teoria alebra linear e geometria analítica

8/18/2019 Teoria Alebra Linear e Geometria Analítica

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143)

Departamento de MatemáticaFaculdade de CiênciasUniversidade do Porto

Ano lectivo 2014/15

ALGA I(M143) - 2014/2015 0.0 - 1


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Programa

1. Sistemas de equações lineares e matrizes

2. Determinantes

3. Espaços vectoriais e aplicações lineares

4. Vectores e valores próprios

5. Produto interno (produto escalar)

LGA I(M143) - 2014/2015 0.0 - 2


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Bibliografia

slides das aulas e folhas de exercícios disponíveis na internet

Anton, H., Rorres, C. Elementary Linear Algebra

Monteiro, A. Álgebra Linear e Geometria Analítica Mansfield, L. Linear Algebra with Geometric Applications

Edwards jr. C. H. Elementary linear algebra

http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/

LGA I(M143) - 2014/2015 0.0 - 3


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Avaliação

Frequência: os alunos com mais de 4 faltas às aulas TP

ficarão excluídos Pedidos de dispensa: até 15 de Outubro (email para

[email protected], com indicação do nome e do curso) 2 testes obrigatórios, cotados para 4 valores cada um:

primeiro: 27/10, nota mínima 1 valor segundo: 17/12, nota mínima 1 valor mínimo na soma das notas dos testes: 4 valores

Exame final época normal cotado para 12 valores, notamínima 3 valores

Exame da época de recurso, acessível a todos os alunos nãoexcluídos por faltas

Classificações superiores a 16 valores só serão atribuídas apósrealização de uma prova escrita complementar

LGA I(M143) - 2014/2015 0.0 - 4


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Sistemas de equações lineares

Sistema de m equações lineares a n incógnitas:

a 11x 1 + a 12x 2 + · · · + a 1nx n = b 1a 21x 1 + a 22x 2 + · · · + a 2nx n = b 2· · ·a m1x 1 + a m2x 2 + · · · + a mnx n = b m

Diz-se que o sistema é homogéneo sse todos os b j são nulos.

(c 1, . . . , c n) é solução do sistema se substituindo cada x j porc j se obtêm igualdades verdadeiras.

Dois sistemas dizem-se equivalentes sse tiverem o mesmoconjunto de soluções.

LGA I(M143) - 2014/2015 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss 5


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Exemplos: sistemas

3x 1 + x 2 − x 3 = 12x 2 + 5x 3 = 7

é um sistema não homógeneo

x 1 − x 2 + 7x 3 = 0x 2 + 5x 4 = 0

é um sistema homogéneo

4x 1 − 3x 2 + x 3 − 1 = 0x 1 − 3x 2 = 0 não é um sistema homogéneo

−2x 1 + x 3 = 5x 42x 2 = 3x 1

é equivalente a −2x 1 + x 3 − 5x 4 = 03x 1 − 2x 2 = 0 , que é um sistema homogéneo.



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Exemplos: soluções de sistemas

(2, 1) é uma solução do sistema

2x 1 + x 2 = 53x 2 = 3x 1 − x 2 = 1

(0, 0) não é uma solução do sistema 2x 1 + x 2 = 53x 2 = 3x 1 − x 2 = 1

Todos os pares (a+1,2a), com a ∈ R são soluções do sistema

2x 1 − x 2 = 2−2x 1 + x 2 = −2



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Exemplos: sistemas equivalentes

Os sistemas

x 1 + x 2 = 32x 1 − x 2 = 3 e

2x 1 + 3x 2 = 5x 1 − x 2 = 2 não são

equivalentes: (2, 1) é solução do primeiro mas não do segundo.

Os sistemas

x 1 = 32x 1 + x 2 = 5

e

x 1 + 3x 2 = 0x 2 = −1 são

equivalentes: (3, −1) é a única solução do primeiro e é a únicasolução do segundo.



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Sistemas (im)possíveis, (in)determinados, homogéneos

Diz-se que um sistema é possível se tiver pelo menos umasolução; caso contrário diz-se que é impossível.

Diz-se que um sistema é possível e determinado se tiver

exactamente uma solução. Diz-se que um sistema é possível e indeterminado se tiver

mais do que uma solução.

Um sistema homogéneo é sempre possível (porquê?); pode ser

determinado ou indeterminado.



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Exemplos: sistemas (im)possíveis, (in)determinados

x 1 + x 2 = 3x 1 + x 2 = 5

é um sistema impossível.

x 1 + x 2 = 5x 2 = 1 é um sistema possível e determinado: a únicasolução é (4, 1).

x 1 − x 2 = 3−2x 1 + 2x 2 = −6 é um sistema possível e indeterminado:

qualquer par da forma (a ,a − 3) é solução do sistema; osistema tem uma infinidade de soluções.



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Matriz de um sistema

Matriz do sistema:

a 11 a 12 · · · a 1n b 1a 21 a 22 · · · a 2n b 2

... ...

... ...

a m1 a m2 · · · a mn b m

Matriz dos coeficientes:

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22

· · · a 2n

... ... ...a m1 a m2 · · · a mn



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Exemplo: matriz dos coeficientes/ sistema

Para o sistema

x 1 + 3x 2 − 53 x 3 = 72x 1 −

√ 2x 2 + 47 x 3 = 8

x 2 + 5x 3 = 0,

a matriz do sistema é 1 3 −

5

3 72 −√ 2 47 80 1 5 0

e a matriz dos coeficientes é 1 3 −532

−√

2 470 1 5 .



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Exemplo: matriz dos coeficientes/ sistema

Para o sistema

(3 + i )x 1 + 3x 2 − 53 ix 3 = 7 − √ 2 − 3i 2x 1 −

√ 2x 2 + ( 47 − 5i )x 3 = 8

(3 − 5i )x 2 + (7 + 37 i )x 3 = 0,

a matriz do sistema é 3 + i 3 −53 i 7 − √ 2 − 3i 2 −√ 2 47 − 5i 80 3 − 5i 7 + 37 i 0

e a matriz dos coeficientes é 3 + i 3 −53 i

2 −√ 2 4

7 − 5i 0 3 − 5i 7 + 37 i



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Operações que levam a sistemas equivalentes

Se num sistema de equações

se substituir uma equação pelo seu produto por um númerodiferente de zero

se trocar a ordem das equações

se substituir uma equação pela soma dessa equação com oproduto de outra por qualquer número

obtém-se um sistema de equações equivalente.



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Exemplos: operações sobre sistemas

2x + 3y = 5−x + 7y = 1 ⇔

6x + 9y = 15−x + 7y = 1

2x + y − z = 16x + 3y = 7 ⇔ 6x + 3y = 7

2x + y − z = 1

x + 2y = 32x − y = 4 ⇔

x + 2y = 32x − y − 2(x + 2y ) = 4 − 2 × 3

⇔ x + 2y = 3

−5y = −2



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Exemplos: operações sobre linhas de matrizes

O que acontece às matrizes ao efectuar estas operações?

2x + 3y = 5−x + 7y = 1 ⇔ 6x + 9y = 15−x + 7y = 1

2 3 5−1 7 1

↔

6 9 15−1 7 1

Multiplicar a primeira equação por 3 corresponde a multiplicar

a primeira linha da matriz do sistema por 3.

2x + y − z = 16x + 3y = 7

⇔

6x + 3y = 72x + y − z = 1

2 1 −1 16 3 0 7

↔

6 3 0 72 1 −1 1

Trocar duas equações corresponde a trocar duas linhas da

matriz do sistema.


