sistema massa mola -pratica i corrigido

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto de FísicaDepartamento de Física Aplicada e TermodinâmicaLaboratório de Física Teórica e Experimental II

SISTEMA MASSA MOLA

Amanda Pereira Renault de Castro (turma 03) 2006.2.04801.11

Luigi Maciel Ribeiro (turma 04) 2010.2.04090.11

Júlia Fernandes Araujo (turma 04) 2010.2.05663.11

Professor André Almeida

Rio de Janeiro, 23 de março de 2011.

1. Objetivo

O experimento teve como objetivo determinar a constante elástica de uma mola (constante de Hooke) e da freqüência de oscilação do sistema massa-mola, estaticamente e dinamicamente, utilizando instrumentos e montagem simples.

2. Introdução Teórica

Quando um objeto fica sujeito a uma força elástica, o seu movimento recebe o nome de movimento harmônico simples (MHS). Uma das características desse movimento é que ele é periódico. Isso ocorre porque a partícula desprezando o atrito volta a certa posição a intervalos de tempo regulares. Esse intervalo de tempo é o período. Por exemplo, você perceberá que a partícula passará pelo centro na mesma direção a intervalos regulares (o período de tempo). O período se relaciona com a massa e a constante elástica. Verifica-se que o período é dado pela expressão:

Onde m é a massa da partícula e k é a constante elástica. Assim, como é fácil determinar a massa de uma partícula, pode-se determinar k a partir do período. Outra coisa interessante a respeito do movimento é que, devido à força ser elástica, a partícula atinge uma certa distância máxima da origem e depois volta. Esse deslocamento máximo é conhecido como amplitude.

3. Material Utilizado

Quant. DescriçãoM1 1 Base RetangularM2 2 Hastes Grandes M3 1 CronômetroM4 2 MolasM5 2 ParafusosM6 2 PegadoresM7 2 Massas (5g,10g,15g e

20g)M8 1 Régua

4. Esquema experimental

Unidades de medida

Régua: milimetrosCronômetro: segundosMassas: gramas

5. Procedimentos experimentais

Montou-se o equipamento de forma que a régua e a mola estivessem uma ao lado da outra e ambas fixas à haste. Havia também um pequeno suporte para os pesos fixo à extremidade da mola (conforme figura 1).

Após a montagem, foram realizadas as seguintes atividades:

Mola 1:

Atividade A1Foi medido o tamanho da mola 1 sem peso (não deformada). Depois, foram colocados diferentes pesos (5g, 10g, 15g e 20g) na mola 1, a fim de deformá-la. A cada peso colocado, media-se a deformação.

Atividade A2Colocamos a massa de 20g na mola 1, deformando-a até 8,10cm. Depois, puxamos a mola para baixo, deformando mais 2,00cm, totalizando uma deformação de 10,10cm. Enfim, liberamos a mola e medimos o tempo de 10 oscilações. Repetimos o processo 5 vezes.



Mola 2:

Atividade A1Foi medido o tamanho da mola 2 sem peso (não deformada). Depois, foram colocados diferentes pesos (5g, 10g, 15g e 20g) na mola 2, a fim de deformá-la. A cada peso colocado, media-se a deformação.


6. Dados experimentais

Mola 1:

Atividade A1Lo: 0,60 cm

m1: 5,0 g L1: 2,80 cmm2: 10,0 g L2: 4,10 cmm3: 15,0 g L3: 6,10 cmm4: 20,0 g L4: 8,10 cm

Atividade A2m: 20,0 g t1: 5,36 sL: 8,10 cm t2: 5,47 spuxando 2 cm t3: 5,57 sL': 10,10 cm t4: 5,80 s

t5: 5,38 s


t5: 5,72 s


t5: 4,21 s

Mola 2:

