UnB- Universidade de Brasiacutelia

Projeto Jogos Aplicados aacute Promoccedilatildeo do Desempenho Cognitivo de Idosos (ProDC)

Professora Lourdes Mattos Brasil

Aluna Dandara Pereira Aranha

Resumo

Livro Teoria dos Jogos ndash 2deg Ediccedilatildeo Editora Pearson

Autores H Scott Bierman Luis Fernandez

Introduccedilatildeo

Embora dirigido a estudantes de graduaccedilatildeo em economia este livro pode

ser uacutetil para quem quiser aprender a linguagem e as ideacuteias da teoria dos jogos em

um niacutevel de introduccedilatildeo O livro daacute ecircnfase na aplicaccedilatildeo de um conjunto

relativamente pequeno de ferramentas da teoria dos jogos para entender

fenocircmenos econocircmicos importantes

Ele seleciona exemplos de uma ampla gama de aacutereas para que os

estudantes possam perceber o poder da teoria dos jogos para quem estuda

economia Podemos encontrar aplicaccedilotildees da teoria na economia do trabalho na

economia do setor puacuteblico no comeacutercio internacional na economia de recursos

naturais na macroeconomia e financcedilas corporativas em atividades bancaacuterias e

eacute claro na organizaccedilatildeo industrial citando apenas algumas Lendo o livro inteiro

aleacutem de aprender muito sobre teoria dos jogos vecirc-se muita coisa sobre a

moderna modelagem em economia

Parte I ndash Jogos Estaacuteticos com informaccedilatildeo Completa

Teoria dos jogos

A teoria dos jogos preocupa-se com o modo como indiviacuteduos tomam

decisotildees quando estatildeo cientes de que suas accedilotildees afetam uns aos outros e

quando cada indiviacuteduo leva isso em conta Eacute a interaccedilatildeo entre tomadores de

decisotildees individuais todos eles com um propoacutesito em vista cuja decisotildees tem

implicaccedilotildees para outras pessoaso que torna as decisotildees estrateacutegicas diferentes

de outras decisotildees

Eacute uma teoria matemaacutetica criada para se modelar fenocircmenos que podem

ser observados quando dois ou mais ldquoagentes de decisatildeordquo interagem entre si Ela

fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de processos de decisatildeo conscientes e

objetivos envolvendo mais do que um indiviacuteduo

A Teoria dos jogos eacute usada para se estudar assuntos tais como eleiccedilotildees

leilotildees balanccedila de poder evoluccedilatildeo geneacutetica etc Ela eacute tambeacutem uma teoria

matemaacutetica pura que pode e tem sido estudada como tal sem a necessidade de

relacionaacute-la com problemas comportamentais ou jogos per se

Algumas pessoas acreditam que a Teoria dos Jogos formaraacute em algum dia

o alicerce de um conhecimento teacutecnico estrito de como decisotildees satildeo feitas e de

como a economia funciona O desenvolvimento da teoria ainda natildeo atingiu este

patamar e hoje a Teoria dos Jogos eacute mais estudada em seus aspectos

matemaacuteticos puros e em aplicaccedilotildees ela eacute usada como uma ferramenta ou

alegoria que auxiliam no entendimento de sistemas complexos

Assim concluiacutemos que a teoria dos jogos pode ser definida como a teoria

dos modelos matemaacuteticos que estuda a escolha de decisotildees oacutetimas sob

condiccedilotildees de conflito O elemento baacutesico em um jogo e o conjunto de jogadores

que dele participam Cada jogador tem um conjunto de estrateacutegias Quando cada

jogador escolhe sua estrateacutegia temos entatildeo uma situaccedilatildeo ou contigecircncia no

espaccedilo de todas as situaccedilotildees (contigecircncias) possiacuteveis Cada jogador tem

interesse ou preferecircncias para cada situaccedilatildeo no jogo Em termos matemaacuteticos

cada jogador tem uma funccedilatildeo utilidade que atribui um nuacutemero real (o ganho ou

payoff do jogador) a cada situaccedilatildeo do jogo

Mais especificamente um jogo tem os seguintes elementos baacutesicos existe

um conjunto finito de jogadores representado por G = g1 g2 gn Cada

jogador gi isin G possui um conjunto finito Si = si1 si2 simi de opccedilotildees

denominadas estrateacutegias puras do jogador gi (mi ge 2)

