UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁLICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

AUGUSTO C. R.DUARTE JUNIOR MAT: 11039004801

A INVENÇÃO DOS NÚMEROS

Belém2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁLICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

AUGUSTO C. R.DUARTE JUNIOR MAT: 11039004801

MATEMÁTICAA INVENÇÃO DOS NÚMEROS

Trabalho apresentado à disciplina de Metodologia do trabalho cientifica em matemática com requisito parcial para avaliação.

Prof.ª Celsa Hermínia de Melo Maranhão

Belém2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE MATEMÁTICA

AUGUSTO C. R.DUARTE JUNIOR - A INVENÇÃO DOS NÚMEROS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO (TCC) SUBMETIDA À AVALIAÇÃO DA BANCA EXAMINADORA APROVADA PELA FACULDADE DE

MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ E JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE LICENCIADO EM

MATEMÁTICA.

APROVADA EM___/___/___

CONCEITO:______

BANCA EXAMINADORA:

(NOME DO ORIENTADOR – UFPA )

______________________________________________________________________

(NOME DO MEMBRO – UFPA )

______________________________________________________________________

(NOME DO MEMBRO – UFPA )

______________________________________________________________________

VISTO:

(DIRETOR DA FACULDADE/UFPA)

Belém

2013

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AUGUSTO C. R.DUARTE JUNIOR (A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, 2013) – Universidade Federal do Pará, Belém. 2013.

RESUMO

A história do número - uma invenção milenar do homem. Conteúdo matemático que

está contido neste trabalho é; - O número concreto: aparecimento dos números. O

número natural: sistemas de numeração. O número irracional: triângulos, comprimento

da circunferência, números racionais na forma decimal. Os números inteiros negativos.

Detalhes sobre cada temas deste citados acima será detalhado durante todo esse

trabalho, mostrando a importância do uso da matemática até os dias de hoje .

PALAVRAS – CHAVE

Invenção Milenar, Forma decimal, Números inteiros negativos.

ABSTRACT

The story of the number - an ancient invention of man. Mathematical content that is contained in this work is; - The concrete number: appearance of numbers. The natural number: numbering systems. The irrational number: triangles, length of the circumference, rational numbers in decimal form. The negative integers.

Details about each of the topics mentioned above will be detailed throughout this work, showing the importance of the use of mathematics to the present day.

KEYWORDS

Millennial Invention, Fashion decimal, negative integers.

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SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO...........................................................................................06

2 - O NUMERO CONCRETO.........................................................................07

3- O NUMERO NATURAL ...........................................................................09

4- O NUMERO IRRACIONAL......................................................................19

5- A HISTORIA DO NUMERO NEGATIVO...............................................23

6- CONCLUSÃO.............................................................................................26

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01 - INTRODUÇÃO

Neste trabalho iremos apresentar uma parte importante e interessante da historia da matemática, mais precisamente a sua origem, a criação dos números e algumas de suas grandezas.

Veremos pontos e fatos que mudaram radicalmente a nossa vida nos dias de hoje e que fazem parte do avanço tecnológico e da interação humana.

Sem esquecer o a importância de cada Matemático e sua contribuição em cada momento de sua historia.

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02 – O NUMERO CONCRETO

Neste primeiro momento temos algumas indagações, relação ao inicio do uso dos números e suas relações.

Como surgiu o numero? Provavelmente essa pergunta deve ter passado em seus pensamentos, questionando como chegamos a um grau tão complexo do uso dos números que é nos dias atuais. Como qualquer outra descoberta do ser humano a do numero não foi de repente, ou uma pessoa pensou e descobriu os números.

A ideia de números e da matemática em si, veio surgindo gradativamente, como parte da vida diária do homem primitivo, nesse principio as noções de números e grandezas podiam está relacionadas com os contrastes mais do que com as semelhanças, por exemplo, a diferença entre um lobo e muitos e a desigualdade de tamanho entre uma sardinha e uma baleia, entre outras relações existentes na época.

Mas um dos pontos mais importante é umas das primeiras relações encontradas a volta de 30 000 a 35 000 anos atrás, que mostra a relação dos dedos da mão usados para contar, o uso de pedras, nós em cordas e também marcas em ossos.

Abaixo a amostra da utilização do uso dos dedos e pedras no inicio da ideia de contagem.

A ideia de numero concreto começa a surgir, e chega até os dias de hoje, que tínhamos cinco dedos, cinco pedras, cinco caças e assim o surgimento do numero concreto.

