sugestões de questões para a omupulino/bancoquestoesomu/ba... · 2010-04-15 · questão 8 um...

Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

Sugestoes de Questoes para a OMU

1



Questao 1 Um pedaco de barbante de comprimento L e cortado em duas partes, uma

delas sendo dobrada na forma de um triangulo equilatero e a outra parte dobrada na forma

de uma circunferencia. Determine como deve ser cortado o barbante para que a soma das

areas das duas figuras geometricas seja

(a) a maior possıvel.

(b) a menor possıvel.

Questao 2 Em um supermercado estao latas de creme de chocolate na forma de cilindros

circulares retos de dois tamanhos. A primeira lata e duas vezes mais alta que a segunda lata,

mas a segunda lata tem um diametro duas vezes maior que a primeira lata. Se a segunda lata

custa duas vezes mais que a primeira lata, qual delas e mais vantajoso comprar? Justifique

sua resposta.

Questao 3 Considere os seguintes conjuntos

X = IR+ ∪ {0} , Y = { y ∈ IR / y ≥ 1 } e Z = IR+ ∪ {0} .

onde IR+ = {x ∈ IR / x > 0 }.

Sejam as funcoes f : X −→ Y definida por f(x) = x + 1 e g : Y −→ Z definida pela

regra g(x) = x2 − 1. Verifique se a aplicacao g ◦ f e uma bijecao entre X e Z . Em

caso afirmativo, determine a funcao inversa (g ◦ f)−1 : Z −→ X .

Questao 4 Considere o polinomio p(x) dado pela regra funcional

p(x) = θ x( σ − x )( µ − x )2 ,

com θ > 0 e µ > σ > 0. Esboce o grafico do polinomio p(x) para todo x ≥ 0.

Questao 5 Determine dois numeros reais positivos cuja soma seja S e cujo produto seja

o maior possıvel. De uma interpretacao geometrica.

2



Questao 6 Determine as solucoes do seguinte sistema de equacoes algebricas −x + y = −1

2x2 − y = 4x

De uma interpretacao geometrica para o conjunto solucao.

Questao 7 Sejam x e y numeros reais tais que

x2 + y = 1 .

Determine o valor mınimo da variavel z dada por:

z = x2 + y2 .

Questao 8 Um silo tem o formato de um cilindro circular reto com um topo no formato de

metade de uma esfera. Se a altura total do silo e de 32 m e o volume total e de 1080 π m3,

determine o raio do cilindro, sabendo que

Ve =4πr3

3e Vc = πr2h ,

onde Ve e o volume da esfera e Vc e o volume do cilindro circular reto, com r o raio da

esfera e h a altura do cilindro. Esse problema tem solucao unica? Justifique sua resposta.

Questao 9 Ao chegar a um aeroporto, um turista informou–se sobre locacao de automoveis

e organizou as informacoes apresentadas na tabela abaixo.

Opcoes Diaria Preco por km rodado

Locadora A R$ 90, 00 R$ 0, 40

Locadora B R$ 60, 00 R$ 0, 80

Locadora C R$ 160, 00 quilometragem livre

(a) Determine a regra que define o preco da locacao em funcao da quantidade de quilometros

rodados em cada uma das locadoras.

(b) A partir de quantos quilometros rodados deve o cliente preferir a Locadora A ao inves

da Locadora B?

(c) A partir de quantos quilometros rodados deve o cliente preferir a Locadora C?

3



Questao 10 Em um vasilhame com capacidade para um litro, preparamos uma mistura

de 32 mL de uma certa substancia toxica e agua pura. Considere o seguinte processo,

retiramos 250 mL de agua contaminada do vasilhame e colocamos 250 mL de agua pura

no vasilhame. Repetindo esse processo quatro vezes, quantos mililitros da substancia toxica

restam no vasilhame?

Questao 11 Considere um sorteio de amigo secreto com N pessoas.

(a) Quantos sorteios distintos existem?

(b) Considerando N = 5, do total de sorteios possıveis, quantos sao aqueles em que

nenhuma pessoa sorteou a si mesma?

