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Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

Sugestoes de Questoes para a OMU

32



Questao 141 Um tanque de combustıvel, cuja capacidade e de 2000 litros, tinha 600 litros deuma mistura homogenea formada por 25% de alcool e 75% de gasolina. Considerando queforam utilizados 20% dessa mistura, quantos litros de gasolina devem ser colocados no referidotanque de modo que a mistura resultante tenha 90% de gasolina?

Questao 142 Existem tres numeros pares consecutivos de modo que o produto de dois deles sejaigual a quatro vezes a soma desses tres numeros pares?

Questao 143 Um determinado carro 0 km e comprado hoje por R$ 60.000, 00. Considerandoque esse carro sofre uma desvalorizacao anual de 10%, qual sera o valor desse carro daqui a 4anos? Determine uma expressao para o valor do carro em funcao dos anos de utilizacao.

Questao 144 Ao chegar a um aeroporto um turista informou–se sobre locacao de automoveis eorganizou as informacoes apresentadas na tabela abaixo.

Opcoes Diaria Preco por km rodado

Locadora A R$ 90, 00 R$ 0, 80Locadora B R$ 60, 00 R$ 1, 30Locadora C R$ 190, 00 quilometragem livre

Faca uma analise de qual locadora e a mais adequada em funcao da quantidade de quilometros queo cliente pretende utilizar diariamente. Inicialmente faca uma representacao grafica da situacaodescrita no problema.

Questao 145 Analise se a seguinte afirmacao e falsa ou verdadeira.

“Podemos determinar com toda certeza as idades dos nossos colegas Marcelo e Laura conhecendoa soma de suas idades e conhecendo a diferenca de idade entre eles”Justifique sua resposta.

Questao 146 (a) Determine a decomposicao do numero natural 2016 em seus fatores primospositivos.

(b) Se possıvel, determine numeros naturais m e n tais que 2016 = 2m − 2n.

Questao 147 Os centros de tres circunferencias tangentes externamente duas a duas sao osvertices de um triangulo cujos lados medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine o raio de cadauma das tres circunferencias e a area do triangulo.

Questao 148 As areas das tres faces distintas de um paralelepıpedo sao 6 cm2, 8 cm2 e 12 cm2.Determine as dimensoes e o volume desse paralelepıpedo.

33



Questao 149 Determine a funcao quadratica f(x) = ax2 + bx + c, cujo grafico esta repre-

sentado na figura abaixo, isto e, f(0) = −1

2, e os ponto

(−1

2, f

(−1

2

))e

(1

2, f

(1

2

))pertencem a circunferencia de centro C = (0, 0) e raio r = 1.

Questao 150 Na ilustracao da figura abaixo, temos duas circunferencias com o mesmo raio ecujos centros estao sobre um dos diametro da circunferencia maior, que se tangenciam duas aduas. Considerando que o diametro da circunferencia maior mede 20 cm, determine o raio dacircunferencia menor, que tangencia as duas circunferencias de mesmo raio e a circunferenciamaior.

Questao 151 A nossa colega Laura fez uma lista com todas as combinacoes formadas pelas cincoletras do seu nome: “L”, “A”, “U”, “R”, “A”. Quantas possibilidades diferentes possui essa lista?

34



Questao 152 Uma bola, confeccionada com uma borracha muito especial, foi solta na vertical de

uma altura de 12m. Cada vez que a bola bate no chao ela volta2

3da altura anterior.

(a) Quando metros a bola percorre na sexta vez em que bateu no chao?

(b) Determine uma expressao para quantidade de metros que a bola percorre em funcao donumero de vezes em que ela bate no chao.

Questao 153 Considere no plano cartesiano os seguintes pontos:

A = (0, 4) , B = (4, 1) e C = (4, 4) .

Determine a distancia do ponto C a reta que passa pelos pontos A e B. Inicialmente faca umarepresentacao grafica da situacao descrita no problema.

Questao 154 Considere um triangulo isosceles inscrito no retangulo ABCD, como mostra afigura abaixo. Sabendo que o perımetro do triangulo retangulo ADE e igual a 30 cm, e que otriangulo isosceles tem perımetro igual a 50 cm e area igual a 60 cm2, determine o perımetro doretangulo ABCD.