E l b l h d


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Exemplo: operações sobre linhas de matrizes

x + 2y = 32x − y = 4 ⇔

x + 2y = 32x − y − 2(x + 2y ) = 4 − 2 × 3

⇔ x + 2y = 3

−5y =

−2

1 2 32 −1 4

↔

1 2 3

2 − 2 × 1 −1 − 2 × 2 4 − 2 × 3

Subtrair duas vezes a primeira equação à segunda equação

corresponde a subtrair duas vezes a primeira linha da matriz àsegunda.


O õ l b li h d i


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Operações elementares sobre as linhas de uma matriz

Se numa matriz se substituir uma linha pelo seu produto por um número

diferente de zero

se trocar a ordem das linhas

se substituir uma linha pela soma dessa linha com o produtode outra por qualquer número

o sistema correspondente à matriz obtida é equivalente ao sistemacorrespondente à matriz inicial.

Diz-se que duas matrizes são equivalentes por linhas sse uma seobtém da outra por um número finito de operações destes tipos.


E l i “já l id ”


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Exemplos: sistemas “já resolvidos”

Sistemas particularmente simples e respectivas matrizes:

x = 1y = 2z = −3

1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 −3

(sistema possível e

determinado)

x = 0y = 00 = 1

1 0 00 1 00 0 1

(sistema impossível) x + z = 3y − z = 5

1 0 1 3

0 1 −1 5 (sistema possível eindeterminado: as soluções são da forma (3 − a , 5 + a , a ), coma ∈ R)

ALGA I(M143) - 2014/2015 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss 19

M t i f d G


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Matriz na forma de Gauss

Diz-se que uma matriz está na forma de Gauss sse as condiçõesseguintes se verificam:

a primeira entrada não nula de qualquer linha não nula é 1;

a primeira entrada não nula de qualquer linha não nula está àdireita da primeira entrada não nula de qualquer linha anterior;

em qualquer coluna que contenha a primeira entrada não nulade uma linha, todas as outras entradas são nulas;

se existirem linhas nulas, são as últimas.


E l t i f d G


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Exemplos: matrizes na forma de Gauss

1 0 0 30 1 0 20 0 1 4

está na forma de Gauss.

1 0 1 0 20 1 1 0 30 0 0 1 4


0 1 2 0 −30 0 0 1 5


1 0 0 30 0 1 00 0 0 0 está na forma de Gauss.

1

√ 3i 0 3 − 7i

0 0 1 12 + 4i 0 0 0 0



Exemplos: sistemas com matrizes na forma de Gauss


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Exemplos: sistemas com matrizes na forma de Gauss

Sistemas correspondentes às matrizes anteriores

x = 3

y = 2z = 4

; única solução: (3, 2, 4)

x + z = 2y + z = 3

t = 4

; soluções: (2 − a , 3 − a , a , 4), a ∈ R

y + 2z = −3t = 5

; soluções: (a , −3 − 2b , b , 5), a , b ∈ R

x = 3z = 00 = 0

; soluções: (3, a , 0), a ∈R

x +

√ 3iy = 3 − 7i

z = 12 + 4i ; soluções:

(3

−7i

−

√ 3ia , a , 12 + 4i ), a

∈C


Exemplos: matrizes não na forma de Gauss


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Exemplos: matrizes não na forma de Gauss

3 0 0 20 1 5 40 0 0 6

não está na forma de Gauss.

0 1 0 11 0 0 3


1 0 11 0 1


0 01 1


1 + i 0 00 1 − i 1 + i 0 2 − i 1 + 2i



Forma de Gauss de uma matriz


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Forma de Gauss de uma matriz

Se a matriz de um sistema está na forma de Gauss, então émuito fácil ver quais são as soluções do sistema.

Pode-se mostrar que, dada qualquer matriz M , existe uma

única matriz na forma de Gauss que é equivalente por linhas aM .

A essa matriz chama-se a forma de Gauss de M .

Conclui-se que se duas matrizes na forma de Gauss são

equivalentes por linhas então são iguais.


Algoritmo para determinar a forma de Gauss de uma matriz


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Algoritmo para determinar a forma de Gauss de uma matriz


Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz


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1.

x − y + z = 12x − z = 3−x + 3y = 1

1 −1 1 12 0 −1 3

−1 3 0 1

L2 → L2 − 2L1L3

→ L3 + L1

x − y + z = 12y − 3z = 12y + z = 2

1 −1 1 10 2 −3 10 2 1 2

L2 → 12 L2

x − y + z = 1y − 32 z = 122y + z = 2

1 −1 1 10 1 −32 120 2 1 2

L1 → L1 + L2L3 → L3 − 2L2

x − 12 z = 32y − 32 z = 124z = 1

1 0 −

12

32

0 1 −32 120 0 4 1

(continua)LGA I(M143) - 2014/2015 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss 26



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x −

1

2

z = 3

2y − 32 z = 124z = 1

1 0 −1

2

3

20 1 −32 120 0 4 1

L3 → 14 L3

x − 12 z = 32y −

3

2 z = 1

2z = 14

1 0 −12 320 1 −

3

2

1

20 0 1 14

L1

→ L1 + 12 L3

L2 → L2 + 32 L3

x = 138y = 78z = 14

1 0 0 1380 1 0 780 0 1 14

Sistema possível e determinado; solução: ( 138 , 78 ,

14 )




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2.

x + y − z = 12x + z = 3x −

y + 2z = 2

1 1 −1 12 0 1 31

−1 2 2

L2 → L2 − 2L1L3 → L3 − L1

x + y − z = 1−2y + 3z = 1−2y + 3z = 1

1 1 −1 10 −2 3 10 −2 3 1

L2 → −12 L2

x + y − z = 1y − 32 z = −12−2y + 3z = 1

1 1 −1 10 1 −32 −120 −2 3 1

L1 → L1 − L2L3 → L3 + 2L2

x + 1

2 z = 3

2y − 32 z = −120 = 0

1 0 1

2

3

20 1 −32 −120 0 0 0

Sistema possível e indeterminado; soluções:( 3

2 − 1

2

a ,−

1

2

+ 3

2

a , a ), a ∈R




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3.

3x − 6y + 3z − 3t + 9w = 18t − w = −2x

−2y + 3z

−t + 7w = 8

2x − 4y + 3z − t + 7w = 11

3 −6 3 −3 9 180 0 0 1 −1 −21

−2 3

−1 7 8

2 −4 3 −1 7 11

L1 → 13 L1

x − 2y + z − t + 3w = 6t − w = −2x − 2y + 3z − t + 7w = 82x

−4y + 3z

−t + 7w = 11

1 −2 1 −1 3 60 0 0 1 −1 −21 −2 3 −1 7 82

−4 3

−1 7 11

L3 → L3 − L1L4 → L4 −2L1

x − 2y + z − t + 3w = 6t − w = −22z + 4w = 2z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 60 0 0 1 −1 −20 0 2 0 4 20 0 1 1 1 −1

L2 ↔ L3

x − 2y + z − t + 3w = 62z + 4w = 2t − w = −2z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 60 0 2 0 4 20 0 0 1 −1 −20 0 1 1 1 −1

(continua)ALGA I(M143) - 2014/2015 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss 29



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x − 2y + z − t + 3w = 62z + 4w = 2t − w = −2z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 60 0 2 0 4 20 0 0 1 −1 −20 0 1 1 1 −1

L2 → 12 L2

x − 2y + z − t + 3w = 6z + 2w = 1t − w = −2z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 60 0 1 0 2 10 0 0 1 −1 −20 0 1 1 1 −1