Questao 12 Uma sequencia de Fibonacci e uma sequencia de numeros reais

( a1 , a2 , · · · , an , · · · )

na qual os dois primeiros termos, a1 e a2, sao escolhidos arbitrariamente e os termos

seguintes sao determinados como sendo a soma dos dois termos anteriores, isto e,

a3 = a1 + a2

a4 = a2 + a3

...

an = an−2 + an−1

(a) Determine uma sequencia de Fibonacci que tenha o sexto termo, a6, igual a 52.

(b) Determine uma sequencia de Fibonacci, distinta da escolhida no item anterior, que

tambem tenha o sexto termo, a6, igual a 52, mas cujo primeiro termo, a1, seja um

numero negativo.

Questao 13 Considere um cırculo circunscrito em um quadrado de lado L.

(a) Determine a area desse cırculo.

(b) Se o lado do quadrado sofre um aumento de 20 %, determine o aumento na area do

cırculo.

4



Questao 14 Determine os valores do numero real a de modo que a matriz A dada por:

A =

a 1 0

1 a 1

0 1 a

.

seja invertıvel.

Questao 15 Considere P = (x, y) um ponto generico do plano cartesiano IR2, e uma

transformacao do plano que leva o ponto P no ponto P ′ = (x′, y′) dada da seguinte forma:

x′ = ax + by

y′ = cx + dy

Sabendo que o triangulo ABC de vertices

A = (2, 1) , B = (2, 3) e C = (3, 3)

foi transformado, pela transformacao definida acima, no triangulo A′B′C ′ de vertices

A′ = (1,−4) , B′ = (3,−4) e C ′ = (3,−6) ,

determine os parametros a , b , c e d que definem essa transformacao do plano.

Questao 16 Determine os valores do numero real a de modo que o sistema linearax + y = 0

x + ay + z = 0

y + az = 0

possua somente a solucao trivial, isto e, x = y = z = 0.

Questao 17 Determine os numeros reais a e b tais que

100∑k=0

ik = a + bi ,

onde i =√−1 e a unidade imaginaria.

5



Questao 18 Faca a representacao grafica no plano complexo do seguinte subconjunto

S = { z ∈ C / z + z = 1 } .

Questao 19 Divide–se um segmento de comprimento L em tres partes iguais e retira–se a

parte central. Para cada um dos segmentos restante repete–se o processo, retirando–se suas

partes centrais, e assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos dos segmentos

retirados.

Definicao 1 Dois numeros reais a e b estao numa proporcao aurea quando

a + b

a=

a

b,

isto e, quando a razao entre a + b e a e a mesma que a razao entre a e b.

Questao 20 Um pedaco de Barbante de comprimento 4L e divido ao meio. Com uma das

partes forma–se um quadrado e, com a outra parte forma–se um retangulo aureo, isto e, um

retangulo cujos lados estao na proporcao aurea. Determine a razao entre a area do retangulo

e a do quadrado.

Questao 21 Considere duas sequencias de Fibonacci

( a1 , a2 , · · · , an , · · · ) e ( b1 , b2 , · · · , bn , · · · ) .

(a) Mostre que a soma de duas sequencias de Fibonacci e tambem uma sequencia de Fibo-

nacci, isto e, a sequencia

( a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn , · · · )

e uma sequencia de Fibonacci.

(b) Mostre que a multiplicacao de uma sequencia de Fibonacci por um escalar real e tambem

uma sequencia de Fibonacci, isto e, a sequencia

( λa1 , λa2 , · · · , λan , · · · )

e uma sequencia de Fibonacci, onde λ e um escalar real.

6



Questao 22 Represente graficamente e determine a area da regiao do plano cartesiano cujos

pontos satisfazem simultaneamente as seguintes desigualdades2x − y ≤ 8

x − y ≥ 0

x + y ≥ 4

Utilize o sistema de coordenadas cartesianas da Figura 1 para fazer a representacao da regiao.

-

6

0

y

x

8

6

4

2

84 62

Figura 1: Representacao grafica da regiao da Questao 22.

Questao 23 Determine o subconjunto dos numeros reais que satisfaz a desigualdade

x − 2

5+

3 + 1

3≥ x .

7



Questao 24 Determine o subconjunto dos numeros reais que satisfaz a desigualdade

max{x + 1 , 5 − x } ≥ 2x − 3 .