Atividade A1Lo: 0,70 cm

m1: 5,0 g L1: 2,20 cmm2: 10,0 g L2: 4,00 cmm3: 15,0 g L3: 5,50 cmm4: 20,0 g L4: 7,50 cm


t5: 5,37 s

Atividade A3

m: 20,0 g t1: 5,01 sL: 7,50 cm t2: 5,27 spuxando 1 cm t3: 5,17 sL': 8,50 cm t4: 4,43 s

t5: 5,25 s


t5: 4,03 s

7. Cálculos

7.1 Método dos mínimos quadrados

INTRODUÇÃO À REGRESSÃO LINEAR

Observe abaixo pares ordenados obtidos em função de algum experimento, como:

x x1 x2 x3 x4 x5 ... xn-1 xn

y y1 y2 y3 y4 y5 ... yn-1 yn

A colocação destes pares ordenados num plano cartesiano, depende dos valores de x i e yi, (i=1..n) e pode fornecer um gráfico como:

Um fato que atrai pesquisadores aplicados das mais diversas áreas é a possibilidade de obter uma função real que passe nos pontos ou pelo menos passe próximo dos pontos (xi,yi) dados.

Estudando uma Matemática mais aprofundada existe a Teoria de Interpolação que é a área que estuda tais processos para obter funções que passam exatamente pelos pontos dados, enquanto que a Teoria de Aproximação estuda processos para obter funções que passem o mais próximo possível dos pontos dados.

É óbvio que se pudermos obter funções que passem próximas dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manipulada, teremos obtido algo positivo e de valor científico.

Dentre os processos matemáticos que resolvem tal problema, com certeza, um dos mais utilizados é o Método dos Mínimos Quadrados, que serve para gerar o que se chama em Estatística: Regressão Linear ou Ajuste Linear.

As curvas mais comuns utilizadas pelos estatísticos são:

Ordem Função Nome

1 y = ao+a1 x Reta

2 y = ao+a1 x+a2 x² Parábola

A idéia básica para qualquer uma das funções acima citadas é tentar descobrir quais são os valores dos coeficientes ao, a1, a2 e a3, de tal modo que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida curva y=f(x) a cada um dos pontos dados (yi) seja a menor possível, daí o nome Método dos Mínimos Quadrados.

Para obter tais coeficientes, deve-se conhecer conceitos de Derivadas Parciais, a Teoria de Máximos e Mínimos de funções de várias variáveis e as características de formas quadráticas positivas definidas de funções de várias variáveis envolvidas com o Teorema de Sylvester. Tais teoremas são normalmente encontrados em bons livros de Álgebra Linear e Cálculo Avançado.

Para não nos perdermos em considerações teóricas, apresentarei aqui as fórmulas para a obtenção da Regressão Linear para a Reta, a Parábola e a Cúbica.

Notações usadas na seqüência

n=Número de pares ordenados SX=x1+x2+x3+...+ xn = Soma dos xi

SY=y1+y2+y3+...+yn = Soma dos yi

SXY=x1 y1+x2 y2+x3 y3+...+xn yn = Soma dos xiyi

SX2=(x1)²+(x2)²+(x3)²+...+(xn)² = Soma dos xi²

A RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Para obter a reta dos mínimos quadrados, basta resolver o sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas ao e a1 :

ao n+a1 SX = SYao SX+a1 SX2 = SXY

Na forma matricial este sistema pode ser escrito como:

n SX .

a0 =

SYSX SX2 a1 SXY

Para resolver este sistema, existem vários métodos, mas a Regra de Cramer dá uma resposta rápida para os coeficientes:

ao = (SY.SX2-SX.SXY)/(n SX2-SX.SX)a1 = (n SXY-SX.SY) / (n SX2-SX.SX)

LEI DE HOOKE

Serve para calcular a deformação causada pela força exercida sobre um corpo, relacionada a elasticidade de corpos, que tal que a força é igual ao deslocamento da massa a partir do seu ponto de equilíbrio vezes a característica constante da mola ou do corpo que sofrerá deformação:

F = k.Δl

Calculando a constante elástica:

Mola 1 – Atividade 1

Y – Força Peso (N)X – Comprimento da mola (cm)

Equação da mola (pelo método dos mínimos quadrados)

a = (5x3085,0 - 21,7x500) / (5x127,83 - 21,70x21,70)b = (500x127,83 - 21,70x3085,0)/(5x127,83 - 21,70x21,70)

