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Conceito de tensõesExercícios

O Tensor de tensões

Tensões

10 de maio de 2013

Tensões



Conceito de tensão

F1

F2

1

2

Com os conceitos da físicaa pressãoP no interior do duto é

constante e tem valor:P= F1

A1=

F2A2

Os macacos hidráulicos são aplicações diretas desta equação, poiscom uma pequena força aplicada na extremidade 1 do sistema deêmbolos pode-se produzir uma força de magnitude considerável naextremidade 2, dependendo da razão entre as áreasA1 eA2.

Tensões



Observações sobre a grandeza pressão

Unidade: força/áreaSI→ Pa (Pascal)= N/m2

O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas adireção e sentido não. Pode-se dizer então que a pressão é umagrandeza vetorial.

A direção da forçaF2 gerada no sistema de êmbolo é sempre amesma da pressão atuante na seção 2, e esta direção é semprenormal à superfície do êmbolo.

Tensões



Por que surgiu a pressão no interior do duto?Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existemrestrições ao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, nocaso do êmbolo da figura, se não existir resistência na seção 2, ofluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimentode pressões internas. Em outras palavras, é preciso que hajaconfinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dos dutos(pressão negativa).

F1

F2

1

2

Tensões



Analogia com sólidos

1

2

F

F

solido

1

2

F

F

fluido

Da mesma maneira que nos fluidos, tem-se duas possibilidades: ou osólido entra em movimento ou, no caso onde existam restrições aodeslocamento, surgem o que nos sólidos se denominam tensõesedeformações.

Tensões



A grandeza tensão pode então ser definida como sendo força/unidadede área, ou seja:

~ρ =∆~F∆A

Sendo a força uma grandeza vetorial, a tensão também o será.

Tensões



As tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas:

1 Tensões normais: é a componente da tensão na direção danormal externa ao plano e é o resultado de um carregamento queprovoca a aproximação ou o afastamento de moléculas queconstituem o sólido.

σN = lim∆A→0

∆~N∆A=

NA

Tensões



2 Tensões cisalhantes ou tangenciais: é a componente da tensãono plano da seção e é o resultado de um carregamento queprovoca um deslizamento relativo de moléculas que constituem osólido.

τ = lim∆A→0

∆~Q∆A=

QA

Tensões



Duas peças de madeira de seção retangular 80mm x 140mm sãocoladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostraafigura . Calcular as tensões na cola paraP = 16 kN e para:a) θ = 30o ; b) θ = 45o ; c) θ = 60o

Resposta: a)σN=357,1 kPa,τN=618,6 kPa ; b)σN = τN=714,3 kPa ;c) σN=1071,0 kPa,τN=618,6 kPa.

θP P

9

Tensões



Calcular o comprimento total 2L da ligação de duas peças de madeira,conforme a figura, e a alturah necessária. DadosP =50 kN,b=250mm, tensão admissível ao corte na madeira 0,8MPa e àcompressão 6,5 MPa .Resposta: 2L = 500mm ;h= 31mm.

b

LL

h

PP

Tensões



Duas placas são unidas por 4 parafusos cujos diâmetros valemd=20mm, conforme mostra a figura abaixo. Determine a maior carga Pque pode será plicada ao conjunto. As tensões de cisalhamento,detração e de esmagamento são limitadas a 80, 100 e a 140 MPa,respectivamente. Resposta: P= 90KN.

Tensões



Um parafuso de 20mm de diâmetro é apertado contra uma peça demadeira exercendo-se uma tensão de tração de 120 MPa como mostraa figura . Calcular a espessuraeda cabeça do parafuso e o diâmetroexternod da arruela, dadas as tensões admissíveis 50 MPa, ao corteno parafuso, e 10 MPa, a compressão na madeiraResposta:e= 12 mm ;d = 72,11 mm.

e

d

Tensões



TensõesO Tensor de tensões

10 de maio de 2013

Tensões



. Mproprio

peso

empuxo

terradeaguade

empuxo

Existem forças tentando aproximar ou afastar moléculas noentorno de M, nas três direções ortogonais, gerando tensõesnormais nestas três direções.

Existem forças tentando deslizar moléculas no entorno de M,nastrês direções ortogonais, gerando tensões tangenciais oucisalhantes nestas três direções.

Tensões



. Mproprio

peso

empuxo

terradeaguade

empuxo

.