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As seguintes figuras 1 e 2 foram encontradas em 1950, numa vila chamada Ishango perto do Lago Edward, Zaire. São datadas entre 9000 e 6500 A.C.Como se pode ver, estes ossos contêm marcas. Observa atentamente as figuras.

O que é que elas te sugerem? Segundo Jean de Heinzelin, estas marcas podem representar um jogo aritmético e os padrões sugerem que o sistema de contagem é baseado em 10 e no conhecimento da multiplicação por 2 e por números primos.Esta é apenas uma interpretação entre muitas outras que podem existir.

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03 - O NÚMERO NATURAL

Por volta do ano 4000 a.c, algumas comunidades primitivas aprenderam a usar a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa.Como consequência desse desenvolvimento surgiu à escrita. Era o fim da Pré- História e o começo da História.

Os egípcios criam os símbolos

Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.Você certamente já ouviu falar nas pirâmides egípcias.Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.

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Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolosA criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da matemática.Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos:

3 + 5 = 8Os símbolos que os egípcios criaram para representar os números

Contando com os egípcios

Há mais ou menos 3600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “filho da lua”.Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição mais humilde que a do faraó: provavelmente ele era um escriba. Hoje ele é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes. O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contêm 80 problemas, todos resolvidos. A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.

Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio.O sistema de numeração baseava-se em sete números chaves: 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1000 000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.

Um traço vertical representava1 unidade:

Um osso de calcanhar invertido representava o número10:

Um laço valia 100 unidades:

Uma flor de lótus valia 1000unidades:

10

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Um dedo dobrado valia 10 000unidades:

Um girino os egípcios representavam 100 000unidades:

Uma figura ajoelhada, representando um deus, valia 1 000 000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como exemplo:

256

E trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números diferentes:

265 526 562625 652

Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que, apesar de a ordem dos símbolos não ser o mesmo, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45

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A técnica de calcular dos egípcios

Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.Para isso, empregavam uma técnica muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição.Por exemplo, a multiplicação 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionados treze vezes.Para calcular o resultado, os egípcios iam dobrando o número de parcelas.

1 parcela, resultado: 9 2 parcelas, resultado: 9 + 9 = 18 4 parcelas, resultado: 18 + 18 = 36 8 parcelas, resultado: 36 + 36 = 72

A tabela a baixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a multiplicação:

Números de parcelas

Resultado

1 9

2 18

4 36

8 72

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era a soma das três colunas destacadas.

1 + 4 + 8 = 13

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O resultado da multiplicação 13 x 9 era a soma dos resultados destas três colunas:9 + 36 + 72 = 117

Confira a resposta: 13 x 9 = 117

Agora vamos efetuar outra multiplicação, usando os símbolos empregados pelos egípcios.Observe a tabela:

Número deParcelas

Resultado

A soma das colunas destacadas é:

+ =O produto é dado por:

+ =

=

Você conseguiu reconhecer nestes cálculos o produto 12 X 12 = 144Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.

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Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.E por isso os números inteiros não serviam.

Descobrindo a Fração

Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...“... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda.”Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.O rio Nilo atravessa uma vasta planície.Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia.Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.

Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.

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Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno.Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno.Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.Para representar os números fracionários, usavam frações.

As complicadas frações egípcias

Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1.Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador.

Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados.Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade.

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Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

Contando com os romanos

De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios.Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.

       

Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.Como foi que os romanos conseguiram isso?

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O sistema de numeração romano  Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números usaram as próprias letras do alfabeto.  

I  V  X  LC  D  M

      Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?

O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:

I tinha o valor 1. V valia 5.

X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades.

C valia 100. D valia 500.

M valia 1.000.

Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.

II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20

XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.

IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9

XC = 90 porque 100 – 10 = 90

Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25

XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60 

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Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exército de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.

M = 1.000Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.

D = 500Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.

D – C = 500 – 100 = 400Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.

