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$: Sugest~oes de Quest~oes para a OMU { N vel Alfapulino/BancoQuestoesOMU/BancoQuestoes... · Quest~ao 1 Os comprimentos dos lados de um determinado ret^angulo s~ao numer os inteiros$
XXVII Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

Sugestoes de Questoes para a OMU – Nıvel Alfa

1



Questao 1 Os comprimentos dos lados de um determinado retangulo sao numeros inteiros

positivos. Determine os comprimentos desses lados de modo que o perımetro e a area desse

retangulo sejam expressos pelo mesmo numero.

Questao 2 Claudina deseja comprar um chapeu que custa 59 reais, entretanto Claudina

tem somente notas de 2 reais e o caixa da loja tem somente notas de 5 reais. Nessas

condicoes, sera possıvel pagar a compra e o caixa devolver o troco?

Questao 3 Jose trabalha em duas empresas diferentes. Na primeira empresa tem um salario

de R$ 1.500, 00 e teve um aumento salarial de 14 %. Na segunda empresa tem um salario

de R$ 2.000, 00 e teve um aumento salarial de 12 %. Determine a porcentagem do aumento

do rendimento mensal do Jose.

Questao 4 Um carpinteiro possui uma prancha de madeira com 80 cm de comprimento e

30 cm de largura. Determine como devera cortar essa peca em duas pecas iguais de modo

que juntas formem uma peca com 120 cm de comprimento e 20 cm largura.

Questao 5 Um revestimento ceramico retangular que possui 20 cm de largura por 30 cm

de comprimento e vendido somente em caixas com 20 pecas cada uma. Determine o

numeros mınimo de caixas que devem ser compradas para cobrir o piso de uma cozinha que

possui 3, 6m de largura por 4, 2m de comprimento, lembrando que devemos comprar

sempre 10 % a mais que o necessario.

Questao 6 Determine dois numeros naturais de modo que a soma deles seja igual a 600

e a diferenca entre eles seja igual a2

3do menor.

Questao 7 Um carpinteiro deseja cortar uma ripa de 1, 20m de comprimento em duas

partes, de maneira que uma parte tenha 10 cm a mais que a outra. Determine as medidas

de cada uma das partes.

Questao 8 Um jardim que possui uma forma quadrada tem em cada um de seus vertices

um poste de iluminacao. Determine como podemos reformar esse jardim mantendo a sua

forma quadrada com o dobro de area do original e sem retirar os postes de iluminacao de

seus lugares. Primeiramente faca uma ilustracao da situacao descrita no problema.

2



Questao 9 As pessoas que participaram de uma reuniao apertaram–se as maos. Uma delas

notou que no total foram 120 cumprimentos. Quantas pessoas participaram dessa reuniao?

Questao 10 Um jardim retangular tem em sua volta uma calcada de dois metro de largura.

Se a area desta calcada mede 80m2, determine o perımetro do jardim. Primeiramente faca

uma ilustracao da situacao descrita no problema.

Questao 11 Considere um triangulo em que o menor angulo e a metade do maior angulo,

e o menor angulo mais o maior angulo e duas vezes o terceiro angulo. Determine os angulos

desse triangulo.

3



Questao 12 Considere um quadrado com 0, 25m2 de area, do qual retiramos um pequeno

quadrado com lado medindo x cm, como mostra a figura abaixo.

x

Determine quanto mede o lado do quadradinho retirado se a nova figura tem:

(a) um perımetro de 2, 5m.

(b) um perımetro menor do que 2m.

(c) um perımetro que pode estar entre 2m e 3m.

(d) uma area de 0, 16m2.

Questao 13 Uma urna contem 6 bolas identicas, 3 pretas e 3 brancas. Quais sao as

possıveis maneiras de se retirar 4 bolas?

Questao 14 Estime o volume, em centımetros cubicos, de uma lata de um litro azeite.

Questao 15 Ouve-se dos meteorologistas a frase: Hoje choveu 100mm. O que voce entende

por esta frase.

Questao 16 Escreva os numeros 0, 1, 2, 3 e 4 utilizando apenas os algarismos 2, 0, 0 e

1, aparecendo nessa ordem, intercalando convenientemente apenas as operacoes de soma,

subtracao, multiplicacao e divisao.

4



Questao 17 Considere um triangulo equilatero ABC de lados `. Mostre que ao dupli-

carmos um dos angulos internos, mantendo dois lados iguais a `, obtemos um triangulo

isosceles. Calcule o terceiro lado do triangulo isosceles.

Questao 18 Quantos pares de arestas paralelas tem um cubo?

