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PROJETO DE EDIFCIOS LAJES MACIAS

Libnio M. Pinheiro

Colaboradores:

Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos.

Agosto de 2013

4. LAJES MACIAS

Lajes so elementos planos, em geral horizontais, com duas dimenses

muito maiores que a terceira, sendo esta denominada espessura. A principal funo

das lajes receber os carregamentos atuantes no andar, provenientes do uso da

construo (pessoas, mveis e equipamentos), e transferi-los para os apoios.

Apresenta-se, neste captulo, o procedimento para o projeto de lajes retangulares

macias de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Esses apoios so

admitidos indeslocveis. Nos edifcios usuais, as lajes macias tm grande

contribuio no consumo de concreto: aproximadamente 50% do total.

4.1 VO LIVRE, VO TERICO E CLASSIFICAO DAS LAJES

No projeto de lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vos livres

(0), os vos tericos () e a relao entre os vos tericos.

Vo livre a distncia livre entre as faces dos apoios. No caso de balanos,

a distncia da extremidade livre at a face do apoio (Figura 4.1).

O vo terico () denominado vo equivalente pelaABNT NBR 6118:2007,

que o define como a distncia entre os centros dos apoios, no sendo necessrio

adotar valores maiores do que:

em laje isolada, o vo livre acrescido da espessura da laje no meio do

vo;

em vo extremo de laje contnua, o vo livre acrescido da metade da

dimenso do apoio interno e da metade da espessura da laje no meio

do vo.

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USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes macias

4.2

Nas lajes em balano, o vo terico o comprimento da extremidade at o

centro do apoio, no sendo necessrio considerar valores superiores ao vo livre

acrescido da metade da espessura da laje na face do apoio.

Em geral, para facilidade do clculo, usual considerar os vos tericos at

os eixos dos apoios (Figura 4.1).

Figura 4.1 Vo livre e vo terico

Conhecidos os vos tericos considera-se x o menor vo, y o maior e

= y/x(Figura 4.2). De acordo com o valor de , usual a seguinte classificao:

2 laje armada em duas direes;

2 laje armada em uma direo.

Figura 4.2 Vos tericos x(menor vo) e y(maior vo)

x

y

l

l

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4.3

Nas lajes armadas em duas direes, as duas armaduras so calculadas

para resistir os momentos fletores nessas direes.

As denominadaslajes armadas em uma direo, na realidade, tambm tm

armaduras nas duas direes. A armadura principal, na direo do menor vo,

calculada para resistir o momento fletor nessa direo, obtido ignorando-se a

existncia da outra direo. Portanto, a laje calculada como se fosse um conjunto

de vigas-faixa na direo do menor vo.

Na direo do maior vo, coloca-se armadura de distribuio, com seo

transversal mnima dada pelaABNT NBR 6118:2007. Como a armadura principal

calculada para resistir totalidade dos esforos, a armadura de distribuio tem o

objetivo de solidarizar as faixas de laje da direo principal, prevendo-se, por

exemplo, uma eventual concentrao de esforos.

4.2 VINCULAO

A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos de

vnculo de suas bordas.

Existem, basicamente, trs tipos de borda: livre, simplesmente apoiada e

engastada(Tabela 4.1).

Tabela 4.1 Representao dos tipos de apoio

Borda livre Borda simplesmente apoiada Borda engastada

A borda livrecaracteriza-se pela ausncia de apoio, apresentando, portanto,

deslocamentos verticais. Nos outros dois tipos de vinculao, no h deslocamentos

verticais. Nas bordas engastadas, tambm as rotaes so impedidas. Este o

caso, por exemplo, de lajes que apresentam continuidade, sendo o engastamento

promovido pela laje adjacente.

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4.4

Uma diferena significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes

pode limitar a considerao de borda engastada somente para a laje com menor

espessura, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. claro

que cuidados devem ser tomados na considerao dessas vinculaes, devendo-se

ainda analisar a diferena entre os momentos atuantes nas bordas das lajes, quando

consideradas engastadas.

Na Tabela 4.2so apresentados alguns casos de vinculao, com bordas

simplesmente apoiadas e engastadas. Nota-se que o comprimento total das bordas

engastadas cresce do caso 1 at o 6, exceto do caso 3 para o 4A. Outros tipos de

vnculos, incluindo bordas livres, so indicados nas Tabelas de Lajes.

