapa

𝜓 ∘ 𝜙−1𝛼 :𝜙𝛼(𝑈𝛼 ∩ 𝑉 ) → 𝜓(𝑈𝛼 ∩ 𝑉 )

é suave então 𝜙 ∈ 𝒜.

Por conveniência, quando o atlas 𝒜 da variedade suave (𝑀,𝒜) estiver claro no contexto, nosreferiremos a 𝑀 como a variedade suave e omitiremos o atlas 𝒜. Os elementos de 𝒜 são chamadosde cartas suaves em 𝑀 .

Observação 1.1.18. A condição (iii) da definição acima é essencial. Porém se temos um espaçotopológico 𝑀 com um atlas 𝒜 satisfazendo as condições (i) e (ii), existe (pelo Lema de Zorn) umúnico atlas 𝒜 de 𝑀 contendo 𝒜 e satisfazendo as condições (ii) e (iii). Por isso, ao descrevermosuma variedade no restante destas notas nos restringiremos a descrever um atlas que satisfaça acondição (ii) e ficará subentendido que a variedade suave em questão é munida do único altas quecompleta os pré-requisitos da definição.

Exemplo 1.1.19. (a) Todo espaço Euclideano de dimensão 𝑛 é uma variedade de dimensão 𝑛.

(b) Seja 𝑉 um espaço vetorial real de dimensão finita 𝑛. Tomando um isomorfismo linear 𝑇 :𝑉 →R𝑛 podemos considerar uma topologia em 𝑉 pela qual 𝑇 é um homeomorfismo (isto é, naqual 𝐵 ⊂ 𝑉 é um aberto se e somente se 𝑇 (𝐵) é um aberto de R𝑛). A carta (𝑉, 𝑇 ) forma,por si só, um atlas para 𝑉 , fazendo deste uma variedade suave.

(c) Se {𝑀𝑖}𝑘𝑖=1 é uma coleção finita de variedades suaves, com 𝑛𝑖 = dim𝑀𝑖, então o produto𝑀 = 𝑀1 × . . . × 𝑀𝑘 (com a topologia produto) é uma varidade suave de dimensão 𝑛 =𝑛1 · 𝑛2 · . . . · 𝑛𝑘. O atlas de 𝑀 é formado pelas cartas locais (𝑈1 × . . . × 𝑈𝑘, 𝜙1 × . . . × 𝜙𝑘)onde (𝑈𝑖, 𝜙𝑖) é uma carta local de 𝑀𝑖.

(d) Dada uma família {𝑀𝑖}𝑘𝑖=1 finita de variedades suaves de dimensão 𝑛 então a união disjunta𝑀 = ⊔𝑘

𝑖=1𝑀𝑖 (com a topologia união) é uma variadede suave de dimensão 𝑛. Um atlas suavepara 𝑀 pode ser dado pela união dos atlas de cada 𝑀𝑖.

(e) Se 𝑈 é um aberto de uma variedaded suave 𝑀 de dimensão 𝑛 então 𝑈 (com a topologia desubespaço) é uma variedade suave de dimensão 𝑛. O atlas de 𝑈 é descrito como sendo o atlascomposto pelas cartas (𝑈 ∩ 𝑉, 𝜓|𝑈∩𝑉 ) onde (𝑉, 𝜓) é uma carta local de 𝑀 tal que 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅.

Agora, passemos para alguns exemplos mais sofisticados de variedades suaves.

Exemplo 1.1.20. Seja S𝑛 o subespaço de R𝑛 formado pelos pontos 𝑥 tais que |𝑥|= 1. Consideremosos abertos 𝑈𝑁 = S𝑛∖{𝑒𝑛+1} e 𝑈𝑆 = 𝑆𝑛∖{−𝑒𝑛+1} (onde 𝑒𝑛+1 é o vetor (0, . . . , 0, 1) em R𝑛+1).Podemos definir mapas 𝜙𝑁 :𝑈𝑁 → R𝑛∖{0} e 𝜙𝑆:𝑈𝑁 → R𝑛∖{0} pela igualdades

𝜙𝑁(𝑥) =(

𝑥1

1 + 𝑥𝑛+1 , . . . ,𝑥𝑛

1 + 𝑥𝑛+1

), 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ 𝑈𝑁 ,

e𝜙𝑆(𝑥) =

(𝑥1

1 − 𝑥𝑛+1 , . . . ,𝑥𝑛

1 − 𝑥𝑛+1

), 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ 𝑈𝑆.

7

Tais mapas possuem inversos dados por

𝜙−1𝑁 (𝑦) =

(2𝑦1

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2 , . . . ,

2𝑦𝑛1 +∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2 ,1 −∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2

), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛∖{0},

e

𝜙−1𝑆 (𝑦) =

(2𝑦1

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2 , . . . ,

2𝑦𝑛1 +∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2 ,−1 −∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2

), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛∖{0}.

Segue destas descrições de 𝜙𝑁 , 𝜙𝑆, 𝜙−1𝑁 e 𝜙−1

𝑆 que os mapas 𝜙𝑁 e 𝜙𝑆 são homeomorfismos, ouseja, (𝑈𝑛, 𝜙𝑁) e (𝑈𝑆, 𝜙𝑆) são cartas locais de S𝑁 . Por fim, como 𝜙𝑁 ∘ 𝜙−1

𝑆 e 𝜙𝑆 ∘ 𝜙−1𝑁 são dadas

por

𝜙𝑁 ∘ 𝜙−1𝑆 (𝑦) = 𝜙𝑆 ∘ 𝜙−1

𝑁 (𝑦) =(

2𝑦1

1 +∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖)2 , . . . ,

2𝑦𝑛1 +∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖)2

), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛∖{0},

estes mapas são suaves e, portanto, o atlas {(𝑈𝑛, 𝜙𝑁), (𝑈𝑆, 𝜙𝑆)} fornece à S𝑛 uma estrutura devariedade suave.

Exemplo 1.1.21. Consideremos a relação de equivalência ∼ em R𝑛+1∖{0} dada por

𝑥 ≃ 𝑦 ⇐⇒ 𝑥 = 𝜆𝑦, para algum 𝜆 ∈ R∖{0}.

Definimos o espaço projetivo 𝑛-dimensional RP𝑛 como sendo o quociente(R𝑛+1∖{0}

)/∼. Os

conjuntos𝑈 𝑖 := {[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] ∈ RP𝑛:𝑥𝑖 = 0}, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛+ 1,

são abertos em RP𝑛 (onde [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] denota a classe de equivalência do elemento (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈R𝑛+1 pela relação ∼. Os mapas 𝜙𝑖:𝑈 𝑖 → R𝑛, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛+ 1, dados por

𝜙𝑖[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] =(𝑥1

𝑥𝑖, . . . ,

𝑥𝑖−1

𝑥𝑖,𝑥𝑖+1

𝑥𝑖, . . . ,

𝑥𝑛+1

𝑥𝑖

), [𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1] ∈ 𝑈 𝑖,

são bem definidos e possuem inversos (𝜙𝑖)−1:𝑈 𝑖 → R𝑛, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛+ 1, dados por

(𝜙𝑖)−1(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) = [𝑦1, . . . , 𝑦𝑖−1, 1, 𝑦𝑖, . . . , 𝑦𝑛], (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛.

Denotemos por 𝜋 a projeção R𝑛+1∖{0} → RP𝑛 dada pela relação ∼. A restrição 𝜏 𝑖 de 𝜋 aosubespaço

�� 𝑖 := {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ R𝑛+1: (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1) ∈ R𝑛}

é um homeomorfismo (pelo fato de 𝜋 ser a aplicação quociente e 𝜏 𝑖 bijetivo). Assim, como 𝜙𝑖 ∘ 𝜏 𝑖 éum homeomorfismo (pois é o mapa (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1) → (𝑥1, . . . , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, . . . , 𝑥𝑛+1))

8

segue que 𝜙𝑖 = (𝜙𝑖∘𝜏 𝑖)∘𝜏 𝑖 é um homeomorfismo. Se 𝑖 = 𝑗 então o mapa 𝜙𝑖∘(𝜙𝑗)−1:𝜙𝑗(𝑈 𝑖∩𝑈 𝑗) →𝜙𝑖(𝑈 𝑖 ∩ 𝑈 𝑗) é dado por

𝜙𝑖 ∘ (𝜙𝑗)−1(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) =(𝑦1

𝑦𝑖, . . . ,

𝑦𝑖−1

𝑦𝑖,𝑦𝑖+1

𝑦𝑖, . . . ,

𝑦𝑗−1

𝑦𝑖,

1𝑦𝑖,𝑦𝑗

𝑦𝑖, . . . ,

𝑦𝑛

𝑦𝑖

),

(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ 𝜙𝑗(𝑈 𝑖 ∩ 𝑈 𝑗), caso 𝑖 < 𝑗, e

𝜙𝑖 ∘ (𝜙𝑗)−1(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) =(𝑦1

𝑦𝑖−1 , . . . ,𝑦𝑗−1

𝑦𝑖−1 ,1𝑦𝑖−1 ,

𝑦𝑗

𝑦𝑖−1 , . . . ,𝑦𝑖−2

𝑦𝑖−1 ,𝑦𝑖

𝑦𝑖−1 , . . . ,𝑦𝑛

𝑦𝑖−1

),

(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ 𝜙𝑗(𝑈 𝑖 ∩ 𝑈 𝑗), caso 𝑖 > 𝑗. Como estes mapas são suaves, concluímos que o atlas{(𝑈 𝑖, 𝜙𝑖)}𝑛𝑖=1 fornece à RP𝑛 uma estrutura de variedade suave.

As variedades definidas no próximo exemplo são uma generalização do conceito de espaçoprojetivo, que é o espaço cujos pontos são as retas de um espaço Euclideano.

Exemplo 1.1.22. A varieade Grassmaniana Gr(𝑘, 𝑛) é o conjunto dos subespaços de dimensão𝑘 < 𝑛 de R𝑛. O modelo que apresentaremos deste espaço é o espaço quociente do subconjunto

𝑋 := {𝐴 ∈ M𝑛×𝑘(R): as colunas de A são linearmente independentes em R𝑛}

do conjunto M𝑛×𝑘(R) das matrizes 𝑛× 𝑘 reais quocientado pela relação ∼, que é definida por

𝐴 ∼ 𝐵 ⇐⇒ 𝐴𝑔 = 𝐵, para algum 𝑔 ∈ Mk×k(R) invertível.

Denotaremos por 𝜋 o mapa quociente 𝑋 → Gr(𝑘, 𝑛).Se 𝐴 é uma matriz 𝑛× 𝑘 e 𝐿 é um subconjunto de 𝑁 := {1, . . . , 𝑛} com 𝑚 elementos, denota-

remos por 𝐴𝐿 a submatriz 𝑚× 𝑘 de 𝐴 formada pelas 𝑙-ésimas linhas de 𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿.Para cada subconjunto 𝐼 de 𝑁 = {1, . . . , 𝑛} com 𝑘 elementos, definimos

𝑆𝐼 := {𝐴 ∈ M𝑛×𝑘:𝐴𝐼 = 𝐼𝑘×𝑘} ⊂ 𝑋,

onde 𝐼𝑘×𝑘 denota a matriz identidade 𝑘 × 𝑘, e o homeomorfismo 𝜙𝐼 :𝑆𝐼 → M(𝑛−𝑘)×𝑘, dado por

𝜙𝐼(𝐴) = 𝐴𝑁∖𝐼 , 𝐴 ∈ 𝑆𝐼

Dado uma matriz 𝐴 ∈ 𝑆𝐼 , para qualquer matriz 𝑔 ∈ M𝑘×𝑘(R) temos que (𝐴𝑔)𝐼 = 𝐼𝑘×𝑘𝑔 = 𝑔.Logo, o mapa quociente 𝜋 é injetivo em 𝑆𝐼 e, consequentemente, 𝜋|𝑆𝐼

é um homeomorfismo. Comisso, concluímos que o mapa 𝜙𝐼 :𝑈𝐼 → 𝑀(𝑛−𝑘)×𝑘(R), onde 𝑈𝐼 := 𝜋(𝑆𝐼) e 𝜙𝐼 := 𝜙𝐼 ∘ (𝜋|𝑈𝐼

)−1, éum homeomorfismo (pois é uma composição de homeomorfismos). O subespaço 𝑈𝐼 de Gr(𝑛, 𝑘) éaberto pois sua imagem inversa por 𝜋 é o aberto

{𝐴 ∈ M𝑛×𝑘: det𝐴𝐼 = 0}

de 𝑋. Como 𝑀(𝑛−𝑘)×𝑘(R) é, a menos de reindexação das coordenadas, o espaço R(𝑛−𝑘)𝑘, podemosconsiderar, sem perda de generalidade, que (𝑈𝐼 , 𝜙𝐼) é uma carta local de Gr(𝑛, 𝑘).

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Dado um elemento 𝐴 de 𝑋, deve existir (pelo método da eliminação de Gauss) um subconjunto𝐼 de 𝑁 = {1, . . . , 𝑛} de 𝑘 elementos tal que 𝐴𝐼 = 𝑔 é uma matriz 𝑘 × 𝑘 invertível. Destaforma, a classe de equivalência [𝐴] de 𝐴 possui o elemento 𝐵 = 𝐴𝑔−1, que pertence a 𝑆𝐼 pois𝐵𝐼 = (𝐴𝑔−1)𝐼 = 𝑔𝑔−1 = 𝐼𝑘×𝑘. Logo, [𝐴] ∈ 𝑈𝐼 = 𝜋(𝑆𝐼). Com isso, concluimos que

Gr(𝑘, 𝑛) = 𝑋/∼=⋃

𝐼⊂𝑁,|𝐼|=𝑘𝑈𝐼

e, consequentemente,{(𝑈𝐼 , 𝜙𝐼): 𝐼 ⊂ 𝑁, |𝐼|= 𝑘}

é um atlas para Gr(𝑘, 𝑛).Por fim, verificaremos que, para subconjuntos 𝐼 e 𝐽 de 𝑁 = {1, . . . , 𝑛}, 𝜙𝐼 ∘𝜙−1

𝐽 :𝜙𝐽(𝑈𝐼∩𝑈𝐽) →𝜙𝐼(𝑈𝐼∩𝑈𝐽) é um mapa suave e, daí, concluiremos que Gr(𝑘, 𝑛) é uma variedade suave de dimensão(𝑛− 𝑘)𝑘.

Sejam 𝐼 e 𝐽 subconjuntos de 𝑁 := {1, . . . , 𝑛} com 𝑘 elementos. Fixemos 𝑃 ∈ 𝜙𝐽(𝑈𝐼 ∩ 𝑈𝐽).Temos que 𝜙−1

𝐽 (𝑃 ) = [𝐴], para 𝐴 = 𝜙−1𝐽 (𝑃 ) ∈ 𝑆𝐽 com [𝐴] ∈ 𝑈𝐼 ∩ 𝑈𝐽 . Como [𝐴] ∈ 𝑈𝐼 = 𝜋(𝑆𝐼),

(𝐴𝑔)𝐼 = 𝐼𝑘×𝑘 para algum 𝑔 ∈ M𝑘×𝑘(R) invertível e, consequentemente, 𝐴𝐼 = 𝑔−1 é invertível.Assim,

𝜙𝐼 ∘ 𝜙−1𝐽 (𝑃 ) = 𝜙𝐼 [𝐴]

= 𝜙𝐼 [𝐴𝐴−1𝐼 ]

= 𝜙𝐼(𝐴𝐴−1𝐼 ) (pois 𝐴𝐴−1

𝐼 ∈ 𝑆𝐼)= 𝜙𝐼

(𝜙−1𝐽 (𝑃 )(𝜙−1

𝐽 (𝑃 ))−1𝐼

).

Como os mapas 𝜙𝐼 , 𝜙𝐽 , a inversão e multiplicação de matrizes são mapas suaves, temos, pelaexpressão de 𝜙𝐼 ∘ 𝜙−1

𝐽 (𝑃 ) acima que 𝜙𝐼 ∘ 𝜙−1𝐽 é um mapa suave.

Definição 1.1.23. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa. Dizemos que o mapa𝐹 é suave se, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 existem cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 ,𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e o mapa

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 )é suave. Se, além disso, 𝐹 possuir uma inversa 𝐹−1:𝑁 → 𝑀 que também é suave então dizemosque 𝐹 é um difeomorfismo e que 𝑀 e 𝑁 são variedades difeomorfas (denotando esta relação por𝑀 ≃ 𝑁).Observação 1.1.24. Suponhamos 𝑀 e 𝑁 são variedades suaves com estrutura dada pelos atlas𝒜 e ℬ, respectivamente, e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 seja um mapa entre estas duas variedades.

• Todo mapa suave é contínuo e, em particular, todo difeomorfismo é um homeomorfismo. Defato, supondo que 𝐹 é suave, podemos mostrar que, para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , existem umaberto 𝑈 em 𝑀 contendo 𝑝 e um aberto 𝑉 em 𝑁 contendo 𝐹 (𝑈) tais que 𝐹 |𝑈 :𝑈 → 𝑉 écontínuo. Segue daí que o mapa 𝐹 :𝑀 → 𝑁 é contínuo. Dado 𝑝 ∈ 𝑀 , podemos tomar cartaslocais (𝑈,𝜙) ∈ 𝒜 e (𝑉, 𝜓) ∈ ℬ tais que 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 é contínuo.Como 𝜙 e 𝜓−1 são mapas contínuos, temos que

𝐹 |𝑈= 𝜓−1 ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1) ∘ 𝜙

é um mapa de 𝑈 em 𝑉 contínuo (pois é uma composição de mapas contínuos).

10

• Se 𝐹 é suave então, para cada par de cartas locais (𝑈 ′, 𝜙′) ∈ 𝒜 e (𝑉 ′, 𝜓′) ∈ ℬ tais que𝑈 ′ ∩ 𝐹−1(𝑉 ′) = ∅, o mapa

𝜓′ ∘ 𝐹 ∘ (𝜙′)−1:𝜙′(𝑈 ′ ∘ 𝐹−1(𝑉 ′)) → 𝜓′(𝑉 ′)

é suave. Esta afirmação segue do fato de podermos mostrar que para cada 𝜙′(𝑝) ∈ 𝜙′(𝑈 ′∩𝐹−1)existe um aberto �� de 𝜙′(𝑈 ′ ∩ 𝐹−1) tal que 𝜙′(𝑝) ∈ �� e o mapa

𝜓′ ∘ 𝐹 ∘ (𝜙′)−1|�� : �� → 𝜓′(𝑉 ′)

é suave. De fato, como 𝐹 é suave e 𝜙′(𝑈 ′ ∘ 𝐹−1(𝑉 ′)) é aberto (pois 𝐹 é contínua e 𝜙′ éum homeomorfismo), devem existir cartas locais (𝑈,𝜙) ∈ 𝒜 e (𝑉, 𝜓) ∈ ℬ tais que1 𝑝 ∈ 𝑈 ⊂𝑈 ′ ∩ 𝐹−1(𝑉 ′), 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑉 ′ e 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙 suave. Assim, para �� := 𝜙′(𝑈), temos que

𝜓′ ∘ 𝐹 ∘ (𝜙′)−1|��= (𝜓′ ∘ 𝜓−1) ∘ (𝜓 ∘ 𝐹𝜙−1) ∘ (𝜙 ∘ (𝜙′)−1|��)

é um mapa suave, pois é a composição dos mapas suaves 𝜓′ ∘ 𝜓−1:𝜓(𝑉 ) → 𝜓′(𝑉 ′), 𝜓 ∘ 𝐹 ∘𝜙−1):𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) e 𝜙 ∘ (𝜙′)−1|�� : �� → 𝜙(𝑈).

• Se 𝐹 é um difeomorfismo então, para quaisquer par de cartas locais (𝑈,𝜙) ∈ 𝒜 e (𝑉, 𝜓) ∈ ℬtais que 𝐹 (𝑈) = 𝑉 , o mapa

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 )

é um difeomorfismo entre abertos de um espaço Euclideano. De fato, pela observação ante-rior, tanto 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 quanto (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)−1 = 𝜙 ∘ 𝐹−1 ∘ 𝜓−1 são suaves.

Exemplo 1.1.25. Se 𝐹 :𝑀1 → 𝑀2 e 𝐺:𝑀2 → 𝑀3 são mapas suaves entre variedades suaves então𝐺 ∘ 𝐹 :𝑀1 → 𝑀3 é um mapa suave entre variedades suaves.

Exemplo 1.1.26. Mostraremos que o mapa 𝐹 :RP1 → S1, dado por

𝐹 [𝑥, 𝑦] = (𝑥+ 𝑖𝑦)2

𝑥2 + 𝑦2 , [𝑥, 𝑦] ∈ RP1,

é um difeomorfismo. A esfera S1 pode ser descrita como o conjunto

{𝑧 ∈ C: |𝑧|= 1}

com estrutura de variedade suave dada pelo atlas formado pelos abertos

𝑉𝑁 = S1∖{−1}

e𝑉𝑆 = S1∖{1}

1Podemos tomar (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) como na definição de função suave e, se necessário, restringi-las às cartas(𝑈 ∩ (𝑈 ′ ∩ 𝐹−1(𝑉 ′)), 𝜙|𝑈∩(𝑈 ′∩𝐹 −1(𝑉 ′))) e (𝑉 ∩ 𝑉 ′, 𝜓|𝑉 ∩𝑉 ′).

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e os homeomorfismos 𝜓𝑁 :𝑉𝑁 → R e 𝜓𝑆:𝑉𝑆 → R, dadas por

𝜓𝑁(𝑥+ 𝑖𝑦) = 𝑦

1 + 𝑥, 𝑥+ 𝑖𝑦 ∈ 𝑉𝑁 , 𝑥, 𝑦 ∈ R,

e𝜓𝑆(𝑥+ 𝑖𝑦) = 𝑦

1 − 𝑥, 𝑥+ 𝑖𝑦 ∈ 𝑉𝑆, 𝑥, 𝑦 ∈ R,

cujos mapas inversos 𝜓−1𝑁 :R → 𝑉𝑁 e 𝜓−1

𝑆 :R → 𝑉𝑆 são dados por

𝜓−1𝑁 (𝑡) = 1 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 𝑖

2𝑡1 + 𝑡2

, 𝑡 ∈ R,

e𝜓−1𝑆 (𝑡) = −1 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 𝑖

2𝑡1 + 𝑡2

, 𝑡 ∈ R.

O espaço projetivo R𝑃 1 tem sua estrutura de variedade suave dada pelo atlas formado pelos abertos

𝑈1 = {[1, 𝑡] ∈ RP1: 𝑡 ∈ R}

e𝑈2 = {[1, 𝑡] ∈ RP1: 𝑡 ∈ R}

e os mapas 𝜙1:𝑈1 → R e 𝜙2:𝑈2 → R, dados por

𝜙1[1, 𝑡] = 𝑡, [1, 𝑡] ∈ 𝑈1,

e𝜙2[𝑡, 1] = 𝑡, [1, 𝑡] ∈ 𝑈2.

Como𝐹 (𝑈1) =

{(1 + 𝑖𝑡)2

1 + 𝑡2: 𝑡 ∈ R

}

={

1 − 𝑡2

1 + 𝑡2+ 𝑖

2𝑡1 + 𝑡2

: 𝑡 ∈ R}

= 𝜓−1𝑁 (R)

= 𝑉𝑛e

𝐹 (𝑈2) = 𝑉𝑆,

a suavidade de 𝐹 segue do fato de as funções 𝜙1 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1𝑁 e 𝜙2 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1

𝑆 :R → R serem o mapaidentidade em R. O mapa 𝐹 possui um mapa inverso 𝐺: S1 → RP1 dado pela igualdade

𝐺(𝑧) = [𝑥, 𝑦], 𝑧 ∈ S1,

onde 𝑥 e 𝑦 ∈ R são tais que (𝑥+ 𝑖𝑦)2 = 𝑧. Como os mapas

𝜓𝑁 ∘𝐺 ∘ 𝜙−11 = (𝜙1 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1

𝑁 )−1

e𝜓𝑆 ∘𝐺 ∘ 𝜙−1

2 = (𝜙2 ∘ 𝐹 ∘ 𝜓−1𝑆 )−1

são o mapa identidade em R, temos que 𝐺 também é suave. Portanto, 𝐹 é um difeomorfismo.

12

Exemplo 1.1.27. Para 𝑛 > 1, mostraremos que o espaço projetivo RP𝑛 não é difeomorfo à esferaS𝑛. Em particular, estes espaços não são homeomorfos. Tal fato pode ser demonstrado utilizandoas ferramentas da Topologia Algébrica (o grupo fundamentald e RP𝑛 é Z2 enquanto o de S𝑛 é ogrupo trivial).

Para o caso 𝑛 = 2, podemos utilizar um argumento que envolve a conexidade destes espaços. Oespaço projetivo RP2 é dado como a união disjunta

RP2 = 𝑈 ∪ {[0, 0, 1]},

onde𝑈 := {[𝑥1, 𝑥2, 𝑡] ∈ RP2: (𝑥1, 𝑥2) ∈ S1, 𝑡 ∈ R} ≃ S1 × R).

Suponhamos que haja um homeomorfismo 𝐹 :RP2 → S2. Seja 𝑝 o ponto de 𝐹 ([0, 0, 1]) e 𝜙𝑝:S2∖{𝑝} →R2 um homeomorfismo dado por uma projeção estereográfica (como no atlas de S𝑛 exibido no Exem-plo 1.1.20). Então, 𝜙𝑝 ∘𝐹 |𝑈 :𝑈 → R2 é um homeomorfismo entre 𝑈 ≃ S1 ×R e R2. Porém, isto éimpossível já que, tirando uma reta 𝑟 de 𝑈 ≃ S1 × R, obtemos um espaço 𝑈∖𝑟 ≃ R2 que não podeser escrito como união de dois abertos disjuntos enquanto que, tirando a curva 𝜙𝑝 ∘ 𝐹 (𝑟) de R2,obtemos o espaço R2∖𝜙𝑝 ∘𝐹 (𝑟) que é uma união de dois subespaços abertos disjuntos (Teorema daCurva de Jordan).

Definição 1.1.28. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave.• O mapa 𝐹 é dito de posto constante 𝑟 se, dadas cartas locais (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁

tais que 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 , o diferencial do mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) tem posto 𝑟 em cadaponto de 𝜙(𝑈).

• Dizemos que 𝐹 é uma imersão suave se 𝐹 tem posto constante igual à dim𝑀 .

• Se 𝐹 for uma imersão suave, injetiva e, para cada aberto 𝑈 de 𝑀 , existir um aberto 𝑉 de 𝑁tal que 𝐹 (𝑈) = 𝐹 (𝑀) ∩𝑉 então dizemos que 𝐹 é um mergulho suave. Em outros termos, 𝐹é um mergulho suave se é uma imersão suave tal que 𝐹 :𝑀 → 𝐹 (𝑀) é um homeomorfismo.

• Dizemos que 𝐹 é uma submersão suave se 𝐹 tem posto constante igual à dim𝑁 .Da análise real em multiplas variáveis, conhecemos o Teorema do Posto, que diz: Dado um

mapa 𝐹 :𝑈 → 𝑉 , de uma aberto 𝑈 ⊂ 𝑅𝑚 para um aberto 𝑉 ⊂ 𝑅𝑛, suave e de posto constante 𝑟,e um ponto 𝑝 ∈ 𝑈 , existem abertos 𝑈0, ��0 ⊂ 𝑅𝑚, 𝑉0, 𝑉0 ⊂ R𝑛 e difeomorfismos 𝜙0:𝑈0 → ��0 e𝜓0:𝑉0 → 𝑉0 tais que 𝑝 ∈ 𝑈0, 𝐹 (𝑈0) ⊂ 𝑉0 e o mapa suave 𝜓0 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1

0 : ��0 → 𝑉0 é dado por

𝜓0 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−10 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ ��0.

O Teorema do Posto pode ser adaptado de forma natural para variedades suaves como a seguir:Teorema 1.1.29 (Teorema do Posto). Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves de dimensão 𝑚 e 𝑛,respectivamente, e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave de posto constante 𝑟. Para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 ,existem cartas locais (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e 𝜓 ∘𝐹 ∘𝜙−1:𝜙(𝑈) édado pela igualdade

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈).

13

Observe que, nas condições do enunciado do Teorema do Posto, podemos encolher o domínio𝜙(𝑈) ⊂ 𝑅𝑚 de forma que a imagem de 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1 seja o conjunto

{(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓(𝑉 ):𝑥𝑟+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}.

Neste caso, dizemos que 𝐹 (𝑈) é uma 𝑟-fatia de 𝑉 . Supondo que 𝐹 seja uma imersão, teremos que𝐹 (𝑈) é uma 𝑛-fatia de 𝑉 . Mas, por outro lado, 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 não seria uma necessariamente uma 𝑛-fatia de 𝑉 . Porém, como veremos na próxima proposição, se 𝐹 :𝑀 → 𝐹 (𝑀) for um homeomorfismopodemos diminuir 𝑉 suficientemente a ponto de 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ser uma 𝑚-fatia.

Proposição 1.1.30. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves de dimensão 𝑚 e 𝑛, respectivamente, e𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave. As condições a seguir são equivalentes:

(a) 𝐹 é um mergulho;

(b) Para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , existem cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 ,𝑈 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ) e o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) sendo dado por

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈),

com𝜓 ∘ 𝐹 (𝑈) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓(𝑉 ):𝑥𝑚+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}.

Demonstração. Primeiramente, mostremos que o item (a) implica o item (b).Seja 𝑝 ∈ 𝑀 .Pelo Teorema do Posto, existem cartas locais (�� , 𝜙) em 𝑀 e (𝑉 , 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ �� ,

𝐹 (��) ⊂ 𝑉 e o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) send dado por

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈).

Podemos restringir as cartas locais (�� , 𝜙) e (𝑉 , 𝜓) para cartas locais (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉 ′, 𝜓′)tais que 𝜓(𝑉 ′) é uma bola aberta centrada em 𝜓 ∘𝐹 (𝑝), 𝜓′ = 𝜓|𝑉 ′ , 𝑈 ⊂ �� é o aberto de 𝑀 tal que

𝜓′ ∘ 𝐹 (𝑈) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓′(𝑉 ):𝑥𝑚+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}

e 𝜙 = 𝜙|𝑈 .Como 𝑈 é um aberto em 𝑀 , existe um aberto 𝑊 de 𝑁 tal que 𝐹 (𝑈) = 𝐹 (𝑀) ∩𝑊 . Tomemos

𝑉 = 𝑊 ∩ 𝑉 ′ e 𝜓 = 𝜓′|𝑉 . Desta forma, pela escolha de 𝑈 ⊂ 𝐹−1(𝑉 ′), temos que

𝐹 (𝑈) = (𝐹 (𝑀) ∩𝑊 ) ∩ 𝑉 ′ = 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉

e, como 𝐹 é injetivo𝑈 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ).

Além disso, como 𝜙 e 𝜓 são restrições de 𝜙 e 𝜓, o mapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ) é dado por

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈),

14

com𝜓 ∘ 𝐹 (𝑈) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝜓(𝑉 ):𝑥𝑚+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0}.

Agora, mostraremos que o item (b) implica no item (a).Sejam (�� , 𝜙) em 𝑀 e (𝑉 , 𝜓) em 𝑁 cartas locais tais que 𝐹 (��) ⊂ 𝑉 . Para cada 𝑝 ∈ �� ,

tomemos cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 do enunciado do item (b). Pela descrição domapa 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉 ), a diferencial deste tem posto 𝑚 em cada ponto de 𝑈 . Assim, odiferencial do mapa

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1|𝜙(��∩𝑈)= (𝜓 ∘ 𝜓−1) ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1) ∘ (𝜙 ∘˜𝜙−1)

no ponto 𝜙(𝑝) é 𝑚 pois o diferencial de 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1|𝜙(��∩𝑈) é a composição dos diferenciais de𝜓∘𝜓−1, 𝜓∘𝐹 ∘𝜙−1 e 𝜙 ∘𝜙−1. Logo, o diferencial de 𝜓∘𝐹 ∘𝜙−1 em 𝜙(𝑝) é 𝑚. Com isso, concluimosque 𝐹 é uma imersão.

Verificaremos, agora, que o mapa 𝐹 é injetivo. Dados dois pontos distintos 𝑝 e 𝑞 ∈ 𝑀 , existemcartas suaves (𝑈𝑝, 𝜙𝑝), (𝑈𝑞, 𝜙𝑞) em 𝑀 e (𝑉𝑝, 𝜓𝑝), (𝑉𝑞, 𝜓𝑞) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈𝑝, 𝑞 ∈ 𝑈𝑞, 𝑈𝑝 =𝐹−1(𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑝), 𝑈𝑞 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑞) e os mapas 𝐹 |𝑈𝑝 :𝑈𝑝 → 𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑝 e 𝐹 |𝑈𝑞 :𝑈𝑞 → 𝐹 (𝑀)∩𝑉𝑞são bijeções. Se 𝑝 ∈ 𝑈𝑞 ou 𝑞 ∈ 𝑈𝑝 então devemos ter que 𝐹 (𝑝) = 𝐹 (𝑞) já que 𝐹 |𝑈𝑝 e 𝐹 |𝑈𝑞 sãobijeções. Caso, 𝑞 /∈ 𝑈𝑝 devemos ter que 𝐹 (𝑞) /∈ 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝 e, consequentemente, 𝐹 (𝑞) é diferentede 𝐹 (𝑝), que pertence à 𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝. Analogamente, 𝐹 (𝑝) é diferente de 𝐹 (𝑞) caso 𝑝 /∈ 𝑈𝑞. Logo,𝐹 é injetiva.

Seja 𝑈 um aberto em 𝑀 . Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , tomemos abertos 𝑈𝑝 em 𝑀 e 𝑉𝑝 em 𝑁 tais que𝑝 ∈ 𝑈𝑝 e 𝑈𝑝 = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝). Desta forma, como 𝐹 é injetivo

𝑈 ∩ 𝑈𝑝 = 𝐹−1(𝐹 (𝑈)) ∩ 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝) = 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝),

para todo 𝑝 ∈ 𝑈 . Logo, definindo 𝑉 = ∪𝑝∈𝑈𝑉𝑝, temos que 𝑉 é um aberto de 𝑁 tal que

𝑈 = ∪𝑝∈𝑈(𝑈 ∩ 𝑈𝑝) = ∪𝑝∈𝑈(𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉𝑝)

)= 𝐹−1

(𝐹 (𝑀) ∩ (∪𝑝∈𝑈𝑉 )

)= 𝐹−1(𝐹 (𝑀) ∩ 𝑉 ).

Portanto, 𝐹 é um mergulho suave.

Definição 1.1.31. Sejam 𝑀 e 𝑁 varieades suaves de dimensão 𝑚 e 𝑛, respectivamente, e 𝑆 ⊂ 𝑁a imagem de um mapa 𝐹 :𝑀 → 𝑁 .

• Se 𝐹 for uma imersão suave injetiva então dizemos que 𝑆 é uma subvariedade imersa de 𝑁de dimensão 𝑚.

• No caso em que 𝐹 é um mergulho suave, dizemos que 𝑆 é uma subvariedade mergulhada de𝑀 de dimensão 𝑚.

As subvariedades imersas e mergulhadas, como os próprios nomes sugerem, são naturalmentevariedades por sí só. Dada uma subvariedade imersa 𝑆 que é a imagem da imersão injetiva suave𝐹 :𝑀 → 𝑁 , 𝑆 pode ser munida da topologia

{𝑈 ′ ⊂ 𝑆:𝐹−1(𝑈 ′) é aberto em 𝑀}.

15

e um atlas{(𝐹 (𝑈), 𝜙 ∘ 𝐹−1): (𝑈,𝜙) é uma carta local de 𝑀}.

No caso em que 𝐹 é um mergulho, esta topologia coincide com a topologia de 𝑆 como subespaçode 𝑀 e, pela Proposição 1.1.30, o atlas de 𝑆 é induzido por restrições de cartas locais de 𝑁 . Poroutro lado, no caso em que 𝐹 é somente uma imersão, a topologia descrita acima pode ter maisabertos que a topologia de 𝑆 como subespaço de 𝑁 .

Observação 1.1.32. Convencionamos que sempre que 𝑆 for uma subvariedade (imersa ou mer-gulhada), assumiremos que 𝑆 possui a estrutura de variedade suave descrita acima. Sendo assim,podemos dizer, sem perda de generalidade, que as subvariedades imersas (mergulhadas) de 𝑁 sãoos subespaços 𝑆 de 𝑁 com estrutura de variedade tal que a inclusão 𝑖:𝑆 → 𝑁 seja uma imersão(mergulho) suave.

Exemplo 1.1.33. Se 𝑈 é um aberto de uma variedade suave 𝑀 munido da estrutura de variedadesuave como no Exemplo 1.1.19, a inclusão 𝑖:𝑈 → 𝑀 é um mergulho suave. Logo, 𝑈 é umasubvariedade mergulhada de 𝑀 .

Proposição 1.1.34. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝑆 um subespaço de 𝑀 . Ascondições a seguir são equivalentes:

(a) 𝑆 é uma subvariedade mergulhada de 𝑀 de dimensão 𝑘.

(b) Para cada 𝑝 ∈ 𝑆, existe uma carta local (𝑉, 𝜓) de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e

𝑆 ∩ 𝑉 = 𝜓−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜓(𝑉 ):𝑥𝑘+1 = · · · = 𝑥𝑚 = 0}).

Demonstração. Segue das observações acima e da Proposição 1.1.30.

Teorema 1.1.35. Sejam 𝑀 e 𝑁 variedades suaves e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave de posto constante𝑟. Então, para cada ponto 𝑞 ∈ 𝐹 (𝑀), 𝐹−1(𝑞) é uma subvariedade mergulhada de 𝑀 de dimensão𝑚− 𝑟, onde 𝑚 é a dimensão de 𝑀 .

Demonstração. Denotemos 𝐹−1(𝑞) por 𝑆. Utilizaremos a caracterização das variedades mergulha-das dada na Proposição 1.1.34.

Seja 𝑝 ∈ 𝐹−1(𝑞). Pelo Teorema do Posto, existem cartas locais existem cartas locais (𝑈,𝜙) em𝑀 e (𝑉, 𝜓) em 𝑁 tais que 𝑝 ∈ 𝑈 , 𝐹 (𝑈) ⊂ 𝑉 e 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) é dado pela igualdade

𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑟, 0, . . . , 0), (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜙(𝑈).

Podemos supor, sem perda de generalidade, que 𝜙(𝑝) = 0 ∈ R𝑚 e 𝜓(𝐹 (𝑝)) = 0 ∈ R𝑛. Desta forma,

𝜙(𝑆) = 𝜙(𝐹−1(𝑞)) = (𝐹∘𝜙)−1(𝑞) = (𝜓∘𝐹∘𝜙−1)−1(0) = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈∈ 𝜙(𝑈):𝑥1 = · · · = 𝑥𝑟 = 0}

e, consequentemente,

𝑆 ∩ 𝑈 = 𝜙−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈∈ 𝜙(𝑈):𝑥1 = · · · = 𝑥𝑟 = 0}).

Assim, 𝑆 satisfaz a condição (b) da Proposição 1.1.34 e, portanto, 𝑆 é uma subvariedade dedimensão 𝑚− 𝑟.

16

Proposição 1.1.36. Sejam 𝑀 e 𝑁 uma variedades suaves e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave. Dadauma subvariedade imersa 𝑆 de 𝑀 , a restrição 𝐹 |𝑆:𝑆 → 𝑁 é um mapa suave.

Demonstração. Como 𝑖:𝑆 → 𝑀 é um mapa (uma imersão) suave e 𝐹 :𝑀 → 𝑁 é um mapa suave,a composição 𝐹 |𝑆= 𝐹 ∘ 𝑖 é um mapa suave.

Um dos principais motivos para exigirmos por definição que as variedades suaves sejam segundocontáveis é a garantia de existência de partições da unidade (um conceito que definiremos maisadiante). De fato, a condição de ser segundo enumerável e localmente euclideana fornecem a umespaço topológico uma propriedade conhecida como paracompacidade. A paracompacidade dasvariedades suaves está expressa no Lema 1.1.38.

Definição 1.1.37. Seja 𝑋 um espaço topológico e 𝒰 uma família de abertos em 𝑋. Dizemos que𝒰 é uma cobertura aberta de 𝑋 se 𝑋 é a união dos elementos de 𝒰 . Se, além disso, para cadaponto 𝑝 ∈ 𝑋 existir um aberto 𝑉 de 𝑋 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e 𝑉 ∩ 𝑈 = ∅ somente para uma quantidadefinita de elementos 𝑈 de 𝒰 então dizemos que 𝒰 é uma cobertura aberta localmente finita.

Proposição 1.1.38. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝒰 uma cobertura de 𝑀 . Existeuma família {(𝐵𝑖, 𝜙𝑖)}𝑖∈𝐼 de cartas suaves em 𝑀 tais que:

• 𝜙𝑖(𝐵𝑖) = 𝐵(0, 2) (a bola aberta aberta centrada em 0 ∈ R𝑚 de raio 2);

• {𝜙−1𝑖 (𝐵(0, 1))}𝑖∈𝐼 é uma cobertura localmente finita de 𝑀 ;

• Cada aberto aberto 𝐵𝑖 está contido em um elemento de 𝒰 .

Para não nos estendermos demais em propriedades topológicas nas quais não temos interessepara além desta seção, a demonstração do Lema 1.1.38 será omitida. Esta segue facilmente atravésde argumentos topológicos rotineiros com o uso das propriedades que definem uma variedadetopológica.

Definição 1.1.39. Seja 𝑀 um espaço topológico e 𝒰 = {𝑈𝜆}𝜆∈Λ uma cobertura aberta de 𝑀 .Uma partição da unidade subordinada à 𝒰 é uma família {𝜑𝜆:𝑀 → R}𝜆∈Λ de funções em 𝑀satisfazendo as seguintes condições:

• Para cada 𝜆 ∈ Λ e 𝑝 ∈ 𝑀 , 0 6 𝜑𝜆(𝑝) 6 1;

• Para cada 𝜆 ∈ Λ, o suporte supp𝜑𝜆 de 𝜑𝜆, isto é, o fecho em 𝑀 do conjunto

{𝑝 ∈ 𝑀 :𝜙𝜆(𝑝) = 0},

está contido em 𝑈𝜆;

• Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , existe um aberto 𝑉 de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅ somente parauma quantidade finita de 𝜆’s;

• Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , ∑𝜆∈Λ 𝜑𝜆(𝑝) = 1 (isto é, a soma dos números reais 𝜑𝜆(𝑝) para os quais𝜑𝜆(𝑝) = 0, que pelo item anterior é uma soma finita, é igual a 1).

17

Se 𝑀 for uma variedade suave e as funções 𝜑𝜆 da partição da unidade {𝜑𝜆}𝜆∈Λ forem suaves entãodizemos que {𝜑𝜆}𝜆∈Λ é uma partição da unidade suave.

Proposição 1.1.40. Uma cobertura aberta 𝒰 de uma variedade suave 𝑀 sempre admite umapartição da unidade suave subordinada à ela.

Demonstração. Seja 𝑈 = {𝑈𝜆}𝜆∈Λ uma cobertura aberta da variedade 𝑀 . Mostraremos que existeuma partição da unidade sauve {𝜑𝜆}𝜆∈Λ subordinada à 𝒰 .

Primeiramente, consideremos uma família de cartas suaves {(𝐵𝑖, 𝜙𝑖)}𝑖∈𝐼 como no Lema 1.1.38.Isto é,

• 𝜙𝑖(𝐵𝑖) = 𝐵(0, 2) (a bola aberta aberta centrada em 0 ∈ R𝑚 de raio 2);

• {𝐴𝑖}𝑖∈𝐼 , onde 𝐴𝑖 = 𝜙−1𝑖 (𝐵(0, 1)), é uma cobertura localmente finita de 𝑀 ;

• Cada aberto aberto 𝐵𝑖 está contido em 𝑈𝜆, para algum 𝜆.

Utilizando-se de ferramentas de análise em espaços euclideanos, podemos mostrar que existeuma função suave 𝑏:𝐵(0, 2) → R tal que 𝑏(𝑥) > 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1), e 𝑏(𝑥) = 0, para todo𝑥 ∈ 𝐵(0, 2)∖𝐵(0, 1).

Consideremos, para cada 𝑖 ∈ 𝐼, as funções 𝑓𝑖:𝑀 → R, dadas por

𝑓𝑖(𝑝) ={𝑏 ∘ 𝜙𝑖(𝑝), 𝑝 ∈ 𝐵𝑖;0, 𝑝 ∈ 𝑀∖𝐵𝑖.

Observemos que a função 𝑓𝑖 é identicamente nula no aberto 𝑀∖𝐴𝑖 = 𝑀∖𝜙−1𝑖 (𝐵(0, 1)). Logo, 𝑓𝑖 é

suave nos abertos 𝐵𝑖 e 𝑀∖𝐴𝑖. Como 𝑀 = 𝐵𝑖 ∪ (𝑀∖𝐴𝑖), devemos ter que 𝑓𝑖 é suave em 𝑀 .Seja 𝑝 ∈ 𝑀 . Como a cobertura {𝐴𝑖} é localmente finita, existe somente uma quantidade finita

de elementos 𝑖 no conjunto de índices 𝐼 tais que 𝑝 ∈ 𝐴𝑖. Umas vez que as funções 𝑓𝑖 são nulas em𝑀∖𝐴𝑖, devemos ter que 𝑓𝑖(𝑝) = 0 somente para uma quantidade finita de 𝑖 ∈ 𝐼. Assim, a soma∑𝑖∈𝐼 𝑓𝑖(𝑝) de todos os números 𝑓𝑖(𝑝), 𝑖 ∈ 𝐼, não nulos é um número positivo (pois em particular

𝑓𝑖(𝑝) = 0 ou 𝑓𝑖(𝑝) > 0).Pelo comentário acima, podemos definir uma função 𝑓 :𝑀 → R tal que 𝑓(𝑝) é o número positivo∑

𝑖∈𝐼 𝑓𝑖(𝑝) em cada 𝑝 ∈ 𝑃 . Além disso, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 existe um aberto 𝑉 de 𝑀 tal que 𝑓 ésuave em 𝑉 . De fato, podemos escolher um 𝑉 aberto em 𝑀 tal que 𝑉 ∩ 𝐴𝑖 = ∅ somente para𝑖 = 𝑖1, 𝑖2, . . . , 𝑖𝑘. E, assim, 𝑓 coincide em 𝑉 com a função suave 𝑓𝑖1 + 𝑓𝑖2 + · · · + 𝑓𝑖𝑘 . Portanto, 𝑓 éuma função suave cuja a imagem está contida no conjunto dos números reais positivos.

Usando o axioma da escolha e as propriedades das coberturas {𝐴𝑖}𝑖∈𝐼 , {𝐵𝑖}𝑖∈𝐼 e {𝑈𝜆}𝜆∈Λ,podemos garantir a existência de uma função 𝛿: 𝐼 → Λ tal que 𝛿(𝑖) = 𝜆 implica 𝐵𝑖 ⊂ 𝑈𝜆.

Com um raciocínio análogo ao que fizemos para 𝑓 , podemos concluir que as funções 𝜑𝜆:𝑀 → Rficam bem definidas pela igualdade

𝜑𝜆(𝑝) =∑𝛿(𝑖)=𝜆

𝑓𝑖𝑓

(𝑝), 𝑝 ∈ 𝑀,

18

e são suaves (no caso, utilizamos o fato de 𝑓𝑖/𝑓 ser uma função suave). Em particular, verifica-seque

supp𝜑𝜆 = ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐴𝑖 ⊂ ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐴𝑖 ⊂ ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐵𝑖 ⊂ 𝑈𝜆.

Segue diretamente desta definição que 0 6 𝜑𝜆(𝑝) 6 1 já que

0 6∑𝛿(𝑖)=𝜆

𝑓𝑖(𝑝) 6∑𝑖∈𝐼

𝑓𝑖(𝑝) = 𝑓(𝑝).

Seja 𝑝 ∈ 𝑀 . Usando o fato de {𝐴𝑖} ser uma cobertura localmente finite e 𝑀 ser um espaçoeuclideano, podemos concluir que existe um aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que o conjunto

𝐽 = {𝑖 ∈ 𝐼:𝑉 ∩ 𝐴𝑖 = ∅}

é finito. Se 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅ então, pela inclusão supp𝜑𝜆 ⊂ ∪𝛿(𝑖)=𝜆𝐴𝑖, deve existir um 𝑖 ∈ 𝐼 tal que𝑉 ∩ 𝐴𝑖 e 𝛿(𝑖) = 𝜆. Logo, o conjunto

{𝜆 ∈ Λ:𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅} ⊂ 𝛿(𝐽)

é finito.Por fim, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 ,

∑𝜆∈Λ

𝜑𝜆(𝑝) =∑𝜆∈Λ

∑𝛿(𝑖)=𝜆

𝑓𝑖(𝑝)𝑓(𝑝) =

∑𝑖∈𝐼 𝑓𝑖(𝑝)𝑓(𝑝) = 1.

Portanto, {𝜑𝜆}𝜆∈Λ é uma partição da unidade subordinada a 𝒰 .

1.2 Grupos de LieDefinição 1.2.1. Quando um grupo 𝐺, com operação de multiplicação 𝑚:𝐺×𝐺 → 𝐺 e mapa deinversão de elementos2 𝑖:𝐺 → 𝐺, é munido de uma estrutura de variedade suave tal que os mapas𝑚 e 𝑖 são suaves, dizemos que 𝐺 é um grupo de Lie.

Observação 1.2.2. Seja 𝐺 um grupo com uma estrutura com uma estrutura de variedade suave.Então 𝐺 é um grupo de Lie se e somente se o mapa 𝜎:𝐺×𝐺 → 𝐺 dado por

𝜎(𝑔, ℎ) = 𝑔ℎ−1, 𝑔, ℎ ∈ 𝐺,

é suave.

Definição 1.2.3. Sejam 𝐻 e 𝐺 grupos de Lie. Dizemos que 𝐹 :𝐻 → 𝐺 é um homomorfismo degrupos de Lie se 𝐹 é um mapa suave e um homomorfismo de grupos.

2O mapa dado por 𝑖(𝑔) = 𝑔−1, para todo 𝑔 ∈ 𝐺

19

Exemplo 1.2.4 (Gl(𝑛,R) - Grupo Linear Geral Real). O conjunto 𝑀𝑛(R) de todas as matrizesreais 𝑛 × 𝑛 é, como visto na seção anterior, uma variedade suave com a sua identificação comR2. Seja Gl(𝑛,R) o grupo formado por tadas as matrizes invertíveis em 𝑀𝑛(R). Este grupo éa imagem inversa do conjunto aberto R∖{0} em R pela função determinante det:𝑀𝑛(R) → R.Como a função determinante é contínua, Gl(𝑛,R) é um aberto de 𝑀𝑛(R). Assim, como vimos noExemplo 1.1.33, Gl(R) é uma subvariadade mergulhada de 𝑀𝑛(R). A multiplicação de matrizes éum mapa suave Gl(𝑛,R) × Gl(𝑛,R) → Gl(𝑛,R) (pois é polinomial em cada uma das coordenadasde Gl(𝑛,R)). E, pela regra de Crammer, a inversão de matrizes Gl(𝑛,R) → Gl(𝑛,R) também ésuave. Então, com esta estrutura de variedade suave e as operações usuais, Gl(𝑛,R) é um grupode Lie.

Definição 1.2.5. Sejam 𝐺 um grupo de Lie e 𝐻 um subgrupo de 𝐺 que é uma subvariedademergulhada de 𝐺. Neste caso, dizemos que 𝐺 é um subgrupo de Lie mergulhado de 𝐺. Alémdisso, se 𝐺 = Gl(𝑛,R), para algum 𝑛 ∈ Z+, dizemos que 𝐻 é um grupo de Lie matricial.

Se 𝐻 é um subgrupo de Lie mergulhado de um grupo de Lie 𝐺 segue que 𝐻 é um grupo de Liepor si só. De fato, pel Proposição 1.1.36, a restrição da multiplicação de 𝐺 à 𝐻 é um mapa suavepois 𝐻 é uma subvariedade mergulhada.

Exemplo 1.2.6 (O(𝑛) - Grupo Ortogonal). Seja O(𝑛,R) o subgrupo de Gl(𝑛,R) descrito por

{𝐴 ∈ Gl(𝑛,R):𝐴𝐴𝑇 = 𝐼},

onde 𝐴𝑇 é a matriz transposta de 𝐴 e 𝐼 é a matriz identidade em Gl(𝑛,R). Tal conjunto é imageminversa de {𝐼} ⊂ GL(𝑛,R) pelo mapa suave 𝜏 : Gl(𝑛,R) → Gl(𝑛,R), dado por

𝜏(𝐴) = 𝐴𝐴𝑇 ,

onde 𝐴 ∈ Gl(𝑛,R). Como o mapa 𝜏 tem posto constante igua à 𝑛(𝑛+ 1)/2, pelo Teorema 1.1.35,O(𝑛) é uma subvariedade mergulhada de Gl(𝑛,R) de dimensão 𝑛(𝑛−1)/2 = 𝑛2 −𝑛(𝑛+1)/2. Logo,O(𝑛) é um grupo de Lie matricial.

O conjunto 𝑀𝑛(C) das matrizes complexas 𝑛 × 𝑛 é uma subvariedade mergulhada de 𝑀2𝑛(R)pelo mergulho 𝜎:𝑀𝑛(C) → 𝑀2𝑛(R), dado por

𝜎(𝐴+ 𝑖𝐵) =(

𝐴 𝐵−𝐵 𝐴

),

onde 𝐴 e 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(R). Perceba que, dadas matrizes 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C), vale a igualdade

𝜎(𝑋𝑌 ) = 𝜎(𝑋)𝜎(𝑌 ).

Segue daí que se 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) é invertível então 𝜎(𝑋) ∈ Gl(2𝑛,R). Assim, se 𝐺 é uma subvariedademergulhada de 𝑀𝑛(C) tal que, com a multiplicação de matrizes usual em 𝑀(𝑛,C), 𝐺 é um grupoentão 𝜎(𝐺) ⊂ Gl(2,R) é um grupo de Lie matricial. Neste caso, identificamos 𝐺 com 𝜎(𝐺) e oconsideramos um grupo de Lie (matricial) por si só.

20

Exemplo 1.2.7 (Gl(𝑛,C) - Grupo Linear Geral Complexo). Denotamos por Gl(𝑛,C) o subcon-junto de 𝑀𝑛(C) das matrizes complexas 𝑛 × 𝑛 invertíveis. De maneira semelhante à que fizemosno Exemplo 1.2.4 para Gl(𝑛,R), mostra-se que Gl(𝑛,C) é um subespaço aberto de 𝑀𝑛(C). Logo, 𝐺é uma subvariedade mergulhada de 𝑀𝑛(C). Assim, pelos comentários acima, Gl(𝑛,C) é um grupode Lie (matricial).

Exemplo 1.2.8 (U(𝑛) - Grupo Unitário). O mapa 𝜏 :𝑀𝑛(C) → 𝑀𝑛(C), dado por

𝜏(𝑋) = 𝑋𝑋*,

onde 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) e 𝑋* é a matriz transposta e conjungada de 𝑋, é suave e tem posto constanteigual a 𝑛2. Desta forma, pelo Teorema 1.1.35, U(𝑛) := 𝜏−1(𝐼) é uma subvariedade mergulhada de𝑀𝑛(C) de dimensão 𝑛2 = 2𝑛2 − 𝑛2. Como segue facilmente da definição de 𝜏 , U(𝑛) é um grupocom a operação usual de multiplicação de matrizes. Portanto, 𝑈(𝑛) é um grupo de Lie (matricial).Os elementos de U(𝑛) são chamados de matrizes unitárias.

Exemplo 1.2.9 (SU(𝑛) - Grupo Unitário Especial). O grupo unitário especial SU(𝑛), definidocomo o grupo das matrizes unitárias 𝑛 × 𝑛 de traço 0, é também um grupo de Lie mergulhadoem 𝑀𝑛(C). De fato, a função traço tr:𝑈(𝑛) → C é uma função suave de posto constante igual a1(pois é uma restrição da função suave tr:𝑀𝑛(C) → C e U(𝑛) é uma subvariedade mergulhada de𝑀𝑛(C)) e, por definição, SU(𝑛) = tr−1(0). Logo, pelo Teorema 1.1.35, SU(𝑛) é uma subvariedademergulhada de U(𝑛) de dimensão 𝑛2 − 1 = dim U(𝑛) − 1. Assim, como U(𝑛) é uma subvariedademergulhada de 𝑀𝑛(C), SU(𝑛) é uma subvariedade mergulhada de 𝑀𝑛(C).

Proposição 1.2.10. Para cada 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(C), definimos

|𝑋|:=⎛⎝ ∑

16𝑖,𝑗6𝑛|𝑥𝑖𝑗|2

⎞⎠ 12

.

As seguintes propriedades, para cada 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C) e 𝜆 ∈ C, são válidas:

(a) |𝑋𝑌 |6 |𝑋||𝑌 |;

(b) |𝑋 + 𝑌 |6 |𝑋|+|𝑌 |;

(c) |𝜆𝑋|= |𝜆||𝑋|;

(d) |𝑋|> 0 ⇐⇒ 𝑋 = 0.

Demonstração. Para cada 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ C𝑛, vale a desigualdade deSchwartz:

|𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖|26𝑛∑𝑗=1

|𝑥𝑗|2𝑛∑𝑘=1

|𝑦𝑘|2.

21

Assim, dadas duas matrizes 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗) e 𝑌 = (𝑦𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(C), temos que

|𝑋𝑌 |2 =∑

16𝑝,𝑞6𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑝𝑖𝑦𝑖𝑞

2

=∑

16𝑝,𝑞6𝑛

⎛⎝ 𝑛∑𝑗=1

|𝑥𝑝𝑗|2𝑛∑𝑘=1

|𝑦𝑘𝑞|2⎞⎠

=⎛⎝ ∑

16𝑗,𝑝6𝑛|𝑥𝑝𝑗|2

⎞⎠⎛⎝ ∑16𝑘,𝑞6𝑛

|𝑦𝑘𝑞|2⎞⎠

= |𝑋|2|𝑌 |2

e, consequentemente,|𝑋𝑌 |6 |𝑋||𝑌 |.

Por isso, o item (a) é valido.As demais propriedades podem ser demontradas de modo análogo às propriedades da norma

hermitiana em C𝑛. Por isso, omitiremos as suas demonstrações.

Proposição 1.2.11. Para cada 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C), a série

exp(𝑋) =∞∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

é convergente e exp(𝑋) ∈ Gl(𝑛,C). A função exponencial exp:𝑀𝑛(C) → Gl(𝑛,C) é um mapacontínuo.

Demonstração. A norma de cada termo 𝑋𝑚/𝑚! da série exp(𝑋) é majorada por |𝑋|𝑚/𝑚! (Pro-posição 1.2.10). Como a série

𝑒|𝑋| =∞∑𝑚=0

|𝑋|𝑚

𝑚!

é convergente, segue, pelo M-Teste de Wierstrass que a série ∑∞𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚! é convergente e que o mapaexp é contínuo.

A demonstração de que exp(𝑋) ∈ Gl(𝑛,C) para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) segue do item (d) daProposição 1.2.12, cuja demonstração só depende da convergência das séries ∑∞

𝑚=0𝑋𝑚

𝑚! .

Proposição 1.2.12. A função exponencial possui as seguintes propriedades:

(a) exp(𝑋*) = ( exp(𝑋))*, para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C);

(b) exp(𝐴−1𝑋𝐴) = 𝐴−1 exp(𝑋)𝐴, para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C) e 𝐴 ∈ Gl(𝑛,C);

(c) exp(𝑋 + 𝑌 ) = exp(𝑋) exp(𝑌 ), para todos 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C) são tais que 𝑋𝑌 = 𝑌 𝑋;

(d) exp(−𝑋) = ( exp(𝑋))−1, para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C);

22

(e) Para cada 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C), o mapa

𝑡 ∈ R → exp(𝑡𝑋) ∈ Gl(C)

é suave edd 𝑡 exp(𝑡𝑋)

𝑡=𝑡0

= exp(𝑡0𝑋)𝑋.

(f) det(exp(𝑋)) = 𝑒tr(𝑋), para todo 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C).

Demonstração. Seja 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C). Para todo 𝑘 ∈ Z+, temos que

𝑘∑𝑚=0

(𝑋*)𝑚𝑚! =

𝑘∑𝑚=0

(𝑋𝑚)*

𝑚! =(

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)*

.

Assim, pela continuidade do mapa 𝑌 → 𝑌 *, temos que

exp(𝑋*) = lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

(𝑋*)𝑚𝑚! = lim

𝑘→∞

(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)*

=(

lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)*

= (exp(𝑋))*.

Logo, temos o item (a).O item (b) é provado utilizando-se a continuidade da função 𝑌 → 𝐴−1𝑌 𝐴 como fizemos para

a função 𝑌 → 𝑌 * no item (a).Sejam 𝑋 e 𝑌 ∈ 𝑀𝑛(C) tais que 𝑋𝑌 = 𝑌 𝑋. Para cada 𝑚 ∈ Z>0, vale (por causa da comutati-

vidade de 𝑋 e 𝑌 ), que

(𝑋 + 𝑌 )𝑚 =𝑚∑𝑖=0

𝑚!(𝑚− 𝑖)! 𝑖!𝑋

𝑚−𝑖𝑌 𝑖.

Assim, para cada 𝑘 ∈ Z+,(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)=

2𝑘∑𝑚=0

𝑚∑𝑖=0

𝑋𝑚−𝑖𝑌 𝑖

(𝑚− 𝑖)! 𝑖!

=2𝑘∑𝑚=0

1𝑚!

𝑚∑𝑖=0

𝑚!(𝑚− 𝑖)! 𝑖!𝑋

𝑚−𝑖𝑌 𝑖

=2𝑘∑𝑚=0

1𝑚! (𝑋 + 𝑌 )𝑚.

Logo,

exp(𝑋) exp(𝑌 ) =(

lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)(lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)

= lim𝑘→∞

(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)(𝑘∑

𝑚=0

𝑋𝑚

𝑚!

)

= lim𝑘→∞

2𝑘∑𝑚=0

1𝑚! (𝑋 + 𝑌 )𝑚

= exp(𝑋 + 𝑌 ).

23

Com isso, temos o item (c).Usando o fato de que exp(0) = 𝐼 (que segue diretamente da definição da função exponencial)

e o item (c), concluimos o item (d).Provemos, agora, o item (e). Sejam 𝑡0 ∈ R e 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C). Para todo 𝑡 = 0,

exp((𝑡0 + 𝑡)𝑋) − exp(𝑡0𝑋)𝑡

= lim𝑘→∞

∑𝑘𝑚=0

(𝑡0+𝑡)𝑚𝑋𝑚

𝑚! −∑𝑘𝑚=0

𝑡𝑚0 𝑋𝑚

𝑚!𝑡

= lim𝑘→∞

𝑘∑𝑚=0

((𝑡0 + 𝑡)𝑚 − 𝑡𝑚0

𝑡

)𝑋𝑚

𝑚!

= lim𝑘→∞

𝑋 +𝑘∑

𝑚=2

(𝑚! 𝑡𝑚−1

0 + 𝑡𝑚∑𝑖=2

𝑡𝑚−𝑖0 𝑡𝑖−2

)𝑋𝑚

𝑚!

= lim𝑘→∞

𝑋 +(

𝑘∑𝑚=2

𝑡𝑚−10 𝑋𝑚−1

(𝑚− 1)!

)𝑋 + 𝑡

𝑘∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2


)𝑋𝑚

𝑚!

= lim𝑘→∞

(𝑘−1∑𝑚=0

𝑡𝑚0 𝑋𝑚

𝑚!

)𝑋 + 𝑡

𝑘∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2


)𝑋𝑚

𝑚!

=( ∞∑𝑚=0

𝑡𝑚0 𝑋𝑚

𝑚!

)𝑋 + 𝑡

∞∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2


)𝑋𝑚

𝑚!

= exp(𝑡0𝑋)𝑋 + 𝑡∞∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2


)𝑋𝑚

𝑚! .

Com isso, concluimos que

dd 𝑡 exp(𝑡𝑋)

𝑡=𝑡0

= lim𝑡→0

exp((𝑡0 + 𝑡)𝑋) − exp(𝑡0𝑋)𝑡

= exp(𝑡0𝑋)𝑋 + lim𝑡→0

𝑡∞∑𝑚=2

(𝑚∑𝑖=2


)𝑋𝑚

𝑚!= exp(𝑡0𝑋)𝑋.

E, por indução em 𝑛, mostra-se que

dd 𝑡𝑛 exp(𝑡𝑋)

𝑡=𝑡0

= exp(𝑡0𝑋)𝑋𝑛.

Portanto, temos o item (e).Por fim, provemos o item (f).Seja 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C). Seja 𝐵 ∈ Gl(𝑛,C) uma matriz tal que 𝑋 = 𝐵𝐽𝐵−1, onde 𝐽 ∈ 𝑀𝑛(C) é uma

matriz de Jordan

𝐽 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝜆1 * · · · *0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 𝜆𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

24

Como

exp(𝐽) =∞∑𝑚=0

𝐽𝑚

𝑚! =∞∑𝑚=1

1𝑚!

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝜆𝑚1 * · · · *0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 𝜆𝑚𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∑∞𝑚=0

𝜆𝑚1𝑚! * · · · *

0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 ∑∞

𝑚=0𝜆𝑚

𝑛

𝑚!

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑒𝜆1 * · · · *0 . . . * ...... . . . *0 · · · 0 𝑒𝜆𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,

temos quedet(exp(𝑋)) = det(exp(𝐵𝐽𝐵−1)) = det(𝐵 exp(𝐽)𝐵−1)

= det(exp(𝐽)) = 𝑒𝜆1𝑒𝜆2 . . . 𝑒𝜆𝑛

= 𝑒𝜆1+𝜆2+···+𝜆𝑛 = 𝑒tr(𝐽)

= 𝑒tr(𝑋).

Observação 1.2.13. Segue diretamente da definição da função exponencial que exp(𝑋) ∈ 𝑀𝑛(R)sempre que 𝑋 ∈ 𝑀𝑛(R). Desta forma, podemos considerar exp como um mapa 𝑀𝑛(R) → 𝑀𝑛(R).Em particular, todas as afirmações da Proposição 1.2.12 são verdadeiras trocando-se C por R.

Proposição 1.2.14. Sejam𝑈𝐼 = {𝐴 ∈ Gl(C): |𝐴− 𝐼|< 1}

e𝑉0 = {𝑋 ∈ 𝑀𝑛(C): |𝑋|< log 2}.

Para cada 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 , a série

log(𝐴) =∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝐴− 𝐼)𝑚𝑚

é convergente e log(𝐴) ∈ 𝑉0. A função

log:𝑈𝐼 → 𝑉0

é um homeomorfismo cujo inverso éexp:𝑉0 → 𝑈𝐼 .

Demonstração. Para cada 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 e 𝑚 ∈ Z+, temos, pela Proposição 1.2.10, que(−1)𝑚+1 (𝐴− 𝐼)𝑚

𝑚

= |(𝐴− 𝐼)𝑚|

𝑚6

|𝐴− 𝐼|𝑚

𝑚.

25

Como |𝐴− 𝐼|< 1 se 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 , a série∞∑𝑚=1

|𝐴− 𝐼|𝑚

𝑚

é convergente. Assim, pelo M-teste de Wiestrass, segue que a série ∑∞𝑚=1(−1)𝑚+1 (𝐴−𝐼)𝑚

𝑚é conver-

gente e o mapa log é contínuo.Seja 𝑋 ∈ 𝑉0. Temos, pela Proposição 1.2.10, que

|exp(𝑋) − 𝐼| =

∞∑𝑚=1

𝑋𝑚

𝑚!

6

∞∑𝑚=1

𝑋𝑚

𝑚!

6

∞∑𝑚=1

|𝑋|𝑚

𝑚! = 𝑒|𝑋| − 1

< 𝑒log(2) − 1 = 1.

Logo, exp(𝑋) ∈ 𝑈𝐼 .A seguir, mostraremos que log(exp(𝑋)) = 𝑋, para todo 𝑋 ∈ 𝑉0, e exp(log(𝐴)) = 𝐴, para todo

𝐴 ∈ 𝑈𝐼 . Com isso, concluímos que todo 𝐴 ∈ 𝑈𝐼 é da forma exp(𝑋) para algum 𝑋 ∈ 𝑉0. Assim,|log(𝐴)|= |𝑋|< log(2) e, consequentemente, log(𝐴) ∈ 𝑉0. Portanto, concluiremos que log:𝑈𝐼 → 𝑉0é o mapa inverso de exp:𝑉0 → 𝑈𝐼 .

Sejam𝑋 ∈ 𝑉0 e𝐴 ∈ 𝑈𝐼 . Separaremos as demonstrações de que log(exp(𝑋)) = 𝑋 e exp(log(𝐴)) =𝐴 nos casos em que 𝑋 e 𝐴 são matrizes diagonais e nos casos gerais (em que 𝑋 e 𝐴 podem nãoser diagonais).

Suponhamos que 𝑋 seja a matriz diagonalizável, isto é 𝑋 = 𝑇 diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)𝑇−1, para alumamatriz 𝑇 ∈ Gl(𝑛,C) e uma matriz diagonal diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛). Desta forma,

exp(𝑋) =∞∑𝑚=0

diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)𝑚𝑚! =

∞∑𝑚=0

diag(𝑧𝑚1𝑚! , . . . ,

𝑧𝑚𝑛𝑚!

)= diag

( ∞∑𝑚=0

𝑧𝑚1𝑚! , . . . ,

∞∑𝑚=0

𝑧𝑚𝑛𝑚!

)= diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛).

e, pela Proposição 1.2.12,

log(exp(𝑋)) = log(𝑇 exp(diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛))𝑇−1)= log(𝑇 diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛)𝑇−1)

=∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝑇 diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛)𝑇−1 − 𝐼)𝑚𝑚

=∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1𝑇(diag(𝑒𝑧1 , . . . , 𝑒𝑧𝑛) − 𝐼)𝑚

𝑚𝑇−1

=∞∑𝑚=1

𝑇 diag(

(−1)𝑚+1 (𝑒𝑧1 − 1)𝑚𝑚

, . . . , (−1)𝑚+1 (𝑒𝑧𝑛 − 1)𝑚𝑚

)𝑇−1

= 𝑇 diag( ∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝑒𝑧1 − 1)𝑚𝑚

, . . . ,∞∑𝑚=1

(−1)𝑚+1 (𝑒𝑧𝑛 − 1)𝑚𝑚

)𝑇−1

= 𝑇 diag(log(𝑒𝑧1), . . . , log(𝑒𝑧𝑛))𝑇−1

= 𝑇 diag(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)𝑇−1

= 𝑋.

