Universidade Federal Fluminense

Especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Informática Educativa I

VANDERLÉIA DE ARAUJO ZÁVOLI

Cibercultura e Projeto em Informática Educativa: A Torre de Hanói

NOVA FRIBURGO/2014

INTRODUÇÃO

Atividade Inicial: Conversar com a turma sobre o tema e observar até

onde se estende o conhecimento deles, promover um diálogo que eles possam

expressar-se o que de fato eles sabem. Para estimular a participação dos

alunos podem-se fazer perguntas do tipo. Vocês conhecem a história da Torre

de Hanói? Sabem como jogar?

Pedir aos alunos que façam uma pesquisa a respeito da história do jogo

Torre de Hanói. Após a entrega da pesquisa, ouvir as contribuições dos alunos

a respeito da pesquisa realizada. Propor aos alunos o “Desafio Torre de

Hanói”. Pedir que joguem em dupla ou sozinho o jogo a Torre de Hanói em

casa ou na escola.

Desenvolvimento

Para a atividade “Desafio Torre de Hanói”, solicitar aos alunos que

formem duplas. Explicar aos alunos que o desafio consiste em transferir os

discos (que devem estar inicialmente empilhados em um dos pinos, em ordem

decrescente de tamanho, com o maior deles na base e o menor no topo) para

qualquer um dos outros dois pinos livres, no menor número de movimentos

Enquanto os alunos desenvolvem a atividade, orientá-los a anotar os

movimentos que realizam. Os alunos poderão jogar on-line e farão um relatório

respondendo as seguintes questões:

Qual a relação entre o número de discos e o número de jogadas?

O número de jogadas está em função do número de discos?

Qual o número de movimentos que serão realizados para os monges

mudarem todos os 64 discos?

Quanto tempo os monges levarão para mudar os 64 discos, supondo que

os monges gastem um segundo para mudar cada disco?

Entrar no Blogger criado pelo professor de Matemática.

blogger-vanderleia-matematica.webnode.com ou em outro blog também criado

pelo professor http://matematicadivertidaovanderleia.blogspot.com.br/

Sequência Didática:

Acessar o jogo clicando no link http://jogosonline.uol.com.br/torre-de-

hanoi_1877

Verificar e conhecer o jogo socializando o conhecimento;

Dividir o grupo em subgrupo: pesquisadores, coordenador, aluno blogueiro.

Movimentar os discos, movendo um de cada vez, sendo que um disco maior

nunca pode ficar em cima de um disco menor.

Atividade Final

Após a execução do desafio, conversar com os alunos a respeito das

dificuldades encontradas em realizar a atividade. Aproveitar o momento para

discutir a respeito das estratégias utilizadas na execução do desafio. O projeto

desenvolvido pelos alunos na busca e construção do conhecimento

pressupõem metodologias específicas: perguntas, observações, hipóteses,

verificações experimentais e deduções para alcançar a solução dos problemas

e dos questionamentos.

O jogo das Torres de Hanói para estudar o tema e chegar a um

procedimento dedutivo ao determinar a relação entre o número de discos e o

número mínimo de movimentos necessários para resolver o problema.

A tabela abaixo apresenta o número de movimentos necessários para

resolver o problema de acordo com diversos valores do parâmetro n (número

de discos).

Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o

último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma

torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A sucessão

formada pela soma dos movimentos é uma sucessão (1,2,4,8...2n)

A fórmula 2n − 1 é provinda da soma de uma progressão geométrica.

Sabe-se que em uma progressão geométrica a soma de seus termos equivale

a [a * (qn − 1)] / q − 1, onde "a" é o primeiro termo e "q" é a razão.

Já que a razão é 2 e o primeiro termo é 1 temos que [a * (qn − 1)] / q − 1 = [1 *

(2n − 1)] / 2 − 1 = 2n − 1

Resumo da execução do projeto:

A tarefa será apresentada aos alunos, pelo professor, através da

confecção do jogo, com isopor ou madeira servindo de base e um total de cinco

discos com furo no centro, cada um com um diâmetro diferente do outro. A

colocação de três pinos à base, onde servirão como encaixes para os discos. A

introdução será feita por algum aluno escolhido, fazendo a leitura do texto onde

é contada a lenda do surgimento do jogo. Caberá ao professor utilizando-se do

material que representa o jogo, realizar jogadas com o intuito de instruir os

alunos quanto às regras do jogo (utilizando-se de três discos). Após a

demonstração do professor e com a apresentação das regras já realizadas e

todas as dúvidas possíveis explicadas, o professor pedirá a execução da tarefa

em casa, sugerindo aos alunos a reserva de um tempo de cerca de cinco horas

entre a aula presente e aula de entrega do trabalho concluído. A elaboração de

um relatório será pedida de forma a constarem em tal avaliação o registro da

quantidade de movimentos realizados com a verificação de 3, 4, 5, 6, 7e 8

discos. Esses movimentos serão colocados numa tabela onde constarão 3

colunas: número de discos (n), número de movimentos e potências de base 2.

Após a confecção da tabela, previamente orientada pelo professor, os alunos

procurarão responder algumas perguntas norteadoras (vide em avaliação) e

tentarão respondê-las e ao final a montagem da lei de tal função exponencial.

O relatório será entregue na aula imediatamente após aquela aula onde foi

exigida a tarefa.

