Trabalho e energia fazem parte do estudo de dinâmica de uma partícula.

O conceito de energia pode ser considerado intuitivo. Não é algo que podemos tocar com as mãos, porém podemos sentir suas manifestações. Exemplos: sentimos calor quando a madeira é queimada; a água de uma cachoeira movimenta as turbinas de uma usina hidroelétrica; vemos a luz emitida pela chama de uma vela, etc.

Para avaliar quantitativamente a energia, devemos medir a transferência de energia de um corpo para outro, isto é, a transformação de uma forma de energia em outra.

Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

O significado da palavra trabalho, em

Física, é diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. Por exemplo: um homem que levanta um corpo até uma determinada altura realiza um trabalho. Já em Física, o trabalho que uma pessoa realiza ao sustentar um objeto numa certa altura sem se mover é nulo, pois não houve deslocamento.

Trabalho, em Física, é sempre relacionado a uma força e ao deslocamento por ela produzido, isto é, uma força aplicada a um corpo realiza trabalho quando produz um deslocamento do corpo.

O trabalho será dito motor quando for positivo e, resistente quando for negativo.

A unidade de trabalho no Sistema Internacional é o N . m, também chamado de joule, J.

Examinemos com detalhes quatro casos para força constante:

a) Primeiro caso: a força tem a mesma direção do deslocamento

Consideremos um corpo de massa m que, por causa de uma força F, horizontal e constante, se movimenta da posição A para a posição B, sofrendo um deslocamento d, conforme a figura acima. O trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo da posição A até B, será dado pela equação abaixo, onde W indica trabalho, F indica Força e d indica deslocamento, logo: Exemplo: Uma caixa desliza num plano horizontal sem atrito sob a ação de uma força F de intensidade 60N. Determine o trabalho dessa força em um deslocamento de 12m, no mesmo sentido da força. Solução: F = 60N e d = 12 m, aplicando a equação

dFW .= 12.60=W

mNW .720= JW 720=

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DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

TTRRAABBAALLHHOO EE EENNEERRGGIIAA

Trabalho de uma Força Constante

W = F . d

PPPProfessorrofessorrofessorrofessor: F: F: F: Fábio Costaábio Costaábio Costaábio Costa

b) Segundo caso: a força não tem a mesma direção do deslocamento.

Consideremos um corpo de massa m que, por causa de uma força F, horizontal e constante, se movimenta da posição A para a posição B, sofrendo um deslocamento d, conforme a figura acima. O trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo da posição A até B, será dado pela equação abaixo, onde W indica trabalho, F indica Força e d indica deslocamento, logo:

Lembre-se que neste caso é necessário decompor a força F nos eixos x e y, por isso teremos o aparecimento do termo θcos , pois haverá movimento somente no eixo x. Exemplo: Uma caixa é deslocada 10m pela força F = 50N, que forma um ângulo de 60º com horizontal. Determine o trabalho realizado pela força F no deslocamento. Solução: F = 50N; d = 10m; º60=θ e

5,0º60cos = , aplicando a equação

θcos..dFW = º60cos.10.50=W

5,0.500=W mNW .250=

JW 250= c) Terceiro caso: trabalho da força peso Consideremos um corpo de massa m lançado do solo, verticalmente para cima, e atingindo uma altura h ou abandonado da mesma altura em relação ao solo, num local onde a aceleração da gravidade é igual a g. Como o corpo fica sujeito à força peso (P = mg), ela realiza um trabalho resistente durante a subida e um trabalho motor durante a descida.

Subida Descida

mghW AB −=, mghW BA =,

Note que o trabalho da força peso independe da trajetória, isto é, depende somente das posições inicial e final do corpo. Forças com essa característica são chamadas forças conservativas. Exemplo: Um homem levanta uma caixa de massa 8kg a uma altura de 2m em relação ao solo, com velocidade constante. Sabendo que g = 10m/s2, determinar o módulo do trabalho realizado pela força peso. Solução: m = 8kg; h = 2m; g = 10m/s2. Aplicando a equação

mghW −=

2.10.8−=W mNW .160−=

JW 160−= Como foi solicitado o módulo, teremos

J160|| =W . d) Quarto caso: trabalho da força elástica Consideremos uma mola de constante elástica k, não distendida, com uma de suas extremidades fixa e a outra extremidade livre.

