Pesquisas recentes

Comentários sobre pesquisas no período de 2012 à 2017:

Resumo: Estamos interessados no estudo de superfícies mínimas e de curvatura média

constante em espaços homogêneas tridimensionais. Sobretudo, quando o espaço ambiente é

o produto espaço H2 × R, em que H

2 é o plano hiperbólico. Mais geralmente, quando o

ambiente é um espaço homogêneo tridimensional, notadamente, e quando o espaço

ambiente é o espaço de Heisenberg. Nosso estudo se concentra em torno dos seguintes

fenômenos geométricos: o princípio do máximo, as estimativas a priori , os problemas de

Dirichlet, a unicidade, a estabilidade, o mergulho e a curvatura total finita ou infinita.

Estudamos também propriedades de algumas E.D.P´s elípticas não lineares decorrentes da

geometria; e. g. a equação das superfícies / hipersuperfícies mínimas. Além disso, estamos

interessados em princípios gerais de uma hipersuperfície mínima imersa numa variedade

Riemanniana de dimensão arbitrária.

Fins mínimos em H2×R

Estudamos num trabalho em colaboração com Laurent Hauswirth, Barbara Nelli e

Eric Toubiana, propriedades geométricas de um fim mínimo de curvatura total finita

em H2×R. Nós estabelecemos o comportamento de tal fim fazendo uma descrição

geométrica completa. De fato, determinamos a seção horizontal deste fim,

interceptando-o com um slice. Resumidamente, mostramos que uma seção horizontal

de um fim de curvatura total finita converge geometricamente a uma geodésica

horizontal [H-N-SE-T]. Além disso, deduzimos que um fim completo de curvatura

total finita é propriamente imerso e que a curvatura de Gauss é localmente limitada

em termos da distância geodésica ao bordo. A demonstração usa a geometria

hiperbólica básica e a teoria clássica das superfícies de Riemann [SE-T8], [SE-T9].

Este trabalho foi baseado em trabalhos anteriores como o estudo pioneiro de L.

Hauswirth e H. Rosenberg sobre superfícies mínimas em H2×R de total de curvatura

finita [H-R]. Bem como foi calcado na teoria das aplicações harmônicas [H-T-T-

W], [ My] .

Usando estes resultados, bem como outros tipos de argumentos, tais como o

princípio de reflexão de Alexandrov, com base no princípio do máximo, deduzimos

um resultado de tipo Schoen [S] no contexto da curvatura total finita [H-N–SE-T],

veja Teorema principal]. Este resultado caracteriza as superfícies mínimas imersas

em H2×R com dois fins distintos completos de curvatura total finita, cada fim

assimptótico a um plano vertical; como sendo as superfícies mínimas modelos

descobertas independentemente por J. Pyo [P], F. Morabito e M. Rodriguez [M - R],

chamadas atualmente de catenóides horizontais.

─ Noutro trabalho em colaboração com Barbara Nelli e Eric Toubiana, estudamos a

influência do comportamento do bordo assintótico de uma hypersuperfícies mínima

de Hn×R em várias situações geométricas. Em especial, obtivemos uma

caracterização do n- catenóide em Hn×R em termos do bordo assintótico [N-SE-T],

veja Teorema 2.1, Teorema 4.2. O bordo assintótico de H2×R se encontra definido

em [SE-T7] ou [SE-T10]. Os n-catenóides foram construídos em [B-SE1,

Proposição 3.2], quando n ≥ 3. De fato, o resultado obtido é um teorema de tipo

Schoen [S], no contexto de superfícies mínimas de curvatura total infinita. Também

estabelecemos um princípio do máximo para superfícies mínimas contidas num semi-

espaço fechado [N-SE-T], veja Teorema 3.1, Teorema 4.4. As técnicas usadas para

deduzir este resultado foram e estão sendo aplicadas em outros trabalhos, veja por

exemplo, [SE-T7] e [SE-T10].

