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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA I/2013 DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 18/7/13

TEORIA DOS JOGOS - PÓS

PROFESSOR MAURÍCIO SOARES BUGARIN ECO

bugarin@unb.br htttp://www.bugarinmauricio.com

PROVA

GABARITO

Problema 1-Direito e Economia

A área de Economia e Direito tem por objetivo desenvolver uma análise econômica

das leis. Em particular, essa área do conhecimento se preocupa em entender os incentivos que

certas leis geram no comportamento dos cidadãos. O presente problema, baseado em R. A.

MacCain, “Game Theory: A Non-Technical Introduction to the Analysis of Strategy”

(Thomson, 2004), pretende ilustrar o tipo de análise feito nessa área do conhecimento.

Descrição

Uma importante função da legislação é determinar responsabilidades em situações

envolvendo perdas. Considere a seguinte situação estratégica envolvendo dois agentes, um

pedestre e um motorista de carro. O pedestre deve atravessar a rua por onde passa o motorista.

Para tanto, pode decidir ser muito cuidadoso (M) ou pouco cuidadoso (P). Por outro lado, o

motorista também deve decidir ser muito cuidadoso em sua direção (m) ou pouco cuidadoso

(p). Ser cuidadoso envolve manter grade atenção, o que representa um custo equivalente a 10

unidades de utilidade para qualquer dos dois agentes que decida ser muito cuidadoso. Não há

custo de utilidade se o agente decidir ser pouco cuidadoso.

Se pelo menos um dos agentes for pouco cuidadoso, haverá acidente com certeza. O

acidente ocasionará um custo em termos de utilidade ao pedestre de 100 unidades, incluindo

nesse valor o custo médico-hospitalar e demais custos associados ao tratamento.

Suponha inicialmente que a legislação não prevê qualquer responsabilização pelo

acidente ao motorista, de forma que o pedestre arca com esse custo sozinho em caso de

acidente.

Se os dois agentes decidirem ser muito cuidadosos, as chances de acidente serão

reduzidas consideravelmente, mas ainda assim haverá um acidente com 10% de

probabilidade. Portanto, pela hipótese da utilidade esperada, o pedestre terá uma utilidade

2

esperada de −10=−100x10% causada pela expectativa de acidente, ao qual deve ser

adicionado o custo do elevado cuidado.

(i) Construa um jogo na forma normal correspondendo à situação estratégica acima descrita,

usando, caso lhe pareça mais simples, a forma matricial do jogo. 2

m p

1 M –20, –10 −110, 0

P –100, −10 –100, 0

(ii) Usando o conceito de Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas,

encontre o equilíbrio de Nash do jogo, descrevendo cada etapa de seu raciocínio. Há acidente

em equilíbrio?

A estratégia p é dominante para o jogador 2. Portanto, podemos excluir a estratégia m.

No jogo reduzido, a estratégia P é dominante para o jogador 1. Portanto, 1 jogará P e 2 jogará

p. O equilíbrio de Nash correspondente é: (P, p).

Portanto, nenhum dos dois agentes será muito cuidadoso e necessariamente haverá

acidente.

(iii) Preocupados em reduzir a probabilidade de acidente e, ao mesmo tempo, com o fato do

pedestre ser mais fraco que o motorista, suponha que a lei atribua ao motorista a

responsabilidade de arcar com todo o custo do acidente. Então, em caso de acidente, o

motorista terá uma perda de 100 unidades de utilidade. Lembre que, se os dois agentes forem

muito cuidadosos, ainda assim haverá acidente com probabilidade 0,1 (10%), o que

corresponde a um custo esperado de 10 unidades de utilidade, agora para o motorista, ao qual

deve ser adicionado o custo do cuidado.

Apresente uma forma matricial para o jogo induzido por essa nova legislação e derive

seu equilíbrio de Nash. A legislação atendeu à intenção dos legisladores de reduzir a

probabilidade de acidentes? 2

m p

1 M –10, –20 −10, −100

P 0, −110 0, −100

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A estratégia P é dominante para o jogador 1. Portanto, podemos excluir a estratégia

M. No jogo reduzido, a estratégia p é dominante para o jogador 2. Portanto, 1 jogará P e 2

jogará p. O equilíbrio de Nash correspondente é o mesmo: (P, p).

