hidrodinâmica: “fluidos perfeitos” e escoamentos (módulo 8)

Hidrodinâmica: “Fluidos Perfeitos” e Escoamentos (módulo 8)

SumSumáário:rio:�Cascata de modelos de Hidrodinâmica

� Modelo de “Fluido Perfeito”

� Equações de Euler

�2ª Forma do Teorema de Bernoulli (líquidos perfeitos)

�Linhas piezométrica e de energia� Piezómetro e tubo de Pitot

�Teorema de Bernoulli aplicado a líquidos reais

�Fórmula de Torricelli

�Jactos líquidos na atmosfera

�Vórtices

�Escoamentos Irrotacionais� Teorema de Bernoulli – 3ª Forma

Autor: Cláudia Menino

Responsável: Prof. A. B. de Almeida

Cascata de modelos da hidrodinâmica

Equações de Cauchy

Eq. de Navier - Stokes Eq. de Euler Eq. de Laplace

Eq. da Continuidade

Eq da Q.de Movimento

(Eq. Da Energia)

Modelo Geral Modelos Simplificados

“Fluido”incompressível

Fluido

Newtoniano

“Fluido perfeito”(incompressível e não viscoso)

“Fluido perfeito”

Escoamento

irrotacional

2

Cascata de modelos da hidrodinâmica

1 1 –– Modelo simplificado de Modelo simplificado de ““Fluido PerfeitoFluido Perfeito””

Em muitas situações é razoável desprezar o efeito da viscosidade (tensões tangenciais).

Ao anular a viscosidade nas equações de Navier-Stokesdesaparece o efeito das tensões tangenciais.

As partículas de fluido ficam sujeitas unicamente à acção das forças normais (pressões) e as equações da quantidade de movimento (equações de Navier-Stokes) transformam-se nas Equações de Euler.

3

Fluido Perfeito – Eq. de Euler

1 1 –– EquaEquaçções de ões de EulerEuler

� Hipóteses simplificativas� Incompressibilidade� Não há viscosidade

Equações de Navier – Stokes � Eq. de Euler (1755)

4

)0( =Vdiv�

)0( =µ

pgradgdt

Vd−=�

�

ρρ

Força de Inércia total

peso

Resultante da pressão

Hidrodinâmica – forma diferencialFluido Perfeito

� A equação de Euler pode ser modificada tendo em conta a caracterização do campo gravítico

5

� Trocando a posição de alguns dos seus membros ter-se-á:

hgradgg −=�

Aceleração da gravidade

dt

vd

gg

ah

pgrad

dt

vdhgradgpgradpgradg

dt

vd

��

�

�

�

1)( −=−=+⇔

⇔−=+⇔−=

γ

ρρρρ

vgradvdt

v

dt

vdNota

��

��

).(: +∂

=

(aceleração total ou material)

h=z

grad h g�


� Desenvolvendo as expressões, obtém-se:

6

dt

dv

gh

p

z

dt

dv

gh

p

y

dt

dv

gh

p

x

z

y

x

1

1

1

−=

+

∂

∂

−=

+

∂

∂

−=

+

∂

∂

γ

γ

γ

� As equações de Euler podem ser escritas em coordenadas intrínsecas. Estas coordenadas são definidas em cada ponto da trajectória de uma partícula por um sistema de eixos ortonormados com os seguintes versores:

,

,

,

tan

b

n

s

ib

atrajectóridacurvaturadecentro

paradirigidaatrajectóridaosculadorplano

nosaevanormalasegundoin

atrajectóriàgenteasegundois

��

��

�

�

��

=

−⇒

−⇒

n�

ni�

v�

si�

b

vector normal ao plano osculador, definido pelos vectores e s�

n�

n�

b�

s�


� Tendo em conta as coordenadas intrínsecas e admitindo que as trajectórias não se modificam com o tempo, as equações de Euler podem ser escritas do seguinte modo:

7

n�

ni�

v�

si�

b

r

v

gh

p

n

es

vv

t

v

gh

p

s

seobtendovveivv bnS

21)(

1)(

,0

−=+∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=+

∂

∂

−===

γ

γ

��

r – raio de curvatura da trajectória

V�

r�

Centro de curvatura

Hidrodinâmica – forma diferencialFluido Perfeito – 2ª Forma

� Equação de Euler segundo a direcção segundo “s” da trajectória

8

s

vv

gt

v

gh

p

s ∂

∂−

∂

∂−=+

∂

∂ 11)(

γ

s

v

∂

∂ 2

2

1

� O que permite obter a expressão da variação de carga hidráulica H � 22ªª Forma do Teorema de Forma do Teorema de BernoulliBernoulli, ao longo de cada trajectória de acordo com o modelo de “fluido perfeito”

t

v

gg

vh

p

s ∂

∂−=++

∂

∂ 1)

