tendencias no ensino de matemática vol_14_nº_62

SUMÁRIO

enfoque • Qual é a questão?

TENDÊNCIAS ATUAIS DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA Tânia Campos (PUC-SP) Terezinha Nunes (Universidade de Londres)

pontos de vista • O que pensam outros especialistas?

FERRAMENTA INFORMÁTICA. ENSINO DE MATEMÁTICA E FORMAÇÃO DOS PROFESSORES Michèle Artigne (IUFM de Reims) Equipe DIDIREM (universidade de Paris 7)

O ENSINO CONSTRUTIVISTA Beatriz S. D'Ambrosio e Leslie R Steffe (Universidade de Geórgia)

EVOLUÇÃO DA RELAÇÃO COM O SABER EM MATEMÁTICA NA ESCOLA PRIMÁRIA: uma crônica sobre cálculo mental

Régine Douady (Universidade de Paris 7)

UM EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DE UMA ANÁLISE IMPLICATIVA PARA O EXAME DE QUESTIONÁRIOS

Régis Grás (Universidade de Rennes e Universidade de Nantes) Annie Larher (Universidade de Rennes)

APRENDER A VER E A MANIPULAR O OBJETO GEOMÉTRICO ALÉM DO TRAÇO NO CABRI-GÉOMÈTRE

Colette Laborde (DidaTech) Bernard Capponi (Universidade Joseph Fourier)

COMO AS CRIANÇAS ENTENDEM A NOÇÃO DE ROTAÇÃO/ÂNGULO Sandra Magina (PUC-SP)

AVALIAÇÃO E PERSPECTIVAS DA ÁREA DE ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL João B. Pitombeira de Carvalho (USU)

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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994 ISSN 0104-1037

A IMPORTÂNCIA DO CONHECIMENTO ETNOMATEMÁTICO INDÍGENA NA ESCOLA DOS NÃO-ÍNDIOS

Eduardo Sebastiani Ferreira (UNICAMP)

espaço aberto: Manifestações rápidas, entrevistas, propostas, experiências, traduções, etc.

O GEEMPA, UMA VIVÍSSIMA ONG Esther Pillar Grossi (GEEMPA)

GEPEM — GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM EDUCAÇÃO Maria Laura Mousinho Leite Lopes (GEPEM)

resenhas: DIDÁTICA E INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL — de N. Balachcff c M. Vivet Nicholas Balachcff (DidaTcch)

ESTUDOS EM PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA — de Luciano Meira, Analúcia Schlicmam, David Carraher,

Alina Spinillo e Jorge da Rocha Falcão Os autores (UFPE)

bibliografia: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA RECHERCHES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES EN FRANCE: elements d´unc bibliographie

N. Balachcff & Groupe thesard

painel: APRESENTAÇÃO CARTA AO LEITOR RELAÇÃO DE TESES E DISSERTAÇÕES DE MESTRADO. DOUTORADO OU LIVRE DOCÊNCIA PRODUZIDAS/DEFENDIDAS NO BRASIL (1991-1994)

Dario Fiorentini (UNICAMP)

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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994

ENFOQUE: Qual é a questão?

TENDÊNCIAS ATUAIS DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

Tânia M.M. Campos* Terezinha Nunes**

Introdução

A Matemática é uma ciência que estuda relações. É também uma maneira de pensar. Ao longo da história, a Matemática desenvolveu sistemas de representação e modelos de análise que nos permitem pensar sobre os eventos e fenômenos, fazendo análises que não seriam possíveis sem esses sistemas de representação. Por isso, o ensino da Matemática não interessa apenas aos matemáticos ou aos futuros matemáticos, mas a todos. A interpretação de gráficos, a análise de relações, a mensuração, a modelação de fenômenos são técnicas comuns da Matemática utilizadas nos mais diversos contextos. Nas ciências e na tecnologia a Matemática tem um papel fundamental como instrumento de análise e previsão. Mesmo na vida quotidiana pode ser necessário compreender o que significam percentagens, proporções, frações, constantes e variáveis em uma situação, ou que impacto têm as diferentes fórmulas para o cálculo da inflação sobre o salário.

Nem sempre os alunos dominam facilmente os sistemas de representação e as maneiras de pensar desenvolvidos pela Matemática. Um sistema pode, por exemplo, requerer que conceitos usados de modo apenas intuitivo na vida diária, sejam formalizados para que o sujeito compreenda

* Da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP). ** Da Universidade de Londres.

o sistema de representação. Por exemplo, intuitivamente, muitos alunos compreendem que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão são, respectivamente, inversas. No entanto, muitos alunos realizam essas inversões intuitivamente, sendo-lhes difícil compreender a representação algébrica e as manipulações com expressões algébricas, encontrando dificuldades marcadas no uso da inversão. Outra dificuldade comumente observada consiste em lidar com medidas intensivas (cf. Schwartz. 1988. para maiores explicações). Enquanto as medidas extensivas e suas operações são facilmente compreendidas, as medidas intensivas causam dificuldades de compreensão, embora elas sejam de grande utilidade na vida diária c nas ciências.

Portanto, a Educação Matemática é uma parte essencial da educação, tão essencial como a leitura e a escrita, mesmo para aqueles alunos que não pretendem avançar em Matemática como uma ciência. Muitos de seus conceitos básicos são fundamentais também em outras ciências e importantes no trabalho e na vida diária. Não nos referimos aqui à aprendizagem de conteúdos matemáticos, considerados no nível que interessa aos matemáticos — como o conjunto dos números naturais. inteiros, ou racionais — mas aos conceitos envolvidos na compreensão desses números sobre os quais o matemático teoriza.

Nesse número do Em Aberto, são discutidos distintos ângulos da aprendizagem e do ensino de Matemática. Ao propor um número do Em Aberto dedicado a esse tema, tínhamos diversas preocupações, que exploramos a seguir.

A educação matemática e seu papel nas sociedades contemporâneas

Não é possível negar que as relações entre pessoas em um país e entre países no mundo atual são marcadas pelas desigualdades. Falamos em


países desenvolvidos e em desenvolvimento, assim como falamos em classes dominantes e classes dominadas, quando nos referimos às desigualdades no mundo atual. As desigualdades são o produto de um longo processo histórico que envolve fatores econômicos e políticos, tanto no nível das relações entre países como no nível das relações entre classes. Dentro dessas desigualdades situam-se as diferenças educacionais. A educação não pode ser vista nem como a causa dessas diferenças nem como um remédio que possa saná-las. As diferenças educacionais entre países e entre classes sociais fazem parte de uma constelação de fatores que se reforçam mutuamente na manutenção do status quo. Faz parte da pobreza, em qualquer pais, a existência de níveis educacionais mais baixos, como faz parte das diferenças entre países desenvolvidos c em desenvolvimento, a manutenção de sistemas educacionais de diferentes níveis de qualidade e eficiência.

Isto significa que a educação não é totalmente autônoma ou autode-terminante. Ainda assim, as mudanças educacionais podem ser estimuladas e promovidas no Brasil sem que existam de antemão as condições que tornariam o sistema educacional mais efetivo. O que não ocorre "naturalmente" na sociedade (como, por exemplo, a exposição de todos os jovens a situações que os motivem para a aprendizagem escolar ou a acumulação de um capital cultural importante para o sucesso na escola) pode ser provocado dentro do próprio ambiente escolar. As mudanças educacionais são essenciais à implantação de propostas que visem à justiça social, quando se consideram as desigualdades dentro do país e que visem ao desenvolvimento em termos da colocação do país no plano internacional.

Mais especificamente, a Educação Matemática coloca-se como um dos aspectos da educação básica mais relevante ao desenvolvimento técnico-científico de um país. Essa relevância mostra-se, no nível individual, em termos das vias de acesso aos cursos de ciências exatas e a cursos de orientação tecnológica, como os de engenharia. O sucesso em Matemática

é, tanto no Brasil como em outros países, condição essencial para o ingresso nesses cursos, onde hoje estão inscritos alunos das classes dominantes em proporções muito maiores do que os alunos das camadas populares, mesmo quando essas proporções são consideradas dentro do quadro de desigualdades no acesso à universidade (Weber, 1980). A elitização desses cursos, além de dificultar a igualdade social, também dificulta o progresso científico-tecnológico do país. Discutem-se hoje nas empresas em países desenvolvidos as mudanças no mercado de trabalho, necessárias à adaptação a uma nova realidade produtiva, que envolvem tranformações no conceito de capacitação e responsabilidade daqueles que atuam nas linhas de produção (Glick. 1993). Resnick (1993) sugere que, se não houver mudanças drásticas na forma de produção nos países cm desenvolvimento, a produção de artefatos cm que está envolvido menor custo tecnológico será cada vez mais transferida dos países desenvolvidos para aqueles em desenvolvimento, enquanto que os produtos que envolvem a participação de alta tecnologia estarão restritos aos países desenvolvidos, reforçando-se as desigualdades tecnológicas e sociopolíticas. A fim de bloquear essa tendência é necessário que os países em desenvolvimento promovam um processo de qualificação técnico-científica de grande vulto, de modo a colocar cm serviço na linha de produção mão-de-obra muito mais qualificada do que aquela hoje disponível. Segundo Resnick (1993). esse processo de qualificação deve iniciar-se na escola primária na Educação Matemática e científica que é oferecida às crianças e aos jovens. Uma Educação Matemática e científica alienante, que não promove maneiras de pensar e apenas estimula a reprodução de técnicas de resolução de problemas, constitui o primeiro obstáculo ao salto qualitativo que os países em desenvolvimento devem dar, para buscar maior igualdade no campo das relações internacionais.

Em síntese, a educação é parte de uma constelação de fatores que caracterizam uma sociedade. No entanto, a escola tem um certo grau de autonomia, que a torna um dos desencadeadores de um processo mais amplo de mudança, que visa à justiça social, no âmbito do país e ao


desenvolvimento científico-tecnológico do país, no âmbito internacional. Para que a educação possa desempenhar esse papel, no entanto, parece necessário repensar a própria educação.

Novas concepções de educação matemática

Nossos .alunos vivenciam na escola uma prática de Educação Matemática que não corresponde àquela discutida na introdução desse trabalho. O ensino de Matemática foi. e ainda é, caracterizado nos meios oficiais. por um currículo a ser cumprido, uma lista de tópicos a ser estudada e não como uma forma de pensar. Na versão oficial do ensino de Matemática, considera-se apenas a Matemática. No entanto, entre os pesquisadores da Educação Matemática, as preocupações com o ensino têm diversas origens. Discutiremos a seguir alguns desses aspectos, a fim de ilustrar a natureza interdisciplinar dos estudos e pesquisas em Educação Matemática.

Questões psicológicas

Duas questões amplas vêm sendo investigadas no âmbito da psicologia com relação à Educação Matemática. A primeira refere-se aos subsídios da psicologia para a compreensão do processo educativo. Nesse sentido, a contribuição da psicologia tem sido a de explicar a natureza dos conceitos matemáticos, sua organização e seu desenvolvimento. A contribuição de Piaget na análise dos invariantes necessários à compreensão dos mais variados conceitos matemáticos, influenciou a pesquisa nesse campo, sugerindo investigações relativas à melhor época em que ensinar o conceito na escola e a importância da participação ativa dos alunos na resolução de problemas, a fim de que eles venham a compreender os invariantes dos conceitos. Mais recentemente, a teoria piagetiana foi aprimorada por um psicólogo francês. Gerard Vergnaud, que dá uma nova formulação à própria idéia de conceito matemático. Vergnaud considera como fundamentais à análise dos conceitos

matemáticos, além dos invariantes, a consideração das situações que dão significado ao conceito, bem como as formas utilizadas em sua representação.

A segunda questão, proposta pela psicologia frente à Educação Matemática, refere-se às conseqüências da aprendizagem da Matemática. O ensino da Matemática, como o ensino do Latim ou da Gramática, já foi. em certas ocasiões, justificado em termos de sua conseqüência ampla para o raciocínio dos alunos. No entanto, apenas recentemente, as conseqüências da aprendizagem da Matemática têm sido investigadas de maneira sistemática. Essas análises têm mostrado ser a questão muito mais complexa do que se imaginou anteriormente. Por um lado. diversos estudos com populações pouco escolarizadas (como mestres-de-obras. marceneiros, pequenos agricultores, feirantes. pescadores, etc.) mostram que é possível documentar de modo claro a compreensão de inúmeros invariantes ligados a conceitos matemáticos relativamente complexos. em pessoas que não freqüentaram a escola por tempo suficiente para terem recebido instrução nesses conceitos. Por outro lado. sua representação do conceito tende a divergir daquela transmitida na escola e a refletir as limitações específicas do modo de representação utilizado.

Uma das conseqüências desses resultados consiste em sugerir maior flexibilidade quanto às formas de representação utilizadas na escola. porém tentando simultaneamente promover a adoção de formas de representação mais poderosas. Essa análise psicológica de aspectos da Educação Matemática deve repercutir no desenvolvimento de novos caminhos para a sala de aula, porém ainda há muito o que analisar c pesquisar.

Questões sociológicas

Outra contribuição dos estudos recentes em Educação Matemática vem da análise de questões sociológicas. O relacionamento professor-aluno foi analisado no passado muitas vezes, somente em termos da satisfação


pessoal dos participantes (e conseqüente motivação dos ;.alunos para a aprendizagem), aos mecanismos de controle de disciplina, ou da abordagem diretiva ou não-diretiva à sala de aula. Uma nova forma de compreender as relações em sala de aula resultou, nos últimos anos, dos estudos voltados para a representação social e suas conseqüências para a interação, quando os participantes assumem papéis determinados. A necessidade de se considerar explicitamente o contrato didático, que resulta de tais representações dentro do sistema educacional atual, e de alterar esse contraio são o foco de investigação c alvo de mudança em muitos dos esforços relacionados a propostas para a melhoria do ensino. É necessário alterar esse contrato implícito entre alunos e professor, para que os alunos participem do processo de solução de problemas em Matemática de uma maneira que permita recriar a noção de uma comunidade que examina a validade dos conceitos científicos.

Antropologia e educação matemática

Todo projeto educacional que não considera o ambiente cultural em que vivem os alunos é. por definição, alienante. O ensino da Matemática não será menos alienante que o ensino de qualquer outra matéria, se não considerar o contexto cultural dos alunos.

No Brasil, podemos constatar a existência de realidades culturais as mais contrastantes. Primeiramente, existem grupos indígenas, com línguas e representações matemáticas próprias e, freqüentemente, desconhecidas. A pesquisa etnomatemática é indispensável para que o ensino possa considerar os conhecimentos dos alunos nesse caso. Em segundo lugar, as diferenças de classes, caracterizadas por diferentes costumes e formas de educação informal, resultam em que alguns adquiram fora da escola um "capital cultural" valorizado pela escola, como significativo para a aprendizagem da Matemática, enquanto outros dispõem de conhecimentos não-reconhecidos como importantes para a aprendizagem escolar. Essa valorização seletiva de conhecimentos matemáticos, difundidos na

cultura, precisa ser reconhecida e enfrentada como uma das formas de alienação dos alunos diante da aprendizagem da Matemática (Abreu, Bishop, Pompeu, 1994). Finalmente, uma análise antropológica poderá também indicar o papel cada vez mais preponcerante da tecnologia no mundo atual, especificando as relações entre Matemática e tecnologia nos locais de trabalho.

Epistemologia, história c/a matemática e educação

Enquanto os aspectos psicológicos, sociológicos e antropológicos discutidos acima analisam a efetividade c as conseqüências do processo educativo, a consideração dos desenvolvimentos históricos e epistemológicos é instrumental para a teorização em Educação Matemática. A epistemologia e a história esclarecem aspectos relacionados à complexidade dos conceitos e suas relações entre si. as dificuldades que novos sistemas de representação solucionaram, a partir de sua introdução, e as conseqüências da introdução de um novo conceito ou de uma nova forma de representação para o desenvolvimento da ciência matemática. Essas considerações devem iluminar discussões curriculares e constituem uma fonte de hipóteses para as investigações psicológicas e pedagógicas.

O novo papel do professor

Se considerarmos o significado da Educação Matemática no mundo atual e a criação e o desenvolvimento de uma nova disciplina, a Educação Matemática, devemos concluir que o professor não pode mais reproduzir os modelos educacionais que ele próprio vivenciou enquanto aluno. Mudaram o mundo, os objetivos e a concepção de ensino — portanto, precisa mudar também o professor. As considerações psicológicas sugerem que o professor tem o papel de levar o aluno a reconstruir modelos matemáticos que ele compreenda em outras situações, representá-los de maneira a poder utilizar os mais poderosos sistemas simbólicos da


Matemática, como instrumento de pensamento, utilizá-los em uma variedade de situações que lhe dêem significado. As considerações sociológicas discutem a representação social do professor e lhe abrem perspectivas para uma nova definição a ser conquistada por novas maneiras de interagir com seus alunos. As considerações antropológicas devem tornar o professor consciente de quem são seus alunos e pode ajudá-los a construir um futuro para eles próprios. As considerações epistemológicas e históricas devem engajar o professor num processo de reavaliação do que importa incluir no currículo.

Finalmente, o professor de Matemática precisa também comprometer-se com o ensino crítico da Matemática. A Matemática cria realidades para o indivíduo como, por exemplo, através da escolha social de modelos que determinam o preço de serviços essenciais (como eletricidade) e os índices de inflação. A análise desses modelos que criam realidades é essencial à formação crítica do aluno.

Conclusão

Apontamos aqui o papel da Educação Matemática nas sociedades contemporâneas, algumas concepções da Educação Matemática e o novo papel do professor frente ao mundo atual. Deixemos para a seção "Pontos de Vista", trabalhos que tratam das diferentes perspectivas dessas abordagens.

Esperamos que eles possam estimular o debate, auxiliar os professores a compreender alguns fenômenos do ensino e aprendizagem da Matemática, favorecendo a pesquisa.

Mais ainda, esperamos que, na medida do possível, eles possam ser adaptados à realidade da sala de aula.

Referências bibliográficas

ABREU. G.. BISHOP. A., POMPEU. G. What Children and teachers count as Mathcmalics. In: NUNES. T., BRYANT. P.E.(Orgs.). How do Children learn Mathematics? Palmer: Erlbaum. 1994.

D'AMBRÓSIO, U. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1993.

GLICK, J. What is different about adult development? Lucca, 1993. Trabalho apresentado na NATO Conference on Discourse Analysis, Technology and Situated Cognition, Lucca. Itália, nov. 1993.

RESNICK, L.B. The new standards project. Lucca, 1993. Trabalho apresentado na NATO Conference on Discourse Analysis, Technology and Situated Cognition, Lucca, Itália, nov. 1993.

SCHWARTZ, J.L. Intensive quantity and referent transforming aritmetic Operations: number concepts and Operations in the mid-dle grades. [S.l.]: NCTM, 1988. p.41-52NCTM.

WEBER, S. Universidade: sinal fechado. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.33, p.3-28, maio 1980.


PONTOS DE VISTA: O que pensam outros especialistas?

FERRAMENTA INFORMÁTICA, ENSINO DE MATEMÁTICA E FORMAÇÃO DOS PROFESSORES

Michele Artigue* e Equipe DIDIREM**

A pesquisa sobre as questões de ensino da Matemática em meio informático iniciou-se em um clima fortemente ideológico. Tratava-se, antes de tudo, de mostrar que a ferramenta informática proporcionava uma nova eficácia ao ensino da Matemática, de apoiar e promover sua integração. Era sobretudo a pesquisa de pioneiros, convictos e militantes. O ambiente era o mesmo no nível de formação de professores. Era necessário suscitar o interesse, o desejo de utilizar as novas ferramentas. desconsiderávamos as dificuldades previsíveis, acalmávamos as inquietudes, não buscávamos identificar os limites da ferramenta, nem evidenciar as rupturas e adaptações onerosas que sua integração implicava. Hoje, o volume de pesquisas de que dispomos e a coerência de alguns dos resultados obtidos possibilitam abordagens mais racionais. Ao mesmo tempo, a evidência da dificuldade de penetração da ferramenta informática mostra os limites da ação militante. A criação de sofwares para o ensino aparece cada vez mais ligada à definição prévia de instruções idealizadas concomitantemente nos planos didático e informático e vemos, pouco a pouco, impor-se a vontade de compreender, em profundidade, o funcionamento dos sistemas didáticos que incluem a informática e de construir nesse campo conhecimentos, ainda que venham a incomodar.

* Da IUFM de Reims.

** Da Universidade Paris 7.

É dentro desta perspectiva que se situa a reflexão desenvolvida aqui. Referindo-nos a algumas pesquisas recentes, focalizaremos três aspectos que nos parecem importantes considerar quando nos interessamos pelas contribuições potenciais da ferramenta informática no ensino da Matemática e às questões relacionadas à integração dessa ferramenta no sistema escolar e portanto, em particular, à formação dos professores. que é um elemento decisivo. São os seguintes:

— ambientes informáticos e objetos de conhecimento;

— ambientes informáticos e interação entre contextos de funcionamento dos conceitos;

— ambientes informáticos e funcionamento do sistema didático.

Logicamente, não pretendemos abranger aqui a totalidade das questões apontadas. O tamanho imposto ao artigo obrigou-nos a fazer escolhas. ainda que outras, sem dúvida, tivessem sido possíveis e igualmente pertinentes. Nossas escolhas foram sem dúvida alguma guiadas, ao menos parcialmente, pelas carências sentidas no nível de formação dos professores.

Ambientes informáticos e objetos de conhecimento

É comum afirmar que a Matemática é afetada pelos ambientes informáticos nos quais ela é encontrada, conceituada e trabalhada. Assim, desde os primórdios da aventura LOGO, evidenciamos certas diferenças entre a geometria LOGO e aquela da folha de papel, acentuando, por exemplo, o fato de que LOGO veicula uma concepção diferencial, global, dinâmica do círculo, colocando em primeiro plano a invariância da curvatura, enquanto que a geometria tradicional privilegia uma concepção


pontual, estática, colocando em primeiro plano a invariância da distância ao centro. Indo além deste exemplo, citado com maior freqüência, evidenciamos, por meio do papel dominante desempenhado pelos ângulos — o referencial essencialmente local, uma geometria LOGO em certos aspectos mais próxima da geometria do macroespaço, no sentido definido em Brousseau (1983), que da geometria do microespaço1 e isto, independentemente do tamanho da tela.

No entanto, é preciso reconhecer também que se a existência de diferenças é comumente admitida e afirmada — se, para este ou aquele micromundo, cada um pode citar, como acabo de fazer, alguns exemplos, algumas características — a análise dessas diferenças, dos impactos que elas podem ter sobre a transferência de conhecimentos construídos, em um ambiente para outros ambientes, permanece quase sempre muito superficial e sem coerência global. Ela só raramente é considerada como uma questão fundamental e prioritária na pesquisa sobre esses ambientes. Ela costuma aparecer no desvio do caminho, em decorrência de reações ou de dificuldades não previstas, encontradas no curso de experimentações, que precisam ser compreendidas e interpretadas. A afirmação de diferenças funciona com mais freqüência como declaração liminar e serve apenas para mascarar o fato que, no fundo, a força dominante é aquela que tende a considerar os ambientes informáticos transparentes em relação ao saber.

1 G. Brousseau distingue três tamanhos de espaço, que apresentam características sensivelmente diferentes: o microespaço, que é aquele de manipulação de pequenos objetos e da geometria da folha de papel; o mesoespaço, espaço dos deslocamentos do sujeito em um campo controlado pela visão (objetos fixos entre 0,5 e 50 vezes o tamanho do sujeito) por fim, o macroespaço, onde o controle direto não é mais possível

A identificação desse fenômeno, de suas razões e a análise de seus efeitos negativos sobre a integração da ferramenta informática nos parecem cruciais no tocante à formação de professores. A ilusão de transparência não se alimentaria, na verdade, da crença cultural de que o ambiente tradicional em papel/lápis é o ambiente natural e normal do funcionamento matemático, logo, de fato, o único ambiente a priori legítimo? Nessas condições, toda identificação de contrasenso em um software constituiria uma ameaça à legitimidade da utilização desse software no ensino. Compreendemos bem, então, que os criadores de softwares e seus promotores sejam levados inconscientemente a um sistema de dupla pressão: de um lado, evidenciar a novidade que justifica o produto, e de outro, manter ao menos por um tempo, o tempo de lhe assegurar um lugar, a ilusão de transparência.

O modo como são colocados os problemas de transferência de conhecimentos é, também, revelador dessas questões de legitimidade. Eles são, com efeito, sempre colocados no mesmo sentido: interrogamo-nos sobre a possibilidade de transferência de conhecimentos elaborados em ambientes informáticos para o ambiente tradicional. Uma resposta negativa tende a desqualificar o ambiente informático utilizado. Em sentido inverso, dificuldades em explorar um ambiente novo para fazer matemática são sempre atribuídas ao software, e não à dependência contextual extremamente forte dos conhecimentos elaborados no ensino tradicional.

Tomemos um exemplo particularmente banal, o das representações gráficas de funções. O ensino tradicional baseia-se em uma teoria, implícita em grande parte, da representação gráfica das funções: a uma função corresponde uma representação genérica, respeitado um certo


número de convenções; assim, se o gráfico traçado, compatível com as exigências conhecidas, for o mais simples possível, todas as propriedades matemáticas identificadas deverão aparecer de forma legível, em detrimento eventual de uma deformação do desenho, e não traçaremos exatamente da mesma forma, por exemplo, um ramo infinito com assíntota vertical e um ramo parabólico de direção vertical2. Essas convenções não são encontradas nos traçados informáticos: a uma mesma função corresponde, em geral, uma grande variedade de representações perceptível diferentes, de acordo com a escolha da janela de representação; toda função contínua pode até mesmo ser representada por uma horizontal — quem dentre nós não se chocou, pela primeira vez, querendo traçar uma senóide, obteve inoportunamente uma reta horizontal? — e as curvas não hesitam em encontrar suas assíntotas! Explorar matematicamente os traçados informáticos de soluções de equações diferenciais, por exemplo, supõe que tomemos consciência dessas diferenças e. portanto. retrospectivamente, das convenções que direcionam as representações tradicionais.

É significativo, deste ponto de vista, que a pesquisa que desenvolvemos na Universidade de Lille 1 sobre o ensino das equações diferenciais (Artigue, 1992) tenha mostrado que, para uma das primeiras atividades propostas aos estudantes, que consiste em associar as equações e as representações de fase, a única dificuldade que persiste está em admitir que a equação Y' = sen(xy) possa tanto estar associada ao traçado 2 como ao traçado 1:

2 J. Rogalski tentou explicar essas características em uma apresentação na 2ª Escola de verão de Didática (cf. Atos divulgados pelo IREM de Orleans)

Traçado 1

Traçado 2 Explorar eficazmente a ferramenta informática no ensino exige, portanto, que consideremos com seriedade a análise das relações entre objetos de conhecimento, ambientes e o trabalho a ser feito para permitir a adaptação a novos ambientes ou a gestão simultânea de vários ambientes. Isso exige também que tomemos consciência dos elementos implícitos subjacentes ao funcionamento nos ambientes tradicionais e que estejamos prontos para questionar a tendência natural para declará-los os únicos legítimos no ensino. Essa visão descentralizada de nossas práticas mais familiares


pode, por sinal, nos ajudar na conscientização de todos os elementos implícitos sobre os quais se baseiam essas práticas, elementos que nossos alunos não têm razão alguma para aceitar de pronto.

Uma formação de professores para a utilização de ferramentas informáticas no ensino deveria ser a oportunidade de se colocar esse tipo de problema a partir do trabalho sobre ambientes precisos, como faz, por exemplo. C. Laborde em alguns artigos recentes sobre o software Cabri-Géomètre (Laborde, 1994). Tal trabalho pode também constituir a oportunidade para se interrogar sobre a afirmação implícita de unicidade contida no "a" grifado acima e de se perguntar quais são as geometrias do ensino e como o sistema administra as dificuldades ligadas às diferenças que elas apresentam, em sua utilização simultânea ou sucessiva.

Ambientes informáticos e relacionamento de registros de representação de um mesmo conceito

Muitas pesquisas atuais exploram, mesmo sem fazer referência explícita à noção de contexto ou à noção de registro de representação introduzida3. a possibilidade que oferece a ferramenta informática de gerenciar simultânea e economicamente vários registros de representação de um mesmo conceito, favorecendo assim a interação entre contextos de funcionamento deste conceito. É o caso, por exemplo, de numerosas pesquisas desenvolvidas atualmente sobre o conceito de função, como testemunha, por exemplo, a monografia recentemente publicada sob o título Epistemology? and Pedagogy of the Concept of Function (Harel, Dubinsky, 1992). Em um número importante de trabalhos apresentados. buscamos explorar a ferramenta informática para a conceitualização matemática, em particular via gestão interativa de representações algébricas e gráficas.

1 R. Douady (1984) define em sua tese um contexto como composto de objetos de um domínio matemático, de relações

entre esses objetos, de expressões e imagens mentais associadas a esses objetos. Dois contextos podem conter os mesmos

objetos, mas diferir pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas a seu respeito. A noção de registro utilizada por

R. Duval (1988) é, por sua vez, ligada á análise das representações do tipo semiótico. Em um mesmo contexto, um objeto

normalmente está sujeito a representações diversas, apresentando características semióticas diferentes.

Um dos primeiros, trabalhos amplamente divulgados neste campo foi o de D. Tall (1986) baseado na realização do software "Graphic Calculus" que permitia uma abordagem gráfica do início do ensino da análise. Este trabalho teve um impacto indubitável na Grã- Bretanha, uma vez que. por exemplo, as noções de "tangente prática" (tangente obtida ligando-se dois pontos muito próximos da curva) e a noção associada de derivada numérica, que ele introduziu em sua tese para elaborar uma primeira abordagem da análise, sem o conceito de limite, foram retomadas na reforma nacional dos programas do ensino secundário na Grã-Bretanha e inspiraram as abordagens informais do Calculus desenvolvidas em vários projetos norte-americanos (Artiguc. Ervynck. 1993). É preciso entretanto admitir que muitas das pesquisas desenvolvidas neste campo não forneceram resultados à altura das expectativas dos pesquisadores e criadores de softwares.

As pesquisas desenvolvidas nesta área das funções contribuíram igualmente (juntamente a muitas outras desenvolvidas em diversos ambientes, of. Leinhart, Zaslavsky. Stein 1990), por exemplo, para evidenciar a carga de conhecimento que traz a leitura correta das representações gráficas e as ilusões que poderiam alimentar os professores que pensarem que os alunos vêem em uma representação gráfica ou em uma evolução dinâmica de representações justamente os fenômenos que eles queiram mostrar. Daremos dois exemplos, um extraído da pesquisa já citada sobre as equações diferenciais e o outro de Goldenberg, Lewis e O'Kcefe(1992).

O trabalho sobre as equações diferenciais, com efeito, coloca bem em evidência os conhecimentos que uma leitura gráfica eficaz traz à luz. Assim, sabendo que a representação a seguir corresponde à seguinte equação diferencial, y'=x(y2-l), o matemático vê neste traçado duas soluções particulares correspondentes às retas de equações y=-l e y=l que dividem o plano em três zonas onde as curvas-soluções são respectivamente cercadas, pois a equação satisfaz as hipóteses do teorema


de existência e de unicidade sobre todo o plano. Ele sabe que as curvas-soluções das zonas 2 e 3 admitem assíntotas horizontais, uma vez que nenhuma solução corresponde às duas soluções particulares mas, contrariamente às aparências, ele sabe que não pode concluir diretamente do traçado que as duas retas são as assíntotas. Ele vê também que as curvas-soluções da zona 1 têm uma orientação assimptótica vertical, mas sabe que não pode discernir perceptível entre assíntota vertical e ramo parabólico de direção vertical. Na zona 3. ele sabe, mas uma vez, que não pode se deixar iludir pelas aparências: a priori, existem dois tipos de soluções, as soluções que encontram o eixo Oy são decrescentes e depois crescentes e as soluções que não o encontram, o que pode no entanto ser apenas uma aparência relacionada com a janela de representação.

Que veriam um aluno de colégio de primeiro ciclo de universidade e um artista nesses mesmos traçados?

Na verdade, vemos o que estamos preparados para ver com nosso conhecimento do assunto, e o segundo exemplo citado ilustra isso de forma ainda mais elementar. Dispondo de um traçador e querendo ilustar o efeito da mudança do y-intercept4, com inclinação constante. P. Goldenberg perguntou a seus alunos o que eles viam. quando ele fazia crescer ou decrescer dinamicamente esse y-intercept. O matemático, neste

Traçado 3

O y-intercept designa a ordenada do ponto de intersecção com o eixo Oy.

caso, vê a reta inicial subir ou descer paralelamente a ela mesma. Esta interpretação é, de fato, completamente guiada pelo conhecimento aplicado à situação. Os alunos, por sua vez, vêem, com justiça, uma reta que ao mesmo tempo se desloca para a esquerda ou para a direita!

E preciso observar, contudo, que as dificuldades evidenciadas por muitos trabalhos, além de equilibrar os entusiasmos inocentes, tiveram um efeito positivo. Elas suscitaram pesquisas mais aprofundadas, buscando compreender melhor como se estabelecem, em um dado ambiente, as conexões entre diferentes registros de representação do conceito de função. mesmo de outros conceitos, quais processos os unem, quais dificuldades e obstáculos são encontrados nessa articulação: portanto, numa tentativa de se conferir os meios para. ao mesmo tempo, compreender os sucessos e as derrotas e para, conseqüentemente, melhor delimitar as contribuições possíveis de ambientes informáticos. É o caso da pesquisa apresentada por J. Kaput na já citada monografia, por exemplo, mas também de diversos trabalhos e evocaremos aqui duas delas: uma pesquisa coordenada por A. Schoenfeld (Schoenfeld. Smith. Arcavi. 1990). citada com freqüência, nesses últimos anos, e a tese de A. Dagher (1993).

Essas pesquisas têm origem em um ponto de vista metodológico da análise qualitativa de casos. Elas abordam as interações aluno/sofware em um nível de análise microscópico, baseando-se. notadamente, no registro sistemático de todas as interações aluno/software. Trata-se obviamente de passar, em seguida, dessas informações microscópicas a uma modelização do aluno e da aprendizagem exprimíveis, ao menos em parte, em níveis mais globais: identificação de conhecimentos, de teoremas agindo por trás dos invariantes identificados no nível das ações do aluno, hierarquização e estruturação dos conhecimentos em redes evolutivas pertinentes. Logicamente, isso não ocorre por si só.

A pesquisa citada de A. Schoenfeld ilustra bem estas características. Ela baseia-se no estudo do desempenho de uma única estudante (IN) de 16 anos, durante sete horas, em um ambiente informático (Black Globs). Este trabalho evidencia, de forma surpreendente, a complexidade oculta


sob a simples afirmação: "Se y=mx+b é a equação de uma reta, b é o y-intercept e m é a inclinação". São frases que IN conhece, quando ela inicia a formação, uma vez que ela sabe encontrar a equação de uma reta passando por dois pontos, calcular sua inclinação, etc. Para mostrar essa complexidade, a fragilidade dos conhecimentos da estudante, sua dependência contextual e a evolução constatada no decorrer das sete sessões, os autores distinguem quatro níveis de descrição dos conhecimentos:

— um nível de macroorganização onde conhecimentos e percepções são organizados em esquemas globais;

— o nível dos conceitos ou entidades conceituais que descreve os objetos do domínio e suas propriedades familiares;

— um nivel de estruturação mais apurada onde se reagrupam os elementos primitivos e suas relações, denominado "The Cartesian connexion";

— enfim, um nivel contextual onde os elementos primitivos são indexados por contextos precisos.

Eles mostram que há, no início, funcionamento no nível do esquema sem que esse esquema esteja fixado em níveis mais profundos sobre as conexões cartesianas corretas. Por exemplo, no início, IN funciona como se ela decompusesse o plano em dois semiplanos: positivo e negativo, de cada um dos lados do eixo horizontal. Uma rela de inclinação negativa é. portanto, para ela uma reta que parte do lado negativo do plano, conhecimento implícito que coexiste com uma técnica correta de cálculo da inclinação. Para chegar a uma concepção da inclinação corretamente articulada entre os pólos algébrico e gráfico, é necessário, na verdade, modificar toda uma rede cognitiva. Da mesma forma, a conceitualização de IN da noção de y-intercept passa, ao longo da formação, por uma evolução complexa.

Os autores observam igualmente que não conseguem, contrariamente a suas expectativas iniciais, explicar a evolução por uma sucessão de microaprendizados; em vez disso, identificam conexões que se reforçam ou se enfraquecem em uma rede complexa.

Por sua vez, a tese de A. Dagher (1993), evidencia claramente a especificidade de certos processos de adaptação que se colocam nos ambientes informáticos. Ao estudar o "funcionamento" de alunos frente a um software (Fonctuse) que solicita a associação às cuvas mostradas na tela (retas, parábolas, hipérboles) de expressões algébricas de forma definida, ele mostra que uma adaptação eficaz, do ponto de vista do ambiente informático, não ativa necessariamente os conhecimentos de articulação algébrico-gráfica objetivados pelo aprendizado. Ele identifica. por exemplo, no caso de parábolas às quais deve ser associada uma equação de forma polinomial. qué um certo número de alunas alcança, suficientemente rápido, um conhecimento perceptiva do tamanho da abertura (que tem. neste software, um valor necessariamente inteiro) o que lhes permite encontrar o valor exato em duas. três tentativas no máximo. Isso lhes possibilita desenvolver uma estratégia eficaz para determinar a equação polinomial solicitada: estimar a abertura, ler a ordenada na origem para determinar o valor do termo constante do polinômio e. em seguida, ler as coordenadas de um ponto e escrever a equação correspondente para encontrar o valor do coeficiente do termo de grau 1. No caso de insucesso, utilização do feedback determinado (traçado da parábola associado ao polinômio proposto) para corrigir a estimativa da abertura, modificação da equação a ser resolvida, etc. Torna-se evidente que esses mesmos alunos não são necessariamente capazes, no pós-teste que segue o experimento, de ordenar as parábolas traçadas sobre papel seguindo o valor de sua abertura, como se o conhecimento elaborado na ação sobre a abertura não dispusesse de embasamentos conceituais suficientes para serem expressos e trabalhados em uma formulação em termos de relação de ordem.


A. Dagher evidencia, igualmente, certos fatores que poderiam explicar a eficácia constatada de uma utilização do software, ainda que rápida, por ocasião dos primeiros experimentos. Esses experimentos foram efetuados com alunos do final do colégio, familiarizados com as retas, parábolas e funções polinomiais de lº e 2º graus, mas com competências muito limitadas no campo da articulação gráfico-algébrica. As evoluções observadas, contrariamente às observações feitas na pesquisa citada anteriormente, são evoluções brutais e estáveis (o fato de que o exercício proposto ao aluno varie pouco sem dúvida explica em parte essas diferenças): em determinado momento, um coeficiente ou uma característica de um coeficiente parece ganhar sentido e não há retrocesso no decorrer da sessão. Esses fenômenos brutais, qualificados pelo autor de "cristalizações" não se produzem aleatoriamente: a presença de um catalisador parece necessária. O principal catalisador identificado é o encontro de uma situação especial, seja do ponto de vista algebrico, seja do ponto de vista gráfico. Mas é preciso, também, reconhecer que nem todo catalisador necessariamente provoca cristalização. Desta forma, uma situação especial será estatisticamente menos eficaz quando for muito especial (por exemplo y=x2) ou se for encontrada muito cedo na sessão. No entanto, a análise dos registros mostra que. dada a rapidez da interação informática, o número de catalisadores encontrados em uma sessão é suficientemente grande para que mesmo uma porcentagem reduzida de eficácia produza efeitos reais.

Como explorar tudo isso no nível da formação? Gostaria de sugerir aqui algumas pistas:

— seria indubitavelmente interessante a utilização da ferramenta informática para reforçar a sensibilidade dos professores quanto à existência de diferentes estruturas de desempenho, de diferentes registros de representação para os conceitos matemáticos, quanto ao papel fundamental desempenhado pela articulação dessas estruturas c desses registros na atividade matemática, visando à elaboração de estudos que favoreçam essa articulação;

— entretanto, é igualmente importante não deixar que acreditem que a articulação milagrosamente se tornará fácil porque disporemos de ferramentas informáticas que a trarão econômica e facilmente à cena. A articulação de estruturas e registros, como toda articulação de pontos de vista, é uma operação mental cognitivamente muito dispendiosa e não é por acaso que o ensino tende, com freqüência, a evitar essa complexidade. compartimentando os assuntos e as abordagens. As articulações se constróem lentamente e essa construção envolve, como bem mostram as pesquisas recentes, toda uma rede cognitiva que ultrapassa amplamente as simples articulações visadas;

— enfim, parece-nos importante sensibilizar os professores quanto à especificidade dos processos de adaptação que o meio informático suscita e quanto às variáveis que os condicionam; e, também, observar a prudência necessária na interpretação cognitiva dos comportamentos observados.

Ambientes informáticos e funcionamento do sistema didático

Estaremos nos referindo mais particularmente nesta terceira parte a uma pesquisa realizada em colaboração corn J. Belloc em um colégio do subúrbio parisiense, de 1988 a 1991 (Artigue, 1991). Muitas outras referências certamente seriam possíveis.

Na euforia pioneira dos primórdios, ou mesmo enquanto as discussões aconteciam de forma recorrente em torno do "a favor de ou contra a informática no ensino da Matemática", os trabalhos que evidenciavam ou as fortes resistências do sistema de ensino ou as dificuldades que não fossem materiais ou que resultassem de negação a priori não eram necessariamente bem-vindas. Hoje. parece-nos que o problema não é mais esse e que estamos bem conscientes que, para assegurar a integração da ferramenta informática no ensino, precisamos, sem dúvida, de bons produtos — o que não é necessariamente o mais difícil; precisamos


também compreender como a ferramenta informática afeta o funcionamento do sistema didático e como podemos ajudar os professores a se conscientizarem das adaptações necessárias e a realizá-las de forma correta.

A pesquisa desenvolvida com J. Belloc sobre o software Euclide5 na 4a

série5. ilustra bem, pela sua própria evolução, esse fenômeno. Ela iniciou com objetivos precisos, hipóteses a priori razoáveis e banais:

— Euclide pode auxiliar na exposição precisa da Geometria, pelos condicionantes que impõe à linguagem, pela proximidade desses condicionantes aos da linguagem matemática nesse campo, pela vantagem didática oferecida na apresentação desses condicionantes como condicionantes do meio;

— Euclide pode auxiliar na conceituação cm Geometria, obrigando à passagem de uma Geometria perceptiva, de uma Geometria do gesto, à uma Geometria operatória, onde esses gestos são decompostos, traduzidos em termos de objetos geométricos ou de suas propriedades (para traçar um Paralelogramo, ao invés de deslocar a régua, traçamos paralelas devidamente determinadas, por exemplo);

— Euclide pode auxiliar a aproximar situações mais complexas do que aquelas geráveis nos ambientes habituais e possibilitar que os alunos se envolvam em uma abordagem experimental da Geometria;

— Euclide pode, finalmente, ajudar os alunos a visualizarem a racionalidade matemática, auxiliando-os a tomarem consciência da generalidade dos enunciados matemáticos, do estatuto da figura, das propriedades geométricas das configurações, invariantes de uma classe infinita de figuras.

' 0 software Euclide elaborado no IREM de Grenobie é uma extensão de LOGO que integra macroprocedimentos adaptados ao ensino da Geometria a partir do colégio: traçado de paralelas, perpendiculares, de imagens de pontos peias transformações habituais, etc. 1 No Brasil, corresponde à sétima série (N.Trad.).

A experimentação do primeiro ano confirmou globalmente essas hipóteses e, ao mesmo tempo, chamou nossa atenção para problemas preocupantes, tanto mais preocupantes quanto mais tendiam a mostrar que as situações construídas não eram confiáveis e exigiam, para funcionar, um professor verdadeiramente especializado. Os problemas encontrados foram principalmente de três tipos:

— a parasitagem recorrente da atividade matemática por dificuldades de natureza informática:

— a dificuldade de discernir a carga matemática real da atividade desenvolvida pelos alunos;

— as dificuldades encontradas pela professora para se adequar às previsões experimentais feitas em comum, quando da situação real de coordenação da classe.

Interessamo-nos, portanto, mais precisamente na continuidade a essas questões, introduzindo, de um lado, certas modificações na estrutura inicial a fim de considerar melhor as dificuldades encontradas e, de outro lado, implementando diferentes dispositivos experimentais para estudar de maneira mais acurada tanto as dificuldades quanto o efeito das modificações introduzidas: observação de grupos de alunos, registros das fases coletivas, organização de controles rápidos após cada síntese.

Sem entrar no detalhe dos resultados obtidos, gostaríamos de focalizar aqui dois aspectos aos quais essa pesquisa nos sensibilizou de forma particular: as modificações nas características do meio e nos processos de gestão da classe induzidas pelo ambiente informático. Achamos que elas desempenham um papel importante nas dificuldades de integração da ferramenta informática no ensino, somando-se, como observamos acima, aos problemas materiais e institucionais aos quais todos somos prioritariamente sensíveis.


Ambiente informático e meio

A certo momento do ensino, na experimentação desenvolvida, após a fase de iniciação ao software, os alunos confrontaram-se com uma tarefa de construção de figura. Tratava-se da Figura 1 preparatória ao estudo da configuração das medianas cujos diversos representantes, variando em tamanho e orientação, eram propostos aos alunos.

Fig 1 - Configuração das medianas

Eles deviam elaborar programas de construção em linguagem matemática tradicional e em linguagem Euclide. Uma vez que esses programas não utilizavam todas as propriedades da figura, solicitávamos igualmente que eles elaborassem um ou vários problemas de Geometria a partir da construção proposta.

Os resultados obtidos satisfaziam a professora da classe no plano matemático: eles traduziam para a grande maioria dos alunos a capacidade de associar de forma coerente um procedimento de construção geométrica a uma figura desse nível de complexidade, assim como a possibilidade de distinguir entre as propriedades da figura que serviam de hipótese à construção (variáveis segundo os alunos) e aquelas que necessitavam ser provadas na conclusão da construção. As formulações dos alunos eram matematicamente corretas, mesmo em se tratando, com freqüência, de formulações intermediárias entre a linguagem matemática tradicional e a linguagem Euclide. Em contrapartida, entre os programas Euclide propostos, somente 3 sobre 21 mostraram-se operacionais.

Isso nos levou a introduzir uma hierarquia nos erros encontrados, em termos de imbricação matemática/informática. Para a tarefa de construção proposta, consideradas as características geométricas da figura, identificamos cinco classes de erros:

— os erros matemáticos (não-definição de certos objetos ou dupla definição, adição de propriedades, confusões de termos matemáticos como meio e mediatriz, etc), código EM:

— os erros ligados à existência de formulações matemáticas não traduzíveis diretamente em linguagem Euclide (ex.: seja G tal que C seja o meio do (GEI), código F:F;

— os erros ligados a diferenças de ordem nas duas sintaxes (ex.: "seja a simétrica de M' em relação a O" traduz-se por "Seja M' SYMP:0:M"), código EO;

— os erros que resultam de uma definição implícita em Matemática (ex.: na Matemática, quando dois pontos foram definidos, a reta (AB) e o segmento [AB] também o são automaticamente, o que não ocorre em Euclide e nem, por sinal, no Géomètre), código EDI;

— os erros de sintaxe local, referindo-se a intervalos, aspas, dois pontos, colchetes, etc., código E1L.

A essas categorias utilizadas na análise das produções escritas, é preciso acrescentar, por ocasião da entrada do programa em máquina, da edição e da execução, ao menos uma sexta categoria relacionada aos erros de gestão dos procedimentos, de gestão do sistema-editor, etc.

Uma vez feita essa distinção, Obtemos os resultados seguintes (para 21 alunos, tendo cada um que codificar cinco construções):


Código erro Número Alunos

EM 4 1

EF 7 2

EO 32 8

EDI 56 18

E1L 28 9

que evidenciam claramente a distância existente entre correção matemática e correção Euclide.

Os problemas associados persistiram até o final da experimentação, com as conseqüências agravadas pela falta de intimidade do software e o caráter sumário das mensagens de erro. A despeito das modificações efetuadas na estrutura, a parasitagem persistiu durante os dois anos seguintes, e os meios de coleta de dados adotados evidenciaram o seguinte fenômeno qualitativo em relação aos erros menos imbricados na Matemática: um decréscimo inequívoco durante a fase de iniciação, um recrudescimento quando abordamos as situações complexas, um leve decréscimo em seguida, sem jamais atingir um nível razoável em relação ao trabalho matemático desejado.

exploração iniciação

Como, indo além desta pesquisa em particular, analisar didaticamente este fenômeno? Voltamos aqui à noção de "meio". Essa noção foi introduzida na didática (Brousseau, 1988) com o objetivo de incorporar teoricamente os princípios construtivistas segundo os quais o aluno aprende adaptando-se a um meio, que é fator de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios. Em G. Brousseau, que modeliza as situações didáticas em termos de jogos, o meio é definido como sistema antagônico do aluno no jogo não-didático associado à situação.

Sem abordar explicitamente essa modelização, consideraremos, de nossa parte, o ambiente como:

— formado de objetos, ferramentas, materiais ou conceituais, supostamente dotados de uma certa transparência para o aluno, seja por razões culturais ou de aprendizados anteriores (assim, noções como a de equação do segundo grau, a de função exponencial, etc. podem ser, em determinado momento, elementos do ambiente da mesma forma que são os instrumentos de traçado geométrico, um computador, um software, etc);

— suporte e ambiente da atividade matemática do aluno.

A situação didática, se pretender ser meio de aprendizado, terá necessariamente que ativar a relação do aluno com o meio: o meio será então, em certo sentido, problemático. Isso força a distinção, na modelização, de dois componentes do meio: o componente inerte e o componente ativo. O primeiro constitui-se do que no meio é suposto conservar o mesmo nível de transparência, não ser problematizado no decorrer da situação, sendo a adaptação ao componente ativo que deve provocar o aprendizado.

É evidente que os ambientes tradicionais do ensino da Matemática são ambientes que podem ser ricos de componentes matemáticos, mas são. em geral, ambientes pobres em componentes externos. A entrada de ferramentas informáticas no sistema educativo vem corromper essa ordem das coisas. Ela cria assim problemas aos quais os professores não estão habituados e que seria perigoso querer subestimar.

Se voltarmos com essas ferramentas de análise à situação experimental descrita mais acima, o computador e a linguagem LOGO (para alguns alunos), e, em seguida, o software Euclide entram com a experimentação no ambiente didático. Eles não são, logicamente, imediatamente


considerados como elementos do meio: a fase de familiarização com o software Euclide que ocupa cinco sessões de trabalho em grupos e as sessões de síntese correspondentes, por exemplo, tem justamente como objetivo tornar o software um elemento do meio. Veremos, aliás, desde esse nível, interferir de forma indireta o problema da legitimação de um aprendizado externo à Matemática dentro do curso de Matemática: a familiarização com o software é acompanhada de "revisões" sobre os ângulos, os quadriláteros e os triângulos particulares. Na verdade, o que pode ser legitimamente considerado de forma durável, no decorrer do aprendizado, como parte ativa do meio informático, nesse caso preciso. é a sintaxe do software em seus aspectos imbricados à Matemática, é a estruturação da programação que leva à estruturação matemática de procedimentos de construção de figuras. Os outros aspectos do aprendizado informático devem ganhar, o mais rapidamente possível, a transparência necessária para sua caracterização como componente inerte do meio.

Infelizmente, não se trata disso aqui e o ensino deverá aceitar, em permanência, o parasitismo da adaptação ao ambiente ativo pela não-transparência do ambiente teoricamente inerte.

Essas questões tornam-se mais difíceis de ser resolvidas quando consideramos, de um lado, que o ambiente cultural dos alunos, na maioria dos casos, não é suficiente para dotar "espontaneamente" o ambiente informático do nível de transparência desejado e, de outro lado, que os conhecimentos subjacentes tendem a ser vivenciados como "fora do contrato" pelos diferentes protagonistas: alunos, professores e, também, pais (diversos dados da pesquisa efetuada atestam isso claramente).

É evidente que a importância das dificuldades encontradas e os limites das modificações introduzidas são, em parte, devidos ao próprio software utilizado, às escolhas didáticas que efetuamos, em especial no tocante à programação pelos alunos, no nível dos alunos envolvidos: o nível

colegial. Mas iríamos à frente das grandes desilusões, se deduzíssemos tratar-se de um caso de espécie e que, diante dos ambientes mais íntimos de que dispomos agora, não há sentido em sensibilizar o professor quanto a essas questões, em insistir cm lhe dar meios para identificar e interpretar corretamente os fenômenos associados, e. tampouco, em lhe fornecer determinadas ferramentas para administrá-los. De outra forma, como evitar que, obrigados a confrontar de mãos vazias problemas incontornáveis, sem que ninguém os tenha apontado como incontornáveis e realmente difíceis, eles atribuam suas dificuldades unicamente à sua incompetência!

Ambientes informáticos e coordenação da classe

Os problemas trazidos pela integração das ferramentas informáticas ao ensino não se limitam, logicamente, a essas questões de não-transparência do meio. Não temos aqui a intenção de abordar os problemas de ordem material e institucional aos quais somos todos prioritariamente sensíveis. Preferiríamos focalizar o seguinte ponto: a utilização de ambientes informáticos perturba os sistemas de previsão e de gestão do professor. uma vez que os dois não funcionam independentemente. Na realidade, o computador, mesmo quando concebido simplesmente como elemento do meio por intermédio do qual se estabelece a relação do aluno ao saber, modifica as relações existentes no triângulo didático: professor-aluno-saber.

Para o professor, a situação informática imediatamente aparece como menos previsível pelo simples fato de que todo um conjunto de fenômenos anexos vem se enxertar à Matemática, dificultando sua capacidade de previsão e cuja importância ele tenderá a subestimar. Por exemplo, as previsões do professor em nossa pesquisa subestimava sistematicamente o tempo gasto na comunicação (mesmo bem-sucedida) com a máquina. O fato de que os sistemas de previsão do professor sejam amplamente intuitivos reforça, sem qualquer dúvida, a resistência, no tempo, dessa imprevisibilidade.


Além disso, em um ambiente informático, qualquer que seja ele, a mediação aluno/saber não passa só pelo professor. Um software, mesmo não "tutorial", fornece feedbacks ao aluno e, nesse sentido, tem uma dimensão de instrutor. Ele fornece, em parte, a garantia do verdadeiro/ falso, do possível/impossível. Esse componente é perfeitamente reconhecido pelo aluno e torna as retomadas de trabalho, no contexto de um trabalho, em ambiente multipostos, difíceis. Ora. essa capacidade de retomar facilmente é essencial ao professor. Ela lhe permite ir mais rápido quando sente a necessidade de acelerar o tempo didático, apoiando-se sobre os alunos que já encontraram ou que já têm idéias para começar. Ela lhe permite negociar mudanças de tarefa e sabemos bem que um mesmo exercício matemático necessita freqüentemente de tais renegociações: desejaremos passar de uma tarefa de construção a uma tarefa de emissão de conjecturas, da emissão de conjecturas a seu teste, do teste a provas mais formais... Cada mudança implica, em geral, uma renegociação da devolução. A retomada também possibilita ao professor homogeneizar a classe, ao menos aparentemente, iniciar o processo de institucionalização no decorrer da própria atividade por meio de institucionalizações locais. Se for preciso lutar para retomar, perderá liberdade de manobra e isso modificará a visão que tem de sua classe: sem dúvida a verá ativa, mas mais agitada, heterogênea, mais lenta e as percepções negativas podem levá-lo às positivas, colocando-o desconfortavelmente em sua posição de professor7.

Poderemos dizer, com certeza, que tais fenômenos já estão presentes até certo ponto em toda sessão de trabalho em grupos, que os professores já estão, portanto, parcialmente adaptados. Seria conhecer mal, ao que nos parece, o quotidiano do ensino.

' É nossa intenção aqui somente descrever mudanças incontomáveis Se a visão que o professor tem da classe aqui é mais ou menos verdadeira que a visão usual, se chega a ser benéfico que ele não possa manobrá-la como queira, não faz parte de nossa análise.

Integração da ferramenta informática e formação dos professores

Abordamos, nos parágrafos precedentes, um certo número de questões que nos pareciam dever ser levadas em consideração, quando nos interrogamos sobre as potencialidades da ferramenta informática no ensino dar Matemática e sobre os problemas de integração dessa ferramenta. A formação dos professores é a chave da integração, e gostaríamos de voltar nesse último parágrafo apoiando-nos sobre a tese em curso de M. Abboud. Ela indagou-se, no início, sobre as razões que levavam um professor a aceitar ou rejeitar um software (limitando-se a softwares exploráveis a priori para o ensino das simetrias ortogonais e centrais no colégio) e também sobre o tipo de cenário que um professor se disporia a elaborar com um software escolhido. As tabelas de análise de softwares publicadas na literatura surpreenderam-na, em um primeiro momento, por suas características essencialmente externas (características técnicas, ergonômicas, de comunicação, etc). Sem dúvida alguma, a preocupação de abranger em uma única tabela uma ampla categoria de softwares não é estranho, mas, fazendo isso, todo componente didático tende a desaparecer da análise. Para as necessidades da pesquisa, ela elaborou então uma tabela mais especificamente adaptada à análise de softwares que poderiam ser utilizados para uma primeira abordagem do ensino das simetrias no nível colegial, incluindo elementos de análise didática, bem como, em caso de aceitação, a previsão de cenários e dos elementos de comparação com os cenários papel/lápis.