��

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZZ

ZZAr Br

Cr

Dr

Er

Questao 155 As idades do Petronio, da Claudina e do Marcelo sao tres numeros pares consecu-tivos. Sabendo que a soma destas idades e igual a 156, qual e a idade do mais velho?

Questao 156 Determine todos os numeros naturais de quatro algarismos terminados em 15 quesao multiplos de 15. Justifique sua resposta.

Questao 157 Mostre que se p e um numero real positivo, com p > 1, entao

p ,p2 − 1

2e

p2 + 1

2

sao as medidas dos lados de um triangulo retangulo. Mostre tambem que se p e um numeronatural ımpar, as medidas dos lados e a area desse triangulo retangulo sao numeros naturais.

35



Questao 158 O retangulo ABCD e formado por tres triangulos isosceles, como mostra a figuraabaixo. Sabendo que AE = AD = x, determine o perımetro e a area do triangulo isoscelesCDE, em funcao do parametro x.

��

@@

@@

@@@

@@@

@@

Ar Br

Cr

Dr

Er

x

x

Questao 159 Considere a circunferencia circunscrita no quadrado de lado L, como mostra afigura abaixo. Determine a porcentagem de aumento na area do cırculo, limitado pela circun-ferencia, quando o lado do quadrado tem um aumento de 25%.

L

........................

........................

.........................

.........................

.........................

........................

........................

.......................

...............................................

.................................................

.............................................................................................................................................................................................................................

................................................

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...........

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.......................

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Questao 160 Verifique se a igualdade

1324n + 791n = 1961n

e possıvel para algum numero natural n. Justifique sua resposta.

36



Questao 161 Considere um jardim como sendo a regiao limitada pela curva definida por treslados de um quadrado e pela semi–circunferencia com centro no ponto medio do lado ausente doquadrado, como mostra a figura abaixo. Considere que o lado do quadrado tem comprimento L.Em toda volta externa desse jardim foi construıda uma calcada com 2m de largura.

L

L2

.

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......................................................................................................................................................................................................

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(a) Determine a area do jardim, em funcao do comprimento do lado do quadrado.

(b) Determine a area da calcada, em funcao do comprimento do lado do quadrado.

(c) Se o comprimento do lado do quadrado tem um aumento de 25%, determine a porcentagemde aumento da area da calcada.

Questao 162 Mostre que 1154 − 1144 e divisıvel por 229. De um modo geral, mostre que sen e um numero natural, entao (n+ 1)4 − n4 e divisıvel por 2n + 1.

Questao 163 Dividindo–se 5168 por n, obtem–se resto 23. Dividindo–se 8133 por n,obtem–se resto 13. Determine o numero natural n.

Questao 164 Sejam f , g : IR −→ IR duas funcoes decrescentes, e a funcao h : IR −→ IRdefinida da forma:

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) ,

isto e, h e a funcao composta de uma funcao g decrescente com uma funcao f decrescente.Podemos afirmar que a funcao h e crescente? Justifique sua resposta.

37



Questao 165 Faca a representacao grafica e determine a area da regiao do plano cartesiano cujospontos satisfazem simultaneamente as seguintes desigualdades

x2 + y2 ≤ 9

x2 + y2 ≥ 1

x + y ≥ −3x − y ≤ 3

Utilize o sistema de coordenadas da Figura 165 para fazer a representacao da regiao.

-

6

0

..................

...................

...................

...................

........................................................................

...................................

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.................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

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.....

.............

.....

...................

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38



Questao 166 Considere a situacao representada na figura abaixo, onde a circunferencia da es-querda, que possui raio r, girou sobre o plano horizontal, sem deslizar, ate atingir a posicao dacircunferencia da direita. Sabendo que

PQ =3πr

4,

determine a distancia do ponto P ′ ao plano horizontal.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............. ............ ............ ............. ............. ............. ...................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............. ............ ............ ............. ............. ............. ...................................................................................................

Pu

Qu

P ′u

Questao 167 Determine as solucoes reais da seguinte equacao algebrica

( 1 + x )2 = 4 |x − 1 | ,

e interprete geometricamente o significado da equacao algebrica.