2(

2

γ

H

Hidrodinâmica – forma diferencialFluido Perfeito – 2ª Forma do teorema de Bernoulli

� A 2ª forma do Teorema de Teorema de BernoulliBernoulli aplica-se aos escoamentos consistentes com a hipótese simplificativa dos fluidos perfeitos� Escoamentos permanentes

9

t

v

gg

vh

p

s ∂

∂−=++

∂

∂ 1)

2(

2

γ

cteg

vh

p

g

vh

p

s

vdivet

v

=++⇒

⇒=++∂

∂⇒

===∂

∂

2

0)2

(

00,0

2

2

γ

γ

µ�

Conclusão: nos escoamentos de fluidos perfeitos a carga hidráulica mantém-se constante ao longo de cada trajectória

� Mas então e o que significam as várias parcelas da expressão referida?� cota geométrica e relação a um plano horizontal de referência

�representa a energia de posição da unidade de peso de líquido situada á cota z

� Altura piezométrica � representa a energia de pressão da unidade de peso de líquido submetido á pressão p

� Altura cinética � corresponde à energia cinética por unidade de peso

� Cota ou carga piezométrica

� No movimento permanente de líquidos perfeitos a carga total éconstante ao longo de uma trajectória (embora possa variar de trajectória em trajectória)

10

Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos

z

γ

p

g

V

2

2

zp

+γ

� Considere-se uma trajectória num escoamento da qual são conhecidos, nos respectivos pontos, as variadas cotas geométricas em relação a um plano horizontal de referência e os valores correspondentes aos campos de velocidade e de pressão.

� Admitindo que o escoamento é permanente e que o fluido pode ser considerado como perfeito, a carga hidráulica H mantém-se constante em todos os pontos da trajectória.

11

Linha piezométrica e linha de energia

Observação:

A 1ª Forma do Teorema de Bernoulli é aplicada a tubos de fluxo (caso particular de um volume de controlo finito). A 2ª Forma é aplicada a partículas de fluido ao longo da respectiva trajectória. Os valores das velocidades e das pressões correspondem, neste caso, aos valores dos respectivos campos nos pontos ao longo da trajectória.

� Se representarmos, na vertical de cada ponto da trajectória, os valores p/γ e (p/γ + z) obteremos a linha piezométrica

� Se representarmos, a partir de uma plano horizontal de referência os valores (p/γ + z) obteremos a cota piezométrica ou carga piezométrica

12

Linha piezométrica e linha de energiaCaracterização da carga hidráulica

� Se representarmos os valores V2/2g acima da linha piezométrica obtemos a linha de cargas totais ou linha de energia (por unidade de peso de líquido) cujas cotas em relação ao plano de referência representam os valores da energia mecânica total por unidade de peso de líquido, ou da carga total, correspondente à trajectória.

Observação:

O valor de H é constante ao longo de cada trajectória, mas pode ser diferente de trajectória para trajectória

H=cte

� No caso de líquidos perfeitos em movimento permanente a linha de energia que corresponde a uma determinada trajectória éhorizontal porque a carga total é constante ao longo dessa trajectória.

� Observação:

� A linha de energia está acima da linha piezométrica ou coincidente com esta quando a velocidade for nula.

� A linha piezométrica pode passar abaixo da trajectória se tomarmos como referência pressões relativas – o que não acontece nunca caso usemos pressões absolutas.

13

Linha piezométrica e linha de energia

2ª Forma do Teorema de Bernoulli

� A 2ª Forma do Teorema de Bernoulli é muito útil na compreensão da relação entre as três grandezas da carga hidráulica.

� Considere-se uma tubagem com secção constante e com tipográfica z do eixo a variar com a distância ao reservatório.

� Admitindo-se uma trajectória no interior da tubagem (eixo da tubagem) suficientemente afastada da parede para se considerar válida a aproximação de “fluido perfeito”, a carga hidráulica poderá ser considerada constante (aproximação simplificativa): a linha piezométrica está localizada a uma distância constante da linha de energia e a altura piezométrica serápositiva nos trechos em que o eixo esteja abaixo deste ou negativa (inferior à pressão atmosférica) quando estiver acima.

14

Linha piezométrica

Linha de energia

� Mas então, qual o significado físico da cota piezométrica?

� Considere-se, para responder a esta pergunta, um tubo fino com o topo em contacto com a atmosfera e cujo eixo énormal à trajectória num ponto P, pertencente ao eixo mas na base do tubo – o já conhecido tubo tubo PiezomPiezoméétricotrico ou tubo de Prandtl.

15

Linha piezométrica e linha de energiaPiezómetro (medição da pressão)

� A colocação deste tubo não altera a pressão no ponto P uma vês que se mantém inalterada a trajectória que passa pelo mesmo.

