quest~oes discurssivas -...
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Questoes Discurssivas
1) Um fazendeiro deseja delimitar uma area retangular utilizando 40m decerca e aproveitando um muro (de mais de 40m) que ja esta construıdo. De-termine as dimensoes do retangulo de maior area que o fazendeiro conseguedelimitar.
Seja x o comprimento dos lados do retangulo perpendiculares ao muroe y o comprimento do lado do retangulo paralelo ao muro.
Com isto a metragem utilizada e cerca de 2x+ y.
Daı 2x+ y = 40⇒ y = 40− 2x
A area do reangulo e dada por xy.
Logo, queremos maximizar xy = x(40−2x), polinomio quadratico comcoeficiente negativo, com raızes x = 0 e x = 20.
Seu valor maximo ocorre em x = 10 (ponto medio entre as raızes)
Logo y = 40− 2.10 = 20.
2) As figuras a seguir mostram duas circunferencias distintas, com centrosC1 e C2 que se intersectam nos pontos A e B. Uma reta r passa por A, cortaa circunferencia da esquerda em P e a circunferencia da direita em Q e e talque A esta entre P e Q.
a) Mostre que se r e paralela a retaC1C2 o segmento PQ e o dobro do seg-mento C1C2.Atencao: a figura deve ser feita nocaderno de respostas
1
b) Mostre que se r nao e paralela areta C1C2 o segmento PQ e menor queo dobro do segmento C1C2.Atencao: a figura deve ser feita nocaderno de respostas
Resolucao a)
Seja M o ponto medio do segmento PA e N o ponto medio do segmentoAQ.
Como PA e uma corda da circunferencia a esquerda, de centro C1,entao C1M e perpendicular a PA.
Da mesma forma C2N e perpendicular a AQ.
Alem disso, sendo C1C2 paralelo a reta r, segue que C1C2 e perpendi-cular aos segmentos C1M e C2N .
Entao C1C2MN e um retangulo. Disso decorre que NM= C1C2.
Logo, PQ = PM +MA+ AN +NQ.
Como PM = MA e AN = NQ, segue que PQ = 2(MA + AN) =2MN = 2C1C2.
Resolucao b)
Sejam M e N como no item (a).
Seja lM a reta contendo C1M e lN a reta contendo C2N .
As duas retas sao perpendiculares a PQ e paralelas entre si.
A distancia mınima entre dois pontos que estejam cada um em umadessas retas ocorre quando o segmento por esses pontos e perpendiculara ambas as retas, como e o caso de MN .
Em outras palavras, quando o segmento pelos dois pontos e paralelo ar.
Entao, como C1C2 nao e paralelo a r, po hipotese, C1C2 > MN .
2
Daı segue que PQ = 2(MA + AN) = 2MN > 2C1C2, como se queriademonstrar.
3) Um engenheiro fara uma passarela de 10 metros de comprimento, li-gando a porta da casa ao portao da rua. A passarela tera um metro delargura e ele, para revesti-la, dispoe de 10 pedras quadradas de lado 1 metroe 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras sao damesma cor, as pedras de mesmo tamanho sao indistinguıveis umas das outrase o rejunte ficara aparente, embora com espessura desprezıvel. De quantasmaneiras ele pode revestir a passarela?
Resolucao
Sejam n,m o numero de pedras 1x1 e 2x1, respectivamente.
Para a passarela de 10m2, temos as seguintes possibilidades para (n,m) :(10, 0), (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4) e (0, 5).
Em cada um dos casos (10,0) e (0,5) so ha uma maneira de revestir apassarela, ja que todas as pedras sao iguais.
No caso (8,1), ha 9 possibilidades de se colocar a unica pedra de 2m2
junto com as 8 pedras de 1m2.
Note que nenhuma destas disposicoes e equivalente entre si, pois asduas pontas da passarela sao distinguıveis entre si.
