teoria dos jogos prof. maurício bugarin eco/unb · forma normal e o conceito de equilíbrio de ......

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Teoria dos Jogos

Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB

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•  Capítulo 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta •  1. Forma Normal e o Conceito de Equilíbrio de Nash Bayesiano

–  2. Aplicações •  Duopólio de Cournot •  Provisão Voluntária de Controle de Mal Público •  Leilões selados de primeiro preço •  Leilões selados de segundo preço •  Guerra de Nervos com informação incompleta •  Leilão duplo (Gibbons) •  O Princípio da Revelação •  O Teorema de Equivalência de Receitas •  Valores de reserva •  Leilões sequenciais

Cap. 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta

Roteiro

2

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Definição-Um jogo bayesiano na forma normal (ou estratégica) é:

( ) ( ) ( )( )NiiNiiNii uApTNJ ∈∈∈= ,,,,


Exemplo-Negociação bilateral: Leilão duplo

n=2, 1: proprietário do objeto (vendedor), p

2: comprador do objeto, c

T1=T2=[0,1] =V1=V2

Valores vp e vc são duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas entre 0 e 1:

F1(v)=prob(v1≤v)=v; F2(v)=prob(v2≤v)=v

fi(v)=Fʹ′i(v)=1, i=1,2, p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)= 1

A1=[0,1]=D: demanda mínima do proprietário

A2=[0,1]=O: oferta máxima do comprador

li: Vi→Li uma estratégia de i

J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)

3


( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥−+

=δλ

δλλδ

λδse0

se2,,, p

cppvvvu

d: V1=Vp=[0,1]→D estratégia do proprietário 1

l: V2=Vc=[0,1]→O estratégia do comprador 2

Utilidade ex-post

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥+

−=δλ

δλλδ

λδse0

se2,,, c

cpcvvvu



( ) ( ) ( ) iiiiiTt

iiiiiii dttatsuttptsaUii

−−−

∈

−− ∫−−

;),(|;,

( )( ) ( )

( )∫∫

−

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

++=

1

0 1

1

d2

0(.);,δ

δ δδ

lcp

cc

l

pp vvvl

dvvlU

Utilidade ínterim:

Se estratégias estritamente crescentes:

( )( )( )

( )∫∫−

−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

1

0c

1

1

d02

(.);,λ

λ λλ

dpp

d

p

pcc vdv

vdvvdU

( ) ( )( )∫

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+=

1

1

d2

(.);,δ

δδ

lcp

cpp vv

vlvlU ( )

( )( )

p

d

p

pcc dv

vdvvdU ∫

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

λ λλ

1

0c 2

(.);,


4


Equilíbrio de Nash bayesiano.

Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (d, l), em que d, l: [0,1]→[0,1], satisfazendo:

(i) Para cada realização do tipo do agente p, vp∈Vp, d(vp) é a solução (δ) do seguinte problema de maximização:

(ii) Para cada realização do tipo do agente c, vc∈Vc, l(vc) é a solução (λ) do seguinte problema de maximização:

( ) ( )( )∫

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+=

1

1

d2

(.);,maxδδ

δδ

lcp

cpp vv

vlvlU

λmaxUc λ,d(.);vc( ) = vc −

d vp( )+λ2

"

#$$

%

&''0

d−1 λ( )

∫ dvp



Simplificação.

Buscamos um ENB em que as estratégias são funções lineares (estritamente crescentes) dos valores:

d(vp)=avp+b

l(vc)=gvc+h

Resolução.

( ) ( )( )∫

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+=

1

1

d2

(.);,maxδδ

δδ

lcp

cpp vv

vlvlU

( )( ) ( )( )211 14

122

δδδ −− −+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+= lglvhp

( )∫

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

++1

1

d2

δ

δ

lcp

c vvhgv


5


Resolução.