Linha piezométrica e linha de energiaPiezómetro (medição da pressão)

� Se considerarmos um outro ponto P’, muito próximo de P, mas situado dentro do tubo, a pressão deste será igual à de P

16

''

PP

PP z

pz

p+=+

γγ

� Atendendo a que o líquido no interior do tubo se encontra em repouso, verifica-se uma distribuição hidrostática de pressões, pelo que se verifica:

sendo S um ponto da superfície livre do líquido em contacto com a atmosfera

)(0'' relativaspressõespppoiszz

pz

patmSSS

SP

P ===+=+γγ

'PP zz ≈

17

Linha piezométrica e linha de energiaPiezómetro

� Assim podemos compreender como é que podemos determinar as pressões num fluido em escoamento utilizando um piezómetro

� A cota atingida pela superfície livre da água num tubo piezométrico(zs) corresponde à cota piezométrica na base do tubo e a distância na vertical entre esta base e a superfície livre no piezómetro representa a correspondente altura piezométrica (relativa).

Tubo piezométrico em laboratório

� Considere-se um tubo ligeiramente diferente do anterior: com um ramo em ângulo recto, que é colocado no ponto P da linha de corrente do escoamento tendo a abertura dirigida para montante donde vem o escoamento � este tubo é designado por tubo de tubo de

PitotPitot

18

Linha piezométrica e linha de energiaPiezómetro e tubo de Pitot

� Num ponto Q no interior do tubo, junto à entrada do mesmo, a velocidade é nula – velocidade de estagnação – e a pressão émaior do que a que ocorre no ponto P, situado na mesma linha de corrente, a montante, a uma distante pequena mas suficiente paraque o escoamento não seja perturbado.


� Ao aplicarmos o teorema de Bernoulli (*) obtemos que

o que permite concluir que a cota da superfície livre atingida no ramo do tubo de Pitot em contacto com a atmosfera (igual à cota piezométrica em Q) é também igual à carga total em P, HP.

� Deste modo, desprezando a pequena diferença de cotas entre P e Q, pode afirmar-se que a energia cinética é transformada em energia de pressão entre P e Q, sendo o aumento de pressão em Q dado por:

19

Q

QPP

PP z

p

g

Vz

pH +=++=

γγ 2

2

g

VppPPQ

2

2

=−γγ


� Um tubo de Pitot é, desta forma, um dispositivo utilizado para a medição da velocidade.

� Consiste em dois tubos: um para a medição da carga total, ligado a um orifício no extremo do perfil arredondado do ramo inferior, e outro que se destina a medir a cota piezométrica.

� A diferença de cotas da superfície do líquido atingidas nos dois tubos é a altura cinética V2/2g.

20

Teorema de Bernoulli aplicado a Líquidos Reais com viscosidade

� Quando o escoamento apresenta efeitos relevantes da viscosidade, o líquido diz-se “real”, em oposição a perfeito. Em escoamento permanente, a carga total diminui ao longo da trajectória, no sentido do escoamento, em consequência do trabalho realizado pelas forças resistentes viscosas. Diz-se então que há perda de craga ao longo da trajectória.

21

� A variação da cota da linha de energia na unidade de percurso (ie, variação da energia do líquido que se escoa, nas unidades de peso e de percurso) é igual ao trabalho das forças resistentes viscosas (também na unidade de peso e de percurso) o qual é designado por i i (perda de carga unitária).

Teorema de Bernoulli aplicado a Líquidos Reais

� De facto:

onde o sinal (-) se justifica por HH diminuir quando ss aumenta.

� A grandeza adimensional ii designa-se por perda de carga unitária (diminuição da carga total HH por unidade de percurso ao longo da trajectória).

22

ig

Vz

p

s−=

++

∂

∂

2

2

γ

� Integrando a equação acima entre dois pontos sobre a mesma trajectória, 11 a montante e 22 a jusante obtém-se…

dsiHHdsiHH ∫∫ =−⇔−=−2

1

21

2

1

12

… e este membro representa a perda de energia por unidade de peso (ou perda de carga) entre os

pontos 1 e 2 da trajectória

Teorema de Bernoulli aplicadoLíquidos Reais

� No caso de líquidos reais em movimento variável é necessário introduzir o termo

que é também válido para líquidos perfeitos em movimento variável

� representa a variação na unidade de tempo da quantidade de movimento por unidade de peso líquido.

� A expressão resultante da 2ª Forma do Teorema de Bernoulli é a seguinte:

aplicável a movimentos variáveis de líquidos reais ao longo de uma trajectória

23

t

V

g ∂

∂1

Jt

V

gg

Vz

p

s−

∂

∂−=

++

∂

∂ 1

2

2

γ

Variação da cota piezométrica segundo a normal às linhas de corrente

� Considere-se uma linha de corrente num escoamento permanente de um líquido (linha de corrente coincidente com a trajectória).