26

De modo análogo, mostra-se que se 𝐴 é uma matriz diagonalizável então exp(log(𝐴)) = 𝐴.Se 𝑃 ∈ 𝑀𝑛(C), existe uma sequência (𝐷𝑘) de matrizes diagonalizáveis em 𝑀𝑛(C) tal que

𝑃 = lim𝑘→∞ 𝐷𝑘. De fato, existe 𝑇 ∈ Gl(𝑛,C) tal que 𝑇𝑃𝑇−1 = 𝑆 + 𝑁 , onde3 𝑆 é uma matrizdiagonal, 𝑁 é uma matriz triangular superior e 𝑆𝑁 = 𝑁𝑆. Para cada 𝑘 ∈ Z+ existe uma matrizdiagonal 𝑆𝑘 tal que |𝑆𝑘|< 1

𝑘e 𝑆+𝑆𝑘 é uma matriz cujas 𝑛 entradas da diagonal principal possuem

𝑛 valores diferentes. Definimos, para cada 𝑘 ∈ Z+,

𝐷𝑘 = 𝑃 + 𝑇−1𝑆𝑘𝑇.

Os autovalores da matriz𝑇𝐷𝑘𝑇

−1 = (𝑆 + 𝑆𝑘) +𝑁

são os autovalores de 𝑆 + 𝑆𝑘. Como 𝑆 + 𝑆𝑘 possui 𝑛 autovalores distintos 𝑇𝐷𝑘𝑇−1 possui 𝑛

autovalores distintos. Logo, 𝑇𝐷𝑘𝑇−1 é diagonalizável e, consequentemente, 𝐷𝑘 é diagonalizável.

Além disso,|𝐷𝑘 − 𝑃 |= |𝑇−1𝑆𝑘𝑇 |6 |𝑇 ||𝑇−1|

𝑘

e, logo,lim𝑘→∞

𝐷𝑘 = 𝑃.

Seja (𝐷𝑘) uma sequência de matrizes diagonalizáveis tal que lim𝑘→∞ 𝐷𝑘 = 𝑋. Pela continuidadedos mapas log e exp e pelo caso anterior, temos que

log(exp(𝑋)) = log(exp( lim𝑘→∞

𝐷𝑘)) = lim𝑘→∞

log(exp(𝐷𝑘))= lim

𝑘→∞𝐷𝑘 = 𝑋.

De maneira análoga, prova-se, no caso em que 𝐴 é uma matriz qualquer, que exp(log(𝐴)) =𝐴.

1.3 Funções Suaves e Vetores TangentesDenotamos por 𝐶∞(𝑀) o conjunto das funções suaves 𝑀 → R definidas em uma variedade 𝑀 .

Exemplo 1.3.1. Considere uma carta suave (𝑈,𝜙) de uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚.As funções suaves 𝑥𝑖:𝑈 → R, 𝑖 = 1, . . . , 𝑚, definidas por

𝑥𝑖(𝑝) = 𝑝𝑖, 𝑝 = 𝜙−1(𝑝1, . . . , 𝑝𝑚) ∈ 𝑈,

são chamadas de funções coordenadas. Como 𝑈 é uma variedade suave por si só, temos que𝑥𝑖 ∈ 𝐶∞(𝑈), 𝑖 = 1, . . . , 𝑚. Por comodidade, denotamos 𝜙 por (𝑥𝑖) quando estivermos maisinteressados nas funções coordenadas do que em 𝜙 em sí.

A seguir usaremos os seguinte resultados sobre funções suaves em espaços euclideanos:3𝑆 +𝑁 é a forma de Jordan de 𝑃

27

Lema 1.3.2. (i) Sejam 𝑉 um aberto de R𝑛 e 𝑔:𝑉 → R uma função suave. Dado 𝑥0 ∈ 𝑉 ,existem abertos 𝑉0 ⊂ R𝑛 e 𝑉1 de R𝑛 e uma função suave 𝑔0:𝑉 → R tais que:

– 𝑥0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉1 ⊂ 𝑉1 ⊂ 𝑈 ;– 𝑔0|𝑉0= 𝑔|𝑉0;– 𝑔0(𝑉 ∖𝑉1) = {0}.

(ii) Sejam 𝑉 um aberto de R𝑛 e 𝑥0 ∈ 𝑉 . Existem uma função suave 𝑏:𝑉 → R e um aberto𝑉0 ⊂ R𝑛 tais que:

– 𝑥0 ∈ 𝑉0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉 ;– 𝑏(𝑥0) = 0;– 𝑏(𝑉 ∖𝑉0) = {1}.

Lema 1.3.3. (i) Sejam 𝑈 um aberto de uma variedade suave 𝑀 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈). Dado 𝑝 ∈ 𝑈 ,existe um aberto 𝑈0 de 𝑀 e uma função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que

– 𝑝 ∈ 𝑈0 ⊂ 𝑈 ;– 𝑓 |𝑈0= 𝑓 |𝑈0.

(ii) Sejam 𝑈 um aberto em uma variedade suave 𝑀 e 𝑝 ∈ 𝑈 . Existem uma função suave 𝑏 ∈𝐶∞(𝑀) tal que

– 𝑏(𝑝) = 0;– 𝑏(𝑀∖𝑈) = {1}.

Demonstração. (i)

Seja 𝑝 ∈ 𝑈 .Consideremos uma carta suave (𝑉, 𝜓) de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑈 . Temos que 𝑔 = 𝑓 ∘𝜓−1:𝜓(𝑉 ) →

R é uma função suave definida no aberto 𝜓(𝑉 ) ⊂ Rdim𝑀 que contém 𝑥0 = 𝜓(𝑝). Assim, pelo item(i) do Lema 1.3.2, existem um abertos 𝑉0 e 𝑉1 ⊂ R𝑛 e uma função suave 𝑔0:𝜓(𝑉 ) → R tais que:𝑥0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉1𝑉1 ⊂ 𝜓(𝑉 ); 𝑔0|𝑉0= 𝑔|𝑉0 ; e 𝑔0(𝜓(𝑉 )∖𝑉1) = {0}. Denotemos 𝜓−1(𝑉0) e 𝜓−1(𝑉1) por 𝑈0e 𝑈1.

Uma vez que 𝑈1 ⊂ 𝑉 , 𝑉 e 𝑀∖𝑈1 são dois abertos de 𝑀 tais que 𝑀 = 𝑉 ∪(𝑀∖𝑈1). Assim, como𝑔0 ∘𝜓(𝑉 ∖𝑈1) = 𝑔0(𝜓(𝑉 )∖𝑉1) = {0}, podemos definir uma função 𝑓 :𝑀 → R tomando 𝑓 |𝑉 = 𝑔0 ∘𝜙−1

e 𝑓 |𝑀∖𝑈1= 0. Como 𝑓 é suave tanto em 𝑉 quanto em 𝑀∖𝑈1, devemos ter que 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).

Por fim,𝑓 |𝑈0= 𝑔0 ∘ 𝜓|𝑈0= 𝑔 ∘ 𝜓|𝑈0= 𝑓 |𝑈0 .

(ii)

28

Consideremos uma carta suave (𝑉, 𝜓) tal que 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑈 . Pelo item (ii) do Lema 1.3.2,existem uma função suave 𝑏0:𝜙(𝑉 ) → R e um aberto 𝑉0 ⊂ R𝑛 tais que: 𝜙(𝑝) ∈ 𝑉0 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝜙(𝑉 );𝑏0(𝜙(𝑝)) = 0; e 𝑏0(𝜙(𝑉 )∖𝑉0) = {1}. Denotemos 𝜙−1(𝑉0) por 𝑈0.

Uma vez que 𝑈0 ⊂ 𝑉 , 𝑉 e 𝑀∖𝑈0 são dois abertos de 𝑀 tais que 𝑀 = 𝑉 ∪(𝑀∖𝑈0). Assim, como𝑏0 ∘ 𝜓(𝑉 ∖𝑈0) = 𝑏0(𝜓(𝑉 )∖𝑉0) = {1}, podemos definir uma função 𝑏:𝑀 → R tomando 𝑏|𝑉 = 𝑏0 ∘ 𝜓e 𝑏|𝑀∖𝑈0

= 1. Como 𝑏 é suave tanto em 𝑉 como em 𝑀∖𝑈0 devemos ter que 𝑏 é suave.Por fim, 𝑏(𝑝) = 𝑏0 ∘ 𝜓(𝑝) = 0 e 𝑏(𝑀∖𝑈) ⊂ 𝑏(𝑀∖𝑈0) = {1}.

Para cada 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀), as funções 𝑓 ·𝑔 e 𝑓 +𝑔:𝑀 → R, definidas por 𝑓 ·𝑔(𝑝) = 𝑓(𝑝) ·𝑔(𝑝) e(𝑓 + 𝑔)(𝑝) = 𝑓(𝑝) + 𝑔(𝑝), 𝑝 ∈ 𝑀 , são suaves. Com estas operações, 𝐶∞(𝑀) é um anel comutativo.Além disso, 𝐶∞(𝑀) é um espaço vetorial real com a soma de funçõe que acabamos de definir e amultiplicação por escalar definida, para cada 𝜆 ∈ R e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), por (𝜆𝑓)(𝑝) = 𝜆𝑓(𝑝), 𝑝 ∈ 𝑀 .

Definição 1.3.4. Seja 𝑝 um ponto de uma variedade 𝑀 . Dizemos que uma transformação linear𝑋𝑝:𝐶∞(𝑀) → R é um vetor tangente em 𝑝 se, dadas funções suaves 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀), vale aigualdade

𝑋𝑝(𝑓 · 𝑔) = 𝑋𝑝(𝑓) · 𝑔(𝑝) + 𝑓(𝑝) ·𝑋𝑝(𝑔).

O espaço tangente de 𝑀 em 𝑝 é o espaço vetorial real, denotado por T𝑝𝑀 , formado por todos osvetores tangentes em 𝑝 (onde a soma e a multiplicação por escalares são as usuais empregadas emespaços vetorias de transformações lineares).

Exemplo 1.3.5. Para cada 𝑝 ∈ R𝑛, podemos definir os vetores 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑝R𝑛, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, pelaigualdade

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑓) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝), 𝑓 ∈ 𝐶∞(R𝑛).

Lema 1.3.6. Seja 𝑋𝑝 um vetor tangente em um ponto 𝑝 de uma variedade 𝑀 .

(i) Se 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) é uma função constante então 𝑋𝑝(𝑓) = 0.

(ii) Se 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) coincidem em um aberto 𝑈 de 𝑀 que contém 𝑝 então 𝑋𝑝(𝑓) = 𝑋𝑝(𝑔).

Demonstração. (i)

Primeiramente, consideremos o caso em que 𝑓 é a função constante igual à 1, denotada sim-plesmente por 1. Neste caso, temos que

𝑋𝑝(𝑓) = 𝑋𝑝(1) = 𝑋𝑝(1 · 1) = 𝑋𝑝(1) · 1(𝑝) + 1(𝑝) ·𝑋𝑝(1) = 2𝑋𝑝(1) = 2𝑋𝑝(𝑓)

e, consequentemente, 𝑋𝑝(𝑓) = 0.No caso geral, 𝑓 = 𝑐1 para algum 𝑐 ∈ R. Desta forma,

𝑋𝑝(𝑓) = 𝑐𝑋𝑝(1) = 𝑐 · 0 = 0.

(ii)

29

Pelo item (ii) do Lema 1.3.3, existe uma função suave 𝑏 ∈ 𝐶∞(𝑀) tal que 𝑏(𝑝) = 0 e 𝑏(𝑀∖𝑈) ={1}.

Seja ℎ a função suave 𝑓 − 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀). Como ℎ|𝑈= 0 e 𝑏|𝑀∖𝑈= 1, temos que ℎ = 𝑏 · ℎ. Assim,

𝑋𝑝(ℎ) = 𝑋𝑝(𝑏 · ℎ) = 𝑋𝑝(𝑏)ℎ(𝑝) + 𝑏(𝑝)𝑋𝑝(ℎ) = 𝑋𝑝(𝑏)0 + 0𝑋𝑝(ℎ) = 0

e, consequentemente,𝑋𝑝(𝑓) = 𝑋𝑝(𝑔 + ℎ) = 𝑋𝑝(𝑔) +𝑋𝑝(ℎ) = 𝑋𝑝(𝑔).

Na demonstração da próxima proposição utilizamos um resultado de análise em espaços R𝑛, afórmula de Taylor: Se 𝑈 é um aberto convexo de R𝑛, 𝑝 = (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) ∈ 𝑈 e 𝑓 :𝑈 → R é suaveentão

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) +𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖) +

𝑛∑𝑖,𝑗=1

(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡,

para todo 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝑈 .

Proposição 1.3.7. Os vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, formam uma base para o espaço

tangente T𝑝R𝑛 de R𝑛 em 𝑝 ∈ R𝑛.

Demonstração. O conjunto { 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝} é linearmente independente em T𝑝R𝑛 pois se ∑𝑛

𝑖=1 𝜆𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑖 = 0

então𝜆𝑗 =

𝑛∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝑥𝑗) = 0,

onde 𝑥𝑗 é a 𝑗-ésima funçao coordenada.Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝R𝑛. Concluiremos que

𝑋𝑝 =𝑛∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

mostrando que estes vetores coincidem em todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(R𝑛). Observemos que

𝑋𝑝

((𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)

∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑥− 𝑝)) d 𝑡

)

= 𝑋𝑝(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑝𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗(𝑝+ 𝑡(𝑝− 𝑝)) d 𝑡

+(𝑝𝑖 − 𝑝𝑖)𝑋𝑝

((𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)

∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓


)

= 𝑋𝑝(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)0 + 0𝑋𝑝

((𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)

∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓


)= 0

30


𝑋𝑝

⎛⎝ 𝑛∑𝑖,𝑗=1

(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓


⎞⎠ = 0.

Além disso, pelo Lema 1.3.6, 𝑋𝑝(𝑓(𝑝)) = 0 e 𝑋𝑝(𝑝𝑖) = 0. Então,

𝑋𝑝(𝑓) =

= 𝑋𝑝

⎛⎝𝑓(𝑝) +𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖) +

𝑛∑𝑖,𝑗=1

(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)(𝑥𝑗 − 𝑝𝑗)∫ 1

0(1 − 𝑡) 𝜕2𝑓


⎞⎠= 𝑋𝑝

(𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑥𝑖 − 𝑝𝑖)

)

=𝑛∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)(𝑋𝑝(𝑥𝑖) −𝑋𝑝(𝑝𝑖))

=𝑛∑𝑖=1

𝑋𝑝(𝑥𝑖)𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑝)

=𝑛∑𝑖=1


𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑓)

=⎛⎝ 𝑛∑𝑖=1


𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ (𝑓).

Observação 1.3.8. Dado um aberto 𝑈 de R𝑛, podemos definir os vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝, 𝑖 = 1,

. . . , 𝑛, em T𝑝 𝑈 , onde 𝑝 ∈ 𝑈 , da mesma forma que definimos em 𝑇𝑝R𝑛. Em especial para𝑈 = 𝐵(0, 1) (a bola aberta de raio 1 centrada em 0) a com os mesmos argumentos da Proposição1.3.7 podemos mostrar que { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝}𝑛𝑖=1 é uma base de T𝑝𝐵(0, 1).

Suponhamos que 𝐹 :𝑀 → 𝑁 seja um mapa suave. Como a composição de mapas suave é ummapa suave, dado 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁), o mapa 𝑔 ∘ 𝐹 é um mapa suave em 𝑀 . Dado 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 , atransformação linear 𝑌𝐹 (𝑝):𝐶∞(𝑁) → R, definida por

𝑌𝐹 (𝑝)(𝑔) = 𝑋𝑝(𝑔 ∘ 𝐹 ), 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁),

é um vetor tangente em 𝐹 (𝑝). De fato, se 𝑓 e 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁) então

𝑌𝐹 (𝑝)(𝑓 · 𝑔) = 𝑋𝑝((𝑓 · 𝑔) ∘ 𝐹 )= 𝑋𝑝((𝑓 ∘ 𝐹 ) · (𝑔 ∘ 𝐹 ))= 𝑋𝑝(𝑓 ∘ 𝐹 )(𝑔 ∘ 𝐹 )(𝑝) + (𝑓 ∘ 𝐹 )(𝑝)𝑋𝑝(𝑔 ∘ 𝐹 )= 𝑌𝐹 (𝑝)(𝑓)𝑔(𝐹 (𝑝)) + 𝑓(𝐹 (𝑝))𝑌𝐹 (𝑝)(𝑔).

Além disso, verifica-se que a aplicação que manda 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 para 𝑌𝐹 (𝑝) ∈ T𝐹 (𝑝) 𝑁 é linear.

31

Definição 1.3.9. Seja 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave entre variedades suaves. O diferencial de 𝐹em 𝑝 ∈ 𝑀 é a transformação linear 𝐹*: T𝑝𝑀 → T𝐹 (𝑝) 𝑁 , cuja imagem 𝐹*(𝑋𝑝) ∈ T𝐹 (𝑝) 𝑁 do vetortangente 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 é definida por

(𝐹*(𝑋𝑝))(𝑔) = 𝑋𝑝(𝑓 ∘ 𝐹 ), 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑁).

Proposição 1.3.10. (i) Se 𝐹 :𝑀1 → 𝑀2 e 𝐺:𝑀2 → 𝑀3 mapas suaves entre variedades então,em cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀1, vale a igualdade (𝐹 ∘𝐺)* = 𝐹* ∘𝐺*;

(ii) (id𝑀)* = 1T𝑝 𝑀 (o diferencial do mapa identidade 𝑀 → 𝑀 no ponto 𝑝 ∈ 𝑀 é o mapaidentidade T𝑝𝑀 → T𝑝𝑀);

(iii) Se 𝐹 :𝑀 → 𝑁 é um difeomorfismo então, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , 𝐹*: T𝑝 → T𝐹 (𝑝) 𝑁 é umisomorfismo linear e (𝐹*)−1 = (𝐹−1)*.

Demonstração.(i)

Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀1. Para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀3), temos que

(𝐹* ∘𝐺*(𝑋𝑝))(𝑓) = (𝐹*(𝐺*(𝑋𝑝)))(𝑓) = (𝐺*(𝑋𝑝))(𝑓 ∘ 𝐹 )= 𝑋𝑝((𝑓 ∘ 𝐹 ) ∘𝐺) = 𝑋𝑝(𝑓 ∘ (𝐹 ∘𝐺))= ((𝐹 ∘𝐺)*(𝑋𝑝))(𝑓).

Logo, 𝐹* ∘𝐺*(𝑋𝑝) = (𝐹 ∘𝐺)*(𝑋𝑝).

(ii)

Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 . Para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀),

((id𝑀)*(𝑋𝑝))(𝑓) = 𝑋𝑝(𝑓 ∘ id𝑀) = 𝑋𝑝(𝑓) = ((1T𝑝 𝑀)(𝑋𝑝))(𝑓).

Logo, (id𝑀)*(𝑋𝑝) = (1T𝑝 𝑀)(𝑋𝑝).

(iii)

Segue dos itens (i) e (ii) que

𝐹* ∘ (𝐹−1)* = (𝐹 ∘ 𝐹−1)* = (id𝑀)* = 1T𝑝 𝑀 .

Como vimos no Exemplo 1.3.5, as derivadas particiais em relação às coordenadas de R emum ponto 𝑥 contido em um aberto �� de R𝑛 fornecem vetores tangentes 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑥

∈ T𝑥 �� . Assim, se(𝑈,𝜙) é uma carta suave do atlas de uma variedade 𝑀 tal que 𝜙(𝑈) = �� e 𝑥 = 𝜙(𝑝), temos que adiferencial (𝜙−1)* leva os vetores tangentes 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑥

∈ T𝑥 �� à vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑥𝑀 . Comoveremo a seguir, { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝}𝑛𝑖=1 é uma base de T𝑝𝑀 da mesma forma que { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑥}𝑛𝑖=1 é uma base de

T𝑥 �� (Observação 1.3.8).

32

Proposição 1.3.11. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑛 e 𝑝 ∈ 𝑀 .

(i) Se 𝑈 é um aberto de 𝑀 então a diferencial da inclusão 𝑈 → 𝑀 é um isomorfismo linearT𝑝 𝑈 → T𝑝𝑀 ;

(ii) Os vetores tangentes 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, (da imagem da diferencial (𝜙−1)*, onde 𝜙 = (𝑥𝑖) é

uma carta suave que contém 𝑝) formam uma base de T𝑝𝑀 .

Demonstração.(i)

Seja 𝑖:𝑈 → 𝑀 o mapa inclusão de 𝑈 em 𝑀 . Construiremos um mapa 𝜏 : T𝑝𝑀 → T𝑝 𝑈 que é omapa inverso do diferencial 𝑖*: T𝑝 𝑈 → T𝑝𝑀 , de onde poderemos concluir que 𝑖* é um isomorfismo.

Seja 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 . Verificaremos que uma função 𝜏(𝑋𝑝):𝐶∞(𝑈) → R fica bem definida, em𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑈), pela igualdade

(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔) = 𝑋𝑝(𝑔),

onde 𝑔 ∈ 𝐶∞(𝑀) coincide com 𝑔 um aberto �� de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ �� ⊂ 𝑈 . Primeiramente, peloLema 1.3.3, sempre existem um aberto �� e uma função 𝑔 tais que 𝑝 ∈ �� ⊂ 𝑈 e 𝑔|��= 𝑔|�� . Alémdisso, (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔) não depende da escolha de �� ou de 𝑔. De fato, se 𝑔1 e 𝑔2 ∈ 𝐶∞(𝑀), ��1 e ��2 sãoabertos de 𝑀 tais que 𝑝 ∈ ��1, ��2 ⊂ 𝑈 , 𝑔|��1

= 𝑔1|��1e 𝑔|��2

= 𝑔1|��2então 𝑝 ∈ �� := ��1 ∩ ��2 ⊂ 𝑀 ,

𝑔1|��= 𝑔2|�� e, pelo Lema 1.3.6(ii), 𝑋𝑝(𝑔1) = 𝑋𝑝(𝑔2).Para concluirmos que 𝜏(𝑋𝑝):𝐶∞(𝑈) → R, 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 , como definido acima, é de fato um vetor

tangente à 𝑝 em 𝑀 , devemos verificar que, para 𝑔1 e 𝑔2 ∈ 𝐶∞(𝑈) e 𝜆 ∈ R, valem as igualdades

(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 + 𝜆𝑔2) = (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1) + 𝜆(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2)

e(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 · 𝑔2) = (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1)𝑔2(𝑝) + 𝑔1(𝑝)(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2).

Consideremos �� um aberto de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ �� ⊂ 𝑀 e 𝑔1 e 𝑔2 ∈ 𝐶∞(𝑀) tais que 𝑔1|��= 𝑔1|�� e𝑔1|��= 𝑔1|�� . Desta forma devemos ter que

(𝑔1 + 𝜆𝑔2)|��= (𝑔1 + 𝜆𝑔2)|��

e(𝑔1 · 𝑔2)|��= (𝑔1 · 𝑔2)|�� .

Logo,

(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 + 𝜆𝑔2) = 𝑋𝑝(𝑔1 + 𝜆𝑔2) = 𝑋𝑝(𝑔1) + 𝜆𝑋𝑝(𝑔2) = (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1) + 𝜆(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2)

e(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1 · 𝑔2) = 𝑋𝑝(𝑔1 · 𝑔2)

= 𝑋𝑝(𝑔1)𝑔2(𝑝) + 𝑔1(𝑝)𝑋𝑝(𝑔2)= (𝜏(𝑋𝑝))(𝑔1)𝑔2(𝑝) + 𝑔1(𝑝)(𝜏(𝑋𝑝))(𝑔2).

33

Assim, concluimos que o mapa 𝜏 : T𝑝𝑀 → T𝑝 𝑈 está bem definido. Segue diretamente daexpressão de 𝜏(𝑋𝑝) acima que o mapa 𝜏 é uma transformação linear.

Por fim, concluimos que 𝑖* ∘ 𝜏 = 1T𝑝 𝑀 pois, dados 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), temos que

((𝑖* ∘ 𝜏)(𝑋𝑝))(𝑓) = (𝑖*(𝜏(𝑋𝑝))(𝑓) = 𝜏(𝑋𝑝)(𝑓 |𝑈) = 𝑋𝑝(𝑓) = (1T𝑝 𝑀(𝑋𝑝))(𝑓).

(ii)

Consideremos uma carta suave 𝜙:𝑈 → �� em 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑈 e 𝑥𝑖 são as funções coordenadas.Como 𝜙:𝑈 → �� é um difeomorfismo, temos, pela Proposição 1.3.10, que (𝜙−1)*: T𝜙(𝑝) �� → T𝑝 𝑈é um isomorfismo. E, pelo item anterior, 𝑖*: T𝑝 𝑈 → T𝑝𝑀 também é um isomorfismo. Logo,𝑖* ∘ (𝜙−1)*: T𝜙(𝑝) �� → T𝑝𝑀 é um isomorfismo. Sendo { 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

}dim𝑀𝑖=1 uma base de T𝜙(𝑝) �� (veja a

Proposição 1.3.7), a sua imagem { 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝}dim𝑀𝑖=1 pelo isomorfismo 𝑖* ∘(𝜙−1)* é uma base de T𝑝𝑀 .

Pelo item (i) da Proposição 1.3.11, podemos identificar T𝑝 𝑈 e T𝑝𝑀 quando 𝑈 for um abertoda variedade suave 𝑀 e 𝑝 ∈ 𝑈 . Em particular, se (𝑈,𝜙) é uma carta suave assumiremos que odomínio de (𝜙−1)* é T𝑝𝑀 .

Seja 𝑋𝑝 um vetor tangente à um ponto 𝑝 de uma variedade 𝑀 de dimensão 𝑚. Tomando umacarta suave (𝑈, (𝑥𝑖)), com 𝑝 ∈ 𝑈 , temos, do item (ii) da Proposição 1.3.11, que existem 𝜆𝑖 ∈ R taisque,

𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

.

Como𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑥𝑗) ={

1, 𝑖 = 𝑗;0, 𝑖 = 𝑗;

devemos ter que

𝜆𝑗 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

(𝑥𝑗) = 𝑋𝑝(𝑥𝑗).

Com isso, concluímos que todo vetor tangente 𝑋𝑝 à um ponto 𝑝 e em uma variedade 𝑀 dedimensão 𝑚 é descrito por uma carta (𝑈, (𝑥𝑖)), com 𝑝 ∈ 𝑈 , por

𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1


𝜕𝑥𝑖

𝑝

.

Exemplo 1.3.12. Seja 𝑝 um ponto de uma variede suave 𝑀 , de dimensão 𝑚, e 𝑋𝑃 um vetor

tangente à 𝑀 em 𝑝. Existe uma curva suave 𝛾: (−𝜀, 𝜀) → 𝑀 tal que 𝛾(0) = 𝑝 e 𝛾*

(dd 𝑡

0

)= 𝑋𝑝.

De fato, seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 , com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , tal que𝑝 ∈ 𝑈 e 𝜙(𝑝) = 0 ∈ R𝑚. Consideremos uma curva 𝛾: (−𝜀, 𝜀) → 𝑈 dada (para 𝜀 suficientementepequeno) por

𝛾(𝑡) = 𝑡(𝜆1, . . . , 𝜆𝑚), 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀),

34

onde as coordenadas 𝜆𝑖 vem da igualdade

𝑋𝑝 = 𝜆1 𝜕

𝜕𝑥1

𝑝

+ · · · + 𝜆𝑚𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝑝

.

Desta forma, tomando-se 𝛾 = 𝜙−1 ∘ 𝛾 temos, para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), que(𝛾*

(dd 𝑡

0

))(𝑥𝑖) = d

d 𝑡

0

(𝑥𝑖 ∘ 𝜙−1 ∘ 𝛾) = d(𝑥𝑖 ∘ 𝜙−1 ∘ 𝛾)d 𝑡 (0) = 𝜆𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚,

já que 𝑥𝑖 ∘ 𝜙−1 ∘ 𝛾(𝑡) = 𝑡𝜆𝑖, 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀). Logo, concluimos que

𝛾(0) = 𝜙−1 ∘ 𝛾(0) = 𝜙−1(0) = 𝑝

e 𝛾*

(dd 𝑡

0

)= 𝑋𝑝 pois (

𝛾*

(dd 𝑡

0

))(𝑥𝑖) = 𝜆𝑖 = 𝑋𝑝(𝑥𝑖).

Proposição 1.3.13 (Regra da Cadeia). Seja 𝐹 :𝑀 → 𝑁 um mapa suave entre as variedadessuaves 𝑀 , de dimensão 𝑚, e 𝑁 de dimensão 𝑛. Dados 𝑝 ∈ 𝑀 e cartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 e(𝑉, 𝜓) em 𝑁 , com funções coordenadas 𝑥𝑖 e 𝑦𝑗, respectivamente, e tais que 𝑝 ∈ 𝑈 e 𝐹 (𝑝) ∈ 𝑉 , odiferencial de 𝐹 em 𝑝 é descrito por

𝐹*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ =𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝐹 (𝑝)

,

onde 𝐹 𝑗 := 𝜕𝑦𝑗 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1.

Demonstração. Sejam �� := 𝜙(𝑈) ⊂ R𝑚 e 𝑉 := 𝜓(𝑉 ) ⊂ R𝑛 e consideremos as funções coordenadas��𝑖 ∈ 𝐶∞(��) e 𝑦𝑗 ∈ 𝐶∞(𝑉 ).

Como 𝐹 é suave, o mapa 𝜓 ∘𝐹 ∘𝜙−1:𝜙(𝑈 ∩𝐹−1(𝑉 )) → 𝜓(𝐹 (𝑈) ∩𝑉 ) também é suave e temoso diferencial (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*: T𝜙(𝑝) �� → 𝑇𝜓∘𝐹 (𝑝)𝑉 . Sendo 𝑦𝑗 = 𝑦𝑗 ∘ 𝜓, temos que⎛⎝(𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠⎞⎠ (𝑦𝑗) = 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

(𝑦𝑗 ∘ 𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

(𝑦𝑗 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

(𝐹 𝑗)

= 𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)).

35

Assim,

(𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠ =𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓∘𝐹 (𝑝)

.

Então,

𝐹*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ = (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)* ∘ 𝜙*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠= (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝐹 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)*

⎛⎝ 𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓∘𝐹 (𝑝)

⎞⎠=

𝑛∑𝑗=1

𝜕𝐹 𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝐹 (𝑝)

.

Corolário 1.3.14. Seja 𝑝 um ponto em uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚. Se (𝑈, (𝑥𝑖)) e(𝑉, (𝑦𝑗)) são cartas suaves em 𝑀 com 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 então

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

=𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

,

onde𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)


Demonstração. Sejam 𝜙 = (𝑥𝑖) e 𝜓 = (𝑦𝑗). Pela Regra da Cadeia, temos que

(𝜓 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠ =𝑚∑𝑗=1

𝜕(𝜓 ∘ 𝜙−1)𝑗𝜕𝑥𝑖

(𝜙(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓(𝑝)

=𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓(𝑝)

.

Assim,𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

= (𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)* ∘ (𝜓 ∘ 𝜙−1)*

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜙(𝑝)

⎞⎠= (𝜓−1)*

⎛⎝ 𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝜓(𝑝)

⎞⎠=

𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

.

36

1.4 Fibrados Tangentes

Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚. Esta seção será dedicada a construir uma estru-tura de variedade suave no fibrado tangente de 𝑀 que definiremos a seguir.

Definição 1.4.1. O conjuntoT𝑀 :=

⨆𝑝∈𝑀

T𝑝𝑀.

munido do mapa 𝜋: T𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝑋𝑝) = 𝑝, 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 ⊂ T𝑀,

é chamado de fibrado tangente de 𝑀 .

O mapa 𝜋: T𝑀 → 𝑀 é chamado de projeção do fibrado tangente. Com a estrutura de variedadesuave que daremos a T𝑀 , a projeção será um mapa suave.

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑚. Consideremoso mapa 𝜙: 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑚 definido por

𝜙(𝑋𝑝) = (𝑝, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)), 𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑝𝑀, 𝑝 ∈ 𝑈.

Pelo fato de { 𝜕𝜕𝑥𝑖

𝑝}𝑚𝑖=1 ser uma base de T𝑝𝑀 , 𝜙 é uma bijeção. Denotando por 𝜋1:𝑈 × R𝑚 → 𝑀

o mapa descrito por𝜋1(𝑝, 𝑣) = 𝑝, (𝑝, 𝑣) ∈ 𝑈 × R𝑚 → 𝑀,

temos que 𝜋1 ∘ 𝜙 = 𝜋.Os mapas 𝜙: 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑚 construídos a partir de uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 como

acima são chamados de trivializações locais de T𝑀 .Suponhamos que (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) sejam outra carta suaves em 𝑀 , tais que 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅, com

funções coordenadas 𝑥𝑖 e 𝑦𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . ,𝑚, e 𝜙: 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 ×R𝑚 e 𝜓: 𝜋−1(𝑉 ) → 𝑉 ×R𝑚 sejama trivializações local de T𝑀 dadas por

𝜙(𝑋𝑝) = (𝑝, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)), 𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

∈ T𝑝𝑀, 𝑝 ∈ 𝑈,

e

𝜓(𝑋𝑝) = (𝑝, (𝜇1, . . . , 𝜇𝑚)), 𝑋𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜇𝑗𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

∈ T𝑝𝑀, 𝑝 ∈ 𝑉.

37

Pela regra da cadeia temos, para (𝑝, 𝑣) ∈ (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚, que

𝜓 ∘ 𝜙−1(𝑝, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)) = 𝜓

⎛⎝ 𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠= 𝜓

⎛⎝ 𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖

⎛⎝ 𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠⎞⎠= 𝜓

⎛⎝ 𝑚∑𝑗=1

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠=

(𝑝,

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖(𝑝), . . . ,

𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦𝑚

𝜕𝑥𝑖(𝑝)))

Como as funções𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖:= 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖∘ 𝜙

são suaves em 𝑈 ∩ 𝑉 , segue da expressão acima que 𝜓 ∘ 𝜙−1: (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 → (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑛 ésuave. Além disso, 𝜓 ∘ 𝜙−1 é um difeomorfismo tendo 𝜙 ∘ 𝜓−1 como inverso.

Dado uma carta suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 , a trivialização 𝜙: 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 ×R𝑚 induz uma topologia𝜏𝜋−1(𝑈) em 𝜋−1(𝑈). Esta topologia é a única que faz de 𝜙 um homeomorfismo e é definida por𝜏𝜋−1(𝑈) := {𝒰 ⊂ 𝜋−1(𝑈):𝜙(𝒰) é aberto em 𝑈 × R𝑚}.

Se (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) são cartas suaves em 𝑀 e 𝒰 é um aberto de 𝜋−1(𝑈) (com a topologia𝜏𝜋−1(𝑈)) então 𝒰 ∩ 𝜋−1(𝑉 ) é um aberto em 𝜋−1(𝑉 ) (com a topologia 𝜏𝜋−1(𝑉 )). De fato, como𝜙(𝒰) é aberto em 𝑈 × R𝑚, 𝜙(𝒰) ∩ ((𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚) é aberto em (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚. Logo, já que𝜓 ∘ 𝜙−1: (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 → (𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 é um homeomorfismo,

𝜓(𝒰 ∩ 𝜋−1(𝑉 )) = (𝜓 ∘ 𝜙−1)(𝜙(𝒰) ∩ ((𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚)

)é um aberto de 𝑉 × R𝑚. Ou seja, 𝒰 ∩ 𝜋−1(𝑉 ) é aberto em 𝜋−1(𝑉 ).

O conjunto T𝑀 admite uma topologia 𝜏 na qual os abertos são os subconjuntos 𝒲 de T𝑀 taisque, para toda carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 , 𝒲 ∩ 𝜋−1(𝑈) seja aberto em (𝜋−1(𝑈), 𝜏𝜋−1(𝑈)). Segue doparágrafo anterior que, dada uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 , a topologia de 𝜋−1(𝑈) como subespaçode (T𝑀, 𝜏) é a mesma que a de (𝜋−1(𝑈), 𝜏𝜋−1(𝑈)).

Por fim, construiremos um atlas suave para T𝑀 , utilizando as trivializações locais, de modoque T𝑀 seja uma variedade de dimensão 2𝑚.

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 . Como 𝜙:𝑈 → 𝜙(𝑈) é um homeomorfismo, o mapa𝜙× 1R𝑚 :𝑈 × R𝑚 → 𝜙(𝑈) × R𝑚, dado por

(𝜙× 1R𝑚)(𝑝, 𝑣) = (𝜙(𝑝), 𝑣), (𝑝, 𝑣) ∈ 𝑈 × R𝑚,

é um homeomorfismo. Assim, (𝑈,𝜙) induz uma carta (𝜋−1(𝑈),Φ) definida por

Φ := (𝜙× 1R𝑚) ∘ 𝜙: 𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R𝑚.

38

Suponhamos que (𝜋−1(𝑈),Φ) e (𝜋−1(𝑉 ),Ψ) sejam as cartas induzidas, respectivamente, pelascartas suaves (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) em 𝑀 . Desta forma, dado (𝑥, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)) ∈ 𝜙(𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚,

Ψ ∘ Φ−1(𝑥, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚)) = (𝜓 × 1R𝑚) ∘ (𝜓 ∘ 𝜙−1) ∘ (𝜙−1 × 1R𝑚)(𝑥, (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚))= (𝜓 × 1R𝑚) ∘ (𝜓 ∘ 𝜙−1)(𝜙−1(𝑥), (𝜆1, . . . , 𝜆𝑚))

= (𝜓 × 1R𝑚)(𝜙−1(𝑥),

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖(𝑝), . . . ,

𝑚∑𝑖=1


𝜕𝑥𝑖(𝑝)))

=(𝜓 ∘ 𝜙−1(𝑥),

(𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝑖(𝑝), . . . ,

𝑚∑𝑖=1


𝜕𝑥𝑖(𝑝)))

.

Segue da expressão acima que Ψ ∘ Φ−1:𝜙(𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 → 𝜓(𝑈 ∩ 𝑉 ) × R𝑚 é um mapa suave.Portanto, as cartas em T𝑀 induzidas por cartas suaves em 𝑀 formam um atlas suave em

T𝑀 . Assim, com o atlas maximal que contém o atlas que acabamos de construir, T𝑀 é umavariedade suave de dimensão 2𝑚.

Definição 1.4.2. Seja 𝑀 uma variedade suave. Um mapa suave 𝑋:𝑀 → T𝑀 é dito um campovetorial em 𝑀 se a composição 𝑋∘𝜋 é a identidade em 𝑀 . Para simplificar a notação, denotaremos𝑋(𝑝) simplesmente por 𝑋𝑝. O conjunto de todos os campos vetoriais em 𝑀 é denotado por Γ(T𝑀).

Um mapa 𝑋:𝑀 → T𝑀 definido em uma variedade 𝑀 é dito uma seção do fibrado tangentese 𝑋𝑝 ∈ T𝑝𝑀 , 𝑝 ∈ 𝑀 .

Seja 𝑋 uma seção do fibrado tangente de uma variedade 𝑀 de dimensão 𝑚.Em uma carta suave (𝑈, (𝑥𝑖)) de 𝑀 , 𝑋 é descrito pelas funções 𝑋 𝑖:𝑀 → R, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 ,

definidas pela igualdade

𝑋𝑝 = 𝑋1(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥1

𝑝

+ · · · +𝑋𝑚(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝑝

, 𝑝 ∈ 𝑈.

Tais funções são chamadas de funções coordenadas de 𝑋 na carta (𝑈, (𝑥𝑖)).Dada uma função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑈) em um aberto 𝑈 de 𝑀 , podemos definir uma função

𝑋𝑓 :𝑈 → R definindo(𝑋𝑓)(𝑝) = 𝑋𝑝𝑓, 𝑝 ∈ 𝑈

(observe que a definição acima faz sentido graças a identificação T𝑝 𝑈 = T𝑝𝑀 feita pela Proposição1.3.11). Segue que as funções coordenadas de 𝑋 na carta (𝑈, (𝑥𝑖)) são justamente 𝑋 𝑖 = 𝑋𝑥𝑖,𝑖 = 1, . . . ,𝑚.

Proposição 1.4.3. Seja 𝑋 uma seção do fibrado tangente de uma variedade suave 𝑀 de dimensão𝑚. São equivalentes as seguintes afirmações:

(i) 𝑋 é um campo vetorial;

(ii) As funções coordenadas de 𝑋 em qualquer carta suave de 𝑀 são suaves.

(iii) 𝑋𝑓 é uma função suave para toda função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀);

39

Demonstração.(i)⇔(ii)

Dada uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝑀 , temos uma carta suave (𝜋−1(𝑈),Φ) em T𝑀 tal que

Φ ∘𝑋 ∘ 𝜙−1(𝑥) =(𝑥, (𝑋1 ∘ 𝜙−1(𝑥), . . . , 𝑋𝑚 ∘ 𝜙−1(𝑥))

), 𝑥 ∈ 𝜙(𝑈),

onde 𝑋 𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚, são as funções coordenadas de 𝑋 em (𝑈,𝜙). Desta forma, concluimos queΦ ∘ 𝑋 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R𝑛 é suave se e somente se 𝑋 𝑖 ∘ 𝜙−1:𝜙(𝑈) → R, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 , sãosuaves. Logo, 𝑋 é suave em 𝑈 se e somente se 𝑋 𝑖:𝑈 → R, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, são suaves.

Portanto, 𝑋 é suave se e somente se as funções coordenadas de 𝑋 em qualquer carta são suaves.

(ii)⇒(iii)

Seja 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).Dada uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝑀 , com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , temos que

(𝑋𝑓)(𝜙−1(𝑥)) =⎛⎝𝑋1(𝜙−1(𝑥)) 𝜕

𝜕𝑥1

𝜙−1(𝑥)

+ · · · +𝑋𝑚(𝜙−1(𝑝)) 𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝜙−1(𝑥)

⎞⎠ (𝑓)

= 𝑋1 ∘ 𝜙−1(𝑥)𝜕(𝑓 ∘ 𝜙−1)𝜕𝑥1 (𝑥) + · · · +𝑋𝑚 ∘ 𝜙−1(𝑥)𝜕(𝑓 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑚(𝑥),

para todo 𝑥 ∈ 𝜙(𝑈), onde 𝑋 𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , são as funções coordenadas de 𝑋. Como 𝑋 𝑖 ∘ 𝜙−1 e𝜕𝑓∘𝜙−1

𝜕𝑥1 são funções suaves em 𝜙(𝑈), segue que (𝑋𝑓) ∘𝜙−1 é suave em 𝜙(𝑈). Logo, 𝑋𝑓 é suave em𝑈 .

Portanto, 𝑋𝑓 é suave em qualquer carta de 𝑀 e, por isso, é suave em 𝑀 .

(ii)⇐(iii)

Sejam (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 , com funções coordenadas 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . ,𝑚 , e 𝑋 𝑖, 𝑖 =1, . . . ,𝑚 , as funções coordenadas de 𝑋 em

Provaremos que para cada 𝑝 ∈ 𝑈 existe um um aberto 𝑈0 de 𝑈 tal que 𝑝 ∈ 𝑈0 ⊂ 𝑈 e 𝑋 𝑖|𝑈0 ésuave. De onde poderemos concluir que 𝑋 𝑖 ∈ 𝐶∞(𝑈).

Pelo Lema 1.3.3, exitem um aberto 𝑈0 em 𝑈 e uma função suave 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) tais que 𝑝 ∈𝑈0 ⊂ 𝑈 e 𝑓 |𝑈0= 𝑥𝑖|𝑈0 . Assim, pelo Lema 1.3.6, temos que

(𝑋𝑓)(𝑞) = 𝑋𝑞(𝑓) = 𝑋𝑞(𝑥𝑖) = (𝑋𝑥𝑖)(𝑞), 𝑞 ∈ 𝑈0.

Logo,𝑋 𝑖|𝑈0= (𝑋𝑥𝑖)|𝑈0= (𝑋𝑓)|𝑈0 .

Como 𝑋𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), concluimos que 𝑋 𝑖|𝑈0 é suave.

40

Com a proposição acima, podemos munir o conjunto Γ(T𝑀) dos campos vetoriais em umavariedade 𝑀 de uma estrutura de espaço vetorial definindo, para cada 𝑋 e 𝑌 ∈ Γ(T𝑀) e 𝜆 ∈ R,

(𝜆𝑋)𝑝(𝑓) := 𝜆𝑋𝑝(𝑓), 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀),

e(𝑋 + 𝑌 )𝑝(𝑓) := 𝑋𝑝(𝑓) + 𝑌𝑝(𝑓), 𝑝 ∈ 𝑀, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).

Seja 𝑆 uma subvariedade mergulhada de uma variedade suave 𝑀 . Para cada 𝑝 ∈ 𝑆, o diferencial𝑖*: T𝑝 𝑆 → T𝑝𝑀 da inclusão de 𝑆 em 𝑀 é um monomorfismo linear. Com isso, podemos identificarT𝑝 𝑆 com a sua imagem 𝑖* T𝑝𝑀 em T𝑝𝑀 . Desta forma, podemos considerar também o fibradotangente T𝑆 como um subconjunto T𝑀 .

Proposição 1.4.4. Sejam 𝑀 uma variedade suave e 𝑆 uma subvariedade mergulhada de 𝑆. Ofibrado tangente T𝑆 é uma subvariedade mergulhada de T𝑀 .

Demonstração. Sejam 𝑚 = dim𝑀 , 𝑑 = dim𝑆 e 𝑖:𝑆 → 𝑀 o mapa inclusão de 𝑆 em 𝑀 .Para provarmos que T𝑆 é uma subvariedade mergulhada de T𝑀 , utilizaremos a caracterização

de subvariedades mergulhadas dada na Proposição 1.1.34.Consideremos 𝑋𝑝 ∈ T𝑝 ⊂ T𝑆.Tomemos (𝑉, 𝜓) uma carta suave de 𝑀 tal que 𝑝 ∈ 𝑉 e

𝑆 ∩ 𝑉 = 𝜓−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚) ∈ 𝜓(𝒱):𝑥𝑑+1 = · · · = 𝑥𝑚 = 0}).

Pela construção de T𝑀 , esta carta induz uma carta suave (𝜋−1(𝑉 ),Ψ) em T𝑀 dada por

Ψ⎛⎝ 𝑚∑𝑖=1

𝑣𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑞

⎞⎠ = (𝜓(𝑞), 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚).

As funções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚 de (𝜋−1(𝑉 ),Ψ) são as funções coordenadas de (𝑉, 𝜓)enquanto que as funções coordenadas 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚 são dadas por

𝑣𝑗(𝑌𝑞) = 𝑌𝑞(𝑥𝑗), 𝑌𝑞 ∈ 𝜋−1(𝑉 ).

Desta forma, se 𝑗 > 𝑑 e 𝑌𝑞 = 𝑖*𝑌𝑞 ∈ T𝑆 ∩ 𝜋−1(𝑉 ) então

𝑣𝑗(𝑌𝑞) = 𝑌𝑞(𝑥𝑗) = 𝑖*𝑌𝑞(𝑥𝑗) = 𝑌𝑞(𝑥𝑗 ∘ 𝑖) = 𝑌𝑞(0) = 0.

Por outro lado, se 𝑌𝑞 ∈ 𝜋−1(𝑉 ) é tal que

𝑣𝑑+1(𝑌𝑞) = · · · = 𝑣𝑚(𝑌𝑞) = 0

então𝑌𝑞 =

𝑚∑𝑖=1

𝑣𝑖(𝑌𝑞)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑞

=𝑑∑𝑖=1

𝑣𝑖(𝑌𝑞)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑞

∈ T𝑞 𝑆 ⊂ T𝑆.

Logo,

T𝑆∩𝜋−1(𝑉 ) = Ψ−1({(𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚) ∈ Ψ(𝜋−1(𝑉 )):𝑥𝑑+1 = · · · = 𝑥𝑚 = 0 = 𝑣𝑑+1 = · · · = 𝑣𝑚 = 0}).

Portanto, pela Proposição 1.1.34, T𝑆 é uma subvariedade mergulhada de T𝑀 .

41

1.5 Álgebras de LieDefinição 1.5.1 (Álgebra de Lie). Seja g um K-espaço vetorial munido de uma aplicação [·, ·] :g × g → g tal que

(i) [·, ·] é bilinear e alternada;

(ii) Para cada 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ g vale a identidade de Jacobi:

[𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]] = 0.

Neste caso, dizemos que (g, [·, ·]) é uma álgebra de Lie.

Exemplo 1.5.2. Seja K um corpo e gl(𝑛,K) o espaço vetorial das matrizes 𝑛 × 𝑛 com entradasem K. Temos que o comutador [·, ·]: gl(𝑛,K) × gl(𝑛,K) → gl(𝑛,K), definido por

[𝑋, 𝑌 ] = 𝑋 ∘ 𝑌 − 𝑌 ∘𝑋, 𝑋, 𝑌 ∈ gl𝑛(K),

fornece uma estrutura de álgebra de Lie para gl(𝑛,K).

Naturalmente, temos uma noção de categoria para a estrutura definida acima:

Definição 1.5.3 (homomorfismo de álgebras de Lie). Sejam g e h álgebras de Lie sobre um corpoK e 𝜙 : g → h uma transformação linear que satisfaz

𝜙[𝑋, 𝑌 ] = [𝜙𝑋,𝜙𝑌 ],

para todos 𝑋 e 𝑌 ∈ g. Dizemos que 𝜙 é um homomorfismo de álgebras de Lie. Se, além disso, 𝜙for bijetiva dizemos que 𝜙 é um isomorfismo de álgebras de Lie. Quando h = gl(𝑉 ), para algumespaço K-vetorial 𝑉 , dizemos que 𝜙 é uma representação de g em 𝑉 .

Exemplo 1.5.4 (representação adjunta). Seja ad : g → gl(g) a transformação linear dada por

ad(𝑋)𝑌 = [𝑋, 𝑌 ],

para todo 𝑋, 𝑌 ∈ g. A identidade de Jacobi garante que ad é uma representação de g.

Seja 𝐺 um grupo de Lie. Como a multiplicação em 𝐺 é suave, para cada 𝑔 ∈ 𝐺, temos umdifeomorfismo 𝐸𝑔:𝐺 → 𝐺, definido por 𝐸𝑔(ℎ) = 𝑔ℎ, ℎ ∈ 𝐺. Com isso, temos (veja a Proposição1.3.10) isomorfismos lineares (𝐸𝑔)* : 𝑇ℎ𝐺 → 𝑇𝑔ℎ𝐺, 𝑔 e ℎ ∈ 𝐺.

Definição 1.5.5 (Campos Invariantes à Esquerda). Seja 𝑋 um campo vetorial em um grupo deLie 𝐺. Dizemos que 𝑋 é um campo invariante à esquerda se, para cada 𝑔 e 𝑔′ ∈ 𝐺, tem-se

(𝐸𝑔)*𝑋𝑔′ = 𝑋𝑔𝑔′ ,

onde 𝑋ℎ ∈ 𝑇ℎ𝐺 denota a imagem do elemento ℎ ∈ 𝐺 pelo campo 𝑋 em 𝐺. Denotamos por Lie(𝐺)o conjunto dos campos invariantes à esquerda em 𝐺.

42

Segue diretamente da definição acima que Lie(𝐺) é um subesespaço vetorial de Γ(T𝐺).

Proposição 1.5.6. Sejam 𝐺 um grupo de Lie e Lie(𝐺) o conjunto dos seus campos invariantes àesquerda. Com o colchete [·, ·] definido por

[𝑋, 𝑌 ]𝑔(𝑓) = 𝑋𝑔(𝑌 𝑓) − 𝑌𝑔(𝑋𝑓), 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑋 e 𝑌 ∈ Lie(𝐺) e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), (1.5.1)

Lie(𝐺) é uma álgebra de Lie de dimensão dim𝐺.

O primeiro passo para demonstrar a Proposição 1.5.6 é verificar que a seção [𝑋, 𝑌 ] do fibradotangente de 𝐺, descrito na equação 1.5.1, de fato é um campo invariante à esquerda.

Sejam 𝑋 e 𝑌 campos vetoriais em 𝐺 e [𝑋, 𝑌 ] a seção do fibrado tangente de 𝐺 definida pelaequação 1.5.1. Pela Proposição 1.4.3, para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), 𝑋𝑓 e 𝑌 𝑓 são funções suaves em𝐺. Desta forma 𝑋𝑔(𝑌 𝑓) − 𝑌𝑔(𝑋𝑓) ∈ R para todo 𝑔 ∈ 𝐺 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Dadas funções 𝑓1 e𝑓2 ∈ 𝐶∞(𝐺), temos, paracada 𝑔 ∈ 𝐺, que

𝑋(𝑓1𝑓2)(𝑔) = 𝑋𝑔(𝑓1𝑓2) = 𝑋𝑔(𝑓1)𝑓2(𝑔) + 𝑓1(𝑔)𝑋𝑔(𝑓2) = (𝑋𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 ·𝑋𝑓2)(𝑔)

e, consequentemente,𝑋(𝑓1𝑓2) = 𝑋𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 ·𝑋𝑓2.

Analogamente,𝑌 (𝑓1𝑓2) = 𝑌 𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 · 𝑌 𝑓2, 𝑓1 e 𝑓2 ∈ 𝐶∞(𝐺).

Com isso,

[𝑋, 𝑌 ](𝑓1𝑓2) = 𝑋(𝑌 (𝑓1𝑓2)) − 𝑌 (𝑋(𝑓1𝑓2))= 𝑋(𝑌 𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 · 𝑌 𝑓2) − 𝑌 (𝑋𝑓1 · 𝑓2 + 𝑓1 ·𝑋𝑓2)= 𝑋(𝑌 𝑓1 · 𝑓2) +𝑋(𝑓1 · 𝑌 𝑓2) − 𝑌 (𝑋𝑓1 · 𝑓2) − 𝑌 (𝑓1 ·𝑋𝑓2)= 𝑋(𝑌 𝑓1) · 𝑓2 + (𝑌 𝑓1)(𝑋𝑓2) + (𝑋𝑓1)(𝑌 𝑓2) + 𝑓1 ·𝑋(𝑌 𝑓2)= −𝑌 (𝑋𝑓1) · 𝑓2 − (𝑋𝑓1)(𝑌 𝑓2) − (𝑌 𝑓1)(𝑋𝑓2) − 𝑓1 · 𝑌 (𝑋𝑓2)= 𝑓1 · (𝑋(𝑌 𝑓2) − 𝑌 (𝑋𝑓2)) + (𝑋(𝑌 𝑓1) − 𝑌 (𝑋𝑓1)) · 𝑓2= 𝑓1 · [𝑋, 𝑌 ]𝑓2 + [𝑋, 𝑌 ]𝑓1 · 𝑓2.

Logo, [𝑋, 𝑌 ] é uma seção do fibrado tangente de 𝐺.Agora, vamos verificar que as funções coordenadas de [𝑋, 𝑌 ], para campos vetoriais 𝑋 e 𝑌 em

𝐺, em uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝐺 são suaves. Desta forma, concluiremos que [𝑋, 𝑌 ] é um campovetorial em 𝐺 (Proposição 1.4.3). Sejam 𝑥𝑖 as funções coordenadas de carta (𝑈,𝜙) e 𝑋 𝑖 e 𝑌 𝑖 asfunções coordenadas de 𝑋 e 𝑌 nesta carta. Temos que

[𝑋, 𝑌 ](𝑥𝑖) = 𝑋(𝑌 𝑥𝑖) − 𝑌 (𝑋𝑥𝑖) = 𝑋𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑋 𝑖.

Logo, as funções coordenadas de [𝑋, 𝑌 ] são da forma 𝑋𝑌 𝑖−𝑌 𝑋 𝑖. Como 𝑋 𝑖 e 𝑌 𝑖 são suaves, deve-mos ter que 𝑋𝑌 𝑖 −𝑌 𝑥𝑖 é uma função suave em 𝐺. Então, concluimos que as funções coordenadasde [𝑋, 𝑌 ] devem ser suaves.

Sabendo que [𝑋, 𝑌 ] é um campos vetorial em 𝐺 sempre que 𝑋 e 𝑌 forem campos vetoriais em𝐺, verificaremos que [𝑋, 𝑌 ] é um campo invariante à esquerda sempre que 𝑋 e 𝑌 forem campos

43

invariantes à esquerda. Sejam 𝑋 e 𝑌 campos invariantes à esquerda em 𝐺. Provaremos, para 𝑔 e𝑔′ ∈ 𝐺, que

(𝐸𝑔)*[𝑋, 𝑌 ]𝑔′ = [𝑋, 𝑌 ]𝑔𝑔′ . (1.5.2)Observemos que, para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), a função suave 𝑋(𝑓 ∘𝐸𝑔) é igual a função suave 𝑋𝑓 ∘𝐸𝑔.De fato, para cada 𝑔′ ∈ 𝐺, (

𝑋(𝑓 ∘ 𝐸𝑔))(𝑔′) = 𝑋𝑔′(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

= (𝐸𝑔)*𝑋𝑔′(𝑓)= 𝑋𝑔𝑔′(𝑓)= 𝑋𝑓(𝑔𝑔′)= 𝑋𝑓 ∘ 𝐸𝑔(𝑔′).

Com isso, temos, para cada 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), que((𝐸𝑔)*[𝑋, 𝑌 ]𝑔′

)(𝑓) = [𝑋, 𝑌 ]𝑔′(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

= 𝑋𝑔′(𝑌 (𝑓 ∘ 𝐸𝑔)) − 𝑌𝑔′(𝑋(𝑓 ∘ 𝐸𝑔))= 𝑋𝑔′(𝑌 𝑓 ∘ 𝐸𝑔) − 𝑌𝑔′(𝑋𝑓 ∘ 𝐸𝑔)= (𝐸𝑔)*𝑋𝑔′(𝑌 𝑓) − (𝐸𝑔)*𝑌𝑔′(𝑋𝑓)= 𝑋𝑔𝑔′(𝑌 𝑓) − 𝑌𝑔𝑔′(𝑋𝑓)= [𝑋, 𝑌 ]𝑔𝑔′(𝑓)

e, consequentemente, a igualdade (1.5.2) é válida.Portanto, a equação (1.5.1) de fato define um mapa [·, ·]: Lie(𝐺) Lie(𝐺) → Lie(𝐺). Para con-

cluirmos que (Lie(𝐺), [·, ·]) é uma álgebra de Lie, devemos verificar as igualdades

[𝑋, 𝑌 ] = −[𝑌,𝑋], (1.5.3)

[𝑋, 𝑌 + 𝜆𝑍] (1.5.4)e

[𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]] = 0, (1.5.5)para 𝜆 ∈ R e 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ Lie(𝐺).

Sejam 𝜆 ∈ R e 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ Lie(𝐺). A igualdade (1.5.3) se verifica pelas igualdades

[𝑋, 𝑌 ](𝑓) = 𝑋(𝑌 𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) = −(𝑌 (𝑋𝑓) −𝑋(𝑌 𝑓)) = −[𝑌,𝑋](𝑓),

para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Para a igualdade (1.5.4), temos que

[𝑋, 𝑌 + 𝜆𝑍](𝑓) = 𝑋((𝑌 + 𝜆𝑍)𝑓) − (𝑌 + 𝜆𝑍)(𝑋𝑓)= 𝑋(𝑌 𝑓 + 𝜆𝑍𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) − 𝜆𝑍(𝑋𝑓)= 𝑋(𝑌 𝑓) + 𝜆𝑋(𝑍𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) − 𝜆𝑍(𝑋𝑓)= 𝑋(𝑌 𝑓) − 𝑌 (𝑋𝑓) + 𝜆(𝑋(𝑍𝑓) − 𝑍(𝑋𝑓))= [𝑋, 𝑌 ](𝑓) + 𝜆[𝑋,𝑍](𝑓)= ([𝑋, 𝑌 ] + 𝜆[𝑋,𝑍])(𝑓),

44

para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺).Por fim, verificaremos a igualdade (1.5.5), para 𝑋, 𝑌 e 𝑍 ∈ Lie(𝐺). Segue das definições que,

para todo 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺),

[𝑋, [𝑌, 𝑍]]𝑓 = 𝑋([𝑌, 𝑍]𝑓) − [𝑌, 𝑍](𝑋𝑓)= 𝑋(𝑌 (𝑍𝑓) − 𝑍(𝑌 𝑓)) − 𝑌 (𝑍(𝑋𝑓)) + 𝑍(𝑌 (𝑋𝑓))= 𝑋(𝑌 (𝑍𝑓)) −𝑋(𝑍(𝑌 𝑓)) − 𝑌 (𝑍(𝑋𝑓)) + 𝑍(𝑌 (𝑋𝑓)).

Analogamente, temos que

[𝑌, [𝑍,𝑋]]𝑓 = 𝑌 (𝑍(𝑋𝑓)) − 𝑌 (𝑋(𝑍𝑓)) − 𝑍(𝑋(𝑌 𝑓)) +𝑋(𝑍(𝑌 𝑓))

e[𝑍, [𝑋, 𝑌 ]]𝑓 = 𝑍(𝑋(𝑌 𝑓)) − 𝑍(𝑌 (𝑋𝑓)) −𝑋(𝑌 (𝑍𝑓)) + 𝑌 (𝑋(𝑍𝑓)),

para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Assim, somando as igualdade acima,

([𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]])𝑓 = [𝑋, [𝑌, 𝑍]]𝑓 + [𝑌, [𝑍,𝑋]]𝑓 + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]]𝑓 = 0,

para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Portanto, a igualdade (1.5.5) segue.Para concluirmos a demonstração da Proposição 1.5.6, demonstraremos o seguinte lema:

Lema 1.5.7. Seja 𝐺 um grupo de Lie e 𝑒 o elemento neutro de 𝐺. O mapa 𝜀 que associa 𝑋 ∈Lie(𝐺) ao vetor tangente 𝑋𝑒 ∈ T𝑒𝐺 é um isomorfismo linear Lie(𝐺) → T𝑒𝐺.

Demonstração. É fácil verificar que o mapa 𝜀: Lie(𝐺) → T𝑒𝐺 definido no enunciado é linear.Para concluirmos que 𝜀 é injetivo (isto é, que ker 𝜀 = 0), basta tomarmos 𝑋 ∈ Lie(𝐺) tal que

𝑋𝑒 = 0 e concluírmos que 𝑋 = 0. De fato, para cada 𝑔 ∈ 𝐺 devemos ter que

𝑋𝑔 = 𝑋𝑔𝑒 = (𝐸𝑔)*𝑋𝑒 = (𝐸𝑔)*0 = 0.

Passaremos, agora, para a demonstração de que 𝜀 é sobrejetivo. Isto é, para cada 𝑋𝑒 ∈ T𝑒𝐺existe (𝑋𝑒)𝐺 ∈ Lie(𝐺) tal que 𝑋𝑒 = (𝑋𝑒)𝐺𝑒 .

Fixemos 𝑋𝑒 ∈ T𝑒𝐺, uma curva 𝛾: (−𝛿, 𝛿) → 𝐺 tal que 𝛾(0) = 𝑒 e 𝛾*

(𝜕

𝜕𝑡

0

)= 𝑋𝑒 (veja o

Exemplo 1.3.12). Desta forma, definimos uma seção (𝑋𝑒)𝐺 do fibrado tangente de 𝐺 por

(𝑋𝑒)𝐺𝑔 = (𝐸𝑔)*𝑋𝑒, 𝑔 ∈ 𝐺.

Segue da Proposição 1.3.10 que

(𝑋𝑒)𝐺𝑒 = (𝐸𝑒)*𝑋𝑒 = 1T𝑒 𝐺𝑋𝑒 = 𝑋𝑒

e(𝐸𝑔)*(𝑋𝑒)𝐺𝑔′ = (𝐸𝑔)* ∘ (𝐸𝑔′)*𝑋𝑒 = (𝐸𝑔 ∘ 𝐸𝑔′)*𝑋𝑒 = (𝐸𝑔𝑔′)*𝑋𝑒 = (𝑋𝑒)𝐺𝑔𝑔′ , 𝑔 e 𝑔′ ∈ 𝐺.

Logo, basta verificarmos que (𝑋𝑒)𝐺 para concluirmos que este é um campo invariante à esquerdaem 𝐺. Para tanto, basta provarmos que, dado 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), a função (𝑋𝑒)𝐺𝑓 é suave, Proposição1.4.3.

45

Fixemos 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). Os mapas

𝐺× (−𝛿, 𝛿) → 𝐺×𝐺(𝑔, 𝑡) → (𝑔, 𝛾(𝑡))

e𝐺×𝐺 → 𝐺(𝑔, 𝑔′) → 𝑔𝑔′

são suaves. Logo, a composição 𝐹 :𝐺× (−𝛿, 𝛿) → R destes dois mapas com a função suave 𝑓 , istoé 𝐹 (𝑔, 𝑡) = 𝑓(𝑔𝛾(𝑡)), (𝑔, 𝑡) ∈ 𝐺× (−𝛿, 𝛿), é suave. Desta forma,

((𝑋𝑒)𝐺𝑓)(𝑔) = (𝑋𝑒)𝐺𝑔 𝑓 = ((𝐸𝑔)*𝑋𝑒)(𝑓)

= 𝑋𝑒(𝑓 ∘ 𝐸𝑔) =(𝛾*

𝜕

𝜕𝑡

0

)(𝑓 ∘ 𝐸𝑔)

= 𝜕

𝜕𝑡

0

(𝑓 ∘ 𝐸𝑔 ∘ 𝛾) = 𝜕(𝑓 ∘ 𝐸𝑔 ∘ 𝛾)𝜕𝑡

(0)

= 𝜕𝐹

𝜕𝑡(𝑔, 0).

Ou seja, (𝑋𝑒)𝐺𝑓 é a função suave 𝑔 ∈ 𝐺 → 𝜕𝐹

𝜕𝑡(𝑔, 0) ∈ R.

Agora, passaremos à caracterização das álgebras de Lie dos grupos de Lie matriciais apresen-tados nas seções anteriores.

Sendo um aberto de 𝑀𝑛(R) = R𝑛2 , o grupo de Lie Gl(𝑛,R) tem como espaço tangente na matrizidentidade T𝐼 Gl(𝑛,R) o próprio espaço tangente T𝐼𝑀𝑛(R) (Proposição 1.3.11). Este espaço porsua vez (considerando-se a carta suave canônica de R𝑛2 na qual as funções coordenadas 𝑥𝑖𝑗 sãodadas por 𝑥𝑖𝑗(𝑎𝑝𝑞) = 𝑎𝑖𝑗, (𝑎𝑝𝑞) ∈ 𝑀𝑛(R) = R𝑛2) tem como base o conjunto{

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

: 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛}.

Como na demonstração do Lema 1.5.7, denotemos por (𝑋𝐼)Gl(𝑛,R) o campo invariante à esquerdade Gl(𝑛,R) tal que (𝑋𝐼)Gl(𝑛,R)

𝐼 = 𝑋𝐼 ∈ T𝐼 Gl(𝑛,R).

Proposição 1.5.8. As ágebras de Lie gl(𝑛,R) e Lie(Gl(𝑛,R)) são isomorfas por meio do mapa

(𝑎𝑖𝑗) ∈ gl(𝑛,R) →𝑛∑

𝑖,𝑗=1𝑎𝑖𝑗(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

∈ Lie(Gl(𝑛,R)).

Para concluirmos o resultado da Proposição 1.5.8 nos resta verificar que o mapa acima preservaos colchetes de Lie. Isto é, basta verificarmos que⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦ = 𝛿𝑗𝑘

(𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

− 𝛿𝑙𝑖(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

, (1.5.6)

46

onde𝛿𝑝𝑞 =

{1, se 𝑝 = 𝑞;0, se 𝑝 = 𝑞.

Para cada 𝑔 = (𝑔𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,R), vale a igualdade

𝑥𝑖𝑗 ∘ 𝐸𝑔 =𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠𝑥𝑠𝑗.

De fato, para cada ℎ = (ℎ𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,R),

𝑥𝑖𝑗 ∘ 𝐸𝑔(ℎ) = 𝑥𝑖𝑗(𝑔ℎ) =𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠ℎ𝑠𝑗

=𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠𝑥𝑠𝑗(ℎ) =(

𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑖𝑠𝑥𝑠𝑗)

(ℎ).

Nosso próximo passo é provar a igualdade(𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑘𝑙 = 𝛿𝑙𝑗𝑥𝑘𝑖.

Para cada 𝑔 = (𝑔𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,R),⎛⎝( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑘𝑙

⎞⎠ (𝑔) = 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

(𝑥𝑘𝑙 ∘ 𝐸𝑔)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

(𝑛∑𝑠=1

𝑔𝑘𝑠𝑥𝑠𝑙)

= 𝛿𝑖𝑗𝑔𝑘𝑖

= 𝛿𝑖𝑗𝑥𝑘𝑖(𝑔).

Das igualdades acima, podemos concluir que⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦𝐼

(𝑥𝑝𝑞)

= 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

⎛⎝( 𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑝𝑞

⎞⎠− 𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

⎛⎝( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝑥𝑝𝑞

⎞⎠= 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

(𝛿𝑙𝑞𝑥𝑝𝑘) − 𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

(𝛿𝑗𝑞𝑥𝑝𝑖)

= 𝛿𝑖𝑝𝛿𝑗𝑘𝛿𝑙𝑞 − 𝛿𝑘𝑝𝛿𝑙𝑖𝛿𝑗𝑞

= 𝛿𝑗𝑘𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

(𝑥𝑝𝑞) − 𝛿𝑖𝑙𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

(𝑥𝑝𝑞)

=(𝛿𝑗𝑘

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

− 𝛿𝑖𝑙𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)(𝑥𝑝𝑞).

=⎛⎝𝛿𝑗𝑘 ( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

− 𝛿𝑖𝑙(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

⎞⎠ (𝑥𝑝𝑞)

47

Segue daí que⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦𝐼

= 𝛿𝑗𝑘(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

− 𝛿𝑖𝑙(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

.

