algebra linear e geometria analítica v.1

8/12/2019 Algebra Linear e Geometria Analtica v.1

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Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

LGEBRA

LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA

Espaos vectoriais

Matrizes

Funes lineares Determinantes

Volume 1

ISEL - DEETC Por Eng Carlos M. RibeiroVerso 3.6 Licenciado em Engenharia Electrotcnica pelo IST, Junho de 2008


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lgebra Linear e Geometria Analtica, Volume 1 2008 por Eng Carlos M. RibeiroLicenciado em Engenharia Electrotcnica pelo IST

E-mail: [email protected]: http://www.deetc.isel.ipl.pt/paginaspessoais/carlosribeiroVerso 3.6, Junho de 2008


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Contedo

Contedo, iii

Lista de figuras, vi

Simbologia, viii

Captulo 1 Espaos vectoriais

1.1 Introduo, 3

1.2 Axiomtica dos espaos vectoriais, 3

1.3 Consequncias algbricas dos axiomas, 5

1.4 Exemplos de espaos vectoriais, 6

1.5 Combinaes lineares. Subespaos, 14

1.6 Independncia linear e bases. Dimenso, 26

1.7 Soma de subespaos. Soma directa, 471.8 Anexos: vectores e o , 55MATHEMATICA

Captulo 2 Matrizes

2.1 Introduo, 67

2.2 Noo de matriz sobre um corpo. Alguns tipos de matrizes, 67

2.3 Espao linear das matrizes, 71

2.4 lgebra e anel das matrizes quadradas, 74

2.5 Transposio e transconjugao, 83

2.6 Submatrizes. Matrizes de blocos. Operaes por blocos, 89

2.7 Caracterstica de uma matriz, 94

2.8 Algoritmo de condensao vertical, 97

2.9 Sistemas de equaes lineares. Princpios de equivalncia, 100

2.10 Formas matricial e vectorial de um sistema, 1032.11 Algoritmo de Gauss-Jordan, 105


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iv Contedo

2.12 Inverso matricial, 122

2.13 Matrizes elementares, 132

2.14 Diviso matricial, 137

2.15 Mudana de base, 1412.16 Anexos: matrizes e o , 144MATHEMATICA

Captulo 3 Funes lineares

3.1 Introduo, 209

3.2 Funes lineares. Ncleo e imagem, 209

3.3 lgebra das funes lineares, 221

3.4 Funes lineares em espaos de dimenso finita, 226

3.5 Representao matricial de uma funo linear, 233

3.6 Isomorfismo entre e , 240La bI J 783.7 Alterao da representao matricial nas mudanas de base, 244

3.8 Anexos: funes lineares e o , 251MATHEMATICA

Captulo 4 Determinantes

4.1 Introduo, 269

4.2 Permutaes. O grupo simtrico, 269

4.3 Funes multilineares, 278

4.4 Funes multilineares alternadas, simtricas e anti-simtricas, 283

4.5 Determinante numa base, 294

4.6 Determinante de um endomorfismo. Determinante de uma matriz, 2964.7 Propriedades algbricas dos determinantes, 301

4.8 Algoritmo de condensao para o clculo de determinantes, 312

4.9 Teorema de Laplace, 314

4.10 Mtodo abreviado para o clculo de determinantes, 322

4.11 Aplicao ao clculo da caracterstica de uma matriz, 323

4.12 Aplicao aos sistemas de equaes lineares. Regra de Cramer, 327

4.13 Matriz adjunta e inverso de matrizes quadradas, 340

4.14 Frmula de Cauchy, 345


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Contedo v

4.15 Derivada de um determinante, 348

4.16 Anexos: determinantes e o , 351MATHEMATICA

Bibliografia, 387


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Lista de figuras

Captulo 1

Fig. 1.1 Regra do tringulo, 10

Fig. 1.2 Multiplicao escalar, 10

Fig. 1.3 Segmentos equipolentes, 11

Fig. 1.4 Adio vectorial, 12

Fig. 1.5 Os espaos de funes reais diferenciveis, 22

Fig. 1.6 Os espaos de polinmios de coeficientes num corpo, 22

Fig. 1.7 Soma de subespaos, 50

Captulo 2

Fig. 2.1 Relao entre as solues dos sistemas e , 109E\ F E\ S

Fig. 2.2 Caso de um sistema , 110simplesmente indeterminado

Fig. 2.3 Caso de um sistema indeterminado, 110duplamente

Fig. 2.4 Discusso de um sistema, 119

Captulo 3

Fig. 3.1 Esquema representativo do Ncleo e Imagem, 212

Fig. 3.2 Funes lineares. Ncleo e imagem, 222

Fig. 3.3 A associatividade da Composio de funes lineares, 223

Fig. 3.4 Composio de funes lineares e produto por escalar, 224

Fig. 3.5 Distributividade em relao adio, 224Fig. 3.6 Elementos neutros esquerda e direita, 225

Fig. 3.7 As funes nulas e a Composio de funes lineares, 225

Fig. 3.8 Diagrama auxiliar para a proposio 8, 2333.

Fig. 3.9 Rotao em W#, 239

Fig. 3.10 , 239Imagem do cubo por meio dec d! " 0 $ $Fig. 3.11 Matriz da aplicao composta, 243

Fig. 3.12 Matrizes da mesma funo linear em diferentes pares de bases, 245


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Lista de figuras vii

Captulo 4

Fig. 4.1 Esquema para obter as permutaes de 4 ordem, 271

Fig. 4.2 , 271Composio (produto) de permutaes

Fig. 4.3 Composio de uma funo linear com uma funo multilinear, 281Fig. 4.4 Coordenadas de uma funo multilinear so formas lineares, 282multi

Fig. 4.5 Funo linear composta com um produto de funo , 283multi lineares

Fig. 4.6 , 301Mnemnica para o clculo de determinantes de 2 ordem

Fig. 4.7 , 302Regra de Sarrus, para o clculo de determinantes de 3 ordem

Fig. 4.8 Primeira v 302ariante da regra de Sarrus,

Fig. 4.9 , 302Segunda variante da regra de Sarrus

Fig. 4.10 Determinao da paridade dos menores de 1 ordem, 317

Fig. 4.11 Grficos de e , 3390 0 0 0 " # w w" #, ,


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Simbologia

Lgicac: :................................................. negao (not) da proposio: ; : ; ..............................................disjuno (or) das proposies e: ; : ; ..............................................disjuno exclusiva (xor) das proposies e: ; : ; ..............................................conjuno (and) das proposies e: ; : ; ............................................ implica: ; : ; : ; ................................. equivalncia das proposies esse................................................. se e s sea....................................................quantificador universal (qualquer que seja...)b....................................................quantificador existencial (existe pelo menos um...)b".................................................. quantificador existencial exclusivo (existe um e um s...)

Conjuntose f+ , - + , - ...................................conjunto formado pore f a ba bB \ B \ Bp ............................... conjunto dos elementos de com a propriedade pgef...............................................conjunto vazioPa b\ \.............................................conjunto das partes (subconjuntos) do conjuntoE E Ec .............................................complementar do conjuntoE F E F............................................ diferena entre os conjuntos eE F E F............................................reunio dos conjuntos eE F E F............................................interseco dos conjuntos ea b+ , + ,..............................................par ordenado formado pelos objectos eE F E F........................................... produto cartesiano dos conjuntos ea b a bB B B B 8 \ " # 8 5 "58............ lista de comprimento de elementos de um conjuntog ab................................................lista vaziapr .............................................. projeco ou componente da lista5B 5 B

\ 8 \8

.................................................conjunto das sequncias de elementos dea bB \ M5 5M.......................................... famlia de elementos de um conjunto indexada porpr ...............................................projeco ou componente de ndice da famlia ( )3 3B 3 B B\ \ MM.................................................conjunto das famlias de elementos de indexadas por\< \ ...............................................conjunto quociente do conjunto pela relao de

equivalncia


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Simbologia ix

Relaes binrias .................................................igual .................................................diferente ................................................. pertence a, elemento de ................................................. no pertence a, no elemento de

.................................................est contido em, uma parte de .................................................contm, sobreconjunto de .................................................no est contido em, no parte de

Funes0 B 0 Ba b...............................................valor da funo no ponto] \ ]\.................................................conjunto das funes de em

0 \ ] \ ] 0 \ ] 0

........................ funo de em

B C B 0 B B C B 0 C 0 Ba b a b0

............... aplicado por em ouI\................................................. relao (funo) identidade no conjunto \

0 E E 0 a b..............................................imagem directa do conjunto por0 E E 0 "a b.......................................... pr-imagem do conjunto por0 C C C 0 "a b e f........................................... pr-imagem do conjunto singular ou trao de por0 0"................................................ funo inversa da funo injectiva1 0 1 0 1 0 .............................................. composta das funes e ( aps )limB+

0 B 0 +a b......................................... limite da funo no ponto0 + 0 + 0 + 5 0 +w ww 5a b a b a ba b ...................... derivada de 1 ordem, 2 ordem, ordem de em0 0 0 5 0 w ww 5a b..................................... funo derivada de 1 ordem, 2 ordem, ordem deln logB B B ! B ++ .......................................logaritmo neperiano de , logaritmo de na base/ B /B exp .........................................funo exponencial de base+ + !B.................................................. funo exponencial de basesin cos ...........................................funes seno e cosenoarcsin arccos ..................................funes arcseno e arccoseno' a b+,0 B B 0 + ,d ......................................integral definido da funo entre os pontos e' a bM0 B B 0 M d ...................................... integral definido da funo estendido ao intervalo

EstruturasB C B C............................................. soma dos elementos e de um grupide aditivoB C B C B C B C..............................produto dos elementos e de um grupide multiplicativo!.................................................... elemento neutro (zero) de um grupide aditivo".................................................... elemento neutro (um, unidade ou identidade) de um

grupide multiplicativoB B.................................................oposto (simtrico) do elemento regular , num monide

aditivoB "B B" ........................................ oposto (inverso) do elemento regular , num monide

multiplicativo

! a b5"8

5 3 "38B B............................................ soma da lista de elementos de um semigrupocomutativo aditivo


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x Simbologia

# a b5"

8

5 3 "38B B.............................................produto da lista de elementos de um semigrupo

comutativo multiplicativoE F E Fz ........................................... isomorfo de

Nmeros Inteiros e Racionais!..................................................conjunto dos nmeros naturais com zero e f! " # 8 " # 8 .............................................conjunto dos nmeros naturais e fc d7 8 7 8.............................................conjunto dos inteiros entre e inclusivc d e f" 8 " # 8 ..............................................intervalo ....................................................conjunto dos inteiros................................................. conjunto dos inteiros !..................................................conjunto dos inteiros !:..................................................anel dos inteiros mdulo (corpo, se primo): :................................................... conjunto dos nmeros racionais.................................................conjunto dos racionais !!