Um vetor s = (s1j1 s2j2 snjn) onde siji eacute uma estrateacutegia pura para o

jogador gi isin G eacute denominado um perfil de estrateacutegia pura O conjunto de todos

os perfis de estrateacutegia pura formam portanto o produto cartesiano

denominado espaccedilo de estrateacutegia pura do jogo Para jogador gi isin G existe uma

funccedilatildeo utilidade

ui S rarr R

s rarr ui(s)

que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estrateacutegia pura s

isin S

Um exemplo Dilema do prisioneiro

Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos eacute o dilema do

prisioneiro Ele foi formulado por Albert W Tucker em 1950 em um seminaacuterio

para psicoacutelogos na Universidade de Stanford para ilustrar a dificuldade de se

analisar certos tipos de jogos

A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados

de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar

entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher

entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo

submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo

pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou

seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo

Neste contexto temos

G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar

S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)

As duas funccedilotildees utilidade

uAl S rarr R e uBob S rarr R

satildeo dadas por

uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10

uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e

uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0

uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os

payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs

BOB

ALL

Confessar Negar

Confessar (-5-5) (0-10)

Negar (-100) (-1-1)

Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os

payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula

Equiliacutebrio de Nash

Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash

quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais

jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos

jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o

melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo

Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem

um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves

estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se

ui(ai a-i) ge ui(aia-i)

para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N

De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um

Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema

de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai

Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as

estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista

nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente

Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia

entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de

estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo

Uma forma de fazer isso seria

Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha

Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna

Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para

cada uma das colunas

Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas

linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada

ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Parte I ndash Jogos Estaacuteticos com informaccedilatildeo Completa

Teoria dos jogos

A teoria dos jogos preocupa-se com o modo como indiviacuteduos tomam

decisotildees quando estatildeo cientes de que suas accedilotildees afetam uns aos outros e

quando cada indiviacuteduo leva isso em conta Eacute a interaccedilatildeo entre tomadores de

decisotildees individuais todos eles com um propoacutesito em vista cuja decisotildees tem

implicaccedilotildees para outras pessoaso que torna as decisotildees estrateacutegicas diferentes

de outras decisotildees

Eacute uma teoria matemaacutetica criada para se modelar fenocircmenos que podem

ser observados quando dois ou mais ldquoagentes de decisatildeordquo interagem entre si Ela

fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de processos de decisatildeo conscientes e

objetivos envolvendo mais do que um indiviacuteduo

A Teoria dos jogos eacute usada para se estudar assuntos tais como eleiccedilotildees

leilotildees balanccedila de poder evoluccedilatildeo geneacutetica etc Ela eacute tambeacutem uma teoria

matemaacutetica pura que pode e tem sido estudada como tal sem a necessidade de

relacionaacute-la com problemas comportamentais ou jogos per se

Algumas pessoas acreditam que a Teoria dos Jogos formaraacute em algum dia

o alicerce de um conhecimento teacutecnico estrito de como decisotildees satildeo feitas e de

como a economia funciona O desenvolvimento da teoria ainda natildeo atingiu este

patamar e hoje a Teoria dos Jogos eacute mais estudada em seus aspectos

matemaacuteticos puros e em aplicaccedilotildees ela eacute usada como uma ferramenta ou

alegoria que auxiliam no entendimento de sistemas complexos

Assim concluiacutemos que a teoria dos jogos pode ser definida como a teoria

dos modelos matemaacuteticos que estuda a escolha de decisotildees oacutetimas sob

condiccedilotildees de conflito O elemento baacutesico em um jogo e o conjunto de jogadores

que dele participam Cada jogador tem um conjunto de estrateacutegias Quando cada

jogador escolhe sua estrateacutegia temos entatildeo uma situaccedilatildeo ou contigecircncia no

espaccedilo de todas as situaccedilotildees (contigecircncias) possiacuteveis Cada jogador tem

interesse ou preferecircncias para cada situaccedilatildeo no jogo Em termos matemaacuteticos

cada jogador tem uma funccedilatildeo utilidade que atribui um nuacutemero real (o ganho ou

payoff do jogador) a cada situaccedilatildeo do jogo

Mais especificamente um jogo tem os seguintes elementos baacutesicos existe

um conjunto finito de jogadores representado por G = g1 g2 gn Cada

jogador gi isin G possui um conjunto finito Si = si1 si2 simi de opccedilotildees

denominadas estrateacutegias puras do jogador gi (mi ge 2)