CPO:

( )( ) ( )( )211 14

122

δδδ −− −+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+ lglvhp


( ) ( )gh

glhvgvl cc −=⇒+= − δ

δ1

( )( ) ( )( )211 14

122

δδδ −− −+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+ lglvhp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+= 2

2

22

2

2g

14

122 g

hghg

gh

gvhp

δδδδ

02g2

41

2211

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ghvh

ggh

g pδδδ


Resolução: CPO

Observe: melhor resposta é linear!


02g2

41

2211

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ghvh

ggh

g pδδδ

02 =+−+−−+− hvhhg p δδδ

pvhg 23 ++=δ

332 hgvp

++=δ

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Simplificação.

Buscamos um ENB em que as estratégias são funções lineares (estritamente crescentes) dos valores:

d(vp)=avp+b

l(vc)=gvc+h

Resolução.

( ) ( )λλ

λ 11

422−− ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−= ddabvc


λmaxUc λ,d;vc( ) = vc −

d vp( )+λ2

"

#$$

%

&''0

d−1 λ( )

∫ dvp

( )( )

p

d

p

p dvvd

v∫−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

λ λ1

0c 2


Resolução.

CPO:

Observe: melhor resposta é linear!


( ) ( )ab

adbvavd cp −=⇒+= − λλ

11

332 bvc +=λ

( ) ( )λλλ 11

422−− ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−− ddabvc

( ) ( )λλλ 11

422−− ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−− ddabvc ( )bbva c −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−= λλ44

31

7


Resolução.

Observação: Eficiência? (Gráfico)

Ganhos com a troca?


( ) bvavd pp +=

( )cc vlbv =+=33

2λ

( )pp vdghv =+

+=33

2δ

( ) hvgvl cc +=

( )41

32

+= pp vvd

( )121

32

+= cc vvl


Observação: Eficiência? (Gráfico) Ganhos com a troca?


( )41

32

+= pp vvd ( )121

32

+= cc vvl

vp

vc

41

43( ) ( )

41

+≥⇔≤ pccp vvvlvd

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Modelando jogo bayesiano na linguagem de desenho de mecanismos:

“mensagens”

probabilidades do objeto ficar com cada jogador

“contribuição” de cada jogador

O Princípio da Revelação

( ) [ ]{ }( ) ( ) ( )( )⎩⎨⎧ ≤+∈=Δ→×

21221121

212

2121

,,,,1|1,0,:

mmpmmpmmppppMMp

!

( ) ( ) ( )( )⎩⎨⎧ →×

21221121

221

,,,,:

mmcmmcmmRMM

c!

( )1111 : AMTs =→( )2222 : AMTs =→


Exemplos:

Leilão selado de primeiro preço

Leilão selado de segundo preço

Leilão duplo

Guerra de nervos


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Dado um jogo bayesiano J do tipo acima e um ENB (s1, s2) de J, então é sempre possível encontrar um jogo bayesiano “equivalente” no qual:

(i) Os conjuntos de mensagens (estratégias) são os conjuntos de tipos:

M1=A1=T1

M2=A2=T2

(ii) Existe um ENB (sʹ′1, sʹ′2) do novo jogo que leva às mesmas utilidades esperadas que (s1, s2) em J e tal que:

sʹ′1(t1)=t1

sʹ′2(t2)=t2

Prova:



Seja M um mecanismo por meio de lances para a venda de um objeto em que:

(i) Os valores atribuídos ao objeto pelos diferentes jogadores são independentes.

(ii) Os valores atribuídos ao objeto pelos diferentes jogadores são identicamente distribuídos.

(iii) Os jogadores são neutros com relação ao risco (utilidade linear com relação aos pagamentos: utilidade quase-linear).

Seja s um equilíbrio bayesiano simétrico e estritamente crescente do jogo associado a esse mecanismo em que o jogador que atribui menor valor ao objeto tem utilidade esperada 0.

Então a receita esperada para o leiloeiro nesse equilíbrio é a mesma obtida no leilão selado de segundo preço.