Essa tabela foi experimentada com diferentes públicos, tendo relações diferentes com a didática, de um lado, e com a ferramenta informática, de outro. É certo que ela apresenta imperfeições, mas que não justificam por si só os resultados extremamente radicais que forneceu. É verdade que os resultados obtidos opõem a facilidade com a qual as pessoas questionadas entram na análise externa dos softwares e a dificuldade


com que entram em uma análise mais didática. Nesse nível, muitas questões permanecem sem resposta ou são evitadas. É também o caso das questões que pedem uma previsão das diferenças entre funcionamento informático e funcionamento papel/lápis no nível de funcionamento da classe. Além disso, não notamos diferença sensível sobre os pólos didático e de previsão entre professores questionados ao final de uma formação com ferramenta informática (que não se apoiavam contudo diretamente nos softwares considerados) e professores que se preparavam para iniciá-la.

Isso levou M. Abboud, em uma segunda fase da pesquisa, a tentar identificar, por meio da literatura e de entrevistas com alguns professores envolvidos há vários anos nas atividades de formação, as práticas de formação nesse campo e sua evolução. Mesmo se pudermos identificar uma evolução, parece que o modelo permanentemente dominante consiste em apresentar softwares que julgamos interessantes para o ensino, em familiarizar os professores com sua utilização, e, em seguida, propor-lhes situações de ensino que nós mesmos concebemos e/ou praticamos e que "funcionam bem", sem realmente procurar especificar o que as faz funcionar, preocupar-se em saber qual nível de especialização elas exigem do professor que deve administrá-la ou interrogar-se sobre suas potencialidades reais em termos de aprendizado. Proporemos a seguir aos professores, se a duração da formação permitir, que eles próprios experimentem essas situações em suas classes ou que criem novas situações e as experimentem; organizaremos sessões de relatos, sem para tanto necessariamente fornecer ferramentas para orientar a compilação do que pode ser observado e a análise dos experimentos, sem chamar a atenção para este ou aquele ponto reconhecido como crítico.

Resta ainda muito trabalho a ser feito, nesse campo como em outros, para articular com eficácia pesquisa e formação.


ABBOUD, M. L'intégration de l'outil informatique à 1'enseignement des Mathématiques: le cas de la symétrie orthogonale au College. Tese em preparo — Université Paris 7.

ARTIGUE, M. Analyse de processus d'enseignement en environnement informatique. PetitX. Grenoble, n.26, p.5-27, 1991.

. Functions from an algebric and graphic point of view: cog-nitive difficulties and teaching practices. In: HAREL. G., DUBINSKY. E. (Eds.). The concept of function: aspects of epistemology and pedagogy. [S.l.]: MAA Note, 1992. v.25 p.109-132.

ARTIGUE, M., ERVYNCK, G. (Eds.). Proceedings of the WorkingGroup 3, ICME 7, Quebec, 1992. Quebec: University of Sherbrooke, 1993.

BROUSSEAU, G. Le Contrat dídactique: le milieu. Recherches en Didactique des Mathématiques, v.9.3, p.309-338, 1988.

. Études de questions d'enseignement, un exemple: Ia Géométrie. Grenoble: IMAG, 1983. Séminaire de Didactique des Mathématiques et de I' Informatique de Grenoble.

DAGHER, A. Environnement informatique et apprentissage de I 'articulation entre registres graphique et algebrique de representation des functions. [S.l.], 1993. Tese (Doutorado) — Université Paris 7.

DOUADY, R. Dialectique outil-objet etjeux de cadres: une réalisation dans tout le cursus primaire. [S.l.], 1984. Tese (Pós-Doutorado) — Université Paris 7.


DUVAL, R. Graphiques et équations. Annales de Didacíique et de Sciences Cognit ives, Strasbourg, v.l, p.235-253, 1988.

GOLDENBERG, R, LEWIS R, O'KEEFE, J. Dynamic representations and the development of a process understanding of function, ln: HAREL, G., DUBINSKY, E. (Eds.). The concept o/function: aspects ofepistemology and pedagogy. |S.1.|: MAA Notes. 1992. v.25 p.235-260.

HAREL, G.. DUBINSKY, E. (Eds.). The concept o/function: aspects of epistemology and pedagogy. [S.l.]: MAA Notes, 1992. v.25

KAPUT, J. Pattems in students' formalization of quantitative pattems. In: HAREL, G„ DUBINSKY. E. (Eds.).The concept of function: aspects ofepistemology and pedagogy. [S.l.]: MAA Notes. v.25. 1992. p. 290-318.

LABORDE, C. Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour l'apprentissage de Ia notion de figure géométrique. Recherches en Didacíique desMathématiques, v. 14, n.l/2, 1994. no prelo.

LEINHART, G., ZASLAVSKY, O., KAY. Stein M. Functions, graphs and graphing: tasks, learning and teaching. Review of Educational Research, v.60. n.l, p. 1-64. 1990.

SCHOENFELD. A.. SMITH. J., ARCAVI. A. Learning: the microgenetic analysis of one students evolving understanding of a complex subject matter domain. In: GLAESER. R. (Ed.). Advances in instrucional psychology. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, 1990. v.4

TALL, D. Building and testing a cognitive approach to the calculas using interactive computergraphics. [S.l.], 1986. Tese—University of Wanvick.


O ENSINO CONSTRUTIVISTA*

Beatriz S. D'Ambrósio e Leslie P. Steffe**

O modelo de conhecimento que Glasersfeld (1987) chama construtivismo radical estabeleceu suas raízes em Educação Matemática a partir de 1980. e tem tido seu maior impacto na investigação da natureza do conhecimento matemático e na metodologia de pesquisa (Cobb, Steffe, 1983; Steffe, Cobb, 1988). Só recentemente o ensino da Matemática tem sido analisado por construtivistas (cf. Confrey, 1990; D'Ambrósio. Mewborn, 199-; Steffe, Tzur, 199-; Simon, 1992). Conseqüentemente, a forma que toma o ensino da Matemática dentro de uma linha construtivista está ainda por ser determinada. Vários construtivistas (Konold, Simon. Janvicr) argumentam contra a noção de que possa haver um tipo de ensino chamado de ensino construtivista. O argumento mais comum é o de que todas as crianças constroem conhecimento independentemente do tipo de instrução utilizado no processo de ensino.

Apesar de não discordarmos desse argumento, nos aventuramos a dizer que certos objetivos e ações ao professor podem moldar a natureza das interações matemáticas dos alunos e conseqüentemente de suas atividades construtivas. De qualquer forma, o professor está sempre trabalhando

* Neste trabalho procuramos caracterizar o ensino construtivista da Matemática. Analisamos três componentes do ensino construtivista que consideramos essenciais para nossa compreensão das ações do professor construtivista. Esses componentes incluem a construção da matemática da criança pelo professor, a natureza das atividades usadas pelo professor para definir o espaço da aprendizagem e o processo de comunicação entre professores e alunos num ambiente de aprendizagem construtivista. Nosso objetivo foi de extrair descrições e ilustrações dos componentes do ensino construtivista presente em nossas experiências com um teaching experiment (uma seqüência de episódios de ensino) realizado com crianças trabalhando dentro de um micromundo de frações.

** Da Universidade de Geórgia.

diante de certas condições que são importantes para a nossa definição do ensino construtivista. Essas condições podem refletir limitações do atual conhecimento matemático do aluno assim como limitações das ações do professor ao criar situações de aprendizado. O professor poderá compreender essas limitações na medida em que examina a Matemática de seus alunos. O professor que estuda a construção matemática de seus alunos e que interage com os alunos num espaço de aprendizagem cujo desenho está baseado, pelo menos em parte, num modelo de Matemática do aluno, será chamado de professor construtivista.

Um segundo argumento contra a idéia de um tipo de ensino chamado construtivista baseia-se na visão de que um "bom ensino" pode ocorrer mesmo que o professor não trabalhe dentro de uma visão construtivista do processo de aprendizagem (Kilpatrick, 1987; Konold. 199-). Mais uma vez não discordamos deste argumento. Mas esse argumento não implica que possamos definir um tipo de ensino que possa ser chamado de construtivista. Nosso objetivo neste trabalho é de começar a caracterizar o "bom ensino" dentro de uma linha construtivista. Nós não nos propomos a prescrever as ações pedagógicas descritas, nem asseguramos que tais ações possam garantir o bom ensino. Acreditamos que a combinação daquilo que o professor acredita sobre o processo de aprendizagem, com suas ações e com o contínuo aprendizado do professor, durante todo o processo de ensino, permite-nos descrever o perfil do professor construtivista. As ações do professor são função de seu conhecimento e de suas crenças, como também de sua interpretação das ações e da linguagem dos alunos.

O projeto das frações

Neste trabalho descreveremos algumas características que consideramos importantes sobre o ensino construtivista e ilustraremos com exemplos de episódio de ensino extraídos do projeto "Children's Constructions of


the Rational Numbers of Arithmetic"'. Referimo-nos a este projeto como o Projeto de Frações. O teaching experiment (coletânea de episódios de ensino) é um instrumento de pesquisa que utilizamos para compreender a Matemática das crianças e sua construção (Cobb. Steffe, 1983). O objetivo principal do Projeto de Frações é de construir um modelo das operações mentais que geram os números racionais da Aritmética. Com este fim, investigamos as ações e operações de crianças dentro de um micromundo chamado STICKS. Todas as atividades a que nos referimos neste trabalho são atividades propostas aos alunos dentro desse micromundo. Nesse micromundo. as crianças podem operar as diversas formas com um modelo linear, uma representação de uma vareta. Dentre as operações possíveis, a criança pode criar, copiar, juntar, quebrar. marcar, partir, colorir e medir. O professor pode ativar ou desativar quaisquer das operações, o que lhe permite manipular o espaço das ações possíveis. Por exemplo, suponhamos que o objetivo de um episódio seja de envolver os alunos em situações que exijam que o aluno faça estimativas de frações de uma vareta. É provável que o professor desative a operação PARTIR, que. quando ativada, subdivide a vareta em parte iguais. As limitações do espaço de aprendizado produzidas pela falta de certas operações levam o aluno a utilizar ações e operações das mais básicas na solução de uma situação proposta. Essas soluções podem revelar aspectos importantes das operações mentais e dos esquemas utilizados pelos alunos. Acreditamos que para compreendermos o ensino construtivista é importante explicarmos nossas ações e nosso pensamento durante os episódios de ensino do Projeto de Frações. A auto-reflexividade — a aplicação de princípios de construtivismo para a análise de suas próprias atividades — é uma característica importante do construtivista (Sicir. 199) e logicamente, do professor construtivista. Primeiro ilustraremos o processo pelo qual o professor c onstrói modelos da Matemática do

'Êste projeto foi financiado pelo National Science Foundation — NSF, n° RED-8954678. Todas as opiniões são exclusivamente dos autores.

aluno durante um episódio de ensino. Esses modelos são continuamente modificados durante o trabalho com o aluno e durante a análise retrospectiva dos episódios de ensino. Segundo, descrevemos o processo de comunicação entre os participantes de um episódio de ensino. Terceiro, descrevemos a natureza das atividades propostas durante um episódio de ensino e a influência do modelo de Matemática dos alunos construído pelo professor nas atividades utilizadas durante um episódio.

A matemática do aluno

Entender o conhecimento como algo num estado de constante evolução e adaptação caracteriza a visão do construtivista. As histórias pessoais e histórias culturais de indivíduos modelam suas interpretações de atividades, experiências e interações sociais. A compreensão da Matemática nesta luz, aceitando interpretações e explanações matemáticas, que não são as tipicamente aceitas pela comunidade matemática formal, é um dos aspectos mais difíceis que um indivíduo enfrenta quando procura compreender o construtivismo.

Para a professora, a necessidade de aceitar uma outra Matemática, distinta da sua. durante um episódio de ensino c tremendamente difícil. A professora pode descobrir que o seu conhecimento de Matemática não a ajuda a compreender o conhecimento matemático de alunos específicos, nem tampouco determinar como ajudar na aprendizagem de seus alunos. Ao comparar seu conhecimento matemático com o de seus alunos, o máximo que a professora possa vir a dizer é que o aluno parece nâo saber. Em quase toda sua experiência corn a Matemática, a professora vivenciou a Matemática como uma disciplina fixa e rígida, uma disciplina onde o aprendiz tenta compreender algo que lhe é apresentado, indiscutivelmente, algo que está nos livros.

Uma professora construtivista tem uma visão muito diferente do que vem a ser o conhecimento matemático. Para a professora construtivista o


conhecimento matemático de qualquer indivíduo, inclusive da própria professora, está em constante evolução e modificação. A interpretação do aluno sobre uma situação matemática proposta pode variar muito, dependendo de sua história pessoal e cultural. A aceitação do conhecimento do aluno como Matemática legítima, apesar de sua aparência estranha e pouco familiar, pode gerar uma Matemática do aluno muito diferente da Matemática do professor.

O objetivo da professora construtivista é de desenvolver um modelo de conhecimento matemático de seus alunos. Esses modelos são da maior importância, pois dão direção às ações da professora ao imaginar possíveis situações de ensino. Ao trabalhar com um aluno, a professora procura elucidar o conhecimento matemático do aluno e modificar esse conhecimento. O conhecimento matemático do aluno é comunicado à professora na forma de ações ou verbalizações (uma forma de ação). Ao refletir sobre as ações dos alunos, a professora pode desenvolver uma hipótese sobre suas construções passadas e presentes. O modelo construído pela professora sobre a Matemática do aluno depende de inferências tiradas pelo professor através do processo de interação social e é altamente influenciado pelo conhecimento matemático do próprio professor (Kieren. 199-).

Professores construtivistas são participantes na vida matemática de seus alunos, e assim, estão envolvidos em ativamente aprender sobre a Matemática de seus alunos. Como aprendizes da Matemática de seus alunos, os professores enfrentam momentos de perturbações e desequilíbrio, conforme proposto por Piaget. Esses momentos ocorrem quando as hipóteses do professor são contrariadas pelas ações de seus alunos. Em outras palavras, a criança age de forma inesperada pelo professor. Uma resolução parcial dessas perturbações resulta em novas ações pelo professor, conforme reformula suas hipóteses e as testa em novas situações de ensino.

O seguinte protocolo serve para ilustrar a modificação da hipótese de uma professora durante um episódio de ensino. A professora, Deborah, trabalhou com Pamela e Raimundo durante dois anos. As duas crianças, no momento deste episódio, estavam na quarta série do ensino primário.

Episódios de ensino, dentro do Projeto de Frações, ocorriam durante uma hora por semana, fora das atividades normais da sala de aula. Neste episódio, Deborah coloca um problema para Pamela resolver que reflete uma hipótese inicial: as dificuldades destas crianças com o trabalho de frações. Esse episódio de ensino foi dedicado a ajudar as crianças a trabalharem com linguagem de frações para expressar dadas situações e a relação entre varetas de diversos tamanhos. A maneira de descrever as varetas foi desenvolvida junto às crianças em episódios anteriores. As crianças criam uma vareta que serve de unidade e constroem outras varetas de diversos tamanhos, identificando-as pelo número de varelas-unidadc utilizadas na sua construção. Por exemplo, a varcta-6 é uma vareta construída repetindo a vareta-unidade seis vezes e juntando os seis pedaços.

Protocolo 1 (7:20-11:20; 29/10/92)

D: O que você teria se juntasse duas varetas-6? P: Uma vareta-12. D: Você pode me construir uma vareta-12 usando duas varetas-6? (Pamela constrói a vareta-12 copiando e juntando duas varetas-6. Deborah pinta uma das partes). D: Esta parte é minha e esta é sua. Qual nome você daria à sua parte? P: Um meio. D: Ok. O que resulta se você juntar três varetas-6? P:9. D: Ok. Faça a vareta-9. (Pamela constrói a vareta-9). D: Esta é minha parte, ou melhor, a parte roxa é sua parte, a rosa é minha, a azul é do doutor Steffe. Que nome você daria à sua parte? P: Um terço. D: Que nome daria à minha parte? P: Não sei. D: Quanto eu tenho? P: Um terço. D: Quanto você tem? P: Um terço. D: Quanto temos juntas? P: Dois terços.


Durante todo o episódio, Deborah enfatizou o uso da linguagem de frações corn as crianças. Ao mesmo tempo, Deborah procurou ligara linguagem de frações à linguagem natural das crianças, conforme mostra o protocolo 2, que é continuação do protocolo 1.

Deborah pergunta à Pamela o que obteriam se juntassem quatro varetas-2. Pamela diz "uma vareta-8". Deborah procede pedindo à Pamela que faça essa vareta, o que ela faz em seguida. Após algumas outras perguntas. que não apresentam dificuldades para Pamela, o seguinte diálogo ocorre:

Protocolo 2 (11:10-14:04; 29/10/92)

D: Se juntarmos três partes quanto teremos? (apontando para três quartos da vareta-8) P: Um terço. D: Por quê? P: São três das quatro partes. D: Qual o tamanho? P: Três dos dois. D: E quanto é três dos dois? P: Um quatro e um dois, que é um terço. D: Quanto é um quatro e um dois juntos? P: Um oito, quer dizer um seis. D: Então, temos seis partes das oito partes.

Pamela parece estar atenta às três partes e procurando dar nome a uma das partes. O diálogo entre as duas levou Deborah a questionar sua hipótese de trabalho. Deborah formou uma nova hipótese de trabalho, baseada nos comentários de Pamela, que o tamanho de cada uma das quatro peças (duas varetas-unidades) confundiu a situação para Pamela. Pamela formou, de fato, quatro partes de tamanho dois e daí se referiu a três das quatro partes. Temos duas conjecturas procurando explicar por que ela chamou de "três das quatro partes" de um terço, e depois se

referiu a "três dos dois" como um quatro e um dois. Primeiro, ela pode ter passado a considerar o inteiro como "três dos dois", ao invés de considerá-lo oito. Segundo, ela pode ter criado três novas unidades — uma de valor quatro e outras duas de valor dois, e chamado uma das partes de um terço. De qualquer forma, a situação levou-a a utilizar o termo um terço.

Deborah. por sua vez. na procura de uma explicação do que Pamela pensava, procurou utilizara perspectiva de Pamela de uma parte de valor quatro e outra de valor dois para tentar redefinir a situação para Pamela c apontar para o uso de seis oitavos, porém sem sucesso. Pamela estava convencida durante essa interação que as três peças eram de fato um terço da vareta-8 e isso criou uma perturbação para Deborah, pois não havia uma explicação baseada na sua hipótese de trabalho de que a raiz da dificuldade de Pamela estava na linguagem de frações. Pamela já havia demonstrado que podia utilizar o termo três quartos para se referir a três de quatro partes iguais. Apesar de a pergunta sobre o uso de linguagem, a hipótese de trabalho de Deborah durante vários episódios, estar dando direção a todo seu trabalho com as crianças, ela não perde de perspectiva a hipótese mais geral do projeto, de que esquemas de trabalho com frações são modificações de esquemas de trabalho com números inteiros. Os esquemas de trabalho com números reais das crianças oferecem uma janela para compreendermos seu conhecimento matemático, e era o objetivo do projeto basear nossos episódios de ensino naquilo que vinha sendo revelado por essa janela.

Comunicação

Existem muitas formas de comunicação verbais e não-verbais, que ocorrem durante um episódio de ensino. Essas formas de comunicação são de onde professores extraem sua informação levando aos modelos da


Matemática das crianças. Comunicação como ação produz perturbações para o professor e muitas vezes para o aluno também. Referimo-nos aqui ao trabalho de D'Ambrósio (1991) no qual ele descreve comunicação como uma "ação comum". Durante uma interação social ocorrem muitas formas de ação dos participantes. Algumas são intencionais e dirigidas aos indivíduos envolvidos na interação. Outras formas não são intencionais, porém transmitem muita informação e mensagens. Por exemplo. uma criança que senta e pensa em silêncio sobre um problema durante um episódio de ensino pode não ter como objetivo transmitir que está envolvido com o problema, mas o professor pode imaginar o que o aluno está pensando e antecipar um resultado. Apesar de não-verbal, há um tipo de ação comum entre o professor e o aluno, pelo menos no que se refere ao fato de que a situação colocada pelo professor foi aceita pela criança como um problema. Um "bom professor" muitas vezes infere o que pensa a criança e sente harmonia com o pensamento da criança. Outro exemplo seria o caso da criança que exibe ações ao resolver situações propostas. Nestes casos, o professor pode imaginar o sentido da ação para o aluno e por que o aluno demonstrou aquela ação e não alguma outra. O professor pode colocar outra situação que reflete suas hipóteses procurando explicar a necessidade de a criança agir daquela forma.

Uma ação verbal ou não-verbal transmite significado e mensagens somente quanto outro indivíduo se empenha em interpretá-la. Essas são as situações em que D'Ambrósio considera haver uma ação comum. As ações podem não ser idênticas, mas há uma forma de compreensão mútua. Infelizmente, pouco do que ocorre numa sala de aula de Matemática pode ser considerado ação comum, ou seja, comunicação. Em muitos caso; as ações verbais e não-verbais dos professores não são ouvidas e muito menos interpretadas pelos alunos. Semelhantemente, as ações e verbalizações das crianças nâo são procuradas, usadas, interpretadas ou sequer fazem parte de uma interação social.

A compreensão do que vem a ser ensino construtivista envolve compreender o processo de comunicação. Alunos (e professores) criam significados durante uma comunicação baseados em um repertório de ações comuns e histórias pessoais. Interpretação e significado estão ligados também às experiências comuns e histórias comuns dentre os participantes no processo de comunicação. Neste sentido, o professor construtivista vai além das observações e se torna um participante ativo e intérprete dos episódios de ensino. A compreensão da história das experiências comuns entre o professor e os alunos é crítica na interpretação da comunicação entre eles.

Gostaríamos de enfatizar o uso da ação como uma forma de comunicação que não requer linguagem. Em vários momentos do Projeto de Frações. tivemos evidência da fluência de ações das crianças refletindo sua compreensão de um problema, sem que a criança pudesse utilizar linguagem para explicar suas ações. No seguinte protocolo. Pamela resolve um problema proposto por Deborah. mas é incapaz de articular claramente sua estratégia de solução ou a razão por trás dos passos para a solução. Deborah usa a voz de Pamela para tentar ajudar Raimundo a compreender a situação, mas no final ele continua sem entender a solução.

Protocolo 3

D: A vareta-8 é dois terços de que vareta? P: 16. É dois terços... (pensa um pouco e responde) 12. D: (Espera alguns momentos para que Raimundo tenha uma oportunidade para pensar. Como ele hesita, Deborah sugere que ele coloque a vareta-8 na tela). R: (Coloca a vareta-8 na tela). D: Essa vareta é dois terços de alguma outra. R: Não sei. D: Pamela, você pode nos explicar como determinou o valor 12?


P: Bem, quatro mais quatro é 8. D: E o que isso nos indica? P: (Pensa um pouco). Não sei. D: Se a vareta-8 é dois terços, quanto vale a vareta-4? P: Se a vareta-8 é dois terços, quanto vale a vareta-4? Um terço? D: É. Isso faz sentido, Raimundo? P: Você tem dois quatros e mais um três.

Pamela assimilou a situação proposta por Deborah utilizando seus esquemas de operações corn frações. Pamela está consciente do que ela fez ("Bem, quatro mais quatro é 8") mas não consegue analisar suas ações ("E o que isso nos indica?" "Não sei"). Ela não consegue verbalizar por que está correta, ou seja. a estrutura de suas ações estão corretas. Alguns diriam que a solução foi intuitiva. Nós diremos que ela não tem consciência da necessidade lógica interna de suas operações. Porém, Deborah, através de suas observações pode inferir que Pamela construiu, de fato, uma solução para o problema proposto.

Neste exemplo de fluência de ação, nós acreditamos que Pamela está consciente do resultado de suas operações, mas não de como ela operou para produzir o resultado. Neste caso, não poderia ter havido fluência no seu uso de linguagem para se referir àquelas ações. Mais ainda, Raimundo não consegue se envolver em comunicação com Pamela. Com certeza, ele interpretou o comentário de Pamela ("você tem dois quatros e mais um é três") utilizando seus esquemas operatórios, porém os esquemas não eram os necessários para levar à sua compreensão do que Pamela fez. Ele ainda não havia produzido sua própria solução que lhe permitiria interpretar as operações de Pamela e compará-las à sua solução.

Natureza das atividades

As atividades constituem um meio de realizar ações e geram ação em comum. Num episódio de ensino construtivista, atividades servem de

meio para instigar ações e conseqüentemente comunicação, já que abrem caminhos para crianças e professores comunicarem. Uma professora construtivista modela as atividades baseando-se no seu modelo da Matemática das crianças.

As atividades utilizadas no Projeto de Frações foram criadas para atingir vários objetivos. Primeiro, servem para revelara Matemática das crianças. Conforme as crianças se envolvem nas atividades propostas pela professora, a professora pode observar e refletir sobre as ações da criança e as suas. Conforme a professora se comunica com as crianças dentro do espaço gerado pelo micromundo, ela gera e reformula hipóteses sobre a Matemática das crianças. Novas atividades são formuladas para testar as hipóteses. Segundo, as atividades servem para testar a potencial zona de construção do aluno. A potencial zona de construção é uma hipótese de trabalho tida pela professora que indica o que ela acredita que a criança possa construir, dentro de seu modelo da Matemática da criança. O seguinte protocolo demonstra a idéia de Deborah de uma atividade que ela acreditava estar dentro da potencial zona de construção de Raimundo. (Nota: Pamela já havia resolvido uma atividade semelhante independentemente.)

Protocolo 4 (5:35-11:19; 12/11/92)

D: Eu vou fazer uma vareta que é dois terços de outra vareta (Deborah desenha uma vareta-6 na tela). Qual o tamanho da vareta maior? P: 18? D: Essa (aponta à vareta na tela) é dois terços de uma maior. De que tamanho é a vareta maior? P e R: (Pensam por um tempo). P: Repita por favor. D: Essa vareta-6 é dois terços de alguma outra vareta. Essa é dois terços de qual vareta? Raimundo você tem alguma idéia?


R: Uma vareta com 18 pequenas partes... (aparentemente está usando o comentário inicial de Pamela). D: De uma vareta-18? R:É. D: Por quê? R: Porque... (hesita e não responde). D: Se esse é dois terços você pode me dizer o que é um terço? P: É... (aponta para a vareta-3). D: Você pode me mostrar construindo a vareta na tela? P: (Pamela coloca a vareta-3 do lado da vareta-6). D: Você concorda Raimundo? Se a vareta cor-de-rosa é dois terços, então a vareta amarela é um terço? R: (Raimundo coloca a vareta amarela em cima da rosa e diz): Não, isso faz somente dois. Você teria que juntar outra (passa a vareta amarela para a ponta). Daí daria certo. D: O que você obteria se juntasse a amarela nessa ponta? R: Hummm. Obteria uma vareta... o que será que seria? D: Pamela, diga-nos por que a vareta-3 é um terço, quando a vareta-6 é dois terços? P: Porque 6, 3 vezes 2 é 6, então dois 3 são seis. D: Raimundo, isso faz sentido?

Deborah procede para explicar, mas Raimundo comunica, através de expressões corporais e verbais, que não está entendendo. Pamela, por outro lado, podia verbalizar sua solução apesar de não muito fluentemente.

Há claramente dissonância entre o par de alunos. Enquanto Pamela parece capaz de resolver a situação, Raimundo não consegue. A inabilidade de Raimundo de resolver a situação inicialmente produziu um conflito para Deborah. Sua pergunta "se esse é dois terço você pode me dizer o que é um terço?" foi uma tentativa de modificar a situação na procura de uma atividade dentro da potencial zona de construção de Raimundo. A dificuldade de Raimundo mesmo com essa nova situação levou Deborah a formular um modelo de trabalho muito mais explícito da compreensão de Raimundo sobre frações. Os esquemas de operações de Raimundo pareciam irreversíveis, enquanto Pamela parecia ter esquemas reversíveis.

Qualquer modelo de trabalho representa uma hipótese, portanto, através de uma análise retrospectiva, Deborah planejou outra modificação nas atividades para acomodar as dificuldades de Raimundo. O protocolo demonstra que ela não está totalmente convencida de que os esquemas de Raimundo são de fato irreversíveis.

Protocolo 5 (13:25-16:07; 17/11/92)

D: Qual vareta poderíamos repetir três vezes para obter a vareta-18? R: 3 vezes 6 (desenha três varetas-6). D: Então, essa é uma vareta-18. Se você pintar uma das partes o que teria pintado? R: Hummm (hesita)... um terço. D: E se você pintasse as duas primeiras partes? R: Dois terços. D: Qual o tamanho de dois terços comparado com um terço? R: É o dobro. D: Então, se eu lhe desse uma vareta e lhe dissesse que é um terço de alguma outra, você poderia construir dois terços? R: Sim, é só fazer outra aqui. D: Então, faça. R: (Resolve corretamente). D: E se eu invertesse a pergunta. E se eu desse uma vareta de dois terços e pedisse para você construir uma de um terço? R: Ah, eu tiraria duas partes. (Na tela há uma vareta decomposta em 3 parte iguais. Raimundo modifica o problema para um que ele já superou e mostra um terço numa figura onde constam três terços). D: Ok. (Apaga toda a tela e desenha uma nova vareta, sem nenhuma subdivisão). E se eu dissesse que essa é dois terços, como você construiria um terço? R: Eu dividiria em três partes. D: Três? R: É. Para obter terços.


Raimundo, apesar das modificações feitas por Deborah, ainda não raciocina de forma reversível. Ele não parece capaz de construir o inteiro, dada a parte fracionária. Apesar de ele resolver com sucesso a situação em que Deborah pede para que ele utilize uma fração unitária para reconstruir o inteiro reiterando o pedaço dado, ele parece incapaz de partir de uma fração não unitária, construir a fração unitária e reconstruir o inteiro. Neste momento. Deborah se convence de que a situação permanecerá sem solução para Raimundo, pelo menos temporariamente. Seu próximo passo é de procurar explicar por que isso ocorre, o que refinaria ainda mais seu modelo dos esquemas de frações de Raimundo. Note que não é suficiente dizer que seus esquemas são irreversíveis na formulação do modelo. É preciso ir além e especificar as operações constitutivas de seus esquemas e o nível de abstração em que elas parecem operar, o que está além do objetivo deste trabalho (cf. Steffe. Cobb, 1988. para um exemplo do tipo de explanação a que nos referimos). Usamos aqui os protocolos para obter algum insight sobre o que consideramos importantes características do ensino construtivista.

Comentários finais

Concordamos com Edith Ackermann (199-) quando ela comenta que "eu acredito que o ensino construtivista seja um elo difícil de entender" (tradução nossa).

A essência do dilema do professor reside na seguinte questão:

Como um professor pode vir a dar razão ao aluno (Duckworth, 1987) apreciando a novidade e consistência do seu pensamento, ao mesmo tempo, dando razão aos especialistas cujo pensamento coincide com as mais avançadas idéias na área (Ackermann, tradução nossa).

Esse dilema é parcialmente resolvido com a realização explícita de que é o professor que dá razão ao pensamento do aluno. Ou seja, dentro da perspectiva do professor, a Matemática do aluno é construída dos

elementos perceptuais do professor. Nós entendemos a Matemática do aluno como um sistema conceituai tido pelo professor que, quando aplicado a um aluno particular (ou a alunos particulares), forma uma explanação da Matemática daquele aluno (ou alunos). A compreensão deste fato é importante para reconsiderarmos o dilema proposto por Ackermann.

Nós aceitamos que nossos alunos possuem conhecimento matemático próprios que são diferentes do nosso conhecimento matemático. Porém. o melhor que podemos fazer é formular um modelo do seu conhecimento baseado nos nossos elementos perceptuais. Não podemos conhecê-lo independentemente de nosso modo de conhecer e entender. O modelo não existe para nós a não ser que nós o construamos, e essa construção implica que vemos certos alunos de certa forma dentro de determinado contexto.

O que diferencia nosso conhecimento da Matemática do aluno de nosso próprio conhecimento? Se um aluno resolvesse qualquer problema de fração que lhe pudéssemos colocar, não haveria motivo para fazer uma distinção entre o conhecimento do aluno sobre frações e o nosso conhecimento. As limitações, como as dos protocolos 2 e 5 que vivenciamos como professores ao interagir com alunos nos forçam a fazer uma distinção. Encontramos limitações desse tipo. conforme os alunos procuram resolver atividades que lhes propomos sem nossa intervenção. Não saberíamos, porém, que essas limitações são necessárias sem tentar neutralizar as perturbações que encontramos quando os alunos não conseguem resolver situações que lhes propomos. Modificamos as situações, pedimos aos alunos que expliquem o seu modo de pensar a outros alunos, e criamos novas situações de ensino. Essas intervenções nos servem para tentar modificar os esquemas de ação e operação dos alunos. Como professores construtivistas, temos que nos relembrar que são os alunos que devem fazer as modificações em seus esquemas, independentemente de nossas ações. De certa forma, nós, professores. resolvemos os nossos problemas somente a partir do momento que os alunos resolvem os deles.


Tentar ajudar o aluno a se ajudar é muito mais complicado do que lhes dizer o que devem fazer, o que consideramos extremamente contraprodutivo. Apesar de não termos adequadamente ilustrado este trabalho, durante os episódios de ensino, procuramos organizar as atividades propostas aos alunos de forma que se encontrem na "beirada" do conhecimento do aluno. Organizamo-las também de forma que possam contribuir para modificações nos esquemas dos alunos. Consideramos nosso conhecimento inacessível aos nossos alunos, portanto é nossa responsabilidade aprender como agir como professores para estabelecer um meio em que haja comunicação. Neste sentido, queremos reconsiderar o dilema de Ackermann.

A essência do dilema do professor reside na seguinte questão:

Como um professor pode vir a dar razão ao um aluno, apreciando a novidade e consistência do seu pensamento, dando, ao mesmo tempo, razão ao seu próprio conhecimento matemático?

Apesar de todo o trabalho já existente que procura especificar a Matemática de alunos, esta não está pronta para nenhum professor. Há benefícios em ler trabalhos e comunicar com outros sobre formulações da Matemática de alunos. Porém, é essencial que cada professor interaja com seus alunos de forma a aprender o seu modo e meios de operar e conhecer. Um sistema conceituai que temos chamado de Matemática do aluno tem que ser construído através da interação com o aluno. O professor que procura determinar tudo o que pode sobre o pensamento matemático de seus alunos pode ser chamado de professor construtivista, e o tipo de atividades que ele utiliza para esse fim de ensino construtivista. Para nós, o dilema, mesmo modificado, desaparece quando a Matemática do aluno é considerada uma Matemática legítima.

No ensino construtivista trabalhamos sob a proposta de que a Matemática é o resultado de operações mentais. Como taí, a Matemática não pode ser vista como uma disciplina elitista reservada apenas a alunos talentosos.

Matemática deve ser considerada uma atividade humana, como a linguagem ou a música. O objetivo do ensino construtivista é de compreender essa atividade e os seus resultados.


ACKERMANN. E. Construction and transference of meaning through form. In: STEFFE, L.P, GALE, J. (Eds.). Constructivism in education. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, [199-].

COBB, P, STEFFE. LP. The construetivism researcher as teacher and model builder. Journal for Research in Mathematics Education, n. 14, p. 84-94, 1983.

CONFREY, J. What construetivism implies for teaching. In DAVIS, R. B.. BAKER. CA., NODDINGS. N. (Eds). Construetivism views on the teaching and learning of mathematics. Journal of Research in Mathematics Education, Reston, p. 107-122, 1990. Monografia n.4.

D'AMBRÓSIO, U. Several dimensions of science education: a Latin American perspective. Santiago: REDUC, 1991.

D'AMBRÓSIO. B., MEWBORN, D. Children's construction of frac-tions and their implications for classroon instruction. Journal of Research in Childhood Education, [199-].

DUCKWORTH, E. The having of wonderful ideas, and other essays on teaching and learning. New York: Teachers College Press, 1987.

GLASERSFELD, E. von. The construction of knowledge: contributions to conceptual semanties. Seaside, CA: Intersystem, 1987.


JAN VIER, C. Constructivism and its consequences for training teachers. In: STEFFE, L.P., NASHER, P. (Eds.). Theoriei of Mathematics learning. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, [199-].

KIEREN, T. Orthogonal refletetions on computer microworlds, constructivism, play. and mati.omatical understanding. Journal of Research in Childhood Educatifi, [199-].

KILPATRICK, J. What constructivism might be in mathematics education. In: ANNUAL MEETING OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 11, 1987. Montreal. Proceedings. Montreal, 1987. p.3-27.

KONOLD, C. Social and cultural dimensions of knowledge and classroom teaching. In: STEFFE. L P , GALE, J. (Eds.). Constructivism in education. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, [199-].

SIMON, M. Assessing teachers development of a constructivist view of learning. Teaching and Teacher Education, n.8, p. 187-197, 1992.

. Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal for Research in Mathematics Education, [199-].

STEFFE, L.P, TZUR. R. Interaction and children's Mathematics. Journal of Research in Childhood Education, [199-].

STEFFE, L.P. COBB, P Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer, 1988.

STEIR. F. From universing to conversing: an ecological constructionist approach to learning and multiple description. In: STEFFE. L.P, GALE. J. (Eds.). Constructivism in education. Hillsdale, NJ: Lawrence Earlbaum, [199-]


EVOLUÇÃO DA RELAÇÃO COM O SABER EM MATEMÁTICA NA ESCOLA PRIMÁRIA: uma crônica sobre cálculo mental

Régine Douady*

Introdução

Neste artigo, interessa-me a relação entre o que o professor se propõe a ensinar em Matemática e o que os alunos aos quais ele se dirige são suscetíveis de aprender de fato. As palavras ensinar, aprender, saber podem acobertar diferentes sentidos. Definirei o sentido que dou a elas.

Todavia, acima das escolhas de ensino, coloca-se uma questão crucial. de ordem sociológica, mas que condiciona o direcionamento das ações didáticas que se queira empreender.

Qual é o lugar do saber na escola para o ensino, para os alunos? Ele é subordinado a relação didática?

Na vida real, todos sabem que a resposta a essas questões é complexa e não pode ser expressa em "tudo ou nada" ou em "sim, não". Todavia no que se segue, optei por identificar e apresentar os diferentes casos segundo a tendência principal.

Na primeira parte, examino os efeitos sobre as escolhas e decisões dos professores, segundo seja ou não o saber matemático, o principal objetivo da relação didática. Na segunda parte, descrevo um exemplo de realização didática no decorrer da qual o sentido da escola, em particular a relação com o saber matemático, evolui nos alunos.

" Da Universidade de Paris 7.

O saber matemático na relação didática

O que é saber matemática? O que é aprender?

Quando um professor e os alunos se encontram em uma classe, a regra determina que o professor esteja lá para ensinar um certo saber e os alunos, para aprender esse mesmo conhecimento.

Definirei abaixo o sentido que dou as palavras "saber, ensinar, aprender".

Saber Matemática apresenta um duplo aspecto. Por um lado. é ter a disponibilidade funcional de certas noções e teoremas matemáticos para resolver problemas, interpretar novas questões... Em tal sistema científico. as noções e teoremas matemáticos desempenham o papel de ferramenta. As ferramentas inserem-se em um contexto, sob a ação e o controle de alguém (ou de um grupo) em um dado momento.

As situações, ou os problemas nos quais as noções matemáticas evoluem, são geradoras de sentidos para essas noções de um certo ponto de vista que chamaremos semântico. São também geradoras de relações que podem ser parcialmente externas à Matemática ou então completamente internas a ela. Saber Matemática é também identificar noções e teoremas como elementos de um corpus reconhecido científico e socialmente. É também formular definições, enunciar teoremas do corpus e demonstrá-los. Digo então que as noções e teoremas matemáticos relacionados desempenham o papel de objeto. Eles são descontextualizados, despersonalizados (mesmo que sejam designados por um nome próprio) e atemporais.

O trabalho de descontextualização e despersonalização tem participação na capitalização do saber. O trabalho de recontextualização e o tratamento dos problemas que daí decorrem permitem que o sentido se amplie. Isso não impede a capitalização de práticas ou de conhecimentos particulares e até mesmo provisórios.


As noções, bem como os teoremas, podem ser trabalhadas, modificadas segundo as situações, onde são solicitadas resultando em novas noções, matéria, por sua vez, de trabalho, interpretação, modificação, generalização, etc. Para os teoremas, podemos explorar o domínio de validades: imaginar variantes, demonstrá-las, ou ao contrário, construir contra-exemplos para certificar de que não são possíveis... Em todos os casos, somos levados a relacionar noções diferentes. Essas relações são fonte de sentido para os que as realizam.

Esse trabalho matemático pode ser feito, tanto sobre as ferramentas, no âmbito de um problema, como sobre os objetos para ampliar seu escopo, sem finalidade precisa, ou por preocupação estética. Ele deve respeitar um conjunto de regras internas à Matemática e diferentes modos de expressão. Trata-se de um outro componente do sentido, que chamaremos sintático.

Ensinar, para um professor, é criar as condições que levarão conhecimento aos alunos.

Aprender, para um aluno, é envolver-se em uma atividade intelectual cuja conseqüência final seja a disponibilidade de um saber com seu duplo papel de ferramenta e objeto. Para que haja ensino e aprendizagem, é preciso, portanto, que o conhecimento seja um objeto importante, e mesmo essencial, de troca entre o professor e seus alunos, que o saber seja uma finalidade importante da escola.

A realidade pode efetivamente ser essa, e o trabalho do professor consiste então em escolher cenários e representações do saber aceitáveis pelos alunos e eficazes em relação ao objetivo de aprendizagem. São possíveis diversas modalidades que podem necessitar de conhecimentos e competências internas ou externas à Matemática e também da organização de comportamentos sociais e mesmo morais por um trabalho talvez externo à Matemática.

Mas a realidade também pode ser bem diferente. O saber pode ser um valor para o professor, mas absolutamente não o ser para um certo número de alunos ou, ao contrário, ser um valor para certos alunos e não para o professor. Então, dois elementos influenciarão as decisões do professor e, em todos os casos, modularão suas expectativas:

1) O que representa para tais alunos o fato de ir a escola, o que eles esperam da escola? O que é aprender?

2) Qual é a proporção de alunos da classe para a qual o saber não é um valor da escola?

Em uma mesma classe, pode acontecer que alguns venham à escola para adquirir conhecimentos, enquanto outros procuram passar de ano cm ano e ir o mais longe possível para ter um bom oficio. Outros vêm à aula para aprender a viver, a se socializar, a se virar na vida. Pouco importa que se ensine Matemática ou qualquer outra coisa. A disciplina é o suporte da comunicação com o professor, que visa responder à sua demanda, e aliás, ao menor custo (Charlot, Bautier. 1993).

Deve-se notar, paradoxalmente, em relação às idéias recebidas, que a Matemática pode ser um domínio paradigmático da comunicação com a escola. Temos como referência para isso os trabalhos de B. Charlot e E. Bautier (1993) nos quais a Matemática é espontaneamente tomada como base pelos alunos interrogados para descrever sua relação corn a escola. Minha hipótese é que isso se justifica se ela representar a oportunidade de um imenso desafio intelectual compreendido como tal para aqueles aos quais ela se destina.

Todavia, quaisquer que sejam as intenções quando se chega à escola, cada aluno vai mais ou menos triunfar ou fracassar em seu projeto. De outro lado, conforme a história pessoal do professor, seu próprio conhecimento da Matemática, sua concepção do aprendizado da Matemática, sua vontade de convencer e a força dos condicionantes aos quais está sujeito, ele tentará defender e fazer prevalecer suas convicções ou, ao contrário, tentará apenas sobreviver. E, às vezes, isso já não será tão mau!


Assim, são oferecidas duas possibilidades ao professor que ele poderá usar efetivamente ou que poderá modular, conforme as circunstâncias:

— manter sua exigência sobre o saber como objetivo de sua relação com os alunos ou

— renunciar. É a situação que consideraremos no parágrafo seguinte.

O saber matemático não é um valor nem para o professor nem para os alunos

Neste caso. para que o professor possa exercer seu ofício de professor e para que os alunos desempenhem seu ofício de alunos, a classe é condenada a viver uma ficção didática: o professor "ensinará" alguma coisa e os alunos "aprenderão" alguma coisa. Estes serão avaliados e terão notas aceitáveis em nível global.

Mas onde está a Matemática? O que pode fazer o professor? Uma resposta usual é a seguinte: propor aos alunos a execução de tarefas, que são parceladas em subtarefas algoritmizadas segundo as necessidades dos alunos, até que uma porcentagem aceitável de alunos da classe tenha respondido de modo satisfatório.

A conseqüência de tal escolha é que o sentido da atividade matemática é sacrificado. Os alunos não dispõem de nenhum outro meio para controlar sua produção a não ser o de refazer o trabalho nos mesmos termos. A experiência dos professores é a de que tal controle é pouco confiável. Aliás a própria questão da legitimidade do controle é colocada. Corrigir é trabalho do professor. O aspecto mágico se sobrepõe ao aspecto racional. A memória é cada vez mais solicitada, mas há pouca possibilidade de estruturá-la. O recurso aos exercícios repetitivos é incontornável. Os alunos compreendem cada vez menos por que são obrigados a aprender Matemática. Nessas condições, será necessário parcelar e algoritmizar cada vez mais. Mas o professor poderá avançar seu programa, e desde

que escolha bem as provas de avaliação — pequenas questões conformes aos hábitos — muitos alunos poderão passar à classe superior. Para o professor e os alunos, a sobrevivência está assegurada.

Resta o destino dos alunos que recusam esse jogo ou o dos que não têm sucesso, apesar da boa vontade.

O saber matemático é um valor para o professor, mas não para os alunos

Aqui. ainda, apresentam-se duas eventualidades, ao menos no inicio do ano escolar:

— o professor aceita entrar na lógica dos alunos, pelo menos provisoriamente, e se dedica progressivamente a fazer o contrato evoluir;

— o professor logo entra em conflito com os alunos.

Para o professor, trata-se de obter uma modificação da relação com a Matemática de uma maioria dos alunos da classe. Então este pode ser um desafio muito grande para o professor que se encontrará engajado, através da Matemática, em um processo de modificação da relação com a escola, da relação professor-aluno e das relações entre alunos.

Com efeito, uma modificação da relação com a Matemática implica para esses alunos uma atribuição de sentido dos conteúdos dessa disciplina e a disponibilidade de ferramentas de tratamento sob seu controle. Isso exige que esses alunos possam entrar cm uma atividade intelectual c que eles sejam convencidos que isso vale a pena. não somente de ponto de vista de sua inserção na escola, mas também de um ponto de vista social e cultural. Isso significa que o professor coloca seus alunos em situação de terem que fazer escolhas, testar seus efeitos, coordená-las, eventualmente voltar as primeiras escolhas e fazer outras... O professor deve então se assegurar que seus alunos disponham de um mínimo de meios para fazê-lo. Isso significa, em nível de contrato, que os alunos

Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62,. abr./jun. 1994

aceitam um papel de ator e não se refugiam no simples papel de executantes. E neste contexto de aprendizagem que o jogo de devolução (Brousseau, 1990) é incontornável para o professor (Perrin-Glorian, 1993). Para Brousseau, "a devolução é o ato pelo qual o professor faz o aluno aceitar a responsabilidade de uma situação de aprendizagem (não-didática) ou de um problema e ele próprio aceita as conseqüências dessa transferência". Isso quer também dizer que o professor reconhece o esforço dos alunos e os legitima, mesmo se eles não forem coroados de sucesso. Isso quer dizer que ele inscreve os esforços de cada um em um contexto coletivo, onde os impasses analisados de uns são indicações de escolhas melhores para outros e, por isso mesmo, suscetíveis de serem produtivos.

É importante considerar logo no início e durante vários anos a necessária interação entre atribuição de sentido e capitalização do saber. M. J. Perrin-Glorian trabalhou particularmente nessa questão com alunos de meio popular em dificuldade. Digamos, por enquanto, tratar-se de uma situação difícil de gerenciar e fazer com que alunos, que se habituaram a recusar o jogo matemático, após anos de fracassos, progridam.

Então o professor pode tentar trabalhar com sua dimensão afetiva. Isso funcionará, talvez um momento, talvez um ano, com maior ou menor felicidade conforme a idade dos alunos, mas não há estabilidade suficiente para assegurar a construção de uma massa crítica de conhecimentos necessária para desencadear uma nova relação com a Matemática.

A tentação é grande para o professor de renunciar ao conhecimento e se voltar para uma aprendizagem de técnicas e algoritmos mais ou menos bem memorizados, mas que mais distanciam os alunos do que poderia fazer sentido para eles.

O saber matemático é um valor para certos alunos, mas não para o professor

Não esqueçamos o risco de decepcionar alunos que vêm à escola aprender alguma coisa, que estão interessados pela Matemática, quando é o objeto

do ensino. Esses alunos podem então rejeitar não só o curso de Matemática mas também a escola, se sentirem implicitamente que ela não cumpre a sua função. Eles podem ir procurar o conhecimento ou outros centros de interesse em outro lugar, se tiverem possibilidade, indo para melhor ou para pior, ou entrar em conflito com os professores. Esta situação não é utópica. Ela é encontrada em classes muito heterogêneas. E aí, mesmo se um professor puder detectar a dificuldade, ele não tem sozinho controle da situação.

O saber matemático é um valor tanto para o professor como para os alunos

É a situação favorável do ponto de vista da Matemática. Todavia, a elaboração do sentido não implica necessariamente a capitalização do saber. Sob certas condições, ela favorece sua estruturação, condição para sua memorização. É todo o trabalho que deve ser concebido para essa finalidade.

Campos conceituais (Vergnaud, 1991), teoria das situações (Brousseau, 1987 e 1990), dialética ferramenta-objeto. jogos de quadros e janelas conceituais (Douady, 1984,1986 e 1992), representações metacognitivas (Robert, Robinet, 1989) são ferramentas para compreender e/ou organizar a relação com o saber matemático dos diferentes atores do sistema didático e ajudar os alunos em seu esforço para conceitualizar o real.

Claro que numerosas questões didáticas ficam abertas, e os problemas de adequação entre o que é ensinado, de um lado, e o que é efetivamente aprendido, de outro, estão longe de estarem bem resolvidos. Isso leva a que se considere com modéstia e otimismo os estudos realizados e os resultados obtidos.


Um exemplo de evolução da relação com o saber — cálculo mental no CM2: uma crônica

As circunstâncias

A história passa-se em uma escola bem nova de subúrbio, em um grupo de grandes prédios novos de habitação popular que abrigavam prioritariamente grandes famílias em situação social e econômica difícil.

O professor é recém-nomeado para essa escola. Mas é um professor experiente e um membro de nossa equipe de pesquisa em didática da Matemática na escola elementar há vários anos.

Ele toma contato com sua nova classe em setembro e se dirige a seus 24 alunos conforme seus hábitos. Ele percebe rapidamente que 11 dos 24 alunos não conseguem ler um texto relativamente simples, eles não desenvolveram o princípio da articulação das sílabas. Eles têm as mesmas dificuldades para escrever. Nessas condições, como fazer Matemática?

Um bom ponto de partida possível: o cálculo mental. Trata-se de uma atividade matemática que evoca essencialmente o pensar, cujas sessões são, em geral, curtas e periódicas (diariamente, cerca de 10 minutos). Com efeito, é um verdadeiro processo, que evolui com o tempo. Sua expressão é principalmente oral com uma parte bem pequena para o escrito, ao qual se poderia renunciar no começo do processo em casos particulares. É, aliás, uma boa via de acesso para a escrita, como veremos mais tarde. O professor tem uma boa experiência como método que contribui a conceitualização dos números e de suas propriedades operatórias. É um caminho que nos parece perfeitamente adaptado as dificuldades da classe, esperançosa da experiência que temos.

O método previsto

— O mestre propõe oralmente uma operação a fazer.

—Os alunos escutam e memorizam a questão. Eles efetuam mentalmente a operação.

— A um sinal do professor, eles escrevem a resposta em suas lousas, depois a levantam para que o professor possa ler a resposta de todos. Algumas são corretas, outras erradas. E a situação padrão.

— O professor interroga, visando à participação de todos, vários alunos (tanto entre as respostas certas como nas erradas) sobre o procedimento de cálculo.

— Todos devem ser capazes de descrever sua seqüência de cálculos. Em caso de erro, o aluno interrogado pode localizar um erro e corrigi-lo oralmente, desde que explique o que não estava certo e o porquê. Os outros alunos escutam, prontos a intervir em caso de contestação.

— O professor chama então os alunos que tenham calculado de outro modo a se manifestarem (eles levantam a mão) e explicarem seu método.

— Os alunos, de forma coletiva, durante as trocas verbais (entre alunos) conduzidas pelo professor, comparam os métodos, suas vantagens, inconvenientes, a rapidez, as possibilidades de controle.

Durante esse trabalho, muitas propriedades dos números e das operações, propriedades de ordem e compatibilidade das operações entram em jogo, explicitamente, nos usos, mas sem denominação teórica. Essas propriedades intervém como ferramenta para guiar os cálculos, fazer escolhas, justificar as respostas ou localizar incoerências. Elas desenvolvem-se a partir de práticas explícitas de cálculo e de controle de resultados. Por exemplo: "estou certo de que seu resultado é falso porque 12x11 é maior que 12x10 e ele encontra menos de 120".


Além disso, a atenção e a escuta mútuas são solicitadas e desenvolvidas bem como a memória, de maneira intensa, mas durante um tempo que, em geral, não passa de 10 ou 15 minutos.

A realização

Com efeito, esse belo programa mostrou-se falho desde a primeira etapa. Para um grande número de alunos, não fazia parte do contrato que eles deviam ouvir o professor quando este se dirigia a eles. A única relação ao professor que eles concebiam nesse momento era um relacionamento baseado na autoridade do professor e na obediência — de fato, a desobediência — dos alunos. Diante dessa situação, o professor podia escolher entre três possibilidades:

— aceitar a lógica deles e se envolver com eles em uma relação de força baseada na autoridade que lhe conferia sua posição institucional;

— tentar convencê-los, com os argumentos baseados em sua representação da escola, centro do saber, e em o que a escola poderia lhes trazer: que seria melhor para eles mudarem de lógica;

— aceitar sua lógica somente no começo e fazer escolhas didáticas adequadas para fazer evoluir a relação deles com a escola.

A primeira, possivelmente, levaria a confrontos dos quais o professor certamente sairia vencedor, mas em detrimento do saber para um bom número de alunos e uma grande fadiga nervosa para o professor. A segunda possibilidade era, por muitas razões que não exporei aqui, fadada ao fracasso. Finalmente, as decisões do professor derivarão da última possibilidade. Como se vê, não é mais uma escolha, mas a única via possível de comunicação com a maioria dos alunos.

Os objetivos

De maneira global, trata-se para o professor de trabalhar visando a um deslocamento do valor da escola para seus alunos e a uma modifição do

que implicitamente eles vêm procurar nela. A ambição do professor é fazer com que a Matemática se torne, durante os momentos institucionais reservados a essa disciplina, o objeto principal da comunicação entre os alunos e ele e o centro de interesse nas trocas entre alunos.

Trata-se, também, para os membros da equipe, de interrogar-nos sobre os fatores dos quais dependem tal deslocamento de valor, sobre a possibilidade de identificar fatores determinantes, isto é, tais que. em agindo sobre eles, modifiquemos o relacionamento com a Matemática e. em relação a isso, sobre os meios de que pode dispor um professor para agir eficazmente sobre esses fatores no sentido que ele deseja.

De modo mais preciso, os objetivos do professor são os seguintes:

— escuta e respeito na relação entre professor e alunos ou na relação entre alunos — quando o professor se dirige aos alunos ou um aluno se dirige a outros alunos, aqueles que não falam, escutam e tentam compreender o que diz aquele ou aquela que fala;

— o conteúdo das trocas é essencialmente matemático.

No exemplo que se segue, descrevemos uma seqüência de lições centradas no cálculo mental. Trata-se de trabalhar com número e operações.

A escolha das mensagens e sua classificação traduz intenções didáticas, sustentadas pela meta de deslocamento de valor para a Matemática, juntamente com a meta de aquisições de conhecimentos do lado dos alunos: conhecimentos numéricos, mas também competências no uso dos símbolos, na prática dos raciocínios, e uma certa responsabilidade da validade do que é produzido.

Os conhecimentos supostos dos alunos e que inicialmente vão ser suficientes para o professor são os nomes dos números, os nomes das operações.


Primeira mensagem ou a autoridade do professor

P (o professor): Vou propor a vocês operações e vou pedir que alguns de vocês repitam o que eu disse. Não peço para calcular ou achar um resultado, mas só para repetir exatamente.