Ao aplicar uma força à mola, esta se distenderá por uma distância l , correspondendo à sua deformação. Assim, a força aplicada à mola será dada por:

l.k=F

W = F . d . cos θ

Compondo um gráfico de força aplicada (F) versus deformação da mola (x), é possível notar que pela definição de trabalho de uma força constante ( dFW .= (Trabalho é igual ao produto da força aplicada pelo deslocamento do corpo, lembre-se que o deslocamento será l )), o trabalho da força aplicada à mola será numericamente igual à área do gráfico.

A=W

2

.FW

l=

2

.. ll kW =

2

2

1lkW =

Exemplo: uma mola de constante elástica 4N/m é distendida por 10cm ao lhe aplicar uma força F. Qual é o trabalho da força elástica? Solução: devemos converter a elongação da mola de cm para metro, para isso é suficiente utilizar uma regra de três simples, logo

cm

cmm

10

1001

→

→

l

100

10=l

m1,0=l Aplicando a equação

2

2

1lkW =

2)1,0)(4(2

1=W

)01,0)(4(2

1=W

JW 02,0= O trabalho da força elástica será resistente se a mola estiver sendo contraída e motor de a mola estiver sofrendo uma elongação. Não será abordado o trabalho de forças não conservativas, isto é, de forças variáveis, pois para o

cálculo do mesmo é necessário conhecimento de integral definida. Potência Consideremos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas leva um tempo menos que a outra para a realização desse trabalho, tem de fazer um esforço maior, e portanto, dizemos que desenvolveu uma potência maior. No dia-a-dia, dizemos que um carro é mais potente que outro quando ele “arranca” mais rapidamente, isto é, atinge uma grande velocidade num intervalo de tempo menor. Uma máquina é caracterizada não pelo trabalho que efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em determinado tempo; daí a noção de potência. Utilizando otP para a potência média, W para

trabalho e t∆ para o intervalo de tempo, a expressão matemática para o cálculo da potência será dada por:

t

WPot

∆=

Efetuando as transformações dFW .= , e t

dvm

∆=

(definição de velocidade média), obtemos:

mot vFP .=

Onde Pot é a potência média, F é a força e vm é a velocidade média. Em particular, quando o intervalo de tempo gasto para a realização de um trabalho for muito pequeno ( 0→∆t ), surge a potência instantânea, dada por

vFPot .=

Onde Pot é a potência instantânea, F é a força e v é a velocidade instantânea. A unidade de potência no Sistema Internacional é o watt (W). Outras unidades regularmente utilizadas são cavalo-vapor (CV) e horse-power (HP) e podem ser relacionadas com watt da seguinte maneira:

WCV 7351 ≅

WHP 7461 ≅ O watt é uma unidade de potência muito pequena, por isso é comum expressar valores de potências grandes em quilowatts, logo

WkW 10001 = Os números 1.0, 1,3, 1.6, 1.8, 2.0, 125cc, 150cc, 250cc, etc, que representam a potência de um carro ou moto, indicam o deslocamento em volume,

efetuado pelos pistões, dentro dos cilindros do motor, isto é, indicam o trabalho realizado pelos pistões dentro dos cilindros. Exemplo: calcular a potência média desenvolvida por uma pessoa que eleva a 20m de altura, com velocidade constante, um corpo de massa 5kg em 10s. Utilize g = 10m/s2. Solução:

t

mgH

t

HP

t

dF

t

WPot

∆=

∆=

∆=

∆=

..

WPot 10010

20.10.5==

Rendimento Imaginemos uma máquina qualquer que deve realizar determinado trabalho; por exemplo, um trem elétrico. Para o trem elétrico funcionar, devemos fornecer a ele uma potência denominada potência elétrica ou potência total (Pt). Por outro lado, o trem desenvolve uma potência útil (Pu), que provoca o seu deslocamento. A potência útil é sempre menor que a potência total, pois uma parte da potência total é utilizada (perdida) para vencer as resistências passivas, representadas principalmente pelo atrito. A parcela da potência total que é perdida (dissipada) é denominada potência dissipada (Pd) ou potência perdida. Assim, a relação entre as potências é:

Pt = Pu + Pd Para qualificar uma máquina quanto à sua eficiência, definimos a grandeza rendimento ( )η como sendo o quociente entre a potência útil (o que se aproveita) e a potência total (o total recebido), logo

t

u

P

P=η

O rendimento é o quociente entre duas grandezas de mesma unidade, portanto, ele será adimensional, isto é, não terá unidade de medida, e poderá ser expresso em termos de porcentagem. Matematicamente, o rendimento será sempre maior ou igual a zero e menor que 1, 10 ≤≤ η . De modo análogo ao realizado para as potências, podemos relacionar os trabalhos em: trabalho total ou trabalho motor (Wt), trabalho útil (Wu) e trabalho dissipado (Wd), assim, teremos: Wt = Wu + Wd.

