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Aula 10 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Teoria dos Jogos

Prof. Maurício Bugarin Eco/UnB 2014-I


Roteiro

•  Capítulo 2: Jogos dinâmicos com informação completa 1. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita 2. Jogos Dinâmicos com Informação Completa mas imperfeita

Informação imperfeita: Não observabilidade e Natureza Utilidade esperada e Equilibrio de Nash Exemplos Estratégias mistas comportamentais e o Teorema de Kuhn A riqueza do conceito de perfeição em subjogos Exemplos

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2. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Imperfeita

Definição: Equilíbrio de Nash

Um perfil de estratégias s=(s1, s2,..., sn) é um equilíbrio de Nash (EN) do jogo dinâmico se

nenhum jogador i, puder obter uma utilidade esperada maior mudando sua estratégia, se os

outros jogadores mantiverem as suas. Equivalentemente,

∀i=1,..., n, Ui(si, s-i) ≥ Ui(siʹ′, s-i)

em que siʹ′ é qualquer estratégia alternativa disponível para o jogador i e Ui é a utilidade

esperada do agente i.



Exemplo. (poker)

Considere o seguinte jogo entre dois jogadores.

O jogador 1 retira uma carta de um baralho com 50% de chance de ser uma carta alta (A) e

50% de chance de ser uma carta baixa (B).

Depois de olhar a carta ele decide apostar (p) ou não (np).

Se ele escolhe não apostar, ele paga $1 ao jogador 2.

Se ele aposta, então o jogador 2 deve decidir se aceita (a) ou não (na) a aposta, sem

conhecer se a carta retirada é alta ou baixa.

Se 2 não aceitar a aposta, ele paga $1 ao jogador 1.

Caso 2 aceite a aposta, verifica-se o valor da carta retirada por 1.

Se for elevado, 2 paga $2 ao jogador 1.

Por outro lado, se o valor for baixo, então 1 paga $2 ao jogador 2.

3



Exemplo. (poker)



Exemplo. (poker)

Não existe EN em estratégias puras!

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Definição. estratégia mista comportamental

Num jogo na forma extensiva, um jogador poderia adotar um mecanismo aleatório de

escolha em um nó ou conjunto de decisão específico.

Quando as possíveis "misturas" ocorrem não sobre uma estratégia completa, como na forma

normal, mas em cada conjunto de decisão de um jogador na forma extensiva do jogo,

dizemos tratar-se de uma estratégia mista comportamental.

Observação. Memória pefeita.

Teorema de Kuhn:

Qualquer jogo na forma extensiva finito com memória perfeita admite um equilíbrio de Nash

em estratégias mistas comportamentais.

Ideia da demonstração:

Todo jogo finito na forma extensiva pode ser transformado em



Definição. estratégia mista comportamental

Teorema de Kuhn:

Qualquer jogo na forma extensiva finito com memória perfeita admite um equilíbrio de Nash

em estratégias mistas comportamentais.

Ideia da demonstração:

Todo jogo finito na forma extensiva pode ser transformado em um jogo normal, mesmo que,

para tanto, seja necessário o cálculo de utilidades esperadas.

Qualquer estratégia mista na forma normal equivale a uma estratégia mista comportamental

na forma extensiva.

Qualquer equilíbrio de Nash na forma normal corresponde a um equilíbrio de Nash na forma

extensiva.

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Exemplo. (poker)



Definição: Subjogo. Sejam E um jogo na forma extensiva e t um nó não terminal qualquer

do jogo E. Considere todos os nós que seguem t, incluindo os nós terminais do jogo. O

conjunto formado por t e seus sucessores é um subjogo do jogo E se:

(i)  O nó t constitui um conjunto de decisão unitário, ou seja, se o nó não corresponder à

natureza, então o jogador que joga em t sabe que está nesse nó no momento de jogar.

(ii)  Nenhum dos nós incluídos nesse conjunto pode fazer parte de um conjunto de

informação contendo algum nó fora desse conjunto.

Observação: Pela definição acima, um subjogo é uma parte "estrategicamente consistente"

do jogo, no sentido de que ele inicia-se num nó que não pertence nenhum conjunto de

informação maior e, por (ii), cada jogador que venha a tomar uma decisão num nó desse

subjogo sabe que está nesse subjogo. Assim, um subjogo possui as mesmas características

de um jogo. Observe que assim como qualquer jogo com informação imperfeita, o subjogo

pode iniciar-se com um movimento da natureza, N.