Todo aluno pode responder ao pedido do professor, salvo se recusa o jogo da escola. Aliás, há ruído e protestos entre vários alunos.

O professor persiste e propõe:

P: 14 multiplicado por 4, Pedro; 5 multiplicado por 22, Paulo; 40 dividido por 8, Maria...

Perguntas análogas vão se renovar durante vários dias, tornando-se os enunciados cada vez um pouco mais complexos.

Neste caso, as variáveis de situação á disposição do professor são:

— Para a Matemática:

• o campo de números solicitados (entre 0 e 100 no início);

• a natureza dos números: inteiros ou não; • as operações: familiares, menos familiares; • a complexidade do enunciado (uma operação, várias operações).

— Para a gestão da classe:

• o número de alunos interrogados; • a duração da atividade em cada dia; • o número de sessões.

Segunda mensagem e mudança de contrato

P: Vou propor operações e pedirei para alguns de vocês repeti-las de outro modo. Por exemplo, para 15x3, vocês podem propor 5x3x3 ou (10+5)x3 ou qualquer outra expressão que daria o mesmo resultado se fizéssemos o cálculo, mas não fazeremos o cálculo. Não se repete duas vezes a mesma expressão. Quem for interrogado tem o direito de ser ajudado por outro aluno, se ele não tiver idéia. Os outros devem ouvir bem para dizer se podemos aceitar a expressão proposta ou não e o porquê.

Nova variável à disposição do professor: sugerir ou não aos alunos que escrevam suas proposições.

Assim, após algumas sessões sob o completo controle do professor, aqueles que possuem conhecimentos numéricos têm a ocasião de exprimi-los em um contexto relativamente pouco incômodo, mas mesmo assim limitado. Eles têm muita escolha dentro de um quadro estabelecido, e afinal, tranqüilizante. De outro lado, eles respondem a uma solicitação do professor e não se arriscam a serem tomados por "pequenos professores" e rejeitados pelos colegas menos dotados matematicamente.

Várias sessões, durante duas ou três semanas, serão consagradas a essa mensagem.

Terceira mensagem e alunos assumem a responsabilidade rumo a um novo objeto de estudo

P: Vou ainda propor operações e vou pedir para que vocês repitam de outra forma. Cada um tem o direito de propor sua resposta. A única condição é que ela não tenha ainda sido dita. Quero uma nova a cada vez.


O professor quer orientar o trabalho dos alunos, de um lado para a escrita e de outro, para o estudo explícito de propriedades dos núneros e das operações. Para isso, ele conta com uma evolução do jogo, do oral para a escrita, e com uma interação entre os dois modos. É preciso, portanto, organizar essa evolução. A análise que segue explica suas decisões.

A expressão oral é suficiente desde que a informação que os alunos devem recolher e tratar não ultrapasse sua capacidade de memória. Para que a expressão escrita seja necessária, é preciso que a expressão oral se torne deficiente, ou seja, a capacidade de memória amplamente ultrapassada. Há ao menos duas razões para isso: abranger a diversidade dos alunos e tornar inoperante um esforço de memória. Assim, para obter a evolução desejada, o professor joga com o valor da variável "número de alunos interrogados". Ele vai provocar um salto neste valor mudando a regra do jogo: todos têm o direito de propor sua resposta.

O professor conta com a familiaridade desenvolvida nesta prática de cálculo mental para obter muitas proposições.

Para que os alunos sejam efetivamente capazes de responder a expectativa do mestre, eles precisam saber escrever expressões numéricas variáveis, dentro de um campo "razoável" de números incluindo sinais operatórios e parênteses. É o objeto de uma outra parte do aprendizado que se alavanca e é desenvolvida progressivamente, em paralelo e em referência ao trabalho oral a partir da segunda mensagem e, também, a um trabalho sobre a leitura e escrita fora da Matemática.

Da parte dos alunos, a reação esperada se produz após duas ou três sessões: "não podemos nos lembrar de tudo, precisamos escrever"; "é preciso colocarmo-nos de acordo sobre as proposições que são iguais e as que são novas".

As propriedades operatórias aqui são ferramentas implícitas de classificação, expressas em termos de ações em um certo contexto. A explicitação oral pedida a cada aluno em condições de "escuta ativa" da parte dos outros tem por objetivo favorecer a despersonalização dos procedimentos e progredir na conceitualização das propriedades subjacentes.

Quarta mensagem e mudança de problemática

P: Encontrar regras para ordenar as proposições entre aquelas que se parecem e aquelas que são diferentes.

Do ponto de vista matemático, os objetos de estudos situam-se sempre no campo numérico.

Todavia, não são mais os números e as relações entre números que estão em estudo, mas as propriedades das operações.

Avaliação

A devolução do cálculo mental, tal como foi concebido pelo professor, e as interações oral/escrita levaram ao menos dois meses para se concretizarem, com 10 a 30 minutos conforme os dias, cinco dias por semana. Essa prática desenvolveu-se e enriqueceu-se em suas modalidades com a evolução dos conhecimentos dos alunos ao longo de todo o ano. Problemas cujas abordagens eram inconcebíveis puderam ser estudados; problemas de Geometria e medidas coordenados com a introdução de números decimais, por exemplo.

Conclusão

No que tange aos objetivos do professor, pode-se dizer que vários fatores se combinaram para fazer evoluir as relações sociais na classe, de um lado, e as relações com o saber, de outro.

Entre esses fatores, a atividade de cálculo mental, tal como foi vivenciada, desempenhou um papel-chave. Assinalemos um outro fator que teve um papel muito importante: a condução da classe por dois docentes em forte coordenação, especialmente no trabalho de simbolização — um professor para as disciplinas científicas e uma professora com formação


psicológica e experiência corn alunos que têm dificuldades de leitura para os outros campos disciplinares (para respeitar as regras institucionais, os dois docentes se responsabilizaram por duas classes, com a mesma divisão de tarefas).

Cálculo mental e resolução de problemas

A propósito das Perpectivas que oferece o cálculo mental, uma questão mais ampla se coloca: a da retomada no estudo de um problema das competências numéricas derivadas do cálculo mental. Observamos, no âmbito de nossas pesquisas, que a prática regular do cálculo mental, tal como foi descrito, desenvolve em quase todos alunos uma grande rapidez de cálculo. Além disso, a facilidade de certos alunos para calcular mental e rapidamente intervinha, com efeito, em várias ocasiões, quando eles se confrontavam com um problema:

— no começo do estudo, para obter informações suficientes para criar uma idéia da situação a tratar. Daremos um exemplo: dado um retângulo, encontrar um outro retângulo de perímetro maior e área menor.

Para responder a essa questão, observamos um primeiro método utilizado. Ele consistia em escolher vários retângulos de perímetro maior e calcular a área, ou vários retângulos de área menor e calcular o perímetro, antes de poder visar às variações conjuntas. A possibilidade de fazer numerosos cálculos mental e rapidamente era um trunfo nesse estudo;

— durante o estudo, para evitar escrever as operações simples e ir mais rápido, por exemplo, as multiplicações ou a divisão por 2. ou ainda, para otimizar as escolhas numéricas nas situações de classificação;

— no fim, para controlar os resultados de um algoritmo. Por exemplo, resolver uma equação aplicando um algoritmo, depois testar a validade do resultado, substituindo-o na equação.

Na realidade, essa disponibilidade do cálculo mental com finalidade de prática de cálculo parece ligada à legitimidade que o professor lhe conferiu na aula e nas ocasiões em que foi empregado. Quer dizer que só a competência não é suficiente; é preciso também que seu uso seja reconhecido pelo professor. Isso significa que o professor solicitava tal cálculo durante o trabalho em um problema, nas diferentes situações descritas acima.

Coloca-se uma questão: a calculadora pode substituir o cálculo mental? Senão, o que é específico a cada um dos modos de cálculo: mental, escrito. calculadora e como podem eles se conjugar cm um trabalho onde o numérico é importante?


ARTIGUE, M. Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, n.9.3, p.281-308, 1989.

BAUT1ER. E., ROBERT. A. Réflexions sur le rôle des représentations métacognitives dans 1'apprentissage des Mathématiques. Revue Française de Pédagogie, Paris, n.84, p. 13-19, 1988.

BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de Ia didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble, n.7.2, p.33-115, 1987.

. Le Contrat didactique: le milieu. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, n.9.3, p.309-336, 1990.

CHARLOT, B., BAUTIER, E. Rapport à 1'école, rapport au savoir et enseignement des Mathématiques. Repéres IREM, n.10, 1993.

DOUADY, R. Jeux de cadres et Dialectique outil-objet. Cahier de Didactique, Paris, n.3, 1984.


. Recherches en Didactique des Mathé-matiques, Grenoble, n.7.2, p.5-32, 1986.

. Ingénierie didactique et évolution du rapport au savoir... RepéresIREM, n.l5, 1992.

DOUADY, R.. PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d'apprentissage du concept d'aire de surface plane. Educational Studies in Mathema-tics, n.20, p.387-424, 1989.

PERRIN-GLORIAN, M.l Questions didactiques soulevées à partir de Tenseignement des Mathématiques dans des classes "faibles". Recherches en Didactique desMathématiques, Grenoble, n. 13.1,1993.

ROBERT, A.. ROBINET, J. Représentations des enseignants de Mathématiques sur les Mathématiques et leur enseignement. Cahier deDIDIREM, Paris, n.l, 1989.

VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptucls. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, n. 10.2.3, 1991.


UM EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DE UMA ANÁLISE IMPLI-CATIVA PARA O EXAME DE QUESTIONÁRIOS

Régis Gras* Annie Larher**

Problemática didática

A didática, tanto do lado do professor como do pesquisador e excluindo-se algumas áreas, atualmente não dispõe de respostas categóricas com relação às questões que lhe são formuladas. Ora. para adquirir fundamento científico, ultrapassando a simples opinião, ela deve poder formular e antecipar hipóteses correspondentes a essas questões. Ela deve poder estabelecer um dispositivo confiável e fiel de compilação e tratamento de dados capaz de corroborar ou invalidar as hipóteses c levar a conclusões. Certamente essa estratégia ambiciosa mas rigorosa não pode ser montada desde os primeiros contatos com os fenômenos a serem observados e de onde surgem as questões. Ela se impõe, entretanto. posteriormente, se desejarmos que as decisões didáticas se apóiem em regularidades, em uma estabilidade e uma pertinência de respostas e obtenham assim adequação e validade.

Por exemplo, por meio de uma análise apriorística de uma situação-problema. imaginamos a existência de certos procedimentos de resolução c uma hierarquia de eficácia. A observação leva ao aparecimento de um desvio entre o modelo a priori e o conjunto dos procedimentos efetivamente observados. Quais conclusões podemos tirar dessa distorção?

" Do I RM AR . Universidade de Rennes e do IR ES TE, Universidade de Nantes.

" Do I.R.M.A.R, Universidade de Rennes.

Outro exemplo: um questionário sobre uma parte heterogênea de um programa escolar é apresentado a uma vasta população de alunos. Supomos complexidades específicas: a independência de certos itens, de certos campos do saber, competências particulares a certas famílias de alunos, etc. A observação evidencia a existência de certos fatores discriminantes. Quais são eles? Qual a sua hierarquia efetiva? Como se posecionam as famílias de alunos em relação a eles?

Outro exemplo: uma vez observadas estratégias de resolução de problemas, podemos associá-las a concepções consistentes? São elas evolutivas e como''

Último exemplo: em psicologia cognitiva, será possível evidenciar, por meio de um questionário adaptado, um segmento de uma epistemologia genética diferencial?

Surgem dificuldades a todo momento e o pesquisador isolado encontra-se desarmado diante das alternativas que se apresentam c das decisões a serem tomadas. Por exemplo, como processar as informações quantitativas? Como codificar os dados? A partir de que número de alunos assegura-se a credibilidade de um resultado? Qual método estatístico podemos adotar? Como interpretar os resultados? Trata-se de encontrar um equilíbrio adequado, na busca da validação de hipóteses, entre a depreciação dos métodos estatísticos, a recusa de investimento nessa área e a "estatisticomania"' que conduz a um excesso de resultados inutilizáveis, acompanhado da ilusão de transparência.

Ruptura epistemológica da estatística clássica: a análise dos dados, suas possibilidades de resposta

Uma dupla conjuntura possibilitará respostas satisfatórias à nossa problemática:


— de um lado, a formalização da álgebra linear, da geometria e das probabilidades possibilitará a elaboração de novos métodos de tratamento de dados;

— de outro lado. o computador permitirá acumular esses dados, efetuar cálculos sobre estruturas complexas sem alterar a extensão dos quadros a serem tratados e fornecer representações variadas da informação obtida.

Com efeito, a análise dos dados — metodologia de tratamento dos dados visando à modelização dos fenômenos — fornece atualmente múltiplos métodos, chamados análises de dados, que permitirão obter, contrariamente à sua designação, sínteses desses dados, em uma visão holográfica, dos fatores discriminantes, das tipologias, hierarquias, etc.

Assim, a ruptura epistemológica diz respeito tanto aos objetivos esperados e atingidos, aos meios técnicos para obtê-los (informática), aos dados tratados (número, natureza, variedade, etc), aos modos de restituição da informação, aos procedimentos (ir dos dados em direção aos modelos e não o inverso), aos métodos matemáticos empregados e aos conceitos neles implícitos, etc. Neste sentido, a análise dos dados distingue-se tanto da estatística de inferência e decisão como da estatística descritiva.

Porém, as novas perspectivas oferecidas, aparentemente com um entusiasmo sem reservas, criam ou mantêm a ficção de que dados colhidos e tratados sem escolha adequada do método e sem hipóteses preliminares fornecerão informações claras e resultados organizados. Muitos pesquisadores, que por sinal abandonaram essa metodologia em seguida por este motivo, terminaram com pilhas de papel não utilizável. Desperdício econômico e intelectual! Parece-me indispensável, cerca de vinte anos após os meus primeiros contatos com a análise de dados, proceder da seguinte forma:

— formular hipóteses sem alimentar a ilusão de que elas possam ser refutadas ou definitivamente aceitas, mas somente questionadas ou corroboradas;

— escolher um método de análise adaptado; por exemplo, se buscamos evidenciar:

• os principais fatores discriminantes em uma população por meio de variáveis: uma análise fatorial;

• uma divisão entre as variáveis: as populações dinâmicas;

• uma tipologia ou uma classificação: uma classificação hierárquica das similaridades;

• uma implicação entre variáveis ou classes de variáveis: uma árvore implicativa ou uma hierarquia implicativa, etc.

— conhecer de forma sucinta os conceitos matemáticos que embasam as sínteses (distância do x2, por exemplo); esse conhecimento controlará e facilitará a interpretação;

— interpretar os resultados numéricos e gráficos de forma sintética adotando um certo distanciamento, e saber ampliar ou restringir os dados para a realização de uma segunda passagem que pareça necessária para confirmar ou criticar as primeiras interpretações.

Eventualmente, neste caso, utilizar um método de inferência.

Será necessário, para o pesquisador, ultrapassar as evidências de certos resultados, servindo-se dessa convenção para dar crédito às interpretações mais ocultas, mais surpreendentes, que justifiquem por si próprias o emprego de um método sofisticado.


A análise implicativa

Implicação entre variáveis

Contrariamente aos métodos mencionados acima, onde distância e índice de similaridade são simétricos, o método implicalivo. que criamos e desenvolvemos, é não-simétrico. A problemática que o introduz é a seguinte, no caso onde as variáveis consideradas sejam binárias (um indivíduo satisfaz ou não uma variável):

Se A e B são as subpopulações dos indivíduos que satisfizeram as variáveis a e b respectivamente, até que ponto podemos dizer: "se a então b". uma vez que a implicação não deva ser conotada a priori de causalidade.

Se A B, a proposição é verificada; mas, geralmente, os casos mais freqüentes apresentam uma intersecção A B não vazia.

O índice de implicação mede, de forma comparável à similaridade de I.C. Lerman, o grau de "estranheza" diante da pequenez de A B, tendo em vista a independência a priori e os efetivos observados. Desta forma, diremos, por exemplo, que X e Y sendo duas partes aleatórias de E de mesmos cardinais respectivos que A e B e descrevendo de maneira independente a totalidade das partes de E:

"a => b" é admissível no nível de confiança ou com a intensidade implicativa de 0,95 se e somente se: Prob [card (X Y) < card (A B)] < 0,05.

Esta noção foi ampliada, desde a tese de A. Larher, em variáveis modais e numéricas, unificadas em variáveis freqüenciais.

Uma árvore implicativa capta a ordem parcial induzida por essa intensidade de implicação. Ag Almouloud (1992). Ratsimba-Rajohn (1992) e Totohasina (1992) evidenciam cm sua tese uma ordem parcial entre os procedimentos empregados por estudantes no tratamento de exercícios, procedimentos inclusos na definição de concepções ou de modelos mais ou menos funcionais. Eles enfatizam as contribuições respectivas dos métodos de análise que empregam. Londeix. cm sua tese, reconstrói, a partir de um teste, uma hierarquia de estágios segundo Piaget e mostra uma defasagem diferencial devido aos contextos dos exercícios do teste.

Implicação entre classes de variáveis

Insuficientemente sintética, a implicação entre variáveis é conceitualmente extensível a uma implicação entre classes de variáveis. Uma vez que o exame de tal relação entre duas classes não tem sentido verdadeiro exceto no caso de um "bom fechamento" das classes, definimos o conceito de coesão de uma classe como oposto ao de "desordem implicativa" (no sentido da entropia na teoria da informação). Desta forma, a implicação entre duas classes bem "coesivas", isto é. já ordenadas em seu interior, traduz a força implicativa de uma sobre a outra.

Um exemplo de análise cm Geometria (A. Larher, 1991)

Observações e alguns estudos mais aprofundados de produções de alunos, de 12-14 anos principalmente, sobre os problemas com demonstração geométrica, mostraram a grande quantidade e a grande variedade de


procedimentos errôneos dos alunos, apesar da estrutura da solução já estar esclarecida. Certamente, os erros têm origem profunda na ausência de significação da prova matemática e em uma certa carência de domínio do léxico necessário (já que, portanto, pois, porque...), mas também de forma conseqüente ou conjunta:

— na ausência de rigor na articulação dissimétrica dos três elementos-chave da inferência: hipótese - teorema - conclusão;

— na aceitação de indicadores extrínsecos para a escolha de qualquer um desses elementos-chave:

• indicadores formais (estrutura, ritmo ...);

• indicadores semióticos (palavra, letra, símbolo...);

• indicadores semânticos (um sentido próximo, uma utilização anterior...).

Todo professor sabe bem como é difícil, e até mesmo impossível, identificar em cada trabalho escolar o tipo de erro cometido e sobretudo a sua repetição pelo aluno, sua freqüência na classe e as condições nas quais o erro se forma e aparece. Além disso, é ainda mais difícil para ele descobrir para cada aluno as situações que permitiriam tornar esses procedimentos — ou até concepções — conscientes e desequilibrá-los. O computador, em compensação, possibilita um trabalho mais individualizado e, sobretudo uma sanção imediata do erro e portanto que o aluno faça uma revisão de seus procedimentos.

Metodologia adotada

Parece portanto importante, para em seguida trabalhar melhor esses procedimentos com cada aluno, identificá-los e reconhecer suas circunstâncias de aparecimento.

Nossa missão didática e informática1 consistirá, então, a mais ou menos longo prazo:

— em construir situações onde as variáveis são controláveis;

—em identificar e interpretar os erros e as condições de seu aparecimento;

— em construir um modelo de previsão de procedimentos errôneos:

— em elaborar programas computacionais que satisfaçam os objetivos didáticos.

Esquematicamente, levando em conta esses objetivos, o microcomputador é integrado sob dois aspectos:

— auxílio didático ao aluno em uma situação de problema com demonstração (software DEFI: "Demonstração e Análise da Figura Interativa" que nós desenvolvemos);

— auxílio ao professor para melhor compreensão dos erros cometidos pelo aluno e se possível, sua correção (software apresentado mais adiante).

Parece necessário limitar as variáveis em interação em uma demonstração, fornecendo ao aluno situações onde o nexo desenvolvido para o objetivo distante dessa demonstração não seja o estímulo essencial e onde o léxico seja reduzido.

Para tanto, estabeleceremos uma lista de fatos matemáticos (geométricos, no caso) que possam ensejar, de acordo com a situação, hipóteses ou conclusões e uma lista de teoremas. Tendo sido proposta uma inferência incompleta (ou mesmo um problema com demonstração), o aluno deverá, de forma pertinente, escolher um ou vários fatos, um ou vários teoremas para que a inferência ou as inferências sucessivas sejam validadas.

1 No contexto do Gtupo de Pesquisas do C.N.R.S.: "Didática e aquisição de conhecimentos cientíBcos".


O trabalho do aluno será executado em microcomputador, com o auxílio de um software que possibilita um trabalho personalizado, seguido de uma análise individual de suas respostas (após eventualmente duas tentativas).

Esse software não é um "tutorial" propriamente dito, mas, mais exatamente, uma ferramenta de diagnóstico com três funções:

— reforço do aprendizado das regras de dedução em uma etapa;

— balanço das aquisições sobre o ponto precedente;

— revelação e meio de análise dos erros por estudo diagnóstico

Dependendo da escolha feita no início pelo professor, o aluno terá diversas chances ou não e a resposta correta lhe será ou não fornecida.

Apresentação do questionário

Um conjunto de seis questões é portanto proposto a alunos do segundo ano do colégio (12-13 anos) após o ensino de algumas propriedades da simetria em relação a um ponto. A cada questão corresponde uma inferência que o aluno deve completar escolhendo um dos 11 fatos seguintes a titulo de conclusão:

Fatos 1 (EF) e (CD) são simétricos em relação ao ponto I 2 [MN] é o simétrico de [PR] em relação ao ponto I 3 (AB) e (CD) são simétricos em relação ao ponto 0 4 (MN) // (PR) 5 (CD) // (EF) 6 (AB) // (CD) 7 (AB) // (EF) 8 MN = PR 9 CD = EF 10 AB = CD 11 AB = EF

Teoremas

1 A simetria central conserva os comprimentos. 2 Se (D) // (D') e (D') // (D"), então (D) // (D"). 3 A simétrica de uma reta (D) em relação a um ponto é

uma reta (D') // (D). 4 Se duas retas são simétricas em relação a um ponto.

então elas são paralelas. 5 Dois segmentos simétricos em relação a um ponto têm

o mesmo comprimento. 6 A simetria central conserva as direções.

Questão: Dados hipótese e teorema das listas acima, encontrar a conclusão tirada da lista dos fatos (duas tentativas possíveis para cada questão).

Demonstrações

Hipótese: 1 Ql Teorema: 3

Conclusão: 3

HIPÓTESES TEOREMA ? CONCLUSÃO a encontrar

(EF) e (CD) simétricos em relação a 1

A simétrica de (D) em relação a um ponto é ( D') // (D)

(EF) // (CD)

Hipótese: 4 Q2 Teorema: 4

Conclusão: 6

(AB)e(CD) simétricos em relação a O

Se duas retas sao simétricas em relação a um ponto então elas sao paralelas

(AB) / / (CD)


Conclusão: 8

(MN) e simétrico de (PR) em relação a 1

2 segmentos simétricos em relação a um ponto bem o mes mo comprimento

MN = PR


Conclusão: 6

(AB)e(CD) simétricos em relação a O

A simetria central conserva as direções

(AB) / / (CD)

Hipótese: 6e 5 QS Teorema: 2

Conclusão: 7

(AB)/ / (CD)

(CD) // (EF)

Se ( D ) / / ( D )

então (D) // (D') (AB)/ / (EF)

MN = PR A simetria central conserva os comprimentos

[MN) e simétrico de (PR) em relação a 1

Hipótese: 2 <J6 Teorema: I

Conclusão: 8


Por meio do questionário, buscamos controlar o efeito das seguintes variáveis didáticas:

— o conceito: 5 das 6 questões tratam da simetria central; uma questão trata da transitividade do paralelismo (questão nº 5);

— a especificação ou competência2 dos teoremas (exemplo: teorema 1 versus teorema 4);

— grau de generalidade da invariante relacionai (exemplo: teorema 1 versus teorema 5);

— a complexidade léxica (exemplo: "conservar") ou conceituai (exemplo: "direção");

— a formulação "se ... então" (teorema 2);

— a simetria da relação entre os objetos denominados (exemplo: fato 1 versus fato 2);

— a confusão entre // e = (exemplo: fato 4 versus fato 8);

— a expressão de propriedades (exemplo: teorema 1);

Uma análise apriorística da complexidade nos leva a prever as seguintes hierarquias entre os sucessos

Podemos esquematizar as proximidades formal, semântica e referencial, a priori, dessas seis questões:

Do francês insianciation (N.Trad.).

Efetuamos para esse questionário o tratamento estatístico dos dados colhidos conforme dois métodos de análise: a classificação hierárquica (segundo Lerman) e a classificação implicativa (segundo Gras). Veremos mais adiante os resultados que deduzimos do segundo método.

Podemos nos perguntar desde já quais são as bases da estratégia de decisão do aluno neste exercício muito especial que consiste em fazer uma escolha entre um conjunto fechado de soluções. Ela é necessariamente muito próxima da estratégia desenvolvida nas Questões de Múltipla Escolha e, em compensação, muito diferente da que é seguida nas demonstrações em várias etapas, nos problemas apresentados e mesmo no software DEFI. Aqui, o aluno deve somente aceitar ou rejeitar um elemento de uma lista. Ele não tem atividade criativa verdadeira. Além disso, o sentido global não é acessível; os únicos pontos de apoio são o sentido da etapa de demonstração e o conjunto léxico das assertivas ou teoremas de que dispõe o aluno. No entanto, observamos, graças à repetição, à acumulação e a concomitância de erros, a estabilidade de certos procedimentos que correspondem a modelos de funcionamento em equilíbrio tanto em um aluno em particular como em alunos em geral. Os erros, que geralmente chamamos de "erros de raciocínio" procedem de causas profundamente arraigadas e não necessariamente de ordem lógica. Devem-se igualmente ao conhecimento errôneo dos objetos tratados (quando não do vocabulário utilizado), e também, com muita freqüência, ao poder de atração de certas palavras, certos sinais ou símbolos, certas formas (estruturas de frases, ritmos...) quando da articulação hipótese teorema >conclusão.


O aluno se confunde mais, quando erra, diante de um critério "sinal" do que de um critério "sentido". Ele vai buscar nas soluções oferecidas os indícios formais mais plausíveis, os que lhe parecem mais pertinentes.

Resultados: parâmetros dos sucessos

Médias

Reencontramos a hierarquia presumida a priori entre os sucessos S. nas seis questões: S2 (96,25%), S, (78,75%) e S4 (72,5%).

Além disso: S3 = S6 (87,5%).

A taxa de sucesso de Q5 (85%) é um pouco inferior à taxa de sucesso de Q5 e Q6 (Q5 não faz referência à simetria central; seu teorema tem competência diversa dos outros3. Ela é claramente inferior à de Q, apesar da mesma formulação do teorema em "se... então..."; será por causa da dupla hipótese?

Coeficientes de Correlação entre as Modalidade "de Sucesso" das seis Questões

As mais fortes relações positivas são observadas entre:

S1 e S, (formulação diferente do teorema mas o mesmo conteúdo): P = 0,38;

S1 e S6 (p = 0,358): trata-se dos mesmos alunos que têm dificuldade para começar (Q1) e para concentrar a atenção (Q6)?

S3 e S5 têm um coeficiente de correlação bem próximo de 0, e mesmo negativo, com todos os outros sucessos exceto com S4

1 Do francês son ihêortme esl instancié (N.Tníd.).

Análise implicativa dos seis sucessos

O quadro das implicações permite construir o gráfico orientado transitivo, ponderado e associado à relação de quase-implicação.

Árvore Implicativa de Sucessos

Hierarquia Implicativa

Retomando o método desenvolvido por R. Gras e A. Larher, podemos constituir classes de sucessos que se organizam dessa forma em função das implicações intraclasses.


Encontramos similaridades bastante surpreendentes com as classes formadas a priori a partir das proximidades formal, semântica e referencial das seis questões:

— separação bem nítida de S5, sucesso na única questão relativa à transitividade do paralelismo;

— classe (S1S2): as questões Q1 e Q2 diferenciam-se apenas peias expressões de seus teoremas: nenhum deles contém a palavra "conservar" de compreensão ambígua e, de toda forma, difícil para os alunos;

— classe (S4, S3, S6) que reagrupa os sucessos nas duas questões (Q3.) e (Q6) relativas à propriedade métrica da simetria central e do sucesso na questão (Q4). de natureza afim mas cujo teorema, como o de (Q6), é expresso em termos de conservação. Esse último ponto colocará os 3 itens em um mesmo nível de complexidade?

Concluindo, haverá necessidade de indicar o poder de exploração desse método de análise dos fatos didáticos? Constatamos que ele possibilita e possibilitará, graças à sua implementação em informática, decisões em tempo real a partir de estratégias, e mesmo de concepções, extraídas da concomitância repetida de comportamentos. Ela se impõe como ferramenta nova e complementação dos métodos simétricos, oferecendo às questões didáticas as hipóteses de estabilidade que elas buscam.


AG ALMOULOUD, S. L'ordinateur, outil d'aide à l 'apprentissage de Ia demonstration et de traitement des données didactiques. [S.l.], 1992. Tese (Doutorado) — I.R.M.A.R, Université de Rennes 1.

GRAS, R. Contribution à 1'étude expérimentale et à I'analyse de certames acquisitions cognitives et de certains objectifs didactiques en mathématiques. Tese (Pós-Doutorado) — Université de Rennes 1.

. Data analysis: a method for the processing of didactic ques-tions. Research in Didactic of Mathematics, Grenoble, v. 12, n. 1, p.59-72, [19-].

GRAS, R., LARHER, A. Uimplication statistique, une nouvelle méthode d'analyse des données. Mathématique, Informatique et Sciences Humaines, n.120, 1992.

GRAS, R., TOTOHASINA, A., AG ALMOULOUD, S., RATSIMBA-RAJOHN, H.. BAILLEUL, M. La méthode d'analyse implicative en didactique: applications. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1994. R.D.M., 14/1.

LARHER, A. Implication statistique et applications à l 'analyse de démarche de preuve mathématique. [S.l.], 1991. Tese (Doutorado) — I.R.M.A.R., Université de Rennes 1.

LERMAN, I.C., GRAS, R., ROSTAM, H. Elaboration et evaluation d'un indice d'implication pour des données binaires. Mathématiques et Sciences Humaines, n.74/75, 1981.

RATSIMBA-RAJOHN, H. Contribution à I 'étude de Ia hiérarchie implicative: application à 1'analyse de Ia gestion didactique des Phénomènes d'ostention et de contradiction. [S.l.], 1992. Tese (Doutorado) — I.R.M.A.R., Université de Rennes 1.

TOTOHASINA, A. Méthode implicative en analyse de données et application à /'analyse de Conceptions d'étudiants sur Ia notion de probabilité conditionnelle. [S.l.], 1992. Tese (Doutorado) — Université de Rennes 1.


APRENDER A VER E A MANIPULAR O OBJETO GEOMÉTRICO ALÉM DO TRAÇADO NO CABRI-GÉOMÈTRE

Colette Laborde e Bernard Capponi*

A Didática da Matemática dedicou uma parte importante de seus trabalhos ao estudo das situações-problema nas quais o aluno deve construir ferramentas de solução (que apresentem para ele um aspecto de novidade) para resolver o problema que lhe é apresentado. A teorização proposta por Brousseau (1986) descreve essas situações como as de uma interação entre um meio e o aluno. Em termos de sistema, se o sistema didático c aquele construído em torno do triângulo professor, saber, alunos, o meio encontra-se no interior desse sistema como o subsistema antagonista do aluno. É por ações sobre o meio, pela interpretação de retroações do meio suscetíveis de fornecerem elementos de validação de sua solução (Margolinas, 1993, cap. 1 e 2), na repetição de tentativas de resolução de um mesmo problema, que o aluno elabora adaptações novas à situação que o problema lhe apresenta. Essa adaptação pode ser a fonte de novos conhecimentos. Uma hipótese importante em didática postula que o meio deve ser organizado de forma a permitir tais adaptações do aluno.

Os Ambientes Interativos de Aprendizagem com Computador (En-vironnements Interactifs d'Apprentissage avec Ordinateur — EIAO) podem servir à constituição de ambientes organizados visando à aprendizagem e serem analisados a partir desse ponto de vista. Com efeito, eles oferecem, de forma particular, uma possibilidade de confrontação longa e repetida com uma situação-problema e uma

dualidade de ação e áefeedbacks do dispositivo para as produções dos alunos, como foi confirmado por um grande número de observações de alunos trabalhando no computador (Gras, 1987; Artigue, 1991; Bellemain, Capponi, 1992). As especificidades do EIAO decorrem, em particular, dos seguintes fatos:

— um EIAO contém conhecimentos (matemáticos, neste caso);

— esses conhecimentos, em função de limitações de representações em máquina e na interface, podem ter um funcionamento peculiar, diferente em certos aspectos daquele dos conhecimentos de referência; A primeira especificidade implica particularmente que:

— ações conceitualmente complexas podem se tornar possíveis diretamente ao utilizador do dispositivo;

— a máquina é suscetível de oferecer retroações fundamentadas em conhecimentos;

— a máquina tem um comportamento em parte independente do aluno.

O objetivo deste artigo é a análise das especificidades de um EIAO e seu papel sobre a concepção e o funcionamento de situações adidáticas. O exemplo escolhido é o software Cabri-Géomètre, uma vez que constitui um meio organizado para o aprendizado da noção de figura geométrica. Esse aprendizado é, com efeito, um ponto-chave do aprendizado da Geometria no colégio1, conforme tentaremos mostrar a seguir. Apresentaremos depois o software e dedicaremos o resto do artigo ao estudo do meio adidático suscetível de ser organizado em torno do software e ao caráter adidático de situações que envolvam as relações entre desenho e objeto geométrico.

" DidaTech — LSD2 IMAG-CNRS, Universidade Joseph Fourier. 1 Correspondente, no Brasil, ao antigo ginásio (N.Trad.).


As relações entre desenho e objeto geométrico

A Geometria ensinada trata de objetos teóricos, mas envolve também representações gráficas cujo papel no aprendizado da Geometria não precisa mais ser enfatizado.

Afigura vista como relação entre desenho e objeto geométrico

Como entidade material sobre um suporte, o desenho pode ser considerado um "significante" de um referencial teórico (objeto de uma teoria geométrica como a da Geometria euclidiana ou da Geometria de projeções). A figura geométrica consiste no emparelhamento de um referencial dado com todos os seus desenhos; é então definida como o conjunto dos pares formados de dois termos, sendo o primeiro o referencial e o segundo um dos desenhos que o representa; o segundo termo é tomado do universo de todos os desenhos possíveis do referencial. O termo figura geométrica visto nesta acepção leva ao estabelecimento de uma relação entre um objeto geométrico e suas possíveis representações. Dentro desta abordagem, as relações entre um desenho e seu referencial elaboradas por um sujeito, leitor ou produtor do desenho, constituem para esse sujeito o "significado" associado da figura geométrica. Esse significado corresponde ao que Fishbein (1993) chama de figurai concept.

As relações entre desenho e objeto geométrico podem ser caracterizadas, grosso modo, pelo fato de que as propriedades do objeto geométrico se traduzem graficamente por relações espaciais. Por exemplo, um traço retilínco que toca um traçado circular pode ser interpretado em uma teoria geométrica como uma rela tangente a uma circunferência. Contudo. é importante ressaltar a complexidade das relações entre desenho e objeto geométrico; com efeito, a passagem do desenho para o objeto geométrico é objeto de uma interpretação de um ser humano. Disso decorre que:

— de um lado, um desenho geométrico não é necessariamente interpretado por seu leitor como correspondente a um objeto geométrico;

— de outro lado, as interpretações de um mesmo desenho como significante de um objeto geométrico são múltiplas por duas razões: a primeira decorre de que as interpretações dependem do leitor e de seus conhecimentos bem como do contexto; a segunda decorre da própria natureza do desenho; sozinho, ele não pode caracterizar um objeto geométrico.

Esclareceremos essas informações que servem de pontos de partida ao nosso quadro teórico.

Um desenho conduz aos objetos teóricos da Geometria na medida cm que aquele que o lê decide fazê-lo.

A interpretação depende, evidentemente, da teoria com a qual o leitor decide ler o desenho bem como dos conhecimentos desse leitor. O contexto desempenha um papel fundamental na escolha do tipo de interpretação. Desta forma, a Figura 1 pode ser interpretada como o desenho de uma maçã sobre a qual vem grudado um pedaço de madeira. Em um contexto matemático, um matemático sem dúvida alguma reconhecerá uma circunferência. Mas ele será mais hesitante em fazê-lo para o desenho da direita (Figura 2), apesar do conjunto das marcas de tinta sobre o papel do desenho da direita ser provavelmente uma aproximação melhor dos mínimos quadrados de um círculo.


Esse comportamento pode ser explicado se considerarmos a escolha do tipo de interpretação do leitor. O matemático, em seu contexto de trabalho, considera esses desenhos sob uma interpretação totalmente geométrica e, uma vez que nessa interpretação os desenhos devem conduzir a objetos definidos a partir da teoria, levando em consideração o traçado a mão livre, ele se esforçará para ver uma circunferência no primeiro, ao passo que hesitará entre uma elipse e uma circunferência no segundo, considerada a aparente exatidão do traçado.

Um desenho, mesmo geométrico, pode ser interpretado de múltiplas maneiras e a percepção, em especial, interfere na elaboração de uma interpretação quando o leitor não possui conhecimentos teóricos profundos de Geometria que lhe permitam ultrapassar a primeira leitura perceptiva Pudemos desta forma mostrar que os aspectos perceptivos (Duval, 1988; Mesquita, 1989; Padilla, 1990) do desenho podem atrapalhar ou, ao contrário, favorecer a leitura geométrica por alunos do colégio, chamando a atenção para os elementos do desenho não pertinentes para essa leitura. Assim, a configuração de Thales (Cordier, Cordier, 1991) não é identificada pelos alunos da 3 a série2 nos dois desenhos da Figura 3.

Fig. 3

Desenhos prototípicos de objetos geométricos (Noirfalise, 1991) constituíram-se ao longo do tempo, resultantes de influências ao mesmo

: Corresponde, no Brasil, à 8ª série do lº grau (N.Trad.).

tempo perceptivas e culturais (em sentido amplo e escolar). Alguns são bem conhecidos (quadrado/losango), outros menos, como o do Paralelogramo: o desenho prototípico de um Paralelogramo é, ao menos na França, aquele em que a diagonal AC é perpendicular ao lado AD (Figura 4); pudemos justamente identificar esse caso de tipicalidade utilizando o Cabri-Géomètre.

Fig. 4

Visto como significante de um objeto geométrico, o desenho revela propriedades desse objeto, mas o faz apenas parcialmente. Podemos associar ao desenho um domínio de funcionamento (conjunto das propriedades geométricas representadas por algumas das propriedades espaciais do desenho). Desta forma, um desenho não traduz o domínio de variação dos elementos do objeto geométrico. A partir de um desenho, é impossível inferir se um ponto de segmento pertence somente ao segmento ou à reta base do segmento, se duas circunferências secantes o são por hipótese ou se podem estar em uma posição relativa qualquer. É necessária uma descrição discursiva que caracterize o objeto geométrico para eliminar as ambigüidades inerentes ao desenho (Duval, 1988; Parzysz, 1988).

Inversamente, nem todas as propriedades espaciais do desenho podem ser interpretadas como correspondentes a propriedades do objeto; ao desenho corresponde um domínio de interpretação. A posição do desenho na folha de papel, por exemplo, está fora do domínio de interpretação dos desenhos tidos como significantes de objetos da Geometria euclidiana.

Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994

Alguns dos problemas encontrados pelos alunos ocorrem justamente por eles funcionarem com um domínio de interpretação diferente daquele da Geometria euclidiana.

As relações entre desenho e objeto geométrico no ensino da Geometria

O ensino da Geometria ignora as relações entre objeto geométrico e desenho, silenciando sobre a distinção entre os dois ou agindo como se um elo natural os unisse. Gostaríamos de retomar a tese defendida por Berthelot e Salin (1992) e o quadro teórico correspondente desenvolvido sobre as relações entre conhecimentos espaciais e conhecimentos geométricos: o aniquilamento dos conhecimentos espaciais cm favor dos conhecimentos geométricos resulta no apoio descontrolado da Geometria ensinada sobre uma relação privilegiada com o espaço reservado ao tratamento de pequenos objetos ou de traçados realizáveis sobre uma folha de papel, sobre a evidência perceptiva: "vemos claramente que..." (Bessot, 1993). Interpretamos o descaso pelo ensino dessas relações entre desenho e objeto geométrico com relação a esse aniquilamento: o ensino negligencia a possibilidade de uma leitura espacial do desenho e considera unicamente sua leitura geométrica; ele desconhece a existência do domínio de interpretação de um desenho: a evidência perceptiva é natural e imediatamente interpretada em termos geométricos. É preciso dizer que a linguagem favorece essa confusão espacial-geométrica; é freqüente o mesmo termo designar a propriedade espacial e a propriedade geométrica a que está relacionada. Por causa dessa indiferenciação, o ensino desconhece a especificidade das relações entre desenho e objeto geométrico e não os toma por objeto de aprendizado.

Poderíamos dar uma breve descrição dessas relações dizendo que, de um lado, a Geometria pode ser considerada como o resultado de uma modelização do desenho e que, desta forma, pode servir como instrumento de produção e de controle do desenho ou mesmo de predição. Porém, de

maneira inversa, o desenho em Geometria pode ser considerado como modelo do objeto geométrico (Laborde, 1992), e, como tal, oferece um ambiente de experimentação gráfica (Chevallard, 1990). Uma vez que o ensino ignora as relações entre desenho e objeto geométrico, esse caráter de experimentação não é. digamos assim, percebido pelos alunos e menos ainda utilizado (adicionar a um desenho elementos não mencionados pelo enunciado ou pelo professor não resulta de decisões espontâneas dos alunos, mas necessita de um aprendizado). Como modelo da Geometria, o desenho é adequado a experimentações que revelem questões colocadas à teoria. Estas, traduzidas então no desenho, suscitam nele uma resposta à qual não corresponde uma resposta na teoria, e sim suposições e pistas para o trabalho teórico. Podemos desta forma traçar um grande número de triângulos e observar a inclinação em função de suas alturas.

Essas relações são sutis e isso significa que, para que os alunos se conscientizem delas, será necessário desenvolver no ensino situações-problema:

— que tratem de desenhos nos quais a Geometria é uma ferramenta eficaz de modelização e de solução; por exemplo, nos quais ela permita a produção de desenhos que satisfaçam a determinadas limitações, de forma menos custosa que o tateamento controlado pela percepção e nos quais garanta a correção do resultado: por exemplo, a Geometria responde pelo caráter tangente de uma reta em relação a uma circunferência quando esta é perpendicular ao raio;

— em Geometria onde recorrer ao desenho e fazer experiências sobre ele impedem o desvio por soluções teóricas longas demais.

Com esse pensamento, têm sido desenvolvidos, há alguns anos, ambientes informáticos que oferecem um sistema de representação de objetos geométricos por meio de desenhos na tela do computador realizáveis por


comandos definidos em uma linguagem geométrica. Esses objetos na tela apresentam um domínio de funcionamento mais extenso do que os desenhos em papel/lápis e possibilitam a desqualilícação de certas interpretações ilícitas. O Cabri-Géomètre, apresentado no parágrafo seguinte, é um deles.

Características do ambiente Cabri-Géomètre

Duas características importantes desse ambiente informático3 residem na coexistência de primitivas de desenho puro e de primitivas geométricas e na manipulação direta do desenho. Sc deslocarmos, com o auxílio do mouse, um dos elementos de base do desenho, este deforma-se respeitando as propriedades geométricas utilizadas em seu traçado c aquelas que decorrem dele. em conseqüência, se um desenho houver sido construído com o auxílio de primitivas de desenho puro. isto é. de modo aproximativo, ele perde suas propriedades espaciais aparentes em seu estado original quando do deslocamento de um de seus elementos. A Figura 5 apresenta um Paralelogramo obtido pelo traçado de quatro segmentos feitos de modo aproximativo na tela (os pontos superiores são os pontos de base) no estado original, à esquerda, e após o deslocamento de A, à direita.

Fig. 5

1 Para uma descrição do ambiente, cf. Bellemain, Capponi, 1992; Laborde, Strasser, 1990.

O traçado na tela de um desenho relacionado a um objeto geométrico deve manter, no curso do deslocamento, suas propriedades espaciais que caracterizam as propriedades geométricas desse objeto; ele precisa, portanto, ser produzido pelas primitivas geométricas (como ponto médio, mediatriz, reta paralela, reta perpendicular, etc). A exigência de se comunicar ao software um procedimento geométrico de construção possibilita a caracterização do objeto geométrico (reencontramos a necessidade que mencionamos acima da descrição discursiva do objeto geométrico para sua caracterização). Portanto, no traçado na tela do desenho de um objeto geométrico, é a interação entre as duas características do software que induz à utilização das primitivas geométricas, conforme indica o esquema da Figura 6. O software foi concebido com base em que esta passagem pelas primitivas geométricas deveria favorecer a utilização de conhecimentos geométricos.

Fig. 6 Portanto, o ambiente responde à intenção de se oferecer um sistema de significantes com um domínio maior de funcionamento cm relação à Geometria e que torne mais aparentes os limites do domínio de interpretação. Devido ao deslocamento de o desenho ser controlado por uma teoria geométrica (grosso modo a da Geometria euclidiana), o ambiente deixa transparecer em particular a variabilidade dos elementos do objeto geométrico e de seu domínio de variação (extensão do domínio de funcionamento) e possibilita a desqualificação das interpretações não


pertinentes (evidência dos limites do domínio de interpretação); com efeito, as propriedades atribuídas ao objeto pela leitura de um desenho que o representa têm grandes chances de aparentemente não serem mais verificadas quando da deformação do desenho.

O campo de experimentação oferecido pelo desenho no desenho papel/ lápis é limitado por razões materiais (imprecisão do traçado, impossibilidade de tornar temporariamente invisível uma parte do desenho, limitação do número de elementos a serem criados). O ambiente Cabri-Géomètre não somente por suas capacidades de editor gráfico, mas também pelos conhecimentos geométricos que ele integra, aumenta o campo de experimentação possível. Tanto as ações possíveis como as respostas, além de mais amplas, são de natureza diferente uma vez que são fundamentadas em conhecimentos geométricos. O tipo de representação gráfica fornecida pelo ambiente difere, portanto, do desenho papel/lápis. Para marcar essa diferença, chamaremos, na seqüência, de Cabri-Desenho uma representação gráfica na tela de Cabri-Géomètre.

Podemos ter expectativas de novas possibilidades de organização para situações adidáticas e de modificações nos comportamentos dos alunos.

As retroações do ambiente informático

O deslocamento por manipulação direta é um dos componentes importantes do Cabri-Géomètre oferecendo uma retroação às ações do aluno.

A importância do caráter exterior das retroações

É o fato de o deslocamento se fundamentar em conhecimentos de Geometria que torna possível uma retroação exterior mais rica sobre uma mesma produção do sujeito. Tomemos o exemplo de um aluno que

tenha uma tarefa para resolver que descrevemos, em termos clássicos, como uma tarefa de construção de uma figura que satisfaça a condições determinadas (em nossos termos, seria uma tarefa de traçado de um desenho de um objeto geométrico determinado proveniente de um procedimento controlado por conhecimentos geométricos). Em um contexto papel/lápis, o aluno pode virar a folha de papel e ver o desenho em diferentes posições, mas só poderá fazer variar os elementos variáveis traçando um novo desenho, isto é, empreendendo uma nova ação fundamentada em conhecimentos. Não há, portanto, retroação exterior sobre a mesma produção do sujeito, que possa facilmente mudar, de forma implícita e mesmo inconsciente, seu procedimento de traçado na produção de novas ocorrências do desenho. O uso do deslocamento implica por si só na utilização de conhecimentos; a vantagem é que essas retroações partem de um dispositivo externo ao sujeito e independente do professor: desta forma, elas são suscetíveis de fazer o sujeito evoluir.

A interpretação das retroações

A riqueza das retroações devidas ao deslocamento possibilita interpretações em diferentes níveis pelo sujeito usuário do software. Citamos abaixo níveis que distinguimos a priori em uma tarefa de construção de um Cabri-Desenho que satisfaça a condições determinadas, em uma ordem de controle crescente pelos conhecimentos geométricos do sujeito:

— pelo deslocamento colocamos o Cabri-Desenho em uma posição particular (prototípica, por exemplo) que possibilite reconhecer se a aparência que buscamos dar ao desenho foi obtida, nesse nível, a interpretação deriva essencialmente da percepção;

— certificamo-nos de que o Cabri-Desenho não se deforma com o deslocamento.


Observamos que a própria interpretação de uma ausência de relação entre constituintes de um Cabri-Desenho pode ser interpretada em dois níveis diferentes:

— como uma ausência de relação de tipo físico ou mecânico em nível do Cabri-Desenho, a interrogação do sujeito não se refere ao objeto geométrico, e sim ao Cabri-Desenho. A retificação obviamente será feita pelo uso de primitivas geométricas do software, mas para satisfazer a uma finalidade relacionada à aparência do Cabri-Desenho;

— como uma ausência de relação geométrica entre elementos do objeto geométrico representado pelo Cabri-Desenho. A retificação também será feita pelo uso de primitivas geométricas, mas para satisfazer a uma finalidade geométrica.

Procuramos analisar geometricamente certos elementos do Cabri-Desenho no deslocamento:

— para validar ou invalidar a construção em relação à satisfação das condições solicitadas;

— ou para procurar os erros nos casos onde a produção seja reconhecida como inválida.

Utilização na interação das possibilidades de ação e retroação

Como em toda situação, as retroações do meio podem ser solicitadas pelo sujeito que decide empreender certas ações cuja sanção pelo meio fornecerá elementos de informação sobre sua produção. Trata-se, em certos aspectos, de uma experimentação dentro do modelo fornecido pelo ambiente informático.

O ambiente Cabri-Géomètre possibilita esse tipo de experimentação pela conjugação do uso das primitivas geométricas e do deslocamento. Assim, para verificar que duas retas são perpendiculares, traçamos a perpendicular a uma das retas e verificamos que no deslocamento ela coincide com a outra reta.

O sujeito pode até mesmo dedicar-se a uma experimentação baseada em um cálculo inferencial: ele mostra a equivalência da propriedade P a ser verificada e de uma outra propriedade P' que pode ser verificada pelo procedimento apresentado acima. Por exemplo, para certificar-se de que construiu bem um losango, ele pode traçar a mediatriz de uma diagonal e observar, pelo deslocamento, a coincidência dessa mediatriz com a outra diagonal.

Em uma análise de um determinado Cabri-Desenho com a finalidade de identificar as dependências geométricas entre propriedades do objeto geométrico, um outro tipo de experimentação possível consiste em suprimir relações geométricas entre elementos e em verificar se as relações que supúnhamos dependentes não são mais satisfeitas.

A repetição

Margolinas (1993, p. 117) tornou evidente a importância da repetição do problema nos trabalhos de engenharia, que até então, nâo havia sido considerada no plano teórico. Ela demonstra claramente não se tratar, de forma alguma, de uma conseqüência de uma opção behaviorista, na qual a repetição da confrontação a estímulos possibilitaria um aprendizado por reforço, e sim de uma conseqüência de uma opção construtivista: a repetição da confrontação com o mesmo problema possibilita ao aluno a elaboração de um sentido para o problema (processo de devolução), "torna-o cada vez mais consciente do que o impulsiona a agir". A repetição é interessante quando as retroações não são simplesmente do tipo certo ou errado, mas são de natureza rica. É justamente o que a análise dos


dois parágrafos precedentes tendia a mostrar. No uso regi lar de Cabri-Géomètre em um período longo em classes de 4a e 3a sérus4 de um dos autores (B. Capponi), pudemos constatar, quando da resolução de problemas, uma ausência de renúncia da parte dos alunos, quase sempre um envolvimento importante representado pela sucessão de numerosas tentativas de solução e — com uma freqüência certamente um pouco menor — por uma evolução das soluções.

Um novo aprendizado?

As situações adidáticas em Geometria têm por objetivos que:

— as estratégias de solução fundamentadas em conhecimentos geométricos apareçam como mais eficazes que estratégias empíricas ou baseadas na percepção. "A Geometria resulta de um ardil, de um desvio cuja pista indireta possibilita o acesso ao que ultrapassa uma prática imediata" (Serres, 1993, p.196);

— estas estratégias não sejam a resposta a expectativas externas ao problema que o aluno acredita poder adivinhar, por exemplo, no professor ou no autor do problema.

Nossa atenção volta-se aqui para as situações que dão sentido à noção de figura geométrica; essas situações envolvem, portanto, um desenho que pode, com o auxílio de uma análise geométrica, ser interpretado como representante de um objeto geométrico. Para que esta interpretação aconteça, é preciso que seja solicitada pelo problema a ser resolvido, isto é, que a resolução do problema conduza a um tratamento geométrico. No parágrafo seguinte, procuramos determinar as modificações trazidas por Cabri-Géomètre nas características das situações: Que novos tipos de abordagem um ambiente como Cabri-Géomètre pode favorecer aos alunos? Qual novo tipo de situação adidática tornou-se possível?

1 Equivalente, no Brasil, às 7ª e 8ª séries do 1º grau (N.lrad.).

Que tipo de problemas usar no ambiente Cabri-Géomètre?

Podemos distinguir dois tipos de problemas, conforme a produção solicitada aos alunos:

— problemas de produção de Cabri-Desenhos;

— problemas de demonstração.

No primeiro tipo de problemas, a produção solicitada é, como já vimos, de natureza "nova": não se trata de fornecer um traçado, e sim um desenho na tela que conserve certas propriedades espaciais impostas quando do deslocamento de um dos pontos de base do desenho. A tarefa do aluno consiste, portanto, na elaboração de um procedimento de produção do Cabri-Desenho, fundamentado nas primitivas geométricas disponíveis.

Além do caráter "novo" da produção solicitada, o deslocamento introduz ainda novos tipos de problemas:

— produção de Cabri-Desenhos que tenham um comportamento subordinado em nível de seu deslocamento;

— a pesquisa da generalidade do procedimento de construção;

— a reprodução de um dado Cabri-Desenho na tela que possa ser explorado pelo deslocamento.

Um Cabri-Desenho é um desenho dinâmico, além da invariância de propriedades espaciais, podemos impor limitações específicas de movimento. Por exemplo, podemos solicitar a produção de um triângulo equilátero que gire em torno de seu centro. Isso implica a imposição de pontos fixos, de pontos móveis do Cabri-Desenho e certas trajetórias.


Operamos aqui sobre a nova natureza do Cabri-Desenho—é um desenho cujos elementos descrevem trajetórias, sendo essas trajetórias ou reduzidas a um ponto do plano, ou a um subconjunto de pontos do plano ou ainda ao plano todo. A Geometria torna-se neste problema uma ferramenta de modelização de relações espaciais do desenho durante o movimento. Esse tipo de situação exige, portanto, uma análise em termos geométricos.

Alguns procedimentos de construção dependem das posições respectivas de certos elementos de base e são profundamente modificados se essas posições mudam. Tomemos, por exemplo, o procedimento de obtenção de uma tangente a uma circunferência de centro O que passe por um ponto P dado; o procedimento habitual difere, conforme o ponto esteja sobre a circunferência ou fora dela: no primeiro caso, traçamos a perpendicular ao raio, no segundo, uma circunferência de diâmetro PO. Se deslocarmos P, a tangente obtida permanece tangente à circunferência até desaparecer quando P recai sobre a circunferência. A produção de Cabri-Desenhos conduz, portanto, a um novo tipo de problemas — o da generalidade de um procedimento de construção.

Na reprodução de desenhos sobre papel/lápis, os conhecimentos geométricos podem representar uma ferramenta eficaz, mas sabemos também que o traçado empírico controlado simplesmente pela percepção pode fornecer um traçado visualmente satisfatório. A reprodução de Cabri-Desenhos desqualifica o traçado empírico controlado pela visualização. Ela exige também o reconhecimento de invariantes geométricos desse Cabri-Desenho no deslocamento, ou, dito de forma mais apropriada, ela exige que reconheçamos as propriedades geométricas com o auxílio de invariantes espaciais do desenho no deslocamento. Esse tipo de problema focaliza de forma particular a correspondência entre visualização de invariantes espaciais e sua descrição geométrica. Chamaremos de caixa preta essas situações-problema nas quais os alunos devem reproduzir um Cabri-Desenho na tela, de forma a obter um Cabri-Desenho com um comportamento idêntico quando do deslocamento. Essas atividades podem ser utilizadas no aprendizado das transformações geométricas.