M + CD = 1.000 + 400 = 1.400Sobrava apenas o V. Então:

MCDV = 1.400 + 5= 1.405

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04 - O número irracional

Durante muito tempo, os matemáticos acreditavam que qualquer problema prático podia ser resolvido operando somente com os números naturais e fracionários. Não sentiam falta de nenhum outro tipo de numero.Por volta do ano 530 a.C. existia na Grécia uma espécie de sociedade secreta, cujos membros ficaram conhecidos com o nome de pitagóricos. Eram assim chamados porque o mestre dessa sociedade era o famoso filosofo e matemático Pitágoras de Samos, Samos e a cidade da Grécia onde Pitágoras nasceu.Pitágoras dizia que qualquer fato da natureza podia ser explicado por meio de números naturais. Lidando com numero de varias maneiras, os pitagóricos acabaram descobrindo propriedades interessantes e curiosas.Segundo Pitágoras, dependendo da soma de seus fatores, um número podia ser perfeito, deficiente ou excessivo: perfeito quando a soma de seus fatores, com exceção dele mesmo é igual ao próprio numero. Deficiente quando a soma de seus fatores com exceção dele mesmo e menor que o número e excessivo quando a soma de seus fatores com exceção dele mesmo e maior que o próprio número.

O Teorema de PitágorasUm triângulo que tem um ângulo reto chama-se triângulo retângulo. Em todo triangulo retângulo, o lado maior, que é o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa, os outros dois lados são os catetos. Por volta de 2000 a.C., os babilônios já sabiam que qualquer triangulo cujos os lados são proporcionais a 3, 4,5, e um triangulo retângulo. Os babilônios descobriram também que, para esse triangulo, o quadrado do lado maior (hipotenusa) e igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (catetos).Mas faltava a demonstração desses calculo. Foi Pitágoras que a realizou pela primeira vez. Traçando figuras planas na areia ou com auxilio de cordas, Pitágoras conseguiu demonstra que, para qualquer triangulo retângulo, o quadrado da hipotenusa e igual à soma dos quadrados dos dois catetos.Que numero é esse? Mas antes de chegar a essa demonstração, que ficou conhecida como teorema de Pitágoras, os pitagóricos cometeram alguns enganos como, por exemplo, deduzir que tudo na natureza podia ser explicado pela razão entre dois números naturais.Os pitagóricos construíram na areia um triangulo isósceles, ou seja, um triangulo cujos catetos tinham a mesma medida. Utilizando cordas, aplicaram um quadrado sobre cada lado do triangulo. Em seguida, dividiram cada cateto em três partes iguais, construindo quadradinhos. Para dividis a hipotenusa em partes iguais usou como unidade de medida (u) o lado de cada quadradinho. Ai os pitagóricos encontraram uma dificuldade: o lado do quadradinho (u) não cabia num numero inteiro de vezes da hipotenusa. Pensaram “vamos dividir cada cateto em pedaços menores, em seis partes iguais”. Não adiantou. De novo o lado do quadradinho não coube um numero inteiro de vezes da hipotenusa.

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Pitágoras e seus companheiros ficaram perplexos. Por mais que dividissem os catetos em pedaços cada vez menores, o lado do quadradinho não cabia um numero inteiro de vezes na hipotenusa.Concluíram, então, que não conseguiriam descobrir um segmento unitário que coubesse um numero inteiro de vezes em cada cateto e na hipotenusa, porque tal segmento não existiria.Portanto, a razão entre a hipotenusa e um cateto desses triângulos não era um numero racional. Ficou evidente que a matemática precisava de um novo numero, que não fosse um numero natural nem pudesse ser escrito como uma razão de dois números naturais: um número irracional. O primeiro numero irracional a ser descoberto foi a raiz de 2, que surgiu exatamente desta discussão. Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada, diziam simplesmente “o numero que multiplicado por si mesmo é 2”.O altar de Apolo.No século V a.C. uma epidemia de peste dizimou uma quarta parte da população de Atenas.Conta-se que os atenienses teriam enviado uma delegação ao oráculo de Apolo, na cidade de Delfos, para perguntar como poderiam combater o mal. Os integrantes da delegação teriam recebido como resposta que, para a peste acabar, o altar de Apolo, que tinha a forma de cubo, deveria ser duplicado.Para cumprir sua ordem, os habitantes de Atenas dobraram os lados do altar mas a peste tornou-se muito mais violenta, por que seria ?Retificando a circunferênciaMestre na construção de grandes obras arquitetônicas, os egípcios encontravam bastantes dificuldades para calcular o perímetro de terrenos circulares.A solução encontrada foi simples e pratica que muitos outros povos da antiguidade resolveram adota-la também. Um polígono que tem os lados e os ângulos congruentes entre si é dito regular. O quadrado e o triangulo equilátero são dois exemplos de polígonos regulares. Uma razão muito famosaOs egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e o seu valor é um numero “um pouquinho maior que 3”.É essa razão que hoje chamamos de PI. Para chegar ao valor de pi, que é aproximadamente 3,16 os egípcios há 3500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcular a razão entre os dois perímetros dos octógonos inscritos e circunscrito e o diâmetro da circunferência. Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que os babilônios, para os quais “o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro”, o que indicava o valor 3 para pi.Por volta do século III a.C. Arquimedes também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.

