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Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Teoria dos Jogos

Prof. Maurício Bugarin


Roteiro

Capítulo 5. Jogos Dinâmicos com Informação Incompleta

Definição de Equilíbrio Bayesiano Perfeito

Aplicação: Jogos de sinalização: O jogo beer-quiche

Aplicação: Barreira à Entrada

Exercício: Informação privilegiada em jogos Bayesianos (ENB)

Cap. 5. Jogos Dinâmicos com Informação Incompleta

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Definição-Equilíbrio Bayesiano Perfeito

Sejam π um perfil de estratégias e µ um sistema de crenças, definidos num jogo dinâmico com informação incompleta. O par (π, µ) é um equilíbrio bayesiano perfeito, denotado por EBP, se:

(i) Dado o sistema de crenças µ, o perfil de estratégias π é seqüencialmente racional

(ii) Dado o perfil de estratégias π, o sistema de crenças é consistente do ponto de vista de Bayes


Sinalização: O Jogo Beer-Quiche

1(V)

1(P)

{σ >1/2}

{1-σ}

2 2

{λ}

{1-λ}

{µ}

{1-µ}

c

c

q

q

p

p p

p

n

n n

n

0 - 2

1 0

1 2

3 0

2 0

0 2

2 - 2

3 0

3


Sinalização: O Jogo Beer-Quiche: Observação:

1(V)

1(P)

{σ}

{1-σ}

2 2

{λ}

{1-λ}

{µ}

{1-µ}

c

c

q

q

p

p p

p

n

n n

n

0 - 2

1 0

1 2

3 0

2 0

0 2

2 - 2

3 0

? X

Estratégia dominante!


Sinalização: O Jogo Beer-Quiche: Equilíbrio Separador?

1(V)

1(P)

{σ}

{1-σ}

2 2

{λ}

{1-λ}

{µ}

{1-µ}

c

c

q

q

p

p p

p

n

n n

n

0 - 2

1 0

1 2

3 0

2 0

0 2

2 - 2

3 0

µ=0 λ=1

X

Portanto, não existe equilíbrio separador neste caso!

4


Sinalização: O Jogo Beer-Quiche: Equilíbrio Agregador?

1(V)

1(P)

{σ}

{1-σ}

2 2

{λ}

{1-λ}

{µ}

{1-µ}

c

c

q

q

p

p p

p

n

n n

n

0 - 2

1 0

1 2

3 0

2 0

0 2

2 - 2

3 0

λ=σ >1/2 µ <1/2


Sinalização: O Jogo Beer-Quiche:

Sinalização custosa mas eficaz!

1(V)

1(P)

{σ}

{1-σ}

2 2

{λ}

{1-λ}

{µ}

{1-µ}

c

c

q

q

p

p p

p

n

n n

n

0 - 2

1 0

1 2

3 0

2 0

0 2

2 - 2

3 0 λ=σ >1/2 µ ≤1/2

EBP: (((c,c),(n,p)),(λ=σ , µ≤1/2))

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Definição-Equilíbrio Bayesiano Perfeito

Sejam π um perfil de estratégias e µ um sistema de crenças, definidos num jogo dinâmico com informação incompleta. O par (π, µ) é um equilíbrio bayesiano perfeito, denotado por EBP, se:

(i) Dado o sistema de crenças µ, o perfil de estratégias π é seqüencialmente racional

(ii) Dado o perfil de estratégias π, o sistema de crenças é consistente do ponto de vista de Bayes


Barreira à Entrada com informação incompleta: Demanda inversa: p=60-X Duas firmas:

Monopolista: já no mercado Entrante: deve decidir se entra ou não

Custo de produção: Entrante: cE(xE)=24xE Monopolista: dois tipos Menos produtivo: tipo 1: c21(xM)=18xM Mais produtivo: tipo 2: c22(xM)=12xM Portanto: Ambos os tipos de monopolista têm vantagem tecnológica com relação ao entrante!

Custo de entrada: F=80 Informação:

Monopolista: conhece seu tipo e o do entrante Entrante: conhece seu tipo mas sabe apenas que: Prob(M ser do tipo 1)=ρ=1/4

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M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ}

{µ}

x1 x1 M(18) ne

e ne

e

x2 M(12) x2 (42-x1)x1+ (42-x2)x2 0

(48-x1)x1+ (48-x2)x2 0

E xE xʹ′E xE xʹ′E

M

xM xM

(42-x1)x1+ (42-(xM+xE))xM (36-(xM+xE))xE-F

xM xM

(48-x1)x1+ (48-(xM+xʹ′E))xM (36-(xM+xʹ′E))xʹ′E-F

{1-µ}

M

Hipóteses: ρ=1/4 F=80 cE=24

Barreira à Entrada com informação incompleta


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ}

{µ}

x1 x1 M(18) ne

e ne

e x2 M(12) x2 (42-x1)x1+ (42-x2)x2

0 (48-x1)x1+ (48-x2)x2 0

E xE xʹ′E xE xʹ′E

M

xM xM

(42-x1)x1+ (42-(xM+xE))xM (36-(xM+xE))xE-F

xM xM

(48-x1)x1+ (48-(xM+xʹ′E))xM (36-(xM+xʹ′E))xʹ′E-F

{1-µ}

M

Hipóteses: ρ=1/4 F=80

Cournot com info assimétrica: M conhece seu tipo, e conhece o tipo de E (c=24) Mas E sabe apenas que M é: Do tipo c21=18 com probabilidade µ Do tipo c22=12 com probabilidade 1-µ