Um vetor s = (s1j1 s2j2 snjn) onde siji eacute uma estrateacutegia pura para o

jogador gi isin G eacute denominado um perfil de estrateacutegia pura O conjunto de todos

os perfis de estrateacutegia pura formam portanto o produto cartesiano

denominado espaccedilo de estrateacutegia pura do jogo Para jogador gi isin G existe uma

funccedilatildeo utilidade

ui S rarr R

s rarr ui(s)

que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estrateacutegia pura s

isin S

Um exemplo Dilema do prisioneiro

Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos eacute o dilema do

prisioneiro Ele foi formulado por Albert W Tucker em 1950 em um seminaacuterio

para psicoacutelogos na Universidade de Stanford para ilustrar a dificuldade de se

analisar certos tipos de jogos

A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados

de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar

entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher

entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo

submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo

pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou

seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo

Neste contexto temos

G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar

S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)

As duas funccedilotildees utilidade

uAl S rarr R e uBob S rarr R

satildeo dadas por

uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10

uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e

uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0

uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os

payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs

BOB

ALL

Confessar Negar

Confessar (-5-5) (0-10)

Negar (-100) (-1-1)

Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os

payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula

Equiliacutebrio de Nash

Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash

quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais

jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos

jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o

melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo

Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem

um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves

estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se

ui(ai a-i) ge ui(aia-i)

para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N

De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um

Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema

de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai

Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as

estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista

nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente

Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia

entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de

estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo

Uma forma de fazer isso seria

Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha

Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna

Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para

cada uma das colunas

Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas

linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada

ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

que dele participam Cada jogador tem um conjunto de estrateacutegias Quando cada

jogador escolhe sua estrateacutegia temos entatildeo uma situaccedilatildeo ou contigecircncia no

espaccedilo de todas as situaccedilotildees (contigecircncias) possiacuteveis Cada jogador tem

interesse ou preferecircncias para cada situaccedilatildeo no jogo Em termos matemaacuteticos

cada jogador tem uma funccedilatildeo utilidade que atribui um nuacutemero real (o ganho ou

payoff do jogador) a cada situaccedilatildeo do jogo

Mais especificamente um jogo tem os seguintes elementos baacutesicos existe

um conjunto finito de jogadores representado por G = g1 g2 gn Cada

jogador gi isin G possui um conjunto finito Si = si1 si2 simi de opccedilotildees

denominadas estrateacutegias puras do jogador gi (mi ge 2)

Um vetor s = (s1j1 s2j2 snjn) onde siji eacute uma estrateacutegia pura para o

jogador gi isin G eacute denominado um perfil de estrateacutegia pura O conjunto de todos

os perfis de estrateacutegia pura formam portanto o produto cartesiano

denominado espaccedilo de estrateacutegia pura do jogo Para jogador gi isin G existe uma

funccedilatildeo utilidade

ui S rarr R

s rarr ui(s)

que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estrateacutegia pura s

isin S

Um exemplo Dilema do prisioneiro

Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos eacute o dilema do

prisioneiro Ele foi formulado por Albert W Tucker em 1950 em um seminaacuterio

para psicoacutelogos na Universidade de Stanford para ilustrar a dificuldade de se

analisar certos tipos de jogos

A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados

de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar

entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher

entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo

submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo

pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou

seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo

Neste contexto temos

G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar

S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)

As duas funccedilotildees utilidade

uAl S rarr R e uBob S rarr R

satildeo dadas por

uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10

uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e

uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0

uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os

payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs

BOB

ALL

Confessar Negar

Confessar (-5-5) (0-10)

Negar (-100) (-1-1)

Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os

payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula

Equiliacutebrio de Nash

Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash

quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais

jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos

jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o

melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo

Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem

um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves

estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se

ui(ai a-i) ge ui(aia-i)

para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N

De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um

Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema

de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai

Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as

estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista

nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente

Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia

entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de

estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo

Uma forma de fazer isso seria

Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha

Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna

Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para

cada uma das colunas

Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas

linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada

ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados

de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar

entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher

entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo

submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo

pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou

seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo

Neste contexto temos

G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar

S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)

As duas funccedilotildees utilidade

uAl S rarr R e uBob S rarr R

satildeo dadas por

uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10

uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e

uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0

uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1

(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os

payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs

BOB

ALL

Confessar Negar

Confessar (-5-5) (0-10)

Negar (-100) (-1-1)

Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os

payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula

Equiliacutebrio de Nash

Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash

quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais

jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos

jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o

melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo

Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem

um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves

estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se

ui(ai a-i) ge ui(aia-i)

para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N

De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um

Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema

de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai

Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as

estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista

nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente

Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia

entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de

estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo

Uma forma de fazer isso seria

Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha

Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna

Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para

cada uma das colunas

Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas

linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada

ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

BOB

ALL

Confessar Negar

Confessar (-5-5) (0-10)

