3 resumo teoria dos jogos ronaldo fiani

Teoria dos JogosRonaldo Fiani;Editora Campus, 3 edio

Captulo 1: Por que estudar teoria dos jogos?

> O interesse por jogos

A ideia de jogo remete competio;Desde crianas a adultos;

Geralmente as pessoas adotam a ideia de jogo nas relaes sociais, j que os indivduos ou organizaes tomam decises em situao de interao estratgica;

Interao estratgica: situao em que os indivduos ou organizaes reconhecem a interdependncia de suas aes com relao aos demais agentes;

Situaes em que h interao estratgica podem ser caracterizadas como jogos;

> Entendendo a lgica da situao: A batalha do mar de Bismark

Em dezembro de 1942 o comando de guerra japons decidiu transferir parte de suas tropas para reforar uma de suas bases avanadas;Tinham duas opes: sul, com boa visibilidade, e norte, com visibilidade ruim;Precisavam de trs dias para completar a transferncia das unidades;Corriam o risco de sofrera ataque por parte das foras aliadas;

Se os aliados encontrassem os japoneses no primeiro dia de buscas poderiam iniciar os ataques ainda no primeiro dia;Se encontrassem no sul teriam trs dias para atacar, em funo da boa visibilidade;Se encontrassem no norte teriam dois dias para atacar, por conta da visibilidade ruim;Se procurassem no lugar errado perderiam um dia de ataque por conta das buscas;

Os aliados encontraram os japoneses no norte ainda no primeiro dia de buscas;Como? Dada a complexidade da situao so muitos os fatores envolvidos;Necessita-se de um modelo simplificador;

Modelo: representao simplificada de um objeto de estudo;Objeto de estudo: interao estratgica;Simplificada: Propositalmente alguns elementos so destacados enquanto outros so omitidos;No uma seleo arbitrria, dependendo da relevncia de cada fator para o entendimento da situao;Implica na importncia da seleo dos elementos, que podem direcionar concluses equivocadas;

Modelo para a batalha de BismarkComboio japons

SulNorte

Foras aliadasSul (1 dia)31

Norte (1 dia)22

Foras aliadas: A melhor estratgia depende da escolha do comboio japons;Comboio japons: Ir pelo norte a melhor estratgia;Se os aliados orem para o sul s haver um dia de bombardeios;Se os aliados forem para o norte haver um ataque de dois dias, equivalente a deciso de os japoneses irem pelo sul;

Hipteses observadas no jogo: H1: Os agentes agem racionalmente;H2: As informaes so conhecidas por todos os jogadores;

O modelo simplificado permite entender a lgica situacional/da situao;

Lgica da situao: Compreender a lgica de uma situao em termos objetivos, excluindo a subjetividade presente;

Termos objetivos: dados concretos/objetivos;Termos subjetivos: contextos, pensamentos e emoes dos indivduos analisados;

O ponto de partida de qualquer anlise de uma situao estratgica ser a aplicao de um modelo;

> As vantagens de estudar teoria dos jogos

Duas vantagens principais:1 Entender teoricamente, porque utiliza de abstraes, o processo de deciso dos agentes interagidos numa situao na qual se aplique a lgica situacional;Depender: Que as hipteses iniciais se apliquem ao modelo;Que cada modelo seja compreendido a partir das circunstncias especficas em que concebido;2 Desenvolve a capacidade de raciocinar estrategicamente, evitando que se fique preso intuio;Exemplo: Jogo da votao da diretoria;

Jogo de votao da diretoria: Uma empresa conta com trs diretores e deseja estabelecer seu plano para o ano seguinte, contando com trs decises possveis: Investir (nova fbrica), Ampliar (aumentar a fbrica existente), Aplicar (mercado financeiro);A votao realizada em dois turnos, comparando a vencedora entre duas opes quaisquer com a terceira opo restante;As preferncias dos diretores so:Diretor 1: Investir, Aplicar, Ampliar;Diretor 2: Aplicar, Investir, Ampliar;Diretor 3: Ampliar, Investir, Aplicar;

No primeiro turno, entre Investir e Ampliar, vence Investir;No segundo turno, entre Investir (vencedor do primeiro) e Aplicar, vence Investir;Investir ser o resultado final se cada diretor votar sem considerar as opes do demais;Mas e se resolvessem agir estrategicamente?Por simplificao consideramos que apenas o Diretor 2 ir agir assim;Votaria em Ampliar no 1 turno, opo que sairia vitoriosa. Assim, no segundo turno ficariam Ampliar e Aplicar, e da votaria em Aplicar, fazendo com que essa opo vencesse no 2 turno, prevalecendo o resultado por ele almejado;

Hiptese observada no jogo: H1 Informao perfeita;

> Quando estamos jogando

Caracterizao das situaes que podem ser consideradas como jogos: situaes que envolvam interaes estratgicas entre agentes racionais que adotam comportamento estratgico;

Elementos necessrios caracterizao de um jogo:1 Um jogo um modelo formal;Envolve regras e tcnicas para anlise de um jogo;2 Interaes;As decises/aes de um jogador afetam os demais jogadores;3 Agentes;Indivduos, grupo de indivduos e organizaes com capacidade de deciso para afetar os demais jogadores;4 Racionalidade;Supe que os agentes utilizam os melhores meios que dispem para alcanar seus objetivos;5 Comportamento estratgico;Implica a conscincia do agente sobre a interdependncia entre suas aes possveis e efetivas em relao aos demais agentes, assim como a deles em relao s suas;Agentes consideram aes e reaes;

S interessa teoria dos jogos as situaes em que caiba a aplicao de estratgia;No comporta a ocorrncia de sorte, apenas as decises estratgicas;

Em teoria dos jogos no h qualquer restrio quanto aos objetivos que os jogadores almejam;Saber a inteno dos agentes fundamental para modelar um jogo;Exemplo: Freakonomics: caso dos lutadores de sum;Seis campeonatos de 15 lutas cada;A probabilidade de vitria de um lutador especfico com a mesma pontuao de outro na final do campeonato, num caso de 7 vitrias e 7 derrotas para ambos, diferente (maior) da probabilidade de vitria desse lutador quando tem pontuao superior, 8 vitrias e 6 derrotas, quando enfrenta um lutador que esteja com 7 vitrias e 7 derrotas;

