teste de compacoes de medias

7/25/2019 TESTE DE COMPACOES DE MEDIAS

1/13

44

6.

ESTUDO DAS MDIAS - COMPARAES MLTIPLAS

Quando o resultado do teste de F da Anlise de Varincia significativo, existemevidncias para a no aceitao de H0como verdadeira, ao nvel % de probabilidade, isto , se

aceita a existncia de efeitos diferenciados para, pelo menos dois tratamentos. O prximo passo

ser a identificao das diferenas existentes entre os tratamentos. Este estudo ser feito atravs

das mdias dos tratamentos obtidas nos experimentos.

Os estudos sobre as mdias dos tratamentos levam em conta o tipo de fator que est

sendo estudado: se o fator em estudo no experimento uma varivel qualitativa (variedades,

tipos de adubos, diferentes dietas alimentares) o procedimento apropriado o das comparaes

entre as mdias dos tratamentos atravs de testes de comparaes mltiplas. Sendo uma varivel

quantitativa (doses de adubo, espaamentos, nveis de irrigao, pocas de amostragem), utiliza-

se a anlise de regresso para o estudo do efeito dos tratamentos na varivel resposta.

6.1 Contrastes de Mdias

Uma comparao entre mdias de tratamentos denominada contraste quando puder ser

expressa por uma funo linear destas mdias:

Y1= c1y1+ c2y2+ + cIyI

em que =i

iicr 0 , sendo ri o nmero de repeties do tratamento i. Se os tratamentos tm o

mesmo nmero de repeties J, a condio 0=i

ic .

Exemplo 6.1

Seja um experimento Inteiramente Casualizado com 4 tratamentos e 5 repeties. OQuadrado Mdio do Erro foi igual a 0,8654 e as mdias observadas para as produes emkg/parcela so apresentadas na tabela 6.1.

Tabela 6.1 Produes Mdias (kg/parcela) para trs tipos de adubos e uma testemunha(dados fictcios).

TRATAMENTOS MDIASNitrato de Clcio dose 1 18Nitrato de Clcio dose 2 22Sulfato de Amnio 29Testemunha 15


2/13

45

Como exemplo de comparaes de mdias, pode-se pensar em, entre outras:

1 A produo dos tratamentos com adubo comparada com a produo da testemunha;

2 A produo do Nitrato de Clcio na Dose 1 comparada com a produo da Dose 2 de

Nitroclcio

Os contrastes correspondentes so:

4321

1 3 mmmm

Y ++

=

212 mmY =

Como os tratamentos tm o mesmo nmero de repeties, basta Verificar que a soma dos

coeficientes nula:

Para Y1-> 1/3 + 1/3 +1/3 -1 = 0

Para Y2-> 1 -1 = 0Para estimar o valor do contraste, basta substituir cada mdia pelo valor obtido no

experimento:

153

2922181

++=Y = 8 kg/parcela

22182 =Y = - 4 kg/parcela

E o que representam estas diferenas? O valor estimado para Y1(8 kg/parcela), significa

que a mdia das plantas que receberam algum dos adubos foi maior que a mdia das plantas queno receberam adubo? E para a segunda comparao a produo com a dosagem 1 de

Nitroclcio foi menor que produo com a dosagem 2? Pode-se concluir sobre os efeitos dos

tratamentos tomando por base apenas estas diferenas?

Como existe um erro associado a toda estimativa obtida nos experimentos, a deciso

dever considerar no s o valor do contraste, mas tambm o erro associado. Para isto dever ser

realizado um teste estatstico apropriado para a hiptese de que o contraste igual zero ou que

no existe diferena entre as mdias dos dois grupos que esto sendo comparados.

Para a comparao 1-> H0: Y1= 0 ou 4321

3 m

mmm=

++

Para a comparao 2 -> H0: Y2= 0 ou 21 mm =


3/13

46

6.2

Testes de Contrastes Envolvendo Mais de Dois Tratamentos

Em alguns estudos, a natureza dos tratamentos permite a composio de grupos de

tratamentos similares e o interesse maior poder estar na comparao entre estes grupos.

No Exemplo 6.1, suponha que houvesse interesse em comparar o efeito do Nitrato de

Clcio com o efeito do Sulfato de Amnio. O contraste correspondente deve considerar de umlado da equao todos os tratamentos com Nitrato de Clcio e, de outro lado, todos os

tratamentos com Sulfato de Amnio:

Comparao -> Nitrato de Clcio (dose 1) e Nitrato de Clcio (dose 2) versus Sulfato de

Amnio.