Tabela 4.2 - Casos de vinculao das lajes

As tabelas para dimensionamento das lajes, em geral, consideram as bordas

livres, apoiadas ou engastadas, com o mesmo tipo de vnculo ao longo de toda a

extenso dessas bordas. Na prtica, outras situaes podem acontecer,

devendo-se utilizar um critrio, especfico para cada caso, para o clculo dos

momentos fletores e das reaes de apoio.

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4.5

Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra

apoiada, como mostrado na Figura 4.3. Um critrio aproximado, possvel para este

caso, indicado na Tabela 4.3.

Figura 4.3 - Caso especfico de vinculao

Tabela 4.3 Critrio para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada

y1y

3

Considera-se a borda totalmente apoiada

y

y1

y

3

2

3

Calculam-se os esforos para as duas situaes

borda totalmente apoiada e borda totalmente engastada

e adotam-se os maiores valores no dimensionamento

y1y

2

3 Considera-se a borda totalmente engastada

Se a laje do exemplo anterior fosse armada em uma direo, poderiam ser

consideradas duas partes, uma relativa borda engastada e a outra, borda

simplesmente apoiada. Portanto, seriam admitidas diferentes condies de

vinculao para cada uma das partes, resultando armaduras tambm diferentes,para cada uma delas.

No caso de lajes adjacentes, como indicado anteriormente, vrios aspectos

devem ser analisados para se adotar o tipo de apoio, nos vnculos entre essas lajes.

Uma diferena significativa entre os momentos negativos de duas lajes

adjacentes poderia levar considerao de borda engastada para uma das lajes e

simplesmente apoiada para a outra, em vez de engastada para ambas. Taisconsideraes so indicadas na Figura 4.4.

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4.6

Figura 4.4 Critrio para considerar bordas engastadas

importante salientar que critrios como este devem ser cuidadosamente

analisados, tendo em conta a necessidade de garantir a segurana estrutural.

4.3 ESPESSURAS, COBRIMENTOS MNIMOS E PR-DIMENSIONAMENTO

As espessuras das lajes e o cobrimento das armaduras devem estar de

acordo com as especificaes daABNT NBR 6118:2007.

4.3.1 Espessuras mnimas

De acordo com a ABNT NBR 6118:2007, as espessuras das lajes devem

respeitar os seguintes limites mnimos:

5 cm para lajes de cobertura no em balano;

7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balano;

10 cm para lajes que suportem veculos de peso total menor ou igual a 30 kN;

12 cm para lajes que suportem veculos de peso total maior que 30 kN; 15 cm para lajes com protenso.

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4.7

4.3.2 Cobrimentos mnimos

So especificados tambm os valores mnimos de cobrimento para

armaduras das lajes, de acordo com a agressividade do meio em que se encontram.

Esses valores so dados na Tabela 4.4, extrada daABNT NBR 6118:2007.

O valor de c que aparece nesta tabela um acrscimo no valor do

cobrimento mnimo das armaduras, sendo considerado como uma tolerncia de

execuo. O cobrimento nominal dado pelo cobrimento mnimo acrescido do valor

da tolerncia de execuo c ,que deve ser maior ou igual a 10 mm.

Tabela 4.4 Cobrimento nominal para c 10mm

Tipo e Componente

de Estrutura

Classe de agressividade ambiental (Tabela 1 da Norma)

I II III IV**

Cobrimento nominal (mm)

Laje* de Concreto Armado 20 25 35 45

* Para a face superior de lajes e vigas que sero revestidas com argamassa de contrapiso, com

revestimentos finais secos tipo carpete de madeira, com argamassa de revestimento e acabamento

tais como pisos de elevado desempenho, pisos cermicos, pisos asflticos, e outros tantos, as

exigncias desta tabela podem ser substitudas pelo item 7.4.7.5 (ABNT NBR 6118:2007) respeitando

um cobrimento nominal 15 mm.

** Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatrios, estaes de tratamento de gua e esgoto,

condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes qumica e intensamente

agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm.

4.3.3 Pr-dimensionamento da altura ti l e da espessura

A ABNT NBR 6118:2007no especifica critrios de pr-dimensionamento.

Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas, a altura til d (em cm)

pode ser estimada por meio da expresso:

d = (2,5 0,1 n) */100

n o nmero de bordas engastadas;

* o menor valor entre xe 0,7y.