Questao 25 A populacao brasileira no ano de 2009 e estimada em, aproximadamente,

190 milhoes de habitantes. A taxa de natalidade no paıs e de 2 % ao ano. Isto significa

que em media nascem no paıs, em um ano, 2 bebes para cada 100 habitantes. Embora

caindo rapidamente nos ultimos anos, a taxa de mortalidade infantil ainda e de 20 por mil,

indicando que de cada mil criancas nascidas, 20 morrem antes de completar um ano. Nos

paıses socialmente mais desenvolvidos esta taxa e de 5 por mil.

(a) Quantos criancas nascerao neste ano de 2009 no Brasil?

(b) Destas, quantas morrerao antes de completar um ano?

(c) Quantas destas nao morreriam se a taxa fosse de 5 por mil?

Questao 26 A cidade de Sao Paulo tem 10 milhoes de habitantes e o seu consumo medio

de agua e de 340 litros por habitante por dia. A vazao media do Rio S. Francisco ao longo

de um ano e igual a 1.800 m3/s. O consumo anual total de agua da cidade de S. Paulo

corresponde a que percentagem da vazao total do Rio S. Francisco em um ano?

Questao 27 Dois numeros reais a e b estao numa proporcao aurea quando

a + b

a=

a

b= θ ,

onde a constante positiva θ e denominada de numero de ouro, ou numero aureo.

Determine o valor da constante θ.

Questao 28 Considere a seguinte sequencia de Fibonacci

( 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , · · · ) .

Mostre que o numero aureo pode ser aproximado pela divisao do n–esimo termo dessa

sequencia de Fibonacci pelo termo anterior, isto e,

θ ≈ an

an−1

.

Observe que essa aproximacao fica cada vez melhor quando tomamos n cada vez maior.

8



Questao 29 Mostre que√

2 nao e um numero racional, isto e, nao pode ser escrito na

forma

p

q,

onde p e q sao numeros inteiros, com q 6= 0.

Questao 30 A soma de quatro numeros pares consecutivos e igual a 140. Determine esses

numeros.

Questao 31 Determine a equacao na forma canonica da reta r que passa pelo ponto

P = (1, 2) e e perpendicular a reta s definida pela equacao 3x + y + 1 = 0.

Questao 32 Sejam n um numero natural e o polinomio p(x) = xn+1 − xn − 1.

(a) Determine o valor de n de modo que o resto da divisao do polinomio p(x) por x − 2

seja igual a r = 7.

(b) Determine o resto da divisao do polinomio p(x) por x + 1 quando n e ımpar.

Questao 33 Determine os valores dos parametros a , b e c de modo que as funcoes

polinomiais p : IR −→ IR e q : IR −→ IR, definidas pelas regras funcionais

p(x) = ( a + b ) + ( a + b + c )x + ( b − c )x2

q(x) = 1 + 4x − x2

,

sejam funcoes polinomiais identicas.

Questao 34 Que poliedro tem por vertices os centros das faces de um cubo? Faca um

desenho do cubo e do poliedro resultante.

Questao 35 Que poliedro tem por vertices os centros das faces de um tetraedro regular?

Faca um desenho do tetraedro e do poliedro resultante.

Questao 36 Considere um poliedro convexo de 18 arestas e 10 vertices que possui

somente faces triangulares e pentagonais. Determine o numero de faces de cada tipo.

Questao 37 Quantos sao os planos determinados por 4 pontos nao coplanares no espaco

Euclidiano? Justifique sua resposta.

9



Questao 38 Cortando–se um cubo por um plano obtemos um hexagono regular conforme

Figura 2, onde A , B , C , D , E , F sao pontos medios de arestas. Se o perımetro do

hexagono e 12√

2 , calcular a area da superfıcie lateral do cubo e a area da seccao hexagonal.

Figura 2: Representacao grafica da Questao 38.

Questao 39 Na Figura 3, desenhar uma seccao pentagonal do cubo.


10



Questao 40 Considere um octaedro regular ABCDEF de aresta a. O octaedro e formado

por duas piramides iguais cuja base comum e um quadrado de lado a. Seja G a projecao

do ponto E na base comum ABCD, veja Figura 4.

(a) Calcule a medida do segmento AG.