A demonstração pode levar a outro nível no Cabri-Géomètre, uma vez que possibilita a explicação de fenômenos visuais ou mesmo a impossibilidade destes fenômenos. Desta forma, alunos da 5ª série5

perguntaram-se se um triângulo poderia ter dois ângulos obtusos (Bergue, 1992). A precisão do software e o deslocamento contínuo garantem aos olhos dos alunos a impossibilidade de obtenção de tal triângulo. Eles estão em situação de assimilar a questão da explicação de tal impossibilidade. Há devolução (Brousseau, 1986) do problema da prova matemática da inexistência de tais triângulos. A demonstração assume por isso um outro nível, o da explicação das propriedades espaciais que contradizem as expectativas dos alunos. Uma outra fonte de problemas, que leva a uma demonstração, consiste em pedir que se busquem as condições às quais um objeto geométrico deve satisfazer, para que se obtenha na tela um caso particular que resista ao deslocamento. Por exemplo, sendo A, B e C três pontos fixos, sob quais condições de D as mediatrizes do quadrilátero ABCD encontram-se em um mesmo ponto? (Figura 7). Os alunos podem obter o traço do ponto D manualmente, tentando satisfazer visualmente às imposições de intersecção das quatro mediatrizes. Eles obtêm o que um de nossos colegas, J. F. Bonnet, chama de lugar frouxo. Mais uma vez, a demonstração aparece como um meio de se certificar da natureza desse lugar frouxo.

Fig. 7

1 Equivalente, no Brasil, à 6ª série do 1º grau (N.Trad.).


Discussão do caráter adidático de situações de produção de Cabri-Desenhos

O caráter não didático de produção de Cabri-Desenho pode parecer mais fácil de ser satisfeito por duas razões:

— trata-se de mandar fazer e não de fazer um desenho; os alunos devem comunicar um procedimento de traçado ao dispositivo e não fazer o traçado por si mesmos. O dispositivo exige a distinção entre traçado e procedimento de traçado. Por outro lado, o professor não participa do processo de comunicação com o dispositivo;

— um Cabri-Desenho é, por definição, um desenho que conserva ao longo do deslocamento as propriedades espaciais distintivas das propriedades geométricas relacionadas ao objeto geométrico que ele representa; os procedimentos de traçado de modo aproximativo são desqualificados pelo próprio dispositivo. Pelo deslocamento, o software oferece uma invalidação dos traçados por aproximação, e os alunos são levados a efetivamente utilizarem as primitivas geométricas, para obterem o traçado na tela de um Cabri-Desenho de um objeto geométrico.

No entanto, será possível, a partir dessa constatação, fazer duas hipóteses suplementares segundo as quais:

— solicitar aos alunos se a produção de um Cabri-Desenho determinando o conjunto de primitivas geométricas disponíveis não abriria a possibilidade para uma pesquisa das expectativas do professor, favorecendo, dessa forma, aos alunos a pesquisa de procedimentos embasados em conhecimentos geométricos?

—a utilização das primitivas geométricas não se basearia necessariamente em um tratamento geométrico?

É evidente que não!

Gostaríamos de diferenciar essas hipóteses que fornecem um quadro demasiadamente contrastante das relações entre alunos e máquina. De um lado, fenômenos de contrato podem ser produzidos, assim como certas primitivas geométricas podem parecer aos olhos dos alunos de utilização mais desejável que as propostas pelo professor.

Por outro lado, admitimos a hipótese de que as estratégias empíricas dos alunos são reforçadas pelo fato de haver um número reduzido dos comandos de construção: é permitido que tentem construir o Cabri-Desenho solicitado, pela experimentação sucessiva de diversas combinações de menus, inclusive pelo número reduzido de primitivas geométricas. Não é a utilização de conhecimentos geométricos que controla o processo de traçado, mas a busca de uma série de menus que conduzam a um Cabri-Desenho que será validado pelo deslocamento. A concepção de situações adidáticas de construção geométrica com Cabri-Géomètre deve levar em conta a intensificação dessa dimensão empírica, escolhendo-se os traçados a serem realizados para os quais tais estratégias sejam difíceis e não conduzam ao sucesso.

Pudemos ainda constatar que se estabelece um jogo, entre uma atividade perceptiva favorecida pelo deslocamento, uma estratégia combinatória e a utilização de conhecimentos de Geometria, nas situações onde os alunos devem produzir um Cabri-Desenho, a partir de uma caracterização discursiva. Os alunos abordam o problema por combinações sistemáticas de menus sobre os objetos existentes. No entanto, pode ocorrer que descubram, por ocasião do deslocamento, um dos invariantes geométricos solicitados mais, relacionado a outros objetos que os desejados. Eles se colocam então em uma problemática geométrica, na qual buscam reobter esse invariante entre os objetos desejados e com esse objetivo, eles analisam geometricamente o que fizeram de forma empírica: a Geometria torna-se um meio que lhes permite controlar a reprodução de um invariante obtido de forma aleatória.


Validação da produção de um Cabri-Desenho

O ambiente também oferece uma validação pragmática de um Cabri-Desenho que satisfaça às condições dadas. Basta para tanto que o professor crie uma macroconstrução de argumentos dos objetos dados do problema que realizem a construção solicitada. Por exemplo, no problema do traçado de um quadrado de lado dado [AB], o aluno que queira verificar sua produção chama uma macroconstrução pré-gravada da construção de um quadrado de lado dado, aplica-a sobre [ AB] e pode verificar se sua produção coincide com o quadrado solução, com o deslocamento de A ou de B. A superposição de dois desenhos idênticos do papel/lápis é substituída aqui, pela superposição com o deslocamento de dois Cabri-Desenhos. Essa superposição, muito provavelmente, assegura a identidade dos objetos geométricos associados. Essa possibilidade de validação provou ser capaz de relançar os alunos na atividade, quando suas produções não satisfazem as condições solicitadas.

Conclusão

O reconhecimento visual pode, portanto, desempenhar um papel importante no ambiente Cabri-Géomètre. Ora, o reconhecimento visual de propriedades espaciais associadas às propriedades geométricas não é espontâneo e deve ser o objeto de um aprendizado. A associação entre visual e geométrico raramente tem sentido no ambiente papel/lápis, que destrói a distinção entre visual e geométrico (estreiteza do domínio de funcionamento e ausência de limites aparentes do domínio de interpretação). Como foi dito, o ambiente Cabri-Géomètre foi concebido para possibilitar a distinção entre visual e geométrico. A observação dos alunos mostra que a Geometria pode também aparecer no Cabri-Géomètre como um meio de reprodução do visual ou de sua explicação (explicação do comportamento de um Cabri-Desenho). O geométrico não seria construído nesse ambiente somente como paliativo dos limites do visual,

mas também na ligação corn o visual; o geométrico é uma ferramenta de modelização do visual. E uma dimensão que nos parece interessante, na medida em que a Geometria encontra sua origem no controle dos fenômenos espaciais.

Entre, de um lado e o duelo visual e geométrico de outro a ruptura entre esses dois aspectos, um caminho diferente nos parece possível, no qual o aprendizado da Geometria, em seu início, consistiria no aprendizado do controle das relações entre visual e geométrico. O ambiente Cabri-Géomètre oferece possibilidades de organização de um meio para a aprendizagem desse controle por três razões:

— os fenômenos visuais ganham importância pela dimensão dinâmica do Cabri-Desenho;

— esses fenômenos são controlados pela teoria, pois são o resultado de uma modelização gráfica e de um modelo analítico de propriedades geométricas;

— as possibilidades sem limites de situações geométricas que podem ser visualizadas com um grande número de objetos de forma precisa.


ART1GUE, M. Analyse de processus en environnement informatique. Petit X, n.26, p.5-27, 1991.

BELLEMAIN, F., CAPPONI, B. Spécificité de 1'organisation d'une séquence d'enseignement lorsde l'utilisation de 1'ordinateur. Educational Studies in Mathematics, v.23, n.l,p.59-97, 1992.

BERGUE, D. Une utilisation du logiciel "Géomètre" en 5éme. Petit X, n.29, p.5-13, 1992.


BERTHELOT, R., SALIN, M.H. Tenseignement de l'espace et de Ia géométrie dans Ia scolarité obligatoire. [S.l.], 1992. Tese — Université Bordeaux 1.

BESSOT, A. Representation graphiques et maitrise des rapports avec I'espace. Montreal, Canada: Université du Quebec à Montreal, 1993. (Publications du RADE).

BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, v.7, n.2,p.33-115, 1986.

CAPPONI, B. Modifications de menus dans Cabri-géomètre: des symétries comme outils de construction, PetitX, n.33, p.37-68, 1993.

CHEVALLARD, Y. Autour de 1'enseigenment de la géométrie. PetitX. n.27, p.41-76, 1990.

CORDIER, F., CORDIER, J. Uapplication du théorème de Thales. Un exemple du rôle des représentations typiques comme biais cognitifs. Recherches en Didactique des Mathématiques, v.ll, n.l. p.45-64, 1991.

DUVAL, R. Pour une approche cognitive des problèmes de géométrie en termes de congruence. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Université Louis Pasteur et IREM de Strasbourg, v.l, p.57-74, 1988.

F1SHBEIN, E. The theory of figurai concepts. Educational Studies en Mathematics, v.24, n.2, p. 139-162, 1993.

FISHER. Visual influences of figure orientation on concept formation in geometry. In: RECENTE Research Concerning the development of spatial and géométrie concepts. Colombus, Ohio: ERIC Center for Sciences, Mathematics and Education: Ohio State University, 1978.

GRAS, R. Une situation de construction géométrique avec assistance logicielle, Recherches en Didactique des Mathématiques, v.8, n.3, p. 195-230, 1987.

LABORDE, C. Enseigner Ia géométrie: permanences et révolutions. Quebec, 1992. Conference pléniére au 7éme Congrés International sur l'Enseignement des Mathématiques, ICME 7, Quebec, Canada, ago. 1992.

LABORDE. J. M., STRÀSSER, R. Cabri-Géomètre, a microworld of geometry for gruided discovery learning. Zentralbaltfür Didactik der Mathematik, v.90, n.5, p. 171-90, 1990.

MARGOLINAS, C. De I 'importance du vrai et du /aux dans Ia classe de mathématiques. [S.l.]: La Pensée Sauvage. 1993. 256p.

MARIOTTI, A. Age variant and invariant éléments in the solution of unfonding problems. In: FURINGHETTI. F. (Ed.). Proceedings of PME XT. Assisi, Itália, 1991. v.2 p.389-396.

MESQUITA, A.L. L 'influence des aspects figuratifs dans I 'argumentation des éléves: éléments pour une typologie. Strasbourg, 1989. Tese (Doutorado) — Université Louis Pasteur.

NOIRFALISE, R. Figures préganantes en géométrie? Repères — IREM, n.2, p.51-58, 1991.

PADILLA, V. Les figures aident-elles à voir en géométrie? Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, ULP, IREM de Strasbourg, v.3, p.223-252, 1990.

PARZYSZ, B. Knowing vs seeing: problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, v. 19, n.l,p.79-92, 1988.

SERRES, M. Les origines de Ia géométrie. Paris: Flammarion, 1993.


COMO AS CRIANÇAS ENTENDEM A NOÇÃO DE ROTAÇÃO/ ÂNGULO?*

Sandra Magina**

Entre o conhecimento e a aprendizagem

Uma questão antiga dentro da Psicologia Cognitiva gira em torno do papel da aprendizagem e do conhecimento na formação de conceitos. Muitos pesquisadores da Educação Matemática têm adotado o construtivismo como posição teórica, mas mesmo esse guarda-chuva abraça posições que vai desde as mais psicológicas até as mais epistemológicas. A pesquisa descrita aqui foi guiada pelo construtivismo sob uma perspectiva da Psicologia apoiada nas teorias de Piaget e Vygotsky e evidenciada, em particular, pelos trabalhos de Vergnaud e Nunes. A principal proposição do construtivismo diz que a criança constrói sua própria versão da realidade através de suas experiências, onde, nesse processo, ela tem um papel ativo na criação de novas relações entre idéias já existentes e a incorporação de novos pedaços de informação. Isto permitirá o surgimento de novas estruturas. Piaget (1960), talvez o mais conhecido dos construtivistas, advoga que a aprendizagem é resultado de dois processos inter-relacionados, ação e internalização dessa ação,

• O presente trabalho faz parte de um projeto mais amplo, o qual teve como objetivo mapear o caráter multidimensional da concepção de ângulo da criança que envolviam a construção e interpretação de ângulos. Visto que o interesse maior se pautou em questões desenvolvimentais, foi adotada uma abordagem crois-seccional, onde 54 crianças divididas em nove grupos de idades, variando entre 6 e 14 anos, responderam às mesmas tarefas. Aqui serão apresentados e discutidos os resultados derivados de apenas um contexto, o relógio analógico, considerando somente sua realização na situação do dia-a-dia.

"" Di Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

que acontecem durante o desenvolvimento da criança. Vygotsky (1962), também desenvolvimentalista, enfatiza a ação do sujeito no processo de aprendizagem. Ele defende como ponto central de sua teoria que o conhecimento é determinado social e culturalmente. Então, embora similar em alguns aspectos básicos, esses dois autores construíram teorias de caminhos distintos, onde Piaget dá ênfase ao biológico/individual e Vygotsky, ao social/cultural.

Uma outra diferença entre os dois teóricos reside no papel que o ensino tem no desenvolvimento da criança. Para Piaget, o ensino tem um papel limitado na aquisição do conhecimento e desenvolvimento, ao passo que para Vygotsky o ensino é o principal catalisador para a apropriação de conceitos, já que ele estabelece a direção do desenvolvimento mental da criança. Esta posição é evidente na sua noção de "zona de desenvolvimento proximal", a qual contrasta o nível efetive do desenvolvimento da criança —a função psicointelectual que a criança já alcançou — com seu potencial de desenvolvimento (Vygotsky, 1991).

De acordo com o ponto de vista de Piaget (Piaget, Inhelder, Sinclair, 1968; Furth, 1969), o conhecimento envolve mais do que uma simples descrição das coisas, ele está ligado com a operação dessas coisas. O primeiro aspecto do conhecimento — a descrição de coisas que Piaget chama de conhecimento figurativo — está presente em qualquer percepção, enquanto que o segundo aspecto do conhecimento — a operação sobre as coisas que Piaget chama de conhecimento operativo — diz respeito à transformação dos estados de realidade; ele envolve o pensamento lógico. Furth sumariza o conhecimento operativo da criança como sendo "sua própria atividade no mundo exterior". Da perspectiva da Educação Matemática, Laborde pontua uma crucial diferença entre desenho — que está relacionado com aspectos visuais e expressa apenas algumas propriedades do problema a ser resolvido — e figura — que embora seja uma representação material, está principalmente relacionado à conceitos teóricos. Numa linguagem piagetiana nós podemos dizer que "desenho" está relacionado ao conhecimento figurativo e "figura" ao operativo.


Tanto Vergnaud (1984 e 1987) como Nunes têm baseado seus estudos de concepções matemáticas nessas fundamentais teorias. Vergnaud afirma que o conhecimento é o pivô da aprendizagem, argüindo que a aprendizagem depende significantemente do conteúdo a ser ensinado. Ele sugere que a criança deve interagir com o conteúdo dentro de situações-problemas, onde os conceitos relevantes devem ser significantes para ela. Ele ainda advoga que o conhecimento se forma dentro do que ele chama de "campo conceptual" — um consistente elo entre um conjunto de situações que requer uma diversidade de conceitos, ações (invariantes. que podem estar relacionados com a competência ou com a concepção). e o domínio de sua representação simbólica.

Já Nunes (1991) ressalta a importância do que ela chama "situações semânticas" — um rico lugar de aprendizagem (não necessariamente no mundo real), onde é possível as crianças apreciarem o sentido e propósito de suas atividades.

Nosso estudo, parte do qual e relatado aqui, visa a identificar os esquemas de ângulo da criança1, isto é, os invariantes de suas ações dentro de situações envolvendo ângulo. O estudo foi delineado de tal forma a detectar nas respostas das crianças os significantes através dos quais os invariantes, implícitos e explícitos, são expressos. Sendo assim, tanto as respostas das crianças coito as subseqüentes explicações para as estratégias utilizadas foram consideradas no estudo. Assim sendo, o comportamento das crianças foi considerado não meramente como uma manifestação da cognição individual, mas principalmente como o produto de uma infinidade de facetas compreendendo um indivíduo num mundo socialmente constituído.

A concepção de ângulo das crianças

A maioria das recentes pesquisas sobre as concepções de ângulo das crianças está firmemente arraigada no paradigma das "concepções enganosas". Os estudos têm identificado uma série de respostas "incorretas" das crianças para as questões de ângulo e explicado seus achados através da referência a certos elementos da situação-tarefa (cf. Clese, 1982; APU, 1987). Essas concepções enganosas referem-se à falha no reconhecimento de ângulos retos, agudos e obtusos em outras orientações que nâo a vertical/horizontal; da confusão entre um ângulo c o tamanho de seus raios; e da dificuldade em identificar os ângulos dentro de uma figura complexa. Em todos esses estudos as questões foram postas no contexto do papel e lápis e pouca ou nenhuma importância foi dada para as interpretações do estudante da situação-tarefa.

Outro contexto no qual se pode explorar problemas envolvendo ângulo é o dia-a-dia. Infelizmente, há poucas pesquisas explorando ângulo nesse contexto, o que implica que pouco se sabe sobre como as noções espontâneas de ângulo das crianças co-existem com o conceito formal advindo da escola. Considerando o que foi exposto acima com a posição de Freudenthal (1973), o qual defende que a Geometria deve ser vista como um ato de apropriação do espaço onde vivemos, respiramos e movemos, é razoável pensar então que o entendimento de ângulo da criança surge, pelo menos em parte, de suas próprias experiências a partir da sua interação com o seu meio ambiente. Há, claro, vários contextos do dia-a-dia onde a criança poderia lidar com a noção de ângulo. Um deles c o do relógio analógico, o qual foi objeto deste estudo.

O estudo

Amostra

O presente estudo foi realizado em Recife, cidade situada no Nordeste do Brasil, onde 54 crianças entre 6 e 14 anos, advindas de uma escola particular para classe média2, foram divididas, de acordo com suas idades e

1 O termo "esquema" segue a descrição de Vergnaud (1984 e 1987) que, por sua vez, tem sentido similar ao de Piaget. Esquema refere-se a uma ação organizada que pode ser transferida ou generalizada através de sua repetição em situação análoga. Em outras palavras, um esquema é a formação de um conceito ainda de forma limitada porque ele é usado em apenas um sentido. 1 O critério para classificar a amostra como classe média baseou-se no valor da mensalidade cobrada pela escola


nível de escolarização, em nove grupos de seis crianças cada. Assim sendo, seis crianças de 6 anos e cursando a alfabetização, formaram o grupo mais novo da amostra, seis crianças de 7 anos, cursando a primeira série, formavam o grupo seguinte, e assim por diante até chegar nas seis crianças de 14 anos que cursavam a oitava série.

Por que relógio?

Diversas foram as razões que nos levaram a explorar a noção de ângulo das crianças através do relógio analógico. A primeira delas foi por causa do sentido semântico que o relógio tem no dia-a-dia das pessoas. De fato, o relógio é uma ferramenta presente e familiar em praticamente toda parte do mundo, o que inevitavelmente tem um potencial para evocar um conjunto de estratégias espontâneas na criança através da sua ação de dar sentido ao tempo. Adicionalmente, apesar do relógio digital ter se tornado o mais popular dentre os modelos de relógios, os analógicos ainda são usados em larga escala, principalmente nas escolas.

Uma segunda razão foi de cunho pragmático, ou seja, nós entendemos que perguntar às crianças "sobre tempo" implica situações mais fáceis de serem modeladas e para tanto nós usamos relógios feitos cm cartolina. Como terceira razão, temos o fato de que a medição de ângulo por rotação faz parte do modo pelo qual o tempo pode ser representado nesse tipo de relógio.

Finalmente, apontamos o fator cultural como mais uma razão. Embora os números na face do relógio sejam obviamente importantes na quantificação das horas para uma pessoa de qualquer nacionalidade, no Brasil o número 6 tem um significado especial. Entre nós, o número 6 está intrinsecamente associado ao valor de meia dúzia e metaforicamente ele é muito usado como "meia", o que torna comuns expressões como "meu telefone é dois, meia, oito, um, meia. três, zero" (para o telefone de número 268 1630). Por tanto, o número 6, por causa do seu sentido cultural, pode ser um elemento a mais de informação neste estudo.

Vale a pena salientar que com relação à influência do ensino, sabemos que não é de responsabilidade da escola ensinar seu alunos sobre relógios (como um relógio funciona e como ele nos informa as horas), embora saibamos que algumas escolas o fazem. No caso da escola deste estudo isso não ocorria, o que nos permite assumir que praticamente tudo que as crianças sabiam sobre relógio derivava de suas próprias experiências fora da escola. Através de atividades utilizando relógios de vários tamanhos feitos, seja em cartolina, nós sentimos que teríamos um rico contexto para explorar uma série de questões no que tange à noção de ângulo. Questões do tipo: "como as crianças 'medem' o tempo no relógio: através dos números ou por medidas espaciais"? "Suas estratégias são afetadas pelas características físicas do relógio: sua forma, seu tamanho, a presença ou ausência de números em sua face"? "As diferentes representações do relógio (mudança no significante ou no meio no qual ele foi desenhado) influenciam as respostas das crianças"? E. finalmente, "é possível identificar progressos entre os grupos de crianças e, se sim, quais são as mudanças reveladas — como, digamos, crianças de 6 anos diferem, no modo de construir e comparar ângulos, das de 13 anos? está esse progresso associado à instrução escolar"?

Descrição das atividades na situação do dia-a-dia (relógios de cartolina)

Nessa situação foram usados nove relógios divididos em três grupos, a saber: três relógios grandes de formato circular cuja cartolina era de cor azul, três pequenos também de formato circular feitos em cartolina de cor vermelha, e três de cor preta e formato oval. dois dos relógios de cada conjunto não tinham números e um tinha. As cores diferentes de cada grupo de relógios ajudavam na distinção das respostas das crianças. As atividades foram desenvolvidas seguindo a orientação horária.


a) Atividades de Prediçáo

As cinco primeiras atividades pediam para a criança predizer a posição do ponteiro dos minutos meia volta/meia hora depois do tempo mostrado na face do relógio. Em cada caso era pedido para que a criança movesse o ponteiro dos minutos para o lugar que ela achasse correto e depois para que ela justificasse sua predição. Nas três primeiras atividades (Figura 1) pediam que a criança girasse o ponteiro meia volta, enquanto nas duas últimas meia hora (Figura 2). O tempo inicial, o formato, o tamanho e a presença e ausência de números na face do relógio variavam de atividade para atividade, como se pode ver nas figuras abaixo:

Figura 1: Atividades envolvendo predição de meia vota

Por causa da ausência de números nos relógios e porque as questões diziam respeito aos giros do ponteiro ao invés de sua hora, essas três atividades requeriam um baixo nível de competência; as crianças não precisavam ter qualquer conhecimento da métrica do relógio nem de

saber sobre ângulo; tudo o que precisavam saber para resolver essas atividades era o que significava meia volta e estarem aptos a fazer uma rotação nos relógios. Portanto, nós consideramos as atividades 1, 2 e 3 mais fáceis que as seguintes.

— Atividades 4 e 5: três relógios, circular grande e pequeno e oval, todos com números mostrando 12h (atividade 4) e 12: lOh (atividade 5), foram apresentados simultaneamente à criança.

Figura 2: Atividades envolvendo predição de meia hora

Nós consideramos que a introdução de números nos relógios significa uma nova variável para as crianças. Além do mais, o fato de termos introduzido simultaneamente três formatos de relógios indicando a mesma hora, pode causar alguma confusão se elas tomarem o formato como um invariante. Por outro lado, se elas souberem usar a métrica do relógio, elas não terão nenhum problema para resolverem as atividades, mesmo tendo sido introduzidas essas variáveis. Outro ponto a ser considerado aqui é que o número 6 como significando "meia" pode trazer também alguma dificuldade. Se sim, elas resolverão a atividade 4. mas não a 5.


b) Atividades de Comparação

As três atividades que envolveram a comparação de tempo entre relógios, apresentaram relógios ora com ponteiros começando em posições diferentes, ora relógios de tamanhos e formatos diferentes. Tendo em vista que nossa intenção era "brincar de relógio" ao invés de ter situações precisas de horas, nós não giramos o ponteiro das horas em perfeita sintonia com o dos minutos. Nesse sentido, nós estávamos realmente trabalhando com uma situação semântica para o relógio.

— Atividade 6: foram usados seis relógios (dois de cada formato), todos sem números e indicando 12h, os quais foram mostrados simultaneamente à criança. Foi dito à criança que cada um daqueles relógios tinha sido entregue a um aluno para marcar o tempo que ele gastava fazendo sua tarefa de casa. Era a pesquisadora quem girava os ponteiros de cada relógio até que este chegasse na hora em que a tarefa de casa de cada suposto aluno tivesse terminado. Eram perguntadas à criança duas questões:

1) Que aluno gastou mais tempo na tarefa (aponte para o relógio do aluno);

2) Que aluno gastou menos tempo na tarefa (aponte para o relógio do aluno).

Sempre que requerida, a pesquisadora repetia a ação de "rotacionar" os ponteiros dos relógios. A posição final dos seis relógios estão apresentadas na Figura 3.

Figura 3: Comparando seis relógios simultaneamente

Através da atividade 6 nós poderemos observar se a rotação é algo considerado pela criança, ou se outras variáveis irrelevantes, tais como formato dos relógios e distância entre seus ponteiros na posição final, influenciam mais fortemente as suas respostas.

— Atividades 7 e 8: as comparações aqui pedidas eram entre relógios que girariam meia hora, porém teriam posições iniciais, e conseqüentemente finais, diferentes um do outro. A pesquisadora usou a mesma estória da tarefa de casa da atividade anterior, com a diferença que a pergunta agora era se os alunos tinham gasto ou não o mesmo tempo para resolverem suas tarefas de casa e como era possível saber. Na atividade 7 os relógios envolvidos eram um circular pequeno e um oval, enquanto na atividade 8 foram usados um relógio circular pequeno e um circular grande. Todos eles com números, como mostra a Figura 4.

Figura 4: Comparação de 1/2 hora entre dois relógios que mostram horas diferentes


A nova variável introduzida nessas duas últimas atividades foi a diferença na hora que um relógio apresentava com relação ao outro, tanto nas suas posições iniciais como finais. Para obter sucesso aqui a criança deve ter consciência de que o lugar onde o ponteiro dos minutos estará meia hora depois depende de sua posição inicial. Se a criança levar em consideração apenas a posição final, ela responderá que o relógio oval (para a atividade 7) e o circular pequeno (para a atividade 8) trabalharam mais.

Resultados das atividades de predição

Predição de meia volta: os resultados obtidos para as atividades 1, 2 e 3 mostram que as crianças, exceto as de 6, 7 e talvez 8 anos, não apresentaram dificuldades para resolver estas atividades. Isso significa que acima de 8 anos as crianças sabiam fazer meia volta, isto é. estavam aptas a fazer uma rotação corretamente.

Predição de meia hora: o primeiro resultado importante a relatar é que as crianças deram a mesma resposta para os três formatos de relógios, seja na atividade 4 ou na 5, isto é, eles acertaram ou erraram consistentemente, mas as respostas podiam diferir da atividade 4 para a 5.

A Tabela 1 mostra os números de respostas incorretas, em cada idade, para as cinco primeiras atividades.

Tabela 1

Número de respostas incorretas para predição de meia volta e meia hora

Ensino Fundam.

Ensino Médio

TOTAL % incor.

Idadade 6 7 8 9

1O 11 12 1 3 14

Meia Ativ. 1 Tempo início 12:00

6 5 0 1 1 0 0 O 0

13 24.1

volta Ativ. 2 Tempo início 12:30

4 5 0 1 0 0 0 0 0

1 0 18.5

Ativ. 3 Tempo início 11:45

6 4 2 1 0 0 0 0 0 13

24.1

Meia Ativ. 4 Tempo início 12:00

3 3 0 0 0 1 0 0 0 7

13

hora Ativ. 5 Tempo início 12:10

6 6 3 4 2 3 1 1 0

2 6 48.1

Discussão

Idade: a análise dos dados através da idade mostra uma forte tendência à melhoria de performance com avanço da idade; crianças de 6-7 anos tiveram uma considerável dificuldade com todas as tarefas, crianças entre 12 e 14 anos praticamente não cometeram erros e crianças entre 8 e 11 anos se saíram muito bem em algumas atividades e em outras não. Esses achados apontam para um efeito desenvolvimental, mas a influência do ensino de ângulo, principalmente para o ensino médio, deve ser levado também em consideração.

Estratégia: nas atividades de 1 a 3 os números não estavam presentes nas faces dos relógios, o que "forçava" as crianças a usarem rotação como única métrica disponível. Adicionalmente, foi pedido especificamente a elas para girarem o ponteiro dos minutos por meia volta . As crianças acima de 10 anos tiveram uma performance praticamente perfeita, enquanto as crianças de 6 e 7 anos apresentaram bastante dificuldades. As crianças entre 8 e 10 anos variaram em suas performances.


Na atividade 4 houve poucos erros de um modo geral. As crianças mais novas cometeram a maioria dos erros, o que confirma nossa hipótese do efeito desenvolvimental, porém o número de erros tanto das crianças mais novas (6 e 7 anos) como das crianças de idades intermediárias (entre 8 e 10 anos) foi consideravelmente reduzido. Já na atividade 5, houve um considerável aumento nos erros nâo apenas por parte das crianças mais novas como também no grupo de idades intermediárias e mesmo no grupo das mais velhas. A partir das respostas das crianças nas atividades 4 e 5, nós podemos distinguir quatro tipos de estratégias:

Sem estratégia: quando a criança dá explicações irrelevantes. Isso foi encontrado em cinco das seis respostas do grupo de 6 anos e em três do grupo de 7 anos. Exemplos desse tipo de respostas são:

É aqui porque o ponteiro quer (6 anos);

Eu ainda não aprendi horas (6 anos);

Depois de meia hora o ponteiro tem que ficar noutro lugar, qualquer lugar (7 anos).

Representação fixa: quando a criança associa o lugar de meia hora com o lugar do número 6 no relógio. A estratégia da representação fixa ocorre quando a criança usa o aspecto do conhecimento figurativo, onde a posição do número 6 aparece como um rótulo para meia hora. Nesse caso, a criança pode ter sucesso na atividade 4, mas não na 5. Esse tipo de estratégia foi encontrada em crianças desde 6 anos até 13 anos. Três exemplos desse tipo de estratégia são dados a seguir:

Eu tenho que parar no número 6 porque meia hora é meia e meia é 6 (7 anos);

Meia é no número 6(11 anos);

O número 6 significa meia e você me perguntou por meia hora (13 anos).

Erro de contagem: quando a criança começa a associar a idéia de meia hora com pular um certo número de espaços na face do relógio. Contudo, ela não tem certeza como fazer isso. A criança aqui se encontra num nivel de transição entre o conhecimento figurativo e operativo. Em termo de competência das crianças, nós podemos distinguir dois subníveis. No subnível mais baixo a criança parece misturar a estratégia da representação fixa corn a estratégia de contagem, isto é, na atividade 4 ela associa meia hora com a posição do número 6 e na atividade 5, baseado na atividade anterior, ela conta do 12 até o número 6 (considerando inclusive o 12) e então pula 7 números, como mostra o exemplo abaixo:

Na última tarefa eu pulei 7 números para parar no meia e agora eu fiz a mesma coisa... contei 7 números (10 anos).

Eu contei e fui pulando ... contei 7 (9 anos).

No segundo subnível as crianças tentam evitar o rótulo do número 6, elas agora passam a usar apenas a idéia de pular. No entanto, elas apresentam dúvidas se o número inicial entra na contagem ou quantos números devem ser pulados. Os exemplos abaixo ilustram essas duas dúvidas:

Eu contei seis números e então coloquei o ponteiro no sexto (contando o número onde o ponteiro se encontrava inicialmente como o primeiro número).

Para ser meia hora tem que mover o ponteiro três números.

Estratégia coordenada: quando a criança consegue coordenar meia hora com o ato de pular seis números, porque quando o ponteiro passa por seis números significa que se passaram 30 minutos. Para essas crianças,


meia hora é o mesmo que meia volta, na situação do relógio e para tanto é preciso levar em consideração a posição inicial do ponteiro. Essas crianças demonstram um claro entendimento de rotação em consonância com a métrica do relógio, elas estão usando o conhecimento operativo. Todas as crianças de 14 anos e mais a maioria das de 13 e 12 anos explicaram suas predições usando esse tipo de estratégia, como mostram os exemplos abaixo:

Uma hora é 60 minutos, metade é 30. Se eu contar seis números eu chego na metade porque no relógio tem 12 números que formam 1 hora e a metade é 6 (14 anos);

Meia hora é o mesmo que meia volta, o ponteiro tem que parar no meio da volta toda, mas depende de onde ele começou a rodar (13 anos).

Resultados das atividades de comparação

Tabela 2

Número de respostas incorretas nas atividades de comparação

Ensino

Fundam.

Ensino

Médio

Idade

6

7

8

9

10

11

12

13

14

TOTAL

% incor.

Ativ. 6

Gastou +

tempo

Gastou •

tempo

Respost. incorret.

segundo a idade

5

4 4

4

3

3

2

1

0

26 48.1

5

3

3

3

3

1 1

1

0

24

44.4

Ativ. 7

Tradalhou mais

Circular

pequena

com. 13:10

0

1

1

0

0

0

0

0

0

2

Oval

com. 13:15

S

5

4

5

5

3

1

0

0

28

Total

incor.

5

6

5

5

5

3

1

0

0

30 55.5

Ativ. B

Trabalhou mais

Circ. grande

com. 13:10

2

1

1

0

0

0

0

0

0

4

Circ. peq.

com. 13:15

3

5

3

5

3

2

1

0

0

22

Total

incor.

5

6

4

5

3

2

1

0

0

26 48.1

O primeiro resultado a discutir é que as crianças fizeram menos erros na atividade 6 (comparação simultânea de seis relógios) que na 7, onde só dois relógios estavam envolvidos. Isto foi particularmente notado entre as crianças de até 10 anos. A primeira vista, esse resultado pode parecer estranho e alguém poderia pensar que comparar seis relógios terminando em tempos diferentes seria uma tarefa bem mais difícil que comparar apenas dois. Contudo se olharmos mais cuidadosamente para as duas tarefas em questão, podemos notar duas grandes diferenças entre elas. as quais nos levarão a um pensamento oposto. A primeira delas diz respeito à diferença na posição inicial dos ponteiros nas tarefas, ou seja, enquanto na atividade 6 todos os relógios começam na mesma posição, eles ainda começam em cima do número 12 (uma posição simétrica), na atividade 7 os ponteiros começam em posições distintas e não simétricas. A segunda diferença é que na atividade 6 nenhum dos seis relógios tinha números em suas faces, o que permitia à criança pensar (se quisesse) só em termos de rotação, ignorando a métrica do relógio. Além disso, na atividade 6 cada relógio moveu diferente quantidade de tempo, e seus ponteiros pararam em lugares diferentes, o que coincide com um raciocínio intuitivo, isto é, você tem diferentes posições finais se você trabalhou diferentes quantidades de tempo. Já na atividade 7, os dois relógios terminaram em posições diferentes, mas trabalharam a mesma quantidade de tempo.

Nós sugerimos então que a diferença na performance entre as atividades 6 e 7 origina-se da posição inicial do relógio, particularmente quando esta nâo é 12h. Quais as implicações desta interpretação? Ela inevitavelmente nos leva a conjecturar que as crianças não estavam pensando em termos de rotação ou medição dinâmica de meia volta — mesmo que isto tenha sido mostrado a eles através das inúmeras vezes que os ponteiros foram "rotacionados" pela pesquisadora — ao contrário, elas estavam focando outros aspectos da situação, tais como, apenas a posição inicial, apenas a posição final ou, ainda, a relação espacial dos ponteiros.


Para explorar nossa hipótese mais profundamente, vamos analisar primeiramente a atividade 6. Primeiro, a despeito da melhoria com a idade, ainda tivemos que 13 das 50 respostas incorretas vieram das crianças que cursavam o estudo médio, onde é esperado que nessa faixa de idade as crianças já teimam total familiaridade e dominio com a métrica do relógio. Das 26 respostas incorretas referentes à parte da atividade que perguntava qual dos relógios tinha andado mais, 23 responderam que foi o oval (mostrando 14:45). Para essas crianças, nós sugerimos, o que foi levado em consideração foi a posição final dos relógios, e em particular quão longe um ponteiro estava do outro, como ilustrado pela explicação de um garoto de 9 anos que, tendo escolhido o relógio oval como aquele que tinha trabalhado mais, justificou da seguinte maneira: "eu sei por causa dos ponteiros, eles estão muito longe um do outro. Veja esse ponteiro aqui (apontando para o ponteiro dos minutos) está do outro lado". Da mesma forma uma criança de 12 anos escolheu o oval argumentando que "é por causa da diferenças entre os ponteiros". Então nos parece que, junto com a posição final dos ponteiros, o formato dos relógios também contribuiu para essa escolha. Essas crianças estavam usando a métrica do espaço e ignorando a métrica do movimento. Vale salientar que apenas 5 crianças da escola média cometeram erros, o que provavelmente nos aponta para um efeito de idade e/ou ensino escolar.

Olhando agora a atividade 7, nós vimos que das 30 respostas erradas 28 responderam que o relógio oval tinha trabalhado mais. Examinando as explicações das crianças para essa escolha, nós sugerimos três possíveis interpretações: primeiro, algumas crianças simplesmente olharam para a posição final dos ponteiros nos relógios, vendo que no oval o ponteiro dos minutos terminou em cima do número 9 e no circular pequeno num número antes. Essas crianças assumiram implicitamente que o ponto inicial dos relógios era o mesmo. A resposta de uma garota de 10 anos exemplifica bem essa interpretação: "este (relógio oval) está mostrando 45 minutos e esse (relógio circular pequeno) andou 40 minutos".

Segundo, algumas crianças foram influenciadas pelos formatos do relógios, como ilustra a resposta de um garoto de 8 anos que escolheu o oval: "esse (ponteiro dos minutos do relógio oval) parou mais longe do outro ponteiro (ponteiro das horas do mesmo relógio) que esse (ponteiro dos minutos do relógio circular pequeno) desse ponteiro aqui (ponteiro das horas do circular pequeno)".

A terceira interpretação é que algumas crianças tenham considerado em suas respostas os ângulos formados pelos ponteiros depois do giro de meia hora (a pesquisadora girou apenas o ponteiro dos minutos). Um exemplo disso foi encontrado na resposta de uma garotinha de 6 anos, que justificou que o relógio oval andou mais porque "ele terminou muito aberto". Todas essas respostas indicaram falhas para reconhecer a irrelevância dos formatos ou dos tamanhos dos ponteiros em questão, ou ainda falha em não considerar o ponto final em relação ao inicial. Parece claro que essas crianças não estavam considerando o movimento feito de um ponto a outro ponto. Em outras palavras, essas crianças resolveram as atividades através do conhecimento figurativo.

Um perfil similar foi encontrado na atividade 8, onde 22 das 26 respostas incorretas disseram que o relógio circular pequeno trabalhou mais que o grande. Novamente podemos discutir que esse tipo de resposta foi influenciado pelas posições finais dos relógios, como ilustra a resposta de uma garota de 8 anos que explica: "aqui é 9 e 9 é mais que 8, vem depois", ou a resposta de um menino de 10 anos: "aqui (circular pequeno) é 45 minutos e aqui (circular grande) é 40, então o que foi 45 andou mais".

É importante salientar que o tamanho e/ou formatos dos relógios, que não foram relevantes para essas crianças nas cinco primeiras atividades, passou a ser nas três últimas.


Conclusão

A primeira conclusão está relacionada com o fator de desenvolvimento. De fato, embora não possamos desconsiderar o efeito do ensinamento escolar sobre a performance dessas crianças, nós percebemos que é possível dividir as crianças em três subgrupos: grupo 1, composto por crianças de 6 e 7 anos, que mostrou grande dificuldade para resolver todas as atividades. Este grupo apresentou uma performance um pouquinho melhor nas atividades de predição que no reconhecimento de giros. O grupo 2. formado por crianças entre 8 e 11 anos. apresentou claras dificuldades nas atividades de comparação, enquanto que nas de predição se saiu muito melhor. Finalmente, o grupo 3, que incluía as crianças entre 12 e 14 anos, foi aquele onde as crianças se saíram bem tanto nas tarefas de comparação como nas de predição. Diferentemente dos dois grupos anteriores, onde crianças de diferentes idades mostraram performances similares, no grupo 3 os resultados das crianças de 12 anos foram claramente inferior aos de 13 e 14 anos, mas, por outro lado, seus resultados foram duas vezes superior aos das crianças do grupo 2.

Em resumo, podemos dizer que a principal variável do grupo 1 foi o não conhecimento da métrica do relógio; no grupo 2 a variável mais importante foi a condição das atividades, isto é, comparar horas foi mais difícil que predizê-las. Dois fatores devem ser levados em consideração aqui, primeiro que é por volta dessas idades que as crianças estão aprendendo a reconhecer horas no relógio, isto é, elas estão formando os invariantes desse conceito. O segundo fator é que a Geometria ensinada para alunos até a quarta série se centra basicamente no estudo das formas das figuras. Com esses dois fatores em mente, podemos interpretar que as crianças do grupo 2 são, em geral, competentes para predizer giros em termos de rotação, contudo, em relação à hora, essas crianças são fortemente influenciadas por algumas variáveis irrelevantes, tais como formato, distância final entre os ponteiros ou representação fixa. Por fim, pareceu-nos que nenhuma dessas variáveis foram suficientes para influenciar as performances das crianças do grupo 3, exceção, talvez, para as crianças de 12 anos.

Com relação ao sistema de sinais, notamos que o número 6 representou não apenas um número — um referente — mas também o lugar da meia hora — conhecimento figurativo, relacionado com a memória das crianças — ou ainda a quantidade de números a ser pulados a fim de se chegar a meia hora — transição entre os conhecimentos figurativo e operativo — para, finalmente, ser internalizado como um invariante de concepção. O modo pelo qual as crianças dos diferentes grupos trabalharam com o número 6 nos mostrou a importância da representação interna para a formação simbólica do conceito. Assim sendo, foi possível detectar três estágios nessa formação: no primeiro, o número 6 está associado a meia hora. mas como sendo um lugar fixo, ou seja. meia hora tem seu lugar fixo no relógio. No segundo estágio, as crianças percebem que o número 6 está relacionado com meia hora e isso significa pular seis números, contudo não está ainda claro se a posição onde o ponteiro se encontra deve ou não ser contada. Por fim, num terceiro estágio, as crianças fazem relação entre o número 6 ou meia volta, que na situação do relógio significa meia hora e que isso implica pular seis números a partir do número seguinte ao que o ponteiro se encontra em sua posição inicial. Aqui o referente não é mais o número 6. mas seis números; o significante para 6 continua sendo "meia", mas no sentido de metade, de meio; e o significado dessa quantidade deixa de ser uma visão estática e assume uma perspectiva dinâmica, onde a rotação do ponteiro se torna o principal foco.

Com relação à influência da escolarização, acreditamos que certamente ela existe, uma vez que é quase impossível a criança aprender a métrica do relógio sem saber a tabuada de 5. Contudo, esse fato parece está mixigenado tanto com o fator de desenvolvimento quanto com a questão cultural', advinda da própria experiência da criança dentro do seu meio ambiente.

1 Estamos considerando como um fator cultural, por exemplo, o significado do número ó para a sociedade brasileira: se nós estávamos perguntando a criança sobre 'meia' (seja meia volta ou meia hora) e 6 significa meia em nossa sociedade, então 6 passa a ser um importante invariante a ser apropriado por essas crianças na direção de sua formação de conceitos.

Em Abertn Brasilia, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994


APU. Primary andsecondary Survey: report n. 1. London: HMSO, 1987.

CARRAHER, T.N., CARRAHER, D.W.. SCHLIEMANN, AD. Ma-thematics in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, v.3, p.22-29, 1985.

CLOSE, G.S. Children s understanding of angle at the primary/ secondary transfer stage. London: Polythccnic of South Bank, 1982.

FREUDENTHAL, H. Mathematics as an educational task. Dordrccht: D. Reidel, 1973.

FURTH, G. Piaget and knowledge: theorclical foundations. London: Prcntice-Hall. 1969.

HIELE. PM. van. Structure and insight: a theory of mathematics education. London: Académie Press. 1986.

NUNES, T. Cognitive invariants and cultural variation in mathemati-cal concepts. London: Institute of Education, 1991.

PIAGET, J., INHELDER, B.. SZEMINSKA. A. The childs conception ofGeometry. London: Routledge and Kegan Paul, 1960.

PIAGET, J.. INHELDER. B„ SINCLAIR. H. Mémoire et Intelligence. Paris: Universitaire de France Press. 1968.

VERGN AUD. G. Didactics as a content-oriented approach to research on the learning ofPhvsics, Mathematics and natural language. New Orleans: AERA. 1984.

. Conclusion. In: JAVIER. C. (Ed.). Problem of the representation in the teaching and learning of Mathematics. London: LEA, 1987.

VYGOTSKY. L.S. Thought and language. Cambridge: MIT Press, 1962.

VYGOTSKY. L.S.. LURIA. AR., LEONTIEV, A.N. Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. SãoPaulo: Ícone, 1991.


AVALIAÇÃO E PERSPECTIVAS DA ÁREA DE ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL*

João Pitombeira de Carvalho**

Histórico da Educação Matemática no Brasil

Em primeiro lugar, o desenvolvimento da Educação Matemática no Brasil se insere no contexto mais amplo da renovação de todo o ensino de Ciências em nosso país. Assim, antes de entrarmos especificamente na área da Educação Matemática, desejamos fazer um breve apanhado do desenvolvimento do ensino de Ciências como um todo. Para isso, utilizaremos dados coletados para o trabalho Avaliação e Perspectivas da Área de Ensino de Ciências e Matemática no Brasil (Carvalho. 1993). Fazemos este apanhado global de toda a área de ensino de Ciências, aí incluindo Matemática, também porque uma das tarefas importantes para os que trabalham em Educação Matemática é a de sua inserção no campo da educação, ou seja. sua percepção de que não estão isolados, mas sim fazem parte de um todo maior e dele devem participar. Como diz Carlos Roberto Jamil Cury, referindo-se especificamente às áreas de ensino de Ciências e Matemática e Informática e Educação:

* Texto da palestra de abertura do Primeiro Seminário Brasileiro de Pesquisa em Educação Matemática, promovido pelo INEP e pela PUC de São Paulo, em Águas de São Pedro, de 1 a o de maio de 1994.

** Da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ) e Universidade Santa Úrsula.

Tomar o ensino de Ciências e Matemática e a correlação Informática-Educação como subáreas ou mesmo como temáticas de produção de conhecimento é não deixar de estar presente a realidades mais avançadas e contemporâneas do mundo atual...

Por outro lado. a temática de ensino de Ciências e Matemática, quer como subáreas temáticas de programas de pós-graduação em educação, quer como áreas específicas, já tem uma cobertura nacional...

Se há ainda indícios de uma relação de "nós e eles", há sinais positivos de convívio, sobretudo na busca de interdisciplinaridade. Mas há ainda um caminho para que tanto "nós como eles " se encontrem não só no mútuo reconhecimento, como também na prática de pesquisa (Cury. 1993).

Coerentemente com essa idéia de que o ensino de Matemática não é isolado, apresentaremos freqüentemente, nesta exposição, fatos, dados c comentários sobre a área de ensino de Ciências c Matemática como um todo.

Mencionaremos, em primeiro lugar, como fato importante na renovação do ensino de Ciências c Matemática no Brasil, a criação, em 1946. do Instituto Brasileiro de Educação, Ciência e Cultura (IBECC). ligado ao Ministério das Relações Exteriores, como Comissão Brasileira da Unesco. A partir de 1950, o IBECC, por meio de sua comissão estadual em São Paulo, desenvolveu muitas atividades para a renovação do ensino de Ciências e Matemática, principalmente junto aos alunos, com atividades extraclasse, e aos professores, com cursos de treinamento em serviço.

Mais tarde, entre 1963 e 1965, o Ministério da Educação criou seis Centros de Ciências, situados nas capitais dos Estados de São Paulo. Minas Gerais, Bahia. Rio Grande do Sul, Guanabara (antigo Distrito Federal, hoje parte do Estado do Rio de Janeiro) e Pernambuco. Segundo Krasilchik (1987. p.12).


sua flexibilidade de organização lhes permitiu adaptarem-se aos locais em que foram sediados. Em Minas Gerais, na Bahia, em Pernambuco e em São Paulo, ficaram situados nas Universidades, mantendo fortes vínculos com a comunidade acadêmica, apesar de servirem aos sistemas educacionais de ensino e realizarem programas conjuntos com as secretarias de educação. No Rio de Janeiro e no Rio Grande do Sul, os Centros de Ciências, hoje, fazem parte do sistema estadual de ensino e estão inseridos em fundações de formação de recursos humanos.

Em 1967. o IBECC de São Paulo criou a Fundação Brasileira para o Desenvolvimento do Ensino de Ciências (FUNBEC), que recebeu como patrimônio as instalações e os equipamentos pertencentes ao IBECC. Embora formalmente independentes, o IBECC e a FUNBEC têm trabalhado em conjunto, muito contribuindo para a melhoria do ensino de Ciências e Matemática no Brasil. Em particular, no fim da década de 60, a FUNBEC participou de um projeto que distribuiu por todo o país, em bancas de jornais, kits de experiências científicas básicas.

Em 1968, foi criado, no Ministério da Educação, o Programa de Expansão e Melhoria do Ensino Médio (PREMEM), com o objetivo de incentivar o desenvolvimento quantitativo, a transformação estrutural e o aperfeiçoamento do ensino fundamental e médio.

Quatro anos depois, o Ministério da Educação criou o Projeto Melhoria do Ensino de Ciências, programa executado pelo PREMEM. De 1972 a 1980, o projeto atuou em duas áreas bem definidas: elaboração e experimentação de material didático para o ensino de Ciências e Matemática no lº e 2º graus; capacitação de recursos humanos para o ensino de Ciências no lº e 2º graus.

Na área de capacitação de recursos humanos, as atividades do projeto diversificaram-se entre cursos de treinamento em serviço, licenciaturas, seminários, etc. Menção especial merece o "Projeto Multinacional para a Melhoria do Ensino de Ciências e Matemática", com a colaboração da OEA, cujo objetivo era a identificação e o treinamento, em nível de pós-graduação (mestrado) de lideranças habilitadas a promover a melhoria do ensino de Ciências e de Matemática em suas regiões de origem. Essa iniciativa pioneira teve lugar na UNICAMP. (Krasilchik. 1987)

Em 1977, o antigo DAU-MEC (atual SESU) criou, na CAPES, o Programa de Apoio ao Desenvolvimento do Ensino Superior (PADES), com o objetivo de melhorar a qualidade do ensino de 3º grau.

Os objetivos deste programa visavam ao desenvolvimento docente, instrucional e organizacional do ensino superior. A idéia básica do PADES era introduzir inovações no ensino superior através da atuação de uma equipe multidisciplinar que identificasse, em suas respectivas localidades, as mudanças necessárias. (Krasilchik. 1987)

O PADES financiou, de 1977 a 1981, vários projetos com o objetivo de melhorar o ensino de Ciências e de Matemática.

Em 1982, a Secretaria de Ensino Superior (SESU) lançou o Programa de Integração da Universidade com o Ensino de lº e 2º Graus. Este programa, embora não limitado ao ensino de Ciências e Matemática, apoiou vários projetos nessas áreas.

Em 1983, o Ministério da Educação, por intermédio da CAPES, criou o Projeto para a Melhoria do Ensino de Ciências e Matemática, instituído com recursos do próprio Ministério. No ano seguinte, em 1984, ele foi incorporado ao Programa de Apoio ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico (PADCT). passando a ter o nome de Subprograma Educação para a Ciência (SPEC), sem modificar seu objetivo básico de melhorar o ensino de Ciências e de Matemática, prioritariamente no lº grau.


Em sua primeira fase, de 1983 a 1990, o Programa, com atuação vigorosa, financiou 169 projetos, em 86 instituições de 56 cidades em 21 estados brasileiros. Estes projetos agruparam-se em quatro grandes grupos de atividades: pesquisa em ensino de Ciências e Matemática (formação de professores — Magistério, Licenciatura e Pós-Graduação na área); atividades de treinamento; atividades extracurriculares (apoio a Centros de Ciências, feiras de Ciências, periódicos dedicados ao ensino de Ciências e Matemática, olimpíadas, etc); além disso, o SPEC distribuiu bolsas de estudo para mestrado, doutorado e pós-doutorado. no país e no exterior. e promoveu visitas de grupos de professores (inclusive professores de 1º e 28 graus) a centros importantes de ensino de Ciências e de Matemática no exterior. Foram também concedidas 55 bolsas para estágios de curta duração e participação em congressos no exterior. O total de bolsistas de mestrado, doutorado e pós-doutorado no país ou no exterior, financiados pelo SPEC, nesta primeira fase, foi de 111. Até 1992, 54 bolsistas no país haviam obtido o grau de mestre com bolsas do SPEC. No exterior, os graus obtidos com bolsas do SPEC, até 1992, foram: especialização um; mestrado três; doutorado 29; pós-doutorado seis.

Em sua primeira fase, na qual foram gastos aproximadamente 14 milhões de dólares, a política do Subprograma foi criar uma comunidade, em todo o país, na área de ensino de Ciências e de Matemática. Em uma fase intermediária, entre sua primeira fase e a segunda (esta última ainda em curso), o SPEC apoiou alguns programas de pesquisa cooperativa em ensino de Ciências e de Matemática, envolvendo grupos de reconhecida competência em universidades brasileiras e centros no exterior. Considerando que já se tinha criado uma comunidade na área. distribuída por quase todos os estados, o SPEC decidiu que em sua segunda fase o apoio seria concentrado nos grupos com real possibilidade de influírem efetivamente sobre o ensino de Ciências e de Matemática nos sistemas públicos de ensino; foi também decidido promover o trabalho conjunto de tais grupos, envolvendo universidades e secretarias de educação.

Recentemente, o SPEC decidiu investir recursos na criação de museus vivos de Ciências no Brasil, contando para isso com a colaboração da VITAE. O Subprograma começou também a avaliar, para fins de difusão, os materiais instrucionais já elaborados em projetos por ele financiados. O SPEC tem se preocupado com o problema da revitalização das licenciaturas, procurando maneiras de apoiar licenciaturas piloto. Outra área de atuação tem sido a renovação das bibliotecas universitárias, na área de ensino de Ciências e Matemática. Nesta segunda fase. para a qual foram alocados inicialmente 22 milhões de dólares, o Subprograma tem se voltado também para projetos sobre a questão ambiental e as relações Cicncia-Tccnologia-Sociedade, dentro da filosofia geral de

Preparar o cidadão para atuar em uma sociedade complexa, cada vez mais permeada pela Ciência e pela Tecnologia (MEC, CAPES. 1989).

Esta percepção de que o ensino de Ciências e Matemática destina-se a preparar cidadãos para agir de maneira crítica e consciente em uma sociedade altamente complexa é recente. Na década de 50, as nações industrializadas, embaladas pela ilusão de que se abria para a humanidade uma nova era de prosperidade e consumo ilimitados, confiavam na ciência como a chave que abriria as portas para este paraíso terrestre. Mais tarde, já na década de 60, em plena guerra fria, com o sucesso tecnológico inesperado dos soviéticos, os Estados Unidos acordaram de seu sonho de que eram os senhores incontestes do mundo e se voltaram para a ciência como a ferramenta que garantiria sua sobrevivência e supremacia. Datam desta época grandes projetos de renovação do ensino de Ciências e Matemática, baseados na crença ingênua de que uma revolução curricular, dirigida de cima para baixo, associada à produção de textos escritos por grandes nomes da ciência e da Matemática poderiam renovar instantaneamente o ensino de 1º e 2º graus. A motivação confesssada destes empreendimentos era motivar e preparar os jovens para carreiras em ciência, engenharia e matemática. A idéia de dar uma formação científica e matemática básica a todos os cidadãos era subsicária tarefa

Pm Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, aberto 1994

de formar batalhões de cientistas e matemáticos, prontos a enfrentar os inimigos da democracia. Para termos uma idéia da ideologia subjacente a este esforço de melhoria do ensino de Ciências e Matemática, é suficiente folhear os volumes O Cientista, O Engenheiro e A Matemática da coleção científica Life.

Não cabe aqui historiar as razões para o fracasso desses empreendimentos de reforma, alguns deles ingênuos e românticos, e que em geral não funcionaram. No caso específico da Educação Matemática, pode-se ter uma visão das idéias subjacentes ao movimento lendo o artigo As Idéias Fundamentais da Matemática Moderna (Carvalho, 1985).

De maneira geral, em uma primeira aproximação, poderíamos dizer que estes grandes programas se caracterizavam pela preocupação do que ensinar. Como diz Fiorentini (1993, p 183), referindo-se especificamente ao Brasil:

até início da década de 70, as experiências e estudos relativos ao ensino da Matemática foram marcados pela preocupação dominante com "o que ensinar". As questões de ordem metodológica ou pedagógica — do "como ensinar", "por que ensinar", e "para que ensinar" — ficariam ignoradas ou relegadas a segundo plano, subjugadas à "natureza" do conteúdo enquanto conhecimento logicamente estruturado. Este caráter conteudístico se exarcebaria no período de implantação da Matemática Moderna no Brasil.