Portanto, nenhum dos dois agentes será muito cuidadoso, necessariamente haverá

acidente e essa mudança na legislação não atinge o objetivo de reduzir a probabilidade de

acidentes.

(iv) Suponha agora que os legisladores, além da preocupação em reduzir a probabilidade de

acidentes, estão preocupados em atribuir responsabilidades aos agentes pouco cuidadosos, e

criem a seguinte lei: em caso de acidente, o motorista deverá arcar com os custos caso ele

tenha sido pouco cuidadoso e o pedestre tenha sido cuidadoso. Em qualquer outra situação, o

pedestre arcará com os custos. Esse é o princípio da legislação de “torts” Anglo-Americana.

Apresente uma forma matricial para o jogo induzido por essa nova legislação e derive

seu equilíbrio de Nash. A legislação atendeu à preocupação dos legisladores em reduzir a

probabilidade de acidentes? 2

m p

1 M –20, –10 −10, −100

P −100, −10 −100, 0

A estratégia M é dominante para o jogador 1. Portanto, podemos excluir a estratégia

P. No jogo reduzido, a estratégia m é dominante para o jogador 2. Portanto, 1 jogará M e 2

jogará m. O equilíbrio de Nash correspondente é: (M, m).

Portanto, ambos os agentes serão muito cuidadosos e a probabilidade de acidente será

reduzida de 100% nos equilíbrios anteriores para 10%. Logo, essa mudança na legislação

atinge o objetivo de reduzir a probabilidade de acidentes.

(v) Suponha agora que os legisladores decidam que, toda vez que houver acidente, os custos

sejam divididos igualmente entre os agentes envolvidos.

Apresente uma forma matricial para o jogo induzido por essa nova legislação e derive

seu(s) equilíbrio(s) de Nash. A legislação resolveu atendeu à preocupação dos legisladores em

reduzir a probabilidade de acidentes? 2

4

m p

1 M –15, –15 −60, −50

P −50, −60 −50, −50

Esse jogo não possui estratégias dominantes.

Se 1 escolher M, a melhor resposta de 2 será m. E se 2 escolher m, a melhor resposta

de 1 será M. Portanto, encontramos um equilíbrio de Nash (M, m).

Se 1 escolher P, a melhor resposta de 2 será p. E se 2 escolher p, a melhor resposta de

1 será P. Portanto, encontramos um segundo equilíbrio de Nash (P, p).

Naturalmente, há um terceiro equilíbrio, em estratégias mistas, mas não havia

necessidade de calculá-lo. Quem o fez, recebeu ponto extra.

A legislação atende à preocupação de evitar acidentes se os agentes jogarem o

equilíbrio de Nash (M, m), mas não a atende se eles escolherem o equilíbrio de Nash (P, p). A

priori não se pode garantir que o objetivo seja atingido.

(vi) Na sua opinião, qual das duas legislações acima (em (iv) e em (v)) é mais apropriada?

Justifique sua resposta.

Em primeiro lugar, observe que os dois equilíbrios de Nash em (v) são comparáveis

do ponto de vista de Pareto: o equilíbrio (M, m) domina estritamente o equilíbrio (P, p) do

ponto de vista de Pareto. Portanto, também dominará o equilíbrio em estratégia mistas e

temos um forte argumento para prever que o equilíbrio (M, m) será o jogado nesse jogo.

Em segundo lugar, a legislação em (iv) apresenta algumas dificuldades em ser

aplicada na prática, pois não é tão evidente determinar se um agente foi pouco cuidadoso.

Assim sendo, a legislação em (v) parece mais apropriada dada sua simplicidade.

CARO(AS ALUNO(A): NÃO HÁ UMA RESPOSTA “CORRETA” A ESTA

QUESTÃO. BUSCO, POR MEIO DELA, TESTAR SUA CAPACIDADE

ARGUMENTATIVA.

Problema 2-Economia Industrial

Considere a seguinte variação do duopólio de Stackelberg. Uma indústria produz um

bem X cuja curva de demanda inversa é dada por p=60−X. Existe no país uma única empresa

capaz de produzir esse bem, sendo ela, portanto, um monopolista, denotada por M. O custo de

produção de uma quantidade xM para a monopolista M é cM(xM)=12xM. No entanto, esse bem

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é produzido no exterior e pode ser importado. Uma única empresa tem condições de importar

esse bem, desde que invista um montante irrecuperável S=50 em infraestrutura de

armazenamento. Essa empresa deve decidir se entra ou não no mercado, arcando com esse

custo irrecuperável S sendo, portanto, chamada de entrante e denotada por E. O custo de

importação de uma quantidade xE por E é dado pela função de custo cE(xE; i)=(16+i)xE, em

que 16 é o custo unitário do produto importado, incluído transporte, e i corresponde ao

montante do imposto de importação que S deve pagar por cada unidade importada.