Como os campos⎡⎣( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

,

(𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)⎤⎦ , (

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑙

𝐼

)Gl(𝑛,R)

e(

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,R)

𝐼

.

são invariantes à esquerda, a igualdade acima implica que a igualdade 1.5.6 é válida.Com isso, concluimos a demonstração da Proposição 1.5.8.Um resultado análogo ao vale para a álgebra de Lie de Gl(𝑛,C). Como Gl(𝑛,C) é um aberto de

𝑀𝑛(C), existem funções coordenadas 𝑥𝑖𝑗 e 𝑦𝑖𝑗 definidas em todo Gl(𝑛,C) pelas igualdade 𝑥𝑖𝑗(𝑎𝑝𝑞 +𝑖𝑏𝑝𝑞) = 𝑎𝑖𝑗 e 𝑦𝑖𝑗(𝑎𝑝𝑞 + 𝑖𝑏𝑝𝑞) = 𝑏𝑖𝑗, (𝑎𝑝𝑞 + 𝑖𝑏𝑝𝑞) ∈ Gl(𝑛,C). Assim, os vetores tangentes

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

e 𝜕

𝜕𝑦𝑖𝑗

𝐼

, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛,

formam uma base de T𝐼 Gl(𝑛,C) e, pelo Lema 1.5.7, os campos invariantes à esquerda(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)

e(

𝜕

𝜕𝑦𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)

, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛,

formam uma base de Lie(Gl(𝑛,C)).

Proposição 1.5.9. As ágebras de Lie gl(𝑛,C) e Lie(Gl(𝑛,C)) são isomorfas por meio do mapa

(𝑎𝑖𝑗 + 𝑖𝑏𝑖𝑗) ∈ gl(𝑛,R) →𝑛∑

𝑖,𝑗=1

⎛⎝𝑎𝑖𝑗 ( 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)

+ 𝑏𝑖𝑗(

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝐼

)Gl(𝑛,C)⎞⎠ ∈ Lie(Gl(𝑛,R)).

Em vista das Proposições 1.5.8 e 1.5.9, podemos identificar naturalmente Lie(Gl(𝑛,R)) eLie(Gl(𝑛,R)) com gl(𝑛,R) e gl(𝑛,C).

A Proposição 1.5.9 pode ser demonstrada de modo análogo a demonstração da Proposição 1.5.9.Porém, para demonstrar esta proposição, podemos usar a descrição de Gl(𝑛,C) como subgrupo esubvariedade mergulhada de Gl(2𝑛,R):

Gl(𝑛,C) ={(

𝐴 𝐵−𝐵 𝐴

)∈ Gl(2𝑛,R): 𝐴 e 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(R)

}.

De fato, a caracterização das ágebras de Lie dos grupos de Lie matriciais dada na Proposição1.5.11 e o mapa da Proposição 1.5.8 garantem que o mapa do enunciado da Proposição 1.5.9 é umisomorfismo de álgebras de Lie.

48

Proposição 1.5.10. Seja 𝐹 :𝐻 → 𝐺 um homomorfismo de grupos de Lie. O diferencial 𝐹*: T𝑒𝐻𝐻 →

T𝑒𝐺𝐺, entre o espaço tangente de 𝐻 no elemento neutro 𝑒𝐻 de 𝐻 e o espaço tangente de 𝐺 no

elemento neutro 𝑒𝐺 de 𝐺, induz um homomorfismo de álgebras de Lie 𝐹*: Lie(𝐻) → Lie(𝐺) dadopor

𝐹*𝑋 = (𝐹*𝑋𝑒𝐻)𝐺, 𝑋 ∈ Lie(𝐻).

Demonstração. Verifica-se imediatamente que o mapa 𝐹*: Lie(𝐻) → Lie(𝐺) como definido noenunciado é bem definido e linear.

Resta verificarmos que, dados 𝑋 e 𝑌 ∈ Lie(𝐻), então

𝐹*[𝑋, 𝑌 ] = [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ].

Sejam 𝑋 ∈ Lie(𝐻) e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺). A igualdade de funções suaves

((𝐹*𝑋)𝑓) ∘ 𝐹 = 𝑋(𝑓 ∘ 𝐹 )

é válida. De fato, para cada ℎ ∈ 𝐻,

((𝐹*𝑋)𝑓) ∘ 𝐹 (ℎ) = (𝐹*𝑋)𝐹 (ℎ)𝑓= (𝐹*𝑋𝑒𝐻

)𝐺𝐹 (ℎ)𝑓

= ((𝐸𝐹 (ℎ))* ∘ 𝐹*𝑋𝑒𝐻)𝑓 (pois (𝐹*𝑋𝑒𝐻

)𝐺 ∈ Lie(𝐺) )= ((𝐸𝐹 (ℎ) ∘ 𝐹 )*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (pela Proposição 1.3.10)= ((𝐹 ∘ 𝐸ℎ)*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (𝐸𝐹 (ℎ) ∘ 𝐹 = 𝐹 ∘ 𝐸ℎ pois 𝐹 é homomorfismo)= (𝐹* ∘ (𝐸ℎ)*𝑋𝑒𝐻

)𝑓 (pela Proposição 1.3.10)= (𝐹*𝑋ℎ)𝑓 (pois 𝑋 ∈ Lie(𝐻) )= 𝑌ℎ(𝑓 ∘ 𝐹 )= (𝑋(𝑓 ∘ 𝐹 ))(ℎ)

Suponhamos que 𝑋 e 𝑌 ∈ Lie(𝐻). Temos, para toda 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐺), que

(𝐹*[𝑋, 𝑌 ])𝑒𝐺(𝑓) = (𝐹*[𝑋, 𝑌 ]𝑒𝐻

)𝐺𝑒𝐺(𝑓)

= 𝐹*[𝑋, 𝑌 ]𝑒𝐻(𝑓)

= [𝑋, 𝑌 ]𝑒𝐻(𝑓 ∘ 𝐹 )

= 𝑋𝑒𝐻(𝑌 (𝑓 ∘ 𝐹 )) − 𝑌𝑒𝐻

(𝑋(𝑓 ∘ 𝐹 ))= 𝑋𝑒𝐻

(((𝐹*𝑋)𝑓) ∘ 𝐹

)− 𝑌𝑒𝐻

(((𝐹*𝑌 )𝑓) ∘ 𝐹

)= 𝐹*𝑋𝑒𝐻

((𝐹*𝑋)𝑓) − 𝐹*𝑌𝑒𝐻((𝐹*𝑌 )𝑓)

= (𝐹*𝑋)𝑒𝐺((𝐹*𝑋)𝑓) − (𝐹*𝑌 )𝑒𝐺

((𝐹*𝑌 )𝑓)= [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ]𝑒𝐺

(𝑓)

Logo, (𝐹*[𝑋, 𝑌 ])𝑒𝐺= [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ]𝑒𝐺

e, consequentemente, 𝐹*[𝑋, 𝑌 ] = [𝐹*𝑋,𝐹*𝑌 ].

Sejam 𝐺 um grupo de Lie e 𝐻 um subgrupo de Lie mergulhado de 𝐺 e 𝑖:𝐻 → 𝐺 o mapa deinclusão. Pela Proposição 1.5.10, podemos identificar a álgebra de Lie Lie(𝐻) com a subálgebra𝑖* Lie(𝐻) ⊂ Lie(𝐺).

49

Se 𝑋 ∈ Lie(𝐻) ⊂ Lie(𝐺) temos que4 𝑋ℎ ∈ Tℎ𝐻 ⊂ Tℎ𝐺. De fato, sendo 𝑋𝑒 = 𝑖*��𝑒, para�� ∈ L 𝑖𝑒(𝐻), temos que

𝑋ℎ = (𝐸ℎ)*𝑋𝑒 = (𝐸ℎ)* ∘ 𝑖*��𝑒 = (𝐸ℎ ∘ 𝑖)*��𝑒 = (𝑖 ∘ 𝐸ℎ)*𝑋𝑒 = 𝑖*((𝐸ℎ)*��𝑒) = 𝑖*��ℎ ∈ i* 𝑇ℎ𝐻.

Utilizaremos estes fatos para caracterizar as álgebras de Lie dos grupos de Lie matriciais.

Proposição 1.5.11. Seja 𝐺 um subgrupo de Lie mergulhado de Gl(𝑛,K), K = R ou C. Então,

Lie(𝐺) = {𝑋 ∈ gl(𝑛,K): existe 𝜀 > 0 tal que exp(𝑡𝑋) ∈ 𝐺 para todo 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀)}.

Demonstração. Denotemos por g o conjunto

{𝑋 ∈ gl(𝑛,K): existe 𝜀 > 0 tal que exp(𝑡𝑋) ∈ 𝐺 para todo 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀)}.

Seja 𝑋 gl(𝑛,K). Pela Proposição 1.2.12, a curva 𝛾𝑋 :R → Gl(𝑛,K) dada por

𝛾𝑋(𝑡) = exp(𝑡𝑋), 𝑡 ∈ R,

é suave e seu diferencial (𝛾𝑋)*: T𝑡0 R → T𝛾𝑋(𝑡0) Gl(𝑛,K) satisfaz, para cada 𝑡0 ∈ R, a igualdade

d 𝛾d 𝑡

𝑡0

= 𝛾𝑋(𝑡0)𝑋.

Logo, para cada 𝑡 ∈ R,

(𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

𝑡

)=

∑𝑖,𝑗

𝑎𝑖𝑗𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑗

𝛾𝑋(𝑡)

(onde (𝑎𝑝𝑞) = 𝛾𝑋(𝑡)𝑋)

= (𝐸𝛾𝑋(𝑡))*𝑋𝐼

= 𝑋𝛾𝑋(𝑡)

Tomemos 𝑋 ∈ Lie(𝐺). Como 𝐺 é uma subvariedade mergulhada de Gl(𝑛,K) existe uma cartasuave (𝑉, 𝜓) de Gl(𝑛,K), com funções coordenadas (𝑥𝑖), tal que 𝐼 ∈ 𝑉 e

𝐺 ∩ 𝑉 = {𝑔 ∈ Gl(𝑛,K):𝑥𝑖(𝑔) = 0, para todo 𝑖 > dim𝐺}.

Como 𝛾−1𝑋 (𝑉 ) é aberto 𝛾𝑋(0) = 𝐼 ∈ 𝑉 , existe 𝜀 > 0 tal que (−𝜀, 𝜀) ⊂ 𝛾−1

𝑋 (𝑉 ). Desta forma, como

(𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

𝑡

)= 𝑋𝛾𝑋(𝑡) =

dim𝐺∑𝑖=1

𝑋𝛾𝑋(𝑡)(𝑥𝑖)𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑡

∈ T𝛾𝑋(𝑡) 𝐺, 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀),

devemos ter que

𝜕(𝑥𝑖 ∘ 𝛾𝑋)𝜕𝑡

(𝑡) = (𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

𝑡

)(𝑥𝑖) = 𝑋𝛾𝑋(𝑡)(𝑥𝑖) = 0, 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀),

4Com a identificação de Tℎ 𝐻, ℎ ∈ 𝐻, com 𝑖* Tℎ 𝐻 ⊂ Tℎ 𝐺.

50

para todo 𝑖 > dim𝐺. Logo, do fato de que 𝑥𝑖(𝛾𝑋(0)) = 𝑥𝑖(𝐼) = 0, para 𝑖 > dim𝐺, devemos terque

𝛾𝑋(−𝜀, 𝜀) ⊂ {𝑔 ∈ Gl(𝑛,K):𝑥𝑖(𝑔) = 0, para todo 𝑖 > dim𝐺} = 𝐺 ∩ 𝑉.

Portanto, 𝑋 ∈ g.Suponhamos que 𝑋 ∈ g. Desta forma, existe 𝜀 > 0 tal que 𝛾𝑋(−𝜀, 𝜀) ⊂ Gl(𝑛,K). Logo, temos

uma função suave 𝛾𝑋 : (−𝜀, 𝜀) → 𝐺. Desta forma,

𝑋𝑒 = 𝑋𝛾𝑋(0) = (𝛾𝑋)*

(dd 𝑡

0

)∈ T𝐼 𝐺.

Portanto, 𝑋 ∈ Lie(𝐺).

Exemplo 1.5.12 (so(𝑛,R)). Seja

so(𝑛,R) := {𝑋 ∈ gl(𝑛,R):𝑋 +𝑋𝑇 = 0}.

Mostraremos que so(𝑛,R) é a algebra de Lie do grupo de Lie matricial

O(𝑛,R) := {𝐴 ∈ Gl(𝑛,R):𝐴𝐴𝑇 = 𝐼}

Dado 𝑋 ∈ so(𝑛,R), pela Proposição 1.2.12, segue que

exp(𝑡𝑋) exp(𝑡𝑋)𝑇 = exp(𝑡𝑋) exp(𝑡𝑋𝑇 ) = exp(𝑡𝑋 + 𝑡𝑋𝑇 ) = exp(0) = 𝐼, 𝑡 ∈ R,

e, consequentemente, pela Proposição 1.5.11, 𝑋 ∈ Lie ( O(𝑛,R)). Se 𝑋 ∈ Lie ( O(𝑛,R)) então,pela Proposição 1.5.11, existe 𝜀 > 0 tal que

exp(𝑡𝑋) ∈ O(𝑛,R), 𝑡 ∈ (−𝜀, 𝜀).

Logo, para 𝑋 ∈ Lie ( O(𝑛,R)),

exp(𝜀

2(𝑋 +𝑋𝑇 ))

= exp(𝜀

2𝑋)

exp(𝜀

2𝑋𝑇)

= exp(𝜀

2𝑋)

exp(𝜀

2𝑋)𝑇

= 𝐼

e, consequentemente, 𝑋 +𝑋𝑇 = 0. Assim, 𝑋 ∈ so(𝑛,R) se 𝑋 ∈ Lie ( O(𝑛,R)).

Exemplo 1.5.13 (su(𝑛,C)). Seja

su(𝑛,C) = {𝑋 ∈ gl(𝑛,C):𝑋 +𝑋* = 0 e tr(𝑋) = 0}.

Mostraremos que su(𝑛,C) é a álgebra de Lie do grupo de Lie matricial

SU(𝑛,C) = {𝐴 ∈ Gl(𝑛,C):𝐴𝐴* = 𝐼 e det𝐴 = 1}.

Pela Proposição 1.2.12,

exp(𝑋 + 𝑌 ) = exp(𝑋) exp(𝑌 ), exp(𝑋*) = exp(𝑋)* e det(exp(𝑋)) = 𝑒tr(𝑋),

para todos 𝑋 e 𝑌 ∈ gl(𝑛,C). Assim, um elemento 𝑋 ∈ gl(𝑛,C) satisfas 𝑋 + 𝑋* = 0 se esomente se exp(𝑋) exp(𝑋)* = 𝐼. E, um elemento 𝑋 ∈ gl(𝑛,C) satisfaz tr(𝑋) = 0 se e somentese det(exp(𝑋)) = 1. Portanto, pela Proposição 1.5.11, su(𝑛,C) = Lie ( SU(𝑛,C)).

51

1.6 Álgebra Exterior em VariedadesDefinição 1.6.1. Seja 𝑀 uma variedade suave. Em cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , definimos o espaçocotangente T*

𝑝𝑀 de 𝑀 em 𝑝 como sendo o espaço vetorial dual (T𝑝𝑀)* do espaço tangente T𝑝𝑀de 𝑀 em 𝑝. Os elementos de T*

𝑝𝑀 são chamados de covetores tangentes de 𝑀 em 𝑝.Exemplo 1.6.2. Sejam (𝑈,𝜙) uma carta suave na variedade suave 𝑀 , com funções coordenadas𝑥1, . . . , 𝑥𝑚, e 𝑝 um ponto de 𝑈 . A base de T𝑝𝑀 formada pelos vetores tangentes

𝜕

𝜕𝑥1

𝑝

, . . . ,𝜕

𝜕𝑥𝑚

𝑝

∈ T𝑝𝑀

induz uma base de T*𝑝𝑀 formada por covetores

d𝑥1𝑝, . . . , d𝑥𝑚𝑝 ∈ T*

𝑝𝑀,

descritos por

d𝑥𝑗𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ ={

1, se 𝑖 = 𝑗;0, se 𝑖 = 𝑗.

Proposição 1.6.3 (Regra da Cadeia). Sejam 𝑀 uma variedade suave e (𝑈,𝜙) e (𝑉, 𝜓) cartassuaves em 𝑀 tais que 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅. Se 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚 são as funções coordenadas (𝑈,𝜙) e 𝑦1, . . . ,𝑦𝑚 são as funções coordenadas (𝑉, 𝜓) então, em cada 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 , valem as igualdades

d 𝑦𝑗𝑝 =𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) d𝑥𝑖𝑝,

onde𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)


Demonstração. Pela definição dos covetores tangentes d𝑥𝑖 e d 𝑦𝑗, devemos ter que


d 𝑦𝑗𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ d𝑥𝑖𝑝.

Por outro lado, pela Regra da Cadeia para vetores tangentes (Corolário 1.3.14),

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

=𝑚∑𝑗=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝


d 𝑦𝑗⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

⎞⎠ = 𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝).

Logo,d 𝑦𝑗𝑝 =

𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) d𝑥𝑖𝑝.

52

Definição 1.6.4. Seja 𝑀 uma variedade suave. O cojunto

T* 𝑀 = ⊔𝑝∈𝑀 T*𝑝𝑀

munido do mapa 𝜋: T* 𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝛼𝑝) = 𝑝, 𝛼𝑝 ∈ T*𝑝𝑀,

é chamado de fibrado cotangente de 𝑀 .

Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚. Através de uma construção análoga ao quefizemos para o fibrado tangente T𝑀 , podemos munir o fibrado cotangente T* 𝑀 de uma estruturade variedade suave tal que a projeção 𝜋: T* 𝑀 → 𝑀 seja um mapa suave.

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave de 𝑀 . Definimos um mapa Φ:𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R𝑚 por

Φ(

𝑚∑𝑖=1

𝑤𝑖 d𝑥𝑖𝑝)

= (𝜙(𝑝), (𝑤1, . . . , 𝑤𝑚)),𝑚∑𝑖=1

𝑤𝑖 d𝑥𝑖𝑝 ∈ T*𝑝𝑀 ⊂ 𝜋−1(𝑈).

O mapa Φ é uma bijeção. Com isso, podemos considerar uma topologia em 𝜋−1(𝑈) na qual Φ éum homeomorfismo.

A topologia em T* 𝑀 é a topologia induzida pelos conjuntos 𝜋−1(𝑈), onde (𝑈,𝜙) é uma cartasuave em 𝑀 . Isto é, os abertos de T* 𝑀 são os subconjuntos 𝒲 de T* 𝑀 tais que 𝒲 ∩ 𝜋−1(𝑈) éum aberto de 𝜋−1(𝑈).

Dada uma carta suave (𝑈,𝜙) em 𝑀 , prova-se que 𝜋−1(𝑈) é um aberto de T* 𝑀 e, além disso,a topologia de 𝜋−1(𝑈) coincide com a topologia de 𝜋−1(𝑈) como subespaço de T* 𝑀 .

Por fim, o atlas de T* 𝑀 é o atlas maximal que contém as cartas (𝜋−1(𝑈),Φ), induzida porcartas suaves (𝑈,𝜙) em 𝑀 como acima.

O fato de 𝜋:𝑇 *𝑀 → 𝑀 ser suave segue de 𝜋1 ∘ Φ = 𝜙 ∘ 𝜋 , onde (𝑈,𝜙) é uma carta suaveem 𝑀 , (𝜋−1(𝑈),Φ) a carta suave de T* 𝑀 induzida por (𝑈,𝜙) como acima e 𝜋1:𝜙(𝑈) × R𝑚 é aprojeção na primeira coordenada.

Definição 1.6.5. Seja 𝑀 uma variedade suave. Para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , definimos o espaço dos tensoresmistos do tipo (𝑘, 𝑙) de 𝑀 em 𝑝 pela igualdade

T(𝑘,𝑙)𝑝 =

(⊗𝑘𝑖=1 T𝑝𝑀

)⊗(⊗𝑙𝑗=1 T*

𝑝𝑀).

Os elementos são chamados de (𝑘, 𝑙)-tensores mistos de 𝑀 em 𝑝.

Exemplo 1.6.6. Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave de uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚 e funçõescoordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , os vetores

𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ . . .⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ . . .⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 , 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘, 𝑗1, . . . , 𝑗𝑙 = 1, . . . ,𝑚,

formam uma base para T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀 .

53

Definição 1.6.7. Seja 𝑀 uma variedade suave. O conjunto

T(𝑙,𝑘) 𝑀 = ⊔𝑝∈𝑀 T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀

munido do mapa 𝜋: T(𝑘,𝑙) 𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝜔𝑝) = 𝑝, 𝜔𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀,

é chamado de fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 .

O fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de uma variedade suave 𝑀 , assim como os fibrados tangente ecotangente, possue uma estrutura suave tal que a projeção 𝜋: T(𝑘,𝑙) 𝑀 → 𝑀 é um mapa suave.

De modo análogo aos casos do fibrado tangente e cotangente, a estrutura suave de 𝑇 (𝑘,𝑙)𝑀 é dadapelas cartas suaves (𝜋−1(𝑈),Φ), onde (𝑈,𝜙) é uma carta suave em 𝑀 e Φ:𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈)×R𝑚𝑘+𝑙

o mapa dado por

Φ⎛⎝ 𝑚∑𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙=1

𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ . . .⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ . . .⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝

⎞⎠ = (𝜙(𝑝), (𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙(𝑝))),

para todo𝑚∑

𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙=1𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ . . .⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ . . .⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 𝑀 ⊂ 𝜋−1(𝑈).

Dada uma variedade suave 𝑀 , é possível identificarmos naturalmente T(1,0) 𝑀 e T(1,0 𝑀 comT𝑀 e T* 𝑀 , respectivamente.

Definição 1.6.8. Um mapa 𝜔:𝑀 → T(𝑘,𝑙) 𝑀 é uma seção do fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de umavariedade sauve 𝑀 se e somente se 𝜔 ∘ 𝜋 = 𝐼𝑑.

Sejam 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝜔:𝑀 → T(𝑘,𝑙) 𝑀 uma seção do fibrado dos(𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 . Em uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 a seção 𝜔 deve ser dada por

𝜔𝑝 =𝑚∑

𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙=1𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

(𝑝) 𝜕

𝜕𝑥𝑖1

𝑝

⊗ . . .⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝑘

𝑝

⊗ d𝑥𝑗1𝑝 ⊗ . . .⊗ d𝑥𝑗𝑙𝑝 ,

em cada 𝑝 ∈ 𝑈 , para funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙:𝑈 → R. As funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘𝑗1,...,𝑗𝑙

são chamadas de funçõescoordenadas de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙).

Pela definição das cartas que definem o atlas de T(𝑘,𝑙) 𝑀 , temos o seguinte resultado:

Proposição 1.6.9. Sejam 𝑀 uma variedade suave e 𝜔:𝑀 → T(𝑘,𝑙) 𝑀 uma seção do fibrado dos(𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 . O mapa 𝜔 é suave se e somente se as suas funções coordenadas são suavesem cada carta suave de 𝑀 .

A Proposição 1.6.9 tem como corolário que a soma de seções suaves do fibrado (𝑘, 𝑙)-tensoresde uma variedade suave 𝑀 é uma soma de seções suaves do fibrado (𝑘, 𝑙)-tensores de 𝑀 . Assimcomo a multiplicação de uma seção suave do fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores por uma função suave de𝑀 é uma seção suave do fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores. Isto é, o conjunto Γ(𝑇 (𝑘,𝑙)𝑀) das seções suavesdo fibrado dos (𝑘, 𝑙)-tensores de uma variedade suave 𝑀 é um 𝐶∞(𝑀)-módulo.

54

Definição 1.6.10. Seja 𝑀 uma variedade suave. Uma 𝑘-forma de 𝑀 em um ponto 𝑝 de 𝑀 é umelemento do espaço vetorial ⋀𝑘 T*

𝑝𝑀 .

Exemplo 1.6.11. Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave de uma variedade suave 𝑀 de dimensão 𝑚 efunções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Para cada 𝑝 ∈ 𝑈 , os 𝑘-tensores em 𝑝

d𝑥𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝 ∈ T(𝑘,𝑙)𝑝 , 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑚,

formam uma base para ⋀𝑘 T*𝑝𝑀 .

Definição 1.6.12. Seja 𝑀 uma variedade suave. O conjunto𝑘⋀

T* 𝑀 = ⊔𝑝∈𝑀

𝑘⋀T*𝑝𝑀

munido do mapa 𝜋:⋀𝑘 T* 𝑀 → 𝑀 , dado por

𝜋(𝜔𝑝) = 𝑝, 𝜔𝑝 ∈𝑘⋀

T*𝑝𝑀,

é chamado de fibrado das 𝑘-formas de 𝑀 .

Novamente em analogia com a construção feita para os fibrados tangentes, o fibrado ⋀𝑘 T* 𝑀das 𝑘-formas em uma variedade 𝑀 possue uma estrutura suave tal que a projeção 𝜋:⋀𝑘 T* 𝑀 → 𝑀é um mapa suave.

Esta estrutura suave de ⋀𝑇 *𝑀 é dada pelas cartas suaves (𝜋−1(𝑈),Φ), onde (𝑈,𝜙) é uma cartasuave em 𝑀 e Φ: 𝜋−1(𝑈) → 𝜙(𝑈) × R(𝑚

𝑘 ) o mapa dado por

Φ⎛⎝ ∑

16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝

⎞⎠ = (𝜙(𝑝), (𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝))),

para todo ∑16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚

𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝 ∈𝑘⋀

T*𝑝𝑀 ⊂ 𝜋−1(𝑈).

Definição 1.6.13. Um mapa 𝜔:𝑀 → ⋀𝑘 T* 𝑀 é uma seção do fibrado das 𝑘-formas de umavariedade sauve 𝑀 se e somente se o 𝜔 ∘ 𝜋 = 𝐼𝑑. Se, além disso, 𝜔 é um mapa suave entãodizemos que 𝜔 é uma 𝑘-forma em 𝑀 . O conjunto das 𝑘-formas em 𝑀 é denotado por Ω𝑘(𝑀).

Sejam 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e 𝜔:𝑀 → ⋀𝑘 T* 𝑀 uma seção do fibrado das𝑘-formas de 𝑀 . Em uma carta suave (𝑈,𝜙) de 𝑀 a seção 𝜔 deve ser dada por

𝜔𝑝 =∑

16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝 ,

em cada 𝑝 ∈ 𝑈 , para funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘 :𝑈 → R. As funções 𝜔𝑖1,...,𝑖𝑘 são chamadas de funçõescoordenadas de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙).

Pela definição das cartas que definem o atlas de ⋀T* 𝑀 , temos o seguinte resultado:

55

Proposição 1.6.14. Sejam 𝑀 uma variedade suave e 𝜔:𝑀 → ⋀T* 𝑀 uma seção do fibrado das𝑘-formas de 𝑀 . O mapa 𝜔 é suave se e somente se as suas funções coordenadas são suaves emcada carta suave de 𝑀 .

Segue da Proposição 1.6.14 que Ω𝑘(𝑀) é um 𝐶∞(𝑀)-módulo.

Proposição 1.6.15. Sejam 𝛼 uma 𝑘-forma e 𝛽 uma 𝑙-forma em uma variedade suave 𝑀 . A seção𝛼 ∧ 𝛽:𝑀 → ⋀𝑘+𝑙 T* 𝑀 do fibrado das 𝑘 + 𝑙-formas em 𝑀 dada por

(𝛼 ∩ 𝛽)𝑝 = 𝛼𝑝 ∧ 𝛽𝑝, 𝑝 ∈ 𝑀,

é uma 𝑘 + 𝑙-forma em 𝑀 .

Demonstração. Seja 𝑚 a dimensão de 𝑀 . Utilizaremos o resultado da Proposição 1.6.14 paraconcluirmos que 𝛼 ∩ 𝛽 é suave.

Em um ponto 𝑝 contido em uma carta (𝑈, (𝑥𝑖)) de 𝑀 ,

(𝛼 ∧ 𝛽)𝑝

=⎛⎝ ∑

16𝑖1<···<𝑖𝑘6𝑚𝛼𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑘𝑝

⎞⎠ ∧

⎛⎝ ∑16𝑗1<···<𝑗𝑙6𝑚

𝛽𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝) d𝑥𝑗1𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑗𝑙𝑝

⎞⎠=

∑16𝑟1<···<𝑟𝑘+𝑙

⎛⎝ ∑{𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙}={𝑟1,...,𝑟𝑘+𝑙}

𝑐𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙𝛼𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝)𝛽𝑖1,...,𝑖𝑘(𝑝)⎞⎠ d𝑥𝑟1

𝑝 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑟𝑘+𝑙𝑝 ,

onde 𝑐𝑖1,...,𝑖𝑘,𝑗1,...,𝑗𝑙 = ±1. Assim, as funções coordenadas de 𝛼 ∧ 𝛽 são suaves em (𝑈, (𝑥𝑖)) uma vezque as coordenas de 𝛼 e 𝛽 nesta mesma carta são suaves.

1.7 OrientabilidadeSeja 𝑉 um espaço vetorial real de dimensão finita 𝑛. Dizemos que duas bases ordenadas

(𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) de 𝑉 tem a mesma orientação se o determinante

det(𝑎𝑖𝑗), onde 𝑤𝑗 =𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑣𝑖,

for um número real positivo. Esta relação entre bases oredenas é uma relação de equivalência. Alémdisso, o conjunto de todas as bases ordenadas de 𝑉 tem exatamente duas classes de equivalências.Cada uma dessas classes é chamada de orientação de 𝑉 .

Dadas duas bases ordenadas (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) de 𝑉 temos que

𝑤1 ∧ . . . ∧ 𝑤𝑛 = det(𝑎𝑖𝑗)𝑣1 ∧ . . . ∧ 𝑣𝑛, onde 𝑤𝑗 =𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑣𝑖,

em ⋀𝑛 𝑉 . Desta forma, as bases ordenadas (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) tem a mesma orientação see somente se

𝑤1 ∧ . . . ∧ 𝑤𝑛 = 𝜆𝑣1 ∧ . . . ∧ 𝑣𝑛

56

para algum número positivo 𝜆. Assim, um elemento não nulo 𝜔 de ⋀𝑛 𝑉 determina uma orientaçãode 𝑉 , a orientação das bases ordenadas (𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) de 𝑉 tais que

𝑣1 ∧ . . . ∧ 𝑣𝑛 = 𝜆𝜔,

para algum 𝜆 > 0.

Definição 1.7.1. Seja 𝑀 uma variedade de dimensão 𝑚. Dizemos que uma 𝑚-forma 𝜔 em 𝑀 éuma orientação se 𝜔𝑝 = 0 ∈ ⋀𝑚 T*

𝑝𝑀 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 . A variedade suave 𝑀 é dita orientávelse Ω𝑚(𝑀) possuir uma orientação de 𝑀 . Um par (𝑀 ,𝜔) formado por uma variedade suave 𝑀 euma orientação 𝜔 de 𝑀 é chamado de variedade suave orientada.

Suponhamos que (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) sejam cartas suaves de uma variedade suave𝑀 de dimensão𝑚. Pela Regra da Cadeia (Proposição 1.6.3), temos, nos pontos 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 , que


𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) d𝑥𝑖𝑝,

onde𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)


Logo, em cada 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ,

(d 𝑦1 ∧ . . . ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 = det(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝.

Desta forma, (d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝 e (d 𝑦1 ∧ . . . ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 definem a mesma orienção em 𝑇 *𝑝𝑀 se e

somente sedet

(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))> 0.

Teorema 1.7.2. Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚. As afirmações são equivalentes:

(i) A variedade 𝑀 é orientável;

(ii) Existe uma família 𝒞 de cartas suaves de 𝑀 , tal que 𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞𝑈 e, para cada par decartas (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)),

det(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))> 0, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ;

(iii) Existe um difeomorfismo 𝐹 :𝑀 ×R → ⋀𝑚 T* 𝑀 tal que 𝐹 (𝑝, 𝑡) ∈ ⋀𝑚 T*𝑝𝑀 para todo (𝑝, 𝑡) ∈

𝑀 × R.

57

Demonstração.(i)⇒(ii)

Sejam 𝜔 ∈ ⋀𝑚 T* 𝑀 uma orientação de 𝑀 e 𝒞 ′ uma família de cartas suave de 𝑀 tais que𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞′𝑈 .

Suponhamos que (𝑈,𝜙) ∈ 𝒞 ′ tenha com funções coordenadas 𝑥1,. . . ,𝑥𝑚. Como 𝜔 é uma 𝑚-forma que não se anula, a função coordenada 𝜆:𝑈 → R de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙) é suave e não se anulapois

𝜔𝑝 = 𝜆(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈.

Logo, a função 𝜆 é estritamente positiva ou estritamente negativa. Tomando 𝑇 :R𝑚 → R𝑚 comosendo a transformação linear dada por

𝑇 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚) = (−𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚), (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑚) ∈ R𝑚,

temos que (𝑈, 𝑇 ∘ 𝜙) é uma carta suave em 𝑀 com funções coordenadas 𝑦1 = −𝑥1, 𝑦2 = 𝑥2, . . . ,𝑦𝑚 = 𝑥𝑚. Assim, para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ,

𝜔𝑝 = 𝜆(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚)𝑝 = −𝜆(𝑝)(d 𝑦1 ∧ . . . ∧ d 𝑦𝑚)𝑝

e, consequentemente, −𝜆 é a função coordenda de 𝜔 na carta suave (𝑈, 𝑇 ∘𝜙). Com isso, podemosconcluir que existe uma carta suave (𝑈, 𝜓) de 𝑀 tal que a função coordenada de 𝜔 nesta carta éestritamente positiva.

Pela conclusão acima, deve existir uma família 𝒞 de cartas suaves em 𝑀 nas quais as funçõescoordenada de 𝜔 são estritamente positivas e 𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞𝑈 .

Desta forma, dadas cartas (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) ∈ 𝒞, devemos ter que

𝜆(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚)𝑝 = 𝜔𝑝 = 𝜇(𝑝)(d 𝑦1 ∧ . . . ∧ d 𝑦𝑚)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉,

para funções suaves estritamente positivas 𝜆:𝑈 → R e 𝜇:𝑉 → R. Logo,

𝜆(𝑝)𝜇(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚)𝑝 = (d 𝑦1 ∧ . . . ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 = det

(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉,


det(𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝))

= 𝜆(𝑝)𝜇(𝑝) > 0, 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉.

(ii)⇒(i)

Suponhamos que 𝒞 = {(𝑈𝜆, 𝜙𝜆)}𝜆∈Λ seja uma família de cartas suaves em 𝑀 com as proprie-dades do item (ii).

Como 𝒰 = {𝑈𝜆}𝜆∈Λ é uma cobertura aberta de 𝑀 , podemos considerar uma partição daunidade suave {𝜑𝜆}𝜆∈Λ subordinada à 𝒰 .

58

Mostraremos que a igualdade

𝜔 =∑

(𝑈𝜆,(𝑥𝑖))∈𝒞𝜑𝜆 d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚

define uma orientação de 𝑀 .Primeiramente, observemos que, para qualquer (𝑈𝜆, (𝑥𝑖)) ∈ 𝒞, 𝜑𝜆 d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚 é suave pois

supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑈𝜆 (implicando que 𝜑𝜆 d𝑥1 ∧ . . .∧ d𝑥𝑚 é nula em 𝑀∖supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑀∖𝑈𝜆) e 𝜑𝜆 d𝑥1 ∧ . . .∧d𝑥𝑚 é uma multiplicação de uma 𝑚-forma por uma função suave em 𝑈𝜆.

Seja 𝑝 ∈ 𝑀 . Existe um aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que 𝑉 ∩ supp𝜑𝛼 = ∅ somente para𝜆 = 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑘 ∈ Λ. Desta forma,

𝜔𝑞 = (𝜑𝜆1 d𝑥11 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚1 )𝑞 + · · · + (𝜑𝜆𝑘

d𝑥1𝑘 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚𝑘 )𝑞, 𝑞 ∈ 𝑉,

onde 𝑥1𝑗 , . . . , 𝑥𝑚𝑗 são as funções coordenadas de (𝑈𝜆𝑗

, 𝜙𝜆𝑗). Segue daí que 𝜔 é bem definido e suave

em 𝑉 . De onde conclui-se que 𝜔 é bem definido e suave em 𝑀 .Por fim, mostraremos que 𝜔𝑝 = 0 para todo 𝑝 ∈ 𝑀 . Fixemos 𝑝 ∈ 𝑀 . Devemos ter que

𝜑𝜆(𝑝) = 0 somente para 𝜆 = 𝜆 = 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑘 ∈ Λ. Como supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑈𝜆, devemos ter que𝑝 ∈ 𝑈𝜆1 ∩ . . . ∩ 𝑈𝜆𝑘

. Assim,

𝜔𝑝 = 𝜑𝜆1(𝑝)(d𝑥11 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝 + 𝜑𝜆2(𝑝)(d𝑥1

2 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚2 )𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝)(d𝑥1

𝑘 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚𝑘 )𝑝= 𝜑𝜆1(𝑝)(d𝑥1

1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝+

+𝜑𝜆2(𝑝) det(𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

(d𝑥11 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘

(𝑝) det(𝜕𝑥𝑗𝑘𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

(d𝑥11 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝

=(𝜑𝜆1(𝑝) + 𝜑𝜆2(𝑝) det

(𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

+ · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝) det

(𝜕𝑥𝑗𝑘𝜕𝑥𝑖1

(𝑝)))

(d𝑥11 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚1 )𝑝

é não nulo pois

𝜑𝜆1(𝑝) + 𝜑𝜆2(𝑝) det(𝜕𝑥𝑗2𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))

+ · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝) det

(𝜕𝑥𝑗𝑘𝜕𝑥𝑖1

(𝑝))> 0.

(i)⇒(iii)

Seja 𝜔 uma orientação de 𝑀 .Como 𝜔𝑝 = 0, cada 𝜏𝑝 ∈ ⋀𝑚 T*

𝑝𝑀 é escrito unicamente como 𝑡𝜔𝑝 para algum 𝑡 ∈ R. Assim,podemos definir um mapa 𝐹 :𝑀 × R → ⋀𝑚 T* 𝑀 por

𝐹 (𝑝, 𝑡) = 𝑡𝜔𝑝, (𝑝, 𝜆) ∈ 𝑀 × R.

Fica também definido o mapa 𝐹−1:⋀𝑚 T* 𝑀 → 𝑀 × R por

𝐹−1(𝑡𝜔𝑝) = (𝑝, 𝜆), 𝑡𝜔𝑝 ∈𝑚⋀

T*𝑝𝑀.

59

Seja (𝑈,𝜙) uma carta suave em 𝑀 com funções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Esta carta induzcartas suaves (𝜋−1(𝑈),Φ) em ⋀𝑚 T* 𝑀 e (𝑈 × R, 𝜙× 1), onde

Φ(𝑠(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝) = (𝜙(𝑝), 𝑠), 𝑠(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝 ∈𝑚⋀

T*𝑝𝑀.

Seja 𝜆:𝑈 → R a função coordenada de 𝜔 na carta (𝑈,𝜙). Como 𝜔 é suave e não se anula temosque 𝜆 é uma função suave que não se anula. Assim, para todo (𝜙(𝑝), 𝑠) ∈ 𝜙(𝑈) × R, temos que

(𝜙× 1) ∘ 𝐹−1 ∘ Φ−1(𝜙(𝑝), 𝑠) = (𝜙× 1) ∘ 𝐹−1(𝑠(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝) = (𝜙× 1) ∘ 𝐹−1(

𝑠

𝜆(𝑝)𝜔𝑝)

= (𝜙× 1)(𝑝,

𝑠

𝜆(𝑝)

)=

(𝜙(𝑝), 𝑠

𝜆(𝑝)

).

Logo, (𝜙× 1) ∘ 𝐹−1 ∘ Φ−1 é um difeomorfismo.Com isso, concluímos que 𝐹 é um difeomorfismo.

(iii)⇒(i)

Seja 𝐹 :𝑀 × R → ⋀𝑚 T* 𝑀 um difeomorfismo. Podemos definir uma orientação em 𝑀 pelaigualdade

𝜔𝑝 = 𝐹 (𝑝, 1), 𝑝 ∈ 𝑀.

Uma variedade suave orientada (𝑀,𝜔) tem uma orientação em cada T𝑝𝑀 , 𝑝 ∈ 𝑀 , definidapor 𝜔. De fato, as bases ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) de T𝑝𝑀 tais que 𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0 formamuma orientação de 𝑀 . Podemos verificar este fato mostrando que se ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma baseordenada de 𝑇𝑝𝑀 tal que 𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0 então uma base ordenada ((𝐸 ′

1)𝑝, . . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) de

T𝑝𝑀 pertence à mesma orientação que ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) se e somente se 𝜔𝑝((𝐸 ′1)𝑝, . . . , (𝐸 ′

𝑚)𝑝) >0. Seja ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) uma base ordenada de T𝑝𝑀 tal que 𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0. Comodim⋀𝑚 T*

𝑝𝑀 = 1, devemos ter, para algum 𝜆 > 0, que𝜔𝑝 = 𝜆(𝐸*

1)𝑝 ∧ . . . ∧ (𝐸*𝑚)𝑝,

onde ((𝐸*1)𝑝, . . . , (𝐸*

𝑚)𝑝) é a base ordenada de T*𝑝𝑀 dual a ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝). Assim, se ((𝐸 ′

1)𝑝,. . . ,(𝐸 ′

𝑚)𝑝) é outra base ordenada de T𝑝𝑀 , com

(𝐸 ′𝑗)𝑝 =

𝑚∑𝑖=1

𝑎𝑖𝑗(𝐸𝑖)𝑝,

então𝜔𝑝((𝐸 ′

1)𝑝, . . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) = 𝜆(𝐸*

1)𝑝 ∧ . . . ∧ (𝐸*𝑚)𝑝((𝐸 ′

1)𝑝, . . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) = 𝜆 det(𝑎𝑖𝑗).

Logo, ((𝐸 ′1)𝑝, . . . , (𝐸 ′

𝑚)𝑝) pertence à mesma orientação que ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) se e somente 𝜔𝑝((𝐸 ′1)𝑝,

. . . , (𝐸 ′𝑚)𝑝) > 0.

Definição 1.7.3. Se (𝑀,𝜔) é uma variedade suave orientada, dizemos que uma base ordenada((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) de T𝑝𝑀 é uma base orientada se e somente se

𝜔𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0.

60

1.8 Variedades RiemannianasDefinição 1.8.1. Uma métrica Riemanniana 𝑔 em uma variedade suave 𝑀 é uma seção suavede T(0,2) 𝑀 tal que 𝑔𝑝 ∈ T(0,2)

𝑝 𝑀 = T*𝑝 ⊗ T*

𝑝𝑀 é um produto interno em T*𝑝𝑀 para cada 𝑝 ∈

𝑀 . Quando 𝑔 é uma métrica Riemanniana em 𝑀 , dizemos que o par (𝑀, 𝑔) é uma variedadeRiemanniana.

Exemplo 1.8.2. Seja 𝑈 um subespaço aberto de R𝑛. Podemos definir uma métrica Riemanniana

𝑔 =𝑛∑𝑖=1

d𝑥𝑖 ⊗ d𝑥𝑖

em 𝑈 . De fato, 𝑔 é suave pois suas funções coordenadas na carta (𝑈, 1R𝑛) são as funções constantesigual a 1. Além disso, em cada 𝑥 ∈ 𝑈 ,

𝜕

𝜕𝑥1

𝑥

, . . . ,𝜕

𝜕𝑥𝑛

𝑥

é uma base ortonormal de T𝑥 𝑈 munido da aplicação bilinear 𝑔𝑥.

Seja 𝑀 uma variedade suave de dimensão 𝑚 e atlas 𝒜 = {(𝑈𝜆, 𝜙𝜆)}𝜆∈Λ. Mostraremos a seguirque existe uma métrica Riemanniana 𝑔 em 𝑀 .

Seja (𝑈𝜆, 𝜙𝜆) uma carta suave do atlas 𝒜 de 𝑀 com funções coordenadas 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚. Podemosdefir em 𝑈𝜆 uma métrica Riemanniana 𝑔𝜆 dada por

𝑔𝜆 =𝑚∑𝑖=1

d𝑥𝑖 ⊗ d𝑥𝑖.

Consideremos uma partição da unidade suave {𝜑𝜆}𝜆∈Λ em 𝑀 subordinada à cobertura aberta{𝑈𝜆}𝜆∈Λ.

Para cada 𝜆 ∈ Λ, podemos definir uma seção 𝜑𝜆𝑔𝜆 de T(0,2) 𝑀 dada por

(𝜑𝜆𝑔𝜆)𝑝 ={𝜑(𝑝)𝑔𝜆𝑝 , 𝑝 ∈ 𝑈𝜆;0, 𝑝 ∈ 𝑀∖𝑈𝜆.

Como supp𝜑𝜆 ⊂ 𝑈𝜆, seção 𝜑𝜆𝑔𝜆 é identicamente nula no aberto 𝑀∖supp𝜑𝜆. Logo, 𝜑𝜆𝑔𝜆 é suaveem 𝑀∖supp𝜑𝜆. Já em 𝑈𝜆, a seção 𝜑𝜆𝑔𝜆 é o produto de uma função suave com uma seção suave deT(0,2) 𝑈𝜆 ⊂ T(0,2) 𝑀 e, consequentemente, é suave. Logo, como 𝑀 = (𝑀∖supp𝜑𝜆)∪𝑈𝜆, concluímosque 𝜑𝜆𝑔𝜆 é suave em 𝑀 .

Dado um ponto 𝑝 de 𝑀 , existe uma quantidade finita de 𝜆 ∈ Λ tais que 𝜑𝜆(𝑝) = 0. Por isso,faz sentido definir uma seção 𝑔 de T(0,2) 𝑀 pela igualdade

𝑔𝑝 = 𝜑𝜆1(𝑝)𝑔𝜆1𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘

(𝑝)𝑔𝜆𝑘𝑝 ,

onde 𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 são os elementos 𝜆 ∈ Λ tais que 𝜑𝜆(𝑝) = 0. Ou seja,

𝑔 =∑𝜆∈Λ

𝜑𝜆𝑔𝜆.

61

Suponhamos que 𝑝 ∈ 𝑀 e 𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 são os elementos 𝜆 ∈ Λ tais que 𝜑𝜆(𝑝) = 0. Como 𝑔𝜆𝑖𝑝 é

um produto interno em T𝑝𝑀 e 𝜑𝜆𝑖(𝑝) > 0, segue que 𝜑𝜆𝑖

(𝑝)𝑔𝜆𝑖𝑝 é também um produto interno em

T𝑝𝑀 . Assim,𝑔𝑝 = 𝜑𝜆1(𝑝)𝑔𝜆1

𝑝 + · · · + 𝜑𝜆𝑘(𝑝)𝑔𝜆𝑘

𝑝 ,

é um produto interno em T𝑝𝑀 pois é uma soma de produtos internos.Por fim, concluiremos que 𝑔 é uma seção suave de mostrando que para cada 𝑝 ∈ 𝑀 existe

uma aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que 𝑔 é suave em 𝑉 . De fato, como a família {supp𝜑𝜆}𝜆∈Λ élocalmente finita existe um aberto 𝑉 de 𝑀 contendo 𝑝 tal que 𝑉 ∩ supp𝜑𝜆 = ∅ somente para umaquantidade finita de elementos de Λ. Sejam 𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 os elementos 𝜆 ∈ Λ tais que 𝑉 ∩supp𝜑𝜆 = ∅.Pela definição de 𝑔 e a propriedade do aberto 𝑉 , temos que

𝑔𝑞 = 𝜑𝜆1(𝑞)𝑔𝜆1𝑞 + · · · + 𝜑𝜆𝑘

(𝑞)𝑔𝜆𝑘𝑞 , 𝑞 ∈ 𝑉.

Logo,𝑔|𝑉 = (𝜑𝜆1𝑔

𝜆1 + · · · + 𝜑𝜆𝑘𝑔𝜆𝑘)|𝑉 .

Ou seja, 𝑔 coincide em 𝑉 com uma soma se seções suaves de T(0,2) 𝑀 . Então, 𝑔 é suave em 𝑉 .Portanto, (𝑀, 𝑔) é uma variedade Riemanniana.

Definição 1.8.3. Seja (𝑈, (𝑥𝑖)) uma carta suave em uma variedade Riemanniana (𝑀, 𝑔). Sejam𝑔𝑖𝑗 ∈ 𝐶∞(𝑈) as funções coordenadas de 𝑔 na carta (𝑈, (𝑥𝑖)), isto é, as funções suaves dadas pelaigualdade

𝑔|𝑈=𝑚∑

𝑖,𝑗=1𝑔𝑖𝑗 d𝑥𝑖 ⊗ d𝑥𝑗.

Dizemos que a matriz de funções suaves em 𝑈

𝐺 = (𝑔𝑖𝑗)

é a matriz da métrica 𝑔 na carta suave (𝑈, (𝑥𝑖)).

Consideremos duas cartas suaves (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) em uma variedade Riemanniana (𝑀, 𝑔) dedimensão 𝑚 e suas respectivas matrizes 𝐺𝑈 = (𝑔𝑖𝑗) e 𝐺𝑉 = (𝑔𝑖𝑗) da métrica 𝑔. Suponhamos que𝑈 ∩ 𝑉 = ∅. Pela Regra da Cadeia (Proposição 1.6.3),

d 𝑦𝑗 =𝑚∑𝑖=1

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑖,

onde 𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖é a função suave em 𝑈 ∩ 𝑉 dada por

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑥𝑖(𝑝) = 𝜕(𝑦𝑗 ∘ 𝜙−1)

𝜕𝑥𝑖(𝜙(𝑝)), 𝜙 = (𝑥𝑖) e 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉.

62

Logo,

𝑔𝑖𝑗(𝑝) = 𝑔𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑦𝑖

𝑝

,𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠=

𝑚∑𝑘,𝑙=1

𝑔𝑘𝑙(𝑝)⎛⎝d𝑥𝑘𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑦𝑖

𝑝

⎞⎠⎞⎠⎛⎝d𝑥𝑙𝑝

⎛⎝ 𝜕

𝜕𝑦𝑗

𝑝

⎞⎠⎞⎠=

𝑚∑𝑘,𝑙=1

𝑔𝑘𝑙(𝑝)(𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑦𝑖(𝑝))(

𝜕𝑥𝑙

𝜕𝑦𝑗(𝑝))

=𝑚∑𝑘=1

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑦𝑖(𝑝)

(𝑚∑𝑙=1

𝑔𝑘𝑙(𝑝)𝜕𝑥𝑙

𝜕𝑦𝑗(𝑝)),

para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 . Assim, para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ,

𝐺𝑉 (𝑝) = (𝑔𝑖𝑗(𝑝)) =(𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑦𝑖(𝑝))

(𝑔𝑖𝑗(𝑝))(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗(𝑝))

= 𝐽(𝑝)𝑇𝐺𝑈(𝑝)𝐽(𝑝),

onde 𝐽(𝑝) =(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗 (𝑝)). Portanto,

𝐺𝑉 = 𝐽𝑇𝐺𝑈𝐽. (1.8.1)

Proposição 1.8.4. Seja (𝑀, 𝑔) uma variedade Riemanniana orientável de dimensão 𝑚. Existeuma orientação d𝑉 de 𝑀 tal que, considerando a variedade orientada (𝑀, d𝑉 ), a igualdade

d𝑉𝑝 = (𝐸1)𝑝 ∧ . . . ∧ (𝐸𝑚)𝑝

vale para toda base ordenada ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) de T*𝑝𝑀 dual à uma base ortonormal e orientada

de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝).

Observação 1.8.5. A 𝑚-forma d𝑉 como na Proposição 1.8.4 é única a menos de sinal. Ou seja,se (𝑀,𝜔) é uma variedade orientada com uma métrica Riemanniana 𝑔, existe uma única 𝑚-formad𝑉 tal que

d𝑉𝑝((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) = 1para toda base ((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) ortonormal e orientada (isto é 𝜔((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0) de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝).

Definição 1.8.6. Seja 𝑀 uma variedade suave munida de uma métrica Riemanniana 𝑔 e umaorientação 𝜔. A 𝑚-forma d𝑉 que satisfaz a igualdade

d𝑉𝑝((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) = 1

para toda base ordenada ((𝐸1), . . . , (𝐸𝑚)𝑝) ortonormal e orientada de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝), é chamada deforma volume de 𝑀 .

da Proposição 1.8.4. Pelo Teorema 1.7.2, existe uma família 𝒞 de cartas suaves de 𝑀 , tal que𝑀 = ∪(𝑈,𝜙)∈𝒞𝑈 e, para cada par de cartas (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)), vale

det 𝐽(𝑝) > 0,

63

onde 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 e

𝐽(𝑝) =(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗(𝑝))

Seja (𝑈, (𝑥𝑖)) ∈ 𝒞 e 𝐺 sua matriz de 𝑔. Mostraremos que d𝑉 fica bem definida em 𝑈 pelaigualdade

d𝑉𝑝 =√

det𝐺(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚)𝑝, 𝑝 ∈ 𝑈. (1.8.2)Primeiramente, observemos que como 𝐺(𝑝) é a matriz de um produto interno, o determinante

det(𝐺(𝑝)) é um número positivo. Logo, o coeficiente√

det𝐺(𝑝) na equação (1.8.2) está bemdefinido.

Sejam (𝑈, (𝑥𝑖)) e (𝑉, (𝑦𝑖)) cartas suaves da família 𝒞, com 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅, e 𝐺𝑈 e 𝐺𝑉 as matrizesde 𝑔 nestas cartas. Pela equação 1.8.1, temos que√

𝐺𝑉 (𝑝) = sqrt 𝐽(𝑝)𝑇𝐺𝑈(𝑝)𝐽(𝑝) = GU(p) det 𝐽(𝑝).

Assim, para todo 𝑝 ∈ 𝑈 ∩ 𝑉 ,√det𝐺𝑉 (𝑝)(d 𝑦1 ∧ . . . ∧ d 𝑦𝑚)𝑝 = (GU(p) det 𝐽(𝑝))(det 𝐽(𝑝)−1(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛)𝑝)

=√

det𝐺𝑈(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚)𝑝

Logo, d𝑉 está bem definido pela equação (1.8.2). Além disso, ele é suave em toda carta suavede 𝑀 pertencente a 𝒞. Portanto, d𝑉 é uma 𝑚-forma.

Sejam ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) uma base ordenada ortonormal e orientada de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝), ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝)a base dual em 𝑇 *

𝑝𝑀 e (𝑈, (𝑥𝑖)) uma carta suave de 𝑀 pertencente à 𝒞 tal que 𝑝 ∈ 𝑈 e com matrixde 𝑔 dada por 𝐺. Como ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma base orientada em do espaço tangente T𝑝𝑀 de𝑝 em (𝑀, d𝑉 ), temos que

d𝑉 ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0.E, sendo ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) uma base ortogonal de (T𝑝𝑀, 𝑔𝑝), a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗), dada pelasigualdades

𝐸𝑗 =𝑚∑𝑖=1

𝑎𝑖𝑗𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝑝

,

é tal que𝐴𝑇𝐺(𝑝)𝐴 = 𝐼.

Assim, denotando por 𝛿 o número real det(𝐴)/|det(𝐴)|, temos que

d𝑉𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) =√

det𝐺(𝑝)(d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑚)𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝)=

√det𝐺(𝑝) det(𝐴)

=√

det𝐺(𝑝)𝛿√

det(𝐴)2

= 𝛿√

det(𝐴𝑇 ) det(𝐺(𝑝)) det(𝐴)= 𝛿

√det(𝐴𝑇𝐺(𝑝)𝐴)

= 𝛿.

64

Então, sendo d𝑉 ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) > 0 e 𝛿 = ±1, devemos ter que

d𝑉𝑝((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) = 1

e, consequentemente,d𝑉𝑝 = (𝐸1)𝑝 ∧ . . . ∧ (𝐸𝑚)𝑝.

Definição 1.8.7. Seja 𝑈 um aberto de uma variedade Riemanniana (𝑀, 𝑔) de dimensão 𝑚. Da-dos campos vetoriais 𝐸1, . . . , 𝐸𝑚 em 𝑈 tais que ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma base ortonormal de(T𝑝, 𝑔𝑝), dizemos que (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) é um referencial local ortonormal em 𝑈 . Se (𝑀, 𝑔) for orien-tada pela forma volume d𝑉 , um referencial local ortonormal (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) em 𝑈 é dito orientadose ((𝐸1)𝑝, . . . , (𝐸𝑚)𝑝) é uma base orientada de (T𝑝, 𝑔𝑝).

Seja (𝑀, 𝑔, d𝑉 ) uma variedade Riemanniana orientada. Dada uma carta suave (𝑈, (𝑥𝑖)) em 𝑀 ,existe um referencial ortonormal orientado (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) em 𝑈 . De fato, podemos contruir camposvetoriais 𝐸 ′

1, . . . , 𝐸 ′𝑚 em 𝑈 definindo (pelo método de Gram-Schimidt),

𝐸 ′𝑗 = 𝜕

𝜕𝑥𝑗−

𝑗−1∑𝑖=1

𝑔

(𝐸 ′𝑖,

𝜕

𝜕𝑥𝑗

)𝐸 ′𝑖.

Desta forma, definindo𝐸 ′′𝑗 = 1

𝑔(𝐸𝑗, 𝐸𝑗)𝐸𝑗,

temos que (𝐸 ′′1 , . . . , 𝐸

′′𝑚) é um referencial ortogonal em 𝑈 . Por fim, aplicando uma permutação na

𝑚-upla (𝐸 ′′1 , . . . , 𝐸

′′𝑚) se necessário, temos um referencial ortonormal orientado (𝐸1, . . . , 𝐸𝑚) em 𝑈 .

1.9 Estrela de HodgeNesta seção 𝑀 denota uma variedade Riemanniana orientada com métrica 𝑔, forma volume

d𝑉 e dimensão 𝑚.Sejam 𝛼 e 𝛽 1-formas em 𝑀 . Definire uma função suave ⟨𝛼, 𝛽⟩ ∈ 𝐶∞(𝑀). Seja (𝑈, (𝑥𝑖)) uma

carta suave em 𝑀 , 𝐺 = (𝑔𝑖𝑗) a matriz de 𝑔 em (𝑈, (𝑥𝑖)) e 𝛼𝑗𝑖 e 𝛽𝑗𝑖 ∈ 𝐶∞(𝑈) as funções coordenadasdefinidas por

𝛼𝑝 = 𝛼1(𝑝) d𝑥1𝑝 + · · · + 𝛼𝑚(𝑝) d𝑥𝑚𝑝

e𝛽𝑝 = 𝛽1(𝑝) d𝑥1

𝑝 + · · · + 𝛽𝑚(𝑝) d𝑥𝑚𝑝 .Verifica-se que ⟨𝛼, 𝛽⟩ fica bem definido em 𝑈 pela igualdade

⟨𝛼, 𝛽⟩(𝑝) =(𝛼1(𝑝) . . . 𝛼𝑚(𝑝)

)𝐺(𝑝)

⎛⎜⎜⎝𝛽1(𝑝)

...𝛽𝑚(𝑝)

⎞⎟⎟⎠ , 𝑝 ∈ 𝑈.

65

As funções ⟨𝛼, 𝛽⟩ definidas acimas são induzidas por produtos internos nos espaços cotangentes𝑇 *𝑝𝑀 de 𝑀 em 𝑝 ∈ 𝑀 . De fato, podemos definir ⟨·, ·⟩𝑝: T*

𝑝𝑀 → R por

⟨𝛼𝑝, 𝛽𝑝⟩ = 𝑔𝑝(𝑋𝑝, 𝑌𝑝), 𝛼𝑝 e 𝛽𝑝 ∈ T*𝑝𝑀,

onde 𝑋𝑝 e 𝑌𝑝 são os vetores tangentes tais que

𝛼𝑝 = 𝑔𝑝(·, 𝑋𝑝) e 𝛽𝑝 = 𝑔𝑝(·, 𝑌𝑝).

Desta forma, para todas as 1-formas 𝛼 e 𝛽, temos que

⟨𝛼, 𝛽⟩(𝑝) = ⟨𝛼𝑝, 𝛽𝑝⟩𝑝,

para todo 𝑝 ∈ 𝑀 .Se 𝛼 e 𝛽 𝑘-formas em 𝑀 decomponíveis, isto é, 𝛼 = 𝛼1 ∧ . . . ∧ 𝛼𝑘 e 𝛽 = 𝛽1 ∧ . . . ∧ 𝛽𝑘, para

1-formas 𝛼1, . . . , 𝛼𝑘, 𝛽1 , . . . , 𝛽𝑘 em 𝑀 , então podemos definir uma função suave ⟩𝛼, 𝛽⟨∈ 𝐶∞(𝑀)por

⟨𝛼, 𝛽⟩(𝑝) = det (⟨𝛼𝑖, 𝛽𝑗⟩(𝑝)), 𝑝 ∈ 𝑀.

Construiremos isomorfismos lineares *: Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑚−𝑘(𝑀) tal que, dadas 𝑘-formas 𝛼 = 𝛼1 ∧. . . ∧ 𝛼𝑘 e 𝛽 = 𝛽1 ∧ . . . ∧ 𝛽𝑘 em 𝑀 , 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 ∈ Ω1(𝑀), vale a igualdade

𝛼 ∧ (*𝛽) = ⟨𝛼, 𝛽⟩ d𝑉. (1.9.1)

O isomorfismo * é chamado de operador estrela de Hodge.

Lema 1.9.1. Seja 𝑉 um espaço vetorial real com produto interno ⟨·, ·⟩ e uma base ortonormalformada por vetores 𝑒1, . . . , 𝑒𝑚. Existe um único isomorfismo linear *:⋀𝑘 𝑉 → ⋀𝑚−𝑘 𝑉 tal que

(𝑣1 ∧ . . . ∧ 𝑣𝑘) ∧ *(𝑤1 ∧ . . . ∧ 𝑤𝑘) = det(⟨𝑣𝑖, 𝑤𝑗⟩)𝑒1 ∧ . . . ∧ 𝑒𝑛, (1.9.2)

para quaisquer 𝑣1, . . . , 𝑣𝑘, 𝑤1, . . . , 𝑤𝑘 ∈ 𝑉 .

O lema acima pode ser demonstrado tomando-se

*𝑒𝑖1 ∧ . . . ∧ 𝑒𝑖𝑘 = sgn(𝑖)𝑒𝑖𝑘+1 ∧ . . . ∧ 𝑒𝑖𝑚 ,

onde sgn(𝑖) é o sinal da permutação 𝑖: {1, . . . ,𝑚} → {1, . . . ,𝑚} dada por 𝑖(𝑙) = 𝑖𝑙, 1 6 𝑖1 < · · · <𝑖𝑘 6 𝑚 e 1 6 𝑖𝑘+1 < · · · < 𝑖𝑚 6 𝑚. A unicidade segue diretamente da equação (1.9.2).

Usando o produto interno ⟨·, ·⟩𝑝 em T*𝑝𝑀 definido acima, podemos definir o operador estrela

de Hodge *:⋀𝑘 T*𝑝𝑀 → ⋀𝑚−𝑘 𝑇 *

𝑝𝑀 , satisfazendo (pela Proposição 1.8.4) a equação

(𝛼1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝛼𝑘𝑝) ∧ (*𝛽1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝛽𝑘𝑝 ) = det(⟨𝛼𝑖𝑝, 𝛽𝑗𝑝⟩𝑝) d𝑉𝑝,

para 𝛼1𝑝, . . . , 𝛼𝑘𝑝, 𝛽1

𝑝 , . . . , 𝛽𝑘𝑝 ∈ T*𝑝𝑀 .

Assim, verifica-se que *: Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑚−𝑘(𝑀) pode ser definido por

(*𝛼)𝑝 = *𝛼𝑝.

66

Proposição 1.9.2 (Propriedades do Operador Estrela de Hodge). (i) Se 𝐸1, . . . , 𝐸𝑚 são 1-formas tais que (𝐸1

𝑝 , . . . , 𝐸𝑚𝑝 ) é a base dual de uma base ortogonal orientada de T𝑝𝑀 então

*𝐸1 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘+1 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚;

(ii) * d𝑉 = 1 ∈ Ω0(𝑀);

(iii) *1 = d𝑉 ;

(iv) * ∘ * = (−1)𝑘(𝑚−𝑘): Ω𝑘(𝑀) → Ω𝑘(𝑀).

Demonstração.(i)

Pela equação (1.9.1), temos, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , que

(𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 ) ∧ (*𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑘

𝑝 ) ={𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑘

𝑝 , (𝑖1, . . . , 𝑖𝑘) = (1, . . . , 𝑘);0, (𝑖1, . . . , 𝑖𝑘) = (1, . . . , 𝑘).

Logo, *𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑘

𝑝 = 𝐸𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚

𝑝 , para cade 𝑝 ∈ 𝑀 .

(ii)

Seja (𝐸1𝑝 , . . . , 𝐸

𝑚𝑝 ) uma base de T*

𝑝𝑀 dual a uma base ortonormal e ordenada de T𝑝𝑀 . PelaProposição 1.8.4,

d𝑉𝑝 = 𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚

𝑝 .

Assim,d𝑉𝑝 ∧ * d𝑉𝑝 = (𝐸1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚𝑝 ) ∧ *(𝐸1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚𝑝 ) = 𝐸1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚𝑝 = d𝑉𝑝

e, consequentemente,d𝑉𝑝 = 1.

(iii)

Pela equação (1.9.1),1 ∧ *1 = d𝑉.

Logo, *1 = d𝑉 .

(iv)

Seja (𝐸1𝑝 , . . . , 𝐸

𝑚𝑝 ) uma base de T*

𝑝𝑀 dual a uma base ortonormal e ordenada de T𝑝𝑀 . Mos-traremos, para 𝑝 ∈ 𝑀 e 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑚, que

* * 𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 = (−1)𝑘(𝑚−𝑘)𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 .

67

Desta forma, concluiremos que *∘*:⋀𝑘 T*𝑝𝑀 → ⋀𝑘 T*

𝑝𝑀 é igual à (−1)𝑘(𝑚−𝑘). Logo, *∘*: Ω𝑘(𝑀) →Ω𝑘(𝑀) é (−1)𝑘(𝑚−𝑘).

Consideremos a permutação 𝑖: {1, . . . ,𝑚} → {1, . . . ,𝑚} tal que 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 6 𝑚 e1 6 𝑖𝑘+1 < · · · < 𝑖𝑚 6 𝑚.

Pela equação (1.9.1),

(𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 ) ∧ (*𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 ) = 𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚

𝑝 .

Logo,*𝐸𝑖𝑘+1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚𝑝 = 𝜆𝐸𝑖1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘𝑝 ,

para algum 𝜆 ∈ R.Assim,

𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚

𝑝 = (𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 ) ∧ (*𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 )= 𝜆𝐸𝑖𝑘+1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚𝑝 ∧ 𝐸𝑖1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘𝑝

= 𝜆𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 ∧ 𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝

= 𝜆(−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖)𝐸1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑚

𝑝 .

Desta forma, 𝜆 = (−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖) e, consequentemente,

*𝐸𝑖𝑘+1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚

𝑝 = (−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖)𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 .

Por fim,* * 𝐸𝑖1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘𝑝 = sgn(𝑖) * 𝐸𝑖𝑘+1

𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑚𝑝

= sgn(𝑖)(−1)𝑘(𝑚−𝑘) sgn(𝑖)𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝

= (−1)𝑘(𝑚−𝑘)𝐸𝑖1𝑝 ∧ . . . ∧ 𝐸𝑖𝑘

𝑝 .

Proposição 1.9.3. Se 𝑀 é uma variedade Riemanniana orientada de dimensão 4 então

Ω2(𝑀) = Ω2− ⊕ Ω2

+,

ondeΩ2

− = {𝜔 ∈ Ω2(𝑀): *𝜔 = −𝜔}e

Ω2+ = {𝜔 ∈ Ω2(𝑀): *𝜔 = +𝜔}.

Demonstração. Seja 𝜔 ∈ Ω2. Pela Proposição 1.9.2, * * 𝜔 = 𝜔. Assim,

*(1

2(𝜔 + *𝜔))

= 12(*𝜔 + * * 𝜔) = 1

2(*𝜔 + 𝜔) = 12(𝜔 + *𝜔)

e*(1

2(𝜔 − *𝜔))

= 12(*𝜔 − * * 𝜔) = 1

2(*𝜔 − 𝜔) = −12(𝜔 − *𝜔)

Logo,𝜔 = 1

2(𝜔 − *𝜔) + 12(𝜔 + *𝜔) ∈ Ω2(𝑀) ⊕ Ω2(𝑀).

68

Capítulo 2

Variedades complexas e Kähler

2.1 Preliminares: Álgebra LinearNesta seção discutiremos, à nível de álgebra linear, a noção de estrutura complexa. Este é

o ponto de partida para compreensão do conceito de estrutura quase-complexa em variedadesdiferenciáveis, cujo entendimento é crucial em geometria complexa.

Pretendemos aplicar os conceitos desenvolvidos aqui para espaços tangentes à variedades dedimensão finita. Portanto, estabelecemos a seguinte convenção: daqui em diante, um espaçovetorial significará um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo de escalares que estejasubentendido no contexto (R ou C). Ademais, 𝑉 sempre denotará um espaço vetorial real.

Definição 2.1.1. Uma estrutura complexa em 𝑉 é um automorfismo 𝐽 : 𝑉 → 𝑉 tal que 𝐽2 = −1.

É imediato da definição que se 𝑉 admite uma estrutura complexa 𝐽 , então 𝑉 tem dimensãopar. Com efeito:

0 < (det 𝐽)2 = det(𝐽2) = det(𝐼𝑑) = (−1)dimR𝑉 ,

donde conclui-se que dimR𝑉 = 2𝑛, para algum 𝑛 ∈ N.

Exemplo 2.1.2. A estrutura complexa canônica 𝐽𝑛0 de R2𝑛 é definida por

𝐽𝑛0 : R2𝑛 −→ R2𝑛

(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ↦→ (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛,−𝑥1, . . . ,−𝑥𝑛)

Isto é, 𝐽𝑛0 é o operador linear em R2𝑛 cuja matriz na base canônica é dada por

[𝐽𝑛0 ] =(

0 𝐼𝑑𝐼𝑑 0

)

Note que a multiplicação de um vetor (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) em C𝑛 pelo escalar complexo i corresponde, via oisomorfismo R−linear canônico R2𝑛 ≃ C𝑛, à ação de 𝐽𝑛0 no vetor correspondente (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛)em R2𝑛, i.e. onde 𝑧𝑘 = 𝑥𝑘 + i𝑦𝑘 (𝑘 = 1, . . . , 𝑛).