No entanto, um mérito destes movimentos foi preparar os líderes que mais tarde, já na década de 70, mais experimentados e realistas, se dedicariam ao ensino de Ciências e Matemática de maneira mais profícua, abandonando as esperanças de soluções rápidas e milagrosas, voltando-se para um trabalho lento e paciente de formação e reciclagem de professores, de elaboração de material didático em parceria com professores de 1º e 2º graus, de experimentação de seqüências didáticas.

Ao mesmo tempo, os progressos na Psicologia cognitiva, com a difusão dos trabalhos de Piaget, Vigotsky e outros, trouxeram contribuições essenciais à compreensão do processo de ensino-aprendizagem de crianças e adolescentes.

Como diz Fávero (1993, p. 150-151), referindo-se às relações entre o ensino de Matemática e a Psicologia cognitiva:

De um modo geral, podemos dizer que o que tem caracterizado esta relação, nos últimos 20 anos, é o esforço comum na análise experimental e teórica dos problemas relativos à relação entre o conteúdo específico da Matemática e a cognição humana. Resultado disto é o fato de hoje nos referirmos a uma "Psicologia do desenvolvimento do pensamento matemático " ou a uma "Psicologia da Matemática ".

Hoje, todos se dizem construtivistas, mesmo quando na prática não o são. Isso mostra a influência das idéias de Piaget. Segundo Fávero (1993, p. 152-153),

as investigações centradas na relação entre o conteúdo especifico da Matemática e a cognição humana têm sido fortemente influenciadas pelos trabalhos de Piaget e, portanto, têm se desenvolvido a partir de concepções consensuais sobre o tipo de conhecimento que está envolvido no desenvolvimento do conceito de número. (...) A concepção predominante, portanto, das pesquisas de base piagetiana é a existência de uma progressão inevitável em direção à compreensão dos conceitos aritméticos e matemáticos, cuja base se encontra nas mentes infantis, necessitando apenas de abstração para aflorar. E assumido, portanto, que a Matemática é um produto natural da mente humana.


Ao longo das décadas de 70 e 80 se avolumaram as interações entre os psicólogos e os educadores na área de ensino de Ciências e Matemática. Alguns daqueles têm dado contribuições essenciais à compreensão de como a criança elabora certos conceitos ou operações matemáticos, com resultados valiosos para o professor que labuta na sala de aula. Por exemplo, os trabalhos de Vergnaud sobre as estruturas aditivas e multiplicativas explicam muitas das dificuldades encontradas pelas crianças de primeiro grau ao lidarem com a soma e o produto. Num sentido mais global, esta procura do como e do porquê conduziu a formulações como a Teoria de van Hiele para o aprendizado da Geometria. que formula vários estágios pelos quais passa o aluno em sua compreensão progressiva da Geometria, desde a percepção intuitiva e ingênua de formas geométricas até a sofisticação no manejo de demonstrações formais e abstratas. Paralelamente, muito avançaram as investigações sobre a gênese do pensamento algébrico.

Ao mesmo tempo, como diz ainda Fávero (1993. p. 153):

Por outro lado, os anos 50 foram marcados também pela proposição da abordagem do processamento de informações e passou-se a utilizar os termos da linguagem computacional, como hardware e software, em referência a estruturas e estratégias humanas. Esta abordagem, sustentada sobretudo por Newell, teve e tem grande impacto no estudo sobre a resolução de problemas, e colocou em evidência a importância da representação, e por isto mesmo, a importância da linguagem.

As relações entre a linguagem matemática e a língua materna têm se intensificado, com a colaboração de psicólogos, filósofos, lingüistas, teóricos da comunicação e matemáticos.

De maneira bem geral, poderíamos dizer que todas estas investigações dizem respeito a como se dá o processo de ensino-aprendizagem em vários contextos.

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Pouco a pouco, ao longo das décadas de 70 e 80, cristalizaram-se alguns temas importantes em Educação Matemática.

Em primeiro lugar, a percepção de que Matemática serve para resolver problemas. Ela não é um campo de erudição, mas sim uma atividade que exige participação ativa. Matemática não é esporte para espectadores. Ela exige que todos entrem em campo e a pratiquem.

Fora do que geralmente chamamos Educação Matemática, dois matemáticos do século XX. Georg Polya e Paul Halmos. sempre chamaram atenção para o fato de que fazer Matemática é resolver problemas. O primeiro deles, criador da heurística de Polya, tentou nortear a atividade de resolver problemas nos vários níveis de aprendizagem matemática em livros notáveis, que até hoje merecem ser lidos e meditados. O segundo, sempre incentivou, em seus cursos, conferências e escritos o hábito de resolver problemas. Foi o redator de coleções de livros dedicados a problemas de Matemática, em vários níveis.

Mais especificamente na área de Educação Matemática, os estudos sobre resolução de problemas orientam-se em duas direções que nâo podem ser dissociadas: uma tenta entender como a criança e o adolescente resolvem problemas, quais as características de um bom resolvedor de problemas, etc; a outra tenta elaborar seqüências didáticas baseadas sobre a resolução de problemas, em oposição ao ensino expositivo clássico.

Pode-se talvez dizer que a modelagem é descendente da resolução de problemas. Eni modelagem tenta-se descrever, em termos matemáticos. uma situação mais ou menos complexa. Assim, a modelagem pode ser interpretada, sem nenhum desdouro, como a matematização de uma situação-problema. Alguns dos grandes feitos da ciência são na área de modelagem, como, por exemplo, os modelos da gravitação universal de Isaac Newton e da Teoria da Relatividade de Albert Einstein. O ensino por modelagem tenta fazer com que o aluno participe, em um nível mais modesto, desta atividade de explicar matematicamente fenômenos bem contextualizados.


Embora a Matemática seja uma ciência e uma linguagem universal1. cada grupo social a traduz e utiliza de maneira bem específica. O estudo da Matemática usada e criada por cada grupo social é a etnomatemática, entre cujos criadores está um brasileiro, Ubiratan D'Ambrósio (Ferreira, 1993). Nela, tenta-se recuperar o que cada grupo cultural faz da Matemática, para poder resgatar estes conhecimentos e utilizá-los no ensino-aprendizagem de pessoas deste grupo.

Nota-se, em todo o movimento de renovação do ensino de Matemática. na última década, a preocupação de contextualizar a Matemática c de mostrar que ela é uma criação cultural de grupos humanos, e não de cérebros privilegiados e isolados. O método lógico-dedutivo da Matemática, cada vez mais enfatizado ao longo do século XX, estendeu-se aos manuais escolares com o movimento da Matemática moderna. Assim, o modelo rigoroso e linear pelo qual já se ensinava Geometria euclidiana estendeu-se a outras áreas do currículo de Matemática. A percepção de que este modelo não é pedagogicamente adequado ao aluno aumentou. Crescentemente, foge-se da linearidade estrita do discurso matemático clássico no ensino de Matemática. Em um certo sentido. Freudenthal já tinha se referido a isso ao falar da necessidade de "axiomatizações locais", embora suas palavras não devam ser interpretadas como Propugnando uma fragmentação pós-moderna do discurso matemático.

Como resultado desta busca de contextualização e inserção da Matemática em um meio, em uma época bem definida, cresceu o interesse peia História da Matemática como ferramenta de ensino, tendo sido criada mesmo uma associação internacional dedicada às relações entre a Pedagogia e a História da Matemática.

1 Nilson José Machado salienta o papel da matemática como linguagem e faz um paralelo entre ela e a lingua materna. Ver MACHADO, Nilson José, Matemática e Lingua Materna,...

A percepção da importância de recontextualizar a Matemática levou Régine Douady à criação do conceito de dualidade ferramenta-objeto: os conceitos matemáticos são primeiro uma ferramenta para a resolução de situações-problema bem específicas, contextualizadas. Uma vez que atingiram este status de ferramenta, são explicitados pelo professor e os alunos, e se tornam descontextualizados, adquirem o status de saber matemático, podem ser aplicados em outras situações. Aí, já se transformaram em Matemática, abstrata, descontextualizada, o que paradoxalmente lhe dá uma grande aplicabilidade c versatilidade. Um dos desafios da escola é exatamente resgatar o saber ferramenta que os alunos trazem de casa. da rua, e transformá-lo em saber objeto, rico e frutífero.

Desenvolveram-se também os estudos sobre metacognição, com pesquisas sobre três direções distintas, mas correlacionadas:

/. Seu conhecimento sobre seus próprios esquemas de pensamento. Quão exato é você ao descrever sua maneira de pensar?

2. Controle ou auto-regulação. Quão bem você registra o que você está fazendo quando, por exemplo, resolve um problema, e como você usa o resultado destas observações como orientação para seu comportamento posterior?

3. Crenças e intuições. Que idéias sobre a Matemática você traz a suas atividades matemáticas, e como é que elas moldam a maneira como você faz Matemática? (Schoenfeld, 1987, p.190)

A nosso ver, merecem especial destaque as tentativas de teorização empreendidas pelos pesquisadores franceses, a partir das idéias de Brousseau, com os conceitos de dialética ferramenta-objeto, engenharia


didática, contrato didático, situação didática, situação fundamental, etc, e que têm lançado muita luz por um lado sobre o que se passa em sala de aula, e por outro lado sobre a compreensão de certos bloqueios e de como trabalhar para removê-los. Esta "escola", ao invés de tentar construir uma "teoria da Educação Matemática" in abstracto, procura teorizar situações bem específicas sobre as quais é possível fazer-se uma análise cuidadosa, construir teorias locais, e planejar "experimentos didáticos" que reforçarão ou negarão a teoria.

Outra área de pesquisa ativa está centrada na Sociologia da Matemática e da sala de aula (Baldino, 1993, p. 132-136). Qual o contrato explícito ou implícito estabelecido entre o professor e os alunos? Qual o gerenciamento da sala de aula? Qual a participação dos alunos em sua avaliação, na escolha do conteúdo, etc?

Nesta direção, salientemos a percepção e compreensão crescente de que o ensino de Matemática não se ministra em um vácuo. Ele está condicionado por vários fatores institucionais, políticos e socioculturais. Luís Antônio Cunha (1993, p.178) ressalta a importância dos aspectos sociais do ensino de Matemática:

0 exame dos textos que tratam da Educação Matemática mostra que eles não levam em conta as condições concretas da educação nem dos destinatários principais — os alunos das escolas públicas. Talvez por esta razão, acabam por se polarizar em torno de questões epistemológicas ou de questões didáticas e psicopedagógicas. Sem embargo da importância destas questões, quero chamar a atenção, ainda que de modo preliminar, para os aspectos sociais do ensino da Matemática na escola pública de lº e 2º graus. Sem pretender esgotar o assunto, o conhecimento a que se chegou das práticas escolares, em nosso país, permite afirmar com segurança que a desconsideração das dimensões sociais do ensino, (...) impedirá o sucesso de soluções didáticas e psicopedagógicas, por mais engenhosas que sejam.

Paralelamente a todas estas grandes frentes de pesquisa, embutida nelas, por vezes revigorando-as e modificando-as profundamente, temos a presença do computador na Educação Matemática. Ele obrigou a uma reavaliação dos conteúdos relevantes, a uma busca de novas maneiras de apresentá-los, e, talvez até de maneira mais profícua, a longo prazo, permitiu novas percepções de como se constrói o conhecimento matemático, além de trazer uma nova linguagem, novos problemas c novos esquemas conceituais a vários campos de pesquisa. No Brasil, as pesquisas sobre o computador na Educação Matemática prosseguem vigorosamente. Há excelentes grupos no Rio Grande do Sul, dentro do contexto mais amplo de informática e educação. O mesmo acontece na UFRJ. Na PUC do Rio de Janeiro e na PUC de São Paulo investiga-se prioritariamente o uso do computador no ensino introdutório do 3º grau. Uma das linhas de pesquisa do Mestrado da Universidade Santa Ursula ocupa-se de informática e educação. O mesmo acontece no programa de pós-graduação em Educação Matemática da UNESP- Rio Claro. O estudo dos usos do computador na Educação Matemática, passados certos exageros e desvios iniciais, se firmou como uma das áreas mais ativas e relevantes da Educação Matemática, por um lado como ferramenta de investigação cognitiva, por outro, como maneira de renovar os cursos tradicionais, expositivos, lineares.

A pergunta para que e por que ensinar Matemática é feita mais e mais freqüentemente. No início da década de 90, o Documento Básico do SPEC já afirmava que o objetivo do ensino [de Matemática] deve ser

Preparar o cidadão para atuar em uma sociedade complexa, cada vez mais permeada pela Ciência e pela Tecnologia (MEC, CAPES, 1989).

Recentemente, o National Council of Teachers of Mathematics tentou responder a esta pergunta listando os objetivos do ensino-aprendizagem da Matemática, visando a preparar cidadãos para atuarem em uma sociedade moderna e complexa. Em tradução livre, eles são:


Entre as competências básicas com as quais o ensino de Matemática pode contribuir para a preparação de cidadãos para uma sociedade moderna temos:

— a capacidade de planejar as ações e de projetar as soluções para problemas novos, que exigem iniciativa e criatividade;

— a capacidade de compreender e transmitir idéias matemáticas, por escrito ou oralmente;

— a capacidade de usar independentemente o raciocínio matemático, para a compreensão do mundo que o cerca;

— saber aplicar Matemática nas situações do dia-a-dia;

— saber avaliar se resultados obtidos na solução de situações-problema são ou não são razoáveis;

— saber fazer estimativas mentais de resultados ou cálculos aproximados;

— saber aplicar as técnicas básicas do cálculo aritmético;

— saber empregar o pensamento algébrico, incluindo o uso de gráficos, tabelas, fórmulas e equações;

— saber utilizar os conceitos fundamentais de medidas em situações concretas;

— conhecer as propriedades das figuras geométricas planas e sólidas, relacionando-as com os objetos de uso comum, no dia-a-dia ou no trabalho.

— saber utilizar a noção de probabilidade para fazer previsões de eventos ou acontecimentos.


A percepção de que o ensino de Matemática visa, em última análise, a habilitar o cidadão a agir com consciência crítica em um mundo cada vez mais complexo, em que decisões vitais para a própria espécie humana são tomadas, está muito presente em várias linhas de pesquisa em Educação Matemática. De maneira geral, podemos afirmar que hoje o educador matemático tem consciência de sua responsabilidade social. A Matemática não pode ser nem uma brincadeira intelectual descomprometida, nem uma ferramenta usada para maior domínio e controle da sociedade. Como construção social, ela pertence a toda a sociedade, para seu bem.

Ainda outra linha de pesquisa diz respeito aos fundamentos históricos e filosóficos da Educação Matemática. Neste sentido, há inclusive tentativas de teorizar a Educação Matemática como um todo. tentando enquadrá-la em certos modelos, preexistentes ou criados especificamente para isso.

A Educação Matemática é uma atividade essencialmente pluri e interdisciplinar. Constitui um grande arco, onde há lugar para pesquisas e trabalhos dos mais diferentes tipos. Nele, há espaço para trabalhos de pesquisa acadêmica pura em Psicologia, atividades de pesquisa-ação. reciclagem de professores, elaboração de textos, pesquisas em História do Ensino de Matemática, e muitas outras. O que deve ser ponto comum a todos estes pesquisadores, quer sejam matemáticos, psicólogos, educadores, filósofos, historiadores, etc, é em primeiro lugar o reconhecimento de que o trabalho de todos tem um objetivo comum — a melhoria do ensino-aprendizagem da matemática, em todos seus níveis, e o respeito pelo trabalho dos outros.

Como já dissemos, inserido no desenvolvimento geral da área de ensino de Ciências e Matemática no Brasil, temos o crescimento e a consolidação da subárea de ensino de Matemática, ou de Educação Matemática.

Em primeiro lugar, nunca é demasiado ressaltar o papel dos pioneiros da Educação Matemática no Brasil. Já na década de 30, Euclides Roxo foi o

porta-voz dos movimentos de reforma preconizados por Felix Klein e pelo IMUK. Seu livro O Ensino da Matemática no Ensino Secundário tem ainda hoje um sabor moderno. Também na longa polêmica que sustentou com Joaquim Inácio de Almeida Lisboa, na década de 1930, nota-se este aspecto renovador, que o credencia como o precursor da Educação Matemática no Brasil.

As sementes lançadas por vários pioneiros, no meio da incompreensão, germinaram aos poucos, e hoje vemos, aqui, nesta sala, os frutos colhidos após quatro décadas do trabalho de Maria Laura Leite Lopes, Martha de Souza Dantas, Mello e Souza, Ornar Catunda, Ubiratan D'Ambrósio, e tantos outros, entre os quais quero incluir o nome de Luiz Alberto Brasil, um dos primeiros brasileiros a perceber a importância das idéias de Piaget para o ensino de Matemática.

Em 1955, Martha de Souza Dantas organizou, em Salvador, o Primeiro Congresso Brasileiro de Educação Matemática. Seguiram-se a ele os Congressos de 1957 no Rio Grande do Sul, de 1959 no Rio de Janeiro, de 1962 em Belém do Pará, de 1966 em São José dos Campos, São Paulo. O próximo congresso seria na Paraíba, mas não foi realizado. A tradição desses congressos só seria retomada com os Encontros Nacionais de Educação Matemática (ENEM), já na década de 80, que se realizaram na seguinte ordem: o primeiro na PUC de São Paulo, em São Paulo, organizado pela professora Tânia Campos, em 1987; o segundo em Maringá, em 1988, o terceiro em Natal, em 1990, e o quarto em Blumenau. Durante o II ENEM, foi criada a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), que passaria a organizar os Encontros Nacionais de Educação Matemática, além de reuniões regionais, e a publicar periódicos especificamente voltados para a Educação Matemática. A criação da SBEM foi certamente uma demonstração do amadurecimento da comunidade de Educação Matemática no Brasil.

Os primeiros grupos de trabalhadores e pesquisadores em Educação Matemática se reuniram em associações. As três principais foram o

GEPEM, no Rio de Janeiro, o GEMPA em Porto Alegre, e o GEEM, em São Paulo, fundado em 1961, e que teve papel preponderante na difusão das idéias da Matemática moderna no Brasil; seus membros traduziram vários volumes da coleção do School Mathematics Study Group, um dos movimentos reformadores do ensino de Matemática nos Estados Unidos, na década de 60.

Situação atual da área

Atualmente, a área de ensino de Matemática cresce e se consolida rapidamente no Brasil. Neste contexto, é sempre oportuno salientar o papel decisivo desempenhado pelo SPEC durante os últimos 10 anos. Pode-se dizer que o período 1985-1995 será visto, no futuro, como o da substituição progressiva dos amadores pelos profissionais. A palavra amador não é aqui usada pejorativamente. Empregamo-la para definir pessoas cuja formação inicial foi geralmente em Ciências (Física, Matemática, Química, Biologia) e que, aos poucos, se interessaram por problemas educacionais ligados a suas áreas, passando a trabalhar prioritariamente em ensino de Ciências ou de Matemática. Alguns deles são altamente competentes e criativos, reconhecidos internacionalmente. Os profissionais são aqueles pesquisadores da área cuja formação já foi em ensino de Ciências e de Matemática.

Podemos dizer, juntos com Myriam Krasilchik (1987, p. 14-15), que já existe hoje no Brasil uma

nova comunidade acadêmica — a dos educadores em ciência — uma área fronteira entre educação e ciência, que se preocupa prioritariamente com o significado das disciplinas cientificas no curriculo. Este campo de conhecimento em formaçao está hoje apoiado em associações de classe, publicações periódicas e cursos de formação de profissionais, em nivel de graduação e pos-graduação.

Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994

De 1971 a 1990, foram defendidas 189 teses de mestrado, doutoramento ou livre-docência em ensino de Matemática (Educação Matemática) no Brasil (Fiorentini, 1992). Estima-se que há, atualmente, em 1994, mais de 30 bolsistas no exterior em programas de doutorado na área de ensino de Ciências e de Matemática, corn bolsas do SPEC, CAPES e CNPq. Nas instituições com programas formais de pós-graduação nestas áreas estavam matriculados, em 1993, 55 alunos de mestrado e 9 de doutorado. A estes números devemos acrescentar os alunos matriculados em instituições de que não obtivemos informações e naquelas que apresentam produção esporádica de mestres ou doutores na área (UFRJ. PUr-Rio. PUC-SP. UFF, UFMG, UnB. etc), geralmente dentro de seus programas de pós-graduação em Educação ou em convênio com estes, como acontece na USP. Dos 111 doutores relacionados pelas instituições consultadas. em 1993, e que trabalham cm ensino de Ciências e Matemática, certamente mais da metade atuam em Educação Matemática.

É impossível fazer uma listagem perfeita das instituições e dos grupos que trabalham e pesquisam em Educação Matemática no Brasil. Trata-se de um quadro dinâmico, em crescimento acentuado. Indicamos a seguir os grupos principais.

A grande concentração de centros que têm programas formais de pós-graduação na área de ensino de Matemática é na região Sudeste. Mais precisamente, a Universidade de São Paulo, que tem uma longa tradição principalmente em ensino de Física e de Biologia, conta também com pesquisadores em Educação Matemática. Boa parte das pesquisas aí realizadas são feitas na Faculdade de Educação. Entre os institutos, o que tem maior tradição de pesquisa na área é o de Física. A UNICAMP tem vários grupos trabalhando em Educação Matemática, ensino de Física e de Química, com participação também da Faculdade de Educação, onde. em 1994, foi aberta uma linha de concentração em Educação Matemática. nos programas de mestrado e doutorado. Na UNESP, em Rio Claro, funcionam um mestrado e um doutorado em Educação Matemática, que recebe periodicamente pesquisadores estrangeiros. O início deste

Mestrado em Educação Matemática, em 1983, foi um marco no desenvolvimento da Educação Matemática no Brasil. O doutorado iniciou-se em 1992. Este programa já conta hoje com quarenta dissertações de mestrado defendidas. Recentemente, a Universidade Metodista de Piracicaba abriu, em seu programa de pós-graduação cm educação, uma área de concentração em ensino de Ciências. A PUC de São Paulo tem um grupo vigoroso de atividades em Educação Matemática e cm seus programas de pós-graduação em Educação e Psicologia têm sido defendidas dissertações e teses sobre Educação Matemática. Recentemente, seu programa de mestrado cm Matemática foi transformado em um mestrado específico cm Educação Matemática.

No Rio de Janeiro, funciona um mestrado em Educação Matemática na Universidade Santa Úrsula. A Universidade Federal do Rio de Janeiro. que conta com vários grupos de pesquisadores nas áreas de ensino de Física, de Biologia c principalmente de Educação Matemática, abriu um curso de especialização em Educação Matemática, como primeiro passo para a criação de uma pós-graduação formal na área. Os vários grupos dedicados ao ensino da UFRJ se integram no bem conhecido "Projeto Fundão", o qual. de maneira pioneira, prenunciou a preocupação do SPEC em apoiar atividades relativas ao meio ambiente, incluindo em seu primeiro projeto um grupo de Geografia e meio ambiente. Na PUC do Rio de Janeiro, está sendo criado um programa interdisciplinar em pós-graduação (mestrado e doutorado) em ensino de Ciências e Matemática.

Ainda na Região Sudeste, embora sem programas formais de pós-graduação na área, temos grupos ativos e que trabalham há bastante tempo em Educação Matemática, principalmente em ensino de Geometria, na Universidade Federal Fluminense, a qual tem mais tradição em ensino de Física; na Universidade Federal do Espírito Santo, em estreita colaboração com a Secretaria de Educação: em Juiz de Fora. onde estas atividades de ensino de Ciências e Matemática se institucionalizaram em espaço próprio; em Belo Horizonte, em trabalho comum do Instituto de Matemática, Faculdade de Educação e de outras instituições.


Na Região Centro-Oeste, a Universidade de Brasília firmou-se como grupo de atuação e pesquisa em Educação Matemática, com longa tradição em trabalho com professores e elaboração de currículos. A Universidade Federal de Mato Grosso do Sul tem atividades de pesquisa em Educação Matemática como subárea temática em seu Mestrado em Educação, com professores doutores de formação específica em Educação Matemática.

Na Região Sul. o Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul se dedica tradicionalmente a pesquisas em ensino de Física e já formou vários mestres nesta área. Nesta Universidade há também pesquisadores que se dedicam ao ensino da Química e à Educação Matemática. Em Santa Catarina, no programa de pós-graduação em Educação, existe uma linha de concentração em ensino de Ciências e Matemática, formando mestres e doutores.

Na Região Nordeste, o mestrado em Psicologia da Universidade Federal de Pernambuco, que mantém estreita colaboração com pesquisadores do Instituto de Matemática, há muitos anos se dedica a pesquisas que envolvem Educação Matemática, com muitas dissertações de mestrado já defendidas sobre o assunto. Ainda no Recife, surge um grupo na Universidade Federal Rural de Pernambuco, com trabalhos, entre outros. na área de História da Matemática e suas relações com o ensino. Na Universidade Federal do Ceará, constituiu-se um grupo interdisciplinar, envolvendo matemáticos, psicólogos e educadores. Na universidade Federal do Piauí, existe um grupo de trabalho em Educação Matemática.

Na Região Norte, em Belém do Pará, como desdobramento de projetos financiados pelo SPEC, constituiu-se um apo de trabalho em ensino de Ciências e Matemática, que se exporta por todo o Estado.

Alguns grupos de pesquisa mantêm o intercâmbio com o exterior, recebendo visitantes pesquisadores. Constantimente temos, entre outros, o mestrado em Psicologia da UFPE; mestrado de educação Matemática da UFRJ,

PUC-RJ, PUC-SP, UNESP-Rio Claro, Sama Úrsula, UNICAMP e UFSC; os vários grupos de ensino das Ciências da USP e UNICAMP; o grupo de ensino de Física da UFRGS. O programa de pós-graduação da UNESP-Rio Claro mantém intercâmbio principalmente com pesquisadores de Bielefcld e de Portugal. Atualmente, existe um convênio de cooperação internacional em pesquisa em Educação Matemática, envolvendo a PUC de São Paulo, a PUC do Rio de Janeiro e a Universidade Federal de Pernambuco.

Existem no Brasil vários periódicos com publicação regular dedicados à divulgação de trabalhos em ensino de Matemática: a Revista de Ensino de Ciências, dirigida para professores do 1º grau; o Boletim do GEPEM, que publica artigos de pesquisa, traduzindo por vezes artigos importantes de periódicos estrangeiros: a revista Temas e Debates, da Sociedade Brasileira de Educação Matemática: o Bolema, do Programa de Mestrado e Doutorado em Educação Matemática de Rio Claro. Foi publicado recentemente o primeiro número da revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, A Educação Matemática em revista, dedicado à Etnomatemática. A Revista do Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática, dirigida a professores do 2º grau. já se firmou e em seus artigos, juntamente com conteúdos, se preocupa corn problemas de metodologia.

Já há no Brasil reuniões tradicionais sobre ensino de Ciências e de Matemática: o Congresso Sul-Brasileiro de Ensino de Ciências; o Congresso Norte-Nordeste de Ensino de Ciências e Matemática; o Encontro Nacional de Educação Matemática; o Encontro Paulista de Educação Matemática; o Congresso de Ensino de Física; o encontro Perspectivas do Ensino de Biologia; o Encontro Nacional de Professores de Química. Realizou-se, em 1993, no Rio de Janeiro, o Primeiro Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. com conferencistas convidados de vários países. Os programas de pós-graduação da UNESP em Rio Claro já promoveram várias reuniões temáticas, algumas delas de cunho nacional, sobre Educação Matemática.


Será realizado, em julho próximo, em Blumenau, organizado pela SBEM, o Segundo Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática, seguido imediatamente de um congresso internacional sobre História e Pedagogia no ensino de Matemática.

Além das reuniões específicas promovidas pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática, as reuniões regionais da Sociedade Brasileira de Matemática têm aberto um espaço crescente para atividades de ensino, oferecendo minicursos para professores do 2º grau e promovendo mesas-redondas sobre ensino. Também, nas reuniões anuais da SBPC, nos últimos anos. tem sido crescente o número de atividades sobre ensino de Ciências e Matemática. Durante as décadas de 70 e 80. a Sociedade Brasileira de Matemática promoveu várias reuniões sobre as licenciaturas em Matemática: a SBPC, tradicionalmente em suas reuniões anuais, tem discutido as licenciaturas em ciência, aí incluindo a Matemática.

Nos últimos anos, os pedidos de bolsa ou auxílios apresentados ao Comitê de Educação do CNPq. na área de ensino de Ciências e Matemática, têm se concentrado em Educação Matemática, seguida pelas áreas de Ensino de Física. Biologia e Química, nesta ordem. O número global de pedidos. envolvendo todas as áreas de ensino de Ciências e Matemática, tem caído. Na área de Educação Matemática, o maior número de pedidos tem sido para temas envolvendo informática e ensino de Matemática. No Comitê de Educação há um representante da área de ensino de Ciências e Matemática.

É impossível listar aqui todas as linhas específicas de pesquisa em Educação Matemática atualmente no Brasil. Uma das finalidades deste seminário é exatamente efetuar tal levantamento, agora que o campo foi enriquecido com tantos jovens pesquisadores talentosos. Listamos a seguir as indicações sobre pesquisas na área, fornecidas em 1993 pela maioria das instituições consultadas:

— Currículos de Matemática no lº e 2º graus.

— Currículos das licenciaturas em Matemática.

—• Educação Matemática como área do conhecimento.

— Formação inicial de professores (cursos de Magistério e Licenciatura).

— Crenças e concepções de licenciandos e professores sobre a Matemática, a Pedagogia Matemática e a aprendizagem.

— Pontos de estrangulamento na aprendizagem da Matemática e sugestões de atividades inovadoras para ao ensino desses tópicos (exemplos: frações, números decimais, números inteiros, números racionais, introdução à Geometria, frações e proporções).

— Métodos alternativos de avaliação de raciocínio e aprendizagem em Matemática.

— Tipos de argumentação usados em Geometria e em Cálculo.

— Ensino de Cálculo (dificuldades, obstáculos epistemológicos, proposta de atividades inovadoras de ensino e avaliação).

— Aspectos cognitivos da organização das estruturas multiplicativas, especificamente do conceito de fração.

— Introdução do conceito de função por meio de softwares interativos.

— Ensino-aprendizagem da noção de área no ensino do lº grau menor, partindo das hipóteses didáticas de R. Douady.

— O ensino de Geometria Analítica e Álgebra Linear no primeiro ano da universidade.


relação posterior entre professores de Matemática em situação

tica.

Análise de livros didáticos.

— História do desenvolvimento dos conceitos matemáticos. — Desenvolvimento do raciocínio matemático sob uma ótica lógico-dedutiva-construtiva.

— A verdade na relação didática.

— Produção de seqüências de ensino utilizado vídeos.

— Avaliação em Matemática.

— O simbólico em Educação Matemática.

— Hermenêutica em Educação Matemática.

— Educação ambiental e Educação Matemática.

— Teorias da aprendizagem.

— Assimilação solidária.

— Etapas na construção do conceito de função.

— Estatística e Probabilidade a partir das séries iniciais.

— Educação Matemática e prática pedagógica.

— Mudança conceituai, atitudes.

— Resolução de problemas.

— Construtivismo em Educação Matemática.

— Formaçao continuada de professores de Matemática.

— Desenvolvimento dos conceitos matemáticos no processo ensino-aprendizagem.

— O ensino-aprendizado de Geometria.

— A teoria de van Hiele.

— Informática e Educação Matemática.

— Processos de aquisição de conceitos matemáticos durante experimentos de ensino, do ponto de vista construtivista.

— Epistemologia do pensamento algébrico.

— Visão integrada entre Matemática, Física e Astronomia, segundo uma perspectiva etnográfica.

— Gerenciamento da sala de aula. Grupos de assimilação solidária.

— Gênese do pensamento diferencial.

— História da Matemática.

— Etnociência e Educação.

— Epistemologia, História e Educação Matemática.

— Educação e Estatística.


— Etnomatemática.

— Resolução de problemas e criatividade.

— Matemática e linguagem.

— Fundamentos filosóficos e científicos da Educação Matemática.

— História como proposta metodológica.

— Criatividade na perspectiva da Psicologia cognitiva, visando ao ensino-aprendizado da Matemática.

Para concluir este trabalho, referimo-nos novamente ao artigo de Luís Antônio Cunha já citado. De maneira feliz e lapidar, cremos nós. ele caracteriza a prioridade para a Educação Matemática no Brasil:

A escola normal é o elemento mais importante para uma ação política educacional visando à melhoria do ensino da Matemática o que, aliás, vale para a alfabetização. Não se trata apenas de aumentar a carga horária de Matemática no curso normal, nem de incentivar as professorandas a manejarem técnicas didáticas não convencionais. Trata-se de algo mais difícil, que é mudar os valores que elas têm a respeito da Matemática como "vocação masculina", ou seja, quebrar a cadeia de reprodução e discriminação de gênero. Para tanto, é preciso conhecer bem esses valores, em suas conexões com outros, o que só pode ser feito com muita pesquisa, não sobre a Matemática propriamente, mas sobre as professorandas e sua "mentalidade" (Cunha, 1993, p. 180-181),

o que nos remete aos estudos de metacognição, e ao fato de que o objetivo principal da Educação Matemática no Brasil deve ser melhorar a atuação

do professor no processo de ensino-aprendizagem. O problema básico da educação matemática em nosso país deveria ser o da formação inicial e continuada do professor.

A este respeito, muito se aprendeu com os projetos desenvolvidos com recursos do SPEC na década de 80. Hoje, os cursos puramente de conteúdo, com poucas horas de aula, estão ficando desacreditados. Como afirmado acima por Luiz Antônio Cunha, o importante é mudar a atitude do professor. Alguns projetos do SPEC e o financiado pela V1TAE em parceria com as secretarias de educação de vários estados, se propõem realizar um tabalho a longo prazo com grupos de professores, exatamente para conseguir essa mudança de atitude; ao mesmo tempo, elabora livros para uso dos professores atendidos e para serem adotados nas disciplinas matemáticas dos cursos de licenciatura.

Continuando, diz Cunha (1993):

É preciso mudar radicalmente o ponto de vista: sair da 3ª série do 2a grau (especialmente do interesse real ou presumido dos alunos que vão fazer um curso técnico ou, então, cursos superiores de "exatas "), para se por no lugar dos alunos que deixam a escola, por uma razão ou por outra, antes de chegar até lá, coisa que ocorre com 88% dos que ingressam juntos na escola a cada ano. Para essa imensa maioria, é necessário que a Matemática tenha aplicação prática e que esta seja tão imediata e diretamente percebida quanto possível, como, aliás, o aprendizado da leitura e da escrita. Para isso, é preciso abandonar a atitude de quem domina o conjunto da Matemática, enquanto corpo de conhecimento, para o que a dedução é a operação fundamental, para mergulhar no interior do processo de ensino-aprendizagem, onde a indução deve ser o ponto de partida para o desenvolvimento da prática da dedução, que é justamente onde a Matemática mais contribui para a educação geral. Pois bem, como partir das práticas cotidianas para se chegar à Matemática é tema para pesquisas que podem reunir matemáticos e outros profissionais, a exemplo de psicólogos, pedagogos e sociólogos,


o que nos faz mergulhar no âmago da interdisciplinaridade da Educação Matemática, resgatando ao mesmo tempo toda nossa responsabilidade social. O desafio é ensinar Matemática útil e relevante para o cidadão, sem perder as especificidades e a estrutura inatas à Matemática. Como diz Frank Lester, usando como referência o título de um livro de E. T. Bell, Matemática, Serva e Rainha das Ciências, todo aluno de Matemática, quer no 1ºi, 2º ou 3º grau, deve ter a oportunidade de conhecer a rainha, de perceber o encanto e o poder da Matemática, sua capacidade organizadora de estruturas lógicas, sua versatilidade prodigiosa.

Atentos a isso, estou certo de que nós, que trabalhamos em Educação Matemática, muito melhoraremos a educação em nosso país.


BALDINO, Roberto Ribeiro. Balanço da assimilação solidária no 3º grau. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. 3. Anais. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993 p. 132-136.

BRASIL. MEC. CAPES. Documento básico para a segunda fase do Subprograma Educação para a Ciência. Brasília, 1989.

CARVALHO, João Pitombeira de. As idéias fundamentais da Matemática Moderna. Boletim do GEPEM, Rio de Janeiro, n.23, p.7-15, 1985.

. Avaliação e perspectivas da área de ensino de Ciências e Matemática no Brasil. In: CURY, C.R.J. (Ed.). Avaliação e perspectivas na área de Educação, 1982-1991. Porto AlegTe: ANPED: CNPq, 1993.

CUNHA, Luís Antônio. Ensino da Matemática na escola pública de 1º e 2º graus: pela mudança de ponto de vista. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3. Anais. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993.

CURY, Carlos Roberto Jamil. Avaliação e perspectivas na área de Educação 1982-91: documento síntese. In: CURY, C.R.J. (Ed.). Avaliação e perspectivas na área de Educação, 1982-1991. Porto Alegre: ANPED: CNPq, 1993.

FÁVERO, Maria Helena. A relação entre a Psicologia Cognitiva e a educação matemática: alguns aspectos teóricos e metodológicos, ln: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3. Anais. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993. p. 150-157.

FERREIRA, Eduardo Sebastiani. Etnomatemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3. Anais. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993. p. 137-140.

FIORENTINI. Dario. A relaçãoensino-pesquisa em educação matemática no Brasil. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3. Anais. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993.

(Org.). Banco de teses e dissertações de mestrado, de doutorado ou livre-docência, produzidas ou defendidas no Brasil e que tratam da educação matemática. Blumenau: Sociedade Brasileira de Educação Matemática: UNICAMP, FE, CEMPEM-DEME, 1992.

KRASILCHIK, Myriam. O professor e o curriculo das Ciências. São Paulo: EPU: USP, 1987.

SCHOENFELD, Alan H. What's all the fuss about metacognition? In: SCHOENFELD, A.H. (Ed.). Cognitive science andmathematicseducation. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, 1987.


A IMPORTÂNCIA DO CONHECIMENTO ETNOMATEMÁTICO INDÍGENA NA ESCOLA DOS NÃO-ÍNDIOS

Eduardo Sebastiani Ferreira*

Introdução

Meu envolvimento com a educação indígena do Brasil vem de oito anos atrás, quando fui convidado para assessorar o trabalho educacional em Matemática na Escola da Aldeia Tapirapé, no Estado do Mato Grosso, c isto devido ao trabalho que vinha fazendo junto a favelas e regiões rurais vizinhas a Campinas. Este início, ainda temeroso, seguiu-se de uma avalanche de convites de outras áreas, nesta época eu era, pelo que sei. o único matemático interessado em educação indígena. Fui assessorado por colegas indigenistas, antropólogos e lingüistas, e iniciei como pude o trabalho em algumas tribos, buscando sempre o máximo respeito à cultura numa preocupação constante de não destrui-la, mas mais do que isto, valorizando-a.

Educação indígena

Um panorama da situação indígena brasileira hoje e a filosofia de como deve ser pensada sua escolarização encontramos no Caderno Educação Básica, série Institucional, vol. 2:

Existem hoje no Brasil cerca de 200 sociedades indígenas diferentes, falando em torno de 180 línguas e dialetos e habitando centenas de aldeias situadas em diferentes estados da Federação. Remanescentes de um grande contingente populacional, cujas estimativas históricas indicam estar em torno de 6 milhões de indivíduos quando da chegada dos europeus no século XVII, as sociedades indígenas são porta-

• IMECC-UNICAMP.


doras de tradições culturais especificas e vivenciaram processos históricos distintos. Cada um desses povos é único, tem uma identidade própria, específica, fundada na própria língua, no território habitado e explorado, nas crenças, costumes, histórias, organização social.

Por outro lado, as sociedades indígenas compartilham um conjunto de elementos básicos que são comuns a todas elas e que as diferenciam da sociedade não-indígena. Assim, os povos indígenas têm formas próprias de ocupações de suas terras e de exploração dos recursos que nelas se encontram; têm formas propios de vida comunitária, têm formas de ensino e aprendizagem, baseadas na transmissão oral do saber coletivo e dos saberes de cada indivíduo (MEC, 1993. p. 10).

Estas premissas nos levam a considerar que "as escolas indígenas, por conseguinte, deverão ser específicas e diferenciadas, ou seja. as características de cada escola, em cada comunidade, só poderão surgir de diálogo, do envolvimento e do compromisso dos respectivos grupos. como agentes e co-autores de todo o processo" (MEC. 1993, p. 11).

Encontrei-me numa época assessorando mais de dez tribos, no trabalho de orientar e formar professores índios, que estavam ministrando aulas na aldeia, ou que iriam assumir a escola. Corn toda a diversidade que me deparei, já na pesquisa etnográfica, línguas distintas, culturas diferentes e mesmo históricas que tinham muito pouco cm comum, resolvi trabalhar com um grupo de estudantes em nivel de pós-graduação. Cada um deles assumia o trabalho etnográfico e o assessoramento às escolas, e eu iniciava cada pesquisa e orientava estes alunos.

Formamos então na UNICAMP, no Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação um grupo interessado na educação indígena e especificamente na Educação Matemática destes grupos. Como fruto deste grupo, tivemos implantação de escolas em aldeias, currículos específicos para estas escolas, mudança de posturas de professores não-índios que

atuam em escolas de aldeias, numa linha filosófica que acreditamos ser a melhor para este tipo de ação.

Uma das perguntas mais freqüentes que me chega quando falo deste meu trabalho é: por que uma escola (de branco) numa aldeia indígena? É necessário uma escola que vai ensinar em particular uma ciência desenvolvida pela sociedade européia aos índios? Retorno aqui ao caderno do MEC para responder a tais inquietações:

A escola indígena tem como objetivo a conquista da autonomia sócio-econômico-cultural de cada povo, contextualizada na recuperação de sua memória histórica, na reafirmação de sua identidade étnica, no estudo e valorização da própria língua e da própria ciência sintetizada em seus etnoconhecimentos, bem como no acesso às informações e aos conhecimentos técnicos e científicos da sociedade majoritária e das demais sociedades, indígenas e não-indígenas. A escola indígena tem que ser parte do sistema de educação de cada povo, no qual, ao mesmo tempo em que se assegura e fortalece a tradição e o modo de ser indígena, fornecem-se os elementos para uma relação positiva com outras sociedades, a qual pressupõe por parte das sociedades indígenas o pleno domínio da sua realidade: a compreensão do processo histórico em que estão envolvidas, a percepção crítica dos valores e contravalores da sociedade envolvente, e a prática de autodeterminação.

Como decorrência da visão exposta, a educação indígena tem de ser necessariamente específica e diferenciada, intercultural e bilíngüe (MEC, 1993, p. 12).

Com estas características para a escola indígena, que Matemática deve ser construída em tal escola? Ou então, podemos explicitar tal questionamento perguntando: Como propiciar ao aluno índio a construção de conceitos da Matemática formal, ou também chamada de acadêmica? Eu fui procurado para assessorar a educação indígena pelo meu trabalho

com a Etnomatemática em escolas de periferia e zona rural. Praticamente minha formação e crença (no sentido kuhniano) de educador matemático e no Programa Etnomatemática e a História da Matemática.

Programa de etnomatemática ou alfabetização cm "matemática materna"

Não há como ignorar que existem mudanças na Matemática hoje que, acreditamos, são reflexos das mudanças na vida social de nosso planeta. Em The Sociology of Mathematics Revisited: a Persona! Note, D.J. Struik (1986, p.280) afirma: "Uma mudança radical na natureza de nosso relacionamento social será refletida numa mudança em como organizar o fazer matemático — e esta mudança afetará o como pensamos em relação ao conteúdo matemático". Nosso relacionamento social neste final de século parece ser mais questionador, crítico e tolerante. O paradigma racionalista-cartesiano é colocado em dúvida.

O reflexo disso se faz sentir na Matemática, "... a natureza da Matemática está mudando: há muitos indícios disto. Cada dia, mais pessoas questionam o modelo de Matemática infalível, absoluto, longe da intuição empírica e da realizada terrena, que dominou até agora urbi et orbi. Cada vez se percebe melhor a íntima relação entre as matemáticas e a sociedade. Cada vez tem-se mais espaços para um novo paradigma sobre a natureza das matemáticas, um paradigma empírico e construtivista, um paradigma que recorre à intuição sensorial, um paradigma que integre no seu seio as influências sociais e culturais, que recorre à História das Matemáticas e das Ciências como inspiração, não só para anedotas, senão para estabelecer a lógica que sustenta a prática educativa de uma forma mais acertada". Estas foram palavras de A.R. Zufliga, na conferência "Las Matemáticas Modernas en Ias Américas: filosofia de una reforma" proferida no VIII CIAEM, Miami, USA, 1991.


Para uma melhor compreensão dessa nova visão da Matemática, é necessário que se faça uma nova interpretação de sua "história oficial", contida na maioria dos livros. Nesta, poucas são as exceções que vêem a Matemática como uma criação humana, que não se desenvolve independente dos fatores socioculturais. A História da Matemática relatada é linear, internalista, evolucionista. impregnada de eurocentrismo, ignorando as matemáticas desenvolvidas em culturas não dominadas pelo homem branco ocidental.

"Aos historiadores das ciências cabe a recuperação de conhecimentos, valores e atitudes, muitas vezes relegados a plano inferior, ignorados e às vezes até reprimidos e eliminados, que poderão ser decisivos na busca desses novos rumos", afirmou U.D'Ambrosio referindo-se à busca de "novos rumos" para a humanidade, com a finalidade de sobrevivência do planeta e da civilização. Prosseguindo, "a procura de novas vias para o progresso tem sido dominada por padrões acadêmicos rígidos. amparados por uma História e Filosofia das Ciências que sugere um progresso científico linear, cumulativo, do qual não há possibilidade de se escapar da desvantagem atual... A busca de alternativas historiográficas, que conduzam a uma história que nâo venha embebida de um determinismo eurocêntrico, favorecendo a manutenção do statusquo, é essencial no processo que estamos vivendo, de questionamento da atual ordem internacional" (D'Ambrosio, 1993a, p.7).

Mas qual o reflexo disso na escola e, principalmente, na aula de Matemática? Para Zufiiga, na conferência citada, "... eu sempre digo que os educadores matemáticos são aqueles que melhor podem perceber os problemas da visão racionalista, platônica e formalista das matemáticas. Precisamente porque a aula é um laboratório vivencial, na qual a prova e o erro funcionam, um laboratório formidável onde se vêem as virtudes e os erros mais rapidamente".

O modelo tecnológico dominante na educação atual não trouxe melhorias significativas para a sala de aula, bem como não responde às questões dessa sociedade emergente. Há, pois, que se buscarem novas "saídas" para a Educação Matemática, que atendam quer aos anseios de professores e alunos quer à sociedade, compreendida como um todo.

Ncil Post man tece considerações que lançam alguma luz nessa direção. Afirma que:

Quando olho para os principais problemas aluais, vejo que eles não têm nada a ver com tecnologia. Se existem crianças morrendo de fome na Somália, se a criminalidade está semeando o terror em nossas cidades e se as famílias estão se fragmentando, não é porque dispomos de dados, informações ou mesmo conhecimentos insuficientes. AIguma outra coisa está faltando. Eu não disputaria por um segundo qualquer a afirmação a respeito da possibilidade de utilizar computadores para o aprendizado mais eficiente ou mais interessante. Mas, a pergunta que temos que nos colocar, continuamente, é: para que serve aprender? E aqui que entra o problema. As únicas respostas que as pessoas vêm oferecendo ultimamente são: 'Vocês têm que ir à escola para arrumarem empregos melhores'. E claro que isto significa pensar os Estados tinidos como uma economia, em vez de pensá-los como uma cultura. Tem que haver outras razões para as escolas. Precisamos de narrativas unificadoras. Quero dizer, mitos compartilhados, que confiram significado, metas e rumo a uma cultura. E isso que as escolas deveriam fornecer. Existe uma grande diferença entre adquirir conhecimento para ganhar a vida e adquirir conhecimento para fazer uma vida (Postman, 1993, p.21, grifo nosso).

O Programa Etnomatcmático é uma tentativa permeada pela busca dos mitos compartilhados que sejam matematicamente significativos. Propõe "um enfoque epistemológico alternativo associado a uma historiografia mais ampla. Parte da realidade e chega, de maneira natural e através de um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, à ação pedagógica" (D'Ambrósio, 1993b, p.6).

Eni Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994

Paulus Gerdes, no livro Estudos Etnomatemáticos (1989, p.2), define Etnomatemática quando, ao transpor a caracterização de Favrod de Etnolingüística para a Etnomatemática, escreve: "A Etnomatemática tenta estudar a Matemática (ou idéias matemáticas) nas suas relações com o conjunto da vida cultural e social".

O Programa Etnomatemática resgata a Matemática existente nas diferentes formas de expressão cultural presentes no cotidiano do aluno e, embora não se parta da chamada Matemática acadêmica (ou ocidental). por necessidade empregamos a terminologia acadêmica na sua discussão. Criamos modelos matemáticos como tentativas de solução para os questionamentos levantados pela Etnologia em uma dada realidade.

Os esquemas 1 e 2 procuram traduzir graficamente a situação descrita. No esquema 1, estão os passos que procuramos seguir quando usamos o Programa Etnomatemático em sala de aula. O esquema 2 procura mostrar como este programa está inserido em um contexto mais amplo, mas em sala de aula, denominado por alguns educadores de Modelagem Matemática.

Nosso processo se inicia com a alfabetização matemática e, tomando a terminologia da Lingüística, denominamos "Matemática materna", para expressar o conhecimento etno da criança. A expressão desse conhecimento é grafada empregando-se a terminologia da Matemática ocidental. O termo Matemática materna deve ser compreendido como o conhecimento matemático que a criança traz para a escola.

Duas são as razões para denominar de "Matemática materna" a Etnomatemática que a criança traz para a escola. Primeiramente, ela sugere uma analogia com a alfabetização na língua materna; a segunda razão diz respeito ao elevado número de concepções abarcadas sob o título de Etnomatemática. Ela é utilizada, hoje, para denominar o conhecimento matemático construído por um grupo étnico, ou seja, desde a Matemática do pedreiro, por exemplo, à Matemática do pesquisador. Figura 2 - Modelagem Matemática


Figura 1 - Programa Etnomatemático

O conhecimento indígena na educação do não-índio

alguns artigos sobre a educação indígena e o trabalho em aldeia (Ferreira. 1990a c 1990b). mas até hoje nada tinha escrito sobre como este conhecimento pode colaborar com a Educação Matemática dos não-índios. Para isto tenho que me colocar frente à educação e à Educação Matemática como eu a vejo hoje. Passamos por uma época muito recente, que ainda pode ser detectada na maioria das escolas. embora contestada por todo educador matemático atual, que foi a do formalismo. Pode-se resumidamente dizer que: "O formalismo pedia a remoção do significado do objeto para ordenar o trabalho exclusivo com 'forma' e com relação entre os objetos, que eram derivadas das bi axiomáticas das teorias ... . Uma vez que um resultado matemático é descoberto, ele tem que ser 'justificado' com uma estrutura formal c então c escrito para ser ensinado" (Morcno-Anclla. Waldegg. 1993. p.655). A supervalorização da forma em detrimento ao objeto fez com que o ensino se revestisse de um encadeamento teórico de dcfiniçõi demonstrações, logicamente constituídos, c a Matemática mantinha um discurso estruturado, incontestável com verdades ditas universais: não permitindo ao aluno nenhuma contestação cabendo a ele pura c

simplesmente repelir o mesmo discurso.

Desde Platão c Aristóteles, passando por Descartes, os objetos ma-nicos epistemologicamente constituídos são independentes do

observado. Cabe a Jean Piaget, baseado em idéias kanlianas. mudar esta concepção de objetos matemáticos. "Para Jean Piaget, objetos matemáticos não mais habitam um interno ou externo mundo para o conhecimento. mas são produtos construídos pelo próprio conhecimento através de um contínuo processo de assimilação c acomodação, que ocorre cm suas estruturas cognitivas" (Morcno-Anclla. Waldegg. 1993, p.657).

Baseado neste processo cognitivo, nasce o construtivismo na educação. onde na Matemática a forma perde seu status de importância, passando este para ação. ação esta contextualizada que cria significado aos objetos matemáticos.

Conhecinhecimento, segundo o ponto de vista construtivista,é sem-pre contextualizada e nunca separa,do sujeito no processo de conhecimento, o sujeito designa uma série de significados para

o objetivo. Conhecer é agir mas conhecer implica também compre ender de que maneira o conhecimento pode ser compartilhado

com outros (...) A Matemática é então reconhecida como uma atividade, e a internalização das ações é seu ponto de partida.... A Matemática trabalha com as estruturas de um mundo ideal cuja 'matéria bruta' é internalização da ação do sujeito. Uma linguagem formal é requerida para descrever este mundo ideal. Na versão da Didática derivada do formalismo, existe uma tendência a identificar os objetos matématicos (que são objetos epistêmicos com seus constitutivos de conhecimento) com o nome que usamos para nos referir a ele na linguagem formal. Desta ma neira a realidade epistemológica é escondida, mas a necessidade para construir significado a traz à luz. Por que não tira desta si-

tuação inevitavel (Moreno-Anella, Waldegg, 1993, p.658-660

Em Aberto. Brasília, ano 14. n. 62, abr./jun. 1994

Pensando a escola sob o ponto de vista construtivista, temos de reestruturá-la desde o currículo até fisicamente. Com a ação tomando o lugar da forma. "A vivência na escola e fora dela é constituída por ações e interações que configuram, todas elas configuram todas elas o desenvol vimento do indiv íduo Não cabe. assim, falar de experiência extra-escolar e da experiência colar como antagônicas. Um dos aspectos relevantes para a definição do curriculo de uma escola c o conhecimento da prática cultural do grupo a que a escola se destina, já que essas práticas é que definem determinadas estratégias de ação c padrões de interação entre as pessoas, que determinantes no processo de desenvolvimento do indivíduo" (MEC. 1993. p. 13). Este texto refere-se às escolas indígenas, mas creio que tem significado importante para qualquer escola, quando se respeita o etnoconhecimento do grupo ao qual a escola se destina. Continuando a citar o mesmo texto: "Para uma ação educacional efetua requer-se não

apenas uma intensa experiência em desenvolvimento curricular, mas também métodos de investigação e pesquisa para compreender as práticas culturais do grupo". Temos aí contemplado todo o Programa Etnomatemático, com sua pesquisa de campo (Etnografia), a análise (Etnologia), a construção do modelo matemático, a busca de sua (suas) solução (soluções), as verificações de cada passo e por fim, para mim o mais importante, o retorno da pesquisa à comunidade. Além do respeito à cultura do próprio grupo, é muito importante que a escola não esqueça de outras culturas pois: "A interculturalidade, isto é. o intercâmbio positivo é mutuamente enriquecedor entre as culturas das diversas sociedades. deve ser característica básica da escola..." (MEC. 1993, p.ll). O texto aqui completa com "da escola indígena", mas eu ainda reafirmo que também é enriquecedora a interculturalidade em qualquer escola.

Por tudo que foi dito, penso que ficou claro como acho importante que a Etnomatemática indígena seja exposta aos alunos não-índios. Além de todo o valor do relacionamento intercultural, de um conhecimento construído em nosso país, da valorização da cultura de uma outra sociedade, que está sendo dominada pela sociedade envolvente; é na própria Matemática que quero ressaltar este valor.

Hoje a Matemática perde seu status de mathesis universalis, isto é, de verdade universal e de existência independente dos seres humanos que apenas a redescobrem, para assumir seu papel de uma ciência criada por nós e, portanto, sem verdades absolutas e contextualizadas. Nada melhor. para mostrar a nova visão desta ciência, que observar como outras sociedades a estão construindo. Quando a unidade em tribos brasileiras como os Tapirapés, Krahó e Mynky é o dois e não o um. sentimos a importância social da criação matemática. Esta concepção de a unidade ser o um para a Matemática dita ocidental vem de Parmênides na Grécia do século IV antes de Cristo, quando se refere à unidade do ser (cf. Szabó, 1977, p.282-287). Com um exemplo simples como este, "cai por terra" toda a concepção de uma Matemática universal, a criação dos objetos matemáticos passam a ser vistos contextualizados, com uma história e um significado social.

Teria vários exemplos a citar como a concepção de frações para os Krahó, a importância das diagonais nos retângulos para os Tapirapés. a simetria de rotação na pintura corporal dos Kadawel e tantos outros que o meu trabalho etnográfico tem me trazido. Para o professor do ensino secundário acredito que teríamos (hoje já somos uma dezena de matemáticos assessorando a educação indígena) que escrever especificamente seja um livro paradidático, ou então colaborar com os livros textos de Matemática. no sentido de trazer à escola do não-índio, o conhecimento etnomatemático do índio brasileiro. Alguns livros didáticos dão numerações egípcias, babilônias, romana c mesmo maia, mas nenhum cita a numeração de alguma tribo brasileira.