Racionalidade: Considerados os objetivos dos agentes, estes devem agir com coerncia entre seus meios e fins;

Agente racional:1 Aplica lgica premissas dadas para retirar suas concluses;2 Escolhe as premissas adequadas a partir do seu julgamento;3 Faz uma leitura neutra, no viesada, dos fatos empricos;

Se os agentes forem racionais a teoria da escolha racional indicar suas decises durante os jogos;

> A teoria da escolha racional

Teoria da escolha racional:1 Hiptese de racionalidade dos agentes;2 Considera as preferncias dos jogadores;

Para expressar as preferncias faz-se necessrio o conceito de relao (relao binria: entre dois elementos);

Exemplo:Se o conjunto capitais = {Santiago, Montevidu, Buenos Aires};E o conjunto Pases do cone sul = {Argentina, Chile, Uruguai};O conceito relao expressa um vnculo entre os dois conjuntos. Assim:R1 = {(Buenos Aires, Argentina), (Santiago, Chile), (Montevidu, Uruguai)};Se chamarmos o primeiro elemento de x e o segundo de y, R1 expressa a relao x a capital de y;

A relao que interessa teoria dos jogos a relao de preferncia, esta ltima representada por: que significa ao menos to bom quanto

**Observar que os smbolos e > so utilizados de forma aproximada ao original, pela ausncia de caracteres adequados para sua representao. Qualquer dvida basta consultar o livro referenciado ou um manual de microeconomia;

Exemplificando as preferncias:L um conjunto de opes de lazer de um indivduo;a e b so dois elementos desse conjunto, respectivamente, praia e futebol;

Se a b: A opo a to boa quanto a opo b;No h como afirmar se uma preferida ou se h indiferena na escolha entre elas;

Dessa indefinio resultam duas possibilidades:1 Preferncia estrita ( > )x > y x y, mas no y x;

2 Indiferena ( ~ )x ~ y x y e y x;

Includa a noo de preferncias, a racionalidade dos jogadores ocorre se suas preferncias forem racionais;

Propriedades de uma relao de preferncia racional (hipteses):1 As preferncias so completas;Os agentes so capazes de definir suas preferncias em qualquer relao de escolha que se apresente;Haver preferncia estrita ou indiferena entre a escolha de duas cestas;

2 As preferncias so transitivas;H consistncia/racionalidade na demonstrao das preferencias;x y e y z, x z;

Essas propriedades so chamadas preferncias ordinais, porque ordenam as preferncias dos jogadores;

> Jogando com as preferncias: O paradoxo de Condorcet

Paradoxo de Condorcet: as preferncias isoladas dos indivduos sendo transitivas no implica em transitividade das preferncias de um conjunto de indivduos;Quando as decises so tomadas em grupo;

Exemplo:Trs partidos polticos: conservador, moderado e radical;Trs propostas: Aumentar (G), Manter (M) ou Diminuir (D) os gastos com programas sociais;

Preferncias:Conservador: D > G > MSe no consegue diminuir, vota num aumento, para que no ano seguinte haja reduo dos gastos do governo;Moderado: M > D > GSe no for possvel manter, preferem diminuir;Radical: G > D > MSe no for aumentar, preferem ao menos manter como est;Conservador: D > G > MModerado: M > D > GRadical:G > D > M

Possveis resultados: G x M -> 2 x 1 pra GM x D -> 2 x 1 pra MG x D -> 2 x 1 pra D

Os resultados implicam: G > M > D > G (Intransitividade das preferncias);A ordem das preferncias depender da ordem de votao;

> Afinal, a vida um jogo?

Condies necessrias para um jogo, mas no suficientes:1 O jogo relativamente simples;Implica disponibilidade de informaes;2 Os jogadores aprendem a jogar atravs da tentativa e erro;Implica que os participantes conhecem as regras do jogo e as melhores estratgias cada caso;3 H incentivos adequados para que o jogo acontea;Com incentivo h estmulos para que os jogadores se disponham a jogar e adotem decises racionais;

Exemplo: Setor automobilstico;1 Oligoplio: Poucas empresas e poucos fatores a serem determinados, preo e quantidade;2 O processo concorrencial dinmico ocorre continuamente ao longo do tempo;3 As empresas buscam estratgias para maximizar os lucros;

Captulo 2: Modelos de jogos: Representando uma situao de interao estratgica

> Introduo

O objetivo de se modelar os processos em que ocorre interao estratgica conhecer os possveis resultados do jogo;

A explicao se desenvolve a partir de dois exemplos de jogo:1 Uma empresa toma emprestado 5 milhes de reais tanto do banco A como do banco B, totalizando 10 milhes em emprstimos. Aps um ano a empresa s dispe de capitais que somam o valor de 6 milhes de reais, e a perspectiva a de que continue a operar por apenas um ano, caso consiga renovar os emprstimos;2 Uma montadora est decidindo se ir ou no lanar seu primeiro modelo de van no mercado, empresa denominada Inovadora. S que j existe um modelo de van sendo comercializado, o da empresa denominada Lder. Se a Inovadora decidir entrar no mercado a Lder ter como opes manter ou reduzir seus preos;A Lder s entrar no jogo caso a Inovadora resolva entrar no mercado;Lder a segunda a agir, j conhecendo a ao da Inovadora;

> Representando as aes dos jogadores e suas consequncias

Jogador: Indivduo ou organizao em situao de interao estratgica que tenha autonomia para tomar decises;

Suposies (hipteses):1 Nmero finito de jogadores em interao estratgica;2 Dadas suas preferncias, cada jogador busca o melhor resultado possvel do processo;

Ao ou movimento: Escolha que um jogador pode fazer num determinado momento do jogo;

Conjunto de aes: Aes disponveis a um jogador;

Ai = {ai}

Onde:ai so as aes disponveis ao jogador i;Ai o conjunto de aes do jogador i;