69

A razão para a terminologia da definição anterior reside na seguinte observação. Se 𝑉 admiteuma estrutura complexa 𝐽 , então podemos definir a seguinte multiplicação por escalares complexosem 𝑉 :

C × 𝑉 → 𝑉

(𝑎+ i𝑏, 𝑣) ↦→ 𝑎𝑣 + 𝑏𝐽𝑣

Utilizando a linearidade de 𝐽 e sua propriedade distinguida de quadrar à menos a identidade,não é difícil verificar que 𝑉 munido desta operação se torna um espaço vetorial complexo, o qualiremos denotar por 𝑉𝐽 . Reciprocamente, dado V um espaço vetorial complexo, é claro que amultiplicação pelo escalar complexo i dá origem à uma estrutura complexa 𝐽 no espaço vetorialreal subjacente. Assim, a presença de um automorfismo 𝐽 cujo quadrado é −𝐼𝑑 num espaçovetorial real 𝑉 é equivalente à existência de uma estrutura de espaço vetorial complexo em 𝑉 .

A demonstração do lema seguinte é trivial levando-se em conta que 𝐽 é a multiplicação por iem 𝑉𝐽 .

Lema 2.1.3 (Base adaptada para 𝐽). Seja 𝐽 uma estrutura complexa em 𝑉 . Então, 𝛽 ={𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} é base de 𝑉𝐽 como espaço vetorial complexo se, e somente se, 𝛽𝐽 = {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛, 𝐽𝑣1, . . . , 𝐽𝑣𝑛}é uma base do espaço vetorial real 𝑉 . Em particular,

• dimC𝑉𝐽 é a metade de dimR𝑉 , e

• a matriz de 𝐽 na base 𝛽𝐽 é dada por

[𝐽 ]𝛽𝐽=(

0 −𝐼𝑑𝐼𝑑 0

)

É claro que um operador linear em 𝑉 cujo quadrado é −𝐼𝑑 não possui autovalores reais. Noentando, podemos estendê-lo ao complexificado de 𝑉 para estudar as consequências da presençade um tal operador. Relembramos que a complexificação de um espaço vetorial real 𝑉 é o espaçovetorial complexo 𝑉C cuja estrutura de espaço vetorial real subjacente é dada por 𝑉 ⊗R C e amultiplicação por escalares complexos é definida pondo-se

𝜆 · (𝑣 ⊗ 𝜇) := 𝑣 ⊗ (𝜆𝜇), ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆𝜇 ∈ C,

e extendendo tal aplicação de maneira R−linear.A partir desta definição, não é difícil verificar que se {𝑣1, . . . , 𝑣𝑚} é uma base para 𝑉 como

espaço vetorial real, então {𝑣1 ⊗ 1, . . . , 𝑣𝑚 ⊗ 1} é uma base de 𝑉C como espaço vetorial complexo.Em particular,

dimR𝑉 = dimC𝑉C.

Se 𝑉 e 𝑊 são espaços vetoriais reais, um endomorfismo 𝑇 ∈ EndR(𝑉 ;𝑊 ) induz um endormo-fismo 𝑇C ∈ EndC(𝑉C;𝑊C) via (extensão R−linear de)

𝑇C(𝑣 ⊗ 𝜇) := (𝑇𝑣) ⊗ 𝜇, ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜇 ∈ C.

70

Por construção, a matriz de um endormorfismo 𝑇 ∈ EndR(𝑉 ) numa base ℬ = {𝑣𝑘} de 𝑉coincide com a matriz de 𝑇C na base induzida ℬC = {𝑣𝑘 ⊗ 1} em 𝑉C. Em particular, o polinômiocaracterístico de 𝑇C é igual ao polinômio característico de 𝑇 , que por sua vez tem coeficientes reais.No caso de uma estrutura quase-complexa 𝐽 em 𝑉 , esta última observação pode ser usada paraconcluir que o operador complexificado 𝐽C é diagonalizável e tem autovalores ±i. De fato, comoo polinômio 𝑥2 + 1 anula 𝐽C, segue que seu polinômio mínimo tem como únicas possibilidades(𝑥 + i)(𝑥 − i), (𝑥 + i) e (𝑥 − i). Daí, o fato que o polinômio característico de 𝐽C tem coeficientesreais (portanto que raízes complexas vem em pares conjugados), implica que o polinômio mínimode 𝐽C é necessariamente (𝑥+ i)(𝑥− i), provando a afirmação.

O parágrafo anterior conclui que a presença de uma estrutura complexa 𝐽 em 𝑉 induz a seguintedecomposição em 𝑉C:

𝑉C = 𝑉1,0 ⊕ 𝑉0,1,

onde𝑉1,0 := ker(𝐽C − i𝐼𝑑) 𝑉0,1 := ker(𝐽C + i𝐼𝑑).

Não obstante, 𝐽 também induz uma decomposição no espaço dual (𝑉C)*. De fato, 𝐽C age em(𝑉C)* via pull-back (𝐽*

C𝜑 := 𝜑 ∘ 𝐽 , para cada 𝜑 ∈ (𝑉C)*) e tal operador também quadra à menos aidentidade de (𝑉C)*. Assim, de maneira análoga, temos:

(𝑉C)* = 𝑉 1,0 ⊕ 𝑉 0,1,

onde𝑉 1,0 := ker(𝐽*

C − i𝐼𝑑) 𝑉 0,1 := ker(𝐽*C + i𝐼𝑑).

Assim, por exemplo, 𝜑 ∈ 𝑉 1,0 se, e somente se, 𝜑 ∘ 𝐽C = i𝜑, i.e. 𝜑 = −i𝜑 ∘ 𝐽C. Daí que 𝜑 ∈ 𝑉 1,0

se, e somente se, 𝜑(𝑣) = 0 para todo 𝑣 ∈ 𝑉0,1. Analogamente, 𝜑 ∈ 𝑉 0,1 se, e somente se, 𝜑(𝑣) = 0para todo 𝑣 ∈ 𝑉1,0.

Como consequência de tais decomposições, uma estrutura complexa 𝐽 em 𝑉 induz uma bigra-duação nas 𝑘−ésimas potências exteriores de 𝑉 :

𝑘⋀𝑉 *C =

⨁𝑝+𝑞=𝑘

𝑝⋀𝑉 1,0 ⊗

𝑞⋀𝑉 0,1.

Para entender melhor os subespaços 𝑉 1,0 e 𝑉 0,1 de (𝑉, 𝐽), vamos utilizar a identificação 𝑉C ≃𝑉 ⊕ i𝑉 dada pela extensão R−linear de

𝑣 ⊗ (𝑎+ i𝑏) ↦→ 𝑎𝑣 + i𝑏𝑣.

Com a estrutura natural de espaço vetorial complexo de 𝑉 ⊕ i𝑉 , onde a multiplicação porescalar complexo é dada por

(𝑎+ i𝑏) · 𝑣 + i𝑤 := (𝑎𝑣 − 𝑏𝑤) + i(𝑎𝑤 + 𝑏𝑣), ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉, ∀𝑎, 𝑏 ∈ R,

não é difícil verificar que o mapa acima é, de fato, um isomorfismo C−linear. Daqui em diante,sempre que conveniente, usaremos essa identificação para trabalhar com 𝑉C.

71

Observe que nesta descrição de 𝑉C como 𝑉 ⊕ i𝑉 , a extensão de um elemento 𝑇 ∈ HomR(𝑉 ) éo endomorfismo C−linear 𝑇C definido por

𝑇C(𝑣 + i𝑤) = 𝑇 (𝑣) + i𝑇 (𝑤), ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉.

Atenção: Salvo em casos em que for necessário o contrário, passaremos a denotar 𝑇C simples-mente por 𝑇 .

Por fim, será útil identificar (𝑉 *)C com (𝑉C)* fazendo 𝑓 + i𝑔 corresponder ao funcional de 𝑉Cque leva um elemento 𝑣 + 𝑖𝑤 em (𝑓(𝑣) − 𝑔(𝑤)) + i(𝑓(𝑤) + 𝑔(𝑣)). Não é difícil verificar que estacorrespondência é, de fato, um isomorfismo C−linear.

Com os comentários acima, podemos provar o

Lema 2.1.4. Suponha que 𝐽 é uma estrutura complexa em 𝑉 . Então:

𝑉1,0 = {𝑣 − i𝐽𝑣 : 𝑣 ∈ 𝑉 }; 𝑉0,1 = {𝑣 + i𝐽𝑣 : 𝑣 ∈ 𝑉 },

e𝑉 1,0 = {𝑓 − i𝐽*𝑓 : 𝑓 ∈ 𝑉 *}; 𝑉 0,1 = {𝑓 + i𝐽*𝑓 : 𝑓 ∈ 𝑉 *}.

Demonstração. Vamos fazer a prova da igualdade para 𝑉1,0, os outros casos serão deixados comoexercício para o leitor.

(⊇) Dado 𝑣 ∈ 𝑉 , temos:

𝐽(𝑣 − i𝐽𝑣) = 𝐽𝑣 + i𝑣 = i(𝑣 − i𝐽𝑣),

donde 𝑣 − i𝐽𝑣 ∈ 𝑉1,0, como queríamos.(⊆) Seja 𝑧 = 𝑣 + i𝑤 ∈ 𝑉1,0 ⊆ 𝑉C = 𝑉 ⊕ i𝑉 . Então, 𝐽𝑧 = i𝑧 implica que

𝐽𝑣 + i𝐽𝑤 = −𝑤 + 𝑖𝑣,

i.e. 𝐽𝑣 = −𝑤 e 𝐽𝑤 = 𝑣 (note que, na verdade, estas duas equações são equivalentes, já que𝐽2 = −𝐼𝑑). Daí,

𝑧 = 𝑣 + i𝑤 = 𝑣 − i𝐽𝑣,com 𝑣 ∈ 𝑉 .

Fixe agora 𝐽 uma estrutura complexa em 𝑉 e escreva 2𝑛 := dimR𝑉 . Por um lado, o mapaconjugação

𝑉C → 𝑉C

(𝑋 + i𝑌 ) ↦→ (𝑋 + i𝑌 ) := 𝑋 − i𝑌,

é claramente R−linear e injetivo, donde um isomorfismo R−linear1. Por outro lado, através dacaracterização dada no lema anterior, é imediato que

𝑉0,1 = 𝑉1,0. (2.1.1)1Note que este mapa não é C-linear!

72

Ora, sendo 𝑉C = 𝑉0,1 ⊕ 𝑉1,0 e 2𝑛 = dimR𝑉 = dimC𝑉C, concluimos que 𝑛 = dimC𝑉1,0 = dimC𝑉

0,1

(= metade da dimensão real de 𝑉 ).Por fim, outra consequência interessante do lema anterior é a seguinte: se 𝐽 é uma estrutura

complexa em 𝑉 , então 𝑉𝐽 é um espaço vetorial complexo canonicamente isomorfo aos autoespaços𝑉1,0 e 𝑉0,1 de 𝐽 em 𝑉C.

Considere 𝜉1,0 : 𝑉𝐽 → 𝑉1,0 definido por 𝜉1,0(𝑣) = 𝑣 − i𝐽𝑣, para cada 𝑣 ∈ 𝑉𝐽 . O lema provadoanteriormente garante que 𝜉1,0 é um mapa sobrejetor. Além disso, pela definição da estrutura de𝑉C = 𝑉 ⊕ i𝑉 , 𝜉1,0 é claramente injetivo e R−linear. Por fim, afirmamos que 𝜉1,0 é C−linear: defato, para cada 𝑣 ∈ 𝑉𝐽 , lembrando que 𝐽 é a multiplicação por i em 𝑉𝐽 , temos:

𝜉(i𝑣) = 𝜉(𝐽𝑣)= 𝐽𝑣 + i𝑣= i(𝑣 − i𝐽𝑣)= i𝜉(𝑣),

donde por R−linearidade a afirmação segue. Assim, concluimos que 𝜉1,0 é um isomorfismo deespaços vetoriais complexos entre 𝑉𝐽 e 𝑉1,0. Analogamente, o mapa 𝜉0,1 : 𝑉𝐽 → 𝑉0,1 dado por𝜉0,1(𝑣) := 𝑣 + 𝑖𝐽𝑣, para cada 𝑣 ∈ 𝑉𝐽 , define um isomorfismo C−linear entre 𝑉𝐽 e 𝑉0,1.

Uma observação importante é que através dos isomorfismos anteriores obtemos, retomando olema 2.1.3, as seguintes equivalências:

{𝑣1, . . . , 𝑣𝑛, 𝐽𝑣1, . . . , 𝐽𝑣𝑛} é base de 𝑉 ⇐⇒ {𝑣𝑘 : 𝑘 = 1, . . . , 𝑛} é base de 𝑉𝐽⇐⇒ {𝑣𝑘 − i𝐽𝑣𝑘 : 𝑘 = 1, . . . , 𝑛} é base de 𝑉1,0 (2.1.2)

(resp. {𝑣𝑘 + i𝐽𝑣𝑘 : 𝑘 = 1, . . . , 𝑛} é base de 𝑉0,1).

Para terminar essa seção, vejamos como todo espaço vetorial real não-trivial (i.e. = {0})munido de um estrutura complexa possui uma orientação natural induzida por 𝐽 . Relembramosque uma orientação em 𝑉 é uma escolha de classe de equivalência de bases (ordenadas) de 𝑉 ,segundo a seguinte relação ∼: se 𝛽 e 𝛽′ são bases (ordenadas) de 𝑉 e 𝑇 é o único isomorfismolinear que leva 𝛽 em 𝛽′, então

𝛽 ∼ 𝛽′ ⇐⇒ det𝑇 > 0.

Lema 2.1.5. Seja 𝐽 uma estrutura complexa em 𝑉 . Se 𝛽 = {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛, 𝐽𝑋1, . . . , 𝐽𝑋𝑛} e 𝛽′ ={𝑌1, . . . , 𝑌𝑛, 𝐽𝑌1, . . . , 𝐽𝑌𝑛} são bases (ordenadas) de 𝑉 , então 𝛽 ∼ 𝛽′.

Demonstração. Seja 𝑇 : 𝑉 → 𝑉 o operador invertível tal que 𝑇𝑋𝑖 = 𝑌𝑖 e 𝑇𝐽𝑋𝑖 = 𝐽𝑌𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛.Queremos mostrar que det𝑇 > 0. Escreva os elementos de 𝛽 na base 𝛽′:

𝑌𝑗 =𝑛∑𝑖=1

𝐴𝑖𝑗𝑋𝑖 +𝑛∑𝑖=1

𝐵𝑖𝑗𝐽𝑋𝑖

𝐽𝑌𝑗 =𝑛∑𝑖=1

𝐶𝑖𝑗𝑋𝑖 +

𝑛∑𝑖=1

𝐷𝑖𝑗𝐽𝑋𝑖,

73

para únicos 𝐴𝑖𝑗, 𝐵𝑖𝑗, 𝐶

𝑖𝑗, 𝐷

𝑖𝑗 ∈ R, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Aplicando 𝐽 na primeira equação e comparando

com a segunda temos (usando 𝐽2 = −𝐼𝑑 e unicidade de representação)

𝐴𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗, −𝐵𝑖

𝑗 = 𝐶𝑖𝑗, ∀𝑖, 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛}.

Daí, a matriz de 𝑇 na base 𝛽 tem uma representação por blocos da forma

[𝑇 ] =(𝐴 𝐵

−𝐵 𝐴

),

onde 𝐴 = (𝐴𝑖𝑗) e 𝐵 = (𝐵𝑖𝑗). Logo, det𝑇 = det [𝑇 ] = (det𝐴)2 + (det𝐵)2 ≥ 0. Como 𝑇 é

isomorfismo, segue que det𝑇 > 0.

Como todo espaço vetorial não-trivial admite base, o lema 2.1.3 garante a existência de umabase do tipo {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛, 𝐽𝑋1, . . . , 𝐽𝑋𝑛} em 𝑉 (pois existe base {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛} em 𝑉𝐽). Agora,pelo resultado que acabamos de provar, qualquer base deste tipo define a mesma orientação em 𝑉 .Assim, a presença da estrutura complexa 𝐽 induz a orientação em 𝑉 na qual as bases orientadassão aquelas pertencentes à classe de uma base do tipo {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛, 𝐽𝑋1, . . . , 𝐽𝑋𝑛}.

2.2 Variedades Quase ComplexasDefinição 2.2.1. Uma estrutura quase-complexa em uma variedade diferenciável 𝑀 é um (1, 1)−tensorsuave 𝐽 em 𝑀 (na linguagem de fibrados vetoriais: um endormofismo do fibrado tangente 𝑇𝑀)tal que 𝐽𝑥 := 𝐽(𝑥) : 𝑇𝑥𝑀 → 𝑇𝑥𝑀 define uma estrutura complexa em 𝑇𝑥𝑀 , para cada 𝑥 ∈ 𝑀 .Diremos que 𝑀 munida de uma estrutura quase-complexa 𝐽 é uma variedade quase-complexa.

Observações:

• Como uma estrutura quase-complexa em 𝑀 define uma estrutura complexa em cada espaçotangente de 𝑀 , segue do que vimos na seção anterior que uma condição necessária para que𝑀 admita uma tal estrutura é que sua dimensão (como variedade diferenciável) seja par.

• Vimos na seção anterior que a presença de uma estrutura complexa num espaço vetorialreal induz uma orientação neste espaço (vide 2.1.5). Mais geralmente, uma estrutura quase-complexa em uma variedade suave 𝑀 induz uma orientação em 𝑀 . Para uma demonstraçãodeste fato veja [KN2 ]. Mais a frente damos uma demonstração indireta da orientabilidadede uma variedade quase-complexa (vide 2.6).

Seja (𝑀,𝐽) uma variedade quase-complexa de dimensão 2𝑛. Então, para cada ponto 𝑥 ∈ 𝑀podemos considerar o espaço tangente complexificado de 𝑀 em 𝑥, i.e. a complexificação (𝑇𝑥𝑀)Cdo espaço vetorial 𝑇𝑥𝑀 . Do que vimos na seção anterior,

(𝑇𝑥𝑀)C = (𝑇𝑥𝑀)1,0 ⊕ (𝑇𝑥𝑀)0,1, para cada 𝑥 ∈ 𝑀.

74

Essa decomposição pontual resulta numa decomposição do fibrado tangente complexificado, 𝑇𝑀C :=𝑇𝑀 ⊗ C:

𝑇𝑀C = 𝑇1,0𝑀 ⊕ 𝑇0,1𝑀,

onde 𝑇1,0𝑀 e 𝑇0,1𝑀 são os subfibrados de 𝑇𝑀 cujas fibras num ponto 𝑥 ∈ 𝑀 são, respectivamente,os espaços (𝑇𝑥𝑀)1,0 e (𝑇𝑥𝑀)0,1. Um elemento de 𝑇𝑀C é dito um vetor tangente complexo, e esteúltimo se diz do tipo (1, 0) (resp. (0, 1)) se for um elemento de 𝑇1,0𝑀 (resp. 𝑇0,1𝑀). É imediatodo lema 2.1.4 que um vetor tangente complexo 𝑍 é do tipo (1, 0) (resp. (0, 1)) se, e somente se,𝑍 = 𝑋 − i𝐽𝑋 para algum 𝑋 ∈ 𝑇𝑀 (resp. 𝑍 = 𝑋 + i𝐽𝑋 para algum 𝑋 ∈ 𝑇𝑀).

De maneira análoga, a presença de 𝐽 dá origem à uma decomposição no fibrado cotagentecomplexificado:

𝑇 *𝑀C = 𝑇 1,0𝑀 ⊕ 𝑇 0,1𝑀,

onde as fibras de 𝑇 1,0𝑀 e 𝑇 0,1𝑀 num ponto 𝑥 ∈ 𝑀 são, respectivamente, (𝑇𝑥𝑀)1,0 e (𝑇𝑥𝑀)0,1

(vide capítulo seguinte sobre fibrados vetoriais).Denotaremos por Ω𝑘

C(𝑀) a complexificação do espaço das 𝑘-formas em 𝑀 . Seus elementos sãoas 𝑘−formas diferenciais complexas em 𝑀 , i.e. objetos da forma 𝜔 = 𝜉 + i𝜂, onde 𝜉, 𝜂 ∈ Ω𝑘(𝑀)são 𝑘−formas diferenciais reais em 𝑀 . A cada ponto 𝑥 ∈ 𝑀 , 𝜔 ∈ Ω𝑘

C(𝑀) associa um elemento doespaço vetorial complexificado ⋀𝑘 𝑇 *

𝑥𝑀C, tal qual, como visto na seção preliminar, se decompõe em⨁𝑝+𝑞=𝑘

⋀𝑝(𝑇𝑥𝑀)1,0⊗⋀𝑞(𝑇𝑥𝑀)0,1. Ora, é natural então definirmos o seguinte espaço das (𝑝, 𝑞)−formas

complexas em 𝑀 , ou formas do tipo (𝑝, 𝑞):

Ω𝑝,𝑞(𝑀) := Γ(𝑝⋀𝑇 1,0𝑀 ⊗

𝑞⋀𝑇 0,1𝑀),

ou seja, Ω𝑝,𝑞(𝑀) é o espaço das (𝑝 + 𝑞)−formas complexas em 𝑀 que associam a cada ponto𝑥 ∈ 𝑀 um elemento de ⋀𝑝(𝑇𝑥𝑀)1,0 ⊗⋀𝑞(𝑇𝑥𝑀)0,1. Desta forma, temos a seguinte bigraduação das𝑘−formas complexas em 𝑀 :

Ω𝑘C(𝑀) =

⨁𝑝+𝑞=𝑘

Ω𝑝,𝑞(𝑀). (2.2.1)

As operações usuais entre formas são estendidas por linearidade. Em particular, dadas 𝜔 =𝜉 + i𝜂 e �� = 𝜉 + i𝜂 formas diferenciais complexas, tem-se

𝜔 ∧ �� := (𝜉 ∧ 𝜉 − 𝜂 ∧ 𝜂) + i(𝜉 ∧ 𝜂 + 𝜂 ∧ 𝜉),

e também

𝑑𝜔 := 𝑑𝜉 + i𝑑𝜂.

Da mesma maneira que definimos as 𝑘−formas complexas em 𝑀 , também podemos definircampos vetoriais complexos e, mais geralmente, campos tensoriais complexos em 𝑀 : basta tomarcomplexificações. Assim, por exemplo, um campo vetorial complexo em 𝑀 é um objeto da forma𝑍 = 𝑋 + i𝑌 , onde 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀) := X(𝑀). Neste caso, dizemos que 𝑍 é do tipo (1, 0) (resp.(0, 1)) quando 𝑍(𝑥) ∈ 𝑇 1,0𝑀 (resp. 𝑇 0,1𝑀), para cada 𝑥 ∈ 𝑀 . Denotaremos o espaço dos campos

75

vetoriais complexos em 𝑀 por X(𝑀)C.

Segue das observações da seção anterior que 𝜔 ∈ Ω1C(𝑀) é do tipo (1, 0) (resp. (0, 1)) se, e

somente se, 𝜔(𝑋) = 0 para cada campo de vetores complexo 𝑋 do tipo (0, 1) (resp. (1, 0)) em 𝑀 .Além disso, note que se {𝜔1, . . . , 𝜔𝑛} é uma base local para Ω1,0(𝑀), então {𝜔1 . . . , 𝜔𝑛} é umabase local para Ω0,1(𝑀) e, assim,

{𝜔𝑖1 ∧ . . . ∧ 𝜔𝑖𝑝 ∧ 𝜔𝑗1 . . . ∧ 𝜔𝑗𝑞 : 1 ≤ 𝑖1 < . . . < 𝑖𝑝 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗1 < . . . < 𝑗𝑞 ≤ 𝑛},

é uma base local para Ω𝑝,𝑞(𝑀). Logo, cada (𝑝, 𝑞)−forma 𝜔 em 𝑀 é localmente escrita nesta basecomo uma soma do tipo

𝜔 =∑𝐼,𝐽

𝜔𝑖1...𝑖𝑝𝑗1...𝑗𝑞𝜔𝑖1 ∧ . . . ∧ 𝜔𝑖𝑝 ∧ 𝜔𝑗1 . . . ∧ 𝜔𝑗𝑞 ,

onde a soma se estende sobre todos os multi-indices crescentes 𝐼 = {1 ≤ 𝑖1 < . . . < 𝑖𝑝 ≤ 𝑛} e𝐽 = {1 ≤ 𝑗1 < . . . < 𝑗𝑞 ≤ 𝑛}.

Lema 2.2.2. Se (𝑀,𝐽) é uma variedade quase-complexa, então

𝑑Ω𝑝,𝑞(𝑀) ⊆ Ω𝑝+2,𝑞−1(𝑀) ⊕ Ω𝑝+1,𝑞(𝑀) ⊕ Ω𝑝,𝑞+1(𝑀) ⊕ Ω𝑝−1,𝑞+2(𝑀),

para cada par de inteiros positivos 𝑝, 𝑞 ≥ 1.

Demonstração. Segue de 2.2.1 e da definição de 𝑑 : Ω𝑘C(𝑀) → Ω𝑘+1

C (𝑀) que

𝑑Ω0,0(𝑀) ⊆ Ω1C = Ω1,0(𝑀) ⊕ Ω0,1(𝑀)

𝑑Ω1,0(𝑀) ⊆ Ω2C = Ω2,0(𝑀) ⊕ Ω1,1(𝑀) ⊕ Ω0,2(𝑀)

𝑑Ω0,1(𝑀) ⊆ Ω2C = Ω2,0(𝑀) ⊕ Ω1,1(𝑀) ⊕ Ω0,2(𝑀).

Como 𝑑 é uma antiderivação (de grau +1) na álgebra das formas diferenciais complexas ΩC(𝑀) :=𝑛⨁

𝑝+𝑞=0Ω𝑝,𝑞(𝑀) e, pelas observações que precedem o lema, ΩC(𝑀) é localmente gerada por Ω0,0(𝑀),

Ω1,0(𝑀) e Ω0,1(𝑀), o resultado segue.

2.3 Funções Holomorfas em C𝑛

Sejam 𝑈 um aberto de C𝑛, 𝑓 : 𝑈 → C𝑚, e (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) e (𝑤1, . . . , 𝑤𝑚) as funções coordenadas deC𝑛 e C𝑚, respectivamente. Escrevendo 𝑧𝑘 = 𝑥𝑘 + i𝑦𝑘 (𝑘 = 1, . . . , 𝑛) e 𝑤𝑙 = 𝑢𝑙 + i𝑣𝑙 (𝑙 = 1, . . . ,𝑚),i.e. fazendo as identificações naturais C𝑛 ≃ R2𝑛 e C𝑚 ≃ R2𝑚, onde (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) sãoas funções coordenadas de R2𝑛 e (𝑢1, . . . , 𝑢𝑚, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚) são as funções coordenadas de R2𝑚, as-sociamos à 𝑓 uma função 𝑓 : �� → R2𝑚 definida num aberto �� de R2𝑛, vice-versa. O objetivodesta seção é entender a noção de holomorficidade da função complexa 𝑓 em termos da função realassociada 𝑓 e as estruturas complexas canônicas 𝐽𝑛0 e 𝐽𝑚0 de R2𝑛 e R2𝑚 respectivamente.

76

Definição 2.3.1. Seja 𝑓 = (𝑓 1, . . . , 𝑓𝑚) : 𝑈 → C𝑚 uma função suave definida num aberto 𝑈 deC𝑛. Diremos que 𝑓 é holomorfa (em 𝑈) quando satisfaz as equações de Cauchy-Riemann:

𝜕𝑓 𝑙

𝜕𝑧𝑘= 0, 𝑙 = 1, . . . ,𝑚, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, (C-R)

onde𝜕

𝜕𝑧𝑘:= 1

2

(𝜕

𝜕𝑥𝑘+ i

𝜕

𝜕𝑦𝑘

), 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.

Note que as equações (C-R) da definição anterior se escrevem, em termos das identificaçõesfeitas no início da seção, da seguinte forma:

(C-R) ⇐⇒ (*) :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑗 = 𝜕𝑣𝑘

𝜕𝑦𝑗

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑦𝑗 = −𝜕𝑣𝑘

𝜕𝑥𝑗 𝑗 = 1, . . . , 𝑛, 𝑘 = 1, . . . ,𝑚.

Assim, nas condições do enunciado da definição anterior, 𝑓 é holomorfa se, e somente se, vale (*).O resultado a seguir resume o que estamos procurando:

Proposição 2.3.2. Seja 𝑓 : 𝑈 → C𝑚 um mapa suave definido num aberto 𝑈 de C𝑛. Então

𝑓 é holomorfa ⇐⇒ 𝑓* ∘ 𝐽𝑛0 = 𝐽𝑚0 ∘ 𝑓*,

onde 𝑓 : �� ⊆ R2𝑛 → R2𝑚 é o mapa naturalmente associado à 𝑓 via as identificações naturaisC𝑛 ≃ R2𝑛 e C𝑚 ≃ R2𝑚.Demonstração. Como 𝑓 é um mapa suave (sendo uma composição de mapas suaves: 𝑓 e isomor-fismos), e levando em conta a notação introduzida no início da seção, podemos escrever:

𝑓*

(𝜕

𝜕𝑥𝑗

)=∑𝑘

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑗𝜕

𝜕𝑢𝑘+∑𝑘

𝜕𝑣𝑘

𝜕𝑥𝑗𝜕

𝜕𝑣𝑘,

e𝑓*

(𝜕

𝜕𝑦𝑗

)=∑𝑘

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑦𝑗𝜕

𝜕𝑢𝑘+∑𝑘

𝜕𝑣𝑘

𝜕𝑦𝑗𝜕

𝜕𝑣𝑘,

para cada 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 e 𝑘 = 1, . . . ,𝑚. Daí, como

𝐽𝑚0

(𝜕

𝜕𝑢𝑘

)= 𝜕

𝜕𝑣𝑘, 𝐽𝑚0

(𝜕

𝜕𝑣𝑘

)= − 𝜕

𝜕𝑢𝑘

e𝐽𝑛0

(𝜕

𝜕𝑥𝑗

)= 𝜕

𝜕𝑦𝑗, 𝐽𝑛0

(𝜕

𝜕𝑦𝑗

)= − 𝜕

𝜕𝑥𝑗

segue que (*) vale se, e somente se, 𝑓* ∘ 𝐽𝑛0 = 𝐽𝑚0 ∘ 𝑓*.

77

2.4 Variedades ComplexasComeçaremos com a definição clássica de variedades complexas e depois usaremos a proposição

da seção anterior para reinterpretar a definição e ao mesmo tempo conectar a primeira com a noçãode estrutura quase-complexa.Definição 2.4.1 (Variedade Complexa (I)). Uma variedade complexa 𝑀 , de dimensão complexa𝑛, é um espaço topológico de Hausdorff, segundo contável e que admite um atlas holomorfo dedimensão 𝑛, i.e. 𝑀 admite uma família de homeomorfismos 𝜙𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝜙𝛼(𝑈𝛼) ⊆ C𝑛 sobreabertos 𝜙𝛼(𝑈𝛼) de C𝑛 de forma que:

• {𝑈𝛼} é uma cobertura aberta de 𝑀 ;

• As mudanças de coordenadas 𝜙𝛼 ∘ 𝜙−1𝛽 são funções holomorfas onde estiverem definidas.

Dois atlas holomorfos 𝒜 e 𝒜′ de dimensão 𝑛 em 𝑀 são ditos compatíveis se a união 𝒜 ∪ 𝒜′

ainda é um atlas holomorfo.Definição 2.4.2. Sejam 𝑀 e 𝑀 ′ variedades complexas com atlas holomorfos {(𝑈𝛼, 𝜙𝛼)} e {(𝑉𝜆,Ψ𝜆)},respectivamente. Um mapa 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 ′ é dito holomorfo quando, para cada 𝛼 e 𝜆 tal que𝑈𝛼 ∩ 𝑓−1(𝑉𝜆) = ∅, tem-se que a composição Ψ𝜆 ∘ 𝑓 ∘ 𝜙−1

𝛼 , definida no aberto 𝜙𝛼(𝑈𝛼 ∩ 𝑓−1(𝑉𝜆)), éum mapa holomorfo no sentido de 2.3.1.

Observações:

• A noção de holomorficidade para aplicações entre variedade complexas (assim como no aná-logo suave) depende somente das classes de equivalência, segundo a relação de compatibili-dade, dos atlas holomorfos envolvidos.

• É claro que todo aberto 𝑈 de C𝑛, com o atlas holomorfo natural {𝑖 : 𝑈 →˓ C𝑛}, é umavariedade complexa 𝑛−dimensional (C𝑛 é o espaço modelo das variedades complexas!). Sem-pre que estes espaços forem citados como variedade complexas estará implícito que se tratadessa estrutura natural. Com isso em vista, note que a definição 2.4.2 de mapa holomorfo écompatível com a noção prévia 2.3.1.

Se 𝑀 é uma variedade complexa 𝑛−dimensional, o fato que toda função holomorfa 𝑈 ⊂ C𝑛 →C𝑚 é uma função suave, via identificação C𝑛 ≃ R2𝑛, fornece à 𝑀 uma estrutura subjacente naturalde variedade diferenciável 2𝑛−dimensional. Mais precisamente, na notação da seção anterior (veja2.3), se {(𝑈𝛼, 𝜙𝛼)} é um atlas holomorfo de 𝑀 , então {(��𝛼, 𝜙𝛼)} é um atlas suave de 𝑀 . Ora,para cada 𝛼, 𝛽 a proposição 2.3.2 garante que a propriedade da mudança de coordenadas 𝜙𝛼 ∘𝜙−1

𝛽

ser holomorfa (em seu domínio de definição adequado) é equivalente à igualdade (𝜙𝛼 ∘𝜙−1𝛽 )* ∘𝐽𝑛0 =

𝐽𝑛0 ∘ (𝜙𝛼 ∘𝜙−1𝛽 )* (no domínio de definição adequado). Portanto, podemos refrasear a definição 2.4.1

da seguinte forma:Definição 2.4.3 (Variedade Complexa (II)). Uma varidade complexa 𝑀 de dimensão 𝑛 é umavariedade diferenciável 2𝑛-dimensonal munida de um atlas suave {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)} cujas mudanças decoordenadas satisfazem

(𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽 )* ∘ 𝐽𝑛0 = 𝐽𝑛0 ∘ (𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1

𝛽 )*, ∀𝛼, 𝛽. (2.4.1)

78

Lema 2.4.4. Toda variedade complexa carrega uma estrutura quase-complexa natural.

Demonstração. Seja 𝑀 variedade complexa 𝑛-dimensional. Então, 𝑀 é uma variedade suave2𝑛−dimensional munida de um atlas {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)} satisfazendo (2.4.1). Defina, para cada 𝛼, 𝐽𝛼 :𝑇𝑈𝛼 → 𝑇𝑈𝛼 pondo

𝐽𝛼 := (𝜑−1𝛼 )* ∘ 𝐽𝑛0 ∘ (𝜑𝛼)*. (2.4.2)

É claro que 𝐽𝛼|𝑇𝑥𝑀 é linear para cada 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 e 𝐽2𝛼 = −𝐼𝑑.

Para ver que a família {𝐽𝛼} define um tensor global em 𝑀 , usamos a condição (2.4.1) daseguinte forma. Sejam 𝛼 e 𝛽 tais que 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅. Então:

𝐽𝛽|𝑈𝛼∩𝑈𝛽= (𝜑−1

𝛽 )* ∘ 𝐽𝑛0 ∘ (𝜑𝛽)* (definição de 𝐽𝛽)= (𝜑−1

𝛼 )* ∘ (𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽 )* ∘ 𝐽𝑛0 ∘ (𝜑𝛽)* (regra da cadeia)

= (𝜑−1𝛼 )* ∘ 𝐽𝑛0 ∘ (𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1

𝛽 )* ∘ (𝜑𝛽)* (por (2.4.1))= 𝐽𝛼|𝑈𝛼∩𝑈𝛽

(definição de 𝐽𝛼 e regra da cadeia).

Definição 2.4.5 (Integrabilidade). Seja 𝑀 uma 2𝑛−variedade diferenciável. Uma estruturaquase-complexa 𝐽 em 𝑀 é dita uma estrutura complexa, ou uma estrutura quase-complexa inte-grável, quando 𝑀 se realiza como a variedade diferenciável subjacente à uma variedade complexa(i.e., 𝑀 admite um atlas como em 2.4.3) que induz 𝐽 da maneira descrita na demonstração dolema 2.4.4.

Observação 2.4.6. Mais explicitamente, a integrabilidade de 𝐽 quer dizer que existe um atlas𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)} em 𝑀2𝑛 satisfazendo (2.4.1) (e, portanto, que torna 𝑀 uma variedade com-plexa) de tal forma que 𝐽 |𝑈𝛼= 𝐽𝛼, onde 𝐽𝛼 é dado em (2.4.2). Isso significa que para cada carta(𝑈, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ 𝒜 tem-se

𝐽

(𝜕

𝜕𝑥𝑖

)= 𝜕

𝜕𝑦𝑖e 𝐽

(𝜕

𝜕𝑦𝑖

)= − 𝜕

𝜕𝑥𝑖, para cada 𝑖 = 1, . . . , 𝑛,

onde{𝜕

𝜕𝑥𝑖,𝜕

𝜕𝑦𝑖

}são os campos locais coordenados associados à carta. Ademais, segue de (2.1.2)

que {𝜕

𝜕𝑧𝑖:= 1

2

(𝜕

𝜕𝑥𝑖− i 𝜕

𝜕𝑦𝑖

): 𝑖 = 1, . . . , 𝑛

}é uma base local de 𝑇1,0𝑀 e{

𝜕

𝜕𝑧𝑖:= 1

2

(𝜕

𝜕𝑥𝑖+ i 𝜕

𝜕𝑦𝑖

): 𝑖 = 1, . . . , 𝑛

}é uma base local de 𝑇0,1𝑀.

Por dualidade, {𝑑𝑧𝑖 := 𝑑𝑥𝑖 + i𝑑𝑦𝑖 : 𝑖 = 1, . . . , 𝑛

}é uma base local de 𝑇 1,0𝑀 e{

𝑑𝑧𝑖 := 𝑑𝑥𝑖 − i𝑑𝑦𝑖 : 𝑖 = 1, . . . , 𝑛}

é uma base local de 𝑇0,1𝑀2.

79

Antes de finalizar esta seção com alguns exemplos, enunciaremos um critério de holomorfici-dade para aplicações entre variedades complexas baseado nas estruturas quase-complexas naturaisenvolvidas. A definição seguinte é motivada pela proposição 2.3.2 da seção anterior.

Definição 2.4.7. Sejam (𝑀,𝐽) e (𝑀 ′, 𝐽 ′) duas variedade quase-complexas. Um mapa suave 𝑓 :𝑀 → 𝑀 ′ é dito quase-holomorfo quando satisfaz

𝑓* ∘ 𝐽 = 𝐽 ′ ∘ 𝑓*. (2.4.3)

Proposição 2.4.8. Sejam 𝑀 e 𝑀 ′ variedades complexas. Um mapa suave 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 ′ é holo-morfo se, e somente se, 𝑓 é quase-holomorfo com respeito as estruturas quase-complexas naturaisde 𝑀 e 𝑀 ′.

Demonstração. Levando-se em conta a definição 2.4.2, a demonstração envolve essencialmentea equivalência que já estabelecemos entre as definições (I) e (II) de variedades complexas, viaproposição 2.3.2, e a definição da estrutura quase-complexa associada à uma variedade complexa.Deixamos os detalhes a cargo do leitor.

Já observamos que C𝑛 é uma variedade complexa, assim como qualquer aberto 𝑈 deste espaço.A seguir listamos exemplos mais interessantes de variedades complexas.

Exemplo 2.4.9 (Espaços Projetivos Complexos: CP𝑛). Estes espaços são os análogos complexosdo caso real já trabalhado na primeira semana, por isso vamos ser sucintos aqui (veja também[KN2 ], Example 2.4). Consideramos a ação natural de C* := C ∖ {0} em C𝑛+1 ∖ {0} dada por

𝜆 · (𝑧0, . . . , 𝑧𝑛) := (𝜆𝑧0, . . . , 𝜆𝑧𝑛), ∀𝜆 ∈ C*, (𝑧0, . . . , 𝑧𝑛) ∈ C𝑛+1 ∖ {0}.

Definimos o espaço projetivo complexo 𝑛−dimensional tomando o quociente de C𝑛+1 ∖ {0} poresta ação, i.e.

CP𝑛 := (C𝑛+1 ∖ {0})/∼, (2.4.4)

onde 𝑍 ∼ 𝑍 ′ se, e somente, as retas complexas geradas por 𝑍 e 𝑍 ′ em C𝑛+1 coincidem. Se𝜋 : C𝑛+1 ∖ {0} → CP𝑛 denota a projeção natural no quociente, um elemento típico de CP𝑛 édenotado pelas suas coordenadas homogêneas [𝑧0 : . . . : 𝑧𝑛] := 𝜋(𝑧0, . . . , 𝑧𝑛). Munimos CP𝑛 com atopologia quociente. Nesta topologia, o fato de C* ser um grupo topológico agindo continuamente emC𝑛+1 ∖{0} garante que a projeção 𝜋 é uma aplicação aberta. Em particular, para cada 𝑖 = 0, . . . , 𝑛,os conjuntos

𝑈𝑖 := {[𝑧0 : . . . : 𝑧𝑛] ∈ CP𝑛 : 𝑧𝑖 = 0} = 𝜋({(𝑧0, . . . , 𝑧𝑛) ∈ C𝑛+1 ∖ {0} : 𝑧𝑖 = 0}),

formam uma cobertura aberta de CP𝑛. Definimos então as seguintes cartas

𝜙𝑖 : 𝑈𝑖 → C𝑛

(𝑧0 : . . . : 𝑧𝑛) ↦→(𝑧0

𝑧𝑖, . . . ,

𝑧𝑖−1

𝑧𝑖,𝑧𝑖+1

𝑧𝑖, . . . ,

𝑧𝑛𝑧𝑖

)

80

para cada 𝑖 = 0, . . . , 𝑛. Não é difícil ver que estes mapas são homeomorfismos (levando-se emconta a topologia quociente) com inversas dadas por

𝜙−1𝑖 : C𝑛 → 𝑈𝑖

(𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) ↦→ [𝑤1 : . . . : 𝑤𝑖−1 : 1 : 𝑤𝑖 : . . . : 𝑤𝑛].

Assim, para cada 0 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑛, temos que as funções de transição 𝜙𝑖 ∘ 𝜙−1𝑗 |𝜙𝑗(𝑈𝑖∩𝑈𝑗) tem a forma

𝜙𝑖 ∘ 𝜙−1𝑗 : (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) ↦→

(𝑤1

𝑤𝑖, . . . ,

𝑤𝑖−1

𝑤𝑖,𝑤𝑖+1

𝑤𝑖, . . . ,

𝑤𝑗−1

𝑤𝑖,

1𝑤𝑖,𝑤𝑗+1

𝑤𝑖, . . . ,

𝑤𝑛

𝑤𝑖

),

donde são holomorfas em seus domínios de definição (de fato, 𝑤𝑖 = 0 no domínio 𝜙𝑗(𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗) efunções racionais com denominador não-nulo são holomorfas). Por fim, notando que na topolo-gia acima definida CP𝑛 é um espaço Hausdorff e segundo contável, segue que o espaço projetivocomplexo é uma variedade complexa de dimensão 𝑛.

Exemplo 2.4.10 (Grassmanianas Complexas). Para cada 𝑘 < 𝑛 inteiros positivos, GrC(𝑘, 𝑛) é oconjunto dos 𝑘−planos complexos passando pela origem em C𝑛. Prosseguindo como no exemplodo análogo real, visto com detalhes nas aulas da primeira semana, GrC(𝑘, 𝑛) tem uma estruturade variedade complexa natural de dimensão 𝑘(𝑛− 𝑘). Além disso, GrC(1, 𝑛+ 1) = CP𝑛.

Exemplo 2.4.11 (Toros 2𝑛−dimensionais). Para cada natural 𝑛, considere o toro 2𝑛−dimensional:𝑇 2𝑛 := 𝑆1 × . . . × 𝑆1 (2𝑛−cópias). Com a estrutura de variedade produto, 𝑇 2𝑛 é uma variedadesuave de dimensão real 2𝑛. Munimos 𝑇 2𝑛 de uma estrutura de variedade complexa de dimensão 𝑛olhando cada fator 𝑆1 como o quociente R/Z pela ação natural de Z em R via translação; o mapaquociente desta ação, escrevendo 𝑆1 = {𝑒2𝜋i𝜃 : 𝜃 ∈ R}, mapeia 𝑡 ∈ R em 𝑒2𝜋i𝑡 . Equivalentemente,olhamos o toro 2𝑛−dimensional como sendo o quociente 𝑇 2𝑛 = R2𝑛/Z2𝑛 pela ação natural. Destaforma, 𝑇 2𝑛 herda naturalmente a estrutura de variedade complexa de R2𝑛 (vide detalhes em [T ])

Exemplo 2.4.12. Toda superfície orientável de gênero 𝑔 > 1 é uma superfície de riemann, i.e.uma variedade complexa de dimensão 1. Vide [T ].

2.5 IntegrabilidadeA pergunta natural que motiva essa seção é a seguinte:

Quando uma estrutura quase-complexa 𝐽 : 𝑇𝑀 → 𝑇𝑀 , 𝐽2 = −𝐼𝑑 é integrável (cf. 2.4.5)?

A resposta para essa pergunta tem várias formulações equivalentes. Trataremos daquela quediz respeito ao anulamento de um certo tensor induzido por 𝐽 em 𝑀 , chamado tensor de Nijenhuis(que por sua vez também aparece definido de maneiras distintas na literatura - nossa abordagemsegue, e.g. [T ]).

Relembramos que a presença de 𝐽 decompõe as 2−formas complexas em 𝑀 da seguinte forma:

Ω2C(𝑀) = Ω2,0(𝑀) ⊕ Ω1,1(𝑀) ⊕ Ω0,2(𝑀). (2.5.1)

81

Se denotarmos por 𝜋0,2 o operador de projeção de Ω2C(𝑀) sobre o espaço das (0, 2)−formas Ω0,2(𝑀),

podemos formar a seguinte composição:

𝑁𝐽 := 𝜋0,2 ∘ 𝑑 : Ω1,0 → Ω0,2.

𝑁𝐽 é chamado o tensor de Nijenhuis de (𝑀,𝐽). Provemos que 𝑁𝐽 é de fato um tensor, i.e.𝑁𝐽(𝑓𝛼) = 𝑓𝑁𝐽(𝛼), para cada 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) e 𝛼 ∈ Ω1,0(𝑀). Seja, pois, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) e 𝛼 ∈ Ω1,0(𝑀).Pela regra de Leibniz:

𝑑(𝑓𝜔) = 𝑑𝑓 ∧ 𝜔 + 𝑓𝑑𝜔.

Se 𝜂𝑝,𝑞 denota a parte (𝑝, 𝑞)−forma da (𝑝 + 𝑞)−forma complexa 𝜂, 𝑑𝑓 se decompõe na soma𝑑𝑓 1,0 +𝑑𝑓 0,1, donde sendo 𝜔 uma (1, 0)−forma temos que 𝑑𝑓 ∧𝜔 tem uma componente (1, 1)−formae uma componente (2, 0)−forma. Assim, 𝜋0,2(𝑑𝑓 ∧ 𝜔) = 0 e temos

𝜋0,2(𝑑(𝑓𝜔)) = 𝜋0,2(𝑓𝑑𝜔) = 𝑓𝜋0,2(𝑑𝜔) = 𝑓𝑁𝐽(𝜔),

como queríamos.O seguinte resultado responde a pergunta que deu início a esta seção em função do tensor 𝑁𝐽 :

Teorema 2.5.1 (Newlander-Nirenberg). Seja (𝑀,𝐽) uma variedade quase complexa. Então

𝐽 é integrável ⇐⇒ 𝑁𝐽 = 0.

Demonstração. (⇐) Esta é a implicação altamente não-trivial do teorema. A prova é bastanteenvolvente e foge aos propósitos destas notas. Veja [N ].

(⇒). Como 𝐽 é integrável, 𝑀 admite um atlas holomorfo {(𝑈𝛼, 𝑧1𝛼, . . . , 𝑧

𝑛𝛼)}. Assim, {𝑑𝑧𝑖𝛼 :=

𝜙*𝛼𝑑𝑧

𝑖} é uma base local para 𝑇 1,0𝑀 (como observado em 2.4.6). Agora, como 𝑁𝐽 é um tensor,basta mostrarmos que 𝑁𝐽(𝑑𝑧𝑖𝛼) = 0 para concluir que 𝑁𝐽 = 0. Ora, 𝑁𝐽 = 𝜋0,2 ∘ 𝑑 e 𝑑(𝑑𝑧𝑖𝛼) = 0.Portanto, 𝑁𝐽(𝑑𝑧𝑖𝛼) = 𝜋0,2(0) = 0 como queríamos.

Corolário 2.5.2. Se 𝑀 é uma 2-variedade suave então toda estrutura quase-complexa 𝐽 em 𝑀 éintegrável.

Demonstração. Seja 𝐽 uma estrutura quase-complexa em 𝑀 . Como 𝑀 tem dimensão (real) 2,𝑇 1,0𝑝 𝑀 e 𝑇 0,1

𝑝 𝑀 são espaços de dimensão complexa 1, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 . Isso implica que Ω2,0(𝑀) =Ω0,2(𝑀) = {0}, i.e. Ω2

C(𝑀) = Ω1,1(𝑀). Em particular, 𝜋0,2 = 0.

Para enunciar o próximo resultado, precisamos introduzir o conceito de colchete de Lie decampos de vetores. Olhando vetores tangentes como derivações em 𝐶∞(𝑀), tem-se naturalmenteuma estrutura de álgebra de lie em Γ(𝑇𝑀) dada por

[𝑋, 𝑌 ](𝑓) := 𝑋(𝑌 (𝑓)) − 𝑌 (𝑋(𝑓)), ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀).

[·, ·] é dito o colchete de Lie de campos de vetores em 𝑀 . A partir desta definição, não é difícilmostrar que dada 𝛼 ∈ Ω1(𝑀) vale

𝑑𝛼(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋(𝛼(𝑌 )) − 𝑌 (𝛼(𝑋)) − 𝛼([𝑋, 𝑌 ]), ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀). (2.5.2)

82

De fato, por linearidade, basta verificar a fórmula para 1-formas do tipo 𝑓𝑑𝑢 com 𝑓 e 𝑢 funçõessuaves. Assim, por um lado

𝑑(𝑓𝑑𝑢)(𝑋, 𝑌 ) = 𝑑𝑓 ∧ 𝑑𝑢(𝑋, 𝑌 )= 𝑑𝑓(𝑋)𝑑𝑢(𝑌 ) − 𝑑𝑢(𝑋)𝑑𝑓(𝑌 )= (𝑋𝑓)(𝑌 𝑢) − (𝑋𝑢)(𝑌 𝑓).

Por outro lado,

𝑋(𝑓𝑑𝑢(𝑌 )) − 𝑌 (𝑓𝑑𝑢(𝑋)) − 𝑓𝑑𝑢([𝑋, 𝑌 ]) = (𝑋𝑓)(𝑌 𝑢) + 𝑓𝑋(𝑌 (𝑢)) − (𝑌 𝑓)(𝑋𝑢) − 𝑓𝑌 (𝑋(𝑢)) − 𝑓 [𝑋, 𝑌 ]𝑢= (𝑋𝑓)(𝑌 𝑢) − (𝑌 𝑓)(𝑋𝑢) (por definição de [·, ·]),

como queríamos.Em XC(𝑀), extendemos o colchete de Lie por linearidade: para cada 𝑋, 𝑌, ��, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), o

campo complexo [𝑋 + i𝑌, �� + i𝑌 ] é dado por

[𝑋 + i𝑌, �� + i𝑌 ] =([𝑋, ��] − [𝑌, 𝑌 ]

)+ i

([𝑋, 𝑌 ] + [𝑌, ��]

).

Considerando agora a extensão de 𝑑 para Ω𝑘C(𝑀) e a extensão de [·, ·] para XC(𝑀), a equação

(2.5.2) também é válida tomando-se 𝜔 ∈ Ω1C(𝑀).

Dado 𝑍 = 𝑋+i𝑌 ∈ XC(𝑀), definimos o campo conjundado 𝑍 da maneira natural: 𝑍 := 𝑋−i𝑌 .Uma conta simples com as definições mostra que para cada par 𝑍,𝑊 ∈ XC(𝑀) vale

[𝑍,𝑊 ] = [𝑍,𝑊 ]. (2.5.3)

Feitas as observações anteriores, podemos enunciar e provar o seguinte resultado.

Teorema 2.5.3. Seja (𝑀,𝐽) uma variedade quase-complexa. São equivalentes:

(a) [𝑇1,0𝑀,𝑇1,0𝑀 ] ⊆ 𝑇1,0;

(b) [𝑇0,1𝑀,𝑇0,1𝑀 ] ⊆ 𝑇0,1;

(c) 𝑑Ω1,0(𝑀) ⊆ Ω2,0(𝑀) ⊕ Ω1,1(𝑀) e 𝑑Ω0,1(𝑀) ⊆ Ω1,1(𝑀) ⊕ Ω0,2(𝑀);

(d) 𝑑Ω𝑝,𝑞(𝑀) ⊆ Ω𝑝+1,𝑞(𝑀) ⊕ Ω𝑝,𝑞+1(𝑀).

(e) 𝑁𝐽 ≡ 0;

Demonstração. (a) ⇐⇒ (b): Essa equivalência é consequência direta dos fatos (2.1.1) e (2.5.3).(a) e (b) ⇒ (c): Seja 𝜔 ∈ Ω1,0(𝑀). Queremos mostrar que 𝑑𝜔 não possui componente (0, 2)−forma.Para isso basta mostrar que 𝑑𝜔(𝑍,𝑊 ) = 0 sempre que 𝑍,𝑊 são campos complexos do tipo (0, 1).Ora, sendo 𝜔 uma (1, 0)−forma, sabemos que 𝜔(𝑍) = 0 para todo campo complexo 𝑍 do tipo(0, 1). Como vale (𝑏), a fórmula (2.5.2) implica que 𝑑𝜔(𝑍,𝑊 ) = 0 para todos 𝑍 e 𝑊 camposcomplexos do tipo (0, 1). Analogamente, usando (𝑎), provamos que se 𝜔 ∈ Ω0,1(𝑀) então 𝑑𝜔 = 0não possui componente em Ω2,0(𝑀). Isso completa a prova de (𝑐).

83

(c) ⇒ (d): Segue do fato que ΩC(𝑀) é localmente gerado por Ω0,0(𝑀), Ω1,0(𝑀) e Ω0,1(𝑀) (videseção 2.2).(d) ⇒ (e): Por (d) tem-se em particular que 𝑑Ω1,0(𝑀) ⊆ Ω2,0(𝑀)⊕Ω1,1(𝑀), logo 𝜋0,2 = 0. Assim,𝑁𝐽 = 𝜋0,2 ∘ 𝑑 = 0.(e) ⇒ (b): Sejam 𝑍 e 𝑊 campos complexos do tipo (0, 1). Dada 𝜔 ∈ Ω1,0(𝑀), por hipótese temosque 𝑑𝜔 ∈ Ω1,1(𝑀) ⊕ Ω2,0(𝑀) (i.e., 𝑑𝜔 não tem parte (0, 2)−forma). Então, pelo tipo de 𝑍 e 𝑊 ,temos que 𝑑𝜔(𝑍,𝑊 ) = 0. Logo, a fórmula (2.5.2) mostra que 𝜔([𝑋, 𝑌 ]) = 0. Pela arbitrariedadede 𝜔, segue que [𝑋, 𝑌 ] é do tipo (0, 1), como queríamos.

Dada uma variedade quase-complexa (𝑀,𝐽), considere para cada par de inteiros positivos 𝑝, 𝑞as projeções naturais (cf.2.2.1)

𝜋𝑝,𝑞 : Ω𝑝+𝑞C (𝑀) → Ω𝑝,𝑞(𝑀).

Pelo lema 2.2.2, o operador derivada exterior 𝑑 : Ω𝑝+𝑞C (𝑀) → Ω𝑝+𝑞+1

C (𝑀) se decompõe na soma

𝑑𝜔 = (𝜋𝑝+2,𝑞−1 ∘ 𝑑) ⊕ (𝜋𝑝+1,𝑞 ∘ 𝑑) ⊕ (𝜋𝑝,𝑞+1 ∘ 𝑑) ⊕ (𝜋𝑝−1,𝑞+2 ∘ 𝑑).

Agora note que a condição do item (e) do teorema 2.5.3 vale (i.e. 𝐽 é integrável) se, e somentese,

𝑑 = 𝜕 ⊕ 𝜕, (2.5.4)onde

𝜕 := 𝜋𝑝+1,𝑞 ∘ 𝑑 : Ω𝑝+𝑞C (𝑀) → Ω𝑝+1,𝑞(𝑀) e

𝜕 := 𝜋𝑝,𝑞+1 ∘ 𝑑 : Ω𝑝+𝑞C (𝑀) → Ω𝑝,𝑞+1(𝑀).

Neste caso, 𝜕 e 𝜕 são chamados os operadores de Dolbeault da variedade complexa 𝑀 .Assim, quando 𝑀 é uma variedade complexa, o fato que 𝑑2 = 0 juntamente com a decomposição

(2.5.4) implica que0 = 𝑑2 = 𝜕2 ⊕

(𝜕 ∘ 𝜕 + 𝜕 ∘ 𝜕

)⊕ 𝜕

2.

Portanto,𝜕2 = 0, 𝜕

2 = 0 e 𝜕 ∘ 𝜕 + 𝜕 ∘ 𝜕 = 0.Essas observações nos permitem introduzir teorias de cohomologias em variedades complexas.

Em particular, o fato que 𝜕2 = 0 dá origem à chamada cohomologia de Dolbeaut. O (𝑝, 𝑞)−ésimogrupo de cohomologia de Dolbeault de uma variedade complexa 𝑀 é o espaço vetorial definidopelo quociente

𝐻𝑝,𝑞(𝑀) :=ker

(𝜕 : Ω𝑝+𝑞

C (𝑀) → Ω𝑝,𝑞+1(𝑀))

im(𝜕 : Ω𝑝+𝑞

C (𝑀) → Ω𝑝,𝑞+1(𝑀)) .

Em seguida, para finalizar a seção, fixada 𝑀 variedade complexa, damos uma caracterizaçãoda holomorficidade de funções suaves 𝑀 → C em termos do operador 𝜕 de 𝑀 .

Proposição 2.5.4. Sejam 𝑀 uma variedade complexa e 𝑓 : 𝑀 → C uma função suave. Então,

𝑓 é holomorfa ⇐⇒ 𝜕𝑓 = 0.

84

Demonstração. Pela proposição 2.4.8, 𝑓 é holomorfa se, e somente se,

𝑑𝑓 ∘ 𝐽 = i𝑑𝑓, (2.5.5)

onde 𝐽 é a estrutura quase-complexa canônica de 𝑀 . Por outro lado, 0 = 𝜕𝑓 = (𝜋0,1 ∘ 𝑑)𝑓 se, esomente se, 𝑑𝑓 ∈ Ω1,0(𝑀) (uma vez que Ω1

C = Ω1,0(𝑀) ⊕ Ω0,1(𝑀)).Supondo 𝑓 holomorfa, segue que para cada 𝑋 ∈ X(𝑀) temos

𝑑𝑓(𝑋 + i𝐽𝑋) = 𝑑𝑓(𝑋) + i𝑑𝑓(𝐽𝑋)= 𝑑𝑓(𝑋) − 𝑑𝑓(𝑋) por (2.5.5)= 0.

Isso mostra que 𝑑𝑓 ∈ Ω1C(𝑀) se anula em campos complexos do tipo (0, 1), logo 𝑑𝑓 é uma

(1, 0)−forma (veja o lema 2.1.4 e seção 2.2), i.e. 𝜕𝑓 = 0.Por outro lado, se 𝑑𝑓 ∈ Ω1,0(𝑀) então existe 𝜑 ∈ Ω1(𝑀) (1-forma real) tal que 𝑑𝑓 = 𝜑 − i𝐽*𝜑

(novamente pelo lema 2.1.4). Daí, para cada 𝑋 ∈ X(𝑀) temos

𝑑𝑓(𝐽𝑋) = 𝜑(𝐽𝑋) − i𝜑(−𝑋)= (𝐽*𝜑)(𝑋) + i𝜑(𝑋)= i𝑑𝑓(𝑋).

Logo, 𝑓 é holomorfa.

2.6 Estruturas KählerDefinição 2.6.1 (Compatibilidade 𝑔 e 𝐽). Seja (𝑀, 𝑔, 𝐽) uma variedade riemanniana munida deuma estrutura quase-complexa 𝐽 . Dizemos que a métrica 𝑔 é compatível com 𝐽 quando

𝑔(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 ) = 𝑔(𝑋, 𝑌 ), ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), (2.6.1)

i.e., quando o endomorfismo 𝐽 é ortogonal (com respeito à 𝑔).

Observações:

• Note que 𝐽 é ortogonal se, e somente se, 𝑔(𝑋, 𝐽𝑌 ) = −𝑔(𝐽𝑋, 𝑌 ), para cada 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀).Ora, dados 𝜉, 𝜂 ∈ Γ(𝑇1,0𝑀), existem campos 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀) tais que 𝜉 = 𝑋 − i𝐽𝑋 e𝜂 = 𝑌 − i𝐽𝑌 . Assim, se definimos

⟨𝜉, 𝜂⟩𝐻 := 𝑔(𝑋, 𝑌 ) + 𝑔(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 ) + i(𝑔(𝐽𝑋, 𝑌 ) − 𝑔(𝑋, 𝐽𝑌 )),

então 𝐽 ortogonal implica que ⟨·, ·⟩𝐻 é um produto interno hermitiano em 𝑇1,0𝑀 . Recipro-camente,

𝑔(𝑋, 𝑌 ) = 12Re⟨𝜉, 𝜂⟩ ⇒ 𝐽 é ortogonal.

85

Por esse motivo, diz-se que uma métrica riemanniana 𝑔 compatível com uma estrutura quase-complexa 𝐽 é uma métrica hermitiana. Neste caso chamamos a tripla (𝑀, 𝑔, 𝐽) de variedadehermitiana3.

• Toda variedade quase-complexa (𝑀,𝐽) admite uma métrica hermitiana. Para ver isso, tomeinicialmente 𝑔0 uma métrica riemanniana em 𝑀 (cuja existência é garantida por argumentopadrão via partição da unidade). Em seguida, defina

𝑔(𝑋, 𝑌 ) := 12 (𝑔0(𝑋, 𝑌 ) + 𝑔0(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 )) , ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀). (2.6.2)

É claro que 𝑔 é uma métrica riemanniana em 𝑀 . Além disso, notando que 𝐽2 = −𝐼𝑑, porconstrução temos 𝑔(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 ) = 𝑔(𝑋, 𝑌 ), para cada 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀). Logo, 𝑔 é uma métricahermitiana em 𝑀 . Note que o fator 1/2 na definição de 𝑔 poderia ser qualquer real positivo,mas este em particular garante que caso 𝑔0 já seja hermitiana tenhamos 𝑔 = 𝑔0.

• Quando 𝐽 é compatível com 𝑔 está naturalmente definida 𝜔 ∈ Ω2(𝑀) dada por

𝜔(𝑋, 𝑌 ) := 𝑔(𝑋, 𝐽𝑌 ), ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀).

𝜔 é dita a 2−forma fundamental associada à variedade hermitiana (𝑀, 𝑔, 𝐽). Note que 𝜔 é,de fato, uma 2-forma em 𝑀 : por construção é um (0, 2)-tensor e

𝜔(𝑋, 𝑌 ) = 𝑔(𝑋, 𝐽𝑌 )= −𝑔(𝐽𝑋, 𝑌 ) (𝐽 é ortogonal)= −𝑔(𝑌, 𝐽𝑋) (𝑔 é simétrica)= −𝜔(𝑌,𝑋),

para cada 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀). Note ainda que 𝜔 é não-degenerada: com efeito, se 𝜔(𝑋, 𝑌 ) = 0para todo 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), então em particular 0 = 𝜔(𝑋, 𝐽𝑋) = −𝑔(𝑋,𝑋), donde a positividadede 𝑔 garante que 𝑋 = 0 ∈ Γ(𝑇𝑀).

Definição 2.6.2. Uma estrutura simplética numa variedade diferenciável 𝑀 é uma 2−formafechada e não-degenerada 𝜔 ∈ Ω2(𝑀). Ao par (𝑀,𝜔) dá-se o nome de variedade simplética.

Observações:

• A não-degenerecência de 𝜔 implica que a dimensão de 𝑀 é par e que 𝜔𝑛 = 𝜔∧ . . .∧𝜔 é umaforma volume em 𝑀 , quando 𝑛 = dimR𝑀 . Logo toda variedade simplética é necessariamenteorientával (veja [Lee ]).

3Nota de aviso: existem autores que definem variedades hermitianas adicionando à nossa definição a condiçãode 𝐽 ser integrável.

86

• Toda variedade quase-complexa admite uma estrutura simplética. De fato, já observamosque toda variedade quase-complexa (𝑀,𝐽) admite uma métrica 𝑔 compatível com a estruturaquase-complexa 𝐽 , e a escolha de uma tal métrica dá origem à uma 2-forma simplética em𝑀 , a saber, a 2-forma fundamental associada ao par (𝑔, 𝐽). Em particular, pela observaçãoanterior, isso fornece uma demonstração de que toda variedade quase-complexa é orientável.

Acabamos de ver a noção de compatibilidade entre estruturas quase-complexas e métricasriemannianas. A seguir definiremos a noção de compatibilidade entre estruturas simpléticas eestruturas quase-complexas.

Definição 2.6.3 (Compatibilidade entre 𝜔 e 𝐽). Seja (𝑀,𝜔, 𝐽) uma variedade simplética munidade uma estrutura quase-complexa 𝐽 . Dizemos que 𝐽 e 𝜔 são compatíveis quando

𝑔𝐽(𝑋, 𝑌 ) := 𝜔(𝐽𝑋, 𝑌 ), ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), (2.6.3)

define uma métrica riemanniana em 𝑀 .

Note que a condição de compatibilidade entre 𝜔 e 𝐽 é equivalente ao seguinte par de condições:

1. 𝜔(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 ) = 𝜔(𝑋, 𝑌 ), ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀);

2. 𝜔(𝐽𝑋,𝑋) > 0, ∀𝑋 = 0.

De fato:(⇒) Suponha que 𝜔 e 𝐽 sejam compatíveis. Vamos mostrar que valem as condições 1. e

2. anteriores. Note que a condição 2. é exatamente a hipótese da positividade de 𝑔𝐽 (métricariemanniana). Assim, basta mostrarmos 1. Começamos afirmando que a métrica 𝑔𝐽 definida em(2.6.3) é compatível com 𝐽 - no sentido de (2.6.1). Com efeito, para qualquer par de campos𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), temos:

𝑔𝐽(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 ) = 𝜔(𝐽2𝑋, 𝐽𝑌 ) (por definição)= −𝜔(𝑋, 𝐽𝑌 ) (𝐽2 = −𝐼𝑑)= 𝜔(𝐽𝑌,𝑋) (𝜔 é 2−forma)= 𝑔𝐽(𝑌,𝑋) (por definição)= 𝑔𝐽(𝑋, 𝑌 ), (por simetria de 𝑔𝐽 - hipótese)

provando a afirmação. Agora, provamos que vale 1.: para cada 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀), temos

𝜔(𝐽𝑋, 𝐽𝑌 ) − 𝜔(𝑋, 𝑌 ) = 𝑔𝐽(𝑋, 𝐽𝑌 ) + 𝑔𝐽(𝐽𝑋, 𝑌 ) (por definição e 𝐽2 = −𝐼𝑑)= −𝑔𝐽(𝐽𝑋, 𝑌 ) + 𝑔𝐽(𝐽𝑋, 𝑌 ) (pois 𝑔𝐽 é compatível com 𝐽 e 𝐽2 = −𝐼𝑑)= 0,

completando a prova.

87

(⇐) Suponha que vale as condições 1. e 2. acima enunciadas. Por 2. o 2-tensor 𝑔𝐽 definido em(2.6.3) é positivo definido. Resta mostrar que 𝑔𝐽 é simétrico. Para tanto, calculamos, para cada𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀):

𝑔𝐽(𝑋, 𝑌 ) = 𝜔(𝐽𝑋, 𝑌 ) (por definição)= −𝜔(𝑋, 𝐽𝑌 ) (por 1. e 𝐽2 = −𝐼𝑑)= 𝜔(𝐽𝑌,𝑋) (𝜔 é 2−forma)= 𝑔𝐽(𝑌,𝑋). (por definição)

Isto completa a demonstração.

Finalmente, definiremos o tipo de variedade que carrega as três estruturas discutidas até agorade maneira compatível:Definição 2.6.4 (Variedades (quase-)Kähler). Seja (𝑀,𝐽) uma variedade (quase-)complexa. Di-zemos que 𝑀 é uma variedade (quase-)Kähler quando admite uma métrica hermitiana 𝑔 cuja2−forma fundamental 𝜔 é fechada, i.e. 𝑑𝜔 = 0. Neste caso, 𝑔 é dita uma métrica (quase-)Kählere 𝜔 a forma (quase-)Kähler de 𝑀 .

Note que, de fato, numa variedade (quase-)Kähler (𝑀, 𝑔, 𝐽, 𝜔) as três estruturas (𝑔, 𝐽 e 𝜔) sãocompatíveis entre si, no sentido em que 𝐽 é uma estrutura (quase-)complexa compatível com amétrica riemanniana 𝑔, 𝜔 é uma forma simplética compatível com 𝐽 e, por fim, 𝑔 = 𝑔𝐽 é a métricainduzida pela compatibilidade entre 𝜔 e 𝐽 .

Exercício: Se {𝑒1, . . . , 𝑒𝑛, 𝑓 1, . . . , 𝑓𝑛} é uma base ortonormal de 𝑇𝑥𝑀 , mostre que

𝜔 =∑𝑘

𝑒𝑘 ∧ 𝑓𝑘, e 𝜔𝑛 = 𝑛! (*𝑔1) = 𝑛! d𝑉𝑔.