Contraste -> 321

3 2 m

mmY

+=

6.2.1 Teste de Scheff

O teste de Scheff pode ser empregado para testar qualquer tipo de contraste no sendo,

no entanto, recomendado para testar contraste de duas mdias por ser muito pouco conservador.

A DMS para o teste de Scheff dada por:

sendo I o nmero de tratamentos; %F o valor de tabela para F ( % , GL de tratamentos, GL do

Erro Experimental); J o nmero de repeties e c i os coeficientes das mdias no contraste. O

procedimento consiste em comparar o valor estimado para o contraste com a DMS e se

DMSY > o teste significativo ao nvel de % de probabilidade.

Para a comparao entre Nitrato de Clcio e Sulfato de Amnio, tem-se que

0,1192

22183

=+

=Y kg/parcela. Com 4 tratamentos e 16 graus de liberdade para o erro

experimental (QMErro = 0,8654):

DMS = ])1()2/1()2/1)[(8654,0)(5/1)(24,3)(14( 222 ++ = 1,6 kg/parcela

]))(/1()1[( 2% = icQMErroJFIDMS


4/13

47

e o resultado do teste de Scheff no significativo pois o valor absoluto de Y menor que o

valor da DMS. Este resultado indica que a mdia de produo dos tratamentos que receberam

Nitroclcio no diferiu da mdia de produo do tratamento que recebeu Sulfato de Amnio.

6.3 Testes das Comparaes das Mdias Duas a Duas

Na maioria dos experimentos, o interesse est em comparar as mdias de todos os

tratamentos entre si. So formulados todos os possveis contrastes entre as mdias, tomadas duas

a duas, e testa-se cada um deles. Para cada teste, as hipteses so:

H0 : As duas mdias no diferem entre si ( H0 : mi = mj ).

Ha : As duas mdias so diferentes (Ha : mi # mj )

Geralmente o nvel de significncia tomado como 5% e a estimativa do contraste (Y)

ser comparada com um valor referncia denominado diferena mnima significativa (DMS). A

regra de deciso a de que se o valor do contraste for maior que a DMS, o teste ser

significativo.

Existem diferentes proposies para o valor referncia, mas em geral a DMS dada por:

DMS = )(YVAR

sendo funo de uma distribuio de probabilidades e Var(Y) a varincia do contraste. Para

o contraste entre duas mdias, A com r1 repeties e B com r2, a varincia do contraste

2

21

11

+

rr. Tomando o Quadrado Mdio do Erro como estimativa de 2 , a estimativa da

varincia do contraste de duas mdias : QMERROrr

YarV

+=

21

11)( . Se os tratamentos tm o

mesmo nmero de repeties J, a estimativa da varincia : QMERROJ

YarV

=

2)( .

6.3.1 Teste de Tukey

um teste de comparao mltipla entre todas as mdias dos tratamentos tomadas duas a

duas. A DMS para o teste de Tukey dada por:

)(2

1),( YarVqDMS vi=


5/13

48

onde q(I, v) a amplitude total estudentizada para uso no teste de Tukey ao nvel de % de

probabilidade para I tratamentos e v graus de liberdade do Erro Experimental. Se os tratamentos

tm o mesmo nmero de repeties (J), a DMS :

J

QMErroqDMS gleRROi ),(=

O roteiro para a aplicao do teste de Tukey :

Passo 1. Clculo da DMS (Diferena Mnima Significativa);

Passo 2. Ordenar as mdias (ordem decrescente) e colocar uma letra qualquer para aprimeira mdia. Esta ser a primeira mdia base.

Passo 3. Subtrair a DMS da mdia base, obtendo o intervalo: [(mdia base); (mdia base DMS)]. Toda mdia contida neste intervalo recebe uma mesma letra. A primeiramdia fora do intervalo recebe uma letra diferente.

Passo 4. Mudar a base para a prxima mdia (sem saltar nenhuma) e repetir o Passo 3 atque a base seja a ltima mdia ou o intervalo contenha a ltima mdia.

Obs.: Com as devidas alteraes, o algortmo se aplica, anlogamente, para o testetomando-se as mdias em ordem crescente.

EXEMPLO 6.2

A Tabela 6.2 apresenta as produes, em Kg/parcela, de seis cultivares de arroz:

A Prato; B Dourado Precoce; C Prola; D Batatais; E IAC-4 e F IAC-9. A anlise devarincia esta apresentada na Tabela 6.3.

