sphaier - hidrodinâmica ii

Programa de Engenharia Oceanica

COPPE / UFRJUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Hidrodinamica II

SH Sphaier

Marco de 2005

Conteudo

1 Escoamento Laminar 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 A experiencia de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Pressao hidrostatica e pressao dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Efeito de altos e baixos numeros de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 A equacao de Bernoulli e o conceito de perda de carga . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Solucoes para Escoamentos Laminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1 Escoamento entre duas placas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.2 Escoamento de Hagen-Poiseuille em um Tubo . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.3 Escoamento entre dois cilindros concentricos . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.4 Processos de difusao no tempo pela viscosidade . . . . . . . . . . . . . 14

2 Camada Limite Laminar 27

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Equacao de Camada Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 As Diversas Definicoes de Espessura de Camada Limite . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Espessura δ99 para vx = 0.99U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Espessura de Deslocamento δ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3 Espessura de Momentum θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Camada Limite Laminar em Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 A integral de von Karman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Esquema de Pohlhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7 Aplicacao para o Caso da Camada Limite em uma Placa Plana . . . . . . . . 44

2.8 Efeito do Gradiente de Pressao: Separacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana 53

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Equacoes de Transporte Promediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 O problema do fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Subdivisao da Camada Limite Turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

i

ii Texto Preliminar, SH Sphaier

3.5.1 Resistencia friccional de placas utilizadas pelo ATTC e pelo ITTC . . . 63

3.5.2 Lei de Potencia para Resistencia de Placa em Escoamento Turbulento . 64

4 Escoamento em torno de um Cilindro Circular 69

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Influencia do Numero de Reynolds no Regime do Escoamento . . . . . . . . . 70

4.3 Forca de Arrasto e Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Escoamento Retilıneo Oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Escoamento Incidindo sobre Cilindro com Base Elastica . . . . . . . . . . . . . 89

5 Movimento em Vortice 93

5.1 Cinematica do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 Teorema de Thomson da Permanencia da Circulacao . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Dinamica do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 Teoremas de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.1 Da Convervacao da Linha de Vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.2 Da Convervacao da Intensidade de um Tubo de Vortice . . . . . . . . . 99

5.6 Velocidade Induzida - Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.7 Construcao Simplificada de um Vortice Assumindo um nucleo de Rotacao Con-

stante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.8 Distribuicao de Pressao nas Vizinhancas de um Vortice . . . . . . . . . . . . . 106

6 Perfis 109

6.1 Sustentacao e Arrasto (Lift e Drag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Coeficientes de Arrasto e Sustentacao; Analise Dimensional . . . . . . . . . . . 110

6.3 Distribuicao de Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4 Introducao ao Fenomeno de Cavitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.5 Relacao entre Sustentacao e Circulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.6 Circulacao em torno de um Hidrofolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.7 Experimento sobre Aparecimento dos Vortices de Partida e de Corpo . . . . . 122

6.8 Geracao de Perfis Utilizando-se Transformacao Conforme . . . . . . . . . . . . 132

6.8.1 Transformacao de um Cırculo em um Segmento de Reta . . . . . . . . 133

6.8.2 Transformacao de um Cırculo em um Arco de Cırculo . . . . . . . . . . 133

6.8.3 Transformacao de um Cırculo em um Perfil Simetrico . . . . . . . . . . 134

6.8.4 Transformacao de um Cırculo em um Perfil nao Simetrico . . . . . . . . 135

6.9 Escoamento em torno de um Perfil nao Simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7 Asas 139

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.2 Velocidade Induzida e Resistencia Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Texto Preliminar, SH Sphaier iii

7.3 Campo de Velocidades Induzidas Considerando-se o Vortice de Corpo . . . . . 142

7.4 Distribuicao de Circulacao ao longo da Asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.5 Distribuicao de Circulacao, de Velocidade Induzida e de Arrasto Induzido . . . 145

7.6 Aplicacao na Analise do Comportamento de Propulsores . . . . . . . . . . . . 148

8 Ondas de Gravidade 151

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.2 Problema de Valor de Contorno para Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . 152

8.3 Linearizacao do Problema de Valor de Contorno Bidimensional . . . . . . . . . 154

8.4 Solucao por Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.5 Teoria Linear de Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.5.1 A Equacao de Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.5.2 Campos de Velocidade e de Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5.3 Orbitas das Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.5.4 Distribuicao de Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.6 Aguas Profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.7 Aguas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.8 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.8.1 Fluxo de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.8.2 Energia de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.8.3 Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.8.4 Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.9 Resumo das Principais Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.9.1 Aguas Intermediarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.9.2 Aguas Profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.9.3 Aguas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.10 Batedor de Ondas do Tipo Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.10.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema . . . . . . 186

8.10.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.11 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca de Onda . . . . . . . . . . 192

8.11.1 Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares . . . . . . . . . . 194

8.11.2 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em um Retangulo . . . . . . 197

8.11.3 Extensao da expressao de Froude-Krylov para o caso de um Navio com

fundo plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.11.4 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Semi-submersıveis198

8.12 Ondas de Gravidade: Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.12.1 O Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.12.2 Princıpios Basicos para Expansao em Ordens . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.12.3 Aplicacao ao Problema de Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . 204

8.12.4 Mudanca de Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

iv Texto Preliminar, SH Sphaier

8.12.5 Equacao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.12.6 Condicao de Contorno no Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.12.7 Condicao de Contorno Cinematica na Superfıcie Livre . . . . . . . . . . 207

8.12.8 Condicao de Contorno Dinamica na Superfıcie Livre . . . . . . . . . . . 208

8.12.9 Potencial de Ondas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.12.10Potencial de Ondas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Lista de Figuras

1.1 A Experiencia de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Escoamento entre duas Placas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Escoamento laminar em um tubo de secao circular . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Escoamento laminar entre dois cırculos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Escoamento Laminar em um Domınio Semi-Infinito sobre uma Placa Plana

com Movimento Impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Escoamento ocasionado por uma folha de vortice . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Decaimento de um vortice com o tempo por efeito viscoso . . . . . . . . . . . 22

1.8 Perfıs de velocidades ao longo do tempo devidos ao movimento oscilatorio de

uma placa plana infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Camada limite sobre uma placa plana I: Espessura e Regime . . . . . . . . . . 32

2.2 Camada limite sobre uma placa plana II: Espessura e Regime . . . . . . . . . 33

2.3 Camada limite sobre uma placa plana III - Espessuras . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Camada limite sobre uma placa plana IV: Perfil de Velocidades . . . . . . . . 36

2.5 Camada limite sobre uma placa plana II: Perfil de Velocidades . . . . . . . . . 37

2.6 Camada limite sobre uma placa plana III: Perfil de Velocidades . . . . . . . . 38

2.7 Distribuicao de velocidade vertical na camada limite laminar . . . . . . . . . . 40

2.8 Comparacao de perfıs de velocidade horizontal nas camadas limite laminar e

turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9 Escoamento em torno de um cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.10 Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao I . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.11 Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao II . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.12 Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular I . . . . . . . . . . . 49

2.13 Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular II . . . . . . . . . . 50

2.14 Coeficiente de Arrasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1 Influencia da parede e da turbulencia no perfil de velocidades e na tensao . . . 58

3.2 Extrapoladores do ITTC e do ATTC, representativos da resistencia friccional . 64

3.3 Perfil de velocidades para escoamento turbulento em um duto em funcao do

numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Aproximacoes de Prandtl e Blasius para Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . 67

v

vi Texto Preliminar, SH Sphaier

4.1 Escoamento em torno de um cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2 Mecanismo de Separacao alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Numero de Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Cm e Cd de uma Secao Circular para Baixos Numeros de Reynolds em um

Escoamento Oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Cd de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio . . . 82

4.6 Cm de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio . . . 83


4.8 Cm de uma Secao Circular para Kc = 60 em um Escoamento Oscilatorio . . . 85


4.10 Cm de uma Secao Circular para Kc = 100 em um Escoamento Oscilatorio . . 87

4.11 Regioes de Validade da Formulacao de Morison . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.12 Esquema da Experiencia realizada por Feng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.13 Resultados obtidos por Feng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.1 Linha de vortice, Superfıcie e Tubo de Vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Circulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4 Superfıcie de Vortice envolvendo um Tubo de Vortice. Circulacao em torno de

um tubo de vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5 Linha de Vortice Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6 Vorticidade fluindo atraves de um nucleo fluido girando como corpo rıgido . . 104

5.7 Superposicao de escoamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.8 Distribuicoes de pressao e velocidade induzida em torno de um vortice . . . . . 107

6.1 Hidrofolio em um escoamento retilıneo; Grandezas caracterısticas . . . . . . . 110

6.2 Coeficientes de sustentacao e arrasto para um perfil NACA I . . . . . . . . . . 112

6.3 Coeficientes de sustentacao um perfil NACA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4 Coeficientes de arrasto um perfil NACA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5 Coeficientes de sustentacao um perfil NACA III . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.6 Coeficientes de arrasto um perfil NACA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.7 Distribuicao de pressoes ao longo de um perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.8 Comparacao entre resultados calculados e experimentais para os coeficientes

CL e CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.9 Superposicao de escoamentos para representar a presenca de um vortice em

torno de um perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.10 Evolucao do escoamento em torno de um perfil no tempo . . . . . . . . . . . . 122

6.11 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida I . . . . . . 124

6.12 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida II . . . . . . 125

6.13 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida III . . . . . 127

6.14 Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida IV . . . . . 128

Texto Preliminar, SH Sphaier vii

6.15 Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo I . . . . . . . . . 130

6.16 Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo II . . . . . . . . 131

6.17 Transformacao de um cırculo em um segmento de reta . . . . . . . . . . . . . 132

6.18 Transformacao de um cırculo em um arco de cırculo . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.19 Transformacao de um cırculo em um perfil simetrico . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.20 Transformacao de um cırculo em um perfil nao simetrico . . . . . . . . . . . . 135

6.21 Escoamento em torno de um perfil nao simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Vortices devidos ao movimento de asas em um meio fluido . . . . . . . . . . . 140

7.2 Velocidades induzidas devidas aos vortices de ponta . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.3 Distribuicao de velocidades induzidas por um vortice de ponta em uma secao

da asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4 Velocidade devida ao vortice de corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.5 Composicao de velocidades devidas a vortices de corpo e de ponta . . . . . . . 143

7.6 Velocidades e forcas atuantes em um perfil de asa . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.7 Variacao da circulacao ao longo da asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.8 Fluxo de vortices livres ao longo da asa. Observando-se a asa por tras, no

plano da asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.9 Modelo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.10 Diagrama de velocidades e forcas em um propulsor . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.1 Perfil da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.2 Solucao grafica da equacao de dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.3 Onda propagando-se em fundo plano inclinado I . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.4 Onda propagando-se em fundo plano inclinado II . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.5 c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em funcao de d/L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.6 Obtencao grafica dos autovalores mj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.7 Perfil da onda e perfis de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.8 Perfil da onda e perfis de aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.9 Orbitas das partıculas Fluidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.10 Distribuicao da pressao em ondas, com a profundidade . . . . . . . . . . . . . 173

8.11 Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda . . . . . . . . . . . . . . 177

8.12 Grupo de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.13 H/H∞ em funcao de d/L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.14 Gerador de Ondas em Forma de Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.15 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.16 Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Capıtulo 1

Escoamento Laminar

1.1 Introducao

Embora tenhamos nos dedicado em varios capıtulos anteriores ao estudo de escoamentos

potenciais, nao deve se entender que haja fluidos nao viscosos. Tratamos, na realidade, de

escoamentos onde os efeitos viscosos sao desprezıveis. No presente capıtulo vamos estudar

escoamentos em que os efeitos da viscosidade sao importantes, apresentando inicialmente a

experiencia de Reynolds, em que pode diferenciar as caracterısticas de um escoamento quando

se observa a acao das forcas viscosas em comparacao com as forcas inerciais, classificando

os regimes laminar, transitorio e turbulento. Vamos nos concentrar no estudo de alguns

escoamentos laminares enfocando a influencia da difusao dos efeitos viscosos a partir de uma

parede em contato com um fluido em movimento. Como os fluidos com que lidamos em

engenharia naval e oceanica sao em geral a agua e o ar, que tem baixa viscosidade, vamos

observar que o processo de difusao e bastante lento.

Como vimos anteriormente, as leis que regem o escoamento de um fluido incompressıvel num

campo de forcas de corpo gravitacional sao:

- conservacao da massa, expressa na equacao da continuidade,

∇ · v = 0 (1.1)

- conservacao da quantidade de movimento, representada pela equacao de Navier-Stokes,

ρD

Dtv = ρg −∇p+ µ∇2v (1.2)

1

2 Texto Preliminar, SH Sphaier

- impenetrabilidade nas superfıcies que delimitam o domınio fluido, com vetor normal n,

dada por:

v · n = 0. (1.3)

Com a consideracao da viscosidade, uma condicao adicional tem que ser imposta ao problema

que e:

- aderencia das partıculas fluidas junto a paredes.

v · t = 0 (1.4)

onde t e o vetor tangencial as superfıcies que delimitam o domınio fluido.

A solucao deste sistema de equacoes e o grande desafio da mecanica dos fluidos. Nao se

conhece uma solucao fechada do problema. Particularidades em alguns escoamentos, como

por exemplo o fenomeno de turbulencia, tornam o problema bastante mais complexo.

Para que possamos desenvolver o conhecimento sobre o problema, introduzimos algumas

hipoteses simplificadoras levando a situacoes menos complexas, cujas solucoes, acompanhadas

de observacoes de escoamentos reais nos levam a uma maior compreensao dos fenomenos

envolvidos.

1.2 A experiencia de Reynolds

Osborne Reynolds em 1883 conduziu uma experiencia mostrando os diversos regimes de es-

coamento de um fluido em um tubo. Utilizou um reservatorio com fluido em repouso tendo

na regiao inferior um tubo horizontal dotado de uma torneira, conforme mostrado na figura

(1.1). Abrindo a torneira deixava o fluido escoar e introduzindo um filete de tinta no escoa-

mento, com a ajuda de um tubo bem fino cuja extremidade era colocada junto a entrada do

tubo horizontal, observou que inicialmente a tinta escoava ao longo do tubo sem perturbacao

e que apos um certo trecho comecam a aparecer perturbacoes no filete de tinta, provocando

oscilacoes, movimentos no sentido vertical. Essas perturbacoes, que no inıcio nao se manifes-

tavam, aumentavam gradativamente a medida que o fluido avancava no tubo, ate alcancar um

regime de escoamento totalmente agitado. Com esta experiencia, caracterizou tres regimes

distintos de escoamento, aos quais deu o nome de laminar, transitorio e turbulento.

Texto Preliminar, SH Sphaier 3

Figura 1.1: A Experiencia de Reynolds

Podemos dizer que no regime laminar, as forcas viscosas, ordenadoras, nao permitem que as

partıculas de tinta ‘saiam de suas laminas’, suplantando as forcas de inercia. Com o avanco as

forcas de inercia vao crescendo e, gradativamente, superando as forcas viscosas, acarretando

crescentes perturbacoes no escoamento, que vao se tornando mais frequentes ate que dominam

o escoamento.

O parametro que traduz essa relacao entre forcas inerciais e viscosas e o numero de Reynolds:

Re =ρUL

µ

onde ρ e a massa especıfica; U a velocidade caracterıstica; L o comprimento caracterıstico e

µ a viscosidade dinamica,

1.3 Pressao hidrostatica e pressao dinamica

Podemos expressar a pressao p como a soma de duas contribuicoes, a pressao hidrostatica ps

e a pressao dinamica pd:

p = ps + pd


em que a pressao hidrostatica corresponde a parcela da contribuicao para o caso do fluido em

repouso, isto e, deve-se as forcas gravitacionais:

ρg −∇ps = 0

Assim, a equacao de Navier-Stokes pode ser escrita como:

ρD

Dtv = −∇pd + µ∇2v

e a pressao dinamica sera devida aos efeitos dinamicos do movimento do fluido.

1.4 Efeito de altos e baixos numeros de Reynolds

A equacao de Navier-Stokes mostra um relacao entre as forcas inerciais, as forcas devidas

as pressoes dinamicas e aos efeitos viscosos. As caracterısticas do escoamento resultante

depende da participacao de cada uma dessas forcas. Para fazermos uma analise da ordem de

contribuicao de cada parcela recorremos ao estudo da equacao na forma normalizada. Com o

uso de

v = Uv′, r = Lr

′, pd = ρU2p

′e t =

L

Ut′.

na equacao de Navier-Stokes (1.2), obtemos:

∂v′

∂t′+ v

′ · ∇′v

′= −∇′

p′+

1

Re

∇′2v′

(1.5)

A partir desta forma da equacao podemos dizer, a princıpio, que a equacao de Navier-Stokes,

na forma original, para altos numeros de Reynolds, pode ser aproximada por:

∂v

∂t+ ρv · ∇v = −∇pd (1.6)

Esta e a equacao de Euler para escoamentos com efeitos viscosos desprezıveis, ou em outras

palavras, a equacao que rege o escoamento de um fluido invıscito.

Esta primeira aproximacao e, entretanto, incorreta, pois os efeitos viscosos nao podem ser

desconsiderados totalmente em todas as partes do escoamento. No caso de altos numeros

de Reynolds, os efeitos viscosos junto a paredes ou superfıcies de corpos imersos, nao sao

desprezıveis como veremos no estudo de camada limite. Lembramos aqui do ’Paradoxo de D’

Alembert’ quando observamos o resultado obtido no calculo da forca de arraste em um cilindro

circular utilizando a teoria potencial. Integramos as pressoes obtidas atraves da integral

da equacao de Euler, que resulta da equacao acima (1.6), sob a condicao de escoamento


irrotacional. A forca de arraste, para regime permanente e nula, o que nao corresponde a

nossa experiencia real.

No caso de baixos numeros de Reynolds observamos que analisando a equacao (1.5), chegamos

a

∇′2v′= 0

que nao faz sentido. Observando, na equacao original dimensional (1.2) que o termo convectivo

e de ordem O(U2), podemos ter a expectativa que ele seja desprezıvel em relacao aos outros

dois termos, indicando que as forcas viscosas equilibrem as forcas devidas ao gradiente de

pressao. Assim, nao podemos normalizar a pressao com ρU2, porem com Uµ/L. Assim

procedendo, obtemos:

Re(∂v

′

∂t′+ v

′ · ∇′v

′) = −∇′

p′+∇′2v

′(1.7)

Para pequenos valores do numero de Reynolds os termos inerciais sao desprezıveis e a equacao

de Navier-Stokes pode ser simplificada, assumindo a forma:

−∇p+ ν∇2v = 0 (1.8)

Este regime de escoamento e conhecido como ”creeping flow”.

1.5 A equacao de Bernoulli e o conceito de perda de

carga

Introduzindo na equacao de Navier-Stokes (1.2) a expressao

D

Dtv =

∂v

∂t+ (v · ∇)v =

∂v

∂t− ρv × ξ +∇(

1

2v · v)

e, como as forcas de corpo derivam de um campo gravitacional, a expressao:

ρg = −ρgk = −∇(ρgz),

obtemos:

ρ∂v

∂t− ρv × ξ = −∇(

1

2ρ | v |2 +p+ ρgz) + µ∇2v (1.9)

Considerando que o regime e permanente, as linhas de corrente coincidem com as trajetorias

das partıculas fluidas. Eliminando o termo da derivada local na equacao (1.9) e multiplicando

pelo elemento de linha de corrente ou trajetoria, ds = vdt, obtemos:

∇(1

2ρ | v |2 +p+ ρgz) · ds = ρv × ξ · ds + µ∇2v · ds


e lembrando que

(v × ξ) · v = 0

temos:

∇(1

2ρ | v |2 +p+ ρgz) · ds = µ∇2v · ds = ∇τ · ds

O primeiro termo e uma diferencial exata, assim a integral ao longo da trajetoria entre dois

pontos 1 e 2 conduz a:∫ 2

1

∇(1

2ρ | v |2 +p+ ρgz) · ds =

∫ 2

1

d(1

2ρ | v |2 +p+ ρgz) =

[1

2ρ | v |2 +p+ ρgz

]2

1

=

∫ 2

1

∇τ · ds

Isto e a diferenca entre a soma das energias cinetica, potencial e de pressao entre esses dois

pontos deve-se a perda por efeito viscoso. Caso os efeitos viscosos sejam desprezıveis chegamos

a classica equacao de Bernoulli. Nao sendo desprezıveis a diferenca entre a soma das energias

e a perda de carga.

Esta expressao e empregada no projeto de redes de abastecimento, em que lidamos com

escoamentos internos em dutos. Conduzimos experiencias em laboratorios, com escoamentos

em tubos, unioes, reducoes, valvulas, etc..., medindo a velocidade, a pressao e a posicao

vertical das extremidades da peca e entao avaliando a perda de carga. Tabelando esses

resultados, criamos condicoes para, posteriormente, dimensionarmos redes.

Linha piezometrica

Linha de Energia

Linhas para o caso em que o diametro do tubo e constante, vazao constante, velocidade media

constante.

Linhas para o caso real para vazao constante e caso real. Perda de carga.

1.6 Solucoes para Escoamentos Laminares

1.6.1 Escoamento entre duas placas planas

Consideremos o escoamento bidimensional laminar de um fluido contido entre duas placas

planas infinitas paralelas, distando 2b entre si. Uma das placas permanece parada, enquanto a

outra pode deslocar-se. Alem disto, pode agir um gradiente de pressao no sentido longitudinal.


Como, devido ao atrito, as velocidades tangenciais do fluido junto as placas sao iguais as

velocidades das placas, havera uma retencao do fluido junto a placa que nao se movimenta, e

um arraste do fluido junto a placa que se move.

A acao do gradiente de pressao tambem cria um movimento do fluido entre as placas, atuando

como uma bomba.

O escoamento e bidimensional, na direcao Ox, o eixo Oy perpendicular as placas, e assim as

derivadas em z, ∂/∂z e ∂2/∂z2, sao nulas. O escoamento se repete para qualquer x, isto e,

e invariante com x, portanto ∂vx/∂x = 0. Assim, com a equacao da continuidade, obtemos

∂vy/∂y = 0 e como junto as paredes vy = 0, entao vy = 0 em todo o domınio fluido. Isto

e, o escoamento e paralelo a Ox e as equacoes de conservacao da quantidade de movimento

tomam a forma:

0 = −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2vx

∂y2

0 = −1

ρ

∂p

∂y

A segunda equacao mostra que a pressao nao e uma funcao de y. Consequentemente na

primeira equacao temos que o primeiro termo e funcao exclusiva de x, enquanto o segundo

termo e funcao exclusiva de y, isto e, a variacao das tensoes com y e constante

d p

d x= µ

d2 vx

d y2=d τ

d y; → d p

d xd y = d τ = µd

[d vx

d y

]A integracao do segundo termo leva entao a:

0 =y2

2

dp

dx+ µvx + Ay +B

Para a determinacao das constantes, devemos usar as condicoes de contorno. No limite

inferior, y = 0, a condicao vx = 0 exige que B = 0. No limite superior, y = 2b, temos vx = U

e entao A = bdp/dx− µU/(2b). Assim, o campo de velocidades e dado por:

vx =Uy

2b− y

µ

dp

dx(b− y

2) (1.10)

e a tensao cisalhante por:

τ =µU

2b− dp

dx(b− y) (1.11)

A vazao volumetrica sera entao:

Q =

∫ 2b

0

udy = Ub[1− 2b2

3µU

dp

dx] (1.12)


e a velocidade media

vx =Q

2b=U

2[1− 2b2

3µU

dp

dx] (1.13)

A figura (1.2) mostra diversas possibilidades de escoamento, dados pela expressao da solucao

do problema (1.10. Essas solucoes dependem dos valores do gradiente de pressao e das veloci-

dades das placas. Entre eles apresentamos os escoamentos de Couette e escoamento plano de

Hagen-Poiseuille.

Figura 1.2: Escoamento entre duas Placas Planas

Escoamento de Couette

Chamamos de escoamento de Couette a um caso particular do escoamento entre duas placas

que se deve unicamente ao movimento da placa superior, sem a imposicao de um gradiente de

pressao. A solucao, obtida a partir da expressao (1.10) desprezando-se o gradiente de pressao,

conduz a uma distribuicao linear de velocidade.

vx =Uy

2b

com tensoes

τ = µdvx

dy=µU

2b

uniformemente distribuidas em y.


Escoamento Plano de Hagen-Poiseuille

Este e outro caso de escoamento entre duas placas planas, em que a placa superior nao se

movimenta e somente o gradiente de pressao atua para movimentar o fluido. A expressao do

campo de velocidades e obtida da expressao (1.10), eliminando a velocidade da placa superior.

O campo de velocidade na direcao Ox e dado por:

vx = −yµ

dp

dx(b− y

2)

que e uma equacao quadratica em y, isto e, descreve uma parabola.

As tensoes sao dadas por:

τ = µdvx

dy= (b− y)

dp

dx

variando linearmente com y e se anulando entre as duas placas.

1.6.2 Escoamento de Hagen-Poiseuille em um Tubo

Vamos agora estudar o caso de um escoamento laminar permanente em um duto de secao

circular. Trata-se de um escoamento tridimensional axial. Para descrever o escoamento

empregamos coordenadas cilındricas (r, θ, x). Neste caso a equacao da continuidade e dada

por:1

r

∂

∂r(r vr) +

1

r

∂

∂θvθ +

∂

∂xvx = 0

As equacoes de Navier-Stokes sao dadas por:

∂vr

∂t+ (v · ∇)vr −

v2θ

r= −1

ρ

∂p

∂r+ ν

(∇2vr −

vr

r2− 2

r2

∂vθ

∂θ

)∂vθ

∂t+ (v · ∇)vθ −

vθvr

r= − 1

rρ

∂p

∂θ+ ν

(∇2vθ −

vθ

r2+

2

r2

∂vr

∂θ

)∂vx

∂t+ (v · ∇)vx = −1

ρ

∂p

∂x+ ν∇2vx

O escoamento e suposto ser axissimetrico, e invariante com x. Entao, utilizando a equacao

da continuidade obtemos:1

r

∂vr

∂r= 0 ⇒ rvr = constante

e como vr = 0 para o raio do tubo, r = R, chegamos a:

vr = 0


Como o escoamento e permanente e a velocidade axial e a unica componente diferente de

zero, a equacao na direcao radial reduz-se a

0 = −∂p∂r

e a equacao na direcao axial x a:

0 = −dpdx

+µ

r

d

dr

(rdvx

dr

)

Como p e funcao somente de x, e vx funcao somente de r, ambos termos da equacao acima

sao constantes. Integrando duas vezes essa equacao chegamos a:

vx =r2

4µ

dp

dx+ A ln r +B

como vx tem que ser finito para r = 0 entao A tem que ser nulo. Junto a parede a velocidade

tem que ser nula, isto e, para r = a temos vx = 0, com isto B = −(a2/4µ)(dp/dx). Assim, a

solucao e dada por:

vx =r2 − a2

4µ

dp

dx

Este resultado mostra que o perfil de velocidades e parabolico, como mostrado na figura 1.3.


Figura 1.3: Escoamento laminar em um tubo de secao circular

1.6.3 Escoamento entre dois cilindros concentricos

Estudaremos agora o escoamento bidimensional laminar permanente de um fluido contido

entre dois cırculos concentricos, que podem girar em torno de seu centro. Isto e, trata-

se do escoamento no interior de um disco circular em que suas fronteiras podem executar

movimentos de rotacao. O cilindro interno tem raio R2 e velocidade angular ω2. No cilindro

externo esses valores sao R2 e ω2.

O estudo deste tipo de escoamento apresenta um interesse bastante grande para o entendi-

mento de escoamentos que ocorrem na natureza como e o caso de um ciclone, redemoinho,

vortices em esteiras, etc ...

Para efetuar o estudo e mais conveniente utilizarmos coordenadas polares para descrever o

escoamento. Assim, a equacao da continuidade e expressa por:

1

r

∂

∂r(r vr) +

1

r

∂

∂θvθ = 0 (1.14)


As equacoes de Navier-Stokes sao:

∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+vθ

r

∂vr

∂θ− v2

θ

r= −1

ρ

∂p

∂r+ ν

(∇2vr −

vr

r2− 2

r2

∂vθ

∂θ

)(1.15)

∂vθ

∂t+ vr

∂vθ

∂r+vθ

r

∂vθ

∂θ+vθvr

r= − 1

ρr

∂p

∂θ+ ν

(∇2vθ −

vθ

r2+

2

r2

∂vr

∂θ

)(1.16)

Com as hipoteses de que o escoamento se da em laminas, e e permanente, entao vr = 0 que

usada na equacao da continuidade, (1.14), acarreta que ∂vθ/∂θ = 0.

Assim, a equacao (1.15) reduz-se a:

−v2θ

r= −1

ρ

dp

dr

A segunda equacao, (1.16) fica reduzida a

0 = µd

dr

[1

r

d

dr(rvθ)

]O coeficiente de viscosidade pode ser eliminado nesta equacao. Vemos assim que embora

pelo efeito da viscosidade, impusemos velocidades nulas junto aos cilindros e seu efeito seja

responsavel pela difusao do movimento, a solucao independe de seu valor, e e dada por:

vθ = Ar +B

r

As constantes A e B sao obtidas com as condicoes de contorno

- sobre o cilindro interno a velocidade tangencial vθ do fluido e igual a velocidade do

cilindro, isto e, quando r = R1 a velocidade e vθ = ω1R1

- sobre o cilindro externo a velocidade tangencial vθ e igual a velocidade do cilindro, isto

e, quando r = R2 a velocidade e vθ = ω2R2

Nessas condicoes:

A =ω2R

22 − ω1R

21

R22 −R2

1

B =(ω1 − ω2)R

21R

22

R22 −R2

1

Entao:

vθ =1

1− (R1/R2)2

[ω2 − ω1(R1/R2)

2]r +

R21

r(ω1 − ω2)

(1.17)


A figura (1.4) mostra a distribuicao de velocidades em um fluido contido entre dois cilindros

concentricos, de acordo com a expressao (1.17).

A seguir vamos analisar as solucoes isoladas quando temos somente um cilindro interno e

quando temos somente um cilindro externo.

Figura 1.4: Escoamento laminar entre dois cırculos concentricos

Escoamento externo a um cilindro

Para analisarmos o escoamento externo a um cilindro com movimento de rotacao, basta que

no problema anterior consideremos que o raio do cilindro externo seja infinito e sua velocidade

angular seja nula. Isto e, ω2 = 0 e R2 →∞. Nestas condicoes obtemos, a partir da expressao

(1.17):

vθ =R2

1ω1

r=vθ(R1)R1

r=a

r

onde a = vθ(R1)R1, isto e, uma constante. Observemos que, embora tenhamos considerado

os efeitos viscosos do fluido, nossa solucao equivale a um vortice potencial, e independe do

coeficiente de viscosidade.


Escoamento interno a um cilindro

Analisemos agora o escoamento interno a um cilindro com movimento de rotacao. Neste caso,

devemos considerar que na solucao do problema do escoamento entre dois cilindros, o raio do

cilindro interno e sua velocidade angular sejam nulos. Assim, se ω1 = 0 e R1 = 0 obtemos, a

partir da expressao (1.17):

vθ = ω2r

Concluımos assim que, com a hipotese de escoamento laminar, o fluido no interior do cilindro

comportar-se-a como um corpo rıgido, girando em torno do centro geometrico do cırculo.

1.6.4 Processos de difusao no tempo pela viscosidade

Na secao anterior estudamos alguns escoamentos permanentes laminares. Entre outros resul-

tados, vimos que o escoamento externo a um cilindro circular comporta-se como um vortice

potencial. Vamos agora estudar problemas dependentes do tempo, com a finalidade de de-

screvermos o processo de difusao de vorticidade por efeitos viscosos.

Escoamento sobre uma placa plana infinita partindo do repouso impulsivamente

Consideremos um domınio fluido bidimensional inicialmente em repouso. Nele encontra-se

uma placa plana infinita localizada sobre o eixo Ox. O eixo Oy e perpendicular a placa. A

velocidade inicialmente e nula em t = 0. Em t = 0+ ha um movimento impulsivo da placa

que assume a velocidade U . Junto a placa a velocidade do fluido e igual a sua velocidade.

Inicialmente, a uma distancia mınima da placa, a velocidade do fluido e nula. Isto significa

um salto brusco no escoamento, e podemos dizer que aparece uma vorticidade, que entao,

por difusao, vai se propagar na direcao perpendicular a placa. Com o passar do tempo a

velocidade vai variar continuamente de U a 0, na direcao perpendicular a placa formando

uma camada onde os efeitos viscosos estao concentrados, cuja espessura aumentara com o

tempo.