.................................................conjunto dos racionais !.................................................conjunto dos racionais !!

.................................................conjunto dos racionais !................................................. conjunto dos racionais !

Combinatria

8x 8...................................................factorial deT E 88 88........................................... permutaes de 8: ...............................................combinaes de elementos tomados a (coeficientes8 : :binomiais)

E 8 : : 8: ................................................. arranjos de elementos tomados a

Nmeros reais................................................... conjunto dos nmeros reais................................................. conjunto dos nmeros reais !!

................................................. conjunto dos nmeros reais !................................................. conjunto dos nmeros reais !!

................................................. conjunto dos nmeros reais !..................................................conjunto dos nmeros reais !................................................... recta acabada................................................... recta projectiva

1....................................................pi, razo entre o permetro e o dimetro de qualquercircunferncia

/ B B.................................................... nmero de Neper, base da funo exponencial expa bB C C B ..................................relao de ordem em ou

B C C B ..................................relao de ordem estrita em ou a b c d d ba c+ , +, + , +, ................. intervalos limitados em ou num espao ordenado


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Simbologia xi

a b da_, _, .......................... intervalos no limitados inferiormente em ou num espaoordenado (seces inferiores)a b c b+_ + _ ..........................intervalos no limitados superiormente em ou num espaoordenado (seces superiores)

+ , + ,............................................. aproximadamente igual a

k kB B..................................................mdulo do realmax \ \............................................mximo do conjuntomin \ \.............................................mnimo do conjuntosup \ \.............................................supremo do conjuntoinf\ \.............................................. nfimo do conjunto__.......................................menos infinito, mais infinito em

Nmeros complexos................................................... conjunto dos nmeros complexos..................................................conjunto dos nmeros complexos !3.................................................. conjunto dos imaginrios purosB 3 C............................................forma algbrica de um complexo


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xii Simbologia

#3"

8

3 " # 8I I I I ou ........ produto cartesiano dos espaos vectoriais da sequncia

a bI3 "38de espaos sobre um mesmo corpo 9 a b3M

3 3 3MI I..............................................soma directa externa da famlia de espaos vectoriais

sobre um mesmo corpo 9 a b3M 3 3 3MI I..............................................soma directa da famlia de subespaos! a b3M

3 3 3MI I..............................................soma da famlia de subespaos

E F E F........................................... soma dos subespaos eE F E F........................................... soma directa dos subespaos eI Bt I a bM 3 3M............................................... conjunto das famlias de vectores de indexadas pora b

M Bt !te tais que no complementar de uma parte finita de3M.

IJ I J ..............................................espao vectorial quociente de pelo subespao

W W W S" # $

......................................espaos de segmentos orientados com origem num pontoEF GH EF GH

...................................equipolncia entre os segmentos orientados e

W W W ~ ~ ~

......................................conjunto dos segmentos aplicados em qualquer ponto" # $

W W W s s s" # $

......................................espaos vectoriais dos vectores livres a b ......................................... espao das sucesses reais convergentes !a b !........................................espao das sucesses reais convergentes para6#...................................................espao de Hilbert de sucesses reaisBa bM M ..........................................espao das funes reais limitadas no conjuntoDa bM M ..........................................espao das funes reais diferenciveis emCa bM M ..........................................espao das funes reais contnuas no conjuntoC5 5a bM M ........................................ espao das funes reais de classe C no conjuntoC_ _a bM M ....................................... espao das funes reais de classe C no conjunto a b ......................................... espao das sucesses complexas convergentes !a b !........................................espao das sucesses complexas convergentes para6#...................................................espao de Hilbert de sucesses complexasBa bM M ..........................................espao das funes complexas limitadas no conjuntoDa bM M ..........................................espao das funes complexas diferenciveis emC

a bM M ..........................................espao das funes complexas contnuas no conjunto

C5 5a bM M ........................................ espao das funes complexas de classe C no conjuntoC_ _a bM M ....................................... espao das funes complexas de classe C no conjuntoP8a b ........................................... espao dos polinmios de grau e de coeficientes no 8

corpo Pa b .............................................lgebra dos polinmios de coeficientes no corpoP B P Bt B Bt a b a b a b3 3"37 "37......................subespao gerado pela lista de vectores de

um espao vectorial sobre o corpoI P Bt Bt Bt Bt Bt Bta b a b" # 7 " # 7........................subespao gerado pela lista de vectores de

um espao vectorial sobre o corpoI Bt Bt Bt Bt Bt Bt" # 7 " # 7......................subespao gerado pela lista de vectores dea bum espao vectorial I

dim dimI I I ................................dimenso do espao vectorial sobre o corpo


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Simbologia xiii

I J I J z ........................................... isomorfo de

Matrizes

c d+ 7 8 + \ 34 34 "37"48 .........................................matriz de tipo de elementos de um conjuntoc d+ 8 +34 34 "348......................................matriz quadrada de ordem de elementos de um

conjunto \78..............................................espao vectorial das matrizes do tipo de elementos7 8

no corpo 88...............................................lgebra das matrizes quadradas de ordem de elementos no8

corpo S 7 878..............................................matriz nula do tipoS 88................................................. matriz nula de ordemM 88...................................................matriz identidade de ordem

E F E F........................................... soma (diferena) das matrizes e! !E E.................................................produto do escalar pela matrizE E E ET > w......................................matriz transposta deE E................................................... matriz conjugada deE E................................................. matriz transconjugada deEF E F................................................ produto das matrizes ec .............................................. caracterstica da matriza bE Etr ..............................................trao da matriz quadradaa bE Ediag ....................... matriz diagonal (quadrada) de elementos diagonaisa b- - -" # 8

- - -" # 8 X / ///

ww ................................................ matriz de mudana da base para a base

E 3 3 4 4 E 3 3c d" : " ; " :................... Submatriz de , obtida seleccionando as linhas eas colunas de4 4 E" ;E 3 3 4 4 E 3 3c de f e f" : " ; " :........... Submatriz de , obtida seleccionando as linhas e

as colunas de4 4 E" ;E M N Ec d...........................................Submatriz de , obtida seleccionando as linhas cujos ndices

pertencem aos conjuntos eM NE 3 3 4 4 E 3 3a b" : " ; " :.................. Submatriz de , obtida eliminando as linhas e as

colunas de4 4 E" ;E 3 3 4 4 E 3 3bc " : " ; " :...................Submatriz de , obtida seleccionando as linhas e

eliminando as colunas de4 4 E" ;E 3 3 4 4 E 3 3da " : " ; " :...................Submatriz de , obtida eliminando as linhas eseleccionando as colunas de4 4 E" ;

Funes linearesHom , .....................espao vectorial das funes lineares de ema b a bI J I J I J LEnd ..........................................lgebra dos endomorfismos dea bI IKer , Nuc ..............................ncleo da aplicao lineara b a b2 2 2Img , Im , ..................... imagem da aplicao linear definida ema b a b a b2 2 2 I 2 I c , ..........................................caracterstica da aplicao lineara b2 - 2

2n , .........................................nulidade da aplicao lineara b2 8 22OJ I...............................................funo (linear) nula do espao no espaoI J


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xiv Simbologia

OI.................................................endomorfismo nulo no espao I

deta b2 2............................................determinante do endomorfismoQ 2 2 0 /0 /a b..........................................representao matricial da funo linear nas bases eQ 2 2 //a b............................................representao matricial do endomorfismo na base

Funes multilineares e determinantes8................................................. grupo simtrico de ordem 8

I8.................................................. permutao identidade de ordem 8

5 7 ................................................ permutao, transposio5 5"................................................ permutao inversa de& 5 5a b...............................................sinal ou paridade da permutao .deta bc dE 3 3 4 4 : E" : " : ........... menor de ordem da matrizdeta ba bE 3 3 4 4" : " : .......... menor complementar do anteriorcof ... cofactor do menora b a ba b c dc ddet detE 3 3 4 4 E 3 3 4 4

" : " : " : " :

cof cof ............................... cofactor dea b+ + +34 34 34 E Es................................................... matriz complementar de (matriz dos cofactores dos

elementos de )Eadj ...............................................matriz adjunta de (transposta da anterior)E Edet/ " # 8 " # 8a b a bBt Bt Bt Bt Bt Bt /.......................determinante dos vectores na basedeta b? ?............................................determinante do endomorfismodeta b k kE E E.....................................determinante da matrizFa bI J I J : :.......................................espao de todas as funes de em

M:

a bI J : I J ......................................espao das funes -lineares sobre com valores em

A:a bI J : I .......................................espao das funes -lineares alternadas sobre comvalores em JS:a bI J : I ....................................... espao das funes -lineares simtricas sobre com

valores em JOJ I

:: ..............................................funo -linear nula de em: I J

OI:

: ..............................................forma -linear nula de em: I

Valores e vectores prprios71a b- -............................................multiplicidade geomtrica do valor prprio7+a b- -............................................multiplicidade algbrica do valor prprioI 2 2-a b............................................ Subespao prprio do endomorfismo associado ao valor

prprio -Ea b2 2.............................................. espectro do endomorfismo: : 22 Ea b a b- -(resp. )....................... polinmio caracterstico do endomorfismo (resp. da matriz

E)


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Simbologia xv

Espaos euclidianosBt Ct Bt Ct BtlCt Bt Ct..............................produto interno dos vectores el lBt Bt................................................ norma euclidiana ou hermitiana do vector

vers ..............................................versor do vector no nuloBt Btproj ...........................................projeco ortogonal de sobreCtBt Bt Ct !t

Bt Ct.............................................ortogonalidade entre vectores de um espao com produtointerno