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4.8

Para lajes em balano, pode ser usado critrio daABNT NBR 6118 (1978),

que foi suprimido das verses subsequentes:

32

xd

l

Os coeficientes 2 e 3 dependem da vinculao e do tipo de ao,

respectivamente. Podem ser encontrados nas Tabelas de Lajes.

Esta segunda expresso tambm pode ser utilizada para lajes que no

estejam em balano. Porm, para lajes usuais de edifcios, costumam resultar

espessuras exageradas. A primeira expresso mais adequada nesses casos.

4.4 ESFOROS

Nesta etapa consideram-se: aes, reaes de apoio e momentos fletores.

4.4.1 Aes

As aes devem estar de acordo com a ABNT NBR 6118 e a ABNT

NBR 6120.

Nas lajes geralmente atuam, alm do seu peso prprio, pesos de

revestimentos de piso e de forro, peso de paredes divisrias e cargas de uso.

Na avaliao do peso prprio do concreto armado, de acordo com o item

8.2.2 daABNT NBR 6118:2007, admite-se o peso especfico de 25 kN/m3.

As cargas relativas aos revestimentos de piso e da face inferior da laje

dependem dos materiais utilizados. Esses valores se encontram na Tabela 4.8, no

final deste captulo.

As cargas de paredes apoiadas diretamente na laje podem, em geral, ser

admitidas uniformemente distribudas na laje.

Quando forem previstas paredes divisrias, cuja posio no esteja definida

no projeto, pode ser admitida, alm dos demais carregamentos, uma carga

uniformemente distribuda por metro quadrado de piso no menor que um tero do

peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mnimo de 1 kN/m2.

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4.9

Os valores das cargas de uso dependem da utilizao do ambiente

arquitetnico que ocupa a regio da laje em estudo e, portanto, da finalidade da

edificao (residencial, comercial, escritrios etc.).

Esses valores esto especificados naABNT NBR 6120:1980, sendo os mais

comuns indicados na Tabela 4.9, no final deste captulo.

Podem, ainda, atuar cargas concentradas especficas. Esses casos,

entretanto, no sero contemplados neste trabalho.

4.4.2 Reaes de apoio

As aes atuantes nas lajes so transferidas para as vigas de apoio. Embora

essa transferncia acontea com as lajes em comportamento elstico, o

procedimento de clculo proposto pela ABNT NBR 6118:2007 baseia-se no

comportamento em regime plstico, a partir da posio aproximada das linhas de

plastificao, tambm denominadas charneiras plsticas. Este procedimento

conhecido como processo das reas.

a) Processo das reas

Conforme o item 14.7.6.1 da ABNT NBR 6118:2007, permite-se calcular as

reaes de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribudo

considerando-se, para cada apoio, carga correspondente aos tringulos ou trapzios

obtidos, traando-se, a partir dos vrtices, na planta da laje, retas inclinadas de:

45entre dois apoios do mesmo tipo; 60a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado;

90a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda

vizinha for livre.

Este processo encontra-se ilustrado nos exemplos da Figura 4.5. Com base

nessa figura, as reaes de apoio por unidade de largura sero dadas por:

vp A

xx

y

v p Ax

x

y'

'

v p Ayy

x

v p Ay

y

x'

'

(1)

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4.10

p carga total uniformemente distribuda;

x , y menor e maior vo terico da laje, respectivamente;

vx , v x' reaes de apoio na direo do vo x ;

vy , v y' reaes de apoio na direo do vo y ;

Ax, Ax etc. reas correspondentes aos apoios considerados;

, sinal referente s bordas engastadas.

Figura 4.5 - Exemplos de aplicao do processo das reas

Convm destacar que as reaes de apoio vxou vxdistribuem-se em uma

borda de comprimento ye vice-versa.

As reaes assim obtidas so consideradas uniformemente distribudas nas

vigas de apoio, o que representa uma simplificao de clculo. Na verdade, as

reaes tm uma distribuio no uniforme, em geral com valores mximos na partecentral das bordas, diminuindo nas extremidades. Porm, a deslocabilidade das

vigas de apoio pode modificar a distribuio dessas reaes.

b) Clculo por meio de tabelas

O clculo das reaes pode ser feito mediante o uso das Tabelas de Lajes.

Tais tabelas, baseadas no Processo das reas, fornecem coeficientes

adimensionais ( x , 'x

, y

, 'y

), a partir das condies de apoio e da relao

= y/xcom os quais se calculam as reaes, dadas por:

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4.11

10

p'v'

10

pv

10

p'v'

10

pv

xyy

xyy

xxx

xxx

ll

ll

O fator de multiplicao depende de xe o mesmo para todos os casos.