O jogo se inicia com o governo, denotado por G, decidindo se cobra o imposto i=8 ou

se isenta de imposto (i=0) a importação desse bem. Tendo observado a decisão irreversível do

governo, o monopolista decide de forma irreversível quanto vai produzir, xM, decisão essa que

se torna pública. Por simplicidade, suponha que M tem apenas duas escolhas: xM=24 e xM=30.

Tendo observado as decisões de G e de M, E decide se entra (e), arcando com o custo

irrecuperável S, ou não entra (ne) no mercado. Se decidir não entrar, o jogo se encerra apenas

com a produção de M. Se decidir entrar, o jogador E tem ainda que decidir a quantidade a ser

produzida, xE. Essa escolha pode ser qualquer valor entre 0 e 60. O jogo então se conclui,

com as produções agregadas de M e de E. Os payoffs correspondentes são os seguintes. O

governo preocupa-se apenas com a quantidade do bem produzida internamente; portanto, sua

utilidade será uG=xM. O monopolista terá como utilidade seu lucro. O entrante terá utilidade 0

se não entrar e, se entrar, terá como utilidade seu lucro, subtraído do custo de entrada S.

(i) O objetivo deste primeiro item é construir uma forma extensiva para este jogo.

Para facilitar seu trabalho, calcule:

(a) Utilidade de M quando E não entra e xM=24

( ) 57624242412242460 =⋅=⋅−− .

(b) Utilidade de M quando E não entra e xM=30

( ) 54030183012303060 =⋅=⋅−− .

(c) Utilidade de E quando entra, produz xE e M produz xM, em função de i, de xE e de xM. ( )=ixxu EME ,, ( )( ) ( ) ( ) SxxxiSxixxx EEMEEME −−−−=−+−+− 441660 .

(d) O valor de xE que maximiza essa utilidade (em função de i e de xM). xE xM , i( )

6

⇔=∂

∂0

E

E

xu xE xM , i( ) = 44− i− xM

2.

(e) Os valores correspondentes do xE ótimo para xM=24 ou 30 e i=0 ou 8.

xE xM = 24, i = 8( ) , xE xM = 30, i = 8( ) , xE xM = 24, i = 0( ) , xE xM = 30, i = 0( )

( ) 6212

2248448,24 ==

−−=== ixx ME .

( ) 326

2308448,30 ==

−−=== ixx ME .

( ) 10220

2240440,24 ==

−−=== ixx ME .

( ) 7214

2300440,30 ==

−−=== ixx ME .

(f) O valor da utilidade de E calculada em (c), substituindo xE pela expressão encontrada em (d).

( ) 502

44442

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=−−−− M

EEMxiSxxxi

(g) Agora basta substituir os valores de xM=24 ou 30 e de i=0 ou 8 para encontrar a utilidade

de E correspondente. uE xM = 24, i = 8( ) , uE xM = 30, i = 8( ) , uE xM = 24, i = 0( ) ,

uE xM = 30, i = 0( )

( ) 14368,24 −=−=== Sixu ME .

( ) 4198,30 −=−=== Sixu ME .

( ) 501000,24 =−=== Sixu ME .

( ) 1490,30 −=−=== Sixu ME .

(h) Utilidade de M quando E entra, xM=24 ou 30, i=0 ou 8, dado que, ao entrar E escolherá xE

otimamente, de acordo com (e).

( )=== 8,24 ixu MM ( ) 432241824122462460 =⋅=⋅−−− .

( )=== 8,30 ixu MM ( ) 450301530123033060 =⋅=⋅−−− .

( )=== 0,24 ixu MM ( ) 3362414241224102460 =⋅=⋅−−− .