A seguir damos alguns exemplos de variedades Kähler.Exemplo 2.6.5. R2𝑛 com as estruturas canônicas 𝐽 = 𝐽𝑛0 e 𝑔 = 𝑔0 = ∑

𝑖 𝑑𝑥𝑖⊗𝑑𝑥𝑖 é uma variedade

Kähler com 2-forma fundamental𝜔 = i

2

𝑛∑𝑖=1

𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝑥𝑖+𝑛.

Exemplo 2.6.6. Seja (𝑀,𝐽) uma variedade complexa de dimensão 1 (i.e., 𝑀 é curva complexa).Esse tipo de variedade recebe o nome de superfície de Riemann. Para cada 𝑔 métrica hermitianaem (𝑀,𝐽) (vide existência 2.6.2), a 2−forma fundamental associada 𝜔 é fechada por questão dedimensão. Logo, toda métrica hermitiana em 𝑀 é Kähler.Exemplo 2.6.7. Um exemplo importante de variedade Kähler (compacta) é o espaço projetivocomplexo CP𝑛. Para vermos isso, precisamos entender como este espaço possui uma métricaKähler natural, chamada métrica de Fubini-Study. Um jeito de fazer isso é olhar CP𝑛 como oquociente 𝑆2𝑛+1/𝑆1 pela ação natural de 𝑆1 em 𝑆2𝑛+1, dada por

𝛼 : 𝑆1 × 𝑆2𝑛+1 → 𝑆2𝑛+1

(𝑧, (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛+1)) ↦→ (𝑧𝑧1, . . . , 𝑧𝑧𝑛+1). (2.6.4)

88

Tendo em mente a definição 2.4.4, note que todo complexo não-nulo 𝜆 ∈ C* pode ser escrito como𝜆 = 𝑟 exp i𝜃, com 𝑟 ∈ R+ e exp (i𝜃) ∈ 𝑆1 = {𝑧 ∈ C : |𝑧|= 1}. Logo, a aplicação quocienteC𝑛+1 ∖ {0} → CP𝑛 se quebra na parte que identifica (1) 𝑥 ∼ R+ · 𝑥 (ação de R+ por dilatação)seguida da parte que identifica (2) 𝑥 ∼ 𝑆1 · 𝑥 (ação de 𝑆1 por rotação):

C𝑛+1 ∖ {0} (1)−→ 𝑆2𝑛+1 (2)−→ CP𝑛,

como queríamos.Feito isso, observe que a métrica redonda �� em 𝑆2𝑛+1, i.e. o pull-back pela inclusão da mé-

trica euclidiana de R2𝑛+2, é invariante pela ação de 𝑆1 descrita acima. Isso nos permite definiruma métrica riemanniana em CP𝑛 tomando o quociente da métrica redonda em 𝑆2𝑛+1, i.e. se𝜋 : 𝑆2𝑛+1 → CP𝑛 é a projeção no quociente então 𝑔𝐹𝑆 é única tal que �� = 𝜋*𝑔𝐹𝑆. Esta é achamada métrica de Fubini-Study. Pode-se mostrar que 𝑔𝐹𝑆 é de fato uma métrica Kähler. Parauma construção mais detalhada via construção explícita (em coordenadas locais) da forma Kählerassociada vide [KN2 ], [M ] e [Marcelo ].

Um caso especial acontece quando 𝑛 = 1. De fato, neste caso temos a identificação CP1 ≃ 𝑆2

e, em coordenadas, a expressão da restrição de 𝑔𝐹𝑆 ao fibrado tangente real de 𝑆2 é exatamente àda métrica redonda de raio 1/2 em 𝑆2:

𝑔𝐹𝑆 = Re(𝑑𝑧 ⊗ 𝑑𝑧)(1 + |𝑧|2)2 = 1

4 ��.

89

Capítulo 3

Fibrados Vetoriais Reais e Complexos

3.1 Definições e ExemplosSeja 𝑀 variedade diferenciável de dimensão dim𝑀 = 𝑛. Um fibrado vetorial complexo (ou real)

de posto 𝑟 sobre 𝑀 é uma variedade diferenciável 𝐸 juntamente com uma aplicação diferenciável𝜋 : 𝐸 → 𝑀 satisfazendo as seguintes condições:

1. 𝜋 é sobrejetiva;

2. para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , 𝐸𝑝 = 𝜋−1(𝑝) é um espaço vetorial sobre o corpo K de dimensão 𝑟;

3. para cada ponto 𝑝 ∈ 𝑀 , existe uma vizinhaça 𝑈 de 𝑝 e uma aplicação suave 𝜑𝑈 : 𝜋−1(𝑈) →𝑈 × K𝑟 tal que o seguinte diagrama comuta:

𝜋−1(𝑈) 𝜑𝑈−−−−−→ 𝑈 × K𝑟

𝜋 ↘ ↘ 𝜋1𝑈

e tal que para cada 𝑞 ∈ 𝑈 a restrição 𝜑𝑈 |𝐸𝑞 : 𝐸𝑞 → K𝑟 é um isomorfismo. Neste diagrama 𝜋1denota a projeção no primeiro fator. Note que sendo esse diagrama comutativo temos que𝜑𝑈(𝑥) = (𝜋(𝑥), 𝜏𝑈(𝑥)), onde 𝜏𝑈 : 𝜋−1(𝑈) → 𝐾𝑟. E para cada 𝑞 ∈ 𝑈 a restrição 𝜏𝑈 |𝐸𝑞 : 𝐸𝑞 → K𝑟

é um isomorfismo.

Aqui K é o corpo dos complexos ou reais dependendo se o fibrado vetorial é complexo ou real,respectivamente. O espaço vetorial 𝐸𝑝 é chamado de fibra de 𝐸 sobre 𝑝, enquanto a aplicação 𝜑𝑈é chamada uma trivialização local de 𝐸 e 𝑟 é dito posto do fibrado.

Em outras palavras, um fibrado vetorial real (ou complexo) 𝐸 → 𝑀 é uma família de espaçosvetoriais reais (ou complexo) parametrizada por 𝑀 que é localmente um produto do espaço deparâmetros com um espaço vetorial real (ou complexo).

Definição 3.1.1 (Subfibrados). Seja 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial. Um subfibrado de 𝐸 consisteem um subconjunto 𝐹 ⊂ 𝐸 tal que a projeção e as trivializações locais de 𝐸 dão a 𝐹 uma estruturade fibrado vetorial. As fibras de 𝐹 , digamos 𝐹𝑝, são subespaços vetoriais das fibras de 𝐸, 𝐸𝑝.

91

Exemplo 3.1.2 (Fibrado trivial). Um exemplo simples de fibrado de posto 𝑟 sobre 𝑀 é a variedadeproduto 𝐸 = 𝑀 × K𝑟 com 𝜋 = 𝑝1 : 𝐸 = 𝑀 × K𝑟 → 𝑀 sua projeção (e a identidade sua aplicaçãode trivialização global).

Exemplo 3.1.3 (O fibrado tangente como um fibrado vetorial real). . Seja 𝑀𝑛 uma variedadediferenciável e 𝑇𝑀 seu fibrado tangente com sua projeção natural 𝜋, e sua estrutura natural deespaço vetorial real em cada fibra, e sua estrutura de variedade construida no capítulo 1, assim𝑇𝑀 é um fibrado vetorial real de posto 𝑛 sobre 𝑀 . Dado (𝑈,𝜙) carta local de 𝑀 com (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)

funções coordenadas, defina 𝜑𝑈 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑛 por 𝜑(∑

𝑖

𝑣𝑖𝜕

𝜕𝑥𝑖

)= (𝑝, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑛) ∈ 𝑈 × R𝑛,

onde{𝜕

𝜕𝑥𝑖

}é base de 𝑇𝑝𝑀 ; é fácil verificar que 𝜑 é linear nas fibras e satifaz 𝜋1 ∘ 𝜑 = 𝜋. A

composição𝜋−1(𝑈) 𝜑−−−−→ 𝑈 × R𝑛 𝜙×𝑖𝑑R𝑛−−−−−−−−→ 𝜙(𝑈) × R𝑛

é igual a 𝜙 como 𝜙 e 𝜙× 𝑖𝑑R𝑛 são difeomorfismos, 𝜑 também o é, onde 𝜙 é carta induzida por 𝜙.

Exemplo 3.1.4 (Fibrado tautológico). Tomemos o fibrado trivial C𝑛 = P𝑛×C𝑛. Definimos comofibrado tautológico o subfibrado de posto 1 de C𝑛, e denotamos por 𝐸(𝛾1

𝑛), o seguinte conjunto𝐸(𝛾1

𝑛) = {([𝑤], 𝑣) ∈ P𝑛 × C𝑛; existe 𝜆 ∈ C tal que 𝑣 = 𝜆𝑤}.

3.2 Funções de TransiçãoCada fibrado vetorial real define um conjunto de funções de transição. Mais precisamente,

considere o fibrado vetorial real 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 , e seja {𝑈𝛼}𝛼∈Λ uma cobertura aberta de 𝑀 tal que𝜑𝛼 : 𝜋−1(𝑈𝛼) → 𝑈𝛼 × R𝑟 são as trivializaçãoes locais. Se 𝑈𝛼𝛽 := 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅, podemos consideraras aplicações

𝑈𝛼𝛽 × C𝑟𝜑−1

𝛽−→ 𝜋−1(𝑈𝛼𝛽) 𝜑𝛼−→ 𝑈𝛼𝛽 × C𝑟 e defina 𝑔𝛼𝛽 := 𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽

𝑔𝛼𝛽 = 𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × R𝑟 → 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × R𝑟

que são chamadas de funções de transição de 𝐸 com respeito a cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Λ.

Observação 3.2.1. Observe que as funções de transição 𝑔𝛼𝛽 satisfazem as seguintes condi-çoes:

1. 𝑔𝛼𝛽 = 𝑔−1𝛽𝛼 em 𝑈𝛼𝛽 × R𝑟

2. 𝑔𝛼𝛽𝑔𝛽𝛾𝑔𝛾𝛼 = 𝑖𝑑 em 𝑈𝛼𝛽𝛾 × R𝑟

3. 𝑔𝛼𝛼 = 𝑖𝑑 em 𝑈𝛼 × R𝑟

Com efeito, 𝑔𝛼𝛽𝑔𝛽𝛾𝑔𝛾𝛼 = (𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽 ) ∘ (𝜑𝛽 ∘ 𝜑−1

𝛾 ) ∘ (𝜑𝛾 ∘ 𝜑−1𝛼 ) = 𝑖𝑑. As condições acima são

chamadas de condição de cociclo.

92

Por outro lado, tendo em conta o conjunto de funções de transição, é possível reconstruir ofibrado 𝐸.

Proposição 3.2.2. Seja 𝑀 uma variedade diferenciável, {𝑈𝛼}𝛼∈Λ uma cobertura aberta de 𝑀 , eseja 𝜏𝛼𝛽 uma coleção de funções diferenciável

𝜏𝛼𝛽 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → GL(R𝑟) ,

satisfazendo𝜏𝛼𝛽𝜏𝛽𝛾𝜏𝛾𝛼 = 𝑖𝑑 , sobre 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 .

Então existe um fibrado vetorial real 𝐸 → 𝑀 de posto 𝑟 com trivialização local

𝜑𝛼 : 𝜋−1(𝑈𝛼) → 𝑈𝛼 × R𝑟

satisfazendo 𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽 (𝑝, 𝑣) = (𝑝, 𝜏𝛼𝛽(𝑝)𝑣).

Antes da demonstração dessa proposição faremos o seguinte lema técnico:

Lema 3.2.3. Sejam 𝑀 uma variedade suave, 𝑟 ∈ 𝑁 e, para cada 𝑝 ∈ 𝑀,𝐸𝑝 um espaço vetorialreal r-dimensional; sejam também 𝐸 = ⨿𝑝∈𝑀𝐸𝑝 e𝜋 : 𝐸 → 𝑀 aplicação tal que 𝜋(𝐸𝑝) = 𝑝 suponha dados:

1. Uma cobertura aberta {𝑈𝛼}𝛼∈Λ de 𝑀 ;

2. Para cada 𝛼 ∈ Λ, uma bijeção 𝜑𝛼 : 𝜋−1(𝑈𝛼) −→ 𝑈𝛼 × R𝑟 cuja restrição a cada 𝐸𝑝 é umisomorfismo linear entre 𝐸𝑝 e {𝑝}×R𝑟, munido da estrutura canônica de espaço vetorial real𝑟-dimensional;

3. Para cada 𝛼, 𝛽 ∈ Λ tais que 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅, uma aplicaçãoo suave 𝑔𝛼𝛽 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 −→ 𝐺𝐿(𝑟;R)tal que a composição 𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1

𝛽 de (𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽) × R𝑟 para si mesmo tem a forma

(𝜑𝛼 ∘ 𝜑−1𝛽 )(𝑝, 𝑣) = (𝑝, 𝑔𝛼𝛽(𝑝)𝑣).

Então 𝐸 tem uma única estrutura de variedade suave tal que 𝜋 : 𝐸 −→ 𝑀 é um fibrado vetorialsuave de posto 𝑟 tendo as aplicações 𝜑𝛼 como trivializações locais.

A proposição acima nos ajuda a formar novos fibrados vetoriais aparir de dois fibrados 𝐸 e 𝐹sobre o mesmo espaço base 𝑀 . Assuma que 𝐸 e 𝐹 são dados por funções de transição 𝑔𝛼𝛽 ∈ GL(R𝑟)e ℎ𝛼𝛽 ∈ GL(C𝑠), respectivamente. Então podemos definir os fibrados:

• 𝐸 ⊕ 𝐹 é o fibrado dado pelas funções de transição

𝑘𝛼𝛽 =(𝑔𝛼𝛽 00 ℎ𝛼𝛽

)∈ GL(R𝑟+𝑠) ;

• 𝐸 ⊗ 𝐹 é o fibrado dado pelas funções de transição

𝑘𝛼𝛽 = 𝑔𝛼𝛽 ⊗ ℎ𝛼𝛽 ∈ GL(R𝑟 ⊗ R𝑠) ;

93

• Λ𝑝𝐸 é o fibrado dado pelas funções de transição

𝑘𝛼𝛽 = Λ𝑝𝑔𝛼𝛽 ∈ GL(Λ𝑝R𝑟) ;

• 𝐸* é o fibrado dado pelas funções de transição

𝑘𝛼𝛽 = 𝑔𝛼𝛽t ∈ GL(R𝑟) ;

e assim por diante. É fácil ver que (𝐸 ⊕ 𝐹 )𝑥 = 𝐸𝑥 ⊕ 𝐹𝑥, (𝐸 ⊗ 𝐹 )𝑥 = 𝐸𝑥 ⊗ 𝐹𝑥, etc.

O fibrado das 𝑝-formas sobre 𝑀 é definido como Λ𝑝(𝑇𝑀). Um procedimento padrão emalgumas disciplinas de matemática é conhecido como pull-back. Agora apresentaremos umaversão deste em Fibrados Vetoriais.

Seja 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 uma aplicação diferenciável entre variedades e um fibrado de posto 𝑟 sobre 𝑁 .A aplicação 𝑓 induz sobre 𝑀 um fibrado de posto 𝑟 que representaremos por 𝑓 *𝐸. denominadofibrado pull-back de 𝐸. Explicitamente temos

𝑓 *𝐸 = {(𝑝, 𝑥) ∈ 𝑀 × 𝐸; 𝑓(𝑝) = 𝜋(𝑥)}.

Este é o único subconjunto maximal de 𝑀 × 𝐸 tal que o diagrama:

𝑓 *𝐸𝜋2−−−−→ 𝐸

𝜋1 ↓ ↓ 𝜋𝑀

𝑓−−−−→ 𝑁

comuta. Seja 𝜋1 : 𝑓 *𝐸 → 𝐸 a aplicação 𝜋1(𝑝, 𝑥) = 𝑝 e 𝜑𝛼 : 𝜋−1(𝑈𝛼) → 𝑈𝛼 × R𝑟 trivializaçãolocal para 𝐸. Por definição de 𝑓 *𝐸 temos uma bijeção entre 𝐸𝑓(𝑝) e a fibra 𝜋−1

1 (𝑝) = (𝑓 *𝐸)𝑝 queinduz uma estrutura de espaço vetorial, neste último. Pondo 𝑉𝛼 = 𝑓−1(𝑈𝛼) temos uma bijeção

𝜑*𝛼 : 𝜋−1

1 (𝑉𝛼) → 𝑉𝛼 × R𝑟

dada por 𝜑*𝛼(𝑝, 𝑥) = (𝑝, 𝑝2𝜑(𝑥)), onde 𝑝2 : 𝑈𝛼 × R𝑟 → R𝑟 é a projeção no segundo fator. Se dá a

𝑓 *𝐸 a topologia que faz as funções 𝜑*𝛼 homeomorfismo.

Uma aplicação suave entre fibrados vetoriais 𝐸 e 𝐹 é uma aplicação suave 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 tal que𝑓(𝐸𝑝) ⊂ 𝐹𝑓(𝑝) e 𝑓 |𝐸𝑝 : 𝐸𝑝 → 𝐹𝑓(𝑝) é linear para cada 𝑝 ∈ 𝑀 . Um isomorfismo 𝑔 : 𝐸 → 𝐸 deum fibrado vetorial 𝐸 é chamado automorfismos ou transformação de calibre de 𝐸; note que oconjunto das transfomação de calibre de um fibrado vetorial forma um grupo, denotado por 𝒢(𝐸).

3.3 SeçõesUma seção 𝜎 de um fibrado vetorial real 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 sobre 𝑈 ⊂ 𝑀 é uma aplicação suave

𝑠 : 𝑈 → 𝐸 tal que 𝜋 ∘ 𝑠 = 𝑖𝑑𝑈 , i.e. 𝑠(𝑝) ∈ 𝐸𝑝. A seção 𝜎 é dita global se está definida sobre toda𝑀 . O conjunto de todas as seções globais de 𝐸, denotado por Γ(𝐸), é um espaço vetorial real, etem estrutura de um 𝐶∞(𝑀)-módulo, dada por:

𝐶∞(𝑀) × Γ(𝐸) → Γ(𝐸)

94

(𝑓, 𝑠) ↦→ 𝑓𝑠.

Onde (𝑓𝑠)(𝑝) = 𝑓(𝑝)𝑠(𝑝). Denotamos Γ(𝑈 ;𝐸), ou Γ(𝐸|𝑈) o conjunto de todas as seções locaissobre 𝑈 .

Exemplo 3.3.1. Considere o fibrado trivial de posto 1 sobre 𝑀 então, Γ(𝑀 × R) ∼= 𝐶∞(𝑀 ;R).Com efeito, dada 𝑠 ∈ Γ(𝑀 × R) como 𝜋1 ∘ 𝑠 = 𝑖𝑑𝑀 temos que 𝑠(𝑝) = (𝑝, 𝑓(𝑝)) onde 𝑓 : 𝑀 → R,donde segue o afirmado.

Definição 3.3.2. Um referencial local de 𝐸 é um conjunto de seções locais 𝑠𝑖 ∈ Γ(𝑈), 𝑖 =1, . . . , 𝑟, tal que {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)} é base de 𝐸𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑈.

Exemplo 3.3.3 (A seção nula). Dado um fibrado vetorial real 𝐸 sobre 𝑀 considere a seção𝑂 : 𝑀 → 𝐸 que a cada 𝑝 ∈ 𝑀 associa 𝑜𝑝 ∈ 𝐸𝑝, 𝑜𝑝 onde é o vetor nulo, 𝑂 é suave. Com efeito,dada uma trivialização local 𝜑 temos que 𝜑−1(𝑝, 0) = 𝑂(𝑝), 0 ∈ R𝑟.

Observe que quando 𝐸 = 𝑇𝑀 o conjunto das seções Γ(𝑀) = X(𝑀), é o conjunto dos camposde vetores de 𝑀 .

Proposição 3.3.4. Sejam 𝜋 : 𝐸 −→ 𝑀 um fibrado vetorial, 𝑈 ⊂ 𝑀 aberto. Trivializar 𝑈 equivalea escolha de um referencial local sobre 𝑈 .

Demonstração. Dada uma trivialização local 𝜑 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑟, defina 𝑠𝑖(𝑝) = 𝜑−1(𝑝, 𝑒𝑖)onde {𝑒𝑖}𝑟𝑖=1 é a base canônica de R𝑟. {𝑠𝑖}𝑟𝑖=1 assim definido é um referencial local, de fato(𝑝, 𝑒𝑖) = 𝜑(𝑠𝑖(𝑝)) = (𝜋(𝑠𝑖(𝑝)), 𝜏(𝑠𝑖(𝑝)) donde 𝑝 = 𝜋(𝑠𝑖(𝑝)) e 𝑒𝑖 = 𝜏(𝑠𝑖(𝑝)) donde segue que 𝑠𝑖 sãoseções, agora como 𝜏 |𝐸𝑝 é isomorfismo, portanto leva base em base, ou seja, {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)} ébase de 𝐸𝑝 para todo 𝑝 ∈ 𝑈. Se um referencial local {𝑠1, . . . , 𝑠𝑟} sobre 𝑈 é dado, a trivializaçãocorrespondente 𝜑 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑟 é dada por 𝜑(𝑥) = 𝜑 (∑𝑟

𝑖=1 𝑣𝑖(𝑝)𝑠𝑖(𝑝)) = (𝑝, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑟), onde

𝑣𝑖(𝑝) são os coeficientes de 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 na base {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)}.

Corolário 3.3.5. Um fibrado vetorial 𝜋 : 𝐸 −→ 𝑀 é trivial se e só se existe um referencial globalsuave para 𝜋.

Definição 3.3.6. Uma variedade diferenciável 𝑀 cujo fibrado tangente é trivial é chamada para-lelizável.

Exemplo 3.3.7. Todo grupo de lie 𝐺 é paralelizável. De fato, seja 𝐺 um grupo de lie, então atranslação a esquerda 𝐿𝑔 é um difeomorfismo de 𝐺 em 𝐺. Seja 𝑒 ∈ 𝐺 o elemento neutro de 𝐺.Então a diferencial (𝑑𝐿𝑔)𝑒 é um isomorfismo entre 𝑇𝑒𝐺 e 𝑇𝑔𝐺, assim, seja {𝑣1, . . . , 𝑣𝑛} base de𝑇𝑒𝐺 e defina 𝑠𝑖 : 𝐺 → 𝑇𝐺 dadas por

𝑠𝑖(𝑔) = (𝑑𝐿𝑔)𝑒𝑣𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Essas funções dependem suavemente em 𝑥 e também 𝑠𝑖(𝑔) ∈ 𝑇𝑔𝐺. Ou seja, elas são seções suavesdo fibrado tangente de G. Como também (𝑑𝐿𝑔)𝑒 manda bases em bases, {𝑠𝑖(𝑔)}𝑛𝑖=1 é um referencialglobal.

95

Exemplo 3.3.8. S2 não é paralelizável. Com efeito, segue do teorema de Poincaré que todo campovetorial contínuo em S2 tem pelo menos um zero, logo não existe referencial global em 𝑇S2.

Proposição 3.3.9. Sejam 𝐸,𝐹 fibrados sobre 𝑀 . Então, existe o seguinte isomorfismo

Γ(𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )) = 𝐻𝑜𝑚𝐶∞(𝑀)(Γ(𝐸),Γ(𝐹 )).

Demonstração. Por definição, Γ(𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )) é o espaço das seções suaves de 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 ). Dado𝜙 ∈ Γ(𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )) defina o homomorfismo 𝐶∞(𝑀)-linear,

𝐹 : Γ(𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )) −→ 𝐻𝑜𝑚(Γ(𝐸),Γ(𝐹 ))

𝜙 ↦ −→ 𝐹 ( 𝜙)por

𝐹 ( 𝜙)(𝑠) = 𝜙 ∘ 𝑠, 𝑠 ∈ Γ(𝐸).temos que 𝜙 : 𝑀 −→ 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 ) e 𝑠 : 𝑀 −→ 𝐸 com 𝜋𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 ) ∘ 𝜙 = 𝑖𝑑𝑀 e 𝜋𝐸 ∘ 𝑠 = 𝑖𝑑𝑀 ,

i.e., 𝑠(𝑝) ∈ 𝐸𝑝 e 𝜙(𝑝) ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )𝑝 = 𝐻𝑜𝑚(𝐸𝑝, 𝐹𝑝) 𝑝 ∈ 𝑀 , ou seja, ( 𝜙 ∘ 𝑠)(𝑝) = 𝜙(𝑝)𝑠(𝑝) ∈ 𝐹𝑝.Donde 𝜙 ∘ 𝑆 ∈ Γ(𝐹 ).

Suponha que 𝐹 ( 𝜙) = 0. Para verificar a injetividade de 𝐹 , mostraremos que 𝜙𝑝 : 𝐸𝑝 −→ 𝐹𝑝é o homomorfismo nulo para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , ou seja, 𝜙 é seção nula de 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 ). Fixe 𝑝 ∈ 𝑀 e𝑣 ∈ 𝐸𝑝. Existe uma seção 𝑠𝑣 ∈ Γ(𝐸) com 𝑠𝑣(𝑝) = 𝑣. De fato, localmente numa vizinhança 𝑈 de𝑝 trivializante podemos sempre obter uma seção local 𝑠𝑣 com a propriedade desejada. Agora, seja𝑓 : 𝑛 −→ R com 𝑆𝑢𝑝𝑝(𝑓) ⊂ 𝑈 e 𝑓(𝑝) = 1 e defina 𝑠𝑣 := 𝑓 𝑠𝑣.

Agora 𝐹 ( 𝜙)(𝑠𝑣) = 0 implica 𝜙 ∘ 𝑠𝑣 = 0, donde 𝜙𝑝 · 𝑠𝑣(𝑝) = 0. Logo, 𝜙𝑝(𝑣) = 0. Como 𝑣 ∈ 𝐸𝑝é arbitrário, 𝜙𝑝 é o homomorfismo nulo. Como 𝑝 ∈ 𝑀 é arbitrário, 𝜙 é a seção nula e portanto𝐹 é injetiva. Quanto a sobrejetividade, seja Φ ∈ 𝐻𝑜𝑚(Γ(𝐸),Γ(𝐹 )), defina 𝜙 : 𝐸 −→ 𝐹 por𝜙𝑝(𝑣) = Φ(𝑠𝑣)(𝑝) onde 𝑠𝑣 ∈ Γ(𝐸) é a seção tal que 𝑠𝑣(𝑝) = 𝑣. 𝜙 está bem definido, de fato, se𝑠𝑣 e 𝑠′

𝑣 são seções tais que 𝑠𝑣(𝑝) = 𝑠′𝑣(𝑝) = 𝑣 temos Φ(𝑠𝑣)(𝑝) = Φ(𝑠′

𝑣)(𝑝) ou em outras palavras se𝑠(𝑝) = 0,Φ(𝑠)(𝑝) = 0. Seja {𝑒1, . . . , 𝑒𝑟} um referencial local numa vizinhança 𝑈 de 𝑝.

Novamente isto pode ser feito localmente e as seções locais podem ser extendidas a seçõesglobais como acima. Agora,

𝑠(𝑥) =𝑟∑𝑖=1

𝑓𝑖(𝑥)𝑒𝑖(𝑥);𝑥 ∈ 𝑈

e 𝑓𝑖 funções suaves definidas em 𝑈 . Seja 𝜆 ∈ 𝐶∞(𝑀) com 𝑆𝑢𝑝𝑝(𝜆) ⊂ 𝑈 e 𝜆(𝑝) = 1. Então

Φ(𝑠) = Φ(𝜆𝑠+ (1 − 𝜆)(𝑠)) = Φ(𝜆𝑠) + (1 − 𝜆)Φ(𝑠)

em 𝑝 temos Φ(𝑠)(𝑝) = Φ(𝜆𝑠)(𝑝) pois 𝜆(𝑝) = 1. Mas 𝜆𝑠 = ∑(𝜆𝑓𝑖)𝑒𝑖 e 𝜆𝑓𝑖 se extende para funçõessuaves 𝑔𝑖 definidas em 𝑀 com 𝑔𝑖(𝑝) = 𝑓𝑖(𝑝) = 0. Desde Φ é 𝐶∞(𝑀)-linear

Φ(𝜆𝑠) =∑

𝑔𝑖Φ(𝑒𝑖) ∈ Γ(𝐹 )

Mas 𝑔𝑖(𝑝) = 0 então Φ(𝜆𝑠)(𝑝) = 0.

96

Proposição 3.3.10. Dado dois fibrados vetoriais 𝐸,𝐹 → 𝑀 , existe um isomorfismo de 𝐶∞(𝑀)-módulos

Γ(𝐸) ⊗ Γ(𝐹 ) → Γ(𝐸 ⊗ 𝐹 ) .

Demonstração. Antes da demonstração considere o seguinte lema técnico.Lema 3.3.11. Γ(𝐸)* ∼= Γ(𝐸*)

Γ(𝐸)* ∼= Γ(𝐸)* ⊗ 𝐶∞(𝑀)

∼= Γ(𝐸)* ⊗ Γ(R)

∼= 𝐻𝑜𝑚(Γ(𝐸),Γ(R))

∼= Γ(𝐻𝑜𝑚(𝐸,R))

∼= Γ(𝐸* ⊗ R) ∼= Γ(𝐸* ⊗ 𝐶∞(𝑀)) ∼= Γ(𝐸*)

.

A demonstração segue

Γ(𝐸) ⊗ Γ(𝐹 ) ∼=𝐻𝑜𝑚(Γ(𝐸)*,Γ(𝐹 ))

∼=𝐻𝑜𝑚(Γ(𝐸*),Γ(𝐹 ))

∼= Γ(𝐻𝑜𝑚(𝐸*, 𝐹 ))

∼= Γ(𝐸 ⊗ 𝐹 ))

.

Considere o subfibrado 𝐸(𝛾1𝑛) do fibrado trivial C𝑛+1 := C𝑃 𝑛 × C𝑛+1, definido por

𝐸(𝛾1𝑛) = {([𝑙], 𝑧) ∈ C𝑃 𝑛 × C𝑛+1; 𝑧 ∈ [𝑙]} ∈ C𝑛+1;

onde [𝑙] = [𝑢0 : · · · : 𝑢𝑛]. A projeção 𝜋 : 𝐸(𝛾1𝑛) −→ C𝑃 𝑛 é dada pela projeção na primeira

coordenada. Relembre que {𝑈𝑖}𝑛𝑖=0 é uma cobertura aberta de C𝑃 𝑛 onde 𝑈𝑖 = {[𝑧0 : · · · : 𝑧𝑛] ∈C𝑃 𝑛; 𝑧𝑖 = 0}. Esta cobertura é trivializante para 𝐸(𝛾1

𝑛). De fato, definimos o isomorfismo

𝜑𝑖 : 𝜋−1(𝑈𝑖) −→ 𝑈𝑖 × C

([𝑙], 𝑧) ↦ −→ ([𝑙], 𝑧𝑖)

97

Agora observe que,

𝜋−1(𝑈𝑖) = {([𝑙], 𝑧) ∈ C𝑃 𝑛 × C𝑛+1; [𝑙] ∈ 𝑈𝑖 e 𝑧 = 𝜆𝑙} = {([𝑙], 𝑧) ∈ C𝑃 𝑛 × C𝑛+1};

Mas, [𝑙] ∈ 𝑈𝑖 podemos escrever

[𝑙] =[𝑢0

𝑢𝑖: 𝑢𝑖−1

𝑢𝑖: 1 : 𝑢𝑖+1

𝑢𝑖: · · · : 𝑢𝑛

𝑢𝑖

]Donde de 𝑧 = 𝜆𝑙 segue que

𝑧 = (𝑧0, · · · , 𝑧𝑛) = 𝑧𝑖

(𝑢0

𝑢𝑖, · · · , 1, · · · , 𝑢𝑛

𝑢𝑖

)= 𝑧𝑖𝑢𝑖

(𝑢0, · · · , 𝑢𝑖, · · · , 𝑢𝑛)

= 𝑧𝑖𝑢𝑖𝑙.

isto é, 𝜋−1(𝑈𝑖) = {([𝑙]; 𝑧) ∈ C𝑃 𝑛 × C𝑛+1; 𝑧 = 𝑧𝑖𝑢𝑖𝑙}

Então podemos definir

𝜑−1𝑖 : 𝑈𝑖 × C −→ 𝜋−1(𝑈𝑖)

([𝑙], 𝜆) ↦ −→ ([𝑙], 𝜆𝑢𝑖𝑙)

𝜑−1𝑖 está bem definido, i.e. independe da classe [𝑙]. De fato, se ([𝑙], 𝜆) = ([𝑙′ ], 𝜆) =⇒ [𝑙] = [𝑙′ ]

donde 𝑙′ = 𝑟𝑙, i.e., 𝑢′𝑘 = 𝑟𝑢𝑘 𝑘 = 0, · · · , 𝑛. Daí,

𝜑−1𝑖 ([𝑙′ ], 𝜆) =

([𝑙′ ], 𝜆

𝑢′𝑖

𝑙′)

=(

[𝑙], 𝜆𝑢

′𝑖

𝜋𝑙)

=(

[𝑙], 𝜆𝑟𝑢𝑖

𝜋𝑙)

=(

[𝑙], 𝜆𝑢𝑖𝑙)

=𝜑−1𝑖 ([𝑙], 𝜆).

Seja 𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 = ∅. Então,𝑔𝑖𝑗 : 𝑈𝑖𝑗 × C −→ 𝑈𝑖𝑗 × C

([𝑙], 𝜆) ↦ −→(

[𝑙], 𝑢𝑖𝑢𝑗𝜆)

98

Com efeito,

𝑔𝑖𝑗([𝑙], 𝜆) =𝜑𝑖 ∘ 𝜑−1𝑗 ([𝑙], 𝜆)

=𝜑𝑖([𝑙],𝜆

𝑢𝑗𝑙)

=𝜑𝑖

([1], 𝑢𝑖

𝑢𝑗𝑙)

=(

[𝑙], 𝜆𝑢𝑖𝑙)

=𝜑−1𝑖 ([𝑙], 𝜆).

e

𝜏𝑖𝑗 : 𝑈𝑖𝑗 −→ C*

[𝑙] ↦ −→ 𝑢𝑖𝑢𝑗

Proposição 3.3.12. 𝐸(𝛾1𝑛) sobre R𝑃 𝑛 (𝑛 ≥ 2) é não trivial.

Seja 𝑠 : R𝑃 𝑛 −→ 𝐸(𝛾1𝑛) qualquer seção, e considere a composição R𝑛+1 − {0} 𝑃−→ R𝑃 𝑛 𝑠−→

𝐸(𝛾1𝑛), onde 𝑝 é projeção que leva 𝑥 ∈ R𝑛+1 − {0} em [𝑥] ∈ R𝑃 𝑛, então 𝑆 ∘ 𝑃 (𝑥) = 𝑠([𝑥]) =

([𝑥], 𝑡(𝑥)𝑥) ∈ 𝛾′𝑛, 𝑡 : R𝑛+1 − {0} −→ R é contínua pois, 𝑠 ∘ 𝑃 o é. Como 𝑃 (𝑥) = 𝑃 (−𝑥), segue que

𝑡(−𝑥) = −𝑡(𝑥) ou seja 𝑡 é uma função ímpar 𝑠 ∘ 𝑃 (𝑥) = 𝑆 ∘ 𝑃 (−𝑥) o que implica ([𝑥], 𝑡(𝑥)𝑥) =([−𝑥],−𝑡(−𝑥)𝑥), i.e., 𝑡(−𝑥) = −𝑡(𝑥). Se 𝑡 ≡ 0 não há o que fazer, se 𝑡(𝑥) = 0, pelo teorema dovalor intermediário existe 𝑥0 tal que 𝑡(𝑥0) = 0 (R𝑛+1 −{0}, é conexo 𝑛 ≥ 2 e 𝑡 é contínua e ímpar)e portanto se anula, donde segue que não existe referencial global, ou seja, 𝐸(𝛾1

𝑛) é não trivial.𝐸(𝛾1

1) = {(±𝑥, 𝑦) ∈ R𝑃 1 × R2; 𝑦 = 𝜆𝑥, 𝜆 ∈ R} podemos escrever 𝑥 = (cos 𝜃, sin 𝜃), 𝜃 ∈ [0, 𝜋].Essa representação é única para 𝜃 ∈ (0, 𝜋). E (±(cos 0, sin 0), 𝜆(cos 0, sin 0) = ±(cos 𝜋, sin 𝜋),−𝜆(cos 𝜋, sin 𝜋)).

Em outras palavras, 𝐸(𝛾11) pode ser obtido da faixa [0, 𝜋] × R identificando-se {0} × R com

{𝜋} × R via (0, 𝑡) ↦ −→ (𝜋,−𝑡).Assim, 𝐸(𝛾1

1) é a faixa de möbius sobre R𝑃 1 ≈ 𝑆1.

𝑥(𝑢, 𝑣) = (1 + 𝑣

2 cos 𝑢2 ) cos𝑢

𝑦(𝑢, 𝑣) = (1 + 𝑣

2 cos 𝑢2 ) sin 𝑢

𝑧(𝑢, 𝑣) = 𝑣

2 sin 𝑢2

99

Figura 3.1: faixa de möbius como fibrado não trivial sobre S1

100

Capítulo 4

Conexões e Curvatura

4.1 Conexões em Fibrados VetoriaisConsidere 𝑀 uma variedade diferenciável de dimensão 𝑛, 𝐸 um fibrado vetorial real (ou com-

plexo) com posto igual a 𝑟.Definição 4.1.1. Uma conexão em 𝐸 é uma aplicação R(ou C)-linear

∇ : Γ(𝐸) −→ Γ(𝐸) ⊗ Ω1𝑀 ,

onde Ω1𝑀 = Γ(𝑇 *𝑀), satisfazendo a condição

∇(𝑓𝜎) = 𝑓∇(𝜎) + 𝜎 ⊗ 𝑑𝑓, ∀𝑓 ∈ 𝐶∞, 𝜎 ∈ Γ(𝐸).

Dado um aberto 𝑈 ⊂ 𝑀 , definimos um referêncial local em 𝑈 como uma família de seções{𝜎𝑘}𝑟1 ⊂ Γ(𝑈), tal que para todo 𝑥 ∈ 𝑈 , temos que {𝜎𝑘(𝑥)}𝑟1 formam uma base da fibra 𝐸𝑥. Assimpodemos descrever a conexão em função deste referêncial.

Para cada 𝑘 ∈ {1, ..., 𝑟},

∇𝜎𝑘 =𝑟∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝐴𝑗𝑘,

onde 𝐴𝑗𝑘 ∈ Ω1𝑀 . Assim, se 𝜎 ∈ Γ(𝐸|𝑈), temos que 𝜎 = ∑𝑟

1 𝑓𝑘𝜎𝑘, onde 𝑓𝑘 ∈ 𝐶∞(𝑈), e portanto

∇𝜎 =∑𝑘

∇(𝑓𝑘𝜎𝑘) (4.1.1)

=∑𝑘

𝑓𝑘(∇𝜎𝑘) + 𝜎𝑘 ⊗ 𝑑𝑓𝑘 (4.1.2)

=∑𝑘

𝑓𝑘(∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝐴𝑗𝑘) + 𝜎𝑘 ⊗ 𝑑𝑓𝑘 (4.1.3)

=∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ (𝑑𝑓 𝑗 +∑𝑘

𝑓𝑘𝐴𝑗𝑘). (4.1.4)

Se representarmos 𝜎 = (𝑓 1...𝑓 𝑟)𝑡 e 𝐴 = (𝐴𝑗𝑘) uma matriz 𝑟 × 𝑟 de 1-formas, concluímos que,localmente:

∇𝜎 = 𝑑𝜎 + 𝐴𝜎.

101

Dizemos que a conexão ∇ é suave se, para qualquer referêncial local, cada 1-forma 𝐴𝑗𝑘 for suave.Considerando 𝜑𝛼 : 𝜋−1(𝑈𝛼) → 𝑈𝛼 ×C𝑟, 𝜑𝛽 : 𝜋−1(𝑈𝛽) → 𝑈𝛽 ×C𝑟 duas trivializações locais, com

𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅ e a função de transição:

𝑇𝛼𝛽 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 −→ 𝐺𝑙(𝑟,C).

Seja dois referenciais locais, {𝜎𝛼𝑘 } e {𝜎𝛽𝑘} de 𝑈𝛼 e 𝑈𝛽 respectivamente, onde 𝜎𝛽𝑘 = 𝑇𝛼𝛽𝜎𝛼𝑘 em 𝑈𝛼∩𝑈𝛽.

Assim, dado uma seção 𝜎 em 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 temos:

(𝜎)𝛼 =𝑟∑

𝑘=1𝑓𝑘𝜎𝛼𝑘 (4.1.5)

= 𝑇−1𝛼𝛽 (

𝑟∑𝑘=1

𝑓𝑘𝜎𝛽𝑘 ) (4.1.6)

= 𝑇−1𝛼𝛽 (𝜎)𝛽, (4.1.7)

Logo

(∇𝜎)𝛽 = 𝑇𝛼𝛽(∇𝜎)𝛼 (4.1.8)= 𝑇𝛼𝛽((𝑑+ 𝐴𝛼)𝑇−1

𝛼𝛽 (𝜎)𝛽) (4.1.9)= (𝑑+ 𝑇𝛼𝛽(𝑑𝑇−1

𝛼𝛽 ) + 𝑇𝛼𝛽𝐴𝛼𝑇−1

𝛼𝛽 )(𝜎)𝛽, (4.1.10)

concluíndo que a matrizes de conexão se relacionam via conjugação, isto é, 𝐴𝛽 = 𝑇𝛼𝛽(𝑑+𝐴𝛼)𝑇−1𝛼𝛽 .

4.1.1 Conexões em Fibrados PrincipaisSeja 𝑃 um fibrado principal de uma variedade diferenciável 𝑀 , via a projeção 𝜋 com o grupo de

estrutura 𝐺. Dado 𝑝 ∈ 𝑃 , definimos o subespaço 𝑉𝑝 ⊂ 𝑇𝑝𝑀 como 𝑉𝑝 := 𝐾𝑒𝑟(𝑑𝜋𝑝), 𝑉𝑝 é chamadodo espaço dos vetores verticais em 𝑝.

Definição 4.1.2. Uma conexão em 𝑃 é um subfibrado vetorial 𝐻 de 𝑇𝑃 , chamado subfibradohorizontal, tal que

• 𝐻 é invariante via a ação de 𝐺;

• 𝑇𝑝𝑃 = 𝑉𝑝 ⊕𝐻𝑝,∀𝑝 ∈ 𝑃 ;

Definimos a 1-forma de conexão, 𝜔 : 𝑇𝑃 → g de uma conexão 𝐻 da seguinte maneira: Dado𝑝 ∈ 𝑃 , 𝑡 ∈ 𝑇𝑝𝑃 , então 𝜔(𝑡) = 𝑋 onde o grupo uniparamétrico 𝑒𝑥𝑝(𝑡𝑋) em 𝑝 gera o campo 𝑋satisfazendo 𝑋(𝑝) = 𝑉 (𝑡)(componente vertical do vetor 𝑡). Um fato interessante é que existe umarelação 1:1 entre as conexões e as formas de conexão.

Se 𝜋(𝑝) = 𝑚, como 𝑉𝑝 é o núcleo de 𝑑𝜋𝑝, temos que 𝑑𝜋𝑝 : 𝐻𝑝 → 𝑇𝑚𝑀 é um isomorfismo.Portanto o subfibrado principal 𝐻 é naturalmente isomorfo ao fibrado 𝜋*(𝑇𝑀). Logo, se 𝑋 forum campo de vetores em 𝑀 , existe uma única seção 𝑌 do fibrado 𝐻 sobre 𝑃 , tal que

𝑑𝜋𝑝(𝑌𝑝) = 𝑋𝜋(𝑝),∀𝑝 ∈ 𝑃.

102

Chamaremos 𝑌 como o levantamento horizontal de 𝑋. O levantamento horizontal também seráum campo vetorial e é invariante pela a ação de 𝐺 sobre 𝑃 .

Agora, se 𝐸 for um fibrado vetorial associado ao fibrado principal, com uma representação 𝜌de 𝐺 sobre um espaço vetorial 𝑊 . Assim, dado uma conexão 𝐻 em 𝑃 , podemos construir umaúnica conexão ∇𝐸 no fibrado vetorial associado 𝐸.Seja 𝑋 ∈ Γ(𝐸), tal que 𝜋*(𝑋) é uma seção de 𝑃 ×𝑊 sobre 𝑃 . Então 𝜋*(𝑋) pode ser consideradocomo uma função

𝜋*(𝑋) : 𝑃 −→ 𝑊,

onde 𝑑(𝜋*(𝑋))|𝑝 é um mapa linear para cada 𝑝 ∈ 𝑃 . Logo 𝑑(𝜋*(𝑋)) é um mapa suave do fibradovetorial 𝑊 ⊗ 𝑇 *𝑃 sobre 𝑃 . Para cada 𝑝 ∈ 𝑃 , temos os seguintes isomorfismos:

𝑇𝑝𝑃 ∼= 𝑉𝑝 ⊕𝐻𝑝;

𝑉𝑝 ∼= g;𝐻𝑝

∼= 𝜋*(𝑇𝜋(𝑝)𝑀);onde g é a algebra de Lie de 𝐺. Assim

𝑊 ⊗ 𝑇 *𝑃 ∼= 𝑊 ⊗ ((g ⊕𝑊 ) ⊗ 𝜋*(𝑇 *𝑀)).

Denotaremos 𝑝𝑖𝐻(𝑑𝜋*(𝑋)) como a componente de 𝑑(𝜋*(𝑋)) em Γ(𝑊 ⊗ 𝜋*(𝑇 *𝑀)). Agora, como𝜋*(𝑋) e o fibrado vetorial 𝑊 ⊗ 𝜋*(𝑇 *𝑀) são ambos 𝐺-invariantes, temos que 𝜋𝐻(𝑑𝜋*(𝑋)) tam-bém será invariante via a ação de 𝐺. Porém, existe uma correspondência 1:1 entre as seções𝐺-invariantes de 𝑊 ⊗ 𝜋*(𝑇 *𝑀) sobre 𝑃 e as seções do fibrado vetorial associado 𝐸 × 𝑇 *𝑀 sobre𝑀 . Portanto 𝜋𝐻(𝑑𝜋*(𝑋)) é o pull-backde um único elemento de Γ(𝐸 × 𝑇 *𝑀).Logo, definimos ∇𝐸𝑋 ∈ Γ(𝐸 × 𝑇 *𝑀) como a única seção de 𝐸 ⊗ 𝑇 *𝑀 sujo o ’pull-back’ é𝜋𝐻(𝑑𝜋*(𝑋)) sobre a projeção natural 𝑊 ⊗ 𝜋*(𝑇 *𝑀) → 𝐸. Isto define uma conexão ∇𝐸 sobre ofibrado vetorial associado 𝐸.

Se 𝐺 = 𝐺𝑙(𝑘) e 𝜌 for a representação canônica de 𝐺 sobre R𝑘(C𝑘), temos que 𝑃 será o fibradode referênciais do fibrado vetorial 𝐸, então existe uma correspondência 1:1 entre as conexões em𝑃 e as conexões em 𝐸.

4.2 Conjunto das conexões

4.2.1 Transformação de CalibreDado 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial sobre 𝑀 .

Definição 4.2.1. Uma transformação de calibre de 𝐸, é um automorfismo de 𝐸, isto é, umisomorfismo de fibrados 𝑔 : 𝐸 → 𝐸.

Dada uma transformação de calibre, podemos induzir um isomorfismo entre 𝐶∞(𝑀)-módulos

𝑔 : Γ(𝐸) −→ Γ(𝐸)

103

𝜎 ↦ −→ 𝑔 ∘ 𝜎,

Portanto, se ∇′ for outra conexão em 𝐸, temos o seguinte diagram

Γ(𝐸) ∇ //

𝑔

��

Γ(𝐸) ⊗ Ω1𝑀

𝑔⊗1��

Γ(𝐸) ∇′// Γ(𝐸) ⊗ Ω1𝑀

Então ∇′ = 𝑔∇𝑔−1.Fixando 𝑈 ⊂ 𝑀 aberto e {𝜎𝑘} um referencial local, as matrizes das conexões acima se relacio-

nam:∇′𝜎 = 𝑔(𝑑+ 𝐴)𝑔−1𝜎 = (𝑑+ 𝑔𝑑𝑔−1 + 𝑔𝐴𝑔−1)𝜎,

logo 𝐴′ = 𝑔(𝑑+ 𝐴)𝑔−1.

4.2.2 Conjunto das conexões

Considere ∇1 e ∇2 duas conexões em um fibrado vetorial 𝐸 sobre 𝑀 . Defina

(∇1 − ∇2)𝜎 := ∇1𝜎 − ∇2𝜎 ∈ Γ(𝐸) ⊗ Ω1𝑀 .

Esta operação é um mapa 𝐶∞-linear, pois se 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) e 𝜎 ∈ Γ(𝐸) obtemos

(∇1 − ∇2)(𝑓𝜎) = 𝑓∇1𝜎 + 𝜎 ⊗ 𝑑𝑓 − 𝑓∇2𝜎 − 𝜎 ⊗ 𝑑𝑓 (4.2.1)= 𝑓(∇1 − ∇2)𝜎. (4.2.2)

Logo, a operação ∇1 − ∇2 é um morfismo de 𝐶∞-módulos.Denotaremos 𝜖𝑛𝑑(𝐸) := 𝐸* ⊗𝐸, o fibrado de endomorfismos de 𝐸, e 𝐸𝑛𝑑(𝐸) := Γ(𝜖𝑛𝑑(𝐸)) ∼=

Γ(𝐸)* ⊗ Γ(𝐸). Assim ∇1 − ∇2 pertence a 𝐸𝑛𝑑(𝐸) ⊗ Ω1𝑀 . Se denotarmos 𝒜(𝐸) como o conjunto

de todas as conexões em 𝐸, este espaço será afim modelado sobre 𝐸𝑛𝑑(𝐸) ⊗ Ω1𝑀 . Por fim, se

𝒢(𝐸) := 𝐴𝑢𝑡(𝐸), o grupo das transformações de calibre temos a seguinte ação:

𝒢(𝐸) × 𝒜(𝐸) −→ 𝒜(𝐸)

(𝑔,∇) ↦ −→ 𝑔∇𝑔−1,

e tome ℬ(𝐸) como o conjunto de órbitas desta ação. Podemos nos perguntar qual topologiapodemos dar para o conjunto de conexões para que adquirirmos boas propriedades para ℬ(𝐸).Iremos retornar a este assunto mais tarde no curso.

104

4.2.3 Conexões em somas diretas e em produtos tensoriaisConsidere 𝐸1 e 𝐸2 dois fibrados vetoriais sobre a mesma varidedade diferenciável 𝑀 , e tome

∇1 e ∇2 suas respectivas conexões. Assim defina

∇1 ⊕ ∇2 : Γ(𝐸1 ⊕ 𝐸2) −→ Γ(𝐸1 ⊕ 𝐸2) ⊗ Ω1𝑀

∼= Γ(𝐸1) ⊕ Γ(𝐸2)

(𝜎1 + 𝜎2) ↦ −→ ∇1𝜎1 + ∇2𝜎2.

Este mapa satisfaz a definição de conexão, pois se 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) e 𝜎1 + 𝜎2 ∈ Γ(𝐸1 ⊕ 𝐸2) temos

(∇1 ⊕ ∇2)(𝑓(𝜎1 + 𝜎2)) = (∇1 ⊕ ∇2)(𝑓𝜎1 + 𝑓𝜎2) (4.2.3)= ∇1(𝑓𝜎1) + ∇2(𝑓𝜎2) (4.2.4)= 𝑓∇1(𝜎1) + 𝜎1 ⊗ 𝑑𝑓 + 𝑓∇2(𝜎2) + 𝜎2 ⊗ 𝑑𝑓 (4.2.5)= 𝑓(∇1 ⊕ ∇2)(𝜎1 + 𝜎2) + (𝜎1 + 𝜎2) ⊗ 𝑑𝑓. (4.2.6)

Logo ∇1 ⊕ ∇2 define uma conexão em 𝐸1 ⊕𝐸2. Localmente, se 𝐴1 e 𝐴2 for as matrizes de conexãode ∇1 e ∇2 respectivamentes, temos que

(∇1 ⊕ ∇2)(𝜎1 + 𝜎2) = ∇1(𝜎1) + ∇2(𝜎2) (4.2.7)= 𝑑𝜎1 + 𝐴1𝜎1 + 𝑑𝜎2 + 𝐴2𝜎2 (4.2.8)= 𝑑(𝜎1 + 𝜎2) + (𝐴1 + 𝐴2)(𝜎1 + 𝜎2), (4.2.9)

pois 𝐴𝑖𝜎𝑗 := 0 se 𝑖 = 𝑗. Assim a matriz de conexão de ∇1 ⊕ ∇2 é exatamente 𝐴1 + 𝐴2.De maneira análoga ao anterior podemos definir a conexão tensorial no fibrado 𝐸1 ⊗𝐸2. Como

sendo∇1 ⊗ ∇2 := ∇1 ⊗ 𝐼2 + 𝐼𝐸1 ⊗ ∇2 : Γ(𝐸1 ⊗ 𝐸2) −→ Γ(𝐸1 ⊗ 𝐸2) ⊗ Ω1

𝑀 .

4.3 Curvatura

4.3.1 Curvatura em Fibrados VetoriaisSeja 𝑀 uma variedade suave, 𝐸 um fibrado vetorial e denote Ω𝑝

𝑀 := Γ(Λ𝑝𝑇 *𝑀) como sendo oconjunto das p-formas diferenciáveis. Assim podemos definir a seguinte conexão:

∇(𝑝) : Γ(𝐸) ⊗ Ω𝑝𝑀 −→ Γ(𝐸) ⊗ Ω𝑝+1

𝑀

tal que satisfaz a seguinte condição:

∇(𝑝)(𝜎 × 𝜔) = 𝜎𝜔𝑑𝜔 + (−1)𝑝∇𝜎 ∧ 𝜔.

Com esta definição, a conexão usual que definimos anteriormente será ∇0.

Definição 4.3.1. Seja 𝑀 uma variedade suave e 𝐸 um fibrado vetorial munido de uma conexão∇. Definimos como a forma curvatura como sendo o mapa

𝐹∇ : Γ(𝐸) →∇→∇1 Ω2𝑀 ,

tal que 𝐹∇ = ∇1 ∘ ∇. A conexão é plana (flat), se a sua forma de curvatura for nula.

105

Se 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) e 𝜎 ∈ Γ(𝐸) então

𝐹∇(𝑓𝜎) = ∇1(∇(𝑓𝜎)) (4.3.1)= ∇(1)(𝑓∇𝜎 + 𝜎 ⊗ 𝑑𝑓) (4.3.2)= 𝑓∇(1)∇𝜎 + ∇𝜎 ∧ 𝑑2𝑓 + 𝜎 ⊕ 𝑑2𝑓 − ∇𝜎 ∧ 𝑑𝑓 = 𝑓𝐹∇𝜎. (4.3.3)

Ou seja, a forma de curvatura é 𝐶∞ − 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 e portanto 𝐹∇ ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐸) ⊗ Ω2𝑀 .

Considere agora 𝑔 uma transformação de calibre e tome

∇′ = 𝑔∇𝑔−1,

logo, se 𝐹∇′ for a forma de curvatura de ∇′ então

𝐹∇′ = 𝑔∇1𝑔−1𝑔∇𝑔−1 = 𝑔𝐹∇𝑔−1,

portanto a forma de curvatura se comporta bem via transformações de calibre e a propriedade deuma conexão ser plana é preservada via transformações de calibre.

Agora discutiremos localmente a forma de curvatura. Dado {𝜎1, ..., 𝜎𝑟} um referencial local emuma vizinhança 𝑈 no fibrado 𝐸, onde 𝑟 é o posto de 𝐸, então uma seção 𝜔 ∈ Γ(𝐸|𝑈) ⊗ Ω𝑝

𝑈 seescreve

𝜔 =∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝜔𝑗,

onde 𝜔𝑗 ∈ Ω𝑝𝑈 , assim

∇(𝜔) =∑𝑗

∇(𝜎𝑗 ⊗ 𝜔𝑗) (4.3.4)

=∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝑑𝜔𝑗 + (−1)𝑝𝜔𝑗 ∧ ∇𝜎𝑗 (4.3.5)

=∑𝑖,𝑗

𝜎𝑖(𝑑𝜔𝑖 + 𝐴𝑗𝑖 ∧ 𝜔𝑗), (4.3.6)

onde 𝐴𝑗𝑖 é a matriz de conexão. Sabemos que ∇𝜔 = 𝑑𝜔 + 𝐴 ∧ 𝜔 localmente. Podemos considerar

𝐹∇(𝜎𝑘) =∑𝑖

𝜎𝑖 ⊗ 𝐹 𝑖𝑘

onde 𝐹 𝑖𝑘 ∈ Ω2

𝑀 . Logo

106

𝐹∇(𝜎𝑘) = ∇(1)∇𝜎𝑘 (4.3.7)

= ∇(1)

⎛⎝∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝐴𝑗𝑘

⎞⎠ (4.3.8)

=∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝑑𝐴𝑗𝑘 − 𝐴𝑗𝑘 ∧ ∇𝜎𝑗 (4.3.9)

=∑𝑗

𝜎𝑗 ⊗ 𝑑𝐴𝑗𝑘 −∑𝑖

𝜎𝑖 ⊗ 𝐴𝑗𝑘 ∧ 𝐴𝑖𝑗 (4.3.10)

=∑𝑖

𝜎𝑖 ⊗

⎛⎝𝑑𝐴𝑖𝑘 +∑𝑗

𝐴𝑖𝑗 ∧ 𝐴𝑗𝑘

⎞⎠ , (4.3.11)

assim 𝐹 𝑖𝑘 = 𝑑𝐴𝑖𝑘 +∑

𝑗 𝐴𝑖𝑗 ∧ 𝐴𝑗𝑘 e concluímos a conhecida ’equação de Cartan’.

𝐹∇ = 𝑑𝐴+ 𝐴 ∧ 𝐴.

Teorema 4.3.2. (Identidade de Bianchi) Seja 𝐹∇ a forma de curvatura de uma conexão ∇. Então∇𝐹∇ ≡ 0.

Demonstração. Seja 𝐴 uma matriz de conexão de ∇, dado em um aberto da variedade 𝑀 . Logo

∇𝐹∇ = 𝑑𝐹∇ + [𝐴,𝐹∇] (4.3.12)= 𝑑(𝑑𝐴+ 𝐴 ∧ 𝐴) + [𝐴, 𝑑𝐴+ 𝐴 ∧ 𝐴] (4.3.13)= 𝑑𝐴 ∧ 𝐴− 𝐴 ∧ 𝑑𝐴+ [𝐴, 𝑑𝐴] + [𝐴,𝐴 ∧ 𝐴] (4.3.14)= [𝑑𝐴,𝐴] + [𝐴, 𝑑𝐴] + [𝐴,𝐴 ∧ 𝐴] (4.3.15)

Note que [𝐴, 𝑑𝐴] = 𝐴∧𝑑𝐴−𝑑𝐴∧𝐴 e [𝐴,𝐴∧𝐴] = 𝐴∧𝐴∧𝐴−𝐴∧𝐴∧𝐴 = 0. Logo ∇𝐹∇ ≡ 0.

4.3.2 Curvatura em Fibrados PrincipaisConsidere 𝑃 um fibrado principal sobre a variedade suave 𝑀 com o grupo de estrutura 𝐺, 𝐻

uma conexão em 𝑃 . Dado uma forma 𝜑 em 𝑃 , podemos definir a forma 𝐷𝜑 como sendo: Seja(𝑡1, ..., 𝑡𝑝+1) ∈ 𝑇𝑝𝑃 para 𝑝 ∈ 𝑃 e tome 𝐷𝜑(𝑡1, ..., 𝑡𝑝+1) = 𝑑𝜑(𝐻𝑡1, ..., 𝐻𝑡𝑝+1) onde 𝑑 é a derivadaexterior.

Definição 4.3.3. A forma curvatura Ω da conexão 𝐻 é a 2-forma g-valorada 𝐷𝜔, onde 𝜔 é a1-forma de conexão.

Devido a equivariancia da conexão 𝐻, a forma de curvatura também será equivariante.Iremos provar a conhecida identidade de Bianchi para fibrados principais e para isso necessita-

mos da seguinte equação de estrutura:

Teorema 4.3.4. Seja 𝜔 uma 1-forma de conexão em 𝑃 , Ω a sua forma de curvatura, então

𝑑𝜔 = −12[𝜔, 𝜔] + Ω.

107

Demonstração. Seja 𝑋, 𝑌 campos verticais e 𝑋 ′, 𝑌 ′ ∈ g tais que 𝜔(𝑋) = 𝑋 ′ e 𝜔(𝑌 ) = 𝑌 ′. Assim

𝑑𝜔(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋𝜔(𝑌 ) − 𝑌 𝜔(𝑋) − 𝜔([𝑋, 𝑌 ]) (4.3.16)= 𝑋(𝑌 ′) − 𝑌 (𝑋 ′) − [𝑋 ′, 𝑌 ′] (4.3.17)

= −12[𝜔, 𝜔](𝑋, 𝑌 ) (4.3.18)

= −12[𝜔, 𝜔](𝑋, 𝑌 ) + Ω(𝑋, 𝑌 ), (4.3.19)

onde utilizamos o fato de que Ω é uma forma horizontal.Se 𝑋 for campo vertical e 𝑌 for campo horizontal temos

𝑑𝜔(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋𝜔(𝑌 ) − 𝑌 𝜔(𝑋) − 𝜔([𝑋, 𝑌 ]) = 0, (4.3.20)

onde 𝜔(𝑌 ) = 0 e 𝜔(𝑋) é constante, e [𝑋, 𝑌 ] será um campo horizontral. Por outro lado Ω(𝑋, 𝑌 ) =0 quando 𝑋 for vertical e [𝜔, 𝜔](𝑋, 𝑌 ) = 0 quando 𝑌 for horizontal.

E por fim, se 𝑋, 𝑌 forme ambos horizontal, temos que a 1-forma de conexão zera em ambos eque a forma de curvatura

Ω(𝑋, 𝑌 ) = 𝑑𝜔(𝐻𝑋,𝐻𝑌 ) = 𝑑𝜔(𝑋, 𝑌 ).

Logo vale a equação de estrutura.

Assim temos a Identidade de Bianchi para fibrados principais.

Teorema 4.3.5. Se Ω for a forma de curvatura de uma conexão 𝐻 de um fibrado principal 𝑃 ,então

𝐷Ω = 0.

Demonstração. Da equação de estrutura temos

𝐷Ω = 𝐷𝑑𝜔 + 12𝐷[𝜔, 𝜔],

onde 𝜔 é a forma de conexão. Agora, dado 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 vetores tangentes

𝐷𝑑𝜔(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3) = 𝑑2𝜔(𝐻𝑋1, 𝐻𝑋2, 𝐻𝑋3) = 0.

Temos também que 𝐷[𝜔, 𝜔] = 0, pois [𝜔, 𝜔] é uma forma vertical e portanto se anula em entradashorizontias. Portanto 𝐷Ω = 0.

4.4 Conexão no fibrado de endomorfismosSeja 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial, complexo e hermitiano, isto é, para cada 𝑝 ∈ 𝑀 , existe ⟨, ⟩𝑝

métrica hermitiano na fibra 𝐸𝑝 tal que para qualquer referencial local {𝜎1, ..., 𝜎𝑟}, as funções

𝐻𝑖𝑗(𝑝) = ⟨𝜎𝑖(𝑝), 𝜎𝑗(𝑝)⟩𝑝

108

são suaves. O referencial é conhecido como unitário se satisfizer 𝐻𝑖𝑗(𝑝) = 𝛿𝑖𝑗 para cada 𝑝 ∈ 𝑀 .Dado um referencial unitário {𝜎1, ..., 𝜎𝑟} no fibrado vetorial 𝐸, temos que {𝜏 𝑘 := ⟨𝜎𝑘, ·⟩} formam

um referencial em 𝐸*. Como ⟨𝜎𝑘, 𝜎𝑗⟩ = 𝛿𝑖𝑗 temos que 𝑑 ⟨𝜎𝑘, 𝜎𝑗⟩ = 0. Logo se ∇ for conexão unitáriotemos

⟨∇𝜎𝑘, 𝜎𝑗⟩ = − ⟨𝜎𝑘,∇𝜎𝑗⟩ (4.4.1)

= −⟨𝜎𝑘,

∑𝑖

𝜎𝑖 ⊗ 𝐴𝑖𝑗

⟩= −𝐴𝑘𝑗 . (4.4.2)

Assim, no fibrado 𝐸*, podemos definir a conexão ∇* induzida por ∇ onde localmente

∇*𝜏 𝑘 = −∑𝑗

𝐴𝑘𝑗 ⊗ 𝜏 𝑗.

Portanto se 𝜏 = ∑𝑘 𝑓

𝑘𝜏 𝑘 satisfaz ∇*𝜏 = 𝑑𝜏 − 𝐴𝑡𝜏 .No fibrado 𝜖𝑛𝑑(𝐸) = 𝐸* ⊗𝐸 a sua conexão é dada por ∇ = ∇* ⊗ 1𝐸 + 1𝐸* ⊗ ∇. Considerando

o referencial local {𝜉𝑗𝑖 = 𝜏 𝑗 ⊗ 𝜎𝑖}, obtemos

∇𝜉𝑗𝑖 = ∇*𝜏 𝑗 ⊗ 𝜎𝑖 + 𝜏 𝑗 ⊗ ∇𝜎𝑖 (4.4.3)

=(

−∑𝑙

𝜏 𝑙 ⊗ 𝐴𝑗𝑙

)⊗ 𝜎𝑖 + 𝜏 𝑗 ⊗

(∑𝑘

𝜎𝑘 ⊗ 𝐴𝑘𝑗

)(4.4.4)

=∑𝑘,𝑙

[𝐴, 𝑆𝑘𝑙 ]𝜏 𝑙 ⊗ 𝜎𝑘, (4.4.5)

onde cada 𝑆𝑘𝑙 é a matrix elementar onde todas as entradas são nulas exceto na entrada 𝑙, 𝑘 ondepor sua vez é 1.Dada uma seção qualquer 𝜉 = ∑

𝑖,𝑗 𝑔𝑖𝑗𝜉𝑗𝑖 , onde 𝑔𝑖𝑗 ∈ 𝐶∞(𝑀), segue

∇𝜉 =∑𝑖,𝑗

𝑑𝑔𝑗𝑖 .𝜉𝑗𝑖 + 𝑔𝑗𝑖

⎛⎝∑𝑘,𝑙

[𝐴, 𝑆𝑘𝑙 ]𝜉𝑙𝑘

⎞⎠ (4.4.6)

=∑𝑘,𝑙

(𝑑𝑔𝑘𝑙 + [𝐴, 𝑔]𝑘𝑙

)𝜉𝑙𝑘. (4.4.7)

Concluíndo que ∇𝜉 = 𝑑𝜉 + [𝐴, 𝑔] para quaisquer seção local 𝜉 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐸).

109

Capítulo 5

Integrabilidade de EstruturasHolomorfas

5.1 IntegrabilidadePara dar uma interpretação ao que chamaremos depois a condição Anti-Autodual, (ASD)

para abreviar, precisamos olhar pelas estruturas complexas sobre um fibrado dado. Para tantofazemos a seguinte.Definição 5.1.1 (Fibrado complexo). Um fibrado vetorial (E , 𝜋, 𝑍), onde E , e 𝑍 são variedadescomplexas é dito um fibrado complexo holomorfo se 𝜋 : E ↦→ 𝑍 é uma função holomorfa.

Ao longo de esta seção todo fibrado vetorial será considerado como sendo um fibrado vetorialcomplexo onde a fibra é espaço vetorial C-linear.Exemplo 5.1.2. Um fibrado vetorial 𝜋 : E ↦→ 𝑍 é holomorfo se e somente se, para cada 𝛼, 𝛽 taisque 𝑈𝛼 ∩ 𝑉𝛽 = ∅, o mapa 𝑔𝛼,𝛽 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑉𝛽 ↦→ 𝐺𝐿(𝑛,C) é holomorfo. Note que

𝜋 = 𝑝1 ∘ 𝜙𝛼 ∘ 𝜙−1𝛽 ∘ 𝜙𝛽 = 𝑝1 ∘ 𝑔𝛼,𝛽 ∘ 𝜙𝛽

logo temos que se 𝑔𝛼,𝛽 é uma função holomorfa então, 𝜋 é holomorfa.Desejamos agora introduzir um operador diferencial 𝜕E , sobre as seções de E , que nos de

informação sobre a holomorfia das seções. Para definir dito operador lembremos que na variedade𝑍, temos o complexo de Rham (Ω*(𝐸), 𝑑) que quebra-se em (Ω𝑝,𝑞(𝐸), 𝜕, 𝜕) com 𝑑 = 𝜕 + 𝜕, e

𝜕 : Ω𝑝,𝑞 ↦→ Ω𝑝+1,𝑞 e 𝜕 : Ω𝑝,𝑞 ↦→ Ω𝑝,𝑞+1

Em coordenadas locais 𝑧𝜆, escrevemos as formas em termos de 𝑑𝑧𝜆 e 𝑑𝑧𝜆, onde Ω𝑝,𝑞 é o conjuntoque consiste de formas que tem "𝑝 𝑑𝑧’s e 𝑞 𝑑𝑧’s". Então dizemos que 𝑓 é holomorfa sobre umaberto de 𝑍 se e somente se, 𝜕𝑓 = 0. Para um fibrado 𝐸 sobre 𝑍, denotamos por Ω𝑝,𝑞

𝑍 (𝐸) o espaçodas (𝑝, 𝑞)−formas com valores em 𝐸, dai, dada uma estrutura holomorfa E sobre 𝐸, definida comoacima, existe um operador linear

𝜕E : Ω0,𝑞𝑍 ↦→ Ω0,𝑞+1

𝑍

que satisfaz as condições da seguinte definição.

111

Definição 5.1.3. Seja (E , 𝜋, 𝑍) um fibrado vetorial complexo, uma conexão parcial em E é umoperador linear

𝜕E : Ω0,𝑞(𝐸) ↦→ Ω0,𝑞+1(𝐸)satisfazendo

1.𝜕E (𝑓𝑠) = (𝜕E 𝑓)𝑠+ 𝑓(𝜕E 𝑠) (5.1.1)

onde 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑍,C) e 𝑠 ∈ Ω0,𝑞(𝐸).