Para as lajes armadas em uma direo, as reaes de apoio so calculadas

a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes condio = y/x> 2.

Nas Tabelas de Lajes, foram feitas correes dos valores obtidos pelo

Processo das reas, prevendo-se a possibilidade dos momentos nos apoios

atuarem com intensidades menores que as previstas.

Quando isto ocorre, o alvio na borda apoiada, decorrente do momento na

borda oposta, no acontece com o valor integral.

Para no correr o risco de considerar reaes de apoio menores do que

aquelas que efetivamente possam acontecer, os alvios foram consideradas pela

metade.

4.4.3 Momentos fletores

As lajes so solicitadas essencialmente por momentos fletores e foras

cortantes. O clculo das lajes pode ser feito por dois mtodos: o elstico, que ser

aqui utilizado, e o plstico, que poder ser apresentado em fase posterior.

a) Clculo elstico

O clculo dos esforos solicitantes pode ser feito pela teoria clssica de

placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogneo, istropo,

elstico e linear.

A partir das equaes de equilbrio, das leis constitutivas do material (Lei de

Hooke) e das relaes entre deslocamentos e deformaes, fazendo-se as

operaes matemticas necessrias, obtm-se a equao fundamental que rege o

problema de placas equao de Lagrange:

(4)

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4.12

D

p

y

w

yx

w2

x

w4

4

22

4

4

4

(5)

)1(12

EhD 2

3

w funo que representa os deslocamentos verticais;

p carga total uniformemente distribuda;

D rigidez da placa flexo;

E mdulo de elasticidade;

h espessura da placa;

coeficiente de Poisson.

Uma apresentao detalhada da teoria de placas pode ser encontrada em

TIMOSHENKO (1940).

Na maioria dos casos, no possvel determinar, de forma exata, uma

soluo para a equao diferencial (5) que, ainda, satisfaa s condies de

contorno.

Em geral, recorre-se a processos numricos para a resoluo dessa

equao, utilizando, por exemplo: diferenas finitas, elementos finitos, elementos de

contorno ou analogia de grelha.

b) Clculo por meio de tabelas

Esses processos numricos tambm podem ser utilizados na confeco de

tabelas, como as de Czerny e as de Bares, obtidas por diferenas finitas.

As tabelas 2.5 e 2.6 (Tabelas de Lajes), empregadas neste trabalho, foram

baseadas nas de BARES (1972), com coeficiente de Poisson igual a 0,15.

O emprego dessas tabelas semelhante ao apresentado para as reaes

de apoio. Os coeficientes tabelados ( x , 'x , y , 'y ) so adimensionais, sendo os

momentos fletores por unidade de largura dados pelas expresses:

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4.13

mp

x xx

2

100 m

px x

x' '

2

100

m

p

y yx

2

100 mp

y yx

' '

2

100

mx , m x' momentos fletores na direo do vo x ;

my , m y' momentos fletores na direo do vo y .

Para as lajes armadas em uma direo, os momentos fletores so

calculados a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes condio

= y/x.

4.4.4 Compatibi lizao de momentos fletores

Os momentos fletores nos vos e nos apoios tambm so conhecidos como

momentos positivos e negativos, respectivamente.

No clculo desses momentos fletores, consideram-se os apoios internos de

lajes contnuas como perfeitamente engastados. Na realidade, isto pode no ocorrer.

Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condies de

apoio, nos vos tericos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois

valores diferentes para o momento negativo. Esta situao est ilustrada na

Figura 4.6. Da a necessidade de promover a compatibilizao desses momentos.

Na compatibilizao dos momentos negativos, o critrio usual consiste em

adotar o maior valor entre a mdia dos dois momentos e 80% do maior. Esse critrio

apresenta razovel aproximao quando os dois momentos so da mesma ordem

de grandeza.

Em decorrncia da compatibilizao dos momentos negativos, os momentos

positivos na mesma direo devem ser analisados. Se essa correo tende a

diminuir o valor do momento positivo, como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura 4.6,

ignora-se a reduo (a favor da segurana).

(6)

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4.14

Caso contrrio, se houver acrscimo no valor do momento positivo, a

correo dever ser feita, somando-se ao valor deste momento fletor a mdia das

variaes ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios,

como no caso da laje L2 da Figura 4.6.