( )=== 0,30 ixu MM ( ) 330301130123073060 =⋅=⋅−−− . Apresente agora a forma extensiva procurada, em que, se decidir entrar (e), E

produzirá a quantidade ótima xE calculada em (e). Essa simplificação permite reduzir as

escolhas de E em cada um de seus nós de decisão a ne (não entrar) e e (entrar, em cujo caso já

escolhe a produção ótima). Portanto, sua forma extensiva terá 7 nós de decisão: 1 para G, 2

para M e 4 para E, cada jogador tendo apenas duas possíveis decisões em cada nó. (Há 8 nós

terminais, ou seja 8 nós contendo os payoffs do jogo).

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(ii) Encontre o equilíbrio perfeito em subjogos desse jogo, usando indução retroativa e

apresente os payoffs resultantes.

No nó t6: O jogador E escolhe ne pois 0>−1

No nó t5: O jogador E escolhe e pois 50>0

No nó t4: O jogador E escolhe ne pois 0>−41

No nó t3: O jogador E escolhe ne pois 0>−14

No nó t2: O jogador M escolhe xM=30 pois 540>336

No nó t1: O jogador M escolhe xM=24 pois 576>540

No nó t0: O jogador G escolhe i=0 pois 30>24

O equilíbrio resultante é: (0, (24, 30), (ne, ne, e, ne))

O payoff de equilíbrio é: (30, 540, 0).

(iii) Comente o resultado obtido: O que acontecerá em equilíbrio? O que este jogo nos sugere

em termos de política de importação para um governo?

Em equilíbrio, o governo reduz a zero o imposto de importação. O monopolista,

percebendo que importar se tornou potencialmente lucrativo para o entrante, decide produzir

muita quantidade (xM=30), para desestimular o importador a entrar no mercado. Observando a

i=8 i=0

G

xM=24

E

e

E

e ne ne

24 432 −14

M M

xM=30

E E

e e ne ne

24 576

0

30 450 −41

24 336

50

24 576

0

30 330 − 1

30 540

0

30 540

0

xM=24 xM=30

t0

t1 t2

t3 t4 t5 t6

8

produção de M, o entrante conclui que não vale a pena incorrer no custo de abrir um negócio

de importação, mesmo sem ter que pagar impostos de importação, e permanece fora do

mercado. Então M permanece monopolista, mas graças à política do governo, produz mais do

que o ótimo de monopólio, 24. Este exercício nos mostra como o governo pode usar

estrategicamente sua política de importação para aumentar a produção interna.

Problema 3-Economia do Setor Público

O objetivo deste exercício é estender a análise de leilões aos procedimentos de

aquisição de serviços pelo setor público, ou seja, as licitações. Para tanto, considere um

governo que deseja adquirir um bem e para tanto divulga o seguinte mecanismo para a seleção

da empresa que fornecerá o bem ao governo.

Cada empresa deverá escrever em envelope lacrado um valor para o fornecimento do

bem. Os envelopes são abertos ao mesmo tempo e a empresa que apresentar o menor preço

para o fornecimento do bem será escolhida, sendo o preço solicitado aquele que será pago

pelo governo à vencedora.

Suponha que existem duas empresas i=1,2 concorrendo. A empresa i consegue

produzir o bem demandando ao custo ci∈[0,1]. A empresa i conhece seu custo ci. No entanto,

sua competidora (e o governo) sabe apenas que seu custo encontra-se uniformemente

distribuída no intervalo [0,1].

(i) Apresente a utilidade ex-post do jogador 1 quando seu custo é c1, o custo do jogador 2 é

c2 e os jogadores seguem o perfil de estratégias (d1(.), d2(.)).

u1 d1(c1),d2 (c2 )( ), c1,c2( )( ) =

d1(c1)− c1 se d1(c1)< d2 (c2 )d1(c1)− c1

2se d1(c1) = d2 (c2 )

0 se d1(c1)> d2 (c2 )

"

#

$$

%

$$

(ii) Suponha que o jogador 2 escolhe uma estratégia d2(.) estritamente crescente. Apresente a

utilidade esperada ínterim do jogador 1 quando seu custo é c1, seu lance é γ.

U1 γ,d2 (.);c1( ) = γ − c1( )Pr γ < d2 c2( )"# $%+λ1 − c12

Pr γ = d2 c2( )"# $%

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(iii) Qual é o problema de maximização que 1 deve resolver para escolher o valor de γ que

será uma melhor resposta à estratégia d2(.) (estritamente crescente de 2), dado seu tipo c1?