2.𝜕E (𝑠)|𝑈≡ 0 se e somente se, 𝑠|𝑈 é holomorfa. (5.1.2)

Onde 𝑠|𝑈 : 𝑈 ↦→ E é a restrição de 𝑠 a uma trivialização local 𝑈 .Lema 5.1.4. O fibrado (E , 𝜋, 𝑍) determina naturalmente uma conexão parcial.Demonstração. Seja 𝑈𝛼 uma trivialização local, restritas a 𝑈𝛼 as seções de E são representadaspor funções de valor vetorial, dai que podemos definir 𝜕E = 𝜕, atuando por separado em cadacomponente. Definida dessa manera 𝜕, satisfaz 5.1.1 e 5.1.2. Ora se 𝑔𝛼,𝛽 é a matriz de mudançade coordenadas,

𝑔𝛼,𝛽 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑉𝛽 ↦→ 𝐺𝐿(𝑛,C)então 𝜕(𝑔𝑠) = (𝜕𝑔)𝑠+ 𝑔(𝜕𝑠) e dado que 𝑔 é holomorfa, (𝜕𝑔)𝑠 = 0. Segue o resultado.Observação 5.1.5. O operador 𝜕 tem comportamento tensorial quando há um cambio holomorfode trivialização. Note também que se 𝐴 é uma conexão num fibrado (E , 𝜋, 𝑍), o espaço Ω1

𝑍

descompô-se comoΩ1𝑍(𝐸) = Ω1,0

𝑍 (𝑍) + Ω0,1𝑍 (𝐸)

daí que 𝐴 define uma derivada covariante como segui:

𝑑𝐴 := 𝑑+ 𝐴 = 𝜕𝐴 ⊕ 𝜕𝐴 : Ω0𝑍(𝐸) ↦→ Ω1,0

𝑍 ⊕ Ω0,1𝑍 (𝐸)

Note que 𝜕𝐴 satisfaz 5.1.1, a pergunta é. Em que casos 𝜕𝐴 = 𝜕E para alguma estrutura E dada?Localmente uma conexão parcial se escrevi como 𝜕E = 𝜕 = 𝑎. Onde 𝑎 é uma matriz de

(0, 1) − 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 em Ω0,1(𝐸), mas 𝑎 não é tensorial, não entanto se definimos

𝜑𝑎 := 𝜕2𝑎 ∈ Ω(0,2)(𝐸𝑛𝑑(𝐸))

localmente temos que, 𝜑𝑎 = 𝜕𝑎 + 𝑎 ∧ 𝑎. Dadas coordenadas locais 𝜏 obtemos:

𝜑𝜏𝑎 = 𝜕𝜏𝑎 + 𝑎𝜏 ∧ 𝑎𝜏

E em coordenadas complexas sobre o espaço base

𝜑𝜆𝜇 =[𝜕

𝜕𝑧𝜆+ 𝑎𝜆,

𝜕

𝜕𝑧𝜇+ 𝑎𝜇

]

O operador 𝜕E obtido de um fibrado holomorfo satisfaz 𝜕2𝑍 = 0, os grupos de cohomología de E que

denotamos por 𝐻𝑝(E ) e é chamamada a cohomología de Dolbeault, 𝐻*(E ) = 𝑘𝑒𝑟(𝜕𝑍)/𝑖𝑚(𝜕𝑍).Dizemos que 𝜑E é a curvatura formal e relativa a E .

112

Teorema 5.1.6 (De integrabilidade). Uma conexão parcial 𝜕𝛼 sobre um fibrado vectorial complexo𝐶∞ sobre uma variedade complexa 𝑍 é aquela induzida pela estrutura holomorfa se e somente se𝜑𝛼 = 0.Observação 5.1.7. Quando o resultado anterior se tem diz-se que 𝜕𝛼 é integrável e os seguintesconjuntos ficam em correspondência biunivoca,

{E Estruturas holomorfas em 𝑍} ↔ {𝜕𝛼 Tais que 𝜑𝛼 = 0}

É um aspecto muito relevante pois liga a quantidade de estruturas holomorfas compatíveis sobreum fibrado vetorial com soluções de equações diferenciais parciais.

5.1.1 Fibrados HermitianosDefinição 5.1.8. Um fibrado vetorial complexo (𝐸, 𝜋, 𝑍) é dito Hermitiano se para cada 𝑧 ∈ 𝑍a fibra 𝜋−1(𝑧) = 𝐸𝑧 tem uma métrica Hermitiana 𝐶∞, denotamos dita métrica por ℎ.Definição 5.1.9. Uma conexão 𝐴 sobre 𝐸 é chamada conexão unitária se em qualquer trivia-lização local 𝐴 = −𝐴*.Lema 5.1.10. Se 𝐸 é um fibrado vetorial complexo sobre 𝑍 com métrica Hermitiana sobre asfibras. Então para cada conexão parcial 𝜕𝛼 sobre 𝐸 existe uma única conexão unitária 𝐴 tal que𝜕𝐴 = 𝜕𝛼, em particular os seguintes conjuntos ficam em correspondência biunívoca,

{𝜕𝛼 conexão parcial em 𝐸} ↔ {𝐴 unitárias tais que 𝜕𝐴 = 𝜕𝛼}

Demonstração. Numa trivialização local 𝜏 unitária, em que a conexão é representada por umamatriz de formas 𝑎𝜏 do tipo (0, 1), a matriz de conexão 𝐴𝜏 com 1-formas como componentes dotipo (0, 1) 𝑎𝜏 , tem que satisfazer 𝐴𝜏 = −(𝐴𝜏 )*. A unicidade garanta que 𝐴𝜏 fica determinada por𝐴𝜏 = 𝑎𝜏 − (𝑎𝜏 )*.

Em particular, se E é um fibrado holomorfo com métrica Hermitiana, existe uma única conexãocompatível ambas estruturas. O seguinte exemplo ilustra este fato.Exemplo 5.1.11. Se 𝐴 é unitaria. Então 𝐹 0,2

𝐴 = −(𝐹 2,0𝐴 )*. Com efeito, 𝐴* = −𝐴, além disso

podemos decompor𝐹𝐴 = 𝐹 2,0

𝐴 ⊕ 𝐹 1,1𝐴 ⊕ 𝐹 0,2

𝐴

além disso dada uma trivialização denotemos𝐴𝜏 ∈ Ω1 = Ω1,0 ⊕ Ω0,1

a representação de 𝐴 nessa trivialização, podemos decompor 𝐴𝜏 = 𝑎𝜏 − (𝑎𝜏 )*, onde 𝑎𝜏 ∈ Ω0,1

e (𝑎𝜏 )* ∈ Ω1,0, com dita decomposição calculamos e esquecemos de momento o superíndice parasimplicidade de notação

𝐹𝐴 = 𝑑𝐴+ 𝐴 ∧ 𝐴

= 𝑑(𝑎− 𝑎*) + (𝑎− 𝑎*) ∧ (𝑎− 𝑎*)= 𝑑𝑎− 𝑑𝑎* + 𝑎 ∧ 𝑎+ 𝑎* ∧ 𝑎* − 𝑎 ∧ 𝑎* − 𝑎* ∧ 𝑎

= (𝑑𝑎+ 𝑎 ∧ 𝑎) − (𝑑𝑎+ 𝑎 ∧ 𝑎)* − (𝑎* ∧ 𝑎+ 𝑎 ∧ 𝑎*)

113

Olhando a decomposição feita acima temos que

𝐹 0,2𝐴 = −(𝐹 2,0

𝐴 )* (5.1.3)

Teorema 5.1.12. Uma conexão unitária 𝐴 num fibrado hermitiano (𝐸, ℎ) é compatível com E see somente se 𝐹𝐴 = 𝐹 1,1

𝐴

Isto é, dado um fibrado hermitiano com estrutura holomorfa E ele determina uma única conexãodo tipo (1, 1). 𝐴 é uma conexão Cherm de ℎ com respeito a E e obtemos uma bijeção como segui,

{ℎ Hermitiana 𝐸} E↔ {𝐴ℎ Tais que 𝐹 (0,2)𝐴 = 𝜕𝐸}

La transposta de uma matriz de (0, 1)−formas é uma matriz de (1, 0)−formas. Em particular, seE é um fibrado vetorial holomorfo com métrica Hermitiana, existe uma única conexão sobre Ecompatível com as duas estruturas. Em resumo temos

Proposição 5.1.13 (Conexão de Cherm). Em um fibrado holomorfo E com uma métrica Hermi-tiana ℎ, existe uma (única) conexão compatível (unitária) 𝜕𝐴 = 𝜕E se, e somente se, 𝐹𝐴ℎ

= 𝐹(1,1)𝐴ℎ

5.2 Condição de Autodualidade e Anti-AutodualidadeSeja (𝐸, 𝜋, 𝑍) um fibrado vetorial complexo, suponhamos que 𝑑𝑖𝑚C(𝑍) = 2, olhando 𝑍 como

uma 4-variedade orientada, temos duas descomposições para as 2-formas de 𝑍. Primeiramente adescomposição en parte Anti-Autodual e parte Autodual

Ω2𝑍 = Ω+

𝑍 ⊕ Ω−𝑍 (5.2.1)

Definição 5.2.1. Dizemos que 𝐴 é Anti-Autodual se 𝐹+ = 0, é dizer que só tem componentepositiva e 𝐴 é Autodual se 𝐹− = 0.

Se 𝐴 é Anti-Autodual escrevimos simplesmente que 𝐴 é (AAD). A descomposição acimaextende-se naturalmente a uma descomposição do tensor de curvatura 𝐹𝐴 de uma conexão 𝐴sobre o fibrado 𝐸. Dai que escrivemos

𝐹𝐴 = 𝐹+𝐴 ⊕ 𝐹−

𝐴 ∈ Ω+𝑍(g) ⊕ Ω−

𝑍(g) (5.2.2)

onde Ω±𝑍(g𝐸) = Γ(Λ±

𝑍 ⊗ g𝐸). Note que a noção de Autodualidade e anti-autodualidade são inter-cambiadas se a orientação é intercambiada. Temos mais uma descomposição do tipo

Ω2 = Ω2,0 ⊕ Ω1,1 ⊕ Ω0,2. (5.2.3)

Observação 5.2.2. Seja 𝐸 um 𝐺 fibrado vectorial ande 𝐺 é um grupo de Lie compacto e semi-simples. Então existe uma forma bilinear ⟨·, ·⟩ que é bi-invariante em g = 𝑙𝑖𝑒(𝐺) a álgebra de Liee

⟨𝐴,𝐵⟩ = −𝑇𝑟𝑎(𝐴𝐵) ≥ 0

114

de fato ⟨·, ·⟩ define uma métrica bi-invariante. Assim se 𝛼, 𝛽 ∈ Ω𝑘(𝐸𝑛𝑑(𝐸)), localmente podemosescrever 𝛼 = 𝑎⊗ 𝐴 e 𝛼 = 𝑏⊗𝐵. E definir ⟨𝛼, 𝛽⟩ * 1 := (𝛼 ∧ *𝛽)⟨𝐴,𝐵⟩g.

Note que Λ2(g) = Λ2+(g) ⊕ Λ2

−(g). Daí que se 𝑍 for compacta faz sentido definir

(𝛼, 𝛽) =∫𝑍

⟨𝛼, 𝛽⟩ * 1 (5.2.4)

que define uma norma 𝐿2 em Ω2(g).

Definição 5.2.3. A norma 𝐿2 dada por

‖𝐹𝐴‖2𝐿2 =

∫𝑍

|𝐹𝐴|2*1 (5.2.5)

é chamado o funcional de Yang-Mills.

Dado que duas conexões diferem por uma 1−forma podemos escrever,

𝐹𝐴+𝑎 = 𝐹𝐴 + 𝑑𝐴𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑎 (5.2.6)

onde 𝑎 ∈ Ω2(g). A equação de Yang-Mills é dada por

𝑑*𝐴𝐹𝐴 = 0 (5.2.7)

onde 𝑑*𝐴 := *𝑑𝐴*, observe que se 𝐴 é anti-autodual o autodual então temos pela desigualdade de

Bianchi temos𝑑*𝐴𝐹𝐴 = (*𝑑𝐴*)(± * 𝐹𝐴) = ± * 𝑑𝐴𝐹𝐴 = 0

Para simplificar a notação escreveremos Ω2(g) simplesmente como Ω2, então por 5.2.3 podemosdefinir

𝜔(𝜉, 𝜂) := ℎ(𝜉, 𝑗𝜂) ∈ Ω1,1(𝑍).Dada uma métrica ℎ, 5.2.1 se decompõe como Ω1,1 = Ω0 · 𝜔 ⊕ Ω1,1

⊥ , dessa decomposição temos oseguinte

Lema 5.2.4. A seguinte descomposição se tem

Ω2 = Ω2,0 ⊕ Ω0,2 ⊕ Ω0 · 𝜔 ⊕ Ω1,1⊥ = Ω2

+ ⊕ Ω2−

ondeΩ2

+ = Ω2,0 ⊕ Ω0,2 ⊕ Ω0 · 𝜔 e Ω1,1⊥ = Ω2

−

Demonstração. Em coordenadas locais (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) ∈ R4, definamos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑥2, 𝑧2 = 𝑥3 + 𝑖𝑥4,então

𝑑𝑧1 = 𝑑𝑥1 − 𝑖𝑑𝑥2 e 𝑑𝑧2 = 𝑑𝑥3 − 𝑖𝑑𝑥4

e computamos

𝑑𝑧1 ∧ 𝑑𝑧2 = (𝑑𝑥1 − 𝑖𝑑𝑥2) ∧ (𝑑𝑥3 − 𝑖𝑑𝑥4)= (𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥3 − 𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥4) − 𝑖(𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3 + 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥4)= (𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥3 + 𝑑𝑥4 ∧ 𝑑𝑥2) − 𝑖(𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3 + 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥4)= (𝐹1,3 + 𝐹4,2) − 𝑖(𝐹2,3 + 𝐹1,4)

115

Note que Λ2 tem dimensão 6 além disso Λ2+

∼= Λ2− logo Λ2

+ tem que ter dimensão 3. Dai que

𝐵 = {𝑅𝑒𝑎(𝑑𝑧1 ∧ 𝑑𝑧2), 𝑖𝑚(𝑑𝑧1 ∧ 𝑑𝑧2), 𝜔 = 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑥3 ∧ 𝑑𝑥4}

é uma base para Λ2+, além disso é complementar de Λ2

−, a afirmação fica demostrada.

com este resultado podemos refrasear a proposição de integrabilidade como segui.

Proposição 5.2.5. Se 𝐴 é anti-autodual (i,é 𝐹+𝐴 = 0) no fibrado vetorial complexo 𝜋 : 𝐸 ↦→ 𝑍

sobre uma variedade Hermitiana 𝑍 (𝑑𝑖𝑚C𝑍 = 2) e uma métrica Hermitiana em 𝑇𝑍. Então 𝜕𝐴define uma estrutura holomorfa em 𝐸. Reciprocamente dada 𝜉 uma estrutura holomorfa em 𝐸, e𝐴 uma conexão unitária compatível. Então 𝐴 é AAD (i,é 𝐹+ = 0) o também 𝐴 é um instantomse e somente se, 𝐹𝐴 := 𝐹𝐴 · 𝜔 = 0.

Definição 5.2.6. Definimos a equação de Hermite-Yang-Mills abreviadamente (HYM) por

𝐹𝐴 = 0 (5.2.8)

onde 𝐹𝐴 ∈ Ω0(𝐸𝑛𝑑(𝐸)).

Observação 5.2.7. Nos próximos capitulos fazemos rigorosa a seguinte ideia. Escreva

𝐹𝐴+𝑎 = 𝐹𝐴 + Δ𝑎+ (“termos de ordem de derivação superior ”)

e considere a seguinte equação em derivadas parciais do tipo elíptico⎧⎨⎩𝜕𝐴𝑡

𝜕𝑡= 𝐹𝐴𝑡

𝐴0 = 𝐴

Se existiese, 𝐴∞ = lim𝑡→+∞

𝐴𝑡, então lim𝑡→+∞

𝜕𝐴𝑡𝜕𝑡

= 0. Daí que

𝐹𝐴∞ = 0

obtendo assim uma solução da equação de Hermite-Yang-Mills (HYM).

Para finalizar suponha que 𝑍 = C2, e faça

𝐹𝑖,𝑗 := [∇𝑖,∇𝑗] = 𝜕𝐴𝑗𝜕𝑥𝑖

− 𝜕𝐴𝑖𝜕𝑥𝑗

+ [𝐴𝑖, 𝐴𝑗] (5.2.9)

então 𝐹+ = 0 se, e somente se⎧⎨⎩𝐹12 + 𝐹34 = 0 Condição de (HYM)𝐹13 + 𝐹42 = 0 e 𝐹14 + 𝐹23 = 0 Condição de integrabilidade.

(5.2.10)

ou equivalentemente ⎧⎨⎩𝐹 = 𝐹 · 𝜔 Condição de (HYM)𝐹 0,2 = 0 Condição de integrabilidade.

116

Exemplo 5.2.8. Suponha que a metrica envolvida no problema é a metrica plana de C2, então asequacões em 5.2.10 são equivalentes ao sistema⎧⎨⎩[∇1 + 𝑖∇2,∇3 + 𝑖∇4] = 0 Condição de integrabilidade.

[∇1,∇2] + [∇3,∇4] = 0 Condição de (HYM)

este se deduz de 5.2.9, a seguinte observação e o calculo embaixo⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩[∇1,∇2] + [∇3,∇4] = 0 (1)[∇1,∇4] + [∇2,∇3] = 0 (2)[∇1,∇3] + [∇4,∇2] = 0 (3)

Calculando (3) + 𝑖(2) no sistema anterior obtemos

0 = [∇1,∇3 + 𝑖∇4] + [∇4,∇2] + [𝑖∇2,∇3]= [∇1,∇3 + 𝑖∇4] + [𝑖∇2, 𝑖∇4] + [𝑖∇2,∇3]= [∇1,∇3 + 𝑖∇4] + [𝑖∇2,∇3 + 𝑖∇4]= [∇1 + 𝑖∇2,∇3 + 𝑖∇4]

Exemplo 5.2.9. Alternativamente podemos usar os operadores

𝐷1 := ∇1 + 𝑖∇2 e 𝐷2 := ∇3 + 𝑖∇4

e levando em conta que as métricas envolvidas são unitárias consideramos também o adjunto formal

𝐷*1 := −∇1 + 𝑖∇2 e 𝐷*

2 := ∇3 + 𝑖∇4

o sistema 5.2.10 tornasse em⎧⎨⎩[𝐷1, 𝐷2] = 0 Condição de (HYM)[𝐷1, 𝐷

*1] + [𝐷2, 𝐷

*2] = 0 Condição de integrabilidade.

(5.2.11)

Pois rempazando no sistema do exemplo 5.2.8 temos

0 = [∇1,∇2] + [∇3,∇4]= [∇1,∇2] + [𝑖∇2,∇2] + [∇3,∇4] + [𝑖∇4,∇4]= [𝐷1,∇2] + [𝐷2,∇4] = [𝐷1, 𝑖∇2] + [𝐷2, 𝑖∇4]= [𝐷1, 𝑖∇2] − [𝐷1,∇1] + [𝐷2, 𝑖∇4] − [𝐷2,∇3] + [𝐷1,∇1] + [𝐷2,∇3]= [𝐷1, 𝐷

*1] + [𝐷2, 𝐷

*2] + [𝑖∇2,∇1] + [𝑖∇4,∇3]

= [𝐷1, 𝐷*1] + [𝐷2, 𝐷

*2]

Obtemos o sistema 5.2.11.

117

Capítulo 6

Classes características e teoria de ChernWeil

As classes características são classes de cohomologia que vem naturalmente associada ao fibradovetorial; isto é, todo fibrado vetorial tem associado uma classe de cohomologia na variedade baseque pode ser definida por meio da curvatura de uma conexão. Assim, o ponto inicial é lembrarque dado um fibrado vetorial 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 e uma conexão ∇ com sua 2-forma de curvaturaassociada (𝐹∇)𝛼 definida localmente no aberto trivializante 𝑈𝛼 ⊂ 𝑀 , esta muda de trivializaçãopor conjugação i.e., no aberto trivializante 𝑈𝛽, (𝐹∇)𝛽 = 𝑔−1

𝛼𝛽 (𝐹∇)𝛼𝑔𝛼𝛽 = 𝐴𝑑𝑔𝛼𝛽(𝐹∇). Agora, como

estas formas estão definidas só localmente gostaríamos de trabalhar com um objeto global. Poresse motivo vamos começar a estudar funções que tem a propriedade de serem invariantes porsemelhança, de tal maneira que o resultado vai ser independente da trivialização usada.

6.1 Funções Ad-InvariantesSeja 𝑉 um C-espaço vetorial de dimensão 𝑟 e 𝑓 : 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) → C função suave com a propriedade

𝑓(𝑔−1𝑚𝑔) = 𝑓(𝑚) para quaisquer 𝑚 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) e 𝑔 ∈ 𝐺𝐿(𝑉 ), tais funções são chamadas de ad-invariantes. Exemplos comuns de tais aplicações são a função determinante e a função traço deuma matriz.

Exemplo 6.1.1. Dado 𝑝 ∈ N temos que 𝑓(𝑚) = 𝑑𝑒𝑡(𝑚𝑝) e ℎ(𝑚) = 𝑡𝑟(𝑚𝑝) também são ad-invariantes; de fato, dado 𝑔 ∈ 𝐺𝐿(𝑉 ) (𝑔−1𝑚𝑔)𝑝 = 𝑔−1𝑚𝑝𝑔 assim 𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑔−1𝑚𝑔) e ℎ(𝑚) =ℎ(𝑔−1𝑚𝑔).

Fixando 𝑡 ≥ 0 e escrevendo 𝑓(𝑡𝑚) como expansão em série de Taylor

𝑓(𝑡𝑚) = 𝑓0(𝑚) + 𝑓1(𝑚)𝑡+ 𝑓2(𝑚)𝑡2 + ...

Onde 𝑓𝑘 : 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) → C é um polinômio homogêneo de grau 𝑘 nas entradas de 𝑚.

Exemplo 6.1.2. Tome 𝑓(𝑚) = 𝑑𝑒𝑡(1 + 𝑚) onde 1 denota a identidade em 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ), assim para𝑟 = 2

119

𝑓(𝑡𝑚) = 𝑑𝑒𝑡(1 + 𝑡𝑚)

= 𝑑𝑒𝑡

(1 + 𝑡𝑚11 𝑡𝑚12𝑡𝑚21 1 + 𝑡𝑚22

)= 1 + (𝑚11 +𝑚22)𝑡+ (𝑚11𝑚22 −𝑚12𝑚21)𝑡2

Assim 𝑓0(𝑚) = 1, 𝑓1(𝑚) = 𝑡𝑟(𝑚) = 𝑚11 +𝑚22 e 𝑓2(𝑚) = 𝑑𝑒𝑡(𝑚) = 𝑚11𝑚22 −𝑚12𝑚21.Teorema 6.1.3. O espaço vetorial (real) das funções 𝑓 : 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) → C ad-invariantes e homogê-neas de grau 𝑘 é gerado pelo conjunto {𝑡𝑟(𝑚𝑘1), ..., 𝑡𝑟(𝑚𝑘𝑞); 𝑘1 + ...+ 𝑘𝑞 = 𝑘}.

𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) //

��

R

⊗𝑘𝐸𝑛𝑑(𝑉 )𝑓𝑘

99

Δ(𝑚) = 𝑚⊗ ...⊗𝑚, 𝑓𝑘(𝑚⊗ ...⊗𝑚) = 𝑡𝑟(𝑚𝑘) = 𝑓𝑘(𝑚) i.e. 𝑓𝑘 fica determinada por 𝑓𝑘.

6.2 Classes Características para fibrados vetoriais comple-xos

Seja 𝐸 → 𝑀 fibrado vetorial complexo de dimensão 𝑟 sobre 𝑀 variedade diferenciável, ∇ :Γ(𝐸) → Γ(𝐸) ⊗ Ω1

𝑀 conexão e 𝐹∇ : Γ(𝐸) → Γ(𝐸) ⊗ Ω2𝑀 a respectiva curvatura associada. Dado

𝑘 ∈ N, 𝑓𝑘(𝐹∇) é uma 2𝑘-forma obtida de ⨂𝑘 𝐹∇ ∈ Γ((⨂𝑘 𝐸𝑛𝑑(𝐸)) ⊗ (⨂𝑘 Λ2𝑇 *𝑀)) aplicando ohomomorfismo antimetrização obtendo uma seção de (⨂𝑘 𝐸𝑛𝑑(𝐸)) ⊗ Λ2𝑘𝑇 *𝑀 .

⨂𝑘(𝐸𝑛𝑑(𝐸) × Ω2𝑀) //

��

Ω2𝑘𝑀 × C

⨂𝑘 𝐸𝑛𝑑(𝐸) × Ω2𝑘𝑀

66

Proposição 6.2.1. 𝑓𝑘(𝐹∇) é uma 2𝑘- forma fechada.Demonstração. Pelo teorema 6.1.3 é suficiente olhar para 𝑓𝑘(𝑚) = 𝑡𝑟(𝑚𝑘). Se 𝜔 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐸) ⊗ Ω𝑝

𝑀

𝑡𝑟(∇𝜔) = 𝑡𝑟(𝑑𝜔 + [𝐴, 𝜔])= 𝑑(𝑡𝑟(𝜔))

𝑑𝑓𝑘(𝐹∇) = 𝑡𝑟(∇(𝐹∇ ∧ ... ∧ 𝐹∇))= 𝑡𝑟(∇𝐹∇ ∧ ... ∧ 𝐹∇) + ...+ 𝑡𝑟(𝐹∇ ∧ ... ∧ ∇𝐹∇)

120

Logo pela identidade de Bianchi (∇𝐹∇ = 0) temos 𝑑𝑓𝑘(𝐹∇) = 0.

Segue que 𝑓𝑘(𝐹∇) representa uma classe em 𝐻2𝑘𝐷𝑅(𝑀,C).

Proposição 6.2.2. Se ∇ e ∇′ são conexões em 𝐸 então 𝑓𝑘(𝐹∇)−𝑓𝑘(𝐹∇′) = 𝑑𝛼, com 𝛼 ∈ Ω2𝑘−1𝑀 ⊗C.

Logo [𝑓𝑘(𝐹∇)] ∈ 𝐻2𝑘𝑑𝑅(𝑀,C) depende apenas de 𝐸, chamada classe característica de 𝐸.

Demonstração. Seja ∇′ − ∇ = 𝑎 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐸) ⊗ Ω1𝑀 e a aplicação 𝜋 : 𝑀 × [0, 1] → 𝑀 , tome o

fibrado pull-back 𝜋*(𝐸) com conexão ∇ := 𝜋*∇ + 𝑡𝜋*𝑎; note que ∇|𝑡=0= ∇ e ∇|𝑡=1= ∇′ = ∇ + 𝑎,porque para cada (𝑥, 𝑡) ∈ 𝑀 × [0, 1] a fibra nesse ponto 𝜋*(𝐸)(𝑥,𝑡) é exatamente 𝐸𝑥. Assim,𝑓𝑘(𝐹∇) = 𝑑𝑡 ∧ 𝛽2𝑘−1 + 𝛽2𝑘 é uma 2𝑘-forma em 𝑀 × [0, 1] onde 𝛽2𝑘−1 é uma 2𝑘 − 1-forma e 𝛽2𝑘 éuma 2𝑘-forma em 𝑀 , dependendo de 𝑡.

𝑑𝑓𝑘(𝐹∇) = −𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝛽2𝑘−1 + 𝑑𝑡 ∧ 𝜕𝛽2𝑘

𝜕𝑡+ 𝑑𝛽2𝑘 (6.2.1)

Pela proposição anterior 𝑓𝑘(𝐹∇) é fechada, logo da equação 6.2.1 temos 𝑑𝛽2𝑘 = 0 e 𝜕𝛽2𝑘

𝜕𝑡= 𝑑𝛽2𝑘−1

∫ 1

0𝑑𝛽2𝑘−1𝑑𝑡 =

∫ 1

0

𝜕𝛽2𝑘

𝜕𝑡𝑑𝑡

= 𝛽2𝑘(𝑡 = 1) − 𝛽2𝑘(𝑡 = 0)= 𝑓𝑘(𝐹∇′) − 𝑓𝑘(𝐹∇)

Note que∫ 1

0 𝑑𝛽2𝑘−1𝑑𝑡 = 𝑑(∫ 1

0 𝛽2𝑘−1𝑑𝑡) onde 𝛼 =∫ 1

0 𝛽2𝑘−1𝑑𝑡 é uma 2𝑘 − 1-forma, assim, segue-se aproposição.

6.3 Classes de Chern𝑓𝑘(𝑚) é a 𝑘-ésima componente homogênea de 𝑓(𝑚) = 𝑑𝑒𝑡(1 + 𝑖

2𝜋𝑚), quando 𝑚 é a curvaturade uma conexão ∇ em 𝐸 i.e., 𝑚 = 𝐹∇ então 𝑓(𝑚) = 𝐶(𝐸) é chamada classe de Chern total e𝑓𝑘(𝑚) = 𝐶𝑘(𝐸) é a chamada 𝑘-ésima classe de Chern, onde 𝐶𝑘(𝐸) ∈ 𝐻2𝑘

𝐷𝑅(𝑀,C).

Exemplo 6.3.1. 1. 𝐶1(𝐸) = [ 𝑖2𝜋 𝑡𝑟(𝐹∇)].

2. 𝐶2(𝐸) = [ 18𝜋2 ((𝑡𝑟(𝐹∇) ∧ (𝑡𝑟(𝐹∇))) − 𝑡𝑟(𝐹∇ ∧ 𝐹∇))].

Observação 6.3.2. 1. A título de comentário, as classes de Chern são universais i.e., todaclasse característica pode ser expressada como combinação de classes de Chern. Por exemploa k-ésima classe de Pontrjagin de um fibrado vetorial real 𝐸 pode ser expressada em termosda k-ésima classe de Chern da complexificação do fibrado, 𝑝𝑘(𝐸) = (−1)𝑘𝑐2𝑘(𝐸 ⊗ C).

2. 𝐶𝑘(𝐸) = 0 para 𝑘 > 𝑑𝑖𝑚𝑀2 e 𝑘 > 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐸). Já que 𝑚 ↦ −→ 𝑑𝑒𝑡(1 + 𝑖

2𝜋𝑚) é um polinômio comcoeficientes 𝑚 e de grau igual a dimensão da fibra.

121

Como 𝐶(𝐸) = 1+𝑐1(𝐸)+𝑐2(𝐸)+... ∈ 𝐻*𝐷𝑅 = ⨁ 𝑑𝑖𝑚𝑀

2𝑝=0 𝐻2𝑝

𝑑𝑅(𝑀,C) tem estrutura de álgebra como produto de classes obtido do produto exterior de formas i.e., se 𝑥 ∈ 𝐻2𝑘

𝐷𝑅(𝑀,C) e 𝑦 ∈ 𝐻2𝑙𝐷𝑅(𝑀,C)

então 𝑥 · 𝑦 ∈ 𝐻2(𝑘+𝑙)𝐷𝑅 (𝑀,C). De fato, sejam 𝑥 = [𝜔] e 𝑦 = [𝜂] onde 𝜔 é uma 2𝑘-forma e 𝜂 uma

2𝑙-forma, então definimos 𝑥 · 𝑦 = [𝜔 ∧ 𝜂].Temos que 𝑥·𝑦 está bem definida i.e., 𝜔∧𝜂 é uma forma fechada, já que 𝑑(𝜔∧𝜂) = 𝑑𝜔∧𝜂+𝜔∧𝑑𝜂 = 0,pois 𝜔 e 𝜂 são fechadas. Por outro lado 𝑥 ·𝑦 não depende do representante, isto significa que dadas𝜔′ = 𝜔+𝑑𝛼 (𝜔′e 𝜔 são chamadas cohomologas) e 𝜂′ = 𝜂+𝑑𝛽 onde 𝛼 e 𝛽 são 2𝑘− 1 e 2𝑙− 1 formasrespectivamente.

𝜔′ ∧ 𝜂′ = (𝜔 + 𝑑𝛼) ∧ (𝜂 + 𝑑𝛽)= 𝜔 ∧ 𝜂 + 𝑑𝛼 ∧ 𝜂 + 𝜔 ∧ 𝑑𝛽 + 𝑑𝛼 ∧ 𝑑𝜂

= 𝜔 ∧ 𝜂 + 𝑑[𝛼 ∧ 𝜂 + 𝜔 ∧ 𝛽 + 𝛼 ∧ 𝑑𝛽]= 𝜔 ∧ 𝜂 + 𝑑𝛾

onde 𝛾 = 𝛼∧ 𝜂+𝜔∧𝛽+𝛼∧𝑑𝛽 é uma 2(𝑘+ 𝑙) − 1-forma, assim 𝜔′ ∧ 𝜂′ e 𝜔∧ 𝜂 são cohomologasi.e., [𝜔′ ∧ 𝜂′] = [𝜔 ∧ 𝜂].

Proposição 6.3.3. Toda classe de Chern é uma classe de cohomologia real.

Demonstração. Escolha métrica hermitiana ⟨, ⟩ em 𝐸 e conexão ∇ compatível com a métrica.Dado {𝑠1, ..., 𝑠𝑛} referencial ortonormal com respeito ⟨, ⟩, 0 = 𝑑⟨𝑠𝑖, 𝑠𝑗⟩ = ⟨∇𝑠𝑖, 𝑠𝑗⟩ + ⟨𝑠𝑖,∇𝑠𝑗⟩ daí⟨∇𝑠𝑖, 𝑠𝑗⟩ = −⟨𝑠𝑖,∇𝑠𝑗⟩ e em termos da matriz de forma de conexão ⟨Σ𝑠𝑘⊗𝐴𝑘𝑖 , 𝑠𝑗⟩ = −⟨𝑠𝑖,Σ𝑠𝑘⊗𝐴𝑘𝑗 ⟩logo 𝐴𝑖𝑗 = −𝐴𝑗𝑖 i.e. 𝐴 é anti hermitiana e usando a equação de estrutura 𝐹∇ = 𝑑𝐴+ 𝐴 ∧ 𝐴

(𝐹∇)𝑖𝑗 = 𝑑𝐴𝑖𝑗 + Σ𝐴𝑖𝑘 ∧ 𝐴𝑘𝑗

= −𝑑𝐴𝑗𝑖 + Σ𝐴𝑘𝑖 ∧ 𝐴𝑗𝑘

= −𝑑𝐴𝑗𝑖 − Σ𝐴𝑗𝑘 ∧ 𝐴𝑘𝑖

= −𝐹∇𝑗

𝑖

Assim, a 2- forma de curvatura também é anti hermitiana. Logo usando 𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 𝑖

2𝜋𝐹∇

)chame

𝑆𝑖𝑗 = 𝐼 𝑖𝑗 + 𝑖2𝜋 (𝐹∇)𝑖𝑗, como a matriz 𝐼 e 𝑖𝐹∇ são hermitianas, daí a matriz 𝑆 = (𝑆)𝑖𝑗 é hermitiana,

temos da álgebra linear 𝑑𝑒𝑡(𝑆) = 𝑑𝑒𝑡(𝑆𝑡) = 𝑑𝑒𝑡(𝑆𝑡) = 𝑑𝑒𝑡(𝑆) ou seja 𝐼𝑚(𝑑𝑒𝑡(𝑆)) = 0 portanto[𝑑𝑒𝑡(𝑆)] ∈ 𝐻*

𝐷𝑅(𝑀,R).

Proposição 6.3.4. A classe característica do fibrado conjugado 𝐸 de um fibrado vetorial complexo𝐸 é dada por

𝐶𝑘(𝐸) = (−1)𝑘𝐶𝑘(𝐸)

122

Demonstração. Escolha ∇ uma conexão em 𝐸, temos que ∇ também é uma conexão em 𝐸. Seja 𝐹∇a curvatura em 𝐸 e 𝐹∇ a curvatura de 𝐸. Da prova da proposição 6.3.3, 𝐹∇ pode ser consideradacomo anti hermitiana i.e., 𝐹∇ = −𝐹 𝑡

∇. Como 𝐶𝑘(𝐸) é gerado pelo conjunto 𝑡𝑟(𝐹 𝑘1∇ ), ..., 𝑡𝑟(𝐹 𝑘𝑞

∇ )talque 𝑘1 + ...+ 𝑘𝑞 = 𝑘, segue-se a proposição.

Mais ainda, dada uma métrica hermitiana em 𝐸, considere a aplicação 𝑣 ∈ 𝐸𝑥 → 𝑙(𝑣) ∈ 𝐸*𝑥;

𝑙(𝑣) : 𝑢 ∈ 𝐸𝑥 → 𝑙(𝑣) = ⟨𝑢, 𝑣⟩, é um isomorfismo entre fibrados 𝐸 ∼= 𝐸*. Logo também vale

𝐶𝑘(𝐸*) = (−1)𝑘𝐶𝑘(𝐸)

Exemplo 6.3.5. Considere a função 𝑐ℎ(𝑚) = 𝑡𝑟(𝑒𝑥𝑝( 𝑖2𝜋𝑚)). As classes características associadas

a 𝑐ℎ𝑘(𝑚) = 𝑖𝑘

(2𝜋)𝑘𝑘!𝑡𝑟(𝑚𝑘) são chamadas classes do caráter de Chern.

𝑐ℎ1(𝐸) = [ 𝑖2𝜋𝑡𝑟(𝐹∇)] = 𝐶1(𝐸)

𝑐ℎ2(𝐸) = [− 18𝜋2 𝑡𝑟(𝐹∇ ∧ 𝐹∇)] = 𝐶2(𝐸) − 1

2𝐶1(𝐸)2 (6.3.1)

Nas seguintes proposições, 𝐸 e 𝐹 são fibrados vetoriais complexos com base 𝑀 e posto 𝑚 e 𝑛respectivamente.

Proposição 6.3.6. 1. 𝐶(𝐸 ⊕ 𝐹 ) = 𝐶(𝐸) · 𝐶(𝐹 ).

2. Seja 𝜑 : 𝑁 → 𝑀 aplicação suave entre variedades diferenciáveis, 𝜑*𝐸 fibrado pull-back e𝜑* : 𝐻2𝑘

𝐷𝑅(𝑀,C) → 𝐻2𝑘𝐷𝑅(𝑀,C) então 𝐶𝑘(𝜑*𝐸) = 𝜑*𝐶𝑘(𝐸).

𝜑*𝐸 //

��

𝐸

��

𝑁 //𝑀

Demonstração. 𝑖) Seja ∇𝐸 conexão em 𝐸, ∇𝐹 conexão em 𝐹 e 𝑠 ∈ Γ(𝐸 ⊕ 𝐹 ), com 𝑠 = 𝑠1 ⊕ 𝑠2definindo ∇ conexão em 𝐸 ⊕ 𝐹 . Como ∇(𝑠1 ⊕ 𝑠2) = ∇𝐸𝑠1 ⊕ ∇𝐹 𝑠2 veja que ∇ satisfaz Leibniz,seja 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀,C)

∇(𝑓𝑠) = ∇(𝑓𝑠1 ⊕ 𝑓𝑠2)= ∇𝐸(𝑓𝑠1) ⊕ ∇𝐹 (𝑓𝑠2)= (𝑑𝑓 ⊗ 𝑠1 + 𝑓∇𝐸𝑠1) ⊕ (𝑑𝑓 ⊗ 𝑠2 + 𝑓∇𝐹 𝑠2)= (𝑑𝑓 ⊗ 𝑠1) ⊕ (𝑑𝑓 ⊗ 𝑠2) + (𝑓∇𝐸𝑠1) ⊕ (𝑓∇𝐹 𝑠2)= 𝑑𝑓 ⊗ (𝑠1 ⊕ 𝑠2) + 𝑓(∇𝐸𝑠1 ⊕ ∇𝐸𝑠2)= 𝑑𝑓 ⊗ 𝑠+ 𝑓∇𝑠

123

Sejam {𝑠𝐸𝑗 } referencial de 𝐸 e {𝑠𝐹𝑘 } referencial de 𝐹 então {𝑠𝐸1 ⊕ 0, ..., 𝑠𝐸𝑚 ⊕ 0, 0 ⊕ 𝑠𝐹1 , ..., 0 ⊕ 𝑠𝐹𝑛 }é referencial de 𝐸 ⊕ 𝐹

∇(𝑠𝐸𝑗 , 0) = (∇𝐸𝑠𝐸𝑗 , 0) = (Σ𝑠𝐸𝑘 ⊗ (𝐴𝐸)𝑘𝑗 , 0)= Σ(𝑠𝐸𝑘 , 0) ⊗ (𝐴𝐸)𝑘𝑗

∇(0, 𝑠𝐹𝑙 ) = (0,∇𝐹 𝑠𝐹𝑙 ) = (0,Σ𝑠𝐹𝑖 ⊗ (𝐴𝐹 )𝑖𝑙)= Σ(0, 𝑠𝐹𝑖 ) ⊗ (𝐴𝐹 )𝑖𝑙

Assim𝐴 =

(𝐴𝐸 00 𝐴𝐹

)Logo, usando a equação estrutural temos

𝐹∇ =(𝐹∇𝐸 0

0 𝐹∇𝐹

)(6.3.2)

E calculando 𝐶(𝐸 ⊕ 𝐹 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 12𝜋𝐹∇)

𝐶(𝐸 ⊕ 𝐹 ) = 𝑑𝑒𝑡

(𝐼 + 𝑖

2𝜋𝐹∇𝐸 00 𝐼 + 𝑖

2𝜋𝐹∇𝐹

)

= 𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 𝑖

2𝜋𝐹∇𝐸 )𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 𝑖

2𝜋𝐹∇𝐹 )

= 𝐶(𝐸) · 𝐶(𝐹 )

𝑖𝑖) Escolha ∇ conexão em 𝐸 e sejam 𝜑*∇ conexão induzida em 𝜑*𝐸 e 𝑠 ∈ Γ(𝐸). Definimos(𝜑*∇)(𝜑*𝑠) = 𝜑*(∇𝑠) onde 𝜑*𝑠 é uma seção no fibrado pull back.Tome {𝑠1, ..., 𝑠𝑛} referencial local de 𝐸 e {𝜑*𝑠1, ..., 𝜑

*𝑠𝑛} o referencial induzido

(𝜑*∇)(𝜑*𝑠𝑖) = 𝜑*(∇𝑠𝑖)= 𝜑*(Σ𝑠𝑗 ⊗ 𝐴𝑗𝑖 )= Σ𝜑*𝑠𝑗 ⊗ 𝜑*𝐴𝑗𝑖

E por outro lado (𝜑*∇)(𝜑*𝑠𝑖) = Σ𝜑*𝑠𝑗⊗𝐴𝑗

𝑖 onde 𝐴𝑗𝑖 é a matriz de representação de 𝜑*∇. Assimlocalmente 𝐴𝑗𝑖 = 𝜑*𝐴𝑗𝑖 , logo usando a equação de estrutura temos que localmente 𝐹𝜑*∇ = 𝜑*𝐹∇.

Tome 𝑓𝑘 a parte homogênea de grau 𝑘 de 𝑓(𝑚) = 𝑑𝑒𝑡

(1 + 𝑖

2𝜋𝑚

)𝑓𝑘(𝐹𝜑*∇) = 𝑓𝑘(𝜑*∇) = 𝜑*𝑓𝑘(𝐹∇)

Portanto temos 𝑐𝑘(𝜑*𝐸) = [𝑓𝑘(𝐹𝜑*𝐹∇)] = 𝜑*[𝑓𝑘(𝐹∇)] = 𝜑*𝑐𝑘(𝐸).

Proposição 6.3.7. i) 𝑐ℎ(𝐸 ⊕ 𝐹 ) = 𝑐ℎ(𝐸) ⊕ 𝑐ℎ(𝐹 ).

124

ii) 𝑐ℎ(𝐸 ⊗ 𝐹 ) = 𝑐ℎ(𝐸) · 𝑐ℎ(𝐹 ).

Demonstração. 𝑖) Do mesmo jeito que na prova do item 𝑖) da proposição 6.3.6 podemos escolheruma forma de curvatura 𝐹∇ como na equação 6.3.2, assim

𝑐ℎ(𝐸 ⊕ 𝐹 ) = 𝑡𝑟(𝑒𝑥𝑝(𝑖𝐹∇

2𝜋

))

= 𝑡𝑟

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑒𝑥𝑝

(𝑖𝐹∇𝐸

2𝜋

)0

0 𝑒𝑥𝑝

(𝑖𝐹∇𝐹

2𝜋

)⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= 𝑐ℎ(𝐸) + 𝑐ℎ(𝐹 )

𝑖𝑖) Com a notação da prova da proposição 6.3.6 𝑖) temos {𝑠𝐸𝑖 ⊗ 𝑠𝐹𝑗 } é referencial de 𝐸 ⊗ 𝐹 e

∇(𝑠𝐸𝑖 ⊗ 𝑠𝐹𝑗 ) = ∇𝐸𝑠𝐸𝑖 ⊗ 𝑠𝐹𝑗 + 𝑠𝐸𝑖 ⊗ ∇𝐹 𝑠𝐹𝑗

E para a curvatura temos

𝐹∇(𝑠𝐸𝑖 ⊗ 𝑠𝐹𝑗 ) = Σ𝑘(𝑠𝐸𝑘 ⊗ (𝐹∇𝐸 )𝑘𝑖 ) ⊗ 𝑠𝐹𝑗 + 𝑠𝐸𝑖 ⊗ (Σ𝑙𝑠𝐹𝑙 ⊗ (𝐹∇𝐹 )𝑙𝑗)

Assim localmente a forma de curvatura para 𝐸⊗𝐹 vem dada pelo produto 𝐹∇𝐸 ⊗ 𝐼+ 𝐼⊗𝐹∇𝐹 .Observe que 𝐹∇𝐸 ⊗ 𝐼 e 𝐼 ⊗ 𝐹∇𝐹 comuta logo

𝑐ℎ(𝐸 ⊗ 𝐹 ) = 𝑡𝑟(𝑒𝑥𝑝(𝑖

2𝜋𝐹∇𝐸 ⊗ 𝐼 + 𝑖

2𝜋𝐼 ⊗ 𝐹∇𝐹

))

= 𝑡𝑟(𝑒𝑥𝑝(𝑖

2𝜋𝐹∇𝐸 ⊗ 𝐼

)· 𝑒𝑥𝑝

(𝑖

2𝜋𝐼 ⊗ 𝐹∇𝐹

))

= 𝑡𝑟(𝑒𝑥𝑝(𝑖

2𝜋𝐹∇𝐸

)) · 𝑡𝑟(𝑒𝑥𝑝

(𝑖

2𝜋𝐹∇𝐹

))

= 𝑐ℎ(𝐸) · 𝑐ℎ(𝐹 )

6.4 Obstrução pela existência de conexões planasSe o fibrado vetorial admite conexão plana (i.e. 𝐹∇ = 0) então 𝐶𝑘(𝐸) = 0. Se 𝐶𝑘(𝐸) = 0 para

algum 𝑘 ∈ N então 𝐸 não admite conexão plana logo não é isomorfo ao fibrado trivial.Ademais as classes de Chern de um fibrado dão informação sobre sua estrutura (topológica oudiferencial) i.e os fibrados vetoriais 𝐸 e 𝐹 não são isomorfos se para algum 𝑘 ∈ N 𝐶𝑘(𝐸) = 𝐶𝑘(𝐹 ).

125

6.5 Exemplos de Classes de Chern

6.5.1 Conexões via ProjeçõesSeja 𝐸 → 𝑀 fibrado vetorial (R ou C) de dimensão n, sobre a variedade diferenciável 𝑀 ,

denote o fibrado trivial 𝑀 × R𝑚 := R𝑚 (𝑀 × C𝑚 := C𝑚) e suponha 𝐸 →˓ R𝑚 (C𝑚) subfibrado.

Exemplo 6.5.1. Seja 𝑀 →˓ R𝑛+1 hipersuperfície orientável, 𝑇𝑀 →˓ R𝑛+1 com 𝑇𝑀 = {(𝑥, 𝑣) ∈𝑀 × R𝑛+1; 𝜂(𝑥) · 𝑣 = 0} onde 𝜂 : 𝑀 → R𝑚 é um campo normal a 𝑀 .Seja 𝑃 : R𝑚 → 𝐸 aplicação entre fibrados tal que para 𝑥 ∈ 𝑀 , 𝑃𝑥 : R𝑚

𝑥 → 𝐸𝑥 é projeção ortogonalcom respeito a métrica euclidiana (ou hermítiana no caso de C𝑚). Defina a conexão

Γ(𝐸) 𝑖−→ Γ(R𝑚) 𝑑−→ Γ(R𝑚) ⊗ Ω1𝑀

𝑃𝑥⊗1−−−→ Γ(𝐸) ⊗ Ω1𝑀 (6.5.1)

A conexão fica definida ∇ := (𝑃𝑟 ⊗ 1) ∘ 𝑑 ∘ 𝑖, a fim de melhorar a notação ∇ = 𝑃 ∘ 𝑑 ≡ 𝑃𝑑.Vamos ver que ela satisfaz a regra de Leibnitz. Seja 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) e 𝜎 ∈ Γ(𝐸)

∇(𝑓𝜎) = 𝑃𝑑(𝑓𝜎)= 𝑃 (𝜎 ⊗ 𝑑𝑓 + 𝑓𝑑𝜎)= 𝜎 ⊗ 𝑑𝑓 + 𝑓𝑃𝑑𝜎

= 𝜎 ⊗ 𝑑𝑓 + 𝑓∇𝜎

Calculando a curvatura, note primeiro que 𝑃𝜎 = 𝜎 e 𝑃 2 = 𝑃 ,

𝑑𝑃 2 = 𝑑𝑃

(𝑑𝑃 )𝑃 + 𝑃𝑑𝑃 = 𝑑𝑃

𝑃 (𝑑𝑃 )𝑃 + 𝑃𝑑𝑃 = 𝑃𝑑𝑃

𝑃 (𝑑𝑃 )𝑃 = 0

𝐹∇𝜎 = ∇∇𝜎 = 𝑃𝑑(𝑃𝑑𝜎)= 𝑃 (𝑑𝑃 ∧ 𝑑𝜎)= 𝑃 (𝑑𝑃 ∧ 𝑑(𝑃 2𝜎))= 𝑃 (𝑑𝑃 ∧ [((𝑑𝑃 )𝑃 + 𝑃 (𝑑𝑃 ))𝜎 + 𝑃 2𝑑𝜎]= 𝑃 (𝑑𝑃 ∧ (𝑑𝑃 )𝑃𝜎 + 𝑑𝑃 ∧ 𝑃𝑑𝑃𝜎 + 𝑑𝑃 ∧ 𝑃𝑑𝜎)= 𝑃 (𝑑𝑃 ) ∧ (𝑑𝑃 )𝑃𝜎 + 𝑃 (𝑑𝑃 ) ∧ 𝑃 (𝑑𝑃 )𝜎 + 𝑃 (𝑑𝑃 ) ∧ 𝑃𝑑𝜎

= 𝑃𝑑𝑃 ∧ (𝑑𝑃 )𝑃𝜎

A última igualdade obtém-se do fato que 𝑃 (𝑑𝑃 )𝑃 = 0, assim

𝐹∇ = 𝑃 (𝑑𝑃 ) ∧ (𝑑𝑃 )𝑃 (6.5.2)

126

Exemplo 6.5.2. Seja 𝑀 = 𝑆2 ⊂ R3 esfera de raio 1 e sejam as matrizes de Pauli

𝜏1 =(

0 𝑖𝑖 0

)𝜏2 =

(0 −11 0

)𝜏3 =

(𝑖 00 −𝑖

)

Onde 𝜏1 = 𝜏2 = 𝜏3 = −𝐼2, 𝜏1𝜏2 = 𝜏3, 𝜏1𝜏3 = −𝜏2,...Defina o subfibrado 𝐸 →˓ C2 × 𝑆2, como 𝐸 = {(𝑥, 𝑣) ∈ 𝑆2 × C2; ∑𝑥𝑘𝜏𝑘𝑣 = 𝑖𝑣} é o subespaçoassociado ao auto valor 𝑖, assim, 𝐸 é um fibrado complexo de posto 1.Seja 𝑃 : C2 → 𝐸 com projeção 𝑃𝑥 : C2

𝑥 → 𝐸𝑥 onde 𝐸𝑥 = 𝑘𝑒𝑟(∑𝑥𝑘𝜏𝑘 − 𝑖𝐼2). Com o polinômio deLagrange 𝑃𝑥 = 1

2(𝐼2 − 𝑖∑𝑥𝑘𝜏𝑘) e usando a representação da conexão do exemplo 6.5.1 temos

∇𝜎 = 12(𝐼2 − 𝑖

∑𝑥𝑘𝜏𝑘)𝑑𝜎 (6.5.3)

com 𝜎(𝑥) = (𝜎1(𝑥), 𝜎2(𝑥)), 𝜎𝑖 : 𝑆2 → C. E calculando a curvatura

𝑑𝑃 = − 𝑖

2∑

𝑑𝑥𝑘𝜏𝑘

𝑑𝑃 ∧ 𝑑𝑃 = −14∑𝑗,𝑘,𝑙

𝑑𝑥𝑗 ∧ 𝑑𝑥𝑘𝜖𝑗𝑘𝑙𝜏𝑙

= −12(𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2𝜏3 − 𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥3𝜏2 + 𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3𝜏1)

Dado 𝑥 ∈ 𝑆2, fixe uma orientação, um referencial ortonormal (𝑥, 𝑢, 𝑣) para R3, assim (𝑢, 𝑣)são um referencial ortonormal para 𝑇𝑥𝑆2, ou seja, 𝑢× 𝑣 = 𝑥, 𝑥×𝑢 = 𝑣,... onde × denota produtovetorial de R3.

𝑑𝑥𝑗 ∧ 𝑑𝑥𝑘(𝑢, 𝑣) = 𝑢𝑗𝑣𝑘 − 𝑢𝑘𝑣𝑗 = 𝜖𝑗𝑘𝑙𝑥𝑙

Isto implica 𝑑𝑃 ∧ 𝑑𝑃 (𝑢, 𝑣) = −12∑𝑥𝑙𝜏𝑙, dai como ∑𝑥𝑙𝜏𝑙 age como multiplicação por 𝑖 em 𝐸,

segue que 𝐹∇(𝑢, 𝑣)𝜎 = − 𝑖2𝜎, i.e., 𝐹∇(𝑢, 𝑣) = − 𝑖

2 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐸). Finalmente calculando as classes deChern temos 𝐶1(𝐸) = 𝑖

2𝜋𝐹∇ (já que 𝐸 tem posto 1 então 𝑡𝑟(𝐹∇) = 𝐹∇ e 𝐶1(𝐸)(𝑢, 𝑣) = 14𝜋 )∫

𝑆2𝐶1(𝐸) = 1

4𝜋

∫𝑆2𝑑𝑣𝑜𝑙 = 1

De fato 𝐶1(𝐸) ∈ 𝐻2(𝑆2,Z) = Z. Finalmente observe que

1. 𝐶1(𝐸) = 𝜔, 𝜔 é gerador positivo de 𝐻2(𝑆2,Z) = Z.

2. O fibrado considerado não é isomorfo ao fibrado trivial, portanto não admite uma conexãoplana.

Exemplo 6.5.3. Similar ao exemplo anterior considere agora o fibrado de posto 1, 𝐸 ′ = {(𝑥, 𝑣) ∈𝑆2 ×C2; ∑𝑥𝑘𝜏𝑘𝑣 = −𝑖𝑣}. Para ver que de fato 𝐸 ′ é um fibrado é similar ao argumento dado parao fibrado 𝐸 do exercício, vide [Taubes, Clifford H. Differential Geometry, cap 6.4].

127

Temos 𝑃 : C2 → 𝐸 ′ cuja aplicação entre as fibras 𝑃𝑥 : C2 → 𝐸 ′𝑥 vem definida por 𝑃𝑥 = 1

2(𝐼2 +𝑖∑𝑥𝑘𝜏𝑘) onde 𝐸𝑥 = 𝑘𝑒𝑟(∑𝑥𝑘𝜏𝑘 + 𝑖𝐼2). Igual que no exemplo anterior temos

𝑑𝑃 = 𝑖

2∑

𝑑𝑥𝑘𝜏𝑘 𝑑𝑃 ∧ 𝑑𝑃 (𝑢, 𝑣) = −12∑

𝑥𝑘𝜏𝑘

note que ∑𝑥𝑘𝜏𝑘 age como multiplicação por −𝑖 em 𝐸 ′ segue que 𝐹∇(𝑢, 𝑣)𝜎 = 𝑖

2𝜎 isto é𝐹∇(𝑢, 𝑣) = 𝑖

2 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐸), logo a primeira classe de Chern 𝐶(𝐸′) = 𝑖

2𝜋𝐹∇ é igual a − 14𝜋∫

𝑆2𝐶1(𝐸 ′) = − 1

4𝜋

∫𝑆2𝑑𝑣𝑜𝑙 = −1

De fato 𝐶1(𝐸 ′) ∈ 𝐻2(𝑆2,Z) = Z. Finalmente observe que

1. O fibrado 𝐸 ′ não é isomorfo ao fibrado 𝐸 (do exemplo anterior), 𝐶1(𝐸) = 𝐶1(𝐸 ′).

2. O fibrado considerado 𝐸 ′ não é isomorfo ao fibrado trivial, portanto não admite uma conexãoplana.

Exemplo 6.5.4. Seja 𝑇 = {(𝐿, 𝑣) ∈ CP1 × C2; 𝑣 ∈ 𝐿⊥ 𝑖.𝑒. 𝑧0𝑣0 + 𝑧1𝑣1 = 0} onde 𝐿 = [𝑧0, 𝑧1],este é o complementar do fibrado de linhas complexo. 𝑇 subfibrado do fibrado trivial CP1 × C2 econsidere o morfismo entre fibrados 𝑓 : CP1 × C2 → 𝑇 definido por 𝑓(𝐿, 𝑢0, 𝑢1) = (𝐿, 𝑢) onde 𝑢 éa projeção ortogonal de (𝑢0, 𝑢1) sobre o subespaço 𝐿.Podemos escrever 𝑓(𝐿, 𝑢0, 𝑢1) = (𝑢0, 𝑢1)𝑃𝐿, onde 𝑃𝐿 é a matriz

𝑃𝐿 = 1|𝑧0|2+|𝑧1|2

(𝑧0𝑧0 𝑧0𝑧1𝑧1𝑧0 𝑧1𝑧1

)

Logo a aplicação entre as fibras 𝑓𝐿 : C2 → 𝐿 fica definida por 𝑓𝐿(𝑢0, 𝑢1) = (𝑢0, 𝑢1)𝑃𝐿. Paradefinir a conexão usamos a construção da equação (6.5.1) e as cartas locais de CP1 𝜑𝑖 : R2 → 𝑈𝑖𝑖 = 0, 1 com 𝜑0(𝑥, 𝑦) = [1, 𝑧] e 𝜑1(𝑥, 𝑦) = [𝑧, 1] onde 𝑧 = 𝑥+ 𝑖𝑦. Logo uma seção 𝜎 sobre o aberto𝑈0 é 𝜎(𝜑0(𝑥, 𝑦)) = (𝜑0(𝑥, 𝑦), (1, 𝑧)) ∈ CP1 ×C2. Assim 𝑑𝜎 = (𝜑0(𝑥, 𝑦), (0, 𝑑𝑧)) onde 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥+ 𝑖𝑑𝑦.

∇𝜎 = (𝜑0(𝑥, 𝑦), (0, 𝑑𝑧)𝑃𝜑0(𝑥,𝑦))

= (𝜑0(𝑥, 𝑦), 11 + |𝑧|2

(0, 𝑑𝑧)(

1 𝑧𝑧 |𝑧|2

))

= (𝜑0(𝑥, 𝑦), 11 + |𝑧|2

(𝑧𝑑𝑧, |𝑧|2𝑑𝑧))

= (𝜑0(𝑥, 𝑦), 𝑧𝑑𝑧

1 + |𝑧|2(1, 𝑧))

Como localmente ∇𝜎 = 𝐴⊗ 𝜎, temos

𝐴𝜑0(𝑥,𝑦) = 𝑧𝑑𝑧

1 + |𝑧|2

128

Para calcular a curvatura associada com a conexão 𝐴𝜑0(𝑥,𝑦) usamos a equação estrutural 𝐹𝐴 =𝑑𝐴− 𝐴 ∧ 𝐴 (por comodidade denotamos 𝐴𝜑0(𝑥,𝑦) simplesmente por 𝐴).

𝑑𝐴 = 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑧

(1 + |𝑍|2)2

com 𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑧 = 2𝑖𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 e como 𝐴 ∧ 𝐴 = 0 temos

𝐹𝐴 = 2𝑖(1 + |𝑧|2)2𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦

Logo a primeira classe de Chern de 𝑇 , 𝐶1(𝑇 ) = 𝑖2𝜋𝐹𝐴

∫CP1

𝐹𝐴 = 2𝑖∫ 2𝜋

0

∫ ∞

0

𝑟𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃

(1 + 𝑟2)2

= 4𝑖𝜋∫ ∞

0

𝑟𝑑𝑟

(1 + 𝑟2)2

= −2𝑖𝜋 11 + 𝑟2

∞0

= 2𝑖𝜋

Portanto ∫CP1

𝐶1(𝑇 ) = −1

O calculo anterior nos diz que o fibrado considerado não é isomorfo ao fibrado CP1 × C2 eportanto não admite conexão plana.

129

Capítulo 7

Teorema de Gauss Bonnet em superfície

O objetivo neste capitulo é discutir uma generalização do Teorema de Gauss Bonnet. O teoremaclássico conecta a geometria com a topologia de uma superfície Riemanniana (𝑀, 𝑔) orientada,relacionando a curvatura Gaussiana 𝐾 e a curvatura geodésica 𝑘𝑔 com 𝜒(𝑀) a característica deEuler de 𝑀 , tendo ∫

𝑀𝐾𝑑𝐴+

∫𝜕𝑀

𝑘𝑔𝑑𝑠 = 2𝜋𝜒(𝑀).

Note que para superfícies sem fronteira a característica de Euler é igual a 2 − 2𝑔, onde 𝑔 é ogênero da superfície e o segundo termo na soma é nulo, segue que∫

𝑀𝐾𝑑𝐴 = 2𝜋(2 − 2𝑔).

7.1 Estrutura Quase-Complexa em Fibrados Reais.Começamos definindo fibrados vetoriais complexos.

Definição 7.1.1. Um fibrado vetorial complexo de posto 𝑛 é um fibrado vetorial, 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 , comfibra de dimensão 2𝑛, munido de um endomorfismo 𝐽 : 𝐸 → 𝐸 de tal forma que 𝐽2 = −𝑖𝑑.

O endomorfismo 𝐽 é dito uma estrutura quase-complexa para 𝐸.

Denotamos o fibrado vetorial real subjacente com fibra real de dimensão 2𝑛 por 𝐸R como umadistinção entre os dois.

Dado 𝐽 uma estrutura quase complexa sobre 𝑇Σ ussaremos o Lema a seguir para mostrar quea integral sobre (uma variedad 2-dimenasional) Σ de qualquer representante de 𝑐1(𝑇0,1Σ) é igual a2 − 2𝑔.

Lema 7.1.2. Se 𝑀 é uma variedade diferenciável compacta, 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 um fibrado vetorial realcom fibras de dimensão par. Suponha que 𝑡 → 𝑗𝑡 é uma variação de uma família a 1-parâmetrode estruturas quase complexas em 𝐸R e parametrizada por 𝑡 ∈ [0, 1]. Para cada 𝑡, denotamos 𝐸𝑡 o

131

fibrado vetorial complexo que é definido de 𝐸R via 𝑗𝑡. Então, para cada 𝑡 ∈ [0, 1], 𝐸𝑡 é isomorfo a𝐸0 como fibrados vetoriais complexos. Em particular, as classes de Chern não mudam ao variar𝑡, isto é 𝑐1(𝐸𝑡) não depende de 𝑡.

A demonstração deste lema encontra-se em [Taubes, Lema 14,8 pagina 183].A afirmação sobre a integral de 𝑐1(𝑇0,1Σ) segue a partir do lema anterior, junto com a observação

que duas estruturas complexas em 𝑇Σ que definem a mesma orientação estão ligados por umcaminho de estruturas complexas. Finalmente, o resultado segue dos exemplos da próxima seção.

7.2 Generalizações do Teorema Gauss BonnetAqui apresentamos como exemplos dois resultados análogos ao Teorema de Gauss Bonnet. Par-

ticularmente sobre 𝑆2 e logo depois voltamos a uma superfície Σ.

Consideremos Σ →˓ R3 uma superfície orientada, suave de gênero 𝑔 e 𝑛 : Σ → 𝑆2 é o mapa deGauss (ou seja, 𝑛(𝑥) o vetor unitário e normal a 𝑇𝑥Σ).

Procuramos definir uma estrutura quase-complexa sobre 𝑇Σ = {(𝑥,𝑤) ∈ Σ ×R3|𝑛(𝑥) ·𝑤 = 0},observe-se que 𝑇Σ é subfibrado do fibrado trivial Σ × R3, definimos

𝐽Σ : 𝑇Σ → 𝑇Σ

(𝑥,𝑤) ↦ −→ (𝑥, 𝑛(𝑥) × 𝑤).Pelas propriedades do produto vetorial deduzimos que

𝐽2Σ = −𝐼𝑑𝑇Σ,

portanto 𝐽Σ é uma estrutura quase complexa em 𝑇Σ, fornecendo um fibrado complexo de posto1, que denotamos por 𝑇Σ.

Exemplo 7.2.1. Primeiramente, vejamos que∫

Σ 𝑐1(𝑇Σ) = 𝜒(Σ) vale particularmente no casoΣ = 𝑆2.

Para isto, seja 𝑃 : R3 → 𝑇𝑆2 com 𝑃𝑥(𝑤) = 𝑤 − 𝑥(𝑥,𝑤) = 1 − 𝑥𝑥𝑡 onde 𝑥 ∈ 𝑆2 e 𝑤 ∈ R3.

Seja 𝜎 ∈ Γ(𝑇𝑆2), considere a conexão ∇𝜎 = 𝑃𝑑𝜎 = 𝑑𝜎 − 𝑥𝑥𝑡𝑑𝜎.

Da observação 𝑥𝑡𝜎 = 𝑥𝜎 vemos que 0 = 𝑑(𝑥𝑥𝑡𝜎) = 𝑑(𝑥)𝑥𝑡𝜎 + 𝑥𝑑(𝑥𝑡)𝜎 + 𝑥𝑥𝑡𝑑𝜎 ou seja que𝑥𝑑(𝑥𝑡)𝜎 = −𝑥𝑥𝑡𝑑𝜎. Portanto

∇𝜎 = (𝑑+ 𝑥(𝑑𝑥𝑡))𝜎Calculemos sua curvatura:

𝐹∇𝜎 = (𝑑+ 𝑥(𝑑𝑥𝑡))(𝑑+ 𝑥(𝑑𝑥𝑡))𝜎 = 𝑑(𝑥(𝑑𝑥𝑡)𝜎) + 𝑥(𝑑𝑥𝑡) ∧ 𝑑𝜎 + 𝑥𝑑𝑥𝑡 ∧ 𝑥(𝑑𝑥𝑡)𝜎

132

= 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑥𝑡𝜎 + 𝑥𝑑𝑥𝑡 ∧ 𝑑(𝑥𝑡𝜎).

Concluímos,

𝐹∇𝜎 = 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑥𝑡𝜎.

Tomemos (𝑥, 𝑢, 𝑣) um referencial ortonormal em 𝑥, tal que 𝑢 × 𝑣 = 𝑥. Então 𝜎 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 epor outra parte

𝐽𝑆2(𝑢) = 𝑥× 𝑢 = 𝑣

𝐽𝑆2(𝑣) = 𝑥× 𝑣 = −𝑢

Sendo ∇(𝐽𝑆2) = 𝐽𝑆2(∇𝜎), ∇ define uma conexão sobre 𝑆2. Além disso

𝐹∇ = −𝑖𝑑𝑢 ∧ 𝑑𝑣.

Estas considerações nos permitem finalmente mostrar o que queremos∫𝑆2𝑐1(𝑇𝑆2) =

∫𝑆2

𝑖

2𝜋𝐹∇ = 12𝜋𝑣𝑜𝑙(𝑆

2) = 12𝜋4𝜋 = 2 = 𝜒(𝑆2).

Exemplo 7.2.2. Retornemos ao caso geral, suponhamos 𝑛 : Σ → 𝑆2 a aplicação de Gauss (nãoconstante pois Σ é compacta) então para qualquer outra aplicação homotópica 𝑛′ : Σ → 𝑆2 temosque 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝑛) = 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝑛′).

Considere 𝑛* : 𝐻2𝑑𝑅(𝑆2,Z) → 𝐻2

𝑑𝑅(Σ,Z). Observe que 𝑛*𝑇𝑆2 ∼= 𝑇Σ é um isomorfismo defibrados. De fato,

(𝑛*𝑇𝑆2)𝑥 := 𝑇𝑛(𝑥)𝑆2 = {𝑤 ∈ R3|𝑛(𝑥) · 𝑤 = 0} = 𝑇𝑥Σ

Se 𝜓 : 𝑛*𝑇𝑆2 → 𝑇Σ com 𝜓(𝑥,𝑤) = (𝑛(𝑥), 𝑤). Vejamos que

𝜓𝑛*𝐽𝑆2 = 𝐽Σ𝜓,

de fato,𝜓𝑛*𝐽𝑆2(𝑥,𝑤) = 𝜓(𝑥, 𝑛(𝑥) ×𝑤) = (𝑛(𝑥), 𝑛(𝑥) ×𝑤) e por outro lado 𝐽Σ𝜓(𝑥,𝑤) = 𝐽Σ(𝑛(𝑥), 𝑤) =

(𝑛(𝑥), 𝑛(𝑥) × 𝑤).

Permitindo afirmar que

𝑐1(𝑇Σ) = 𝑐1(𝑛*𝑇𝑆2) = 𝑛*𝑐1(𝑇𝑆2)

Concluimos ∫Σ𝑐1(𝑇Σ) = 2 − 2𝑔.