L1 → L1 − L2L4 → L4 − L2

x − 2y − t + w = 5z + 2w = 1t − w = −2t − w = −2

1 −2 0 −1 1 50 0 1 0 2 10 0 0 1 −1 −20 0 0 1 −1 −2

L1 → L1 + L3L4 → L4 − L3

x − 2y = 3z + 2w = 1t − w = −20 = 0

1 −2 0 0 0 30 0 1 0 2 10 0 0 1 −1 −20 0 0 0 0 0

Sistema possível e indeterminado; soluções:

(3 + 2a , a , 1 − 2b , −2 + b , b ), a , b ∈R

)ALGA I(M143) - 2014/2015 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss 30



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4. x + y + z = 1y −

z = 22x + 4z = 0

1 1 1 10 1

−1 2

2 0 4 0

L3 → L3 − 2L1

x + y + z = 1y − z = 2−2y + 2z = −2

1 1 1 10 1 −1 20 −2 2 −2

L1 → L1 − L2L3

→ L3 + 2L2

x + 2z = −1y − z = 20 = 2

1 0 2 −10 1 −1 20 0 0 2

Sistema impossível


Característica de uma matriz


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Chama-se característica de uma matriz ao número de linhasnão nulas da sua forma de Gauss.

A característica de uma matriz é sempre menor ou igual aonúmero de linhas da matriz. (porquê?)

A característica de uma matriz é sempre menor ou igual aonúmero de colunas da matriz. (porquê?)

Se a uma matriz se acrescentarem linhas ou colunas, a matrizobtida tem característica maior ou igual à característica da

matriz original. (porquê?)


Exemplos: característica


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p

matriz forma de Gauss de A característica de A

A = 1 −1 1 1

2 0 −1 3−1 3 0 1 1 0 0 138

0 1 0 7

80 0 1 14

3

A =

1 1 −1 12 0 1 3

1 −1 2 2

1 0

12

32

0 1 −32 −120 0 0 0

2

A =

3 −6 3 −3 9 180 0 0 1 −1 −21 −2 3 −1 7 82 −4 3 −1 7 11

1 −2 0 0 0 30 0 1 0 2 10 0 0 1 −1 −20 0 0 0 0 0

3

A = 1 1 1 1

0 1 −1 22 0 4 0

1 0 2 00 1 −1 00 0 0 1

3

A =

1 0 1 5 −13 0 1 11 −11 0 −1 1 1

5 0 1 17 −1

1 0 0 3 00 0 1 2 −10 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2


Matriz escalonada


34/374

Diz-se que uma matriz está escalonada sse as condições seguintesse verificam:

a primeira entrada não nula de qualquer linha não nula está à

direita da primeira entrada não nula de qualquer linha anterior; em qualquer coluna que contenha a primeira entrada não nula

de uma linha, todas as entradas de linhas inferiores são nulas;

se existirem linhas nulas, são as últimas.


Exemplos: matrizes escalonadas e não escalonadas


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p

2 3 1 5 00 0 4 0 2

0 0 0 0 1

está escalonada

1 5 −2 3 0 50 0 2 4 0 0

0 0 0 3 1 −1

está escalonada

2 3 5 22 1 0 00 1 3 0

não está escalonada

0 3 51 0 00 0 0

não está escalonada


Característica de uma matriz escalonada


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Se duas matrizes são equivalentes por linhas, têm a mesmaforma de Gauss, e portanto a mesma característica.

Se uma matriz está escalonada, a sua característica é igual aonúmero de linhas não nulas. (porquê?)

Duas matrizes escalonadas podem ser equivalentes por linhassem serem iguais (exemplo?)


Exemplos: característica de matrizes escalonadas


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car 2 3 1 5 00 0 4 0 20 0 0 0 1

= 3

car

1 5 −2 3 0 50 0 2 4 0 0

0 0 0 3 1 −1

= 3

car

2 0 3 10 5 1 −20 0 0 0

= 2

car 3 5 1 40 0 0 0

0 0 0 0

= 1


Discussão de sistemas em função da característica


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A característica da matriz de um sistema é sempre maior ou

igual à característica da matriz dos coeficientes. (porquê?) Se a característica da matriz de um sistema é maior do que a

característica da matriz dos coeficientes, então o sistema éimpossível. (porquê?)

Se a característica da matriz de um sistema é igual àcaracterística da matriz dos coeficientes e igual ao número deincógnitas então o sistema é possível e determinado.(porquê?)

Se a característica da matriz de um sistema é igual àcaracterística da matriz dos coeficientes e menor do que onúmero de incógnitas então o sistema é possível eindeterminado. (porquê?)


Exemplos: discussão de sistemas


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1.

a

11x + a 12y + a 13z = b 1a 21x + a 22y + a 23z = b 2a 31x + a 32y + a 33z = b 3

Seja A a matriz dos coeficientes e M a matriz do sistema.

Tem-se car A ≤

3 e car M ≤

3.

Se car A = 3, o sistema é possível e determinado.

2.

a 11x + a 12y + a 13z + a 14t = b 1a 21x + a 22y + a 23z + a 24t = b 2

Seja A a matriz dos coeficientes.

Tem-se car A ≤ 2, portanto o sistema não pode ser possível edeterminado; pode ser impossível ou possível e indeterminado.




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3.

x + y + z = 2a x + 2z = 3

y + (a 2

− 5)z = 1A matriz do sistema é

1 1 1 2a 1 0 2 3

0 1 a 2 − 5 1

Usando o algoritmo para determinar a forma de Gauss:

L2 → L2 − L1 1 1 1 2a 0 −1 1 3 − 2a

0 1 a 2 − 5 1

L2 → −L2 1 1 1 2a 0 1

−1 2a

−3

0 1 a 2 − 5 1

L1 → L1 − L2L3

→ L3

−L2

1 0 2 30 1 −1 2a − 30 0 a 2 − 4 4 − 2a




41/374

1º caso: a 2 − 4 = 0, isto é, a = 2 e a = −2

Continuando o algoritmo:

L3 → 1a2−4 L3

1 0 2 30 1 −1 2a − 3

0 0 1 − 2a+2

L1 → L1 − 2L3L2 → L2 + L3

1 0 0 3a+10

a+2

0 1 0 2a2+a−8a+20 0 1 − 2

a+2

x = 3a+10

a+2

y = 2a2+a−8a+2z = − 2

a+2

A característica da matriz do sistema é 3, a característica da

matriz dos coeficientes é 3 e o número de incógnitas é 3.

Para a ∈ R \ {−2, 2}, o sistema é possível e determinado, e aúnica solução é

3a+10

a+2 , 2a2+a−8

a+2 , − 2a+2

.




42/374

2º caso: a = 2

Substituindo a por 2 temos a matriz 1 0 2 30 1 −1 10 0 0 0

que está na forma de Gauss e corresponde ao sistema

x + 2z = 3y − z = 10 = 0

.



Para a = 2, o sistema é possível e indeterminado; as soluções são(3 − 2c , 1 + c , c ), c ∈ R.




43/374

3º caso: a = −2

Substituindo a por −2 temos a matriz

1 0 2 30 1 −1 −70 0 0 8

que corresponde ao sistema

x + 2z = 3y − z = −70 = 8

, obviamente

impossível.

A característica da matriz do sistema é 3, a característica damatriz dos coeficientes é 2.

Para a = −2, o sistema é impossível.