Tabela 6.2 Produes, em Kg/parcela, obtidas de Seis Cultivares de Arroz.Tratamentos

Repeties A B C D E F

I 2,6 2,8 2,4 1,3 1,0 3,3

II 1,6 1,8 2,7 1,1 1,8 2,8

III 1,4 1,8 2,1 1,3 1,2 2,3

IV 2,4 3,0 2,4 1,4 0,8 2,6

V 2,0 2,4 3,1 1,7 1,9 2,8

Totais 10,0 11,8 12,7 6,8 6,7 13,8

Tabela 6.3 Anlise de Varincia para as Produes das Cultivares de Arroz.Fontes de Variao GL SQ QM Fc

Entre Cultivares 5 9,11 1,82 9,58 **

Erro Experimental 24 4,52 0,19

Total 29 13,63** significativo ao nvel de 1% de probabilidade


6/13

49

A aplicao do teste de Tukey, utilizando o algortmo descrito :

1Passo: DMS = q(6,24) .5

19,0 = 4,37 x 0,194936 DMS = 0,8

2Passo:

F 2,8 a

C 2,5

B 2,4

A 2,0

D 1,4

E 1,3

3

Passo 1 : 2,8 - 0,8 = 2,0 Intervalo: [ 2,0 ; 2,8 ]F 2,8 a

C 2,5 a

B 2,4 a

A 2,0 a

D 1,4 b

E 1,3

3Passo 2 : 2,5 - 0,8 = 1,7 Intervalo: [ 1,7 ; 2,5 ]

NO ALTERA

3Passo 3 : 2,4 - 0,8 = 1,6 Intervalo: [ 1,6 ; 2,4 ]

NO ALTERA

3Passo 4 : 2,0 - 0,8 = 1,2 Intervalo: [ 1,2 ; 2,0 ]F 2,8 a

C 2,5 a

B 2,4 a

A 2,0 a b

D 1,4 b

E 1,3 b

3Passo 5 : Embora a base ainda seja a mdia 2,0, no necessrio continuar oprocesso pois a ltima mdia j est contida no intervalo calculadoe os prximos clculos no iro alterar estas letras. O resultadofinal esta apresentado na Tabela 6.4.


7/13

50

Tabela 6.4 Produes Mdias (Kg/parcela) para Seis Cultivares de Arroz.Cultivares Produes Mdias

Prato 2,0 ab

Dourado Precoce 2,4 a

Prola 2,5 a

Batatis 1,4 b

IAC-4 1,3 bIAC-9 2,8 a

As mdias seguidas da mesma letra, no diferem entre si pelo Teste de Tukey, ao nvel de 5% de probabilidade.

6.3.2 Teste de Newman-Keuls

Este um outro teste para contrastes entre duas mdias de tratamentos. O algortmo para

este teste :

1

Passo: Calcular todas as DMS (a quantidade de DMS igual ao nmero de graus deliberdade para tratamentos) atravs de DMS = q(n,GL)

J

QMerro, para n variando

de 2 a I e q(n,GL) o valor da amplitude total estudentizada.

2Passo: Tomar as mdias em ordem decrescente e colocar uma letra para a mdia maior.Esta ser a primeira mdia base.

3Passo: Calcular a diferena entre a mdia base e a ltima mdia, comparando este valorcom a respectiva DMSn (n = nmero de mdias abrangidas pela comparao). Sea diferena for maior que a DMS, repete-se este passo, tomando a mdia anteriorat obter uma diferena menor ou igual a DMS ou at quando sejam tomadas

todas as mdias.Se a diferena for menor ou igual DMSn , todas as mdias entre a mdia base e amedia de comparao inclusive, recebem uma mesma letra. A primeira mdiadiferente da mdia base recebe uma letra diferente.

4Passo: Muda-se a base para a prxima mdia e repete-se o passo 3 at que a mdia baseseja a ltima.