A mesma observacao vale para a analise dos casos restantes.
De um total de n+m pedras, basta escolher as m posicoes das m pedras
de 2m2. Para isso, ha
(n+mm
)= (n+m)!
n!m!escolhas.
Para (n,m) = (6, 2) obtemos8!
2!6!= 28.
Para (n,m) = (4, 3) obtemos7!
3!4!= 35
Para (n,m) = (2, 4) obtemos6!
2!4!= 15.
Portanto, o total e igual a 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89.
3
Questoes Objetivas
1) Qual dos numeros abaixo e o mais proximo de 0,7?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
E) 5/7
Resolucao
1/2 = 0, 5
2/3 = 0, 6666...
3/4 = 0, 75
4/5 = 0, 8
5/7 = 0, 71...
• Resposta: E
2. Considere tres numeros a, b e c. A media aritmetica entre a e b e 17 ea media aritmetica entre a, b e c e 15. O valor de c e:
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 15
Resolucao
a+ b
2= 17
a+ b = 34
4
a+ b+ c
3= 15
a+ b+ c = 45
Logo, c = 45− 34 = 11
• Resposta: C
3. O numero total de divisores positivos de 10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 e iguala:
A) 15
B) 270
C) 320
D) 1024
E) 10!
Resolucao
10! = 10× 9× 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1 = 1× 7× 52 × 34 × 28
Consideremos α = {0, 1}, β = {0, 1, 2}, γ = {0, 1, 2, 3, 4} e θ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Os possıveis divisores de 10! sao da forma 7a × 5b × 3c × 2d.
Para a ∈ α temos duas possibilidades.
Temos 2× 3× 5× 9 = 270 possıveis divisores de 10!.
• Resposta: B
4. A figura mostra um pentagono re-gular estrelado inscrito em uma circun-ferencia. O angulo x mede:
A) 108 ◦
B) 120 ◦
C) 136 ◦
D) 144 ◦
E) 150 ◦
5
Resolucao
Vamos decompor o pentagono em tres triangulos.
A soma dos angulos internos do pentagono e 5x.
A soma dos angulos internos do triangulo e 180◦.
Desta forma teremos: 5x = 3× 180 ◦.
x = 108 ◦
• Resposta: A
5. No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos A = (4, 3) e B =(6, 4) corta os eixos nos pontos P e Q. O comprimento do segmento PQ e:
A) 1
B)√
2
C)√
3
D)√
5
E) 2
Resolucao
Equacao geral da reta que passa por A(x1, y1) e B(x2, y2) :
y1 − y2 = m(x1 − x2)
Para A(4, 3) e B(6, 4): m =1
2e y − 3 =
1
2(x− 4).
Ou seja, y =1
2x+ 1
Com isso, P (0, 1) e Q(−2, 0) sao as intersecoes com os eixos.
Pelo Teorema de Pitagoras: PQ2
= OP2
+OQ2
= 5.
• Resposta: D
6
6. O grafico ao lado mostra onumero de atendimentos de pacien-tes com uma certa doenca num ambu-latorio no primeiro semestre de 2010.Quando houve o maior decrescimo per-centual no numero de atendimentos?
A) Entre janeiro e fevereiro.
B) Entre fevereiro e marco.
C) Entre marco e abril.
D) Entre abril e maio.
E) Entre maio e junho.
Resolucao
Entre janeiro e fevereiro nao houve decrescimo.
Entre fevereiro e marco.:200− 160
200=
40
200=
1
5= 20%
Entre marco e abril:160− 120
160=
40
160=
1
4= 25%
Entre abril e maio:120− 84
120=
36
120=
3
10= 30%
Entre maio e junho:84− 63
84=
21
84=
1
4= 25%
• Resposta: D
7. Meninas formaram uma roda. Maria e a quinta garota a esquerda deDenise e e a sexta garota a direita de Denise. Quantas meninas estao naroda?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
7
E) 17
Resolucao
Contando no sentido horario, a partir de Denise ate Maria temos cincomeninas, pois Maria e a quinta garota a esquerda de Denise.