A construo de um jogo depende do conhecimento sobre todas as aes relevantes disponveis aos jogadores, j que cada jogador age considerando tanto o seu conjunto de aes como os conjuntos de aes dos demais jogadores;No considerar todas as aes relevantes disponveis implica irracionalidade;

Jogos em que as decises ocorrem simultaneamente diferem de jogos em que h decises sucessivas, sequenciais, porque nos ltimos a cada movimento aumenta a quantidade de informao disponvel aos jogadores;Porque a cada movimento um jogador j agiu;

> Empregando a forma estratgica ou normal para representar um jogo simultneo

Utilizando o exemplo dos bancos A e B:Cada banco dispe de duas opes, renovar ou no os emprstimos;Se renovam, a empresa poder continuar pagando os juros dos emprstimos, totalizando 1 milho para cada banco, tendo direito ao recebimento do valor emprestado. Porm, com a perspectiva de falncia da empresa, cada banco receber um total de 4 milhes, 3 da diviso dos 6 que a empresa possui em ativos mais 1 do pagamento dos juros;Se apenas um banco renovar, receber integralmente a quantidade emprestada, 5 milhes, retirados dos 6 de ativos da empresa, adiantando seu processo de falncia, e implicando ao outro banco, que renovou o emprstimo, receber apenas o 1 milho restante dos ativos;Se nenhum banco renovar o emprstimo, cada um ficar com 3 milhes restantes da diviso dos ativos da empresa;

Recompensa: aquilo que cada jogador obtm ao trmino do jogo;

Jogo em forma estratgica ou normalBanco B

RenovaNo renova

Banco ARenova4,41,5

No renova5,13,3

Os bancos A e B so os jogadores;Renova e no renovar so as opes dos jogadores, seu conjunto de aes;AA,B = {Renovar o emprstimo, no renovar o emprstimo}4 e 4, 1 e 5, 5 e 1, 3 e 3, so os possveis resultados do jogo, ou seja, representam as possveis recompensas de A e B, respectivamente;O primeiro nmero a recompensa do jogador na linha, e o segundo a recompensa do jogador na coluna;

Funo de recompensa: Valor que traduz numericamente, para fins de ordenamento, a preferncia de cada jogador por determinado resultado do jogo;No busca medir essas preferncias;

Se x um resultado qualquer e y outro:F(x) F(y) , sempre que x for ao menos to bom quanto y;Implica que o resultado x ao menos to bom quanto o resultado y para o jogador analisado;

Enquanto (, >) comparam quantidades, as preferncias dos agentes permitem comparar objetos diferentes;

Uma funo de recompensa s pode ordenar as preferncias de um nico jogador, sendo impossvel ordenar atravs dela as preferncias de jogadores diferentes;

Jogos simultneos: Jogos em que os jogadores ignoram as decises dos demais, preocupando-se apenas com o resultado imediato do processo, desprezando as consequncias futuras da deciso;A vantagem que esse tipo de jogo fornece todas as combinaes possveis das aes dos jogadores e seus possveis resultados;A limitao que no permite avaliao dos resultados futuros da deciso, caso a interao estratgica continue ocorrendo ao longo do tempo entre os jogadores;

> Empregando a forma estendida para representar um jogo sequencial

Mtodo aplicado para avaliao de interaes estratgicas com desdobramentos ao longo do tempo;Jogos que impliquem em interao estratgica que se desenvolve em etapas sucessivas;Jogo sequencial;Observa aes e reaes, j que cada jogador atua num momento do tempo, sequencialmente;

Utiliza o exemplo das montadoras:A empresa Inovadora enfrenta duas opes, lanar ou no sua van no mercado, enquanto a empresa Lder decide entre manter ou reduzir o preo de sua van;A Inovadora a primeira empresa a jogar, e a partir da sua deciso que a Lder ir tomar a sua;Se a Inovadora lanar a van e a Lder reduzir seu preo, cada uma fatura 2 milhes de reais, dado o processo concorrencial;Se a Inovadora lanar a van e a Lder manter seu preo, a Inovadora ganhar parcela de mercado e ir lucrar apenas 1 milho;Se a Inovadora no lanar sua van, no ter seus lucros influenciados, mantendo-os em 1 milho, qualquer que seja a estratgia da Lder, que ir lucrar 4 milhes se manter o preo, e 3 se reduzir;

#Jogo sequencial na forma estendida;

Em geral os jogos sequenciais so representados por rvores de jogos, que so compostas por ramos e ns;

N: Etapa do jogo onde um dos jogadores deve tomar uma deciso;

Ramo: Uma ao do jogador, dentro de um conjunto de aes deste em um dado n;

Cada n torna possvel novos desdobramentos, novos ramos, e consequentemente novos ns:N sucessor: Escolha possvel no futuro, caso seja alcanado no jogo;N predecessor: N que precisa ser alcanado para se chegar ao sucessor, ou seja, aquele que antecede a jogada em questo;N inicial: Incio do jogo, onde no h predecessor;N terminal/final: N que no possui sucessor, onde so apresentadas as recompensas de cada jogador;

A forma estendida uma maneira de representar processos de interao estratgica que ocorram em etapas sucessivas, convenientemente moldados em jogos sequenciais;

Jogo sequencial: Jogo em que os jogadores decidem suas aes sucessivamente numa ordem pr-determinada;

Regras da rvore de jogos:1 Cada n ter no mximo um n predecessor;Se um n for precedido por dois ns, qualquer ao nesses predecessores implicar na escolha do n analisado, no importando a deciso do jogador;#N com dois predecessores;

2 Nenhuma trajetria pode ligar um n a ele mesmo;Se for possvel um n resultar nele mesmo no haver como saber quem far o primeiro movimento no jogo, podendo resultar num looping de escolhas;#N ligado a ele mesmo;

3 Todo n deve ser sucessor de um nico e mesmo n;Se houver mais de um ponto de incio no haver como saber em que ponto inicia o jogo;#N com dois predecessores;