Obs: Se E entrar com alguma prob não nula, então CB=>µ=λ

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Duopólio de Cournot

1: Entrante, E

2: Monopolista, M

A1=A2=[0,60]

u1((x1,x2),(c1,c21)=(36-(x1+x2))x1-F

u2((x1,x2),(c1,c21)=(42-(x1+x2))x2

u1((x1,x2),(c1,c22)=(36-(x1+x2))x1 -F

u2((x1,x2),(c1,c22)=(48-(x1+x2))x2

Prob[c21]=µ


Duopólio de Cournot

{µ}

... x2 ...

!

x1

!

(36−(x1+x2))x1−F

(42−(x1+x2))x2

{1−µ}

... x2 ...

!

x1

!

(36−(x1+x2))x1−F

(48−(x1+x2))x2

8


Duopólio de Cournot: (x1, (x21, x22))

Para o jogador 1: T1={24} e: U1(x1, 24)= ( )( ) ( ) ( )( ) Fxxxxxx −+−−++− 12211211 36136 µµ

( )( ) Fxxxx −−−−− 2112221 136 µµ

( ) 3612 22211 =−++ xxx µµ (1)

Para o jogador 2 têm-se T2={18,12}.

Se 2 for do tipo c21=18 então: U2(x21, 18)= ( )( ) 2121142 xxx +−

422 211 =+ xx (2)

Se 2 for do tipo c22=12 então: U2(x22, 12)= ( )( ) 2222148 xxx +−

482 221 =+ xx (3)


Duopólio de Cournot: (x1, (x21, x22))

ENB:

( ) 3612 22211 =−++ xxx µµ (1)

422 211 =+ xx (2)

482 221 =+ xx (3)

( )µ−−= 12101x , ( )µ−+= 11621x , ( )µ−+= 11922x

9



M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ} x1 x1

M(18) ne e

ne e

x2 M(12) x2 (42-x1)x1+ (42-x2)x2 0

(48-x1)x1+ (48-x2)x2 0

(42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


(48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F

Observe que: λ{[10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F} + (1-λ) [7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F=[10-2(1-λ)]2-F


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ} x1 x1 ne

e ne

e (42-x1)x1+ 441

0

(42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


(48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


x2 (48-x1)x1+ (48-x2)x2 0

10


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ} x1 x1 ne

e ne

e (42-x1)x1+ 441

0 (48-x1)x1+ 576 0

(42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


(48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F



M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ} x1 x1 ne

e ne

e (42-x1)x1+ 441

0 (48-x1)x1+ 576 0

(42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


(48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F

Barreira à Entrada com informação incompleta: Equilíbrio separador?

11


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ} x1 x1 ne

e ne

e (48-x1)x1+ 576 0

(42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


(48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F


441+441 0


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ} {1-λ} x1=21 x1=21

ne e

ne e

441+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

Hipóteses: ρ=1/4

576+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

441+441 0

567+576 0


12


441+ [16+(1-µ)]2 [10+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80

Hipóteses: ρ=1/4


CB:λ=1

CB:µ=λ=1

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} x1=21

ne e

ne e

567+ [19+(1-µ)]2

[7+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80

441+441 0

567+576 0

=1} x1=21


Hipóteses: ρ=1/4


CB:λ=1

CB:µ=λ=1

441+441 0

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} ne e

ne e

441+256 20

567+ [19+(1- µ)]2

[7+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80

567+567 0

=1} x1=21 x1=21

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M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} ne e

ne e

432+ [16+(1- µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

Hipóteses: ρ=1/4

576+ [19+(1-µ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

432+441 0

576+576 0

=0}


CB:λ=0

CB:µ=λ=0 x1=24 x1=24


Hipóteses: ρ=1/4


CB:λ=0

CB:µ=λ=0

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} ne e

ne e

441+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

976

-16

432+441 0

576+576 0

=0} x1=24 x1=24

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Barreira à Entrada com

informação incompleta:

Equilíbrio separador?

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} ne e

ne e

432+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

976

-16

432+441 0

576+576 0

=0} x1=24 x1=24

441+441 0

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} ne e

ne e

441+256 20

567+ [19+(1- µ)]2

[7+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80

567+567 0

=1} x1=21 x1=21


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} x1=24 x1=24

ne e

ne e

432+ [16+(1-λ)]2 [10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80

Hipóteses: ρ=1/4

576+ [19+(1-λ)]2

[7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80

432+441 0

576+576 0

=ρ}

Barreira à Entrada com informação incompleta: Equilíbrio agregador?