Negar (-100) (-1-1)

Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os

payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula

Equiliacutebrio de Nash

Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash

quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais

jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos

jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o

melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo

Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem

um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves

estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se

ui(ai a-i) ge ui(aia-i)

para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N

De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um

Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema

de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai

Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as

estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista

nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente

Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia

entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de

estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo

Uma forma de fazer isso seria

Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha

Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna

Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para

cada uma das colunas

Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas

linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada

ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista

nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no

ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados

individualmente

Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)

resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)

jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia

entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de

estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo

Uma forma de fazer isso seria

Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da linha

Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador

que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo

jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no

lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida

pelo jogador da coluna

Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para

cada uma das colunas

Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a

melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas

linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada

ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Oligopoacutelios

Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem

perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis

redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia

aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de

eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou

Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de

precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo

sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo

competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos

Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de

oligopoacutelio

Oligopoacutelio de Cournot

Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos

limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre

de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das

firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas

firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute

O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios

existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com

a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de

Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute

necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura

moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os

jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se

produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)

O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total

produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor

Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos

consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada

firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como

faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o

mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo

Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde

as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira

aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo

simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo

imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual

foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real

Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua

escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece

a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma

consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No

entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha

considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de

produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo

considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do

bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees

tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por

restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus

competidores

Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem

um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por

P (Q) = a ndash Q

onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das

firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas

o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e

idecircntico para as empresas

C1 (q1) = cq1

C2 (q2) = cq2

onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo

representar esse jogo na forma normal

G = (S1 S2 u1 u2)

tal que temos

1 os jogadores as firmas 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute

dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no

maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita

3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees

de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por

π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1

π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2

que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como

esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento

estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela

quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da

concorrente

Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute

escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos

lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute

de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram

que

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

tal que resolvendo

o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda

conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de

funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se

tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo

exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada

da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente

mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na

sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente

Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de

reaccedilatildeo Observe que

o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave

variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria

Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que

seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves

escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores

respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas

Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que

q1 = (a - c)

de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por

(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))

Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute

e o preccedilo de mercado

de modo que o lucro da firma 1 seria

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Analogamente

Π2=

Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com

estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa

anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo

o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais

iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil

com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de

Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem

comparando os resultados com os obtidos acima

Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades

produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de

custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico

Segue o problema de uma firma i qualquer eacute

de modo que as CPOs nos mostram que

A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em

Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e

tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio

simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que

Segue que a expressatildeo acima fica

Logo em equiliacutebrio

O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A

oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute

Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo

seratildeo respectivamente

e o lucro de equiliacutebrio

πi = 0 i = 1 2 n

caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo

como esperariacuteamos em um monopoacutelio

Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n

menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas

firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende

a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma

teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo

geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para

uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente

dado pelo termo

Oligopoacutelio de Bertrand

Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea

e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via

escolha de preccedilo natildeo de quantidade

Hipoacuteteses

- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo

- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as

firmas c gt 0

- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no

produto total

Q = a ndash p

onde p eacute o preccedilo de mercado

as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo

o que for demandado agravequeles preccedilos

- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma

anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica

forma do mercado

- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado

igualmente cada uma com metade

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria

escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma

1 por exemplo seu lucro seraacute

- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se

seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o

lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de

cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das

hipoacuteteses

- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para

preccedilos tais que

pi ge c i = 1 2

qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado

- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas

cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero

- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado

pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira

ordem

- entatildeo o que fazer

observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que

cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival

Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o

custo marginal

Vejamos agora o argumento formal para isso

1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada

unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo

- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda

que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem

incentivos a desviar

- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de

modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia

(melhor resposta)