Exemplo: O rendimento de uma máquina é de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho de 1000J em 20s, determinar a potência total consumida pela máquina. Solução: o trabalho realizado pelo motor é útil, logo

Wt

WP u

u 5020

1000==

∆=

para o cálculo da potência total, temos

t

u

P

P=η

WPP ut 5,6250.8,0. === η

Dizemos que um sistema ou corpo tem energia quando tem a capacidade de realizar trabalho. A energia manifesta-se sob várias formas, segundo o agente que a produz: (a) energia mecânica – na queda dos corpos; (b) energia térmica – na máquina a vapor; (c) energia elétrica – na pilha. Em mecânica interessam-nos apenas a energia de movimento dos corpos, chamada energia cinética e a energia da posição ocupada pelos corpos, conhecida por energia potencial. Energia cinética A água que corre, o vento que sopra, um corpo que cai, a bala que sai da boca de um canhão, etc, têm energia, pois podem produzir trabalho quando encontram algum obstáculo. A água corrente pode acionar uma turbina; o vento impulsiona barcos à vela, faz girar moinhos; a bala de um canhão derruba prédios. Esse tipo de energia que os corpos têm devido ao movimento é denominado energia cinética. Suponha um corpo de massa m, inicialmente em repouso, sobre o qual passa a agir uma força de intensidade F durante um tempo t.

Após esse tempo a velocidade do corpo é v e o deslocamento é d. Da cinemática, podemos escrever:

atv = (equação 1)

Energia

2

2

1atd = (equação 2)

A energia adquirida pelo corpo é igual ao trabalho realizado pela força F, logo

WE = dFE .= (equação 3)

Da dinâmica, podemos escrever: amF .= (Equação 4)

Substituindo as equações 2 e 4 na equação 3

2

2

1.. atamE =

22..2

1tamE =

2).(.2

1atmE = (Equação 5)

Substituindo a equação 1 na equação 5

2..2

1vmE =

Finalmente obtemos a equação da energia cinética

2

2

1mvEC =

Esta é a equação da energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v e representa o trabalho realizado pela força F para aumentar a velocidade do corpo de zero até v. Como o trabalho é uma forma de energia, as unidades de energia são as mesmas das do trabalho (joule, J). Exemplo: Considere um corpo de massa 6kg, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal liso. No instante t = 0, passa a agir uma força F = 12N sobre o corpo, durante 10s. (a) Qual o trabalho realizado pela força F? (b) Qual a energia cinética do ponto material no instante 10s? Solução:

(a) Obtendo a aceleração aF m= a612 =

6

12=a

2/2 sma = Obtendo o deslocamento

200 2

1attvxx ++=

210.2.2

110.00 ++=x

mx 100=

Calculando o trabalho dFW .=

100.12=W mNW .1200=

JW 1200=

(b) Obtendo a velocidade atvv += 0

10.20 +=v smv /20=

Calculando a energia cinética

2

2

1mvEC =

220.6.2

1=CE

400.3=CE

JEC 1200=

Teorema do trabalho – energia cinética Consideremos um corpo de massa m que passa da velocidade v0 para a velocidade v sob a ação da força resultante F num deslocamento d.

Esta força produzirá no corpo uma aceleração a, de tal modo que pela equação de Torricelli teremos:

advv 220

2 +=

2

20

2 vvad

−= (Equação 1)

O trabalho da força F sobre o corpo é dado por: dFW .=

adW m= (Equação 2) Substituindo a equação 1 na equação 2, teremos:

−=

2

20

2 vvW m

22

20

2 vvW

mm−=

if CC EE −=W

CE∆=W

Onde 2

2vmE

fC = e 2

20vm

EiC =

Com isso, podemos dizer que o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre um corpo é igual à variação ad energia cinética desse corpo.