133

7.3 Exemplos sobre fibrados complexosNesta seção vamos exibir dois exemplos de fibrados complexos, o primeiro de posto 1 sobre uma

superfície e o segundo de posto 2 sobre uma variedade 4-dimensional, em ambos os casos calcula-sea primeira classe de Chern.

Exemplo 7.3.1 (Dimensão 2). Vamos denotar Σ uma superfície compacta e orientada. Construí-mos um fibrado vetorial complexo, da seguinte forma, escolha Λ = {𝑝1, ..., 𝑝𝑘} ⊂ Σ um conjunto de𝑘 pontos distintos. Atribuir a cada ponto 𝑝 ∈ Λ um 𝑚𝑝 inteiro. Para cada ponto 𝑝𝑖 ∈ Λ fixamos𝑈𝑖 ⊂ Σ uma família de abertos disjuntos tais que 𝑝𝑖 ∈ 𝑈𝑖 e 𝜓𝑖 : 𝑈𝑖 → R2 uma carta coordenadaenviando 𝑝 a 0, que preserva orientação.

O fibrado 𝐸 de posto 1 é definido sobre a cobertura por abertos dado pelo conjunto 𝑈0 = Σ − Λe os conjuntos {𝑈𝑖}𝑝𝑖∈Λ. Sobre cada conjunto da cobertura 𝐸 é definido como sendo o fibradoproduto 𝑈𝑖 × C, resta estabelecer funções de transição para uma boa definição. As únicas inter-secções não vazias estão entre 𝑈0 e 𝑈𝑗 para cada 𝑗 = 1, ..., 𝑘, denotemos as funções de transiçãopor 𝜏𝑗 : 𝑈0 ∩ 𝑈𝑗 → C* = [𝐺𝑙𝑛(1,C)], nestas intersecções note que a imagem de 𝑈0 ∩ 𝑈𝐽 por 𝜓𝑗 éR2 − {0} então definimos 𝜏𝑗(𝑥) := 𝑒𝑖𝑚𝑗𝜃 onde 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔(𝜓𝑗(𝑥)).

Afirmamos que a integral sobre Σ de 𝑐1(𝐸) é igual a −∑𝑘𝑖=1 𝑚𝑖.

Para comprovar essa afirmação, vamos fixar uma derivada covariante conveniente em 𝐸 cujacorrespondente primeira classe de Chern é facilmente integrada. Para começar, fixamos uma fun-ção suave, 𝜒 : [0,∞) → [0, 1] que é igual a 0 próximo de 0 e igual a 1 em [1,∞). Agora veja 𝜒como a função de R2 a [0, 1] que envia (𝑟, 𝑦) a 𝜒(𝑟).

A derivada covariante ∇ é definida da seguinte forma, identificamos a restrição de 𝐸 sobre 𝑈𝑖com 𝑈𝑖×C, de modo a visualizar uma seção 𝜎 de 𝐸 sobre 𝑈𝑖 como um mapa 𝑠𝑗 : 𝑈𝑗 → C. Usamos𝜓𝑗 para ver ∇𝜎 como uma 1-forma. Então definimos, para 𝑗 = 1, ..., 𝑘,

(∇𝜎)𝑈𝑗:= 𝑑𝑠𝑗 + 𝑖𝑚𝑗𝑠𝑗𝜒𝑑𝜃

e em 𝑈0 temos

(∇𝜎)𝑈0 := 𝑑𝑠0 −

⎛⎝𝑖 𝑘∑𝑗=1

𝑚𝑗(1 − 𝜒𝑗)𝜓*𝑗𝑑𝜃

⎞⎠ 𝑠0

Pode se verificar que (∇𝜎)𝑈0 = 𝑒𝑖𝑚𝑝𝜃(∇𝑠)𝑈𝑗para todo 𝑥 ∈ 𝑈0 ∩ 𝑈𝑗.

Assim definida ∇ é uma conexão e observe-se que 𝐹∇(𝑥) = 0 para todo 𝑥 ∈ Σ − ∪𝑘𝑗=1𝑈𝑗.

Agora, em cada 𝑈𝑗 com 𝑗 = 1, ..., 𝑘 temos

𝐹∇|𝑈𝑗= 𝑑(𝑖𝑚𝑗𝜒𝑗𝜓

*𝑗𝑑𝜃)

134

𝐹∇|𝑈𝑗= 𝑖𝑚𝑗𝜓

*𝑗

𝑑𝜒𝑗𝑑𝑟

𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃.

Segue que 𝑐1(𝐸; ∇) tem suporte unicamente nos conjuntos 𝑈𝑗, portanto∫

Σ𝑐1(𝐸) = 𝑖

2𝜋

∫Σ𝐹∇ = −

𝑘∑𝑗=1

∫𝑈𝑗

𝑚𝑗

2𝜋 𝜓*𝑗


𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝜃

= −12𝜋 = −1

2𝜋

𝑘∑𝑗=1

𝑚𝑗

∫R2


𝑑𝑟𝑑𝜃.

Assim dado que∫R2

𝑑𝜒𝑗

𝑑𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 2𝜋 então

∫Σ𝑐1(𝐸) = −

𝑘∑𝑖=1

𝑚𝑖

Exemplo 7.3.2 (Dimensão 4). Este exemplo considera 𝑆𝑈(2)- fibrados sobre uma variedade 𝑀de Riemann 4-dimensional. compacta e conexa. Tomemos Λ = {𝑝1, ..., 𝑝𝑘} ⊂ Σ um conjunto de𝑘 pontos distintos, para cada ponto 𝑝𝑖 ∈ Λ fixamos 𝑈𝑖 ⊂ Σ uma família de abertos disjuntos taisque 𝑝𝑖 ∈ 𝑈𝑖 e 𝜓𝑖 : 𝑈𝑖 → R2 uma carta coordenada enviando 𝑝 a 0, que preserva orientação e volume.

Definimos um fibrado complexo sobre 𝑀 de posto 2, usando a cobertura dada pelo conjunto𝑈0 = Σ − Λ e {𝑈𝑖}𝑝𝑖∈Λ, o fibrado 𝐸 será especificado pela família de funções de transição nasregiões de sobreposição entre os conjuntos dessa cobertura, 𝛾𝑗 : 𝑈0 ∩ 𝑈𝑗 → 𝐺𝑙𝑛(2,C).

Tal função é dada por um mapa, 𝑔 : R4 − {0} → 𝑆𝑈(2), que envia

𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4) ↦ −→ 𝑔(𝑦) = 1‖𝑦‖

(𝑦4 + 𝑖𝑦3 𝑖𝑦1 − 𝑦2𝑖𝑦1 + 𝑦2 𝑦4 − 𝑖𝑦3

),

onde 𝛾𝑗(𝑥) = 𝑔(𝜓𝑗(𝑥)).

Mostremos sobre as classes de Chern que 𝑐1(𝐸) = 0 e 𝑐2(𝐸) é diferente de zero.

Definimos uma conexão conveniente, para este propósito, usamos a função 𝜒 do Exemplo 7.3.1.A conexão A é definida fornecendo uma 1-forma 𝑎𝑗 com valores em 𝐿𝑖𝑒(𝑆𝑈(2)) satisfazendo

𝑎𝑗 = 𝛾−1𝑗 𝑑𝛾𝑗 + 𝛾−1

𝑗 𝑎0𝛾𝑗

em 𝑈0 ∩ 𝑈𝑗, tais podem ser definidas como

𝑎𝑗 := 𝜓*𝑗 (𝜒(‖𝑦‖)𝑔−1𝑑𝑔)

e donde 𝑎0 = 0 em 𝑀 − (∪𝑘𝑗=1𝑈𝑗) noutro caso

𝜓*𝑗 (𝜒(‖𝑦‖ − 1)(𝑑𝑔)𝑔−1

135

Novamente 𝐹∇ = 0 em 𝑀 − ∪𝑘𝑗=1𝑈𝑗, por outro lado

𝐹∇|𝑈𝑗= 𝑑𝑎𝑗 + 𝑎𝑗 ∧ 𝑎𝑗 = 𝜓*

𝑗 (𝜒′𝑔−1𝑑𝑟 ∧ 𝑑𝑔 − 𝜒𝑔−1𝑑𝑔 ∧ 𝑑𝑔 + 𝜒2𝑔−1𝑑𝑔 ∧ 𝑔−1𝑑𝑔)(Note que 𝑑(𝑔−1𝑔) = 0 implica que 𝑑(𝑔−1)𝑔 = −𝑔−1𝑑𝑔).

𝐹∇ é 2-forma com valores em 𝐿𝑖𝑒(𝑆𝑈(2)) então

𝑐1(𝐸) = 𝑖

2𝜋𝑡𝑟(𝐹∇) = 0

𝑐2(𝐸) = 18𝜋2 𝑡𝑟(𝐹∇ ∧ 𝐹∇)

Por fim,∫𝑀𝑐2(𝐸) = 1

8𝜋2

∫𝑀𝑡𝑟(𝐹∇ ∧ 𝐹∇) = 1

8𝜋2

𝑘∑𝑗=1

∫𝑈𝑗

𝑡𝑟(𝐹∇ ∧ 𝐹∇)

= 18𝜋2

𝑘∑𝑗=1

(−4)𝑣𝑜𝑙(𝑆3) = −𝑘.

136

Capítulo 8

Eletromagnetismo em variedades

8.1 Revisitando o operador estrela de HodgeNesta seção voltaremos a abordar o operador estrela de Hodge da álgebra linear, mas num con-

texto mais geral. Para isto consideraremos 𝑉 um espaço vetorial sobre R com dimR 𝑉 = 𝑛 < ∞ e𝑔 ∈ 𝑉 * ⊗ 𝑉 * uma forma bilinear, simétrica e não-degenerada, i.e., se 𝑔(𝑢, 𝑣) = 0 ∀𝑣 então 𝑢 = 0.

Lembremos que dada uma forma bilinear e simétrica, existe uma base {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 de 𝑉 tal que arepresentação matricial da forma nesta base é uma matriz diagonal com entradas −1, 0, 1. Alémdisso, outra base com as mesmas propriedades possui a mesma representação matricial a menos depermutações dos elementos da diagonal (Lei de inércia de Sylvester). Usando que a forma é nãodegenerada, temos que existe uma base ortonormal {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 em 𝑉 , i.e., (𝑒𝑖, 𝑒𝑗) = ±𝛿𝑖𝑗.

Notação: Dada uma forma bilinear 𝑔 e uma base ortonormal {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 para 𝑉 definimos 𝜀(𝑗) =𝑔(𝑒𝑗, 𝑒𝑗).

Definição 8.1.1. Defina a aplicação linear ♭ : 𝑉 → 𝑉 *, chamada bemol, como a única que satisfaz

𝑣♭(𝑤) = 𝑔(𝑣, 𝑤) ∀𝑤 ∈ 𝑉.

Esta aplicação é bem definida e linear pois 𝑔 é bilinear. Além disso é um isomorfismo entre osespaços vetorias pois 𝑔 é não-degenerada e 𝑉 tem dimensão finita. Denotaremos a transformaçãoinversa de ♭ por ♯, chamada sustenido.

Se tomarmos uma base {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 em 𝑉 com base dual {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1, podemos escrever a forma bilinear𝑔 como uma soma

𝑔 =𝑛∑

𝑖,𝑗=1𝑔𝑖𝑗𝑒

𝑖 ⊗ 𝑒𝑗,

onde 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔(𝑒𝑖, 𝑒𝑗). Assim temos

♭(𝑒𝑖) =𝑛∑𝑗=1

𝑔𝑖𝑗𝑒𝑗,

137

ou seja, escrevendo as matrizes das transformações nas bases dadas,

[♭] = [𝑔𝑖𝑗].

Assim, como ♯ é a transformação inversa de ♭, temos

[♯] = [𝑔𝑖𝑗]−1.

Portanto se 𝑣 = ∑𝑛𝑖=1 𝑣

𝑖𝑒𝑖 temos

𝑣♭ = ∑𝑛𝑖=1 𝑣

𝑖(∑𝑛

𝑗=1 𝑔𝑖𝑗𝑒𝑗)

= ∑𝑛𝑗=1

𝑣𝑗⏞ ⏟ (𝑛∑𝑖=1

𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖

)𝑒𝑗 = ∑𝑛

𝑖=1 𝑣𝑖𝑒𝑖, e (8.1.1)

(𝑣♭)♯

= ∑𝑛𝑖=1 𝑣𝑖

(∑𝑛𝑗=1 𝑔

−1𝑖𝑗 𝑒𝑗

)= ∑𝑛

𝑗=1

𝑣𝑗⏞ ⏟ (𝑛∑𝑖=1

𝑔−1𝑖𝑗 𝑣𝑖

)𝑒𝑗 = ∑𝑛

𝑖=1 𝑣𝑖𝑒𝑖. (8.1.2)

Devido a esta propriedade normalmente diz-se que ♭ abaixa os índices e ♭ levanta os índices.

Definição 8.1.2. Utilizando o isomorfismo ♭ definimos a forma bilinear 𝑔* em 𝑉 * como

𝑔*(𝛼, 𝛽) = 𝑔(𝛼♯, 𝛽♯),

onde 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑉 *. Ainda mais, segue das propriedaes de 𝑔 que 𝑔* é simétrica, não-degenerada e♭ : (𝑉, 𝑔) → (𝑉 *, 𝑔*), ♯ : (𝑉 *, 𝑔*) → (𝑉, 𝑔) são isometrias.

Assim como podemos utilizar 𝑔 para induzir uma forma bilinear com as mesmas propriedadesde 𝑔 em 𝑉 *, podemos naturalmente estender 𝑔 para uma formas bilineares em ⊗𝑘𝑉 e Λ𝑘𝑉 .

Definição 8.1.3. Dados 𝑣1 ⊗ · · · ⊗ 𝑣𝑘, 𝑤1 ⊗ · · · ⊗ 𝑤𝑘 ∈ ⊗𝑘𝑉 defina

𝑔⊗𝑘(𝑣1 ⊗ · · · ⊗ 𝑣𝑘, 𝑤1 ⊗ · · · ⊗ 𝑤𝑘) = 𝑔(𝑣1, 𝑤1) · · · 𝑔(𝑣𝑘, 𝑤𝑘),

definimos 𝑔⊗𝑘 para outros elementos de ⊗𝑘𝑉 estendendo 𝑔⊗𝑘 linearmente. Definimos também

𝑔Λ𝑘(𝑣1 ∧ · · · ∧ 𝑣𝑘, 𝑤1 ∧ · · · ∧ 𝑤𝑘) = det[𝑔(𝑣𝑖, 𝑤𝑗)],

e estendemos linearmente em Λ𝑘𝑉 .

É evidente que estas formas assim definidas são simétricas e 𝑔⊗𝑘 é não-degenerada. Mostrare-mos agora que 𝑔Λ𝑘 também é não-degenerada.

Notação: A partir de agora denotaremos as formas bilineares simplesmente por ⟨·, ·⟩ para deixaro texto mais limpo. Deixaremos claro qual forma estaremos tratando pelo contexto.

138

Lema 8.1.4. A forma bilinear ⟨·, ·⟩ definida em Λ𝑘𝑉 é não degenerada. Além disso, se {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 éuma base ortonormal de 𝑉 , temos

⟨𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 , 𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘⟩ = 𝜀(𝑖1) · · · 𝜀(𝑖𝑘). (8.1.3)

Demonstração. Demonstraremos primeiro a fórmula (8.1.3). Sejam 𝐼, 𝐽 ⊂ {1, . . . , 𝑛} tal que 𝐼 ={1 ≤ 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 ≤ 𝑛}, 𝐽 = {1 ≤ 𝑗1 < · · · < 𝑗𝑘 ≤ 𝑛} e 𝐼 ∩ 𝐽 = {𝛼1, . . . , 𝛼𝑙}. Consideraremos trêscasos separadamente.

• Se 𝑙 = 0, então ⟨𝑒𝑖𝑟 , 𝑒𝑗𝑠⟩ = 0 ∀𝑟, 𝑠 ∈ {1, . . . , 𝑘}. Logo temos ⟨𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 , 𝑒𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑗𝑘⟩ = 0;

• Se 𝑙 = 𝑘, então 𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 = ±𝑒𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑗𝑘 . Assim ⟨𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 , 𝑒𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑗𝑘⟩ =± det[⟨𝑒𝑖𝑟 , 𝑒𝑗𝑠⟩] = ±𝜀(𝑖1) · · · 𝜀(𝑖𝑘);

• Se 0 < 𝑙 < 𝑘, então pela fórmula de Laplace det[⟨𝑒𝑖𝑟 , 𝑒𝑗𝑠⟩] = 𝜀(𝛼1) · · · 𝜀(𝛼𝑙) · det𝑀 , onde 𝑀é a matriz (𝑘 − 𝑙) × (𝑘 − 𝑙) proveniente da retirada das 𝛼𝑡 linhas e colunas de [⟨𝑒𝑖𝑟 , 𝑒𝑗𝑠⟩].Agora temos que as entradas de 𝑀 são todas nulas como no primeiro item. Portanto temos⟨𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 , 𝑒𝑗1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑗𝑘⟩ = 0.

Logo temos que {𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘} é uma base ortonormal de Λ𝑘𝑉 ,assim temos que ⟨𝑣, 𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧𝑒𝑖𝑘⟩ = 0 para algum elemento da base se 𝑤 = 0. Portanto ⟨·, ·⟩ é não-degenerada.

A partir deste lema temos definida uma forma bilinear, simétrica e não-degenerada em cadaespaço Λ𝑘𝑉 . Com isso podemos definir uma forma bilinear, simétrica e não-degenerada em Λ𝑉 =⊗𝑛𝑘=0Λ𝑘𝑉 tal que os subespaços Λ𝑘𝑉 e Λ𝑙𝑉 são ortogonais para 𝑘 = 𝑙 e esta forma restrita a cada

subespaço Λ𝑘𝑉 é a própria forma de Λ𝑘𝑉 .O seguinte lema mostra que se 𝑉 é orientado temos um único operador estrela de Hodge em

Λ𝑘𝑉 .

Lema 8.1.5. Suponha que 𝑉 é orientado. Então existe um único isomorfismo * : Λ𝑘𝑉 → Λ𝑛−𝑘𝑉tal que

𝑣 ∧ *𝑤 = ⟨𝑣, 𝑤⟩𝜔𝑔,

onde 𝜔𝑔 = 𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛 para qualquer base ortonormal {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 de 𝑉 positivamente orientada.

Demonstração. Dado 𝑤 ∈ Λ𝑛−𝑘𝑉 defina 𝑓𝑤 ∈ (Λ𝑘𝑉 )* tal que

𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑓𝑤(𝑣)𝜔𝑔, ∀𝑣 ∈ Λ𝑘𝑉.

Então, usando o isomorfismo ♯ : (Λ𝑘𝑉 )* → Λ𝑘𝑉 , temos que

𝑣 ∧ 𝑤 = ⟨𝑣, (𝑓𝑤)♯⟩𝜔𝑔, ∀𝑣 ∈ Λ𝑘𝑉.

Logo tem-se um isomorfismo

𝑇 : Λ𝑛−𝑘𝑉 → Λ𝑘𝑉 (8.1.4)𝑤 ↦→ (𝑓𝑤)♯, (8.1.5)

139

e * = 𝑇−1 é o isomorfismo com as propriedades desejadas.Para ver a unicidade note que se * : Λ𝑘𝑉 → Λ𝑛−𝑘𝑉 possui as mesmas propriedades temos

𝑣 ∧ (* − *)𝑤 = 0, ∀𝑣 ∈ Λ𝑘𝑉 e ∀𝑤 ∈ Λ𝑛−𝑘𝑉

assim devemos ter * = *.

Mostraremos agora que o 𝑛-vetor 𝜔𝑔 do lema anterior existe e é único.

Lema 8.1.6. Se 𝑉 é orientado então existe um único 𝜔𝑔 ∈ Λ𝑛𝑉 ∖{0} tal que para qualquer baseorientada {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 de 𝑉 tem-se

𝜔𝑔 =√

|det[𝑔𝑖𝑗]|𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛.

Demonstração. Seja 𝑇 ∈ GL+(𝑛,R) e 𝑓𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑇

𝑖𝑗𝑒𝑖, temos então

[𝑣] = 𝑇 [𝑣]′,

onde [·], [·]′ são as coordenadas em relação a {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1, {𝑓𝑖}𝑛𝑖=1 respectivamente.Logo, denotando 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔(𝑒𝑖, 𝑒𝑗) e 𝑔′

𝑖𝑗 = 𝑔(𝑓𝑖, 𝑓𝑗), temos

𝑔(𝑣, 𝑤) = [𝑣]𝑡[𝑔𝑖𝑗][𝑤] = ([𝑣]′)𝑡𝑇 𝑡[𝑔𝑖𝑗]𝑇 [𝑤]′ = [𝑣]′[𝑔′𝑖𝑗][𝑤]′,

assim temosdet[𝑔′

𝑖𝑗] = det(𝑇 )2 det[𝑔𝑖𝑗].Lembrando que

𝑓 1 ∧ · · · ∧ 𝑓𝑛 = det(𝑇−1)𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛,

temos que √|det[𝑔′

𝑖𝑗]|𝑓 1 ∧ · · · ∧ 𝑓𝑛 =√

|det(𝑇 ) det[𝑔′𝑖𝑗]| det(𝑇−1)𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛 (8.1.6)

=√

|det[𝑔𝑖𝑗]|𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛. (8.1.7)

Como vimos anteriormente, temos uma forma bilinear, simétrica e não-degenerada 𝑔* em 𝑉 *,e esta induz uma forma bilinear com as mesmas propriedades em Λ𝑘𝑉 *. Neste caso, o 𝑛-vetor 𝜔𝑔*

dado pelo lema anterior é chamado de forma volume e denotada por 𝑣𝑜𝑙𝑔. Veremos agora comocalcular o operador estrela de Hodge para elementos de uma base particular de Λ𝑘𝑉 *.

Lema 8.1.7. Suponha que 𝑉 é orientado e {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1 é uma base ortonormal orientada de 𝑉 combase dual {𝑒𝑖}𝑛𝑖=1. Então ∀ 1 ≤ 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑘 ≤ 𝑛 com {𝑖𝑘+1, . . . , 𝑖𝑛} = {1, . . . , 𝑛}∖{𝑖1, . . . , 𝑖𝑘}temos

*(𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘) = 𝜀𝑖1,...,𝑖𝑘𝜀(𝑖1) · · · 𝜀(𝑖𝑘)𝑒𝑖𝑘+1 ∧ . . . ∧ 𝑒𝑖𝑛 ,

onde

𝜀𝑖1,...,𝑖𝑘 =⎧⎨⎩sgn(𝑖1, . . . , 𝑖𝑘) , se 𝑖𝑗 = 𝑖𝑙 para 𝑗 = 𝑙

0 , caso contrário

140

Demonstração. Temos que

(𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘) ∧ *(𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘) = ⟨𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 , 𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘}𝑣𝑜𝑙𝑔= 𝜀(𝑖1) · · · 𝜀(𝑖𝑘)⏟ ⏞

±1

𝑣𝑜𝑙𝑔

Logo*(𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘) = ±𝑒𝑖𝑘+1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑛 ,

onde {𝑖𝑘+1, . . . , 𝑖𝑛} = {1, . . . , 𝑛}∖{𝑖1, . . . , 𝑖𝑘}. Como

𝑒𝑖1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑘 ∧ 𝑒𝑖𝑘+1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑖𝑛 = 𝜀𝑖1,...,𝑖𝑛𝑒1 ∧ · · · ∧ 𝑒𝑛

= 𝜀𝑖1,...,𝑖𝑛𝑣𝑜𝑙𝑔,

o resultado segue.

8.2 Reescrevendo as equações de Maxwell em R4

Em unidades convenientes, as equações de Maxwell, na notação do cálculo vetorial, se escrevem:

(1){

∇�� = 0,∇ × �� + 𝜕𝑡�� = 0,

(2){

∇�� = 𝜌,

∇ × �� − 𝜕𝑡�� = ��.

onde ��, ��, �� : R × R3 → R3 e 𝜌 : R × R3 → R.O primeiro par de equações é chamado de par homogêneo e o segundo de par não-homogêneo.

Observe que se substituirmos �� ↦→ −��, �� ↦→ �� e assumirmos 𝜌 = 0, �� = 0 (condição de vácuo)temos que um par é equivalente ao outro.

Uma propriedade física importante das equações de Maxwell é o fato de serem invariantes portransformações de Lorentz, i.e., um mapa 𝜙 : R × R3 → R × R3 da forma

𝜙(𝑡, ��) =(𝛾(𝑡− �� · ��), �� +

(𝛾 − 1𝑣2 �� · �� − 𝛾𝑡

)��),

onde 𝛾 = 1√1−𝑣2 e �� ∈ R3 tem norma 𝑣 < 1.

Exercício: Veja que as equações de Maxwell são invariantes por transformações de Lorentz.

Assim, para estudar estas equações podemos tentar entender a geometria por trás destas trans-formações. Se calcularmos o diferencial de uma trasformação de Lorentz 𝜙 em coordenadas canô-nicas temos

𝐷𝜙𝑖𝑗 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝛾 −𝛾𝑣𝑥 −𝛾𝑣𝑦 −𝛾𝑣𝑧

−𝛾𝑣𝑥 1 + 𝛾−1𝑣2 𝑣

2𝑥

𝛾−1𝑣2 𝑣𝑥𝑣𝑦

𝛾−1𝑣2 𝑣𝑥𝑣𝑧

−𝛾𝑣𝑦 𝛾−1𝑣2 𝑣𝑥𝑣𝑦 1 + 𝛾−1

𝑣2 𝑣2𝑦

𝛾−1𝑣2 𝑣𝑦𝑣𝑧

−𝛾𝑣𝑧 𝛾−1𝑣2 𝑣𝑥𝑣𝑧

𝛾−1𝑣2 𝑣𝑦𝑣𝑧 1 + 𝛾−1

𝑣2 𝑣2𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠ .

141

Logo, calculando a norma do pushforward dos campos canônicos, vemos que a métrica de Min-kowski possui as transformações de Lorentz como grupo de isometria. Mais do que isto, se exigirmosque o referencial canônico seja ortonormal, ela é a única com tal grupo de isometria.

Iremos agora reescrever as equações de Maxwell utilizando a notação de formas diferenciais emR4. Para facilitar os cálculos utilizaremos a notação (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) para denotar as coordenadascanônicas de R4, mas deve-se ter sempre em mente a identificação de R × R3 com R4 dada por𝑡 = 𝑥0, 𝑥 = 𝑥1, 𝑦 = 𝑥2 e 𝑧 = 𝑥3.

8.2.1 O par homogêneoLembre-se que em R3 podemos identificar os operadores ∇, ∇× e ∇ com o operador derivada

exterior aplicado a 0-formas, 1-formas e 2-formas, respectivamente. Logo a idéia é transformar oscampos �� e �� em formas e utilizar as derivada exterior para descrever o par homogêneo.

Nas coordenadas canônicas de R4 temos

𝑑 =3∑𝑖=0

𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝜕𝑖,

ou seja,𝑑𝜔 =

∑𝑖,𝐼

𝜕𝑖𝜔𝐼𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝑥𝐼 ,

para uma forma 𝜔 = ∑𝐼 𝜔𝐼𝑑𝑥

𝐼 .Podemos então decompor a derivada exterior como

𝑑 = 𝑑𝑆 + 𝑑𝑡 ∧ 𝜕𝑡,

onde 𝑑𝑆 = ∑3𝑖=1 𝑑𝑥

𝑖 ∧ 𝜕𝑖 é chamada parte espacial e 𝑑𝑡 ∧ 𝜕𝑡 = 𝑑𝑥0 ∧ 𝜕0 parte temporal.Defina as formas diferenciais 𝐵 ∈ Ω2(R4) e 𝐸 ∈ Ω1(R4) em R4 como

𝐵 = 𝐵𝑥𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 +𝐵𝑦𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥+𝐵𝑧𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 (8.2.1)𝐸 = 𝐸𝑥𝑑𝑥+ 𝐸𝑦𝑑𝑦 + 𝐸𝑧𝑑𝑧, (8.2.2)

onde �� = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) e �� = (𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧).Consideremos então a 2-forma 𝐹 = 𝐵+𝐸∧𝑑𝑡 em R4, essa forma é chamada de força do campo

eletromagnético.

Proposição 8.2.1. Os campos �� e �� satisfazem o par (1) se e somente se a 2-forma 𝐹 é fechada.

Demonstração. Segue da definição de 𝐹 que

𝑑𝐹 = 𝑑𝐵 + 𝑑(𝐸 ∧ 𝑑𝑡) (8.2.3)= 𝑑𝑆𝐵 + 𝜕𝑡𝐵 ∧ 𝑑𝑡+ 𝑑𝐸 ∧ 𝑑𝑡 (8.2.4)= 𝑑𝑆𝐵 + (𝜕𝑡𝐵 + 𝑑𝑆𝐸) ∧ 𝑑𝑡. (8.2.5)

142

Logo temos a seguinte equivalência entre equações diferenciais:

𝑑𝐹 = 0 ⇔{𝑑𝑆𝐵 = 0,𝜕𝑡𝐵 + 𝑑𝑆𝐸 = 0.

Calculando 𝑑𝑆𝐵 e 𝑑𝑆𝐸 temos

𝑑𝑆𝐵 = (∇��)𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 (8.2.6)𝑑𝑆𝐸 = (∇ × ��)1𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + (∇ × ��)2𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥+ (∇ × ��)3𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦, (8.2.7)

onde (∇ × ��)𝑖 denota a 𝑖-ésima coordenada do vetor. Portanto temos 𝐹 fechada se e somente se∇�� = 0 e 𝜕𝑡�� + ∇ × �� = 0.

8.2.2 O par não-homogêneoEmbora tenha sido imediata a maneira de reescrever o par homogêneo, o caso não-homogêneo

já apresenta uma certa dificuldade. A começar temos que entender como representar os operado-res ∇× e ∇ quando estes devem ser aplicados em 2-formas e 1-formas respectivamente. Para issolembre-se que o operador estrela de Hodge é um isomorfismo entre 1-formas em 2-formas. Assimpodemos tentar encontrar uma métrica em R4 cujo operador * por ela induzido ajude a descrevero par não-homogêneo.

Como vimos, a métrica de Minkowski 𝑔 = −𝑑𝑡2 + 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 é uma escolha naturalpara tratar deste problema. Podemos denotar a 2-forma da força do campo eletromagnético como𝐹 = 1

2∑𝑛𝑖,𝑗=1 𝐹𝑖𝑗𝑑𝑥

𝑖 ∧ 𝑑𝑥𝑗, onde 𝐹𝑖𝑗 = −𝐹𝑗𝑖 e 𝐹 (𝑒𝑖, 𝑒𝑗) = 12(𝐹𝑖𝑗 − 𝐹𝑗𝑖) = 𝐹𝑖𝑗. Temos então a matriz

[𝐹𝑖𝑗] =

⎛⎜⎜⎜⎝0 −𝐸𝑥 −𝐸𝑦 −𝐸𝑧𝐸𝑥 0 𝐵𝑧 −𝐵𝑦

𝐸𝑦 −𝐵𝑧 0 𝐵𝑥

𝐸𝑧 𝐵𝑦 −𝐵𝑥 0

⎞⎟⎟⎟⎠ .Utilizando o lema 8.1.7 podemos calcular o dual de Hodge de 𝐹 , temos então

*(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑡) = *(𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥0) = sgn(1023).1.(−1).𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3 = 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧; (8.2.8)*(𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑡) = *(𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥0) = sgn(2013).1.(−1).𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥3 = −𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑧; (8.2.9)*(𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑡) = *(𝑑𝑥3 ∧ 𝑑𝑥0) = sgn(3012).1.(−1).𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2 = 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦; (8.2.10)*(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦) = *(𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥2) = sgn(1203).1.1.𝑑𝑥0 ∧ 𝑑𝑥3 = 𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝑧; (8.2.11)*(𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑧) = *(𝑑𝑥1 ∧ 𝑑𝑥3) = sgn(1302).1.1.𝑑𝑥0 ∧ 𝑑𝑥2 = −𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝑦; (8.2.12)*(𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧) = *(𝑑𝑥2 ∧ 𝑑𝑥3) = sgn(2301).1.1.𝑑𝑥0 ∧ 𝑑𝑥1 = 𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝑥. (8.2.13)

Logo temos a seguinte matriz para a 2-forma *𝐹 ,

[(*𝐹 )𝑖𝑗] =

⎛⎜⎜⎜⎝0 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

−𝐵𝑥 0 𝐸𝑧 −𝐸𝑦−𝐵𝑦 −𝐸𝑧 0 𝐸𝑥−𝐵𝑧 𝐸𝑦 −𝐸𝑥 0

⎞⎟⎟⎟⎠ .

143

Assim como fizemos com os campos �� e ��, defina a 1-forma 𝑗 ∈ Ω1(R4) como 𝑗 = (𝑗)♯𝑆 =𝑗𝑥𝑑𝑥 + 𝑗𝑦𝑑𝑦 + 𝑗𝑧𝑑𝑧. Considere 𝐽 = (𝜌, 𝑗𝑥, 𝑗𝑦, 𝑗𝑧) e defina 𝐽 ∈ Ω1(R4) como 𝐽 = (𝐽)♯ = −𝜌𝑑𝑡 + 𝑗,esta é conhecida pelos físicos como a corrente.

Proposição 8.2.2. Os campos �� e �� satisfazem o par (2) se e somente se a 2-forma 𝐹 satisfaza equação *𝑑 * 𝐹 = 𝐽 .

Demonstração. Calculemos primeiramente *𝑑 *𝐵 e *𝑑 * (𝐸 ∧ 𝑑𝑡).Usando o lema 8.1.7 temos

*𝐵 = 𝐵𝑥𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝑥+𝐵𝑦𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝑦 +𝐵𝑧𝑑𝑡 ∧ 𝑑𝑧; (8.2.14)*(𝐸 ∧ 𝑑𝑡) = 𝐸𝑥𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝐸𝑦𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥+ 𝐸𝑧𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦. (8.2.15)

Logo, usando a notação (∇ × ��)𝑖 para a 𝑖-ésima coordenada do vetor, temos

𝑑 *𝐵 = −𝑑𝑡 ∧[(∇ × ��)1𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + (∇ × ��)2𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥+ (∇ × ��)3𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦

]; (8.2.16)

𝑑 * (𝐸 ∧ 𝑑𝑡) = (∇��)𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝑑𝑡 ∧ [𝜕𝑡𝐸𝑥𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝜕𝑡𝐸𝑦𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥+ 𝜕𝑡𝐸𝑧𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦] .(8.2.17)

Portanto, usando o lema 8.1.7 novamente, temos que

*𝑑 *𝐵 = (∇ × ��)1𝑑𝑥+ (∇ × ��)2𝑑𝑦 + (∇ × ��)3𝑑𝑧; (8.2.18)*𝑑 * (𝐸 ∧ 𝑑𝑡) = −(∇��)𝑑𝑡− 𝜕𝑡𝐸. (8.2.19)

Como 𝐹 = 𝐵 + 𝐸 ∧ 𝑑𝑡, temos

*𝑑 * 𝐹 = (∇��)𝑑𝑡+[(∇ × ��)1 − 𝜕𝑡𝐸𝑥

]𝑑𝑥+

[(∇ × ��)2 − 𝜕𝑡𝐸𝑦

]𝑑𝑦 +

[(∇ × ��)3 − 𝜕𝑡𝐸𝑧

]𝑑𝑧.

Assim, obtemos *𝑑 * 𝐹 = 𝐽 se e somente se �� e �� satisfazem o par (2).

8.3 O eletromagnetismo como uma 𝑈(1) teoria de calibreComo vimos, para descrever o eletromagnetismo clássico em R3 precisamos de duas formas

diferenciáveis 𝐽 ∈ Ω1(R4) e 𝐹 ∈ Ω2(R4) tais que as equações de Maxwell 𝑑𝐹 = 0 e *𝑑 * 𝐹 = 𝐽valem. Veremos nesta seção como a linguagem da teoria de calibre ajuda a descrever a teoriaeletromagnética.

Considere as equações de Maxwell

𝑑𝐹 = 0, *𝑑 * 𝐹 = 𝐽.

Como R4 é contrátil, existe 𝐴 ∈ Ω1(R4) tal que 𝐹 = 𝑑𝐴, tal forma é conhecida como um potencialde calibre para 𝐹 . Neste caso as equações de Maxwell reduzem a

*𝑑 * 𝑑𝐴 = 𝐽.

144

Se denotarmos este potencial como 𝐴 = −𝜑𝑑𝑡+𝐴𝑆 := −𝜑𝑑𝑡+𝐴𝑥𝑑𝑥+𝐴𝑦𝑑𝑦+𝐴𝑧𝑑𝑧 temos que

𝑑𝐴 = −𝑑𝑆𝜑 ∧ 𝑑𝑡− 𝜕𝑡𝐴𝑆 ∧ 𝑑𝑡+ 𝑑𝑆𝐴𝑆,

onde 𝑑𝑆 = 𝐷−𝑑𝑡∧𝜕𝑡. Logo, como 𝐹 = 𝐵+𝐸∧𝑑𝑡, temos 𝐵 = 𝑑𝑆𝐴𝑆 e 𝐸 = −𝑑𝑆𝜑−𝜕𝑡𝐴𝑆. Observeque 𝐴 não é univocamente determinado pois podemos somar a 𝐴 qualquer 1-forma fechada semmudar 𝑑𝐴. Esta maneira de mudar 𝐴 é chamada transformação de calibre e a liberdade na escolhade 𝐴 é chamada de liberdade de calibre.

As vezes pode ser vantajoso utilizar a liberdade de calibre para fazer com que o potecial decalibre satisfaça condições extras. Escolher tal condição é chamado de escolher um calibre. Existemvários calibres utilizados por físicos e nomeados por eles, os mias conhecidos são calibre de Coulomb,calibre de Lorentz, calibre de Feynman e calibre de Landau.

O calibre mais simples é o calibre temporal, também conhecido como calibre de Weyl, cujacondição é que o potencial satisfaça 𝐴(𝜕𝑡) = 0. Para qualquer 2-forma exata em R4 podemosencontrar um potencial em calibre temporal (deixaremos como exercício). Logo os campos elétricoe magnético para um potencial em calibre temporal são dados por 𝐸 = −𝜕𝑡𝐴 e 𝐵 = 𝑑𝑆𝐴.

Reescreveremos as equações de Maxwell através dos dados de Cauchy 𝐴 numa superfície {𝑡} ×R3. Temos que a primeira equação torna-se uma tautologia sobre 𝐴:

𝑑2𝐴 = 0.

Usando que 𝐴 está em calibre temporal, a segunda equação resulta em duas equações sobre osdados de Cauchy:

*𝑆𝑑 *𝑆 (𝜕𝑡𝐴𝑆) = −𝜌, (8.3.1)𝜕𝑡(𝜕𝑡𝐴𝑆) + *𝑆𝑑𝑆 *𝑆 𝑑𝑆𝐴𝑆 = 𝑗. (8.3.2)

A primeira equação é a lei de Gauss, uma restrição que os dados de Cauchy 𝐴 devem satisfazera todo momento. A segunda equação pode ser interpretada como uma equação de evolução quedita como os dados de Cauchy mudam com o tempo. Ela pode ser usada para determinar os dadosde Cauchy em outros instantes a partir de um instante 𝑡 conhecido.

Como 𝐽 = −𝜌𝑑𝑡+ 𝑗, usando que 𝑑 * 𝐽 = 0 temos

0 = −𝑑(𝜌 * 𝑑𝑡) + 𝑑 * 𝑗 (8.3.3)= (𝜕𝑡𝜌+ 𝜕𝑥𝑗𝑥 + 𝜕𝑦𝑗𝑦 + 𝜕𝑧𝑗𝑧)𝜔𝑔 (8.3.4)

= (𝜕𝑡𝜌+ ∇��)𝜔𝑔. (8.3.5)

Esta é conhecida como equação de continuidade (ela expressa a conservação local de carga). Pode-se mostrar que enquanto essa equação vale, a lei de Gauss em um instante 𝑡0 e a equação deevolução implicam a lei de Gauss em instantes posteriores.

Seja 𝐸 → R4 um fibrado vetorial complexo de posto 1 munido de uma métrica hermitiana. Ofato do fibrado ter uma métrica nos diz que temos 𝑈(1)-fibrado vetorial, e como R4 é contrátil,podemos supor que este fibrado é o fibrado trivial C (veja o corolário 2.6.3 na página 65 do livrode Friedman e Morgan).

145

Dada uma conexão ∇ em 𝐸 sabemos que esta assume a forma ∇ = 𝑑 + 𝒜 em um referenciallocal, onde 𝒜 ∈ U(1) = 𝑖R. Como 𝐸 é trivial, temos que ∇ é desta forma em todo 𝐸. Assimtemos que neste contexto, dar uma conexão em 𝐸 é equivalente a fornecer uma 1-forma em R4.

Tome então 𝒜 = 𝑖𝐴 para um potencial de calibre 𝐴 ∈ Ω1(R4) dado pela equação homogênea,temos que

ℱ = 𝑑𝒜 + 𝒜 ∧ 𝒜 (8.3.6)= 𝑖𝑑𝐴 = 𝑖𝐹. (8.3.7)

ou seja, a curvatura da conexão 𝒜 corresponde a força do campo 𝐹 .Lembre-se que as matrizes da conexão para referenciais diferentes são relacionadas pela trans-

formação de calibre 𝒜′ = 𝑔𝑑𝑔−1 + 𝑔𝒜𝑔−1, onde 𝑔 é a matriz de troca de referenciais. Como 𝐸 é𝑈(1)-fibrado vetorial trivial, temos que 𝑔 é da forma

𝑔 : R4 × C → R4 × C (8.3.8)(𝑥, 𝑣) ↦→ (𝑥, 𝑔0(𝑥)𝑣) (8.3.9)

onde 𝑔0(𝑥) ∈ 𝑈(1).Assim, tomando 𝜒 : R4 → R tal que 𝑔0(𝑥) = 𝑒𝑖𝜒(𝑥), temos a equação

𝒜′ = 𝒜 − 𝑖𝑑𝜒,

ou seja, o fato do potencial de calibre não ser único é devido ao fato de podermos aplicar trans-formações de calibre que mudam o referencial.

Dada uma conexão 𝒜 cuja força do campo magnético associado é 𝐹 = 𝐵+𝐸 ∧ 𝑑𝑡, definimos adensidade de energia do campo como −1

2 |𝐹 |2. Já que 𝐵 ⊥ 𝐸 ∧ 𝑑𝑡, temos que |𝐹 |2 = |𝐵|2 − |𝐸|2.Associamos ao espaço afim das conexões o funcional de Yang-Mills

𝑆𝑌𝑀(𝒜) = −12

∫R4

|𝐹 |2𝑣𝑜𝑙𝑔

onde aqui assumimos 𝐹 com suporte compacto.Sendo este um funcional no espaço das conexões, podemos calcular sua variação sobre uma

conexão 𝐴 na direção de uma outra conexão a (aqui estamos identificando as conexões com suasmatrizes de conexão),

𝛿𝐴𝑆𝑌𝑀(a) = 𝑑

𝑑𝑡

𝑡=0𝑆𝑌𝑀(𝐴+ 𝑡a)

Exercício: Veja que 𝛿𝐴𝑆𝑌𝑀(a) = 0 ∀a com suporte compacto se e somente se ∇ * ℱ𝐴 = 0.Dica: Lembrando que

𝐹𝐴+𝑡𝑎 = 𝐹𝐴 + 𝑡∇𝐴𝑎+ 𝑡2𝑎 ∧ 𝑎,

temos que

𝛿𝐴𝑆𝑌𝑀(a) = −12∫R4

𝑑𝑑𝑡

𝑡=0

|𝐹𝐴 + 𝑡∇𝐴𝑎+ 𝑡2𝑎 ∧ 𝑎|2𝑣𝑜𝑙𝑔 (8.3.10)

= −∫R4⟨𝐹𝐴,∇𝐴𝑎⟩𝑣𝑜𝑙𝑔 (8.3.11)

146

8.4 O efeito Aharonov-BohmA formulação de calibre do eletromagnetismo dá uma grande ênfase no potencial de calibre

escolhido. Isto nos leva a questionar o significado físico de tal potencial. Há fenômenos físicos querequerem a formulação de calibre do eletromagnetismo?

Desde a formulação de Maxwell pensava-se que este era só um truque matemático para facilitaras contas. E realmente, no eletromagnetismo clássico não há nada que indique o oposto. Em umcenário quântico entretanto, um experimento pode ser concebido para distinguir entre dois estadosque possuem a mesma força eletromagnética mas diferentes potenciais.

8.4.1 Preliminaresa)Quadrivetor potencial

Para facilitar os cálculos introduzimos a seguinte notação, chamado de quadrivetor potencial,para o potencial de calibre em R4:

A := (𝜑, ��) = (𝐴0, 𝐴𝑖) = (𝐴𝜇)

onde 𝑖 ∈ {1, 2, 3}, 𝜇 ∈ {0, 1, 2, 3} e 𝐴𝜇 ∈ U(1).Com esta notação podemos expressar os campos elétrico e magnético da seguinte forma:

�� = ∇ × �� e �� = 𝜕𝑡��− ∇𝜑

onde 𝜑 ∈ 𝐶∞(𝑀,C) e �� ∈ Γ(𝑇R3 ⊗ C).

Exercício: Escreva as equações de Maxwell equivalentemente em termos de A.

A define uma 𝑈(1)-conexão canônica no fibrado de retas complexo (trivial) C = 𝑀 ×C → 𝑀 .Como as transformações de calibre neste fibrado são da forma: 𝑔 = 𝑒𝑖𝜒 com 𝜒 ∈ 𝐶∞(𝑀,R), temosa ação das transformações de calibre em A:

𝑔 · A = A − (𝑑𝑔)𝑔−1 (8.4.1)= A − 𝑖𝑑𝜒 (8.4.2)

Exercício: Mostre que

1. As equações de Maxwell são calibre invariantes;

2. Existe um potencial em calibre de Weyl, i.e., 𝐴0 = 𝜑 = 0.

Doravante vamos supor 𝜑 = 0, ou seja, A = (0, ��).

b) Transporte paraleloDada uma conexão 𝐴 em 𝐸 → 𝑋, consideramos a equação:

∇𝐴�� 𝑠 = 0,

147

onde 𝛾 : [0, 1] → 𝑋 uma curva suave por partes entre 𝛾(0) = 𝑝0 e 𝛾(1) = 𝑝1, e 𝑠 : [0, 1] → 𝐸 umaseção de 𝐸 sobre 𝛾, i.e., 𝑠 é uma curva em 𝐸 tal que 𝛾 = 𝜋 ∘ 𝑠.

Esta equação é uma EDO tal que para uma condição inicial, dada pela escolha de um elemento𝑠0 em 𝐸𝑝0 , existe uma única solução. Tal solução é chamada de transporte paralelo de 𝑠0 ao longode 𝛾. Tomando uma base de 𝐸𝑝0 e transportando paralelamente é possível ver que temos umisomorfismo Γ𝑏𝑎 : 𝐸𝑎 → 𝐸𝑏 para cada 𝑎, 𝑏 ∈ [0, 1], onde 𝐸𝑡 := 𝐸𝛾(𝑡).

Em particular, se 𝛾 : 𝑆1 → 𝑋, i.e., 𝛾 é uma curva fechada (laço), temos Γ10 ∈ End(𝐸𝑝0). Logo

existe um homomorfismo Hol𝐴 : ℒ𝑝0𝑋 → 𝐸𝑝0 do grupo dos laços em 𝑝0 (por composição de laços)no grupo de endomorfismos de 𝐸𝑝0 . A imagem deste homomorfismo é um subgrupo de End(𝐸𝑝0𝑋)chamado de grupo de holonomia da conexão 𝐴.

Exercício: Seja A a 𝑈(1)-conexão canônica correspondente ao quadrivetor em C → R3+1, 𝛾 ∈ℒ𝑝0R3+1 e 𝑔 ∈ 𝑈(1). Mostre que

1. HolA(𝛾) = 𝑒𝑖∮

𝛾A;

2. Hol𝑔·A(𝛾) = HolA(𝛾).

8.4.2 Solenóide de Aharonov-BohmConsidere um solenóide ideal (comprimento infinito e o fio com espessura infinitesimal) gerando

um campo magnético que é constante dentro da região do solenóide e zero fora desta região.Considere dois elétrons partindo de um mesmo ponto P que passam ao redor do solenóide sempassar pelo campo magnético e atingem a tela I.

Pelo eletromagnetismo clássico, a força de Lorentz agindo em um elétron é

�� := e−(�� × ��) = 0,

onde e− é a carga do elétron. Logo se espera que o campo �� não interfira nas ondas de elétrons.Assim, não importando se o solenóide está ligado ou não, deveriamos obter os mesmos sinais natela I. Entretanto isso não é o que ocorre, ao ativar o solenóide nota-se uma interferência emrelação a quando o solenóide está desativado. Esta interferência é apontada como sendo causadapor um efeito conhecido como efeito Aharonov-Bohm que está ligado ao fato de haver um potencialnão nulo para o campo magnético.

8.4.3 Sobreposição de funções de ondaComo o efeito de Aharonov-Bohm é puramente quântico, precisaremos explicar um pouco de

mecânica quântica. Este tratamento será bem breve, abordando somente definições.Definição 8.4.1. Se A é um quadrivetor potencial sobre o fibrado C → R3+1, definimos a hamil-toniana de Schrodinger como o operador linear 𝐻A : Γ(R3+1,C) → Γ(R3+1,C) dado localmentepor

𝐻A 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 − 12𝑚 (𝜕𝜇 − 𝑖e−A𝜇)2 + 𝑣(��) (8.4.3)= − 1

2𝑚FA + 𝑣(��) (8.4.4)

148

onde �� ∈ R3 e 𝑣 : R3 → C.Denotaremos a hamiltoniana simplesmente por 𝐻 quando é claro de que quadrivetor estamos

tratando.

Exercício: Seja 𝜓 ∈ Γ(C) uma autoseção de 𝐻A, mostre que temos ∇A𝜓 = 0 (Bianchi).

Postulado: Toda função de onda física é uma sobreposição, i.e., se 𝜓 ∈ Γ(C) é uma função deonda física, então 𝜓 = ∑

𝜆∈Spec𝐻 𝜓𝜆 com 𝐻𝜓𝜆 = 𝜆𝜓𝜆, 𝜆 ∈ C.

Fixe 𝑝 ∈ R3+1 e seja 𝜓 uma autoseção de 𝐻0, i.e., 𝜓 é autoseção da hamiltoniana para oquadrivetor nulo. Defina então 𝜓A(��) := 𝜓(��)𝑒𝑖e

−∫

𝛾A, onde 𝛾(0) = 𝑝 e 𝛾(1) = ��. O valor 𝑒𝑖e

−∫

𝛾A,

ou seu argumento e− ∫𝛾 A, é conhecido como fase. Quando temos duas seções 𝜑, 𝜓 tal que 𝜑 = 𝜓𝑒𝑖𝜃

dizemos que estas diferem por uma fase.

Exercício: Mostre que 𝜓A𝜆 como foi definida é uma autoseção de 𝐻A com autovalor 𝜆.

Voltando agora ao solenóide de Aharonov-Bohm, temos que o fluxo magnético na seção trans-versal S do solenóide e dado por

Φ =∫𝑆��𝑑𝑆 =

∫𝑆

∇ × ��,

onde �� é um potencial para ��. Ora, fora de 𝑆 temos ∇ × �� = 𝐵 = 0, mas se calcularmos adiferença de fase entre elétrons passando por 𝛾1 e 𝛾2 temos

e−∮𝛾2−𝛾1

A 𝜑=0= e−∮𝜕𝑆𝐴 = e−

∫𝑆𝐵𝑑𝑆 = e−Φ = 0 !

assim, com o solenóide ligado, a fase em 𝐼 varia: 𝜃 ↦→ 𝜃 + e−Φ.

Exercício:

1. Mostre que o potencial de �� (a menos de um campo com rotacional nulo) é dado por��(��) =

(− 𝑦Φ

2𝜋𝑟2 ,𝑥Φ

2𝜋𝑟2 , 0);

2. Veja que no bordo da seção transversal do solenóide 𝜕𝑆 (podemos supor sendo 𝑆1 com raio1) temos 𝐴(𝜃) = 𝑖Φ

2𝜋𝑑𝜃.

149

Capítulo 9

Equação de Yang-Mills e Autodualidade

9.1 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 1Considere (𝑋4, 𝑔) uma variedade riemanniana, orientada, compacto e 𝐸 → 𝑋 um fibrado

hermitiano, onde 𝐺 = 𝑂(𝑛). Tome também a métrica ⟨𝐴,𝐵⟩U(𝑛) := −tr𝐴𝐵 e 𝑎 = 𝛼 ⊗ 𝐴, 𝑏 =𝛽 ⊗𝐵 e 𝜔 ∈ Ω𝑝(g𝐸). Assim

(𝑎, 𝑏)𝐿2(𝑋) :=∫𝑋

⟨𝑎 ∧ ⋆𝑏⟩ =∫𝑋

(𝛼 ∧ ⋆𝛽)⟨𝐴,𝐵⟩U(𝑛).

9.1.1 Funcional de Yang-Mills (1)𝐴 conexão em 𝐸

𝑌 (𝐴) : = 12 ||𝐹𝐴||2𝐿2(𝑋)

= 12

∫𝑋

|𝐹 |2

= 12

∫𝑋

⟨𝐹 ∧ ⋆𝐹 ⟩

Equaçõs de Euler-LagrangeExercício: Lembrando que 𝐹𝐴+𝑎 = 𝐹𝐴+𝑑𝐴𝑎+𝑎∧𝑎, 𝑎 ∈ Ω1(g) e |𝐹𝐴+𝑎|2= |𝐹𝐴|2+2⟨𝐹𝐴, 𝑑𝐴𝑎⟩+

𝒪(|𝑎|2), com 𝛿𝐴 = (𝑑𝐴)* adjunto formal. Prove 𝐷𝑌𝐴(𝑎) :=∫𝑋⟨𝛿𝐴𝐹𝐴, 𝑎⟩ e 𝐷𝑌𝐴(𝑎) = 0∀𝑎 ⇔ 𝛿𝐴𝐹𝐴 =

0 (equação de Yang-Mills) .

9.1.2 Cotas topologicas de energia (2)Podemos definir a segunda classe de Chern como 8𝜋2𝑐2(𝐸) := 𝑡𝑟𝐹 2

𝐴 e suponha 𝐺 = 𝑆𝑈(𝑛), ouseja, 𝑡𝑟𝐹 = 0, logo

𝑐2 = 𝑡𝑟𝐹 2.

151

Assim definimos 𝑐2(𝐸) :=∫𝑋 𝑐2(𝐸) ∈ Z. Ora, sabendo da decomposição Ω2 = Ω2

+ ⊕ Ω2−

𝑐2(𝐸) =∫𝑋𝑡𝑟𝐹 ∧ 𝐹 (9.1.1)

= −∫𝑋

tr𝐹 ∧ ⋆(𝐹+ − 𝐹−) (9.1.2)

= −(𝐹, 𝐹+ − 𝐹−) (9.1.3)= −(𝐹+ + 𝐹−, 𝐹+ − 𝐹−) (9.1.4)= ||𝐹−||2𝐿2(𝑋)−||𝐹+||2𝐿2(𝑋) (9.1.5)

Por outro lado, por Pitágoras obtemos

2𝑌 (𝐴) = (||𝐹+||2+||𝐹−||2) (9.1.6)⎧⎨⎩(1)

(2)⇔ 𝑌 (𝐴) = 1

2(−𝑐2(𝐸) + ||𝐹−||2) = 12(𝑐2(𝐸) + ||𝐹+||2)

logo concluímos que:

• 𝑌 (𝐴) ≤ −12 |𝑐2(𝐸)|

• Se 𝑐2(𝐸) ≤ 0, 𝑌 (𝐴) ≤ 0 e atinge mínimo absoluto se 𝐹+ = 0, i.e. se 𝐴 é anti-autodual.

Observaçã: no caso 𝑐2(𝐸) > 0, não pode haver solução com 𝐹− = 0 (positividade)

9.1.3 Redução 𝑈(𝑛) 𝑆𝑈(𝑛) (3)Exercício: Usando a equação de Levi tr(𝑆 − 1

𝑟(tr𝑆)𝐼) = 0, mostre que se 𝐹 = 𝐹 0 ⊕ (tr𝐹 ) · 1

𝑟𝐼

com 𝐹 0 ∈ Ω2(𝑆𝑈(𝑛)) logo, ||𝐹 ||2= ||𝐹 0||2+𝑐 · ||tr𝐹 ||2

9.1.4 Teoria de Hodge (4)Dado o operator estrela de Hodge ⋆2 = (−1)𝑝(𝑛−𝑝) : Ω𝑝 → Ω𝑝. Seja 𝐿 : Ω𝑝(g) → Ω𝑝+1(g)

operador diferencial de primeira ordem dado por

𝐿(𝐴 ∧ 𝑏) := 𝐿(𝛼) ∧ 𝛽 + (−1)|𝛼|𝛼 ∧ 𝐿(𝛽)

tal que ∫𝑋𝐿(𝜉) = 0, 𝜉 ∈ Ω𝑛−1(g).

Proposição 9.1.1. 𝐿* := (−1)𝑛(𝑝+1)+1 ⋆ 𝐿⋆

152

Demonstração. sejam 𝛼 ∈ Ω𝑝−1 e 𝛽 ∈ Ω𝑝, então:

0 =∫𝑋𝐿(𝛼 ∧ ⋆𝛽) (9.1.7)

=∫𝑋

{𝐿(𝛼) ∧ ⋆𝛽 + (−1)𝑝−1𝛼 ∧ ⋆ ⋆ 𝐿(⋆𝛽)

}(9.1.8)

=∫𝑋

{𝐿(𝛼) ∧ ⋆𝛽 + (−1)𝑝−1+(𝑝−1)(𝑛𝑝+1)𝛼 ∧ ⋆𝐿(⋆𝛽)

}(9.1.9)

= (𝐿(𝛼), 𝛽) − (𝛼, ⋆𝐿⋆𝛽)𝐿2 (9.1.10)

Assim podemos definir o operador Laplaciano de Hodge como

Δ𝐿 := 𝐿𝐿* + 𝐿*𝐿 : Ω𝑝 → Ω𝑝

Corolário 9.1.2. O operator Δ𝐿 é (formalmente) auto-adjunto e [⋆,Δ𝐿] = 0.

Dizemos que uma forma é 𝐿 harmonica se ela pertencer ao núcleo do Laplaciano de Hodge.Assim obtemos

Proposição 9.1.3. Se a forma 𝛼 for 𝐿 harmonica, então ela é 𝐿 fechada e 𝐿 cofechada.

Demonstração. Segue da seguinte equação

0 = (Δ𝐿𝛼, 𝛼) = (𝐿𝐿*𝛼, 𝛼) + (𝐿*𝐿𝛼, 𝛼) = ||𝐿*𝛼||2+||𝐿𝛼||2.

Denotaremos o espaço das p formas L fechada como ℋ𝑝𝐿 := ker Δ𝐿 ∩ Ω𝑝.

Exercício: Seja 𝑀 uma variedade conexa, compacta, 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), mostre que se

Δ𝛼𝑓 = 0 ⇒ 𝑓 ≡ 𝑐,

onde 𝑐 é uma constante.

9.1.5 Teorema de decomposição de HodgeSeja 𝑀 uma variedade riemanniana, compacta; então, para cada 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝑀 , ℋ𝑝

𝑑 temdimensão finita 𝑟 e

Ω𝑝(𝑀) = 𝑑𝛿Ω𝑝(𝑀) ⊕ 𝛿𝑑Ω𝑝(𝑀) ⊕ ℋ𝑝𝑑

Corolário 9.1.4. ∀𝛼 ∈ 𝐻𝑝𝑑𝑅(𝑀), ∃! �� ∈ [𝑑] tal que Δ�� = 0

Deixaremos a demonstração do resultado acima por conta do leitor.Observação: Repare que toda classe de de Rham admite um único representante harmônico.

153

9.1.6 Norma do representante harmônicoAgora, considera 𝛼, 𝛽 duas formas suaves, enão:

𝑑

𝑑𝑡||𝛼 + 𝑡(𝑑𝛽)||2

𝑡=0

= (9.1.11)

= 𝑑

𝑑𝑡

𝑡=0

⟨𝛼 + 𝑡𝑑𝛽, 𝛼 + 𝑡𝑑𝛽⟩ (9.1.12)

= 𝑑

𝑑𝑡

𝑡=0

(|𝛼|2+2⟨𝛼, 𝑑𝛽⟩𝑡+ 𝑡2||𝑑𝛽||

)(9.1.13)

= 2⟨𝛼, 𝑑𝛽⟩ (9.1.14)= 2⟨𝛿𝛼, 𝛽⟩ = 0 (9.1.15)

Portanto o representante harmônico minimiza a norma 𝐿2 dentro de sua classe de de Rham.Voltando à teoria de calibres sabemos que [tr𝐹 ] ∈ 𝐻𝑝

𝑑𝑅(𝑋4), logo ||tr|| é minimizada pelorepresentante harmônico de [tr𝐹 ] e assim Δ(tr𝐹𝐴0 + 𝑑𝛽) = 0. Concluímos que o problema deYang-Mills reduz-se ao 𝑆𝑂(𝑛)-fibrado correspondente a 𝐸. Assim se 𝐸0 for a componente com𝑐1 = 0 temos

𝐸 = 𝐸0 ⊕ 𝐿.

Por fim a Equação Yang-Mills se reduz a:

𝛿𝐴𝐹𝐴 = 0 ⇔ 𝑑*𝐴𝐹𝐴 = 0

com 𝑑*𝐴 = ⋆𝑑𝐴⋆. Logo, verificamos (também) por Bianchi, que 𝐹± = 0 são soluções.

Exercício: Em R4 mostre que,

𝐹+ = 0 ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝐹12 + 𝐹34 = 0𝐹13 + 𝐹42 = 0𝐹14 + 𝐹23 = 0

.

9.2 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 2Uma norma ||·||𝐿2(𝑋𝑑) em Ω2(𝑋) é invariante conforme se, e somente se, 𝑑 = 4. Pois uma

mudança conforme é:𝑐 : 𝑋 → R+ : 𝑔 ↦→ 𝑐 · 𝑔

𝑑𝜇𝑔 ↦→ 𝑐𝑑 · 𝑑𝜇𝑔|·|↦→ 𝑐2 · |·|

e portanto a integral muda para ∫𝑋

|·|2𝑑𝜇𝑔 ↦→ 𝑐𝑑−4∫𝑋

|·|2𝑑𝜇𝑔

Em particular, como 𝑆4 e R4 são conformes, podemos estudar instantos em 𝑆4 tomando R4 comomodelo.

154

9.2.1 Exemplos de instantos AAD1. 𝐸 → 𝑋, 𝐴 plana: 𝐹𝐴 = 0 = − ⋆ 𝐹𝐴

2. Exercício: Dado o fibrado tangente 𝑇𝑋 → 𝑋, e a conexão ∇𝐿𝐶 de uma 4 variedaderiemanniana (𝑋, 𝑔) e o tensor

𝑅∇ = ∇ · ∇

=(𝑊+ + 𝑠

12 Ric0

Ric0 𝑊− + 𝑠12

)onde 𝑊 tensor de Weyl, Ric é o tensor de Ricci, 𝑠 é a curvatura escalar e 𝑊± parte(anti)autodual de 𝑊Sobre que hipótese 𝑅 é AAD?

3. Exemplo de ’t Hooft: Considere o 𝑆𝑈(2) fibrado sobre 𝑆4 ≃ R4, 𝐸 = C2 ≃ R4 × C2. Qualseria a solução da equação 𝑑*

𝐴𝐹𝐴 = 0 ? Tome

𝐴 =3∑

𝜇=0𝐴𝜇𝑑𝑥

𝜇

onde R4 = {𝑥1, . . . , 𝑥4} com 𝐴𝜇 = 12𝑖∑3𝑏=1 𝐴

𝑏𝜇𝜎𝑏 ∈ SU(2) onde

𝜎1 =(

0 11 0

), 𝜎2 =

(0 −𝑖𝑖 0

)𝜎3 =

(1 00 −1

)que são conhecidas como as Matrizes de Pauli.Observação: {𝑖𝜎1, 𝑖𝜎2, 𝑖𝜎3} é uma base de álgebra de Lie real su(2), as matrizes sem traço,anti-simétricas e hermitianas.As matrizes de Pauli tem as seguintes propriedades:𝜎1𝜎2 = 𝑖𝜎3𝜎3𝜎1 = 𝑖𝜎2𝜎2𝜎3 = 𝑖𝜎1𝜎2

1 = 𝜎22 = 𝜎2

3 = 𝐼

ou seja, podemos fazer a seguinte identificação⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝐼 := −𝑖𝜎1

𝐽 := −𝑖𝜎2

𝐾 := −𝑖𝜎3

reconhecendo uma identificação com H, os quaternios.

Denotando 1 ≤ 𝜇, 𝜈 ≤ 4, 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 3⎧⎨⎩𝜎𝑗𝑘 := 14𝑖 [𝜎𝑗, 𝜎𝑘]

𝜎𝑗4 := 12𝜎𝑗

155

Proposição 9.2.1. As matrizes de Pauli são autoduais:

𝜎12 = 12𝜎3 = 𝜎34

−𝜎13 = 12𝜎2 = 𝜎24

𝜎14 = 12𝜎1 = 𝜎14

Proposição 9.2.2. Os comutadores dos 𝜎𝜇𝜈 são:

[𝜎12, 𝜎13] = 𝑖

2𝜎1 = [𝜎24, 𝜎34]

[𝜎12, 𝜎14] = 𝑖

2𝜎2 = [𝜎34, 𝜎23]

[𝜎13, 𝜎14] = 𝑖

2𝜎3 = [𝜎23, 𝜎24].

Ansatz de ’t Hooft: 𝐴𝜇 = 𝑖∑𝑎𝜆𝜎𝜇𝜆 solução de ⋆𝐹𝜇𝜈 = −𝐹𝜇𝜈 , com 𝑎 = (𝑎1, . . . , 𝑎4) : R4 → R4

e 𝑎𝜆 = (𝑎𝑏)𝜆 = ∑4𝜇=1 𝛿

𝜆𝜇𝑎𝜇, sendo um gradiente da forma 𝑎 = ∇(ln 𝜌) com 𝜌 : R4 → R4

Formalmente, decone de (2) que 𝑎 = 1𝜌∇𝜌

Queremos avaliar 𝐹𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜈

? − 𝜕𝜈𝐴𝑚𝑢? + [𝐴𝜇, 𝐴𝜈 ]

Para isso, usaremos: 𝜕𝜇𝑎𝜈 = (𝜕𝜇𝜕𝜈𝜌)·𝜌−(𝜕𝜈𝜌)(𝜕𝜇𝜌)𝜌2 (3a)

(derivada do quotiente) e 𝑓𝜇𝜈 := 𝜕𝜇𝑎𝜈 − 𝜕𝜈𝑎𝜇 = (· · ·) = 0 (3b)

Organizando (3a) e (3b) temos 𝐹𝜇𝜈 = ∑4𝜆=1 𝑖

(𝜎𝜈𝜆𝜕𝜇𝑎

𝜆 − 𝜎𝜇𝜆𝜕𝜇𝑎𝜆)

−∑4𝜆,𝑘=1 𝑎

𝜆𝑎𝑘[𝜎𝜇𝜆, 𝜎𝜈𝑘]

Exercício: Mostre que

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝐹12 + 𝐹34 = 0𝐹13 + 𝐹42 = 0𝐹14 + 𝐹23 = 0

⇔ ∑𝜇 (𝜕𝜇𝑎𝜇 + (𝑎𝜇)2) = 0 (4)

por exemplo: 𝐹12 = 𝑖2 [(−𝜕2𝑎4 + 𝜕1𝑎3 + 𝑎2𝑎4 − 𝑎1𝑎3)𝜎1 + (𝜕1𝑎4 + 𝜕2𝑎3 − 𝑎1𝑎4 − 𝑎2𝑎3)𝜎2

−(𝜕1𝑎1 + 𝜕2𝑎2 + 𝑎23 + 𝑎2

4)𝜎3]Ora, (4) pode ser reescrito como uma equação harmônica:

0 =(2)

∑𝜇

⎡⎣𝜕𝜇(𝜕𝜇𝜌

𝜌

)+(𝜕𝜇𝜎

𝜌

)2⎤⎦ (9.2.1)

=∑𝜇

⎡⎣1𝜌𝜕2𝜇𝜌−

(𝜕𝜇𝜌

𝜌

)2

+(𝜕𝜇𝜌

𝜌

)2⎤⎦ (9.2.2)

= 1𝜌

Δ𝜌 (9.2.3)

156

Solução: 𝜌(𝑥) = 1 +∑4𝜇=1

𝜆2𝜇

||𝑥−𝑦𝜇||2 com 𝑦 ∈ R4 : "centro da caraga"𝜆 ∈ R4 : "fator de escala"

Exercício: 𝑦 = 0, 𝜆 = 1𝐴(𝑥) = 1

1+||𝑥||2 (𝜃𝐼 ⊗ 𝐼 + 𝜃𝐽 ⊗ 𝐽 + 𝜃𝐾 ⊗𝐾)com 𝜃𝐼 = 𝑥1𝑑𝑥

2 − 𝑥2𝑑𝑥1 − 𝑥3𝑑𝑥

4 + 𝑥4𝑑𝑥3

𝜃𝐽 = 𝑥1𝑑𝑥3 − 𝑥3𝑑𝑥

1 − 𝑥4𝑑𝑥2 + 𝑥2𝑑𝑥

4

𝜃𝐾 = 𝑥1𝑑𝑥4 − 𝑥4𝑑𝑥

1 − 𝑥2𝑑𝑥3 + 𝑥3𝑑𝑥

2

𝐹 (𝑥) =(

11+||𝑥||2

)2(𝑑𝜃𝐼 ⊗ 𝐼 + 𝑑𝜃𝐽 ⊗ 𝐽 + 𝑑𝜃𝐾 ⊗𝐾)

Exercício: calcule a energia de Yang-Mills do instanton de ’t Hooft "one-instanton"

157

Capítulo 10

O espaço das Conexões

Apresentados à equação de Yang-Mills:

𝑑𝐴 * 𝐹𝐴 = 0,

buscamos agora entender o seu espaço de soluções. Em particular, queremos estudar o espaçode instantons 𝐹+

𝐴 = 0, módulo transformações de calibre. Para isso, podemos pensar em umafunção 𝐹+ : 𝐴 ↦→ 𝐹+

𝐴 e buscar descrever ker(𝐹+). Mas precisamos primeiramente dar sentido aesta função, a começar, neste capítulo, com a descrição de seu domínio, o espaço das conexões.Mais precisamente, queremos caracterizar este espaço módulo calibre. O objetivo deste capítulo,portanto, reduz-se a descrever e estudar a ação apropriada de tranformações de calibre sobre oespaço das conexões, com respeito à qual o problema de Yang-Mills é invariante.