Resolva esse problema supondo simetria na solução: d1(c)=d2(c)=d(c), para todo c em [0,1].

γmax γ − c1( )Pr γ < d2 c2( )"# $%+

γ − c12

Pr γ = d2 c2( )"# $%

Seja d=d1=d2. Como d é estritamente crescente, o problema acima é equivalente a:

λ1max γ − c1( )Pr γ < d(c2 )[ ]

Como γ<d(c2) ⇔ c2>d−1(γ), Pr γ < d(c2 )[ ] = Pr c2 > d−1 γ( )"# $%=1−Pr c2 < d

−1 γ( )"# $%

Portanto, o problema acima é equivalente a:

γmax γ − c1( ) 1− d−1 γ( )( )

Se a função objetivo acima for côncava, a condição de primeira ordem nos dará a

solução. Essa condição é:

− γ − c1( ) d−1( )" (γ )+ 1− d−1(γ )( ) = 0

Em um equilíbrio de Nash bayesiano γ é escolhido de forma que γ=d(c1). Assim, a equação

acima pode ser reescrita como:

d c1( )− c1( ) d−1( )" (d(c1)) =1− c1

Como d−1 é a inversa de d, temos: d−1( )

"(d(c1)) = "d (c1)( )−1 , de forma que a equação acima se

transforma em:

d c1( )− c1"d c1( )

=1− c1⇒ d c1( )− c1 = 1− c1( ) "d c1( )⇒ c1 = d c1( )− 1− c1( ) "d c1( )

Observe que ∂ − 1− c1( )d c1( )#$ %&

∂c1= d c1( )− 1− c1( ) 'd c1( ) . Portanto, integrando a equação acima

temos: k + c12

2= − 1− c1( )d c1( )

Na expressão acima k é uma constante de integração. Observe agora que quando o jogador 1

tem custo máximo, c1=1, ele não aceitará fornecer o objeto por menos que esse custo máximo,

ou seja d(1)=1. Substituindo na equação acima obtemos: k + 12= 0 , portanto k = − 1

2.

10

Destarte, a equação se reduz a:

−12+c12

2= − 1− c1( )d c1( )⇔ 1− c1

2

2= 1− c1( )d c1( )

1− c1( ) 1+ c1( )2

= 1− c1( )d c1( )⇔ 1+ c12

= d c1( )

Portanto, o lance do jogador 1 em equilíbrio é: d c1( ) = 1+ c12

Por simetria, o jogador 2 também escolhe a mesma função de lance.

Em princípio deveríamos agora confirmar que, se 2 escolhe d, o problema de

maximização de 1 é côncavo. No entanto, isso não é pedido nesta prova.

(iv) Calcule o custo esperada para o governo.

O pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 1 é:

d c1( )c1

1

∫ dc20

1

∫ dc1 = d c1( )0

1

∫ 1− c1( )dc1 =1+ c12

⋅ 1− c1( )0

1

∫ dc1 =12

1+ c1( ) ⋅ 1− c1( )0

1

∫ dc1

=12

1− c12( )

0

1

∫ dc1 =12c1 −

13c13#

$%&

'(0

1

=121− 13

)

*+

,

-.=13

Por simetria, esse também é o pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 2. Portanto, o

pagamento esperado total do governo é: 23

.

(v) Suponha agora que, devido à incerteza a respeito do verdadeiro custo para as licitantes, o

governo decide adotar a política de autorizar, se solicitado pela empresa vencedora, um

aumento de até 25% do valor vencedor no momento da entrega do bem. As empresas

participantes têm conhecimento desse ajuste automático e o incorporam em seus cálculos. Os

próximos itens dizem respeito a este novo leilão com ajuste de valores.

Apresente a nova utilidade ex-post do jogador 1 quando ele incorpora o aumento que

receberá ao entregar o bem graças a esse ajuste.

Seja δ=1,25. Então,

11

u1 d1(c1),d2 (c2 )( ), c1,c2( )( ) =

δd1(c1)− c1 se d1(c1)< d2 (c2 )δd1(c1)− c1

2se d1(c1) = d2 (c2 )

0 se d1(c1)> d2 (c2 )

"

#

$$

%

$$

(vi) Construa e resolva o novo problema de maximização do jogador 1. Apresente o equilíbrio

de Nash do novo jogo.