─ Ainda num projeto em colaboração com Eric Toubiana [SE-T7], desenvolvemos e

aprofundamos o estudo em torno das propriedades geométricas de superfícies

mínimas imersas em H2×R com bordo assintótico pré-determinado, iniciado em [SE-

T5]. Mostramos neste trabalho um teorema que diz que um fim mínimo orientável

estável de tipo anel M cujo bordo assintótico finito está contido em duas retas

verticais e que converge à um plano vertical, tem curvatura total finita. Se o fim M é

mergulhado mostramos que, a menos de um subconjunto compacto, M é um gráfico

mínimo horizontal com respeito a uma geodésica, ou simplesmente, gráfico mínimo

horizontal (veja tal noção em [H-N-SE-T], por exemplo). Existe outra noção de

“gráfico mínimo horizontal”, veja abaixo. Gráficos mínimos horizontais são estáveis.

Isto segue do bem conhecido critério clássico sobre estabilidade de superfícies

mínimas: Seja M uma superfície mínima orientada conexa imersa em H2×R. Se

existe uma função positiva u num domínio limitado Ω de M, satisfazendo Lu = 0,

onde L é o operador de estabilidade veja a definição em [B-SE1, Seção2.2], então Ω

é estável [C-M, Lemma 1.36]. Exemplos clássicos mostram que a nossa hipótese

sobre o bordo assimptótico em [SE-T7] é necessária, veja em [SE1], [SE-T5].

─ Lembramos agora que no espaço Euclideano R,3 o famoso teorema de D. Fischer-

Colbrie [F-C] diz que uma superfície mínima completa orientável M tem índice

finito, se e só se, M tem curvatura total finita. Índice finito de uma superfície mínima

completa imersa numa variedade tridimensional significa superfície mínima estável,

fora de um compacto [F-C]. Em H2×R, numa parceria com Pierre Bérard [B-SE1],

deduzimos que curvatura total finita de uma superfície mínima completa orientada

implica índice finito, mas a recíproca não é verdadeira. De fato, existem famílias de

exemplos de superfícies mínimas completas orientáveis e invariantes por screw-

motions que são estáveis (mas que não têm curvatura total finita), veja em [SE1]. O

catenóide em H2×R é outro contraexemplo: Tem curvatura total infinita, mas possui

índice igual a 1, veja em [B-SE1], Proposição 3.3 e Teorema 3.5.

─ Em [SE-T10] continuamos esta perquisa visando entender melhor a estrutura

geométrica das superfícies mínimas em H2×R tanto de curvatura total finita quanto

de curvatura total infinita. Definimos em [SE-T10] a noção de bordo assimptótico

finito. Deduzimos um fenômeno de concentração de curvatura total para superfícies

mínimas imersas em H2×R. Supondo algumas condições geométricas sobre o bordo

assimptótico finito de uma superfície mínima conexa M imersa em H2× R, orientada

e estável, (não necessariamente completa, nem propriamente imersa), tem-se que M

tem curvatura total infinita. Na verdade, o resultado em [SE-T10] é de natureza

“local”: Significa o seguinte: se uma superfície mínima M (imersa em H2×R) tem

um arco no seu bordo assimptótico finito que é um gráfico de uma função

suficientemente regular definida sobre um arco do bordo assimptótico de H2, M se

estendendo até o bordo assimptótico com certa regularidade, então a curvatura total

da superfície M é infinita. Ou seja, se o bordo assimptótico finito de M é

“suficientemente bem comportado” e “não é vertical” então a curvatura total de M é

infinita.

Em particular, infere-se que se um gráfico mínimo M em H2×R cujo bordo

assimptótico finito é um gráfico sobre um arco do bordo assimptótico de H2, sendo o

bordo assimptótico finito de M diferente do bordo assimptótico finito do bordo de M,

então M tem curvatura total infinita. Uma das consequências do Teorema principal

em [SE-T10] é a seguinte: Seja M uma superfície mínima estável imersa em

H2×R com bordo compacto (por exemplo, um gráfico mínimo com bordo

compacto), tal que o seu bordo assimptótico é um gráfico sobre a totalidade do bordo

assimptótico de H2, segue que M possui curvatura total infinita. Construimos em

[SE-T5] gráficos sobre um anel de H2 que exemplificam esta situação. No caso de

um fim de um catenóide, este resultado segue de um cálculo explícito feito em [B-

SE1, veja a dedução da Prop. 3.3]. O resultado principal em [SE-T10], em certo

sentido, é uma contraparte do resultado principal em [ SE-T7]. As técnicas

utilizadas em [SE-T10] são uma combinação das técnicas usadas nos trabalhos

anteriores [SE-T5], [H-N-SE-T], [N-SE-T], [SE-T7] e [SE-T10], junto com as

estimativas de curvatura obtidas em [R-S-T].