Assumindo mais uma vez a hipotese de escoamento laminar e como a placa e infinita, a

velocidade horizontal para qualquer x e a mesma. Entao ∂vx/∂x = 0. Pela equacao da

continuidade ∂vy/∂y = 0. Como a velocidade vy e nula sobre a placa ela sera nula para

qualquer valor de y. Introduzindo essas conclusoes nas equacoes de Navier-Stokes obtemos:

ρ∂vx

∂t= −∂p

∂x+ µ

∂2vx

∂y2

0 = −∂p∂y


Pela segunda equacao a pressao nao varia na direcao perpendicular a placa, so podendo variar

na direcao Ox. Entretanto como a placa e infinita e o escoamento se repete para todo x, a

pressao tambem nao e funcao de x. Portanto, podemos desprezar a pressao nas equacoes

acima obtendo:

ρ∂vx

∂t= µ

∂2vx

∂y2

que dividindo por ρ conduz a:∂vx

∂t= ν

∂2vx

∂y2(1.18)

Esta equacao e a equacao de difusao da velocidade das partıculas fluidas junto a placa para o

meio atraves dos efeitos viscosos. Aplicando o operador rot = ∇× a equacao (1.18) obtemos

a equacao de difusao da vorticidade:

∂ξ

∂t= ν

∂2ξ

∂y2(1.19)

Como podemos ver estas equacoes, (1.18) e (1.19), sao equivalentes, e tem o mesmo agente

responsavel pela difusao que e a viscosidade do fluido. Estas equacoes sao similares as equacoes

de difusao de calor, a partir da lei de Fourier, um processo difusivo, e da equacao de difusao

de uma concentracao em um fluido, obtida a partir da lei de Fick.

Para resolvermos a equacao (1.18) sao necessarias condicoes de contorno e uma condicao

inicial. Estas refletem o que ocorre no inıcio do processo e durante o processo, junto a placa

e longe desta.

- para o instante t = 0

vx(y, 0) = 0

- junto a placa, para qualquer instante

vx(0, t) = U

- longe da placa, para qualquer instante.

vx(y →∞, t) = 0

Da analise das diversas variaveis do problema que influenciam o comportamento da velocidade

vx, podemos dizer que ela e uma funcao de U , ν, y e t.

vx = φ(U, y, t, ν)


Recorrendo a analise dimensional podemos dizer que vx e funcao de quatro variaveis e duas

dimensoes fundamentais estao envolvidas, espaco e tempo. Entao podemos formar dois grupos

adimensionais:vx

U= g(

y√νt,Uy

ν)

Porem o problema e linear com U , logo a relacao vx/U tem que ser independente de U :

vx

U= f(y, t, ν) = g(

y√νt

) = g(η)

onde η = y/(2√νt)

Com vx = Ug(η) obtemos as derivadas de vx:

∂vx

∂t= U

∂g

∂t= U

dg

dη

∂η

∂t= −U dg

dη

y

4√νt3/2

= −U dgdη

η

2t

∂vx

∂y= U

∂g

∂y= U

dg

dη

∂η

∂y= U

dg

dη

1

2√νt

∂2vx

∂y2=

U

2√νt

d2g

dη2

∂η

∂y=

U

4νt

d2g

dη2

Substituindo essas expressoes na equacao de difusao e nas condicoes de contorno e iniciais,

obtemos o seguinte problema: ∣∣∣∣∣∣−2η dg

dη= d2g

dη2

g(η →∞) = 0

g(0) = 1

A equacao acima pode ser entao escrita na forma:

dg′

g′ = −2ηdη

onde g′= dg/dη, que integrada fornece o seguinte resultado:

ln g′= −η2 + C ou

dg

dη= ae−η2

Com isto podemos ver que a funcao g e dada por:

g = a

∫ η

0

e−z2

dz + b

Utilizando as condicoes de contorno obtemos as constantes a e b. Fazendo η = 0 temos:

g(0) = a

∫ 0

0

e−z2

dz + b = 1 ⇒ b = 1


Fazendo o limite quando η →∞ temos:

g(η →∞) = A

∫ η→∞

0

e−z2

dz + 1 =A√π

2+ 1 = 0 ⇒ a = − 2√

π

Com os valores de a e b temos entao a solucao para g e portanto para vx

vx

U= 1− erf

[y

2√νt

](1.20)

onde erf e a funcao erro, cuja expressao e:

erf(x) =2√π

∫ x

0

e−z2

dz

A figura (1.5) mostra a forma da solucao, dada pela expressao (1.20). Como vimos pelo

desenvolvimento, trata-se do escoamento laminar em um domınio semi-infinito sobre uma

placa plana, inicialmente em repouso, que executa um movimento impulsivo. Nesta figura

podemos verificar que a velocidade alcanca uma pequena fracao da velocidade da placa para

η = 2. Adotando este valor como valor limite da camada de influencia viscosa, podemos

avaliar o tempo necessario para que os efeitos viscosos alcancem uma certa distancia δ da

parede:

δ ≈ 4√νt


Figura 1.5: Escoamento Laminar em um Domınio Semi-Infinito sobre uma Placa Plana com

Movimento Impulsivo

Para se fazer uma avaliacao da espessura desta camada, consideremos que e decorrido um

tempo de 10 minutos apos a placa ter iniciado seu movimento e a temperatura ambiente e

de 20 graus Celsius. Como os coeficientes de viscosidade cinematica do ar e da agua sao

iguais a 1.5× 10−5 e 1.0× 10−6 respectivamente, obtemos que as espessuras no ar e na agua

sao iguais a 0.0948 metros e 0.0245 metros respectivamente. Apos uma hora essas espessuras

serao iguais a 0.232 metros e 0.06 metros. Isto mostra que o processo de difusao dos efeitos

viscosos e bastante lento, particularmente na agua.

Escoamento em torno de uma folha de vortice

Este problema e bastante similar ao problema visto acima da placa plana. Neste caso temos

que, no inıcio do escoamento, em t = 0+, para y positivo a velocidade vx e positiva, enquanto

para y negativo a velocidade vx e negativa. O modulo da velocidade em todos os pontos do

escoamento e igual a 1. Nosso objetivo e analisar o que ocorre a partir desta situacao.

A equacao diferencial cuja solucao descreve o campo de velocidades do escoamento e a equacao


de difusao:

∂vx

∂t= ν

∂2vx

∂y2

A condicao inicial a ser satisfeita pela velocidade em todo o domınio e dada por:

- vx(y > 0, 0) = 1

- vx(y < 0, 0) = −1

A condicao de contorno que diz respeito ao que acontece para grandes distancias da linha

y = 0 ao longo do tempo e:

- vx(y →∞, t) = 1

- vx(y → −∞, t) = −1

Como o problema se assemelha ao problema anteriormente descrito do escoamento devido

ao movimento de uma placa plana, nao entraremos em detalhes sobre o procedimento para

obtencao da solucao, porem utilizando-o obtemos:

vx

U= erf

[y

2√νt

](1.21)

De forma similar podemos dizer que a espessura da camada viscosa variavel com o tempo e

8√νt. A vorticidade em qualquer ponto em qualquer instante e:

ξ =∂vx

∂y=

U√πνt

e−y2/4νt

Integrando-se a vorticidade entre y = −∞ e y = ∞ obtemos o valor 2U , que e o salto inicial

e que e uma constante ao longo do tempo. Isto e, ha uma difusao da vorticidade inicialmente

concentrada em y = 0.

A figura (1.6) mostra o perfil de velocidades dado pela equacao (1.21). Este representa o que

ocorre com o tempo a partir de um escoamento que inicialmente e dado por uma folha de

vortice, quando os efeitos viscosos difundem o diferencial de velocidades sobre a folha.


Figura 1.6: Escoamento ocasionado por uma folha de vortice

Convem comparar a solucao para o problema da placa plana infinita com movimento impulsivo

a partir do repouso, expressao (1.20), com a solucao para o problema da folha de vortice,

expressao (1.21). Enquanto a velocidade normalizada do primeiro caso e igual a 1 menos a

funcao erro, a outra e igual a funcao erro. Isto ocorre porque no primeiro caso o movimento

da placa, mantendo o movimento, aumenta a velocidade das partıculas fluidas ao longo do

tempo, enquanto no segundo caso a velocidade do escoamento inicial normalizada tem modulo

unitario em qualquer ponto, salvo sobre a descontinuidade, e a viscosidade faz com que a

velocidade diminua com o tempo.

Escoamento em torno de uma linha de vortice

Prosseguindo com o estudo de escoamentos que nos mostram o processo de difusao devido

aos efeitos viscosos, vamos apresentar dois casos de grande interesse. Sao casos relacionado

com o desenvolvimento do escoamento a partir de um vortice com carater potencial, em que

introduzimos uma condicao inicial que pode ser entendida como a quebra do mecanismo que

”mantem”um vortice. A velocidade junto ao nucleo torna-se nula e com o tempo a velocidade

vai diminuindo em todo o domınio fluido. O segundo exemplo e o caso inverso, em que em um

fluido em repouso introduzimos em um ponto um nucleo de dimensao infinitesimal que impoe


um comportamento de vortice potencial. Neste caso com o decorrer do tempo, a viscosidade

propaga este comportamento. No limite, quando o tempo decorrido torna-se infinito todo o

escoamento tem o comportamento de um vortice potencial.

Decaimento de um vortice

Temos inicialmente um escoamento que comporta-se como um vortice potencial. A equacao de

Navier-Stokes em coordenadas polares para o escoamento em que vr = 0, vθ 6= 0 e ∂vθ/∂θ = 0

e dada por:∂vθ

∂t= ν

∂

∂r

[1

r

∂

∂r(rvθ)

]No instante inicial temos uma circulacao em torno do centro do escoamento, e o campo de

velocidades e dado por:

vθ(r, 0) =Γ

2πr

Entretanto, a partir do instante t = 0+ a velocidade no centro vai a zero:

vθ(0, t) = 0

Consequentemente a descontinuidade da velocidade no centro do vortice desaparece.

Para grandes distancias do centro a velocidade comporta-se como induzida por um vortice

livre. Assim, temos o seguinte comportamento para o campo de velocidades:

vθ(r →∞, t) =Γ

2πr

A velocidade e funcao da distancia ao centro r, do tempo t e da viscosidade ν.

vθ = g(r, t, ν)

Empregando a analise dimensional, podemos dizer que:

vθ

Γ/(2πr)= f

(r2

4νt

)onde η = r2/4νt.

Substituindo na equacao de difusao e nas condicoes de contorno e iniciais, obtemos o seguinte

problema: ∣∣∣∣ f ′′ + f ′ = 0f(η →∞) = 1

f(0) = 0


A solucao e dada por:

f = 1− e−η

ou em termos das variaveis originais:

vθ =Γ

2πr

[1− e−r2/4νt

](1.22)

Observamos que existe um nucleo (r << 2√νt) no qual a velocidade tem um comportamento

similar ao da velocidade de um corpo rıgido, porem nao varia linearmente com o raio. Quando

nos afastamos do corpo (r >> 2√νt) a velocidade se comporta como em um vortice potencial

(ver figura 1.7).

Figura 1.7: Decaimento de um vortice com o tempo por efeito viscoso


Desenvolvimento de um Vortice

Nesta caso temos o fluido inicialmente em repouso e entao introduzimos um vortice na origem.

Agora, a condicao inicial e as condicoes de contorno sao:

vθ(r, 0) = 0

vθ(δ, t) =Γ

2πδ

onde δ e muito pequeno.

Aplicando o mesmo procedimento utilizado no problema estudado acima obtemos:

vθ =Γ

2πre−r2/4νt (1.23)

Observemos neste caso que quando o tempo cresce o campo vθ tem como limite

vθ =Γ

2πr

isto e, um vortice potencial.

A comparacao enter os dois casos, decaimento do vortice (eq. (1.22)) e desenvolvimento do

vortice (eq. (1.23)), e similar a comparacao que fizemos entre o decaimento da folha de vortice

e o desenvolvimento do escoamento a partir do movimento impulsivo da placa plana infinita.

Placa Plana com Movimento Oscilatorio

Consideremos um domınio fluido bidimensional inicialmente em repouso. Uma placa plana

infinita localizada sobre o eixo Ox, com eixo Oy perpendicular a ela, esta em repouso, em

t = 0. Em t = 0+ a placa inicia um movimento oscilatorio U(t) = U0 cos(ωt). De forma similar

ao caso da placa com velocidade constante, no inıcio, sao arrastadas somente as partıculas

fluidas localizadas junto a placa. Assim, junto a placa, a velocidade do fluido e igual a

velocidade da placa, porem a uma mınima distancia da placa a velocidade ja e nula. Com o

passar do tempo, por difusao, as partıculas adjacentes vao sendo arrastadas. Estas arrastam

outras, e assim sucessivamente. Os dois problemas diferem pela condicao de contorno.

A equacao que rege o movimento, e mais uma vez a equacao de difusao.

∂vx

∂t= ν

∂2vx

∂y2(1.24)

As condicoes de contorno e inicial sao:


- para todo o domınio, antes da placa iniciar seu movimento

vx(y, 0) = 0 (1.25)

- junto a placa, para qualquer instante

vx(0, t) = U(t) (1.26)

- longe da placa, para qualquer instante

vx(y, t) = 0 → ∞ (1.27)

- no inıcio do movimento

vx(0, 0+) = U(t) (1.28)

Como a velocidade da placa e harmonica, teremos um comportamento harmonico para o

campo de velocidades

U(t) = U0 cos(ωt) (1.29)

⇒ vx(y, t) = R[f(y)eiωt] (1.30)

Substituindo esta expressao na equacao (1.24) obtemos:

iωf = νd2f

dy2(1.31)

cuja solucao e da forma:

f = Aeky +Be−ky (1.32)

substituindo na equacao (1.31)

iω(Aeky +Be−ky) = νk2(Aeky +Be−ky)

que pode ser rearranjada na forma:

(iω − νk2)Aeky + (iω − νk2)Be−ky = 0

⇒ iω

ν= k2.

Como

i = eiπ/2 ⇒√

i = eiπ/4 =1 + i√

2

e entao

k = ±√

i

√ω

ν= ±1 + i√

2

√ω

ν= ±

√ω

2ν± i

√ω

2ν(1.33)


Substituindo (1.33) em (1.32)

f = Ae√

ω2ν

yei√

ω2ν +Be−

√ω2ν

ye−i√

ω2ν (1.34)

Como a condicao de contorno (1.27) impoe que o campo de velocidades decresca a medida

que nos afastamos da placa e necessario que a constante A seja nula.

Com a condicao de contorno junto a placa (1.26) e a forma do movimento oscilatorio (1.29)

obtemos B = U0.

Finalmente, substituindo A e B em (1.34) e este resultado em (1.30) obtemos a expressao do

campo de velocidades:

vx(y, t) = U0e−√

ω2ν

y cos[

√ω

2νy − ωt]

A figura (1.8) mostra o comportamento desta solucao. Observemos que a distribuicao de

velocidades mesmo na forma adimensional depende do tempo, diferindo seu comportamento

do resultado para o caso da placa com movimento impulsivo.

Figura 1.8: Perfıs de velocidades ao longo do tempo devidos ao movimento oscilatorio de uma

placa plana infinita


Esta diferenca pode ser entendida se fizermos uma analise dimensional do problema para

reduzi-lo a um problema adimensional com variaveis adimensionais. Os parametros que gov-

ernam o fenomeno sao cinco U , ν, ω, t e y. Isto e, comparado com o caso da movimento

impulsivo, aparece agora a frequencia do movimento. Com essas variaveis formamos dois gru-

pos adimensionais yω/(2ν) e ωt, e a velocidade normalizada e funcao agora de duas variaveis:

vx

U= f(y

ω

2ν, ωt)

Observando a figura (1.8) vemos que para y = 4√

νω

obtemos u = Ue(−4√

2) ≈ 0.05U . Isto e,

se adotarmos como o limite da camada viscosa a distancia para a qual a velocidade alcancou o

valor de 5% da velocidade da placa, temos a seguinte estimativa para a espessura da camada

viscosa

δ ≈ 4

√ν

ω

Capıtulo 2

Camada Limite Laminar

2.1 Introducao

Em 1904 Ludwieg Prandtl (1875, 1953) introduziu o conceito de camada limite. Segundo sua

hipotese, em escoamento de um fluido em torno de um corpo nele imerso, com altos numeros

de Reynolds, isto e, em que as forcas inerciais prevalecem sobre as forcas viscosas, os efeitos

viscosos se concentram em uma fina pelıcula junto ao corpo, chamada camada limite. Nela

temos um grande gradiente de velocidades de tal forma que junto ao corpo a velocidade e

nula e imediatamente afastado do corpo a velocidade alcanca o valor do escoamento externo.

Reunindo este novo conceito com a experiencia de Reynolds, podemos prever que, ao acom-

panharmos o escoamento sobre uma placa plana semi-infinita e nos ativermos a regiao do

escoamento junto a placa, logo apos o escoamento incidente encontrar a placa, as forcas vis-

cosas, forcas ordenadoras, vao superar as forcas inerciais e o escoamento inicialmente sera

laminar. Com o movimento do fluido avancando ao longo da placa, a camada limite ira

engrossar, porem ainda sendo apenas uma fina pelıcula. Com a vorticidade se difundindo

perpendicularmente a placa, as velocidades comecam a variar mais fortemente, ha inducao

de um comportamento rotacional e as forcas de inercia comecam a superar as forcas viscosas,

desagregando a estrutura laminar. O regime entra na fase transitoria. Perturbacoes contin-

uam aparecendo no fluido, principalmente pelo carater rotacional imposto pela distribuicao

de velocidades, de forma tal que as forcas inerciais continuam aumentando e dominando as

forcas viscosas. O escoamento passa entao da fase de transicao para a fase turbulenta.

Na engenharia oceanica, dois fenomenos sao de grande importancia. O atrito junto a parede

de um corpo em movimento e as consequencias da separacao do escoamento. Assim, daremos

enfase no presente capıtulo ao escoamento na camada limite em uma placa plana buscando

obtermos uma lei que nos forneca a resistencia por atrito. Alem disto, justificaremos a origem

27


do fenomeno de separacao da camada limite. Suas consequencias no caso do escoamento

em torno de um cilindro circular sera tratado em um capıtulo a parte. Posteriormente vamos

enfocar a questao da camada limite turbulenta, entao daremos enfase a conceitos preliminares

e princıpios basicos da teoria de turbulencia.

2.2 Equacao de Camada Limite

Vamos agora desenvolver as equacoes de camada limite para um escoamento bidimensional

permanente incidindo sobre uma placa plana localizada sobre o eixo Ox em que a velocidade

do escoamento longe da placa e v = U i. Estudaremos o escoamento em uma regiao distando

L da extremidade de ataque da placa. Assim, tomemos as equacoes de Navier-Stokes nas

direcoes Ox e Oy eliminando a derivada local.

vx∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν(

∂2vx

∂x2+∂2vx

∂y2)

vx∂vy

∂x+ vy

∂vy

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν(

∂2vy

∂x2+∂2vy

∂y2)

Alem destas equacoes temos que satisfazer a equacao da continuidade:

∂vx

∂x+∂vy

∂y= 0

Seguindo a aproximacao de Prandtl podemos dizer que as variacoes ao longo da placa sao

menores que as variacoes transversais, isto e:

∂

∂x≤ ∂

∂y

∂2

∂x2≤ ∂2

∂y2

As variacoes da velocidade na direcao Ox sao da mesma ordem que a relacao entre a velocidade

incidente, longe da placa e seu comprimento. Assim,

∂vx

∂x≈ U∞

L

Por outro lado a variacao da velocidade na direcao vertical e da ordem da relacao da veloci-

dade no escoamento longe do corpo e a espessura da camada limite. Portanto, o termo que

caracteriza as tensoes cizalhantes e de ordem:

ν∂2vx

∂x2≈ ν

U∞δ2


Considerando o resultado obtido para a avaliacao da espessura da camada de influencia vis-

cosa para uma placa plana partindo impulsivamente do repouso, visto no capıtulo anterior,

podemos escrever:

δ ≈√νL

U∞

Sabemos tambem que vx >> vy e podemos supor que as variacoes de vy com δ sao da mesma

ordem que as variacoes de vx com o comprimento L, isto e:

U∞/L ≈ vy/δ

ou

vy ≈ δU∞/L

Como os efeitos viscosos estao concentrados numa fina camada junto a placa, o campo de

pressoes nao e afetado por esses efeitos, podemos dizer que a pressao e dada pelas carac-

terısticas potenciais do escoamento externo a camada limite e que as forcas de pressao sao da

mesma ordem que as forcas inerciais

p ≈ ρU2∞

Vamos agora normalizar as equacoes de Navier-Stokes e da continuidade para analisar com-

parativamente os termos da equacao em uma forma adimensional, com o comprimento adi-

mensional da placa da mesma ordem que a espessura adimensional da camada limite. Assim,

introduzimos as seguintes variaveis adimensionais:

x′ = x/L, y′ = y/δ, v′x = vx/U,

v′y = vy/(δU/L), p′ = p/U2∞

Substituindo as variaveis dimensionais pelas adimensionais nas tres equacoes que regem o

escoamento obtemos:

v′x∂v′x∂x′

+ v′y∂v′x∂y′

= −∂p′

∂x′+

1

Re

∂2v′x∂x′2

+1

ε2Re

∂2v′x∂y′2

1

Re

(v′x∂v′y∂x′

+ v′y∂v′y∂y′

) = − 1

ε2∂p′

∂y′+

1

R2e

∂2v′y∂x′2

+1

ε2Re

∂2v′y∂y′2

∂v′x∂x′

+∂v′y∂y′

= 0

onde Re = ρUL/µ e o numero de Reynolds e ε = δ/L.

Para estimar as relacoes entre os diversos termos da equacao normalizada, necessitamos ter

uma avaliacao dos valores de Re e ε. O primeiro adimensional, o numero de Reynolds, depende

de quatro grandezas conhecidas. Duas delas dizem respeito as propriedades do fluido e as


outras duas sao dadas pelo escoamento e o tamanho da placa. O segundo adimensional

depende da espessura da camada limite, que pode ser obtida como resultado. Entretanto,

usando resultados obtidos anteriormente, sabemos que a espessura na posicao x da placa e da

ordem O(√νtx), em que tx e o tempo que as partıculas externas a camada limite levam para,

apos alcancarem a aresta de ataque da placa, chegar a posicao x. Assim, podemos estimar

que:

ε =δ

L= O

(√νtx)/L = O[

(√νL/U

)/L] = O

(√ν/LU

)= O[R−1/2

e ]

e em nossa analise tomar ε = R−1/2e .

Uma analise da primeira equacao indica que para altos numeros de Reynolds, Re, o termo do

segundo membro contendo a derivada segunda da velocidade na direcao x e pequeno diante

dos outros termos, uma vez que Re aparece no denominador.

Na segunda equacao temos termos de tres distintas ordens para altos numeros de Reynolds.

O primeiro membro e de ordem O(R−1e ). No segundo membro o termo de pressao e de ordem

O(Re), enquanto o segundo e terceiro termos sao de ordem R−2e e R−1

e , respectivamente. No

limite quando Re →∞ temos as equacoes de camada limite na forma adimensional:

v′x∂v′x∂x′

+ v′y∂v′x∂y′

= −∂p′

∂x′+∂2v′x∂y′2

(2.1)

0 = −∂p′

∂y′(2.2)

∂v′x∂x′

+∂v′y∂y′

= 0 (2.3)

Aplicando analise dimensional ao problema original, temos que

vx = f(x, y, U, ρ, µ)

que pela aplicacao do teorema de Bukingham, com x, U e ρ como variaveis fundamentais, nos

fornecevx

U= F (

y

x,xU

ν) = F (

y

x,

y√νx/U

) = F (εy′

x′, εR1/2

e

y′√x′

)

que, como ε ≈ R−1/2e

vx

U= F (

1

R1/2e

y′

x′,y′√x′

)

Entretanto, concluımos acima que as equacoes adimensionais aproximadas independem do

numero de Reynolds, e com isto

vx

U= F (

y′√x′

) = F (η)


onde:

η =y′√x′

=y

δ

√L

x=

y√νL

√U

√L

x= y

√U

νx

Para obtermos a forma da componente de velocidade na direcao y, integramos a equacao da

continuidadevy

δ= −

∫ y′

0

∂v′x∂x′

dy′ =1

2x

′3/2

∫ y′

0

F ′(y′√x′

)y′dy′

=1

2x

′−1/2

∫ y′

0

F ′(y′√x′

)y′

x′1/2

dy′

x′1/2=

1

2x

′−1/2

∫ (y′/x′1/2)

0

F ′(η)ηdη

⇒ vy

δ=

1

2x

′−1/2Φ(y′√x′

)

Destas relacoes observamos ainda que:

Φ′(η) =1

2ηF ′(η) (2.4)

Esta analise nos permite avaliar a relacao de grandeza dos diversos termos das equacoes, bem

como indicar a forma esperada das funcoes para descrever as velocidades.

Retornando as coordenadas naturais, e desprezando os termos de ordem superior, obtemos

como as equacoes de camada limite:

vx∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2vx

∂y2(2.5)

0 = −∂p∂y

(2.6)

∂vx

∂x+∂vy

∂y= 0 (2.7)

e que as funcoes que descrevem vx e vy sao da forma

vx(x, y) = UF (η) e vy(x, y) =

√νU

xΦ(η) (2.8)

A pressao nao e obtida a partir dessas equacoes, porem e prescrita. Alem disto a equacao

(2.6) mostra que

p = p(x)


2.3 As Diversas Definicoes de Espessura de Camada

Limite

Na camada limite o campo de velocidades paralelas a placa varia de zero, junto a placa, ate U ,

quando muito afastado da placa. Porem, mesmo proximo da placa, a uma pequena distancia,

a velocidade vx ja alcanca o valor U . Na camada limite esta variacao de vx de zero ate U

e inicialmente muito acentuada para que posteriormente se aproxime de U assintoticamente,

isto e, a taxa de variacao de vx com y e muito grande bem junto a placa. As figuras 2.1, 2.2 e

2.3 mostram esquematicamente como variam os perfıs de velocidade ao longo do comprimento

da placa. A ultima figura mostra a variacao das espessuras de deslocamento e de momentum.

Na tentativa de se caracterizar uma espessura para a camada limite algumas definicoes sao

utilizadas.

Figura 2.1: Camada limite sobre uma placa plana I: Espessura e Regime


Figura 2.2: Camada limite sobre uma placa plana II: Espessura e Regime

Figura 2.3: Camada limite sobre uma placa plana III - Espessuras

2.3.1 Espessura δ99 para vx = 0.99U

Esta primeira definicao tem um carater puramente geometrico baseado na comparacao da

velocidade com um percentual da velocidade do escoamento livre da influencia da placa.


Dizemos que a espessura da camada limite e medida pela distancia a placa do ponto onde a

velocidade vx alcanca um valor igual a 99 % da velocidade U .

2.3.2 Espessura de Deslocamento δ∗

Uma segunda definicao de espessura da camada limite baseia-se na consideracao de um deslo-

camento δ∗ a ser dado na posicao da placa, de forma que obtivessemos o mesmo fluxo de

massa, caso o escoamento mantivesse a velocidade igual ao do fluxo nao perturbado pelos

efeitos viscosos. A expressao desta definicao e dada por:

limh→∞

∫ h

0

vxdy = U(h− δ∗) (2.9)

Assim:

δ∗ = limh→∞

∫ h

0

(1− vx

U)dy (2.10)

2.3.3 Espessura de Momentum θ

Uma terceira definicao de espessura da camada limite utilizada, baseia-se na consideracao da

perda de quantidade de movimento. De forma similar define-se a espessura que corresponde

a perda de quantidade de movimento (momentum)

θ = limh→∞

∫ h

0

vx

U(1− vx

U)dy (2.11)

Em princıpio essas definicoes sao aparentemente artificiais. Entretanto, veremos mais adiante

que elas aparecem como elementos da teoria de camada limite.

2.4 Camada Limite Laminar em Placa Plana

Apresentaremos nesta secao a solucao de Blasius para a camada limite laminar em uma placa

plana.

As equacoes que regem o escoamento na camada limite, para um fluido newtoniano, em que

as forcas de corpo derivam de um potencial, foram estabelecidas acima. As equacoes (2.5),

(2.6) e (2.7), apresentam a forma dimensional das equacoes de camada limite, enquanto as

equacoes (2.1), (2.2) e (2.3) estabelecem a forma adimensional. Desprezando o gradiente de


pressoes temos entao a equacao da continuidade e a equacao da quantidade de movimento em

x como as equacoes de camada limite

∂vx

∂x+∂vy

∂y= 0 (2.12)

vx∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y= ν

∂2vx

∂y2(2.13)

Na forma adimensional as velocidades sao funcoes do parametro η (2.8),

vx(x, y) = UF (η)

vy(x, y) =

√νU

xΦ(η)

e que existe uma relacao entre Φ e F dada por (2.4):

Φ′(η) =1

2ηF ′(η).

Introduzindo a funcao φ dada por:

φ(η) =

∫ η

0

F (η)dη

tal que φ′(η) = F (η) e φ(0) = 0, temos:

Φ′(η) =

1

2ηφ

′′=

1

2(ηφ

′ − φ)′

e

Φ(η) =1

2(ηφ

′ − φ)

uma vez que Φ(0) = 0.

Substituindo essas equacoes nas equacoes de camada limite, obtemos:

−1

2ηFF

′+ ΦF

′= F

′′

ou

φ′′′

+1

2φφ

′′= 0

com as condicoes de contorno φ(0) = φ′(0) = 0 e limη→∞ φ

′(η) = 1. A solucao pode ser obtida

integrando-se numericamente a equacao, por exemplo, usando-se o metodo de Runge-Kutta

e esta apresentada nas figuras 2.4, 2.5 e 2.6.


Figura 2.4: Camada limite sobre uma placa plana IV: Perfil de Velocidades


Figura 2.5: Camada limite sobre uma placa plana II: Perfil de Velocidades


Figura 2.6: Camada limite sobre uma placa plana III: Perfil de Velocidades

Com a funcao φ e sua derivada podemos determinar as velocidades paralela e transversal a

placa a partir das relacoes acima apresentadas:

vx = Uφ′(η)

vy =1

2

√νU

x(ηφ′ − φ)

A velocidade vy nao se anula a medida que y → ∞. Isto e natural uma vez que temos que

satisfazer o princıpio de conservacao da massa, e seu valor limite e:

limη→∞

vy

U= 0.865Re,x = 0.865

√νUx

A espessura da camada limite ate a velocidade igual a 95 % da velocidade do escoamento

incidente e:

δ = 4.9

√νx

U


ou

δ

x=

4.9√Rex

As espessuras δ∗ e θ sao dadas por:

δ∗ = 1.72(νx/U)1/2

θ = 0.664(νx/U)1/2

A tensao tangencial a parede e:

τ = µ∂vx

∂y= µUF ′(0)

√U

νx=

0.332ρU2

√Rex

O coeficiente de friccao, definido pela relacao entre a tensao tangencial e 0.5ρU2 e:

cf =τ

0.5ρU2=

0.664√Rex

Integrando as tensoes obtemos o arraste:

D =

∫ L

0

τdx =1

2U2

∫ L

0

cfdx

cuja expressao dividida por 12U2 fornece o coeficiente de arraste:

Cd =D

12U2L

=1

L

∫ L

0

cfdx =1.33√ReL

A figura 2.7 mostra a distribuicao de velocidade vertical na camada limite, segundo a solucao

de Blasius. A figura 2.8 mostra uma comparacao dos perfıs de velocidade horizontal nas

camadas limite laminar e turbulenta, sendo que a turbulenta indica uma media.