O argumento é completamente análogo àquele apresentado anteriormente, bastando

substituir d por δd. Segue a resolução.

λ1max δγ − c1( )Pr γ < d(c2 )[ ]

Como γ< d(c2) ⇔ c2 > d−1 γ( ) ,Pr γ < d(c2 )[ ] = Pr c2 > d−1 γ( )"# $%=1−Pr c2 < d

−1 γ( )"# $%

Portanto, o problema acima é equivalente a: γ

max δγ − c1( ) 1− d−1 γ( )( )

Se a função objetivo acima for côncava, a condição de primeira ordem nos dará a

solução. Essa condição é:

− δγ − c1( ) d−1( )" (γ )+δ 1− d−1(γ )( ) = 0

Em um equilíbrio de Nash bayesiano γ é escolhido de forma que γ=d(c1). Assim, a equação

acima pode ser reescrita como: δd c1( )− c1( ) d−1( )" (d(c1)) = δ 1− c1( )

Como d−1 é a inversa de d, temos: d−1( )

"(d(c1)) = "d (c1)( )−1 , de forma que a equação acima se

transforma em:

δd c1( )− c1"d c1( )

= δ 1− c1( )⇒ δd c1( )− c1 = δ 1− c1( ) "d c1( )⇒ c1 = δ d c1( )− 1− c1( ) "d c1( )#$ %&

Observe que ∂ − 1− c1( )d c1( )#$ %&

∂c1= d c1( )− 1− c1( ) 'd c1( ) . Portanto, integrando a equação acima

temos: k + c12

2= −δ 1− c1( )d c1( )

Na expressão acima k é uma constante de integração. Observe agora que quando o jogador 1

tem custo máximo, c1=1, ele não aceitará fornecer o objeto por menos que esse custo máximo,

12

ou seja d(1)=1. Substituindo na equação acima obtemos: k + 12= 0 , portanto k = − 1

2.

Destarte, a equação se reduz a:

−12+c12

2= −δ 1− c1( )d c1( )⇔ 1− c1

2

2= δ 1− c1( )d c1( )

1− c1( ) 1+ c1( )2

= δ 1− c1( )d c1( )⇔ 1+ c12δ

= d c1( )

Portanto, o lance do jogador 1 em equilíbrio é: d c1( ) = 1δ1+ c12

Por simetria, o jogador 2 também escolhe a mesma função de lance.

Em princípio deveríamos agora confirmar que, se 2 escolhe d, o problema de

maximização de 1 é côncavo. No entanto, isso não é pedido nesta prova.

(viii) Calcule o custo esperado para o governo e discuta o efeito dessa nova regra.

O pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 1 é:

δd c1( )c1

1

∫ dc20

1

∫ dc1 = δ d c1( )0

1

∫ 1− c1( )dc1 = δ1δ1+ c12

⋅ 1− c1( )0

1

∫ dc1 =1+ c12

⋅ 1− c1( )0

1

∫ dc1 =13

Por simetria, esse também é o pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 2. Portanto, o

pagamento esperado total do comprador é: 23

.

Observe que não houve qualquer alteração no pagamento do governo, nem do ponto

de vista esperado, nem do ponto de vista ex-post, ou seja, o governo paga exatamente o

mesmo montante que antes para o vencedor do tipo c1. A razão disso é que o jogador divide

seu lance d por δ e em seguida o governo multiplica esse valor por δ, voltando ao mesmo

valor do modelo anterior.

A principal conclusão que se tira deste estudo é que a regra de aumento

(semi)automático de um percentual δ não afeta o custo em equilíbrio para o governo, mas o

mascara, ao fazer com que os valores vitoriosos não sejam os valores finais realmente pagos.

O que ocorre aqui é que os jogadores incorporam esse benefício nos seus cálculos e a

competição entre eles faz com que abaixem suas propostas na proporção inversa, fazendo com

que o efeito final seja nulo em comparação com o mecanismo original.

Pontuação:

13

Problema 1 – ½ cada item. Total 3 pontos.

Problema 2 – 2 pontos a construção, 1 ponto a resolução e o comentário. Total 3 pontos

Problema 3 – ½ ponto os dois primeiros itens, 3 pontos a resolução, mais três pontos a

questão do aumento. Total 7 pontos.

Total geral: 13 pontos sobre 10. Três pontos extras.