trabalho final pratica i

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SULCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICALINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IIProfessora: Isolda Giani de Lima

PRÁTICA PEDAGÓGICA 1

Calculando Áreas

BRUNA TIZATTOELAINE TONIETTO

LUCILENE DAHMERMARIANE PASTORE

Caxias do Sul2008

1

ÍNDICE

Introdução 03

Calculando Áreas 04

Como chegar na fórmula da área de um retângulo? 04

Definição 04

Área Calcula da Pela Geometria Plana 04

Área Calculada Pela Integral 05

Problema de Aplicação 06

Como chegar na fórmula da área de um quadrado? 07

Definição 07




Como chegar na fórmula da área de um triângulo? 09

Definição 09




Como chegar na fórmula da área de um trapézio? 12

Definição 12




Como chegar na fórmula da área de um losango? 16

Definição 16




Como chegar na fórmula da área de um círculo? 20

Definição 20




Conclusão 25

Bibliografia 26

2

INTRODUÇÃO

Com certeza a maioria de nós aprendeu a calcular a área das figuras planas apenas decorandofórmulas. E utilizávamos essas fórmulas de forma direta em exercícios bem simples, que não nosfaziam pensar muito, e sim, apenas reproduzir a lista de fórmulas que tínhamos anotadas em uma”tabelinha”.

Agora, em nível universitário, nos deparamos novamente com essas fórmulas. Mas agora,não basta apenas sabermos quais são, devemos saber como surgiram, e como aplicá-las nos maisvariados problemas.

Compreenderemos o cálculo das integrais apenas quando soubermos o real sentido do quesignifica a área de uma figura, que agora não mais poderá ser calculada diretamente pelasfórmulas de geometria plana.

Compreendendo o porquê de cada cálculo, de cada fórmula, ficará mais fácil de se aplicar otrabalho desenvolvido durante toda a vida acadêmica.

3

CALCULANDO ÁREAS

A partir da fórmula da área de um retângulo podemos entender as fórmulas da área deoutras figuras planas.

Para deduzir as conhecidas fórmulas de áreas adotamos como unidade de área umquadrado que, por definição tem área igual a 1 u.a.

Como chegar na fórmula da área de um retângulo?

Definição:Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos retos são congruentes.

Área calculada pela Geometria PlanaComo chegar na fórmula: Aretângulo = b × h ?

Começamos com um retângulo de lados de medidas inteiras m e n que pode ser divididoem quadrados unitários.

Se contarmos a quantidade de quadrados no interior do retângulo teremos 15 quadrados,ou , 15 u.a.

Agora utilizando outra maneira de contar, vamos generalizar um procedimento para ocálculo da área, ou seja, encontrar a fórmula.

O retângulo de lados inteiros m e n tem m = 5 e n = 3, de forma que existem 5quadrados jutapostos na horizontal em cada linha, num total de 3 linhas. Então:

4

Assim, temos um retângulo formado por m quadrados jutapostos na horizontal,distribuídos em n linhas:

Observe:

m = base do retângulon = altura do retângulo

Assim a fórmula da área do retângulo será igual a :

Ou simplesmente Aretângulo = b × h.

Área calculada pela Integral Definida

LEI DA FUNÇÃO:

y = h

CÁLCULO DA ÁREA:

A = ∫0

bhdx = hx|0

b

A = Fb − F0

A = h ⋅ b − h ⋅ 0

A = h ⋅ b

Entendido como calcular a fórmula da área de um retângulo, através da GeometriaPlana, podemos deduzir as fórmulas de área de outros polígonos: recortamos sempre os

5

polígonos que queremos deduzir a fórmula da área, de modo a ”montar” um retângulo, e assim,conseguiremos suas fórmulas de áreas através da fórmula da área desse retângulo.

Problema de AplicaçãoA parede frontal da casa mostrada na figura tem 6,4 m de comprimento por 3 m de

altura. Nela há 4 janelas ( incluem-se aí as molduras e os vidros): uma quadrada e trêsretangulares.