Ainda no sentido horario, a partir de Maria ate Denise temos seis me-ninas, pois Maria e a sexta menina a direita de Denise.
Entao temos na roda 5 + 6 = 11 meninas.
• Resposta: B
8. Se a medida do diametro de um cırculo aumenta em 100%, entao amedida da sua area aumenta em:
A) 300%
B) 100%
C) 200%
D) 400%
E) 314%
Resolucao
Sejam A e A′ a area do cırculo e a area do cırculo aumentado, respec-tivamente.
A = πr2
A′ = π(2r)2 = 4πr2
Observamos que A′ = A+ 3πr2
Ou seja, o acrescimo foi de 300%.
• Resposta: A
9. Seu Joao precisa pesar uma pera em uma balanca de dois pratos. Elepossui 5 pesos distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e 81g. Seu Joao, equilibrando apera com os pesos, descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam nomesmo prato que a pera?
8
A) 1, 9 e 27
B) 3 e 27
C) 9 e 27
D) 1 e 9
E) 3 e 9
Resolucao
Sabemos que 81 esta no prato sem a pera.
Para alcancar 81, temos que por algum peso junto com a pera.
Porem, nao temos um peso que somado com 61 resulta 81.
Entao usaremos com a pera os pesos 3 e 27, resultando em 61+3+27 =91.
Para equilibrar a balanca, acrescentamos 1 e 9 no prato que contem 81.
Portanto, os pesos 3 e 27 estao no mesmo prato que a pera.
• Resposta: B
10. A figura abaixo apresenta o grafico da funcao f(x) = 3x4−16x3+18x2
no intervalo [−1, 4].
Quantas solucoes reais distintas possui a equacao 3x4−16x3+18x2 = −10no intervalo [−1, 4]?
9
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolucao
As raızes reais da equacao 3x4 − 16x3 + 18x2 = −10, sao dadas pelainterseccao da reta horizontal y = −10 com o grafico da funcao.
Entao, sao duas raızes.
• Resposta: C
11. Dado que todos os A’s sao B’s, mas apenas alguns B’s sao C’s, qualdas alternativas abaixo e certamente a correta?
A) Nenhum A e C.
B) Se algo e C entao ele tambem e B.
C) Todo A e C.
D) Ou nenhum A e C ou nenhum C e B.
E) Se algo nao e B entao ele nao e A.
Resolucao
Olhando A, B e C como conjuntos temos, A ⊂ B, B ∩ C 6= ∅ e B 6= C.
O diagrama de Venn associado aos conjuntos A, B e C e dado na figuraabaixo.
10
• Resposta: E
12. Os pontos da figura ao lado estao igual-mente espacados. Quantos retangulos pode-mos tracar com vertices nesses pontos?
A) 6
B) 12
C) 16
D) 18
E) 20
ResolucaoAbaixo temos representados os tipos de retangulos que podem ser forma-
dos e abaixo de cada figura sua quantidade.
6 4 3 2
11
2 2 1
Podemos tracar 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 = 20
• Resposta: E
13. Na figura ao lado, o quadrilatero grande eformado por 4 trapezios congruentes ao trapezioisosceles sombreado. O perımetro do quadrilaterogrande e 36cm. Qual e o perımetro do trapeziosombreado?
A) 9cm
B) 12cm
C) 18cm
D) 36cm
E) 72cm
Resolucao
Pelo encaixe do quadrilatero grande, o trapezio sombreado tem um ladomaior medindo l e 3 lados menores iguais medindo m. Alem disso, osangulos do trapezio sao 60 ◦ e 120 ◦.
12
Logo que l = 2m. Entao o perımetro do trapezio sombreado e igual al + 3m = 5m.