> Estratgias e conjuntos de informao

A hiptese de racionalidade dos jogadores implica, num modelo sequencial, que os jogadores consideram todo o desenvolvimento do processo de interao at sua deciso, assim como seus desdobramentos. Portanto, os jogadores utilizam de estratgias para jogar;

Estratgia: Plano de aes de um jogador que direciona suas decises em todas as jogadas;

Conjunto de estratgias (espao de estratgias): Conjunto de estratgias de que cada jogador dispe;Si = {sij}Onde sij a estratgia j do jogador i, e Si o conjunto de estratgias desse jogador;

A combinao de estratgias que os jogadores podem adotar um conjunto ordenado, onde a ordenao representa o jogador correspondente;Exemplo: a terceira estratgia corresponde ao terceiro jogador;S = (s1, s2, ..., sn)Onde sn a estratgia do n-simo jogador, e S a combinao de estratgias;

Cada combinao de estratgias produz diferentes recompensas para os jogadores;Essa ideia pode ser formalizada por meio de uma funo de recompensa;Ui = (s1, ..., si, ..., sn)Onde s1 a estratgia do primeiro jogador, e Ui a recompensa que o jogador i recebe, dada uma combinao especfica de estratgias;

No jogo simultneo a estratgia de cada jogador coincide com as aes que lhe so disponveis, j que no h sequncia de eventos/decises;

J nos jogos sequenciais os jogadores traam estratgias antecipando as decises dos demais, premeditando suas reaes de acordo com cada possvel ao dos outros jogadores;

A diferena entre jogos simultneos e sequenciais reside na caracterstica lgica dos ltimos, no na cronolgica, j que nos jogos sequenciais aumenta-se a informao disponvel dos jogadores a cada rodada, em razo das aes efetuadas;Se um jogo sequencial ocorresse com os jogadores tomando decises sem saber as aes dos demais, ainda assim seria uma sucesso de eventos no tempo, mas que por no permitir maior volume de informaes aos jogadores poderia ser representada por um jogo simultneo;Mesmo nos jogos simultneos a ideia de decises ao mesmo tempo uma simplificao;

Quanto mais informao tem um jogador, maiores as chances dele distinguir as circunstncias no jogo em que deve agir;No exemplo dos bancos nenhum sabe o que o outro escolheu, portanto tomam suas decises sem conhecer as circunstncias do jogo;J no caso das empresas a Lder joga sabendo qual foi a deciso da empresa Inovadora, conhecendo as circunstncias de sua deciso;Implica que a Lder sabe, dentro de um conjunto de informaes, o n em que se encontra quando a sua vez de jogar;

Conjunto de informao: Conjunto de ns em que o jogador acredita estar quando a sua vez de jogar;Por que acredita?Porque pode no haver perfeita informao sobre o jogo;

Informao perfeita: Os jogadores conhecem todos os movimentos que antecedem sua jogada;Pode ser observado quando todos os conjuntos de informao de um jogo so unitrios;Conjunto de informao unitrio ocorre quando o jogador sabe a jogada que o antecedeu;Portanto, nesse conjunto s h um n;#Conjunto de informao unitrio;

Informao imperfeita: Quando um jogador tem de agir sem conhecer algum dos movimentos realizados anteriormente;Pode ser observado pela existncia de um conjunto de informaes no-unitrio;Conjunto de informao no-unitrio ocorre quando o jogador no sabe a jogada que o antecedeu;Portanto, agrega mais de um n;#Conjunto de informao no-unitrio;

Regras para a definio dos conjuntos de informao:1 Um conjunto de informaes no pode conter ns de jogadores diferentes;J que a ordem dos jogadores pr-determinada#Conjunto de informaes com dois jogadores;

2 Um conjunto de informaes no pode incluir ns sequenciaisSe o conjunto de informaes vlido para apenas um jogador, cada movimento distinto deve ser identificvel pelo jogador que decide;Ns em sequncia de um mesmo jogador implicaria que ele continuaria jogando, que o mesmo de ter o n sucessor no lugar do antecessor, apontando que no haveria diferena entre esses ns;Se no houver diferena entre os ns os jogadores no podero identifica-los como movimentos distintos;#Ns sequenciais de um mesmo jogador;

3 Diferentes ns num conjunto de informao no podem oferecer diferentes conjuntos de aes;Diferentes ns num mesmo conjunto implicam que este ltimo no-unitrio, portanto de informao imperfeita, determinando que o jogador desconhece o movimento que o antecedeu;Porm, se cada n implicar em diferentes conjuntos de aes, B1 em I e II e B2 em III e IV, a partir das decises com que se depara, o jogador saber a jogada antecessora;#Diferentes aes a partir de ns num mesmo conjunto de informao;

Conquanto tenha se apresentado jogos simultneos de forma estratgica e o sequencial de forma estendida, no so necessariamente correspondentes, j que jogos simultneos podem ser apresentados de forma estendida e jogos sequenciais de forma estratgica;Depende da melhor maneira para ilustrar a situao;

> Forma estratgica versus forma estendida;

1 Apresentando um jogo simultneo em forma estendida;

Utilizando o exemplo dos bancos;Jogo simultneo;Jogadores jogam sem conhecer as decises dos demais;Implica num conjunto de informao no-unitrio;O jogador no sabe a jogada que antecede a sua;

#Jogo dos bancos na forma estendida;

Conquanto a forma estratgica seja mais intuitiva para representar um jogo simultneo, a forma estendida apresenta vantagem na construo de jogos com mais jogadores;

2 Apresentando um jogo sequencial em forma estendida;

Utiliza o exemplo de um mercado em monoplio, cuja empresa existente denominada Dominante. Nesse jogo uma empresa considera a possibilidade de entrar no mercado, denominada Desafiante;Desafiante joga primeiro, tendo duas opes: entrar ou no no mercado;Se a Desafiante entrar no mercado a Dominante ter duas opes: lutar ou se acomodar;Lutar implica guerra de preos, prejudicando os lucros das empresas no processo, enquanto acomodar implica abrir espao no mercado Desafiante, na tentativa de controlar o lucro atravs do nvel de preos;#Jogo da entrada na forma estendida;#Jogo da entrada na forma estratgica;

