TORRE DE HANOI

Pergunta simples: que matemática extrair da Torre de Hanói?

Resposta rápida: função exponencial.

Veja como:

Regra do jogo: mudar todos os discos de uma aste para a outra, um por vez e nunca um

maior poderá ficar sobre o menor.

Depois de algumas tentativas não será difícil perceber a relação abaixo:

Número de peças Número de movimentos mínimos

0 0

1 1

2 3

3 7

4 15

Os alunos que jogam se dividi em dois grupos, os que querem terminar logo e os que

querem saber qual o próximo número mínimo de movimento. O Segundo grupo analisa

da seguinte forma: de zero para 1 aumentou 1, de 1 para 3 aumento 2, de 3 para 7

aumentou 4 e de 7 para 15 aumentou 8. Um, 2, 4, e 8... sempre o dobro, o próximo só

pode ser 16. Se o aluno pergunta ou afirma que é 31, na maioria das vezes ele entendeu

a sequência. Quando falamos em dobro estamos falando em duas vezes. Pode também

multiplicar por 2 e somar 1, 2 vezes zero mais 1, 2 vezes 1 mais 1, 2 vezes 3 mais 1, 2

vezes 7 mais 1 e 2 vezes 15 mais 1.

Outra pergunta que sempre surge: por que cresce tão rápido? É hora de aumentar o

número de colunas na tabela. Na terceira coluna será registrado o número de movimento

escrito de outra forma (registro), na forma de potência. E a base mais conveniente para

essa potência é a base 2. Lembrando que o próximo movimento foi encontrado

multiplicando por 2.

Número de peças Movimentos mínimos Outro registro

0 0

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

Os números não correspondem aos números de movimentos. O recurso mais comum é

diminuir 1 de todos, problema resolvido.

Número de peças Movimentos mínimos Potência

0 0

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

E para um número qualquer de peças, n peças...

Número de peças Movimentos mínimos Potência

0 0

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

n

Onde, 2 é a base que escolhemos para reescrever o número de movimentos, a potência

é o número de peças e o -1 é a maneira pra tudo dar certo.

Construindo um gráfico com o eixo x sendo o número de peças e o eixo y o número

mínimo de movimento, fica:

Desafio, descobrir o número de movimentos para 64 peças, onde calcular, leitura desse

número etc.