44/374

4.

x + (−1 + i )y + (3 + 2i )z = 1iy + 2z = 0

ix + (−1 − i )y + (a 2

− 2a + 3i )z = a − 1 + 2i A matriz do sistema é

1 −1 + i 3 + 2i 10 i 2 0

i −1 − i a 2 − 2a + 3i a − 1 + 2i

Usando o algoritmo para determinar a forma de Gauss:

L3 → L3 − iL1

1 −1 + i 3 + 2i 10 i 2 00 0 a 2 − 2a + 2 a − 1 + i

L2 → 1i L2 1 −1 + i 3 + 2i 10 1

−2i 0

0 0 a 2 − 2a + 2 a − 1 + i L1 → L1−(−1+i )L2

1 0 1 10 1 −2i 00 0 a 2 − 2a + 2 a − 1 + i




45/374

1º caso: a 2 − 2a + 2 = 0, isto é, a = 1 + i e a = 1 − i

Continuando o algoritmo:

L3 → 1a2−2a+2 L3 1 0 1 10 1 −2i 0

0 0 1 1a−1−i

L1 → L1 − L3L2 → L2 + 2iL3

1 0 0 a−2−i

a

−1

−i

0 1 0 2i a−1−i 0 0 1 1

a−1−i

x = a−2−i

a

−1

−i

y = 2i a−1−i z = 1

a−1−i



Para a ∈ C \ {1 − i , 1 + i }, o sistema é possível e determinado, e aúnica solução é

a−2+i a−1+i ,

2i a−1+i ,

1a−1+i

.

(continua)




46/374

2º caso: a = 1 − i

Substituindo a por 1 − i temos a matriz 1 0 1 10 1 −2i 00 0 0 0

que está na forma de Gauss e corresponde ao sistema

x + z = 1y − 2iz = 00 = 0

.



Para a = 1 − i , o sistema é possível e indeterminado; as soluçõessão (1 − c , 2ic , c ), c ∈ C.




47/374

3º caso: a = 1 + i

Substituindo a por 1 + i temos a matriz

1 0 1 10 1 −2i 00 0 0 2i

que corresponde ao sistema x

+ z = 1y − 2iz = 00 = 2i

, obviamente

impossível.

A característica da matriz do sistema é 3, a característica damatriz dos coeficientes é 2.

Para a = 1 + i , o sistema é impossível.



48/374

Matriz transposta: definição


49/374

Seja A ∈ M m,n(C), A =

a 11 a 12 · · ·

a 1na 21 a 22 · · · a 2n

... ...

...a m1 a m2 · · · a mn

Chama-se transposta de A à matriz

a 11 a 21

· · · a m1

a 12 a 22 · · · a m2...

... ...

a 1n a 2n · · · a mn

,que se obtém trocando as linhas de A com as colunas.

Notação: At

Se A ∈ M m,n(C) então At ∈ M n,m(C)

LGA I(M143) - 2014/2015 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes 49

Matriz transposta: exemplos


50/374

A =

2 14 37 152 −1

, At =

2 4 7 21 3 15 −1

A = 2 + 3i 5 −7 + 2i 1 0 0

0 5 − 76 i √

2 +√

3i

,

At = 2 + 3i 1 0

5 0 5−

7

6

i −7 + 2i 0 √ 2 + √ 3i


Soma de matrizes: definição


51/374

Soma de duas matrizes de m linhas e n colunas:

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n

... ...

...

a m1 a m2 · · · a mn

+

b 11 b 12 · · · b 1nb 21 b 22 · · · b 2n

... ...

...

b m1 b m2 · · · b mn

=

a 11 + b 11 a 12 + b 12 · · · a 1n + b 1na 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · a 2n + b 2n

... ...

...a m1 + b m1 a m2 + b m2 · · · a mn + b mn

ALGA I(M143) - 2014/2015 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes 51

Exemplos: soma de matrizes


52/374

2 1 3 45 3 −2 −12

+

1 −2 0 −52 −1 −35 4

=

3 −1 3 −17 2 −135 72

1 √

30 −23 53

+

2 05 −12 3

=

3 √

35 −35 143


Produto de um número por uma matriz: definição


53/374

Produto de um número por uma matriz:

c

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n... ... ...a m1 a m2 · · · a mn

= ca 11 ca 12 · · · ca 1nca 21 ca 22 · · · ca 2n... ... ...ca m1 ca m2 · · · ca mn


Exemplos: produto de um número por uma matriz


54/374

5 2 1 −30 1 −4 = 10 5 −150 5 −20 −1

2

1 2 3

−2 −3 −45 6 7

=

−12 −1 −321 32 2

−5

2 −3

−7

2

(1 + i )

3 + i 1 − 2i 5 0√

2 +√

3i 52

=

2 + 4i 3 − i 5 + 5i 0√ 2 − √ 3 + (√ 2 + √ 3)i 52 + 52 i


Produto de matrizes


55/374

Produto de duas matrizes tais que o número de colunas daprimeira é igual ao número de linhas da segunda (só se define

produto de matrizes neste caso):

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n

... ...

...

a m1 a m2 · · · a mn

·

b 11 b 12 · · · b 1p b 21 b 22 · · · b 2p

... ...

...

b n1 b n2 · · · b np

=

c 11 c 12 · · · c 1p c 21 c 22 · · · c 2p

... ...

...c m1 c m2 · · · c mp

onde c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + a i 3b 3 j + · · · a inb nj =

nk =1

a ik b kj .


Exemplos: produto de matrizes


56/374

1 23 4

5 67 8

=

1 × 5 + 2 × 7 1 × 6 + 2 × 83 × 5 + 4 × 7 3 × 6 + 4 × 8

=

19 2243 50

2 1

−1 30

−5

−4 1

4 1 −27 2 0 =

2 × 4 + 1 × 7 2 × 1 + 1 × 2 2 × (−2) + 1 × 0−1 × 4 + 3 × 7 −1 × 1 + 3 × 2 −1 × (−2) + 3 × 00 × 4 − 5 × 7 0 × 1 − 5 × 2 0 × (−2) − 5 × 0

−4 × 4 + 1 × 7 −4 × 1 + 1 × 2 −4 × (−2) + 1 × 0

=

15 4 −417 5 2

−35 −10 0−9 −2 8


Produto de matrizes: caso particular

T


57/374

Tem-se

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n... ... ...a m1 a m2 · · · a mn

x 1

x 2...x n

= a 11x 1 + a 12x 2 + · · · + a 1nx na 21x 1 + a 22x 2 + · · · + a 2nx n...

a m1x 1 + a m2x 2 + · · · + a mnx n

Portanto o sistema

a 11x 1 + a 12x 2 + · · · + a 1nx n = b 1a 21x 1 + a 22x 2 + · · · + a 2nx n = b 2· · ·a m1x 1 + a m2x 2 + · · · + a mnx n = b m

pode-se escrever na forma AX = B , onde A é a matriz dos

coeficientes, X =

x 1x 2...

x n

, e B =

b 1b 2...

b m


Produto de matrizes


58/374

Sejam A ∈ M m,n(C), B ∈ M n,p (C). Sejam B 1, B 2, . . . , B p as colunas de B , isto é,

B = B 1 B 2 · · · B p Então as colunas de AB são AB 1, AB 2, . . . , AB p , isto é,

AB =

AB 1 AB 2 · · · AB p


Operações com matrizes: propriedades


59/374

Para quaisquer matrizes A, B , C , tem-se A + B = B + A (A + B ) + C = A + (B + C ) A(B + C ) = AB + AC (A + B )C = AC + BC (AB )C = A(BC )

desde que A, B , C tenham um número de linhas e colunastais que as operações sejam possíveis.