Figura 2.7: Distribuicao de velocidade vertical na camada limite laminar


Figura 2.8: Comparacao de perfıs de velocidade horizontal nas camadas limite laminar e

turbulenta

2.5 A integral de von Karman

A solucao das equacoes de camada limite obtida por Blasius, e restrita a placas e regime

laminar, sem gradiente de pressao externo. Uma forma alternativa para tratar as equacoes

de camada limite foi introduzida por von Karman. Trata-se de uma analise integral, em que

a equacao de quantidade de movimento e integrada verticalmente da superfıcie solida ate a


extremidade da camada limite.∫ δ

0

(vx∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y)dy = −

∫ δ

0

1

ρ

∂p

∂xdy + ν

∫ δ

0

∂2vx

∂y2dy (2.14)

Lembrando que fora da camada limite o escoamento tem um carater potencial, a pressao pode

ser obtida utilizando a equacao de Euler, e as caracterısticas da velocidade externa a camada

limite, localmente.1

ρ

∂p

∂x= U(x)

∂U

∂x(2.15)

Substituindo (2.15) em (2.14) obtemos:∫ δ

0

(vx∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y− U(x)

∂U

∂x)dy = ν

∫ δ

0

∂2vx

∂y2dy

= ν(∂vx

∂y)|y=δ − ν(

∂vx

∂y)|y=0 = −τxy

ρ(2.16)

O integrando do primeiro membro em (2.16) pode ser rearranjado:

vx∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y− U(x)

∂U

∂x= vx(

∂vx

∂x− ∂U

∂x) + vy(

∂vx

∂y− ∂U

∂y) + (vx − U(x))

∂U

∂x

Assim ∫ δ

0

[vx(

∂vx

∂x− ∂U

∂x) + vy(

∂vx

∂y− ∂U

∂y) + (vx − U(x))

∂U

∂x

]dy = −τxy

ρ(2.17)

O ultimo termo da integral conduz a δ∗, espessura de deslocamento:∫ δ

0

(vx − U(x))∂U

∂xdy = −Uδ∗dU

dx(2.18)

Desenvolvendo a integral do segundo termo obtemos:∫ δ

0

vy(∂vx

∂y− ∂U

∂y)dy = [vy(vx − U)]δ0 −

∫ δ

0

(vx − U)∂vy

∂ydy =

∫ δ

0

(vx − U)∂vx

∂xdy (2.19)

Substituindo (2.18) e (2.19) e reunindo este resultado com o primeiro termo em (2.17) obtemos:

Uδ∗dU

dx+

∫ δ

0

[vx(

∂U

∂x− ∂vx

∂x) + (U − vx)

∂vx

∂x

]dy =

τxy

ρ(2.20)

e entao:

Uδ∗dU

dx+

d

dx

∫ δ

0

vx(U − vx)dy =τxy

ρ(2.21)

A integral que aparece em (2.21) e a espessura de momentum θ∗ mutiplicada pelo quadrado

da velocidade. Assim, a equacao que expressa a integral de quantidade de movimento e:

Uδ∗dU

dx+

d

dx(θ∗U2) =

τxy

ρ(2.22)


2.6 Esquema de Pohlhausen

Vamos agora descrever uma aplicacao da integral de von Karman para obtencao aproximada

da solucao de camada limite laminar em presenca de um gradiente de pressao. Este esquema

foi inicialmente utilizado por Pohlhausen. Supomos que o perfil de velocidades da camada

limite possa ser descrito por um polinomio do quarto grau em funcao da relacao entre a

posicao vertical y e a espessura local da camada δ:

vx

U= a0 + a1(

y

δ) + a2(

y

δ)2 + a3(

y

δ)3 + a4(

y

δ)4

As condicoes de contorno sao:

1. vx = 0 para y = 0.

2. junto a parede, y = 0 vale a equacao de camada limite

1

ρ

∂p

∂x= ν

∂2vx

∂y2= −U dU

dx

3. sobre o limite da camada

vx = U,∂vx

∂y= 0 e

∂2vx

∂y2= 0

Com estas condicoes podemos obter os coeficientes

a0 = 0, a1 = 2 +Λ

6, a2 =

Λ

2,

a3 = −2 +Λ

2, e a4 = 1 +

Λ

6.

com

Λ =δ2

ν

dU

dx

As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento sao:

δ∗ =

∫ δ

0

(1− vx

U)dy = δ(

3

10− Λ

120)

θ =

∫ δ

0

vx

U(1− vx

U)dy = δ(

37

315− Λ

945− Λ2

120)

τxy = µ(∂vx

∂y)y=0 =

µU

δ(2 +

Λ

6)


Introduzindo esses resultados em (2.22), obtemos:

dΛ

dx=dU

dx

f(Λ)

U+d2U/dx2

dU/dxg(Λ) (2.23)

onde:

f(Λ) =7257.6− 1336.32Λ + 37.92Λ2 + 0.8Λ3

213.12− 5.76Λ− Λ2

g(Λ) =213.12Λ− 1.92Λ2 − 0.2Λ3

213.12− 5.76Λ− Λ2

2.7 Aplicacao para o Caso da Camada Limite em uma

Placa Plana

Neste caso a velocidade externa a camada limite e considerada constante U = 0, logo Λ = 0

e entaou

U= 2η − 2η3 + η4

e

δ∗ =3

10δ

θ =37

315δ

τ =2µU

δ

A equacao de von Karman torna-se:

U2 37

315δ′ − 2

νU

δ= 0

ou

δδ′ =2 · 315

37

ν

δou

U37

315δdδ − 2νdx = 0

integrando-se esta equacao temos:

U37

315

δ2

2− 2νx = 0

e entao:

δ2 =1260

37

νx

U


e

τ = 0.343

√ρµU3

x= 0.343

U2ρ√Rex

Este resultado aproximado e muito proximo ao anteriormente obtido.

2.8 Efeito do Gradiente de Pressao: Separacao

Quando estudamos escoamentos potenciais planos, determinamos o campo de velocidades

para o caso de um escoamento retilıneo permanente incidindo sobre um cırculo. Concluımos

que a velocidade tangencial ao longo do contorno do cırculo e dada por

vθ = −2U sin θ,

isto e, ha dois pontos de estagnacao um para θ = π, a montante, e o outro para θ = 0, a

juzante. A velocidade maxima e alcancada em θ = π/2 e θ = 3π/2, e seu valor e o dobro

da velocidade do escoamento incidente. Utilizando-se o teorema de Bernoulli, tem-se que a

pressao e dada por

pd = pd,∞ +1

2(U2 − u2

θ)

Nos pontos de estagnacao a pressao e maxima

pd(θ = π) = pd(θ = 0) = pd,∞ +1

2U2

e nos pontos onde a velocidade e maxima, a pressao e mınima:

pd(θ = π/2) = pd(θ = 3π/2) = pd,∞ +1

2(U2 − (2U)2)

= pd,∞ −3

2U2

Com o efeito da viscosidade, caracterizado pelo aparecimento da camada limite e de sua sep-

aracao junto ao cilindro, o campo de pressao e altamente modificado dependendo do numero

de Reynolds.

A figura 2.9 mostra a distribuicao de pressoes para um escoamento potencial, e as distribuicoes

de pressao para dois casos de escoamentos reais para dois numeros de Reynolds distintos. Um

referente a um escoamento laminar e o outro turbulento.

Estes resultados mostram que uma partıcula fluindo proxima ao cırculo, deslocando-se de

θ = π para θ = π/2, ao passar pelo primeiro ponto de estagnacao desloca-se, tendo um

gradiente de pressao favoravel, aumentando assim sua velocidade. Ao passar pelo ponto


θ = π/2 enfrenta um gradiente de pressao desfavoravel reduzindo sua velocidade. No caso de

escoamentos potenciais nao ha perdas e o ganho de energia cinetica no segundo quadrante e

usado para vencer o gradiente adverso de pressao no primeiro quadrante.

Figura 2.9: Escoamento em torno de um cilindro circular

No caso de escoamentos reais isto nao e mais possıvel. Os efeitos viscosos por menores que

sejam, sao acentuados na camada limite, e nela a velocidade junto a parede e nula. Assim, as

particulas na camada limite nao acumulam energia cinetica no segundo quadrante para vencer

o gradiente adverso do primeiro quadrante. Ha a separacao do escoamento, transformando a

distribuicao ao longo do cırculo, no primeiro e quarto quadrantes. As distribuicoes de pressao

apresentadas na figura 2.9 mostram as diferencas acentuadas para os tres casos.

As distribuicoes de pressao mostram claramente que os pontos de mınima pressao estao lo-

calizados proximos aos pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. As regioes das esteiras nos escoamentos

reais tornam-se regioes de baixa pressao, entretanto, sem que fiquem abaixo da pressao dos


pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. Nos tres casos apresentados, a distribuicao de pressao na face

de ataque, pouco se modifica. Enquanto na face de fuga as diferencas sao acentuadas. A

integracao das pressoes fornecem as forcas atuando sobre o cırculo. Com as distribuicoes de

pressao observa-se que no caso de escoamento de fluido invıscito, a forca resultante (devida

as pressoes) e nula, enquanto, para fluido real, devido a separacao do escoamento, essa forca

e diferente de zero. Na realidade esta contribuicao de forca, nao somente e diferente de zero,

como supera bastante a contribuicao das tensoes cisalhantes na camada limite.

Como vimos no caso do escoamento de Couette e Poisseuille, a superposicao de um gradiente

de pressao desfavoravel ao efeito viscoso, aparece um retorno no escoamento. Observemos

que no caso da camada limite temos o efeito viscoso causando a reducao da velocidade, e

uma distribuicao de pressao que so dependera da situacao externa a camada limite. Se esta

distribuicao de pressao externa a camada limite gerar um gradiente de pressao desfavoravel

no sentido da camada limite podera haver uma inversao do escoamento. Lembrando que, ao

longo do comprimento a camada limite vai engrossando e o angulo que o perfil de velocidades

faz com a parede aumenta, e possıvel que, sujeito a um gradiente adverso, o escoamento

alcance uma situacao em que haja um retorno do escoamento. Isto quer dizer que havera

um ponto de estagnacao, e consequentemente um linha divisoria de duas regioes, uma em

que o escoamento tem que avancar e outra em que ha um retorno. Assim, o escoamento que

tem que avancar e obrigado a deixar a parede. A esta situacao chamamos de separacao do

escoamento. Devemos lembrar que um escoamento viscoso com alto numero de Reynolds em

torno de um corpo, estara sujeito a separacao, caso haja um gradiente de pressao adverso.

No ponto onde a separacao do escoamento ocorre a tensao cisalhante e nula, e as velocidades

normal e tangencial a parede sao nulas. Considerando um sistema de referencia localizado na

regiao de separacao temos:

1

ρ

∂p

∂x= ν(

∂2vx

∂x2+∂2vx

∂y2)

e por outro lado admitindo que a pressao fora da camada limite e regida pela caracterıstica

potencial do escoamento, temos portanto pela equacao de Euler

1

ρ

∂p

∂x= U(x)

∂U

∂x

ν(∂2vx

∂x2+∂2vx

∂y2) = U(x)

∂U

∂x

As figuras 2.10 e 2.11 mostram a influencia do gradiente de pressao na separacao da camada

limite.


Figura 2.10: Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao I

Figura 2.11: Influencia do Gradiente de Pressao na Separacao II


As figuras 2.12 e 2.13 mostram a fotos com a evolucao do escoamento e sua separacao, em

torno de um cilindro circular com o tempo.

Figura 2.12: Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular I


Figura 2.13: Evolucao do escoamento em torno de um cilindro circular II

A seguir a figura 2.14 mostra o coeficiente de arrasto para um cilindro circular.


Figura 2.14: Coeficiente de Arrasto

Capıtulo 3

Camada Limite Turbulenta em Placa

Plana

3.1 Introducao

Tratamos neste texto das equacoes representativas dos prıncipios da conservacao de massa e

de quantidade de movimento, para escoamentos de fluidos incompressıveis, com o objetivo de

se desenvolver equacoes de transporte para escoamentos turbulentos para massa, quantidade

de movimento, energia cinetica, vorticidade e tensoes de Reynolds.

Consideremos inicialmente as equacoes que expressam os princıpios de conservacao da massa,

equacao da continuidade e da conservacao da quantidade de movimento para um fluido in-

compressıvel, equacao de Navier-Stokes em notacao tensorial:

∂ui

∂xi

= 0

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj

=1

ρ

∂ωij

∂xj

= −1

ρ

∂p

∂xi

+ ν∂2ui

∂xj∂xj

onde:

t - tempo

xi(i = 1, 2, 3) - coordenadas espaciais

ui(i = 1, 2, 3) - componente da velocidade do escoamento na direcao i

53


ρ - a massa especıfica,

ωij = −pδij + 2νsij - tensor das tensoes,

sij = −1/2(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi) - tensor das deformacoes

δij - delta de Dirac

µ - viscosidade dinamica

ν = µ/ρ - viscosidade cinematica

p - pressoes no escoamento medio

3.2 Equacoes de Transporte Promediadas

O estudo da turbulencia em um escoamento exige que possamos considerar as flutuacoes em

relacao ao escoamento medio. Por outro lado temos a impossibilidade de lidar com as equacoes

exatas de movimento, equacoes de Navier-Stokes, de modo a se obter solucoes fechadas. Con-

hecemos somente algumas solucoes de casos simplificados. Alem disto a turbulencia tem

um carater altamente instavel com intensas flutuacoes aleatorias em suas velocidades e out-

ras propriedades. Desta forma, torna-se imperativo que seja enfocada de forma estatıstica.

Reynolds(1895) propos tratar as equacoes atraves de uma promediacao temporal das variaveis

do problema, que no caso de fluidos incompressıveis sao velocidade, pressao e tensao. Assim,

decompomos as variaveis instantaneas em quantidades medias e flutuacoes:

f = f + f′

onde : f valor medio da variavel; f′flutuacoes;

f =1

t2 − t1

∫ t2

t1

f dt

em que t2 − t1 e um intervalo de tempo suficientemente grande, de forma que, as flutuacoes

turbulentas das variaveis do problema sejam anuladas no processo de promediacao. Devemos

lembrar que, alem das flutuacoes turbulentas o escoamento pode conter outras frequencias

que nao sao produtos da turbulencia. Um intervalo de tempo finito deve ser utilizado na

promediacao, tal que seja bem maior que a escala das flutuacoes turbulentas, e bem menor

que o perıodo de oscilacao que desejamos atribuir ao escoamento medio.

Assim,

ui = ui + u′

ωij = ωij + ω′

ij p = p+ p′


Para as derivadas obtemos:

∂ui

∂t=∂ui

∂t;

∂ui

∂xi

=∂ui

∂xi

;∂p

∂xi

=∂p

∂xi

;∂ωij

∂xj

=∂ωij

∂xj

∂u′i

∂t=∂p′

∂xi

=∂ω

′ij

∂xj

= 0

Para o tensor das tensoes obtemos

ωij = −(p+ p′)δij + µ(

∂(ui + u′i)

∂xj

+∂(uj + u

′j)

∂xi

)

= −pδij + µ(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)− p′δij + µ(

∂u′i

∂xj

+∂u

′j

∂xi

)

= −pδij + µsij︸︷︷︸ωij

−p′δij + µs

′

ij︸︷︷︸ω

′ij

onde:

ωij tensor das tensoes do escoamento medio;

ω′ij tensor das tensoes das flutuacoes;

sij taxa de deformacao do escoamento medio;

s′ij taxa de deformacao das flutuacoes.

Decompondo a velocidade do escoamento instantaneo u em componentes media u e de flu-

tuacao u′na equacao da continuidade,

u = u+ u′

e aplicando o procedimento de promediacao de Reynolds, obtemos:

∂ui

∂xi

=∂(ui + u

′i)

∂xi

=∂ui

∂xi

+∂u

′i

∂xi

onde o ultimo termo e nulo, como visto anteriormente.

Assim, a equacao da continuidade do escoamento turbulento de um fluido incompressıvel e

expressa em termos da velocidade media do escoamento

∂ui

∂xi

= 0

Decompondo as variaveis na equacao de quantidade de movimento numa soma do valor medio

e da flutuacao, conforme indicado acima, e aplicando a media temporal de Reynolds, obtemos:


∂(ui + u′i)

∂t+ (uj + u

′j)∂(ui + u

′i)

∂xj

=1

ρ

∂(ωij + ω′ij)

∂xj

e usando a equacao da continuidade:

∂(ui + u′i)

∂t+∂(uj + u

′j)(ui + u

′i)

∂xj

=1

ρ

∂(ωij + ω′ij)

∂xj

Utilizando as expressoes acima, o primeiro termo do primeiro membro e o segundo membro

podem ser escrito na forma:

∂(ui + u′i)

∂t=∂ui

∂t

1

ρ

∂(ωij + ω′ij)

∂xj

=1

ρ

∂ωij

∂xj

respectivamente, e a equacao de quantidade de movimento promediada assume a forma:

∂ui

∂t+∂(uj + u

′j)(ui + u

′i)

∂xj

=1

ρ

∂ωij

∂xj

O termo convectivo pode ser decomposto em:

uiuj = (ui + u′i)(uj + u

′j)

= uiuj + uiu′j + uju

′i + u

′iu

′j

O primeiro termo do segundo membro e igual a uiuj, pois a media de um produto de medias

e simplemente o produto das medias, enquanto, o segundo e terceiro termos sao nulos, ja que

a media da flutuacao e nula. Assim, a expressao fica reduzida a:

uiuj = uiuj + u′iu

′j

O ultimo termo, chamado de tensoes de Reynolds, trata da correlacao entre as componentes

das flutuacoes das velocidades, isto e, u′i correlacionada com u

′j ou vice versa. O grau de

correlacao e medido pelo coeficiente de correlacao:

cij =u

′iu

′j

u′2i u

′2j


Se | cij |= 1 entao as variaveis sao totalmente correlacionadas. Por outro lado, se cij = 0,

entao nao existe correlacao entre elas.

Reunindo esses resultados, a equacao de quantidade de movimento promediada no tempo,

que descreve os efeitos da turbulencia sobre o escoamento medio, e expressa como:

∂ui

∂t+∂ujui

∂xj

+∂u

′ju

′i

∂xj

=1

ρ

∂ωij

∂xj

ou∂ui

∂t+∂ujui

∂xj

=1

ρ

∂(ωij − ρu′iu

′j)

∂xj

= −1

ρ

∂p

∂xi

+∂

∂xj

(ν∂ui

∂xj

− ρu′iu

′j)

O ultimo termo do segundo membro na ultima expressao representa o transporte medio das

flutuacoes de quantidades de movimento pelas flutuacoes de velocidade. Podemos interpretar

esse termo como um agente que produz tensoes no escoamento medio, e observar que tem

caracterıstica inercial. Alem disto, devemos dizer que as tensoes de Reynolds sao bem maiores

que as tensoes viscosas, excetuando uma pequena regiao junto a paredes, dentro da camada

limite.

Essa equacao e exata, mas introduz uma nova incognita, o termo do transporte medio das

flutuacoes de quantidade de movimento, ou, a correlacao entre componentes das flutuacoes

de velocidade, que dao origem a tensoes adicionais, chamadas tensoes de Reynolds.

3.3 O problema do fechamento

Acima apresentamos as equacoes diferenciais exatas para representar os princıpios de con-

servacao de massa e quantidade de movimento. Para levar em consideracao os efeitos da

turbulencia, introduzimos tambem a representacao das variaveis atraves de somas de termos

medios e termos de flutuacao.

A consideracao da turbulencia trouxe uma dificuldade adicional pois, introduziu inicialmente

duas incognitas, o valor medio e a flutuacao, para cada variavel. Com a promediacao essas

flutuacoes aparecem nas equacoes como termos em forma de correlacoes das flutuacoes das

variaveis consideradas. e possıvel desenvolvermos novas equacoes para essas correlacoes, en-

tretanto, assim procedendo, sao sempre introduzidas correlacoes de mais alta ordem e assim

sucessivamente, impedindo que tenhamos um sistema de equacoes fechado.

A este termo adicional, −ρu′iu

′j, da-se o nome de tensao de Reynolds e esta associado ao

transporte de quantidade de movimento dos termos de flutuacao. Se conhecessemos este


termo poderıamos resolver o problema, de forma analoga as solucoes apresentadas acima

para a equacao de Navier-Stokes laminar. Porem nao se conhece nenhum procedimento para

expressar esse termo em funcao das outras variaveis do problema. O tratamento do problema

passa, entao, pela utilizacao de metodos empıricos para estimar ou expressar este termo.

3.4 Subdivisao da Camada Limite Turbulenta

Na camada limite turbulenta podemos observar uma sub-camada laminar associada funda-

mentalmente a tensao na parede. Na regiao mais superior da camada limite turbulenta o

escoamento e dependente das tensoes de Reynolds, que se devem aos termos de flutuacao.

Para se desenvolver expressoes que fornecam os campos de velocidade e as forcas na camada

turbulenta ha que se usar resultados experimentais, analises qualitativas e muita intuicao

fısica.

Seguindo essas linha convem trabalhar com dois modelos distintos um para a camada interna

e outro para a mais externa. Finalmente busca-se uma forma de compatibiliza-las atraves de

um modelo para a camada intermediaria.

A figura 3.1 mostra a variacao da tensao com a distancia da parede, e indica a diferenca

de contribuicao de cada uma das camadas. A figura 3.1 mostra ainda o comportamento da

velocidade adimensional u/u∗ em funcao da distancia adimensional da parede yu∗/µ.

Figura 3.1: Influencia da parede e da turbulencia no perfil de velocidades e na tensao


A equacao de movimento do regime turbulento para velocidades medias e dada por:

DUi

Dt= −1

ρ

∂P

∂xi

+∂

∂xj

[ν∂Ui

∂xj

− uiuj]

onde pode-se definir uma tensao que englobe a tensao devida a viscosidade molecular bem

como a perda de energia pelos termos de flutuacao:

τij =∂

∂xj

[ν∂Ui

∂xj

− uiuj]

No caso de um escoamento totalmente desenvolvido em um canal esta expressao torna-se:

0 = −∂P∂x

+∂τ

∂y

τ = µ[∂u

∂y− ρuiuj]

onde

∂P/∂x = f(x)

∂τ/∂y = f(y)

Isto e, podemos dizer que:

∂P/∂x = ∂τ/∂y = C

onde C e uma constante.

Longe da parede τ e dominado pelas tensoes de Reynolds, porem proximo a parede a con-

tibuicao viscosa domina.

Para a subcamada viscosa utiliza-se a abordagem de Prandtl. Inicialmente diz-se que a

velocidade e dada como uma funcao

u = f(ν, τp, ρ, y) (3.1)

onde:


τp - tensao na parede

ρ - massa especıfica


y - distancia da parede

Atraves da analise dimensional tem-se

u

u∗= f(

y u∗

ν) (3.2)

onde

u∗ = (τpρ

)1/2

Para a camada turbulenta mais externa utiliza-se abordagem de von Karman, em que se supoe

que a perda de velocidade e dada pela relacao:

U − u

u∗= g(

y

δ) (3.3)

onde

U - velocidade do escoamento externo

δ - espessura da camada limite

E possıvel dizer que ha uma expressao que compatibiliza esses duas expressoe na camada

intermediaria, como sera mostrado. Trata-se da lei logarıtmica de Milikan para a camada

intermediaria.u

u∗=

1

κln(

y u∗

µ) +B (3.4)

Para dutos com paredes lisas

κ = 0.41

B = 5.0

3.5 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana

Como numa camada limite de placa plana nao existe um gradiente de pressao, entao:

ρU∂U

∂x+ ρV

∂U

∂y=∂τ

∂y

Considerando agora que o escoamento junto a parede U independe de U∞

U = U(ρ, τp, ν, y)


e

µdU

dy= τp

logo

U =yτpµ

Da analise dimensional segue que:

U√τp/ρ

= f(y√τp/ρ

ν) = f(

yu∗

ν) = f(y)

em que definimos, como acima,

u∗ =√τp/ρ

que tem dimensao de velocidade e e chamado de velocidade de friccao.

U

u∗= f(y)

Esta e a chamada lei da parede, como visto para dutos.

As experiencias mostram que embora haja flutuacoes proximo a parede as tensoes de Reynolds

sao pequenas.

Por causa da pouca espessura da subcamada viscosa a tensao pode ser considerada uniforme

dentro dela e igual a tensao junto a parede, conforme mostrado para o caso do escoamento

em dutos.

Na regiao externa o escoamento e pouco viscoso porem as tensoes de Reynolds geram uma

perda de velocidade U∞−U , que deve ser proporcional a friccao da parede caracterizada por

u∗U∞ − U

u∗= F (

y

δ) = F (ξ)

esta e entao a lei de perda de velocidade

Assim, vemos que diferentes leis governam o escoamento proximo e longe da parede. A questao

agora e compatibiliza-las como foi feito para o caso de dutos, onde apresentamos a expressao

de Milikan para a camada intermediaria.

Das duas leis segue quedU

dy=u∗ν

df

dy

dU

dy=u∗δ

dF

dξ


e na regiao intermediaria essas expressoes devem se igualar, isto e serem igual a uma mesma

constante 1/k, onde k e a constante de von Karman.

ξdF

dξ= y

df

dy=

1

k

Assim, podemos escrever as seguintes equacoes diferenciais para f e F :

ydf

dy=

1

k

ξdF

dξ=

1

k

cujas solucoes sao da forma

f(y) =1

kln y + A

F (ξ) =1

kln ξ +B

As constantes A, B e k compatibilizam as duas equacoes e devem ser obtidas experimental-

mente. Experiencias mostram que A = 5.0, B = −1.0 e k = 0.41.

A soma das duas leis conduz a lei da camada intermediaria:

U

u∗= C0 ln(

u∗δ

ν) + (C1 + C2) (3.5)

Entretanto uma segunda equacao e necessaria uma vez que temos duas incognitas u∗ e δ

Com o objetivo de se ter uma segunda equacao observamos que a integral de von Karman foi

obtida a partir da equacao de quantidade de movimento laminar.

E possıvel mostrar que a mesma equacao e valida para camada limite turbulenta incluindo

as tensoes de Reynolds, admitindo-se que as flutuacoes tenham um carater isotropico. Isto e,

u′2 = v′2. Com esta condicao adicional e desprezando o gradiente de pressao na integral de

von Karman

τp = ρU2 dθ

dx= ρu∗2 (3.6)

onde empregamos

u∗ = [τxy(x, 0)/ρ]1/2 = (τp/ρ)1/2

e θ denota a espessura de momento. A espessura da camada limite pode ser calculada em

termos de duas integrais:

I =

∫ 1

0

f2(y/δ)d(y/δ) ≈∫ 1

0

U − u

u∗d(y/δ) (3.7)


J =

∫ 1

0

[f2(y/δ)]2d(y/δ) ≈

∫ 1

0

(U − u

u∗)2d(y/δ) (3.8)

Das definicoes de espessura obtemos:

δ∗

δ= I(u∗/U) (3.9)

θ

δ= I(u∗/U)− J(u∗/U)2 (3.10)

As equacoes (3.5), (3.6), e (3.10) formam um problema de tres equacoes com tres incognitas em

u∗, δ e θ. Podem ser resolvidas sem nenhuma hipotese adicional, utilizando-se as constantes

obtidas experimentalmente.

Um dos principais resultados e o coeficiente de arrasto de friccao local cf = τp/(.5ρU2) que

satisfaz a equacao:1√cf

=1√2A ln(Re,xcf ) + C3

onde Re,x = Ux/ν e o numero de Reynolds local. Com este coeficiente pode-se determinar o

arrasto total:

CF =1

l

∫ l

0

cf (x)dx

3.5.1 Resistencia friccional de placas utilizadas pelo ATTC e pelo

ITTC

Deve-se mencionar a expressao desenvolvida por Schoenherr que e utilizada pelo ATTC,

Conferencia Americana de Tanques de Prova:

1√Cf

= 1.739 ln(ReCf )

Ja o ITTC, a Conferencia Internacional de Tanques de Prova, em 1957, recomendou a seguinte

formulacao:

Cf =0.075

(log10Re− 2)2

A figura 3.2 apresenta essas curvas, de resistencia friccional utilizadas pelo ITTC e pelo ATTC,

como extrapoladores para calculo da resist encia de navios a partir de testes com modelos.


Figura 3.2: Extrapoladores do ITTC e do ATTC, representativos da resistencia friccional

3.5.2 Lei de Potencia para Resistencia de Placa em Escoamento

Turbulento

Observando perfis de velocidade em dutos verifica-se que este pode ser descrito em funcao da

distancia a parede por uma lei de potencia (ver figura 3.3) na forma

V/Vmax = (y/Raio)1/n


Figura 3.3: Perfil de velocidades para escoamento turbulento em um duto em funcao do

numero de Reynolds

Baseado nestes resultados e na integral de von Karman, Prandtl apresentou uma formulacao

para a camada limite turbulenta utilizando uma aproximacao para o perfil de velocidades com


n = 7.

A partir desta aproximacao e da forma integral de von Karman, Prandtl assumiu que

cf ∼ δ−14

Desconsiderando-se o gradiente de pressao tem-se que:

cf = 2dθ

dx(3.11)

Com o perfil de velocidades assumido pode-se agora obter:

θ ≈δ

10

Assim de (3.11)

δ−1/4 dδ

dx⇒ δ = x4/5 ⇒ cf ∼ x−1/5

chegando-se as seguintes relacoes:

δ

x≈ 0.37R−1/5

e,x

θ

x≈ 0.036R−1/5

e,x

δ∗

x≈ 0.0046R−1/5

e,x

cf ≈ 0.0592R−1/5e,x

Cf ≈ 0.072R−1/5e,l

A figura 3.4 mostra uma comparacao entre as resistencias de placa plana segundo as aprox-

imacoes laminar, solucao de Blasius, e a aproximacao de Prandtl utiloizando lei de potencia.


Figura 3.4: Aproximacoes de Prandtl e Blasius para Placa Plana

Capıtulo 4

Escoamento em torno de um Cilindro

Circular

4.1 Introducao

Quando estudamos escoamentos potenciais planos, determinamos o campo de velocidades

para o caso de um escoamento retilıneo permanente incidindo sobre um cırculo. Concluımos

que a velocidade tangencial ao longo do contorno do cırculo e dada por

vθ = −2U sin θ,

isto e, ha dois pontos de estagnacao um para θ = π, a montante, e o outro para θ = 0, a

juzante. A velocidade maxima e alcancada em θ = π/2 e θ = 3π/2, e seu valor e o dobro

da velocidade do escoamento incidente. Utilizando-se o teorema de Bernoulli, tem-se que a

pressao e dada por

pd = pd,∞ +1

2(U2 − u2

θ)

Nos pontos de estagnacao a pressao e maxima

pd(θ = π) = pd(θ = 0) = pd,∞ +1

2U2

e nos pontos onde a velocidade e maxima, a pressao e mınima:

pd(θ = π/2) = pd(θ = 3π/2) = pd,∞ +1

2(U2 − (2U)2)

= pd,∞ −3

2U2

69


Com o efeito da viscosidade, caracterizado pelo aparecimento da camada limite e de sua sep-

aracao junto ao cilindro, o campo de pressao e altamente modificado dependendo do numero

de Reynolds.

A figura 2.9 mostra a distribuicao de pressoes para um escoamento potencial, e as distribuicoes

de pressao para dois casos de escoamentos reais para dois numeros de Reynolds distintos. Um

referente a um escaomento laminar e o outro turbulento.

Estes resultados mostram que uma partıcula fluindo proxima ao cırculo, deslocando-se de

θ = π para θ = π/2, ao passar pelo primeiro ponto de estagnacao desloca-se, tendo um

gradiente de pressao favoravel, aumentando assim sua velocidade. Ao passar pelo ponto

θ = π/2 enfrenta um gradiente de pressao desfavoravel reduzindo sua velocidade. No caso de

escoamentos potenciais nao ha perdas e o ganho de energia cinetica no segundo quadrante e

usado para vencer o gradiente adverso de pressao no primeiro quadrante.

No caso de escoamentos reais isto nao e mais possıvel. Os efeitos viscosos por menores que

sejam, sao acentuados na camada limite, e nela a velocidade junto a parede e nula. Assim, as

particulas na camada limite nao acumulam energia cinetica no segundo quadrante para vencer

o gradiente adverso do primeiro quadrante. Ha a separacao do escoamento, transformando a

distribuicao ao longo do cırculo, no primeiro e quarto quadrantes. As distribuicoes de pressao

apresentadas na figura 2.9 mostram as diferencas acentuadas para os tres casos.

As distribuicoes de pressao mostram claramente que os pontos de mınima pressao estao lo-

calizados proximos aos pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. As regioes das esteiras nos escoamentos

reais tornam-se regioes de baixa pressao, entretanto, sem que fiquem abaixo da pressao dos

pontos θ = π/2 e θ = 3π/2. Nos tres casos apresentados, a distribuicao de pressao na face

de ataque, pouco se modifica. Enquanto na face de fuga as diferencas sao acentuadas. A

integracao das pressoes fornecem as forcas atuando sobre o cırculo. Com as distribuicoes de

pressao observa-se que no caso de escoamento de fluido invıscito, a forca resultante (devida

as pressoes) e nula, enquanto, para fluido real, devido a separacao do escoamento, essa forca

e diferente de zero. Na realidade esta contribuicao de forca, nao somente e diferente de zero,

como supera bastante a contribuicao das tensoes cisalhantes na camada limite.

4.2 Influencia do Numero de Reynolds no Regime do

Escoamento

Quando um cilindro circular encontra-se submetido a um escoamento retilıneo unidirecional

ha efetivamente o aparecimento de uma reacao na direcao do escoamento fruto da diferenca

de pressoes em torno do cilindro motivada pelo desprendimento de vortices. Uma pequena

contribuicao adicional existe por causa do atrito.


O desprendimento de vortices tem sua origem na separacao do escoamento na camada limite,

cujo comportamento e funcao do numero de Reynolds. O numero de Reynolds caracteriza

a relacao de predominancia de forcas viscosas ou inerciais. Obtido atraves de estudos de

semelhanca entre modelos reduzido e prototipo, pela analise dimensional, ou normalizacao

dos termos da equacao de Navier-Stokes, pode-se dizer que quanto maior o seu valor maior a

importancia das forcas inerciais. Contrariamente as forcas viscosas, que tem um carater or-

denador forcando o fluido a escoar em laminas, as forcas inerciais garantem a possibilidade de

transferencia de quantidade de movimento no sentido transversal as laminas fluidas de forma

desordenada. Para valores de Re muito baixos, menores que 5 o escoamento e extremamente

viscoso e governado pela forcas de pressao e as forcas viscosas. O regime do escoamento e

conhecido por escoamento lento ou como conhecido em ingles creeping flow.