Por outro lado, o perımetro do quadrilatero maior e 4l + 2m = 8m +2m = 10m, ou seja, o dobro que o do trapezio sombreado.
Entao o perımetro do trapezio sombreado e igual a 18cm.
• Resposta: C
14. Considere as funcoes reais f(x) = x2− 2x− 3 e g(x) = −x2 + 3x+ 4.Assinale a alternativa falsa:
A) Se x > 2 entao f(x) > −3.
B) Se −1 < x < 2 entao f(x) ≤ g(x).
C) Se f(x) ≤ g(x) entao 0 < x < 3.
D) Se x < −1 entao f(x) · g(x) < 0.
E) −1 ≤ x ≤ 7/2 se, e somente se, f(x) ≤ g(x).
Resolucao
f(x) = x2 − 2x − 3 = 0, para x = −1 e x = 3, f(1) = 4 e o valormaximo da funcao f .
g(x) = −x2 + 3x+ 4 = 0, para x = −1 e x = 4, g(3/2) = 15/4 e o valormınimo da funcao g.
Entao f(x) ≤ g(x) para−1 ≤ x ≤ r, com 3 < r < 4. Logo a alternativaD e falsa.
As demais alternativas sao verdadeiras.
• Resposta: C
15. Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um delesconseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmonumero de peixes que outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foia que pescou menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos?
A) 3
13
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Resolucao
Sejam A, B, C e D a quantidade de peixes pescada por Ana, Beatriz,Carlos e Daniel, respectivamente.
Queremos descobrir C +D. Sabemos que:
A,B,C,D ≥ 1
B < C,D < A,C 6= D
A+B + C +D = 11
Se B = 2 entao C +D ≥ 3 + 4 e A ≥ 5.
• Assim A+B + C +D ≥ 14. Absurdo!
16. Na figura ao lado os segmentos AB,CD e EF sao perpendiculares a reta AE emedem, respectivamente, 40m, 82m e 100m.Se o segmento CE mede 27m, o comprimentodo segmento AC e:
A) 52m
B) 56m
C) 60m
D) 63m
E) 66m
Resolucao
14
Usamos semelhanca de triangulos em DGF e BHF temos: 32. Pedrorecorta em uma folha de papel um seto
18
60=
27
27 + x
1620 = 486 + 18x
18x = 1134
x = 63
• Resposta: D
17. Um numero natural e chamado de estranho se seus algarismos saotodos distintos e nenhum deles e 0 e e chamado de belo se todos os seusalgarismos sao pares. Quantos sao os numeros de quatro algarismos que saoestranhos ou belos?
A) 24
B) 500
C) 3024
D) 3500
E) 3548
Resolucao
Numeros estranhos sao formados por 1, 2, ..., 9, resultando em 9× 8×7× 6 = 3024 possibilidades
Numeros belos sao formados por 0, 2, 4, 6, 8.
A primeira casa deve ser diferente de zero, pois o numero tem 4 alga-rismos.
Assim temos 4× 5× 5× 5 = 500 possibilidades.
15
Numeros estranhos e belos simultaneamente: 4.3.2.1 = 24
Soma de todos os numeros estranhos ou belos:
3024 + 500− 24 = 3500.
• Resposta: D
18. Considere os numeros reais
a =2
1−√
2+√
8, b = (1 +√
3)2, c =(1 +
√2)3 − 7
4√
2.
A opcao verdadeira e:
A) a e b sao ambos irracionais e c e racional.
B) a e b sao ambos inteiros e c e racional.
C) a e c sao ambos racionais e b e irracional.
D) a e inteiro, b e racional e c e irracional.
E) a e racional e b e c sao ambos irracionais.