Questao 19 Em um triangulo ABC, as medianas que partem dos vertices A e B sao

perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, determine o comprimento do lado AB.

Questao 20 Considere um ponto P interior ao retangulo ABCD e tal que PA = 3 ,

PB = 4 e PC = 5. Determine o comprimento do segmento PD.

5



Questao 21 Na figura abaixo, ABCD e um quadrado de lado L e CEF e um triangulo

equilatero. Determine o comprimento do lado do triangulo equilatero em funcao do compri-

mento do lado do quadrado.

Ar

Br

CrDrE r

Fr

Questao 22 Na figura abaixo, ABCD e um quadrado e CEF e um triangulo equilatero

de area igual a√

3. Determine a area do quadrado.

Ar

Br

CrDrE r

Fr

Questao 23 Claudina, Samuel e Adolfo foram a uma pizzaria comemorar o final do projeto

M3– Matematica Multimıdia. Como Adolfo esqueceu de levar a carteira e o cartao de credito,

Samuel e Claudina pagaram a conta da pizzaria. Claudina gastou R$ 45, 80 e Samuel gastou

R$ 36, 40. Quantos reais Adolfo deve devolver para Claudina ?

Questao 24 Determine tres numeros naturais consecutivos tais que o quadrado do segundo

numeros seja igual ao produto dos outros dois mais um.

Questao 25 Num determinado produto farmaceutico a concentracao do princıpio ativo e de

100 (mg/ml). Se a receita medica prescreve 30ml do remedio tres vezes ao dia, quantas

gramas do princıpio ativo sao ministradas diariamente ao paciente?

6



Questao 26 O custo total para a producao de um determinado produto a a soma de um

valor fixo R$ 600, 00 com o custo de producao unitario de R$ 2, 00. Se o preco unitario de

venda desse produto for de R$ 3, 50.

(a) Determine a quantidade mınima que deve ser comercializada para que essa empresa

apresente lucro. Faca uma representacao grafica da situacao descrita no problema.

(b) Determine uma funcao que represente o lucro da empresa em termos da quantidade

comercializada.

Questao 27 Determine dois numeros reais tais que duas vezes o primeiro mais o segundo

e igual a 19, e a soma do segundo mais 21 e igual a tres vezes o primeiro numero.

Questao 28 Na figura abaixo ilustramos em perspectiva o corte de uma peca macica de cobre

que e composta por dois paralelepıpedos, um deles com dimensoes 30 cm × 20 cm × 60 cm

e o outro com dimensoes 20 cm× 40 cm× 60 cm. Sabendo que o cobre tem uma densidade

volumetrica igual a 8, 9 (g/cm3), determine quantas gramas pesa essa peca.

��

��

��

��

7



Questao 29 Na figura abaixo temos a ilustracao da area construıda de um apartamento na

escala 1 : 100, isto e, cada centımetro da planta equivale a 100 centımetros na construcao.

Determine quantos metros quadrados tem esse apartamento.

��

��

��

10 cm

4 cm

2 cm

3 cm1 cm

3 cm

3 cm

10 cm

.

.................

.....................................................

45o

Questao 30 Determine as dimensoes de um retangulo com 48 cm2 de area e com 28 cm

de perımetro.

x

y

8



Questao 31 Na figura abaixo temos a ilustracao de uma regiao R inscrita num quadrado

com lado medindo 10 cm.

(a) Determine a area dessa regiao em funcao da variavel x que aparece na ilustracao, e

tambem o maior intervalo que essa variavel pode pertencer.

(b) Determine quantos centımetros quadrados tem a maior regiao possıvel.

(c) Determine quantos centımetros quadrados tem a menor regiao possıvel.

��

HHHHHH

HHHHHH

ZZZZZZZZZZZZ

R

x

2x 5 cm

2x

Questao 32 Mostre que a area do trapezio e dada por:

A =h

2(L1 + L2 ) ,

onde L1 e o comprimento da base maior, L2 e o comprimento da base menor e h e a

altura do trapezio.

@@@@@@�

��

h

L1

L2

Questao 33 Um jardim retangular com 8m de comprimento por 4m de largura tem em

sua volta uma calcada de x metros de largura. Se o perımetro do retangulo formado pelo

jardim com a calcada e duas vezes maior que o perımetro do jardim, determine a largura da

calcada. Primeiramente faca uma ilustracao da situacao descrita no problema.

9



Questao 34 Determine a area e o perımetro da figura abaixo.

......................

.........................................

....................................................................................................................................................................................................

.....................

....................

.....................