Questao 168 Determine as solucoes reais da seguinte equacao algebrica

( 1 + x )4 = 16x2 ,

e interprete geometricamente o significado da equacao algebrica.

Questao 169 Determine quantas solucoes inteiras possui a equacao

x + y + z = 11 ,

considerando as restricoes

x > 0 , y > 2 e z > 5 .

39



Questao 170 Se possıvel, determine dois numeros naturais divisıveis por 11, de modo que quandodividimos o maior deles pelo menor obtemos resto 17.

Questao 171 Se possıvel, determine dois numeros naturais divisıveis por 11, de modo que quandodividimos o maior deles pelo menor obtemos resto 33.

Questao 172 Determine a diferenca entre a soma dos 60 primeiros numeros naturais pares ea soma dos 60 primeiros numeros naturais ımpares.

Questao 173 Determine a diferenca entre a soma dos 60 primeiros numeros inteiros pares naonegativos e a soma dos 60 primeiros numeros inteiros ımpares positivos.

Questao 174 Uma colonia de vampiros escolheu como residencia um castelo nos Carpatos. Umanoite de lua cheia, o conde Dracula capturou 100, mordeu suas orelhas e depois os largou. Nanoite seguinte, ele capturou 100 ao acaso. Doze tinham uma mordida na orelha. Denote por Ao evento “ha doze vampiros mordidos entre os 100 capturados”, e por Bn o evento“ha n vampiros no castelo”. Considere a sequencia (un) definida para os numeros inteirosn maiores que 100 da forma:

un =P (A|Bn)

P (A|Bn+1).

(a) Compare un e 1.

(b) Mostre que a funcao f definida para os inteiros maiores que 100, por f(n) = P (A|Bn)alcanca o maximo sobre [100,+∞). O maximo da verossimilhanca, m, e o valor de ncorrespondente a este maximo. Determine m.

Questao 175 O Prıncipe Feliz percorreu o reino de seu pai em sua Harley para reencontrar aeleita de seu coracao que podera calcar sapatinho de cristal de tamanho 34. Cinderela e a fadaCarabosse calcam 34. Ele visita catorze cabanas de forma aleatoria, aquela onde esta Cinderelae a sexta da lista, aquela onde esta a fada tem posicao desconhecida. Qualquer outra das cabanasvisitadas tem 17% de chance de ter, quando a fada nao estiver nela, uma jovem donzela queconsiga calcar o famoso sapatinho. As meio–irmas de Cinderela calcam 45.

(a) Supondo que o tamanho dos pes das donzelas do reino nao dependa do tamanho dos pes dasvizinhas, e supondo que em nenhuma cabana habita mais de uma donzela com pes pequenos,calcule a probabilidade de que o Prıncipe se case com Cinderela.

(b) Calcule a probabilidade de que o Prıncipe se encontre cara–a–cara com a fada Carabosse.(Nao leve em conta a desordem que isto introduzira nos contos de fada.)

40



Questao 176 Em Palermo, o chefe do servico de repressao a fraude fiscal esta em poder de umdossie quentıssimo sobre o chefao da mafia local. Seus tres subordinados e ele mesmo nao queremcorrer o risco de faze-lo desaparecer, e menos ainda de chegar a um acordo. Quando o chefe otem em suas maos, ele o entrega no dia seguinte a um dos subordinados ao acaso. Quando umsubordinado o recebe, no dia seguinte, ele o passa adiante a seu chefe com uma probabilidade de0.5, ou a um de seus colegas ao acaso.

(a) Calcule a probabilidade de que o dossie tenha passado por todas as maos no quarto dia.

(b) Calcule a probabilidade de que o chefe tenha o dossie no terceiro dia. Seja pn a probabilidadede que o chefe receba o dossie no n–esimo dia.

(c) Expresse pn+1 em funcao de pn. Para n > 0, defina un = pn −1

3.

(d) Mostre que a sequencia (un) e geometrica.