O Teorema de Equivalência de Receitas

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Os quatro formatos de leilões de um único objeto clássicos:

- Inglês (aberto ascendente)

- Holandês (aberto descendente)

- Fechado de primeiro preço

- Fechado de segundo preço (Vickrey)

geram todos a mesma receita esperada para o leiloeiro, sob as hipóteses de valor privado, independente e identicamente distribuído.

Aplicação para os leilões tradicionais


Considere agora o modelo clássico de leilão de primeiro preço com a seguinte novidade no seu desenho: o objeto somente será vendido se o lance vencedor for maior que um certo valor positivo r.

Analisemos o papel dessa inovação no desenho sobre o retorno do leiloeiro.

Preço de Reserva

T1=T2=[0, ω] =V1=V2

Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e distribuídas entre 0 e ω:

F1(v)=prob(v1≤v); F2(v)=prob(v2≤v)

fi(v)=Fʹ′i(v), i=1,2, p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)

A1=[0, ω]=L1; A2=[0, ω]=L2: lances

li: Vi→Li uma estratégia de i

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u1 l1(v1), l2 (v2 )( ), v1,v2( )( ) =

v1 − l1(v1) se l1(v1)> l2 (v2 ),≥ rv1 − l1(v1)

2se l1(v1) = l2 (v2 ) ≥ r

0 se l1(v1)< l2 (v2 ) ou < r

#

$

%%

&

%%

u2 l1(v1), l2 (v2 )( ), v1,v2( )( ) =

v2 − l2 (v2 ) se l1(v1)< l2 (v2 ),≥ rv2 − l2 (v2 )

2se l1(v1) = l2 (v2 ) ≥ r

0 se l1(v1)> l2 (v2 ) ou < r

#

$

%%

&

%%

Utilidade ex-post

Preço de Reserva


U1 λ1, l2;v1( ) =

Utilidade ínterim:

Se v1<r, então a utilidade será nula

Caso contrário, escolhendo λ1>r, a utilidade será:

= v1 −λ1( )Pr λ1 > l2 (v2 ){ }+12v1 −λ1( )Pr λ1 = l2 (v2 ){ }

Preço de Reserva

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Equilíbrio de Nash bayesiano.

Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (l1, l2), em que li: Vi→[0, ω], satisfazendo:

(i) Para cada realização do tipo do agente 1, v1∈V1, v1>r, l1(v1) é a solução (λ1) do seguinte problema de maximização em que λ1>r:

( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max

1

vlvvlv =−+>− λλλλλ

(ii) Para cada realização do tipo do agente 2, v2∈V2, v2>r, l2(v2) é a solução (λ2) do seguinte problema de maximização em que λ2>r:

( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 1122211222max

2


Preço de Reserva


Simplificações e resolução.

(a) Dada a simetria do jogo com relação aos jogadores, procuramos um equilíbrio simétrico, ou seja, um equilíbrio no qual os dois jogadores escolhem a mesmo função estratégia: l1=l2=l.

(b) Supomos que quanto maior for o valor vi, ou seja, quanto mais valor o jogador i atribuir ao objeto, maior será seu lance em equilíbrio, ou seja, a função l é estritamente crescente. Além disso, supomos que l é diferenciável.

(c) Sabemos que não vale a pena um jogador de valor menor que r ganhar o objeto. Ademais, no limite, um jogador de valor exatamente r é indiferente entre vencer e pagar r ou perder. Portanto supomos que l(v)=v para v≤r. Em particular, l(r)=r.