Y = ax + b

Y = 27,1901x + (- 18,0049)

Constante elástica (K) = 27,1901

Gráfico 1

Y X ±0,05 cm X² X.Y0 0,60 0,36 0

50 2,80 7,84 140100 4,10 16,81 410150 6,10 37,21 915200 8,10 65,61 1620

Total: 500 21,70 127,83 3085n= 5

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_equil%C3%ADbrio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_equil%C3%ADbrio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Elasticidade

http://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a

http://pt.wikipedia.org/wiki/Deforma%C3%A7%C3%A3o

Linha Azul (dados da tabela)Linha Preta (equação da reta)

Mola 2 – Atividade 1

Y X ±0,05 cm X² X.Y0 0,70 0,49 0

50 2,20 4,84 110,0100 4,00 16,00 400,0150 5,50 30,25 825,0200 7,50 56,25 1500,0

Total: 500 19,90 107,83 2835,0n= 5

Y – Força Peso (N)X – Comprimento da mola (cm)

Equação da mola (pelo método dos mínimos quadrados)

a = (5x2835,0 – 19,90x500) / (5x107,83 – 19,90x19,90)b = (500x107,83 – 19,90x2835,0)/(5x107,83 – 19,90x19,90)

Y = ax + b

Y = 29,5165x + (- 17,4759)

Constante elástica (K) = 29,5165

Gráfico 2

Linha Azul (dados da tabela)Linha Preta (equação da reta)

Calculando a freqüência de oscilação do sistema:

MOLA 1 – ATIVIDADE 2

Freqüência de oscilação experimental:

T=5,52/10

F=1,8116Hz

Freqüência oscilação teórica:

T = 2π m/k

(m/k)1/2= 0,0858 t=2*3,1415*0,0858=0,539F= 1,8553Hz

Erro percentual:

t1: 5,36 s t1-tmédio: (0,16) st2: 5,47 s t2-tmédio: (0,05) st3: 5,57 s t3-tmédio: ( 0,05) st4: 5,80 s t4-tmédio: (0,28) st5: 5,38 s t5-tmédio: (0,14) st médio 5,52 s

desvio padrãoδ: 0,179

desvio padrão da médiaδm: 0,08

+ ou - 5,52 0,08

Erro percentual

D%= 8,21



T=5,77/10

F=1,7331Hz


T = 2π m/k

(m/k)1/2= 0,0858 t=2*3,1415*0,0858=0,539

F= 1,8553Hz

Erro percentual:

t1: 5,95 s t1-tmédio: 0,43 s

t2: 5,74 s t2-tmédio: 0,22 s

t3: 5,77 s t3-tmédio: 0,25 s

t4: 5,66 s t4-tmédio: 0,14 s

t5: 5,72 s t5-tmédio: 0,20 s

t médio 5,77 s



+ ou -5,77 0,14

Erro percentual

D%= 5,12



T=4,17/10

F=2,3981Hz


T = 2π m/k

(m/k)1/2= 0,0606 t=2*3,1415*0,0606=0,381

F= 2,6247Hz

Erro percentual:

t1: 4,16 s t1-tmédio: (1,36)st2: 4,18 s t2-tmédio: (1,34)st3: 4,10 s t3-tmédio: (1,42)st4: 4,19 s t4-tmédio: (1,33)st5: 4,21 s t5-tmédio: (1,31)st médio 4,17 s



+ ou - 4,17 0,67

Erro percentual

D%= 2,68



T=5,38/10

F=1,8587Hz


T = 2π m/k

(m/k)1/2= 0,0823 t=2*3,1415*0,0823=0,517F= 1,9342Hz

Erro percentual:

t1: 5,09 s t1-tmédio: (0,43) st2: 5,70 s t2-tmédio: (0,18) st3: 5,63 s t3-tmédio: (0,11) st4: 5,12 s t4-tmédio: (0,40) st5: 5,37 s t5-tmédio: (0,15) st médio 5,38 s