Resolucao
a =2
1−√
2(1 +√
2
1 +√
2) +√
8 =2 + 2
√2
1− 2+ 2√
2 = −2
b = 1 + 2√
3 + 3 = 2√
3 + 4
c =(1 + 2
√2 + 2)(1 +
√2)− 7
4√
2=
1 +√
2 + 2√
2 + 6 + 2√
2− 7
4√
2=
5√
2
4√
2=
5
4
• Resposta: C
16
19. Na figura ao lado, ABC e um trianguloequilatero, M e o ponto medio do lado AB, osegmento MN e perpendicular ao lado BC eo segmento NP e perpendicular ao lado AC.Sabendo que AP = 12 unidades, a medida dolado do triangulo ABC nessa mesma unidadee:
A) 15,2
B) 16,4
C) 17,5
D) 18,6
E) 19,2
Resolucao
Sejam R e S os pontos medios de BC e AC, respectivamente.
BNM e BRA sao semelhantes e BM e metade de BA.
Entao BN e metade de BR, isto e, valex
4.
Assim, NC =3x
4.
Como CPN e semelhante a CSB, entao CP =3
4CS =
3x
8.
Por outro lado, AP = 12 implica CP = x− 12.
Entao CP =3x
8= x− 12,
Logo x =96
5= 19, 2.
• Resposta: E
20. Uma amostra de agua salgada apresenta 18% de salinidade. Istosignifica que em 100 gramas teremos 18 gramas de sais e 82 gramas de agua.Qual a melhor aproximacao do percentual de agua da amostra a ser evaporadose quisermos obter 30% de salinidade?
17
A) 30%
B) 36%
C) 42%
D) 49%
E) 58%
Resolucao
Como estamos trabalhando com proporcoes, podemos supor a quanti-dade de 100g total, sendo 18g de sal e 82g de agua.
Para que os mesmos 18g de sal representem 30% do novo peso P apos
a evaporacao, e preciso que18
P= 0, 3, isto e, P = 60g.
Portanto a quantidade de agua restante apos a evaporaaao tem que ser42g.
Isto significa uma perda de 40g de agua dentro das 82g originais, isto
e, a fracao perdida e40
82=
20
41, que representa uma porcentagem pouco
menor do que 50%.
• Resposta: D
21. Assinale a alternativa verdadeira:
A) Se x e um numero real positivo, entao x6 > x4.
B) Se x e um numero real e x2 = x, entao x = 1.
C) Se x > 200 e y > 4 entaox
y> 50.
D) Se x e um numero real entao x2 ≥ −x
E) Se x(x2 − 2x+ 1) = 0 entao x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resolucao
A) Contraexemplo: 1 numero inteiro e positivo tal que 16 = 14
B) Contraexemplo: x = 0
18
C) Contraexemplo: Sejam x = 300 e y = 100 tais que x/y = 300/100 =3 < 50
D) Contraexemplo: Seja x = −1/4 tal que x2 = 1/16 < −x = 1/4
E) Esta alternativa e realmente verdadeira, ja que existem apenas doisnumeros que satisfazem x(x2 − 2x+ 1) = x(x− 1)2 = 0, a saber 0 e 1.
• Resposta: E
22. De quantas maneiras e possıvel escolher tres numeros inteiros distin-tos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par?
A) 1620
B) 810
C) 570
D) 720
E) 120
Resolucao
CASO I - 3 numeros pares:
C310 =
10!
3!7!= 120
CASO II - 2 numeros ımpares e 1 numero par (fixo):
C210 =
10!
2!8!= 45
Temos 10 numeros pares, resultando 450 possibilidades para o CASOII.
No total, temos T = 120 + 450 = 570.
• Resposta: C
19
23. Sejam a = 27000, b = 53000 e c = 132000. Assinale a alternativa correta:
A) b < a < c
B) a < b < c
C) c < b < a
D) a < c < b
E) b < c < a
Resolucao
a = 27000 = 27×103 = (27)103
= 128103 .
b = 53000 = 53×103 = (53)103
= 125103
c = 132000 = 132×103 = (132)103
= 169103
Como 125 < 128 < 169 entao, b < a < c.