Seja 𝑃 → 𝑋 um 𝐺-fibrado principal e 𝒜 o conjunto das conexões em 𝑃 → 𝑋. Se 𝐴0 é umaconexão fixada e 𝐴 uma conexão qualquer, então 𝐴−𝐴0 = 𝑎 ∈ Ω1(𝑃, g). Assim, 𝒜 = 𝐴0 + Ω1(g),i.e. 𝒜 é um espaço afim modelado em Ω1(𝑃, g), e denominado o espaço das conexões.

10.1 O grupo de automorfismosSeja 𝜋 : 𝑃 𝜋→ 𝑋 a projeção do 𝐺-fibrado principal que estamos considerando. Recorde que um

automorfismo ou tranformação de calibre é um difeomorfismo 𝐺-equivariante 𝜙 : 𝑃 → 𝑃 que fazcomutar o seguinte diagrama

𝑃𝜙−→ 𝑃

𝜋 ↘ ↘ 𝜋𝑋

Definição 10.1.1. O conjunto dos automorfismos de 𝑃 é um grupo com relação à composição,chamado de grupo de automorfismos ou grupo (de tranformações) de calibre, o qual denotaremospor 𝒢 := 𝐴𝑢𝑡(𝑃 ).

Seja 𝐶 : 𝐺 → 𝐴𝑢𝑡(𝐺) a representação de 𝐺 dada por conjugações, ou seja, 𝐶(𝑔) := 𝐶𝑔 : ℎ ↦→𝑔ℎ𝑔−1, ∀𝑔 ∈ 𝐺. Então, podemos definir a partir de 𝑃 um fibrado localmente trivial da seguintemaneira.

159

Considere o quociente𝑃 ×𝐺 𝐺 := (𝑃 ×𝐺)

𝐺,

onde 𝐺 age sobre 𝑃 × 𝐺 por (𝑝, 𝑔) · ℎ = (𝑝ℎ, 𝐶ℎ−1(𝑔)), para 𝑝 ∈ 𝑃 e 𝑔, ℎ ∈ 𝐺. Como a ação de𝐺 em 𝑃 é livre, esta ação é também livre. Ademais, como 𝑃/𝐺 é uma variedade diferenciável,𝑃 ×𝐺 𝐺 também é. Finalmente, a projeção 𝜋 : 𝑃 → 𝑋 induz uma projeção 𝜋𝐺 : 𝑃 ×𝐺 𝐺 → 𝑋por 𝜋𝐺(𝑝, 𝑔) = 𝜋(𝑝), que está bem-definida porque 𝜋(𝑝𝑔) = 𝜋(𝑝). Isso define o fibrado associado𝐴𝑑(𝑃 ) := 𝑃 ×𝐺 𝐺.

Se {𝑈𝛼} é uma cobertura aberta de 𝑋 e {(𝑔𝛼𝛽, 𝑈𝛼𝛽)} são as funções de transição de 𝑃 , então

𝑃 ×𝐺 𝐺 =⊔𝛼

(𝑈𝛼 ×𝐺)∼

,

onde (𝑥, 𝑔) ∼ (𝑥,𝐶𝑔𝛼𝛽(𝑥)(𝑔)), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼𝛽 e 𝑔 ∈ 𝐺. Seções de 𝑃 ×𝐺 𝐺 são representadas porfunções 𝜓 : 𝑃 → 𝐺 satisfazendo a condição de equivariância 𝜓(𝑝𝑔) = 𝑔−1𝜓(𝑝)𝑔 ∀𝑝 ∈ 𝑃 , ouequivalentemente, por fmílias de funções {𝜓𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺} tais que 𝜓𝛼(𝑝) = 𝐶𝑔𝛼𝛽(𝑝)𝜓𝛽(𝑝) ∀𝑝 ∈ 𝑈𝛼𝛽.Consequentemente, o espaço das seções 𝐶∞ deste fibrado herda uma multiplicação continua dasmultiplicações fibra-a-fibra.

Similarmente, podemos definir o fibrado associado 𝑎𝑑(𝑃 ) := 𝑃 ×𝐺 g a partir da representaçãoadjunta 𝐴𝑑 : 𝐺 → 𝐴𝑢𝑡(g).

Lema 10.1.2. O grupo de automorfismos 𝒢 é naturalmente isomorfo a Γ(𝑋,𝐴𝑑(𝑃 )).

Demonstração. Seja 𝜙 : 𝑃 → 𝑃 um automorfismo. Como 𝜋 ∘ 𝜙 = 𝜋, 𝜙(𝑝) ∈ 𝜋−1(𝜋(𝑝)) ∀𝑝 ∈ 𝑃 e,então, existe uma única 𝜓 : 𝑃 → 𝐺 tal que 𝜙(𝑝) = 𝑝𝜓(𝑝) ∀𝑝. Como 𝜙 é um difeomorfismo, 𝜓 édiferenciável, e da 𝐺-equivariância de 𝜙 segue que

𝜓(𝑝𝑔) = 𝑔−1𝜓(𝑝)𝑔 (10.1.1)

De fato.

(𝑝𝑔)𝜓(𝑝𝑔) = 𝜙(𝑝𝑔) = 𝜙(𝑝)𝑔 = (𝑝𝜓(𝑝))𝑔⇐⇒ 𝑝(𝑔𝜓(𝑝𝑔)) = 𝑝(𝜓(𝑝)𝑔)

ação livre⇐⇒ 𝑔𝜓(𝑝𝑔) = 𝜓(𝑝)𝑔

Logo, 𝜓 ∈ Γ(𝑋,𝐴𝑑(𝑃 )).Reciprocmente, se 𝜓 : 𝑃 → 𝐺 é uma função diferenciável que satisfaz 10.1.1, então defina

𝜙 : 𝑃 → 𝑃 por 𝜙(𝑝) := 𝑝𝜓(𝑝) ∀𝑝 ∈ 𝑃 . De modo análogo, obtemos que 𝜙 é um automorfismo de𝑃 .

Portanto, 𝒢 ≃ Γ(𝑋,𝐴𝑑(𝑃 )).

O grupo 𝒢 não pode ser um grupo de Lie clássico, tratando-se de um espaço de dimensãoinfinita. Ele é, porém, um grupo de Lie de dimensão infinita e o modo mais simples de definir talgrupo é modelá-lo sobre espaços de Banach.

160

10.2 Variedades de BanachSejam 𝐸,𝐹 espaços de Banach. Se 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 é uma função linear, a norma de 𝑓 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )

é dada por‖𝑓‖𝐸,𝐹 := sup

‖𝑥‖𝐸=1‖𝑓(𝑥)‖𝐹

Com respeito a esta norma, 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 ) é também um espaço de Banach.Definição 10.2.1. Uma função 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 é diferenciável em 𝑥 ∈ 𝐸 se existe uma aplicaçãolinear limitada (𝐷𝑓)𝑥 : 𝐸 → 𝐹 tal que

lim‖ℎ‖𝐸→0

‖𝑓(𝑥+ ℎ) − 𝑓(𝑥) − (𝐷𝑓)𝑥(ℎ)‖𝐹‖ℎ‖𝐸

= 0

A função (𝐷𝑓)𝑥 é denominada a derivada de Fréchet de 𝑓 em 𝑥.Quando uma função 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 é diferenciável ∀𝑥 ∈ 𝐸, obtemos uma aplicação 𝐷𝑓 : 𝐸 →

𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 ) entre espaços de Banach. Se esta função for contínua, dizemos que 𝑓 é uma funçãode classe 𝐶1. Ademais, se 𝐷𝑓 for diferenciável, então existe 𝐷2𝑓 : 𝐸 → 𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐻𝑜𝑚(𝐸,𝐹 )), aderivada de segunda ordem de 𝑓 . E, assim por diante, os conceitos de funções de classe 𝐶𝑟 ou𝐶∞ se generalizam para espaços de Banach. Com isso, podemos definir variedades diferenciáveismodeladas sobre espaços de Banach.Definição 10.2.2. Considere um espaço de Banach 𝐸. Uma variedade de Banach 𝐶∞ modeladaem 𝐸 é um esço Hausdorff segundo enumerárvel 𝑋 munido com uma coleção de homeomorfismos{𝜑𝑖 : 𝑈𝑖 ⊂ 𝑋 → 𝜑(𝑈𝑖) ⊂ 𝐸}𝑖∈𝐼 , chamada atlas, que satisfaz:

1. {𝑈𝑖}𝑖∈𝐼 é uma cobertura aberta de 𝑋;

2. se 𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 = ∅, então 𝜑𝑗 ∘ 𝜑−1𝑖 é uma função 𝐶∞.

Com esta definição de variedade de dimensão infinita e a estrutura de grupo definida na seçãoanterior, interpretamos 𝒢 como um grupo de Lie. Embora devamos ter cuidado com esta noção,é natural querermos interpretar a álgebra de Lie de 𝒢 como o espaço vetorial das seções 𝐶∞ de𝑎𝑑(𝑃 ). De fato, isso é verdade.

O fato correto é que existe uma aplicação exponencial definida fibra-a-fibra que identificao espaço das seções de 𝑎𝑑(𝑃 ) com o espaço tangente do espaço das seções de 𝐴𝑑(𝑃 ) na seçãoidentidade:

exp : Γ(𝑋, 𝑎𝑑(𝑃 )) ≃ 𝑇𝑖𝑑(Γ(𝑋,𝐴𝑑(𝑃 ))Não provaremos este resultado, mas podemos definir tal aplicação exponencial por

exp : Ω0(𝑋, 𝑎𝑑(𝑃 )) −→ 𝐴𝑢𝑡(𝑃 )(𝜎 : 𝑋 → 𝑎𝑑(𝑃 )) ↦ −→ (𝑠 : 𝑋 → 𝐴𝑑(𝑃 ))

com 𝑠(𝑥) = exp(𝜎(𝑥)) ∀𝑥 ∈ 𝑋. Esta aplicação está bem-definida porque exp : g → 𝐺 satisfazexp(𝑔−1𝑋𝑔) = 𝑔−1 exp(𝑋)𝑔 ∀𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑋 ∈ g. Entendendo o colchete de Lie fibra-a-fibra, osaxiomas de álgebra de Lie são válidos, pois são verdadeiros em cada fibra. Vale também a fórmulausual de Baker-Campbell-Hausdorff, relacionando a multiplicação fibra-a-fibra de seções de 𝐴𝑑(𝑃 )com o colchete de Lie fibra-a-fibra para seções de 𝑎𝑑(𝑃 ).

161

10.3 A ação do grupo de automorfismosRelembre a seção sobre “Conexões em Fibrados Principais”, Capítulo 4.Sejam 𝐿𝑔 : 𝐺 → 𝐺 e 𝑅𝑔 : 𝐺 → 𝐺 as multiplicações à esquerda e à direita por 𝑔 ∈ 𝐺,

respectivamente.

Definição 10.3.1. A forma de Maurer-Cartan (invariante à esquerda) é uma 1-forma g-valorada𝜃 definida ∀𝑔 ∈ 𝐺 por

𝜃𝑔 = (𝐿𝑔−1)* : 𝑇𝑔𝐺 =⇒ 𝑇𝑒𝐺 = g

Seja 𝑅𝑝 : 𝐺 → 𝑃 a ação de 𝐺 sobre 𝑝 ∈ 𝑃 , i.e. 𝑅𝑝(𝑔) = 𝑝𝑔 , ∀𝑔 ∈ 𝐺. Se 𝜔 ∈ Ω1(𝑃, g) é uma1-forma de conexão para 𝑃 , então 𝜔 satisfaz

𝑅*𝑔(𝜔) = 𝐶𝑔−1𝜔 (10.3.1)

𝑅*𝑝(𝜔) = 𝜃 (10.3.2)

Reciprocamente, se 𝜔 ∈ Ω1(𝑃, g) é uma 1- forma que satisfaz 10.3.1 e 10.3.2, então 𝜔 é uma 1-formade conexão para 𝑃 .

Lema 10.3.2. Seja 𝜙 ∈ 𝒢 um automorfismo de 𝑃 e 𝜔 ∈ Ω1(𝑃, g) uma 1-forma de conexão. Então,𝜙*𝜔 ∈ Ω1(𝑃, g) é também uma 1-forma de conexão para 𝑃 .

Demonstração. Como 𝜙 é comuta com a ação de 𝐺 e 𝜔 satisfaz 10.3.1, temos que 𝜙*𝜔 satisfaz amesma identidade. Ademais, fixados 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑒 ∈ 𝜋−1(𝑥), podemos identificar a fibra 𝜋−1(𝑥) de 𝑃com 𝐺, relacionando 𝑔 a 𝑒𝑔. Então, 𝜔|𝜋−1(𝑥) estará identificado a 𝜃. Como 𝜙 leva fibra em fibra,temos que 𝜙*𝜔|𝜋−1(𝑥)= 𝜔|𝜋−1(𝑥). Assim, a condição 10.3.2 também é satisfeita e, portanto, 𝜙*𝜔 éuma 1-forma de conexão.

Em termos da distribuição, se 𝜔 é a 1-forma de conexão de uma conexão 𝐻 em 𝑃 , então adistribuição 𝐻𝜙, definida por

(𝐻𝜙)𝑝 = (𝐷𝜙−1)𝑝𝐻𝜙(𝑝)

é também uma conexão em 𝑃 . E em termos de derivada covariante, se ∇ é a conexão relacionadaa 𝜔 sobre o fibrado vetorial 𝐸 associado a 𝑃 , então

∇𝜙 = 𝜙−1∇𝜙

é outra conexão no fibrado associado.Portanto, se identificarmos o espaço das conexões 𝒜 com Ω(𝑃, g), o lema acima define uma

aplicação𝒜 × 𝒢 → 𝒜

Esta é a ação do espaço dos automorfismos 𝒢 sobre o espaço das conexões 𝒜 que procuráva-mos. Os próximos resultados nos ajudarão a compreendê-la melhor e concluirão o capítulo, poisconheceremos o espaço de conexões que nos interessa, ℬ := 𝒜/𝒢.

162

Proposição 10.3.3. Seja 𝜔 uma 1-forma de conexão. O estabilizador de 𝜔 em Γ(𝑋,𝐴𝑑(𝑃 )) ≃ 𝒢é dado por

𝑠𝑡𝑎𝑏(𝜔) = {𝜎 : 𝑋 → 𝐴𝑑(𝑃 ) | ∇𝜎 = 0}onde ∇ é a derivada covariante correspondente a 𝜔.

Demonstração. Vamos provar este resultado localmente, usando uma trivialização de 𝑃 |𝑈 , onde𝑈 é um aberto com coordenadas (𝑥1, ..., 𝑥𝑛). Com respeito a essa trivialização, 𝜔𝑒|𝑈= ∑

𝑖 𝛼𝑖𝑑𝑥𝑖

e podemos supor 𝛼1 = 0, escolhendo uma trivialização local diferente se necessário. Localmente,a seção 𝜎 é representada por uma função de 𝑈 em 𝐺 e 𝜎*𝜔 é dado por 𝜎−1𝑑𝜎 + ∑

𝑖 𝜎−1𝛼𝑖𝜎𝑑𝑥

𝑖.Se 𝜎*𝜔 = 𝜔, segue que 𝜎−1 𝜕𝜎

𝜕𝑥1 = 0, ou ainda, 𝜕𝜎𝜕𝑥1 = 0. Do mesmo modo, poderíamos escolher

qualquer direção 𝑥𝑗. Assim, concluímos que ∇𝜎 = 0. Reciprocamente, se ∇𝜎 = 0, obtemos que𝜎*𝜔 = 𝜔.Teorema 10.3.4. Se 𝜎 ∈ 𝑠𝑡𝑎𝑏(𝜔), então ∀𝑥 ∈ 𝑋 , 𝜎𝑥 = [𝑝, ℎ], onde ℎ ∈ 𝐺 é um elemento docentralizador de ℎ𝑜𝑙𝑝(𝜔)), que denotaremos por 𝒞(ℎ𝑜𝑙𝑝(𝜔)). Ademais, se 𝑋 é conexo, 𝑠𝑡𝑎𝑏(𝜔) ≃𝒞(ℎ𝑜𝑙𝑝(𝜔)).

Demonstração. Primeiramente, observe que se 𝜎(𝑥) = [𝑝, ℎ] com 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑝 ∈ 𝜋−1(𝑥) e ℎ ∈ ℎ𝑜𝑙𝑝(𝜔),então ∀𝑝′ ∈ 𝜋−1(𝑥) ∃𝑔 ∈ 𝐺 tal que 𝑝′ = 𝑝𝑔 e 𝜎(𝑥) = [𝑝𝑔, 𝑔−1ℎ𝑔], sendo ℎ𝑜𝑙𝑝𝑔(𝜔) = 𝑔−1ℎ𝑜𝑙𝑝(𝜔)𝑔.

Suponha agora 𝜎 ∈ 𝑠𝑡𝑎𝑏(𝜔). Considere um laço 𝛾 : 𝑆1 → 𝑋 com base em 𝑥, ou seja, 𝛾(0) =𝛾(1) = 𝑥. Podemos escrever 𝜎(𝑡) := 𝜎(𝛾(𝑡)) = [𝛾(𝑡), 𝑔(𝑡)], onde 𝛾 é o levantamento horizontal de𝛾 e 𝑔 : 𝑆1 → 𝐺 é uma função diferenciável. Pela proposição anterior, 𝜎 é horizontal. Então, 𝑔(𝑡)deve ser constante e, em particular, 𝑔(0) = 𝑔(1) =: 𝑔. Se ℎ𝛾 denota ℎ𝑜𝑙𝑝(𝜔)(𝛾), 𝛾(1) = ˜𝛾(0)ℎ𝛾,por definição. Mas por outro lado, [𝛾(1), 𝑔(1)] = [𝛾(0), 𝑔(0)]. Assim, ℎ−1

𝛾 𝑔(1)ℎ𝛾 = 𝑔(0), i.e.ℎ−1𝛾 𝑔ℎ𝛾 = 𝑔. Logo, 𝑔 ∈ 𝒞(ℎ𝛾). Pela arbitrariedade de 𝛾, concluímos a primeira parte deste

resultado.Finalmente, suponha 𝑋 conexo. Existe uma única seção horizontal 𝜎 : 𝑋 → 𝐴𝑑(𝑃 ) tal que

𝜎(𝑥) = [𝑝, 𝑔] e precisamos apenas provar que se 𝜆1, 𝜆2 são caminhos diferenciáveis em 𝑋, então otransporte paralelo de [𝑝, 𝑔] por esses dois caminhos tem o mesmo resultado. Mas isso é equivalentea mostrar que se 𝛾 é um laço em 𝑋, então o tranporte paralelo de [𝑝, 𝑔] através de 𝛾 ainda é [𝑝, 𝑔],e isso segue do mesmo argumento usado acima.

Considere 𝐶∞(𝑃,𝐺) o conjunto das funções suaves de 𝑃 para o gurpo de estrutura 𝐺, tal que𝑓(𝑝 · 𝑔) = 𝑔−1𝑓(𝑝)𝑔, para todo 𝑔 ∈ 𝐺. Se 𝜑 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑃 ), temos que 𝜑(𝑝) e 𝑝 estão na mesma orbita,e portanto, existe um 𝑓𝜑 : 𝑃 → 𝐺 tal que

𝜑(𝑝) = 𝑝 · 𝑓(𝑝).

Como 𝜑 é um difeomorfismo, 𝑓𝜑 é suave, e

𝑝𝑓𝜑𝑔 = 𝜑(𝑝 · 𝑔) = (𝑝𝑔)𝑓𝜑(𝑝𝑔),

e como a ação de 𝐺 é livre, concluímos que 𝑓𝜑 ∈ 𝐶∞(𝑃,𝐺). Por outro lado, se 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑃,𝐺),defina 𝜑(𝑝) = 𝑝 · 𝑓(𝑝). Ou seja, o grupo de Calibre pode ser identificado com o 𝐶∞(𝑃,𝐺).

Por fim, vale comentar: Por conveniência, dado um 𝜑 ∈ 𝒢, denotaremos a curvatura da conexão𝜑*𝜔 como 𝐹 𝜑

𝜔 .Segue algumas propriedades bastante úteis

163

Proposição 10.3.5. Seja 𝜔 ∈ 𝒜, 𝜑 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑃 ), 𝜃 a forma de Maurer-Cartan de 𝐺. Tome 𝑓 ∈𝐶∞𝐺 (𝑃 ;𝐺) o mapa correspondente a 𝜑. Então

• 𝐹 𝜑𝜔 = 𝜑*𝐹𝜔;

• 𝜑*𝜔 = 𝐴𝑑𝑓−1𝜔 + 𝑓 *𝜃;

• 𝜑*𝐹𝜔 = 𝐴𝑑𝑓−1𝐹𝜔;

Demonstração. • Considere, 𝐻 e 𝐻 as conexões associadas a 𝜔 e 𝜑*𝜔 respectivamente. Dada𝑢, 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑃 , denotaremos 𝐻(𝑢) como a componente horizontal de 𝑢, temos

𝐹 𝜑(𝑝)(𝑢, 𝑣) = 𝑑(𝜑*𝜔)(𝑝)(𝐻(𝑢),𝐻(𝑣)).

Daí, 𝜔(𝜑(𝑝))(𝑑𝜑(𝑝)𝐻(𝑢)) = 0 e 𝑑𝜑(𝑝)𝐻(𝑢) ∈ 𝐻𝜑(𝑝). Além disso, 𝑑𝜑(𝑝)𝑉𝑝(𝑢) = 𝑑(𝜑 ∘ 𝜓𝑝)(𝑒)𝜉,onde 𝜓𝑝 é a função induzida pela a ação de 𝐺 fixando o ponto 𝑝 e 𝜉 ∈ g. Como 𝜑∘𝜓𝑝 = 𝜓𝜑(𝑝),temos que 𝑑𝜑(𝑝)𝑉𝑝(𝑢) ∈ 𝑉𝜑(𝑝). Concluímos então que 𝐻(𝑑𝜑(𝑝)𝑢) = 𝑑𝜑(𝑝)𝐻(𝑢). Como aderivada exterior comuta com o pull-back, temos

𝐹 𝜑(𝑝)(𝑢, 𝑣) = 𝑑𝜔(𝜑(𝑝))(𝑑𝜑(𝑝)𝐻(𝑢), 𝑑𝜑(𝑝)𝐻(𝑣)) (10.3.3)= 𝑑𝜔(𝜑(𝑝))(𝐻(𝑑𝜑(𝑝)𝑢), 𝐻(𝑑𝜑(𝑝)𝑣)) (10.3.4)= (𝜑*𝐹 )(𝑝)(𝑢, 𝑣). (10.3.5)

• Repare que, se 𝜑(𝑝) = 𝑝.𝑓(𝑝), isto é 𝜑 = 𝜎 ∘ (𝐼𝑑, 𝑓):

𝑑𝜑(𝑝)𝑣 = 𝑑𝜎(𝑝, 𝑓(𝑝))𝑑(𝐼𝑑, 𝑓)(𝑝)𝑣 (10.3.6)= 𝑑𝜎(𝑝, 𝑓(𝑝))(𝑣, 𝑑𝑓(𝑝)𝑣) (10.3.7)= 𝑑𝜓𝑝(𝑓(𝑝))𝑑𝑓(𝑝)𝑣 + 𝑑𝜓𝑓(𝑝)(𝑝)𝑣. (10.3.8)

Assim

(𝜑*𝜔)(𝑝)𝑣 = 𝜔𝑝.𝑓(𝑝)(𝑑𝜓𝑝(𝑓(𝑝))𝑑𝑓(𝑝)𝑣 + 𝑑𝜓𝑓(𝑝)(𝑝)𝑣) (10.3.9)= 𝜔𝑝.𝑓(𝑝)(𝑑𝜓𝑝(𝑓(𝑝))𝑑𝑓(𝑝)𝑣) + 𝐴𝑑𝑓(𝑝)−1(𝜔(𝑝)𝑣). (10.3.10)

Como 𝜓𝑝(ℎ) = 𝑝.ℎ = (𝑝.𝑓(𝑝)).(𝑓(𝑝)−1ℎ), temos 𝜓𝑝 = 𝜓𝑝𝑓(𝑝) ∘ 𝐿𝑓(𝑝)−1 , e com isso

𝜔𝑝.𝑓(𝑝)(𝑑𝜓𝑝(𝑓(𝑝))𝑑𝑓(𝑝)𝑣) = 𝜔𝑝.𝑓(𝑝)(𝑑𝜓𝑝.𝑓(𝑝)(𝑒)𝑑𝐿𝑓(𝑝)−1(𝑓(𝑝))𝑑𝑓(𝑝)𝑣) (10.3.11)= 𝜔𝑝.𝑓(𝑝)(𝑑𝜓𝑝.𝑓(𝑝)(𝑒)(𝑓 *𝜃)(𝑝)𝑣) (10.3.12)= (𝑓 *𝜃)(𝑝)𝑣. (10.3.13)

• Pelo primeiro item temos que, localmente 𝜑*𝐹 = 𝐹 𝜑 = 𝑑(𝜑*𝜔) + 12 [𝜑*𝜔, 𝜑*𝜔], assim é só

substituir a formula anterior.

164

O primeiro item do resultado anterior nos diz que o grupo de Calibre também age no espaçodas curvaturas de conexão.

Definição 10.3.6. Dada a ação do grupo de Calibre no espaço das conexões, 𝒢 × 𝒜 → 𝒜, geraum espaço quociente ℬ = 𝒜/𝒢 que chamaremos de espaço de Classes de Calibre.

No proximo capítulo, iremos mostrar propriedades topológicas sobre o espaço de Classes deCalibre.

165

Capítulo 11

Modelo local do espaço de moduli deinstantons

11.1 Espaços de SobolevDefinição 11.1.1. Seja Ω ⊂ R𝑛 aberto. Denote por 𝐿𝑝𝑘(Ω) o completamento do espaço de funçõessuaves 𝑓 : Ω → R, sob a norma

‖𝑓‖𝐿𝑝𝑘

=(

𝑘∑𝑖=0

𝜕(𝑖)𝑓

𝑝𝐿𝑝

) 1𝑝

, (11.1.1)

onde‖𝑓‖𝐿𝑝 =

(∫Ω|𝑓 |𝑝

) 1𝑝

. (11.1.2)

Chamamos 𝐿𝑝𝑘 de espaço de Sobolev.Em particular, para 𝑝 = 2, ‖·‖𝐿2

𝑘satisfaz a regra do paralelogramo, o que nos permite definir

um produto interno a partir desta norma. Logo, 𝐿2𝑘 é um espaço de Hilbert.

Como estamos em um contexto geométrico, gostaríamos de uma definição análoga para varie-dades. Esta definição pode ser feita de duas maneiras:Definição 11.1.2. Sejam 𝑋 uma variedade compacta e 𝐸 → 𝑋 um fibrado vetorial complexo. Oespaço 𝐿2

𝑘(𝑋,𝐸) de “seções 𝐿2𝑘 de E” é definido como:

1. Escolha coordenadas e trivializações em um aberto 𝑈 ⊂ 𝑋 e defina que 𝜎 ∈ 𝐿𝑝𝑘(𝑋,𝐸) se𝜎 = (𝜎1, ..., 𝜎𝑟) localmente, com 𝜎𝑖 ∈ 𝐿𝑝𝑘(𝑈)

2. Escolha uma métrica em X, e uma métrica em 𝐸 com uma conexão compatível, isto é,𝑑⟨∇𝜎1, 𝜎2⟩ = ⟨∇𝜎1, 𝜎2⟩ + ⟨𝜎1,∇𝜎2⟩. Tome o completamento das seções suaves de 𝐸 nanorma

‖𝑠‖𝐿𝑝𝑘

=∫𝑋

(𝑘∑𝑖=1

∇𝑖𝜎

𝑝) 1𝑝

𝑑𝑣𝑜𝑙

167

,onde as normas no integrando são as normas induzidas, ponto a ponto, pelas métricas.

No que se segue, omitiremos a variedade 𝑋 e o fibrado 𝐸 quando coveniente, denotando oespaço de Sobolev apenas por 𝐿𝑝𝑘.

Teorema 11.1.3 (Mergulho de Sobolev). Se dim𝑋 = 𝑛, então existe uma inclusão limitada de𝐿𝑝𝑘 nas seções 𝐶𝑟 de 𝐸, dado que

𝑘 − 𝑛

𝑝> 𝑟. (11.1.3)

Exemplo 11.1.4. 𝐿2𝑘 →˓ 𝐶0 em dimensão 4 quando 𝑘 > 2.

Teorema 11.1.5 (Multiplicação de Sobolev). Se dim𝑋 = 𝑛, então existe uma multiplicaçãolinear continua (e portanto limitada) que mapeia 𝐿𝑝𝑘(𝑋,𝐸) ⊗ 𝐿𝑝

′

𝑘′(𝑋,𝐸 ′) em 𝐿𝑞𝑟(𝑋,𝐸 ⊗ 𝐸 ′), dadoque 𝑟 ≤ min(𝑘, 𝑘′) e

𝑟 − 𝑛

𝑞< 𝑘 − 𝑛

𝑝+ 𝑘′ − 𝑛

𝑝′ . (11.1.4)

11.2 Fibrados e transformações de calibreDefinição 11.2.1. Dizemos que um fibrado vetorial 𝐸 → 𝑋 é de classe 𝐿2

𝑘 se suas funções detransição são de classe 𝐿2

𝑘.

Quando 𝑘 > 2, fibrados de classe 𝐿2𝑘 são topológicos.

Seja 𝒢𝑘(𝐸) o grupo de autormorfismos de 𝐸 de classe 𝐿2𝑘. Note que, pelo teorema de multipli-

cação de Sobolev, 𝒢𝑘(𝐸) é um grupo topológico quando 𝑘 > 2.Seja 𝒜𝑘(𝐸) o conjunto das conexões ∇ em 𝐸 tal que

∇ − ∇0 = 𝛼 ∈ End𝐸 ⊗ Ω1𝑋 é de classe 𝐿2

𝑘−1. (11.2.1)

para alguma conexão suave ∇0. Desta forma, 𝒜𝑘(𝐸) é um espaço afim modelado sobre 𝐿2𝑘−1(End(𝐸)⊗

Ω1𝑋).

ℬ𝑘(𝐸) = 𝒜𝑘(𝐸)/𝒢𝑘(𝐸) é um espaço topológico.

Lema 11.2.2. Sejam {∇𝐴𝑛} e {∇𝐵𝑛} duas sequências convergindo para conexões ∇𝐴 e ∇𝐵.Suponha que existem 𝑔𝑛 ∈ 𝒢𝑘(𝐸) tais que 𝑔𝑛∇𝐴𝑛 = ∇𝐵𝑛. Então existe uma subsequência {𝑔𝑛𝑘

} ⊂{𝑔𝑛} convergente e 𝑔 = lim 𝑔𝑛𝑘

satisfaz 𝑔𝐴 = 𝐵.

Lema 11.2.3. ℬ𝑘(𝐸) é Hausdorff.

Considere a aplicação𝑑 : 𝒜𝑘(𝐸) × 𝒜𝑘(𝐸) → R+ (11.2.2)

definida por𝑑(∇,∇′) = inf

𝑔∈𝒢𝑘(𝐸)‖∇ − 𝑔∇′‖𝐿2

𝑘. (11.2.3)

168

Do lema 11.2.2, vemos que a aplicação induzida em ℬ𝑘(𝐸) × ℬ𝑘(𝐸) é uma métrica.Considere a aplicação abaixo:

𝒜𝑘(𝐸) → 𝐿2𝑘−2(End𝐸 ⊗ Λ2+

𝑋 ) (11.2.4)∇ ↦→ 𝐹∇ (11.2.5)

Pelo teorema de multiplicação de Sobolev, a operação acima é 𝒢𝑘(𝐸)-equivariante, isto é, 𝑔 · ∇ ↦→𝑔−1𝐹∇𝑔. Logo, ela induz uma aplicação 𝜓 no quociente ℬ𝑘(𝐸):

𝜓 : ℬ𝑘(𝐸) → 𝐿2𝑘−2(End𝐸 ⊗ Λ2+

𝑋 )/𝒢𝑘(𝐸). (11.2.6)

Definição 11.2.4. O espaço de módulos de instantons é o conjunto ℳ𝑘(𝐸) = 𝜓−1(0).

Note que, munido a operação 𝑑 definida acima, ℳ𝑘(𝐸) é um espaço métrico.Sejam 𝑀,𝑁 variedades, 𝐺 um grupo de Lie agindo livremente em 𝑀,𝑁 e 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 𝐺-

equivariante. Se 𝑝 ∈ 𝑀 é ponto regular de 𝑓 e 𝐺 é compacto, então 𝑆𝑝 = 𝑓−1(𝑝)/𝐺 é variedade.Seja 𝛼𝑥 : 𝐺 → 𝑀 definida por 𝑔 ↦→ 𝑔 · 𝑥. Considere o seguinte complexo:

g𝑑𝑒𝛼𝑥 //

##

𝑇𝑥𝑀

��

𝑇𝑝𝑁

Note que ker 𝑑𝑓 ⊃ im 𝑑𝑒𝛼𝑥. Como a ação é livre, 𝑑𝑒𝛼𝑥 é injetivo, e como 𝑝 é regular, 𝑑𝑓𝑝 ésobrejetivo. Logo

ker 𝑑𝑓/im 𝑑𝑒𝛼𝑥 = 𝑇[𝑥]𝑆𝑝. (11.2.7)Mais ainda, dim𝑆𝑝 = dim𝑀 − dim𝑁 − dim𝐺.

11.3 Modelo local do espaço de órbitas𝒢𝑘(𝐸) é um grupo de Lie (grupo de automorfismos de 𝐸) modelado sobre um espaço de Banach.

Localmente, 𝑔 ∈ 𝒢𝑘(𝐸) é da forma 𝑔 : 𝑈 → 𝐺, onde 𝑈 ⊂ 𝑋 e 𝐺 é o grupo estrutural de 𝐸. Aálgebra de Lie de 𝒢𝑘(𝐸), Lie(𝒢𝑘(𝐸)), consiste das aplicações 𝑈 → g de classe 𝐿2

𝑘. Utilizando-nosda representação adjunta de 𝐺, podemos verificar que Lie(𝒢𝑘(𝐸)) = 𝐿2

𝑘(End𝐸).Dada uma conexão ∇ em 𝐸, considere a aplicação

𝛼∇ : 𝒢𝑘(𝐸) → 𝒜𝑘(𝐸), (11.3.1)

definida por 𝛼∇(𝑔) = 𝑔 · ∇. Note que

im𝛼∇ = 𝒢𝑘(𝐸) · ∇ ⊂ 𝒜𝑘(𝐸), (11.3.2)

onde 𝒢𝑘(𝐸) · ∇ denota a órbita de ∇.

Lema 11.3.1. A aplicação 𝑑𝑒𝛼∇ : 𝐿2(End𝐸) → 𝐿𝑘 − 12(End𝐸 ⊗ Ω1𝑋) é definida por 𝜎 ↦→ −∇𝜎.

169

Demonstração. Seja 𝑔(𝑡) ∈ 𝒢𝑘(𝐸) tal que 𝑔(0) = 𝑒 e ��(0) = 𝜎. Note que

0 = 𝑑

𝑑𝑡(𝑔−1𝑔) = ��−1𝑔 + 𝑔−1�� e ��−1 = −𝑔−1��𝑔−1. (11.3.3)

Logo,𝑑

𝑑𝑡(𝑔−1𝐴𝑔 + 𝑔−1𝑑𝑔) = −𝑔−1��𝑔−1𝐴𝑔 + 𝑔−1𝐴�� − 𝑔−1��𝑔−1𝑑𝑔 + 𝑔−1𝑑��. (11.3.4)

Portanto, 𝑑𝑒𝛼∇(𝜎) = −𝜎𝐴+ 𝐴𝜎 − 𝑑𝜎 = −(𝑑𝜎 + [𝐴, 𝜎]).

Note que𝑇∇(𝒢𝑘(𝐸) · ∇) = im{∇ : 𝐿2

𝑘(End𝐸) → 𝐿2𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω1

𝑋)}. (11.3.5)Por teoria de Hodge,

𝐿2𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω1

𝑋) = im ∇ ⊕ ker ∇*,

onde∇* : 𝐿2

𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω1𝑋) → 𝐿2

𝑘(End𝐸)é o adjunto formal.

Vemos que ker ∇* = 𝑇∇𝒜𝑘(𝐸)/im ∇. Seja

Γ∇ = {𝑔 ∈ 𝒢𝑘(𝐸) : 𝑔 · ∇ = ∇}, (11.3.6)

o estabilizador de ∇. Verifica-se que Γ∇ ≃ 𝑍(hol(∇)). Defina

𝑇∇,𝜀 = {𝑎 ∈ ker ∇* : ‖𝑎‖𝐿2𝑘−1

< 𝜀}

Proposição 11.3.2. Para 𝜀 suficientemente pequeno, a aplicação quociente 𝒜𝑘(𝐸) → ℬ𝑘(𝐸) induzum homeomorfismo entre 𝑇∇,𝜀/Γ∇ e uma vizinhança de [∇] em ℬ𝑘(𝐸).

Denotemos por 𝒜*𝑘(𝐸) o subconjunto aberto de 𝒜𝑘(𝐸) das conexões cujo estabilizador é mínimo:

o centro 𝑍(𝐺). Dizemos que 𝒜*𝑘(𝐸) consiste de “conexões irredutíveis”. Seja ℬ*

𝑘(𝐸) ⊂ ℬ𝑘(𝐸) oquociente de 𝒜𝑘(𝐸) pelo grupo de calibre. Então, se ∇ ∈ 𝒜*

𝑘(𝐸), vemos que 𝑇[∇]ℬ*𝑘(𝐸) ≃ 𝑇𝐴,𝜀

pela proposição acima. Concluímos que ℬ*𝑘(𝐸) é uma variedade de Hilbert.

11.4 O espaço de módulos de instantonsDefina

ℳ𝑘(𝐸) = {[∇] ∈ ℬ𝑘(𝐸) : 𝐹+∇ = 0}.

Proposição 11.4.1. A inclusão ℳ𝑘+1(𝐸) →˓ ℳ𝑘(𝐸) é um homeomorfismo para 𝑘 > 2.Demonstração. Se ∇ é instanton de classe 𝐿2

𝑘−1, então existe uma transformação de calibre 𝑔 ∈𝒢𝑘(𝐸) tal que 𝑔 · ∇ é de classe 𝐿2

𝑘.

Ou seja, podemos falar de ℳ(𝐸). Podemos definir também (para 𝑘 > 2)

ℳ*(𝐸) = {[∇] ∈ ℬ*𝑘(𝐸) : 𝐹+

∇ = 0}.

Verifica-se que ℳ*(𝐸) ⊂ ℳ(𝐸) é aberto.

170

11.5 Modelo local do espaço de módulosSejam ∇ conexão em 𝐸, 𝑎 ∈ 𝐿2

𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω1𝑋 e 𝜎 ∈ Γ(𝐸). Veja que 𝐹∇+𝑎(𝜎) = (𝐹∇ + ∇𝑎+

𝑎 ∧ 𝑎)𝜎.Considere a aplicação

𝑇∇,𝜀 → 𝐿2𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω2,+) (11.5.1)

𝑎 ↦→ (∇𝑎+ 𝑎 ∧ 𝑎)+ (11.5.2)

O homeomorfismo (que existe pela proposição 11.4.1)

ℎ : 𝑇∇,𝜀/Γ∇ → 𝑈[∇],

onde 𝑈[∇] é uma vizinhança de ∇ ∈ ℬ𝑘(𝐸), induz um homeomorfismo

ℎ : 𝜓−1(0)/Γ∇ → 𝑉[∇],

onde 𝑉[∇] é uma vizinhança de [∇] ∈ ℳ(𝐸).Defina a aplicação

𝜌 : 𝒜𝑘(𝐸) → 𝐿2𝑘−2(End𝐸 ⊗ Ω2,+

𝑋 ) (11.5.3)∇ ↦→ 𝐹+

∇ . (11.5.4)

Note que𝑑

𝑑𝑡

𝑡=0

𝜌(∇ + 𝑡𝑎) = (∇𝑎)+ e 𝑇∇𝜌−1(0) = ker ∇+. (11.5.5)

Definição 11.5.1. Dada uma conexão ∇ em 𝐸, o operador

𝛿∇ = ∇* ⊕ ∇+ : 𝐿𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω1𝑋) → 𝐿2

𝑘(End𝐸) ⊕ 𝐿2𝑘−2(End𝐸 ⊗ Ω2,+

𝑋 ),

definido por 𝛿∇(𝑎) = (∇*𝑎,∇+𝑎), é chamado de operador de deformação.

Proposição 11.5.2. Para 𝜀 suficientemente pequeno, existe um homeomorfismo entre 𝑇 𝛿∇,𝜀/Γ∇ euma vizinhança de [∇] ∈ ℳ(𝐸), onde 𝑇 𝛿∇,𝜀 = {𝑎 ∈ ker 𝛿∇ : ‖𝑎‖ < 𝜀}.

Se ∇ é irredutível, então 𝑇[∇]ℳ*(𝐸) ≃ ker 𝛿∇.

171

Capítulo 12

Teorema de Narasimhan Seshadri eTeoria de Deformação

12.1 Teorema de Narasimhan SeshandriSeja Σ uma superfície de Riemann compacta e um fibrado vetorial 𝐸 → Σ. Denotando 𝑐1(𝐸) a

primeira classe de Chern de 𝐸, o grau de 𝐸 é dada pela a integração da classe de chern em questãopor toda a superfície e assim podemos definir a inclinação do fibrado:Definição 12.1.1. Denotando por 𝑝𝑠𝑡(𝐸) o posto e 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸) o grau, ambos do fibrado vetorial 𝐸,definimos a inclinação de 𝐸 como

𝜇(𝐸) = 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸)𝑝𝑠𝑡(𝐸) .

Chamamos o fibrado 𝐸 → Σ de semi-estável se, dado um subfibrado próprio 𝐹 de 𝐸, temos que ainclinação de 𝐹 é sempre menor ou igual a inclinação de 𝐸. Se 𝐸 tiver sempre a inclinação maiorestritamente de qualquer subfibrado, chamaremos de estável.Lema 12.1.2. Dado um fibrado estável 𝐸 → Σ, então não existe subfibrados 𝐸1, 𝐸2 tal que𝐸 = 𝐸1 ⊕ 𝐸2, ou seja 𝐸 é indecomponível.Demonstração. Suponha que 𝐸 = 𝐸1 ⊕ 𝐸2. Assim, temos 𝑐1(𝐸) = 𝑐1(𝐸1) + 𝑐2(𝐸2) e portanto𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸) = 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸1) + 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸2). Logo

𝜇(𝐸) = 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸1) + 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸2)𝑝𝑠𝑡(𝐸1) + 𝑝𝑠𝑡(𝐸2)

𝜇(𝐸)(𝑝𝑠𝑡(𝐸1) + 𝑝𝑠𝑡(𝐸2)) = 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸1) + 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸2)

𝜇(𝐸1) = 𝜇(𝐸) + 𝜇(𝐸)𝑝𝑠𝑡(𝐸2)𝑝𝑠𝑡(𝐸1)

− 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸2)𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸1)

Se 𝜇(𝐸1) < 𝜇(𝐸), temos que𝜇(𝐸)𝑝𝑠𝑡(𝐸2)𝑝𝑠𝑡(𝐸2)

− 𝑔𝑟𝑎𝑢(𝐸2)𝑝𝑠𝑡(𝐸2)

< 0

e assim, 𝜇(𝐸2) ≥ 𝜇(𝐸).

173

Então segue o teorema de Narasimhan Seshadri:

Teorema 12.1.3. O fibrado 𝐸 → Σ é estável, se e somente se, existir uma conexão unitária em𝐸 com curvatura constante, ⋆𝐹 = −2𝜋𝑖𝜇(𝐸). A conexão é única, a menos de transformação decalibre.

Pode se encontrar a demonstração do teorema em S.K. Donaldson, A new proof of a theoremof Narasimhan and Seshadri, 1983.

12.2 Operadores ElípticosSeja 𝑈 aberto de R𝑛 e 𝐷𝑘 o operador diferencial

1√−1

𝜕

𝜕𝑥𝑘

.

Para todo multiíndice, 𝛼 = 𝛼1, ..., 𝛼𝑛, temos:

𝐷𝛼 := 𝐷𝛼11 ....𝐷𝛼𝑛

𝑛 .

Definimos o operador diferencial de ordem 𝑟 como sendo o mapa 𝑃 : 𝐶∞(𝑈) → 𝐶∞(𝑈) da forma:

𝑃𝑢 :=∑

|𝛼|≤𝑟, 𝑎𝛼 ∈ 𝐶∞(𝑈),

|𝛼|= 𝛼1 + ...+ 𝛼𝑛.O símbolo de 𝑃 é, a grosso modo, a parte de mais alta ordem de 𝑃 . Explicitamente,

(𝑥, 𝜉) ↦→∑

|𝛼|=𝑟𝑎𝛼(𝑥)𝜉𝛼 =: 𝑝(𝑥, 𝜉).

Seja 𝑓 : 𝑈 → R ∈ 𝐶∞(𝑈).

Teorema 12.2.1. O operador𝑢 ∈ 𝐶∞ ↦→ 𝑒−𝑖𝑡𝑓𝑃𝑒𝑖𝑡𝑓𝑢

é a soma𝑟∑𝑖=0

𝑡𝑟−𝑖𝑃𝑖𝑢,

onde 𝑃𝑖 é o operador de ordem 𝑖 que não depende de 𝑡 Ademais, 𝑃0 é a multiplicação por 𝑝(𝑥, 𝜉)com

𝜉𝑖 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖.

174

Demonstração. É suficiente checar para os operadores 𝐷𝛼. Considere primeiramente 𝐷𝑘:

𝑒−𝑖𝑡𝑓𝐷𝑘𝑒𝑖𝑡𝑓𝑢 = 𝑒−𝑖𝑡𝑓 [𝑡𝐷𝑘𝑓𝑒

𝑖𝑡𝑓𝑢+ 𝑒𝑖𝑡𝑓𝐷𝑘𝑢] = 𝑡(𝐷𝑘𝑓)𝑢+𝐷𝑘𝑢.

Considere agora 𝐷𝛼 :

𝑒−𝑖𝑡𝑓𝐷𝛼𝑒𝑖𝑡𝑓𝑢 = 𝑒−𝑖𝑡𝑓 (𝐷𝛼11 ...𝐷𝛼𝑛

𝑛 )𝑒𝑖𝑡𝑓𝑢 = ((𝑒−𝑖𝑡𝑓𝐷1𝑒𝑖𝑡𝑓 )𝛼1 ...(𝑒−𝑖𝑡𝑓𝐷𝑛𝑒

𝑖𝑡𝑓 )𝛼𝑛)𝑢 =

(𝐷1 + 𝑡𝜕𝑓

𝜕𝑥1)𝛼1 ...(𝐷𝑛 + 𝑡

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛)𝛼𝑛 .

Se 𝑛 = 2 ⇒(𝐷1 + 𝑡

𝜕𝑓

𝜕𝑥1)𝛼1(𝐷2 + 𝑡

𝜕𝑓

𝜕𝑥2)𝛼2 =

𝛼1∑𝑗=1

𝛼2∑𝑘=1

(𝛼1

𝑗

)(𝛼2

𝑘

)𝐷𝑗

1𝐷𝑘2( 𝜕𝑓𝜕𝑥1

)𝛼1−𝑗( 𝜕𝑓𝜕𝑥2

)𝛼2−𝑘𝑡(𝛼1+𝛼2−(𝑗+𝑘)).

Procedendo por indução obtemos:𝛼1∑𝑗=1

𝛼2∑𝑘=1

...𝛼𝑛∑𝑙=1

(𝛼1

𝑗

)(𝛼2

𝑘

)...

(𝛼𝑛𝑙

)𝐷𝑗

1𝐷𝑘2 ...𝐷

𝑙𝑛( 𝜕𝑓𝜕𝑥1

)𝛼1−𝑗...( 𝜕𝑓𝜕𝑥𝑛

)𝛼𝑛−𝑙𝑡𝑟−(𝑗+𝑘+...+𝑙),

que é exatamente o que queríamos obter arranjando os índices de forma adequada.

Corolário 12.2.2. Se 𝑃 e 𝑄 são operadores diferenciais e 𝑃 (𝑥, 𝜉), 𝑞(𝑥, 𝜉) são seus símbolos, osímbolo de 𝑃𝑄 é 𝑝(𝑥, 𝜉)𝑞(𝑥, 𝜉).

Teorema 12.2.3. Sejam 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶∞0 (𝑈).

⟨𝑃𝑢, 𝑣⟩ :=∫𝑃𝑢𝑣𝑑𝑥 = ⟨𝑢, 𝑃 𝑡𝑣⟩.

Demonstração.⟨𝐷𝑘𝑢, 𝑣⟩ = 1√

−1

∫ 𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑘𝑣𝑑𝑥.

Integrando por partes:

1√−1

∫ 𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑘𝑣𝑑𝑥 = −1√

−1

∫ 𝜕𝑣

𝜕𝑥𝑘𝑢 =

∫𝑢𝐷𝑘𝑣𝑑𝑥 = ⟨𝑢,𝐷𝑘𝑣⟩.

Por fim, haja vista que ⟨𝐷𝛼𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢,𝐷𝛼𝑣⟩ temos ⟨𝑎𝛼𝐷𝛼𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢,𝐷𝛼𝑎𝛼𝑣⟩.

Definição 12.2.4. 𝑃 é dito elíptico se 𝑝(𝑥, 𝜉) = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑈 e 𝜉 ∈ R𝑛 − {0}.

Teorema 12.2.5. Sejam 𝑈, 𝑉 abertos de R𝑛 e 𝜙 : 𝑈 → 𝑉 um difeomorfismo. Se 𝑃 é um operadordiferencial de ordem 𝑟 em 𝑈 , o operador

𝑢 ∈ 𝐶∞(𝑉 ) ↦→ (𝜙−1)*𝑃𝜙*𝑢

é de ordem 𝑟 em 𝑉.

175

Demonstração. Repare que

(𝜙−1)*𝐷𝛼𝜙*𝑢 = ((𝜙−1)*𝐷1𝜙*)𝛼1 ...((𝜙−1)*𝐷𝑛𝜙

*)𝛼𝑛𝑢.

Assim, basta checarmos para 𝐷𝑘. Deste modo, pela regra da cadeia:

𝜕𝑘(𝜙*𝑢) =∑

𝜕𝑘𝜙𝜙*(𝜕𝑖𝑢).

Este teorema traduz a invariância ante difeormofismo, consequentemente, pensando em opera-dores sobre variedades, o que faremos a seguir, uma definição análogo para estes é invariante pormudança de carta.

Definição 12.2.6. Seja 𝑋 = 𝑋𝑛 uma variedade real e 𝐶∞. Um operador 𝑃 : 𝐶∞(𝑋) → 𝐶∞(𝑋)é dito diferencial se, para todo sistema de coordeandas (𝑈, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛), o mapa restrição

𝑢 ∈ 𝐶∞(𝑋) ↦→ 𝑃𝑢|𝑈

tem a forma𝑃𝑢 =

∑|𝛼|≤𝑟

𝑎𝛼𝐷𝛼𝑢, 𝑎𝛼 ∈ 𝐶∞(𝑈).

.

Definimos o produto interno no espaço das funções definidas em 𝑋 por:

⟨𝑓, 𝑔⟩ :=∫𝑋𝑓𝑔𝑑𝑥.

Teorema 12.2.7. Se 𝑃 : 𝐶∞(𝑋) → 𝐶∞(𝑋) é um operador diferencial de ordem 𝑟, existe umúnico operador 𝑃 𝑡 tal que:

⟨𝑃𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑃 𝑡𝑣⟩ ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶∞0 (𝑋).

𝑃 𝑡 é chamado de adjunto formal.

Demonstração. Assuma que o suporte de 𝑢 esteja contida numa carta local. Seja 𝑃 = ∑𝑎𝛼𝐷

𝛼.Assumamos que 𝑑𝑥 = 𝜃𝑑𝑥1 ∧ ... ∧ 𝑑𝑥𝑛, com 𝑑𝑥1 ∧ ... ∧ 𝑑𝑥𝑛 a medida de Lebesgue e 𝜃 ∈ 𝐶∞ nãonegativa. Então,

⟨𝑃𝑢, 𝑣⟩ =∑𝛼

∫𝑎𝛼(𝐷𝛼𝑢)𝑣𝜃𝑑𝑥1...𝑑𝑥𝑛 =

∑𝛼

∫𝑢𝐷𝛼𝑎𝛼𝑣𝜃𝑑𝑥1...𝑑𝑥𝑛 =

∑𝛼

∫𝑢𝜃−1𝐷𝛼𝑎𝛼𝑣𝜃𝜃𝑑𝑥1...𝑑𝑥𝑛

Teorema 12.2.8 (Fredholm para operadores elípticos). Se 𝑋 é uma variedade compacta e 𝑃 :𝐶∞(𝑋) → 𝐶∞(𝑋) é um operador elíptico, então dim ker𝑃 é finita e 𝑢 ∈ 𝐶∞(𝑋) está na imagemde 𝑃 ⇔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ = 0 ∀𝑣 ∈ ker𝑃 𝑡.

176

12.2.1 Teoria de FredholmDefinição 12.2.9. Sejam 𝑉,𝑊 espaços de Banach e ℎ : 𝑉 → 𝑊 operador linear limitado. Diz-seque ℎ é de Fredholm se dim kerℎ < ∞ e dim cokerℎ < ∞. Definimos então o índice de Fredholm:ind ℎ = dim kerℎ− coker ℎ.Teorema 12.2.10. O índice de Fredholm é invariante por deformações contínuas através de ope-radores de Fredholm.

12.2.2 Operadores Elípticos em fibradosSejam 𝐸1, 𝐸2 fibrados hermitianos sobre 𝑋 variedade riemanniana compacta. Seja 𝐷 um

operador diferencial linear de ordem 𝑟, ou seja, em coordenadas locais:𝐷 : Γ(𝐸1) → Γ(𝐸2)

𝐷𝑠 =∑

|𝛼|≤𝑟𝑎𝛼𝜕𝛼𝑠

𝜕𝑥𝛼, 𝑎𝛼 : 𝐸1 → 𝐸2.

Definição 12.2.11. O símbolo de um operador diferencial é definido por:𝜎0(𝑥, 𝜉) : (𝐸1)𝑥 → (𝐸2)𝑥

(𝑥, 𝜉) ↦→∑

|𝛼|=𝑟𝑎𝛼𝜉

𝛼.

Definição 12.2.12. Um operador 𝑃 entre fibrados hermitianos é dito elíptico se o símbolo éinvertível.

Exemplo 12.2.13.

1.∇ : 𝐿2

𝑘(𝐸) → 𝐿2𝑘−1(𝐸 ⊗ Ω1)

∇𝑠 =𝑟∑𝑖=1

( 𝜕𝑠𝜕𝑥𝑖

+ 𝐴𝑖𝑠)𝑑𝑥𝑖.

𝑎𝑖 : 𝐸 → 𝐸 ⊗ Ω1, 𝑎𝑖 = 1𝐸 ⊗ 𝑑𝑥𝑖,

𝜎0 =𝑟∑𝑖=1

𝜕

𝜕𝑥𝑖.

2. Δ = 𝛿 ∘ 𝑑. Sejam 𝑋 e 𝜔 ∈ Ω𝑝(𝑋) tais que 𝛿𝜔 = ⋆𝑑 ⋆ 𝜔. Então 𝜔 = ∑𝑓𝐼𝑑𝑥𝑖. Assim,

𝑑𝜔 =∑

𝜕𝑘𝑓𝐼𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥𝐼

⋆𝑑𝜔 =∑

𝜕𝑘𝑓𝐼 ⋆ (𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥𝑖),

𝑑 ⋆ 𝑑𝜔 =∑

𝜕𝑙𝜕𝑘𝑓𝐼𝑑𝑥𝑙 ∧ ⋆(𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥𝐼) =

∑𝜕𝑙𝜕𝑘𝑓𝐼𝑔(𝑑𝑥𝑙, 𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥𝐼)𝑑𝑥1 ∧ ... ∧ 𝑑𝑥𝑛.

Por fim,⋆𝑑 ⋆ 𝑑𝜔 =

∑𝜕𝑙𝜕𝑘𝑓𝐼𝑔(𝑑𝑥𝑙, 𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥𝐼).

Logo, 𝜎0 = ∑𝜕𝑙𝜕𝑘 ⊗ 𝑔(𝑑𝑥𝑙, 𝑑𝑥𝑘 ∧ 𝑑𝑥𝐼).

177

Definição 12.2.14. Um complexo de operadores diferenciais de mesma ordem, ou seja

Γ(𝑉0) 𝑃0→ . . .𝑃𝑙→ Γ(𝑉𝑙)

é dito elíptico se𝑉0

𝜎0→ . . .𝜎𝑙→ 𝑉𝑙

é exato.

Exemplo 12.2.15 (Complexo de deformação de ∇). Considere a sequência

0 → 𝐿2𝑘(End𝐸) ∇→ 𝐿2

𝑘−1(End𝐸 ⊗ Ω1) ∇+→ 𝐿2

𝑘−2(End𝐸 ⊗ Ω2,+) → 0.

𝜎∇(𝑥, 𝜉) =∑

𝜉𝑖 ⊗ 𝑑𝑥𝑖

é injetivo,𝜎∇+(𝑥, 𝜉) = (

∑𝜉 ⊗ 𝑑𝑥𝑖∧)+

sobrejetivo.𝜎0 : 𝑆𝑘(Ω1) ⊗ 𝐸1 → 𝐸2

𝜎∇+ : Ω1 ⊗ End𝐸 ⊗ Ω1 → End𝐸 ⊗ Ω2,+.

𝜎∇+ ∘ 𝜎∇ = 0 ⇒ im 𝜎∇ ⊆ ker𝜎∇+ .

Defina 𝛿∇ := ∇* ⊕ ∇+ : 𝐿𝑘−1(𝐸 ⊗ Ω1) → 𝐿2𝑘−2(End𝐸 ⊗ (Ω0 ⊕ Ω2,+)) este é um operador elíptico.

Teorema 12.2.16 (Teorema de Fredholm para fibrados hermitianos). Seja 𝐷 : 𝐿2𝑘(𝐸1) → 𝐿2

𝑘−1(𝐸2)operador elíptico em fibrados hermitianos 𝐸1, 𝐸2 → 𝑋 compacta. Então 𝐷 é Fredholm 12.2.9. Emparticular, as cohomologias de um complexo elíptico tem dimensão finita.

Se [∇] ∈ ℳ* então uma vizinhança deste ponto que seja homeomorfa a uma bola aberta e

ker 𝛿∇ ∼= R𝑛.

coker 𝜕∇ = {0} ⇒ dim ker𝐿 = ind 𝛿∇

Assim ∇ e ∇′, também nesta vizinhança, estão numa mesma componente conexa e portanto,ind 𝛿∇ = ind ∇′.

12.3 Teorema do Índice de Atiyah-SingerO ind 𝐷 é invariante topológico dependendo apenas dos número de Betti de 𝑋 e das classes

características de 𝐸1, 𝐸2. No caso do operador de deformação 𝛿∇: Seja 𝐸 → 𝑋 um fibrado SU(2)hermitiano de posto 2.

ind𝛿∇ = 8𝑐2(𝐸) − 3(1 − 𝑏1(𝑥) + 𝑏+(𝑥)),onde

𝑏1(𝑥) := dim𝐻1(𝑋;R);𝑏+(𝑥) := dim{𝜔 : Δ𝜔 = 0}.

178

Exemplo 12.3.1.

•𝑋 = 𝑆4 ⇒ 𝑏1(𝑥) = 𝑏+(𝑥) = 0.

dim ℳ*(𝐸) = 8𝑐2(𝐸) − 3.

•𝑋 = CP2, 𝑏1(𝑥) = 0, 𝑏2(𝑥) = 0, 𝑏+(𝑥) = 0.

dim ℳ*(𝐸) = 8𝑐2(𝐸) − 3.

•𝑋 = CP2, 𝑏1(𝑥) = 0, 𝑏2(𝑥) = 𝑏+(𝑥) = 1.

dim ℳ*(𝐸) = 8𝑐2(𝐸) − 6.

Considere ℳ𝑘(𝐸) o espaço dos instantos de classe 𝐿2𝑘+1 módulo grupo de Gauge. Vimos que

este espaço é um espaço métrico que independe de 𝑘. Então existe uma vizinhança 𝑈[∇] vizinhançaaberta de [∇] em ℳ(𝐸) tal que:

𝑈[∇] = 𝑉∇,𝜖/Γ∇,

onde𝑉∇ := {ker 𝛿∇}

𝑉∇,𝜖 := {𝑎 ∈ 𝑉∇ : ||𝑎||𝐿2𝑘< 𝜖}.

dim 𝑉∇ < 𝜖.

No caso de 𝐸 fibrado hermitiano de posto 2:

ind(𝛿∇) = dim ker 𝛿∇ − dim coker 𝛿∇ = 8𝑐2 − 3(1 + 𝑏1 − 𝑏+).

Complexo de deformação 𝐷*∇:

𝐿2𝑘(End𝐸) ∇→ 𝐿2

𝑘+1(End𝐸 ⊗ Ω2,+).

𝑉∇ = 𝐻1(𝐷*∇)

Definição 12.3.2. Dizemos que ∇ ∈ (𝐸) é regular se 𝐻1(𝐷*∇) = 𝐻2(𝐷*

∇).

No caso do complexo de deformação 12.3.2 ⇔ coker 𝛿∇ = {0}.

ℳ*(𝐸) = {∇ : Γ∇ = 𝑍(𝐺)},

onde 𝐺 é o grupo estrutural do fibrado 𝐸 e 𝑍 o centro do grupo.

Proposição 12.3.3. Seja 𝐸 → 𝑋 fibrado hermitiano, 𝑋 variedade compacta e ∇ compatível nãoplana. Se ∇ é irredutível então ker ∇ = {0}.

179

Demonstração. A prova será por contradição. Seja 𝜎 ∈ Γ(End𝐸) não nula tal que ∇𝜎 = 0. Emum aberto 𝑈 em 𝑋, 𝜎|𝑈 admite diagonalização ponto a ponto. Considere então o referencial locak{𝑒𝑘} tal que:

𝜎𝑒𝑘 = 𝑖𝜆𝑘𝑒𝑘, 𝜆𝑘 ∈ 𝐶∞(𝑈) :∑𝑘

𝜆𝑘 = 0.

∇(𝜎𝑒𝑘 = 𝑖𝜆𝑘𝑒𝑘) ⇒ (∇𝜎)𝑒𝑘 + 𝜎(∇𝑒𝑘) = 𝑖𝑑𝜆𝑘𝑒𝑘 + 𝜆𝑘∇𝑒𝑘.

Re ⟨∇𝑒𝑘, 𝑒𝑘⟩ = ⟨∇𝑒𝑘, 𝑒𝑘⟩ + ⟨𝑒𝑘,∇𝑒𝑘⟩ = 0.Ainda mais,

⟨𝜎𝑒𝑘, 𝑒𝑘⟩ = 𝑖𝑑𝜆𝑘 + 𝑖𝜆𝑘⟨∇𝑒𝑘, 𝑒𝑘⟩.

−⟨∇𝑒𝑘, 𝑖𝜆𝑘𝑒𝑘⟩ = 𝑖𝑑𝜆𝑘 + 𝑖𝜆𝑘⟨∇𝑒𝑘, 𝑒𝑘⟩.

Ora mas−⟨∇𝑒𝑘, 𝑖𝜆𝑘 = 𝑖𝜆𝑘⟨∇𝑒𝑘, 𝑒𝑘⟩.

Logo, 𝑑𝜆𝑘 = 0 e assim 𝜆𝑘 é constante e está definido globalmente. Seja 𝐸 = ⊕𝐸𝜆 com 𝐸𝜆auto-fibrado associado a 𝜆. Além diso

𝜎(∇𝑒𝑘) = 𝜆𝑘∇𝑒𝑘

e∇ = ⊕∇𝑘 ⇒ Γ∇ = 𝑍(SU(n)),

e assim, ∇ não seria irredutível.

12.4 Cobordismo𝑀1,𝑀2 variedades topológicas são ditas cobordantes se, existe 𝑀 variedade topológica tal que

𝜕𝑀 = 𝑀1 ∪𝑀2.

A assinatura de 𝑋, isto é 𝜎(𝑥) := 𝑏+(𝑥) − 𝑏−(𝑥) > 0 ⇔ a assinatura da forma de interseção em𝐻2(𝑋,Z) é invariante por cobordismo. Onde a forma de interseção de uma 4−variedade é definidapor:

𝑄𝑋 : 𝐻2(𝑋;Z) ×𝐻2(𝑋;Z) → Z

𝑄𝑋(𝛼, 𝛽) :=∫𝑋𝛼 ∧ 𝛽,

com 𝐻2(𝑋;Z) o segundo grupo de cohomologia de 𝑋.A referência para esta parte são dois artigos do Taubes:

• Taubes C.H.(1982) Self dual Yang-Mills connections over non-self-dual 4-manifolds. Journalof Differential Geometry 17, 139-70.

• Taubes C.H.(1984) Self dual Yang-Mills connections over 4-manifolds with indefinite inter-section matrix. Journal of Differential Geometry 19, 517-60.

180

Seja (𝑋, 𝑔) uma variedade riemanniana suave de dimensão 4 e 𝐸 → 𝑋 um fibrado de posto 2.

(1982)

Se a forma de interseção de 𝑋 é negativa definida então 𝐸 → 𝑋 admite um instanton ⇔ 𝑐2(𝐸) < 0.

Exemplo 12.4.1. CP2, 𝑆4.

(1984)Se a forma de interseção de 𝑋 é indefinida, então 𝐸 → 𝑋 admite instantos se 𝑐2(𝐸) − 𝑏+ >> 0.

12.5 TransversalidadePara 𝑟 ≥ 3, considere 𝐶𝑟(𝑋) o conjunto de todas as métricas riemannianas de classe 𝐶𝑟. Este

conjunto é uma variedade de Banach. Considere ainda 𝐸 → 𝑋 um fibrado hermitiano de posto 2tal que 𝑐2(𝐸) = 0 e (𝑋, 𝑔) uma variedade riemanniana compacta de dimensão 4.

Teorema 12.5.1. Existe um conjunto 𝐺𝛿 em Γ tal que para todo 𝑔 ∈ Γ e todo instanton em 𝐸 ooperador ∇+ é sobrejetivo.

Lembrando que 𝐺𝛿 é um conjunto que é interseção contável de abertos.

Teorema 12.5.2. Se 𝑏+ > 0 existe 𝐺𝛿 subconjunto denso em Γ tal que ∀𝑔 ∈ Γ não existem𝑔−instantons irredutíveis. Neste caso, ℳ𝑔(𝐸) é variedade suave de dimensão igual ao índice de𝛿∇.

Teorema 12.5.3. Suponha que 𝑔0, 𝑔1 são métricas genéricas no sentido do teorema 12.5.1. Seja𝑔𝑡 um caminho suave ligando 𝑔0 e 𝑔1 (0 ≤ 𝑡 ≤ 1). Para uma escolha genérica de 𝑔𝑡, ℳ*

𝑡 (𝐸) forneceum cobordismo entre ℳ*

0(𝐸) e ℳ*1(𝐸). Vale notar que cobordismo implica em mesma assinatura.

Teorema 12.5.4. Se 𝑏+ > 1 para uma escolha genérica de 𝑔𝑡 então ℳ*𝑡 (𝐸) = ℳ𝑡(𝐸) ∀𝑡 ∈ [0, 1].

181

Índice Remissivo

𝑘-forma, 55álgebra de Lie, 42

base orientada de um espaço tangente, 60bola aberta, 3

campo invariantes à esquerda, 42campo vetorial, 39cobertura, 17

diferencial de um mapa suave, 31

esfera, 7espaço cotangente, 52espaço projetivo, 8espaço tangente, 29espaço topológico , 1

aberto de um, 1atlas de um, 4carta local de um, 4Euclideano, 1fechado de um, 1Hausdorff, 4localmente euclideano, 4ponto de um, 1segundo enumerável, 6topologia de um, 1

espaços topológicosmétricos, 2

estrela de Hodge, 66exponencial

de matrizes, 22

fecho, 2fibrado cotangente, 53fibrado das 𝑘-formas, 55fibrado dos tensores mistos, 53

fibrado tangente, 37forma volume, 63funções coordenadas, 27

grupoO(𝑛,R), 20Gl(𝑛,C), 20Gl(𝑛,R), 19SU(𝑛), 21U(𝑛), 21

Grupo de Lie, 19Grupo de Lie

matricial, 20

homeomorfismo, 4homomorfismo

de álgebras de Lie, 42homomorfismo

de grupos de Lie, 19

imersão suave, 13isomorfismo

de álgebras de Lie, 42

localemnte finitacobertura, 17

logaritmode matrizes, 25

métrica , 2do supremo, 3Euclideana, 3

métrica Riemanniana, 61mapa

contínuo, 4quociente, 1suave, 10

183

matriz da métrica Riemanniana, 62mergulho suave, 13

partição da unidade, 17

referencial localortonormal, 65

regra da cadeia, 35representação

adjunta, 42

subgrupo de Lie mergulhado, 20submersão suave, 13subvariedade

imersa, 15mergulhada, 15

tensores mistos, 53Teorema

do Posto, 13topologia , 1

canônica de R, 1canônica de R𝑛, 1de subespaço, 1induzida por uma métrica, 3produto, 1quociente, 1união, 1

variedade Grassmaniana, 9variedade Riemanniana, 61variedade sauve

orientável, 57orientada, 57

vetor tangente, 29

184

notas de aula: introdução a teoria de calibrehqsaearp/disciplinas/teoriacalibres/t… · marcos...

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