Avaliação

Os alunos serão avaliados através dos e-mails e blogs enviados ao

professor relatando o número de movimentos e através de registros das

seguintes questões:

Qual a relação entre o número de discos e o número de jogadas?

O número de jogadas está em função do número de discos?

Qual o número de movimentos que serão realizados para os monges

mudarem todos os 64 discos?

Quanto tempo os monges levarão para mudar os 64 discos, supondo que

os monges gastem um segundo para mudar cada disco?

Da mesma forma, observamos que progressões geométricas podem ser

vistas como restrições de funções exponenciais em que o domínio é o conjunto

dos números naturais. Assim, é pertinente olhar este experimento como uma

motivação para abordar características e comportamentos de gráficos de

funções exponenciais.

Conclusão

A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um

procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e

principalmente de planejamento e solução de problemas. É importante

ressaltar, ainda, que quando se fala em jogos em sala de aula, além de

exigirmos professores reflexivos, também temos que ter alunos que participem

ativamente do processo ensino-aprendizagem, questionadores e motivados.

O ensino por meio dos jogos deve acontecer de forma a auxiliar no

ensino do conteúdo, propiciando a aquisição de habilidades e o

desenvolvimento operatório, ou seja, ele pode ser utilizado em um determinado

contexto como construtor de conceitos ou também como uma aplicação ou

fixação de conceitos, mas isso dependerá com que finalidade o professor trará

o jogo como recurso a ser utilizado.

Pode-se destacar a utilização de jogos para aplicação de algum conceito

matemático, para enunciar um conceito, para diagnosticar algumas dificuldades

ou, ainda, trabalhar com jogos para tentar acabar com algumas dificuldades

encontradas pelos alunos.

O jogo Torre de Hanói foi escolhido para ser trabalhado, juntamente com

o conceito de função exponencial, por permitir a retomada da discussão do

conceito de função exponencial e devido às dificuldades encontradas por quem

ensina e quem aprende.

A partir da análise das respostas dos alunos aos questionamentos

realizados durante a aplicação das atividades, pode-se concluir que o uso do

jogo Torre de Hanói contribui para a percepção do aluno em relação às

generalizações e buscas de regularidades. O uso de jogos nas aulas de

Matemática contribui para o ensino e aprendizagem da Matemática, na medida

em que permite ao aluno se portar de forma ativa na construção de seu

conhecimento. Dessa maneira é através de estratégias de ensino que possam

melhorar suas aulas usando os recursos tecnológicos que já existem na escola,

mas levando sempre em consideração que essas tecnologias jamais podem

ser utilizadas em substituição ao professor, de maneira geral suas práticas

precisam sempre ter o objetivo de incentivar e provocar o aluno a identificar

problemas e propor soluções e não somente aprender a operar programas de

computador ou navegar na internet, é necessário que se busque construir uma

prática pedagógica que dê possibilidades e estímulos à criatividade.

Referências Bibliográficas

blogger-vanderleia-matematica.webnode.com

http://matematicadivertidaovanderleia.blogspot.com.br/

http://www.somatematica.com.br/jogos/hanoi/.

http://jogosonline.uol.com.br/torre-de-hanoi_1877

MACHADO, Nilson José. Matemática e Educação: Alegorias e Temas Afins.

Cortez, São Paulo, 2001.

ANEXOS

As figuras a seguir ilustram a solução, apresentando sequência de movimentos

efetuados, considerando um jogo com 3 discos (n = 3):

PASSO 1

: Os movimentos 1, 2 e 3 mostram a transferência de n-1 discos do “pino

origem” para o “pino de trabalho”. Neste caso, “pino destino” atua como

auxiliar.

Movimento 1

: Origem->Destino

Figura 2.

Movimento 2:

Origem->Trabalho

Figura 3.

Movimento 3

: Destino->Trabalho

Figura 4.

PASSO 2

: O movimento 4 mostra a transferência do maior disco do “pino origem” para o

“pino destino”

Movimento 4

: Origem->Destino

Figura 5.

PASSO 3

: Por fim, os movimentos 5, 6 e 7 ilustram a transferência dos n-1 discos do

“pino de trabalho” para o “pino destino”. Veja que, desta vez, o “pino de origem”

é que atua como área de armazenamento auxiliar.

Movimento 5

: Trabalho->Origem

Figura 6.

Movimento 6

: Trabalho->Destino

Figura 7.

Movimento 7

:

Um pouco de História ( A Torre de Hanói)

A Torre de Hanói é um quebra-cabeça que consiste em uma base

contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre

os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema

consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando

um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em

cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar

sendo que o mais simples contém apenas três.

A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um

procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e

principalmente de planejamento e solução de problemas.

Edouard Lucas teve inspiração de uma lenda para construir o jogo

das Torres de Hanói. Já seu nome foi inspirado na torre símbolo da cidade de

Hanói, no Vietnã.

Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais

conhecida diz respeito a um templo Hindu, situado no centro do universo. Diz-

se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e

mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma ordenara-lhes

que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas

instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por

vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor.

Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca

para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Hanoi

Clique aqui para jogar

http://www.gameson.com.br/Jogos-Online/ClassicoPuzzle/Torre-de-Hanoi.html

Fotos dos alunos no Laboratório de Informática