(e) Expresse un e depois pn em funcao de n. Qual e o limite da sequencia (pn) quandon tende a infinito? Sejam qn e rn as probabilidades respectivas dos eventos “o primeirosubordinado recebe o dossie no n–esimo dia” e “o segundo subordinado recebe o dossie non–esimo dia”.

(f) Expresse qn e rn em funcao de n. Quais sao os limites das sequencias (qn) e (rn)quando n tende a infinito?

Questao 177 Qual e a probabilidade de serem obtidas exatamente cinco caras em dez lancamentosde uma moeda nao–tendenciosa?

Questao 178 Em um armario ha cinco pares de sapatos. Escolhem–se quatro pes de sapatos.Determine a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos.

Questao 179 O conjunto A possui tres elementos e o conjunto B possui cinco elementos.

(a) Quantas funcoes f : A −→ B podemos definir?

(b) Quantas funcoes injetoras f : A −→ B podemos definir?

Questao 180 De quantas maneiras podemos decompor o numero natural 260 em um produto dedois inteiros positivos?

41



Questao 181 Considere a regiao R do plano definida pelo triangulo retangulo OAB, com0A = 0B = a, do qual retiramos um quarto de um cırculo, de centro 0 e raio igual a r, comomostra a figura abaixo.

(a) Determine a area da regiao R.

(b) Determine o volume do solido obtido girando a regiao R em torno do eixo horizontal.

Eixo de Rotacao@@

@@

@@@

@@@

@@

R

0r

A r

Br

Cr

D r.......................................................................................................................................................

Questao 182 Determine os numeros naturais n de modo que 10n − n e um numero naturaldivisıvel por 3.

Questao 183 Mostre que se a, b e c sao numeros naturais nao divisıveis por 3, entaoa2 + b2 + c2 e um numero natural divisıvel por 3.

Questao 184 Mostre que para quaisquer numeros naturais m e n

m2 + n2 + m + n

2

e um numero natural.

Questao 185 Sejam a e b numeros reais positivos. Mostre que se

√a +

√b =

√a + b ,

entao a = 0 ou b = 0.

Questao 186 De quantas maneiras podemos escrever o numero natural 11 como soma de quatronumeros inteiros positivos?

42



Questao 187 Determine o numero de divisores do numero natural 2050.

Questao 188 Uma esfera de raio r esta inscrita em um cilindro circular reto com area dasuperfıcie igual a 150 π cm2.

(a) Faca um desenho representando o cilindro e a esfera inscrita.

(b) De as dimensoes do cilindro.

(c) Determine a area e o volume da esfera.

Questao 189 Considere um triangulo qualquer ABC e outro A′B′C ′, sendo que os vertices dotriangulo A′B′C ′ foram obtidos dividindo–se cada lado do triangulo ABC em tres segmentoscongruentes, como mostra a figura abaixo. Determine a relacao entre as areas dos triangulosABC e A′B′C ′.

Questao 190 Considere um triangulo ABC com angulos A e C agudos, como mostra a figuraabaixo. Descreva um metodo para construir um quadrado inscrito no triangulo ABC, tendo umlado sobre o lado AC do triangulo e os outros dois vertices estando cada um em um dos outrosdois lados do triangulo.

43



Questao 191 Sejam x e y numeros naturais de modo que

xy + x + y = 71

x2y + xy2 = 880

Determine o valor numerico de x2 + y2.

Questao 192 Sejam a, b e c numeros reais positivos tais que a + b + c = 1. Prove que

a2 + b2 + c2 ≥ 1

3.

Questao 193 Mostre que a equacao

x2 − y2 + x − y = 1

nao possui solucao inteira, isto e, nao existem numeros inteiros x e y que satisfazem essaequacao.

Questao 194 Determine as solucoes da seguinte equacao algebrica

x4 − x2 + 4x − 4 = 0 .

Questao 195 O conjunto A possui cinco elementos e o conjunto B possui cinco elementos.

(a) Quantas funcoes f : A −→ B podemos definir?

(b) Quantas funcoes bijetoras f : A −→ B podemos definir?

Questao 196 Sabendo que o sistema linear[−3 4−1 2

] [xy

]= λ

[xy

]possui solucoes nao–nulas, isto e, [

xy

]6=[00

],

determine os valores do parametro λ.