Tornando a situao mais complexa com o exemplo das montadoras;

Jogo sequencial das montadoras na forma estratgica;InovadoraLder

Reduz preo, Reduz preoReduz preo, Mantm preoMantm preo, Reduz preoMantm preo, Mantm preo

Lana van2, 22, 24, 14, 1

No lana van1, 31, 41, 31, 4

A forma estratgica implica apontar a estratgia que dispe cada jogador. Porm, como ocorre um jogo sequencial e a empresa Lder a segunda a jogar, depois de adquirir maior volume de informao, o jogo deve compreender e apresentar as aes disponveis empresa Lder, j determinados antecipadamente;A primeira e segunda opes da Lder, na mesma coluna, correspondem primeira e segunda opes da Inovadora, nas linhas, respectivamente;Assim, os resultados se repetem, e as opes da Lder dependero das opes da Inovadora;Aumenta o nmero de colunas para demonstrar o conjunto de estratgias pr-determinado da empresa Lder, que aguarda a jogada da Inovadora;

Captulo 3: Jogos Simultneos: Encontrando as melhores respostas estratgicas

> Introduo

At o momento apresentou-se como modelar os jogos, e este captulo voltado a explicar como eles so jogados;

Espera-se que os jogadores sejam racionais;Escolham a estratgia que lhes proporciona o melhor resultado de acordo com seu objetivo;

Estrutura do jogo: Estratgias e respectivas recompensas disponveis a cada um dos jogadores;

Informao de conhecimento comum: Informao conhecida por todos os jogadores, que sabem ser de conhecimento geral;

Jogos de informao completa: Quando as recompensas dos jogadores so informao de conhecimento comum;Porque todos os jogadores sabem as recompensas almejadas pelos demais;

> Uma primeira busca da soluo do jogo: Eliminando estratgias estritamente dominadas;

Tomando o exemplo das empresas de sabo em p, Limpo e Bonito. A primeira decide se ir ou no lanar seu produto biodegradvel, para concorrer com a segunda. Esta, por sua vez, enfrenta o dilema entre aumentar ou no seus gastos com publicidade. O jogo das empresas de sabo em p apresenta as respectivas recompensas em milhes de reais;

Jogo das empresas de sabo em p (exemplo de estratgia estritamente dominante)Bonito

Aumenta gasto com publicidadeNo aumenta gasto com publicidade

LimpoLana o produto biodegradvel5, 57, 3

No lana o produto biodegradvel2, 42, 7

Independente da ao de Bonito, para Limpo a melhor estratgia lanar o produto;{Lanar o produto biodegradvel} domina a estratgia {no lanar o produto biodegradvel};{No lanar o produto biodegradvel} uma estratgia dominada por {lanar o produto biodegradvel};Limpo tem {lanar o produto biodegradvel} como estratgia dominante;

Todas as recompensas de {lanar o produto biodegradvel} permitem resultados estritamente maiores que a estratgia {no lanar o produto biodegradvel}, independentemente das aes de Bonito;Implica que a estratgia {lanar o produto biodegradvel} estritamente dominante em relao a estratgia {no lanar o produto biodegradvel};Algebricamente:

i (s*i, s -i) > i (s**i, s -i), para todo s -i

Qualquer que sejam as estratgias adotadas pelos demais jogadores, para i s*i ser sempre superior a s**i;

Um jogador tambm pode se depara com uma estratgia que seja fracamente dominante, como pode ser visto a partir de uma modificao nas recompensas do exemplo das empresas de sabo em p;

Jogo das empresas de sabo em p (exemplo de estratgia fracamente dominante)Bonito

Aumenta gasto com publicidadeNo aumenta gasto com publicidade

LimpoLana o produto biodegradvel2, 57, 3

No lana o produto biodegradvel2, 42, 7

Nesse exemplo reformulado, caso Bonito resolva aumentar os gastos com publicidade, os resultados permitidos pelas opes da empresa Limpo so to bom quanto os outros que ela mesmo dispe. Porm, caso Bonito no aumente seus gastos com publicidade, Limpo ter maiores lucros se adotar a estratgia {lanar o produto biodegradvel};Numa situao a estratgia {no lanar o produto biodegradvel} produz recompensas to boas quanto {lanar o produto biodegradvel}, mas numa situao especfica, quando Bonito no aumenta os gastos com publicidade, os lucros de se adotar a estratgia {lanar o produto biodegradvel} so superiores;{Lanar o produto biodegradvel} fracamente dominante em relao a {no lanar o produto biodegradvel} para a empresa Limpo;{No lanar o produto biodegradvel fracamente dominada pela estratgia {lanar o produto biodegradvel};Algebricamente:

i (si, s -i) i (si, s -i), para todo s -ii (si, s -i) > i (si, s -i), para algum s -i

Somente para algum s i a estratgia si ser necessariamente mais recompensadora do que si, pois para os demais casos pode ser maior ou igual;

Identificadas as estratgias dominantes e dominadas, faz-se necessrio um mtodo para avaliar quais as estratgias os jogadores devem escolher para obterem as melhores recompensas;

> Eliminao Interativa de estratgias estritamente dominadas;

A eliminao iterativa de estratgias estritamente dominadas o mtodo mais simples para se determinar o resultado de um jogo simultneo;

O mtodo explicado atravs do exemplo do mercado automobilstico;Suas empresas, Carro Novo e Novo Auto, competem no setor de automveis. Carro Novo j comercializa um modelo utilitrio, enquanto Novo Auto depara-se com as seguintes opes:1 Importar o modelo utilitrio de sua matriz estrangeira;2 Produzir nacionalmente um modelo utilitrio;3 Continuar fora desse segmento no setor;Dada a escolha de Novo Auto, Carro Novo poder responder de trs maneiras:1 Mantm o preo do seu utilitrio;2 Diminui o preo do seu utilitrio;3 Lana uma nova verso do seu utilitrio no mercado;

Como se trata de um jogo simultneo, supe-se que cada jogador tome sua deciso isoladamente, como num plano para o prximo ano, sem conhecer a escolha do concorrente;