+ ou -5,38 0,14

Erro percentual

D%= 11,98



T=5,03/10

F=1,9881Hz


T = 2π m/k

(m/k)1/2= 0,0823 t=2*3,1415*0,0823=0,517

F= 1,9342Hz

Erro percentual:




+ ou - 5,03 0,29

Erro percentual

D%= 18,96



T=3,93/10

F=2,5445Hz


T = 2π m/k

(m/k)1/2= 0,0582 t=2*3,1415*0,0582=0,366

F= 2,7322Hz

Erro percentual:




+ ou -3,93 0,79

Erro percentual

D%= 5,50

8. Conclusão

Pela lei de Hooke, a cada esforço F realizado numa mola helicoidal cilíndrica fixa por uma das extremidades corresponde uma deformação proporcional x. À constante de proporcionalidade k dá-se a denominação de constante elástica da mola (F = -k.x).

Um corpo ligado à extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia potencial elástica. De fato, a mola comprimida exerce uma força sobre o corpo, a qual realiza um trabalho sobre ele quando o abandonamos. Entretanto, se tentarmos comprimir (ou esticar) uma mola, nota-se que a força produzida pela mola é diretamente proporcional ao seu deslocamento do estado inicial (equilíbrio). O equilíbrio na mola ocorre quando ela está em seu estado natural, ou seja, sem estar comprimida ou esticada. A mostra uma mola não deformada e, na mesma, apresenta a mesma mola distendida e comprimida.

De acordo com os resultados, pode-se provar que, à medida que se aumenta o peso (F), o comprimento da mola aumenta proporcionalmente de acordo com a equação, na qual k é a constante de deformação da mola e X a deformação sofrida, enunciada pela lei de Hooke. Outro ponto observado é que em nenhum dos experimentos realizados a mola ultrapassou seu limite de elasticidade, uma vez que, ao serem retirados os pesos, as molas retornaram para a posição inicial.

Portanto com o experimento acima, determinamos a constante elástica de uma mola (constante de Hooke) e da freqüência de oscilação do sistema massa-mola, estaticamente e dinamicamente, conforme valores acima. Como esperado, há divergência entre os valores da mola 1 e mola 2, assim como há diferença entre os valores teóricos e experimentais. Essa diferença se dá por pequenos erros de montagem e execução do experimento, conforme cálculos de erro percentuais acima apresentados.

Concluímos que o período de oscilação depende da massa do corpo suspenso e da constante elástica da mola que o sustenta. Experimentalmente, verifica-se que quanto maior for a massa do corpo suspenso, mais lentamente a mola oscilará. E, quanto maior for a constante elástica da mola (mais dura), mais rapidamente o mola oscilará.

Questionário:

6.1-Por que medimos o tempo de oscilação 10 vezes ?

Para diminuir a taxa de erro.

Ex:

No desvio padrão o número de medidas é inversamente proporcional ao desvio, ou seja quando maior o número de medidas menor o erro.

6.2-A freqüência de oscilação depende da amplitude inicial ?Justifique com base nos seus conhecimentos físicos e nos resultados do seu experimento.

Não.

Na eq. do período observamos, , que o período esta relacionado somente a massa e a

constante elástica.Comprovamos na atividade 2 e 3. Onde a freqüência é similar .

6.3-A freqüência depende da massa do corpo preso a mola?Justifique com base nos seus conhecimentos físicos e nos resultados do seu experimento.

Sim, como já foi mostrado na questão 6.2, comprovamos na atividade 4, onde utilizamos uma massa de 10g, uma diminuição na freqüência.

6.4-Ao alterarmos a mola, estaremos alterando também a freqüência? Justifique com base nos seus conhecimentos físicos e nos resultados do seu experimento.

Sim, porque cada mola possui uma constante elástica. Observamos isso quando analisamos as freqüências da mola 1 e 2.

6.5-Diga,então ,quais são os parâmetros que influem na freqüência de oscilação do MHS.

Em um sistema massa-mola os parâmetros que influem a freqüência é a massa e a constante elástica.

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