MAS: em geral AB = BA

Exercício (com bastantes cálculos)mostrar estas propriedades


Exemplo: não comutatividade do produto


60/374

1 20 −1

3 −12 1

=

7 1−2 −1

3 −12 1

1 20 −1

= 3 7

2 3


Matriz identidade


61/374

Chama-se matriz identidade de ordem n à matriz I n, onde

I n = 1 0 · · · 00 1

· · · 0

... ... ...0 0 · · · 1

, I n ∈ M n,n(R). Para qualquer M ∈ M m,n(C), tem-se I mM = M e MI n = M .


Exemplos: matriz identidade


62/374

1 0 00 1 00 0 1

2 1 3 45 0 −2 −67 1 4 3

=

2 1 3 45 0 −2 −67 1 4 3

7 −10 2

−4 53 6

1 00 1

=

7 −10 2

−4 53 6


Inversa de uma matriz


63/374

Diz-se que M ∈ M m,n(C) tem inversa sse existe uma matrizM tal que MM e M M são matrizes identidade (se existir,

tem-se M ∈ M n,m(C); porquê?) Pode-se mostrar que só matrizes quadradas têm inversa (mas

nem todas as matrizes quadradas têm inversa).

Diz-se que M ∈ M n,n(C) é singular sse não tem inversa. Se uma matriz tiver inversa, essa inversa é única; se existir,

designa-se por M −1 a inversa de M . Pode-se mostrar que se M , M ∈ M n,n(C) e MM = I n ou

M M = I n, então M é inversa de M .

Se M ∈ M n,n(C), então M tem inversa sse car M = n.ExercícioDar exemplo de m, n ∈ N, M ∈ M m,n(R) e M ∈ M n,m(R) tais que MM = I m mas M M

= I n.


Demonstração da unicidade da inversa


64/374

Suponhamos que M e M são inversas da matriz M ∈ M m,n(C). M (MM ) = M I m = M

(M M )M = I nM = M Pela associatividade do produto, M (MM ) = (M M )M . Portanto M = M .


Demonstração de que M tem inversa ⇔ carM = n


65/374

Usar-se-á a seguinte propriedade não demonstrada: se

M , M ∈ M n,n(C) e MM = I n, então M é inversa de M .Seja M ∈ M n,n(C).

M tem inversa sse existe a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22

· · · a 2n

... ... ...a n1 a n2 · · · a nn

tal que

M

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22

· · · a 2n

... ... ...a n1 a n2 · · · a nn

= I n.


Demonstração de que M tem inversa ⇔ carM = n (cont)É o mesmo que dizer que existem


66/374

a 11, a 12, . . . , a 1n, a 21, a 22, . . . , a 2n, . . . , a n1, a n2, . . . , a nn

tais que M

a 11a 21

...a n1

=

10...0

, M

a 12a 22...

a n2

=

01...0

, . . . ,

M a 1na

2n...a nn

= 00...1

ou seja que os sistemas

M

x 1x 2...

x n

=

10...0

, M

x 1x 2...

x n

=

01...0

, . . . , M

x 1x 2...

x n

=

00...1

são possíveis.


Demonstração de que M tem inversa ⇔ carM = n (cont)


67/374

Se car M = n, então todas as características das matrizesdestes sistemas são iguais a n (porquê?) logo todos ossistemas são possíveis e determinados (porquê?)

Se car M


68/374

3 21 1 1 −2−1 3 = 1 00 1 , 1 −2−1 3

3 21 1

=

1 00 1

, portanto

3 21 1

e

1 −2−1 3 são inversas uma da outra.

3 21 1

−1=

1 −2−1 3

1 −2−1 3 −

1

= 3 2

1 1


Exemplo: matrizes inversas1 1 1

1 −1 0

1 0 0


69/374

1 1 10 1 1

0 0 1

1 1 00 1 −1

0 0 1

=

1 0 00 1 0

0 0 1

,

1 −1 00 1 −1

0 0 1

1 1 10 1 1

0 0 1

=

1 0 00 1 0

0 0 1

, portanto

1 1 10 1 10 0 1

e 1 −1 00 1 −10 0 1

são inversas uma da outra.

1 1 10 1 1

0 0 1

−1

=

1 −1 00 1

−1

0 0 1

1 −1 00 1 −10 0 1

−1

=

1 1 10 1 10 0 1


Exemplo: Cálculo da inversa de 1 5

2 3


70/374

1 52 3 x y z t = 1 00 1 ⇔ x + 5z y + 5t 2x + 3z 2y + 3t = 1 00 1

⇔

x + 5z = 12x + 3z = 0y + 5t = 0

2y + 3t = 1

⇔

x + 5z = 12x + 3z = 0

e

y + 5t = 02y + 3t = 1

As matrizes dos dois sistemas são 1 5 12 3 0 e 1 5 0

2 3 1 As formas de Gauss são

1 0 −370 1 27

e

1 0 570 1 −17

, que

correspondem a

x = −37z = 27

e

y = 57t = −17


Exemplo: Cálculo da inversa de 1 5

2 3

1


71/374

Então 1 52 3

−1=

−37 572

7 −1

7 .Em vez de calcular separadamente a forma de Gauss das duasmatrizes, é mais simples calcular a forma de Gauss de

1 5 1 0

2 3 0 1 Obtemos

1 0 −37 570 1 27 −17

; a “metade da direita” é a inversa

da matriz inicial.


Cálculo de inversa pelo método de Gauss


72/374

Queremos a inversa de M ∈ M n,n(C), se existir. Consideramos a matriz A =

M I n

Determinamos a forma de Gauss G de A

Se a “metade esquerda” de G for I n, então M tem inversa, e

M −1 é a “metade direita” de G Se a “metade esquerda” de G não for I n, então car M


73/374

Seja A

c d

∈ M 2,2(C).

Quando é que A tem inversa?(Quando é que car A = 2?)caso a = 0

L1 → 1a L1

1 b a

c d

L2 → L2 − cL1 1 b a

0 d − bc a

Conclusão: se a = 0, então car A = 2 sse d − bc

a = 0, ou seja,

ad

−bc

= 0

Exercícioverificar que mesmo que a = 0,

car A = 2 ⇔ ad − bc = 0LGA I(M143) - 2014/2015 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 73

Determinantes de ordem 2


74/374

Definição

Se A = a b

c d

, o determinante de A é ad − bc .

Notação: det

a b c d

, det A,

a b c d

, |A|

Temos funções

det : M 2,2(C) −→ CA → det A

det : M 2,2(R) −→ RA → det A

LGA I(M143) - 2014/2015 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 74

Exemplos: determinantes de ordem 2


75/374

det

1 23 4

= −2

det −1 2

3 −6 = 0 det

5 −23 1

= 11

ALGA I(M143) - 2014/2015 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 75

Determinantes de ordem 2: propriedades


76/374

det a + a b

c + c d

= det

a b c d

+ det

a b c d

det

a b + b

c d + d

= det

a b c d

+ det

a b

c d

det

a + a b + b

c d

= det

a b c d

+ det

a b

c d

det a b c + c d + d = det

a b c d + det

a b c d


Exemplos: propriedades dos determinantes


77/374

det

1 23 4

= det

1 + 0 20 + 3 4

=

det

1 20 4

+ det

0 23 4

det

1 23 4

= det

1 + 0 0 + 2

3 4

=

det

1 03 4

+ det

0 23 4




78/374

det ka b kc d = k det a b c d = det a kb c kd det

ka kb

c d

= k det

a b c d

= det

a b kc kd

det b a d c = − det a b c d = det c d a b det I 2 = det

1 00 1

= 1

ExercícioMostrar as propriedades dos determinantes (fazer as contas)




79/374

Se M tem duas colunas iguais, então det M = 0. Trocando as colunas, o determinante troca de sinal. Mas trocando as colunas, a matriz fica igual, portanto o

determinante é o mesmo. Se troca de sinal e fica igual, é 0.