Sabendo que:→ A área da janela quadrada é igual a 1,875 % da área da parede e→ O lado da janela quadrada é igual à largura da retangular.Responda:Qual deve ser a altura das janelas maiores para que a superfície das três, juntas, ocupe uma

área igual a 9,375 % da área da parede?Resolução:

Como temos que o comprimento é de 6,4 m e a altura é 3 m, aplicando na fórmula daárea de um retângulo, encontramos a área da parede frontal da casa.

Assim:

A = b ⋅ h

A = 6,4 ⋅ 3

A = 19,2m2

Sendo que a área da janela quadrada é igual a 1,875 % da área da parede, podemosatravés da regra de três encontrar qual é a sua área; sabendo que 19,2 m2 corresponde a 100% ,ou seja, a toda parede .

19,2 → 100%

x → 1,875%

100x = 36

x = 36100

x = 0,36m2

A área da janela quadrada é 0,36 m2 , sendo assim cada lado do quadrado mede 0,6 m,que também é a largura da retangular.

A altura das três janelas maiores juntas ocupa uma área de 9,375 % em relação a áreada parede, assim:

6

19,2 → 100%

x → 9,375%

100x = 180

x = 180100

x = 1,8m2

A área das três janelas é 1,8m2 . Calculamos agora a altura das janelas retangulares,sabendo que a área é 1,8 m2 e que sua base mede 0,6 m.

A = b ⋅ h

1,8 = 0,6 ⋅ h

h =1,80,6

h = 3m

Logo a altura das três janelas mede 3 m, dividindo por três encontramos a altura decada janela.

h = 3 ÷ 3

h = 1m

Assim a altura de cada janela maior é de 1m.

Como chegar na fórmula da área de um quadrado?

Definição:Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são

congruentes.

Área calculada pela Geometria PlanaSendo a base igual a altura: b = h = l.Logo,

Aquadrado = b × h

Aquadrado = l × l

Aquadrado = l2

Então:

7

Aquadrado = l2


LEI DA FUNÇÃO:

y = l

CÁLCULO DA ÁREA:

A = ∫0

lldx = lx|0

l

A = Fl − F0

A = l ⋅ l − l ⋅ 0

A = l2

Problema de AplicaçãoDona Zilá está fazendo uma colcha de retalhos. A colcha é composta de quadrados

congruentes, cada um com a diagonal medindo 16 cm. Supondo que ela já tenha feito 14 dessesquadrados, vamos calcular a área da superfície da parte que dona Zilá já fez.

Resolução:Para isso, consideremos o esquema a cima, que representa cada quadrado da colcha, e

calculemos sua área A1.Aplicando-se o teorema de pitágoras no triângulo retângulo ADC, temos:

8

l2 + l2 = 162

2l2 = 256

l2 = 128

Como a área de um quadrado é A1 = l2, temos que a A1 = 128cm2.A área A da superfície que dona Zilá já fez é A = 14 ⋅ A1,ou seja, A = 1792cm2

Como chegar na fórmula da área de um Triângulo?

Definição:Dados três pontos A, B, C não colineares, à reunião dos segmentos AB , AC e BC

chama-se triângulo.

Área calculada pela Geometria PlanaIntuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o triângulo se

encaixam perfeitamente na composição do retângulo.

No triângulo temos a reta HE passando pelos pontos médios dos lados AB e AC, e osegmento AG perpendicular a esta reta. Conforme indicam as cores, construímos um retângulocom a mesma área do triângulo.

9

Porém, devemos mostrar que os triângulos AGH e BDH ; AGE e CFE são congruentes.

1.Os triângulos AGH e BDH congruentes pois:*os lados AH e BH são congruentes já que H é ponto médio de AB

*os ângulos AGH e BDH são retos

*os ângulos AHG e BHD são congruentes porque são opostos pelo vértice.2.Com isso mostra-se também que os triângulos AGE e CFE são congruentes.

Assim podemos concluir que as peças que compõem o triângulo ABC se encaixamperfeitamente no retângulo construído.

Agora que já está comprovado que podemos transformar um triângulo em um retânguloconservando a área, para deduzir a fórmula da área do triângulo a partir da fórmula da área doretângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados.