• Resposta: A
24. O grafico que melhor representa a funcao f(x) = −|1− x2|.
A) B)C)
D) E)
Resolucao
20
Observe que f(x) ≤ 0, para todo x.
• Resposta: B
25. Quantos multiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes?
A) 448
B) 504
C) 546
D) 952
E) 1008
Resolucao
CASO I. Multiplos de 5 que terminam em 0:
O primeiro algarismo nao pode ser 0, resultando em 9 possibilidades.
O segundo algarismo nao pode ser 0 e nem o primeiro algarismo, resul-tando em 8 possibilidades.
Para o terceiro algarismo temos 7 possibilidades, num total de 9×8×7 =504 possibilidades.
CASO II. Multiplos de 5 que terminam em 5.
O primeiro algarismo nao pode ser 0 nem 5, o que resulta em 8 possi-bilidades.
O segundo algarismo pode ser 0, mas nao pode ser o primeiro e nem 5,resultando em 8 possibilidades.
Para o terceiro algarismo temos 7 possibilidades, num total de 8×8×7 =448.
Logo, 504 + 448 = 952.
• Resposta: D
21
26. Em Eletrostatica, o modulo E do campo eletrico gerado por umaunica carga eletrica pontual de carga q em um ponto a uma distancia d dacarga e diretamente proporcional a q e inversamente proporcional ao qua-drado de d. Considere uma carga eletrica com carga q constante e sejaE = f(d), com d > 0, a funcao que descreve o modulo E do campo eletricoem um ponto a uma distancia d dessa carga. Dessa forma, e correto afirmarque f(2d) e igual a:
A)f(d)
4
B) 4 · f(d)
C) f(d)
D)f(d)
2
E) 2 · f(d)
Resolucao
Do enunciado temos f(d) = c · qd2
.
Entao,
f(2d) = cq
(2d)2=
1
4· c · q
d2=
1
4f(d)
• Resposta: A
27. Observe o desenho ao lado com as qua-tro circunferencias de raio 1 dentro da circun-ferencia de raio 2. A area sombreada e iguala:
A) 2π − 2
B) π/3
22
C) 2π − 4
D) π/2
E) π −√π
Resolucao
A area de uma semipetala e igual aπr2
4-
1
2.
Considerando as 8 semipetalas teremos:
8(πr2
4-
1
2) = 2πr2 − 4
Como r = 1, temos que a area sombreada e igual a 2π − 4.
• Resposta: C
28. Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quandoforam pagar a conta, dividindo-a igualmente, notaram que duas pessoas fo-ram embora sem deixar dinheiro e as pessoas que ficaram tiveram que pagarcinco reais a mais que pagariam se a conta fosse dividida igualmente entretodos os membros do grupo inicial. Quantas pessoas pagaram a conta?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 9
E) 10
Resolucao
Seja x o numero de pessoas no grupo.
Cada pessoa gastou y =120
x.
Temos apenas x− 2 pessoas pagantes.
Desta forma: (x− 2)(y + 5) = 120.
23
Substituindo y = 120x
obtemos (x− 2)(120x
+ 5) = 120.
Logo, x = 8 e, com isso, temos x− 2 = 6 pagantes.
• Resposta: B.
29. Na figura ao lado, os hexagonos regula-res ABCDEF e A′B′C ′D′E ′F ′ estao, respec-tivamente, inscrito e circunscrito a uma cir-cunferencia de centro O. A razao
area(A′B′C ′D′E ′F ′)
area(ABCDEF )
vale
A) 3/2
B) 4/3
C)√
2
D)√
3
E) 2
Resolucao
ComoOA′
OAe a razao de semelhanca entre os hexagonos, a razao entre
as areas sera o quadrado dessa razao, isto e,(OA′)2
(OA)2.
Notemos que OA e o tamanho da apotema do hexagono externo, o quepode ser visto ao girar-se o hexagono interno ate que A coincida componto medio de A′F ′.