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ne e

c g

t0

t1

E

M M

xM

( ) MM xx−240

M

xM

E

xʹ′M

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

+−

−+−

2424

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

ʹ′ʹ′+−

−ʹ′+−

2424

pM

E

pʹ′M

pE<pM pE

pE=pM pE>pM

( )( )0

630 Fpp EE −−−

( )( )

( )( )63021

63021

−−

−−−

MM

EE

pp

Fpp

( )( )630 −−

−

MM ppF

Exemplo: Barreira à Entrada:



Exemplo:

1

D E

e d

L R

2

t0 t1

t6 2 10 20

B A

e d e d

L R

2

3

1

t2 t3

t5 4 2 1

0 2 0

0 0 1

10 4 2

1 1 2

6 5 3

3 4 10

3

t4

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Definição-Equilíbrio perfeito em subjogos.

Um perfil de estratégias de um jogo na forma extensiva E é um equilíbrio perfeito

em subjogos se esse perfil induz um equilíbrio de Nash em cada subjogo de E. Um equilíbrio

perfeito em subjogos é denotados por EPS.




ne e

c g

t0

t1

E

M M

xM

( ) MM xx−240

M

xM

E

xʹ′M

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

+−

−+−

2424

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

ʹ′ʹ′+−

−ʹ′+−

2424

pM

E

pʹ′M

pE<pM pE

pE=pM pE>pM

( )( )0

630 Fpp EE −−−

( )( )

( )( )63021

63021

−−

−−−

MM

EE

pp

Fpp

( )( )630 −−

−

MM ppF

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ne e

c g

t0

t1

E

M

1440

M

xM

E

xʹ′M

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

+−

−+−

2424

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

ʹ′ʹ′+−

−ʹ′+−

2424

pM

E

pʹ′M

pE<pM pE

pE=pM pE>pM

( )( )0

630 Fpp EE −−−

( )( )

( )( )63021

63021

−−

−−−

MM

EE

pp

Fpp

( )( )630 −−

−

MM ppF




ne e

c g

t0

t1

E

M

1440

M

xM

E

xʹ′M

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

+−

−+−

2424

xE

( )( )( )( ) MME

EME

xxxFxxx

ʹ′ʹ′+−

−ʹ′+−

2424

pM

E

pʹ′M

pE<pM pE

pE=pM pE>pM

( )( )0

630 Fpp EE −−−

( )( )

( )( )63021

63021

−−

−−−

MM

EE

pp

Fpp

( )( )630 −−

−

MM ppF


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ne e

c g

t0

t1

E

M

1440

6464 F− pM

E

pʹ′M

pE<pM pE

pE=pM pE>pM

( )( )0

630 Fpp EE −−−

( )( )

( )( )63021

63021

−−

−−−

MM

EE

pp

Fpp

( )( )630 −−

−

MM ppF




ne e

c g

t0

t1

E

M

1440

6464 F− pM

E

pʹ′M

pE<pM pE

pE=pM pE>pM

( )( )0

630 Fpp EE −−−

( )( )

( )( )63021

63021

−−

−−−

MM

EE

pp

Fpp

( )( )630 −−

−

MM ppF


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ne e

c g

t0

t1

E

M

1440

6464 F−

0F−




ne e

c g

t0

t1

E

M

1440

6464 F−

0F−


11



ne e t0

E

1440

6464 F−




ne e t0

E

1440

6464 F−


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Exemplo:

1

D E

e d

L R

2

t0 t1

t6 2 10 20

B A

e d e d

L R

2

3

1

t2 t3

t5 4 2 1

0 2 0

0 0 1

10 4 2

1 1 2

6 5 3

3 4 10

3

t4



Exemplo:

1

D E

e d

L R

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t0 t1

t6 2 10 20

B A

e d e d

L R

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t2 t3

t5 4 2 1

0 2 0

0 0 1

10 4 2

1 1 2

6 5 3

3 4 10

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t4

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Exemplo:

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D E

e d

L R

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t0 t1

t6 2 10 20

B A

e d e d

L R

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t2 t3

t5 4 2 1

0 2 0

0 0 1

10 4 2

1 1 2

6 5 3

3 4 10

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t4



Exemplo:

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D E

e d

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t0 t1

t6 2 10 20

B A

e d e d

L R

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1

t2 t3

t5 4 2 1

0 2 0

0 0 1

10 4 2

1 1 2

6 5 3

3 4 10

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t4

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Exemplo:

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D E

e d

L R

2

t0 t1

t6 2 10 20

B A

e d e d

L R

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3

1

t2 t3

t5 4 2 1

0 2 0

0 0 1

10 4 2

1 1 2

6 5 3

3 4 10

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