Visto que:

Aret = A tri

Aret = bret × hret

bret = btri

hret =htri

2

Aret = btri ×htri

2

A triângulo = b × h2

Então:

Atriângulo = b × h2


LEI DA FUNÇÃO:

No intervalo 0,a No intervalo a,b

10

m =y − y0x − x0

m =y − y0x − x0

m = h − 0a − 0

m = 0 − hb − a

m = ha m = −h

b − a

y − y0 = mx − x0 y − y0 = mx − x0

y − 0 = ha x − 0 y − 0 = −h

b − ax − b

y = ha x y = − h

b − ax + bh

b − a

y =

ha ⋅ x 0 ≤ x ≤ a

− hb − a

x + bhb − a

a < x ≤ b

CÁLCULO DA ÁREA:

A1 = ∫0

a ha ⋅ xdx = h

a ⋅ x2

2 0

aA2 = ∫

a

b −hb − a

⋅ x + bhb − a

dx = −hb − a

⋅ x2

2+ bh

b − a⋅ x

a

b

A1 = Fa − F0 A2 = Fb − Fa

A1 = ha ⋅ a2

2− h

a ⋅ 02

2A2 = −h

b − a⋅ b2

2+ bh

b − a⋅ b − −h

b − a⋅ a2

2+ bh

b − a⋅ a

A1 = ha2

A2 = −hb2 + 2b2h2 ⋅ b − a

− −ha2 + 2bha2b − a

A2 = b2h2b − a

+ ha2 − 2bha2b − a

A total = A1 + A2

A total =ha2 + b2h

2b − a+ ha2 − 2bha

2b − a

A total =hab − a + b2h + a2h − 2bha

2b − a

A total =hab − ha2 + b2h + a2h − 2bha

2b − a

A total =−hab + b2h

2b − a

A total =bh−a + b

2b − a

A total =b ⋅ h

2

Problema de AplicaçãoSabe-se que foram usadas 15 telhas por metro quadrado no revestimento da cobertura de

um galpão. Vamos determinar o número de telhas colocadas na parede frontal desse galpão(detalhada na figura), que tem a forma de um triângulo isósceles, cujos lados iguais medem 12 me têm o ângulo compreendido entre eles medindo 120o.

11

Resolução:Para isso devemos determinar a área da cobertura frontal, representada pelo esquema

seguinte, no qual AB = AC = 12m e BAC = 120o. Calculemos a altura AH = h, relativa à baseBC = b.

ΔAHC é retângulosin60o =

cat.opostohip.

sin60o = HCAC.

sin60o ⋅ 12 = HC HC = 6 3 m

cos60o =cat.adj.

hip.cos60o = AH

ACcos60o ⋅ 12 = AH AH = 6m

Logo, h = AH = 6m e b = BC = 2 ⋅ HC = 12 3 m.

Então:

A = b ⋅ h2

A =12 3 ⋅ 6

22A = 72 3

A = 36 3 m

Logo, foram usadas 15 telhas por metro quadrado, então nessa parte da coberturaforam usadas 15 ⋅ 36 3 = 935 telhas.

Como chegar na fórmula da área de um Trapézio?Definição:

Trapézio é o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.

Área calculada pela Geometria Plana

12

Intuitivamente podemos observar que as peças que compõem o trapézio se encaixamperfeitamente na composição do retângulo.

No trapézio temos a reta EF passando pelos pontos médios dos lados AD e BC, e ossegmentos DG e CH perpendiculares a esta reta. Conforme indicam as cores construímos umretângulo com a mesma área do trapézio.

Porém, devemos mostrar que os triângulos DEG e CFH são congruentes aos triângulosAEG′ e BFH′, respectivamente; e que o quadrilátero CDGH é congruente a C′D′BH’.

1.Os triângulos DEG e AEG′ são congruentes pois:*os lados DE e AE são congruentes já queE é ponto médio de AD

*os ângulos EGD e EG′A são retos

*os ângulos DEG e AEG′ são congruentes já que opostos pelo vértice2.Com isso mostra-se que também são congruentes os triângulos CFH e BFH′.3.Os quadriláteros CDGH e C′D′BH’ são congruentes pois:

*visto que ambos são retângulos , têm os lados opostos congruentes*o lado BH′ foi construído congruente a CD, de forma que C′D′ ≡ GH ≡ CD ≡ BH′*os lados DG e D′B são congruentes já que são paralelas entre si.