Nσ

90N

τ N

ρNoM

o

Tensões no ponto M num plano de normal~N

A tensão num dado ponto da estruturadepende do plano no qual secalcula a tensão. Admitindo-se um plano passando por M e quepossui uma normal definida pelo vetor~N, pode-se dizer que a tensão~ρN, no ponto M no plano considerado, é a soma vetorial da tensãonormal~σN com tensão tangencial~τN, conforme figura .

~ρN = lim∆A→0

d~F∆A

onded~F é a força de interação atuante na área∆A.Tensões



.

Nσ

90N

τ N

ρNoM

o

ρx

σxxoM

N

x

yz

xzτxyτ

(a) Vetor~ρx

oM

ρy

τ yz σyy

τyx x

z

y

N

(b) Vetor~ρy

oM

ρz

σzz τ zy

τzx

y

x

z

N

(c) Vetor~ρz

Figura :tensões nos três planos ortogonaisTensões



ρx

σxxoM

N

x

yz

xzτxyτ

(a) Vetor~ρx

oM

ρy

τ yz σyy

τyx x

z

y

N

(b) Vetor~ρy

oM

ρz

σzz τ zy

τzx

y

x

z

N

(c) Vetor~ρz

Figura :tensões nos três planos ortogonais

σ =

~ρx

~ρy

~ρz

=

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

As tensões normais são indicadas pela letraσ e as tangenciaispela letraτ;

Tensões



ρx

σxxoM

N

x

yz

xzτxyτ

(a) Vetor~ρx

oM

ρy

τ yz σyy

τyx x

z

y

N

(b) Vetor~ρy

oM

ρz

σzz τ zy

τzx

y

x

z

N

(c) Vetor~ρz

Figura :Tensões nos três planos ortogonais

σ =

~ρx

~ρy

~ρz

=

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

O primeiro índice identifica o plano considerado, pois indica adireção de sua normal. Exemplo:τxy primeiro índicex→ plano:yz;

Tensões



ρx

σxxoM

N

x

yz

xzτxyτ

(a) Vetor~ρx

oM

ρy

τ yz σyy

τyx x

z

y

N

(b) Vetor~ρy

oM

ρz

σzz τ zy

τzx

y

x

z

N

(c) Vetor~ρz

Figura :Tensões nos três planos ortogonais

σ =

~ρx

~ρy

~ρz

=

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

O segundo identifica a direção da componente do vetor tensão.Exemplo:τxy segundo índicey→ direção da tensão:y;

Tensões



σ =

~ρx

~ρy

~ρz

=

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

τ zy

τ zy ’

τ yz ’

τ yz

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ττ

τ

τ

τ

ττ

τ

xy

x

y

y

z

z

x

xz

xy

xz

yx

yx

zx

zx

dx

dy

dz

x

y

z

’

’ ’

’

’ ’

’

M

Tensões



τ zy

τ zy ’

τ yz ’

τ yz

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ττ

τ

τ

τ

ττ

τ

xy

x

y

y

z

z

x

xz

xy

xz

yx

yx

zx

zx

dx

dy

dz

x

y

z

’

’ ’

’

’ ’

’

M

Convenção de sinais: deve ser de tal maneira que não permita queuma mesma tensão tenha valores algébricos de sinais opostosquandose analisa uma face ou outra do sólido de tensões. Por esta razão,adota-se referenciais opostos para cada uma das faces opostas dosólido em torno do M.

Tensões



τ zy

τ zy ’

τ yz ’

τ yz

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ττ

τ

τ

τ

ττ

τ

xy

x

y

y

z

z

x

xz

xy

xz

yx

yx

zx

zx

dx

dy

dz

x

y

z

’

’ ’

’

’ ’

’

M

Convenção de sinais:Para as tensões normais: são positivas quando estão associadasà tração e negativas quando estão associadas à compressão.

Tensões



τ zy

τ zy ’

τ yz ’

τ yz

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ττ

τ

τ

τ

ττ

τ

xy

x

y

y

z

z

x

xz

xy

xz

yx

yx

zx

zx

dx

dy

dz

x

y

z

’

’ ’

’

’ ’

’

M

Convenção de sinais:Para as tensões tangenciais: quando a normal externa do sólidode tensões apontar no mesmo sentido do eixo coordenado, astensões tangenciais são positivas quando apontarem para omesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado. Quando anormal externa do sólido de tensões apontar no sentido contráriodo eixo coordenado, as tensões tangenciais são positivas quandoapontarem para o sentido contrário do seu respectivo eixocoordenado. Tensões

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