E E.................................................complemento ortogonal deo.n................................................. (base) ortonormadao.n.d.............................................. (base) ortonormada directaK B K Bt Bt Bt B Bt Bt Bta b a b a b" # 7 " # 7................determinante de Gram da listaK BB................................................. matriz de Gram da listaBa bI .............................................conjunto das bases de um espao vectorialOa bI ............................................. conjunto das orientaes de um espao vectorial realsgn.................................................sinal de uma base, num espao euclidiano orientadoBt Bt Bt Bt Bt Bt" # 8 " # 8..............................produto misto dos vectoresBt Bt Bt Bt Bt Bt" # 8" " # 8".................... produto externo dos vectoresBt Bt Bt Bt" # " #..........................................produto externo dos vectores e num espao euclidiano

orientado de dimenso $Ba bI J I J ................................... espao das formas bilineares sobreBa bI I ........................................ espao das formas bilineares sobre

Aa bI I ........................................ espao das formas bilineares autoadjuntas sobreQa bI I ........................................espao das formas quadrticas sobre

S

a bI J I J .................................... espao das formas sesquilineares sobre

Sa bI I .........................................espao das formas sesquilineares sobreAa bI I ...................................... espao das formas sesquilineares hermitianas sobreQa bI I ......................................espao das formas quadrticas hermitianas sobreE E.................................................matriz pseudoinversa de

Geometria analticaE F, ...............................................Espao afim, subespao afim

EF F E E F

, .................................. vector de origem e extremidade

dimE E..............................................dimenso do espao afimR8.................................................espaos afins euclidianos reais orientados de dimenso 8a b a bS / S /t /t /t, ............... referencial num espao afim" # 8o.n................................................. abreviatura de ortonormado (para referenciais)o.n.d.............................................. abreviatura de ortonormado directo(para referenciais)T B B B T a b" # 8 ...........................ponto de um espao afim com coordenadasa bB B B" # 8 num dado referencialT B B B T a b" # 8 ......................ponto de um espao afim com coordenadasa bB B B" # 8 num dado referencial@t @ @ @ @ @ @

a b a b" # 8 " # 8.............................vector de coordenadas numa dada base

E J E........................................... Subespao afim gerado pelo ponto e pelo subespaovectorial J


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Sec. 1.2] Axiomtica dos espaos vectoriais 3

1.1 Introduo

Neste captulo, faremos o estudo de uma importante estrutura algbrica muito utilizada nascincias aplicadas e na engenharia: o . Como pr-requisitos para o presenteEspao Vectorialcaptulo, mencionemos noes elementares sobre teoria dos conjuntos, lgica e estruturas

algbricas (consultar o apndice B); algum conhecimento dos nmeros reais e complexos tambm conveniente. Ser til a leitura prvia do apndice B, no qual se definem as noes deoperao unria binria -ria composio interna externa, e ; os conceitos de lei de e ; as8estruturas algbricas: , , egrupides semigrupos monides, grupos, anis, anis de integridadecorpos comutativos homomorfismo(casos de , e ). Assume ainda relevo a noo de e, em particular, a de . Em anexo a este captulo, apresenta-se informao relativa formaisomorfismocomo se pode utilizar o software para operar com vectores.MATHEMATICA

1.2 Axiomtica dos espaos vectoriais

Em tudo o que se segue neste manual, designa um , que designaremos corpo comutativosimplesmente por . Para a definio de Espao Vectorial, seguiremos a via axiomtica. Ascorponoes primitivas so as de (elemento de um corpo comutativo ) e de (elementoescalar vectorde um segundo conjunto , eventualmente igual a ). Para distinguir claramente os escalaresI dos vectores, nestes ltimos usaremos uma seta superior (por exemplo, ). Assim, poremos aBtseguinte

Definio 1.1. Espao vectorial Seja um conjunto no vazio e um corpoI a bcomutativo (ver apndice ). Diz-se que (cujos elementos sero chamados ) umB I vectoresespao vectorial linear escalares(ou ) sobre o corpo (cujos elementos sero chamados ), sseI I I C Cestiver munido de uma lei de composio interna (adio# a bBt t Bt ta b1vectorial) e de uma lei de composio externa (produto de I I ! !a bBt Btescalar por vector ou multiplicao escalar, cujo resultado designaremos simplesmente por !Btem vez de ! Bt) satisfazendo os seguintes oito axiomas:

[A1] a C C Bt tCI

Bt t t Bt

[A2] a C D C DBt t tCDI

a b a bBt t t Bt t t[A3] b a

9t tBI I Bt t t Bt Bt9 9

[A4] a b B Bt tI I

Bt Bt Bt Bt ta b a b 9

[P1] a ! "

IBt

a b! " ! " Bt Bt Bt[P2] a C C

! CIBt t

! ! !a bBt t Bt t[P3] a

! "

IBt

! " !" a b a bBt Bta b2

1 No existe ambiguidade no uso do sinal + para as adies em e em : o contexto algbrico em que estes Ismbolos ocorrem determina facilmente qual a operao em questo.

2 Segundo o que habitual, designamos por (e no ) o produto dos escalares e , no corpo .!" ! " ! "


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4 Espaos vectoriais [Cap. 1

[P4] a " BtI

Bt Bt

Os primeiros quatro axiomas dizem exclusivamente respeito adio vectorial e so, porordem, a , a , a existncia de e a existncia decomutatividade associatividade elemento neutro 9tsimtrico Grupo Comutativopara cada vector de e significam que um . Como emI I

a bqualquer grupo aditivo, o elemento neutro (9 9t tvector nulo, tambm designado por Ise houvernecessidade de salientar qual o espao vectorial) nico, o mesmo se dizendo do simtrico Btde cada vector . Como em qualquer grupo comutativo aditivo , definiremos aBt I I a bsubtraco vectorial por

Bt t Bt t C Ca b a b1.1Os axiomas P1-P4 caracterizam o comportamento do produto de escalar por vector

relativamente adio escalar, adio vectorial e ao produto de escalares. Os dois primeirosso, por ordem, a em relao adio escalar e a em relao distributividade distributividadeadio vectorial. O terceiro a . O ltimo exige que a do corpoassociatividade mista unidade seja elemento neutro esquerda na multiplicao escalar.

Normalmente, chama-se espao vectorial ao conjunto mas faz-se notar que, formalmente, oIespao vectorial a estrutura algbrica formada pelo conjunto , o corpo e as duasI operaes (adio vectorial e produto de escalar por vector) satisfazendo os axiomas A1-A4 eP1-P4, ou seja, o quaterno . Dois espaos vectoriais ea b a bI I a bI I I w w w w so, pois, iguais sse .

Adjectiva-se, por vezes, o espao vectorial segundo o corpo subjacente: assim, diremos queI um espao vectorial se , um espao vectorial se e um espaoracional real

vectorial se .complexo

A definio seguinte carateriza a noo de , juntando s operaes definidaslgebra Linearnum espao vectorial uma segunda lei de composio interna em , chamadaI multiplicaovectorial.

Definio 1.2. lgebra linear Seja um espao vectorial sobre , coma bI operaes e . Diz-se que uma sobre se estiver definida uma segunda I lgebra linear lei de composio interna (multiplicao vectorial, cujo resultado I I C C# a bBt t Bt tdesignaremos apenas por ) satisfazendo os axiomas abaixo indicados:Bt t Bt tC Cem vez de

[M1] a C D D C DBt t tCDIa bBt t t Bt t t t[M2] a C D C D

Bt t tCDIBt t t Bt t Bt ta b

[M3] a C C C! CIBt t

! ! !a b a b a bBt t Bt t Bt tA lgebra linear diz-se , se a multiplicao vectorial o for:associativa

[M4] ,a C D C DBt t tCDI

a b a bBt t t Bt t tM1/M2 so as direita e esquerda da multiplicao em relao adiodistributividadesvectorial. M3 caracteriza o comportamento da multiplicao vectorial em relao multiplicao de escalar por vector. M1, M2 e M4 significam que constitui uma bI


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Sec. 1.3] Consequncias algbricas dos axiomas 5

anel linear. Por satisfazer M1, M2 e M3, diz-se que a multiplicao vectorial em cada umdos factores ou que uma sobre com valores em (ver captulo 4).funo bilinear I I

Se for , para quaisquer , diremos que a lgebra (e o anel ) Bt t t Bt Bt tC C C I I a bcomutativa e se tiver elemento neutro tal que , para qualquer , ? I ? ? I t Bt t t Bt Bt Bt

diremos que a lgebra tem ou . Por exemplo, um espao vectorial sobreunidade identidade e uma lgebra linear comutativa com unidade sobre , se considerarmos como multiplicao"vectorial a multiplicao de complexos.

1.3 Consequncias algbricas dos axiomas

Os axiomas enunciados atrs tm um certo nmero de consequncias algbricas, de entre asquais se salientam as proposies a seguir demonstradas. Observe-se que estas proposies so

verificadas em qualquer espao vectorial, uma vez que elas s dependem dos referidos axiomas.

Proposio 1.1. Em qualquer espao vectorial sobre um corpo , o produto de umI escalar por um vector nulo sse um dos factores for nulo

! !Bt ! Bt 9 9t t a b1.2Demonstrao:

Para qualquer e qualquer , tem-se, sucessivamente,! Bt I

9t Bt Bt ! Bt !Bt Bt! ! ! !a bPela lei do corte, segue-se que . Do mesmo modo, para qualquer e qualquer!Bt 9t !

Bt I, tem-se, sucessivamente,

9 9 9t t t Bt Bt Bt Bt! ! ! ! !a bDe novo, da lei do corte resulta . Portanto, se ou , teremos .! ! !9 9 9 9t t t t ! Bt Bt

A implicao recproca equivalente a! !Bt ! Bt 9 9t t

! !Bt ! Bt 9 9t t

Provemos a implicao anterior: sendo, existe tal que . Calculando,! ! ! ! ! "" "finalmente, vemBt

Bt "Bt Bt Bt a b! ! ! ! !" " "9 9t t

Proposio 1.2. Seja um espao vectorial sobre um corpo . Ento, para qualquerI escalar e qualquer vector , tem-se! Bt I

Bt Bt Bta b a b a b a b! ! ! 1.3


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Demonstrao:

Tem-se

! ! ! !Bt Bt Bt !Bt a b a ba b 9tDa mesma forma, tem-se

! ! ! !Bt Bt Bt Bt a b a ba b 9 9t to que termina a demonstrao.