2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma

i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c

Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio

- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos

p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo

seria nulo

- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e

dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo

um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo

Logo

p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1

- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados

p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2

de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os

preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo

um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel

no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas

duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida

em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta

Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa

Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam

ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros

participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se

movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que

se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles

Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua

estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso

deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos

dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de

trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas

sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem

tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se

mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico

A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das

ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber

que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees

Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou

estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute

que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o

passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se

fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma

estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza

ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma

extensiva

Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as

seguintes informaccedilotildees

quais satildeo os jogadores participantes

quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele

for chamado a decidir

a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando

toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma

decisatildeo

os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que

tenham sido tomadas ateacute o final do jogo

Exemplo

Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por

convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto

Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos

estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha

Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos

dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute

mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui

uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve

especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo

contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele

No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute

Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo

dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes

terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que

jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo

lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores

Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos

1 os jogadores 1 e 2

2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto

3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua

escolha

4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe

inequivocadamente qual foi a escolha de 1

5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de

escolhas dos jogadores

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as

caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como

veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a

tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o

jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os

payoffs seratildeo (4 1)

Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita

Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da

seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute

mudanccedila significativa)

1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo

conjunto de possibilidades de estrateacutegias

2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu

conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1

tomou

3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua

escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro

jogador

Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas

pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois

jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores

pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais

relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos

jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma

apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo

Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como

jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa

A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir

Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um

exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos

jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral

dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem

racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam

sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam

promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a

granada e se matar)

Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever

formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador

possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele

jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso

o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter

estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas

futuras dos outros jogadores

Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de

informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo

uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que

adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute

descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o

jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a

escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave

escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha

Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O

fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2

pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por

isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para

que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no

momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute

que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse

pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia

Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua

escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher

uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute

de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas

de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias

que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse

resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis

pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees

possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em

eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem

atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o

jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo

Exemplo1

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2

deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis

se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3

unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas

2 unidades caso escolhesse d

se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1

unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria

obtido se nesse caso ele escolhesse e

Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees

efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e

assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute

portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)

Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo

do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse

por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que

natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado

Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o

jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior

Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo

serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o

jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento

de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer

muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba

que o jogador 2 tambeacutem o seja

Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue

apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode

ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo

se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as

respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo

retroativa tomando como base tais possibilidades

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Exemplo 2

Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado

enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse

mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista

escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se

(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)

Vejamos a forma extensiva deste jogo

Na forma extensiva teriacuteamos

1 os jogadores as firmas E e I

2 os espaccedilos de estrateacutegia

SE = (fora entra)

SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)

3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e

entatildeo decide se reage ou se acomoda

4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou

5 os payoffs

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a

firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela

acomode

Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da

firma I de lutar caso ela faccedila isso

Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal

Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o

resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I

luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e

portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de

equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia

de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio

de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas

esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional

Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o

chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo

perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido

via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem

disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos

entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma

Barganha sequumlencial

Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no

dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho

adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de

algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que

presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo

ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que

eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo

extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais

situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal

caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de

informaccedilatildeo completa

O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de

construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real

o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um

bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em

uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o

comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base

Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser

retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente

pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de

regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um

custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte

poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio

inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de

oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os

custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos

podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas

greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis

Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes

param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam

parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no

contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse

sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses

No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como

pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores

satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo

modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de

fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os

resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees

como um todo mas tatildeo somente entender esses

processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa

O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos

considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um

sindicato de trabalhadores

Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um

determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento

comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as

partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito

sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel

para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo

1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo

2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo

termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo

continua

3 o sindicato propotildee uma divisatildeo

4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo

termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila

do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo

tambeacutem termina

Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta

Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para

repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4

os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a

intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute

dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e

instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em

diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor

imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros

da seguinte forma

onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa

de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o

tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das

partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja

maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu

compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda

nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a

nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as

partes tecircm a mesma taxa de desconto

Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore

assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de

memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de

conhecimento comum em cada um desses noacutes

Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o

jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro

[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode

ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso

contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -

y) de modo que oferece a 1 y

Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo

termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo

estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente

do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo

De

Pede-se

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em

mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete

derretendo)

2 Represente o jogo na sua forma extensiva

Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no

segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila

do Trabalho

2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito

Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o

sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam No

primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos

Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao

resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores

aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por

3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em

primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios

A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva

supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar

no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro

estaacutegio no segundo estaacutegio e

caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo

da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os

empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se

Logo a proposta seraacute

e os ganhos nesse estaacutegio seriam

No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes

aceitam se e somente se

de modo que a oferta oacutetima seraacute

e os ganhos seriam

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos

trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os

empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam

dados por

Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se

ou seja se

o que eacute sempre verdade para todo

Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos

Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos

Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes

simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em

pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica

anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto

sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou

no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como

visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash

encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte

simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo

Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo

que tem as seguintes propriedades

inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro

por linhas tracejadas)