44



Questao 197 Determine a area do trapezio ABCD inscrito em uma circunferencia de raior = 3 cm de modo que AB = 6 cm e AB e paralelo a CD, e o angulo entre suas diagonaismede 60o, como mostra a figura abaixo.

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.....

.............

.....

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..................A r Br

CrD r

Questao 198 Considere um copo no formato de um cilindro circular reto, com altura L e raioda base r, e um copo no formato de um paralelepıpedo com uma base quadrada e altura L, comona figura abaixo.

(a) Determine a area da base do copo no formato de um paralelepıpedo de modo que tenha omesmo volume do copo cilındrico.

(b) Considerando o caso em que os dois copos tem o mesmo volume, determine o copo que tema area da superfıcie menor. Justifique sua resposta.

45



Questao 199 Sejam f : IR −→ IR uma funcao par, isto e, f(−x) = f(x), g : IR −→ IR umafuncao ımpar, isto e, g(−x) = −g(x), e a funcao h : IR −→ IR definida da forma:

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) ,

ou seja, h e a composta de uma funcao ımpar com uma funcao par. Podemos afirmar que ografico da funcao h e simetrico em relacao ao eixo das ordenadas?. Justifique sua resposta.

Questao 200 Uma colomba Pascal esta embalada numa requintada lata ornamentada. O pesototal desse produto, isto e, a soma do peso da colomba Pascal e o peso da Lata, e igual a 800gramas. Depois de terem sido consumidos 60% da colomba Pascal, o peso total passa a ser iguala 416 gramas. Determine o peso da lata.


“A area do semicırculo construıdo sobre a hipotenusa de um triangulo retangulo e igual a somadas areas dos semicırculos construıdos sobre os catetos”

Justifique sua resposta.


“Sejam tres numeros inteiros positivos e consecutivos, entao o produto deles e multiplo de 3”

Justifique sua resposta.

46



Questao 203 Considere um trabalhador que hoje recebe um salario de R$ 1.200, 00. Determineem quantos anos recebera um salario maior que R$ 6.000, 00 tendo 20% de aumento anual.Caso necessario, utilize as seguintes aproximacoes:

log10(5) ≈ 0, 7 e log10(1, 2) ≈ 0, 08 .

Questao 204 Dois tipos de velas tem o mesmo comprimento e sao feitas de materiais diferentes,uma queima completamente em 3 horas e a outra em 4 horas. Considere que as velas queimamde maneira uniforme. A que horas as velas devem ser acesas de modo que as 16 horas, ocomprimento de uma seja o dobro do comprimento da outra?

Questao 205 Sabendo que o numero natural 248 − 1 possui dois divisores naturais entre 60 e70, determine esses divisores.

Questao 206 Em uma reuniao social participam dez amigo, que trocam cumprimentos entre si.determine quantos cumprimentos foram trocados.

Questao 207 Considere um retangulo inscrito numa circunferencia de diametro d = 5 cm,como mostra a figura abaixo. Sabendo que um dos lados do retangulo mede 3 cm, determine aarea do retangulo.

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.....................

.....................

.....................

.......................................

.......................................

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.......

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.....................

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....................

Questao 208 As pessoas que participaram de uma reuniao apertaram–se as maos. Uma delasnotou que no total foram 120 cumprimentos. Quantas pessoas participaram dessa reuniao?

Questao 209 Quarenta e cinco pessoas, entre rapazes e mocas, compareceram a um baile. Mariadancou com 8 rapazes; Teresa dancou com 10 rapazes; Mara dancou com 12 rapazes, e assimpor diante, ate Celia que dancou com todos os rapazes. Determine quantos rapazes e quantasmocas compareceram ao baile.

47



Questao 210 Faca a representacao grafica e determine a area da regiao do plano cartesiano cujospontos satisfazem simultaneamente as seguintes desigualdades

x + y ≥ 4

0 ≤ x ≤ 5

0 ≤ y ≤ 6

Utilize o sistema de coordenadas abaixo para fazer a representacao da regiao.