Desconsiderando-se o caso de escoamento lento, com Re < 5, existe uma significativa diferenca

entre os regimes para numeros de Reynolds superiores e inferiores a 40. Esta diferenca reside

no fato de nao haver desprendimento de vortices para 5 < Re < 200 e haver um desprendi-

mento alternado de vortices para Re > 200. Este desprendimento se da de forma alternada

fazendo com que a apareca uma forca transversal alternada, excitando oscilacoes transver-

sais no caso de estruturas cilındricas circulares flexıveis, como e o caso de risers, linhas de

trasmissao, estruturas esbeltas, etc. Mesmo na direcao do escoamento ha uma componente

da forca de arraste com carater oscilatorio com uma frequencia igual ao dobro da frequencia

da oscilacao transversal. Tratando-se de uma estrutura flexıvel, quando a frequencia de de-

sprendimento iguala-se a uma frequencia natural da estrutura, esta esta sujeita a um ampli-

ficacao da vibracao.

A figura 4.1, retirada do livro de Blevins mostra os diversos regimes de separacao para difer-

entes numeros de Reynolds. A seguir sao apresentadas as figuras 4.2 e 4.3 que mostram

oo processo em que um vortice lateral invade a regiao do outro lado do cilindro forcando a

separacao alternada, o numero de Strouhal.


Figura 4.1: Escoamento em torno de um cilindro circular


Figura 4.2: Mecanismo de Separacao alternada

Figura 4.3: Numero de Strouhal

Re0 < Re < Re1 Distingui-se os seguintes regimes:

• Re < Re0 em que Re0 ≈ 5 e o limite de ”creeping flow”. Neste regime observa-se que o

escoamento nao apresenta nenhuma regiao recirculacao.


• Para numeros de Reynolds na faixa Re0 < Re < Re1 em que Re1 ≈ 40 dois vortices

aparecem na regiao a juzante. Este regime circulatorio e estavel e nao ha liberacao de

vortices.

• Faixa de numeros de Reynolds entre Re1 < Re < Re2 em que Re2 ≈ 200. Para numeros

de Reynolds superiores a 40, a linha de simetria separando os dois vortices e alem dos

mesmos na esteira, apresentam um carater ondulatorio dada a instabilidade do regime

originando consequentemente a separacao alternada dos dois vortices. Entretanto a

esteira permanece com comportamento laminar.

• Faixa de numeros de Reynolds entre Re2 < Re < Re3 em que Re2 ≈ 3×105. A camada

limite junto ao corpo e laminar, existe o desprendimento alternado de vortices, mas o

regime da esteira e turbulento.

• Faixa de numeros de Reynolds entre Re3 < Re < Re4 em que Re4 ≈ 3× 106. Esta e a

fase de transicao do escoamento na camada limite, passando de laminar a turbulento.

O desprendimento dos vortices e desordenado e a esteira e turbulenta.

• Faixa de numeros de Reynolds entre Re4 < Re A camada limite junto ao corpo e

turbulenta e volta a existir o desprendimento alternado de vortices. Naturalmente o

regime da esteira e turbulento.

4.3 Forca de Arrasto e Transversal

A partir de um certo numero de Reynolds observa-se a separacao da camada limite com

uma liberacao alternada de vortices e distribuicao de pressoes flutuante em torno de um valor

medio. A integracao das pressoes fornece as forcas longitudinal (in-line) e transversal atuando

no cilindro. Consequentemente a forca longitudinal tem um valor medio diferente de zero em

torno do qual ha uma flutuacao da forca. Ja a forca transversal tem valor medio nulo e em

torno dele oscila.

Atraves de procedimentos experimentais as forcas sao medidas e usando os princıpios da

analise dimensional pode-se identificar os principais parametros intervenientes que caracter-

izam o fenomeno e determinar os grupos adimensionais a serem utilizados para conduzir

as experiencias. Assim, testando-se um cilindro liso de secao circular com comprimento L,

diametro D em um fluido com densidade ρ e viscosidade dinamica µ escoando com velocidade

U , as forcas, funcoes dos parametros acima descritos, sao dadas por:

FD,L = fD,L(L,D, ρ, µ, U)


e sao escritas na forma adimensional:

CD,L =FD,L

0.5ρDU2= gD,L(

ρUD

µ,L/D)gD,L(Re, L/D)

Utilizando estas conclusoes, conduz-se a experimentacao para obtencao das forcas hidrodinamicas

de arrasto fD e transversal, ou de sustentacao (lift) fL. Com o desprendimento alternado de

vortices observa-se uma flutuacao nas forcas, que dependera do parametro L/D, e as forcas

sao entao escritas na forma:

FD =ρ

2DU |U |(CD + CD sin(2ωs + ψs))

FL =ρ

2DU |U |(CL sin(ωs + φs))

onde:

CD - Coeficiente de arrasto medio funcao do numero de Reynolds.

CD - Amplitude do coeficiente de arrasto oscilatorio funcao do numero de Reynolds.

CD - Amplitude do coeficiente de sustentacao funcao do numero de Reynolds.

ωs - Frequencia de desprendimento de vortices numero de Reynolds.

A frequencia de desprendimento depende da forma do corpo e do escoamento, isto e, da

forma do corpo e do numero de Reynolds. Define-se como numero de Strouhal a relacao

adimensional:

St =ωsD

2πU

O numero de Strouhal St e entao obtido experimentalmente para cilindros circulares em

funcao do numero de Reynolds. A figura 4.3 apresenta resultados experimentais que indicam

uma pequena variacao do numero de Strouhal em funcao do numero de Reynolds Re para o

regime subcrıtico. No regime crıtico ha uma dispersao dos valores enquanto para o regime

poscrıtico o numero de Strouhal volta a variar pouco com o numero de Reynolds.

A figura 2.14 apresenta a curva de CD em funcao do Numero de Reynolds para o caso de um

cilindro rıgido. Observa-se claramente a brusca variacao na regiao de transicao do escoamento.

Enquanto para a forca media in-line os resultados apresentados na figura 2.14 sao amplamente

aceitos e nao apresentam aspectos de dispersao, o mesmo nao ocorre com os resultados para

a forca transversal. Esta dispersao fica bem caracterizada pela figura ?? compilada por

Pantazopoulos de diversas publicacoes. Pode-se extrair as seguintes principais conclusoes:


Re < 104

O rms (valor medio quadratico) do coeficiente de sustentacao, CL,rms varia entre 0.4 e

0.6

104 < Re < 105

Acima de 104 ha um acrescimo consideravel no valor de CL,rms chegando a valores entre

0.4 e 1.3

em torno do regime crıtico 105 < Re < 106

No regime crıtico a liberacao de vortices e desordenada tendo como consequencia que

a forca transversal se torna pequena. O valor medio quadratico do coeficiente de sus-

tentacao tem seus valores na faixa 0.05 < CL,rms < 0.3

106 < Re

Os poucos resultados experimentais apresentados nesta faixa indicam CL,rms > 0.4

Posteriormente Pantazopoulis separa os resultados obtidos em tunel de vento e em tanque

com agua.

Ao lado deste conjunto de dados reunidos por Pantazopoulis destaca-se o trabalho conduzido

por Schewe. Os resultados por ele apresentados estao reunidos nos graficos da figura ??. que

dizem respeito as variacoes de CD, St e CL,rms em funcao do numero de Reynolds. Destes

resultados pode-se observar que para Re = 2× 105 os coeficientes de arrasto e de sustentacao

valem CD = 1.1 e CL,rms ≈ 0.33. Quando o numero de Reynolds alcanca o valor Re ≈ 4×104

ambos coeficientes sofrem um aumento: CL,rms ≈ 0.38 e CD = 1.25. Com o aumento do

numero de Reynolds o coefiente de arrasto diminui suavemente ate o limite da transicao. O

coeficiente de sustentacao tambem apresenta um decrescimo porem mais acentuado. Em toda

esta faixa de numero de Re o numero de Strouhal St permanece igual a 0.2. No limite do

regime crıtico o numero de Strouhal tem um salto para 0.33. Para este Re a sustentacao

e dada por um valor medio distinto de zero e uma contribuicao oscilatoria. Um pequeno

aumento no numero de Reynolds faz com que o numero de Strouhal salte para 0.5 e que a

forca de sustentacao volte a oscilar em torno de zero. O valor medio da forca de sustentacao

diferente de zero no inıcio da transicao tem sua explicacao com base no fato de a camada

limite de somente um dos lados entrar na transicao. Na faixa de transicao os coeficientes

de sustentacao e de arrasto situam-se em torno de 0.2 e 0.3 respectivamente. Nesta faixa o

numero de Strouhal cai desde ≈ 0.5 ate 0.4. Apos a transicao o coeficiente de sustentacao

cresce ate se situar em torno de 0.5. O numero de Strouhal cresce linearmente com o logaritmo

do numero de Reynolds ate 0.3 para Re = 7× 106. O coeficiente de arrasto chega a 0.55.


4.4 Escoamento Retilıneo Oscilatorio

Esta secao concentra-se no estudo do escoamento em torno de um cilindro circular. Dos

capıtulos anteriores pode-se dizer que a forca exercida por um escoamento potencial plano

acelerado sobre um cilindro circular e dada por:

f = CMρπD2

4u = (1 + 1)ρ

πD2

4u = (1 + CAD)ρ

πD2

4u = 2ρ

πD2

4u (4.1)

onde: ρ e a massa especıfica, D e o diametro do cilindro, u e a aceleracao das partıculas fluidas

devida as ondas, no centro da secao e |CM | e o coeficiente de inercia, e CAD e o coeficiente de

massa adicional, neste caso igual a 1. Para um escoamento uniforme com velocidade incidente

constante a forca e dada por

f = CDρ

2Du|u| (4.2)

onde o coeficiente CD e o coeficiente de arrasto e e uma funcao do numero de Reynolds, u e

a velocidade das partıculas fluidas e |u| e o seu modulo.

Admitindo-se possıvel a superposicao desses dois efeitos no caso de um escoamento real com

velocidade variavel, pode-se esperar que a forca seja expressa pela soma das duas expressoes,

porem com alteracao dos valores do coeficiente CAD devido aos efeitos viscosos:

f = fI + fD (4.3)

Observando-se os efeitos de camada limite e seu descolamento, as caracterısticas do escoa-

mento potencial ficam consideravelmente modificadas. Porem, o efeito da forma do corpo

continua causando perturbacoes na massa fluida fora da regiao da camada limite. Da mesma

forma que anteriormente, ira provocar sobre o corpo pressoes hidrodinamicas responsaveis

por uma forca resultante diferente de zero. Neste caso, entretanto, essas pressoes sofrerao

efeitos da viscosidade e do descolamento da camada limite. Esta interacao de efeitos pode ser

considerada fazendo CM depender do numero de Reynolds Re, de tal forma que

f = CM(Re)ρπD2

4u+ CD(Re)

ρ

2Du|u| (4.4)

Para a determinacao dos valores de CM e CD, para o calculo das forcas devidas as ondas,

outros parametros devem ser considerados, os quais representam a rugosidade da superfıcie

do cilindro e o movimento oscilatorio das partıculas fluidas.

A expressao acima pode ser aplicada tambem para o caso de tubos flexıveis, considerando as

velocidades e aceleracoes locais do tubo v e v:


f = CMρπD2

4u+ (CM − 1)ρ

πD2

4v + CD

ρ

2D(u− v)|u− v| (4.5)

Esta abordagem foi proposta em 1950 por Morison et al. para o calculo da forca por unidade

de comprimento atuante em um pilar cilındrico vertical em ondas, perpendicular ao eixo do

cilindro:

f = CDρ

2Du|u|+ CMρ

πD2

4u (4.6)

onde:

ρ - Massa especıfica

D - Diametro do Pilar

u - Velocidade das partıculas fluidas devida as ondas, no centro da secao

u - Aceleracao das partıculas fluidas devida as ondas, no centro da secao

|u| - Modulo da velocidade

Desde a apresentacao da formula de Morison muitos esforcos vem sendo desenvolvidos no

sentido de se definir esquemas que permitam avaliar valores dos coeficientes CM e CD, para

se poder determinar as forcas de onda com seguranca.

No desenvolvimento original, os resultados obtidos pela formula de Morison foram comparados

com resultados obtidos experimentalmente para um cilindro vertical, posicionado desde o

fundo ate a superfıcie livre, ultrapassando a crista da onda. O perfil da onda no cilindro, e a

forca da onda, foram registrados simultaneamente durante as experiencias. As velocidades e

as aceleracoes das partıculas foram avaliadas atraves da teoria linear de ondas de gravidade,

ou teoria de Airy. Na determinacao dos valores dos coeficientes CM e CD, os valores da forca

em fase com a aceleracao foram medidos para velocidades nulas, e os valores da forca em fase

com a velocidade para aceleracao nula.

Keulegan e Carpenter conduziram algumas experiencias para o calculo de forcas de onda,

atuando em um cilindro, em 1958. O cilindro de teste foi colocado horizontalmente abaixo

da superfıcie livre numa posicao correspondente a um nodo de uma onda estacionaria, de

comprimento de onda suficientemente grande em comparacao com a profundidade. As ex-

periencias foram conduzidas para numeros de Reynolds variando entre 4 × 103 e 3 × 104,

tendo como base a velocidade maxima da ”corrente”senoidal gerada, uma vez que d < L.

Nessas experiencias nao foi observada nenhuma correlacao entre os valores de CM e CD com o

numero de Reynolds. Foi determinada, entretanto, a dependencia de CM e CD com o perıodo


de oscilacao. Os valores medios de CM e CD sao funcoes do numero de Keulegan-Carpenter,

KC, definido por

KC =UmT

D(4.7)

onde:

Um - e a velocidade maxima da corrente,

T - e o perıodo da corrente e

D - e o diametro do cilindro.

Nas experiencias o numero de Keulegan-Carpenter variava entre 2 e 120. A comparacao de

forcas medias em cilindros calculadas atraves da teoria linear indicou uma concordancia muito

boa, exceto para KC = 15, onde foram verificadas diferencas da ordem de 20%.

Outros trabalhos de interesse foram elaborados atraves de experiencias de laboratorios para

numeros de Reynolds baixos, apontando para a dependencia dos coeficientes CM e CD no

numero de Keulegan-Carpenter. Como as medicoes em laboratorio e no campo estavam

associadas a presenca de ondas os resultados de CM e CD dependiam da teoria de onda

utilizada para representar os campos de velocidade e aceleracao. Alem disto, nao se conseguia

varrer uma faixa significativa de numeros de Reynolds e de Keulegan-Carpenter.


Figura 4.4: Cm e Cd de uma Secao Circular para Baixos Numeros de Reynolds em um

Escoamento Oscilatorio


A figura 4.4 gerada a partir de experimentos por Sarpkaya, para baixos nımeros de Reynolds,

retrata bem o que foi obtido por Keulegan e Carpenter.

Tentando eliminar os problemas expostos acima, Sarpkaya e varios colaboradores desen-

volveram experiencias em laboratorio para cilindros com varias rugosidades colocadas em

escoamento oscilatorio, utilizando tubos em U, verticais. Nestas experiencias foi feita uma

ampla variacao dos numeros de Reynolds, de 104 a 7 x 105 e de Keulegan-Carpenter, de 0 a

200. Os resultados obtidos para CM e CD mostram pouca dispersao. CM varia entre 0.7 e 2.1,

sendo funcao do numero de Reynolds, do numero de Keulegan-Carpenter, e da rugosidade

relativa. CD e funcao dos mesmos numeros adimensionais, e alcanca valores ate 2.1. As forcas

calculadas mostram excelente concordancia com medicoes, a menos de valores compreendidos

entre 10 e 20, para o numero de Keulegan-Carpenter.

As figuras 4.5 a 4.10 apresentam alguns resultados experimentais obtidos por Sarpkaya e seus

colaboradores para os coeficientes Cm e CD.


Figura 4.5: Cd de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio


Figura 4.6: Cm de uma Secao Circular para Kc = 20 em um Escoamento Oscilatorio



A formula de Morison esta focada em escoamentos oscilatorios incidindo sobre cilindrso circu-

lares, que e o caso de estruturas oceanicas em ondas. Entretanto, de acordo com o diametro

da estrutura, a altura da onda e seu comprimento, pode-se ou nao empregar a expressao de

Morison, pois se o diametro for muito grande em relacao ao comprimento da onda, a onda

sofre difracao e as partıculas fluidas tem movimentos bem menores que a estrutura. De forma

similar, se as alturas forem pequenas em relacao ao diametro, as orbitas das partıculas sao

pequenas em relacao ao diametro e a formula de Morison nao se aplica. A figura 4.11 mostra

um esquema das regioes de aplicacao da formulacao de Morison.


Figura 4.11: Regioes de Validade da Formulacao de Morison


4.5 Escoamento Incidindo sobre Cilindro com Base E-

lastica

Acima foi dito que o desprendimento de forma alternada provoca uma forca transversal alter-

nada, excitando oscilacoes transversais no caso de estruturas cilındricas circulares flexıveis,

como e o caso de risers, linhas de trasmissao, estruturas esbeltas, etc. No sentido de se ter

um maior conhecimento do fenomeno e interessante relatar a experiencia realizada por Feng.

Um cilindro de secao circular com eixo colocado no plano horizontal foi submetido a um

escoamento na direcao perpendicular a seu eixo. Uma mola tranversal ao eixo do cilindro

foi utilizada para liga-lo ao solo permitindo. A velocidade foi aumentada gradativamente. A

figura 4.12 mostra um esquema da experiencia desenvolvida. Observou-se que a medida que

a velocidade aumentava a frequencia de desprendimento de vortices aumentava mantendo-se

o numero de Strouhal constante em torno de 2. Quando a frequencia de desprendimento

de vortices alcancava a frequencia natural de vibracao da estrutura esta apresentava uma

amplificacao do movimento e mesmo aumentando-se a velocidade do escoamento a frequencia

de desprendimento de vortices deixava de crescer sintonizando-se na frequencia da estrutura.

Convem ressaltar que no caso de estruturas rıgidas a frequencia de desprendimento continuaria

a aumentar mantendo-se o numero de Strouhal em torno de 2.

A figura 4.13 mostra os resultados da experiencia de Feng indicando a amplificacao nos valores

de CD com a variacao da velocidade reduzida. A velocidade reduzida e dada pela relacao

U/(f · D) onde U e a velocidade do escoamento incidente, f e a frequencia de oscilacao do

cilindro e D e o diametro.

A experiencia de Feng, associada a outras similares, destaca algumas questoes interessantes

que merecem ser comentadas:

1. O cilindro tem sua oscilacao transversal amplificada a medida que a frequencia de de-

sprendimento de vortices iguala-se a sua frequencia de oscilacao. A esta ocorrencia de

sintonizacao da frequencia da-se o nome de lock-in. Diversas outras expressoes sao

utilizadas na literatura. Diz-se, por exemplo, que a frequencia da vibracao do cilin-

dro captura e controla a frequencia de desprendimento de vortices, passando a reger o

fenomeno de desprendimento.

2. As condicoes de contorno modificam-se junto do cilindro podendo a sequencia de de-

sprendimento ser modificada. Observa-se que a frequencia de desprendimento sintoniza

na frequencia da oscilacao, Embora a velocidade incidente possa variar, ha uma variacao

da frequencia natural porem mantendo a frequencia de desprendimento controlada (sin-

tonisada).


3. A frequencia de desprendimento nao fica sintonizada em um unico valor. O fenomeno se

da para uma faixa de velocidades. Uma vez que a frequencia e a raiz quadrada da relacao

do coeficiente de mola pela soma da massa do corpo mais a massa adicional e a massa

adicional e uma integracao de pressoes que dependem das caracterısticas do escoamento,

a frequencia natural nao e fixa, e sera sensıvel a relacao entre a massa adicional e a massa

do corpo. E, no caso, a massa adicional depende somente da densidade do fluido, da

forma do corpo e da frequencia da oscilacao, que influencia no fenomeno de separacao,

e de certa forma da amplitude da oscilacao.

4. A frequencia de liberacao de vortices sofre a influencia da sintonizacao ou nao com a da

frequencia natural do cilindro. Para uma estrutura flexıvel existe uma serie de possıveis

frequencias naturais de vibracao. A cada vez que uma esta sintonizada com a frequencia

de liberacao de vortices a estrutura tende a ter o modo de vibracao correspondente

amplificado.

5. Com a sintonizacao da vibracao, ha tambem um acrescimo do coeficiente de arrasto o

que traz danos estruturais.

6. A sintonizacao a frequencia de liberacao de vortices na frequencia do movimento transver-

sal, no caso a frequencia natural do sistema, esta vinculada a amplitude do movimento

transversal. Existe um valor mınimo para haver sintonia. Existe um valor a partir do

qual a frequencia do movimento nao controla a frequencia de liberacao de vortices.


Figura 4.12: Esquema da Experiencia realizada por Feng


Figura 4.13: Resultados obtidos por Feng

Capıtulo 5

Movimento em Vortice

5.1 Cinematica do Movimento

O teorema de Stokes estabelece que∫S

∇× vdS =

∮vds (5.1)

Isto e, a circulacao em torno de uma linha fluida fechada esta ligada ao fluxo de vorticidade

atravessando o interior da linha.

Vimos que ∇×v e uma medida de rotacao das partıculas fluidas e que num regime potencial

ele e zero em todo o domınio fluido, exceto possivelmente em pontos singulares. Estudaremos

neste capıtulo escoamentos para os quais ∇× v 6= 0 em pontos ou partes do escoamento.

Como vimos anteriormente, o vetor velocidade angular de cada particula fluida e dado por

w =1

2∇× v

Se aplicarmos o operador divergente obtemos:

∇ ·w =1

2∇ · ∇ × v = 0

e podemos dizer que o vetor w obedece as mesmas leis que o vetor v num escoamento de um

fluido incompressıvel, pois neste caso a equacao da continuidade e div v = 0.

Pela lei do divergente temos a correspondencia de linhas de corrente com linhas de vortice,

que por definicao sao linhas em que cada um de seus pontos e tangente ao vetor vorticidade

93


naquele ponto. Da mesma forma que uma linha de corrente nao pode acabar ou comecar

no meio fluido as linhas de vortice tambem nao podem. Com base na definicao de linha de

corrente sua equacao e dada pordx

wx

=dy

wy

=dz

wz

oudx

ξx=dy

ξy=dz

ξz

Pelo teorema de Stokes (5.1) podemos dizer que se tomarmos um elemento de area dS e

calcularmos a circulacao em torno do contorno deste elemento de area obteremos

dΓ = 2w · dS

Devemos chamar a atencao para o fato de podermos ter o caso em que o escoamento e

irrotacional a nao ser na linha de vortice, que tem uma determinada circulacao em torno de

si.

Definimos acima linha de vortice, como uma linha em que cada um de seus pontos e tangente

ao vetor vorticidade naquele ponto.

Consideremos um conjunto de linhas de vortices. Se este conjunto forma uma superfıcie

contınua, dizemos que esta e uma superfıcie de vortices. Da definicao de linha de vortices

segue que os vortices tangenciam a superfıcie de vortices.

Se este conjunto forma um tubo, ocupando nao mais uma superfıcie porem um volume,

continuamente preenchido por linhas de vortices, chamamos este volume de tubo de vortice.

Naturalmente todo tubo de vortice, por ser um volume no espaco, sera circundado por uma

superfıce de vortices. Esta formada uma ”parede”limitando o tubo de vortices.

A figura 5.1 mostra exemplos de linha de vortice, superfıcie e tubo de vortice.

5.2 Teorema de Thomson da Permanencia da Circulacao

O teorema de Thomson estabelece que para um fluido perfeito, barotropo, onde as forcas

de corpo derivam de um potencial, a circulacao ao longo de uma linha material fechada e

constante ao longo do tempo.

Para derivar este teorema relembremos inicialmente a definicao de circulacao cuja aplicacao

segue o esquema mostrado na figura 5.2.


Figura 5.1: Linha de vortice, Superfıcie e Tubo de Vortice


Figura 5.2: Circulacao

tracemos uma linha fluida fechada no domınio fluido e estudemos a variacao do valor da

circulacao ao longo desta linha com o passar do tempo.

D

DtΓ =

D

Dt

∮v · ds

Como o contorno independe do tempo podemos fazer

D

Dt

∮v · ds =

∮D

Dt(v · ds) =

∮Dv

Dt· ds +

∮v · Dds

Dt

O primeiro integrando representa o produto escalar do vetor aceleracao das partıculas fluidas

e o vetor do elemento de linha. Da equacao do movimento

Dv

Dt= F− 1

ρ∇p

O segundo integrando pode ser escrito na forma

v · DdsDt

= v · dDs

Dt= v · dv = d

v2

2


LogoD

Dt

∮v · ds =

∮F · ds−

∮∇p · dsρ

+

∮dv2

2

Aplicando esta expressao entre dois pontos quaisquer A e B da linha, temos:

D

Dt

∫ B

A

v · ds =

∫ B

A

F · ds−∫ B

A

∇p · dsρ

+

∫ B

A

dv2

2(5.2)

Consideremos que as forcas de corpo derivam de um potencial tal que

F = ∇U

logo

dU = ∇U · ds

e que o fluido seja barotropo, isto e, que a massa especıfica seja funcao somente da pressao e

exista uma funcao P tal que:

P =

∫dp

ρ

o que implica em

∇P =1

ρ∇p

e

dP = ∇P · ds

Assim a equacao (5.2) pode ser reescrita na forma

D

Dt

∫ B

A

v · ds = −∫ B

A

dU −∫ B

A

dP +

∫ B

A

dv2

2=

[−dU − dP + d

v2

2

]B

A

Caso os pontos A e B coincidam, isto e, a integral e avaliada atraves de um percurso fechado

entao DDt

Γ e nulo, como querıamos mostrar.

5.3 Dinamica do Movimento

Consideremos um conjunto de linhas de vortices formando um tubo de vortices. Se aplicarmos

o teorema de Thomson para um elemento de area dA da parede do tubo, teremos que a

circulacao em torno de dA e igual a zero, e consequentemente concluımos que nao ha fluxo

atraves da parede. Se estendermos a integracao para toda a parede teremos entao como

resultado que o fluxo de vorticidade ao longo da parede e nulo, e que todo elemento fluido que


num tempo t forma um tubo de vortice sempre formara um tubo de vortice. As partıculas

de um tubo de vortice permanecerao num tubo de vortice. Podemos afirmar tambem que

uma linha fluida que circunda um vortice sempre o circundara. Pelo teorema de Thomson

a circulacao ao longo de uma linha fechada e constante, logo a circulacao em torno de uma

linha de vortice e constante tanto no tempo como no espaco.

5.4 Teorema de Lagrange

O Teorema de Lagrange estabelece que se assumirmos que o fluido e ideal, as forcas de corpo

agindo por unidade de massa derivam de um potencial e a densidade e funcao somente da

pressao entao, se para um instante inicial nao ha vortices numa certa parte do fluido, esta

parte nunca conteve nenhum vortice no passado nem contera nenhum vortice no futuro.

Para prova-lo vamos recorrer ao teorema de Stokes:

Γ =

∮c

v · ds =

∫ ∫A

(∇× v) · n dA =

∫ ∫A

ξ · n dA

A figura 5.3 apresenta a epresentacao grafica da expressao acima.

Figura 5.3: Teorema de Stokes

A seguir assumimos que ξ = 0 em uma regiao fluida para um certo instante. Tomando uma

linha material fechada nesta regiao fluida teremos que a circulacao e nula ao longo desta linha,

pois:

Γ =

∮c

v · ds =

∫ ∫A

(∇× v) · ndA = 0


Pelo teorema de Thomson a circulacao sempre sera nula, logo a integral da vorticidade sempre

sera nula

∫ ∫A

(∇× v) · ndA = 0

o que implica em ∇× v = 0 sempre, como querıamos demonstrar.

Como ∇×v = 0 implica em existencia de uma funcao potencial de velocidades φ, poderemos

dizer que se em um certo instante existir uma funcao potencial de velocidades, esta sempre

existira.

5.5 Teoremas de Helmholtz

5.5.1 Da Convervacao da Linha de Vortice

Sob as mesmas imposicoes consideradas para o teorema de Lagrange sobre o fluido, as forcas

de corpo e o escoamento, podemos dizer que as partıculas de fluido que para um certo instante

formam uma linha de vortice sempre formarao uma linha de vortice.

Para demonstra-lo consideremos uma superfıcie de vortice, isto e, uma superfıcie para a qual

o vetor vorticidade ξ = ∇ × v tangencia esta superfıcie. Como vimos anteriormente nao ha

fluxo de vorticidade atraves desta superfıcie, assim a circulacao ao longo do contorno de um

elemento infinitesimal sera zero. Se considerarmos toda parede contorno da linha de vortice,

nao havera fluxo de vorticidade por esta area. Concluimos que o conjunto de partıculas que

esta no interior da superfıcie num instante t permanecera sempre no interior desta superfıcie

ou em outras palavras: uma vez uma linha de vortice, sempre uma linha de vortice.

5.5.2 Da Convervacao da Intensidade de um Tubo de Vortice

Constancia com o Tempo

A intensidade de um tubo de vortice em um instante t e determinada exatamente pela cir-

culacao ao longo de um contorno fechado que, pelo teorema de Thomson, sera constante ao

longo do tempo.


Constancia com o Espaco

Consideremos um tubo de vortice. Tracemos uma linha fechada contida na superfıcie do

vortice AA′′B

′′B(ver figura 5.4). Como a area interior a esta linha contorno pertence a

superfıcie de vortice tera fluxo de vorticidade nulo, e entao:

Γ =

∮AA′′B′′B

v · ds = 0

e

Γ =

∮AA′′B′′B

v · ds =

∫AA′′

v · ds +

∫A′′B′′

v · ds

+

∫B′′B

v · ds +

∫BA

v · ds = 0

Figura 5.4: Superfıcie de Vortice envolvendo um Tubo de Vortice. Circulacao em torno de

um tubo de vortice

Fazendo A coincidir com A′′

e B com B′′, a circulacao e uma constante ao longo do tubo de

vortice.

∫A

′′B

′′v · ds = −

∫BA

v · ds

∫AA′′

v · ds =

∫I

v · ds = ΓI


∫BB′′

v · ds =

∫II

v · ds = −ΓII

Assim

∮AA′′B′′B

v · ds = ΓI −∫

BA

v · ds− ΓII +

∫BA

v · ds = ΓI − ΓII = 0

Logo

ΓI = ΓII

5.6 Velocidade Induzida - Lei de Biot-Savart

Quando estudamos o escoamento devido a um vortice livre observamos que ha um movimento

circulatorio em torno de um ponto fixo, de tal modo que, para qualquer ponto do domınio

fluido, o produto do modulo da velocidade e a distancia ao centro do vortice e constante, e a

velocidade e dada por:

vθ =Γ

2πrvr = 0

A expressao acima representa o resultado obtido para o caso bidimensional. Analogamente ao

caso de um condutor eletrico, uma linha de vortice num domınio fluido tridimensional induz

um campo de velocidades em torno de sı. Pode-se mostrar que este campo de velocidade e

descrito pela lei de Biot-Savart.


Figura 5.5: Linha de Vortice Tridimensional

Considerando entao uma linha de vortice num meio fluido como indicado na figura 5.5, a

velocidade induzida num ponto P devida a um elemento de linha ds, a uma distancia r da

linha, e dada por

dv =Γds sin θ

4πR2

Admitindo agora que a linha de vortice e retilınea o campo de velocidades deste escoamento

sera dado pela expressao acima com

R = r sin θ s = r cos θ = Rcos θ

sin θ= R cot θ

ds = R

1

sin θ(− sin θdθ) + cos θ

1

sin2 θ(− cos θdθ)

= R

−dθ − cos2 θ

sin2 θdθ

= −R

sin2 θ + cos2 θ

sin2 θ

= − Rdθ

sin2 θ

Assim


v =

∫ θ=0

θ=π

dv =

∫ 0

π

Γ sin θ

4πr2

− Rdθ

sin2 θ

=

Γ

4π

∫ 0

π

sin θR2

sin2 θ

R

sin2 θdθ

=Γ

4πR

[−∫ 0

π

sin θdθ

]=

Γ

2πR

O mesmo resultado pode ser obtido tomando um plano perpendicular a linha de vortice e

determinando a circulacao atraves da integral de linha

Γ =

∮v · dl

Como v e paralelo a dl entao

v · dl =| v | | dl |= vθ dl

e

Γ =

∮v · dl = 2πvθR

5.7 Construcao Simplificada de um Vortice Assumindo

um nucleo de Rotacao Constante

A distribuicao de velocidades induzidas por um vortice mostram um crescimento a medida

que nos aproximamos do centro. Tentando fazer uma aproximacao para um caso real vamos

assumir que junto ao ponto central haja um nucleo fluido circular, com raio r1 e dotado de

rotacao constante como um corpo rıgido com um escoamento potencial em torno de sı.

Se o nucleo tem rotacao constante, ele gira como um corpo rıgido, e entao todos seus pontos

estao dotados da mesma vorticidade. Ver a figura 5.6.