Proposio 1.3. Seja um espao vectorial sobre um corpo . Ento, para quaisquerI escalares e quaisquer vectores , tem-se! " Bt Ct I

a b a b! " ! " Bt Bt Bt 1.4.1! ! !a bBt Ct Bt Ct a b1 4.2.

Demonstrao:

Tem-se, sucessivamente, por definio de subtraco e pela proposio anterior:

a b a b a b a ba b a ba b a b a b a ba b a b! " ! " ! " ! " ! " ! ! ! ! ! ! ! ! Bt Bt Bt Bt Bt Bt Bt BtBt Ct Bt Ct Bt Ct Bt Ct Bt Ct

1.4 Exemplos de espaos vectoriais

Exemplo 1.1. O axioma A3 garante que , visto que . O presente exemplo vaiI g I 9tmostrar que no necessrio mais qualquer vector em para se obter um espao vectorial.ISendo um corpo e um conjunto singular, constitui um espao vectorial sobre I Ie f9t a b3 ! , com as operaes definidas, para qualquer , por

[A] 1 59 9 9t t t a b.[P] 1 6!9 9t t a b.Exemplo 1.2. Fazendo , obtm-se com a adio e o produto de um espao vectorialI

sobre . O o zero de e o simtrico de . Observe que, neste caso, vector nulo ! B Bos vectores confundem-se com os escalares.

Exemplo 1.3.Seja um corpo, um inteiro positivo e . Ento, o conjunto 8 I 8 8

de todas as sequncias (listas) de comprimento de escalares de um espao vectorial sobre8 (chamado de dimenso sobre o corpo ), com as seguintes operaes,espao cartesiano 8para quaisquer , e! B B B C C C a b a b" # 8 " # 88 8

[A] 1 7a b a b a b a bB B B C C C B C B C B C" # 8 " # 8 " " # # 8 8 .[P] 1 8! ! ! !a b a b a bB B B B B B" # 8 " # 8 .

3 De facto, no importa a natureza do nico elemento de . Estamos, simplesmente, a usar a notao paraI 9tdesignar esse elemento.


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a soma de funes e o produto do escalar pela funo como sendo as0 1 0 ! E E

funes e dadas, para todo o , por0 1 0 B E!

[A] 1 17a ba b a b a b a b0 1 B 0 B 1 B .[P] 1 18

a ba b a b a b! !0 B 0 B .

Observe-se que, novamente, se utiliza a estrutura algbrica pr-existente em para definir asoperaes necessrias ao espao vectorial . Observe-se ainda que o de a E Evector nulofuno constante nula e que o da funo a funo , estando estas definidas,! 0 0 simtricopara todo o , por:B E

! B !a b a b1.19a ba b a b a b0 B 0 B 1.20

Observe-se que os exemplos 1.3 e 1.4 so casos particulares do presente exemplo, comE " # 8 E E e fe ou , respectivamente. O prprio .1 pode tambm ! Exemplo 1ser visto luz do caso , com e em que, portanto, o conjunto singular constitudoE E g I apenas pela funo vazia (de em ).g

Segundo este exemplo, poderemos falar do espao vectorial real das funes reaisM

definidas no intervalo ou do espao vectorial complexo das funes complexasM ! "c d Mdefinidas no mesmo intervalo (ou noutro qualquer conjunto).

Exemplo 1.7.Seja um corpo, um inteiro no negativo e o conjunto 8 I ! 8Pa bdos polinmios de grau menor ou igual a e com coeficientes em .8

P8 5 55!

8 5a b a b a b " : : B + B + com 1.21

P P8 8a b a b um espao vectorial sobre , se definirmos a soma dos polinmios ,: ; onde e , e o produto do escalar pelo polinmio: B + B ; B , B a b a b! !

5! 5!

8 8

5 55 5 !

: : ; : P8a b !como sendo os polinmios e dados por:[A] 1 22

a ba b a b a b!: ; B + , B5!

8

5 55 .

[P] 1 23a ba b a b a b!! !: B + B5!

8

55 .

Observe-se que tambm aqui se utiliza a estrutura algbrica pr-existente em para definir asoperaes do espao vectorial. Observe-se ainda que o de o polinmiovector nulo P8a bnulo e que o do polinmio tal que o polinmio , estando! : : B + B : simtrico a b !

5!

8

55

estes definidos para todo o , por:B


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Sec. 1.4] Exemplos de espaos vectoriais 9

! B !Ba b a b"5!

85 1.24

a ba b a b a b": B + B5!8

55

1.25

claro que, se , ento . Em face do exposto anteriormente,! 7 8 P P7 8a b a b podemos afirmar, por exemplo, que o conjunto dos polinmios de coeficientes reais eP$a bgrau menor ou igual a um espao vectorial real.$

Exemplo 1.8.Sejam as sucesses de escalares de um corpo ,a b+ + + ! " 8 a b!nulas a partir de alguma ordem (para cada sucesso, existe uma ordem tal que , para< + !3

3 < I + B) e considere-se o conjunto dos polinmios cujos coeficientes so osP

a b !

5!

_

55

termos daquelas sucesses; note-se que, de facto, este somatrio tem apenas um nmero finitode parcelas ( ), sendo nulas as restantes. claro que . < " P Pa b a b-

88

!

Pa b a b a b a b " : : B + B + 5!

_

5 55 com 1.26a b!

Pa b um espao vectorial sobre , se definirmos a soma de polinmios e o produto deescalar por um polinmio atravs de:

[A] 1 22.1a ba b a b a b!: ; B + , B5!

_

5 55 .

[P] 1 23.1a ba b a b a b!! !: B + B5!

_

55 .

Observe-se ainda que o de o polinmio nulo e que ovector nulo Pa b ! ! !B5!

_5

simtrico do polinmio tal que o polinmio definido por:: : B + Ba b !5!_

55

a ba b a b a b": B + B5!

_

55 1.25.1

Tem-se, como bvio,

! 7 8 P P P P! 7 8a b a b a b a b


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Consideremos, agora, dois polinmios e dados por: ;

: B + B

; B , B

a b "

a b "

5!

_

55

5!

_

5 5

e o seu produto usual

a ba b a b a b " " ":; B : B ; B + B , B - B5! 5! 5!

_ _ _

5 5 55 5 5

onde, para ,5 !

- + , + , + , + , + , + ,5 3 4 3 53 ! 5 " 5" 5" " 5 !345 3!

5

" "Esta multiplicao verifica os axiomas M1 a M4, tratando-se de uma multiplicao vectorial

e, portanto, umaPa b lgebra Linear (esta lgebra , ainda, comutativa e com unidade: opolinmio constante )? B "a b sobre .

Segundo o que acabmos de ver e a ttulo de exemplo, os conjuntos e dosP Pa b a b polinmios de coeficientes reais (respectivamente, complexos) constitui uma lgebra Linearsobre o corpo dos reais (respectivamente, complexos).

Exemplo 1.9. Seja e o conjunto dos segmentos orientados (incluindo o I W $

segmento nulo, de comprimento ) aplicados num ponto do espao tridimensional. Definindo! Sa adio em atravs da regra do tringulo (ver figura 1.1) e o produto de um nmeroW$ a b5

!

ST Spor um segmento como sendo um novo segmento orientado aplicado em , com a

mesma direco de , o mesmo sentido ou o oposto conforme ou e umST ! !

! !

comprimento igual a vezes o comprimento de (ver figura 1.2), obtm-se um espaok k! STvectorial real.

Fig. 1 1 Regra do tringulo: . Fig. 1 2 Multiplicao escalar: .. .EG SF SE # SF

5 A soma de dois segmentos e o segmento , em que a extremidade do segmento de origemSE SF SG G E SF F SEe a (ou a extremidade do segmento de origem e a ). Porequipolente equipolente equipolente

entende-se com a mesma direco, sentido e comprimento (ver exemplo 1.10).


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deste exemplo que provm os termos e . ainda neste espao que,vector espao vectoriala nvel elementar, se pensa quando se fala em grandezas (massa, temperatura, trabalho,escalaresenergia, etc) e grandezas (fora, velocidade, campo elctrico, etc), distinguindo-sevectoriaisestas das primeiras pelo facto de, alm de , possuirem tambm e .intensidade direco sentido

Sendo, ainda, e o conjunto dos segmentos orientados aplicados num ponto I W S#

de um qualquer e usando as regras anteriores para as operaes de adio vectorial eplanomultiplicao escalar, obtm-se um novo espao vectorial real.

Por ltimo, se for constitudo pelos segmentos orientados existentes sobre umaI W" rectae aplicados num ponto desta e usando as regras anteriores para as operaes, constituirS W"

tambm um espao vectorial real.

Exemplo 1.10. Seja e o conjunto dos segmentos orientados (incluindo os~

I W $

segmentos nulos, de comprimento ) aplicados em qualquer ponto do espao tridimensional.!

Diremos que e so (e escreve-se ) sse o ponto mdio deEF GH EF GH Q

equipolentes

EH FG coincidir com o ponto mdio de (ver figura 1.3).

Fig. 1 3 Segmentos equipolentes..

A relao de equipolncia uma relao de equivalncia (ver seco A.3 do apndice A),o que determina a partio de em classes de equivalncia formadas por segmentos orientados

~W

$

equipolentes entre si, as quais constituem o chamado de por ,~

conjunto-quociente W$

designado por . Cada classe de equivalncia chamada um (ou ) e~W

$ vector livre deslizante

o referido conjunto quociente ser designado por . A classe (nica) a que pertence~

W W s$ $

um segmento designada por [ ], dizendo-se que os segmentos pertencentes a [ ]EF EF EF

so os da classe. Para cada ponto do espao, existe um e um s representanterepresentantes S

de cada classe aplicado em . Vamos, agora, ver que constitui um espao vectorial real seS Ws$

definirmos as operaes do seguinte modo:

[A] A soma [ ] [ ] dos vectores livres [ ] e [ ] a classe (vector livre) aEF GH EF GH

que pertence a soma (pela regra do tringulo) de dois representantes de [ ] e [ ]EF GH

aplicados num mesmo ponto qualquer do espao tridimensional, isto ,S

[ ] [ ] [ ] 1 27EF GH ST a b.

em que

ST SQ SR SQ EF SR GH

, com e .