─Ainda em [SE-T10], nós apresentamos um exemplo simples e sugestivo de um

gráfico mínimo que possui um domínio 𝑆 ⊂ 𝑀 cujo bordo assimptótico é um

segmento compacto vertical, tal que S tem curvatura total finita, mas a curvatura

total do gráfico é infinita, pelo teorema citado antes.

─Finalmente, em [SE-T10], apresentamos também outros exemplos simples,

alguns muito significativos, de superfícies mínimas completas e não completas,

próprias e não próprias, mergulhadas e não mergulhadas. Exibimos os seus peculiares

bordos assimptóticos.

Num novo projeto com Eric Toubiana, pretendemos estudar em Hn×R, a equação

mínima horizontal (com respeito a uma geodésica), obviamente motivados pelos

resultados mencionados acima. Lembramos que esta equação é muito diferente da

“equação mínima horizontal” discutida abaixo, no próximo projeto. Há mais de uma

noção de gráfico em Hn×R, geometricamente distintas. As noções de gráficos não

são as mesmas Queremos frisar que esta equação mínima horizontal com respeito a

uma geodésica, é uma equação de Killing, ou seja, o gráfico é transversal à trajetória

do campo de Killing gerado por translações horizontais com respeito à geodésica

[SE2]. Por outro lado, o “gráfico horizontal” discutido em seguida é transversal a

uma família de geodésicas, que, Euclideanamente, podem ser vistas como semi retas

paralelas, mas a “equação horizontal” não é invariante pelas correspondentes

translações Euclideanas horizontais [SE1].

Dentre os vários problemas que planejamos estudar da equação mínima horizontal

com respeito a uma geodésica, destacamos os seguintes:

O problema de Dirichlet sobre domínios limitados e ilimitados: existência e

unicidade.

Construção de novas superfícies mínimas completas.

Caracterização de superfícies mínimas clássicas.

Equação mínima horizontal em Hn×R

No artigo individual [S-E3] estudamos uma classe de equações mínimas horizontais

em Hn×R, envolvendo uma família de EDP´s elípticas de segunda ordem indexadas

por um parâmetro ε no intervalo [0, 1]:

1 1

1 1 12 2 2 2 2 2

1 1 1

212 2

1 1 1

1 1 21

2 ( 1) 1 ( 2) 0

nk k k k k k

j jk k k

n n n

x x x t x x x tt x t x tk k k

nt

x x x x xj k n k

g g g g g g g g g g gn

gg g g g n g g n

g

Quando ε=0, obtemos a equação mínima horizontal que não é uma EDP estritamente

elíptica, em geral. Quando ε >0, obtemos uma EDP estritamente elíptica chamada

de ε-equação mínima horizontal. Obtivemos estimativas a priori para

o comprimento horizontal e para o gradiente no bordo que são bastantes gerais e

bastantes naturais como explicamos lá. Também obtivemos estimativas a priori

globais para o gradiente na presença de uma forte constraint sobre o comprimento

horizontal, que, parece ser um fato natural para este tipo de EDP. Este fato está de

algum modo relacionado com o seguinte fenômeno: não existem soluções da

equação mínima horizontal sobre um domínio limitado estritamente convexo, que se

anula sobre o bordo deste domínio e que são contínuas até o bordo. Este fenômeno

deveras surpreendente em dimensão 2 segue do asymptotic theorem deduzido em

[SE-T7]. Em dimensão qualquer, segue da generalização feita em

[N-E-T]. Obtivemos também em [S-E3] no caso bidimensional um resultado de

existência para a ε -equação mínima horizontal, ε >0. Tal resultado combinado com

nossas estimativas uniformes a priori, junto com a teoria ellíptica clássica, acarreta

num resultado de existência para a equação mínima horizontal (ε=0). A unicidade

do resultado de existência obtido para a equação mínima horizontal quando os dados

no bordo possuem uma admissible bounded slope condition segue do teorema tipo

Radó mencionado antes.