Para o Exemplo 6.2, tem-se:

1Passo: DMS2 = q(2,24) 519,0 = 2,92 x 0,194936 DMS2 = 0,6

DMS3 = q(3,24)5

19,0 = 3,53 x 0,194936 DMS2 = 0,7

DMS4= q(4,24)5

19,0 = 3,90 x 0,194936 DMS2 = 0,8


8/13

51

DMS5 = q(5,24)5

19,0 = 4,17 x 0,194936 DMS2 = 0,8

DMS6 = q(6,24)5

19,0 = 4,37 x 0,194936 DMS2 = 0,8

2Passo:F 2,8 aC 2,5B 2,4A 2,0D 1,4E 1,3

3Passo-1: 2,8 1,3 = 1,5 > 0,8 ( DMS6 )2,8 1,4 = 1,4 > 0,8 ( DMS5 )2,8 2,0 = 0,8 = 0,8 ( DMS4 )

F 2,8 a

C 2,5 aB 2,4 aA 2,0 aD 1,4 bE 1,3

3Passo-2: 2,5 1,3 = 1,2 > 0,8 ( DMS5 )2,5 1,4 = 1,1 > 0,8 ( DMS4 )

3Passo-3: 2,4 1,3 = 1,1 > 0,8 ( DMS4 )2,4 1,4 = 1,0 > 0,7 ( DMS3 )

3Passo-4: 2,0 1,3 = 1,7 = 0,7 ( DMS3 )

F 2,8 aC 2,5 aB 2,4 aA 2,0 abD 1,4 bE 1,3 b

O teste de Tukey menos conservador que o teste de Newman-Keuls. Isto significa que

mais fcil detectar diferenas significativas com o teste de N-K. Existem outros testes para

contrastes entre duas mdias com diferentes nveis de rigorosidade. A escolha de um teste de

mdias deve considerar a rea e o tipo de dado normalmente encontrado em experimentos nesta

rea. Para condies que apresentam uma variabilidade inerente alta recomendvel a utilizao

de testes menos rigorosos.


9/13

52

6.4 Contrastes Ortogonais

Dois contrastes Ya = a1m1+ a2m2 + ... + aImI e Yb = b1m1+ b2m2+ ... + bImI so

ortogonais se riaibi = 0 ou aibi= 0 (caso de mesmo nmero de repeties). O nmero

mximo de contrastes ortogonais para um grupo I tratamentos I -1. Assim, para um

experimento com 4 tratamentos, pode-se compor grupos com 3 contrastes mutuamente

ortogonais. Para o exemplo 6.1 um possvel grupo de comparaes de interesse prtico seria:

1 - Testemunha comparada com os outros;

2 - Nitroclcio comparado com Sulfato de Amnio;

3 - Dose 1 de Nitroclcio comparada com Dose 2.

Os contrastes correspondentes so:

432113mmmmY ++=

3212 2mmmY +=

213 mmY =

Pode-se verificar que estes contrastes so ortogonais entre si, fazendo:

1 e 2 : (1x1)+(1x1)+(1x(-2))+(-3x0) = 0

1 e 3: (1x1)+(1x(-1))+(1x0)+(-3x0) = 0

2 e 3: (1x1)+(1x(-1))+(-2x0) = 0

EXEMPLO 6.3

Em um experimento foram testadas diferentes fontes de Nitrognio na cultura de repolho.As produes em Kg por parcela de 100 m2 so apresentadas na Tabela 6.5 e a Anlise deVarincia na Tabela 6.6.

Tabela 6.5. Produes (Kg/100m2) de Repolho para Diferentes Fontes de Nitrognio.REPETIES

Tratamentos I II III Totais MdiasNitroclcio (Dose 1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2Nitroclcio (Dose 2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8Sulfato de Amnia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0

Uria 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3

Tabela 6.6. Anlise de Varincia para as Produes de Repolho (g/100m2).Fontes de Variao GL SQ QM FcFontes de Nitrognio 4 3.203,02 800,76 26,24 **Erro Experimental 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17** significativo ao nvel de 1% de probabilidade


10/13

53

Observando-se os tratamentos, podem-se formar alguns grupos e procurar compar-los.

Por exemplo:

1. comparao dos tratamentos com N com a testemunha;

2. comparao da fonte Nitroclcio (doses 1 e 2) com as outras duas fontes;

3. comparao entre as dus doses de Nitroclcio;

4. comparao entre Sulfato de Amnio e Uria.

Os contrastes e as hipteses correspondentes so:

54321

1 4 mmmmm

Y +++

= ; H01 : 54321

4 mmmmm

=+++

; Ha1 : 54321

4 mmmmm

+++

224321

2

mmmmY

+

+= ; H02:

224321 mmmm +

=+

; Ha2:22

4321 mmmm +

+

213 mmY = ; H03: 21 mm = ; Ha3: 21 mm

434 mmY = ; H04: 43 mm = ; Ha4: 43 mm

Como so contrastes mutuamente ortogonais, pode-se usar o F da anlise de varincia

para test-los. Esta tcnica comumente designada como decomposio da Soma de Quadrados

de Tratamentos.

