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BCC204 - Teoria dos Grafos

Marco Antonio M. Carvalho

(baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos)Departamento de Computação

Instituto de Ciências Exatas e BiológicasUniversidade Federal de Ouro Preto

12 de agosto de 2019

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 1 / 41

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Na aula de hoje

1 Introdução

2 Exemplos

3 Terminologia

4 Representação


Grafos

Facebook em 2018: ≈ 2,234 bilhões de usuários ativos.


Grafos


Grafos

Facebook Graph Search.


Grafos


Grafos

https://memoria.rnp.br/ceo/trafego/panorama.phpMarco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 9 / 41

https://memoria.rnp.br/ceo/trafego/panorama.php

Grafos


Histórico

Edsger Dijkstra:“A Ciência da computação tem tanto a ver com o computador como aAstronomia com o telescópio, a Biologia com o microscópio, ou a Químicacom os tubos de ensaio. A Ciência não estuda ferramentas, mas o quefazemos e o que descobrimos com elas.”


Grafos

HistóricoUm grafo é uma estrutura de abstração muito útil na representação esolução de problemas computacionais, por representarem relações deinterdependência entre elementos de um conjunto.

O primeiro registro de uso data de 1736, por Euler.

O problema era encontrar um caminho circular por Königsberg (atualKaliningrado) usando cada uma das pontes sobre o rio Pregel (ou Pregolya,Pregola) exatamente uma vez.


Histórico

1736: Euler e as Pontes de Königsberg

Pergunta:Partindo de uma das margens, pode-se encontrar um percurso que passesomente uma vez em cada ponte e retorne ao ponto de partida?


Pontes de Königsberg - O Grafo

m1

i1

m2

i2


Grafos

Definição FormalGrafo G = (V ,A)

I Conjunto V com n vértices (também chamados nós){v1, v2, . . . , vn}

I Conjunto A com m arestas ou arcos{a1, a2, . . . , am}


GND - Grafo Não Direcionado

v1

v2

v3

v4

v5

I Ligações expressas em ArestasI Se o vértice a está ligado a b, a recíproca é verdadeira;I Cada aresta é representada por um conjunto {v1, v2}, indicando os

dois vértices envolvidos.


GD - Grafo Direcionado

v1

v2

v3

v4

v5

I Ligações expressas em Arcos →I Cada arco é representada por um par ordenado (v1, v2), indicando os

dois vértices envolvidos.


Exemplos: Redes Sociais Analógicas

Chains of AffectionPeter Bearman, James Moody, and Katherine Stovel. Chains of affection:The structure of adolescent romantic and sexual networks. AmericanJournal of Sociology, 110(1):44- 99, 2004.

Pesquisa com 800 estudantes de uma escola secundária americana.

A estrutura das relações românticas e sexuais da Jefferson High School.


Exemplos: Redes Sociais Analógicas

MachoFêmea

12 9

63

2


Exemplos: Projeto VLSI

O Problema de Steiner em Grafos

Dado um conjunto de pontos, ligue-os por uma rede de menor tamanhopossível (em número de ligações): eventualmente, outros pontos e ligaçõespodem ser adicionados.


Terminologia

LaçoUma aresta cujas duas extremidades incidem em um mesmo vértice.


Terminologia

Arestas ParalelasMais de uma aresta associada ao mesmo par de vértices.


Terminologia

Grafo simplesGrafo que não possui laços e nem arestas paralelas.


Terminologia

Vértices AdjacentesVértices que são os pontos finais de uma mesma aresta.A função Γ(i) retorna o conjunto de vértices adjacentes ao vértice i .


Terminologia

Grau de um VérticeO grau (d(i)) de um vértice i em um grafo não direcionado é igual onúmero de arestas incidentes a i .O grau de entrada (d−(i)) de um vértice i em um grafo direcionado é igualo número de arestas que entram em i .O grau de saída (d+(i)) de um vértice i em um grafo direcionado é igual onúmero de arestas que saem de i .


Conceito

Teorema do Aperto de Mãos HandshakingA soma dos graus de todos os vértices de um GND G é duas vezes onúmero de arestas de G .

n∑i=1

d(i) = 2m

CorolárioO número de vértices de grau ímpar em um GND é par.


Terminologia

Grafo CompletoUm grafo completo com n vértices, denominado Kn é um grafo simplescontendo exatamente uma aresta para cada par de vértices distintos.


Terminologia

Grafo RegularGrafo no qual todos os vértices possuem o mesmo grau.Obs: qualquer grafo completo é regular.


Terminologia

Vértice IsoladoVértice com nenhuma aresta incidente.


Terminologia

Grafo ConexoPara todo par de vértices i e j de G existe pelo menos um caminho entre ie j .

Grafo DesconexoConsiste de 2 ou mais grafos conexos, chamados de componentes.


Grafo Complemento

DefiniçãoSeja G = (V ,E ) um grafo simples não direcionado, o complemento de G ,G (ou C (G )), é um grafo formado da seguinte maneira:I Os vértices de G são todos os vértices de G ;I As arestas de G são exatamente as arestas que faltam em G para

formarmos um grafo completo.


Grafo Bipartido

DefiniçãoUm grafo é bipartido se o conjunto de vértices V pode ser particionado em2 subconjuntos V1 e V2 tal que todas as arestas do grafo são incidentes aum vértice de V1 e a um vértice de V2.


Grafo Bipartido Completo

DefiniçãoUm grafo bipartido é completo (K|V1|,|V2|) se cada vértice do subconjuntoV1 é adjacente a todos os vértices do subconjunto V2 e vice-versa.

Exemplo de grafos completos (1) e bipartidos completos (2 e 3).


Grafos - Representação Computacional

Matriz de AdjacênciasMatriz An×n, sendo que:

aij =

{1 se existe a aresta/arco (vi , vj)0 caso contrário

Propriedades:I Simétrica para grafos não direcionados;I Consulta existência de uma aresta/arco com um acesso à memória:

O(1);I Ocupa Θ(n2) de espaço mesmo para grafos esparsos.


Matriz de Adjacências - Grafo Não Direcionado


Matriz de Adjacências - Grafo Direcionado


Grafos - Representação Computacional

Lista de AdjacênciasI Usa n listas, uma para cada vértice;I Lista de vi (o i-ésimo vértice) contém todos os vértices adjacentes a

ele.

Propriedades:I Ocupa menos memória: O(m);I No entanto, a complexidade da operação de determinar uma

adjacência é limitada por O(n).


Lista de Adjacências - Grafo Não Direcionado


Exercícios

1 Determine o número de vértices para os seguintes grafos:I G tem 9 arestas e todos os vértices têm grau 3;I G é regular com 15 arestas;I G tem 10 arestas com 2 vértices de grau 4 e todos os outros de grau 3.

2 Dê exemplo de um grafo sem arestas paralelas com 8 vértices com osseguintes graus: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, e 7

3 Dê exemplo de um grafo conexo sem loops com 7 vértices com osseguintes graus: 1, 1, 2, 3, 4, 5, e 7


Dúvidas?


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