Nessa nova posicao, OAA′ e triangulo-retangulo, OA′ e sua hipotenusa
e AA′ =1
2A′F ′ =
1
2OA′.
Entao (OA)2 = (OA′)2 − 1
4(OA′)2 =
3
4(OA′)2.
24
Portanto a razao procurada e igual a4
3.
• Resposta: B.
30. Dona Ana distribuiu 300 balas entre seus sobrinhos Beatriz, Caio,Daniela e Eduardo da seguinte maneira: deu uma bala para Beatriz, duasbalas para Caio, 3 balas para Daniela, 4 balas para Eduardo, 5 balas paraBeatriz, 6 balas para Caio e assim sucessivamente. Quantas balas Danielarecebeu de sua tia Ana?
A) 66
B) 72
C) 78
D) 84
E) 88
Resolucao
Observamos a seguinte tabela:
Beatriz Caio Daniela Eduardo1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
Trata-se de uma PA de razao 1 cuja soma dos elementos e 300
an = a1 + (n− 1)r o termo geral desta PA, onde a1 = 1 e r = 1.
Entao Sn =(a1 + an)n
2=
(1 + n)n
2= 300.
Logo, n = 24.
A sequencia de Daniela e da forma: 3, 7, 11, 15, 19, 23.
Logo, SD =(a1 + an)n
2=
(3 + 23)6
2= 78.
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• Resposta: C
31. Considere o sistema
{x2y − y2 = 0
x3 + x2 − xy − y = 0e as 3 afirmacoes abaixo.
I) Existem infinitos pares (x, y) de numeros reais que sao solucoes do sis-tema.
II) Todas as solucoes do sistema sao da forma (x, 0), para algum x real.
III) Nao ha nenhuma solucao do sistema da forma (x,−8), com x real.
Sao verdadeiras:
A) Somente I.
B) Somente II.
C) Somente III.
D) Somente I e II.
E) Somente I e III.
Resolucao
x2y − y2 = 0⇔ y(x2 − y) = 0
Suas solucoes sao y = 0 ou y = x2
x3 + x2 − xy − y = 0⇔ (x2 − y)(x+ 1) = 0
Suas solucoes sao y = x2 ou x = −1
Assim, as solucoes deste sistema sao os pontos na intersecao desses doisconjuntos, ou seja, a uniao do ponto (-1,0) com o grafico de x2.
Isso mostra que:
I) e verdadeira, pois existem infinitas solucoes para o sistema.
II) e falsa, porque ha solucoes fora da abscissa.
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III) e verdadeira, pois nao ha nenhuma solucao com coordenada nega-tiva.
• Resposta: E
32. Pedro recorta em uma folha de papel um setor circular OAB de raio12cm e angulo de 120◦. Juntando e colando os raios OA e OB ele faz umcone como mostra a figura abaixo.
A altura desse cone e, aproximadamente:
A) 9,6cm
B) 10,4cm
C) 10,8cm
D) 11,3cm
E) 11,7cm
Resolucao
C = 2πr e o comprimento da circunfencia de raio r.
Como o angulo do setor circular e de 120◦, entao dividimos o compri-mento da circunferencia por tres:
C
3=
2πr
3=
2π12
3= 8π
2πr = 8π ⇒ r = 4, e o raio da base do cone.
h e a altura do cone, pelo Teorema de Pitagoras:122 = 42 + h2, h2 = 144− 16 = 128 h =
√128
Observe 112 = 121 < 128 < 144 = 122
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11, 32 = (11 + 0, 3)2 = 112 + 2 · 11 · 0, 3 + (0, 3)2 ≈ 121 + 6, 6.
11, 72 = (12− 0, 3)2 = 122 − 2 · 12 · 0, 3 + (0, 3)2 ≈ 144− 7, 2.