Preço de Reserva

13


( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max

1


( ) { })(Pr 2111max1

vlv >− λλλ

( ) { })(Pr 1222max2

vlv >− λλλ

λ1max v1 −λ1( )F l−1(λ1)( )

λ2max v2 −λ2( )F l−1(λ2 )( )

Preço de Reserva


−F l−1(λ1)( )+ v1 −λ1( ) "F l−1(λ1)( ) l−1( )"(λ1) = 0

−F l−1 l(v1)( )( )+ v1 − l(v1)( ) "F l−1 l(v1)( )( ) l−1( )"(l(v1)) = 0

( ) ( ) 1111 )())(( −− ʹ′=ʹ′ vlvll

λ1max v1 −λ1( )F l−1(λ1)( )

−F v1( )+ v1 − l(v1)( ) "F v1( ) l−1( )"(l(v1)) = 0

−F v1( )+ v1 − l(v1)( )"F v1( )"l (v1)

= 0

Preço de Reserva

14


−F v1( )+ v1 − l(v1)( )"F v1( )"l (v1)

= 0

−F v1( ) "l (v1)+ v1 "F v1( )− l v1( ) "F v1( ) = 0

v1 !F v1( ) = F v1( ) !l (v1)+ l v1( ) !F v1( )

k + vf v( )dv =0

v1

∫ F v1( )l v1( )

Preço de Reserva

l r( ) = r⇒

k = F r( )r − vf v( )dv0

r∫ F v1( )l v1( ) = vf v( )dv+F r( )r

r

v1

∫

l v1( ) = 1F v1( )

vf v( )dv+F r( )F v1( )

rr

v1

∫


v12−1v1r2

2+r2

v1=

l(v1) =v12+12r2

v1

Distribuição uniforme em [0,1]

F v1( ) = v1; f v( ) =1

l v1( ) = 1v1

vdv+F r( )F v1( )

r =r

v1

∫

Preço de Reserva: Equilíbrio de Nash Bayesiano

Logo,

l v1( ) = 1F v1( )

vf v( )dv+F r( )F v1( )

rr

v1

∫

v12+12r2

v1

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Note que a existência de um preço de reserva induz um lance mais agressivo por parte dos jogadores.

Por outro lado, o leiloeiro deixa de vender o objeto quando os dois jogadores têm valores menores que r.

Qual será o efeito final sobre a receita do leiloeiro?

Preço de Reserva: Equilíbrio de Nash Bayesiano

l(v1) =v12+12r2

v1


Preço de Reserva: Receita do Leiloeiro

RE r( ) = 2 l(v1)0

v1

∫r

1

∫ dv2dv1 = 2v12+12r2

v1

!

"#

$

%&

0

v1

∫r

1

∫ dv2dv1 =

2 v12+12r2

v1

!

"#

$

%&

r

1

∫ v1dv1 =2v12

2+r2

2!

"#

$

%&

r

1

∫ dv1 =

2 v13

6+r2

2v1

!

"#

$

%&r

1

= 2 16+r2

2−r3

6−r3

2"

#$

%

&'=

13+ r2 − 4

3r3

l(v1) =v12+12r2

v1

16


Preço de Reserva: Receita do Leiloeiro

RE r( ) = 13+ r2 − 4

3r3

R !E r( ) = 2r − 4r2 = 2r 1− 2r( )

r = 0, 12

R !!E r( ) = 2 1− 4r( )

RE 12!

"#$

%&=13+14−16=13+112


Preço de Reserva: Conclusão

Há aumento da receita do leiloeiro desde que o preço de reserva seja escolhido otimamente.

Questão: E se dois leilões sequenciais?

RE r( ) = 13+ r2 − 4

3r3

RE 12!

"#$

%&=13+112

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Leilões sequenciais

Dois leilões sequenciais, independentes, com os mesmos dois jogadores em cada, mas com o valor de cada jogador sendo realizado novamente a cada leilão

Se repetirmos o leilão de primeiro preço com valor de reserva ótimo a receita esperada no leiloeiro será:

2RE 1

2!

"#$

%&=23+16

RE 12!

"#$

%&=13+112



Mecanismo alternativo: Criar assimetria entre os jogadores!

Regra de criação de assimetria: O vencedor do primeiro leilão inicia o segundo leilão com uma vantagem g∈(0,1). A vantagem se traduz em uma majoração de g no valor de seu lance quando feita a comparação com o lance de seu oponente.