Exemplo: Um corpo de massa 2kg está em repouso sobre o plano horizontal liso. Aplicando-se uma força horizontal F, o corpo desloca-se 50m, adquirindo velocidade de 30m/s ao fim desse deslocamento. Determine o trabalho realizado pela força aplicada. Solução: Aplicando o teorema, teremos

CE∆=W

if CC EE −=W

22

20

2 vvW

mm−=

2

0.2

2

30.222

−=W

JW 900=

Energia Potencial Um corpo ou um sistema de corpos pode ter forças interiores capazes de modificar as posições relativas de suas diferentes partes, realizando assim um trabalho. Dizemos então, que o corpo ou o sistema de corpos tem energia potencial. Como exemplo, podemos citar a água contida em uma represa, a certa altura, que ao abrir-se às comportas, a água atraída pela gravidade coloca-se em movimento e cai, acionando a turbina de uma usina hidroelétrica e conseqüentemente realizando trabalho. Um outro exemplo é o de uma mola comprimida (ou esticada), tendo um corpo em uma de suas extremidades, que ao sofrer descompressão (retornar ao seu comprimento normal), fará o corpo se movimentar produzindo trabalho. Esse tipo de energia armazenada pelos corpos devido a suas posições é denominado energia potencial, que também é conhecida por energia de posição, devido à posição relativa que ocupam as diversas partes de um corpo ou do sistema. A energia potencial devida à gravidade é chamada energia potencial gravitacional e a energia potencial devida à mola é denominada energia potencial elástica. Energia Potencial Gravitacional Consideremos um corpo de massa m, sobre o solo, num local onde a aceleração da gravidade é g. O trabalho realizado por uma força F para elevar o corpo até uma altura h, com velocidade constante,

fica armazenado no corpo sob a forma de energia potencial gravitacional dada por:

hPW .= ghW m=

mghEgP =

Para o cálculo da energia potencial gravitacional adotamos o solo como nível de referência, isto é, nesse nível a energia potencial gravitacional é nula. Exemplo: um corpo de massa 5kg é abandonado de uma altura de 45m em relação ao solo. Adote g = 10m/s2 e calcule a energia potencial gravitacional. Solução:

mghEgP =

45.10.5=gPE

JEgP 2250=

Energia Potencial Elástica ( PelE )

A energia potencial é também denominada energia de posição, porque se deve à posição relativa que ocupavam as diversas partes do corpo ou do sistema. A energia potencial devida à gravidade é chamada de energia potencial gravitacional e aquela devida à mola é denominada energia potencial elástica. Neste caso, interessa-nos apenas a energia potencial elástica que corresponde à energia Consideremos uma mola de constante elástica k, não distendida, com uma de suas extremidades fixa e a outra extremidade livre. Ao aplicar uma força à mola, esta se distenderá por uma distância l , correspondendo à sua deformação. Assim, a força aplicada à mola será dada por l.k=F . Compondo um gráfico de força aplicada (F) versus deformação da mola (x), é possível notar que pela definição de trabalho de uma força constante ( dFW .= (Trabalho é igual ao produto da força aplicada pelo deslocamento do corpo, lembre-se que o deslocamento será l )), o trabalho da força aplicada à mola será numericamente igual à área do gráfico.

A=W

2

.FW

l=

2

.. ll kW =

2

2

1lkW =

Por definição, o trabalho realizado pela força F para vencer a resistência da mola é igual à energia transferida para a mola e que fica armazenada em forma de energia elástica, logo

PelEW =

2

2

1lkEPel =

Exemplo: Uma mola de constante elástica k = 400N/m é comprimida 5cm. Determinar sua energia potencial elástica. Solução: convertendo de centímetro para metro a elongação da mola, temos:

cmx

cmm

5

1001

→

→

5.1100 =x

100

5=x

mx 05,0=

JkEPel 5,0)05,0(.400.2

1

2

1 22 === l

Princípio da conservação de energia Qualquer movimento ou atividade é realizado através da transformação de um tipo de energia em outro, por exemplo, para uma pessoa correr, nadar ou levantar um objeto, sua energia é transformada em calor (energia térmica) e movimento (energia mecânica). Essa energia provém dos alimentos ingeridos e do ar que respiramos (energia química). Assim, é possível perceber que a energia não se cria nem se destrói, apenas se transforma de um tipo em outro, em quantidades iguais. E corresponde exatamente ao principio da conservação de energia. Em dinâmica, nos interessa apenas a energia mecânica do sistema, portanto, o princípio da conservação de energia pode ser enunciado da seguinte maneira: Em um sistema conservativo, isto é, no qual é desprezado o atrito e a resistência do ar, a energia mecânica total permanece constante. Matematicamente,