Nâo estou culpando especificamente os autores dos livros textos, se culpa há, ela só é nossa que trabalhamos com escolas indígenas e até hoje não pensamos na importância de trazer esse conhecimento para a escola de nossos filhos.

Referencias bibliográficas

BRASIL. MEC. Diretrizes para a política nacional de educação escolar indígena. Brasília. 1993. (Cadernos educação básica. Série institucional, 2).

D'AMBRÓSIO. U. Historiografia e a história das ciências nos países periféricos. Caxambu, 1993a. Apresentado no IV Seminário Nacional de História das Ciências e da Tecnologia.

. Etnomatemática: um programa. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, v.l, n.l, 2.sem. 1993b.

FERREIRA, E. Sebastiani. Construción de Ir. casa indígena: una proposta de enseflanza de Matemática. In: EDUCACIÓN matemática en Ias Américas III. Paris: UNESCO, 199Ca.


FERREIRA, E. Sebastiani. The teaching of Mathematics in Brazilian native communities. International Journal of Mathematics Education Science Tecnology, v.ll, n.4, p.545-549, 1990b.

GERDES, P. Sobre o conceito de Etnomatemática. [S.l.], 1989. Tradução da primeira parte da introdução ao livro Estudos Etnomatemáticos, em alemão, ISP (Maputo) - KMU (Leipzig).

MORENO-ANELLA, L., WALDEGG. G. Constructivism and math-ematical education. Internationa/Journal of Mathematics Education Science Technology, v.24, n.25, p.653-661, 1993.

POSTMAN, N. A escola que você conhece está com os dias contados. Entrevista à World Media. Folha de S. Pauto, São Paulo, 6 jun. 1993.

STRUIK, D. The Sociology of Mathematics revisited: a personal note. Science andScociety, v.50, n.3, 1986.

SZABÓ, A. Les débuts desMathêmatiquesgrecques. Paris: J. Vrin. 1977.


ESPAÇO ABERTO: Manifestações

O GEEMPA, UMA VIVÍSSIMA ONG Esther Pillar Grossi*

O GEEMPA, que nasceu Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática de Porto Alegre e que se transformou em Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia de Pesquisa e Ação sem transformar sua sigla. já revela nesta mutação sua chave de vitalidade. Ele existe há quase 24 anos. pois foi fundado dia 10 de setembro de 1970 e se apresenta hoje com mil projetos interessantes.

É uma ONG, uma organização não-governamental, que tem por finalidade a pesquisa e a ação em educação. Mas é importante explicitar logo que o GEEMPA se ocupa de educação escolar precisamente. Isto é. da educação que visa a aprendizagens complexas nos campos da ciência e da cultura. as quais não são realizadas espontaneamente no dia-a-dia. sem estratégias intencionalmente organizadas. Pois. há outras aprendizagens que correm por conta de outras instâncias que não a escola, tais como a família, a Igreja, os meios de comunicação, as sociedades civis, os partidos políticos ou, mais amplamente, os espaços físicos — natureza e cidades. Nosso Grupo de Estudos nasceu da preocupação comum de vários professores — cinqüenta na Assembléia de fundação do GEEMPA — em melhorar o ensino de Matemática. Éramos todos professores desta disciplina. considerando-se que os professores unidocentes de escolas infantis (chamadas de creches ou pré-escolas) ou os regentes de 1ª a 4a série são também professores de Matemática. Outrossim, o GEEMPA já nasceu com tendência interdisciplinar ampla, pois admitia entre seus associados quaisquer interessados na melhoria do ensino, tais como. pais de alunos ou profissionais de outras áreas.

Trabalhamos arduamente durante quase uma década voltados mais especialmente para a Matemática, ancorados em pesquisas, formando professores ou pais e produzindo textos publicados em livros, revistas ou jornais. Sobretudo, não ficamos isolados no nosso cantinho, voltados

• Do Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática de Porto Alegre — GEEMPA.

ápidas, entrevistas, propostas, experiências, traduções, etc.

para o nosso umbigo. Intercambiamos com colegas de todo o mundo, submetendo nossas produções ao crivo das considerações e das críticas de especialistas de todo o lado. Apresentamo-nos em congressos, enviamos a destinos exigentes nossas publicações e integramos grupos internacionais de pesquisa, enfim, nos associamos à comunidade científica do mundo, partindo de uma intuição, depois explicitada em assertiva, de que se aprende essencialmente na interação e na interlocução.

Organizamos Jornadas de Estudo em Porto Alegre com Zoltan Dienes. Tamãs Vargas. Claude Gaulin. Maurice Glaymann e outros, em que alternávamos o aprofundamento em cursos, com a abordagem mais ampla de uma nova pedagogia e didática da Matemática para público numeroso. bem como. pela presença na mídia a fim de garantir o apoio dos pais, dos formadores de opinião e de toda a comunidade para a transformação que realizávamos na sala de aula.

Participamos, na primeira década de vida do GEEMPA. do movimento da chamada "Matemática moderna", que tinha como foco a reestruturação da Matemática como ciência, a partir da elaboração da Teoria de Conjuntos. Pode-se caracterizar este período em termos educacionais como um tempo de depuração dos livros-texto de mil incorreções matemáticas, ao mesmo tempo que bons matemáticos passaram a se ocupar do ensino, criando atividades didáticas logicamente condizentes com os conteúdos visados, o que foi um avanço extraordinário. Papy. Dienes. Freudhental e muitos outros, cm quase todo mundo, fascinados também com o encanto de ensinar Matemática, provocaram este salto. Entretanto, construtivisticamente ele representava um nível sociopsi-cogenético da caminhada da didática de Matemática marcado por uma incompletude que era o desconhecimento do processo de aprendizagem do aluno. Há mais de 10 anos voltam-se pesquisadores para este lado. e novos aportes revolvem de maneira marcante os rumos do ensino, não só


de Matemática. Doutorados surgem em várias universidades, sobre Didática. Eles se apoiam em estudos de Piaget, Wallon, Vigotsky. Brunner e tantos mais que se debruçaram na busca do entendimento a respeito das essencialidades do pensamento humano.

Como o GEEMPA ressentiu aquela lacuna dos anos 70 e como reagiu? Voltou-se durante 10 anos, sobretudo para a área da alfabetização. E isto por quê? Por duas razões, fundamentalmente. Porque a alfabetização é o mais grave desafio da educação nacional e porque para ela. Emília Ferreiro, especialmente, tinha uma contribuição significativa sobre o processo de aprendizagem que permitia a construção de uma proposta didática levando em conta também este aspecto, para além da lógica do conteúdo a ensinar. Baseando-nos nisto é que produzimos as Didáticas de Alfabetização, que estão permitindo em vários lugares do Brasil reverter os índices de 30% de aprovação nas classes de alfabetização para 90%, o que tem uma significação estupenda.

Trata-se de uma intervenção didático-pedagógica com capacidade de fazer face a um dos mais graves atentados à democracia que é a exclusão de milhões de brasileiros do acesso à leitura e à escrita, exigência mínima para a cidadania.

A proposta didático-pedagógica do GEEMPA para alfabetização resultou do concurso, durante quase uma década, de especialistas em diversos ramos do conhecimento, tais como pedagogos, médicos, psicólogos e psicanalistas, sociólogos, antropólogos, filósofos, etc. A interdisciplinaridade da equipe, associada à convicção de que a Didática é um novo campo científico e não o mero fruto de aplicações intuitivas dos demais campos, é que está também presidindo o atual trabalho do GEEMPA para além da alfabetização.

E importantíssimo salientar que o GEEMPA se deu conta que formar professores só se faz com eficácia, se ela está continuamente alimentada por pesquisa e associada imediatametne à ação docente a que se destina. Por causa disso é que nos seus cursos, ou de Especialização ou de Extensão, exige a presença de 70% de regentes das classes a que se destinam. Eles garantem à turma o vínculo imediato com a prática. Outrossim, se não há pesquisa criando teoria, embebendo a atividade de formação de professores, esta é completamente inoperante. O slogan "só ensina quem aprende", formulado durante os quatro anos em que exerci o mandato de secretária de educação de Porto Alegre, tem validade profunda. Sem esta dinâmica inter-relação entre teoria e prática, a formação ou a atualização de professores não resulta em melhoria da aprendizagem do alunado nas escolas, que é a sua finalidade. Esta dolorosa constatação vem sendo confirmada no próprio GEEMPA a cada vez que nos afastamos deste princípio.

É fruto desta descoberta o Projeto "Vanguardas Pedagógicas" que vimos desenvolvendo desde 1991. Ele se realiza durante todo o ano letivo. reunindo de duas em duas semanas centenas de professores regentes de classes. Estes são subdivididos em pequenos grupos com um coordenador que se denomina supervanguarda. Teoria e prática são aí confrontadas no calor das demandas emanadas das próprias salas de aula. no seu dia-a-dia. Este Projeto é feito em parceria com a ULBRA e a PUC e recebe apoio financeiro do MEC. Eleja está em sua quarta etapa e a cada ano amplia sua faixa de atuação. Em 1994, temos 400 professores nele engajados, divididos em equipes de formação de docentes, desde a educação infantil (de 0 a 6 anos e 9 meses) até a 4ª série. E os seus resultados são animadores. A aprovação tem girado em torno dos 90%, devendo ser salientado que este projeto reúne sobretudo professores de escolas públicas estaduais e municipais, inclusive de várias cidades próximas a Porto Alegre. Nas escolas públicas, como é sabido, estão os filhos de operários de mais baixa renda, quando não os desempregados e marginalizados de nossa sociedade. Costumam sair destas escolas os


brasileiros que engrossam a cada ano o contingente de analfabetos de nossa pátria. Projetos como este, das Vanguardas Pedagógicas, apontam para uma saída do impasse em que está embretado o país na área da educação escolar. As Vanguardas Pedagógicas, bem como todas as atividades do GEEMPA. incluem visceralmente a concepção de campo conceituai que permeia em todas as dimensões os novos paradigmas pós-piagetianos. Damo-nos conta hoje que aprender é um fenômeno que engloba muito mais do que a dimensão cognitiva dos conceitos. Estes estão embutidos no espaço, no tempo e nas representações simbólicas de sujeitos reais e concretos que aprendem, os quais não podem viver isolados, porque são "geneticamente sociais". Isto quer dizer também que aprender está embebido em desejo, ou melhor, que sem desejo não se aprende. E é por isso que formar professores nâo acontece por convocação obrigatória. A opção desejante do professor é absolutamente essencial. E, neste sentido, as Vanguardas Pedagógicas concretizam esta faceta. uma vez que acolhem professores que nelas se engajam por decisão e iniciativa próprias. Entretanto, esta marca constituinte do ser humano de ser "geneticamente social" implica também os limites da guerrilha educacional, ou seja, da iniciativa de pequenos grupos constituídos sem o aval das coordenações mais amplamente responsáveis nas redes de ensino. Uma vontade política, legitimamente ocupando um espaço de coordenação, sobretudo nas instâncias governamentais, é um elemento

decisivo para o avanço das possibilidades de ensinar de verdade nas escolas de nosso país. Permanece, entretanto, a necessidade de preservação da democracia na adesão voluntária a propostas que estas coordenações apresentam. Pois imprescindível se faz distinguir "propor" de "impor", na área do ensino-aprendizagem.

Por último, a inserção do tempo e do espaço no ensino significa o respeito e a aproximação com o jeito como cada grupo humano envolve os conceitos que lhe são importantes. Este envolvimento singular é a fonte da sociopsicogênese de cada campo conceituai. Isto é. os níveis sociopsicogenéticos da apreensão dos conhecimentos nada mais são do que a configuração que assumem os saberes em cada grupo humano. Este são a forma como. seqüencial e existencialmente. uma comunidade se aproxima de um conjunto de conceitos que lhe são significativos. O trânsito entre saberes e conhecimentos c que constitui função específica da escola, incluindo as universidades e este trânsito pode chamar-se Didática. E proposta didática é então o conjunto de atividades que oportunizam este trânsito e que, portanto, geram as aprendizagens.

Mais do que fatos ou feitos, as idéias que inundam os grupos de estudo do GEEMPA podem descrevê-lo c caracterizá-lo. Por outro lado, expondo-as, esperamos que elas sejam provocadoras de ainda mais contatos fecundos com toda a comunidade científica de nosso país.


GEPEM — GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Maria Laura Mousinho Leite Lopes*

Como situar o GEPEM, criado a 24 de fevereiro de 1976, no Rio de Janeiro, dentro do contexto nacional e internacional da Educação Matemática?

Qual tem sido a atuação do GEPEM durante os seus 18 anos de existência?

Ao procurar respostas para essas perguntas, uma breve história deste grupo ficará traçada.

A preocupação dos políticos em encontrar meios de instrumentar a sociedade, após a Segunda Guerra Mundial, para o acelerado desenvolvimento tecnológico, cujo suporte é o conhecimento científico. determinou uma reformulação do ensino de Ciências em todos os níveis. Com esse objetivo, matemáticos e políticos reunidos na Convenção da OECE (Organização Européia de Cooperação Econômica) de 1959. encontraram a solução: a reforma do ensino da Matemática da qual decorreria a do ensino científico, como desejavam os políticos. Tal reforma que passou a ser conhecida como da Matemática moderna, seria realizada mediante a reformulação dos currículos, com base nos conteúdos e apoiada nas idéias estruturalistas do grupo Bourbaki, de tão grande prestígio.

A Matemática devia ser viva, tanto no seu conteúdo como no seu ensino; ênfase especial foi colocada sobre a atividade do aluno para chegar à abstração dos conceitos matemáticos. Inovadores como Dienes, Nicole Picard e Papy desenvolveram uma pedagogia da ação e da descoberta. As bases dessas ações estavam nos trabalhos de J. Piaget sobre as estruturas da inteligência.

* Do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática — GEPEM.

O novo enfoque, que devia ser dado aos métodos do ensino da Matemática, colocou em evidência não apenas os conhecimentos da Psicologia (do desenvolvimento e da aprendizagem), mas também das outras disciplinas da área da Educação e, principalmente, da propria Matemática.

Tornaram-se necessários o estudo e a pesquisa para procurar resolver os graves problemas do ensino da Matemática neste complexo contexto, consolidando o ramo de conhecimento: a Educação Matemática.

Professores universitários nos Estados Unidos mostraram-se sensibilizados pela reformulação do ensino da Matemática como prova a criação, de 1951, do University of Illinois Commitee School Mathemat-ics (UICSM) e. posteriormente, do projeto School Mathematics Study Group (SMSG) da Universidade de Chicago, por volta dos anos 60. Em 1969, o governo francês fundou junto às principais universidades do país os Instituts de Recherches sur Tenseignement des Mathématiques (DIEM).

No Brasil, alguns grupos se associaram ao movimento: entre eles mais se destacaram o GEEM, de São Paulo, que empreendeu a reciclagem dos professores pela abordagem do conteúdo e o GEEMPA. de Porto Alegre. enfatizando a metodologia. No Rio de Janeiro, alguns professores idealistas, sob a liderança do professor Arago Backx, fundaram, em 1970, o Grupo de Estudos de Matemática do Estado da Guanabara (GEMEG). Por falta de recursos financeiros, o GEMEG não conseguiu desenvolver o programa a que se propunha. A partir da experiência do GEMEG, após várias reuniões preliminares em que se ajustaram os propósitos e se fixar. nas bases para uma ação futura, 32 professores assinaram a Ata da Assembléia Geral de Criação do GEPEM, realizada na Escola Israelita Brasileira Eliezer Steinberg, no dia 24 de fevereiro de 1976.

É preciso salientar, no momento da criação do GEPEM, o apoio decisivo, ao nosso tempo, discreto e desinteressado que nos dava o professor José Carlos de Mello e Souza, um dos batalhadores, desde a década de 40, pela melhoria do ensino no Brasil. A liderança de Mello e Souza foi marcante na organização da CADES, órgão do MEC, que se destinava à preparação de professores secundários de todas as disciplinas por meio de cursos de férias em vários estados do país.


A primeira atividade do GEPEM foi a de organizar um Seminário Nacional para os dias 12, 13 e 14 de abril de 1976, em preparação ao Congresso Internacional de Educação Matemática a realizar-se em Karlsruhe (Alemanha) no mês de agosto.

O Seminário contou com a ajuda financeira do PREMEN e da Academia Brasileira de Ciências que também proporcionou todo o apoio logístico. Estiveram presentes 200 professores de 20 unidades da Federação dos quais 40 como observadores.

Em dezembro do mesmo ano de 1976, apareceu o Boletim nº1 do GEPEM e, até o presente já foram publicados 30 números, distribuídos aos seus 850 sócios. Nos últimos anos, tem contado com o apoio financeiro do Subprograma Educação para a Ciência (SPEC/PADCT/CAPES).

Nos seus três primeiros anos, a maior atividade do GEPEM foram cursos de treinamento para públicos diversos (professores da pré-escola, do primeiro e do segundo graus, pessoal da Petrobrás). Por outro lado, não se perdia a oportunidade para convidar especialistas brasileiros ou estrangeiros de passagem pelo Rio de Janeiro, a falar no GEPEM. Com esta prática tivemos ótimas conferências de Luiz Alberto Brasil, Esther Grossi, Claude Gaulin, Charles Roumier, Georges Glaeser, Peter Hilton, Jean Dieudonné para citar apenas alguns.

Firmou-se também a tradição, que permanece, de manter uma palestra mensal para os sócios e aberta ao público interessado.

Em 1978, surgiu a oportunidade de submeter ao INEP/MEC um projeto de pesquisa, intitulado "Binômio Professor-Aluno na Iniciação à Educação Matemática" que mereceu a aprovação e foi desenvolvido com apoio técnico-financeiro daquele órgão do MEC durante os anos de 79 e 80.

O relato desta pesquisa foi publicado no Boletim nº 11 do GEPEM e foi tal o interesse despertado e a importância para o Grupo de Educação Matemática que começava a se formar no Instituto de Matemática da UFRJ que a Fundação Universitária José Bonifácio, graças à compreensão do saudoso professor Frota Moreira, então seu secretário-geral, patrocinou uma segunda tiragem do relato.

Em comemoração aos 10 anos do GEPEM. sob a presidência da professora Moema Sá Carvalho, foi realizado Seminário que contou com a participação de mais de 200 professores de lº a 3º grau do Rio e de outros 12 Estados. Contribuíram com apoio logístico e/ou financeiro a Universidade Santa Úrsula (USU), CNPq e FINEP.

Para desenvolver qualquer atividade, sobretudo, a educacional, a formação de recursos humanos é fundamental. Com esta preocupação, o GEPEM tem sempre procurado tornar os educadores matemáticos capacitados a questionar e procurar respostas para esses questionamentos mediante a pesquisa que, em sentido amplo, dizem respeito ao:

— conhecimento e à avaliação do que se passa em sala de aula para poder planejar o conteúdo específico e o método;

—entendimento do processo da compreensão do aluno para poder orientar o ato de ensinar esse conteúdo.

Os resultados das pesquisas e as respostas às muitas perguntas devem ter como finalidade levar ao professor de Matemática subsídios para melhorar o desempenho do seu dia-a-dia na sala de aula. Esta foi a força que moveu a diretoria do GEPEM, em 1981, a implantar pioneiramente no Brasil, um curso de pós-graduação lato sensu em Educação Matemática em Convênio com a USU. Foram estes mesmos motivos que levaram a madre Maria de Fátima Ramos a assumir o desafio de criar na Universidade Santa Úrsula, com a assistência técnica do GEPEM. o curso de mestrado em Educação Matemática, sob a coordenação da professora Esteia Kaufman Fainguelernt, atual presidente do GEPEM.


Sempre com a preocupação de desenvolver atividades que visem à melhoria do ensino-aprendizagem da Matemmática, o GEPEM, ainda em convênio com a USU, está instalando um Laboratório de Matemática para atendimento a alunos e professores de lº, 2º e 3º graus.

No presente ano, o GEPEM e a Universidade Santa Úrsula estão organizando a 5ª Semana da Matemática de 27 de junho a 2 de julho para professores, pesquisadores e profissionais interessados em Educação

Matemática ou em Matemática. Pela segunda vez, o professor Abraham Arcavi, PhD do Instituto Weizmann de Israel, participará da Semana da Matemática, proferindo uma palavra. Os professores Arcavi e Rina Hershkovvitz, também do Instituto Weizmann, têm colaborado com professores visitantes do curso de mestrado, assim como o professor norueguês Otto B. Bekken, cujo livro sobre a História da Álgebra, tema do curso que ministrou, está sendo impresso para ser lançado na 5ª Semana de Matemática.


BALACHEFF, N., VIVET, M. (Eds.). Didática e inteligência artificial. Grenoble: La Pensée Sauvage, [199-]. 302p.

Esta obra é a edição para difiisão em livrarias do número duplo (1 e 2) do volume 14 da revista Recherches en Didactique deshíathéniatiques sobre o tema dos ambientes informáticos de aprendizagem da Matemática.

A pesquisa em Didática da Matemática e a dos Ambientes Interativos de Aprendizagem com Computador (EIAO) têm aproximadamente a mesma idade. Com efeito, é no início dos anos 70 que G. Brousseau publica seu texto fundador da teoria das situações didáticas (Brousseau. 1972), e é nessa mesma época que J.R. Carbonell (1970) publica um artigo geralmente reconhecido como precursor das problemáticas comuns à Inteligência Artificial (IA) e à educação1. O encontro dessas duas linhas de pesquisa ocorre na França em meados dos anos 80. período de intenso desenvolvimento das pesquisas comuns à IA e à educação2 no plano internacional.

O EIAO revela-se, deste modo. lugar de convergência para a IA e a Didática sobre as questões ligadas à modelização dos conhecimentos e dos processos didáticos, reconsiderados como processos responsáveis peia organização das interações entre sistemas de cognição naturais e artificiais. Realizaram-se estreitas colaborações entre informáticos e pedagogos em torno de ações concretas de pesquisa como: APLUSIX em Orsay, Cabri-geómctre em Grenoble, DEFI e MENTONIEZH em Rennes, ELISE e STUDIA em Mans. Um importante evento resultante dessa aproximação é a criação, em fevereiro de 1991, de um grupo nacional comum EIAO que reúne pesquisadores em Didática e pesquisadores em

1 Para alguma indicações históricas, cf. Dillenbourg. Realização cm 1985, em Exeter. do Primeiro Congresso Internacional Bianual Artificial Intelligence and Education;

criação, em 1988, do jornal Artificial Intelligence in Education, etc. (N.Trad.).


RESENHAS IA. A característica essencial desse grupo é desenvolver uma colaboração que possibilita a evolução de uma relação de serviço para uma relação de cooperação orientada para a produção comum de conhecimentos necessários ao progresso do EIAO. Os artigos reunidos nesta obra. apresentando o estado mais avançado das questões comuns aos pesquisadores em Didática e em Inteligência Artificial, atestam-no

Para o didata, afirmar que os dispositivos informáticos "funcionam" não basta para assegurar que eles representam a realização de um processo didático pertinente. Será necessário ainda poder descrever a especificidade desses dispositivos em função do conhecimento a ensinar c do conhecimento de referencia, descrever a natureza das interações que possibilitam, para quais aprendizados, e, finalmente, definir as condições de sua inserção em um processo didático. Essas questões, oriundas fundamentalmente de uma problemática epistemológica, são também dirigidas ao pesquisador em Inteligência Artificial. na medida em que ele é rapidamente conduzido a uma interrogação sobre o que ocorre com o conhecimento no processo de modelização e de representação empreendido.

As exigências de modelização formal da IA solicitam um desenvolvimento e uma maior precisão dos conceitos de Didática e, talvez, um novo exame de seus significados.

Em particular, a realização de um processo didático pela máquina leva-nos a formular, de diferentes maneiras, a questão da modelização calculável da devolução, da institucionalização e até mesmo do contrato. Se, como muitos sugerem, ocorrer que somente uma parte desses processos seja modelizável a ponto de poder ser calculada, qual será a conseqüência para a Didática? Outras questões pertencem ao campo comum da EIAO: as cooperações entre ambientes de aprendizagem informatizados e professores, as condições dessas cooperações, a natureza do controle possível por parte do professor, passagem de informação, gestão da memória da classe como problema da continuidade dos processos didáticos, mas também como problema explícito das decisões de

informações a serem conservadas pelo sistema. Essa riqueza da interação entre IA e Didática ultrapassa as questões compartilhadas no campo da EIAO, suas conseqüências atingem o que há de essencial nas disciplinas envolvidas. Isso faz desse domínio fundamentalmente interdisciplinar uni lugar de emergência exemplar das ciências cognitivas.

O capítulo introdutório de N. Balachcff empenha-se cm mostrar como esta perspectiva renova as questões de Didática e suscita indagações originais.

A questão da dependência ou da independência dos processos de aprendizagem em relação ao domínio de referência é objeto de debates difíceis. O ponto de vista da informática, preocupada com a transferibi-lidade. é em geral de garantira independência do modelo cm relação ao domínio. A contribuição de M. Rogalski, como conclusão de uma longa cooperação com E. Delozanne quando da realização do sistema ELISE. evidencia pontos fundamentais da análise das contingências ligadas ao conteúdo e adianta algumas teses sobre o assunto.

Intercâmbios complexos c duráveis entre pesquisadores em Didática e em IA foram suscitados pelas questões ligadas à representação dos conhecimentos. Com o intuito de posicionar a comunicação entre pesquisadores sobre os objetos do ensino. J.F Nicaud. em seu artigo. sugere um contexto geral que retoma a hipótese do nível conhecimento de Newell, nivel que teria todo o rigor do computável. mas que permaneceria acessível ao controle e à elaboração pelo agente humano. O conhecimento implícito em um EIAO deve ser apresentado exaustivamente, incluindo o metaconhecimento compreendido como o conhecimento que possibilita o controle do raciocínio.

Considerar o aluno é indispensável à condução de uma interação que torne possível o aprendizado. Dessa forma, a modelização do aluno é um assunto-chave em EIAO. D. Py aborda-a no tema da Geometria e mostra como no projeto MENTONIEZH ela identifica o plano seguido pelo aluno para elaborar uma demonstração.

S. Ag. Almouloud. hoje professor associado na PUC de São Paulo, e I. Giorgiutti abordam essas questões no contexto de DEFI. um programa de auxílio à exploração da figura em Geometria e à construção de uma demonstração. Eles mostram o interesse da construção de ferramentas para analisar a produção dos alunos e. por exemplo, para determinar uma tipologia dos comportamentos.

C. Laborde e B. Capponi apresentam o estudo de um meio (didático organizado em torno de um EIAO. Cabri-Géomctrc. visando ao aprendizado da noção de figura geométrica por alunos do colégio3. Eles procuram, em particular, determinar as "contingências" teóricas sobre as situações construídas em Cabri-Géomctre para que elas requeiram o auxílio dos conhecimentos geométricos e quais processos conduzem a esse auxílio. Trabalhos experimentais levam-nos a identificar a importância das interações entre os aspectos visuais e os aspectos geométricos no contexto da manipulação direta dos objetos de Geometria acessível pelo dispositivo informático.

E. Delozanne. de sua parte, apresenta o exemplo de um processo de colaboração entre um pesquisador cm IA e um pesquisador cm Didática. Ela explicita a gênese do sistema ELISE — sobre a pesquisa de primitivas de uma função de uma variável real — desde as idéias originais ligadas à criação, cm torno de um solucionador de problemas CAMELIA, de um sistema capaz de explicar a Matemática até as revisões de problemática resultante da colaboração com M. Rogalski.

A análise c mesmo o controle dos aspectos temporais ligados à dinâmica de uma situação de aprendizagem levantam numerosos problemas. A possibilidade de confronto de certas abordagens utilizadas em IA para tratamento formal do raciocínio temporal, com os trabalhos de didática relativos à análise detalhada dos efeitos do transcurso do tempo em uma sessão de aprendizagem, é uma questão recente e amplamente aberta. O capítulo de R. Gras e S. Ag. Almouloud mostra o tipo de trabalho que pode ser feito nesse sentido.

1 Correspondente ao nosso antigo ginásio (N.Trad.).


A concepção dos EIAO, nas abordagens iniciais, partia naturalmente de uma análise dos conhecimentos em um domínio, completada pela análise dos conhecimentos do aluno e uma abordagem de tipo pedagógico amplamente baseada em uma lógica de transmissão de conhecimentos. Nas pesquisas atuais, a concepção parte de uma análise do que serão as situações didáticas criadas incluindo o dispositivo informático. Trata-se então de considerar as intervenções do professor e dos alunos e de se colocar de forma mais definida em uma lógica de recriação ou reconstrução dos conhecimentos. O interesse e as conseqüências dessa modificação metodológica são examinados no capítulo redigido por E. Bruillard e M. Vivet.

Da modelização dos conhecimentos objetos de ensino e dos conhecimentos do aluno às condições de pertinência de um EIAO no sistema didático, as questões abordadas neste livro formam um conjunto complexo e vasto. A perspectiva oferecida é sem dúvida parcial em vista do dinamismo das pesquisas na área, mas mostra com clareza a fecundidade de uma cooperação entre pesquisadores em Didática c pesquisadores em IA.


BROUSSEAU, G. La mathématique à I 'école elementaire. Paris: APMEP, 1972. p.428-442:Processus de malhématisation.

CARBONELL, J.R. Al in CAI: an artificial Intelligence approach to computer-assisted instruction. IEEE Transaction on Man-Machine Systems, v.ll, n.4, p. 190-202. 1970.

DILLENBOURG, P. Evolution épistémologique en EIAO. Ingénierie Educative. no prelo.

Nicolas Balachcff Dida Tech, Grenoble


MEIRA, Luciano, SHLIEMANN, Analúcia, CARRAHER, David, SPINILLO, Auna. FALCÃO, Jorge da Rocha. Estudos em Psi-cologia da Educação Matemática.

A história das relações entre as ciências da cognição e a prática instrucional na escola têm sido, no mínimo, problemáticas. De fato. não existe uma conexão trivial entre teorias da aprendizagem, ou do desenvolvimento cognitivo, e modelos instrucionais para o ensino de disciplinas específicas. A respeito destas complexas relações, atribui-se ao renomado psicólogo Ulric Nasser uma crítica à Psicologia, segundo a qual "se x é um problema socialmente relevante, x foi raramente abordado pela Psicologia". Assim é que outro importante representante das ciências cognitivas na atualidade, Andrea di Sessa. defende com muita propriedade que, se uma teoria cognitiva é articulada e robusta, sua "aplicação" direta na prática educacional é não trivial, senão impraticável.

Exageros à parte, as teses mais avançadas em diversas linhas da Psicologia (experimental, do desenvolvimento e cognitiva) eram vistas há até bem pouco tempo como um campo periférico aos interesses mais amplos da educação. A influência da Psicologia na educação ficava por conta quase exclusiva da área de influência behaviorista, através de estudos de aprendizagem que investigavam comportamentos de relevância duvidosa para a aprendizagem humana, em situações fora do laboratório. Análises de conceitos complexos como aqueles encontrados diariamente nas aulas de Matemática, por exemplo, não eram comuns na literatura psicológica. ou divergiam bastante das análises realizadas por matemáticos. Em outros casos, os conceitos eram tratados como medidas de testes de inteligência, ou mesmo como respostas mecânicas a serem adquiridas pelo aluno em conformidade com uma história de reforço.

Por outro lado, o psicólogo que mantinha contato direto com o professor — o psicólogo escolar — preocupava-se com questões relativas a dificuldades emocionais, afetivas e de inteligência ou aptidão. Este

profissional exercia na escola um papel semelhante àquele do psicólogo clínico: diagnosticava os alunos com suspeita de serem "portadores" de problemas, identificava sua suposta origem e aconselhava o professor, a família e a Direção da escola sobre as providências necessárias. Freqüentemente, concluía-se que residia no próprio aluno a causa de seus problemas, ou que o problema era localizado na família, nas condições de vida do aluno, na sociedade. Raramente, o papel da escola na emergência destes problemas era questionado. Ao longo dos últimos anos. tornou-se evidente que este procedimento não passa de uma forma de deslocar o foco de discussão de questões fundamentais relativas a formas de ensinar e de aprender, para questões onde a escola não poderia ser responsabilizada. É importante notar que o aluno '"normal", bem como a "aprendizagem normal", não eram assuntos para o psicólogo. Claro, a Psicologia evoluiu enormemente nos últimos anos. Com a divulgação dos trabalhos de Jean Piaget c Lev Vygotsky. entre outros, a relação entre a Psicologia e a educação iniciou um período de redefinição. As pesquisas piagetianas e vygotskianas deram apoio a uma idéia relativamente simples e muito importante, cujas repercussões continuam a expandir-se: o desenvolvimento e a aprendizagem são profundamente relevantes para o ensino. É verdade que esta noção havia sido antecipada nas concepções filosóficas de Rousseau e Dewey. Mas Piaget, por exemplo. conduziu, pela primeira vez, estudos empíricos minuciosos e elaborou complexas análises teóricas sobre uma variedade enorme de conceitos matemáticos e científicos, tais como número, espaço, tempo, causalidade, probabilidade, força, velocidade, aceleração, reação química, razão e proporção, relação, função, etc. Embora estas análises nâo indicassem diretamente o que deveria ser feito em sala de aula, elas foram importantes para que começássemos a compreender como a criança pensa e quais as dificuldades que enfrenta na aprendizagem de conceitos. Com Vygotsky. hoje em evidência mundial, passamos também a reconhecer a necessidade de empreender estudos mais diretamente relacionados aos contextos socioculturais da escola e da atividade profissional e à aprendizagem de conteúdos específicos, que poderiam ser trabalhados na escola. Os conceitos de Zona de Desenvolvimento Proximal (que coloca de forma


intrínseca as relações entre aprendizagem e desenvolvimento) e Ação Mediada (o uso de ferramentas cognitivas e culturais na atividade humana) são uma contribuição inestimável a tal empreendimento.

No que diz respeito à Educação Matemática, a contribuição da Psicologia traduz-se de forma bem particular. Há quarenta anos. se pedíssemos a educadores matemáticos para identificar os campos de conhecimento que compõem a Educação Matemática, a maioria certamente mencionaria a Educação e a Matemática, mas poucos citariam a Psicologia. Só cm 1976. durante o III Congresso Internacional de Educação Matemática (ICME3) na Alemanha, criou-se um grupo internacional de estudos sobre a Psicologia da Educação Matemática (PME) com a finalidade de promover o intercâmbio científico e pesquisas interdisciplinares, na tentativa de aprofundar a compreensão dos aspectos psicológicos do ensino e da aprendizagem da Matemática. É significativo que o PME não definiu este novo campo como pertencendo exclusivamente à Educação, à Matemática ou à Psicologia, mas como uma área de interseção entre estas disciplinas.

Embora a pesquisa em Psicologia da Educação Matemática exista no Brasil há vários anos, sua designação não tem sido amplamente reconhecida. O livro Estudos em Psicologia da Educação Matemática representa uma tentativa de promover no Brasil o reconhecimento explícito desta área eminentemente interdisciplinar e de inegável importância teórica e prática.

Estudos em Psicologia da Educação Matemática traduz a preocupação de vários pesquisadores na área da Psicologia Cognitiva no aprofundamento de reflexões sobre como a criança desenvolve a compreensão de conceitos matemáticos dentro e fora da escola, quais as dificuldades que enfrenta e qual a melhor forma de proporcionar oportunidades para a aquisição e desenvolvimento desse conhecimento. O livro reúne quatro artigos, baseados em estudos realizados por pesquisadores do mestrado

em Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), sobre a compreensão de conceitos matemáticos. Tratando de diferentes temas de importância central na Educação Matemática, os artigos têm em comum a concepção de que o conhecimento matemático é o resultado de construções que os indivíduos realizam em contextos específicos. Nesse sentido, os artigos compartilham também o ponto de vista de que a elaboração de situações adequadas em sala de aula requer do professor. tanto o conhecimento sobre os conteúdos da Matemática, quanto o conhecimento sobre como a criança desenvolve sua compreensão de conceitos matemáticos, quais as dificuldades que enfrenta e quais as características das concepções que desenvolve. Os diversos capítulos analisam diferentes tipos de conteúdos matemáticos e os tipos de atividades que podem proporcionar o progresso de estratégias intuitivas (de alcance limitado, mas bem compreendidas pelo aluno), para estratégias de aplicação mais eficiente e geral que mantenham a compreensão sobre as relações envolvidas nos problemas.

No capítulo 1. Analúcia Schliemann e David Carraher mostram como a compreensão de razões e proporções pode ocorrer independentemente do ensino escolar, mas que é através da instrução que estratégias mais eficientes e gerais podem ser aprendidas. Para isso, os autores discutem as características da compreensão sobre proporcionalidade que a criança ou o adulto desenvolve fora da escola, quais os seus pontos fortes e quais os seus limites. Crianças que trabalham no comércio de doces fora da escola usam uma estratégia escalar de adições sucessivas, implementando transformações paralelas nas variáveis que compõem a razão. Os autores observam, entretanto, que estas crianças não descobrem espontaneamente que as relações entre preço e número de objetos comprados, por exemplo. são de mesma natureza que as relações entre outros tipos de variáveis. A construção desta relação exige a experiência com novas variáveis para que as semelhanças matemáticas possam emergir. Este é um problema educacional interessante, pois se nos restringirmos às situações já dominadas pelo aluno, este acerta os problemas, mas deixa de ampliar


seu conhecimento. Por outro lado, se utilizarmos contextos estranhos e relações numéricas difíceis, o aluno poderá não compreender os problemas. Assim, o ensino e a aprendizagem envolvem uma tensão entre a continuidade e a descontinuidade. Na opinião de Schliemann e Carraher, a escola tenta freqüentemente minimizar os erros associados a este dilema, organizando e sistematizando novos conteúdos de tal forma que o aluno acerte os problemas, não porque compreendeu os conceitos. mas sim porque havia pistas para auxiliá-lo na resolução dos problemas. Os autores concluem afirmando que a criança certamente desenvolve uma compreensão de razão e proporção fora da escola, mas o raciocínio proporcional também envolve conhecimentos que podem ser na escola: é na escola que se pode aprender como analisar situações, como expressar relações e como derivar valore.;. O trabalho de relacionar o conhecimento adquirido fora da escola com o conhecimento que a escola tem obrigação de tentar desenvolver deve constituir o objetivo sempre presente das atividades do educador.

No capítulo 2. Auna Spinillo analisa os primeiros passos da criança no desenvolvimento da compreensão de razões e proporções, e a natureza das relações envolvidas nesta compreensão. Dando continuidade à discussão iniciada por Schliemann e Carraher, esta autora considera que o ensino de proporções é relevante na escola, pois dá sustentação a programas de Matemática e Ciências (Física, Química, Biologia), sendo a base para a compreensão de conceitos diversos como fração. porcentagem, densidade, velocidade, etc. Também na Psicologia, o conceito de proporcionalidade está relacionado ao desenvolvimento cognitivo, cuja aquisição marca a passagem do período das operações concretas para as operações formais. O objetivo da autora é demonstrar que, apesar de muitas investigações apontarem para a compreensão de proporção como sendo uma aquisição tardia, existem evidencias de que crianças são capazes de fazer julgamentos proporcionais desde os 6-7 anos e de aprender sobre proporções através de situações de treinamento. Entretanto, isto ocorreria apenas quando as relações de primeira ordem

entre os termos da proporção são fáceis de ser estabelecidas (em termos parte-parte), e quando os problemas permitem o uso do referencial "metade" como estratégia para decidir sobre equivalências. O uso de comparações parte-parte significa tratar a tarefa em termos de razão, enquanto o uso de comparações parte-todo significa tratar a tarefa em termos de fração. Levando-se em conta estas características, a autora propõe as seguintes recomendações para o ensino de proporção nas séries iniciais do primeiro grau: 1) menos ênfase na quantificação numérica: 2) a capitalização cm experiências perceptuais c de estimação: 3) o uso de tarefas de comparação, tanto quanto de tarefas de incógnita c 4) a atenção à importância dos pontos de referência.

No capítulo 3, Luciano Meira mostra como a compreensão de funções emerge em situações de interação entre as crianças, c durante discussões apoiadas cm diferentes tipos de materiais. Este artigo discute a complexidade do conceito de funções e as múltiplas conexões entre este conceito e suas representações, além de apontar para algumas das muitas dificuldades que podem estar envolvidas no seu aprendizado, tais como: 1) o reconhecimento de funções não-lineares; 2) a diferenciação entre gráficos de funções contínuas e discretas; 3) a representação algébrica de funções a partir de gráficos e vice-versa; 4) a compreensão do conceito de variável. O autor considera, entretanto, que, apesar de todas estas dificuldades, o domínio das funções lineares envolve noções matemáticas que crianças do primeiro grau podem compreender, quando confrontadas com situações e problemas adequados. Três estudos são apresentados. onde são relatadas pesquisas referentes a: 1) experiências corn modelos físicos de funções lineares; 2) o conhecimento sobre tabelas de pares ordenados e 3) atividades com gráficos e, em particular, equações algébricas. Como conclusão, o autor recomenda que: 1) o estudo de funções deve envolver, tão simultaneamente quanto possível, atividades com múltiplas representações deste conceito; 2) atividades com tabelas e seqüências devem estar incluídas no estudo introdutório de funções, como referentes materiais para a investigação de relações entre quantidades; a


este respeito, o autor critica o uso tradicional de tabelas apenas como um 'arquivo" de coordenadas a serem grafadas no plano cartesiano; 3) o estudo das representações algébricas de funções deve envolver a constante busca de significados para símbolos representados no papel. Finalmente, o autor considera que estes são objetivos complexos, mas que podem ser gradualmente atingidos na medida em que o ensino engaje os alunos cm atividades de discussão que enfoquem as relações entre símbolos algébricos e quantidades representadas em gráficos, tabelas de valores e sistemas físicos.

Finalmente, no capitulo 4, Jorge da Rocha Falcão apresenta uma análise das dificuldades que os alunos enfrentam ao adotar a representação algébrica para a resolução de problemas. Para Falcão, a Álgebra refere-se a um conjunto de conceitos e procedimentos (algoritmos) matemáticos que permitem a representação prévia e a resolução de uni determinado tipo de problema, para o qual os procedimentos aritméticos mostram-se insuficientes. Nesse sentido, a Álgebra, assim como vários outros conteúdos da Matemática, caracteriza-se por uma dupla natureza epistemológica: ela é um objeto de estudo (enquanto objeto matemático), mas é igualmente uma ferramenta de trabalho a serviço de outros domínios. Além de observar sua natureza epistemológica. Falcão propõe que o ensino introdutório da Álgebra deve considerar a dialética ruptura versus continuidade da Álgebra em relação à Aritmética. Diferentemente da Aritmética, a Álgebra requer mudanças na abordagem de problemas. ao incluir uma formalização prévia ao cálculo propriamente dito. Ao mesmo tempo, o ensino da Álgebra requer consideração dos elementos

de continuidade, visto que muitos dos problemas enfrentados em didática da Álgebra se originam na Aritmética. As seguintes recomendações são propostas por êste autor: 1) não restringir o ensino introdutório da Álgebra ao uso de algoritmos a partir de equações prontas; 2) solicitar freqüentemente dos alunos o esforço prévio de escrever equações a partir de situações, prevendo atividades de apoio didático nesse sentido (através do uso de planilhas eletrônicas, por exemplo); 3) explorar atividades interdisciplinares envolvendo a observação de fenômenos físicos, construção de tabelas c gráficos e tentativa de construção de modelos algébricos.

Como conclusão desta revisão sumária dos estudos publicados cm Estudos em Psicologia da Educação Matemática, os autores ressaltam que o professor tem um papel fundamental na criação de tarefas e de um contexto de atividades que possam guiar a participação do aluno c o processo de construção de conhecimentos na sala de aula. Para isto, c necessário que o professor pesquise possibilidades pedagógicas c esteja a par de resultados de pesquisas realizadas, nas áreas de Psicologia Cognitiva e Educação Matemática. Este livro representa para o professor, sobretudo, uma fonte de material que poderá inspirar o planejamento de atividades que proporcionarão ao aluno a oportunidade de descobrir relações, resolver problemas e aprender novos formas de representar mais eficientemente suas concepções, no sentido de compreender-lhe o significado.

Os autores (Universidade Federal de Pernambuco)


BIBLIOGRAFIA EDUCAÇÁO MATEMÁTICA

AABOE, Asger. Episódios da história antiga da Matemática. [S.l.]: Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.

ACYOLY, Nádja M., SCHILIEMANN, Ana Lúcia D. Escolarização e conhecimento de Matemática desenvolvido no contexto do jogo do bicho. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.61, p.42-57. maio 1987.

ADLER, Irving. Iniciação à Matemática de hoje. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1968.

. Matemática e desenvolvimento mental. São Paulo: Cultrix, 1972.

AFONSECA, Elísia Terezinha M. de. Matemática, um desafio à prática didática do professor. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.l, n.l, p. 12-13, jan./fev. 1983.

AGRANIONIH, Neila T. O laboratório de Matemática. In: BORTOLANZA, Maria Lourdes (Org.). Educação fundamental: compromissos e desafios para a universidade. Erechim: URI; [Brasilia]: FNDE, 1993. p.41-48.

ALBUQUERQUE, Irene. Didática da Matemática. 2.ed. Rio de Janeiro: Conquista, [19-].

ALEKSANDROV et al. La Matemática: su contenido, métodos y significado.5.ed. Madrid: Alianza, 1981.

ALMEIDA, Rita C. A Matemática considerada como um instrumento de comunicação e os problemas didáticos correspondentes. Signos, Lajeado (RS), v.9, n.16, p.37-44, jun. 1984.

ALMEIDA, Rose Cler P. et al. Topologia. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.5, n.28, p.40-45, jul./ago.l987.

AMARAL, Ana Lúcia. Metodologia da Matemática.2.ed. Belo Horizonte: Vigília, 1985.

APÉRY, R. et al. Penser lesMathématiques. Paris: Seuil, 1974.

ARAÚJO. Antonio Pinheiro de. A disciplina de metodologia da Matemática nos cursos de formação de professores de 1º grau no Rio Grande do Norte: uma perspectiva de análise. Ciência e Cultura. São Paulo, v.38, n.6, p.959-967, jun. 1986.

. Educação matemática: importância, problemas e conseqüências. Ciência e Cultura, São Paulo, v.35, n.5, p.580-583, maio 1983.

. O ensino da Matemática na percepção do aluno reprovado. Tecnologia Educacional, Rio de Janeiro, v.21, n.109. p.35-41, nov./ dez. 1992.

. O fetichismo na metodologia do ensino da Matemática. Educação em Questão, Natal, v.l, n.2/3, p. 125-129, jul. 1987/jun. 1988.

. Materiais didáticos e o contexto escolar: pesquisa-ação no ensino da Matemática. Tecnologia Educacional, Rio de Janeiro, v. 17, n.82, p.35-42, maio/jun. 1988.

. Problemas do professor de Matemática no ensino de 1º e 2º graus. Ciência e Cultura, São Paulo, v.36, n.6, p.945-949, jun. 1984.

ASANOME, Cleusa Rocha, PERRE, Maria Aprecida, PÓLA, Marie-Claire Ribeiro. O ensino de noções básicas de Estatística através da Geometria N-dimensional. Semina, Londrina, v.10, n.4, p.229-234, dez. 1989.


ASIMOV, Isaac. No mundo dos números. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1986.

ASSIS, Neusa Borges de. Matemática nas primeiras séries: revisão metodológica. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.20, n.185, p.2-8, mar. 1987.

ASSIS NETO, Fernando Raul de. Géométrie de Position: o estranho livro de Lazare Carnot. In: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental: eventos, 4. Parte 2).

AVELAR, Thaís Francisca de Moraes, MOREIRA, Teresinha Mendes. Planejamento de Matemática. AMAE Educando, Belo Horizonte, v. 12, n.111/112, p.36-39, fev/mar.1979.

BALDINO, Roberto Ribeiro. Educação matemática: do discurso da ordem à ordem do discurso. Pro-Posições, Campinas, v.4, n. 1[10], p.42-59, mar. 1993.

_ . A interdisciplinaridade da educação matemática. Didática, São Paulo, v.26/27, p. 109-121, 1990/1991.

. Sobre o objeto da Matemática: materialidade especificidade. Educação pela Inteligência, Rio de Janeiro, v.l, a l , 1983.

BANDET, J. Vers l 'aprentissage des Mathématiques: nouveau départ pour les enfants de 4 á 7 ans.6.ed. Paris: A. Colin, 1977. 175p. (Bourrelier. Cahiers de pédagogie moderne, 37).

BAQUERO, Rute Vivian Angelo, RIBEIRO, Maria Judith Sperb. Critérios para a seleção de livros-texto de matemática de 2º grau e concepções dos professores sobre educação. Tecnologia Educacional, Rio de Janeiro, v.14, n.66/67, p.31-42, set./dez. 1985.

BARBOSA, Eda Coutinho, CASTRO, Maria Terezinha Galhardo de. O impacto do Subprograma Educação para a Ciência (SPEC) no ensino de Ciências e Matemática de 1º e 2º graus. In: BRASIL. MEC. CAPES. Relatório de avaliação CAPES/PADCT: 1984/1987 — MID-TERM-REVTEW. Brasília, 1987. lv.

BARBOSA, Ruy Madsen. Matemática magistério 2. São Paulo: Atual, 1985.

BARBUT, Marc. Sobre o sentido da palavra "estrutura" em Matemática. Trad. por Jacqueline Castro. In: PROBLEMAS do estruturalismo. Rio de Janeiro: Zahar, 1968.

BARKER, Stephan F. Filosofia da Matemática.!.ed. Trad. por L. Hegenberg e O.S. da Mota. Rio de Janeiro: Zahar, 1976. 144p.

BAROJA, M. Fernanda Fernandes et al. Ninos con dificuldades para Ias Matemáticas. Madrid: Toroba, 1979.

BARON, M.E. Origens e desenvolvimento do Cálculo. Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 1985. 5v.

BARRETO, Heloísa Menna, PÉRES, Maria Lúcia. Iniciação à Matemática. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1966.

BASSANEZI, R.C. Modelagem como metodologia de ensino de Matemática. Campinas: UNICAMP, IMECC, 1988. mimeo.

BASTOS, Almerindo Marques et al. Subsídios para implementação do guia curricular de Matemática — Álgebra para o Ia grau, 1ª a 4ª séries e 5ª a 8ª séries; atividades. São Paulo: Secretaria de Estado da Educação, Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas, 1979.


BAUMGART, J.K. História da Álgebra. SãoPaulo: Atual, 1992.

BECKER, Oskar. O pensamento matemático. SãoPaulo: Herder, 1965.

BELTRAME, Ana Maria et al. Uma proposta política do ensino de Matemática. Educação eSociedade, SãoPaulo, n.20, jan./abr. 1985.

BEZERRA, Manoel Jairo. O ensino da Matemática pela televisão. Tecnologia Educacional, Rio de Janeiro, v. 10, n.43, p. 14-17. nov./ dez. 1981.

BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Coord.). Educação matemática. São Paulo: Moraes, 1988.

. A educação e o ensino da Matemática. Leopoldianum, Santos, v.10, n.29. p.43-52, dez. 1983.

. Pesquisa em educação matemática. Pro-Posições, Campinas, v.4, n.l[10], p. 18-23, mar. 1993.

BLOOM, Benjamin. Características humanas e aprendizagem escolar. Porto Alegre: Globo, 1981.

BLOOM, Benjamin S. et al. Taxionomia de objetivos educacionais. Porto Alegre, Globo, 1972. cap.l: Domínio cognitivo.

. Evaluación del aprendizaje. Buenos Aires: Troquei. 1975. 3v. 419p.

BOLL, Mareei. As etapas da Matemática. 3.ed. Lisboa: Europa-América, 1979.

BONGIOVANN1, V. et al. Matemática e vida. São Paulo: Ática, 1991.


BOOKER, G. Conseqüências pedagógicas da pesquisa em Álgebra. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, v.14, n.24, p.67-72, 1989.

BORBA, Marcelo C. Etnomatemática e cultura de sala de aula. Educação Matemática em Revista, v.l, n.l, p.43-58, 2. sem. 1993.

. Um modelo para compreensão que os estudantes têm em um ambiente de representações múltiplas. In: SEMINÁRIO SOBRE NOVAS PERSPECTIVAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL. 1994, Águas de São Pedro (SP). [ Trabalhos]. Brasília: INEP, 1994. (Série Documental. Eventos, 4).

BOURBAKI, N. A arquitetura das matemáticas. Anuárío da Sociedade Paranaense de Matemática, v.4, p. 1-17, 1957.

. Théorie des ensembles. Paris: Hermann, 1970.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1987.

BRASIL, Luis Alberto dos Santos. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1977.

. Estudo dirigido de Matemática. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 1964. 97p.

. Experiências pedagógicas baseadas na teoria de Piaget. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1979. v.l.

BRASIL. Ministério da Educação. CAPES. Relatório de avaliação CAPES/ PADCT: 1984/1987 — MID-TERM-REVIEW. Brasilia, 1987. lv.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino de 2º Grau. Manual de orientação matemática. Rio de Janeiro: FAE, 1988. 103p.

BREDENKAMP, J., GRAUMANN, CF. Possibilidades e limitações dos processos matemáticos nas ciências do comportamento. In: GADAMER-VOGLER (Org.). Nova antropologia. São Paulo: EPU: EDUSP, 1977. v.5: Antropologia Psicológica.

BRIHUEGA NIETO, J. et al. Taller de Matemática. Madrid: Ministério de Educación y Ciencia. 1992. 97p.

BRINGUIER, Jean-Claude. Conversando com Jean Piaget. Trad. por Maria José Guedes. Sao Paulo: DIFEL, 1978.

BRITO, Antonio Olinto Laussance. Tendências recentes do ensino de Matemática. Boletim Técnico do SENAC, Rio de Janeiro, v.9, n.3. p. 121-126, set./dez. 1983.

BROWN, S. (Ed.). Experimentos de Ciencias en educación infantil. Madrid: Narcea, 1991. 159p.

BRUM FILHO, Lino, HAAG, Elisa, SANTOS, Regina Célia dos. Proposta de aplicação de um conteúdo específico de Matemática baseado no avanço progressivo do aluno. Revista de Estudos, Novo Hamburgo, v.ll, n.l, p.66-72, jul. 1988.

BRUMFIEL, Charles F, EICHOLZ, Robert E., SHANKS, Merril E. Conceitos fundamentais da Matemática elementar. Trad. por Renate Watanabe. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1972.

BRUNSCHVICG, Leon. Las etapas de Ia filosofia matemática. Trad. por Cora Ratto de Sadoski. Buenos Aires: Lautaro, 1945. 633p.

CÁLCULOS de roupa nova. Veja, São Paulo, v.22, n.34, p.56-63, ago. 1989.

CAMPOS, Tania Maria M. (Coord.). Programa de estudo e pesquisa no ensino de Matemática. São Paulo: PUC, 1990. 65p.

(Coord.). PROEM — programas de estudos e pesquisas no ensino da Matemática: o papel da pesquisa na formação do futuro professor. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.71, n. 167, p.93-97, jan./abr. 1990.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: [S.C.P.], 1978.

CAR1N, A.A., SUND. R.B. La ensenanza de Ia ciência moderna. Buenos Aires: Guadalupe, 1975.

CARMO. Manfredo P. do. Considerações sobre o ensino de Matemática. Revista da Sociedade Brasileira de Matemática, n. 1, v.5. p. 105-112, 1974.

CARNEIRO. Fernando Macedo et al. Manual de orientação: Matemática. Rio de Janeiro: FAE, 1988. 103p.

CARRAHER, David William. A grande função da escola: ensinar a pensar. Sala de Aula, SãoPaulo, n.3, jun. 1988.

CARRAHER, Terezinha Nunes. Aprender pensando. Petrópolis: Vozes, 1988.

. Recife: Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco. 1983. cap.: O desenvolvimento mental e as operações com o sistema numérico decimal.

. The decimal system. understanding and notation. [S.l.], 1985. Trabalho apresentado na 9ª Conferência do Grupo Internacional de Estudos da Psicologia da Educação Matemática, Noordwijckerhout, Holanda, jul. 1985.


CARRAHER, Terezinha Nunes. O método clínico: usando os exames de Piaget. Petrópolis: Vozes, 1983.

CARRAHER, Terezinha Nunes et al. Na vida dez na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. 182p.

CARRAHER, Terezinha Nunes, CARRAHER, David William, SCHLIEMANN, Analúcia Dias. Can Mathemalics teachers teach proportional Adelaide, Austrália, 1984. Trabalho apresentado no Fifth Internacional Congress on Mathematical Education, Adelaide, ago. 1984.

. Cultura, escola, ideologia e cognição: continuando um debate. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.57, p.27-40, maio 1986.

. Mathematical concepts in everyday life. In: SALE, G.B., GEARHRT. M. (Eds.). Childrens Mathematics: new directions for Children development. San Francisco: Jossey-Bass, 1988. p.71-87.

. Mathematics in the streets and in school. British Journal of Developmental Psychology, Plymoufh, n.3, p.21-9, 1985.

