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Análise Dimensional111
* Coerência de equações
Equações dimensionalmente homogéneas
* Redução do número de variáveis
Planeamento de experiências
Tratamento de dados
Redução do número de ensaios
Objectivos
* Semelhança
Extrapolação de resultados (modelos vs protótipos)
Validação de dados experimentais
Análise Dimensional222
* Força de arrasto numa esfera. De que depende a força?
* Quantas experiências?
ex: 10 valores para cada variável
Um exemplo: determinação da força de atrito num corpo
( )ρµ,,,DUfF =
* Problemas:
tempo de ensaios
representação e interpretação dos dados:
10x10=100 gráficos de F=f(U,D)
000,10104 ==n
Análise Dimensional333
* Enunciado: n variáveis dimensionais podem ser reduzidas a k variáveis adimensionais (Π’s), sendo o grau de redução, j (=n-k) menor ou igual ao número de dimensões necessárias para definir o porblema
* Aplicação:
1. listar variáveis
Teorema dos Π’s de Buckingham
2. listar as dimensões de de acordo com sistema
3. determinar j. Escolher j variáveis. Em princípio j=nº de dimensões; caso contrário j=j-1
( ) ( ) 0,....,,,...., 321321 === nn xxxxgxxxfx
θT,L,M,ix
Análise Dimensional444
Teorema dos Π’s de Buckingham (cont)
* Aplicação:
4. Critérios:
Cada dimensão deve aparecer pelo menos uma vez entre as jvariáveis
Evitar escolher a variável dependente
De preferência escolher variáveis que incluam a massa (ρ), a cinemática (U), geometria (D)
Evitar escolher a tensão superficial (σ)
Análise Dimensional555
* Aplicação:
4. juntar cada uma das restantes (n-j) variáveis, por sua vez, ao grupo das j variáveis e determinar os expoentes das j variáveis por forma a que o grupo formado seja adimensional:
repetir o processo n-j vezes
5. Confirmar que os vários Π’s são adimensionais
Teorema dos Π’s de Buckingham (cont)
( ) ( ) ( ) ( ) 0001 TLM
321== n
cj
bj
aj xxxxΠ
Análise Dimensional666
Exemplo (força de arrasto em esfera)
* Listagem de dimensões:
* Escolha das j variáveis:
j=3
* Determinação de grupos adimensionais:
F U D ρ µ
MLT-2 LT-1 L ML-3 ML-1T-1
DU ,,ρ
( ) ( ) ( ) ( ) 0002311 TLMMLTMLLTL =⇒= −−− cbacba FUDΠ ρ
Análise Dimensional777
Exemplo (força de arrasto em esfera)
* Resolvendo sistema:
* Significado físico:
F221 C==DUFΠ
ρ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−=
122
cba
Re1
2 ==UD
Πρµ
( )ReCF g=
viscosasForçasinércia de ForçasRe
2===
DUUUD
µ
ρµ
ρ
inércia de Forçasatrito de ForçasC 22F ==
DUF
ρ
Análise Dimensional888
cavitação
superfície livre
atomização
..............
Outros números adimensionais
inércia de Forçaspressão de ForçasEu 2 ==
Upaρ
nalgravitacio Forçainércia de ForçasFr
2==
gDU
lsuperficia Forçainércia de ForçasWe
2==
σρ DU
Análise Dimensional999
Semelhança
* Que variáveis são importantes?
* Em que condições os resultados de um modelo são aplicáveis a um protótipo?
Semelhança geométrica
pm LL α=
Análise Dimensional101010
Semelhança (cont)
Semelhança geométrica; pontos homólogos
Análise Dimensional111111
Semelhança (cont)
Semelhança cinemática – ‘partículas’ homólogas estão em locais homólogos em tempos homólogos
Semelhança dinâmica – em pontos homólogos o polígono de forças é semelhante entre o modelo e o protótipo
A igualdade dos números adimensionais relevantes garante estas condições
.............. ==⇒==m
m
p
p
m
p
m
p
f
i
f
i
f
f
i
i
FF
F
F
F
F
F
F
.....;; 2211 mpmpΠΠΠΠ ==⇒
.....;CC;MaMa;ReRe pFmF ===⇒ pmpm
Análise Dimensional121212
Dificuldades: barco
Garantir igualdade dos Nº Re e Fr
Para Fr
pm LL α=
α=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒=⇒=
m
p
p
m
m
p
m
m
p
p
UU
LL
UU
gLU
gLU
5.022
mp FrFr
Análise Dimensional131313
Dificuldades: barco (cont)
Para Re
se α=0.1;
na prática: igualar Fr
αανν
νν
νν=⇒=⇒=⇒=
p
m
p
m
p
m
p
m
m
mm
p
pp
UU
LLLULU
mp ReRe
pm νν 032.0=
Análise Dimensional141414
Garantir igualdade dos Nº Re e Ma
Para Fr
Para Re
teste em fluido de baixa viscosidade e elevada velocidade som (H2)!!!!
Dificuldades: avião
m
m
p
p
aU
aU
=⇒= mp MaMa
m
mm
p
pp LULUνν
=⇒= mp ReRe
m
p
p
m
p
maa
LL
=⇒νν
Análise Dimensional151515
Dificuldades: avião (cont)
discrepância entre as condições de ensaio e as de funcionamento
pressurizar túnel
ensaios em água
Análise Dimensional161616
Dificuldades: água
diferentes factores de escala
gotas de água!!!