......................

......................

......................

.............

.........

.............

........

......................

......................

......................

.....................

a

6 cm

9 cm

2 cm

Questao 35 Na figura abaixo temos um dispositivo de fita corretiva que e composto por

duas engrenagem. Uma engrenagem menor que faz girar uma engrenagem maior onde a fita

corretiva esta enrolada. A fita corretiva mede 5, 5m.

(a) Sabendo que o diametro da engrenagem menor mede aproximadamente 15mm e o

diametro da engrenagem maior mede aproximadamente 30mm, determine o numero

de voltas necessarias da engrenagem menor para desenrolar toda fita corretiva.

(b) Sabendo que a engrenagem menor possui 19 dentes e que a engrenagem maior possui

38 dentes, determine o numero de voltas necessarias da engrenagem menor para que

a engrenagem maior realize 114 voltas.

Caso seja necessario, utilize a seguinte aproximacao π ≈ 3, 1416.

10



Definicao 1 Vamos considerar um quadrado com uma orientacao na enumeracao dos seus

vertices, como ilustra a figura abaixo.

1q

2q

3q4q

e as seguintes transformacoes realizadas sobre esse quadrado:

1. A transformacao X representa uma rotacao do 180o em torno do centro do quadrado

no sentido anti–horario.

2. A transformacao Y representa uma reflexao em torno de um eixo horizonte que passa

pelo centro do quadrado.

3. A transformacao Z representa uma reflexao em torno de um eixo vertical que passa

pelo centro do quadrado.

4. Denotamos por I a transformacao identidade, isto e, a transformacao I deixa o

quadrado na sua posicao original.

Na figura abaixo temos as ilustracoes das transformacoes descritas acima.

X

q3q

4q

1q2q

Y

4q

3q

2q1q

Z

2q

1q

4q3q

11



Questao 36 Considerando as transformacoes sobre o quadrado dadas pela Definicao 1 e a

operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.

◦ I X Y Z

I

X

Y

Z

Questao 37 Considere as seguintes matrizes:

I =

[1 0

0 1

], X =

[0 1

1 0

], Y =

[−1 0

0 −1

]e Z =

[0 −1

−1 0

].

Considerando a operacao de multiplicacao de matrizes, que denotamos por ∗, complete a

tabela abaixo.

∗ I X Y Z

I

X

Y

Z

12



Definicao 2 Vamos considerar um triangulo equilatero com uma orientacao na enumeracao

dos seus vertices, como ilustra a figura abaixo.

1r

2r

3r

e as seguintes transformacoes realizadas sobre esse triangulo.

1. A transformacao X representa uma rotacao do 120o em torno do centro do triangulo


2. A transformacao Y representa uma reflexao em torno de um eixo vertical que passa

pelo ponto medio do lado oposto ao vertice 3 do triangulo original.


triangulo na sua posicao original.

Na figura abaixo temos as ilustracoes das transformacoes descritas acima

X3r

1r

2rr

Y2r

1r

3r

13



Questao 38 Considere a transformacao X sobre o triangulo equilatero dada pela Definicao

2 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.

◦ I X X2

I

X

X2

onde X2 = X ◦X representa duas rotacoes de 120o em torno do centro do triangulo no

sentido anti–horario.

Questao 39 Considerando as transformacoes X e Y sobre o triangulo equilatero dadas

pela Definicao 2 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete

a tabela abaixo.

◦ I X X2 Y

I

X

X2

Y

onde X2 = X ◦X representa duas rotacoes de 120o em torno do centro do triangulo no

sentido anti–horario.

Questao 40 Considerando as transformacoes X e Y sobre o triangulo equilatero dadas

pela Definicao 2 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, faca a

ilustracao de uma nova transformacao definida por X ◦ Y ◦ X2, onde X2 = X ◦ Xrepresenta duas rotacoes de 120o em torno do centro no sentido anti–horario.

rr r

r

14



Definicao 3 Vamos considerar um quadrado com uma orientacao na enumeracao dos seus

vertices, como ilustra a figura abaixo.

1q

2q

3q4q

e as seguintes transformacoes realizadas sobre esse quadrado:

1. A transformacao X representa uma rotacao do 90o em torno do centro do quadrado


2. A transformacao Y representa uma reflexao em torno de um eixo que passa pelos

vertices 1 e 3 do quadrado original.

3. A transformacao Z representa uma reflexao em torno de um eixo que passa pelos

vertices 2 e 4 do quadrado original.


quadrado na sua posicao original.

Na figura abaixo temos as ilustracoes das transformacoes descritas acima.