Se M tem duas linhas iguais, então det M = 0. Se uma coluna de M é múltipla da outra, então det M = 0.

(porquê?)

Se uma linha de M é múltipla da outra, então det M = 0.

(porquê?)




80/374

det 1 23 4 = det 1 2 × 13 2 × 2 = 2 det 1 13 2 det

1 23 4

= det

1 25 × 35 5 × 45

= 5 det

1 2

35

45

det 2 23 3 = 0 det

1 51 5

= 0

det 1 43 12 = 0


Problema: caracterização do determinante

Exercício (exigindo alguma imaginação)


81/374

( )Mostrar que a função determinante é a única função definida em

M 2,2(C) tal que, para quaisquer a , b , c , d , k ∈ C det

a + a b c + c d

= det

a b c d

+ det

a b c d

det a b + b

c d + d = det a b c d + det a b

c d det

ka b kc d

= k det

a b c d

= det

a kb c kd

det b a d c = − det a b c d det I 2 = det

1 00 1

= 1




82/374

Para qualquer matriz A ∈ M 2,2(C

) tem-se det A = det At

. Para quaisquer matrizes A, A ∈ M 2,2(C), tem-se

det(AA) = det A det A. (exercício) A tem inversa sse det A = 0, e nesse caso det A−1 = 1det A .

basta notar que (det A)(det A−1) = det(AA−1) = det I 2 = 1

car A = 2 sse det A = 0 Se A =

a b c d

e det A = 0, então

A−1 = 1det A d −b −c a (verificar)


Significado geométrico do determinante

Consideremos um referencial ortonormado no plano.


83/374

p

Sejam A = a b

c d , u = (a , c ), v = (b , d )

A área do paralelograma definido pelos vectores u e v é igual aomódulo do determinante de A.

ALGA I(M143) - 2014/2015 1 3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 83

Significado geométrico do determinante - demonstr


84/374

Uma demonstração:

A área do paralelograma definido por u e v é igual à área dorectângulo definido por u e w , onde w é a projecção ortogonalde v sobre um vector ortogonal a u .

Um vector ortogonal a u é o vector u = (−c , a ) Então w =

v

|u

u 2 u = (b ,d )

|(−

c ,a)c 2+a2 (−c , a ) = −

bc +ad c 2+a2 (−c , a ).

Portanto w = |−bc +ad c 2+a2 |(−c , a ) = |−bc +ad c 2+a2 |

√ c 2 + a 2

área do rectângulo definido por u e w =

u

w

=√

a 2 + c 2

|−bc +ad

c

2

+a2

|√

c 2 + a 2 = |

ad −

bc |(notação: | designa o produto escalar, u designa a norma, ou

comprimento, do vector u )

LGA I(M143) - 2014/2015 1 3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 84

Significado geométrico do determinante - demonstr

Outra demonstração:


85/374

A área do paralelograma definido por u e v é igual à área do

rectângulo definido por u e w , onde w é a projecção ortogonalde v sobre um vector ortogonal a u .

w v = sen θ =

√ 1 − cos2 θ

cos θ = u |v u v

= ab +cd

√ a2

+c 2

√ b 2

+d 2

1 − cos2 θ = 1 − (ab +cd )2(a2+c 2)(b 2+d 2) = a2d 2+b 2c 2−2abcd (a2+c 2)(b 2+d 2) =

(ad −bc )2(a2+c 2)(b 2+d 2)

sen θ = |ad −bc |√ a

2

+c 2√

b 2

+d 2

área=u w = u v sen θ =√

a 2 + c 2√

b 2 + d 2 |ad −bc |√ a2+c 2

√ b 2+d 2

= |ad − bc |



det

1 23 4

= −2 = 0, portanto car

1 23 4

= 2 e


86/374

3 4

3 4

1 23 4

tem inversa;

1 23 4

−1= −12

4 −2−3 1

=

−2 1

32 −12

det 5 −23 1

= 11 = 0, portanto car 5 −23 1

= 2 e 5 −23 1

tem inversa;

5 −23 1

−1= 111

1 2

−3 5

=

1

112

11

− 311

511

det

3 −1−6 2

= 0, portanto car

3 −1−6 2


87/374

Notação:

A =

C 1 C 2 · · · C n

representa a matriz cujas colunassão C 1, C 2, . . . , C n

L1L2...

Lm

representa a matriz cujas linhas são L1, L2, . . . , Lm


Determinantes de ordem n

ProposiçãoPara cada n ∈ N existe uma única função det : M (C) → C que


88/374

Para cada n ∈ N, existe uma única função det : M n,n(C) −→ C que

satisfaz as seguintes propriedades: det

C 1 · · · C j + C j · · · C n

=

det

C 1 · · · C j · · · C n

+ det

C 1 · · · C j · · · C n

,

para quaisquer C 1, . . . , C j , . . . , C n, C j

det C 1 · · · kC j · · · C n =k det

C 1 · · · C j · · · C n

, para quaisquer

C 1, . . . , C j , . . . , C n e qualquer k ∈ C Se a matriz B se obtém da matriz A por troca de duas colunas,

então det B =

−det A

det I n = 1

ExercícioMostrar a partir destas propriedades que se A ∈ M n,n(R), então det A

∈R.

ALGA I(M143) - 2014/2015 1 3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 88

Determinantes de ordem n: propriedades s/ demonstraçãoPode-se mostrar que:

L1 L1 L1


89/374

det

1...Li + Li ...

Ln

= det

1...Li ...

Ln

+ det

1...Li ...

Ln

, para quaisquer

L1, . . . , Li , . . . , Lm, Li

det

L1...

kLi ..

.Ln

= k det

L1...

Li ..

.Ln

, para quaisquer

L1, . . . , Li , . . . , Lm e qualquer k ∈ C Se a matriz B se obtém da matriz A por troca de duas linhas,

então det B = det ALGA I(M143) - 2014/2015 1 3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 89

Determinantes de ordem n: propriedades s/ demonstração


90/374

Pode-se mostrar que, para qualquer A ∈ M n,n(C

),det A = det At

Pode-se mostrar que det(AB ) = det A det B , para quaisquerA, B ∈ M n,n(C)

o que implica que se A tem inversa, então det A = 0; porquê? se A tem inversa, então det A−

1

= 1det A

portanto se car A = n, então det A = 0 A tem inversa ⇔ det A = 0 (será visto depois)

det A = 0 ⇔ car A = n ⇔ A tem inversa

ALGA I(M143) 2014/2015 1 3 Sistemas de equações lineares e matrizes Determinantes 90

Determinantes de ordem n: propriedades


91/374

Se uma das colunas de A é múltipla de outra, então det A = 0(caso particular: duas colunas iguais)

Substituindo uma coluna pela sua soma com um múltiplo deoutra coluna, o determinante não é alterado.

Se uma das linhas de A é múltipla de outra, então det A = 0(caso particular: duas linhas iguais)

Substituindo uma linha pela sua soma com um múltiplo deoutra linha, o determinante não é alterado.