EM = EC + EP

Onde EM é a energia mecânica total, EC é a energia cinética e EP é a energia potencial (gravitacional ou elástica). Suponha que um corpo de massa m será abandonado de uma determinada altura em um ponto A e atingirá o solo num ponto B, pelo princípio da conservação de energia teremos que a energia mecânica no ponto A deverá ser igual à energia mecânica no ponto B, se desprezarmos a resistência do ar, para que o sistema seja conservativo. Exemplo: Um bloco de cimento de 5kg cai, a partir do repouso, do topo de um prédio em construção de uma altura de 45m. Considere g = 10m/s2 e encontre a velocidade do bloco ao atingir o solo. Solução: desprezando a resistência do ar, o sistema é conservativo, logo, a energia potencial do bloco em A vai diminuindo até se transformar totalmente em energia cinética no ponto B. No ponto A, a energia cinética é nula, pois o bloco cai a partir do repouso, conforme o bloco vai caindo, sua energia potencial vais e transformando em energia cinética, pois a altura até o chão vai diminuindo e o bloco vai aumentando a velocidade de queda., assim

BA MM EE =

BBAA PCPC EEEE +=+

BBAA mgHmvmgHmv +=+ 22

2

1

2

1

0.10.5.5.2

145.10.50.5.

2

1 22 +=+ Bv

2.5.2

12250 Bv=

2.54500 Bv=

5

45002 =Bv

9002 =Bv

900=Bv

smvB /30=

Considere uma pessoa dando uma tacada numa bola de bilhar. Neste caso, temos a ação de uma força entre o taco e a bola, num pequeno intervalo de tempo, que faz com que a bola seja impulsionada. Sempre que uma força agir em um corpo durante um certo intervalo de tempo, dizemos que o corpo recebeu um impulso. Para definirmos o impulso, consideremos uma força F agindo num corpo durante um intervalo de tempo ∆t.

O impulso I é dado por:

t∆= .FI . Por ser uma grandeza vetorial, o impulso terá três características: (a) intensidade: I = F . ∆t; (b) direção: mesma da força F; (c) sentido: o mesmo de F, pois ∆t é sempre positivo. No Sistema Internacional a unidade de impulso é: newton x segundo (N . s). Nos gráficos de força (F) versus intervalo de tempo (∆t) o impulso é numericamente igual a área abaixo da curva do gráfico e delimitada pelo eixo dos tempos.

A quantidade de movimento de um corpo também é conhecida por momento linear ou simplesmente momento do corpo. Na natureza um corpo em movimento pode transmitir, total ou parcialmente, seu movimento a outros corpos. Por exemplo: o vento empurra um barco a vela, um jogador de bilhar empurra o taco que bate na bola branca que, por sua vez, bate na vermelha, transmitindo velocidade a esta.

A pergunta é a seguinte: existem regras que permitem calcular a velocidade, a direção e o sentido do movimento de um corpo ao receber um impulso de outro corpo? Certamente existem, pois um jogador de futebol, ao bater um falta, sabe que a velocidade, a direção e o sentido do movimento que a bola irá adquirir dependem do chute, isto é, dependem do modo como se transmite o movimento a ela. Vamos, portanto, estudar a grandeza física que mede o movimento ou a quantidade de movimento de um corpo. Para isso considere os exemplos:

(a) É mais fácil parar uma bicicleta do que um caminhão em movimento quando possuem a mesma velocidade, porque o caminhão tem massa maior do que a bicicleta.

(b) Um projétil disparado por uma arma penetra com maior profundidade numa madeira do que se fosse lançado manualmente, porque possui velocidade maior.

Estes exemplos mostram a necessidade de definir uma nova grandeza física que relacione a massa de um corpo com a sua velocidade, para caracterizar o estado de movimento desse corpo. Essa grandeza física é denominada quantidade de movimento. Para definirmos a quantidade de movimento, consideremos um corpo de massa m e velocidade v.

A quantidade de movimento Q é igual ao produto da massa m pela velocidade v.

vQ .m= O vetor quantidade de movimento tem três características: (a) intensidade: vmQ .= ; (b) direção: a mesma de v; (c) sentido: o mesmo de v, pois m é sempre positivo. A unidade de quantidade de movimento no SI é:

s

mkg .

segundo

metroxquilograma .

Exemplo: Um corpo de massa 3kg está em repouso sobre um plano horizontal liso. Aplica-se sobre o corpo uma força constante, horizontal, que o desloca 10m em 5s. (a) Calcular a intensidade do impulso aplicado ao corpo nesse intervalo de tempo. (b) Achar a quantidade de movimento no instante 4s.