. Na vida, dez; na escola, zero — os contextos culturais da aprendizagem da Matemática. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.42, p.79-86, ago. 1982.

. Proporcionalidade na educação científica e Matemática: desenvolvimento cognitivo e aprendizagem. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.67, n. 157, p.586-602, set./dez. 1986.

. Written and oral Mathematics. Journal for Research in Mathematical Education, 1986.

CARRAHER, Terezinha Nunes, SCHLIEMANN, Analúcia Dias. A adição e a subtração na escola: algoritmos ensinados e estratégias aprendidas. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.64, n.148, p.234-242, set./dez. 1983.

CARRAHER, Terezinha Nunes, SCHLIEMANN. Analúcia Dias, CARRAHER. David William. Proporcionalidade na educação científica e matemática: uma análise de tarefas piagetianas. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.67, n. 156, p.367-379, maio/ago. 1986.

CARRAHER, Terezinha Nunes. SCHLIEMANN. Analúcia Dias, CARRAHER. David William et al. Proporcionalidade na educação científica e matemática: quantidades medidas por razões. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.67, n. 155, p.93-107, jan./abr. 1986.

CARVALHO, Dione Lucchese de. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, 1990. 119p.

. Projeto revisão curricular da habilitação magistério — núcleo comum e disciplinas profissionalizantes: subsídios para metodologia do ensino de Matemática. São Paulo: PUC, 1988. 123p.

. Educação matemática do adulto analfabeto. SãoPaulo. 1992. Artigo divulgado no Curso para Formação de Capacitadores em Alfabetização de Adultos, FDE, 1992.

CARVALHO, Lúcia Maria Joppert de Moura. Divisão. Rio de Janeiro: CBPE, 1973. 47p. (Materiais para experimentação).

CARVALHO, Luis Carneiro. Sobre o ensino/aprendizagem da Matemática. In: POR uma educação indígena diferenciada: Projeto Interação. Brasília: Fundação Nacional Pró-Memória, 1987. p.79-84.


CARVALHO, Moema Sá et al. Fundamentação da Matemática elementar. Rio de Janeiro: Campus, 1984.

CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de Ia Matemática moderna. México: Trillas, 1970. 210p.

CASTILHO, Sônia Fiúza da Rocha. Matemática planejamento anual de ensino. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.20, n.191, p.23-30, out. 1987.

. Para uma renovação no ensino de decimais. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.13, n.125, p.2-4, jan. 1980.

. Progama de ensino — 1987: Matemática — o que mudou e por quê. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.20, n.188, p.2-7, jun. 1987.

. Programa de Matemática; análise e crítica. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.17, n.167, p.5-8, out. 1984.

. Repensando o ensino da Matemática. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.21, n.198, p. 15-17, set. 1988.

. Uma introdução ao programa de Matemática. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.7, n.61, p.34-36, mar. 1974.

CASTRO, A.D. Ensino de Matemática e Ciências — produção e comunicação de pesquisas. Educação & Matemática, São Paulo, n.l, p.66-72, 1978.

CHEVALLARD, Y. La tranposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné.éd.rev. et aug. Grenoble: Pensée Sauvage, 1991. 240p.

CHIAROTTINO, Z.R. Piaget: modelo e estrutura. Rio de Janeiro: José Olympio, 1972.

CHILOV. G. Analyse mathématique dans Ia classe des functions rationnelles. [S.l.]: Ed. de Moscou, 1974.

CHURCHILL, E. M. Los descubrimientos de Piagety el maestro. Buenos Aires: Paidós, 1968.

COCHO, Flavio. Ciênciay aprendizaje. Madrid: H. Blume, 1980.

COHEN. Morris R. Introduccion a Ia Logica. México: Breviarios del Fondo de Cultura Economica, 1970.

COMITÊ INTERAMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Resumos de conferências e comunicações da 5ª CIAEM. Campinas: UNICAMP, 1979.

CONDILLAC, E. Lógica. In: OS PENSADORES. São Paulo: Abril, 1984.

. A língua dos cálculos. In: OS PENSADORES. São Paulo: Abril, 1984.

CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5, 1979. Campinas. Resumos de conferências e comunicações da ... Campinas: UNICAMP, [1979?]. 109p.

CONGRÈS INTERNATIONAL DE LENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE, 1, 1969. Lyon. Actes. Dordrecht: Reidel, 1969.

CONGRESSO NACIONAL DO ENSINO DA MATEMÁTICA, 1, 1955. Bahia. Anais. Rio de Janeiro: MEC, 1955.


CONGRESSO NACIONAL DO ENSINO DA MATEMÁTICA, 2,1957. Porto Alegre. Anais. Rio de Janeiro: MEC, 1957.

CONGRESSO NACIONAL DO ENSINO DA MATEMÁTICA, 3, 1959. Rio de Janeiro. Anais. Rio de Janeiro: MEC, 1959.

CORNU, B. L 'ordinateur pour enseigner lesMathématiques. Paris: PUF, 1992. 328p.

COSTA, Aldo Gomes da. Dificuldade no ensino da Matemática nas escolas públicas de Iº e 2º graus Aldo Gomes da Costa. Manaus: Secretaria da Educação e Cultura, 1981. Up.

COSTA, M. Amoroso. As idéias fundamentais da Matemática e outros ensaios. SãoPaulo: EDUSP. 1981.

COSTA, Newton CA. da. Ensaios sobre os fundamentos da lógica. São Paulo: Hucitec: EDUSP, 1980. 155p.

. Introdução aos fundamentos da Matemática .2.ed. SãoPaulo: Hucitec, 1977. 65p.

. A natureza dos juízos matemáticos. Curitiba: Ed. Prata da Casa, 1954.

CREPALDI, Celi, WODEWOTZKI, Maria Lúcia. A avaliação da aprendizagem matemática através da análise de erros. Didática, Marília, v.24, n.87-99, 1988.

CRUSIUS, Maria Fialho. Uma alternativa metodológica para melhoria da qualidade de ensino de Matemática. Cadernos da UPF, Passo Fundo, v.2, n.8, p.7-31, jul. 1984.

(Org.). Sistema de operação e operações em diversas bases. Passo Fundo: UFP, [199-].

CRUZ, Rubens Moreira da. Geometria. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.5, n.29, p.37-39, set./out. 1987.

CUNHA, Nina Maria Vernes Tempone da. Criatividade no ensino da Matemática. Escola Viva, Rio de Janeiro, n.5, p.26-34, mar./maio 1974.

CURSOS de licenciatura de curta duração (graduação). Boletim Informativo CECINE, Recife, n.13, p.2-6, jul. 1971/dez. 1972.

DA PIEVE, Josefina Thereza, MOREIRA, Teresinha Mendes. Planejamentos de 2º grau. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.13, n. 129/130, p.29-35, nov./dez. 1980.

D'AMBRÓSIO, Beatriz S. Formação de professores de Matemática para o século XXI: o grande desafio. Pro-Posições, Campinas, v.4, n. 1 [ 10], p.35-41, mar. 1993.

D'AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre Educação e Matemática. São Paulo, Summus; Campinas: Ed. da UNICAMP, 1986. 115p.

. Desenvolvimento nacional e estratégia para a educação científica. Campinas: UNICAMP, 1977.

. Educação matemática: uma visão do estado da arte. Pro-Posições, Campinas, v.4, n.l[10], p.7-17, mar. 1993.

. A educação matemática na década de 1990: perspectivas e desafios. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 1987. SãoPaulo. Anais do I ENEM. São Paulo: PUC, 1988. p.3-10.


D'AMBRÓSIO, Ubiratan. O ensino de Ciência e Matemática na A mérica Latina. Campinas: Papirus: Ed. da UNICAMP, 1984. 211p.

. Etnomatemática — arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo: Ática, 1990.

. Etnomatemática: raízes sócio-culturais da arte ou técnica de explicar e conhecer. Campinas: UNICAMP, 1987.

. Matemática e sociedade. Ciência e Cultura, São Paulo, v.28, n.12, p.1418-1422, dez. 1976.

. Metas y objetivos generales de la educación matemática. In: NUEVAS tendências en la ensenanza de la Matemática. Montevideo: UNESCO, 1979. v.4

. Option pour l 'enseignement et Ia recherche mathématique enpays en vie de dévélopment. Conferência apresentada no Primeiro Congresso Panafricano de Matemática, Rabat, Marrocos, 1966.

. Overall goal and objetives for mathematical education. Campinas: UNICAMP, 1976.

. Secondary mathematics education in Brasil. Campinas: Polígrafo, 1980.

. Sobre a integração do ensino de Ciências e Matemática. Ciência e Cultura, São Paulo, v.26, n.ll , p. 1003-1010, nov. 1974.

. Sócio-cultural bases for mathematics education. Campinas: UNICAMP, 1985.

DANTAS, Martha Maria de Souza. Ensino da Matemática: um processo entre a exposição e a descoberta. Salvador: UFBA, Centro de Educação e Didática, 1987.

DANTE, Luiz Roberto. Como ensinamos; uma proposta para mudanças na ênfases ora dominantes no ensino da Matemática. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n.6, p.32-5, jan./jun. 1985.

. Didática da resolução de problemas. São Paulo:Ática,[198-].

. Mestrado em educação matemática no Brasil. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1. 1987. São Paulo. Anaisdo I ENEM. São Paulo: PUC, 1988. p. 11-15.

. A situação atual do ensino da Matemática: diagnóstico, análise, prognóstico e algumas propostas de solução. In: SIMPÓSIO SOBRE ENSINO DE BIOLOGIA, FÍSICA. MATEMÁTICA E QUÍMICA (1º e 2º GRAUS) NO ESTADO DE SÂO PAULO, 1978. Anais... São Paulo: Secretaria da Cultura Ciência e Tecnologia: Academia de Ciências do Estado de São Paulo, 1978. p.247-256. (Publicação ACIESP. 11).

DANTE, Luiz Roberto et al. Projeto de novos materiais para o ensino de Matemática. [S.l.]: PREMEM: UNICAMP, [19-].

DANTZIG, Tobias. Número: linguagem da ciência. Trad. por Sérgio Góes de Paula. Rio de Janeiro. Zahar, 1970.

DANYLUK, Ocsana Sônia. Alfabetização matemática: o cotidiano da vida escolar.2.ed. Caxias do Sul: EDUCS, 1991. 120p.

DARCHE, Michel, KANTOR, Jean Michel. Será possível desenvolvera cultura matemática fora da escola? In: MOSAICO Matemática. La Villette: Cite des Sciences et de ITndustrie, [1983]. p.4-8.


D'AUGUSTIN, Carlos H. Métodos modernos para o ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1979.

DAVID, Maria Manuela MS. Geometria sem medidas? Educação em Revista, Belo Horizonte, n.6, p.35-40, dez. 1987.

DÁVILA Edgardo H. La proporcionalidad como motor de la comprensión y del razonamiento. Vocacion Docente, v.4, n.42, p.9-12, ene. 1989.

. Las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia. Vocacion Docente, v.4, n.34, p.8-12, mayo 1988.

. Las operaciones combinadas. Vocacion Docente, v.5, n.49, p. 15-16, 1989.

DAVIS, PJ., HERSH, R. A experiência matemática.2.ed. Trad. por João Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985.

DEWEY, John. Como pensamos: como se relaciona o pensamento reflexivo com o processo educativo; uma reexposição.4.ed. São Paulo: Ed. Nacional, 1979.

DI PIERRO NETTO, Scipione. A luta perdida da iniciação matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 1987. São Paulo. Anais do I ENEM. SãoPaulo: PUC, 1988. p.45-49.

. Cálculo mental e máquinas de calcular. Educação & Matemática, São Paulo, n.4, p. 14-17, 1979.

. Matemática, um processo de auto-instrução — lº grau. São Paulo: Saraiva, 1975. v.3.

DICKSON, L. et al. El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: Labor: Ministério de Educación y Ciencia, 1991. 399p.


DIEGUES, Euterpe Gonzales Gil. Brincando e aprendendo... Matemática. Escola Viva, Rio de Janeiro, n.5, p. 1-8, jun/ago. 1974.

DIENES, Zottan Paul. Aprendizado moderno da Matemática. Trad. por Jorge Enéas Fortes. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.

. O poder da Matemática: um estudo da transição da fase construtiva para a analitica do pensamento da criança. Trad. por Irineu Bicudo, Maria Aparecida Viggiano Bicudo e leda C. Tetzke. São Paulo: EPU, 1975. 115p.

. As seis etapas do processo de aprendizagem em Matemática. São Paulo: Herder, 1972.

DISTRITO FEDERAL (Brasília). Secretaria de Educação e Cultura. Análise de desempenho em Matemática. Brasília, 1980.

DOMINGUES, Ana Maria Sampaio. Metodologia do ensino da Matemática para séries iniciais do lº grau. Campo Grande: Imprensa Universitária, 1985. 132p.

DOPP, Joseph. Noções de lógica formal. Trad. por L. Hegenberg e O.S. da Mota. São Paulo: Herder, 1970. 327p.

DUARTE, Newton. O ensino de Matemática na educação de adultos. São Paulo: Cortez, 1986. 128p.

. O compromisso político do educador no ensino de Matemática. Revista ANDE, São Paulo, n.9, 1985.

. O ensino de Matemática na educação de adultos. São Paulo: Cortez, 1989. 128p.

DUGAS, Lynda S. A problemática das pesquisas político-eleitorais: o currículo de Matemática para a compreensão social. Trad. por Dagmar M. L. Zibas. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.73, p. 18-23, fev. 1991.

DUMONT, M. Finalidades possíveis de um ensino de Matemática. Recherches Pédagogiques, Paris, n.72.

ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1,1987. São Paulo. Anais do I ENEM. São Paulo: Atual, 1988. 164p.

ENCONTRO NACIONAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS TÉCNICAS E CENTROS FEDERAIS, 3, 1982. Belo Horizonte. Relatório. Belo Horizonte: CEFET, [1982]. 72p.

ENQUETE sur Tenseignement des Mathématiques à l'école élémentaire II: opinion des maitrcs. Paris: Institut National de Recherche Pedagogique, Unité de Recherche Mathématique Elementaire, [ 198-]. 124p.

ENSINO por atividades: um programa experimental para a 1ª série; ...para a 2ª série; ...para a 3a série. Rio de Janeiro: INEP, 1975. 3v. (Renovação da escola de 1º grau, 1, 2, 3).

ERW1N, Kreyssig. Matemática superior. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos, 1978.

ESTUDOS para a codificação no sistema Braille dos símbolos utilizados nas Ciências: novo código. Rio de Janeiro: UFRJ, [19—]. 69p.

FACCENDA, Odival, BIOSUZ, Saule. Uma alternativa para o ensino da Matemática. Perspectiva, Erexim, v.l, n.41. p.77-83, jun. 1987.

FALCÃO, Jorge Tarcísio da Rocha. Representação do problema, escrita de fórmulas e tutorias na passagem da Aritmética para a Álgebra. In: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental: eventos, 4. Parte 2).

FARIA, Sônia Maria de. Multiplicação na 2ª série: fase de memorização. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.19, n.179, p. 13-16, maio 1986.

FEHER Howard F. Educação matemática nas Américas. São Paulo: Ed. Nacional, 1969. 34 lp.

FELDMAN, J. Aritmética para crianças com problemas. Rio deJaneiro, 1979.

FELIX, Luciene. Matemática moderna. Lisboa: Estudos, [19-].

FERNANDES, Ary et al. Matemática. São Paulo: Ed. Nacional. 1975. 4v.

FERNANDINE, C.C. Reforma na pedagogia matemática. São Paulo: Ed. Nacional, 1969.

FERREIRA, Eduardo Sebastiani. A Etnomatemática: um método de ensino de Matemática. In: POR uma educação indígena diferenciada: Projeto Interação. Brasília: Fundação Nacional Pró-Memória, 1987. p.77-78.

FERREIRA, M.C.R. (Org). Desnutrição, pobreza e desenvolvimento mental. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.l9, jun. 1979.

FILGUEIRAS, Alexandre Rocha. Um estudo das capacidades cognitivas, interesses e estruturas de personalidade do aluno do curso de Matemática da UFC. Educação em Debate, Fortaleza, v. 10, n.13, p.45-50, jan./jun. 1987.

FIORENTINI. Dario. MORIM. Maria Ângela, MIGUEL. Antônio. Contribuição para um repensar... a educação algébrica. Pro-Posições, Campinas, v.4, n.l[10], p.78-91, mar. 1993.

FLETCHER, T.J. Ensino moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1972.

FONSECA, Maria da Conceição Ferreira Reis. Heurística e educação matemática. Educação em Revista, Belo Horizonte, n.16, p.31-38, dez. 1992.


FRAGA, Maria Lúcia. A Matemática na escola primária: uma observação do cotidiano. São Paulo: EPU, 1988. 123p.

FRANÇA. Ministère de TEducation Nationale e de la Culture. Commentaires du Programme de Mathématique pour les trois cycles. Réforme pédagogique de l´enseignement primaire. Paris, 1977. 98p.

FRANKENSTEIN, Marilyn. Educação matemática crítica: uma aplicação da epistemologia de Paulo Freire. In: BICUDO. Maria Aparecida (Org.). Educação matemática. SãoPaulo: Moraes, [19—].

FRARE, José Luiz. Eu.detesto Matemática. Nova Escola, Rio de Janeiro, v.5, n.39, p.18, maio 1990.

FREGE, G. Os fundamentos da Aritmética. In: OS PENSADORES. São Paulo: Abril, 1980.

FREITAS, Eliana Maria da Silva et al. Geometria e topologia. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.4, n.23, p. 17-24, set./out. 1986.

. Sistema de medidas. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.4, n.23, p. 10-16, set./out. 1986.

FREITAS, José Luiz Magalhães de. A atividade de validação na passagem da Aritmética para a Álgebra: um estudo de tipos de provas produzidos por alunos de primeiro e segundo graus. In: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental: eventos, 4. Parte 2).

FREITAS, Maria Bernadete Conegundes de. Cruzadinha dos fatos. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.5, n.26, p.25-26, mar/abr. 1987.

FREMONT, Herbert. Teaching secondary Mathematics through appli-cations. [S.l.]: Prindle, Weber & Schimidt, 1979.

FREUDENTHAL, Hans. Fiabilité, validité e pertinence: critères de la recherche sur Tenseignement de la Mathématique. Educational Studies in Mathematics, v. 13, n.4, p.395-408, 1982.

. Major problems of Mathematics education. Educational Studies in Mathematics, v.12, n.2, p.133-150, 1981.

. Perspectivas da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1975.

FUNDAÇÃO EDUCAR. Matemática. Brasília. 1988. 31p. (Verso e reverso, 7).

FUNDAÇÃO MOBRAL. Curso de Educação Integrada. Exercícios. Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1971. 64p.

FURTH, Hans G. Piaget na sala de aula. Rio de Janeiro: Forense, 1972. 23 lp.

GABBA. Pablo J. Matemática para maestros. Buenos Aires: Marymar, 1975. 544p.

GAGNÉ, Robert M. Como se realiza a aprendizagem. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1971. 269p.

. Teoria de aprendizaje, medios educacionales e instruecion individualizada. Revista de Tecnologia Educativa, v.5, n.l, p.22-40, 1979.

GARNICA, Antonio Vicente Marafioti. A interpretação enquanto reunificação: da possibilidade de intervenção na sala de aula de Matemática com base na análise de textos. Didática, São Paulo, n.29, p.101-113, 1993/1994.


GÁSTEV, Y.A. Epílogo. In: SOMINSKI, I.S. Método de inducción matemática. Moscou: Mir, 1975. p.47-51. (Col. Lecciones populares de Matemáticas).

GAULIN, C. Los efectos de familiaridad sobre la solucción de problemas. Trabalho apresentado na 6ª Conferência Interamericana de Educação Matemática, Guadalajara, México, nov. 1985.

GOMES, Ana Maria Rabelo. Onde fica a Matemática na ordem das coisas. Educação em Revista, Belo Horizonte, n.6, p.63-67, dez. 1987.

GOMES, Carmem et al. Frações e números decimais. Passo Fundo: UFP, 1992.

GOMES, Vera. Um método de ensino baseado no raciocínio da criança. Nova Escola, v.4, n.28, p.36-37, mar. 1989.

GÓMEZ CHACÓN, I.M. Los juegos de estrategia en el curriculum de Matemáticas. Madrid: Narcea, 1992. 365p.

GRANGER, G.G. Pensamento formal e ciências do homem. Lisboa. Presença, 1967. 2v.

GRONLUND, Norman E. A formulação de objetos comportamentais para as aulas. Rio de Janeiro: Ed. Rio, 1975. 102p.

GROSSI, Esther Pillar. Uma experiência fascinante em aprendizagem de Matemática. Revista do Ensino, Porto Alegre, v.20, n.l50, p.45-53, ago. 1973.

. Novas perspectivas para o ensino da Matemática à luz do conhecimento do processo cognitivo. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 1987. São Paulo. Anais do I ENEM. São Paulo: PUC, 1988. p.21-26.

GROSSNICKLE, E., BRUECKNER. O ensino da Aritmética pela compreensão. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 1967.

GRUPO DE ESTUDOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA. Matemática moderna para o ensino secundário .2.ed. São Paulo: G.E.E.M., 1965. 258p.

. Um programa moderno de Matemática para o ensino secundário. São Paulo: G.E.E.M., 1965. 246p.

GUERRA, Rosangela. Uma prática encanta as crianças. Nova Escola, Rio de Janeiro, v.9, n.75, p.34-36, maio 1994.

GUIASU, S., THEODOREAU, R. La théorie mathematique de l 'information. Paris: Dunod, 1968.

HARDY, G.H. O que é geometria? Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Curitiba, v.4, n.3, p. 1-11, out.1961.

HARTWIG, Dácio Rodney. As fórmulas matemáticas no ensino: algumas considerações. Ciências e Cultura, São Paulo, v.42, n. 10, p.815-829, out. 1990.

HENRIQUES, Gil. Piaget e as matemáticas. In: HOMENAGEM a Jean Piaget: 80 anos. [S.Ls.n, 198-]. mimeo.

HILGARD, E.R. Teorias da aprendizagem. São Paulo: Herder, 1966.

HILLEBRAND, Vicent. Sintese de idéias apresentadas nos textos de Matemática do Projeto de Novos Materiais para o Ensino de Matemática: Projeto PREMEM/IMECC. Campinas: UNICAMP, [19--]. mimeo.

HODGE, W.V.D. Nova visão da Geometria. Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Curitiba, v.4, n.3, p. 13-20, out.1961.


HOGBEN, L. Maravilhas da Matemática: influência e função da Matemática nos conhecimentos humanos. Rio de Janeiro: Globo, 1946.

HUSEN, Torsten (Ed.). International study of achievement in Mathemat-ics: a comparison of twelve Countries. Stackholm: Almqvist & Wiksell, 1967. 2v.

IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção.. Rio de Janeiro: Globo, 1989.

IKIEZAKI, Iracema Mori. Como está o ensino de Matemática hoje no Brasil. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.2, n.8, p.6-9. mar./abr. 1984.

IMENES, Luiz Márcio Pereira et al. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1980.

INHELDER, B. Alguns aspectos da abordagem genética de Piaget à cognição.In: FURTH, H.G. (Org.). Piaget e o conhecimento: fundamentos teóricos. Rio de Janeiro: Forense, 1974. p.34-64.

INHELDER. B., BOVERT, M., SINCLAIR. H. Aprendizagem e estruturas do conhecimento. São Paulo: Saraiva, 1977.

INHELDER, B., PIAGET, J. De Ia logique de I"enfant à Ia logique de Vadolescent. Paris: Presses Universitaires de France, 1955.

INITIATION à l'approche logique et au calcul. Paris: François Maspero, 1973. 127p.

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE PEDAGOGIQUE (França). Equipe de Recherche Mathématique à L'École Elementaire. Aprendizagem da Matemática na escola elementar. Trad. por Maria Aparecida Neves Blandy. Revista de Ensino de Ciências, São Paulo, n.6, 1982.


INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS. Dificuldades dos alunos de 7* série — Matemática. Rio de Janeiro, 1976. 46p. (Série Pesquisas e monografias, 15)

INTER-AMERICAN CONFERENCE ON MATHEMATICAL EDUCATION, 2, 1966. Lima. Educação matemática nas Américas: relatório. São Paulo: Ed. Nacional, 1969. 34lp.

INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 2. 1972. Exeter. Proceedings. Cambridge: University of Cambridge, 1973. 318p.

INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 3. 1976. Karlsruhe. Proceedings. Germany: University of Karlsruhe, 1977. 398p.

IRDP Connaissances mathématiques à I 'école primarie. Berne, 1991.

IRVING, Robert. Matemática e desenvolvimento mental. São Paulo: Cultrix, 1970. 152p.

ISSACS, N. El desarrollo de Ia compreension en el nino pequeno según Piaget. Buenos Aires: Paidós, 1967.

JACOBSEN, Eduardo. Los módulos v el inejoramiento de Ia educación matemática: los módulos en Ia ensefíanza y el aprendizaje de la Matemática en la escuela secundaria. Montevideo: UNESCO, 1976. 269p.

JAPIASSU.H. O mito da neutralidade cientifica. Rio de Janeiro: Imago, 1975.

. Introdução ao pensamento epistemológico.2.ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1977.

JARDINETTI, José Roberto Boettger. A função metodológica da investigação histórica na elaboração e execução de procedimentos de ensino na Matemática. Didática, SãoPaulo, n.29, p.95-99,1993/1994.

JESUS, Marlucia Pontes Gomes de. Sugestões de estratégias aplicáveis ao ensino da Geometria Espacial. Vitória: UFES, 1983.

JOLY, Hélio Gouvêa. O ensino de trigonometria do 2º grau: sugestão diferente... Revista das Faculdades Franciscanas, Bragança Paulista, v.l,n.6, p.40-46, 1983.

KALMYKOVA, Z.I. Pressupostos psicológicos para melhor aprendizagem na resolução de problemas artiméticos. In: LURIA et al. Psicologia e pedagogia II. Lisboa: Estampa, 1977.

KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas: implicações da teoria de Piaget. Campinas. Papirus, 1992.

. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos.3.ed. Campinas: Papirus, 1985.

KAMII. Constance. DECLARK, Georgia. Reinventando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget.2.ed. Trad. por Elenisa Curt. Campinas: Papirus, 1988. 308p.

K ARAM, Elizabeth. Um esforço para tornar as crianças autônomas. Nova Escola, Rio de Janeiro, v.8, n.69, p.24-25, set. 1993.

KARLSON, Paul. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961.

KASNER E., NEWMAN, J. Matemática e imaginação. Rio de Janeiro: Zahar, 1968.

KINSELLA, John. La Matemática en la escuela secundária. Buenos Aires: Troquei, 1969.

KLINE, Morris. O fracasso da Matemática moderna. Trad. por Leonidas G. de Carvalho. São Paulo: Ibrasa, 1976. 21 lp. (Biblioteca Ciência Moderna, 22).

KNEALE, W.. KNEALE, M. O desenvolvimento da lógica. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1980.

KNEEBONE, G.T Mathematical logic and the foundation of Math-ematics. New York: Van-Nostrand, 1963.

KUHN, Deanna. A significação do estágio das operações formais de Piaget para a educação. Trad. por Nélio Parra. Journal of Education, v.161, n.l, Winter 1969.

KUNTZMANN. Jean. Ou vont les Mathematiques? Sur l'ensignement et Ia recherche. Paris: Herrmann, 1967.

LAGÔA. Ana. Os livros didáticos ainda confundem cubos com quadrados. Nova Escola, Rio de Janeiro, v.4, n.33, p.36-38, set. 1989.

LAKATOS. Imre. A lógica do descobrimento matemático: provas e refutaçõcs. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.

LAMPARELLI, Lydia Condé et al. Matemática para o ginásio. São Paulo: Edart, 1972. 4v.

LARA, José Vitor de Resende. Como vemos a Matemática no Brasil. Educação, Brasília, v.3, n.9, p.74-83, jul./set. 1973.

LAUAND, Luiz Jean. Bases para um estudo sobre o impacto das calculadoras no ensino de Matemática. Educação & Matemática, São Paulo, n.4, p.4-13, 1979.


LAUDARES, João Bosco, Uma metodologia para o estudo de Matemática. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.19, n.180, p.31-33, jun. 1986.

LEFEBVRE, Henri. Lógica formal/lógica dialética. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 1979.

LEFSCHETZ, S. A estrutura da Matemática. Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Curitiba, v.4. n.l. p. 1-7, fev. 1961.

LEIF, J., DEZALY, R. Didáctica des calculo de Ias lecciones de casasy de Ias ciencias aplicadas. Buenos Aires: Kapelusz. 1961.

LIMA, José Maurício de Figueiredo. Aritmética mental versus Aritmética escrita na escola e na comunidade: relatório de pesquisa. Recife: UFPE: CNPq: INEP, 1986.

. Iniciação ao conceito de frações e o desenvolvimento da conservação de quantidade. In: CARRAHER. T.N. (Ed). Aprender pensando. Petrópolis: Vozes, 1986. p.81-126.

LIMA, Lauro de Oliveira. A construção do homem segundo Piaget: uma teoria da educação. São Paulo: Summus, 1984.

. Não se pode apresentar a Matemática dos matemáticos às crianças pré-operatórias. Para elas existe uma prematemática. In: HOMENAGEM a Jean Piaget: 80 anos. [S.l.: s.n., 198-]. mimeo.

. Tópicos para discussão de uma didática especial da Matemática. In: APLICAÇÃO da teoria da Piaget ao ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense, 1977.

LIMA, Maria Nayde dos Santos, MARQUES, Marta Maria de Barros. O ensino da Matemática na escola primária do Recife. Cadernos Região e Educação, Recife, v.ll, n.22, p.31-87, dez.1971.

LIMA, Reginaldo Naves de Souza. Metodologia ativa: uma nova metodologia da Matemática. Belo Horizonte: CECIMIG, 1978.

. A pedagogia presente na elaboração do livro didático de Matemática. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília. v.63, n.144. p. 19-25, maio/ago. 1979.

LIMA. Reginaldo Naves de Souza. VILA, Maria do Carmo. Matemática para o ensino fundamental. Belo Horizonte: Vega. 1973.

LINS. Romulo Campos. Um quadro de referência para entender-se o que é pensamento algébrico. In: SEMINÁRIO SOBRE MOVAS PERSPECTIVAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL, 1994. Águas de São Pedro (SP). [Trabalhos]. Brasília: INEP, 1994. (Série Documental. Eventos, 4).

LOI, Maurice, THOM. René (Org.). Pensar Ia Matemática. Barcelona: Tusquets, 1984.

LOPES, Leda Aperb. Estudo orientado. Revista do Ensino, Porto Alegre, v.19, n.142, p.11-15, ago.1972.

LOPES, Maria Laura Mousinho Leite. Reformulação do ensino de Matemática na França. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Rio de Janeiro, v.61. n.l37, p. 113-117, jan./mar. 1976.

. Pesquisa em educação matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1, 1987. São Paulo. Anais do I ENEM. São Paulo: PUC. 1988. p. 16-20.

LORENZATO, Sérgio. Os "por quês" matemáticos dos alunos e as respostas dos professores. Pro-Posições, Campinas, v.4, n. 1 [ 10], p.73-77, mar. 1993.


LOURENÇO, Marcos Luiz. Por que ensinar Matemática? Didática, São Paulo, n.28, p. 131-135, 1992.

LOVELL. K. Dessarrollo del pensamiento formal operacional. In: WAL, W.D., VARMA, V.P Avances en psicologia de Ia educación. Madrid: Morata, 1975.

MACHADO, Nilson José. A alegoria em Matemática. Estudos Avançados, São Paulo, v.5, n.13, p.79-100. set./dez. 1991.

. Interdisciplinaridade e Matemática. Pro-Posições, Campinas.

v.4, n.l[10], p.24-34, mar. 1993.

. Lógica? É lógico? São Paulo: Scipione, 1989. 40p.

. Matemática e educação. Estudos Leopoldenses, São Leopoldo (RS), v.28, n. 129/130, p. 149-150, set./dez. 1992.

. Matemática, senso comum e dasamparo. Cadernos CEDES, Campinas, n.21, p.47-54, 1988.

. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1990. 169p.

. Matemática e lingua materna: uma impregnação essencial. São Paulo, 1989. 252p. Tese (Doutorado em Educação) — USP.

. Matemática e realidade: [análise dos pressupostos filosóficos que fundamentam o ensino de Matemática]. São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1987. 103p.

. Os políedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 1989.

. Polígonos, contopéias e outros, bichos. São Paulo: Scipione, 1988. 55p.

[Entrevistado por Luiza de Andrade e Silva]. A Matemática não é exata. Sala de Aula, Rio de Janeiro, v.3, n.26, p.28-29, dez. 1990.

MAGNUSSOR JÚNIOR, Mário. A Matemática que deve ser ensinada às crianças. SESI Escola, São Paulo. v. 12, n.39, p. 15-30, jan./abr. 1979.

MACLANE, S., BIRKJ-IOFF. G. Álgebra. New York: MacMillan. 1968.

MAGNO. Beatriz Helena. NISKIER Arnaldo. Manual de didática da Matemática. Rio de Janeiro: Signum, 1978. 140p.

MANNO, A.G. A Jilosofia da Matemática. São Paulo: Edições 70, [19-].

MANTELLI, Gladis C. et al. Subsídios de relação sobre a estrutura da Matemática. Porto Alegre: Fundação de Recursos Humanos, 1978.

MARANHÃO. Maria Cristina Souza de Albuquerque. Subsídios para ensino da Matemática. Brasília: MEC, [1988?]. 149p.

MARQUES, Kléber Cruz et al. Estudo nacional do ensino-aprendizagem de Matemática. João Pessoa: UFPB: INEP. 1982.

MARQUEZ.Ángel Diego. Didática das matemáticas elementares. Rio de Janeiro: Livros Escolares, 1967.

MARQUEZ, Kleber Cruz et al. Estudo nacional do ensino-aprendizagem na Matemática. João Pessoa: UFPB: INEP, 1982.

MARTINEZ MONTEIRO, J. El curriculum matemático en Ia educación infantil: desarrollo y actividades. Madrid: Escuela Española, 1991, 206p.


MARTINS, Marcondes Diniz. A história da Matemática. Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.4, n.23, p.3-6, set./out. 1986.

MARX, K., ENGELS, F. Cartas sobre Ias ciencias de Ia natureza y Ias Matemáticas. Barcelona: Anagrama, 1985.

MASETTO, Marcos T, ABREU, Maria Célia de. Planejar, pensando. São Paulo: Balieiro, 1986. 29p. (Coleção Ensinando-aprendendo).

MATHEMATICAL models in educational planning, technical repports. Paris: OECD, 1967. 295p.

MEDEIROS, Cleide Farias de. Por uma educação matemática como intersubjetividade. In: BICUDO, Maria Aparecida de (Coord). Educação matemática. São Paulo: Moraes, 1988. p. 13-44.

MEIRA, Luciano R de Lemos. Explorações em compreensão matemática: o uso e produção de representações materiais, ln: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental. Eventos, 4. Parte 2).

MENDES, Rosa Emília de Araújo. Percentagem de juros pela compreensão — lº grau. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.20, n.192, p.24-32, nov. 1987.

MENDONÇA. Erasto Fortes. A prática da avaliação por objetivos. Tecnologia Educacional, Rio de Janeiro, v.17, n.83/84, p.27-37, jul./ out. 1988.

MIALARET, G. A aprendizagem da Matemática. Coimbra: Almedina, 1975.

MICHEL, Margarida Magda Machado. Planejamento Matemática para o jardim de infância. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.7, n.61, p.30-33, mar. 1974.


MIGUEL, Antônio. O ensino de Matemática no primeiro grau .2.ed. São Paulo: Atual, 1986. 179p.

. Evolução do ensino secundário público de Matemática no Brasil. Campinas: UNICAMP. Faculdade de Educação, 1979.

MIGUEL, Antonio. FIORENTINI. Dario. MIORIM. Maria Ângela. Álgebra ou Geometria: para onde pende o pêndalo? Pro-Posições. Campinas, v.3, n.l[7], p.39-54. mar. 1992.

MIGUEL, Antonio. MIORIM, Maria Ângela. Ensino de Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual. 1986. 179p.

MILLER J.A. Maternas. Buenos Aires: Manantial, 1987.

MOELLWALD, Francisco Egger. Matemática e cultura. Espaços da Escola, Ijuí. v.3. n.8, p.39-54. abr./jun. 1993.

MORAES, Ceres Marques et al. Didática especial de Matemática. Rio de Janeiro: MEC, 1961. mimeo.

MOREIRA. Manoel Pinto. E os alunos não aprendem a somar... Multimeios, Salvador, n.2, p.3-5, 1984.

MOREIRA, Marco et al. Aprendizagem: perspectivas teóricas. Porto Alegre: Ed. da Universidade, 1985.

MOREIRA, Marco, MASINI, Elcie. Aprendizagem significativa. São Paulo: Moraes, 1982.

MOREIRA, Plínio Cavalcante. Ensino de Matemática nas escolas: uma discussão sobre conteúdos e métodos. Educação em Revista, Belo Horizonte, n.15, p.40-43, jun. 1992.

MOREN, Elizabeth Belfort da Silva, DAVID, Maria Manuela Martins Soares, MACHADO, Maria da Penha Lopes. Diagnóstico e análise de erros em Matemática: subsídios para o processos ensino-aprendizagem. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.83, p.43-51, nov. 1992.

MOURA, Manoel Oriosvaldo de. O jogo na educação matemática. In: FRANÇA. Gisela Wajskop (Coord.). O cotidiano da pré-escola. São Paulo: FDE, 1990. p.62-67. (Série Idéias, 7)

. Os objetivos do ensino da Matemática de 1º e 2º graus: as razões determinantes. Rio de Janeiro, 1983. mimeo.

MOTEJUNAS, Paulo Roberto. A evolução do ensino da Matemática no Brasil. In: GARCIA, Walter E. (Coord.). Inovação educacional no Brasil. São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1980.

MOUVEMENT FRANÇAIS DES PLIEUR DE PAPIER. Pliages et Mathêmatiques. Paris, 1985.

MUNIZ, Amaury Pereira. Despertando o aluno para o estudo da Matemática. Cadernos Pedagógicos do CEN, Niterói, n.13, p.31-52, 1984.

. Origem da Matemática como ciências. Curriculum, Rio de Janeiro, v.ll, n.l, p. 17-30, jan./mar. 1972.

MUNIZ, Cristiano Alberto. Construção extraescolar da concepção social da Matemática na criança. Brasília, 1992. 215p.

NACHBIN, Leopoldo. Aspectos da atual política matemática brasileira na pós-graduação. Ciência e Cultura, São Paulo, v.36, n.6, p.962-965, jun. 1984.

. Etapas e desenvolvimento da Matemática no Brasil. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Rio de Janeiro, v.36, n.83, p.301-307, jul./set. 1961.

. Vocação para a Matemática. Ciências Hoje, Rio de Janeiro, v.12. n.71,p.40-48, mar. 1991.

NAMERI. Mima. O outro lado da Matemática. In: VEIGA, Uma Passos Alencastro, CARDOSO, Maria Helena Fernandes. Escola fundamental: currículo e ensino. Campinas: Papirus, 1991. p. 185-199.

NASSER, Lílian. Usando a teoria de Van Hielc para melhorar o ensino secundário de Geometria no Brasil. In: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental.Eventos, 4. Parte 2).

NAVARRO, Joaquín. A nova Matemática. Trad. por Maria S.M. Nápoles, Maria A.D. Carreira e Irineu Garcia. Rio de Janeiro: Salvat, 1979. (Biblioteca Salvat de grandes temas).

NEME. Adla. Cartilha de Matemática: para uso do pré e 1ª série do curso primário. São Paulo: Abril, 1971. 64p.

NEVES, Aparecida Mamede, NUNES, Terezinha. Pesquisas e experiências em educação matemática. In: O DESAFIO da escola básica: qualidade e equidade. Brasília: IPEA. 1991. 239p. p. 157-194.

NIQUINI, Débora P. (Coord.). Estratégias alternativas para o ensino de Ciências e Matemática nas séries iniciais. Brasília: Faculdades Integradas da Católica de Brasília: CAPES, PADCT, [1988?].

NOGUEIRA, Elizabeth. Dobraduras ajudam a compreender volumes. Nova Escola, São Paulo, v.4, n.29, p.40-41, abr. 1989.


OEA. La revolutión en las Matemáticas escolares. Lima, 1963. lOOp. Publicatión original del Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas de los EUA.

. La revolutión en las Matemáticas escolares: segunda fase. Buenos Aires, 1971. 132p.

OLIVEIRA, Elvira. Alunos trocam o medo pela autonomia. Nova Escola, Rio de Janeiro, v.9, n.77, p.45-47, ago. 1994.

OLIVEIRA, Glaucenete Barros de. O brinquedo pedagógico na Matemática do pré-escolar. Educação em Debate, Fortaleza, v.6/7, n.2/1, p. 153-167, jul. 1983/dez. 1984.

OLIVEIRA, Jota. Para ajudar as crianças e pensarem com mais clareza. Nova Escola, São Paulo, v.8, n.66, p.22-24, maio 1993.

OLIVEIRA, Mario de. Matemática viva: ensino de lº grau. Belo Horizonte: Cultura Brasileira, 1974. v.3.

OLIVO, Thomas C, OLIVO, Thomas P. Matemáticas básicas simplificadas. México: Ed. Diana, 1973.

ORTON, A. Didáctica de las Matemáticas: cuestiones, teoria y práctica en el aula. Madrid: Ministério de Educación y Ciencia: Morata, 1990. 222p.

OSÓRIO, Norma Cunha. O livro didático: sua utilização em classe. Rio de Janeiro: MEC: COLTED, 1969. cap.: Matemática.

OSÓRIO, Norma Cunha, PORTO, R.A. Matemática na escola primária moderna. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1965.

PALACIOS, Alfredo. Educación matemática preescolar: tu tiempo es hoy. La obra para Ia Education Inicial, v.4, n.15, p.3-12, ago.1989.

PAPY, Georges. Matemática moderna. Buenos Aires: Universitária de Buenos Aires, 1970. 2v.

PARRA, N. A face oculta dos objetivos comportamentais. Educação & Matemática, São Paulo, n.l, p.42-45, 1978.

PEDROTI, Francisco, TOMAZ, João Marçal. Um diagnóstico da produtividade dos cursos de Física, Química e Matemática nos períodos de 1973 a 1977. Semina, Londrina, v.4. n.13, p.353-361, jan./abr. 1983.

PENEIREIRO, João B. A Matemática no Seminário de Aperfeiçoamento dos Trabalhadores (SAT). In: ANAIS da 1* Jornada Científica da UFSCar (resumo da Comunicação Oral). São Carlos. 1981. p.235.

PENHA, Guilherme M. de la. Recomendações sobre o programa de Matemática em nível de graduação para engenheiros. Educação, Brasília, v.4, n.15, p.65-73, jan./mar. 1975.

PEREIRA, Sylvia Gouvea Besse. Por que blocos lógicos? Educação para o Desenvolvimento, São Paulo, v.7, n.28, p.49-62, out. 1972.

PEREIRA, Tânia Michel. Matemática nas séries iniciais. Porto Alegre: UNISUL, 1987.

PEREIRA, Tarcísio Praciano. O ensino da Matemática, por que e para quê? Ciência e Cultura, São Paulo, v.41, n.3/4, p.257-263, mar./abr. 1990.

PHILLIPS, J. Origens do intelecto: a teoria de Piaget. São Paulo, Ed. Nacional: EDUSP, 1971.


PIAGET, Jean. Comentários sobre educação matemática. Trad. por Leila Acure. Boletim GEPEM, n.10, 1980. Extraído de: HOWSON, A.C Developments in Mathematical Education. Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

. Ensaio de lógica operatória. São Paulo: Globo: EDUSP, 1976.

. La enseñanza de las Matemáticas.2.ed. Madrid: Aguilar, 1965. p.3-28: Las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia.

. A equilibração das estruturas congnitivas. Rio de Janeiro: Zahar, 1976.

. Fazer e compreender. São Paulo: Melhoramentos: EDUSP, 1978.

. Gênese das estruturas lógicas elementares. Trad. por Álvaro

Cabral. Rio de Janeiro: Zahar, 1975.

. A gênese do número. Rio de Janeiro: Zahar, 1971.

. O raciocínio na criança. Rio de Janeiro: Record,[19--].

. Seis estudos de Psicologia. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1986.

. Les strutures mathématiques et les strutures operatoires de Venseignement des Mathématiques.2.ed. Neuchatel: Delachaux & Niestlé, 1965.

. Traité de logique. Paris: Colin, 1949.

PIAGET, Jean et al. La enseñanza de Ias Matemáticas modernas. Madrid: Alianza, 1978.

. L'enseignement des Mathematiques. Genève: Delachaux & Niestlé, 1955.

. Implication, formalisation et logique naturelle. Paris: PUF., 1962.

PIAGET, Jean, BERLYNE, D.E. Éstudes d'epistêmoloque génétique. Paris: P.U.F., 1960. v.12: Théorie du comportament et Opérations.

PIAGET, Jean, CLÉRON, R, GRÉCO, P, INHELDER, B. Tratado de psicologia experimental. São Paulo: Forense, 1969. v.7: A inteligência.

PIAGET Jean, DIEUDONNE, J LICHNEROWICZ, A. et al. La enseñanza de las Matematicas. Version espanola de Adolfo Maillo e Alberto Aizpun. Madrid: Aguilar, [19-].

PIAGET, J., FRAISSE, P, VURTILLOT, E.. FRANCES, R. Tratado de psicologia experimental. Rio de Janeiro: Forense, 1969. v.6: A percepção.

PIAGET, Jean, GOUSTARD, R, GRÉCO, P, MATALON, B. Études d'épistémologie génétique. Paris: P U F , 1959. v. 10: La logique des apprentissages.

PIAGET, Jean, INHELDER, N. O desenvolvimento das quantidades físicas na criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1971.

. Études sociologiques. Genève: Droz, 1965

. Gênese das estruturas lógicas elementares. Rio de Janeiro: Zahar, 1971.


PIAGET, Jean, INHELDER, N. L' image mentale chez l'enfant. Paris: P.U.F, 1966.

. Introduction a l'epistemologie génétique. Paris: Presses Universitaires de France, 1973. v.l: La pensée matematique.

. Logic and psychology. Manchester: Manchester University

Press, 1953.

_ _ _ . Les mécanismos perceptifs. Paris: P.U.F., 1961.

. Para onde vai a educação? 4.ed. Rio de Janeiro: José Olympio, 1976. 89p.

. Remarques sur I 'education mathématique. Campinas, 1977. mimeo. Material do curso Aprendizagem e Conhecimento Segundo Piaget, ministrado pela profª drª Orly Z. M. de Assis na Faculdade de Educação da UNICAMP, 1. sem. 1977.

. A teoria de Piaget. Trabalho inédito, expansão de publicações anteriores, considerando trabalhos recentes e ainda não publicados. Trad. por Zélia R. Chiarottino. Campinas, 1977. mimeo. Circulação interna do Curso Aprendizagem e Conhecimento Segundo Piaget, ministrado pela profª drª Orlv Z M. de Assis na Faculdade de Educação da UNICAMP, 1. sem 1977.

PIAGET, Jean, LE NY, J.F., MONTPELLIER, P, OLÉRON, P, FRAISSE, P, FLORES, C. Tratado de psicologia experimental. Rio de Janeiro: Forense, 1969. v.4: Aprendizagem e memória.

PIAGET, Jean, MORF,A., SMEDSLUND, J., VINH-BANG, WOH-LWILL, J.F. Études d'epistémologie génétique. Paris: P.U.F, 1959. v.9: L'apprentissage des Structures logiques.

PIAGET, Jean, SZEMINSKA, A. A gênese do número na criança.2.ed. Rio de Janeiro: Zahar; Brasília: INL, 1975.

PINHEIRO, Lúcia et al. Ensinando Matemática a crianças. Rio de Janeiro: Centro Brasileiro de Pesquisas Educacionais, 1966.

PÓLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Trad. e adap. por Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. 179p.

PORQUOET, Madeleine. A Matemática natural no ensino infantil. Lisboa: Estampa, 1978.

PROJETO de integração do ensino de Ciências e Matemática no currículo de 1º grau, 1976. Brasília: MEC: PREMEM: UFRGS: DEF, 1976.

PROJETO experiências de uma metodologia de ensino de Matemática inovadora, através da utilização de materiais instrucionais; relatório crítico. Blumenau: FURB, 1986-1987. mimeo.

RANGEL, Ana Cristina Souza. Aprender versus conhecer: do ir além do ser professor para ser educador matemático. Contexto & Educação, Ijuí, v.5, n.18, p.75-91, abr./jun. 1990.

REGO, Carlos Afonso. O ensino de Matemática nas escolas rurais. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.18, n.170, p.5-8, abr. 1985.

. Para que serve a Matemática elementar? Ou Matemática elementar através de problemas. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.20, n.187, p.35-39, maio 1987.

REVUZ, André. O desconhecimento da Matemática. Trad. por Luíza Amaral Kfouri. Educação para o Desenvolvimento, São Paulo, v.7, n.82, p.63-74, out. 1972.

. Est-il impossible d'enseigner les Mathématiques? Paris: P.U.F, 1980. 153p.


REVUZ, André. Matemática moderna, Matemática viva. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 1967. 21p.

RICHMOND, RG. Introduction a Piaget. Madrid: Fundamentos, [19-].

ROCHA, Maria Helena, NEVES, Maria do Carmo. Didática viva da Matemática. São Paulo: Moderna, 1970.

ROCHA, Renato. Sobre o movimento de renovação do ensino da Matemática. Cadernos Pedagógicos do CEN, Niterói, n. 13, p.7-15, 1984.

RODRIGUES, Antonio. Modelos didáticos de Geometria euclidiana. Porto Alegre. Ed. da UFRGS, 1978.

ROSA NETO, Ernesto. Didática da Matemática.2.ed. São Paulo: Ática, 1988. 200p.

ROXO, Euclides. A Matemática em educação secundária. São Paulo: Ed. Nacional, 1937.

RUDE, Adolf. La ensañanza de Ias ciências exatas y naturales. Trad. e adap. espanhola por Domingo Tirado Lenedi e Ricardo Crespo. Barcelona: Labor, [19-].

RUGGEERO, M.C. et al. O livro didático e a questão de sua utilização. Comunicação apresentada na VII Científica de Botucatu, Associação de Docentes da UNESP, dez. 1977. mimeo.

RUIZ, Adriano Rodrigues, CARVALHO, Anna Maria Pessoa de. O conceito de proporcionalidade Revista da Faculdade de Educação-USP, São Paulo, v. 16, n.l/2, p.97-131, jan./dez. 1990.

HERNÁNDEZ RUIZ, Santiago Hernandes. Metodologia de Ia Aritmética en Ia escuela primaria. México: Atlante, 1950.

RUSSEL, Bertrand. Introdução à filosofia matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1981.

RYLE, G. El concepto de Io mental. Buenos Aires: Paidós, 1967.

SÁ, Antonio Villar Marques de. O xadrez e a educação: experiências de ensino enxadrístico em meios escolar, periescolar e extra-escolar. In:

SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental. Eventos, 4. Parte 2).

SÁNCHEZ CARLESSI, Hector Hugo et al. Bases psicopedagogicas para el aprestamiento en Ia educacion matemática. Lima: Instituto Nacional de Investigacion y Desarrollo de la Educacion, 1982. 228p.

. Experimentacion de un programa para el desarrollo de los processos intelectuales a traves de Ia educacion matematica: informe final. Lima: Ministerio de Educacion, 1982. 169p.

SANGIORGE, Osvaldo. Matemática moderna no ensino. Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, Curitiba, v.8, n. 1, p.5-14, fev. 1985.

SANTANNA, V.M. Ciências e sociedade no Brasil. São Paulo: Símbolo, 1978.

SANTAROSA, Lucila Maria Costi et al. Construção de conceitos matemáticos utilizando a filosofia e linguagem LOGO. Ciência e Cultura, São Paulo, v.42, n.9, p.653-661, set. 1990.

SANTIN, Silvino. Humanização das ciências exatas, mimeo. Palestra proferida no II Encontro Estadual de Professores de Matemática, Santa Maria, UFSM, 1982.


SANTOS, Vânia Maria Pereira dos. Consciência metacognitiva de futuros professores primários numa disciplina de Matemática e um exame de seu conhecimento, concepções e consciência metacognitiva sobre frações.In: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série documental. Eventos, 4. Parte 2).

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino da Matemática, 1º grau. 3. ed. São Paulo, 1988.

. Subsídios para a implementação do guia curricular de Matemática. SãoPaulo, 1977. 158p. Projeto: desenvolvimento de novas metodologias aplicáveis ao processo ensino-aprendizagem do 1º grau. Convênio MEC/DEF, 1977.

SCHLIEMANN, Analúcia Dias (Coord ). O desenvolvimento de conceitos lógico-matemáticos no primeiro grau. Recife: UFPE: INEP, [1989?].

. Lógica e Matemática no contexto da educação informal. Recife: UFPE: INEP, 1985. 61p. Relatório de pesquisa.

. As operações concretas e a resolução de problemas de Matemática. In: CARRAHER Terezinha Nunes. Aprender pensando. Recife: Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco, 1983.

SCHLIEMANN, Analúcia D., CARRAHER David W., SPINILLO, Alina G. et al. Estudos em psicologia da educação matemática. Recife: UFPE, 1993. 107p.

SELBER, Gilberto Luiz Moraes. Em pauta a formação do professor de Matemática. Revista das Faculdades Franciscanos, Bragança Paulista, v.l, n.6, p.1-4, 1983.

SERWAIS, W. Concreto —abstrato. In: GATTEGNO, G. et al. El material para Ia ensefianza de Ias Matemáticas. Madrid: Aguíllar, 1967.

SETZER, Valdemar, W. Máquinas calculadoras no ensino de primeiro grau. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 25 mar. 1979. p.ll .

SILVA, Benedito Antônio da. Matemática moderna: os pais podem ter um importante papel. Educação para o Desenvolvimento, São Paulo, v.7. n.28. p.45-48. out. 1972.

SILVA, Fátima Sampaio da. Operações lógico-matemáticas de crianças na 1ª série do lº grau. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n.44, p.63-74, fev. 1983.

SILVA, Maria Aparecida Lemos et al. Causas das dificuldades no rendimento escolar, nas disciplinas: Matemática, Física, Química e Biologia, no ensino de 2º grau. Boletim do CEPE, Florianópolis, v. 14, n.3,jul./ago./set. 1982. 46p.

SILVA, Maria Helena Braga Rezende. Didática da Matemática.S.ed. Rio de Janeiro: Conquista, 1984.

SILVA, Zélia Maria M. Higino da. A criança e a escrita numérica. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, V.71, n. 168, p. 141-161, maio/ago. 1990.

SIMÃO. Lívia Mathias, CASTELLS, Célia Maria Miraldo. Contribuição para a atualização de professores de Ciências e Matemática de 1º e 2º graus. Ciência e Cultura, São Paulo, v.39, n. 12, p. 1137-1141, dez. 1987.

SOARES, Dulce Maria Lopes. Existe horário para trabalhar com Matemática? Revista Pedagógica, Belo Horizonte, v.l, n.5, p.4-6, set./out. 1983.


SOARES, Maria Tereza Perez. Matemática: avaliando a avaliação. Dois Pontos, Belo Horizonte, v.2, v.12, p.49, abr. 1992.

SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Livro de resumos do I Encontro Paulista de Educação Matemática. Campinas: PUCCAMP, 1989.

. Livro de resumos do I, II e III Encontros Nacionais de Educação Matemática. São Paulo: PUC, 1987; Maringá: UEM, 1988; Natal: UFRN, 1990.

SOLOMON, Charlee. Matemática. São Paulo: Melhoramentos, 1977.

SOUZA, Eda Castro Lucas de. Perfil psicológico dos alunos de periferia urbana, iniciantes da escolaridade formal com bom rendimento em Matemática. Scientia ad Sapientiam, Maceió, v.8, n.l5, p.23-28,jul. 1985.

SOUZA Newton Pereira de. Piaget no domínio da Matemática, II. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.14, n.134, p. 17-20, maio 1981.

SOUZA LIMA, Reginaldo Naves de. A pedagogia presente na elaboração do livro didático de Matemática. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.63, n.144, p. 19-25, maio/ago. 1979.

STEWART, Ian. Conceptos de Matemática moderna. Madrid: Alianza, 1977.

TAHAN, M. As Maravilhas da Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Bloch, 1982.

TECNOLOGIA educacional aplicada ao ensino da Matemática no 1º grau: lição introdutória. Rio de Janeiro: ABT, 1984. 33p.

THORNDIKE. A nova metodologia da Aritmética. Porto Alegre: Globo, 1936.

TONIN, Neila. A Matemática no currículo de lº grau. Perspectiva, Erexim (RS), v.14, n.46, p.48-70, abr./jun. 1990.

TORANZOS, Fausto. Enseñanza de Ia Matemática. Buenos Aires: Kapelusz, 1963.