A técnica aplicada no trabalho é uma combinação da teoria das E. D. P.´s elípticas

não lineares de segunda ordem [G-T], incluido a teoria do grau, teorema do ponto

fixo de Schauder e alternativa de Leray-Schauder, combinada com a Geometria

Diferencial (técnicas de estimativas geométrico-analíticas das equações geométricas).

Veja em [SE4] uma lista ampla sobre Teoria do Grau e Aplicações Analíticas,

Topológicas e Geométricas que contém a base de Análise não Linear

Há vários problemas em aberto tanto para a ε-equação horizontal mínima quanto

para a equação da curvatura média constante que pretendemos investigar. Por

exemplo, pretendemos investigar as estimativas a priori do comprimento horizontal e

do gradiente para a equação da curvatura média pré-determinada. Em seguida,

examinar os consequentes resultados de existência para o correlato problema de

Dirichlet para esta equação.

Superfícies mínimas no espaço de Heisenberg

Num trabalho com B. Nelli e E. Toubiana estudamos a equação do gráfico mínimos

vertical no espaços de Heisenberg [N-SE-T2]. Apresentamos neste trabalho uma

dedução geométrica da não existência de gráficos mínimos assumindo certo bordo

pré-determinado. A nossa demonstração é geométrica por natureza e vale também no

espaço Euclideano. Resolvemos o problema de Dirichlet sobre domínio convexos

limitados e ilimitados, tomando dados no bordo seccionalmente contínuos e outros

resultados de existência gerais em convexos ilimitados. Construimos uma superfície

mínima tipo Scherk e usamos esta como barreiras para construir num setor de ângulo

entre π/2 e π um gráfico mínimo não trivial tomando valores pré-determinados não

negativos na fronteira do setor e tendo crescimento pelo menos quadrático. No caso

do semi-plano construimos soluções de crescimento linear ou quadrático com

algumas condições sobre o dado no bordo.

Colocamos no referido trabalho vários problemas em aberto que pretendemos

estudar neste novo projeto. O primeiro problema é inspirado pelo princípio do

máximo para a equação mínima no espaço Euclideano tridimensional numa faixa,

estabelecido em [R-SE]. Diz o seguinte: Seja u uma solução da equação mínima

numa faixa do plano que se estende continuamente até o bordo da faixa. Se u está

limitada superiormente no bordo da faixa por uma constante A; então u está limitada

superiormente pela mesma constante A em toda a faixa. Neste novo projeto, surge

então o probelma de estabelecer um princípio do máximo análogo no espaço de

Heisenberg para o problema de Dirichlet para a equação mínima numa faixa.

Relembremos que há unicidade do problema de Dirichlet para a equação mínima

Euclideana, com dados contínuos e limitados numa faixa do plano [C-K]. O segundo

problema visa demonstrar no espaço de Heisenberg a consequente unicidade do

correlato problema de Dirichlet para a equação mínima numa faixa, tomando dados

contínuos e limitados no bordo.

Hipersuperfícies com alguma função de curvatura

constante em Hn×R

É fato bem conhecido que as hipersuperfícies de curvatura média constante no

espaço ambiente Hn×R têm sido estudadas nos últimos anos por vários

pesquisadores, citamos, por exemplo, ([B-SE2], [E-SE], [SE-T6], [Sp]).