Assim podemos concluir que as peças que compõem o triângulo ABC se encaixamperfeitamente no retângulo construído.

Agora que já está comprovado que podemos transformar um trapézio em um retânguloconservando a área, para deduzir a fórmula da área do trapézio a partir da fórmula da área doretângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados.

Aret = A tra

Aret = bret × hret

bret = B tra + btra

hret =htra

2

Aret = B tra + btra ×htra

2

A tra =B + b × h

2Então,

Atra =B + b × h

2


13

LEI DA FUNÇÃO:

No intervalo 0,a No intervalo a,a + b No intervalo a + b,B

m =y − y0x − x0

y = h m =y − y0x − x0

m = h − 0a − 0

m = 0 − hB − a + b

m = ha m = −h

B − a + b

y − y0 = mx − x0 y − y0 = mx − x0

y − 0 = ha x − 0 y − h = −h

B − a + bx − a + b

y = ha x y = h − h

B − a + bx + h

B − a + ba + b

y = hB − hxB − a + b

Y =

hxa 0 ≤ x ≤ a

h a < x ≤ a + bhB − hx

B − a + ba + b < x ≤ B

CÁLCULO DA ÁREA:

A1 = ∫0

a hxa dx = hx2

2a 0

aA2 = ∫

a

a+bhdx = hx|a

a+b

A1 = Fa − F0 A2 = Fa + b − Fa

A1 = ha2

2a − h02

2a A2 = ha + b−ha

A1 = ha2

A2 = ha + hb − ha

A2 = hb

14

A3 = ∫a+b

B hB − hxB − a + b

dx = ∫a+b

B hBB − a + b

− hxB − a + b

dx

A3 = hBxB − a + b

− hx2

2B − a + b a+b

B

A3 = FB − Fa + b

A3 = hBBB − a + b

− hB2

2B − a + b− hba + b

B − a + b− ha + b2

2B − a + b

A3 = 2hB2 − hB2

2B − a + b− 2hBa + b − ha + b2

2B − a + b

A3 =hB2 − 2hBa + b + ha + b2

2B − a + b

A3 =hB2 − 2Ba + b + a + b2

2B − a + b

A3 =hB − a + b2

2B − a + b

A3 =hB − a + b

2

A total = A1 + A2 + A3

A total =ha2

+ hb +hB − a + b

2

A total =ha + 2hb + hB − a + b

2

A total =ha + 2b + B − a + b

2

A total =ha + 2b + B − a − b

2

A total =hB + b

2

Problema de Aplicação:Para a realização de um espetáculo, foi montado um tablado cuja superfície tem a forma

de um trapézio isósceles, com as seguintes dimensões: a base menor tem 4 m de comprimento, amaior tem 22 m e os lados não paralelos medem 15 m.

Qual a área da superfície desse tablado?Resolução:Observe na figura abaixo a representação desse tablado, com as construções auxiliares

que permitem a resolução do problema.

O triângulo AHB é retângulo. Logo, aplicando-se o teorema de Pitágoras, temos :

15

h2 = 152 − 92

h2 = 225 − 81

h = 12m

Portanto a área do tablado é:

A =B+b⋅12

2

A =22+4⋅12

2

A = 156m2

Como chegar na fórmula da área de um Losango?

Definição:Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Área calculada pela Geometria PlanaIntuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o losango se

encaixam perfeitamente na composição do retângulo.

No losango, as diagonais o dividem em quatro triângulos congruentes que arranjadosnovamente formam um retângulo, com a mesma área do losango.

Porém, devemos mostrar que as regiões triangulares que completam o retângulo obtido apartir do losango são de fato congruentes aos triângulos menores que fazem parte do losangodado.