Pode acontecer de a compatibilizao acarretar diminuio do momento

positivo, de um lado, e acrscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuio e

considera-se somente o acrscimo, como no caso da laje L3 da Figura 4.6.

Figura 4.6 Compatibilizao de momentos fletores

Se um dos momentos negativos for muito menor do que o outro, por

exemplo, m12 < 0,5 m21, um critrio melhor consiste em considerar L1 engastada e

armar o apoio para o momento m12 , admitindo, no clculo da L2, que ela esteja

simplesmente apoiada nessa borda.

m12m21

L1

m1

L2

m23

L3 L4

m2

m3 m4

m32 m34m43

L1

m1

L2 L3 L4

m4

0,8 m21

m*12 (m21 +m12)2

0,8 m23m*23 (m23 +m32)

2

0,8 m34m*34 (m34 +m43)2

m*2= (m21 -m*12) + (m23 -m*23)2 2

m*3= m3+ (m34 -m*34)2

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4.15

4.5 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

Conhecidos os momentos fletores caractersticos compatibilizados ( mk),

passa-se determinao das armaduras. Esse dimensionamento feito da mesma

forma que para vigas, admitindo-se a largura b = 1 m = 100 cm. Obtm-se, dessa

forma, uma armadura por metro linear.

Podem ser utilizadas as Tabelas Gerais, sendo a Tabela 1.1 para o clculo

das reas necessrias das armaduras e a Tabela 1.4a para a escolha do dimetro e

do espaamento das barras.

Inicialmente, determina-se o momento fletor de clculo, em kN.cm/m:

m md f k , com f 1 4,

Em seguida, calcula-se o valor do coeficiente kc :

d

2w

cm

dbk , com bw 100 cm

Conhecidos o concreto, o ao e o valor de kc , obtm-se, na Tabela 1.1, o

valor de ks .

Calcula-se, ento, a rea de armadura necessria:

d

ss

m

dak

d

mka dss

Na tabela 1.4a, com o valor de as, escolhe-se o dimetro das barras e o

seu espaamento.

As armaduras devem respeitar os valores mnimos recomendados pela

ABNT NBR 6118:2007, indicados nas Tabelas 4.5 e4.6, nas quais = as/(bwh).

Se for necessrio calcular min para fatores diferentes, pode-se usar a

equao:

yd

cdminmin

f

f min: taxa mecnica mnima de armadura longitudinal

Admitindo-se b = 100 cm e d em centmetros, obtm-se asem cm2/m.

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4.16

Tabela 4.5 Valores mnimos para as armaduras

Armaduras negativas mins

Armaduras positivas de lajes armadas em

duas direesmins 67,0

Armadura positiva (principal) de lajesarmadas em uma direo mins

Armadura positiva (secundria) de lajesarmadas em uma direo

Tabela 4.6 Valores de min

ckf 20 25 30 35 40 45 50

min min (%)

0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupem o uso de ao

CA-50, c s1,4 e 1,15.

Caso esses fatores sejam diferentes, min deve ser recalculado com baseno valor de min dado.

Devem ser observadas outras prescries da ABNT NBR 6118:2007,

algumas das quais so mencionadas a seguir:

Qualquer barra da armadura de flexo deve ter dimetro no mximo

igual a h/8.

As barras da armadura principal de flexo devem apresentar

espaamento no mximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor

desses dois valores na regio dos maiores momentos fletores.

A armadura secundria de flexo deve corresponder porcentagem de

armadura igual ou superior a 20% da porcentagem da armadura

principal, mantendo-se, ainda, um espaamento entre barras de no

mximo 33 cm.

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4.17

4.6 VERIFICAO DAS FLECHAS

Na verificao da flecha de uma laje, considera-se: a existncia de fissuras;

o momento de inrcia; as flechas imediata, diferida e total; e os valores limites.

4.6.1 Existncia de fissuras

Durante a vida til de uma estrutura, e mesmo durante sua construo, se

atuar um carregamento que provoque um determinado estgio de fissurao, a

rigidez correspondente a esse estgio ocorrer para sempre.

Com a diminuio da intensidade do carregamento, as fissuras podem atfechar, mas nunca deixaro de existir.

a) Carregamento a considerar

Neste texto, a condio de fissurao ser verificada para combinao rara.

Em lajes de edifcios em que a nica ao varivel a carga de uso, o valor

da combinao rara coincide com o valor total da carga caracterstica.