A ideia que surge agora é explorar a geometria das hipersuperfícies em Hn×R

com alguma função simétrica de curvatura Sr constante (Sr=cte), ou,

equivalentemente, com alguma função simétrica de curvatura normalizada

constante, i. e, Hr= cte, onde Sr=(𝑛𝑟)Hr. Abrimos um parêntesis para lembrar

que propriedades das hipersuperfícies com alguma Sr=cte em espaços de

curvatura constante (space form) foram estudadas exaustivamente por vários

pesquisadores no final do século vinte. Destacamos, dentre outros, os

seguintes pesquisadores: Hilário Alencar, Manfredo do Carmo, Lucas

Barbosa, Gervásio Colares, Louis Nirenberg, Luis Caffarelli, Joel Spruck,

Jorge Hounie, Maria Luiza Leite, Sebastian Montiel, Antonio Ros, Robert

Reilly e Maria Fernanda Elbert. Resultados sobre o assunto se encontram nas

seguintes referências: [A-doC-C], [B-C1], [B-C2], [C-N-S], [H-L1], [H-

L2],[L1], [L2], [M-Ros], [Re], [Ro], [C-R], [El]. No caso do produto Mn

×R,

destacamos o trabalho feito por Xu Cheng e Harold Rosenberg que obtiveram

certas estimativas a priori da altura para hipersuperfícies com alguma r-ésima

função simétrica de curvatura contante positiva. Além disso, fizeram algumas

aplicações [C-R].

Um dos objetivos do trabalho sobre Hr= cte é preencher a carência de

exemplos da teoria fornecendo vários exemplos em Hn×R, notadamente

quando H2=cte. Alguns destes exemplos quando Hr= cte são importantes

barriers. Paralelamente, ensejamos também deduzir resultados de unicidade

que caracterizem estas barriers.

Num primeiro trabalho com a colaboração de Maria Fernanda Elbert da

UFRJ [E-SE2], iniciamos o estudo da construção das hipersuperfícies em

Hn×R com Sr= cte, que possuem várias propriedades geométricas

interessante. Conseguimos inferir várias fórmulas básicas para a equação da

hipersuperfície com Sr= cte para um gráfico vertical em Mn×R, aplicando-as à

Hn×R. De fato, conseguimos estabelecer a equação da r-ésima curvatura

média numa forma da divergência adequada no espaço produto Mn×R, onde

Mné uma variedade Riemanniana. No caso de H

n×R, a equação fica:

12 2

1

(2 ) ,( 1) ( ) , .r

rr r

u n F P u F u ur S F div P F n r P

W W W W

onde F=xn e div e denotam a divergência e o gradiente em Rn,

respectivamente . O símbolo kP denota o k-ésimo tensor de Newton

associado.

Fazendo uso de uma destas fórmulas, seguindo técnicas e métodos

desenvolvidos em [L2], [El], [E-SE], conseguimos estabelecer uma integral

primeira para as hipersuperfícies invariantes por screw motions parabólicas

em Hn×R com S2 pré-determinada. À partir daí, obtivemos exemplos

explícitos de gráficos inteiros e outros exemplos de hipersuperfícies

completas (que são gráficos horizontais completos) quando S2= 0:

─Verificamos que existe uma única família constituída de gráficos verticais

inteiros de curvatura extrínseca Kext=S2=0 (n=2), invariantes por translações

parabólicas. Curiosamente, cada elemento da família tem curvatura média

constante 0<H<1/2 e cada tal H pode ser realizado. Surgiu a pergunta em aberto se existem outros gráficos verticais inteiros de

curvatura extrínseca nula e curvatura média constante não nula, em H2×R ?

─Obtivemos exemplos de superfícies com curvatura extrínsica pré-

determinada (não constante), invariantes por screw motions parabólicas.

─Obtivemos também exemplos de hipersuperfícies não completas quando

S2=cte≠0. Para n=2, obtivemos um “cilindro” de revolução de curvatura

extrínseca nula, que é um gráfico vertical inteiro, o que não é muito

surpreendente.

─Cumpre notar que neste primeiro trabalho sobre hipersuperfícies com Sr=cte

em Hn×R, com a colaboração de Maria Fernanda Elbert, descobrimos o

valor crítico n r

n

que aparece naturalmente na teoria.

─Por outro lado, estabelecemos fórmulas explícitas para as rotacionais com

Sr= cte exibindo vários exemplos que são usados no texto como barreiras

geométricas.