Jogo do mercado automobilstico (1 rodada)Carro Novo

Lana nova versoMantm preoReduz preo

Novo AutoLana seu modelo1, 44, 11, 3

Importa o modelo2, 22, 12, 3

No entra no segmento1, 10, 61, 0

Comparando as recompensas disponveis Carro Novo, observa-se que no h estratgia dominante, cada opo que a empresa toma apresenta um resultado melhor de acordo com a deciso da empresa Novo Auto;

Novo Auto tambm no apresenta estratgia dominante, porm apresenta uma deciso que contm as piores recompensas para si, qualquer que seja a estratgia de Carro Novo, {No entra no segmento};Comparando {no entra no segmento} com {importa o modelo} percebe-se que a primeira estratgia estritamente dominada pela segunda;Considerando esses fatores, pode-se eliminar a estratgia {no entra no segmento} das opes da Novo Auto;

Jogo do mercado automobilstico (resultado da 1 rodada)Carro Novo

Lana nova versoMantm preoReduz preo

Novo AutoLana seu modelo1, 44, 11, 3

Importa o modelo2, 22, 12, 3

Aps a eliminao de uma estratgia da empresa Novo Auto percebe-se que nenhuma das opes restantes empresa se sobressai s outras. Porm, modifica-se a situao da Carro Novo, que passa a ter {mantm preo} como estratgia estritamente dominada por qualquer uma das outras opes;Essa uma caracterstica do mtodo de eliminao iterativa de estratgias estritamente dominadas. Qualquer estratgia que no fosse estritamente dominada pode passar a s-lo aps a eliminao de alguma das estratgias do jogo;Assim, na 2 rodada elimina-se a opo de manter o preos para a empresa Carro Novo;


Lana nova versoReduz preo

Novo AutoLana seu modelo1, 41, 3

Importa o modelo2, 22, 3

Com as opes restantes observa-se que no h estratgia dominante ou dominada para Carro Novo. J para Novo Auto a opo de lanar seu modelo mostra-se estritamente dominada nessa nova configurao do jogo, implicando sua eliminao na 3 rodada;


Lana nova versoReduz preo

Novo AutoImporta o modelo2, 22, 3

Dessa rodada tem-se que a empresa Carro Novo passa a ter a estratgia {lana nova verso} como estratgia dominada por {reduz preo};Implica que o resultado do jogo dado pela combinao de estratgias {Importa o modelo, reduz preo};Esse resultado constitui um equilbrio em estratgias estritamente dominantes;

> Estratgias racionalizveis e melhor resposta;

Jogo solucionvel por dominncia: Jogo que resulta numa nica combinao de estratgias pelo mtodo de eliminao iterativa;

Estratgias racionalizveis: Estratgias que resultam do mtodo de eliminao iterativa, mesmo que sejam mais de uma para cada jogador;

Implicitamente, na soluo de jogos por eliminao iterativa de estratgias estritamente dominadas, est a hiptese de conhecimento comum da racionalidade (CCR);

Conhecimento comum da racionalidade (CCR): Quando supe-se que a racionalidade dos jogadores de conhecimento comum;Os jogadores sabem que os demais sabem...

Princpio da racionalizao: Se a estrutura e a racionalidade dos jogadores so de conhecimento comum, e uma estratgias s**i sempre proporciona o pior resultado para o jogador i, independente do que fazem os demais jogadores, no h nenhuma razo, independentemente das possveis decises dos demais jogadores, que justifique o jogador i adotar s**i;

Essa ideia pode ser descrita atravs do conceito de melhor resposta:

i (s*i, s -i) i (si, s -i), para algum s-i e todos os si s*i

s*i ser a melhor resposta do jogador i, dada a combinao s-i de jogadas dos demais jogadores, quando comparada estratgia si;

Da mesma forma pode ocorrer o inverso, de uma estratgia nunca ser a melhor resposta para um jogador, independente da estratgia adotada pelos demais:

i (s**i, s -i) < i (s*i, s -i), para todo s-i e algum s*i s**i

s**i ser a pior estratgia que o jogador i poder adotar, porque sempre haver uma estratgia diferente que proporciona uma resposta melhor;s**i nunca a melhor resposta;

Por analogia, percebe-se que a estratgia que for estritamente dominada para um jogador nunca ser a melhor resposta (deciso) para ele;

> A limitao do mtodo de eliminao iterativa de estratgias estritamente dominadas

A principal limitao do mtodo de eliminao iterativa que nem todos os jogos possuem estratgias estritamente dominadas;

Para solucionar esse problema faz-se necessrio um mtodo mais geral que o de eliminao iterativa, que depender do conceito de Equilbrio de Nash;

> Solucionando um jogo simultneo: O Equilbrio de Nash

O conceito de Equilbrio de Nash atende para a soluo de jogos simultneos tanto nos casos em que cabe como nos que no cabe o mtodo de eliminao iterativa;

Equilbrio de Nash: Combinao de estratgias que proporciona o melhor resultado individual para cada um dos jogadores;

Anteriormente foi especificado que:

i (s*i, s -i) i (si, s -i), para algum s-i e todos os si s*i

Dada uma combinao de estratgias s-i dos demais jogadores, no h estratgia ao jogador i que lhe proporcione maior recompensa que s*i;

O que o conceito de Equilbrio de Nash implica que todos os jogadores adotem as melhores respostas em relao as estratgias dos demais:

i (s*i, s*-i) i (si, s*-i), para algum s-i e todo i;

O asterisco indica que a estratgia faz parte de um equilbrio de Nash;

Como exemplo disso tem-se o jogo de preveno na concorrncia pelo comrcio nacional;Jogo em que h uma empresa brasileira atendendo o mercado nacional, denominada Dominante. Outra empresa, estrangeira, est avaliando os benefcios de exportar seus produtos ao Brasil, denominada Potencial. Como o jogo simultneo, nenhuma empresa sabe o que a outra decidiu;

Jogo de preveno na concorrncia pelo comrcio nacionalPotencial

No exportaExporta em pequena escalaExporta em larga escala

DominanteInveste2, 11, 00, -1

No investe1, 02, 1-1, 2

Qual o Equilbrio de Nash? E as outras recompensas? Por que?