LGA I(M143) 2014/2015 1 3 Sistemas de equações lineares e matrizes Determinantes 91

Determinantes de ordem n: demonst. das propriedades

Se uma das colunas de A é múltipla de outra, então det A = 0


92/374

Se uma das colunas de A é múltipla de outra, então det A 0

det C 1 . . . C j . . . kC j . . . C n =k det C 1 . . . C j . . . C j . . . C n O determinante da segunda matriz é 0, porque tem duas

colunas iguais (mesmo raciocínio que para matrizes emM 2,2(C))

Substituindo uma coluna pela sua soma com um múltiplo deoutra coluna, o determinante não é alterado. det

C 1 · · · C i + kC j · · · C j · · · C n

=

= det

C 1 · · · C i · · · C j · · · C n

+

det

C 1 · · · kC j · · · C j · · · C n o determinante da segunda parcela é 0, porque uma coluna émúltipla de outra

o raciocínio para as linhas é análogo


Exemplo: cálculo de determinante

det

1 0 2 00 3 1 1

−1 0 0 2

L3→L3+L1= det

1 0 2 00 3 1 1

0 0 2 2


93/374

0 1 1 0 0 1 1 0 C 3→C 3−C 4= det

1 0 2 00 3 0 10 0 0 20 1 1 0

=L2→L2−12

L3= det

1 0 2 00 3 0 00 0 0 20 1 1 0

C 3→C 3−2C 1= det1 0 0 0

0 3 0 00 0 0 20 1 1 0

C 2→C 2−C 3= det1 0 0 0

0 3 0 00 0 0 20 0 1 0

C 3↔C 4= − det

1 0 0 00 3 0 00 0 2 00 0 0 1

= −3det

1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1

= −3 × 2det

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= −6det I 4 = −6


Caso n = 3


94/374

Seja A = a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

∈ M 3,3(C).Tem-sedet A =

a 11a 22a 33 +a 21a 32a 13 +a 31a 12a 23−a 31a 22a 13−a 11a 32a 23−a 21a 12a 33

ExercícioMostrar esta igualdade a partir das propriedades de definição do

determinante


Caso n = 3: regra de Sarrus


95/374

Para calcular o determinante de a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33

, escrevemosa 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23

somamos os produtos das três diagonais \

e subtraimos os

produtos das três diagonais /.


Exemplo: determinantes de ordem 3

1 0 5


96/374

det1 0 5

3 −2 4−1 −3 0 =?

1 0 53 −2 4

−1

−3 0

1 0 53 −2 4

det

1 0 53

−2 4

−1 −3 0

= 1 × (−2) × 0 + 3 × (−3) × 5+

+(−1)×0×4−(−1)×(−2)×5−1×(−3)×4−3×0×0 = −43


Notação

Notação: Aij designará a matriz que se obtém da matriz Ali i d li h i l j


97/374

eliminando a linha i e a coluna j .

Exemplo: A =

1 2 4 32 1 −1 5

−1 3 5 22 1 2 1

A11 = 1 −1 53 5 2

1 2 1

A23 =

1 2 3−1 3 22 1 1

A42 =

1 4 32 −1 5

−1 5 2

LGA I(M143) 2014/2015 1 3 Sist s d õ s li s t i s D t i t s 97

Determinantes de ordem n: desenvolvimento de Laplace

a 11 · · · a 1n


98/374

Seja A = ... ...a n1 · · · a nn

.Pode-se mostrar que

det A = a 11 det A11 − a 21 det A21 + · · · + (−1)n+1a n1 det An1(desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira coluna)

det A = a 11 det A11 − a 12 det A12 + · · · + (−1)1+na 1n det A1n(desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira linha)

det A =(−1)1+ j a 1 j det A1 j +(−1)2+ j a 2 j det A2 j +· · ·+(−1)n+ j a nj det Anj (desenvolvimento de Laplace ao longo da coluna j )

det A =(−1)i +1a i 1 det Ai 1 + (−1)i +2a i 2 det Ai 2 + · · ·+ (−1)i +na in det Ain(desenvolvimento de Laplace ao longo da linha i )

LGA I(M143) 2014/2015 1 3 Si t d õ li t i D t i t 98


Desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira coluna:


99/374

p g p

det

1 0 2 00 3 1 1

−1 0 0 20 1 1 0

=

= 1 × det 3 1 10 0 2

1 1 0

− 0 × det 0 2 00 0 21 1 0

+

+(−

1)×

det0 2 03 1 11 1 0 − 0 × det

0 2 03 1 10 0 2

= −4 − 2 = −6

ALGA I(M143) 2014/2015 1 3 Si t d õ li t i D t i t 99


100/374




101/374


det

1 2 4 32 1 −1 5

−1 3 5 22 1 2 1

=

= det

1 −1 53 5 21 2 1

− 2det 2 4 33 5 2

1 2 1

+

+(−1) det2 4 3

1 −1 51 2 1 − 2 × det2 4 3

1 −1 53 5 2 = ...

ALGA I(M143) 2014/2015 1 3 Si d õ li i D i 101


Cálculo do mesmo determinante usando algumas propriedades dos


102/374

determinantes antes de efectuar o desenvolvimento de Laplace aolongo da primeira coluna:

det1 2 4 3

2 1 −1 5−1 3 5 22 1 2 1

L2 → L2 − 2L1L3 → L3 + L1

L4 → L4 − 2L2=

= det1 2 4 30

−3

−9

−1

0 5 9 50 −3 −6 −5

= det−3 −9 −15 9 5−3 −6 −7

= ...


Cálculo da inversa de uma matriz


103/374

Se A ∈ M n,n(R) é tal que det A = 0, entãoA−1 =

1det A det A11 − det A21 · · · (−1)n+1 det An1

−det A12 det A22

· · · (

−1)n+2 det An2

... ... ...(−1)1+n det A1n (−1)2+n det A2n · · · det Ann

(Na entrada da linha i , coluna j está (−1)i + j det A ji .)


Cálculo da inversa de uma matriz: dem. sucinta

Seja A =1


104/374

det A11 − det A21 · · · (−1)

n+1

det An1− det A12 det A22 · · · (−1)n+2 det An2...

... ...

(−1)1+n det A1n (−1)2+n det A2n · · · det Ann

Basta mostrar que A 1det A A = I n, o que equivale a mostrar que

AA =

det A 0 · · · 0

0 det A · · · 0...

...

...

0 0 · · · det A


Cálculo da inversa de uma matriz: dem. sucinta (cont)Seja B = AA.

Então b ij =n

k =1

a ik (−1)k + j det A jk =n

k =1

(−1)k + j a ik det A jk n


105/374

Para i = j , vem b ii =

nk =1

(−1)k +i a ik det Aik , que é det A (desenvolvimento deLaplace ao longo da linha i ).

Para i = j , vem b ij = det

a 11 a 12 · · · a 1n...

... ...

a i 1 a i 2 · · ·

a in

... ... ...a i 1 a i 2 · · · a in...

... ...

a n1 a n2 · · · a nn

← linha j

← linha i

(desenvolvimento ao longo da linha j )

Então b ij = 0, porque é o determinante de uma matriz com duas linhas iguais.