TREIN. Eunice Schilling, SOUZA. Guaracira Gouvea de. Um projeto em questão: a formação continuada para o ensino de Ciências. Contexto & Educação, Ijuí, v.6, n.21, p.56-65, jan./mar. 1991.

TREJO, César A. El enfoque conjuntista en Ia enseñanza de Ia Matemática. Buenos Aires: Kapelusz, 1973. 124p.

TRIVINOS, Augusto Silva. A pesquisa em educação matemática: critério de verdade do conhecimento e classe social. Educação PUC-RS, Porto Alegre, v.14, n.21, p.9-15, jul./dez. 1991.

UNESCO. Educación matemática en Ias Américas. Montevideo, 1979. 256p. Informe de la Quinta Conferencia Interamericana sobre Educación Matemática, realizado em Campinas em 1979.

. Matemática para todos. Montevideo: Division de Educación Científica Técnica y Ambiental, 1990. 135p.

. Nuevas tendencias en la enseñanza de las Matemáticas. Paris: UNESCO, 1973. v.3.

. Paris: UNESCO, 1979. v.4.

VALENTE, Milton Luiz. O ensino da Matemática: a ciência e a vida. In: SEMINÁRIO Currículo do Ensino de 2º Grau. Florianópolis: Secretaria de Educação: UFSC, 1981. 7p. mimeo.


VALLE DEL PINHO, Magdalena. Explorando a Matemática na escola primária. 2.ed. Rio de Janeiro: José Olympio, 1970.

VARSAVSKY, Oscar. Por uma política cientifica nacional. Trad. por Glória Rodrigues. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1976. cap.: Ideologia e números reais.

VERGNAUD, G. L 'enfant, Ia Mathématique et Ia réalité. Berna: Lang, 1991. 218p.

VILA, Maria do Carmo. Concepções manifestadas pelos alunos num teste de simulação de uma situação aleatória realizada com a ajuda de um material concreto. In: SEMINÁRIO sobre novas perspectivas da educação matemática no Brasil. Brasília: INEP, 1994. lv. (Série Documental. Eventos, 4. Parte 2).

. Discutindo a teoria dos conjuntos no ensino da Matemática. AMAE Educando, Belo Horizonte, v.17, n.168, p.20-23, nov. 1984.

. Ensino de Matemática: uma proposta alternativa. Educação em Revista, Belo Horizonte, n.2, p.47-52, dez. 1985.

VOVIO, Claúdia Lemos, CARVALHO, Dione Lucchesi de. A superação da prática sem negar as matematizações anteriores. Espaços da Escola, Ijuí, v.3, n.7, p.5-12, jan./mar. 1993.

WALDER, RL. O professor principalmente de Matemática superior. In: MORRIS, William H. O ensino superior: teoria e prática. Rio de Janeiro: Zahar, 1972. p. 132-148.

WASON, Peter C. A teoria das operações formais — uma crítica. In: GEBER, B. A. Psicologia do conhecimento em Piaget. Rio de Janeiro: Zahar, 1979. p. 119-135.


WEIL, André. O ensino da Matemática nas universidades. Anuárío da Sociedade Paranaense de Matemática, v.4, p.34-36, 1957.

WEREBE, M.J.G. O ensino da Matemática. São Paulo: USP, Faculdade de Educação, 1956.

WHEELER D. Imagem e pensamento geométrico. In: CIEAEM. Compte rendus de Ia 33a Rencontre Internationale. Pallanza, 1981. p.351-353.

WHITEHEAD. A.N. A função da razão: pensamento científico. Brasília: Universidade de Brasília, [19—].

. Introdução à Matemática. Coimbra: Armênio Amado, [19-].

WESER. W. Organismos, estruturas, máquinas. São Paulo: Cultrix, 1972.

WILDER, R.L. Evolution of mathematical conceptis. London: Open University Press, 1973.

WITTER, Geraldina Porto. Novas tendências em aprendizagem e avaliação matemática: um enfoque interdisciplinar. Trabalho api sentado à 5a Conferência Interamericana de Educação Matemática, Campinas, 1981. 21 p.

WODEWOTZKI, Maria Lúcia L., CREPALDE, Ceie V. Caracterização do desempenho em Matemática através da aplicação de um programa multinominal: análise de proporções (MANAP). Educação e Seleção, São Paulo, n.10, p.75-82, jul./dez. 1984.

ZAMBUZI, Orlando. Matemática. São Paulo: Ática, 1980.

RECHERCHES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES EN FRANCE: éléments d'une bibliographie — mise à jour: avril 1992*

AL-LAKKIS Gh., (1985), Les automatisme dans le calcul algébrique en classe de seconde, These de 3º cycle, Université de Paris VII.

ALARCON J., (1982), L 'appréthension des situations probabilistes chez des éleves de 12-14 ans: résultats d 'une enquête proposée à des éleves de 4º et 5a, These de 3º cycle, Université de Strasbourg.

ALIBERT D.,(1987), Situation codidactique e délocalisation du savoir. Séminaire de Didactique des Mathématiques et de L'Tnformatique. pp. 88-89.

ALIBERT D. et al., (1987), Le thème "différentielles". um exemple de cooperation mathsphysique dans la recherche, actes du Colloque de Sévres. Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988

ALIBERT D., GRENIER D., LEGRAND M., RICHARD F., Lintro-duction du débat scientifique en situation d'enseignement, Actes de Ia IVº École d'été de didactique des mathématiques, IREM de Paris VII.

ALMOULOUD S., (1992/1993), Aide logicelle à la resolution de problèmes avec preuve: des séquences didactiques pour Tenseignement de la demonstration, Recherches en didactique des mathématiques, 12(2/3), pp. 271-318.

ANTIBI A., (1991), Partir de la conclusion, Bulletin APMEP, 378, pp. 169-182.

"Preparee par N. Balacheff& Groupe thèsard

ARSAC G (1987), Loringine de la demonstration: essai d'épistémologie didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (3), pp. 267-312.

ARSAC G., (1988), Les recherches actuel les sur l'apprentissage de la démonstration et les Phénomènes de validation en France, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 247-280.

ARSAC G., (1991-1992), Vérité des axiones et des théorèmes en géométrie, Vérification et démonstration. Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l'Informatique, Nº 142, pp. 291-320.

ARSAC G., (1992-1993), Lévolution d' une théorie en didactique: l'exemple de la transposition didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 12 (1), pp. 7-32.

ARSAC G., (1993), L'université des mathématiques (Conference inau-gurale), Bulletin APMEP, 385, pp. 401-419.

ARSAC G., MANTE M., (1983), Des "problèmes ouverts" dans nos classes du premier cycle, Petit X, 2, pp. 5-33.

ARSAC G., MANTE M., (1988-1989), Le rôle du professeur. Aspects pratiques et théoriques, reproduetibilité, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, Nº 101, pp. 79-105.

ARSAC G., MANTE M. BALACHEFF N., (1983), A Pedagogy for math-ematical Microwords, Educational Studies in Mathematics, 15 (1).

ARTIGUE M., Epistémologie et didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 10 (2/3), pp. 241-286.

ARTIGUE M., (1984), Contribution àiétude de Ia reproduetibilité des situations didactiques, These d'état, Université de Paris VII.


ARTIGUE M., (1986), Etude de la dynamique d'une situation de classe: une approche de Ia reproductibilité, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (1), pp. 5-62.

ARTIGUE M., (1986), La notion de différentiel en mathématique et en physique dans Tenseignement supérieur, Actes de Ia IVº École d'étè de didactique des mathématiques, IREM de Paris VII.

ARTIGUE M., (1986), Quelques aspects de la transposition didactique de la notion de différentielle, Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de l' informatique, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 119-130.

ARTIGUE M., (1988), Ingénierie didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 281-308.

ARTIGUE M. (1988-1989), Une recherche d' ingénieric didactique sur Tenseignement des équations différentielles en premier cycle universitaire, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l'Informatique, Nº 17, pp. 183-209.

ARTIGUE M., (1990-1991), Analyse de processus en environnement informatique, Petit X, 26, pp. 5-27.

ARTIGUE M., Modélistion et reproductiblité en didactique des mathématiques, Actes de la IIIº École d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

ARTIGUE M., ROBINET J., (1982), Conceptions du cercle chez des enfants de Técole élémentaire, Recherches en didactique des mathématiques, 3 (2), pp. 5-64

ARTIGUE M., ROBINET J., (1982), Numération à Técole élémentaire, Educational Studies in Mathematics, 13 (2), pp. 155-175.

ASSUDE T, (1989), Racines carrées: conception et mises en situations d'éléves de quatrième et trosième, PetitX, 20, pp. 5-33.

AUDIBERT G, (1982), Démarches de pensée et concepts utilisés par les élèves de I 'enseignement secondaire en géométrie euclidienne plane, These d'état, Université de Montepllier, Publication de 1'APMEP, Nº 56. 1984.

AUDIBERT G. (1983), Processus de recherche d'un problème de géométrie chez l'élève de Tenseignement secondaire, Educational Studies in Mathematics, 15 (2), pp. 155-181.

AUDIBERT G, (1986), L'enseignement de la géométrie de l'espace, Bulletin APMEP, 355, pp. 501-526.

AUDIBERT G, KEITA B., (1987), La perspective cavalière et la représentation de l'espace, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

AUTHIER H., (1990), Cadres de fonctionnement des connaissances mathématiques chez les différents bacheliers inserits en deug sciences. Recherches en didactique des mathématiques, 10 (2/3), pp. 171-204.

BALACHEFF N., (1980), Une étude, à l'aide de graphes, de démonstrations mathématiques formulées par des élèves, Educational Studies in Mathematics, 11 (1), pp. 91-111.

BALACHEFF N., (1982), Preuve et demonstration au College, Recherches en didactique des mathématiques, 3 (3), pp. 261-304.

BALACHEFF N., (1984), Recherches en didactique et formation initiale, Bulletin APMEP, 342, pp. 93-104.


BALACHEFF N., (1986), Cognitive versus Situational analysis of prob-lem-solving behaviours, For the Learning of Mathematics, 6 (3).

BALACHEFF N., (1986), Le Contrat et la coutume: deux registres des interactions didactiques, Actes du premier Colloque franco-allemand de Didadctique des Mathématiques et de I 'informatique, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 15-26.

BALACHEFF N., (1987), Processus de preuve et situations de valida-tion, Educational Studies in Mathematics, 18 (2).

BALACHEFF N., (1987), Une étude des processus de preuve en mathématique chez élèves de collège, Thèse d'état, Université de Grenoble I.

BALACHEFF N., LABORDE C, (1985), Langage symbolique et preuves dans Tenseignement mathématique: une approche socio-cognitive, in Mugny G. (Eds): Psychologie sociale de développement cognitif, Berne: Peter Lang.

BALACHEFF N., (1987), Processus de preuve et situations de valida-tion (Proving Processes and Situations for Validation), Educational Studies in Mathematics, 18 (2), pp. 147-176.

BALDY R. et al., (1987), Activités cognitives dans l'apprentissage et l'utilisation du dessin techinique: état des travaux, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientijiques, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

BARBIN E., La démonstration mathématique: significations épistémologiques et questions didactiques, Bulletin APMEP, 366, pp. 591-620.

BAUTIERT. et al., (1987), Representation plane des figures de l'espace, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientijiques, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

BELLEMAIN F, CAPPON1 B., Spécificité de l'organisation d'une sé-quence d'enseignement lors de 1'utilisation de 1'ordinateur (Specifities of the Organization of a Teaching Sequence Using the Computer), Educational Studies in Mathematics, 23 (1).

BELLEMENT F, (1987), Cabri-Gèométre: um cahier de brouillon informatisé pour Ia resolution de problèmes de géométrie plane, Petit X, pp. 35-48.

BELLEMENT F, GERENTE M., (1989-1990), Géométrie et informatique: vers Ia médiatrice. rexpérimentation: lieu dMnteraction entre Ia problématique du chercheur et celle de 1'enseignant, Petit X, 24, pp. 37-59.

BERDONNEAU C, (1981), Quelques remarques sur l 'introduction à Ia géométrie démontrée à travers les manuels en usage dans l 'enseignementpost-élémentaire en France au vingtième siècle, These de 3º cycle, Université de Paris VII.

BERDOT P et al., (1987), Quelques élèves en échec mathématiques, Actes du Colloque de Sèvres: Didactique et acquisition des connaissances scientijiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

BERTHELOT C, BERTHELOT R., (1983), Quelques apports de Ia théorie des situations à l 'introduction de Ia notion de limite en classe depremière, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

BESSOT A., COMITI C, (1978), Une étude sur 1'approche du nombre par 1'élève de cours préparatoire, Educational Studies in Mathematics, 9, pp. 17-39.


BESSOT A., COMITIC, (1982), Appropriation des propriétés ordinales du nombre par 1'eleve du cours préparatoire, Educational Studies in Mathematics, 13 (1), pp. 59-88.

BESSOT A., COMITI C, (1985), Un élargissement du champ de fonctionnement de la numération: étude didactique d'un processus, Recherches en didactique des mathématiques, 6 (2/3), pp. 305-346.

BESSOT A, COMITIC, (1983), Une approche didactique des problèmes de la mesure, Recherches en didactique des mathématiques, 4 (3), pp. 293-324.

BESSOT A., EBERHARD M., (1986), Adaptation de la perspective à une situation Complexe par des élèves de 9-12 ans, European Journal on Psychology of Education, 1, pp. 83-96.

BESSOT A., EBERHARD M., (1987), Representation graphique d'assemblages de cubes et finalités des situations, in Fassina W.A., Rabardel P. (Eds.) Le dessin techinique, Paris: Editions Hermes, pp. 61-70.

BESSOT A., EBERHARD M., (1987), Representation graphiques et théorisation de I'espace des polycubcs. Un processus didactique, Actes du Colloque de Serves, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

BESSOT A., EBERHARD M., CHABROULET M.T., (1983), Representation d'assemblages de cubes au cycle moyen et en cinquième (première partie), Petit X, 2, pp. 51-76.

BESSOT A., EBERHARD M., CHABROULET M. l , (1983), Representation d' assemblages de cubes au cycle moyen et en cinquième (deaxième partie), Petit X, 3, pp. 5-22.

BESSOT A., RICHARD R, (1979), Commande desvariablesd'unesituation didactique pour provoquer l 'élargissement des procédures en vue d'étudier le rôle du schéma, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

BESSOT A., RICHARD R, (1980), Une étude du fonctionnement du schéma arbre par la commande de variables d'une situation, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (3), pp. 387-423.

BESSOT A.. DEPREZ S., EBERHARD M., GOMAS B., (1990-1991), Questions didactiques posées par l'enseignement professionnel des métiers du bâtiment à propos de la notion de lectures de vues, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l'Informatique, N° 120, pp. 53-75.

BLANCHARD-LAVILLE C, (1981), Les dimensions affectives dans 1'apprentissage des statistiques, Education Permanente, 79, Université de Paris Dauphine.

BLANCHARD-LAVILLE C, (1989-1990), Des efets du travail psychique accompli par des enseignant(e)s de mathématiques dans le cadre d 'un groupe dMnspiration Balint, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, N° 115, pp. 153-174.

BLOCH I., (1987), Un essai d'exprérience didactique: Tenseignement mathématique à Técole élémentaire de Bonneuil sur Marne, PetitX, 14-15, pp.39-63.

BODIN A, (1985), Problèmes de Tevaluation des savoirs mathématiques, Bulletin APMEP, 387, PetitX, 7, pp. 5-28.

BODIN A., (1989), Les échelles: Preparation d'une situation d'enseignement en classe de cinquième, PetitX, 20, pp. 35-49.


BODIN A., (1989-1990), Quelques remarques à propos de 1'opératíon d'évaluation décidée par le ministère pour Ia rentrée 89-90 et destinée à 1'ensemble des élèves entrant en classe de sixième, PetitX, 22, pp. 73-77.

BODIN A., (1990), L'évaluation du savoir en mathématique, Bulletin APMEP, 368, pp. 195-220.

BODIN A., (1990-1991), Techniques susceptibles de faciliter les diag-nostics individuels et collectifs, PetitX, 25, pp. 5-25.

BODIN A., (1993), Les compétences des élèves en mathématiques, Bulletin APMEP, 387, pp. 15-34.

BONNEVILLE J-F, COMITI C, GRENIER D., LAPIERRE G., (1990-1991), Une étude des representa tio ns d'enseignants de mathématiques, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de 1'Informatique, Nº 127, pp. 191-210.

BOSCHET F., (1982), Cours sur les suites numériques dans le premier cycle de I 'enseignemente supérieur, These de 3º cycle, Université de Paris VII.

BOSCHET F., (198?). Les suites numériques comme objet d'enseignement (premet cicle de l'enseignement supérieur français), Recherches en didactique des mathématiques, 4 (2), pp. 141-164.

BOUR M.C., DORRA F, (1986), Les fondements de l'analyse en classe spéciales au début du siècle, Recherches en didactique des mathématiques, 7 (3), pp. 113-126.

BOSCHET F, (1987), Fonctions du code symbolique dans le discouyrs mathématique (the Functions of Symbolic Code in mathematical Communiction), Educational Studies in Matematics, 18 (1), pp. 19-34.

BRISSIAUD R., (1990), Compter à 1'école maternelle. Oui, mais..., Bulletin APMEP, 367, pp.31-52.

BRONNER A., (1991), Connaissance d'élèves maliens à propos de la racine carrée, PetitX, 28, pp. 19-55.

BROUSSEAU G., (1976), Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques, 1983, 4 (2), pp. 164.

BROUSSEAU G., (1978), L'observation des activités didactiques, Revue française de pédagogie, 45.

BROUSSEAU G., (1980), Uéchec et le Contrat, Recherche, 41, pp. 177-182.

BROUSSEAU G., (1980), Problème de didactique des décimaux, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (1), pp. 37-127.

BROUSSEAU G., (1980), Problème de Tenseignement des décimaux, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (2), pp. 11-60.

BROUSSEAU G., (1981), Sur Téchec électif en mathématiques, Revue de laryngologie.

BROUSSEAU G., (1983), Etude de questions d'enseignement, un exemple: Ia géométrie, Séminaire de didactique des mathématiques et de I 'informatique, Grenoble: IMAG.

BROUSSEAU G, (1984), Le rôle du maitre et l'institutionnalisation, Actes de Ia IIIº École d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

BROUSSEAU G., (1986), Fondements et méthodes de Ia didactique des mathématiques, Recherches en didactique des mathématiques, 7 (2), pp. 33-116.


BROUSSEAU G., (1986), La relation didactique: la milieu, Actes de Ia IVº École d'été de didactique des mathématiques, IREM de Paris VII.

BROUSSEAU G., (1986), Théorisation desphénomènes d'enseignement des mathématiques, These d'état, Université de Bordeaux I.

BROUSSEAU G, (1986), Traitement de Ia mémoire des élèvens dans le Contrat didactique. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de I' informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 27.

BROUSSEAU G., (1987), Représentation et didactique du sens de la division, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

BROUSSEAU G, (1988), Le Contrat didactique: le milieu, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 309-336.

BROUSSEAU G, (1989), Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de Collège, PetitX, 21, pp. 47-68.

BROUSSEAU G, Le rôle central du Contrat didactique dans 1'analyse et la construction des situations d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques, Actes de la IIIº Ecole d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

BROUSSEAU G., EYHERAGUIBEL J.C., (1978), Appareillage de mesure automatique des stratégies d'apprentissage (aplication à un jeu pédagogique: Ia tour d'hanoi), Mesure-Régulation-Automatisme, Janvier 1978, pp.43-55.

BROUSSEAU C, PÉRES I, (1981), Le cas de Gaêl, IREM de Bordeaux.

BROUSSEAU G., (1991-1992), Modélisation informatique dans la gestion des processus didactiques, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de I' Informatique, Nº 132, pp. 99-115.

BUTLEN D., PEZARD M., (1992-1993), Calculmental et résolution de problèmes multiplicatifs, un expérimentation du CP au CM2, Recherches en didactique des mathématiques, 12 (2/3), pp. 319-368.

CAPPONI B., (1987), Mesure et demonstration. Un exemple d'activité en classe de quatrème, PetitX, 17, pp. 29-48.

CAPPONI B., (1988-1989), Calcul algébrique et tableur, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de 1'Informatique, N9 104, pp. 133-161.

CAPPONI B., CLAROU PH., (1987), Apprentissages numériques au College (deuxième partie), PetitX, 14-15, pp. 5-24.

CAPPONI B., BALACHEFF N, (1989), Tableur et calcul algébrique (Spreadsheet and Álgebra), Educational Studies in Mathematics, 20 (2).

CAUTY A, (1982), Etude de certains aspects linguistiques et didactiques de I 'énonciation mathématique. These de 3º cycle, Université de Paris VII.

CAUTY A., (1984), Tropes et figures du discours mathématique, Recherches en didactique des mathématique, 5 (1), pp. 81-128.

CAUZINILLE-MAMECHE E. et al., (1987), Explicitation et representation des connaissances des élèves de Collège en algèbre, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques, Grenoble: La Pensée.


CHAUVAT G., (1991-1992), Le logiciel ORGE, un instrument pour Tenseignement des représentations graphiques catésiennes et pour l'étude des Phénomènes didactiques associes, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de TInformatique, Nº 139, pp. 207-234.

CHEVALIER A., (1984), Le problème OAT:.symétrie, vérification, algorithme de construction. La pratique de l 'élève, Thèse de 1'université de Montpellier.

CHEVALLARD Y, MERCIER A., (1984), La notion de situation didactique, Actes de Ia IIIº École d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

CHEVALLARD Y, (1980), Mathématiques et enseignement la reforme des années soixante, Recherche, 41, pp.71-99.

CHEVALLARD Y, (1983), Remarque sur la notion de Contrat didactique, IREM d'Aix-Marseille.

CHEVALLARD Y, (1984), Aspects de Tenseignement de l'alèbre, Actes de Ia 1º École d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

CHEVALLARD Y, (1984), Le passage de l'arithmétique à l'algèbre dans Tenseignement des mathématiques au Collège, PetitX, 4, pp. 51-94.

CHEVALLARD Y, (1985), La transposition didactique, Grenoble: Editions La Pensée Sauvage.

CHEVALLARD Y, (1986), Esquisse d'une théorie formelle du didactique. A ctes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de l' informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 97-106.

CHEVALLARD Y, (1986), Les programmes et la transposition didactique, Bulletin APMEP, 352, pp. 32-50.

CHEVALLARD Y, (1986), Sur la notion de temps didactique, Actes de Ia IVº d'été de didactique des mathématiques, IREM de Paris VII.

CHEVALLARD-Y, (1986), Vers une analyse descriptive des faits d'evaluation in J. M. De Ketele (Ed.): L'évaluation: approche descriptive ou prescriptive? Bruxelles: De Boeck Université, pp.31-59.

CHEVALLARD Y, (1987), La dialectique entre études locales et théorisation: le cas de l'algèbre dans Tenseignement du second degré, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

CHEVALLARD Y, (1987), Médiation et individuation didactiques. Actes du 1º Colloque "Médiation etremédiation et remédiation didactiques". Interactions didactiques, Université de Neuchatel, 1988, 10, pp.23-34.

CHEVALLARD Y, (1987), Sur Ia notion de temps didactique, Actes de Ia IVº École d'été de didactique des mathématiques, Paris: IREM de Paris Sud, pp.69-93.

CHEVALLARD Y, (1987), L'univers didactique et ses objets: fonctionnement et dysfonctionnement. Actes du 2º Colloque "Médiation et remédiation didactiques", Interactions didactiques, Université de Nauchâtel, 9, pp.9-36.

CHEVALLARD Y, (1988-1989), Le concept de rapport au savoir. Rapport personnel, rapport institutionnel, rapport officiel, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de Tlnformatique, Nº 108, pp. 211-236.


CHEVALLARD Y, (1990-1991), Dimension instrumentale, dimension sémiotique de l'activité mathématique, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l''Informatique, Nº 122, pp. 103-117.

CHEVALLARD Y., (1990), On mathemathics Education and Culture: Criticai Afterthought, Educational Studies in Mathematics, 21 (1).

CHEVALLARD Y, (1989-1990), Le passage de l'arithmétique à 1'algébrique dans Tenseignement des mathématiques au collège (3ème partie), PetitX, 23, pp. 5-38.

CHEVALLARD Y, (1990-1991), Autout de l'enseignement de la géométrie - première partie, PetitX, 27, pp. 41-76.

CHEVALLARD Y, (1992-1993), Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropogique, Recherches en didactique des mathématiques, 12 (1), pp. 73-112.

CHEVALLARD Y, FELDMAN S.,(1985), Les fonctions didactiques de l 'evaluation, IREM d' Aix-Marseille.

CHEVALLARD Y, JOHSUA MA., (1982), Un exemple d'analyse de la transposition didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 3 (2), pp. 157-240.

COMITI C, (1980), Les premières acquisitions de la notion de nombre par l'enfant, Educational Studies in Mathematics, 11 (3), pp. 301-318.

COMITI C, (1986), L hisioire d'une Collaboration chercheur en didactique-enseignant. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de I 'informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 317-328.

COMITI C, BESSOT A, (1987), A study of children's strategies for the comparison of numeraris, For the Learning of Mathematics, 1 (1).

COMITI C, BESSOT A., PARISELLE C, (1980), Analyse du comportement d'élèves en cours préparatoire confrontés à une tâche de construction d'um ensemble équipotent à un ensemble donné, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (2), pp. 171-224.

CONNE F., (1981), La transposition didactique à travers I 'enseignement des mathématiques en première et deuxième anné d 'école primaire, These de doctorat, FPSE Université de Genève.

CONNE F, (1984), Calculs numériques et calculs relatonnels dans la resolution de problèmes d'arithmétiques, Recherches en didactique des mathématiques, 5 (3), pp. 269-342.

CONNE F, (1986), Mahias ou "Un moment de compréhension", Petit X 10, pp. 53-66.

CONNEF, (1987), Comptage et écritures en ligne d'égalités numériques, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 71-115.

CONNE R, PAULI L., (1989), Invitation à une reflexión sur le rôle du langage dans Tenseignement des mathématiques, Petit X, 20, pp. 67-83.

CONNE F, (1992-1993), Savoir et connaissance dans la prespective de la transposition didactique, Recherche en didactique des mathématiques, 12 (2/3), pp. 221-270.

COQUIN D., (1982), Décomposition d 'une notion mathématique en vue de son enseignement et ordre d 'acquisition, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.


COQUIN-VIENNOT D., (1985), Complexité mathématique et ordre d'acquisition: une hiérarchie de conception à propos des relatifs, Recherches en didactique des mathématiques, 6 (2/3), pp. 133-192.

CORNU B., (1982), Grandes lignes de l'évolution historique de Ia no-tion de limite, Bulletin APMEP, 335, pp. 627-641.

CORNU B., (1983), Apprentissage de Ia notion de limite, Conceptions et obstacles, These de 3º cycle, Université de Grenoble 1.

CORNU B., (1986), Recherche sur Tenseignement et formation des enseignants. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de Vinformatique. Grenoble: Là Pensée Sauvage, pp. 297-306.

CORNU B., (1987), Recherche et formation: pour qui? Pour quoi?, Bulletin APMEP, 362, pp. 19-32.

DAGDILELIS V, (1988-1989), Elements d'une étude didactique des processus de validation de programme, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de PInformatique, Nº 102, pp. 107-122.

DENYS B., DUPRAZ M, (1989-1990), Approche de 1'intervention de Phénomènes peceptifs dans le trace ou la recherche de figures symétriques, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, Nº 117, pp. 189-209.

DENYS B., GRENIER D., (1986), Symétrie orthogonale: des élèves français et japonais face à une même tâche de construction, PetitX, 12, pp. 33-56.

DORIER J-L, (1989-1990), Une étape dans 1'émergence de l'algèbre linéaire, les problèmes linéaires autres que géométriqucs aux XVIIIème et XIXème siècles, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de 1'Informatique, Nº 113, pp. 103-134.

DOUADY R., (1980), Approche des nombres réels en situation d'apprentissage scolaire, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (2), pp. 61-77.

DOUADY R, (1984), Jeux de cadres et dialectique outil-objt dans Tenseignement des mathématiques, Actes de Ia IIIº École d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

DOUADY R., (1984), Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans "enseignement des mathématiques ", These d'état, Université de Paris VII.

DOUADY R., (1986), Jeux de cadres et dialectique outil-objet, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (2), pp. 5-32.

DUMONT B., (1982), L'influence du décor et du langage dans des épreuves de type "logique" portant apparemment sur l'implication. Educational Studies in Mathematics, 13, pp. 409-429.

DUPUIS C, GUTN D., (1986), Découverte de la récursivité en Logo dans une classe. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de Vinformatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 261-214.

DUPUIS C, GUIN D., (1989), Gestion des relations entre variables dans un environnement de programmation Logo: Variables en Logo (Management of Relations Between Variables in a Logo Program-ming Environment), Educational Studies in Mathematics, 20 (3).


DUPUIS C, PLUVINAGE F., (1981) La proportionnalité et son utilisation, Recherches en didactique des mathèmatiques, 2 (2), pp. 165-214.

DUROUX A., (1983), La valeur absolue: difficultés majeures pour une notioi mineure, PetitX, 3, pp. 43-67.

DUVAL R., (1983), Lobstacle du dédoublement des objets mathèmatiques, Educational Studies in Mathematics, 14 (4), pp. 385-414.

DUVAL R., (1991), Structure de Raisonnement Déductif et Apprentissage de Ia Demonstration, Educational Studies in Mathematics, 22 (3).

FISCHER J.P., (1981), Développement et fonetions du comptage chez 1'enfant de 3 à 6 ans, Recherches en didactique des mathèmatiques, 2 (3), pp. 277-302.

FISCHER JP., PLUVINAGE F, (1987). Complexités de compréhesion et d'exécution des Operations arithmétiques élémentaires, Recherches en didactique des mathèmatiques, 9 (2), pp. 133-154.

GAGATISIS A., (1982), Discrimination desseores au test de closure et evaluation de Ia comprehension des textes mathèmatiques, These de 3º cycle, Strasbourg.

GAGATISIS A., (1984), Préalable à une mesure de la compréhension, Recherches en didactique des mathèmatiques, 5 (1), pp. 543-80.

GAGATISIS A., PATRONIS T, (1990), Using Geometrical Models in a Process of Reflective Thinking in Learnig and Teaching Mathematics, Educational Studies in Mathematics, 21 (1).

GALAI M.C., GERENTEM., GRENIERD., RIVOIRER., (1989-1990), Analyse de deux situations-problèmes autour de Ia proportionnalité, PetitX, 22, pp. 5-22.

GALLARDO A., ROJANO T, (1987), Áreas de dificultades en la adquisicion del lenguaje aritmético-algebraico, Recherches en didactique des mathèmatiques, 9 (2), pp. 155-188.

GALLOU-DUMIEL E., (1985), Symétrie orthogonale et anglés, Thèse de 3º cycle, Université de Grenoble I.

GALLOU-DUMIEL E., (1987), Symétrie orthogonale et micro-ordinateur, Recherches en didactique des mathèmatiques, 8(1/2), pp. 5-60.

GALVEZ G., (1985). El aprendizaje de la orientation en el espacio urbano. Thèse, México.

GIL PEREZ D., AL., (1987), La resolution de problèmes comme activité de recherche: un instrument de changement conceptuel et méthologique, PetitX, 14-15. pp. 25-38.

GLAESER G., (1981), Epistémologie des nombres relatifs, Recherches en didactique des mathèmatiques, 2 (2), pp. 303-346.

GLAESER G., (1984), A propôs des obstacles épistémologiques. Réponse à Guy Brousseau, Recherches en didactique des mathèmatiques, 5 (2), pp. 227-232.

GRAS R., (1979), Contribution à 1'étude expérimentale et à /'analyse de certaines acquisitions cognitives et de certains objectifs didactiques en mathèmatiques, These d'état, Université de Rennes I.

GRAS R., (1983), Instrumentation de notions mathèmatiques. Un exemple: Ia symétrie, PetitX, 1.

GRAS R., (1986), Un panorama des relations entre informatique et enseignement des mathèmatiques, Actes de Ia IVº École d'été de didactique des mathèmatiques, IREM de Paris VII.


GRAS R., (1987), Une situation de construction géométrique avec assistance logicielle, Recherches en clidactique des mathèmatiques, 7 (3), pp. 195-230.

GRAS R., (1987), Aide logicielle aux problèmes de demonstration géométrique dans Tenseignement secondaire, PetitX, 17, pp. 65-83.

GRAS R., (1990-1991), Analyses multidimensionnelles d'erreus dans les démonstrations à un pas, Séminaire de Didactique des Mathèmatiques et de Plnformatique, NP 119, pp. 43-52.

GRAS R., (1992-1993), L'analyse des données: une méthodologie de traitement de questions de didactique, Recherches en didactique des mathèmatiques, 12 (1), pp. 59-72.

GREN1ER D., (1985), Middle school pupils' Conceptions about reflexions according to a task of construction, in Actes de IXº Conference of Psychology'of Mathematics Education, pp. 183-188.

GRENIER D, (1985), Quelques aspects de Ia symétrie orthogonale pour les élèves de 4ème et de 3ème, PetitX, 7.

GRENIER D., (1989), Construction et étude d'un processus d'enseignemeni de la symétrie orthogonale: éléments d'analyse du fonctionnemeni de la theorie de situations, Recherches en didactique des mathèmatiques, 10 (1), pp. 5-60.

GRENIER D., LABORDE C, (1987), Transformations géométriques -le cas de Ia symétrie orthogonale, Actes du Colloque de Sévres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

GRISVARD C, LEONARD F., (1981), Sur deux règles implicites utilisées dans la comparaison de nombres décimaux positifs, Bulletin APMEP, 327, pp. 47-60.

GUILLERAULT M., (1986), Éléments de d dactique en formation initiale des instituteurs. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathèmatiques et de 1'informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 341-350.

GUILLERAULT M., LABORDE C, (1985), Une experience de lecture en géométrie, in Spoelders M. et al. (Eds.) Discourse: Essays in Educational Pragmatics. Acco. pp. 231-240.

GUILLERAULT M.. LABORDE C, (1985), A study of pupils reading geometry, in Lowenthal F. et al. (Eds.) Pragmatics and Education, Londres: Plenum Press.

HITT F, (1978), Comportement de "retour en arrière" après Ia découverte d'une contradiction, These de 3º cycle, Université de Strasbourg.

JOSHUA S., (1985-1986), Lexpérimental dans la physique au niveau secondaire, Séminaire de Didactique des Mathèmatiques et de lTnformatique, Université Aix-Marseille, pp. 123-156.

JULLIEN M, (1989-1990), Le caleul algébrique au College. Etude d'un exemple, PetitX, 24, pp. 73-77.

JULLIEN M., NIN G., (1989), L'E.D.A. au secours de L'O.G.D. cor. ernant Tenseignement de Ia statistique dans les colleges, PetitX, 19, pp. 29-41.

KATAMBERAI., (1986), Sur Ia resolution des problèmes de soustraction au cours élémentaire, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

KESkESSA B., (1989-1990), Une étude de resolution de problèmes de lieux géométrique par des élèves de seconde dans deux environnements, papier-crayon et informatique interactif, Séminaire de Didactique des Mathèmatiques et de l' informatique, Nº 55-101.


KUBLER J., (1984), Une étude sur Ia transmission orale d'informations en mathématiques, PetítX, 6, pp. 55-76.

KUNTZMANN J., (1976). Evolution et étude critique des enseignements de mathématique, Paris: Editions CEDIC.

LABORDE C, (1976), L'utilisation de la forme passive dans les manuels du premier cycle. Bulletin APMEP, 304, pp. 553-564

LABORDE C, (1978), Relations arithmétiques: aspects statistiques, aspects dynamiques, Educational Studies in Mathematics, 9, pp. 41-50

LABORDE C, (1982), Langue naturelle et écriture symbolique: langue naturelle et écriture symbolique. Thèse d'état, Université de Grenoble I.

LABORDE C, (1984), Exposé sur la géométrie, Actes de la IIIº École d'été de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

LABORDE C., (1985), Quelques problèmes d'enseignement de Ia géométrie dans la scolarité obligatoire, For the learning of mathematics, 5 (3), pp. 27-34.

LABORDE C., (1986), Divers aspects de la dimension sociale dans les recherches en didactique des mathématiques. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de Vinformatique, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 67-82.

LABORDE C, (1986), Prise en compte de la dimension sociale dans les recherches en didactique, Actes de la IVº École d'été de didactique des mathématiques, IREM de Paris VII.

LABORDE C, (1987), Uenseignement de la géométrie en tant que ter-rain dcxploitation de Phénomènes didactiques, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 337-364.

LABORDE C., (1991-1992), Lecture de textes mathématiques par des eleves, (14-15).

LABORDE C., BALACHEFF N., MEJIAS B. (1985), Genèse de Ia no-tion d'itération, Enfance, 2-3, pp. 223-239.

LABORDE C, (1988-1989), Lecture de textes Mathématiques par des élèves (14-15 ans), une expérimentation, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de lTnibrmatique, Nº 94, pp. 5-36.

LAUR P, NOIRFALISE R.. (1991-1992), Une introduction à la perspective cavalière de sixième-observation didactique des premières activités, PetítX, 28, pp. 5-17.

LEGRAND M., (1986), Genèse et étude sommaire d'une situation co-didactique: le débat scientifique en situation d'enseignement, Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de Vinformatique, Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 53-66.

LEGRAND M., (1987), Rationalité et demonstration mathématiques, le rapport de la classe à une communauté scientifique, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 365-406.

LEGRAND M., (1991-1992), Groupe des situations fondamentales et métaphore fondamentale - Réflexions autour de la recherche d'une situation fondamentale au sujet du concept de limite: la situation du pétrolier, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de Tlnformatique, Nº 131. pp. 33-98.

LEMOYNE G., CONNE F., BRUN J., (1990-1991), Connaissances arthmétiques et écritures algébriques chez des élèves de 13 à 15 ans, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, Nº 123, pp. 119-138.


LEONARD F., SACKUR C, (1990), Connaissances locales et triple approche, une méthodologie de recherche, Recherches en didactique des mathématiques, 10 (2/3), pp. 205-240.

MARGOLINAS C, (1985-1986), Écriture des nombres et obstacle des infíniment petits chez les élèves de troisième et seconde, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de 1'Informatique, pp. 87-122.

MARGOLINAS C, (1986), Éléments pour une problématique de la vérification, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de Tlnformatique, pp. 19-53.

MARGOLINAS C, (1987), Une étude sur les difficultés d'enseignement des nombres réels, PeíitX, 16, pp. 51-66.

MARGOLINAS C., (1991-1992), Analyse d'une situation et analyse du rôle du maitrc sur un cas particulier, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de I'Informatique, Université de Grenoble I, Nº 138, pp. 185-205.

MARCOLINAS C., (1992), De I 'importance du vrai et du /aux dans Ia classe de mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.

MARCOLINAS C., (1992-1993), Éléments pour 1'analyse du role du maitre: les phases de conclusion, Recherches en didactique des mathématiques, 12 (1), pp. 113-158.

MAUDET C, (1982), Les situations et les processus de l 'apprentissage d'une fonction logique, These de 3º cycle, Université de Bordeux I.

MAURY L., ROGALSKY J., (1970), Produit cartésien et complément: étude génétique, L 'année psychologique, 70 (1), pp. 52-71.

MAURY S., (1984), La quantification des probabilités: une analyse des arguments utilisés par des élèves de classe de seconde, Recherches en didactique des mathématiques, 5 (2), pp. 187-214.

MAURY S., (1985), Influence de Ia question dans une épreuve relative à Ia notion d'indépendance, Educational Studies in Mathematics, 16 (3), pp. 283-301.

MAURY S., (1986), Contribution à l 'étude didactique de quelques notions de probabilité et de combinatoire, à travers Ia resolution de problèmes, These d'état, Université de Montpellier II.

MAURY S., (1987), Procédures dans la resolution de problèmes probabilistes, Actes du Colloque de Sévres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

MAURY S., FAYOL M., (1986), Combinatoire et résolution de problèmes aux Cours Moyen première et deuxième années, Recherches en didactique des mathématiques, 7 (1), pp. 63-104.

MEJIAS-DAYOUB B., (1985), Difficultésconceptuelles dans Vécriture d'algorithmes itératifs chez des élèves de College, These de 3º cycle, Université de Grenoble I.

MERCIER A., (1986), Un point de vue introduetif à la didactique des mathématiques: du côté du savoir, Actes de Ia IVº École d'été de didactique des mathématiques, IREM de Paris VII.

MESQUITA, (1989), Sur une situation d'éveil à la déduction en géométrie, Educational Studies in Mathematics, 20 (1).

METREGISTE R., (1984), La géométrie des transformations: une approche en classe de 4ème et de 3ème, PetitX, 4, pp.35-71.


MOPONDY B., Le sens dans la négociation didactique. Notion de la pmportionnalité au cours moyen, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

NOIRFALISE R, (1983), Altitude du maitre et résultats scolaires en mathématiques, These de 3º cycle, Université de Clermont-Feirand.

NOIRFALISE R, (1986), Altitude du maitre et résultats scolaires en mathématiques, Recherches en didactique des mathématiques, 7 (3), pp. 75-112.

OSTA I., (1986), Construction d'une séquence didactique. Analyse a priori d'un processus d'apprentissage du repérage dans l'espace à 1'aide de 1'ordinateur, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, pp. 63-87.

OSTA I., (1989-1990), Une activité pour 1'introduction de la géométrie analytique tridimensionnelle en 3ème à l'aide de 1'ordinateur, Petit X, 22, pp. 23-48.

OSTA I., Analyse d'une séquence didactique. Représentations graphiques à 1'aide de 1'ordinateur comme médiateur dans 1'apprentissage de notion de géométrie de 1'espace, Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988.

PAEZ-SANCHEZ L., (1980), La representation graphique de I"espace chez l'enfant et chez l'adulte peu scolarisé, These de 3º cycle, Université de Paris VII.

PAQUELIER Y, (1985-1986), Argumentation et situations didactique. Présentation d'une démarche, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, Université Paris VII, pp. 49-94.

PARZYSZ B., (1988), "Knowing" vs "Seeing", Problems of the Plane Representation of Space Geometry Figures, Educational Studies in Mathematics, 19(1).

PARZYSZ B., (1990), La representation du perçu et du su dans les dessins de la géométrie de 1'espace, Bulletin APMEP, 364, pp. 339-350.

PARZYSZ B., (1991), Representation of Space and Students 'Conception' at High School Levei, Educational Studies in Mathematics, 22 (6).

PASCAL D., (1980), Le problème du zero: 1'économie de 1'èchec dans Ia classe et Ia production de I 'erreur, mémoire de DEA, IREM d'Aix-Marseille et de Bordeaux.

PEREZ J., (1984), Construction d 'un code de désignation d 'objets. These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

PERRET-CLERMONT A.N., (1979), La construction de Vintelligence dans l 'interaction sociale, Berne: Peter Lang.

PERRIN M.L, DOUADY R., (1984), Aires de surface plane (première partie), PetitX, 6, pp.5-33.

PERRIN M.L, DOUADY R., (1985), Aires de surface plane (deuxième partie), Petit X, 8, pp. 5-30.

PERRIN M.L, DOUADY R., (1986), Conceptions des élèves à propos d'aires de surface planes. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de l 'informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988, pp. 161-172.


PERRIN M.J., DOUADY R, (1989), Un processus apprentissage du concept (Taire de surface plane (A Learning Process for the Concept of área of Plane Surfaces), Educational Studies in Mathematics, 20 (4).

PERRIN-GLORIAN MJ., L'aire et la mesure, Petit X, 24, pp. 5-36.

PIRE S., (1991-1992), L'observation de 1'évolution de la comprehension des mathématiques, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, Nº 134, pp. 117-139.

PLUVTNAGE F.,(1977), Difficultés des exercices scolaires en mathématiques, These d'état, Université de Strabourg.

PLUVTNAGE F, (1979), Loto-questionnaires (pour 1'evaluation et 1'auto-contrôle en mathématiques), Educational Studies in Mathematics, 10 (4), pp. 443-485.

PLUVTNAGE F., RAUSCHER J.C., (1986), La géométrie construite mise à 1'essai, Petit X, 11, pp.5-36.

PORTUGAIS J., (1991-1992), Didactique et formation des enseignants; le cas des erreurs de calcul, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinformatique, Nº 140, pp. 235-252.

PR1GNOT P, (1990), Une experience en classe de Sup TC: le forum correction, Bulletin APMEP, 371, pp. 643-658.

QUEVEDO DE VILLEGAS B„ (1986), Le role de I 'énumération dans I 'apprentissage du dénombrement, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

RASOLOFONIAINA I., (1984), Conditions d'apprentissage mathématique par Ia lecture, These de 3º cycle, Strasbourg.

RASOLOFONIAINA I., (1984), Conditions d'apprentissage mathématique par Ia lecture, Recherches en didactique des mathématiques, 5 (D, PP- 5-42.

RATSIMBÀ-RAJOHN H., (1981), Etude de deux méthodes de mesures rationnelles: Ia commensuration et le fractionnement de I 'unité en vue

de Vélaboration de situations didactiques, These de 3º cycle, Université de Bordeaux I.

RATSIMBA-RAJOHN H., (1982), Éléments d'étude de deux méthodes de mesures rationnelles, Recherches en didactique des mathématiques, 3 (1), pp. 51-14.

RENÉ DE COTRET S., (1987), Une étude sur les représentations du mouvement comme moyen d'accéder au concept de fonction ou de variable dépendante, Petit X, 17, pp. 5.

RENÉ DE COTRET S., (1987), Une expérimentation sur les Conceptions de Ia notion de fonction à travers les représentations graphiques du mouvement, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de rinforma-tique, pp. 115-138.

RICCO G., (1982), Les premières acquisitions de la notion de fonction linéaire chez 1'enfant de 7 à 11 ans, Educational Studies in Mathematics, 13 (3), pp. 289-327.

RICCO G, VERGNAUD G. et al., (1983)! Representation du volume et arithmétisation (entretiens individuels avec des eleves de 11 à 15 ans), Recherches en didactique des mathématiques, 4(1), pp. 27-70.

RIVOIRE R., (1989), Symétrie centrale: évolution des procédures d'élèves dans un contexte de demin-tour, PetitX, 21, pp. 5-28.


ROBERT A., (1982), Uacquisition de Ia notion de convergence de suites numériques dans Tenseignement supérieur, Recherches en diüactique des mathématiques, 3 (3), pp. 305-342.

ROBERT A., (1982), L 'acquisition de Ia notion de convegence de suites numériques dans 1'enseigneinent supérieur, These d'ctat. Université de Paris VII.

ROBERT A., (1986), Prcmière année d'enseignement en DEUG scientifique: une démarche. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de I 'informatique. Grcnoble: La Pensée Sauvage, 1988. pp. 173-180.

ROBERT A.. (1990), Réflexions sur 1'analyse des textes d'excrciccs des manuels, Bulletin APMEP, 367, pp. 53-60.

ROBERT A.. (1992-1993), Problèmes mélhodologiqucs en didactique de mathématiques, Recherches en didactique des mathématiques, 12 (l),pp. 33-58.

ROBERT A., (1992-1993), Projets longs et ingénicres pour Tenseignement universitaire: questions de problématique et de méthodo-logie. Un exemple: un enseignement annuel de licence en formation continue, Recherches en didactique des mathématiques, 12 (2/3), pp. 181-220.

ROBERT A., TENAUD 1.. (1987). Une experience d'enseignement de Ia géométrie en terminate C, Recherches en didactique des mathématiques, 9(1), pp. 31-70.

ROBERT A., ROBINET J.. (1989-1990), Didactique et représentations métacognitives en mathématiques, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de TInformatique. Nº 114. pp. 135-152.


ROBERT A., TENAUD I.. (1990), Travail en petits groupes dans Tenseignement post-obligatoire, Bulletin APMEP, 370, pp. 479-486.

ROBINET J., (1983). Une experience d'ingénierie didactique sur Ia notion de limite de fonction, Recherches en didactique des mathématiques, 4 (3). pp. 223-292.

ROGALSKI J.. (1979). Quantités physiques et Structures numériques, Bulletin APMEP, 320, pp. 563-586.

ROGALSKI J.. (1982). Lacquisition de notions relatives à Ia dimensionalité des mesures spatiales (longueur. surface), Recherches en didactique des mathématiques, 3 (3), pp. 343-396.

ROGALSKI J. (1985). Alphabétisation informatique. Bulletin APMEP, 347. pp. 61-74.

ROGALSKI J., (1986), Les représentations mentales du dispositif informatique, Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de I 'informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage. 1988, pp. 235-246.

ROGALSKI J., (1987), Didactique de Tinformatique et acquisition de la programmation, Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), pp. 407-426.

ROGALSKI J., SAMURCAY R. et al., (1983), Analyse du pre-test/ post-test sur le volume, Recherches en didactique des mathématiques, 4(1), pp. 121-132.

ROUCHIER A., (1980), Situations et processus didactiques dans Tétude des nombres rationnels positifs, Recherche en didactique des mathématiques, 1 (2), pp. 225-276.

ROUCHIER A., (1981), Problèmes, procédures, programmes étudiés et réalisés par des enfants de CM2 utilisant un mini-ordinateur. Revue française de pédagogie, 56, pp. 18-26.

ROUCHIER A.. (1984). Informatique et didactique de l'informatique, Actes Grenoble: IMAG.

ROUCHIER A.. (1986), Representation et mise en scènes d'objets informatique pour Tenseignement. A des du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de I 'informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988. pp. 247-256.

ROUCHIER A.. SAMURCAY R., (1987), Didactique de 1'informatique. Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grenoble: La Pensée Sauvage. 1988.

ROUCHIER A.. STEINBRINGH., (1987), The practice of teaching and research in didacties. Recherches en didactique des mathématiques, 9 (2). pp. 189-220.

ROUSSET-BERT. (1990-1991), Stratégies de prise en compte de 1'errcur par des enseignants de maths en liaison avec certames de leurs représentations. Petit X, 25, pp. 25-58.

SAADA E., BRUN I. (1984), Uélaboration des formulations dans un jeu en arithmétique, Recherches en didactique des mathématiques, 5 (2), pp. 141-186.

SAADA-ROBERT M., (1986), Le nombre: significalions et pratiques, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (1), pp. 105-148.

SAINFORT A., (1987), Mémoire sur une inconnue, Petit X, 16, pp. 5-34.

SAMURCAY R., (1985), Signification et fonctionnement du concept de variable informatique chez des élèves débutants, Educational Studies in Mathematics, 16 (2). pp. 143-161.

SAMURCAY R., (1986), Modeles cognitifs dans l'acquisition des concepts informatiques, Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de l 'informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage. 1988. pp. 215-224.

SAMURCAY R„ ROUCHIER A.. (1990). Apprentissage de récriture et de rinterprétation des procédures récursives. Recherches en didactique des mathématiques, 10 (2/3). pp. 287-326.

SCHUBAUER-LEONI M.L.. (1984). Le Contrat didactique: approche psycho-sociale de quelques données empiriques. Actes de Ia UI3École d'éte de didactique des mathématiques, Grenoble: IMAG.

SCHUBAUER-LEONI M.L.. PERRET-CLERMONT A.N., (1980). Interactions Sociales et représentations symboliqucs dans le cadre de problèmes additifs, Recherches en didactique des mathématiques, 1 (3), pp. 297-343.

SIERPINSKA A.. (1985), Obstacles épistémologiques relatifs à Ia no-tion de limite. Recherches en didactique des mathématiques, 6 (1), pp. 5-68.

SIERPINSKA A., (1989), Why are they mentally handicappcd? a translator's note, Recherches en didactique des mathématiques, 10 (1). pp. 111-118.

SIERPINSKA A., Humanities Stuedents and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18(2), 1987.


SIWEK H., (1989), Rapport d'un fragment de recherche sur le développement de simples activités mathématiques chez des enfants légèrement handicapés de 1'école élémentaire, Recherches en diüactique des mathématiques, 10 (1), pp. 61 -110.

SOKONA S.B., (1989). Aspects analytiqucs et aspects analogiques de Ia proportionnalité dans une situation de formulation. PetitX, 19, pp. 5-27.

SUEUR M.. LAMARCHE J.P.. MARTHE R. (1979), Locutions Inductrices et distnxaiccs: *de plus que', 'de moins que". Educational Studies in Mathematics, 10 (4), pp. 421-434.

TEULE-SENSACQ R, VINRICH C, (1982), Resolution de problèmes de division au cyclc élémentaire dans deux typcs de situations didactiques, Educational Studies in Mathematics, 13 (2), pp. 177-203.

TONNELLE J., (1981), Le monde cios de Ia factorisation dans les colleges, mémoire de DEA. IREM d'Ai.\-Marscillc et IREM de Bor-deau.v

TONNELLE J.. (1989), Quel avenir pour les classes tcchnologiques? pour 1'ouverture d'un débat, PetitX, 20, pp. 51-56.

VERGNAUD G., (1972), Calatl relationnel et representation calculable, Bulletin de psychologie, pp. 378-387.

VERGNAUD G., (1979). The acquisition ofarithmctical concepts, Educational Studies in Mathematics, 10 (2), pp. 263-274.

VERGNAUD G., (1981), Jean Piaget: quels enseignements pour la didactique, Revue française de pédagogie, 57. pp. 7-14.

VERGNAUD G., (1981), Z, 'enfant, la mathématique el la réalité, Berne: Editions Peter Lang.

VERGNAUD G., (1981), Quelques orientations théoriques et mcthodoio-giques des recherches françaises en didactique des mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques, 2 (2). pp. 215-232.

VERGNAUD G.. (1984), Interaction sujet-situation. Actes de Ia IIIº École d'étè de didactique des mathématiques, Grenoblc: IMAG.

VERGNAUD G., (1986). Long terme et court terme dans rapprentissagc de 1'algèbrc. Actes du premier Colloque franco-allemand de Didactique des mathématiques et de I´informaiique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988. pp. 189-200.

VERGNAUD G.. (1987), Réflexions sur les finalités de l'enseignement des mathématiques. Cazette des mathématiciens, 32. pp. 54-61.

VERGNAUD G., (1989). Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques: un exemple: les Structures additivcs. PetitX, 22,p.51-69.

VERGNAUD G., (1990), La théorie des champs conceptuels, Recherches en didactique des mathématiques, 10 (2/3), pp. 133-170.

VERGNAUD G., COHEN R.. (1969). Sur Lactivité combinatoire des enfants de 8 ans. Psychologie française, 144, pp. 321-332.

VERGNAUD G.. DURAND C.. (197). Structures additivcs et complexité psychogénétiquc, Revue française de pédagogie, 36, pp. 28-43.

VERGNAUD G. et al., (1987), Introduction de 1'algèbre auprès des débutants faibles: problèmes épistémologiques et didactiques. Actes du Colloque de Sèvres, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Grcnoble: La Pensée Sauvage, 1988.


VERGNAUD G., RICCÓ G. et al., (1978), Quelles connaissances les enfants de 69 outils des Structures multiplicatives élémentaires? Un sondage, Bulletin APMEP, 313, pp. 331-357.

VERGNAUD G.. ROUCHIER A. et al., (1983), Une experience didactique sur le concept de volume en classe de cinquième (12 à 13 ans), Recherches en didactique des mathèmatiques, 4 (1). pp. 71-120.

WEBER-KUBLER J., (1982), Traitementd'infonnationsmathèmatiques dans une transmission orale chez des élèves de douze à quatorze ans, These de 3 a cycle, Université de Strasbourg.

Documents utilisés: Rcvues: RDM 1-IX/l; Petit X 1-13; Bulletin APMEP 342-344, 346-362 Théses: Laborde. Douady, Balacheff, Audibert Actes: III et IVº École d'été; Colloque de Sévres 1987: Colloque franco-

allemand.


EM ABERTO, para frente

1994 — Até 31/dez., publicaremos mais dois números, atualizando, assim, sua periodicidade em 100% ( arte-final em laser-

filme):

nº 63: Educação Escolar Indígena, com 215 páginas.

nº 64: A Educação no Mundo Pós-Guerra Fria, com 135 paginas.

1995 — Já foi definido um número sobre Educação, Trabalho e Desenvolvimento, a ser organizado por Elenice M. Leite (SENAI/SP).

BIBLIOGRAFIA BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO, mais um passo 1994 — Até 31/dez. publicaremos o ano de 1989, com 550 páginas (arte-final em laser-filme).

1995 — Até 15/mar., publicaremos o ano de 1990, com cerca de 600 páginas.

REVISTA BRASILEIRA DE ESTUDOS PEDAGÓGICOS, continua inovando

1994 — Até 31/dez. publicaremos os nº 176 e 177, com nova imagem e qualidade (arte-final em laser-filme):

— novo desenho de capa, mais leve e agradável, focalizando a revista (em vez da institutição);

— seção Questão em Debate, continuando sobre o tema de Paradigmas em Educação;

— seção Segunda Edição;

— seção Traduções;

— e mais as seções tradicionais: Estudos, Notas de Pesquisa, Resenhas Críticas e Comunicações e Informações.

1995 — Até 15/mar. publicaremos o n° 178, ainda continuando sobre o tema Paradigmas em Educação na seção Questão

em Debate.