0

Região de vitória do jogador 1 com lance inferior a 2

1 !! !! − ! !!

A vantagem do vencedor do primeiro leilão

18




Equilíbrio de Nash Bayesiano: Segundo período

!! − !!!!!! !!!!

!!!! = !! − !! !!!! !! + !

!! − !! = !!′!!!! !! + ! ×!!!! !! + !

!! − !!!!!! !!!!

!!!! = !! − !! !!!! !! − !

!! − !! = !!′!!!! !! − ! ×!!!! !! − !




Equilibrio de Nash Bayesiano: Segundo período

Buscamos um equilíbrio de Nash em estratégias lineares, ou seja, queremos determinar os parâmetro α, δ, γ, ε tais que:

!! − !! = !!′!!!! !! + ! ×!!!! !! + !

!! − !! = !!′!!!! !! − ! ×!!!! !! − !

!! !! = !!! + !!

!! !! = !!!! + !!

19





!! !! = 12 !! −

13 !!

!! !! = 12 !! + !

13 !!





Note: Apesar da simetria, há perda em termos esperados para o P:

Quando 1 vence: !! !! !!!!!!

!!!!!!

!

!

!= 16−

29!

!

Quando 2 vence: !! !! !!!!!!

!!!!!!

!

!

!= 16−

29!

!

Total: 13−

49!

! <13

20





A utilidade esperada (ex-ante) no segundo período do jogador que recebe a vantagem:

Do jogador em desvantagem:

!! − !! !! !!!!!!

!!!!!!

!

!

!= 16+

13! +

29!

!

!! − !! !! !!!!!!

!!!!!!

!

!

!= 16−

13! +

29!

!




Equilíbrio de Nash Bayesiano: Primeiro período

Agora os jogadores são simétricos.

A utilidade esperada no primeiro período do jogador 1 é:

= !! − !! +23! !!!! !! + 16−

13! +

29!

!

!! − !! + 16+13! +

29!

!!!!! !!

!!!! +

16−

13! +

29!

!!

!!!! !!

!!!

21





CPO: −!!!! ! + !! − ! +

23! !!!! ! ! = 0

Buscamos agora um equilíbrio simétrico: !! ! = !! ! = ! !

!!!!! !! = !! − ! !! + 23!

!! − !! +23! !!!! !! + 16−

13! +

29!

!





!!!!! !! = !! − ! !! + 23!

!!!! !! = !! !

2 + 23!!! + !

! = 0 ! !! = !!

2 +23!

! !! = !!2 + 23!

Aumento geral dos lances!

22





! !! = !!2 +

23!

Receita esperada do leiloeiro no primeiro período:

2 ! !! !!!!!!!!

!

!

!= 2 !!

2 +23! !!!!!!

!!

!

!

!

= 13+

23!

= 2 !!2 +

23! !!!!!

!

!= 2 !!

!

6 + 23!!! !

!




Equilíbrio de Nash Bayesiano: Receita esperada nos dois períodos:

Receita esperada do leiloeiro no primeiro período: 13+

23!

Receita esperada do leiloeiro no segundo período: 13−

49!

!

Receita esperada do leiloeiro nos dois períodos: 13+

23! +

13−

49!

! = 23+

23! −

49!

!

Maximizada em: ! = 34

Receita total esperada: 23+

12−

14 =

23+

14 >

23+

16

23




Conclusão:

Ao forçar uma assimetria no segundo período que favorece o vencedor do primeiro leilão, o mecanismo torna a vitória no primeiro leilão ainda mais atraente!

Mas então os dois jogadores farão lances mais ousados no primeiro leilão para aumentar suas chances de vitória e consequente vantagem no segundo leilão.

Em equilíbrio o leiloeiro ne beneficia com o aumento da competição no primeiro leilão, mesmo que haja redução da competição no segundo!

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