(b) Calcule a medida do segmento EG.

(c) Calcule o volume da piramide de base quadrangular ABCDE.

(d) Calcule o volume do octaedro regular ABCDEF de aresta a.


Questao 41 Determine os planos de simetria das seguintes figuras geometricas:

(a) tetraedro regular.

(b) cilindro de revolucao.

Questao 42 A que distancia da base de uma piramide de altura h deve ser conduzido um

plano paralelo a base de modo que a area da seccao determinada seja1

3da area da base?

11



Questao 43 Um tablete de doce de leite medindo 12 cm por 9 cm por 6 cm, esta coberto

com papel alumınio. Esse tablete e dividido em cubos de 1 cm de aresta, veja Figura 5.

(a) Quantos desses cubos nao possuem nenhuma face coberta com papel alumınio?

(b) Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com o papel alumınio?

(c) Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cobertas com papel alumınio?

(d) Quantos desses cubos possuem tres faces cobertas com papel alumınio?


Questao 44 Quando duas torneiras atuam em conjunto, enchem um tanque em duas horas.

Atuando sozinhas, a segunda torneira gasta uma hora a mais que a primeira torneira para

encher o mesmo tanque. Determine o tempo necessario para cada torneira encher o tanque,

quando atuando sozinhas.

Questao 45 Considere os seguintes numeros reais distintos

x0 = 0 , x1 = 1 e x2 = 2 ,

determine o polinomio p(x) de grau ≤ 2 que assume nesses pontos os valores

p(x0) = 1 , p(x1) = −1 e p(x2) = 1 .

Questao 46 Mostre que todo polinomio de grau ımpar possui ao menos um zero real, isto

e, existem numeros reais x1 e x2 tais que p(x1) < 0 e p(x2) > 0.

12



Questao 47 Dadas as matrizes

X =

a

2

1

, Y =[−1 b 2

]e Z =

3

2

1

.

Determine os valores dos parametros a e b tal que Y X = 0 e Y Z = 1.

Questao 48 Determine um numero real λ tal que AX = λX, onde

A =

[2 1

1 2

]e X =

[1

1

].

Questao 49 Considere a matriz A dada por:

A =

[3 −2

−2 3

].

Determine todas as matrizes X de ordem 2× 1, isto e,

X =

[a

b

],

de modo que AX = 5X.

Questao 50 Sejam f : IR −→ IR uma funcao crescente e g : IR −→ IR uma funcao

decrescente. Mostre que a funcao h : IR −→ IR definida pela regra h(x) = (f ◦ g)(x) e

uma funcao decrescente.

Questao 51 Sejam X , Y subconjuntos de IR e f : X −→ Y uma bijecao e crescente

em X . Mostre que a funcao inversa f−1 : Y −→ X e uma funcao crescente em Y .

Questao 52 Determine o subconjunto de IR que satisfaz a seguinte desigualdade

|x − 1 | ≤ 4 − 2x .

Questao 53 Determine o conjunto solucao da equacao modular

|x − 2 | = m x + 1 ,

em funcao do parametro m. Faca uma representacao grafica.

13



Questao 54 Determine se a afirmacao abaixo e falsa ou verdadeira.

“Existe um numero real x tal que |x − 1 | = x − 2”

Justifique sua resposta.


“Para todo x > 0 existe um numero real y > 0 tal que | 2x + y | = 5”



“A soma de qualquer numero real positivo com o seu recıproco e maior ou igual a dois”


Questao 57 Numa casa, com 8 moradores, o consumo de agua no mes de marco foi de

58 metros cubicos. A tarifa da agua na cidade, em R$/m3, varia de forma escalonada,

conforme a tabela abaixo.

Consumo em m3 Tarifa em R$/m3

ate 10 R$ 14, 11 fixo

de 11 a 15 2, 61

de 16 a 20 2, 68

de 21 a 25 2, 74

de 26 a 30 3, 36

de 31 a 50 3, 60

acima de 50 5, 49

(a) Qual foi a conta de agua desta casa no mes de marco?

(b) Rateando uniformemente a conta entre os moradores, qual foi a despesa media desta

casa, por morador, em R$/dia?

Questao 58 Mostre que

(a) entre tres inteiros consecutivos quaisquer, exatamente um deles e divisıvel por 3.