No nucleo as partıculas fluidas terao velocidade radial nula e componente tangencial

v = Ω× r → | v |=| Ω | | r |

No extremo do nucleo a velocidade sera entao

| v1 |=| Ω1 | | r1 |= Ω r1


Figura 5.6: Vorticidade fluindo atraves de um nucleo fluido girando como corpo rıgido

Fora do nucleo teremos um escoamento potencial, assim

vθ =Γ

2πr

onde

Γ =| ξ | πr21 =| ∇ × v | πr2

1 = 2Ω π r21

igualando os valores da circulacao Γ obtidos atraves do fluxo de vorticidade no nucleo e da

integral de linha ao longo do cırculo de raio r1 temos

Γ = 2Ω π r21 = 2πr1vθ,1


Com isto temos entao a velocidade no exterior

vθ =Γ

2πr=

Ω r21

r

Para exercitar a visualizacao de uma linha de vortice que se move com um escoamento

propomos como desenhar o campo de velocidade resultante da superposicao dos escoamentos

mostrados na figura 5.7.

Figura 5.7: Superposicao de escoamentos


5.8 Distribuicao de Pressao nas Vizinhancas de um Vor-

tice

Considerando que o regime e permanente e que as forcas de corpo sao nulas o movimento das

partıculas fluidas e regido pela equacao de Euler

v · ∇v = −∇pρ

Como o movimento fluido e circulatorio obtemos

v · ∇v = −v2θ

rir

e entao

−∇pρ

= −v2θ

rir

ou∂p

∂r= ρ

v2θ

r

indicando que a pressao somente varia com o raio, isto e,

1

ρ

dp

dr=v2

θ

r

logo

dp = ρv2

θ

rdr

e ∫ ∞

r

dp =

∫ ∞

r

ρv2

θ

rdr =

∫ ∞

r

ρ1

r

(Γ

2πr

)2

dr

Resolvendo a integral acima temos

p = p∞ −ρΓ2

8π2r2

Devemos observar que se utilizassemos a Integral de Euler obterıamos o mesmo resultado.

A velocidade no interior do nucleo e dada por

vθ = Ωr =Γ

2πr21

r


e entao1

ρ

∂p

∂r=

(Γ

2πr21

)21

r=

Γ2 r

4π2r41

e a pressao

p1 − p =

∫ r1

r

ρv2

θ

rdr =

ρΓ2

4π2r41

∫ r1

r

rdr =ρΓ2(r2

1 − r2)

8π2r41

A pressao p1 atuante no limite do nucleo pode ser obtida a partir da expressao obtida acima

para a regiao externa ao nucleo, e entao a pressao e dada por:

p = p1 −ρΓ2(r2

1 − r2)

8π2r41

= p∞ −ρΓ2

8π2r21

− ρΓ2(r21 − r2)

8π2r41

= p∞ −ρΓ2(2r2

1 − r2)

8π2r41

Devemos observar que a Integral de Euler nao pode ser aplicada para obtencao da pressao no

interior do nucleo, pois o regime e rotacional.

A partir da expressao acima vemos que a pressao no centro do nucleo e dada por:

pc = p∞ −ρΓ2

4π2r21

A figura 5.8 mostra as distribuicoes de velocidade e pressao induzidas por um vortice.

Figura 5.8: Distribuicoes de pressao e velocidade induzida em torno de um vortice

Capıtulo 6

Perfis

6.1 Sustentacao e Arrasto (Lift e Drag)

Quando um corpo simetrico movimenta-se com velocidade constante, na direcao do eixo de

simetria, atraves de um fluido viscoso, devera vencer uma resistencia na direcao contraria ao

movimento. Em caso de corpos nao simetricos ou em que o escoamento nao incida segundo a

direcao do eixo de simetria, a afirmacao acima deixa de ser, em parte, verdadeira. Observa-se

neste caso que a forca resultante agindo sobre o corpo, nao atuara na direcao contraria ao

movimento. A forca resultante fornece duas componentes, uma na direcao do movimento,

a resistencia ao avanco, e outra perpendicular a esta direcao, atuando lateralmente. Tendo

isto em vista, poderemos escolher corpos com formas tais que a forca lateral gerada seja

sobremaneira superior a de resistencia. Um exemplo classico disto e projeto de asas na aviacao.

A acao do fluido sobre a asa gera uma componente de forca perpendicular ao movimento que

sustenta o peso do aviao no voo. Os motores deverao imprimir uma forca igual a componente

de resistencia ao avanco.

Isto nos leva a concepcao de forca de sustentacao. A devida escolha das formas de um

corpo pode ser aproveitada em engenharia, de modo que ao movimentar o corpo num meio

fluido possamos sustentar seu peso. A estes corpos chamamos de perfis hidrodinamicos ou

hidrofolios. Quando o fluido, em que o perfil esta imerso, e o ar, chamamos de aerofolios.

Em engenharia naval veremos aplicacoes de hidrofolios em projeto de propulsores, lemes,

aerobarcos etc...

109


Figura 6.1: Hidrofolio em um escoamento retilıneo; Grandezas caracterısticas

6.2 Coeficientes de Arrasto e Sustentacao; Analise Di-

mensional

Para estudarmos as forcas atuantes sobre um hidrofolio em um escoamento retilıneo uniforme

atraves de modelos fısicos, necessitamos inicialmente identificar as grandezas caracterısticas.

A figura 6.1 mostra um hidrofolio em um escoamento retilıneo uniforme. A primeira carac-

terıstica que devemos mencionar e a forma. Admitindo uma certa forma geometrica podemos

ter uma infinidade de perfis semelhantes diferindo somente pelo tamanho. A partir de uma

unica dimensao podemos entao identificar cada um dos perfis. Escolhemos para esta identi-

ficacao a corda. O fluido e caracterizado pela massa especıfica e a viscosidade dinamica ou

cinematica. A geometria do problema hidrodinamico so fica completamente determinada se

identificarmos o angulo de ataque. A cinematica do movimento e caracterizada pela veloci-

dade do escoamento incidente. A dinamica do fenomeno e determinada pelas forcas inerciais

e forcas viscosas.

Observemos que o fenomeno em estudo nao e regido por forcas gravitacionais. Assim a

aceleracao da gravidade nao e um parametro importante pois nao caracteriza nenhuma par-

ticularidade geometrica, cinematica ou dinamica. A forca resultante atuante sobre o perfil

pode ser dividida em duas componentes, um na direcao do movimento, forca de arrasto, e


a outra perpendicular a esta direcao, forca de sustentacao. Reunindo as quantidades que

caracterizam o fenomeno temos:

c - corda, a distancia entre os pontos extremos do perfil;

α - angulo de ataque, medido a partir da linha de base do perfil;

v - velocidade do escoamento

ρ - massa especıfica do fluido


D - forca de arrasto

L - forca de sustentacao

R - forca resultante

A forca resultante, e por conseguinte cada uma de suas componentes, podem ser escritas em

funcao dos parametros c, v, ρ, µ, isto e,

R = f(c, v, ρ, µ, forma)

Com estes parametros e utilizando analise dimensional, ou leis de semelhanca, podemos formar

os seguintes grupos adimensionais:

CR =R

ρ V 2 c

Re =ρV c

µα

onde CR e o coeficiente de forca e Re e o numero de Reynolds.

De forma semelhante teremos os coeficientes de forca de sustentacao CL e de forca de arrasto

CD

CL =L

ρ V 2 c

CD =D

ρ V 2 c.

Com os grupos adimensionais formados acima podemos escrever


CL =L

ρ V 2 c= f1(Re, α)

CD =D

ρ V 2 c= f2(Re, α)

A obtencao das funcoes f1 e f2 e conseguida desenvolvendo-se testes experimentais para

pequenos perfis. Isto permite entao extrapolar resultados para perfis de tamanho grande.

Desenvolvendo experiencias em laboratorio podemos escolher formas adequadas que fornecam

grandes forcas de sustentacao e pequenas forcas de arrasto, e aproveitar esta propriedade na

engenharia. Com os resultados experimentais e formando os adimensionais acima podemos

montar graficos como o da figura 6.2.

As figuras 6.3 e 6.4 mostram as curvas de coeficientes de sustentacao e coeficientes de arrasto

para um perfil NACA-63-422 obtidos do livro de Abbott e Doenhoff, Theory of wing sections.

Figura 6.2: Coeficientes de sustentacao e arrasto para um perfil NACA I


Figura 6.3: Coeficientes de sustentacao um perfil NACA II


Figura 6.4: Coeficientes de arrasto um perfil NACA II


As figuras 6.5 e 6.6 tambem mostram as curvas de coeficientes de sustentacao e coeficientes

de arrasto para um perfil NACA-63-412 apresentadas por Newman, Marine Hydrodynamics,

e obtidas a partir do livro de Abbott e Doenhoff, Theory of Wing Sections.

Figura 6.5: Coeficientes de sustentacao um perfil NACA III


Figura 6.6: Coeficientes de arrasto um perfil NACA IV

Observa-se destes resultados que:

1. Para altos numeros de Reynolds os coeficientes de sustentacao e de arrasto quase nao

se alteram com variacoes do numero de Reynolds nesta faixa.

Para o coeficiente de sustentacao esta independencia, em relacao ao numero de Reynolds

e bem mais forte, podendo-se dizer que e somente funcao do angulo de ataque.

2. O coeficiente de sustentacao e proporcional ao angulo de ataque.

Esta relacao e aproximadamente dada por CL = 2π α. Este e o resultado obtido ana-

liticamente para perfis de espessura muito pequena.

3. O fenomeno nao e estavel a partir de angulos de ataque em torno de 15o.

4. O coeficiente de arrasto CD e muito inferior ao coeficiente de sustentacao CL.

Isso deve-se a forma do corpo. Chamamos de perfis hidrodinamicos ou hidrofolio a

corpos cuja forma acarreta que a componente de forca de sustentacao resulta ser muito

superior a componente de arrasto.


5. Ha valores de CL maiores que zero, isto e, ha forca de sustentacao, para angulos de

ataque negativos, o que era esperado uma vez que o perfil nao e simetrico. O criterio

de escolha do angulo de ataque como o que foi feito e puramente geometrico, nao

nos levando a afirmar que para α = 0 deverıamos ter sustentacao nula. Poderıamos

definir um angulo hidrodinamico de ataque medido a partir de uma linha basica, tal

que, quando o escoamento incidisse nesta direcao a forca de sustentacao seria nula.

Definimos tambem bordo de ataque e de fuga como as regioes mais a montante e a

jusante do perfil respectivamente.

6.3 Distribuicao de Pressao

Um outro modo de observarmos que quando um hidrofolio e colocado em um escoamento,

aparecera uma forca de sustentacao sobre ele, e observarmos a distribuicao de pressao em seu

contorno. Se pensarmos que as velocidades na regiao superior, dorso do hidrofolio, alcancarao

maiores valores que na regiao inferior, face do hidrofolio, acarretando entao uma forca de

sustentacao. Medidas de pressao ao longo da face e do dorso de perfis, para varios angulos

de ataque fornecem diagramas como os da figura 6.7.

Figura 6.7: Distribuicao de pressoes ao longo de um perfil


Se entao tomarmos a integral da distribuicao de pressao acharemos a sustentacao e a forca

de arrasto, observando que no caso da forca de arrasto estamos deixando de considerar a

contribuicao de tensao cisalhante.

A figura 6.8 mostra uma comparacao entre resultados calculados atraves da integracao da

pressao e obtidos diretamente da experiencia, para os coeficientes CL e CD em funcao do

angulo de ataque. Observamos que ha coincidencia entre os valores obtidos para os coeficientes

de sustentacao. Ha uma diferenca quanto aos coeficientes de arrasto. Isto pode ser explicado

pelo fato de termos deixado de considerar a parte referente ao atrito, o que nao ocorre na

medida da balanca do tunel onde e medida a resistencia total.

Figura 6.8: Comparacao entre resultados calculados e experimentais para os coeficientes CL

e CD

6.4 Introducao ao Fenomeno de Cavitacao

A distribuicao de pressao ao longo do perfil nos deixa observar que no dorso, a pressao

diminui sensivelmente em relacao ao valor da pressao no escoamento para uma regiao fluida

distante do hidrofolio e portanto nao afetada pelo hidrofolio. Sendo o fluido em consideracao

a agua, a pressao podera alcancar valores tao baixos, iguais a pressao de evaporacao para

a temperatura ambiente, verificando-se entao a vaporizacao do fluido nesta regiao. A este

fenomeno chamamos de cavitacao.


6.5 Relacao entre Sustentacao e Circulacao

Teoricamente o estudo da forca de sustentacao torna-se mais facil que o estudo de forca de

arrasto, tendo em vista esta ultima estar intrinsicamente ligado a efeitos viscosos. E possıvel

entao utilizar a teoria de fluidos ideais para tal estudo levando-nos a resultados satisfatorios.

A forca de sustentacao em hidrofolio nao tem sua origem atraves de efeitos viscosos, porem de

forma. A forca de sustentacao tambem nao e fortemente afetada pelos efeitos da viscosidade.

Como vimos, a forca de sustentacao deve-se a existencia de uma regiao de baixa pressao no

dorso do hidrofolio e uma de alta pressao em sua face. A equacao integral de Euler indica

que teremos no dorso, velocidades mais alta que na face. Este comportamento podera ser

representado se fizermos a superposicao de um escoamento retilıneo em torno do corpo com

um escoamento apresentando um regime circulatorio em torno do perfil como indicado na

figura 6.9.

Apresentaremos aqui uma forma simplificada de observarmos este resultado. Vamos aproxi-

mar o problema do escoamento em torno do perfil ao caso de uma placa plana inclinada em

um escoamento retilıneo.

Figura 6.9: Superposicao de escoamentos para representar a presenca de um vortice em torno

de um perfil

Podemos observar que a superposicao gera um ponto de estagnacao no bordo de fuga e

velocidades no dorso mais altas que na face. Este comportamento que corresponde ao caso real

e entao alcancado pela consideracao do escoamento circulatorio em torno da placa. Chamamos

a atencao para o fato que longe do corpo o escoamento observado e retilıneo uniforme. Assim,

este escoamento circulatorio tem o comportamento de um vortice. Como veremos adiante,

este regime deve-se exatamente a presenca de um vortice em torno do hidrofolio.


A forca de sustentacao por unidade de comprimento da placa sera dada pela integral da

pressao

L =

∫ B

A

(pf − pd)dx

Assumindo que uf = ud e utilizando a equacao integral de Euler teremos:

L =ρ

2

∫ B

A

[(V + uf )

2 − (V − ud)2)]dx =

ρ

2

∫ B

A

[2V (uf − ud) + u2

f − u2d

]dx

Lembramos que no regime circulatorio nao ha forca agindo sobre o hidrofolio, isto e:

L = −ρ2

∫ B

A

[u2

f − u2d

]dx = 0

obtemos:

L = −ρ V[−∫ B

A

ufdx+

∫ B

A

uddx

]= −ρ V

[−∫ B

A

ufdx−∫ A

B

uddx

]= ρ V Γ

Vemos que se tivermos um escoamento devido a um vortice em presenca de um escoamento

retilıneo agira sobre o nucleo do vortice uma forca de sustentacao tal que L = ρ V Γ.

Esta conclusao e a mesma que obtivemos quando analisamos, de forma exata, o escoamento de

um corpo de forma circular em um escoamento retilıneo uniforme permanente, providenciando

a existencia de um vortice em torno do corpo.

Observemos que partimos da integracao das pressoes e concluimos que existe uma forca de

sustentacao e que esta ligada a existencia de uma circulacao em torno do corpo.

6.6 Circulacao em torno de um Hidrofolio

Nossa experiencia indica que se colocarmos uma placa plana inclinada em um escoamento

retilıneo observaremos uma forca de sustentacao. Como indicado acima, a representacao

matematica deste escoamento e obtida atraves da superposicao de um escoamento retilıneo

em torno de uma placa plana inclinada, com um escoamento circulatorio.


Estendendo este estudo ao caso de perfis vamos analisar no caso real a origem do aparecimento

deste regime circulatorio em torno do corpo.

Suponhamos que em um instante inicial temos um fluido em repouso e um hidrofolio nele

imerso. Como as velocidades sao nulas nao havera circulacao em torno do hidrofolio. Se o

fluido for posto em movimento de translacao com respeito ao hidrofolio, e admitindo que os

efeitos viscosos sejam desprezıveis, isto e, adotando a hipotese de fluido ideal, a circulacao em

torno do hidrofolio devera permanecer sempre nula, de acordo com o teorema de Thomson.

Consequentemente nao devera haver forca de sustentacao. Aparentemente, a afirmacao acima

nao condiz com a realidade. Pois se observarmos o que acontece no caso de um fluido real

e um hidrofolio, apos um certo tempo realmente observamos a presenca de um vortice no

escoamento. Alem disto, podemos medir uma forca de sustentacao atuando no corpo. Se

entretanto, acompanharmos o desenvolvimento do escoamento no decorrer do tempo, a medida

que o fluido comeca a transladar, observamos inicialmente um escoamento igual ao potencial

em torno do hidrofolio (caso real = caso ideal) onde a circulacao e nula, com ponto de

estagnacao localizado fora da aresta de fuga do perfil. As velocidades na aresta de fuga

tornam-se muito altas e, devido tambem a forma, surge uma superfıcie de descontinuidade.

Esta superfıcie de descontinuidade na aresta de fuga, da origem a um vortice que e transferido

para o meio, a medida que o fluido escoa. O ponto de estagnacao e deslocado para a aresta

de fuga. A figura 6.10 apresenta a evolucao do escoamento no tempo.

Pelo teorema de Helmholtz a este vortice estara associado sempre o mesmo conjunto de

partıculas, logo deslocar-se-a com o escoamento. Considerando uma linha material fechada

envolvendo o corpo desde o instante inicial, pelo teorema de Thomson, a circulacao per-

manecera sempre nula em torno desta linha material. Uma vez que aparece no escoamento o

vortice de partida que se desloca para o infinito, devera haver neste conjunto um vortice de

mesma intensidade mas de sentido contrario ao primeiro.

Se alguns segundos apos o inıcio do movimento, quando o vortice de partida ainda esta

proximo ao corpo, pararmos o movimento vemos se desprender do corpo para o meio um

outro vortice em sentido contrario ao de partida. Ambos deslocam-se paralelamente em linha

reta. Com isto podemos dizer que as velocidades induzidas sobre cada um pelo outro sao

iguais, e consequentemente as intensidades dos vortices tambem o sao.

Ressaltamos que este segundo vortice so se desprende para o meio a medida que o escoamento

e parado. Enquanto o fluido escoar, o vortice nao se desprende.


Figura 6.10: Evolucao do escoamento em torno de um perfil no tempo

Assumindo que, quando o vortice de partida aparece, forma-se um vortice em torno do corpo,

com mesma intensidade que o de partida e sentido inverso, havera alteracao das velocidades

em torno do corpo, com aumento no dorso e decrescimo na face, queda da pressao no dorso

e aumento na face e aparecimento de forca de sustentacao. Alem disto, esta sendo satisfeito

o teorema Thomson. A este vortice damos o nome de vortice de corpo. Wilhelm Kutta,

em 1902, propos que a intensidade do vortice de corpo devera ser tal que desloque o ponto

de estagnacao para o bordo de fuga, o que e uma constatacao da observacao do fenomeno.

Assim, introduziu uma forma de determinacao da intensidade do vortice de corpo.

Cabe aqui ressaltar que o que chamamos acima de movimento circulatorio em torno do perfil,

e tinha as caracteristicas de um escoamento provocado por um vortice, nada mais e que a

contribuicao do vortice de corpo no escoamento

6.7 Experimento sobre Aparecimento dos Vortices de

Partida e de Corpo

Acima apresentamos uma serie de argumentos fısicos e justificativas teoricas para explicar o

aparecimento do vortice de partida e do vortice de corpo. Nesta secao vamos mostrar uma serie


de fotos, tomadas em laboratorio e publicadas por Prandtl, evidenciando o que mostramos

acima. Particularmente, a existencia do vortice de corpo, que quando ha movimento relativo

fluido-perfil, nao e simples de ser observado, fica clara nesta sequencia quando, pouco apos a

liberacao do vortice de partida, interrompe-se o movimento relativo.

As figuras 6.11 e 6.12 apresentam uma sequencia de fotos mostrando o aparecimento do vortice

de partida, sua evolucao e seu deslocamento para o escoamento.


Figura 6.11: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida I


Figura 6.12: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida II


As figuras 6.13 e 6.14 apresentam duas fotos mostrando o inıcio do escoamento imediatamente

apos a partida, nao podendo ainda se observar perfeitamente o vortice de partida, e em seguida

quando o vortice de partida deixa a superfıcie do perfil.


Figura 6.13: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida III


Figura 6.14: Fotos mostrando o aparecimento de vortices de corpo e de partida IV


A figura 6.15 mostra as fotos tomadas para as mesmas situacoes apresentada na segunda foto

da figura 6.11 e a segunda foto da figura 6.13.


Figura 6.15: Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo I

A figura 6.16 mostra uma foto similar a segunda foto da figura 6.13 porem com o perfil dotado


de um angulo de ataque mais pronunciado. O vortice de partida torna-se mais intenso. Em

seguida o escoamento para e toma-se a segunda foto. Observa-se entao o desprendimento do

vortice de corpo para o meio fluido.

Figura 6.16: Sequencia de fotos mostrando a liberacao do vortice de corpo II


6.8 Geracao de Perfis Utilizando-se Transformacao Con-

forme

No estudo de escoamentos bidimensionais considerando os efeitos viscosos desprezıveis, o

escoamento irrotacional e o fluido incompressıvel, buscamos a determinacao de uma funcao φ,

potencial de velocidades, solucao da equacao de Laplace sujeita a uma condicao de contorno

na forma ∂φ/∂n que representa a condicao de impenetrabilidade ou inexistencia de fluxo

atraves do perfil. Uma maneira de resolver o problema, envolve o metodo de transformacao

conforme. No domınio (x, y) definimos a variavel complexa

z = x+ iy

Utilizando uma transformacao conforme

ζ = ξ + iη = f(z) (6.1)

transformamos o perfil em um cırculo. No novo dominio (ξ, η) determinamos o potencial

complexo wζ

wζ(ζ) = φζ(η, ξ) + iψζ(η, ξ)

onde φζ(η, ξ) e ψζ(η, ξ) sao respectivamente a funcao potencial de velocidades e a funcao de

corrente no plano ζ. Utilizando a transformacao conforme (6.17), retornamos ao problema

original

wz(z) = wζ(f(z)) = φz(x, y) + iψz(x, y)

onde φz(x, y) e ψz(x, y) sao respectivamente a funcao potencial de velocidades e a funcao de

corrente no plano z.

Figura 6.17: Transformacao de um cırculo em um segmento de reta


O metodo tem uma dificuldade intrınsica no que se refere a determinacao da funcao de

transformacao conforme. No presente texto apresentaremos a chamada transformacao de

Joukowsky. Esta transformacao permite que, no caminho inverso, transformemos cırculos do

plano (ξ, η) em retas, arcos de cırculo e perfil no plano (x, y). Esta transformacao e dada por

z = ζ +b2

ζ(6.2)

6.8.1 Transformacao de um Cırculo em um Segmento de Reta

Consideremos um cırculo no plano ζ com centro na origem e raio b. Como o cırculo e dado

por ζ = beiθ onde θ esta indicado na figura 6.18, entao os pontos sobre o cırculo serao

transformados em pontos sobre a reta

z = beiθ + be−iθ = 2b cos θ

Observemos que pontos sobre a parte superior do cırculo, com θ variando de 0 ate π sao

transformados em pontos sobre o segmento de reta de 2b a −2b, enquanto pontos localizados

na parte inferior do cırculo com θ variando de π ate 2π sao transformados em pontos sobre o

segmento de reta de −2b a 2b.

Figura 6.18: Transformacao de um cırculo em um arco de cırculo

6.8.2 Transformacao de um Cırculo em um Arco de Cırculo

Desloquemos agora o cırculo verticalmente, de tal forma que corte o eixo Oξ nos pontos A e

B localizados em (η = 0, ξ = −b) e (η = 0, ξ = b), conforme indicado na figura 6.19. O raio


do cırculo e igual a a. A transformacao agora e

z = Reiθ +b2

Re−iθ

com partes real e imaginaria

x = (R +b2

R) cos θ

y = (R− b2

R) sin θ

Eliminando a variavel R obtemos

x2 sin2 θ − y2 cos2 θ = 4b sin2 θ cos2 θ

Podemos mostrar que esta equacao corresponde a linha

x2 + (y + 2b cot 2β)2 = (2b csc 2β)2

Isto e, o cırculo no plano ζ e transformado em um arco de cırculo no plano z, cujo centro esta

localizado na posicao (x = 0, y = 2b cot 2β) e cujo raio e igual a 2b csc 2β.

6.8.3 Transformacao de um Cırculo em um Perfil Simetrico

Agora, ao inves de deslocarmos o centro do cırculo na direcao vertical, desloquemos na direcao

horizontal. Isto e, o centro fica localizado no eixo Oξ em (η = 0eξ = −b). O raio do cırculo e

dado por a = b(1+ e). Utilizando-se a transformacao de Joukowsky obtemos a transformacao

do cırculo em um perfil simetrico em relacao ao eixo Ox. Seu comprimento e um pouco maior

que 4b.

Figura 6.19: Transformacao de um cırculo em um perfil simetrico


6.8.4 Transformacao de um Cırculo em um Perfil nao Simetrico

O cırculo que temos usado como ponto de partida para nossa transformacao, agora e deslocado

tanto para a esquerda, como na direcao vertical. Seu raio agora e maior que a. Seu centro

tem coordenada x = −be e a = b(1 + e). A reta que liga o ponto de corte do cırculo com o

eixo Ox, ponto A, ao centro do cırculo forma um angulo β com o eixo Ox, conforme indicado

na figura 6.20. Apos a aplicacao da transformacao de Youkowsky obtemos um perfil nao

simetrico como mostrado na figura.

Figura 6.20: Transformacao de um cırculo em um perfil nao simetrico

6.9 Escoamento em torno de um Perfil nao Simetrico

O conjugado da velocidade complexa e dado por

v∗ = vx − ivy =dw

dz=d(φ+ iψ)

d(x+ iy)=

∂φ

∂x− i

∂φ

∂y=∂ψ

∂y+ i

∂ψ

∂x

onde∂φ

∂x=∂ψ

∂ye

∂φ

∂y= −∂ψ

∂x

sao conhecidas como condicoes de Cauchy-Riemann.

Se wz = φz + iψz e wζ = φζ + iψζ sao respectivamente os potenciais complexos nos planos z e

ζ, entao os conjugados das velocidades complexas v∗z e v∗ζ nos planos z e ζ estao relacionadas

por:dwz

dz=dwζ

dζ

dζ

dz


Utilizando a expressao da transformacao conforme de Joukowsky (6.2) teremos

dwz

dz=dwζ

dζ

ζ2

ζ2 − b2(6.3)

Consideremos agora a transformacao de um cırculo em um perfil de Youkowsky, conforme

indicado na figura 6.21. Consideremos que incide sobre o cırculo um escoamento com um

angulo α em relacao ao eixo Ox. Na ausencia de circulacao, os pontos C e E sao os pontos

de estagnacao junto ao cırculo. Neste caso no ponto B a velocidade e diferente de zero. Pela

expressao (6.3) o termo ζ2/(ζ2− b2) indica que a velocidade no ponto B′, dwz/dz, assume um

valor infinito. Para que tenhamos a velocidade neste ponto nula, ou finita, e necessario que a

velocidade dwζ/dζ seja nula.

Sabemos que a velocidade ao longo do cırculo e dada por

vθ = −2U sin θ − Γ

2πa

onde o angulo θ e medido em relacao a semi-reta QE no sentido anti-horario.

Como queremos que o ponto de estagnacao fique localizado no ponto B, isto e, vθ = 0 em

θ = −(α+ β), temos que impor uma circulacao

Γ = 4πUa sin(α+ β)

Assim

L = ρUΓ = 4πρU2a sin(α+ β)

Assim o coeficiente de sustentacao e dado por

CL =L

1/2ρU2c= 4πρU2a sin(α+ β)/(1/2ρU2c)

Como para pequenos valores de α e de β temos c ≈ 4a e sin(α+ β) ≈ (α+ β) entao

CL ≈ 2π(α+ β) = a0 + 2πα (6.4)

Este resultado e similar ao que obtemos experimentalmente, embora a influencia da viscosi-

dade possa trazer pequenas alteracoes. Vemos que deve existir sustentacao para α = 0 e que

o coeficiente de sustentacao varia linearmente com o angulo de ataque.

Caso tenhamos o angulo β = 0, teremos um perfil simetrico no plano ζ e a0 = 0 em (6.4).


Figura 6.21: Escoamento em torno de um perfil nao simetrico

Capıtulo 7

Asas

7.1 Introducao

Passamos agora ao estudo de asas num escoamento tridimensional, isto e, asas de comprimento

finito. Nos concentraremos nos casos em que a asa tem um plano longitudinal de simetria.

Observamos da experiencia que quando corpos com tais formas sao colocados diante de um

escoamento retilıneo com certo angulo de ataque, aparece uma forca de sustentacao agindo

sobre o mesmo. Logo deve aparecer uma diferenca de pressao da parte inferior para a parte

superior do corpo. Fazendo-se medidas de pressao ao longo do corpo, observamos que na

regiao inferior as pressoes sao altas enquanto na regiao superior baixas pressoes. Assim sendo,

observamos que nas pontas das asas temos uma diferenca de pressoes acarretando um fluxo

de partıculas da regiao inferior para a regiao superior. Este fluxo origina um movimento de

rotacao que se transfere para o meio fluido dando origem a dois vortices agindo nas pontas

das asas. Temos agora mais dois vortices em nosso estudo totalizando quatro vortices: vortice

de partida, vortice de corpo e dois vortices de ponta ou livres. De acordo com o teorema de

Helmholtz as partıculas que formam um vortice sempre formarao um vortice. Assim, estes

vortices de ponta prolongar-se-ao pelo meio fluido. Sabemos tambem que um vortice nao

pode comecar ou acabar no meio fluido. Logo o vortice de corpo nao podera acabar na ponta

da asa. Se fizermos os vortices de ponta como continuacao dos vortices de corpo o nosso

modelo se torna coerente. Nas extremidades dos vortices de corpo e de partida colocamos o

inıcio e o termino dos vortices de canto e ficaremos com o sistema como mostrado na figura

7.1.

139


Figura 7.1: Vortices devidos ao movimento de asas em um meio fluido

7.2 Velocidade Induzida e Resistencia Induzida

A presenca de vortices de ponta acarretara o aparecimento de velocidades induzidas perpen-

diculares ao plano das linhas de vortices. Logo, sobre a asa, tambem vao incidir velocidades

induzidas perpendiculares ao vortice de corpo. Convem observar que o vortice de partida

tambem induz velocidades sobre o sistema, mas ao se deslocar para o infinito, sua contribuicao

sera tao pequena que nao sera levada em consideracao.

O teorema de Kutta-Joukowsky diz que se incidir sobre um vortice, um escoamento, entao

atuara sobre o nucleo uma forca. Observando a direcao da velocidade induzida e o sentido do

vortice de corpo vemos que aparecera uma forca de arrasto induzida devida a presenca dos

vortices de ponta. A figura 7.2 mostra um diagrama das velocidades induzidas devidas aos

vortices de ponta.

Consideremos a velocidade induzida vi sobre uma secao da asa incidindo sobre o nucleo do

vortice de corpo. A resistencia induzida sera dada por

Di = ρ vi Γ.

Como L = ρ v Γ entao

Di =vi

vL


Figura 7.2: Velocidades induzidas devidas aos vortices de ponta

No capıtulo referente a movimento em vortices, determinamos a velocidade que uma linha de

vortice infinita induz sobre um ponto do meio fluido. No caso o vortice estendia-se de −∞ ate

+∞. No presente caso o vortice de ponta estende-se da asa ate o infinito. Para calcularmos

a velocidade induzida por um vortice de ponta sobre a asa, devemos modificar os limites de

integracao. Assim procedendo, obtemos, para a velocidade induzida sobre a asa, a metade

do valor que obtemos para um ponto a jusante, infinitamente longe da asa. A montante a

velocidade induzida decresce ate se anular para um ponto infinitamente longe do perfil. A

figura 7.3 mostra a distribuicao de velocidades induzidas por um vortice de ponta em uma

secao da asa.


Figura 7.3: Distribuicao de velocidades induzidas por um vortice de ponta em uma secao da

asa

E facil concluirmos que em qualquer plano perpendicular ao vortice de corpo, o compor-

tamento da velocidade sera similar e dependera da distancia do plano ao vortice de ponta.

Quanto mais afastado da ponta menores serao as velocidades induzidas no plano. Observemos

que se levassemos em consideracao os dois vortices de ponta, obterıamos o mesmo tipo de

comportamento, com a ressalva que o plano com menores velocidades induzidas seria o plano

cortando a asa ao meio.