• Resposta: D
33. Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas deterra. Admita que todos possuem a mesma velocidade de trabalho (medidaem area cortada por unidade de tempo) e que uma das glebas tenha o dobroda area da outra. Ate a metade do dia todos trabalham juntos na gleba maiore, na outra metade do dia, metade dos trabalhadores passa a cortar a canada gleba menor, enquanto a outra metade continua cortando cana na glebamaior. No final deste dia, os trabalhadores terminaram de cortar toda acana da gleba maior, mas um trabalhador demorou mais um dia inteiro paraterminar de cortar a cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia nogrupo?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Resolucao
Seja F a fracao da area da gleba menor que um trabalhador pode cortarem um dia.
No primeiro dia, N trabalhadores cortaram NF da area total, no se-gundo dia, um deles ainda cortou uma area F .
Isso totaliza (N + 1)F = 2 + 1 = 3, pois a a area da gleba maior e odobro da menor.
A gleba maior foi toda cortada no primeiro dia. Na primeira metade
do dia, N trabalhadores cortaram1
2NF , e na segunda metade,
N
2
trabalhadores, que cortaram1
2
N
2F .
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Entao3NF
4= 2, logo NF =
8
3.
Substituindo em (N + 1)F = 3, resulta F = 1/3. Logo N = 8.
• Resposta: C
34. Considere todos os numeros inteiros positivos escritos com exata-mente cinco algarismos ımpares distintos. Qual e o valor da soma dessesnumeros?
A) 6666600
B) 6666000
C) 6660000
D) 6600000
E) 6000000
Resolucao
Sejam 1, 3, 5, 7, 9 os cinco algarismos ımpares distintos.
Fixamos 1 no algarismo das unidades.
Para o primeiro algarismo temos 4 possibilidades.
Para o segundo algarismo temos 3 possibilidades e assim sucessiva-mente.
Com isso, temos 4! = 24 possibilidades para 1 no algarismo das unida-des.
Analogamente, temos 24 numeros que terminam em 3, 5, 7 e 9, respec-tivamente.
A soma dos algarismos das unidades sera dada por:
24× 1 + 24× 3 + 24× 5 + 24× 7 + 24× 9 = 24× 25 = 600
Repetimos o procedimento para o algarismo das dezenas.
Fixamos 1 no algarismo das dezenas.
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Para o primeiro algarismo temos 4 possibilidades.
Para o segundo algarismo temos 3 possibilidades e assim sucessiva-mente.
Com isso, temos 4! = 24 possibilidades para 1 no algarismo das dezenas.
Analogamente, temos 24 numeros que apresentam 3, 5, 7 e 9 no alga-rismo das dezenas, respectivamente.
A soma dos algarismos das dezenas sera dada por:
24× 10 + 24× 30 + 24× 50 + 24× 70 + 24× 90 = 24× 250 = 6000
Repetimos este procedimento para o algarismo das centenas, unidade demilhar e dezena de milhar, obtendo as somas 60000, 600000 e 6000000,respectivamente.
Portanto, a soma dos numeros sera dada por
600 + 6000 + 60000 + 600000 + 6000000 = 6666600
• Resposta: A
35. Sejam x e y numeros inteiros tais que 10x+ y seja um multiplo de 7.Assinale a resposta correta.
A) x− 2y sera certamente um multiplo de 7.
B) 2x+ y sera certamente um multiplo de 7.
C) x− y sera certamente um multiplo de 7.
D) 2x− y sera certamente um multiplo de 7.
E) 2x+ 2y sera certamente um multiplo de 7.
Resolucao
10x+ y = 7k.
7x+ 7y = 7(x+ y) = 7k′.
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Subtraındo estas duas igualdades, obtemos
(10x+ y)− (7x+ 7y) = 7(k − k′)
Ou seja, 3x− 6y = 7(k − k′).
Dividindo ambos membros por 3, obtemos
x− 2y = 7(k − k′)
3
• Resposta: A
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