(b) entre k inteiros consecutivos quaisquer, exatamente um deles e divisıvel por k.

Questao 59 Qual e o menor multiplo de 17 que comeca com 1234?

14



Questao 60 Os tres mosqueteiros (portanto quatro pessoas) deixaram suas botas no corre-

dor do albergue. D’Artagnan se levanta primeiro e pega duas botas ao acaso. Calcule as

probabilidades de que:

(a) as duas botas sejam as suas,

(b) as duas botas formem um par (um pe direito e um pe esquerdo),

(c) as duas botas sejam de pe direito,

(d) as duas botas pertencam a duas pessoas diferentes.

Questao 61 O padre faz sua visita a organista, como todo domingo, depois da missa. Sua

brasılia esta equipada com um limpador de para–brisas que se recusa a funcionar uma vez

em dez. Nesta epoca do ano, chove tres dias em quatro. Calcule a probabilidade de que a

organista o veja chegar acionando o limpador de para–brisas com uma mao e segurando o

volante com a outra.

Questao 62 O avo tem tres boinas e um bone. Quando ele vai na padaria, ele escolhe um

deles ao acaso. Supondo que uma vez em tres, ele compra pao de forma e que duas em cinco,

ele esquece de colocar seus sapatos, calcule a probabilidade de ve–lo voltar da padaria: de

chinelo, com uma boina e com pao que nao seja de forma.

Questao 63 Os estudos morfologicos da Venus de Milo mostram que ha cinco chances em

sete de que ela seja destra, e duas chances em sete de que ela seja canhota. Se ela for destra,

ha tres chances em cinco de que ela esteja descascando cenouras, e duas chances em cinco de

que ela esteja descarocando azeitonas. Se for canhota, ha uma chance em duas que ela esteja

descascando cenouras, e uma chance em duas de que ela esteja descarocando azeitonas.

(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja descarocando azeitonas.

(b) As novas descobertas sobre o lugar arqueologico da estatua permitem afirmar sem som-

bra de duvidas que ela estava descarocando azeitonas. Calcule a probabilidade de que

ela seja canhota.

15



Questao 64 Joao e Maria jogam aos dados no balcao do bar Canaan. Uma discussao surge

sobre dois problemas:

• Por que obtemos mais lancamentos de tres dados com soma 11 que com soma 12,

ao passo que temos o mesmo tanto de combinacoes para obter ambos os resultados?

• E mais frequente obter um 6 lancando um dado quatro vezes que obter um par de 6

lancando dois dados 24 vezes?

Joao se volta para o seu vizinho da direita, um tal de Blaise Pascal, para perguntar sua

opiniao. Estabelecendo os diferentes conjuntos de eventos, re–obtenha o raciocınio de Pascal.

Questao 65 As meias da Camila nao estao todas secas. Somente seis estao secas, duas

pretas e quatro brancas. Ela pega duas ao acaso.

(a) Calcule a probabilidade de que ela pegue duas meias da mesma cor.

(b) Ela pega tres ao acaso, calcule a probabilidade de que sejam tres brancas.

Questao 66 Altamirando colocou dez notas de dez reais em seu bolso esquerdo, das quais

quatro sao falsas. No bolso direito, colocou sete notas de dez reais, todas verdadeiras. Na

maquina de cafe, ele pega uma nota ao acaso de seu bolso esquerdo, mas percebe que a

maquina so aceita fichas. Poe a nota no bolso direito e se dirige a maquina que aceita

dinheiro. Ele pega uma nota ao acaso de seu bolso direito. Calcule a probabilidade de que a

nota seja falsa.

Questao 67 Determine dois numeros reais tais que a soma e igual a 40 e a diferenca de

seus quadrados e igual a 520.

Questao 68 Considere um triangulo em que o menor angulo e a metade do maior angulo,

e o menor angulo mais o maior angulo e duas vezes o terceiro angulo. Determine os angulos

desse triangulo.

Questao 69 Considere uma circunferencia de raio r = 10 m. Determine o raio de uma

segunda circunferencia cujo perımetro e 1 m maior que o perımetro da primeira circun-

ferencia.