7.3 Campo de Velocidades Induzidas Considerando-se

o Vortice de Corpo

Como sabemos, o vortice de corpo cria um movimento circulatorio em torno da asa. Tomando

inicialmente o caso bidimensional teremos somente as velocidades induzidas pelo vortice do

corpo. Se tomarmos como nucleo do vortice de corpo a regiao que contem o perfil, a dis-

tribuicao de velocidade sera similar a de um corpo rıgido no interior do nucleo, e na regiao

externa tera uma distribuicao hiperbolica como ja foi estudado anteriormente. A figura 7.4

mostra a velocidade devida ao vortice de corpo.

Considerando-se agora o caso tridimensional devemos considerar a influencia dos vortices de

ponta. A velocidade induzida resultante sera obtida pela superposicao das duas distribuicoes

de velocidades. Teremos uma distribuicao na qual a velocidade sobre o ponto central do vortice

de corpo e a metade da velocidade induzida no infinito. Esta composicao de velocidades esta

mostrada na figura 7.5.


Figura 7.4: Velocidade devida ao vortice de corpo

Figura 7.5: Composicao de velocidades devidas a vortices de corpo e de ponta

Uma vez que a distribuicao de velocidades mostra que a medida que nos afastamos da aresta

de fuga do perfil as velocidades induzidas aumentam, e tambem sabendo que cada vortice de

ponta induz velocidade sobre o outro, nao mais podemos afirmar que a velocidade induzida

sobre o perfil e perpendicular a direcao da velocidade do escoamento, pois os vortices nao

mais formam um plano paralelo a direcao do escoamento. Para que conhecamos qual a

direcao da velocidade induzida, pensemos no seguinte. Sobre o perfil agem duas velocidades,

uma devida ao escoamento incidente v e a velocidade induzida vi, originando assim uma


velocidade resultante vr. Como os vortices de ponta serao carregados pelo escoamento, nao

se alinharao com o escoamento incidente, mas com a velocidade resultante da composicao

entre velocidade incidente e velocidade induzida. A velocidade induzida sera perpendicular a

velocidade resultante. As velocidades e as forcas de sustentacao e arrasto induzido obedecerao

regras semelhantes. A figura 7.6 apresenta o diagrama de velocidades e forcas atuantes em

uma secao da asa. Note que nao esta sendo considerada a resistencia viscosa.

Figura 7.6: Velocidades e forcas atuantes em um perfil de asa

7.4 Distribuicao de Circulacao ao longo da Asa

A superposicao do escoamento incidente e de um vortice de corpo permitiu que pudessemos

explicar o aparecimento da forca de sustentacao, bem como a localizacao do ponto de es-

tagnacao na aresta de fuga. Explicamos tambem a existencia de uma regiao de alta pressao

na face e uma de baixa pressao no dorso. No inıcio deste capıtulo, mostramos que para uma

asa tridimensional, esta diferenca de pressao junto as pontas das asas, ocasiona um fluxo de

massa da regiao de alta pressao para a regiao de baixa pressao formando os vortices de ponta.

Devido ao deslocamento de massa da regiao de alta pressao para a de baixa pressao, obter-se-a

uma distribuicao de forca na qual o valor maximo aparecera no meio da asa. Nas pontas esta

forca sera nula, isto porque a maxima diferenca de pressao se dara no meio da asa, enquanto

que nas extremidades nao havera diferenca de pressao.


A medida que nos aproximamos da ponta da asa pela parte superior a pressao, que antes

era constante e baixa, agora cresce, pois houve passagem de partıculas de alta pressao para

regiao de baixa pressao. Semelhante fato acontecera na regiao de alta pressao. Obedecendo

o teorema de Kutta-Joukowsky somos levados a admitir que a distribuicao de circulacao nao

e constante ao longo da asa para o caso tridimensional.

7.5 Distribuicao de Circulacao, de Velocidade Induzida

e de Arrasto Induzido

Para determinarmos a variacao da circulacao ao longo de uma asa, consideremos a superfıcie

contida na linha que liga o ponto A ao ponto B, contornando a asa passando por C, e entao

liga o ponto B ao ponto A envolvendo o vortice de ponta passando por D, conforme mostrado

na figura 7.7.

Figura 7.7: Variacao da circulacao ao longo da asa

A circulacao ao longo da linha ACBDA e nula, pois nao ha fluxo de vorticidade atraves da


superfıcie interior a linha, envolvendo a ponta da asa. Fazendo o ponto A aproximar-se de B

teremos dois contornos distintos ACB e BDA. Atraves de cada area interior aos contornos

ha fluxo de vorticidade. Como a circulacao ao longo de ACBDA e nula e

ΓACBDA = ΓACB + ΓBDA = 0

entao as circulacoes ao longo de cada contorno sao iguais com sinais contrarios.

ΓACB = −ΓBDA = ΓADB

Isto nos leva a afirmar que, se tomarmos a circulacao em torno da asa a uma distancia h da

ponta, esta sera igual ao fluxo de vorticidade atraves da regiao interior ao contorno ADB,

isto e, desde a ponta ate a posicao a distancia h. Como a circulacao varia ao longo da asa,

devera haver fluxo de vorticidade em todo plano atras da asa.

Consideremos agora um asa com uma distribuicao de circulacao variavel e, vista de tras

tracemos o contorno AA”B”BA conforme indicado na figura 7.8. Como nao ha fluxo de

vorticidade atraves da area interior a este contorno a circulacao e nula.

Figura 7.8: Fluxo de vortices livres ao longo da asa. Observando-se a asa por tras, no plano

da asa


Fazendo A confundir-se com A′′

e B com B′′

podemos escrever

ΓAA′′B′′BA = ΓAA′′ − ΓBB′′ − ΓA′′B′′BA = 0

ou

ΓAA′′ − ΓBB′′ = ΓA′′B′′BA

Este resultado mostra que havera fluxo de vorticidade junto ao bordo de fuga da asa sempre

que a circulacao ao longo da asa variar. Nao havera um unico vortice de ponta saindo da

ponta da asa. Mas ao longo da asa varios vortices de ponta se desprenderao.

Para determinarmos a velocidade induzida teremos que considerar todos os vortices liberados

pela asa. Para tal consideremos a asa da figura 7.9 com comprimento b. A velocidade induzida

por um vortice localizado em x sobre um ponto da asa em x0, sera

dvi(x, x0) =1

4π(x− x0)

∂Γ

∂xdx

onde a variavel x tem origem no centro da asa.

Figura 7.9: Modelo tridimensional

A velocidade induzida total sera

vi(x0) =

∫ b/2

−b/2

1

4π(x− x0)

∂Γ

∂xdx


A resistencia induzida e dada por

dDi(x0) =vi(x0

vdL(x0)

como

dL(x0) = ρΓ(x0)vdx0

entao

Di =

∫b

dDi(x0) =

∫b

Γ(x0) ρ vi(x0) dx0

Di = ρ

∫b

Γ(x0)

[∫b

1

4π(x− x0)

∂Γ(x)

∂xdx

]dx0

7.6 Aplicacao na Analise do Comportamento de Propul-

sores

Uma das formas de analisarmos o comportamento de propulsores e admitirmos que a acao

de cada uma das pas esta toda concentrada na acao do perfil localizado a um raio r igual a

aproximadamente 0.7 vezes o raio do propulsor. Imaginemos um cilindro de secao circular

com eixo coincidindo com o eixo do propulsor e com raio r. O corte deste cilindro com as pas

do propulsor destacara o perfil que forma a pa. Expandindo este cilindro, teremos na base

uma linha de extensao igual a 2πr, como mostrado na figura 7.10. Marcando um passo da

helice sobre a qual esta assentado o perfil, observaremos que esta forma uma linha reta com

inclinacao definida pelo passo.

Consideremos o triangulo retangulo formado pelos catetos iguais ao passo P e 2πr e cuja

hipotenusa e a helice expandida. Se multiplicarmos os lados pela rotacao n, formamos escalas

de velocidade ao longo dos catetos. Particularmente, a base representa a velocidade de entrada

do fluxo incidente sobre o perfil devida a rotacao do propulsor. Tracando sobre o cateto

do passo o vetor velocidade do fluxo incidente na direcao axial Va, compomos a velocidade

resultante incidindo sobre o perfil Vr. A acao desta velocidade gera uma forca de sustentacao

L sobre o perfil, perpendicular a velocidade Vr. Decompondo esta forca em duas componentes,

uma na direcao axial e outra na direcao da velocidade 2πrn, teremos respectivamente a forca

de empuxo do propulsor T e a forca que devemos aplicar para movermos o perfil Q/r, onde Q e

o torque. A sustentacao, o empuxo do propulsor e o torque, aqui apresentados, correspondem

a situacao de escoamento ideal. Outro aspecto a se considerar e que cada pa do propulsor

atua como uma asa de comprimento finito, desprendendo vortices de canto. Estes vao criar

velocidades induzidas u/2 sobre o perfil, perpendiculares a velocidade Vr. Compondo Vr e

u/2 formamos a velocidade Vri e como acima, teremos uma sustentacao Li, um empuxo do

propulsor Ti e um torque Qi. Teremos tambem o arrasto induzido Di. A consideracao dos


efeitos viscosos introduz o arrasto viscoso D e, consequentemente, aumento no torque e queda

no empuxo do propulsor.

A associacao dos resultados experimentais, CLi(α) e CDi(α) ao diagrama de forcas e veloci-

dades, permite que analisemos o comportamento de propulsores. Algumas indicacoes sao:

1. Se aumentarmos a velocidade Va estamos diminuindo o angulo de ataque α e aumentando

os angulos hidrodinamicos β e βi. O decrescimo do angulo de ataque diminui a forca de

sustentacao, e por conseguinte o empuxo do propulsor e o torque.

2. Efeito similar ocorrera se diminuirmos a rotacao n ou, mantendo Va e n constantes,

diminuirmos o passo do propulsor.

3. Se diminuirmos a velocidade Va, ou aumentarmos o passo teremos um aumento da

sustentacao e entao do empuxo do propulsor e do torque. Entretanto temos um aumento

do arrasto viscoso e perigo de perda de sustentacao (‘stall’ para grandes angulos).

4. Das conclusoes acima podemos afirmar que se simultaneamente variarmos a velocidade

Va e a rotacao n, mantendo J = Va /n d constante, havera um acrescimo de Vr, Vi e Vri

na mesma proporcao que o acrescimo em Va e n, os angulos de α, αi, β e βi permanecerao

constantes. Havera um acrescimo nas forcas com o quadrado de Va, porem em termos

adimensionais, na mesma forma que CL(α), nada mudara. J e o coeficiente de avanco

e d o diametro.

A partir dessas conclusoes definimos o coeficiente CT de forca de propulsao T na forma similar

ao coeficiente CL para uma asa, isto e:

CT =T

(1/2)ρV 2a d

2

e a partir deste adimensional construimos

CT J2 =

T

(1/2)ρV 2a d

2

V 2a

n2 d2= 2

T

ρn2d4= 2KT

onde

KT =T

ρn2d4

Recomendamos, como exercıcio que o leitor, reunindo as conclusoes acima, o diagrama de

forcas e as curvas de CL e CD para o perfil NACA-63-422 faca uma estimativa das curvas de

KT em funcao de J . Para o torque Q pode-se tambem construir uma curva para

KQ =Q

ρn2d5


em funcao de J . Recomendamos que o leitor tambem o faca.

Figura 7.10: Diagrama de velocidades e forcas em um propulsor

Capıtulo 8

Ondas de Gravidade

8.1 Introducao

A hidrodinamica do navio e de estruturas oceanicas esta intimamente ligada a fenomenos de

ondas de gravidade devidas a superfıcie livre, a qual e uma parte do contorno do domınio

fluido e esta sujeita a um campo de pressao constante dado pela pressao atmosferica. Nesta

superfıcie nao ha restricao geometrica de movimento, estando o fluido livre para se movi-

mentar, modificando sua forma. Ha condicoes a serem satisfeitas, que sao imposicoes de leis

fısicas envolvendo aspectos cinematicos e dinamicos.

Chamamos de ondas de gravidade ao movimento oscilatorio de um fluido devido a efeitos

gravitacionais ocasionados pela presenca de superfıcie livre. Qualquer perturbacao que oca-

sione uma variacao da pressao do fluido proximo a superfıcie livre, acarreta um movimento da

massa fluida em busca do equilıbrio com a pressao atmosferica e com isto mudanca de forma

desta superfıcie. O perfil de uma onda regular e mostrado na figura 8.1.

151


Figura 8.1: Perfil da Onda

No estudo de ondas de gravidade assumimos as hipoteses de que o fluido e incompressıvel

e ideal, que o escoamento e irrotacional e que as forcas de corpo derivam de um potencial

gravitacional. Com as hipoteses de fluido incompressıvel e escoamento irrotacional podemos

dizer que o campo de velocidades e dado pelo gradiente de uma funcao, que satisfaz a equacao

de Laplace em todo o domınio fluido. Essas hipoteses impoem tambem que seja satisfeita a

Integral de Euler em todo o domınio fluido. Como na superfıcie livre a pressao e constante

e igual a pressao atmosferica, devemos aplicar sobre ela a Integral de Euler com a pressao

igual a pressao atmosferica. A superfıcie livre e descrita pelo movimento das partıculas fluidas

no contorno em contato com a atmosfera, sendo entao desconhecida. Seu movimento e uma

das incognitas a serem determinadas. Sabemos que e formada sempre pelo mesmo grupo de

partıculas fluidas. Se definirmos a funcao que descreve a superfıcie livre entao sua derivada

substantiva devera ser sempre nula.

8.2 Problema de Valor de Contorno para Ondas de

Gravidade

Para equacionar o problema exposto acima utilizaremos um sistema de coordenadas Oxyz,

com origem na superfıcie livre em repouso, eixo Oz apontando para cima. O problema acima

exposto e representado pelo problema de valor de contorno para a funcao φ, cujo gradiente

representa o campo de velocidades:

1. em todo o domınio fluido deve ser satisfeita a equacao de Laplace, uma vez que supomos


que o fluido e incompressıvel e o escoamento irrotacional

∇2φ(x, y, z, t) = 0

2. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao cinematica imposta pelo movimento

afim das partıculas fluidas e a forma da superfıcie livre. Definindo a forma da equacao

da superfıcie livre por:

Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0

teremosD

DtFsl(x, y, z, t) =

D

Dt(z − ζ(x, y, t)) = 0

ouD

Dtz − D

Dtζ(x, y, t) = 0

Desenvolvendo esta expressao obtemos

vz(x, y, z = ζ, t)−[∂ζ(x, y, t)

∂t+ (v(x, y, z = ζ, t) · ∇) ζ(x, y, t)

]=

vz(x, y, z = ζ, t)−[∂ζ(x, y, t)

∂t

+vx(x, y, z = ζ, t)∂ζ(x, y, t)

∂x+ vy(x, y, z = ζ, t)

∂ζ(x, y, t)

∂y

]=

∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂z− ∂ζ(x, y, t)

∂t

−∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂x

∂ζ(x, y, t)

∂x− ∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂y

∂ζ(x, y, t)

∂y=

∂φ

∂z− ∂ζ

∂t− ∂φ

∂x

∂ζ

∂x− ∂φ

∂y

∂ζ

∂y= 0

3. na superfıcie livre Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 deveremos satisfazer a condicao

dinamica imposta pela pressao atmosferica, uma vez que supomos que o fluido e ideal e

incompressıvel, o escoamento irrotacional e as forcas de corpo derivam de um potencial;

entao pela Integral de Euler

patm = p(x, y, z = ζ, t) = −ρ[∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂t+

1

2| ∇φ(x, y, z = ζ, t) |2 +gz

]4. no fundo, em z + d = 0

∂φ

∂z= 0


8.3 Linearizacao do Problema de Valor de Contorno

Bidimensional

A partir do problema de valor de contorno tridimensional apresentado acima vamos estudar

aqui o fenomeno de ondas de gravidade como se sua propagacao fosse na direcao Ox conser-

vando todas suas caracterısticas para todos os planos y = constante. Assim podemos estudar

o problema no plano Oxz independentemente de y. No plano Oxz, y = 0, deve ser satisfeita

a equacao de Laplace,

∇2φ(x, z, t) = 0

A equacao da superfıcie livre e entao dada por:

Fsl(x, z, t) = z − ζ(x, t) = 0

Nesta superfıcie devem ser satisfeitas a condicao cinematica e a condicao dinamica:

∂φ(x, z = ζ, t)

∂z− ∂ζ(x, t)

∂t− ∂φ(x, z = ζ, t)

∂x

∂ζ(x, t)

∂x= 0

patm = p(x, z = ζ, t) = −1

ρ

[∂φ(x, z = ζ, t)

∂t+

1

2| ∇φ(x, z = ζ, t) |2 +gz

]Observando estas duas condicoes de contorno, verificamos duas dificuldades:

1. temos um termo nao linear em cada uma delas, a saber:

∂φ(x, z = ζ, t)

∂x

∂ζ(x, t)

∂xe

1

2| ∇φ(x, z = ζ, t) |2

2. estas condicoes devem ser satisfeitas em z = ζ(x, t) sendo ζ uma incognita do problema.

Temos que avaliar∂φ(x, z = ζ, t)

∂t,

∂φ(x, z = ζ, t)

∂xe

1

2(| ∇φ(x, z = ζ, t) |)2

sem que conhecamos a superfıcie

Fsl(x, z, t) = z − ζ(x, t) = 0


Estas duas dificuldades impedem uma solucao fechada do problema. Faremos algumas sim-

plificacoes para podermos obter uma solucao aproximada. Admitindo que as ondas sao de

pequenas amplitudes, as velocidades das partıculas fluidas tambem o serao. No limite, se

as amplitudes forem nulas o movimento das partıculas fluidas e nulo. Podemos ver que nas

duas condicoes de contorno os termos nao lineares serao entao produtos de parcelas peque-

nas. Cometendo um certo erro podemos despreza-los. O erro sera tanto menor quanto menor

forem as amplitudes das ondas. Teremos entao:

∂φ

∂z− ∂ζ

∂t= 0 em z = ζ(x, t)

∂φ

∂t+ gζ +

patm

ρ= 0 em z = ζ(x, t)

Expandindo os termos a serem avaliados em z = ζ em serie de Taylor em torno de z = 0

podemos escrever:

∂φ(x, z = ζ, t)

∂t=∂φ(x, z = 0, t)

∂t+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)

∂z∂t+ . . .

∂φ(x, z = ζ, t)

∂z=∂φ(x, z = 0, t)

∂z+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)

∂2z+ . . .

Da hipotese de pequenas amplitudes podemos aqui considerar que ao substituirmos

∂φ(x, z = ζ, t)

∂t=∂φ(x, z = 0, t)

∂t

∂φ(x, z = ζ, t)

∂z=∂φ(x, z = 0, t)

∂z

estaremos cometendo um erro que sera tanto menor quanto menor for a amplitude da onda.

Considerando que a pressao atmosferica e nula, teremos agora nosso problema dado por

∇2φ(x, z, t) = 0 em todo o domınio fluido (8.1)

∂φ

∂z− ∂ζ

∂t= 0 em z = 0 (8.2)

∂φ

∂t+ gζ = 0 em z = 0 (8.3)

∂φ

∂z= 0 em z = −d (8.4)

Temos entao estabelecido o problema de valor de contorno para determinacao da funcao φ.

Neste problema temos entretanto outra incognita que e a funcao que descreve a forma da

superfıcie livre ζ(x, t). Esta funcao pode ser escrita em termos da funcao φ. A condicao


de contorno dinamica (8.3), que e a Integral de Euler linearizada aplicada a superfıcie livre,

relaciona ζ e φ. Dela podemos obter a equacao da superfıcie livre

ζ = −1

g

∂φ(x, 0, t)

∂t(8.5)

Combinando esta expressao com a condicao cinematica (8.2) teremos

∂φ

∂z+

1

g

∂2φ(x, 0, t)

∂t2= 0 em z = 0 (8.6)

Reunindo as equacoes (8.1), (8.6) e (8.4) temos entao o problema de valor de contorno linear

para determinacao da funcao potencial de velocidades

∇2φ(x, z, t) = 0 em todo o domınio fluido

∂φ

∂z+

1

g

∂2φ(x, 0, t)

∂t2= 0 em z = 0

∂φ

∂z= 0 em z = −d

Em casos de profundidade infinita esta ultima condicao e modificada para

limz→−∞

∂φ

∂z= 0 (8.7)

8.4 Solucao por Separacao de Variaveis

O metodo de solucao por separacao de variaveis, baseia-se em supor que a solucao da equacao

de Laplace, pode ser escrita como o produto de funcoes a uma unica variavel. Assim admitimos

que a funcao φ, funcao a tres variaveis, pode ser escrita como o produto de tres funcoes, F ,

G e H, funcoes a uma unica variavel, respectivamente de x, z e t.

A equacao de Laplace e expressa de diferentes maneiras para diferentes sistemas de coorde-

nadas. De acordo com o problema em estudo podemos utilizar o sistema mais conveniente e

aproveitar o metodo de separacao de variaveis para expandir a funcao em serie de autofuncoes

para obtermos sua solucao.

Para apresentacao do metodo aplicado a alguns problemas de escoamentos em presenca de

superfıcie livre nos ateremos a um sistema de coordenadas retilıneo bidimensional.

Adotamos um sistema Oxz, com eixo Ox horizontal na superfıcie livre e Oz voltado para

cima.


A equacao de Laplace e dada por∂2φ

∂x2+∂2φ

∂z2= 0

Aplicando entao o metodo de separacao de variaveis de forma tal que

φ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t)

e substituindo na equacao de Laplace obtemos:

F′′GH + FG

′′H = 0

ou entaoF

′′

F= −G

′′

GComo o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo membro e funcao somente

de z, a igualdade so e possıvel se:

F′′

F= −G

′′

G= ±m2

k (8.8)

onde mk e uma constante.

A partir da expressao (8.8) podemos fazer o seguinte quadro de solucoes de acordo com o

valor de m2k, se positivo ou negativo.

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−m2k F

′′+m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 cosmkx ; sinmkx exp(±mkz)

+m2k F

′′ −m2kF = 0 G

′′+m2

kG = 0 exp(±mkx) cosmkz ; sinmkz

Utilizando a forma complexa


−m2k F

′′+m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 exp(±imkx) exp(±mkz)

+m2k F

′′ −m2kF = 0 G

′′+m2

kG = 0 exp(±mkx) exp(±imkz)

onde i e o unitario imaginario, i =√−1

A escolha do sinal associado a m2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera

das condicoes de contorno.

Analisemos alguns casos:


1. Ondas em um domınio com profundidade infinita.

Principais conclusoes:

(a) Nao podemos admitir solucoes que crescam para x → ±∞, isto e, nao podemos

aceitar

F (x) = exp(±mkx)

uma vez que pela equacao (8.5) a onda assumiria uma elevacao infinita para grandes

valores de x.

(b) Nao podemos aceitar solucoes do tipo

G(z) = exp(−mkz)

isto e, nao podemos aceitar solucoes que crescam com a profundidade,ver equacao

(8.7).

(c) A solucao devera ser do tipo

φ =∞∑

k=0

Hk(t) exp(mkz) [ack cos(mkx) + as

k sin(mkx)]

ou na forma complexa

φ =∞∑

k=0

Hk(t) exp(mkz)[a+

k exp(imkx) + a−k exp(−imkx)]

(8.9)

onde ack, a

sk, a

+k e a−k sao coeficientes a serem determinados.

2. Ondas em um domınio com profundidade finita d.

(a) Nao podemos admitir solucoes do tipo

F (x) = exp(±mkx)

pelas mesmas razoes acima citadas em (1.a).

(b) No fundo G′(z = −d) = 0 e a solucao em G(z) deve ser uma combinacao

G(z) = b1 exp(mkz) + b2 exp(−mkz) (8.10)

Usando a condicao de contorno no fundo G′(z = −d) = 0 nesta expressao temos

G′(−d) = mk [b1 exp(−mkd)− b2 exp(mkd)] = 0


e entao

b1 exp(−mkd) = b2 exp(mkd) =1

2b

com esta igualdade e a equacao (8.10) entao

G(z) = b1 exp(mkz) + b2 exp(−mkz)

= b1 exp(mkz) exp(mkd) exp(−mkd) + b2 exp(−mkz) exp(−mkd) exp(mkd)

= b1 exp(−mkd) exp[mk(z + d)] + b2 exp(mkd) exp[−mk(z + d)]

= b1

2exp[mk(z + d)] + exp[−mk(z + d)]

e finalmente

G = b cosh[mk(z + d)] (8.11)

(c) A solucao e dada por

φ =∞∑

k=0

Hk(t) cosh[mk(z + d)][ack cos(mkx) + as

k sin(mkx)]

ou em forma complexa

φ =∞∑

k=0

Hk(t) cosh[mk(z + d)][a+k exp(imkx) + a−k exp(−imkx)] (8.12)

8.5 Teoria Linear de Ondas de Gravidade

A expressao (8.12) e a solucao geral da equacao de Laplace satisfazendo a condicao de contorno

no fundo e condicoes sobre o comportamento para x→ ±∞, e representa a solucao do prob-

lema de ondas de gravidade. Vamos agora supor que temos uma unica onda monocromatica.

Assim temos:

φ = H(t) cosh[k0(z + d)]a exp(−ik0x) (8.13)

Como a solucao e uma funcao harmonica em x o parametro k0 representa a periodicidade em

x, de forma tal que se L e o comprimento da onda entao:

k0L = 2π

A este parametro chamamos numero de onda.

Nao impuzemos ainda a condicao de contorno na superfıcie livre. Utilizando a expressao geral

proposta para a funcao φ nesta condicao, temos:

H′′

H= −gG

′(z = 0)

G(z = 0)


Da equacao (8.11) temos

−gG′(z = 0)

G(z = 0)= −gk0 tanh k0d

onde g, k0 e a tangente hiperbolica sao sempre valores positivos, logo podemos escrever:

ω2 = gk0 tanh k0d (8.14)

e

H′′

+ ω2H = 0 (8.15)

A solucao desta equacao diferencial (8.15) e dada por

H = a+ exp(iωt) + a− exp(−iωt)

Esta funcao e harmonica e o parametro ω representa a periodicidade em t, de forma tal que

se T e o perıodo da onda entao:

ωT = 2π

Admitindo a+ = ia e a− = 0, sendo a real, teremos entao

φ = ia cosh[k0(z + d)] exp[i(ωt− k0x)] (8.16)

A equacao (8.14) e a equacao da dispersao e relaciona o comprimento da onda L com o perıodo

T de acordo com a profundidade d. Voltaremos a esta equacao em outra secao.

A condicao de contorno dinamica, a ser satisfeita na superfıcie livre, impoe uma relacao entre

a funcao definindo o perfil da superfıcie livre e o potencial de velocidades.

ζ = −1

g

∂φ(x, 0, t)

∂t

Desta equacao resulta

ζ =ω

ga cosh(k0d) exp[i(ωt− k0x)]

ou considerando somente a parte real

ζ =ω

ga cosh(k0d) cos(ωt− k0x)

o que sugere

ζ = ζ0 cos(ωt− k0x) (8.17)

onde ζ0 = (ω/g)a cosh(k0d) e a amplitude da onda.

Utilizando este resultado em (8.16) chegamos a:

φ = iζ0g

ω

cosh(k0(z + d))

cosh(k0d)exp[i(ωt− k0x)] (8.18)


Utilizando a equacao da dispersao (8.14) teremos:

φ = iζ0ω

k0

cosh(k0(z + d))

sinh(k0d)exp[i(ωt− k0x)]

A equacao (8.17) descreve o perfil da onda, tanto no tempo quanto no espaco. Um ponto

do perfil com elevacao ζ1 desloca-se ao longo do tempo ocupando diversas posicoes x, com

velocidade igual a velocidade do perfil, chamada celeridade da onda. Os valores de x estao

relacionado com o tempo de tal forma que

ωt− k0x = constante

Derivando esta expressao em relacao ao tempo teremos

k0c− ω = 0

onde c e a celereridade da onda; assim

c =ω

k0

=L

T

Com os resultados obtidos ate entao, podemos dizer que o perfil da superfıcie livre tem a forma

de uma senoide e desloca-se na direcao do eixo x positiva. Como frizamos anteriormente a

solucao da equacao (8.1) sujeita a (8.6), admitindo que mk igual a um valor constante negativo

deve ser ignorada, pois implicaria em uma solucao do potencial de velocidades, indicando que

haveria um crescimento do perfil da superfıcie livre e, como sera visto abaixo, dos campos de

velocidade e aceleracao com o valor de x, o que fisicamente nao e razoavel. Outro aspecto

a se considerar e que de acordo com a escolha das constantes nas solucoes gerais de F e H

obterıamos perfis da onda nas formas:

ζ = ζ0 cos(±ωt± k0x± δc)

ou

ζ = ζ0 sin(±ωt± k0x± δs)

onde δc e δs sao angulos de fase. A escolha da forma e dos sinais depende da forma da onda

em relacao a origem e direcao de propagacao.

8.5.1 A Equacao de Dispersao

A equacao de dispersao e dada por (8.14):

ω2 = gk0 tanh k0d


Figura 8.2: Solucao grafica da equacao de dispersao

A figura 8.2 apresenta uma forma grafica de obtencao do valor de k0. Reescrevemos a equacao

(8.14) na forma

y =ω2d

g

1

k0d= tanh k0d

e buscamos a intersecao da equacao das curvas

y1 =ω2d

g

1

k0de y2 = tanh k0d

encontramos o valor de k0 que satisfaz a equacao (8.14).

A equacao da dispersao (8.14) pode ser reescrita em termos da celeridade da onda na forma

(2π

T

)2

= g

(2π

L

)tanh k0d

ou

c = g

(1

ω

)tanh k0d (8.19)


Observando as duas formas da equacao da dispersao, (8.14) e (8.19), vemos que o numero

de onda, o comprimento de onda e a celeridade da onda dependem da profundidade. Isto e,

ondas com diferentes perıodos propagam-se com diferentes velocidades, celeridade da onda.

Para grandes profundidades o argumento da tangente hiperbolica cresce muito e entao a

tangente tende para o valor 1 (um):

limd→∞

tanh k0d = 1

e por conseguinte, para aguas profundas,

ω2 = gk0 =2π

L∞g (8.20)

Figura 8.3: Onda propagando-se em fundo plano inclinado I


Figura 8.4: Onda propagando-se em fundo plano inclinado II

Observemos agora o que ocorre com uma onda monocromatica que se propaga em um fundo

plano levemente inclinado de aguas profundas para aguas rasas (ver figuras 8.3 e 8.4). Trace-

mos dois planos verticais, um situado em aguas profundas A e outro em aguas mais rasas B.

Podemos dizer que o numero de ondas que em um certo intervalo de tempo passa por A e o

mesmo que o numero de ondas que no mesmo intervalo de tempo passa por B. Isto quer dizer

entao que o perıodo da onda e imutavel. Consequentemente ω2/g e um parametro constante

para uma mesma onda. Usando entao este argumento na equacao de dispersao (8.14) e o

limite de aguas profundas podemos escrever:

ω2

g=

2π

L∞=

2π

Ltanh(

2πd

L) (8.21)

ouω2d

2πg=

d

L∞=d

Ltanh(

2πd

L) (8.22)

Destas relacoes temos

L∞ =2πg

ω2=

2πg(2πT

)2 =gT 2

2π(8.23)

T

L∞=T

Ltanh(

2πd

L) (8.24)

ou

c = c∞ tanh(2πd

L) (8.25)

Com estas expressoes podemos entao escrever a celeridade e o comprimento da onda em funcao

da profundidade e a partir de seus valores em aguas profundas.

c

c∞= tanh(

2πd

L) (8.26)


L

L∞= tanh(

2πd

L) (8.27)

A hipotese feita acima de o fundo ser um plano inclinado implica que em um mesmo com-

primento de onda a profundidade local varia, e a equacao de dispersao foi obtida para fundo

constante. Assim, o estudo que estamos fazendo tem suas limitacoes. Estamos incorrendo em

um erro, que sera tao menor quanto menor for a inclinacao do fundo.

Com as equacoes (8.26) e (8.27) podemos fazer um grafico representativo da variacao de c/c∞e L/L∞ em funcao d/L∞ ver figura 8.5.

Figura 8.5: c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em funcao de d/L∞

Para pequenos valores de d, tendemos ao caso conhecido como de aguas rasas. Na reali-

dade quem define esta tendencia e a relacao d/L e nao somente a profundidade d. Teremos

aguas rasas quando a profundidade relativa for pequena em relacao ao comprimento de onda.

Nesta situacao o argumento da tangente hiperbolica e pequeno e a tangente hiperbolica e

aproximadamente igual ao argumento resultando que a equacao de dispersao torna-se

ω2

g= k2

0d

Desta relacao vemos que o numero de onda e por conseguinte o comprimento de onda contin-

uam variando com a profundidade, porem

ω2

k20

=

(2π

T

)2(L

2π

)2

=

(L

T

)2

= c2

e entao

c =√gd


Observamos deste ultimo resultado que a celeridade tem um valor fixo para aguas rasas e o

comprimento da onda e proporcional ao perıodo em aguas rasas.