─Dentre estas importantes barriers destacamos as hipersuperfícies

compactas, mergulhadas e estritamente convexas de revolução, quando Hr>n r

n

que estão no texto .

─Além disso, quando 0<Hr≤n r

n

, construimos barriers que são gráficos

verticais inteiros estritamente convexos de revolução gerado por uma curva

estritamente convexa num plano vertical.

Em suma, obtivemos vários exemplos explícitos possuindo propriedades

geométricas interessantes, tanto de rotacionais completas quanto de gráficos

inteiros que corroboram a riqueza da teoria. Usando estas barreiras

geométricas, estabelecemos resultados de simetria, unicidade e estimativas a

priori:

─ Dentre as estimativas a priori destacamos as estimativas a priori da altura

para um gráfico compacto cujo bordo está contido num slice, de curvatura

pré-determinada satisfazendo 0<Hr(p) ≤n r

n

.

─Dentre os resultados de unicidade, destacamos um teorema de tipo

Alexandrov que caracteriza as rotacionais mergulhadas compactas

mencionadas acima. Finalmente, estabelecendo um outro resultado de

unicidade, caracterizamos os gráficos inteiros estritamente convexos de

revolução. Abrimos um parêntesis para observar que o teorema de

Alexandrov no Espaço Euclideano, no espaço hiperbólico e na semi-esfera foi

deduzido, independentemente, por N. Korevaar [K] e Montiel-Ros [M-Ros].

─Finalmente, estabelecemos um outro resultado de unicidade caracterizando

os gráficos inteiros estritamente convexos de revolução.

Outro projeto interessante seria estabelecer estimativas a priori sharp da altura

quando Hr>n r

n

, levando em conta a construção das rotacionais e

mergulhadas compactas obtidas. Quando n=2 e r=1, estas estimativas ótimas

foram obtidas por J. Aledo, J. M. Espinar and J. A. Gálvez [A-E-G].

Outros problemas interessantes surgem de nossas construções. Por exemplo:

─ Será que uma imersão completa em Hn×R com Hr =cte >0 e r=n é uma n-

esfera de revolução ?

Quando r=n=2 este é um resultado de J. M. Espinar, J. A. Gálvez e H.

Rosenberg [E-G-R].

Equações Diferenciais Parciais Geométricas

Barbara Nelli e eu estamos desenvolvendo um projeto de escrever um survey / livro

sobre equações diferenciais parciais geométricas no espaço hiperbólico. Esta será

uma etapa ulterior na nossa já longa colaboração de pesquisa na área.

O principal objetivo da pesquisa é mostrar como aplicar o princípio do máximo,

combinado-o com a teoria elíptica clássica, a fim de estudar hipersuperfícies

mínimas e de curvatura média constante.

Mais precisamente, nos concentramos nas equações mínima e de curvatura média

constante (pré-determinada) com as variáveis independentes no espaço hiperbólico.

Pretendemos desenvolver alguns métodos relevantes que surgiram e ainda surgem em

muitos artigos de pesquisa sobre o assunto. Vamos explicar algumas ferramentas

básicas e algumas das técnicas mais atuais em equações diferenciais parciais

geométricas.

Tratamos principalmente dos resultados elaborados pelos próprios autores ou pelos

co-autores. Além disso, o leitor será guiado através de muitos candentes resultados

da área relacionados com o tema. Nossa meta, portanto, é servir de apoio tanto a

pesquisadores quanto a estudantes de pós-graduação interessados em equações

diferenciais parciais elípticas do ponto de vista geométrico.

A nossa estratégia é a seguinte:

Vamos começar apresentando uma visão geral dos resultados clássicos sobre a

equação mínima no espaço Euclideano. Apresentamos o princípio máximo e vamos

aplicá-lo em várias configurações geométricas. Também vamos explicar como usar

princípio do máximo e a teoria elíptica para construir as barreiras geométrica a fim de

obter as estimativas a priori de soluções de vários problemas de Dirichlet. Notemos

que as estimativas a priori são um passo crucial para a existência de tais soluções.

Visamos também discutir alguns problemas em aberto.

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