ExercícioVerificar analogamente que 1det A A

A = I n

ALGA I(M ) / S d l D

Exemplo: cálculo da inversa de uma matriz

A =

1 2 3

−1 0 25 1 0

, det A = −25 = 0


106/374

−5 1 0 A−1 = − 125

det A11 − det A21 det A31− det A12 det A22 − det A32det A13 − det A23 det A33

=

− 125

det 0 21 0 − det 2 3

1 0 det 2 3

0 2 − det

−1 2−5 0

det

1 3−5 0

− det

1 3−1 2

det −1 0−5 1 −

det 1 2

−5 1 det

1 2

−1 0

=

= − 125

−2 3 4−10 15 −5

−1 −11 2

( ) / S

Regra de Cramer


107/374

Seja A a matriz dos coeficientes do sistema de n equações a nincógnitas

a 11x 1 + a 12x 2 + · · · + a 1nx n = b 1

a 21x 1 + a 22x 2 + · · · + a 2nx n = b 2· · ·a n1x 1 + a n2x 2 + · · · + a nnx n = b n

Se det A = 0, então o sistema é possível e determinado.

( ) /

Regra de Cramer

Na situação anterior, a única solução do sistema é dada porb1 a12 a1n


108/374

x 1 =

det

b 1 a 12 · · ·

a 1n... ... ...

b n a n2 · · · a nn

det A ,

x 2 =

deta 11 b 1 · · · a 1n

.

.. .

.. .

..a n1 b n · · · a nn

det A ,

. . .

x n =

deta 11 a 12 · · · b 1

.

.. .

.. .

..a n1 a n2 · · · b n

det A .

Regra de Cramer: demonstração sucinta

Resolver o sistema

a 11x 1 + a 12x 2 + · · · + a 1nx n = b 1a 21x 1 + a 22x 2 + · · · + a 2nx n = b 2


109/374

Resolver o sistema · · ·a n1x 1 + a n2x 2 + · · · + a nnx n = b né o mesmo que resolver a equação AX = B , onde A é a matriz dos

coeficientes e B =

b 1

b 2...b n

Como det A

= 0,

AX = B ⇔ A−1AX = A−1B ⇔ X = A−1B

Regra de Cramer: demonstração sucintaA entrada da linha i de A−1B , que é a entrada da linha i de

det A11 − det A21 · · · (−1)n+1 det An1n+2

b 1


110/374

1det A

− det A12 det A22 · · · (−1)n+2

det An2... ...

...(−1)1+n det A1n (−1)2+n det A2n · · · det Ann

b 2...b n

é

1det A

nk =1

(−1)i +k b k det Aki

que é

1det A det

a 11 · · · b 1 · · · a 1n...

...

...

a n1 · · · b n · · · a nn

(onde os b k estão na coluna i )ALGA I(M143) - 2014/2015 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 110

Exemplo: regra de Cramer

2x + 3y = 1


111/374

+ 3y5x − y = 3 a matriz dos coeficientes A é

2 35 −1

, e

det A =

−17

= 0, portanto o sistema é possível e determinado

as soluções são dadas por

x = − 117 det

1 33 −1

= 1017

y = −

1

17

det 2 15 3 = − 1

17


Exemplo: regra de Cramer

x − y + 3z = 42x + y + z = −2x − 5y = 1


112/374

a matriz dos coeficientes A é

1 −1 32 1 11 −5 0

, edet A = −29 = 0, portanto o sistema é possível e determinado

as soluções são dadas por

x = − 129 det 4 −1 3−2 1 1

1 −5 0

= −4629y =

− 129 det

1 4 32

−2 1

1 1 0

= −

1529

z = − 129 det 1 −1 42 1 −2

1 −5 1

= 4929

ALGA I(M143) - 2014/2015 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes 112

Exemplo de espaço vectorial real - vectores do plano

Vectores no plano com origem em (0, 0)


113/374

Soma de vectores Produto de um número real por um vector

ALGA I(M143) - 2014/2015 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades 113

Exemplo de espaço vectorial real - R2

2


114/374

R

2

= R× R = {(x , y ) : x , y ∈ R} soma de dois elementos de R2:

(x , y ) + (z , t ) = (x + z , y + t )

produto de um número real por um elemento de R2:

a · (x , y ) = (ax , ay )Observação: Dado um referencial do plano, R2 identifica-se com oplano, se para cada ponto do plano considerarmos o par formadopelas suas coordenadas (e com os vectores do plano com origemem (0, 0), de maneira análoga).

LGA I(M143) - 2014/2015 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades 114

Exemplo de espaço vectorial real - vectores do espaço

Vectores no espaço com origem em (0, 0, 0)


115/374

Soma de vectores Produto de um número real por um vector


Exemplo de espaço vectorial real - R3

3


116/374

R

3

= R× R× R = {(x , y , z ) : x , y , z ∈ R} soma de dois elementos de R3:

(x , y , z ) + (t , u , v ) = (x + t , y + u , z + v )

produto de um número real por um elemento de R3:

a · (x ,y

,z ) = (ax

,ay

,az )Observação: Dado um referencial do espaço, R3 identifica-se com

o espaço, se para cada ponto do espaço considerarmos as suas trêscoordenadas (e com os vectores do espaço com origem em(0, 0, 0), de maneira análoga).


Espaço vectorial sobre K: K=

R ou K=

C


117/374

K representará R ou C

K = R −→ espaço vectorial real K = C −→ espaço vectorial complexo


Operações num conjunto

Vamos considerar dois tipos de operações num conjunto:


118/374

# operação interna num conjunto E : associa a cada parordenado de elementos de E um elemento de E (u , v ) → u #v ∈ E exemplos: soma, subtracção, multiplicação em Z,R,C,divisão em R+, composição de funções de R em R

· operação externa envolvendo elementos de K (números):associa a cada par (α, u ) com α ∈ K, u ∈ E , um elemento deE α ∈ K, u ∈ E → α · u ∈ E

exemplos: multiplicação de um número por um vector, por umpolinómio, por uma matriz


Espaço vectorial sobre K

Um espaço vectorial sobre K é um tripleto (E , #, ), onde


119/374

· E é um conjunto não vazio (a cujos elementos se chamamnormalmente vectores)

# é uma operação interna (normalmente chamada adição) emE : a um par ordenado (u , v ) de elementos de E associa um

elemento u #v de E · é uma operação envolvendo os elementos de K (normalmente

chamada multiplicação por escalares), que a um elemento αde K e um elemento u de E associa um elemento α · u de E

as operações satisfazem determinadas propriedades.


Espaço vectorial sobre K - definição

Definição


120/374

Seja E um conjunto, # uma operação interna em E, · uma operação externa com os elementos de K; diz-se que (E , #, ·) é um espaço vectorial sobre K sse

1. a operação # é associativa, isto é, para quaisquer u , v , w ∈ E

se tem (u #v )#w = u #(v #w );2. existe elemento neutro para #, isto é, existe 0E ∈ E tal que,para qualquer u ∈ E, se tem 0E #u = u #0E = u;

3. para qualquer u ∈ E existe u ∈ E tal que u #u = u #u = 0E

4. a operação # é comutativa, isto é, para quaisquer u ,

v ∈ E se tem u #v = v #u;


Espaços vectoriais reais - definição


121/374

5. a operação · é distributiva relativamente a #, isto é, para quaisquer α ∈ K, u , v ∈ E , se tem α · (u #v ) = (α · u )#(α · v );

6. a operação · é distributiva relativamente à adição de escalares,isto é, para quaisquer α, β ∈ K, u ∈ E, se tem(α + β ) · u = (α · u )#(β · u );

7. para quaisquer α, β ∈ K, u ∈ E, se tem (αβ ) · u = α · (β · u )(a esta propriedade chama-se associatividade mista);

8. para qualquer u ∈ E se tem 1 · u = u.


Espaços vectoriais: observações e notações

(E , #, ) espaço vectorial sobre K


122/374

(·)

O elemento neutro p

teoria alebra linear e geometria analítica

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