L = T√gd

Retornando a equacao (8.14) lembramos que esta foi obtida da substituicao da solucao na

forma de cosseno hiperbolico em z na condicao de contorno na superfıcie livre. Se utilizarmos

a solucao em cosseno simples em z na condicao de contorno na superfıcie livre, obteremos

ω2 = −gmk tanmkd (8.28)

A figura 8.6 apresenta uma forma grafica de obtencao do valor de mj, obtida reescrevendo a

equacao (8.28) na forma

y = −ω2d

g

1

mjd= tanmjd

e buscando a intersecao da equacao do primeiro e do segundo membros.

Figura 8.6: Obtencao grafica dos autovalores mj

As tabelas 8.1, 8.2 e 8.3 apresentam as variacoes da relacao comprimento de onda / profun-

didade em funcao do perıodo, em forma adimensional, atraves da equacao da dispersao.


Tabela Auxiliar - Equacao da Dispersao I

d/L k0d tanh(k0d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n

0.001 0.006283 0.006283 0.000039 0.000006 159.157013 0.999987

0.002 0.012566 0.012566 0.000158 0.000025 79.581650 0.999947

0.003 0.018850 0.018847 0.000355 0.000057 53.057922 0.999882

0.004 0.025133 0.025127 0.000632 0.000101 39.797108 0.999789

0.005 0.031416 0.031406 0.000987 0.000157 31.841454 0.999671

0.006 0.037699 0.037681 0.001421 0.000226 26.538385 0.999527

0.007 0.043982 0.043954 0.001933 0.000308 22.751078 0.999356

0.008 0.050265 0.050223 0.002524 0.000402 19.911118 0.999159

0.009 0.056549 0.056488 0.003194 0.000508 17.702728 0.998936

0.010 0.062832 0.062749 0.003943 0.000627 15.936430 0.998686

0.015 0.094248 0.093970 0.008856 0.001410 10.641727 0.997051

0.020 0.125664 0.125006 0.015709 0.002500 7.999591 0.994775

0.025 0.157080 0.155800 0.024473 0.003895 6.418472 0.991869

0.030 0.188496 0.186294 0.035116 0.005589 5.367848 0.988350

0.035 0.219911 0.216434 0.047596 0.007575 4.620353 0.984236

0.040 0.251327 0.246166 0.061868 0.009847 4.062298 0.979549

0.045 0.282743 0.275442 0.077879 0.012395 3.630526 0.974314

0.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.287136 0.968556

Tabela 8.1: Comprimento de onda em funcao da profundidade - Aguas rasas


Tabela Auxiliar - Equacao da Dispersao II


0.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.287136 0.968556

0.055 0.345575 0.332446 0.114885 0.018285 3.008011 0.962305

0.060 0.376991 0.360092 0.135751 0.021605 2.777071 0.955590

0.065 0.408407 0.387119 0.158102 0.025163 2.583183 0.948444

0.070 0.439823 0.413498 0.181866 0.028945 2.418393 0.940900

0.075 0.471239 0.439200 0.206968 0.032940 2.276868 0.932990

0.080 0.502655 0.464202 0.233334 0.037136 2.154232 0.924751

0.085 0.534071 0.488487 0.260886 0.041521 2.047139 0.916215

0.090 0.565487 0.512037 0.289550 0.046083 1.952984 0.907418

0.095 0.596903 0.534842 0.319249 0.050810 1.869711 0.898394

0.100 0.628319 0.556893 0.349906 0.055689 1.795676 0.889175

0.125 0.785398 0.655794 0.515060 0.081974 1.524869 0.841285

0.150 0.942478 0.736359 0.694002 0.110454 1.358034 0.792958

0.175 1.099557 0.800340 0.880020 0.140060 1.249469 0.746922

0.200 1.256637 0.850134 1.068310 0.170027 1.176285 0.704926

0.225 1.413717 0.888281 1.255777 0.199863 1.125770 0.667871

0.250 1.570796 0.917152 1.440660 0.229288 1.090331 0.636015

0.275 1.727876 0.938804 1.622138 0.258171 1.065185 0.609185

0.300 1.884956 0.954931 1.800002 0.286479 1.047196 0.586958

0.325 2.042035 0.966880 1.974403 0.314236 1.034254 0.568790

0.350 2.199115 0.975701 2.145678 0.341495 1.024904 0.554102

0.375 2.356194 0.982193 2.314239 0.368322 1.018129 0.542336

0.400 2.513274 0.986963 2.480508 0.394785 1.013210 0.532983

0.425 2.670354 0.990461 2.644881 0.420946 1.009631 0.525596

0.450 2.827433 0.993024 2.807708 0.446861 1.007025 0.519795

0.475 2.984513 0.994900 2.969291 0.472577 1.005127 0.515261

0.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.003742 0.511734

Tabela 8.2: Comprimento de onda em funcao da profundidade - Aguas intermediarias


Tabela Auxiliar - Equacao da Dispersao III


0.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.003742 0.511734

0.550 3.455752 0.998009 3.448873 0.548905 1.001994 0.506886

0.600 3.769912 0.998938 3.765906 0.599363 1.001063 0.504007

0.650 4.084070 0.999433 4.081755 0.649632 1.000567 0.502316

0.700 4.398230 0.999698 4.396899 0.699788 1.000303 0.501331

0.750 4.712389 0.999839 4.711628 0.749879 1.000161 0.500761

0.800 5.026548 0.999914 5.026115 0.799931 1.000086 0.500433

0.850 5.340708 0.999954 5.340462 0.849961 1.000046 0.500245

0.900 5.654867 0.999976 5.654728 0.899978 1.000025 0.500139

1.000 6.283185 0.999993 6.283142 0.999993 1.000007 0.500044

Tabela 8.3: Comprimento de onda em funcao da profundidade - Aguas profundas

8.5.2 Campos de Velocidade e de Aceleracao

Uma vez determinada a funcao potencial de velocidades podemos determinar o campo de

velocidades atraves de:

v = ∇φ = i∂φ

∂x+ k

∂φ

∂z= ivx + kvz

isto e, as componentes vx e vz sao dadas por

vx = <(∂φ

∂x

)=ζ0ω cosh[k0(z + d)]

sinh(k0d)cos(ωt− k0x) (8.29)

vz = <(∂φ

∂z

)= −ζ0ω sinh[k0(z + d)]

sinh(k0d)sin(ωt− k0x) (8.30)

Observando a equacao (8.29) podemos afirmar que quando ζ e maximo, vx e maximo. Por

outro lado, vz e maximo quando ζ e nulo e decrescente com x. Estas conclusoes podem ser

observadas mais claramente na figura (8.7).


Figura 8.7: Perfil da onda e perfis de velocidades

Para determinarmos as aceleracoes devemos inicialmente lembrar que com a linearizacao do

problema de valor de contorno, desprezamos o termo v2 na Integral de Euler, cuja origem e o

termo convectivo da aceleracao. Para sermos consistentes devemos entao desprezar o termo

convectivo e a aceleracao e dada somente pela derivada local, logo:

ax = <(∂vx

∂t

)= −ζ0ω

2 cosh[k0(z + d)]

sinh(k0d)sin(ωt− k0x) (8.31)

az = <(∂vz

∂t

)= −ζ0ω

2 sinh[k0(z + d)]

sinh(k0d)cos(ωt− k0x) (8.32)

A aceleracao horizontal ax e maxima quando ζ e nulo e decrescente. A aceleracao vertical e

maxima quando ζ e mınimo (ver figura 8.8).

Figura 8.8: Perfil da onda e perfis de aceleracao


8.5.3 Orbitas das Partıculas

A observacao das orbitas das partıculas exige que acompanhemos uma partıcula, isto e, esta

e uma observacao Lagrangeana. Como temos campos de velocidades descritos na forma

Euleriana podemos escrever:

xf (t) = x0 +

∫ t

0

vx(xf , zf , t)dt

zf (t) = z0 +

∫ t

0

vz(xf , zf , t)dt

A dificuldade de solucionar estas equacoes deve-se a termos que integrar estas funcoes vx e

vz ao longo da trajetoria que e desconhecida. Lembrando entretanto das aproximacoes feitas

anteriormente temos, para sermos consistentes, que admitir que as orbitas das partıculas

permanecem nas proximidades do ponto inicial. Expandindo as funcoes vx e vz em series de

Taylor em torno da posicao media temos

vx(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t) + (xf − x0)∂vx

∂x(x0, z0, t) + (zf − z0)

∂vx

∂z(x0, z0, t) + . . .

vz(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t) + (xf − x0)∂vz

∂x(x0, z0, t) + (zf − z0)

∂vz

∂z(x0, z0, t) + . . .

pode-se verificar que para mantermos a consistencia com o desenvolvimento anterior podemos

fazer

vx(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t)

vz(xf , zf , t) = vz(x0, z0, t)

Assim sendo as orbitas sao definidas por

x− x0 =

∫ t

0

∂φ

∂x(x0, z0, t)dt =

∫ t

0

dt

[ζ0ω cosh[k0(z0 + d)]

sinh(k0d)cos(ωt− k0x0)

](8.33)

=ζ0 cosh[k0(z0 + d)]

sinh(k0d)sin(ωt− k0x0)

z − z0 =

∫ t

0

∂φ

∂z(x0, z0, t)dt =

∫ t

0

−dt[ζ0ω sinh(k0(z0 + d))


](8.34)

=ζ0 sinh[k0(z0 + d)]

sinh(k0d)cos(ωt− k0x0)]

Com as expressoes acima obtemos

(x− x0)2

(cosh[k0(z0 + d)])2+

(z − z0)2

(sinh[k0(z0 + d)])2=

ζ0

sinh(k0d)

2


Esta expressao indica que as orbitas das partıculas sao elıpticas. Das equacoes (8.33) e (8.34)

podemos observar que para z0 = 0 temos a equacao da superfıcie livre. No fundo podemos

observar que

x− x0 =ζ0


z + d = 0

isto e, a partıcula executa um movimento harmonico horizontal.

A visualizacao das orbitas pode ser observada na figura 8.9.

Figura 8.9: Orbitas das partıculas Fluidas

8.5.4 Distribuicao de Pressao

Uma vez obtido o potencial de velocidades podemos determinar a pressao em qualquer ponto

do escoamento:

p = −ρ∂φ∂t− ρgz

Sob a superfıcie z = 0 temos

p = −ρ∂φ(z = 0)

∂t= ρgζ

Isto e, a pressao dinamica na superfıcie z = 0 e igual a pressao hidrostatica de uma coluna de

agua correspondente a elevacao da superfıcie livre local. Este resultado e fısicamente razoavel.

Entretanto, nao e preciso. Senao vejamos. Sobre a superfıcie livre instantanea a pressao e

p = −ρ∂φ∂t− ρgz = ρgζek0z − ρgz = ρgζek0ζ − ρgζ

Aproximando a exponencial por ek0ζ ≈ 1 + k0ζ a pressao na superfıcie livre torna-se

p = ρgζek0ζ − ρgζ = ρgζ(1 + k0ζ)− ρgζ = ρgk0ζ2


isto e, a pressao na superfıcie livre nao e nula. Este e um erro que vem da linearizacao do

problema que acarreta a transferencia da posicao para se impor a condicao de contorno. Em

termos de aplicacao pratica e conveniente assumir uma distribuicao de pressao dinamica linear

entre a superfıcie z = 0 e a superfıcie livre, em que na superfıcie z = 0 assume-se pdin = ρgζ.

A figura 8.10 mostra o diagrama de pressoes conforme discutido acima.

Figura 8.10: Distribuicao da pressao em ondas, com a profundidade

8.6 Aguas Profundas

Convem salientar que se tivessemos considerado o caso de aguas profundas, z →∞, terıamos

G(z) = a exp(k0z)

com istoH

′′

H= −gG

′(z = 0)

G(z = 0)= −gk0

logo a equacao da dispersao e escrita na forma

ω2 = gk0

O potencial de velocidades resultante seria

φ = iζ0ω

k0

exp(k0z) exp[i(ωt− k0x)]

Nas expressoes das velocidades, aceleracoes e movimentos orbitais teremos

limd→∞

cosh[k0(z + d)]

sinh(k0d)= exp(k0z)


limd→∞

sinh[k0(z + d)]

sinh(k0d)= exp(k0z)

Neste caso as orbitas das partıculas serao circulares

(x− x0)2 + (z − z0)

2 = ζ20e

2k0z0

A celeridade da onda que e dada por

c =L

T=ω

k0

=

√g

k0

tanh(k0d)

tem como limite para aguas profundas

c =

√g

k0

Convenciona-se que o limite de aguas profundas se da quando L/d = 2.

8.7 Aguas Rasas

Outro limite importante e o de aguas rasas, isto e, quando k0d << 1. Neste caso temos como

limites para o seno hiperbolico e o cosseno hiperbolico respectivamente o argumento da funcao

e o valor 1:

limk0d→ε

sinh(k0d) = k0d

limk0d→ε

sinh[k0(z + d)] = k0(z + d)

limk0d→ε

cosh[k0(z + d)] = 1

Deve-se notar que 0 ≤ z ≤ d.

Neste caso limite as velocidades, aceleracoes e a celeridade assumem entao as expressoes

vx =ζ0ω

k0dcos(ωt− k0x)

vz = −ζ0ω(1 +z

d) sin(ωt− k0x)

ax = −ζ0ω2

k0dsin(ωt− k0x)

az = −ζ0ω2(1 +z

d) cos(ωt− k0x)


e

c =√gd =

ω

k0

Observemos que esta equacao impoe uma celeridade constante para qualquer perıodo de onda,

perdendo a caracterıstica de dispersividade, embora a equacao derive da equacao de dispersao.

Lembrando que

ζ = ζ0 cos(ωt− k0x)

obtemos entao

vx =ω

k0dζ =

√gdζ

d= c

ζ

d=

√g

dζ

Destes resultados podemos verificar que no caso de aguas rasas a velocidade na direcao x

e constante com a profundidade, e bem maior que a componente da velocidade na direcao

z, podendo ate alcancar valores muito grandes. A celeridade da onda, por outro lado e fixa

independentemente do perıodo da onda. No caso das orbitas das partıculas temos

(x− x0)2

A2+

(z − z0)2

B2= 1

onde

A =ζ0k0d

B = ζ0(1 +z

d)

Convenciona-se aceitar que o limite de aguas rasas se da quando L/d = 20.

8.8 Outras Propriedades

8.8.1 Fluxo de Massa

Anteriormente determinamos as orbitas das partıculas fluidas, concluindo que em aguas pro-

fundas sao circulares. Para tal aproximamos as velocidades instantaneas pela pela veloci-

dades das partıculas na posicao de repouso das partıculas. Entretanto se considerarmos que

as partıculas quando se encontram acima da posicao de repouso tem maiores velocidades

que quando passam pela posicao inferior, podemos concluir que em media, ao longo de um

perıodo, elas avancam na direcao de propagacao da onda.

O fluxo de massa medio e igual a:

F =1

L

∫ x+L

x

∫ ζ

−d

ρvxdzdx


onde:

vx =g k0

ω

ζ cosh[k0(d+ z)]

cosh[k0(d)]

A avaliacao do fluxo e feita integrando-se inicialmente na vertical:

F =ρ

L

∫ x+L

x

g ∗ ζ(x, t) sinh[k0(d+ ζ(x, t))]

ωcosh(k0d)dx

Para a avaliacao da integral em x expandimos as exponenciais em torno de k0d e −k0d,

F =ρ

L

∫ x+L

x

g ∗ ζ(x, t)2ωcosh(k0d)

[ek0d(1 + k0ζ(x, t))− e−k0d(1− k0ζ(x, t))]dx

A integral acima tem como resultado:

F =ζ20ρgk0

2ω

Assim resulta que ha um fluxo medio de massa, que e um efeito de segunda ordem.

8.8.2 Energia de Onda

Para avaliar a energia que uma onda carrega consigo, consideremos uma fatia vertical da onda

(ver figura 8.11). A energia potencial na fatia e dada por:

d (Ep) = ρgzmdx(d+ ζ)

onde dx e a largura da fatia e zm e a altura media da fatia

zm =d+ ζ

2


Figura 8.11: Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda

A energia potencial de uma onda por comprimento de onda e dada por:

Ep =1

L

∫ x+L

x

d(Ep) =1

L

∫ x+L

x

ρg(d+ ζ)2

2dx =

ρgd2

2+ρgH2

16

onde H = 2a e a altura da onda.

A contribuicao media de energia devida unicamente ao movimento ondulatorio e entao

Ep =ρgH2

16

A energia cinetica dEc de um elemento (de uma partıcula elementar) e dada por:

dEc =dm

2| ∇φ |2= ρ

dx dz

2

(v2

x + v2z

)onde dm = ρdxdz.

Integrando ao longo da altura e ao longo do comprimento, e entao dividindo pelo comprimento

de onda L, temos a energia cinetica media por comprimento de onda

Ec =1

L

∫ x+L

x

∫ 0

−d

ρ

2

(v2

x + v2z

)dxdz


que apos substituicao de vx e vy e executados os calculos, nos fornece:

Ec =ρgH2

16

Com estes resultados temos entao que a energia total por comprimento de onda e

Et = Ep + Ec =ρgH2

8

8.8.3 Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo

A forca exercida sobre um elemento dz de uma parede vertical fluida pode ser escrita como:

dF = pdz = (pdin + ρgz)dz

O fluxo de energia atraves do elemento dz da ”parede” e dado por

dG = vxpdz

Integrando o fluxo elementar de energia do fundo ate a superfıcie livre obtemos o fluxo total

atraves da respectiva ”parede”:

G =

∫ ζ

−d

vxpdz

O fluxo medio temporal e entao dado por:

G =1

T

∫ t+T

t

∫ ζ

−d

vxpdtdz =ρgω

4k0

(H

2

)2(2k0d+ sinh(2k0d)

sinh(2k0d)

)= Etcn

onde

n =1

2

(1 +

2k0d

sinh(2k0d)

)A partir desta expressao podemos dizer que a energia total da onda por unidade de compri-

mento de onda propaga-se com uma velocidade cg, velocidade de grupo, diferente da celeridade

e dada por

cg = cn


e

G = Etcn =ρgH2

8cg

Consideremos agora duas ondas progressivas propagando-se na mesma direcao com mesmas

alturas H e perıodos levemente diferentes, T1 e T2. O perfil resultante desta superposicao e

dado por:

ζ = ζ1 + ζ2 =H

2cos(ω1t−m0,1x) + cos(ω2t−m0,2x) (8.35)

onde

ω1 = ω − 4ω2

ω2 = ω +4ω2

m0,1 = k0 −4k0

2

m0,2 = k0 +4k0

2

Desenvolvendo a expressao (8.35) acima temos:

ζ = H cos

[1

2(ω1 + ω2)t− (m0,1 +m0,2)x

]cos

[1

2(ω1 − ω2)t− (m0,1 −m0,2)x

]

= H cos (ωt− k0x) cos

[4k0

2

(4ω4k0

t− x

)]Este resultado mostra que o perfil da onda resultante e equivalente ao de uma onda frequencia

ω e altura modulada, variando com o tempo de acordo com

H = H cos[1

2(4ωt−4k0x)]

Isto e, a superposicao das ondas apresenta um perfil envoltorio H(t, x) que se propaga com

velocidade

cenvoltoria =4ω4k0

No limite quanto 4ω e 4k0 vao a zero obtemos

lim4ω→0

cenvoltoria =dω

dk0

= cg =c

2

(1 +

2k0d

sinh(2k0d)

)


A figura 8.12 mostra a propagacao de um grupo de ondas. Um perfil envoltorio viaja com a

velocidade de grupo cg menor que a celeridade das ondas (ver figura 8.5) que se propagam

dentro desta envoltoria, com amplitude variavel dada pelo perfil da envoltoria. Este fenomeno

e conhecido como batimento.

Figura 8.12: Grupo de ondas

Retornemos agora ao problema da propagacao da onda monocromatica apresentado na secao

anterior. A onda monocromatica pode ser vista como uma onda cujo perfil da envoltoria

tem comprimento infinito e por conseguinte amplitude ”modulada”constante. O perfil ”en-

voltorio”propaga-se com velocidade cg e a onda com velocidade c. Assim a energia da onda

transmite-se com a velocidade de grupo cg. Observando as figuras 8.3 e 8.4, podemos dizer

que toda a energia que entra pela secao A tem que sair pela secao B, entao:

cgH2 = cg,∞H

2∞

onde os subscritos∞ representam as propriedades em aguas profundas. Esta expressao mostra

que, para mantermos um fluxo constante de energia, a altura da onda tem que variar a medida

que o comprimento, a celeridade e a velocidade de grupo variam com a profundidade. Assim,

obtemos: (H∞H

)2

=cgcg,∞

=

(tanh

2πd

L

)(1 +

2k0d

sinh(2k0d)

)

A figura (8.13) mostra a variacao da relacao de H/H∞ em funcao de d/L∞).


Figura 8.13: H/H∞ em funcao de d/L∞

8.8.4 Onda Estacionaria

A superposicao de duas ondas progressivas de mesmas alturas propagando-se em direcoes

opostas nos fornece o seguinte resultado para o perfil resultante:

ζ = ζ1 + ζ2 =H

2cos(ωt− k0x) + cos(ωt+ k0x) = H cos(ωt) cos(k0x) (8.36)

O potencial de velocidades associado a este perfil e dado por

φ = −gζ0ω

cosh(k0(z + d))

cosh(k0d)cos(k0x) sin(ωt)

Observamos que este tambem satisfaz o problema de valor de contorno resolvido para ondas

progressivas. Observamos tambem, de (8.36), que os zeros do perfil de onda nao ”viajam”,

Os campos de velocidades e as orbitas das partıculas sao dadas por:

vx =∂φ

∂x=ζ0ω cosh(k0(z + d))

sinh(k0d)sin(k0x) sin(ωt)


vz = −∂φ∂z

=ζ0ω sinh(k0(z + d))

sinh(k0d)cos(k0x) sin(ωt)

x− x0 = −ζ0 cosh(k0(z0 + d))

sinh(k0d)cos(k0x0) sin(ωt)

z − z0 =ζ0 sinh(k0(z0 + d))

sinh(k0d)sin(k0x0) sin(ωt)

Observemos que as partıculas fluidas deslocam-se ao longo de uma reta, e nao mais ao longo

de uma elipse como no caso de uma onda progressiva. Da mesma forma que duas ondas pro-

gressivas superpostas geraram uma onda estacionaria, duas ondas estacionarias superpostas

geram um onda progressiva.

8.9 Resumo das Principais Expressoes

φ = AF (z)ei(ωt−k0x)

ζ = <−1

g

∂φ

∂t|z=0 = <−1

gAiωF (0)ei(ωt−k0x)

= <−1

gAiωF (0)ei(ωt−k0x)

Θ = ωt− k0x

ζ = ζ0 cos(Θ)

A = igζ0

ωF (0)

φ = igζ0

ωF (0)F (z)eiΘ

vx = <∂φ∂x

= <igζ0

ωF (0)F (z)(−ik0)e

iΘ

=k0g

ωF (0)F (z)ζ0 cos(Θ)

vz = <∂φ∂z

= <igζ0

ωF (0)F

′(z)eiΘ

=g

ωF (0)F

′(z)ζ0(− sin(Θ))

ax =∂vx

∂t=

k0g

ωF (0)F (z)ζ0(−ω) sin(Θ)


az =∂vz

∂t=

g

ωF (0)F

′(z)ζ0(−ω cos(Θ))

pz = −ρ∂φ∂t

= −ρ∂φ∂t|z=0F (z) = ρgζF (z)

8.9.1 Aguas Intermediarias

F (z) = cosh[k0(z + d)]

F (0) = cosh(k0d)

ω2 = k0g tanh(k0d)

F′(z) = k0 sinh[k0(z + d)]

8.9.2 Aguas Profundas

F (z) = ek0z

F (0) = 1

ω2 = k0g

F′(z) = k0e

k0z

8.9.3 Aguas Rasas

F (z) = limk0d→ε

cosh[k0(z + d)] = 1

F (0) → 1

tanh(k0d) ≈ k0d

ω2 = k20gd

F′(z) = lim

k0d→εk0 sinh[k0(z + d)] ≈ k2

0d


8.10 Batedor de Ondas do Tipo Pistao

No capıtulo anterior estudamos o problema de ondas de gravidade propagando-se em um

domınio infinito −∞ < x < ∞. Vamos agora estudar ondas geradas por um pistao hori-

zontal. Com o movimento do pistao sao induzidas velocidades as partıculas fluidas, e conse-

quentemente sao geradas ondas que se radiam a partir do corpo. Nosso objetivo nesta secao

nao e somente de estudar o problema do batedor de ondas, mas muito mais de introduzir os

conceitos de massa adicional e amortecimento inerentes ao problema de radiacao.

O pistao horizontal esta dotado de um movimento harmonico com amplitude s0 e frequencia

ω

s = s0 sinωt

sobre o qual aplicamos uma forca horizontal F para vencer a reacao fluida Fh(ver figura

refFig-ICF-02).

Figura 8.14: Gerador de Ondas em Forma de Pistao

Utilizando a lei de Newton podemos descrever o movimento do corpo por

ms = F + Fh

onde Fh e a reacao hidrodinamica. Assim

F = ms− Fh

Nosso objetivo e determinar a reacao hidrodinamica sobre o batedor, o que nos permitira

determinar a forca a ser aplicada ao batedor. Para determinar a reacao hidrodinamica temos

que determinar a pressao atraves da Integral de Euler, o que nos exige determinar o poten-

cial de velocidades. Enfim, temos que resolver o problema de valor de contorno geral da


hidrodinamica aplicado ao caso presente. Trata-se de um escoamento bidimensional em uma

regiao com profundidade finita em que os efeitos viscosos sao desprezıveis, o fluido e incom-

pressıvel, o escoamento pode ser considerado irrotacional e as forcas de corpo derivam de

um potencial. Do ponto de vista do fluido o pistao pode ser visto como uma parede vertical

dotada de um movimento harmonico. Ondas sao formadas nesta regiao e transmitem-se para

o fluido. A este fenomeno damos o nome de radiacao, uma vez que ondas se radiam do corpo

para o infinito. Temos neste caso um domınio semi infinito em x. Definimos um sistema de

coordenadas Oxz colocado junto a superfıcie do pistao e sobre a superfıcie livre e consider-

amos que o movimento do pistao e de pequenas amplitudes. De forma semelhante ao que

fizemos no problema anterior as condicoes de contorno na superfıcie livre sao linearizadas e

aplicadas na posicao media. Junto ao pistao faremos uma aproximacao semelhante aplicando

a condicao de contorno na posicao media do pistao.

Podemos escrever o seguinte problema de valor de contorno para determinacao do potencial

de velocidades φ, que rege o movimento do fluido.

∇2φ = 0 (8.37)

em todo domınio fluido

∂2φ

∂t2+ g

∂φ

∂z= 0 (8.38)

na superfıcie z = 0

∂φ

∂z= 0 (8.39)

em z = −d

<(∂φ

∂x

)= s0ω cosωt (8.40)

em x = 0.

Alem destas condicoes devem ser impostas condicoes de radiacao para limx → ∞. Neste

caso, esta condicao estabelece que longe do corpo uma unica onda progressiva propague-se

carregando a energia cedida ao fluido pelo batedor a cada ciclo.

Notemos que a quarta condicao, valida na parede do corpo esta sendo aproximada, a medida

que vamos aplica-la na posicao media do corpo.


8.10.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema

Para a obtencao da solucao do problema vamos aplicar o metodo de separacao de variaveis,

de forma similar ao que fizemos anteriormente.

Assim, aplicando-se o metodo de separacao de variaveis a equacao de Laplace, dada por

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂z2= 0

de forma tal que

φ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t)

obtemos:

F′′GH + FG

′′H = 0

ou entaoF

′′

F= −G

′′

G

Como observado anteriormente, o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo

membro e funcao somente de z, a igualdade so e possıvel se:

F′′

F= −G

′′

G= ±m2

k (8.41)

onde mk e uma constante.

A partir desta expressao, podemos mais uma vez repetir o quadro de solucoes de acordo com

o valor de m2k, se positivo ou negativo.


−m2k F

′′+m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 cosmkx ; sinmkx exp(±mkz)

+m2k F

′′ −m2kF = 0 G

′′+m2

kG = 0 exp(±mkx) cosmkz ; sinmkz

ou, utilizando a forma complexa


−m2k F

′′+m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 exp(±imkx) exp(±mkz)

+m2k F

′′ −m2kF = 0 G

′′+m2

kG = 0 exp(±mkx) exp(±imkz)

em que i e o unitario imaginario, i =√−1


A escolha do sinal associado a m2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera

das condicoes de contorno.

Lembrando que no presente caso, nao temos mais um domınio infinito para a variavel x, uma

vez que a parede do batedor limita o domınio fluido, temos um caso a mais para analisar alem

do que vimos anteriormente. Alem disto a profundidade e finita, isto e, o domınio vertical, o

domınio da variavel z e finito.

Admitindo que o batedor de ondas oscila harmonicamente com frequencia ω, uma possıvel

solucao e dada por:

φ = a0cosh(k0(z + d))


= a0Z0(k0z)F0(k0x)eiωt

Alem desta solucao, que equivale ao caso:

F′′

+ k20F = 0

G′′ − k2

0G = 0

temos que incorporar as solucoes que decrescem com x indo para infinito, F = exp(−mjx),

isto e solucoes para o par

F′′ −m2

jF = 0

G′′

+m2jG = 0

que, associado as condicoes de contorno no fundo definem

Gj(mjz) = cos[mj(z + d)]

que substituıda na condicao de superfıcie livre, equacao 8.38, geram

Fj(x)Gj(z = 0)∂2H(t)

∂t2+ gFj(x)H(t)

∂Gj(z)

∂z|z=0 = 0

−ω2Gj(z = 0) + g∂Gj(z)

∂z|z=0 = 0

ω2 = −gmk tan(mkd)

Reunindo essas duas solucoes, a forma geral da solucao da equacao de Laplace bidimensional

em um domınio semi-infinito, em coordenadas cartesianas satisfazendo as condicoes (8.38),

(8.39) e as condicoes de radiacao e

φ =∞∑

j=0

ajGj(mjz)Fj(mjx)eiωt


onde, para j = 0 temos uma onda progressiva tal que:

G0(k0z) = cosh[k0(z + d)]

F0(k0x) = e−ik0x

e para j 6= 0 temos os modos evanescentes, com:

Gj(mjz) = cos[mj(z + d)]

Fj(mjx) = e−mjx

aj sao coeficientes a serem determinados e k0 e o numero de onda solucao da equacao de

dispersao

ω2 = gk0 tanh(k0d)

e mj sao as solucoes da equacao

ω2 = −gmj tan(mjd)

Observemos que conhecemos a frequencia da oscilacao do batedor e a profundidade local.

Com estes dois parametros podemos determinar o numero de onda k0, autovalor da solucao

representando a onda progressiva, e mj os autovalores dos modos evanescentes. Temos ainda a

determinar os coeficientes aj e tambem nao fizemos uso da condicao de contorno na superfıcie

do pistao.

A obtencao dos coeficientes aj e conseguida aplicando-se a equacao (8.40)

∂φ

∂x= −ik0a0G0(k0z)F0(0) +

∞∑j=1

−mjajGj(mjz)Fj(0)eiωt = ωs0eiωt (8.43)

ou

−ik0a0G0(k0z)−∞∑

j=1

mjajGj(mjz) = ωs0 (8.44)

Utilizaremos a seguir a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj no intervalo−d < z < 0,

estabelecendo que ∫ 0

−d

GiGjdz =

0 para i 6= j

Nj para i = j

onde

Nj =

∫ 0

−d

G2j(mjz)dz =

sinh(2k0d) + 2k0d

4k0para j = 0

sin(2mjd) + 2mjd4mj

para j 6= 0


Assim multiplicando-se a equacao (8.44) pela funcao Gi e integrando a equacao no intervalo

−d < z < 0 temos

−ik0a0

∫ 0

−d

G0Gidz −∞∑

j=1

mjaj

∫ 0

−d

GjGidz = ωs0

∫ 0

−d

Gidz (8.45)

com a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj, descrita acima, resulta entao para i = 0

−ik0a0N0 = s0ω

∫ 0

−d

G0(k0z)dz (8.46)

e para i 6= 0

−miaiNi = s0ω

∫ 0

−d

Gi(miz)dz (8.47)

ou

a0 = iA0s0ω

para i = 0 e para i 6= 0

ai = −Ais0ω

onde

Ai =

∫ 0

−d

Gj(mjz)dz1

mjNj

(8.48)

Podemos agora calcular a pressao hidrodinamica atuante sobre o corpo a partir da Integral

de Euler linearizada

p = −ρ∂φ∂t

(x = 0) = −iωρ∞∑

j=0

ajGj(mjz)eiωt = s0ω

2ρ

(A0G0 + i

∞∑j=1

AjGj

)eiωt

e entao a forca hidrodinamica

Fx =

∫ 0

−d

pnxdz =

∫ 0

−d

−pdz =

s0ω2ρ

[−A0

∫ 0

−d

G0dz − i∞∑

j=1

Aj

∫ 0

−d

Gjdz

]eiωt

porem, como ∫ 0

−d

Gjdz = mjAjNj

temos

Fx = s0ω2ρ

[−A2

0k0N0 − i∞∑

j=1

A2jmjNj

]eiωt


e entao

Fh = <(Fx) = −ρωA20k0N0[s0ω cos(ωt)] + ρ

∞∑j=1

A2jmjNj[s0ω

2 sin(ωt)]

Os termos entre colchetes sao a velocidade e a aceleracao do corpo

s = s0ω cos(ωt)

s = −s0ω2 sin(ωt)

Definindo

m11 = ρ∞∑

j=1

A2jmjNj

n11 = ρωA20k0N0

Assim a forca e entao dada por

Fh = −m11s− n11s

Este resultado mostra que a forca hidrodinamica atuante sobre o pistao e composta de dois

termos, um proporcional a aceleracao e o outro proporcional a velocidade do corpo. De forma

semelhante ao que vimos anteriormente, o primeiro termo e a massa adicional que esta ligada

aos modos evanescentes, que nao contribuem na propagacao de energia. O outro termo,

que nao apareceu anteriormente, quando nao consideramos a presenca de superfıcie livre, esta

relacionado ao modo progressivo que, ao contrario dos modos evanescentes, transmite energia.