16

1.Os triângulosADO e BCO′ são congruentes pois:*os ângulos OAD e O′BC são congruentes já que são ângulos entre retas paralelas AD||BC e

AO||BO′.*os lados AD e BC são congruentes já que são lados do losango são congruentes.*os ângulos ADO e BCO′ são congruentes já que são ângulos entre retas paralelas AD||BC e

DO||CO′.2.Com raciocínio análogo mostra-se que também são congruentes os triângulos CDO e

BAO′.

Assim podemos concluir que as peças que compõem o losango ABCD se encaixamperfeitamente no retângulo construído.

Agora que já está comprovado que podemos transformar um losango em um retânguloconservando a área, para deduzir a fórmula da área do losango a partir da fórmula da área doretângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados:

Visto que:

Aret = A los

Aret = bret × hret

bret = Dlos

hret =dlos

2

Aret = Dlos ×dlos

2Então:

A = D × d2

Justificamos assim, a origem da fórmula da área de um losango partindo da área de umretângulo.


LEI DA FUNÇÃO:

17

No intervalo − D2

,0 No intervalo 0, D2

m =y − y0x − x0

m =y − y0x − x0

m =d2 − 0

0 − − D2

m =0 − d

2D2 − 0

m =d2D2

m =− d

2D2

m = dD

m = − dD

y − y0 = mx − x0 y − y0 = mx − x0

y − 0 = dD

x + D2

y − 0 = − dD

x + D2

y = dD

x + d2

y = − dD

x + d2

y =

dD

x + d2

− D2

≤ x ≤ 0

− dD

x + d2

0 ≤ x ≤ D2

CÁLCULO DA ÁREA:

A1 = ∫− D

2

0 dD

x + d2

dx = dx2

2D+ dx

2 −D2

0A2 = ∫

0

D2 − d

Dx + d

2dx = − dx2

2D+ dx

2 0

D2

A1 = F0 − F − D2

A2 = F D2

− F0

A1 = d⋅02

2D+ d⋅0

2 −d − D

22

2D+

d − D2

2 A2 = −d D

22

2D+

d D2

2 − − d⋅02

2D+ d⋅0

2

A1 = − d ⋅ D2

4⋅ 1

2D− d ⋅ D

2⋅ 1

2A2 = −d ⋅ D2

4⋅ 1

2D+ d ⋅ D

2⋅ 1

2

A1 = − dD8

+ dD4

A2 = − dD8

+ dD4

ATotal = 2A1 + A2

ATotal = 2 − dD8

+ dD4

+ − dD8

+ dD4

ATotal = 2 −dD + 2dD − dD + 2dD8

ATotal = 2 2dD8

ATotal =Dd2

Problema de Aplicação:Um professor pediu a seus alunos que desenhassem a bandeira do Brasil e para isso deu

as seguintes instruções:→ o retângulo deve ter 10cm de largura por 14cm de comprimento.→ o losango deve ter o lado de 7cm de comprimento e um dos ângulos internos deverá medir

18

60o.→ o círculo deve ter raio medindo 3cm.Qual é arazão (quociente) entre a área A1 do losango e a área A2 do retângulo que deverão

compor essa bandeira?

A área A2 do retângulo é :

A = b ⋅ h

A = 14 ⋅ 10

A = 140cm2

Calculemos a área A1 , do losango.

No triângulo retângulo AMB, temos:

cos30o =cat.adj.hipot.

cos30o =

D27

cos30o ⋅ 7 = D2

D = 7 3 cm

sin30o =cat.opost.

hipot.sin30o =

d27.

sin30o ⋅ 7 = d2

d = 7cm

Logo:

A1 = D ⋅ d2

A1 =7 3 ⋅ 7

2

A1 =49 3

2 cm2

Assim:

19

A1

A2=

49 32

140 =7 340

Como chegar na fórmula da área de Círculo?

Definição:Círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se

chama círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor(a que chamamos raio).

Área calculada pela Geometria PlanaVamos dividir a circunferência em 24 partes iguais.

Assim, como o comprimento, ou perímetro, da circunferência é C = 2πr, então ocomprimento de uma dessas partes é:

C = 2πr

C ≅ 2πr24

C ≅ πr12

A área de uma dessas partes é, aproximadamente, a área de um triângulo. Logo:

20

ATri =b ⋅ h

2, onde b = C e h = raio

ACír ≅ C ⋅ r2

A ≅ 24 ⋅ πr

12 ⋅ r

2Então:

Acír = πr2

Assim, a origem da fórmula da área de um círculo é obtido partindo do comprimento de umacircunferência e da área de um triângulo.