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Fig. 1 4 Adio vectorial em .. Ws$

[P] Quanto multiplicao escalar, poremos, para qualquer ,!

! !

[ ] [ ] 1 28EF EF

a b.

onde calculado de acordo com a regra do exemplo 1 9.!EF .

Na prtica, em tudo se passa como se um vector livre fosse um segmento orientado queWs$

pode deslocar-se paralelamente a si prprio e estar, portanto, aplicado em qualquer ponto doespao tridimensional (da a designao de deslizante). De modo semelhante se podem definir os

espaos vectoriais reais e dos vectores livres de um plano e de uma recta,W Ws s# "

respectivamente.

Exemplo 1.11.O conjunto constitui um espao vectorial real pondo,I ! _ a bpara quaisquer e ,B C !

[A] 1 29B C BC a b.[P] 1 30!B B /! ! lnB a b.O deste espao e o de .vector nulo simtrico" B B "B

Exemplo 1.12.Seja uma famlia qualquer de espaos vectoriais sobre o mesmo corpoa bI3 3Me consideremos o produto cartesiano dos espaosI I I #

3M3 3

I I Bt a Bt I

$ a b3M

3 3 3 33M3M

Considerem-se, agora, as operaes definidas por:

[A] 1 31.1a b a b a b a bBt Ct Bt Ct3 33M 3M 3M 3 3 .[P] 1! !a b a b a bBt Bt3 33M 3M .31.2Obtm-se, deste modo, um espao vectorial sobre , chamado dos . espao produto I3

O de constitudo pelos vectores nulos dos e o pelos simtricosvector nulo simtricoI I3(nos ) de cada vector componente:I3


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9 9t ta b a bI 3M3 1.32.1 Bt Bta b a b a b3 33M 3M 1 32.2.

Particularmente, podemos fazer os todos iguais a um mesmo espao vectorial ,a bI I3 3Mobtendo-se ento o espaoI Bt a Bt I M 3 33M

3M a b

Exemplo 1.13.Se, no exemplo anterior, fizermos , para , obtm-se oM " # 8 8 !e fproduto cartesiano

I I I I I Bt Bt Bt a Bt I " # 8 3 " # 8 3 3

3"

8

"38$

a b

As equaes 1 31.1 e 1 31.2 podem, neste caso, escrever-se, para quaisquera b a b. .a b a bBt Bt Bt Ct Ct Ct I " # 8 " # 8 e , na forma:! [A] 1a b a b a b a bBt Bt Bt t t t Bt t Bt t Bt t" # 8 " # 8" # 8 " # 8 C C C C C C .33.1[P] 1 33.2! ! ! !a b a b a bBt Bt Bt Bt Bt Bt" # 8 " # 8 .O de constitudo pelos vectores nulos dos e o pelos simtricosvector nulo simtricoI I3

(nos ) de cada vector componenteI 3

9 9 9 9t t t t a b a bI I I" # 8 1.34.1 Bt Bt Bt Bt Bt Bta b a b a b" # 8 " # 8 1 34.2.

Particularmente, podemos fazer os todos iguais a um mesmo espao vectorial ,a bI I3 "38obtendo-se, ento, o espao

I Bt Bt Bt a Bt I8 " # 8 3"38

a bMais particularmente, se fizermos , teremos o espao cartesiano do exemplo 1 .I 8 .3

Exemplo 1.14. Seja um espao vectorial sobre um corpo e uma bI wsubcorpo de . Se considerarmos a restrio do produto ao conjunto I w

l I I I wIw w , facilmente se prova que constitui igualmente uma b

espao vectorial, mas agora sobre . Observe-se que este espao diferente do primeirow

(embora com os mesmos vectores). Adiante (ver exemplo 1 ) veremos que a dimenso do.56novo espao , em geral, maior do que a do primeiro (pelo facto de existirem menos escalares).Em linguagem prtica, enuncia-se por vezes esta propriedade dizendo que Se um espaoI

vectorial sobre e subcorpo de , tambm espao vectorial sobre . O w wI vector nuloe o so evidentemente os mesmos nos dois espaos (visto que osimtrico de cada vector de Igrupo comutativo o mesmo).a bI


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Este exemplo significa, pois, que todo o espao vectorial automaticamente umcomplexoespao vectorial e que este , por sua vez, um espao vectorial .real racional

Exemplo 1.15.Neste exemplo vamos ver que, a partir de um espao vectorial real, semprepossvel construir um espao vectorial complexo. Seja, ento, um espao vectorial real eI

faamos O leitor pode, a ttulo de exerccio, verificar queI I Bt Ct Bt I Ct Iw #

a bI 3 w um espao vectorial complexo, para as operaes a seguir indicadas, onde (e,! " claro ) e :! " Bt Ct Bt Ct Ia b a bw w w[A] 1 35a b a b a b a bBt t Bt t Bt Bt t t C C C Cw w w w .[P] 1 36a ba b a b a b! " ! " " ! 3 C C CBt t Bt t Bt t .

Note-se que tambm aqui se utilizaram as operaes pr-definidas no espao para definirIas operaes de e que o de e o de .I I Bt Ct Bt Ctw wvector nulo simtricoa b a b a b9 9t t

Do acima exposto resulta, por exemplo, que espao vectorial complexo, com as%

operaes:

[A] a b a b a bB B B B C C C C B C B C B C B C" # $ % " # $ % " " # # $ $ % %[P] a ba b a b! " ! " ! " " ! " ! 3 B B B B B B B B B B B B" # $ % " $ # % " $ # %

1 5 Combinaes lineares. Subespaos.

Definio 3. Combinao linear1 . Seja um nmero inteiro,7 !

B a bBt Bt Bt" # 7uma sequncia de vectores de um espao vectorial sobre um corpo e7 I t ! !

a b3 "37

uma sequncia de escalares (ou seja, um vector do espao ). Chama-se7 7 combinaolinear dos a uma soma (que resulta num vector de ) do tipoBt3 I

"3"

7

3 3!Bt a b1 37.1.Se , pe-se, por definio:7 !

"3g

3 3!Bt t 9 a b1 37.2.

Os exemplos seguintes ilustram o conceito de combinao linear:

Exemplo 1.16. Em , o vector 6 6 combinao linear dos vectores da sequncia$ a b ""B " # " # " # " a ba b a b a b2 1 , visto que

a b a b a b a b "" # " # " $ # " # # " 6 6 2 1Neste caso, esta a nica combinao linear dos vectores e 2 1 quea b a b a b" # " # " # " resulta no vector 6 6 : de facto, a igualdade

a b ""

a b a b a b a b "" B " # " C # " # D " 6 6 2 1equivale ao sistema de equaes


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a B + ? B @ BB

a ba bcos cos sinresulta, com e ,B ! B #1

a b? +@ # + +

cos

cos sin1

Exemplo 1.20. No espao dos polinmios de grau menor ou igual a , todo oP8a b 8polinmio combinao linear dos polinmios da lista , visto: - " B B BP8 # 8a b a bque

: B + Ba b "5"

8

55

Observe-se que, para cada polinmio , a combinao linear anterior nica (mtodo dos:coeficientes indeterminados).

Em muitos casos, restringindo o nmero de vectores de um espao vectorial sobre umIcorpo e usando as mesmas regras operatrias de , obtm-se ainda um espao vectorial sobre I: o caso dos chamados de , cuja definio se apresenta a seguir:subespaos I

Definio 1.4. Subespao Sendo um espao vectorial sobre um corpo e umI J I subconjunto de , diz-se que um vectorial de e escrevemos sseI J I J I subespao

[S1] no vazio, isto , .J J g

[S2] em relao adio vectorial, ou seja,J fechado

a J C J C J Bt tCa bBt t Bt t

[S3] para a multiplicao escalar, isto ,J fechado

a J J !Bt

a b! !Bt Bt fcil reconhecer que a conjuno de S2 e S3 equivalente a

[S4] fechado para as combinaes lineares, ou seja,J

a J C J J ! " BCt t

a b! " !Bt t Bt Ct"Facilmente se mostra que estas condies so as necessrias e suficientes para que , munidoJ

da (S2 assegura que esta restrio umarestrio da adio vectorial em aI J# lei decomposio interna em restrio da multiplicao escalar em aJ I J ) e da (S3 garanteque esta uma aplicao ), seja ainda um espao vectorial sobre . A relao entreem J

subespaos de uma relao de ordem lata parcial ( , e verI reflexiva anti-simtrica transitivaapndice A, definio A.6).


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Demonstrao:

Como e , ser, evidentemente, umJ K J K K K J J K J J Ksubespao caso se d uma daquelas incluses. Vejamos, agora, a recproca que equivalente aJ K J K K J ?t J K @t subespao : seja um vector de que no pertena a e um

vector qualquer de . Ambos pertencem a e, sendo este um subespao, o mesmoK J Ksuceder com . Sendo assim, tem-se . Mas a hiptese ?t @t ?t @t J ?t @t K ?t @t Kabsurda, visto que ento, como subespao, ter-se-ia , o que contraria aK ?t @t @t ?t Ka bnossa escolha inicial de . Portanto, ter de ser , o que, sendo um subespao,?t ?t @t J J implica . Isto mostra que , provando deste modo a proposio.a b?t @t ?t @t J K J

Proposio 1.6. Subtraco de subespaos Seja um espao vectorial sobre um corpoIe e subespaos de . Ento, no um subespao de .J K I J K I

Demonstrao:

Basta notar que no contm o vector nulo.J K

De seguida, apresentam-se vrios exemplos de subespaos vectoriais dalguns dos espaosanteriormente apresentados:

Exemplo 1.21. Seja um vector arbitrrio do espao cartesiano . Os+ + + +t a b" # 8 8subconjuntos de definidos porJ+ 8t

J B B B + B !+ " # 8 4 4 4"

8

t

a b"constituem subespaos de que coincidem com , se . Se , estes subespaos so, 8 8 + +t t t t9 9por vezes, chamados de . Por exemplo, no caso de (e interpretandohiperplanos 8 #

geometricamente) e com , os conjuntos sero passando pela origem; Em e de+ Jt t9 + $t rectas novo com , sero passando pela origem.+t t9 planos

Exemplo 1.22. De acordo com a proposio 1.4, para qualquer sequncia dea b+ + +t t t" # 77vectores de , o conjunto8

J J

,3"7

+t3

a b1.39

onde os so espaos do tipo construdo no exemplo anterior, constituir igualmentea bJ+ "37t3um subespao de . Sendo os da forma , os vectores8 3 3 3" 3# 38+ + + + +t t a ba bB B B J " # 8 satisfaro o sistema de equaes lineares homogneas seguinte

+ B + B + B !+ B + B + B ! + B + B + B !

