SUCESSÕES

Ana Luísa Pires

Introdução

• Observe a seguinte sequência de figuras:

É possível obter uma expressão que permita descobrir o número de cubos de

qualquer figura da sequência?

Figura Nº de cubos

1 1

2 1+6 × 1=7

3 1+6 × 2=13

4 1+6 × 3=19

5 1+6 × 4=25

6 1+6 × 5=31

… ...

n 1+6 ×(n-1)

... Obtemos a expressão: 1+6 ×(n-1) = 6n-5

A expressão 6n-5 define uma função que, a cada número natural – a ordem da figura- faz corresponder o número de cubos da figura.

O domínio desta função é o conjunto dos números naturais.

DEFINIÇÃO DE SUCESSÃO

Sucessão é uma função que faz corresponder a cada número natural um número real:

u: N ℜ

n un

Notação:

• Em vez de utilizar para as imagens a notação das funções u(1), u(2),..., é usual escrever-se u1, u2,..., que se lê u índice 1, u índice 2,...

Assim, 1 u1 (1º termo da sucessão)

2 u2 (2º termo da sucessão)

...Em geral: n un (enésimo termo da sucessão

ou termo de ordem n)

• Para indicar a sucessão u escreve-se (un):

(un): N ℜ

n un

Ordem Termo da sucessão

Quando uma sucessão pode ser definida por uma expressão na variável n, essa expressão que gera a sucessão chama-se termo geral da sucessão.

O gráfico de uma sucessão é sempre constituído por pontos isolados.

Exemplo: un = 6n-5 1 2 3 4 5 6 7

8...

un

• • • • • • • •

n

Sucessões definidas por recorrência•Uma sucessão diz-se definida por recorrência quando são dados alguns dos primeiros termos, e os seguintes são obtidos através dos termos anteriores.

Exemplo: Sucessão de Fibonacci

>−+−=

=

=

2 n , 2nF1nFnF

12F

11FProblema dos coelhos:

Um casal de coelhos adultos só começa a procriar dois meses depois do seu nascimento. Admitindo que em cada criação têm um casal de filhos, e, a partir desse momento todos os meses mais um casal, quantos coelhos haverá ao fim de um ano?

Sucessões monótonas

• Analisando novamente o gráfico da sucessão un=6n-5:

Os termos vão assumindo valores cada vez maiores consoante aumenta a ordem n:

Cada termo un+1 é superior ao anterior un, ou seja,

un+1 > un , ∀n∈Ν (un) é CRESCENTE

n

un

• • • • • • • •

1 2 3 4 5 6 7 8 ...

De um modo geral:

(un) é uma sucessão crescente sse:

un+1 ≥ un , ∀n∈Ν (em sentido lato)

isto é:

un+1 – un ≥0 , ∀n∈Ν

•Consideremos a sequência de figuras seguinte:

4, 1 , 1/4 , 1/16 , 1/32, ... Os números representam as medidas das áreas dos quadrados

Esta sucessão é

DECRESCENTE

De um modo geral:

(un) é uma sucessão decrescente sse:

un+1 ≤ un , ∀n∈Ν (em sentido lato)

isto é:

un+1 – un ≤ 0 , ∀n∈Ν

•(un) é uma SUCESSÃO MONÓTONA sse (un) é crescente ou (un) é decrescente.

Sucessões limitadas• Exemplo: Losangos e rectângulos

•Cada figura, excepto a primeira, se obtém unindo os pontos médios dos lados da figura anterior.

•Cada figura tem metade da área da anterior pelo que na sucessão das áreas a1, a2 , a3 , ... se tem:

n1n a2

1a =+ , ∀n∈Ν

•Sabendo a área da primeira figura, a1 , podemos saber qualquer termo da sucessão.

Seja, por exemplo, a1=12 cm2, temos então, em cm2 :

a2 = 6 , a3 = 3 , a4 =1,5 , a5 = 0,75 , ...

0< an ≤ 12 , ∀n∈Ν

A sucessão (an) diz-se LIMITADA.