Portanto, o momento fletor mana seo crtica resulta:

rrara,da mmm

Se fosse conhecido um carregamento de construo cujo momento fletor

superasse mk, deveria ser adotado o valor de ma relativo a esse carregamento de

construo.

b) Momento de fissurao

A pea ser admitida fissurada se o momento maultrapassar o momento de

fissurao, dado por (item 17.3 daABNTNBR 6118:2007):

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4.18

atracionadmaisfibragravidadedecentrodo(distncia2

y

concreto)debrutaseodainrciade(momento12

bhI

20076118,NBRda8.2.5item3,0f

retangularseopara1,5

y

Ifm

t

3

c

32

ct

t

cctr

h

ff ckctm

No clculo da resistncia do concreto trao direta fct, a ABNT NBR

6118:2007 no especifica o quantil a ser adotado. A opo pela resistncia mdia

(quantil de 50%) foi feita pelos autores.

4.6.2 Momento de Inrcia

Com os valores de mae mr, obtidos conforme o item anterior, duas situaes

podem ocorrer: mamre mamr.

a) mamr

Se mano ultrapassar mr, admite-se que no h fissuras. Nesta situao,

pode ser usado o momento de inrcia da seo bruta de concreto Ic, considerado no

item anterior.

b) ma mr

No caso em que ma ultrapassar mr, considera-se que h fissuras na laje,

embora partes da laje permaneam sem fissuras, nas regies em que o momento de

fissurao no for ultrapassado. Neste caso poder ser considerado o momento de

inrcia equivalente, dado por (item 17.3.1.1.1 da ABNT NBR 6118: 2007,

adaptado):

2

33

1 Im

mI

m

mI

a

rc

a

req

I2 o momento de inrcia da seo fissurada - estdio II.

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4.19

Para se determinar I2, necessrio conhecer a posio da linha neutra, no

estdio II, para a seo retangular com largura b = 100 cm, altura total h, altura til d

e armadura as(em cm2/m).

Considerando que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seo

homogeneizada, x2 obtido por meio da equao:

c

se

se

2

E

E

0xda2

bx

Conhecido x2obtm-se I2, dado por:

2se

3

2 xda3

bxI

4.6.3 Flecha Imediata

A flecha imediata ai pode ser obtida por meio da tabela 2.5a (Tabelas de

Lajes), com a expresso adaptada:

concreto).dosecantedeelasticidademdulooMPa)(emf5600.0,85EE

vo;menoro

is);residenciaedifciospara0,3(

permanentequasecombinaoparacargadavaloroqgp

cm;100b

;deevinculaodetipodofunotabelado,aladimensionecoeficiento

IE

p

12

b

100

ckcsc

x

2

2

x

y

cc

4x

l

l

l

la

i

Se mamr, deve-se usar Ieqno lugar de Ic.

4.6.4 Flecha diferida

Segundo o item 17.3.1.1.2 da ABNT NBR 6118:2007, a flecha adicional

diferida, decorrente das cargas de longa durao, em funo da fluncia, pode sercalculada de maneira aproximada pela multiplicao da flecha imediata pelo fator:

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20/28


4.20

f 1 50 '

db

A'

's ;

As a armadura de compresso, no caso de armadura dupla;

)t()t( 0 ;

um coeficiente em funo do tempo, calculado pela expresso seguinte

ou obtido diretamente na Tabela 4.7;

32,0t t)996,0(68,0)t( para t 70 meses;

2)t( para t > 70 meses;

t o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

t0 a idade, em meses, relativa aplicao da carga de longa durao.

Portanto, a flecha diferida af dada por:

iff .aa

Tabela 4.7 Valores de e funo do tempo (Tabela 21 da ABNT NBR 6118:2007)

Tempo (t)

meses0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 70

Coeficiente

(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

4.6.5 Flecha total

A flecha total atpode ser obtida por uma das expresses:

)1(aa

aaa

fit

fit

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21/28


4.21

4.6.6 Flechas Limites

As flechas obtidas conforme os itens anteriores no devem ultrapassar os

deslocamentos limites estabelecidos na Tabela 18 da ABNT NBR 6118:2007, na

qual h vrias situaes a analisar.

Uma delas, que pode ser a situao crtica, corresponde ao limite para o

deslocamento total, relativo aceitabilidade visual dos usurios, dado por:

250xl

=a lim

4.7 VERIFICAO DO CISALHAMENTO

As foras cortantes, em geral, so satisfatoriamente resistidas pelo concreto,

dispensando o emprego de armadura transversal.