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses

pontos

natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto

de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por

alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam

tais linhas

Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em

forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios

podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis

Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo

permite ameaccedilas inacreditaacuteveis

Induccedilatildeo Reversa

A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de

um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a

teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao

comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos

seguintes passos

1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ

2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das

histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i

enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo

que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza

a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo

cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i

segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao

passo seguinte

3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira

(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo

vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo

escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente

antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua

as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada

dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as

probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe

ao passo seguinte

4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se

move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito

em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte

5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2

Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o

algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em

estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema

Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem

um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro

Jogos Repetidos

Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em

relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer

isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de

jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a

de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente

poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os

outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os

envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo

de fato poderaacute se manifestar na realidade

Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero

finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo

a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de

jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Jogos repetidos finitos

A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os

jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se

repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em

um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles

sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles

dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com

base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute

o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora

e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes

Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do

ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes

sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute

conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente

a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga

Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes

para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se

iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do

primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo

Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda

rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no

segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado

apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais

ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a

jogaratildeo na segunda vez

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute

jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o

outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba

que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem

mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no

futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima

rodada Portanto podemos concluir que

Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs

dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido

na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda

que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os

jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas

via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido

No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os

jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e

assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas

vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos

nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles

antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute

portanto encarado como se fosse o seguinte

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens

possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo

novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia

dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros

repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A

cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que

houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por

exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo

assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo

ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total

superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia

dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos

apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido

mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado

n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes

Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que

justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria

porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo

ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na

quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado

geral pode ser apresentado da seguinte maneira

Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-

multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia

um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores

e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs

obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um

equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de

Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com

informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47

seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas

um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute

agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os

seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos

payoffs obtidos em cada estaacutegio

Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo

for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas

nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um

Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez

Parte III ndash Jogos com resultados incertos

Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso

significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil

de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso

Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem

seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo

quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores

natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam

Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo

Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe

quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza

quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos

jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que

nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com

consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias

Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da

situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza

Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da

natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar

qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo

Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma

probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam

desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo

natildeo eacute disponiacutevel ao agente

Teoria da Utilidade Esperada

A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de

anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos

decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre

aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande

vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em

anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem

qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de

utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo

tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de

utilidade

A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir

preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no

qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais

de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos

estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da

Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John

von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da

Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Preferecircncia ao Risco

O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido

atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor

monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para

modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo

dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados

Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o

analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute

fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem

utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os

sentimentos subjetivos do indiviacuteduo

Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com

maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando

apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no

mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno

esperado e minimizar o risco do empreendimento

No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de

elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo

risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que

definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto

focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles

devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o

risco dos projetos

Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e

retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo

financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute

tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso

ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a

perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso

Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor

estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em

assumir riscos

Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas

decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem

considerar sua limitaccedilatildeo de recursos

Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de

comportamento frente ao risco

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a

utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo

Funccedilatildeo-Utilidade

A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao

risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como

funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados

comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas

funccedilotildees

As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem

1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros

Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees

matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se

adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas

satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada

O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade

Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete

quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute

inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de

modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o

paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo

Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador

de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo

poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima

A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel

eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o

elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por

esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em

determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor

ou outro cenaacuterio

Valor Esperado da Utilidade

A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade

atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)

O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Onde

VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso

VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso

Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor

Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e

empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado

Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez

atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo

a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro

Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo

pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas

loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100

Para a Loteria A

U(R$ 120000000) = 80

U( - R$ 20000000) = -90

Para a Loteria B

U(R$ 1200) = 20

U( - R$ 200) = - 5

Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade

VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5

VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75

Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria

na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda

de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade

positiva para o indiviacuteduo

Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da

Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de

maneira individual e subjetiva

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Equivalente Certo

Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de

Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que

o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo

incerta tambeacutem conhecida como loteria

O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de

investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem

incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor

certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de

um determinado jogo

No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e

incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a

receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto

Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o

comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o

Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio

Vejamos

bull Indiferente ao Risco EqC = VME

bull Propenso ao Risco EqC gt VME

bull Avesso ao Risco EqC lt VME

Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor

do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo

Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado

e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim

sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo

EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo

para se prevenir do risco de perder

O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica

seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a

referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute

uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima

ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o

miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo

Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza

ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio

Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e

crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite

o montante oferecido para abandonar a loteria

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000

No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente

ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades

financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes

bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000

bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000

e

bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000

Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o

milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se

deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de

complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-

vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de

forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$

50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria

Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando

reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito

tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos

de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que

iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como

propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$

70000

Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio

quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos

negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica

para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos

Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder

uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que

acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco

bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$

30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro

O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento

dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo

pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala

definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos

Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos

resultados

Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)

UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10

VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10

UM (EqC) = UM (R$50000) = 10

Alexandre (EqC = R$ 70000)

UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2

VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

UA (EqC) = UA (R$70000) = 4

Joatildeo (EqC = R$ 30000)

UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50

VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20

UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20

Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs

participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta

frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento

indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como

mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser

interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os

valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma

cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o

dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes

de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo

que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior

utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre

Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas

financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao

risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma

anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso

das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo

maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior

toleracircncia ao risco

A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente

Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe

a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente

Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e

incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta

limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela

definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da

utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que

quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo

Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e

incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes

da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta

Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo

privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico

e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo

privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores

possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de

uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de

um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que

natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um

levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato

de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o

negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo

Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos

estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho

dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de

informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo

seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida

em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros

jogadores

Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e

apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos

de jogos dinacircmicos

Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo

leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do

bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances

(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos

jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos

bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no

proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas

da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente

dinacircmicas

Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo

bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio

bayesiano de Nash

Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute

aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob

informaccedilatildeo incompleta

Cournot sob informaccedilatildeo incompleta

Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem

simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute

P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2

A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por

C1 (q1) = cq1

e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada

por

A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma

pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova

tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de

probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo

no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe

que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente

Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma

que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

E analogamente caso ela seja mais eficiente vai

Decorre das CPOacutes dos problemas acima que

que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela

seja de custo alto ou de custo baixo

Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho

esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1

tal que as CPOacutes implicam que

tal que

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da

interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que

Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as

demais ex- pressotildees de equiliacutebrio

Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo

A oferta esperada da induacutestria seraacute

Ou seja

Logo

ou ainda

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

tal que

O preccedilo esperado por sua vez seraacute

Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1

seraacute

Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro

da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo

Ou seja

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

tal que

exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que

O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em

Cournot

Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de

custo alto considere a expressatildeo abaixo

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Logo

Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos

de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se

ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n

jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os

espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e

suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo

privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute

elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)

do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1

outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip

An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor

de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin

natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A

seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin

os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira

introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute

transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza

revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua

crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes

Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas

relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua

funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e

a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )

Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o

jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti

possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as

funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai

No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn

u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada

tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai

que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip

sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada

jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute

agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros

32 Aplicaccedilotildees

32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)

Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser

reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um

pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos

32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi

distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente

crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2

32C Jogos de dupla oferta

Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de

venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +

pc) 2 somente se pc ge pv

Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo

existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por

exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade

marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo

privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se

for eficiente (ie se v le m)

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta

Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes

Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do

espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall

O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a

probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade

condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada

de cada evento Aj

Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a

probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite

detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um

indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90

dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila

o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o

resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90

) A resposta eacute 9 10 000

Equiliacutebrio Bayesiano

Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo

um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma

normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de

forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele

sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um

equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas

natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve

especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro

tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos

outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais

Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo

bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para

todo i isin N e ti isin Ti

onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj

Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que

C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades

satildeo dadas nas tabelas a seguir

Para o tipo 21

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Para o tipo 22

Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute

fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve

escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e

a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo

eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1

Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α

ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com

probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as

tabelas a seguir

Para o tipo α

Para o tipo β

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)

= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12

σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1

Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa

1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2

ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se

entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o

que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela

lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas

utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca

Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios

bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2

Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr

p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por

bull se o jogador 2 for forte

bull se o jogador 2 for fraco

Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a

utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este

tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se

entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute

indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)

times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto

ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2

e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio

Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α

gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1

σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0

Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|

Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1

Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o

tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto

nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros

jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como

mostra o seguinte exemplo

Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que

estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2

Ou

Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1

escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2

ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2

esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash

teremos que ambos jogadores recebem 2

Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando

qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante

para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a

estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o

jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio

o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2

Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra

adquirida pelo jogador 2