"" " "# # "8 8

#" " ## # #8 8

7" " 7# # 78 8

Se algum dos vectores for nulo, o subespao correspondente pode ser eliminado da+ Jt3 +t3expresso 1 39 , visto que elemento neutro na interseco (portanto, naquelaa b. J + 8t3 expresso podem figurar s os de ).hiperplanos 8


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Sec. 1.5] Combinaes lineares. Subespaos 19

Como casos particulares, aponte-se, por exemplo em , a interseco de dois ( e$ 7 #8 $) planos no coincidentes passando pela origem, que produz uma passando tambmrectapela origem. Portanto, as so subespaos vectoriais de .rectas passando pela origem $

Exemplo 1.23. Sendo Bt Ium vector qualquer de um espao vectorial sobre um corpo , o

conjunto

!B C b C Bt t t t !

dos mltiplos escalares de um subespao de , como facilmente se reconhece. Se ,Bt I t tB 9este subespao , por vezes, designado por de ; se , fica como bviorecta I t t t tB B 9 9 e f.

Exemplo 1.24. Seja uma famlia qualquer de espaos vectoriais sobre o mesmo corpoa bI3 3M. O subconjunto de formado pelas famlias de vectores dos , com para# a b

3M3 3 3 3 33MI Bt I Bt I

todo o , e tais que , para no complementar de uma parte finita de , constitui3 M Bt 3 N M 3 I9t 3

tambm um subespao de chamado dos e designado por#3M3 3I Isoma directa externa9 # 9 #

3M 3M 3M 3M 3 3 3 3 3I I M I I I . claro que, se , tem-se . Se, em particular, os foremfinito

todos iguais a um mesmo espao vectorial , a soma directa externa designa-se porI Ia bM(coincidente com , se for ): trata-se, portanto, do conjunto das famlias deI M BtM 3 3Mfinito a b

vectores de tais que no complementar de uma parte finita do conjunto deI Bt M N N M 3 9tndices:

: a b a b

a b a b3M

3 3 3 3 3 I 3M3M N M

N

3MN

M3 3 33M

3M N M N

3MN

I Bt a Bt I b a Bt

I Bt a Bt I b a Bt

finito

finito

9

9

t

t

3

a b

Exemplo 1.25. O espao do exemplo a b ! !1.5 subespao do espao do exemplo 1.4.

Exemplo 1.26. Consideremos os espaos e das sucesses complexas (ou reais) e,

nestes, os subconjuntos e , obviamente no vazios, formados pelasB Ba b a b sucesseslimitadas

B

B

a b a b k k a b a b k k

D b a D False."

Caracteristica::usage="Caracteristica[A, PivotUm -> Opo] Devolve a lista composta pela \caracterstica de A, seguida da matriz levada forma escalonada. PivotUm uma opo que \

indica que os pivots devero ser 1s, quando PivotUm for igual a True. \

Por defeito PivotUm -> False."

GaussJordan::usage="GaussJordan[A,B] Resolve o sistema A.X = B, devolvendo uma lista formada \

por uma soluo particular e pela lista contendo os vectores duma base do espao das solues \

do sistema homogneo A.X = O."

Inversa::usage="Inversa[A] calcula a matriz inversa da matriz quadrada A."

InversaDireita::usage="InversaDireita[A,c] calcula a(s) matriz(es) inversa(s) direita(s) da \matriz A e usando c como parmetro."

InversaEsquerda::usage="InversaEsquerda[A,c] calcula a(s) matriz(es) inversa(s) esquerda(s) \

da matriz A e usando c como parmetro."

DivisaoEsquerda::usage="DivisaoEsquerda[A,B,c] calcula o quociente de B por A, com o divisor \A esquerda e usando c como parmetro."

DivisaoDireita::usage="DivisaoDireita[A, B, c] calcula o quociente de B por A, com o divisor \

A direita e usando c como parmetro."

GaussSeidel::usage="GaussSeidel[a, b, x0, err, iter] tenta resolver o sistema ax=b pelo mtodo \de Gauss-Seidel, a partir de um ponto inicial x0 com um erro inferior a err e realizando um \mximo de iter iteraes."

GaussSeidelPoints::usage="GaussSeidelPoints[a, b, x0, err, iter] devolve a lista de pontos \obtida pelo algoritmo de Gauss-Seidel na resoluo do sistema ax=b, a partir de um ponto \

inicial x0 com um erro inferior a err e realizando um mximo de iter iteraes."

Passagem::usage="Passagem[e1, e2] Devolve a matriz cujas colunas so as coordenadas dos \

vectores da lista e2, na base formada pelos vectores da lista e1; se e2 for outra base, \

calcula a matriz de mudana de e1 para e2. A lista e1 deve ser uma base e os vectores de e2 \devem pertencer ao espao gerado por e1."


166/407

148 Matrizes [Cap. 2

Coordenadas::usage="Coordenadas[e1, e2, xe1] Devolve as coordenadas em relao base e2 de \

um vector, dadas as suas coordenadas xe1 em relao base e1."

Begin["`Private`"]

(* -------------------------------- DEFAULTS -------------------------------- *)

Options[Caracteristica] = {PivotUm -> False};

(* --------------------------- MENSAGENS DE ERRO ---------------------------- *)

Op2::escalarnulo3 = "Operao do tipo 2 invlida. O 3 argumento no pode ser nulo.";

Op4::escalarnulo4 = "Operao do tipo 4 invlida. O 4 argumento no pode ser nulo.";

GaussJordan::errdimensao = "GaussJordan[A,B]: N de linhas da matriz A diferente do \

comprimento do vector B.";

GaussJordan::impossivel = "Sistema AX = B impossvel.";

Caracteristica::matrizvazia = "Matriz vazia."

Inversa::inverrdimensao = "A matriz a inverter no quadrada ou vazia.";

Inversa::singular = "A matriz singular.";

InversaDireita::naoexiste = "A matriz no tem inversa(s) direita(s).";

InversaEsquerda::naoexiste = "A matriz no tem inversa(s) esquerda(s).";

DivisaoEsquerda::naoexiste = "A diviso esquerda no possvel.";

DivisaoEsquerda::dimensao = "O nmero de linhas das matrizes a dividir no igual";

DivisaoDireita::naoexiste = "A diviso direita no possvel.";

DivisaoDireita::dimensao = "O nmero de colunas das matrizes a dividir no igual";

GaussSeidel::errdim = GaussSeidelPoints::errdim = "O comprimento do vector inicial \

diferente da ordem da matriz simples do sistema.";

GaussSeidel::errindep = GaussSeidelPoints::errindep = "O comprimento do vector dos termos \independentes diferente da ordem da matriz simples do sistema.";

GaussSeidel::errdiag=GaussSeidelPoints::errdiag="Existe(m) elemento(s) nulo(s) na diagonal \

da matriz simples.";

GaussSeidel::dimensao = GaussSeidelPoints::dimensao = "A matriz simples do sistema \

no quadrada.";

Passagem::naobase = "A primeira lista no uma base.";

Passagem::errdim = "Os vectores da segunda lista no pertencem ao espao gerado pelos \

vectores da primeira lista.";

Coordenadas::naobase = "A segunda lista no uma base.";

Coordenadas::errdim = "As bases indicadas nos dois primeiros argumentos no so do mesmo \

espao ou o vector tem a dimenso errada.";

(* ------------------------------ IMPLEMENTAO ------------------------------ *)

(* Implementao da funo ZeroMatrix *)

ZeroMatrix[0, ___] := {}

ZeroMatrix[m_Integer, 0] := Table[{}, {m}]

ZeroMatrix[m_Integer, n_Integer] := Normal[SparseArray[{},{m, n}]] /; \

m >= 0 && n>=0

ZeroMatrix[m_Integer] := ZeroMatrix[m, m] /; m >= 0


167/407

Sec. 2.16] Anexos: matrizes e o MATHEMATICA 149

(* Implementao da funo SquareMatrixQ *)

SquareMatrixQ[a_?MatrixQ] := SameQ @@ Dimensions[a]

(* Implementao da funo AppendRows *)

SameRowSize[l_List] := (SameQ @@ (Dimensions[#][[1]]& /@ l) )

AppendRows[l__?MatrixQ] := Transpose[Join @@ Transpose /@ {l}] /; \

SameRowSize[{l}]

(* Implementao da funo AppendColumns *)

SameColumnSize[l_List] := (SameQ @@ (Dimensions[#][[2]]& /@ l) )

AppendColumns[l__?MatrixQ] := Join[l] /; SameColumnSize[{l}]

(* Implementao das operaes elementares *)

Op1[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer] :=

Module[{temp = a[[i]], b = a}, b[[i]] = b[[j]]; b[[j]] = temp; b]

Op2[a_?MatrixQ, i_Integer, x_] :=

Module[{b = a}, If[x == 0, Message[Op2::escalarnulo3],

b[[i]] = x b[[i]]; b]]

Op3[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer, x_] :=

Module[{b = a}, b[[i]] = b[[i]] + x b[[j]]; b]

Op4[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer, x_, y_] :=

Module[{b = a}, If[x == 0, Message[Op4::escalarnulo4],

b[[i]] = x b[[i]] + y b[[j]]; b]]

(* Implementao do mdulo Caracteristica *)

Caracteristica[a_?MatrixQ, opt___?OptionQ] :=

Module[{m = Length[a], n = Dimensions[a][[2]], b = a, r = 0, k = 0, i, piv1},

{piv1} = {PivotUm}/.Flatten[{opt, Options[Caracteristica]}];

If[m == 0 || n== 0, Message[Caracteristica::matrizvazia];

