Transformação Conforme

Transformações

O conjunto de equações

define, em geral, uma transformação que estabelece uma correspondência entre os pontos dos planos uv e xy.

Jacobiano de uma transformação

Sob a transformação (I), uma região R do plano xy é, em geral, transformada numa região R’do plano uv. Assim, se

representam, respectivamente, as áreas dessas regiões, se u e v são continuamente diferenciáveis,

onde lim é o limite quando tende a zero e o determinante

é chamado o jacobiano da transformação (I).

)(),(

),(I

yxvv

yxuu

uvxy AeA

),(

),(lim

yx

vu

A

A

xy

uv

xy

vu

yx

vu

y

v

x

vy

u

x

u

yx

vu

),(

),(

)( uvxy AouA

Transformações ComplexasQuando u e v são as partes real e imaginária de uma função analítica de uma variável complexa z = x + iy, isto é, w = u + iv = f(z) = f(x + iy) o jacobiano datransformação é dado por

Transformação Conforme

Suponha que a transformação (I) leva o ponto (x0, y0) do plano xy, no ponto (u0, v0)

do plano uv e as curvas C1 e C2 [interceptam-se em (x0, y0)] nas curvas C1’ e C2’,

respectivamente [interceptam-se em (u0, v0)].

Então, se a transformação é tal que o ângulo entre C1 e C2 em (x0, y0) é igual ao

ângulo entre C1’ e C2’ em (u0, v0) em valor absoluto e sentido, a transformação é

conforme em (x0, y0).

Teorema: Se f(z) é analítica e numa região R, então, a transformação w = f(z) é conforme em todos os pontos de R.

Para as transformações conformes, pequenas figuras numa vizinhança de um ponto

z0 no plano z transformam-se em pequenas figuras no plano w e são ampliadas (ou reduzidas) num valor aproximadamente dado por , chamado fator de extensão de área ou simplesmente fator de extensão.

2)('

),(

),(zf

yx

vu

0)(' zf

2

0 )(' zf

Algumas Transformações Gerais

Consideremos e constantes complexas, enquanto a e 0

constantes reais. Translação. W = z + (Figuras no plano z são deslocadas ou

transladadas em direção ao vetor ) Rotação. W = ei

0z (Figuras no plano z são giradas de um ângulo 0) Dilatação. W = az (Figuras no plano z são dilatadas (ou contraídas) na

direção de z. Inversão. W = 1/z Transformações sucessivas

Se w = f1() leva a região R do plano na região Rw do plano w e

= f2(z) leva a região Rz do plano z na região R , então, w = f1[f2(z)] leva Rz em Rw.

Transformação linear. W = z + . Transformação Bilinear ou Fracionária.

Se z1, z2, z3, z4 são distintos, então, a quantidade (i) é chamada a razão direta de z1, z2, z3, z4.

0

z

zw

)())((

))((

3412

3214 izzzz

zzzz