A verificao da necessidade de armadura transversal nas lajes segundo a

ABNTNBR 6118:2007 dada em seu item 19.4.1.

Um exemplo dessa verificao encontra-se no Captulo 5 Projeto deLajes Macias.

Em caso de necessidade de armadura transversal, ou seja, quando no se

verifica a condio estabelecida no incio deste item, aplicam-se, segundo a Norma,

os critrios estabelecidos no seu item 17.4.2, relativo a elementos lineares, com

resistncia dos estribos obtida conforme o item 19.4.2 daABNT NBR 6118:2007.

4.8 BARRAS SOBRE OS APOIOS

O comprimento das barras negativas deve ser determinado com base no

diagrama de momentos fletores na regio dos apoios.

Em edifcios usuais, em apoios de lajes retangulares que no apresentem

bordas livres, os comprimentos das barras podem ser determinados de forma

aproximada, com base no diagrama trapezoidal indicado na Figura 4.7, adotando-separa um dos valores:

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22/28


4.22

o maior entre os menores vos das lajes adjacentes, quando ambas

foram consideradas engastadas nesse apoio;

o menor vo da laje admitida engastada, quando a outra foi suposta

simplesmente apoiada nesse vnculo.

Com base nesse procedimento aproximado, so possveis trs alternativas

para os comprimentos das barras, indicadas nas Figuras 4.7a, 4.7b e 4.7c,

respectivamente.

a) Um s tipo de barra (Figura 4.7a)

Adota-se um comprimento a1 para cada lado do apoio, com a1 igual ao

menor valor entre:

valor)maiorgeral,(em1025,0

aa

b1

(6)

d5,1a deslocamento do diagrama (ABNTNBR 6118, 2007);

b comprimento de ancoragem com gancho, dado na Tabela 1.5

(Tabelas Gerais);

dimetro da barra.

b) Dois tipos de barras (Figura 4.7b)

Consideram-se dois comprimentos de barras, com a21 e a22 dados pelos

maiores valores entre:

valor)maiorgeral,(em1025,0

2

a25,0

a b21

(7)

valor)maiorgeral,(em102

a25,0

a

a

b

22

(8)

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23/28


4.23

Figura 4.7 - Alternativas para a armadura negativa

c) Barras alternadas de mesmo comprimento (Figura 4.7c)

Podem ser adotadas barras de mesmo comprimento, considerando na

alternativa anterior as expresses que, em geral, conduzem aos maiores valores:

102a25,0

1025,0aaa 2221

d75,0208

3a (9)

Pode-se estimar o comprimento das barras com o emprego da expresso (9)

e posicion-las, considerando os valores:

a

3

2a21 a

3

1a22 (10)

Em geral esses comprimentos so arredondados para mltiplos de 5 cm.

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24/28


4.24

Para garantir o correto posicionamento das barras da armadura sobre os

apoios, recomenda-se adotar, perpendicularmente a elas, barras de distribuio,

com as mesmas reas e espaamentos indicados para armadura positiva

secundria, na Tabela 4.5, no item 4.5deste trabalho.

4.9 BARRAS INFERIORES

Considera-se que as barras inferiores estejam adequadamente ancoradas,

desde que se estendam, pelo menos, de um valor igual a 10 a partir da face dos

apoios. Nas extremidades do edifcio, elas costumam ser estendidas at junto a

essas extremidades, respeitando-se o cobrimento especificado.

Nos casos de barras interrompidas fora dos apoios, seus comprimentos

devem ser calculados seguindo critrios indicados para vigas. Podem ser adotados,

tambm, os comprimentos aproximados e as distribuies indicadas na Figura 4.8.

Figura 4.8 Comprimentos e dist ribuio das barras inferiores

4.10 ARMADURA DE CANTO

Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas simplesmente

apoiadas, h uma tendncia ao levantamento provocado pela atuao de momentos

volventes (momentos torores).

Quando no for calculada armadura especfica para resistir a esses

momentos, deve ser disposta uma armadura especial, denominada armadura de

canto, indicada na Figura 4.9.

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25/28


4.25

A armadura de canto deve ser composta por barras superiores paralelas

bissetriz do ngulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares. Tanto a

armadura superior quanto a inferior deve ter rea de seo transversal, pelo menos,

igual metade da rea da armadura no centro da laje, na direo mais armada.