Outra forma de calcular a área de um círculo pela Geometria PlanaVamos enrolar uma corda sobre si própria, de forma a fazermos um círculo

1,marcamos o raio do círculo 2 e cortamos com uma tesoura esse raio 3.

1 2 3

Em seguida estendemos os fios cortados4 e 5.

4 5

Podemos observar que:* A base do triângulo é o comprimento da circunferência.* A altura do triânguloéo raio da circunferência.

Assim, conclui-se que:

ATri = Acír

21

ATri =b ⋅ h

s Acír = P ⋅ r2

Comprimento da circunferência = C = 2πr

Raio = r

Substituindo:

Acír = P ⋅ r2

Acír ≅ 2πr ⋅ r2

Acír = πr2

Então:

Acír = πr2


LEI DA FUNÇÃO:

y − yc2 + x − xc2 = r2

y − 02 + x − 02 = r2

y2 + x2 = r2

y2 = r2 − x2

y = ± r2 − x2

y = + r2 − x2 (como metade da circunferência está acima do eixo dos x)

y = y = r2 − x2 −r ≤ x ≤ r

CÁLCULO DA ÁREA:

Segundo a propriedade número 74 do livro do Anton, temos que :

22

∫ a2 − u2du = u2

a2 − u2 + a2

2⋅ sin−1 u

a + C

Onde: u = x e a = r, assim:

= 2 ∫−r

rr2 − x2 dx = 2 ∫

−r

rr2 − x2

12 dx

= 2 x2

r2 + y2 + r2

2⋅ sin−1 x

r −r

r

= 2Fr − F−r

= 2 r2

r2 + r2 + r2

2⋅ sin−1 r

r − − r2

r2 − −r2 − r2

2⋅ sin−1 − r

r

= 2 r2

2⋅ sin−11 − − r2

2⋅ sin−1 − 1∗

= 2r2

2⋅ π

2 + 2r2

2⋅ π

2

= 2r2π4

+ 2r2π4

= 2r2π + 2r2π4

= 4πr2

4= πr2

∗ O arco onde o seno é igual a 1 é sin π2

= 1 e sin − π2

= −1.

sin−1 =arcotangente.

Problema de Aplicação:Um tapete circular ocupa uma sala quadrada, conforme mostra a figura ao lado. Se o

perímetro da sala é 32m e a razão entre as medidas da sala e do diâmetro do tapete é 21

,

determinemos a área da superfície do tapete.

Sejam l a medida do lado da sala e r a medida do raio do tapete.O perímetro da sala é 32m, isto é :

23

4l = 32

l = 8m

A razão entre l e 2r ( medida do diâmetro do tapete) é 21

, isto é,

l2r

=21

→ 82r

=21

→ r = 2 2 m.

Logo

:

A = πr2

A = π2 2 2

A = π4 ⋅ 2

A = 8πm2

24

CONCLUSÃO

Agora o cálculo de áreas com o uso fórmulas de geometria plana ou através de IntegraisDefininidas, fazendo-se uso do Teorema Fundamental do Cálculo, ficou mais claro para todos.Compreendemos então o real significado de áreas, estando prontos para reconstruí-lo em váriasoutras figuras geométricas, e assim, tendo uma boa base de conhecimento para aplicar esseassunto aos nosso alunos.

25

BIBLIOGRAFIA

1

Disponível em:

< http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/tri.htm >

Acesso em: abril.2008

2

Disponível em:

< http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/los.htm >


3

Disponível em:

< http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/tra.htm >


4

Disponível em:

< http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/ativ25.htm >


5

Disponível em:

< http : //www.catraios.pt/profs/salarecursos/matmat/area_circulo.pdf >


6IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; ALMEIDA, Wilse de.

Matemática: Ciências e Aplicações. 2a ed. São Paulo: Atual, 2004. Vol.2.

26

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