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Começando com o hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o numero de lados ate chegar e um polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3,1408 e 3,1428 esse era o valor para Arquimedes.Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C, conseguiu calcular o valor de pi como sendo aproximadamente igual a 3,1416 uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes.O fascínio pelo calculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século II d.C, Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor de 3,14159 com um polígono de 3072 lados.Mas no fim do século V, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado esta afirmação num pequeno livro escrito em verso “some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20000”.Ate o século XV, o melhor valor encontrado para pi havia sido pelo matemático árabe al-Kashi: 3,1415926535897932.Mas o calculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI. Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para pico 20 casas decimais. Logo em seguida, usando um numero de lados ainda maiores, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais. Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no tumulo o valor de pi com 35 casas decimais.Muitos dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euler. Foi Euler quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo π para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiriam demonstrar que π é um número irracional.Fração DecimalOs matemáticos sempre sentiram muitas dificuldades em trabalhar com números irracionais.No século XVI já se usavam correntemente os números irracionais, embora eles fossem aproximados através de frações.Nesta época os matemáticos começaram a notar como ficava fácil efetuar cálculos com frações em que o denominador é uma potencia de 10 ou potencia de 10, essa fração cujo denominador era dez chama-se fração decimal.Em 1585, o engenheiro e matemático holandês Stevin escreveu um livreto chamado “O décimo”. No prefacio, exponha seu objetivo de ensinar a todos “como efetuar com facilidade nunca vista todas as contas necessárias entre os homens por meio de inteiros sem frações”.Para escrever uma fração decimal Stevin não usava o denominador. Ao lado ou acima de cada algarismo do numerador, ele escrevia um numero que indicava a posição que hoje o algarismo ocupa depois da vírgula no numero decimal. A notação de Stevin não era muito apropriada. Mas sua ideia foi muito bem compreendida por Napier, grande

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matemático e fazendeiro escocês, que conseguiu encontrar uma representação mais pratica e eficiente.Napier começou colocando um traço sob os algarismos do numerador. O número de algarismos assinalados indicava o numero de zeros do denominador.Mas tarde, já em 1617, ele propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula, para separar a parte inteira da parte decimal. Estes números com vírgula são os chamados números decimais.No inicio os matemáticos não perceberam a enorme utilidade dos números decimais. Por muito tempo esses números foram empregados apenas para cálculos astronômicos. Além de trabalhar com números enormes, a Astronomia exige cálculos precisos. Daí a importância dos números decimais para os astrônomos. Com a criação do sistema métrico decimal, os números decimais passaram a ser mais usados no dia a dia.No final do século XVI, a matemática já havia avançado muito. Todos os cálculos efetuados envolviam os mais diversos tipos de números: inteiros, fracionários, decimais, irracionais.

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05 - A História dos Números Negativos

A Na passagem da Idade Média para a idade Moderna (século XIV a XVI), os países sofreram profundas transformações. Era grande o desenvolvimento do comércio e as cidades cresciam muito. A partir do Renascimento o conceito de número evoluiu muito aos poucos os números foram deixando de ser associados somente à prática pura de cálculo, mas também para ser uma linguagem matemática que pudesse expressar os fenômenos naturais que estavam sendo estudados da época.

Já na antiguidade os matemáticos chineses tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.

Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahma Gupta, matemático nascido no ano 598 D.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.Mas, sem símbolos próprios para que se pudessem realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números.

Depois de várias tentativas frustradas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois “tracinhos” cruzados na frente (+3), para se lembrar de que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial. Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-). Os desenvolvimentos dos conceitos matemáticos sempre estão ligados aos desenvolvimentos dos símbolos matemáticos; dai necessidade de um novo número, ou seja, o número negativo.

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O número negativo dos comerciantes

O desenvolvimento dos conceitos matemáticos sempre esteve estreitamente ligado ao desenvolvimento dos símbolos matemáticos. Quando os símbolos refletem claramente a ideia de um determinado conceito, torna-se fácil e pratico operar com eles. Voltamos com isso ao renascimento: nessa época, os matemáticos cada vez mais sentiam a necessidade de um novo tipo de numero, que pudesse ser a solução de equações tão simples como: x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0. As ciências naturais precisavam de símbolos para representar, por exemplo, as temperaturas acima e abaixo de zero.