X

q4q

1q

2q3q

Y

4q

1q

3q2q

Z

3q

2q

1q4q

15



Questao 41 Considerando as transformacoes X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela

Definicao 3 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, faca a ilustracao

das transformacoes definidas abaixo:

(a) Y ◦ Z = Z ◦ Y .

(b) X ◦ Y ◦ Z, e verifique que essa transformacao e igual a X3.

(c) X ◦ Y ◦X, e verifique que essa transformacao e igual a Z .

onde X2 = X ◦X que representa duas rotacoes de 90o e X3 = X ◦X2 representa tres

rotacoes de 90o em torno do centro do quadrado no sentido anti–horario.


Definicao 3 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, complete a

tabela abaixo.

◦ I X X2 X3 Y Z

I

X

X2

X3

Y

Z

onde X2 = X ◦X que representa duas rotacoes de 90o e X3 = X ◦X2 representa tres



Definicao 3 e a operacao de composicao de transformacoes, denotada por ◦, faca a ilustracao

de uma nova transformacao definida por Y ◦X3 ◦ Z, onde X3 = X ◦X2 representa tres


q q

qqq

16



Questao 44 Determine um numero natural com dois dıgitos cuja soma dos dıgitos seja

igual a dez e que o numero seja igual a dezesseis vez a sua unidade.

Questao 45 Determine tres numeros ımpares consecutivos cuja soma seja igual a 51.

Questao 46 Escreva o numero natural 2011 como a soma de dois numeros naturais de

modo que o maior deles seja igual a tres vezes o menor mais tres.

Questao 47 A sombra de uma palmeira mede 4, 5m no mesmo instante em que uma vara

vertical de 2m colocada proxima ao local tem uma sombra de 90 cm. Qual e a altura da

palmeira?

Questao 48 Uma engrenagem com cinquenta dentes faz girar uma outra engrenagem com

quarenta dentes. Quantas voltas realiza a primeira engrenagem enquanto a segunda realiza

cem voltas?

Questao 49 Um texto formatado com vinte e cinco linhas em cada pagina sao necessarias

300 paginas para a sua impressao. Se forem colocadas vinte linhas (do mesmo comprimento)

em cada pagina, quantas paginas tera o texto impresso?

Questao 50 A soma de dois numeros naturais e 124. Dividindo–se o maior pelo menor o

quociente e 3 e o resto 8. Quais sao os numeros?

Questao 51 Sergio e seu filho Andre possuem juntos uma propriedade tendo direito a partes

iguais. Sergio alem de Andre tem outros dois filhos, Lıvia e Eduardo, e pretende dividir sua

parte igualmente entre os tres filhos. No total, que fracao da propriedade cabera a cada um

dos filhos?

Questao 52 Um pintor utiliza de uma lata de tinta para pintar uma parede quadrada de

lado 2 metros. Quanto gastara de tinta para pintar uma parede retangular de 6 metros de

comprimento e 3 metros de altura.

17



Questao 53 Susana sabe que precisa de 3600 ladrilhos de 1 dm2 cada um para ladrilhar

um piso de sua casa. Entretanto, ela gostou de um tipo de ladrilho que tem 1, 2 dm2.

Quantos ladrilhos desse tipo ela precisa comprar?

Questao 54 No perıodo da manha em uma escola a terca parte do total de alunos tem

menos de 12 anos, a metade tem de 12 a 13 anos e 50 alunos tem mais de 13 anos.

Quantos alunos estudam no perıodo da manha na escola?

Questao 55 Encontre dois multiplos consecutivos de 11 que somados seja igual a 319.

Questao 56 Encontre tres multiplos consecutivos de 7 que somados seja igual a 336.

Questao 57 Quais conjuntos de numeros que somados dao 10 e multiplicados dao o maior

valor possıvel?

Questao 58 Quais sao os numeros que divididos por 5 tem resto 4 e divididos por 3 tem

resto 2?

18



Questao 59 Em um relogio de ponteiros, em alguns momentos, o ponteiro de minutos fica

exatamente em cima do ponteiro de horas.

(a) Que momentos sao esses?

(b) Expresse seus resultados em fracoes de horas e em horas, minutos e segundos.

Questao 60 Qual e o menor numero que tem exatamente 14 divisores?

Questao 61 Quantos triangulos retangulos existem que tenham os comprimentos dos tres

lados dados em numeros naturais (de unidades de comprimento) e que nenhum lado exceda

100 unidades de comprimento?

Questao 62 Cinco numeros somados dois a dois fornecem os seguintes resultados:

0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 .