Print["Caracteristica[", a, ", PivotUm -> ", piv1, "]"], While[r < m && k < n,

While[k++; i = r; While[i++; b[[i, k]] == 0 && i < m, Null];

b[[i, k]] == 0 && k < n, Null

];

If[b[[i, k]] != 0,

r++;

b = Op1[b, r, i];

If[piv1,

b = Op2[b, r, 1/b[[r, k]]];

For[i = r + 1, i


168/407


169/407


(* Implementao do mdulo InversaDireita *)

InversaDireita[a_?MatrixQ, c_]:=

Module[{sh = NullSpace[a], i},

If[Caracteristica[a][[1]] == Length[a],

Transpose[Table[LinearSolve[a,IdentityMatrix[Length[a]][[i]]]+

Array[c[i],{Length[sh]}].sh,{i,Length[a]}]],

Message[InversaDireita::naoexiste];

Print["InversaDireita[", a, ", ", c, "]"]

]

]

(* Implementao do mdulo InversaEsquerda *)

InversaEsquerda[a_?MatrixQ, c_] :=

If[Caracteristica[a][[1]] == Dimensions[a][[2]],

Transpose[InversaDireita[Transpose[a], c]],

Message[InversaEsquerda::naoexiste];

Print["InversaEsquerda[", a, ", ", c, "]"]

]

(* Implementao do mdulo DivisaoEsquerda *)

DivisaoEsquerda[a_?MatrixQ,b_?MatrixQ, c_]:=

Module[{sh=NullSpace[a]},

If[Length[a]==Length[b],

If[Caracteristica[a][[1]]== \

Caracteristica[Join[Transpose[a],Transpose[b]]][[1]],

Transpose[Table[LinearSolve[a,b[[All,i]]]+Array[c[i],{Length[sh]}].sh, \

{i,Dimensions[b][[2]]}]],

Message[DivisaoEsquerda::naoexiste];

Print["DivisaoEsquerda[",a,", ",b,"]"]

],

Message[DivisaoEsquerda::dimensao];Print["DivisaoEsquerda[",a,",",b,"]"]

] ]

(* Implementao do mdulo DivisaoDireita *)

DivisaoDireita[a_?MatrixQ,b_?MatrixQ, c_]:=

Module[{sh=NullSpace[a]},

If[Dimensions[a][[2]]==Dimensions[b][[2]],

If[Caracteristica[a][[1]]==Caracteristica[Join[a,b]][[1]],

Transpose[DivisaoEsquerda[Transpose[a],Transpose[b],c]],

Message[DivisaoDireita::naoexiste]; Print["DivisaoDireita[",a,", ",b,"]"]

],

Message[DivisaoDireita::dimensao];Print["DivisaoDireita[",a,", ",b,"]"]

]

]

(* Implementao do mdulo GaussSeidel *)

GaussSeidel[a_?MatrixQ,b_?VectorQ,x0_?VectorQ, ,maxiter_?IntegerQ]:=&_

Module[{y0=x0,y1=x0,n=Length[x0],i,j,cont=True,m=0,ok=True},

If[SquareMatrixQ[a],


If[Length[a]==Length[x0],

For[i=1,i


170/407

152 Matrizes [Cap. 2

y0=y1

];

{y1,m},

Message[GaussSeidel::errdiag]

],

Message[GaussSeidel::errdim]

],

Message[GaussSeidel::errindep]

],

Message[GaussSeidel::dimensao]

]

]

(* Implementao do mdulo GaussSeidelPoints *)

GaussSeidelPoints[a_?MatrixQ,b_?VectorQ,x0_?VectorQ, ,maxiter_?IntegerQ]:=&_

Module[{y0=x0,y1=x0,n=Length[x0],i,j,cont=True,lista,m=0,ok=True},

If[SquareMatrixQ[a],


If[Length[a]==Length[x0],

For[i=1,i


171/407


End[]

EndPackage[]

O packageALGA`Matrizes` dever ser previamente carregado por meio de um dos

comandos


172/407

Matrizes

2.16.1. O que so?

No MATHEMATICA, uma matriz uma lista de lis tas do mesmo comprimento

a=882, 2, 1


173/407

85, 5 +t ,t t t

= = = =

" < " +tt tw

5 "8 4 45 5

!c d e f"

0 / / " / /a b3# > 3 > 3 > 3# >= = = = tambm linearmente independente, porque, como veremos, o seu wronskiano negativo (e,neste caso, independente do argumento ):>

[ > % / / ! / % /

/ / " / /

3# / 3 / ! 3 / 3# /

3) / 30

3# > 3 > 3 > 3# >

3# > 3 > 3 > 3# >

# 3# > # 3 > # 3 > # 3# >

$ 3# > $

a b

= = = =

= = = =

= = = =

=

= = = =

= = = =

= = / ! 3 / 3) /

"' / / ! / "' /

" " " " "# " ! " #

% " ! " %) " ! " )

"' " ! " "'

%

3 > $ 3 > $ 3# >

% 3# > % 3 > % 3 > % 3# >

"!

"!

= = =

= = = =

= =

= = = =

=

=

" " " " ! " " "# " " # % " " #% " " % ! " " %) " " ) "' " " )

%="!

[ > % % "'

" " " " " "

" " % " " #" " ) " " %

% % ' "' ' !

0 "!

"! "!a b

a b

=

= =288

Exempo 4.56.Note-se que a recproca do corolrio 4.19.1 no verdadeira: o facto de owronskiano de ser identicamente nulo em no implica que seja0 0 0 0 M 0 a b" # 7linearmente dependente em , como mostramos no exemplo seguinte: sejam asM 0 0 " # funes definidas por

0 B B 0 B B B" ##a b a b k ke

e cujos grficos se mostram na figura 4.11, juntamente com as derivadas de primeira ordem.


357/407

Sec. 4.12] Matriz adjunta e inverso de matrizes quadradas 339

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-1.0

-0.5

-2.0

-1.5

1

2

2

f

f

f

f1

Fig. 4.11 Grficos de e .0 0 0 0 " #w w

" #, ,

As funes e tem-se, para todo o ,0 0 B " # "Ca b 0 B #B 0 B # Bw w" #a b a b k ke

Observemos que a expresso para a derivada de vlida no ponto , visto que a# B 0 B !k k #derivada de na origem 0#

0 ! B ! # B0 B 0 ! B B

B Bw#

B! B! B!

# #B!a b k k a ba b a b k k k klim lim lim

O wronskiano de , para qualquer ,0 0 0 B a b" # [ B # B B # B B !

0 B 0 B0 B 0 B

B B B#B # B0

" #w w" #

## #a b k k k k a b a ba b a b k kk k

Assim, identicamente nulo em , mas linearmente independente em , como se[ B 00a b prova facilmente a seguir: se so reais tais que- -" #

a - 0 B - 0 B !B

" " # #

a b a b ,


358/407

340 Determinantes [Cap. 4

teremos, fazendo e respectivamente,B " B "

- - !- - !" #" #A nica soluo do sistema homogneo anterior , o que prova que - - ! 0 " #

linearmente independente, mostrando, assim, que a recproca do corolrio 4.19.1 no verdadeira: quando no intervalo aberto ,[ B ! M 0 0a b pode ser ou no linearmentedependente. Todavia, demonstra-se que:

Seja um intervalo aberto uma lista de o corpo ou , eM 0 0 0 0 a b" # 7funes de em pertencentes a . Se o wronskiano de identicamente nulo emM M 0 C7"a bM N M , ento existe pelo menos um subintervalo aberto tal que a lista das restries das

funes 0 N3ao intervalo linearmente dependente.

Por exemplo, no caso das funes apresentado neste exemplo, as suas restries ao

a b0 0" #

intervalo (e tambm ao intervalo ) so linearmente dependentes, o que bvio.

Exemplo 4.57.A sequncia de funes linearmente dependente, visto0 B B "a bcos sin# #que . Portanto, pelo corolrio 4.19.1, o wronskiano de dever ser nulo,cos sin# #B B " ! 0 para todo o e, de facto, assim :B

[ B #B #B ! # #B #B # #B #B !B B "

# #B # #B !0

# #

a b

cos sinsin sin sin cos sin coscos cos

4.13 Matriz adjunta e inverso de matrizes quadradas

O teorema de Laplace restrito tem aplicao no clculo da inversa de uma matriz quadradaregular. Para analisarmos esta questo, devemos definir a noo de de umamatriz adjuntamatriz quadrada (regular ou no).

Definio 4.13. Matriz adjunta Seja uma matriz de ordem . AE 8 "+c d34 88matriz cujos elementos so os cofactores dos chamada daE +s 88 34 matriz complementarmatriz . A transposta de chama-se de e designa-se por :E E E E s matriz adjunta adj

a b 88

E E Es s+c d a b a ba b cof adj 4.8934 TDaqui resulta que a relao entre os elementos de e de :F E E , +c d a b c d34 34 adj

, + " 3 8 " 4 834 43cof 4.90a b a b

Proposio 4.20. Seja uma matriz de ordem . Ento:E 8 "+c d34 88i) a bE Es

T T

s

4.91

ii) adj adj 4.92a b a b a ba bE ET T


359/407


Demonstrao:

i) Para provar a primeira igualdade, determinemos o elemento da linha e coluna de3 4ambos os membros e verifiquemos que so iguais:

a b E E +E Es sT T

T a bs

34 43 43

34 34 43cof cof +cof

ii) Basta fazer uso da igualdade 4.91 e da definio de adjunta:a badj adj a ba bE E EsT T T TT T s E

O teorema de Laplace restrito vai implicar uma importante propriedade da matriz adjunta,com base na qual depois imediato o clculo da inversa de uma matriz regular .E

Proposio 4.21. Propriedade fundamental da adjunta Seja umaE +c d34 88matriz de ordem e a sua matriz adjunta. Ento:8 " Eadja b

i) e a sua matriz adjunta so permutveis e o seu produto uma matriz escalarE

adj adj 4.93a b a b a b a bE E E E E M det 8ii) Se singular, ficaE

adj adj 4.94a b a b a bE E E E S8iii) Se regular, a de vem dada porE Einversa

E E"

E"

deta b a b a badj 4.95 Esta igualdade mostra que o elemento da linha e da coluna da matriz- 3 4 G E34 "

inversa de se calcula por:E

- " 3 4 8+E

3443cof 4.96a ba b a bdet

Demonstrao:

i) A igualdade matricial equivale s igualdades escalaresadja b a bE E E M 8det 8 #" a b a b a b5"