-

6

0

6

4

2

4 62

Questao 211 Um casal de coelhos recem–nascidos comeca a reproducao com a idade de um mese, a partir de entao, produz um casal de coelhos por mes. Considere que iniciamos uma criacaocom um casal de coelhos recem–nascidos e que nenhum dos coelhos que nasceram a partir dessecasal morreu.

(a) Determine o numero de casais de coelhos que teremos no inıcio do sexto mes.

(b) Determine uma expressao para o numero de casais de coelhos no inıcio do n–esimo mes.

(c) Denotando por Cn, para n = 1, 2, · · · , o numero de casais de coelhos no inıcio do n–esimomes, como e conhecida a sequencia (Cn)n∈IN obtida no item (b) ?

Questao 212 Um sitiante vendeu ao primeiro dos seus fregueses a metade das macas do seupomar mais meia maca. Para o segundo fregues, vendeu a metade das macas restantes mais meiamaca. Ao terceiro fregues, vendeu a metade de quantas macas que ficaram mais meia maca, eassim sucessivamente. O nono fregues comprou a metade das frutas restantes mais meia maca,com isso esgotando todas as macas do pomar. Determine quantas macas tinham no pomar.

48



Questao 213 Foi observado em laboratorio que a quantidade de uma determinada bacteria, nummeio de cultura, a cada dia e diretamente proporcional ao numero de bacterias do dia anteriormais duas bacterias. Por simplicidade vamos denotar por K a constante de proporcionalidade epor Q1 o numero de bacterias no primeiro dia.

(a) Determine o numero de bacterias no terceiro dia de cultura, considerando K = 2 eQ1 = 10.

(b) Determine uma expressao para o numero de bacterias no n–esimo dia de cultura, em funcaode K , Q1 e n.

Questao 214 Temos trinta reais para comprar vinte selos postais de tres valores diferentes, asaber: R$ 4, 50, R$ 2, 50 e R$ 0, 50. Determine de quantas maneiras podemos comprar os vinteselos, entre cada um desses valores, gastando os trinta reais.

Questao 215 Um grupo de amigos pediram tres pizzas, a saber: uma especial grande, uma comumgrande e uma comum pequena. Se cada um deles pagar R$ 9, 80, faltam R$ 7, 20 para pagar aconta. Se cada um deles pagar R$ 11, 60, recebem R$ 3, 60 de troco.

(a) Quanto tem que pagar cada um dos amigos para que o dinheiro esteja certo?

(b) Sabendo que a relacao entre o preco da pizza especial grande e o preco da pizza comum

grande e de6

4e que a relacao entre o preco da pizza comum grande e o preco da pizza

comum pequena e de5

4, determine o valor de cada uma das pizzas.

Questao 216 Um jardim que possui uma forma quadrada tem em cada um de seus vertices umposte de iluminacao. Determine como podemos reformar esse jardim mantendo a sua formaquadrada com o dobro de area do original e sem retirar os postes de iluminacao de seus lugares.Faca uma representacao grafica da situacao descrita no problema.

49



Questao 217 Na ilustracao da figura abaixo, temos quatro circunferencias com o mesmo raioe cujos centros estao sobre o diametro da circunferencia maior. Considerando que o diametroda circunferencia maior mede 20 cm, determine o raio da circunferencia que tangencia as duascircunferencias de mesmo raio e a circunferencia maior.

Questao 218 Seja P um ponto no interior de um triangulo equilatero. Mostre que a soma dasmedidas dos tres segmentos com origem em P e o ponto de interseccao da perpendicular a cadaum dos lados do triangulo e igual a medida de uma das alturas do triangulo, como ilustra a figuraabaixo.

50



Questao 219 Determine o centro e o raio da circunferencia passando pelos pontos A , B e Cmarcados no reticulado regular da figura abaixo. Por simplicidade, considere que o lado de cadaquadrado do reticulado mede 1 cm. Justifique sua resposta.

Cu

BuAu

Questao 220 Considere o reticulado regular da figura abaixo, mostre que o angulo ∠AOB eigual ao angulo ∠A′O′B′. Por simplicidade, considere que o lado de cada quadrado do reticuladomede 1 cm.

HHHHHH

HHHHHH

HHHHHHHH

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

A O

B

u

A′

O′

B′

u

51

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