As barras devero se estender at a distncia igual a 1/5 do menor vo da

laje, medida a partir das faces dos apoios. A armadura inferior pode ser substituda

por uma malha composta por duas armaduras perpendiculares, conforme indicado

na Figura 4.9.

Figura 4.9 - Armadura de canto

Como em geral as barras da armadura inferior so adotadas constantes em

toda a laje, no necessria armadura adicional inferior de canto.

J a armadura superior se faz necessria e, para facilitar a execuo,

recomenda-se adotar malha ortogonal superior com seo transversal, em cada

direo, no menor que asx/2.

4.11 PESO DOS MATERIAIS E CARGAS DE USO

Os pesos de alguns materiais de construo e os valores mnimos de

algumas cargas de uso so indicados nas Tabelas 4.8e 4.9.

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26/28


4.26

Tabela 4.8 Peso especfico dos materiais de construo

MateriaisPeso especficoaparente kN/m3

Rochas

ArenitoBasaltoGnaisseGranitoMrmore e calcrio

2630302828

Blocos artificiais

Blocos de argamassa

Cimento amiantoLajotas cermicasTijolos furados

Tijolos maciosTijolos silicocalcrios

22

201813

1820

Revestimentos econcretos

Argamassa de cal, cimento e areiaArgamassa de cimento e areiaArgamassa de gesso

Concreto simplesConcreto armado

1921

12,5

2425

Madeiras

Pinho, cedroLouro, imbuia, pau leo

Guajuvira, guatambu, grpiaAngico, cabriva, ip rseo

56,5

810

Metais

AoAlumnio e ligasBronze

ChumboCobreFerro fundidoEstanho

LatoZinco

78,52885

11489

72,574

8575

Materiais diversos

AlcatroAsfalto

BorrachaPapelPlsticoVidro plano

1213

17152126

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27/28


4.27

Tabela 4.9 Valores mnimos de cargas de uso

Local kN/m2

Arquibancadas 4

Bancos

Escritrios e banheiro

Salas de diretoria e de gerncia

2

1,5

Bibliotecas

Sala de leituraSala para depsito de livrosSala com estantes de livros, a ser determinada, ou 2,5 kN/m2pormetro de altura, porm com mnimo de

2,546

Casas de mquinas (incluindo mquinas) a ser determinada, porm com o mnimo de 7,5

CinemasPlatia com assentos fixosEstdios e platia com assentos mveisBanheiro

342

Clubes

Sala de refeies e de assemblia com assentos fixosSala de assemblia com assentos mveis

Salo de danas e salo de esportesSala de bilhar e banheiro

34

52

CorredoresCom acesso ao pblicoSem acesso ao pblico

32

Cozinhas noresidenciais

A ser determinada em cada caso, porm com mnimo de 3

Edifcios residenciaisDormitrios, sala, copa, cozinha e banheiroDespensa, rea de servio e lavanderia

1,52

EscadasCom acesso ao pblicoSem acesso ao pblico

32,5

EscolasCorredor e sala de aulaOutras salas

32

Escritrios Sala de uso geral e banheiro 2Forros Sem acesso ao pblico 0,5Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porm com o mnimo de 3Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porm com o mnimo de 3Garagens eestacionamentos

Para veculos de passageiros ou semelhantes com carga mximade 25 kN por veculo

3

Ginsios de esportes 5

HospitaisDormitrios, enfermarias, salas de recuperao, de cirurgia, de raioX e banheiroCorredor

23

Laboratrios Incluindo equipamentos, a ser determinada, porm com mnimo de 3Lavanderias Incluindo equipamentos 3Lojas 4Restaurantes 3

TeatrosPalcoDemais dependncias: iguais s especificadas para cinemas

5*

TerraosCom acesso ao pblicoSem acesso ao pblicoInacessvel a pessoas

32

0,5

VestbuloCom acesso ao pblicoSem acesso ao pblico

31,5

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28/28


BIBLIOGRAFIA

BARES, R. (1972) Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona,

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CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. (2007) Clculo e detalhamento de

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NBR 6118:1978 Projeto e execuo de obras de concreto armado. Rio de Janeiro,

Associao Brasileira de Normas Tcnicas. (Verso substituda pela

NBR 6118:2007)

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NBR 6120:1980 Cargas para o clculo de estruturas de edificaes. Rio de Janeiro,

Associao Brasileira de Normas Tcnicas.

TIMOSHENKO, S. P. (1940) Theory of plates and shells. New York, McGraw-Hill.

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