S h um Equilbrio de Nash;

Mesmo numa interao estratgica pequena como a anterior pode levar tempo a identificao do Equilbrio de Nash apenas olhando para o jogo;

Um mtodo conveniente observar qual a melhor estratgia, a que proporciona a maior recompensa, de cada jogador para cada uma das opes do outro jogador, assinalando-as para conferir quais os pontos de convergncia;



DominanteInveste(D) 2, 1 (P)1, 0(D) 0, -1

No investe1, 0(D) 2, 1-1, 2 (P)

A combinao da melhor estratgia para Dominante (D) quando a Potencial adota sua melhor estratgia (P), e vice-versa, aponta para o Equilbrio de Nash: {investe, no exporta};

> O Equilbrio de Nash estrito

O equilbrio do jogo apresentado anteriormente consiste num equilbrio de Nash estrito, porque dada a melhor escolha de um jogador, no h outra estratgia para o outro jogador em seu conjunto de estratgias que proporcione recompensa ao menos to boa quanto aquela que permite o Equilbrio de Nash estrito;Formalmente:

i (s*i, s*-i) > i (si, s*-i), para todo s-i e todo i;

Mas o equilbrio de Nash no implica necessariamente recompensas estritamente superiores, podendo indicar que h outros resultados ao menos to bons quanto;Formalmente:

i (s*i, s*-i) i (si, s*-i), para todo s-i e todo i;

Implica que alguma estratgia si poder ser to boa quanto s*i, mas nunca ocorrer uma melhor que s*i;

Reformulando as recompensas do jogo apresentado anteriormente:



DominanteInveste(D) 2, 1 (P)1, 0(D) 0, -1

No investe(D) 2, 0(D) 2, 1-1, 2 (P)

{Investe, no exporta} continua sendo a combinao de estratgias que d o Equilbrio de Nash no jogo;Como as recompensas da empresa Dominante so iguais para diferentes estratgias, caso a Potencial adote a estratgia {no exporta}, diz-se que no h equilbrio de Nash estrito;

> Equilbrio em estratgias estritamente dominantes e Equilbrio de Nash estrito

At aqui tem-se que mesmo no existindo equilbrio em estratgias estritamente dominantes pode haver Equilbrio de Nash. Mas, se houver equilbrio em estratgias estritamente dominantes, este ser um Equilbrio de Nash?

Para responder a esta questo utiliza-se o jogo do comrcio internacional;Dois pases, A e B, transacionam seus produtos entre si, num mesmo montante de receita. Cada um deles tm como opes adotar uma tarifa alta ou baixa sobre os produtos importados, e as receitas possveis de serem proporcionadas aps a aplicao das tarifas so as recompensas do jogo;

Jogo do comrcio internacionalPas B

Tarifa altaTarifa baixa

Pas ATarifa alta800, 8002.300, 700

Tarifa baixa700, 2.3001.700, 1.700

Pelo mtodo de eliminao iterativa das estratgias dominadas v-se que o resultado ser que os dois pases adotam tarifas altas;

Pelo mtodo de avaliao da melhor estratgia para cada jogador tambm tem-se {tarifa alta, tarifa alta} como combinao em que ocorre Equilbrio de Nash;Nesse caso especfico ocorre Equilbrio de Nash estrito;

Esse resultado uma regra geral: sempre que houver um equilbrio em estratgias estritamente dominantes esse equilbrio ser um Equilbrio de Nash estrito;

Essa concluso tambm pode ser obtida pela representao formal/algbrica de cada um dos equilbrios:1. Equilbrio de Nash estrito: i (s*i, s*-i) > i (si, s*-i), para todo s-i e todo i;Dado s*-i, s*i ser a melhor estratgia de i;2. Equilbrio em estratgias estritamente dominantes:

i (s*i, *-i) > i (si, s-i), para todo s-i, todo si e todo i;Dado s-i, s*i ser a melhor estratgia de i;Ocorre que s-i pode combinar as melhores estratgias dos demais jogadores, resultado que s-i possa ser s*-i;

Enquanto o Equilbrio de Nash estrito indica uma melhor estratgia para i quando os demais jogadores adotam suas melhores estratgias, o Equilbrio em estratgias estritamente dominantes ainda mais restrito (difcil de ocorrer), porque impe o mesmo resultado para o jogador i para quaisquer que sejam as estratgias dos outros jogadores;Todo equilbrio em estratgias estritamente dominantes um equilbrio de Nash estrito;

> Equilbrio de Nash e timo de Pareto;

timo de Pareto: Situao em que no possvel melhorar a situao de um agente sem piorar a de outro;Se h possibilidade de melhoria sem afetar negativamente outro agente ento ocorre uma ineficincia no sentido de Pareto;Situao que permite uma melhoria no sentido de Pareto;

Ocorre que o Equilbrio de Nash no est direcionado a uma eficincia conjunta, observa apenas a escolha individual;A diferena possvel entre o Equilbrio de Nash e o timo de Pareto pode ser observada nas recompensas do jogo de comrcio internacional;

Jogo do comrcio internacionalPas B

Tarifa altaTarifa baixa

Pas ATarifa alta800, 8002.300, 700

Tarifa baixa700, 2.3001.700, 1.700

{Tarifa alta, tarifa alta} a combinao de estratgias que resulta no Equilbrio de Nash;Mas uma situao ineficiente no sentido de Pareto, j eu permite melhoria na recompensa de um jogador sem prejudicar a recompensa do outro. Nesse caso especfico h possibilidade de melhoria no sentido de Pareto para os dois jogadores;A combinao estratgica {tarifa baixa, tarifa baixa} um timo de Pareto;

> Um caso de mais do que um Equilbrio de Nash

Um jogo pode der um, mais de um ou nenhum Equilbrio de Nash. O exemplo de dois equilbrios pode ser visto no jogo de coordenao do padro tecnolgico;Dois jogadores, a SysOp e a AntiVrus. A primeira enfrenta a deciso de desenvolver ou no uma nova ferramenta para seu software, enquanto a AntiVrus, simultaneamente, decide se ir ou no atualizar seu produto para esse possvel modificao no software da SysOp;