8

54 53 34 + + E " 3 4 8cof $ det 1


360/407


e a igualdade matricial equivale s igualdades escalaresE E E M 8adja b a bdet 8 #" a b a b a b5"

8

35 45 34 + + E " 3 4 8cof $ det 2

Provemos as igualdades 1 :a b 4 3Se , ento 1 transforma-se ema b" a b a b a b5"

8

53 53 33

"

+ + E E " 3 8cof $ det det

o que constitui exactamente o desenvolvimento pelo teorema de Laplace restrito dedeterminante de pela coluna .E 3

4 3 +t +t +t ESe , sejam os vectores-coluna de e consideremos a matriz" # 8

E E 3 4+w w

34

c dobtida de substituindo nesta a coluna pela colunaE +t +t +t +t +tw " # 4 4 8c dObservemos que os cofactores dos elementos da coluna de so iguais aos da mesma coluna3 Ew

de (visto que os citados cofactores no dependem dos elementos da coluna e que osE 3restantes elementos de so iguais aos de ). Isto permite concluir que os elementos daE E +w w53coluna de satisfazem as igualdades:3 Ew

+ +

+ + " 5 8

w53 54

w53 53cof cof a b a b ,

Como uma forma alternada ser (colunas e de iguais, por construo).det deta bE ! 3 4 Ew w

Usando o teorema de Laplace restrito para calcular (que nulo!) segundo a coluna ,deta bE 3wobtm-se

! E + + + + 4 3deta b a b a b" "w w w5" 5"

8 8

53 53 54 53cof cof

o que termina a demonstrao para . Provmos, assim, a igualdade e,4 3 E E E M adja b a bdet 8para provar , basta atender a 4.92 e aplicar a igualdade que oraE E E M adja b a b a bdet 8demonstrmos matriz :ET

E E E E E E E E

E M E M E M

adj adj adj adja b a b a b a b a b a bT T

T TT T T T

T T TTdet det det8 88

Tambm seria possvel provar a igualdade provando directamente asE E E M adja b a bdet 8igualdades 2 , por meio de raciocnio semelhante ao que usmos, mas aplicado a uma linha dea bE.

ii) singularSe , ser e 4.94 resultar imediatamente de 4.93 .E E !deta b a b a biii) regularSe , ser e multiplicando 4.93 por , obtm-seE E !deta b a b "Edeta b

a b a ba b a b" "E EE E E E M det detadj adj 8


361/407


e estas igualdades mostram que a matriz a de"Edeta badja bE Einversa

E E E !"

E"

detdeta b a b a badj

que a igualdade 4.95 desejada. Quanto a 4.96 obviamente equivalente a 4.95 .a b a b a b Observaes:

Podemos resumir a propriedade fundamental da matriz adjunta dizendo que:

nula a soma dos produtos dos elementos de uma fila de um determinante pelos cofactoresdos elementos correspondentes de qualquer outra fila paralela.

igual ao determinante da matriz a soma dos produtos dos elementos de uma sua fila

pelos seus prprios cofactores (teorema de Laplace restrito). Comparando 4.95 com o mtodo de condensao do captulo 2, mais uma vez se verificaa b

que o mtodo de condensao global, isto , no possvel calcular por condensao apenasum elemento da matriz inversa enquanto que 4.96 nos d qualquer elemento da inversa sema bcalcularmos os restantes.

8 8 "A frmula 4.95 implica o clculo de determinantes de ordem (para o clculo daa b #adjunta) e ainda um determinante de ordem o que mostra que, para valores de , o8 8 $mtodo de condensao muito menos trabalhoso.

O implementa as funespackageALGA`Determinantes`, exposto na seco 4.16,

Adj MatrizInversae para calcular a adjunta e a inversa de uma matriz quadrada, usando amatriz adjunta.

Exemplo 4.58.Consideremos a matriz

E " $ ## " %$ # "

O determinante de E

deta bE $* !A matriz regular e, para calcular a inversa, determinemos a adjuntaadja b E E s

( "! " ( " "!" ( "" "! ( )

"! ) ( " "" (

T

T

Por fim, 4.95 d a inversaa bE E " "E $*

( " "!

"! ( )" "" (

"deta b a b adj


362/407


Podemos verificar a propriedade fundamental da matriz adjunta

adj

adj

a b a b

E E $*( " "! " $ # $* ! ! " ! !

"! ( ) # " % ! $* ! ! " !" "" ( $ # " ! ! $* ! ! "

E E " $ # ( " "! $* ! !# " % "! ( )$ # " " "" (

! $* ! ! " !! ! $* ! ! "

$*" ! !

Exemplo 4.59.Consideremos a matriz

E

& " ! # $" ! " # "

" # ! $ "! # $ # !

" " ! " !

O determinante de pode ser calculado pelo mtodo misto: primeiro, condensamos a 3Ecoluna (a fila da matriz que contm mais zeros) com como pivot; de seguida, desenvolvemos"pelo teorema de Laplace restrito segundo essa coluna:

deta b

E

& " ! # $ & " ! # $" ! " # " " ! " # "

" # ! $ " " # ! $ "! # $ # ! $ # ! ) $

" " ! " ! " " ! " !

& " # $" # $ "$ # ) $" " " !

Neste ltimo determinante, condensemos, agora, a 4 linha com o seu primeiro elemento 1como pivot e apliquemos o teorema de Laplace restrito a essa linha, seguido da regra de Sarrus:

deta b

E "$( !

& % $ $" " % "$ & & $" ! ! !

% $ $" % "& & $

O resultado mostra que matriz regular; determinemos apenas o elemento da linha 2 eE -#$coluna 3 da inversa :E"

- + ' '

E "$( "$(#$

$#cofa ba bdet


363/407

Sec. 4.14] Frmula de Cauchy 345

Em que usmos o mtodo misto para calcular cof :a b+$#cofa b a b a ba b

+ " E $ #

& ! # $ ) $ ) !" " # " " " # "! $ # ! ! $ # !

" ! " ! " ! " !

) $ )! $ #" ! "

$#$#det

) $ !! $ #" ! !

'$ !

$ #

4.14 Frmula de Cauchy

O teorema de Laplace restrito vai permitir a deduo de uma frmula devida a Cauchy ea b14que permite exprimir um determinante de ordem num determinante de ordem e em8 8 "

a b8 " 8 ##

determinantes de ordem . o que faremos na demonstrao da

Proposio 4.22. Frmula de Cauchy Seja um inteiro e uma matriz8 # E 88

quadrada de ordem e fragmentemos antes da ltima linha e da ltima coluna:8 E

E E G

P + w

88

Ento, o determinante de dado por:E

det det deta b a b a b a b a ba b a b"E + E 8 8 " E 3 4 + +88 38 84 34"

8"34 w 4.97

ou ainda:

det deta b a b a b a bE + E P E G 88 w wadj 4.98Demonstrao:

Comecemos por desenvolver o determinante de pela coluna , usando o teorema deE 8Laplace restrito e separemos a parcela contendo :+88

det det deta b a b a b a b a ba b a b"E + E 8 8 + " E 3 888 383"

8"38 1

As matrizes , de ordem , contm os elementos da8 " E 3 8 8 " +a b a ba b "38" 84 "48"linha de e que constituem sempre a linha dos .8 E 8 " E 3 8a b

14 : matemtico francs (Paris 1789 Sceaux 1857).Cauchy, Augustin Louis


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Aplicando agora o teorema de Laplace restrito linha (a ltima) de cada uma dessas8 "matrizes e observando que , temos, para todo o :E 3 8 E 3 8 4 8 E 3 4 " 3 8 "a b a b a bw

det det deta b a b a b a b a b a ba b a b a b" "E 3 8 + " E 3 8 4 8 + " E 3 44" 4"

8" 8"

84 84 8"4 8"4 w 2

Substituindo 2 em 1 , obtm-se a primeira das igualdades desejadasa b a bdet det det

det det

a b a b a b a b a ba b a b" " a b a b a ba b a b"

E + E 8 8 + " + " E 3 4

+ E 8 8 " E 3 4 + +

88 38 84

3" 4"

8" 8"38 8"4 w

88 38 84

34"

8"34#8" w

+ E 8 8 " E 3 4 + +88 38 84 34"

8"34 wdet det

a b a b a ba b a b"Quanto a 4.98 , observemos que:a b E E 8 8 .w a b " E 3 4 + E o cofactor de em relao matriz e, consequentemente, aa b a ba b34 w w34det matriz , de ordem , a matriz complementar de a b a ba b" E 3 4 8 # E34 w w

"348"

s

det

E w

+ Gconstitui a coluna .a b38 "38" + Pconstitui a linha .a b84 "48"Deste modo, fica

det det det

det det

a b a b a b a b a b a b

E + E G E P + E G E P

+ E P E G + E P E G

88 88w w w w

s s

88 88w w w w

s

T T T T T

Tadj

o que termina a demonstrao.

Observaes:

8A frmula de Cauchy permite reduzir o clculo de um determinante de ordem ao clculode um determinante de ordem (o determinante de ) e de mais determinantes de8 " E 8 "w #a bordem (no clculo de adj ).8 # Ea bw


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Sec. 4.14] Frmula de Cauchy 347

Podemos calcular o nmero de termos na frmula de Cauchy, para o que se indicam osnmeros de parcelas de cada subexpresso naquela frmula:

Expresso

n de parcelas

+ E 8 8 " E 3 4 + + E

8 " x 8 " 8 # x 8x

88 38 84 34"

8"34 w

#

det det deta b a b a b a ba b a b!

a b a b a bO total de parcelas :

a b a b a b a b a ba b a b a b8 " x 8 " 8 # x 8 " x 8 " 8 " x 8 " x " 8 " 8x#Reencontrmos, assim, o nmero de parcelas de 4.64 , como era de esperar.a b EQuando houver um elemento nulo no determinante de podemos, por duas operaes

elementares de tipo 1, lev-lo posio de o que far com que a primeira parcela da frmula+88de Cauchy se anule, poupando o clculo de .deta bE

w

E P G Quando a matriz for simtrica, e a frmula de Cauchy tr

algebra linear e geometria analítica v.1

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