Por ser entao um termo dissipativo, damos o nome de coeficiente de amortecimento.

Lembrando agora que para grandes valores de x os modos evanescentes desaparecem, o perfil

da onda a grandes distancias sera dado unicamente pela onda progressiva, cujo potencial e

φ = a0G0(k0z)F0(k0x)eiωt = iA0s0ωG0(k0z)F0(k0x)e

iωt

O perfil da onda nesta regiao e dado por

ζ = −1

g∂φ/∂t =

A0

gs0ω

2G0(k0z)ei(ωt−k0x)

Logo a amplitude de onda ζ0 e dada por

ζ0 =A0

gs0ω

2G0(0)

e obtemos para o coeficiente de amortecimento

n11 =ρ g N0

ω tanh(k0d)

(ζ0s0

)2


Deve ser notado que a amplitude da onda varia linearmente com a amplitude do movimento

do corpo, e e funcao da frequencia ω.

Embora tenhamos trabalhado aqui com um caso de um corpo que se estende desde a superfıcie

livre ate o fundo, que tem uma forma reta e so pode executar movimento horizontal o resultado

obtido pode ser generalizado.

Todo corpo oscilando junto a superfıcie livre gera ondas que se radiam do corpo

para o meio fluido e, devido a estas ondas, sofre uma forca de reacao hidrodinamica

composta de dois termos. Um proporcional a aceleracao relacionado com os modos

evanescentes e outro proporcional a velocidade relacionado com a energia que se

propaga com a onda progressiva.

8.10.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos

Acima consideramos que o Batedor atuava como um pistao. Vejamos agora que alteracoes

devem ser introduzidas no procedimento acima se, ao inves de um batedor que se desloca

igualmente em toda sua vertical, tenhamos um batedor que atua com distintas velocidades

ao longo da vertical.

Consideremos por exemplo que o batedor e do tipo flap em que na linha d’agua, em z = 0,

ele tem velocidade

s(z = 0, t) = s0ω cos(ωt) (8.49)

e no fundo

s(z = −d, t) = 0 (8.50)

Isto e, a velocidade horizontal do batedor varia linearmente com z:

s(z, t) = s0(d+ z

d)ω cos(ωt) (8.51)

Assim, aplicando-se uma aproximacao linear para a condicao de contorno de igualdade da

componente da velocidade do corpo na direcao da normal a superfıcie corpo e da componente

da velocidade das partıculas fluidas na direcao da mesma normal a superfıcie do corpo, teremos

que, as velocidades horizontais das partıculas fluidas em x = 0 ao longo da vertical, deverao

ser iguais as velocidades instantaneas do batedor na direcao horizontal, porem aplicadas na

posicao media do batedor, x = 0:

∂φ(x = 0, z, t)

∂x= s0ω (

d+ z

d) exp iωt (8.52)


Com isto havera alteracoes em relacao ao que vimos para o caso anterior, refletidas nas

equacoes (8.45), (8.46) e (8.47) de tal maneira que, para o presente problema teremos:

−ik0a0

∫ 0

−d

G0Gidz −∞∑

j=1

mjaj

∫ 0

−d

GjGidz = ωs0

∫ 0

−d

(d+ z

d)Gidz (8.53)

Cujo resultado e, termpo para i = 0

−ik0a0N0 = s0ω

∫ 0

−d

(d+ z

d)G0(k0z)dz (8.54)

e para i 6= 0

−miaiNi = s0ω

∫ 0

−d

(d+ z

d)Gi(miz)dz (8.55)

ou

a0 = iA0s0ω

para i = 0 e para i 6= 0

ai = −Ais0ω

onde

Ai =1

mjNj

∫ 0

−d

(d+ z

d)Gj(mjz)dz (8.56)

Com isto podemos generalizar estes resultados dizendo que, se o batedor oscila em torno de

uma vertical com pequenas amplitudes

s(z, t) = s0(z)ω cos(ωt) (8.57)

as alteracoes acima se refletem na determinacao dos coeficientes Ai:

Ai =1

mjNj

∫ 0

−d

s0(z)Gj(mjz)dz (8.58)

8.11 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca

de Onda

Vimos acima o problema de radiacao. Um corpo oscila junto a superfıcie livre gera ondas

que se propagam carregando energia. Determinamos a solucao para o caso de um batedor de


ondas como exemplo basico. Originalmente nao existiam ondas no meio fluido. Vamos agora

estudar o problema da acao de ondas em um corpo fixo junto a superfıcie livre.

Consideremos um retangulo flutuando na superfıcie livre e determinemos a forca de onda

atuante sobre ele segundo a hipotese de Froude-Krylov, isto e, a forca devida a onda inci-

dente. Segundo a hipotese de Froude-Krylov, as forcas hidrodinamicas atuando em um corpo

flutuante devem-se unicamente a acao da onda incidente. Despreza-se o efeito da difracao das

ondas incidentes.

A forca hidrodinamica e calculada integrando-se as pressoes devidas as ondas in-

cidentes atuando sobre a superfıcie imaginaria dada pela posicao instantanea a

ser ocupada pelo corpo.

A pressao e dada pela Integral de Euler linearizada

p = −ρ∂φ∂t− ρgz

e a forca e entao

F = Fd + Fe = −ρ∫

S0

(∂φ

∂t+ gz

)nds

onde Fd representa a contribuicao dinamica

Fd = −ρ∫

S0

(∂φ

∂t

)nds

e Fe representa a contribuicao estatica

Fe = −ρ∫

S0

(gz)nds

Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a onda incidente:

φ = φinc = iA(z) ei(ωt−k0x)

onde, para aguas profundas:

A(z) =ζ0g

ωek0z

Entao

pd = −ρ∂φinc

∂t= −ρiA(z)iωei(ωt−k0x)

= ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)]


Figura 8.15: Cancelamento em Formas Retangulares

8.11.1 Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares

A figura (8.15) mostra o retangulo na superfıcie livre. O centro do retangulo encontra-se

localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas

para fora do meio fluido estao indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e limitado

pelos pontos A e B, S2 e limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.


Observando a figura (8.15) podemos escrever a expressao da forca hidrodinamica na forma

Fd = ωρ

∫ D

A

A(z) ei(ωt−k0x)nds

Fd = ωρ

∫ B

A

A(z) ei(ωt−k0x)i(−dz)

+ωρ

∫ C

B

A(z) ei(ωt−k0x)k(dx)

+ωρ

∫ D

C

A(z) ei(ωt−k0x)(−i)(dz)

Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos:

Forca Horizontal

Fd,x = ωρ

∫ −T

0

A(z) ei[ωt−k0(x0−b/2)](−)dz −∫ 0

−T

A(z) ei[ωt−k0(x0+b/2)]dz

Fd,x = ωρ

ei[ωt−k0(x0−b/2)] − ei[ωt−k0(x0+b/2)]

∫ 0

−T

A(z)dz

= ωρ

ei[(ωt−k0x0)+k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)−k0b/2]∫ 0

−T

A(z)dz

= ωρ

∫ 0

−T

A(z)dz ei(ωt−k0x0)

ei(k0b/2) − ei(k0b/2)

= 2iωρ

∫ 0

−T

A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)

e assim

Fd,x = 2iωρ

∫ 0

−T

A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)

Como, para aguas profundas

A(z) =ζ0g

ωek0z

resolvendo a integracao obtemos:

Fd,x = ρgb[1− e−k0T ]sin(k0b/2)

(k0b/2)[i ei(ωt−k0x0)] (8.59)


Para ondas longas

[1− e−k0T ] → 0

e a forca anula-se.

Observemos o caso em que x0 e nulo. A forca horizontal tem intensidade:

Fd,x,0 = ρgb[1− e−k0T ]sin(k0b/2)

(k0b/2)

e assim pode ser escrita como:

Fd,x = Fd,x,0 [i ei(ωt)] = Fd,x,0 ei(ωt−π/2) (8.60)

Podemos tambem observar que a forca horizontal e regida pelo seno de ωt. A forca horizontal

horizontal tem seu maximo defasado do maximo da onda. Vemos que a forca horizontal e

maxima quando temos um no com zero descendente em x0.

Forca Vertical

Fd,z = ωρ

∫ C

B

A(z) ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T )

∫ x0+b/2

x0−b/2

ei(ωt−k0x)dx

= ωρA(−T )i ei(ωt−k0x)

k0

|x0+b/2x0−b/2

=ωρA(−T )

k0

i ei[ωt−k0(x0+b/2)] − ei[ωt−k0(x0−b/2)]

=ωρA(−T )

k0

i ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)+k0b/2]

=ωρA(−T )

k0

i ei(ωt−k0x0) e−ik0b/2 − eik0b/2

e finalmente

Fd,z = 2ωρA(−T )

k0

ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (8.61)

Podemos observar que a forca vertical e regida pelo cosseno de ωt. Isto e, a forca vertical

passara por um maximo sempre que a amplitude da onda passar por um maximo em x0.

Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g ek0z/ω entao:

Fd,z = ρ g ζ0e−k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)

k0/2


Multiplicando e dividindo por b obtemos:

Fd,z = ρ g ζ0be−k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)

k0b/2

= ρ g b ζ(t, x0) e−k0T sin(k0b/2)

k0b/2

Esta expressao indica que a forca esta em fase com a elevacao da onda em x0 e tem uma forma

similar a uma forca hidrostatica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida

de:

1. o efeito do decaimento da pressao dinamica com a profundidade

2. da variacao da forma da onda e da pressao com o cosseno de k0x

Caso a onda seja muito longa

k0b/2 = 2πb/2/L0 → 0,

e−k0T = e−2πT/L0 → 1

esin(k0b/2)

k0b/2=

sin(w)

w→ 1

Assim,

Fd,z = ρ g ζ0b ei(ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0)

e a forca atuante tem uma semelhanca com uma forca hidrodstatica com variacao de afunda-

mento igual a ζ(t) no ponto x0.

8.11.2 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em um Retangulo

Acima obtivemos as seguintes expressoes para as forcas de Froude-Krylov sobre um retangulo:

Fd,x = ρgb[1− e−k0T ]sin(k0b/2)

(k0b/2)i ei(ωt−k0x0)

Fd,z = ρ g ζ0be−k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2)

k0b/2

Vemos que ambas expressoes contem o termo

sin(k0b/2)

k0b/2


Comok0b

2=

2πb

2L0

=πb

L0

onde L0 e o comprimento da onda, a relacao entre a boca do retangulo e o comprimento da

onda podera, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forca seja nula. Assim as

forcas horizontal e vertical terao amplitudes nulas se

b

L= n n = 1, 2, ....

8.11.3 Extensao da expressao de Froude-Krylov para o caso de um

Navio com fundo plano horizontal

Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direcao

do eixo longitudinal do navio. O problema e semelhante ao anterior, porem a boca torna-se

o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressao e constante. O sistema

de referencia agora e Oxyz com Ox na direcao longitudinal e Oy na direcao transversal. O

navio tem boca B e comprimento L. A expressao da forca vertical e dada por:

Fd,z = ωρ

∫S

A(z) ei(ωt−k0x)dxdy

como a pressao nao varia com a boca

Fd,z = ωρA(−T )B

∫L

ei(ωt−k0x)dx

A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e entao:

Fd,z = ωρA(−T ) eiωt

∫L

B(x) eik0xdx

= ωρA(−T ) eiωt

∫L

B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx

No caso de um casco em forma de caixa B(x) e constante e entao:

Fd,z = ωρA(−T )B eiωt

∫L

[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx

8.11.4 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em Estruturas

Semi-submersıveis

Vimos que e possıvel cancelar as forcas e ou os momentos hidrodinamicos em estruturas

flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da para estruturas em que alguns


membros afloram da superfıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente

no meio fluido, quando as ondas sao longas.

A figura 8.16 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submersıvel em um plano. As

colunas estao indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta na

cota z2. A parte superior do pontoon esta na cota z1. As bases das colunas tem comprimento

l1 e o comprimento do pontoon tem comprimento l2.

Figura 8.16: Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis


A pressao e composta por duas parcelas, estatica e dinamica. A essas soma-se a pressao

atmosferica, que normalmente e assumida ser igual a zero.

p = patm + pest + pdin

A pressao estatica e dada por:

p = ρgz

e com ela obtem-se que a forca de empuxo e o peso do volume imerso. Nas colunas a forca

de empuxo e:

E =

∫S

pestndS =

∫S

ρgz2(2l1 + l2)k−∫

S

ρgz1(l2)k

A pressao na parte superior do pontoon e menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre

uma forca para cima. A pressao dinamica e dada por:

pdin = −ρ∂φ(x, z, t)

∂t= −ρ∂φ(x, 0, t)

∂tek0z

e como o perfil da onda e dado por:

ζ = −1

g

∂φ(x, 0, t)

∂t= ζ0 cos(ωt− k0x)

entao∂φ(x, 0, t)

∂t= −gζ0 cos(ωt− k0x)

e

pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z

[Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imaginaria

na analise e somente no final pegar o modulo e a fase. Entretanto as conclusoes seriam as

mesmas]

Na situacao em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geometrico da plataforma,

toda a plataforma estara sujeita a pressoes como se estive toda ela em situacao de crista. A

situacao em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posicao x0, corresponde

a

Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 −2π

Lx0 = n · 2 · π

onde n e um inteiro. Se a onda e longa em relacao ao tamanho da estrutura, e a crista se

localiza no centro da estrutura, entao

l1 + l2 + l1L

<< 1


Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2πx− x0

L≈ 1− 2π

x− x0

Lem toda a regiao da estrutura, e

pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2π

x− x0

L)

Com a pressao dinamica determina-se agora as forcas nas colunas e no pontoon

fC1 =

∫l1

pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1

fC2 =

∫l1

pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1

fPON =

∫l2

pdin(z2)dx−∫

l2

pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1)

Como z1 e z2 tem valores negativos e o modulo de z2 e maior que o de z1 entao a forca

dinamica no pontoon aponta para baixo.

Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimensoes da

estrutura resolvendo-se as integrais das pressoes exatamente. Inicialmente com o volume, a

area de linha dagua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequencia

natural. Tenta-se fazer com que este o perıodo natural nao venha a estar contido na faixa de

frequencia de excitacao do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo perıodo

coincida com o perıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimensoes

principais. Caso as premissas impostas a volume, area de linha da agua e formato nao sejam

satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao inıcio do problema.

8.12 Ondas de Gravidade: Segunda Ordem

O problema a ser tratado neste capıtulo e o de propagacao de ondas de gravidade e seus efeitos,

quando encontram um corpo de grandes dimensoes. Trata-se da determinacao do potencial

de velocidades, resolvendo-se a equacao de Laplace em um domınio em que as fronteiras

superfıcie livre e superfıcie do corpo sao moveis e desconhecidas. Alem desta dificuldade, as

condicoes cinematica e dinamica na superfıcie livre contem termos nao lineares, bem como a

condicao cinematica na superfıcie do corpo.

Uma forma classica de se abordar o problema, em hidrodinamica de corpos flutuantes, da-se

atraves da linearizacao do problema. Para a onda incidente recai-se na solucao de Airy, en-

quanto para o problema de movimentos do corpo flutuante tem-se o capıtulo da hidrodinamica

conhecido como Comportamento de Sistemas Flutuantes no Mar. Com o avanco do conhec-

imento sofre as influencias de segunda ordem no problema e a necessidade de considera-las,


este antigo capıtulo passou a ser chamado de Teoria de Primeira Ordem do Comportamento

de Corpos Flutuantes.

Neste capıtulo concentramo-nos nos efeitos de segunda ordem. Tratamos o potencial de ve-

locidades, a superfıcie livre, os movimentos do corpo flutuante como a soma de duas parcelas,

que chamamos uma de primeira ordem e a outra de segunda ordem. Podemos dizer que as

grandezas de primeira ordem tem ”intensidades da mesma ordem”que a relacao entre a ampli-

tude da onda incidente dividida pelo comprimento da mesma onda. As grandezas de segunda

ordem tem ”intensidades da ordem”do quadrado da relacao amplitude de onda - comprimento

de onda. Como veremos o problema para obtencao das propriedades de primeira ordem, cor-

respondente ao problema de primeira ordem, e identico ao problema linearizado. No presente

capıtulo nos concentramos no problema de segunda ordem.

8.12.1 O Problema de Valor de Contorno

Para equacionar o problema utilizaremos um sistema de coordenadas Oxyz, com origem na

superfıcie livre em repouso, eixo Oz apontando para cima. O problema acima exposto e

representado pelo problema de valor de contorno para a funcao φ, cujo gradiente representa

o campo de velocidades:

1. em todo o domınio fluido deve ser satisfeita a equacao de Laplace, uma vez que supomos

que o fluido e incompressıvel e o escoamento irrotacional

∇2φ(x, y, z, t) = 0 (8.62)

2. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao cinematica imposta pelo movimento

afim das partıculas fluidas e a forma da superfıcie livre:

D

DtFsl(x, y, z, t) =

D

Dt(z − ζ(x, y, t)) = 0 (8.63)

onde

Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 (8.64)

e a equacao que define a superfıcie livre. Assim, a condicao cinematica na superfıcie

livre e dada por:

∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂z−∂ζ(x, y, t)

∂t−∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂x

∂ζ(x, y, t)

∂x−∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂y

∂ζ(x, y, t)

∂y= 0

(8.65)


3. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao dinamica imposta pela pressao at-

mosferica, uma vez que supomos que o fluido e ideal e incompressıvel, o escoamento ir-

rotacional e as forcas de corpo derivam de um potencial; entao pela Integral da Equacao

de Euler

patm = p(x, y, z = ζ, t) = −ρ[∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂t+

1

2| ∇φ(x, y, z = ζ, t) |2 +gz

](8.66)

4. no fundo, em z + d = 0∂φ

∂z= 0 (8.67)

5. na superfıcie do corpo deveremos satisfazer a condicao cinematica que traduz a afinidade

dos movimentos do corpo e das partıculas fluidas:

D

DtFc(x, y, z, t) = 0 (8.68)

onde

Fc(x, y, z, t) = 0 (8.69)

e a equacao que define a superfıcie do corpo.

Esta condicao corresponde a igualdade entre as componentes das velocidades do fluido

e do corpo na direcao da normal a superfıcie do corpo:

∂φ

∂n= vn = v · n = u · n = un (8.70)

O domınio fluido e limitado por −∞ < x <∞, −∞ < y <∞ e −∞ < z ≤ ζ excetuando-se

o interior do domınio limitado por Fc = 0.

8.12.2 Princıpios Basicos para Expansao em Ordens

Com a finalidade de se introduzir os conceitos de ordem de forma aplicada atemo-nos inicial-

mente ao tratamento de ondas de gravidade.

Supomos inicialmente que o potencial de velocidades, a elevacao da superfıcie livre e a pressao

sao somas de potencial, elevacoes da superfıcie livre e pressoes de diferentes ordens:

φ = φ1 + φ2 + φ3 + ..... (8.71)

ζ = ζ1 + ζ2 + ζ3 + ..... (8.72)


p = p1 + p2 + p3 + ..... (8.73)

Dizemos que φ1 e ζ1 sao de ordem ε, onde ε e a ordem da perturbacao do problema inicial

do sistema em equilıbrio estatico, em que as partıculas fluidas estao em repouso. Podemos

raciocinar como se ε fosse igual a relacao H/L, onde H e a altura da onda e L e o comprimento

da onda.

Assim, se ε = H/L e pequeno, os movimentos das partıculas fluidas sao pequenos e o problema

pode ser linearizado. Caso ε nao seja tao pequeno nao podemos mais linearizar o problema, e

temos que levar em consideracao esta influencia. A ideia da metodologia e admitir que haja

uma pequena influencia de segunda ordem dada pelo potencial φ2, que gera um movimento de

segunda ordem da superfıcie livre ζ2. Essas grandezas de segunda ordem sao supostas serem

de ordem ε2. Alem disto, nao se objetiva resolver um problema nao linear, porem resolver

um novo problema linear que corrija a solucao abandonando os efeitos de terceira ordem ε3

e superiores. Caso os efeitos de terceira ordem sejam importantes, temos entao que ir ate a

terceira ordem, abandonando efeitos de quarta ordem e superiores.

Aqui estamos estabelecendo a forma das ordens dos termos, mas em geral e possıvel obter

automaticamente as ”intensidades”das ordens superiores, a partir da primeira ordem, de

acordo com as equacoes que regem o problema.

Dizemos que duas funcoes f e g sao da mesma ordem (com notacao f = o(g)) se:

limε→0

f

g= 1

e que f e de ordem superior a g (com notacao f = O(g)) se

limε→0

f

g= 0

Uma outra questao que deve ser observada e o fato de termos funcoes que devem ser avaliadas

em superfıcies moveis. Nestes casos expandimos essas funcoes em torno da posicao media em

series de Taylor.

8.12.3 Aplicacao ao Problema de Ondas de Gravidade

Assim por exemplo se queremos avaliar o potencial de velocidades, sua derivada em relacao

ao tempo ou sua derivada em relacao as variaveis x e z na superfıcie livre fazemos:

φ(x, z = ζ, t) = φ(x, z = 0, t) + ζ∂φ(x, z = 0, t)

∂z+ . . . (8.74)


∂φ(x, z = ζ, t)

∂t=∂φ(x, z = 0, t)

∂t+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)

∂z∂t+ . . . (8.75)

∂φ(x, z = ζ, t)

∂z=∂φ(x, z = 0, t)

∂z+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)

∂2z+ . . . (8.76)

∂φ(x, z = ζ, t)

∂x=∂φ(x, z = 0, t)

∂x+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)

∂z∂x+ . . . (8.77)

Introduzindo as expansoes (8.71) e (8.72) teremos:

φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .

+(ζ1 + ζ2 + ζ3 + . . .)∂(φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .)

∂z

+1

2(ζ1 + ζ2 + ζ3 + . . .)2∂

2(φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .)

∂z2+ . . .

que desenvolvendo leva a:

φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t)

+ζ1∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+ ζ1

∂φ2(x, z = 0, t)

∂z+ ζ1

∂φ3(x, z = 0, t)

∂z

+ζ2∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+ ζ2

∂φ2(x, z = 0, t)

∂z+ ζ2

∂φ3(x, z = 0, t)

∂z

+ζ3∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+ ζ3

∂φ2(x, z = 0, t)

∂z+ ζ3

∂φ3(x, z = 0, t)

∂z

+1

2ζ21

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+

1

2ζ21

∂2φ2(x, z = 0, t)

∂z2+

1

2ζ21

∂2φ3(x, z = 0, t)

∂z2

+ζ1ζ2∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+ ζ1ζ2

∂2φ2(x, z = 0, t)

∂z2+ ζ1ζ2

∂2φ3(x, z = 0, t)

∂z2

+1

2ζ22

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+

1

2ζ22

∂2φ2(x, z = 0, t)

∂z2+

1

2ζ22

∂2φ3(x, z = 0, t)

∂z2+ . . .

e reagrupando por ordem:

φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t)+

φ2(x, z = 0, t) + ζ1∂φ1(x, z = 0, t)

∂z

+φ3(x, z = 0, t) + ζ1∂φ2(x, z = 0, t)

∂z+ ζ2

∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+

1

2ζ21

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+ . . . (8.78)

Utilizando procedimento similar tem-se:


• para a derivada em t∂φ(x, z = ζ, t)

∂t=∂φ1(x, z = 0, t)

∂t+

∂φ2(x, z = 0, t)

∂t+ ζ1

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂t

+∂φ3(x, z = 0, t)

∂t+ ζ1

∂2φ2(x, z = 0, t)

∂z∂t+ ζ2

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂t+

1

2ζ21

∂3φ1(x, z = 0, t)

∂z2∂t+ . . .

(8.79)

• para a derivada em x∂φ(x, z = ζ, t)

∂x=∂φ1(x, z = 0, t)

∂x+

∂φ2(x, z = 0, t)

∂x+ ζ1

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂x

+∂φ3(x, z = 0, t)

∂x+ ζ1

∂2φ2(x, z = 0, t)

∂z∂x+ ζ2

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂x+

1

2ζ21

∂3φ1(x, z = 0, t)

∂z2∂x+ . . .

(8.80)

• para a derivada em z∂φ(x, z = ζ, t)

∂z=∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+

∂φ2(x, z = 0, t)

∂z+ ζ1

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂2z

+∂φ3(x, z = 0, t)

∂z+ ζ1

∂2φ2(x, z = 0, t)

∂z2+ ζ2

∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+

1

2ζ21

∂3φ1(x, z = 0, t)

∂z3+ . . .

(8.81)

8.12.4 Mudanca de Notacao

Utilizamos ate aqui a notacao classica de derivadas parciais, utilizamos um subescrito para

denotar ordem e explicitamos as variaveis independentes. Com esta notacao a vizualizacao

das equacoes torna-se confusa. Tentando melhorar esta vizualizacao vamos usar a seguinte

notacao.

• Ordem

utilizaremos um superescrito entre parenteses

φ(1), φ(2), ζ(1), ζ(2)


• Derivadas

utilizaremos um subescrito

∂φ1(x, z, t)

∂x= φ(1)

x

∂φ2(x, z, t)

∂z= φ(2)

z

∂ζ1(x, z, t)

∂x= ζ(1)

x

etc.

8.12.5 Equacao de Laplace

Substituindo a expressao (8.71) na equacao de Laplace (8.62) podemos verificar que cada um

dos potenciais φi tem que satisfazer a equacao de Laplace, porem num domınio levemente

alterado:

∇2φ(1)(x, y, z, t) = 0 (8.82)

∇2φ(2)(x, y, z, t) = 0 (8.83)

No domınio −∞ < x <∞,−∞ < y <∞,−∞ < z ≤ 0.

8.12.6 Condicao de Contorno no Fundo

Substituindo a expressao (8.71) na condicao de contorno no fundo teremos:

∂φ

∂z=∂(φ(1) + φ(2) + . . .)

∂z= 0 (8.84)

e assim∂φ

∂z=∂φ(1)

∂z= 0 (8.85)

∂φ

∂z=∂φ(2)

∂z= 0 (8.86)

em z = −d.

8.12.7 Condicao de Contorno Cinematica na Superfıcie Livre

A equacao (8.65) representa a condicao de contorno cinematica a ser satisfeita na superfıcie

livre. Substituindo as expressoes (8.81), (8.80) e (8.72) em (8.65) obtemos a expressao da

condicao cinematica que deve valer em z = 0 contendo termos ate a segunda ordem:

ζ(1)t − φ(1)

z + ζ(2)t − φ(2)

z + φ(1)x ζ(1)

x − ζ(1)x φ(1)

zz +O(ε3) = 0 (8.87)


a ser satisfeita em z = 0, onde os termos foram agrupados por ordem.

A separacao por ordem nao e tao automatica como na equacao de Laplace e na condicao no

fundo, e sera feita adiante.

8.12.8 Condicao de Contorno Dinamica na Superfıcie Livre

A equacao (8.66) representa a condicao de contorno dinamica a ser satisfeita na superfıcie

livre. Substituindo as expressoes (8.81), (8.81), (8.80) e (8.72) em (8.66) obtemos a condicao

a ser satisfeita em z = 0 com termos ate a segunda ordem:

φ(1)t + gζ(1) + φ

(2)t + gζ(2) + ζ(1)φ

(1)tz +

1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] +O(ε3) = 0 (8.88)

onde os termos foram agrupados por ordem.

Neste caso tambem a separacao por ordem nao e tao automatica como na equacao de Laplace

e na condicao no fundo, e sera feita adiante.

8.12.9 Potencial de Ondas de Primeira Ordem

Se separarmos o problema de primeira ordem, teremos o problema de valor de contorno obtido

quando linearizamos o problema. Buscamos a funcao potencial de velocidades φ1 tal que em

todo o domınio fluido (com −∞ < z ≤ 0) temos que satisfazer a equacao de Laplace:

∇2φ(1)(x, z, t) = 0

Na superfıcie z = 0 devem ser satisfeitas a condicao cinematica e a condicao dinamica:

φ(1)z − ζ

(1)t = 0

ζ(1) = −1

gφ

(1)t

Combinando estas expressoes tem-se

φ(1)z +

1

gφ

(1)tt = 0 em z = 0 (8.89)

e no fundo, em z = −dφ(1)

z = 0

Em casos de profundidade infinita esta ultima condicao e modificada para

limz→−∞

φ(1)z = 0 (8.90)


A solucao deste problema de valor de contorno e dada por:

φ1 = iζ01g

ω

cosh(k0(z + d))


com

k0c1 − ω = 0

onde c1 e a celereridade da onda; assim

c1 =ω

k0

=L1

T

A superfıcie livre e definida por:

ζ(1) = ζ(1)0 cos(ωt− k0x)

A relacao entre a frequencia (temporal) e o numero de onda (frequencia espacial) e dada pela

equacao da dispersao:

ω2 = gk0 tanh k0d

e a pressao em qualquer ponto do meio fluido e dada por:

p(1) = −ρ[φ

(1)t + gz

]deve ser observado que assumimos que o numero de onda, a celeridade e o comprimento da

onda sao tambem expandidos em ordens.

Para sermos mais precisos devemos dizer que a pressao hidrostatica e de ordem zero. Assim,

p(0) = −ρgz

p(1) = −ρφ(1)t

8.12.10 Potencial de Ondas de Segunda Ordem

O potencial de primeira ordem satisfaz a equacao de Laplace, assim o de segunda ordem

tambem ira satisfazer

∇2φ(2) = φ(2)xx + φ(2)

zz = 0 (8.92)

De forma similar no fundo temos:

φ(2)z = 0 (8.93)

Na superfıcie livre temos as condicoes cinematica e dinamica. Utilizando-se as condicoes de

contorno na superfıcie livre (8.87) e (8.88), eliminando os termos de primeira ordem e de

ordens superiores a segunda, essas condicoes sao escritas na forma:

ζ(2)t − φ(2)

z = −φ(1)x ζ(1)

x + ζ(1)x φ(1)

zz (8.94)


φ(2)t + gζ(2) = −ζ(1)φ

(1)tz −

1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] (8.95)

A pressao hidrodinamica de segunda ordem e dada por:

p(2) = −ρφ(2)t − ρ

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] (8.96)

Da condicao dinamica de segunda ordem temos que o perfil da onda de segunda ordem e dado

por:

ζ(2) =1

g−φ(2)

t − ζ(1)φ(1)tz −

1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] (8.97)

Combinando as equacoes (8.94) e (8.95) chegamos a:

φ(2)tt + gφ(2)

z = −g(ζ(1)φ(1)zz − φ(1)

x ζ(1)x )− ζ

(1)t φ

(1)tz − ζ(1)φ

(1)tzt − φ(1)

x φ(1)xt − φ(1)

z φ(1)zt (8.98)

Substituindo o potencial de primeira ordem e o perfil da onda na expressao acima obtemos

φ(2)tt + gφ(2)

z = 3ζ(1)0 gω

k0ζ(1)0

sinh(2k0d)ei2(ωt−k0x) (8.99)

que sugere que a solucao seja da forma

φ(2) = a cosh[2k0(z + d)]ei2(ωt−k0x) (8.100)

Deve ser observado que a equacao (8.99) torna-se homogenea para o caso de aguas profundas.

Isto quer dizer que nao ha um potencial de segunda ordem.

φ(2)tt + gφ(2)

z = 0 (8.101)

Porem, mesmo assim, a superfıcie livre sofre uma deformacao de segunda ordem dada por:

ζ(2) =1

g−ζ(1)φ

(1)tz −

1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] (8.102)

sphaier - hidrodinâmica ii

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