Questao 70 Uma determinada empresa pretende financiar R$ 25.000, 00, uma parte com

juros de 5% e uma outra parte com juros de 10%. Quanto deve ser financiado em cada

situacao, se a empresa deseja pagar somente 8% de juros?

16



Questao 71 Considere o triangulo ABC de vertices

A = (−1, 0) , B = (1, 0) e C = (0, 3) .

Determine a equacao da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC.

Questao 72 Mostre que dentre todos os triangulos de perımetro L , o triangulo de maior

area e o triangulo equilatero.

Questao 73 Mostre que dentre todos os retangulos de perımetro L, o retangulo de maior

area e o quadrado.

Questao 74 Joao ganhou 120 reais pelo seu aniversario de 10 anos. Em cada mes passado

seu aniversario de 10 anos, ele recebe 3 reais por ajudar sua mae a recolher as roupas do

varal. Maria, sua prima de mesma idade, ganhou 100 reais no aniversario e a cada mes

passou a receber 7 reais, por auxiliar seu pai na limpeza do jardim. Ambos acumulam o

presente e as recompensas mensais em seus respectivos cofres. Existem quantias que serao

acumuladas por ambos, embora em tempos distintos. Por exemplo, apos 40 meses Joao tera

acumulado 240 reais, a mesma quantia que Maria acumulara em 20 meses. Qual a menor

quantia igual que ambos terao?

Questao 75 Para quais valores de a e b o numero complexo a + bi, onde i =√−1, e

solucao da equacao z4 = 1?

Questao 76 Considere um polıgono regular de 9 lados inscrito em uma circunferencia.

Escolhendo tres vertices distintos deste polıgono formamos um triangulo. Escolhendo estes

tres vertices ao acaso, qual e a probabilidade do centro da circunferencias estar contido no

interior desse triangulo?

Questao 77 Seja C um semi–cırculo com diametro LM . Seja P um ponto deste diametro

tal que o comprimento do segmento LP e igual a 3 e o comprimento do segmento PM

e igual a 1. Considere a perpendicular ao diametro LM passando por P e seja D o

ponto de interseccao dessa perpendicular com o semi–cırculo C. Calcule o comprimento do

segmento PD.

17




tal que o comprimento do segmento LP e igual a α e o comprimento do segmento PM

e igual a β. Considere a perpendicular ao diametro LM passando por P e seja D o

ponto de interseccao dessa perpendicular com o semi–cırculo C. Calcule o comprimento do

segmento PD em termos dos parametros α e β.


tal que o comprimento do segmento LP e igual a α e o comprimento do segmento PM

e igual a β. Considere a perpendicular ao diametro LM passando por P e seja D o

ponto de interseccao dessa perpendicular com o semi–cırculo C. Calcule a razao entre os

arcos LD e PD do semi–cırculo C.

Questao 80 Considere todos os numeros inteiros de quatro algarismos distintos, formados

exatamente pelos algarismos 1, 2, 3 e 4. Quantos numeros existem com esta caracterıstica?

Qual a soma de todos estes numeros?

Questao 81 Determine o centro e o raio da circunferencia passando pelos pontos A , B e

C marcados no reticulado da Figura 6. Considere que o lado de cada quadrado do reticulado

tem comprimento 1 uc, onde uc e uma unidade de comprimento.

Cu

Bu

A uFigura 6: Representacao grafica da circunferencia da Questao 81.

18



Questao 82 Considere um tabuleiro similar ao de xadrez, com quatro quadrados de lado,

um total de 16 casas, e um conjunto de 8 pecas de domino, cada uma delas do tamanho

exato de duas casas do tabuleiro. E possıvel cobrir o tabuleiro com as 8 pecas de domino,

sem quebra–las, sem sobreposicao de pecas, sem espacos vazios e sem pecas sobrando, e

neste caso dizemos que o tabuleiro foi coberto pelo domino. Retire as casas 1A e 4B do

tabuleiro. Ainda e possıvel cobrir o tabuleiro com 7 pecas do domino? Se puder substituir a

casa 4B por outra casa qualquer, quais as casas que retiradas permitirao cobrir o tabuleiro

com as 7 pecas do domino?

1 2 3 4

A

B

C

D

Figura 7: Representacao do tabuleiro da Questao 82.