6.5 Decomposio da SQ Tratamentos

O teste de F da Anlise de Varincia pode ser usado para grupos de contrastes de mdias

desde que o conjunto de contrastes seja ortogonal e previamente estabelecido (com base naestrutura dos tratamentos).

Os valores estimados para os contrastes anteriores referentes ao Exemplo 6.3 so:

Para Y1-> (71,2 + 75,8 + 68,0 + 83,1)/4 40,3 = 34,225Para Y2-> (71,2 + 75,8)/2 (68,0 + 83,1)/2 = - 2,05Para Y3-> 71,2 - 75,8 = - 4,6Para Y4-> 68,0 - 83,1 = - 15,1

A cada contraste corresponde um grau de liberdade e a Soma de Quadrados relativa ao

contraste de mdias calculada por SQY = Jc

Y

i

i2

2)( onde J o nmero de repeties e c i

representa o coeficiente da mdia do tratamento i.

Para o exemplo, as somas de quadrados dos contrastes so:

SQY1= 3])1()4/1()4/1()4/1()4/1[(

)225,34(22222

2

++++= 2.811,24


11/13

54

SQY2 = 31

)1,2( 2 = 12,61

SQY3 = 32

)6,4( 2 = 31,74

SQY4 = 32

)1,15( 2= 342,02

A soma das somas de quadrados dos contrastes igual soma de quadrados de

tratamentos desde que o conjunto de contrastes ortogonais tenha uma quantidade igual ao

nmero de graus de liberdade para tratamentos.

Para a aplicao do teste de F, usa-se o quadro da Anlise de Varincia. Por simples

inspeo do resultado do teste de F e considerando o valor estimado para os contrastes, pode-se

responder s comparaes feitas.

Tabela 6.7. Anlise de Varincia para as Produes de Repolho com

Decomposio da SQ Tratamentos em Contrastes de Mdias.

Fontes de Variao GL SQ QM Fc

Tratamentos (4) 3.203,02 )

Testemunha versus Outros 1 2.811,24 2.811,24 92,11**

Nitroclcio versus Outras Fontes 1 12,61 12,61


12/13

55

COMPARAES MLTIPLAS

CONTRASTES

Contrastes entre mdias de tratamentos: Y = c1m1+ c2m2+ ... + cImI com =i

iirc 0

Estimativa da Varincia do contraste: =i i

i QMError

cYarV

2

)(

Mesmo nmero de repeties (J): =i

icJ

QMErroYarV

2)(

Caso de 2 mdias: QMErrorr

YarV )11

()(21

+=

Caso de 2 mdias e r1= r2= J: QMErro

J

YarV2

)( =

Contrastes Ortogonais: Cov(Ya,Yb) =0 = 0iii rba

Mesmo nmero de repeties: = 0iiba

HIPTESES A SEREM TESTADAS

Um contrastes qualquer: H0: 0=Y

Entre duas mdiasde tratamentos: H0: i = j

Entre todas as mdias dos tratamentos, 2 a 2: H0: i = j para todo i j .

CONTRASTES COM MAIS DE 2 MDIAS DE TRATAMENTOS

Qualquer tipo de contraste: SCHEFF (1953)

dms = )()1(2

i i

i

r

cQMerroFI

Caso balanceado: dms = )()1( 2

i

icQMerroFI

Contrastes previamente planejados teste de t

dms = )(,2/ YarVt GLErro


13/13

56

CONTRASTES DAS MDIAS DOS TRATAMENTOS 2 A 2

t (LSD)

dms = )/1/1(,2/ jiIN rrQMERROt + Caso Balanceado: dms = tJ

QMERRO2

DUNCAN (1955)

dms = Dnd

QMERROd =

i ir

I

1 Caso Balanceado: d = J

SNK (1939/1952/...)

dms = qn

d

QMERRO d =

i ir

I

1

Caso Balanceado: d = J

TUKEY (1953)

dms = qI,GLERROd

QMERRO d =

i ir

I

1 Caso Balanceado: d = J

PODER

t DUNCAN SNK SCOTT-KNOTT TUKEY BONFERRONI SCHEFF

RIGOROSIDADE

DUNNETT dms = d )11

(ci rr

QMERRO +

teste de compacoes de medias

Documents