De um modo geral:

(un) é uma sucessão limitada sse :

∃m, M∈ℜ: m ≤ un ≤ M , ∀n∈Ν

Ou:

∃ L ∈ℜ+ : ≤ L , ∀n∈Νnu

•Geometricamente os termos da sucessão encontram-se numa região plana limitada pelas rectas horizontais y=m e y=M

(ou y=-L e y=L)

Progressões

• Exemplo: O treino do André

O André todas as manhãs faz ginástica. Um dos exercícios é de flexões de braços. Durante a primeira semana fez 10 flexões e resolveu aumentar 3 flexões todas as semanas.

Quantas flexões faz na 7ª semana? E na 20ª?

f1=10, f2= 10+3=13, f3=13+3, ...

Designando por n o número de semanas e por fn o número de flexões, temos:

+−=

=

31nfnf

101f

, n>1

fn+1- fn =3 , ∀n∈Ν

A diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a 3.

Diz-se que (fn) é uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

•De um modo geral:

A sucessão (an) é uma progressão aritmética sse

an+1 - an = r , ∀n∈Ν,

sendo r a razão da progressão.

an = a1 + (n-1)r , ∀n∈Ν

Termo geral de uma progressão aritmética de razão r

n.2

na1anS

+= , ∀n∈Ν

Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética

•Exemplo: Aquiles o jardineiro

Aquiles não está satisfeito com o processo utilizado para cortar a relva do seu jardim e decidiu estudar um processo de cortar a relva de modo que em cada dia tenha de trabalhar menos, quase nada, se possível.

Para fazer este estudo, estabeleceu que no primeiro dia cortaria um terço, no segundo um terço de um terço, no terceiro um terço de um terço de terço, e assim sucessivamente.

Esquematizando:

Obtemos a seguinte sucessão:

3

11a =

2

3

1

9

12a

==

3

3

1

27

13a

== ...

n

3

1na

= ,∀n∈Ν

3

1n

31

1n

31

na1na

=

+

=+Tem-se que: ,∀n∈Ν

O quociente entre cada termo e o anterior é constante e igual a 1/3.

Diz-se que (an) é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

•De um modo geral:

A sucessão (an) é uma progressão geométrica sse

O quociente entre cada termo e o anterior é um número real constante. Esta constante chama-se razão da progressão.

rna

1na=+ ,∀n∈Ν (an≠0 , ∀n∈Ν )

an = a1× rn-1

Termo geral de uma progressão geométrica de razão r

r1

nr11anS

−−=

Soma dos n termos consecutivos de uma progressão geométrica com r ≠1 (Se r=1, Sn= na1)

•Voltando ao exemplo:

Observando o esquema vê-se que a área cortada é praticamente igual à área não cortada.

Total da área cortada:

2

1

3

11

2

1limlim =

−×=

nSn

SOMA DE TODOS OS TERMOS DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1R <

A sucessão n

n

11

+

•(un) é uma sucessão de termos positivos;

•(un) é uma sucessão monótona crescente;

• O limite de (un) existe e está compreendido entre 2 e 3;

n

n

11un

+= e

n +∞

• Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. Trata-se de um número irracional transcendente e surge como limite de uma sucessão muito particular.

O número de Neper representa-se por e sendo

e = 2,7182818284590452353602874...

O número e é igual à soma da série:

∑≥ 0n !n

1

Bibliografia

• Neves, M.(2000). Sucessões. Porto Editora.• Gomes, F., & Lima, Y.(1997). Xeqmat 11.Editorial o Livro.• Alves, C., Barbedo, J., Fonseca, G., & Jorge, A.(2001). Infinito 11.

Areal editores.• Aubyn, M., Brito, C., & Martins, A.(2000). MAT:matemática,

aplicações, teoria. 11ºano. Lisboa Editores.• Branco, A., Dias, I., Pona, F., Ribeiro, A., & Sousa, H. (1998). A

solução. 11º ano. Texto Editora. • Bastos, R., Bernardes, A., Lopes, A., Loureiro, C., Varandas, J., &

Viana, J. (1998). Matemática 11- Sucessões. Edições Contraponto. • Ferreira, C. Introdução à análise matemática. Fundação Calouste

Gulbenkian.