Questao 83 Se o raio de um cırculo tem um aumentado em 25 %, qual a porcentagem de

aumento da area do cırculo?

Questao 84 Determine todos os valores inteiros de x sao tais que∣∣ x2 − 5x + 2∣∣ ≤ 4


19



Questao 85 Marque no reticulado da Figura 8 o centro da circunferencia circunscrita

no retangulo ABCD. Determine o raio da circunferencia considerando que o lado de cada

quadrado do reticulado tem comprimento 1 uc, onde uc e uma unidade de comprimento.

DuC u

B

uA

u

Figura 8: Representacao grafica da circunferencia da Questao 85.

Questao 86 Mostre que o triangulo cujos lados medem 20 uc , 21 uc e 29 uc, onde uc e

uma unidade de comprimento, e um triangulo retangulo. Calcule o raio da circunferencia

inscrita nesse triangulo.

Questao 87 Visto da janela do segundo andar de uma casa o topo de um predio em frente,

do outro lado da rua, tem um angulo de elevacao de 47, 20 graus, enquanto que sua base

tem um angulo de depressao de 29, 30 graus. Se a distancia entre a casa e o predio e 13 m,

determine a altura do predio.

Questao 88 Tres numeros naturais consecutivos sao elevados, respectivamente, as potencias

1, 2 e 3. Os resultados sao somados obtendo–se um quadrado perfeito, cuja raız quadrada

e a soma dos 3 numeros iniciais. Encontre esses 3 numeros.

20



Questao 89 Encontre todas as raızes da equacao polinomial dada por:

x2 2x 1

x x + 1 1

1 2 1

= 0 .

Questao 90 Sejam

a1 , a2 , · · · , an e b1 , b2 , · · · , bn

duas progressoes aritmeticas. Mostre que os pontos Pj = (aj , bj) estao em uma mesma

reta, para todo j = 1, 2, · · · , n.

Questao 91 Num certo mes, dois jornais circulam com 100.000 e 400.000 exemplares

diarios, respectivamente. Se a partir daı a circulacao do primeiro cresce 10 % ao mes e a

do segundo decresce 15 % ao mes, determine o numero mınimo de meses necessarios para

que a circulacao do primeiro jornal supere a do segundo jornal.

Questao 92 Um lote de terreno, pouco comum, tem a forma de um triangulo cujos lados

medem 30 , 40 e 50 metros. Em toda a volta externa desse terreno foi construıda uma

calcada de largura constante e igual a 2 metros. Calcule a area do terreno e a area da

calcada.

Questao 93 Sejam x, y e z numeros naturais que sao as medidas dos lados de um

triangulo, cujo perımetro e o dobro de sua area. Encontre os possıveis valores de x, y e z.

Questao 94 Um cubo de madeira teve suas seis faces pintadas. Depois foi dividido em 27

cubinhos iguais.

(a) Quantos desses cubinhos tem 3 faces pintadas?

(b) Quantos desses cubinhos tem 2 faces pintadas?

(c) Quantos desses cubinhos tem apenas uma face pintada?

(d) Quantos desses cubinhos tem nenhuma face pintada?

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Questao 95 Sejam x, y e z numeros reais positivos tais que x + y + z = 1. Mostre que

x2 + y2 + z2 ≥ 1

3.

Questao 96 Mostre que

1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)

2.

Questao 97 As areas das tres faces de um paralelepıpedo sao 3 , 6 e 8 cm2. Determine

o volume desse paralelepıpedo.

Questao 98 Desejamos construir um cercado de forma retangular utilizando 36 m de tela,

aproveitando como um dos lados parte de um extenso muro que possui um tracado retilıneo.

Determine as dimensoes do retangulo de modo que o cercado tenha area maxima.

Questao 99 Determine os valores do parametro p de modo que a funcao quadratica

f(x) = 2x2 + 4x + (p + 1) possua duas raızes complexas.

Questao 100 Determine as solucoes do seguinte sistema de equacoes algebricas −x + y = 2

x2 + y2 = 4

De uma interpretacao geometrica para o conjunto solucao.

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sugestões de questões para a omupulino/bancoquestoesomu/ba... · 2010-04-15 · questão 8 um...

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