Jogo de coordenao de padro tecnolgicaAntiVrus

AtualizarNo atualizar

SysOpDesenvolver2, 1-1, -2

No desenvolver0, -11, 2

As estratgias convergentes so interessantes a ambas, tanto {desenvolver, atualizar} quanto {desenvolver, no atualizar}, sendo as duas Equilbrios de Nash;Assim, no h como predizer o resultado do jogo com as informaes disponveis;

Ento qual a utilidade do Equilbrio de Nash?Busca situaes em que os agentes no tenham estmulos para modificar suas decises;Conquanto possam existir mais de uma dessas situaes, os agentes podem se acomodar numa situao que lhes seja a melhor disponvel no jogo;O resultado ser dado por fatores circunstanciais;

> Selecionando entre vrios Equilbrios de Nash: O conceito de ponto focal

Ponto focal: Elemento de destaque em determinado contexto, que permite aos jogadores convergirem para um Equilbrio de Nash especfico num jogo que possua mais de um desses equilbrios;

Quando h conhecimento comum ou uma experincia compartilhada pelos agentes que indique e/ou influencie a deciso dos jogadores para uma determinada combinao de estratgias;

Jogo de coordenao de padro tecnolgicaAntiVrus

AtualizarNo atualizar

SysOpDesenvolver2, 1-1, -2

No desenvolver0, -11, 2

Um exemplo de ponto focal poderia ser um famoso colunista de tecnologia, conhecido o bastante para ser lido por representantes/funcionrios das duas empresas, que comente sob o advento ou no de uma nova tecnologia em desenvolvimento;

Por essa contribuio, sobre o ponto focal, Thomas Schelling ganhou o Nobel de economia em 2005;

> Um caso em que no h Equilbrio de Nash

Um exemplo de jogo que no possui Equilbrio de Nash o jogo de combinar moedas;Dois jogadores, 1 e 2, mostram uma moeda ao outro ao mesmo tempo. Se ambas forem iguais, cara ou coroa, o jogador 1 fica com as duas moedas. Se diferirem, o jogador 2 fica com as duas;Cada um escolhe a face da moeda que ir mostra;

Jogo de combinar moedasJogador 2

CaraCoroa

Jogador 1Cara1, -1-1, 1

Coroa-1, 11, -1

Nesse jogo no h estratgia dominante ou dominada, nem Equilbrio de Nash;Jogo conhecido como estritamente competitivo ou de soma zero;No h acomodao;

A ausncia de um Equilbrio de Nash ocorre porque no so admitidas estratgias mistas, que sempre apresentam um Equilbrio de Nash, como ser visto no quinto Captulo;

> Alguns jogos importantes

A seguir so apresentados jogos famosos que identificam diferentes situaes de interao entre os jogadores;

1. A batalha dos sexos: O problema da coordenao com vrias opes

Um casal fez planos para se encontrar a noite, mas a programao no ficou definida. Ambos valorizam o encontro mais do que o desencontro, conquanto cada um tenha uma preferncia especfica quanto ao local do encontro. Eles no tem como se comunicar;

Jogo da batalha dos sexosEle

FutebolShow

ElaFutebol1, 2-1, -1

Show-1, -12, 1

Situao em que sempre h ganho quando existe coordenao entre os jogadores;Ocorrem dois Equilbrios de Nash;

2. O dilema do prisioneiro: Cooperao versus interesse prprio

Dois suspeitos so detidos aps o acontecimento de um crime, por estarem rondando nas proximidades. Colocadas em celas separadas, de forma que no possam se comunicar, recebem as seguintes instrues da polcia:Se um confessar e o outro no, quem confessa o beneficiado pela cooperao e apenas o outro recebe punio;Se os dois confessarem, ambos iro dividir a pena mxima;Se nenhum confessar, ambos sero detidos por um tempo mnimo pelo crime de vadiagem;

Jogo do dilema do prisioneiroLadro 2

ConfessaNo confessa

Ladro 1Confessa-2, -20, 4

No confessa-4, 0-1, -1

O Equilbrio de Nash implica no pior resultado conjunto, {confessa, confessa};Isso decorre dos jogadores no poderem se comunicar;Implica num jogo no-cooperativo;

Jogo cooperativo: Quando os jogadores podem estabelecer compromissos entre si com garantias efetivas;Quando isso no ocorre h um jogo no-cooperativo;

3. O jogo da galinha: Quando a competio destrutiva

Dois adolescentes disputam o jogo da galinha, cada um em seu carro acelerando em direo ao outro. O primeiro a desviar apelidado de galinha enquanto o outro leva a fama de duro;

Jogo da galinhaJovem 1

No desviaDesvia

Jovem 2No desvia-2, -22, -1

Desvia-1, 20, 0

O jogo apresenta dois Equilbrios de Nash;

Como ambos os jogadores maximizam seus interesses, no h possibilidade de coordenao;O resultado ser circunstancial;

4. O jogo da caa ao cervo: O dilema do contrato social

O jogo exemplifica o dilema do contrato social de Rousseau, sobre o instinto incontrolvel do homem mesmo quando trabalha em grupo mediante o benefcio do todo. Pelo exposto, tem-se que o indivduo tentar trabalhar pela sociedade, mas no tardar em buscar o benefcio particular se a oportunidade surgir;

O jogo derivado do exemplo apresenta dois caadores, A e B, que esto buscando um cervo para alimentar o grupo. Ocorre que se passar por ali uma lebre qualquer um dos dois estar disposto a persegui-la para seu ganho pessoal em detrimento caa ao cervo;

Jogo da caa ao cervoCaador B

CervoLebre

Caador ACervo3, 30, 1

Lebre1, 01, 1

H dois equilbrios de Nash {cervo, cervo} e {lebre, lebre};

Um deles um timo de Pareto;

O jogo exemplifica situaes em que manter o compromisso original a melhor estratgia para o indivduo e para o grupo;

3 resumo teoria dos jogos ronaldo fiani

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