CB:λ=ρ

CB:µ=λ=ρ

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M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} x1=24 x1=24

ne e

ne e

432+ [16+(1-λ)]2 [10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80

Hipóteses: ρ=1/4

576+ [19+(1-λ)]2

[7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80

432+441 0

576+576 0

=ρ}


CB:λ=ρ

CB:µ=λ=ρ

Observe que: λ{[10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F} + (1-λ){[7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F}=[10-2(1-λ)]2-F Portanto, se E entrar sua utilidade esperada será: -71-1/8=-71,125<0


M(18) M(12) {ρ } {1-ρ}

E {λ {1-λ} x1=24 x1=24

ne e

ne e

432+[16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

Hipóteses: ρ=1/4

576+[19+(1-λ)]2

[7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80

432+441 0

576+576 0

=ρ}


Conclusão: Vale a pena para o monopolista menos eficiente se fazer passar por mais eficiente!

CB:λ=ρ

CB:µ=λ=ρ=1/4

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EXP - JOGOS ESTÁTICOS COM INFO. INCOMPLETA Considere o jogo bayesiano em que dois jogadores podem estar jogando cada um dos dois jogos a seguir com igual probabilidade ½.

(i) Suponha inicialmente que nenhum dos dois jogadores possui informação precisa sobre que jogo está jogando, a não ser a probabilidade ex-ante ½. Encontre o equilíbrio de Nash (em estratégias puras) do jogo. Qual é o payoff (esperado) para o jogador 2 nesse equilíbrio?

2

e c d

a 2, 0 2, 3 4, 4 1

b 1, 2 8, 6 2, 8

2

e c d

a 4, 4 2, 3 1, 0 1

b 2, 8 8, 6 2, 2


Suponha que 1 joga a. Então, Se 2 jogar e sua utilidade esperada será 0.1/2 + 4.1/2=2 Se 2 jogar c sua utilidade esperada será 3.1/2 + 3.1/2=3 Se 2 jogar d sua utilidade esperada será 4.1/2 + 0.1/2=2 Portanto, a MR2 é c Suponha agora que 1 joga b. Então, Se 2 jogar e sua utilidade esperada será 2.1/2 + 8.1/2=5 Se 2 jogar c sua utilidade esperada será 6.1/2 + 6.1/2=6 Se 2 jogar d sua utilidade esperada será 8.1/2 + 2.1/2=5 Portanto, novamente a MR2 é c

2

e c d

a 2, 0 2, 3 4, 4 1

b 1, 2 8, 6 2, 8

2

e c d

a 4, 4 2, 3 1, 0 1

b 2, 8 8, 6 2, 2

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Suponha que 1 joga a, MR2 é c Suponha agora que 1 joga b, MR2 é c Destarte, 2 tem uma estratégia dominante, que é jogar c Por outro lado, quando 2 joga c, a MR1 é b Portanto, existe um único ENB nesse caso que é (b, c) Os payoffs (esperados) correspondentes são:

8 para o jogador 1 e 6 para o jogador 2

2

e c d

a 2, 0 2, 3 4, 4 1

b 1, 2 8, 6 2, 8

2

e c d

a 4, 4 2, 3 1, 0 1

b 2, 8 8, 6 2, 2


(ii) Suponha agora no estágio ínterim o jogador 2 é informado com exatidão em que jogo se encontra, enquanto o jogador 1 continua conhecendo apenas a probabilidade ex ante ½. Determine o equilíbrio de Nash (em estratégias puras) desse novo jogo. Qual é o payoff (esperado) do jogador 2 nesse equilíbrio? Então, se estiver no jogo à esquerda o jogador 2 tem uma estratégia dominante que é jogar d, e se estiver no jogo à direita também tem uma estratégia dominante que é jogar e. Portanto em qualquer ENB 2 joga (d, e) Mas então a MR1 à estratégia (d, e) de 2 é jogar a Portanto, existe um único ENB nesse caso que é (a, (d, e)) Os payoffs (esperados) correspondentes são: 4 para o jogador 1 e 4 para o jogador 2

2

e c d

a 2, 0 2, 3 4, 4 1

b 1, 2 8, 6 2, 8

2

e c d

a 4, 4 2, 3 1, 0 1

b 2, 8 8, 6 2, 2

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(iii) Com base nos resultados encontrados acima, classifique como verdadeira ou falsa a afirmação a seguir:

“Em qualquer jogo bayesiano é sempre vantajoso para qualquer jogador ser melhor informado.”

Nesse caso vimos que para o jogador 2 foi pior ter sido informado sobre o estado da natureza (4<6). Portanto, nem sempre é vantajoso ser melhor informado.

2

e c d

a 2, 0 2, 3 4, 4 1

b 1, 2 8, 6 2, 8

2

e c d

a 4, 4 2, 3 1, 0 1

b 2, 8 8, 6 2, 2

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