Os astrônomos e os físicos, por sua vez, estavam à procura de uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Como representar com números esta dinâmica entre dois corpos?

Mas para representar o novo tipo de número a ser criado, era preciso antes encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo numero de modo pratico e eficiente.

Veja como faziam os espertos comerciantes do renascimento.

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão de 10 kg cada. Se ele vendesse em um dia 8 kg de feijão, ele escreveria o numero 8 com um “tracinho” na frente para não se esquecer de que no saco faltavam 8 kg de feijão. Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 kg que restaram, escrevia o numero 2 com dois “tracinhos” cruzados na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Baseando-se na solução pratica adotada pelos comerciantes, os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar um novo tipo de número que não indicasse apenas as quantidades, mas também representasse o ganho ou perda dessas quantidades: o numero com sinal, positivo ou negativo.

A representação desses números na reta numérica tornou mais clara a sua compreensão.

Contando com os números negativos.

No inicio, era estranho operar com números negativos. Já não bastava apenas efetuar uma operação entre dois números. Era preciso também descobrir o sinal do resultado.

Por isso, quando você aprendeu a lidar com os números negativos, passou a escutar frases como essas:

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Menos com menos dá mais. Mais com menos dá menos. Mais com mais dá mais e etc.

Se você pensar em todas as operações matemáticas que você aprendeu até agora, deve perceber que duas delas se destacam das demais: a adição e a multiplicação. A partir dessas duas operações, todas as outras podem ser desenvolvidas.

Veja como descobrir algumas regras de sinais contando por meio da adição e da multiplicação:

A dona de um mercadinho aprendeu muito bem Matemática. Observe com atenção como ela controla suas mercadorias empregando números com sinais.

“Já são 8h da noite e preciso contar quantos quilos de açúcar vão faltar amanhã.”

Hoje o caminhão entregou 100 kg, mas nas prateleiras havia ainda 25 kg.(+100)+(+25)=125kgPela manhã foram vendidos 95 kg. Sobraram:(+125)+(-95)=125 – 95=+ 30kgPrometi entregar 40 kg para a padaria Flor do Bairro. Vão faltar:(+30) + (-40)= 30 – 40= - 10kgNão posso me esquecer da espanhola do 6º andar. Senão, vai ter briga na certa! Ela vem buscar um pacote de 5 kg.(-10) + (-5)=- 10 – 5= - 15kgO caminhão vai me entregar novamente 100 kg. Nas prateleiras vão ficar?(-15) + (+100) = - 15 + 100= +85 kg. Será que 85 kg serão suficientes para o dia todo?

Imaginemos agora uma torneira despejando 4l de água por minuto em um tanque.

Depois de 5 minutos haverá 20l de água a mais no tanque.(+5) . (+4) = 20Cinco minutos antes, havia 20l a menos.(-5) . (+4) = -20

Pense agora num tanque cheio que deixa escapar 2l de água por minuto.Em cinco minutos teremos 10l de água a menos no tanque.(+5) . (-2) = - 10Há 5 minutos havia 10l a mais.(-5) . (-2) = 10

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06- Conclusão

Neste Trabalho concluímos a importância da historia da matemática e sua evolução para a sociedade atual e principalmente na aprendizagem dos alunos nas series iniciais, vendo de onde vem cada elemento da ideia composta dentro da matemática básica.

A discursão sobre a questão de ensinar historia da matemática, vem sendo debatida anos após anos, com esse trabalho podemos concluir sua vital necessidade e importância na contribuição e apoio ao ensino e entendimento da matemática aplicada e suas logicas.

Observamos também a necessidade que o homem tem de usar o conceito matemático junto aos seus instintos e daí evoluir e usar esse conhecimento a seu favor como podemos observar em todos esses séculos de evolução.

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Equipe numero 04

AUGUSTO C. R. DUARTE JUNIOR MAT:11039004801DIEGO JUNIOR G. DA CUNHA MAT:11039002601JOSELENO BRUNO S. MOURA MAT:11039005201FRANK SILVA BARRIGA MAT:11039008101MARCELO ELON DA S. COSTA MAT:11039005001NATANAEL B. FERREIRA MAT:11039008501JONATHAN PENA PAIVA MAT:11039003501MARLISON DUARTE MAT:11039003301

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