Impulso de uma Força

Quantidade de Movimento

Solução: (a) temos que m = 3kg, x = 10m e st 5=∆ , assim, precisamos encontrar a aceleração

para calcular a força, logo

200 2

1attvxx ++=

25.2

1.00 atx ++=

25.2

1ax =

ax 5,12= Como x = 10m, teremos

a5,1210 =

5,12

10=a

2/8,0 sma =

A força é dada por: amF .= 8,0.3=F

NF 4,2=

Portanto, o impulso será: tFI ∆= . 5.4,2=I

sNI .12=

(b) A velocidade em 4s é: atvv += 0

4.8,00 +=v

smv /2,3=

Assim, a quantidade de movimento será: vmQ .=

2,3.3=Q

smkgQ /.6,9= Teorema do Impulso Para o mesmo intervalo de tempo, o impulso da força resultante é igual à variação da quantidade de movimento. Consideremos um corpo de massa m sujeito à ação de uma força resultante constante FR.

Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, temos:

aF .mR =

−

−=

it

if

Rtt

mvv

F .

∆

−=

tm

if

R

vvF .

)(.. ifR mt vvF −=∆

ifR mmt vvF ... −=∆

Porém, t∆= .FI e vQ .m= , logo teremos

ifFRQQI −=

QI ∆= A última equação relaciona o Impulso (I) e a Variação da Quantidade de Movimento ( Q∆ ). Exemplo: Em um jogo de vôlei, ao bloquear uma cortada, um jogador devolve a bola ao campo adversário com a mesma velocidade com que ela atingiu seus pulsos. A massa da bola é de 250g, sua velocidade é de 20m/s e a duração do impacto é de 0,1s. Qual a força média que o jogador imprime à bola no bloqueio? Solução: devemos transformar a massa em kg, logo

kgg 25,01000

250250 == .

Aplicando o teorema do impulso teremos QI ∆=

ifFRQQI −=

ifR mmt vvF ... −=∆

20.25,0)20(.25,01,0. −−=F

551,0. −−=F

101,0. −=F

1,0

10−=F

NF 100−= Note que F tem sentido contrário ao adotado como positivo. Assim, N100|| =F . Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento Denomina-se sistema isolado de focas externas o sistema cuja resultante dessas forças é nula, atando nele somente as forças internas. Consideremos um sistema formado por dois corpos, A e B, que colidem.

No sistema, as forças decorrentes de agentes externos ao sistema são chamadas de forças externas, como, por exemplo, o peso P e a normal N. No sistema isolado, a resultante das forças externa é nula. Durante a interação, o corpo A exerce uma força F no corpo B e este exerce no corpo A uma força – F igual e de sentido oposto. As forças F e – F correspondem o par de forças de ação e reação exercidas mutuamente entre os corpos que compõem o sistema. São chamadas de forças internas. Na explosão de uma bomba, que se divide em fragmentos, no disparo de um projétil através de uma arma de fogo, no caminhar de um homem sobre um pequeno barco, no vôo de aviões e foguetes que queimam combustível e expelem jatos de gases a grande velocidade, nas colisões entre corpos, os sistemas são considerados isolados de forças externas, mesmo sem apresentar a resultante dessas forças nulas. É que nesses casos as forças são consideradas desprezíveis em comparação com as forças internas decorrentes das interações entre as componentes de cada sistema. Considerando um sistema isolado de forças externas ( 0=RF ), teremos:

QI ∆=

if QQI −=

if QQ −=0

if QQ =

Assim, é possível enunciar o princípio da conservação da quantidade de movimento da seguinte maneira: A quantidade de movimento de um sistema de corpos isolado de forças externas é constante. Este princípio é aplicado geralmente em explosões, disparos e choques, onde as forças internas são muito mais intensas que as externas. Exemplo: Um canhão de 800kg, montado sobre rodas e não freado, dispara um projétil de 6kg com velocidade inicial de 500m/s. Determinar a velocidade de recuo do canhão. Solução: o sistema de corpos (canhão + projétil) é isolado de forças externas. Antes do disparo, o sistema está em repouso, por isso, a quantidade de movimento inicial é nula. Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, o canhão deve recuar no sentido oposto ao movimento do projétil, logo

if QQ =

icanhãoprojétil QQQ =+

0.. =+ ccpp mm vv

0.800500.6 =+ cv

0.8003000 =+ cv

3000.800 −=cv

800

3000−=cv

smvc /75,3−=

Portanto, o módulo da velocidade de recuo do canhão é de 3,75m/s. Observe que a quantidade de movimento do projétil, em módulo, é igual à quantidade de movimento do canhão. Quando a resposta for negativa deverá ser dada sempre em módulo.