Quais sao esses cinco numeros?

Questao 63 Um construtor pavimenta o centro de um grande patio com pecas quadradas de

uma ceramica especial. A area pavimentada e quadrada. Ao terminar a pavimentacao, o pro-

prietario gostou da ceramica e solicita que aumente a area pavimentada com esta ceramica.

Para tanto o construtor diz que devem ser compradas mais 100 pecas da ceramica. Quantas

pecas no total a nova area pavimentada vai possuir?

Questao 64 Considere um quadrado fixo de lado 10 cm e outro quadrado similar, mas que

pode se mover em torno do quadrado fixo, conquanto mantenha sempre um lado encostado

ao quadrado fixo e nao possa ser girado. Agora considere um ponto fixo em algum lugar do

quadrado movel. Calcule o comprimento do percurso possıvel que esse ponto pode fazer se o

quadrado movel fizer uma volta completa em torno do quadrado fixo?

Questao 65 Considere numeros naturais de dois dıgitos, 47 por exemplo. Usando as qua-

tro operacoes, explique como obter o numero com os numeros invertidos, 74 no exemplo.

Desenvolva a explicacao em geral, nao apenas no exemplo.

19



Questao 66 Um historiador em 2100 descobre uma tabela de resultados de um turno de

campeonato estadual de futebol de 1987. No entanto a tabela tem varias informacoes apa-

gadas pelo tempo. Mesmo assim ele recupera todos os dados sabendo que os quatro times se

enfrentariam um ao outro uma vez nesse turno, cada vitoria dava 3 pontos ao vencedor e

1 ponto para cada time em caso de empate. Complete a tabela abaixo.

Tabela 1: Campeonato Tapajara

Time Jogos Vitorias Empates Derrotas Gols a favor Gols contra Pontos

A 4 4

B 5 7

C 0 4 2

D 0 3 0

Questao 67 Complete a piramide de forma que cada numero acima e resultado dos dois

que o suportam.

(a) Complete a piramide com os numeros que faltam:

(b) Encontre uma relacao entre os pares de numeros x e y.

Questao 68 Uma sugestao de treino para a iniciacao em corridas de rua e alternar uma

caminhada de quatro minutos com uma leve corrida de um minuto e meio, iniciando o treino

com a caminhada. Uma pessoa realiza esse treino durante trinta e sete minutos, quantas fases

de corrida serao feitas?

20



Questao 69 Considere um campo de futebol com as dimensoes indicadas na figura abaixo,

com um jardim numa faixa de vinte metros em torno do gramado. Serao utilizados tres tipos

de gramas. Para o gramado sera utilizada a grama sao carlos, para as areas em forma de

triangulo isosceles sera utilizada a grama esmeralda e para completar a faixa do jardim sera

utilizada a grama coreana. Determine quantos metros quadrados serao necessarios de cada

tipo de grama.

PPPPPPPPP��

��

��

��PPPPPPPPP

JJJJJ

JJJJJ

60m

120m

gramado do campo

Questao 70 20 pontos

Considere que o quadriculado abaixo represente as ruas de uma cidade e que se pode trafegar

nos dois sentidos em todas as ruas. Definimos como sendo uma quadra a distancia entre

uma esquina e uma outra mais proxima.

Eu

Fu

(a) Determine o menor numero de quadras para ir da localidade E ate a localidade F .

21



(b) De quantas maneiras diferentes pode ser feito um trajeto com o menor numero possıvel

de quadras entre as localidades E e F?

22



Questao 71 Considere que no reticulado abaixo a area de cada quadradinho seja igual a

1m2. Determine a area da regiao sombreada.

@@@@@@

��

PPPPPPPPP

��

AAAAAA

��

��

��

QQQQQQQQQ

��

HHHHHH

HHHHHH

Questao 72 Uma pessoa quer saber a altura de uma torre de telefonia celular da qual nao

tem acesso. Para tal, demarca, em linha reta a partir do pe da torre e no mesmo nıvel do

pe da torre, dois pontos distantes 24 metros. Em cada um destes pontos, com um teodolito

(medidor de angulos e distancias) apontado para o topo da torre mede os angulos de 30o e

45o, respectivamente.

(a) Esbocar um desenho da situacao descrita no problema acima.

(b) Calcular a altura da torre. Considere, para efeito de calculo, tan(30o) = 0, 57.

23



Questao 73 Na figura abaixo temos um quadrado de lado unitario. Qual e a area do qua-

drado que esta no centro do quadrado de maior area?

��

��

��

��

��

��A

AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAA

24

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