� Como será que varia a cota piezométrica segundo a normal à linha de corrente?

24

Hidrodinâmica – Forma Diferencial: Variação da cota piezométrica segundo a normal às linhas de corrente

� Equação de Euler segundo a direcção “n” da trajectória (linha de corrente):

� Esta equação traduz o efeito da curvatura de trajectória na distribuição da cota piezométrica segundo a normal.

Pode concluir-se que, no caso geral, a distribuição de pressões segundo a normal à trajectória não segue a lei hidrostática. Esta conclusão é muito importante!

Observação:

A equação segundo a normal mantém-se válida em escoamentos variáveis no caso das das trajectórias não se modificam com o tempo!! 25

r

V

gh

p

n

21−=

+

∂

∂

γ

Hidrodinâmica – Forma Diferencial: Variação da cota piezométrica segundo a normal às linhas de corrente

� Exemplo: escoamento permanente num plano vertical

26

h

0=z

Centro de curvatura

A

B

PBR

PBH

hA

hB

A pressão em B não obedece à lei hidrostáticaPBR>PBHEm resultado:

ctehp

≠+γ

Hidrodinâmica – Forma Diferencial: Variação da cota piezométrica segundo a direcção “radial” às linhas de corrente

� Variação segundo a direcção radial “r”

� Observação: o sentido positivo da coordenada e é contrário ao sentido positivo de n.

� Então:

E sendo PA=Patm = 0

altura de água do escoamento

27

02

>=

+

∂

∂−=

+

∂

∂

gr

Vh

p

nh

p

r γγ

AB

hp

hp

+=

+

γγ

>−>

BA

B

hhp

γ


� Para trajectórias rectilíneas, o raio rr é infinito, logo:

ou seja, a cota piezométrica é constante segundo qualquer linha normal às trajectórias (a pressão obedece, neste caso, à lei hidrostática de pressões em superfície normais às trajectórias).

28

0=

+

∂

∂z

p

n γ


� Se, para além de rectilíneas, são paralelas, a distribuição de pressões em planos normais às trajectórias é hidrostática

� Se as trajectórias forem rectilíneas, mas não paralelas, a distribuição de pressões é hidrostática sobre superfícies não planas, normais às trajectórias

29

Distribuição hidrostática de pressões


� Conclusão, para analisar o efeito da curvatura das trajectórias sobre a lei de distribuição de pressões, é necessário considerar três casos:

a) Trajectórias rectilíneas e paralelas;

b) Trajectórias rectilíneas e côncavas;c) Trajectórias rectilíneas e convexas.

(Concavidade e convexidade no sentido positivo das cotas geométricas)

30


� Vamos considerar, para os casos a) b) e c) dois pontos a igual distância, y, situados na vertical que passa pelo centro de curvatura (comum às várias trajectórias nos casos b) e c)).

� Tendo em conta a equação

e atendendo, nos casos b) e c) aos sentidos relativos da normal e da cota geométrica, verifica-se:

31

r

V

gz

p

n

21−=

+

∂

∂

γ

ypp

zp

zp

ypp

zp

zp

ypp

zp

zp

ABB

BA

A

ABB

BA

A

ABB

BA

A

+<⇔+>+

+>⇔+<+

+=⇔+=+

γγγγ

γγγγ

γγγγ

''''''

''''

''

'''

''

'


� As expressões anteriores mostram que a pressão cresce com a profundidade segundo a lei hidrostática de pressões quando as trajectórias são rectilíneas mas é maior ou menor do que a correspondente à referida lei, consoante as trajectórias tenham a concavidade ou a convexidade para cima.

� O efeito da curvatura na distribuição da cota piezométrica (e das pressões) ilustra-se pela posição da superfície livre do líquido nos piezómetros quando comparada com a superfície livre do escoamento. Descendo a base do tubo piezométrico, a posição da superfície livre dentro do tubo não se modifica no caso (a), sobe no caso (b) e desce no caso (c).

32

Aplicações na Engenharia

� Como exemplos de aplicações na engenharia temos:

� Determinação de força hidrodinâmicas actuantes em superfícies de estruturas em contacto com os escoamentos.

� Exemplo: laje de fundo de um canal curvo

33

Aplicação do Teorema de Bernoulli para líquidos perfeitos – fórmula de Torricelli

� Exemplo de aplicação do modelo de “fluido perfeito”

� O modelo aproximado de “fluido perfeito” é váldo nos casos em que o efeito de viscosidade não é relevante!� Exemplo: fluido em movimento afastado de fronteiras (parcelas sólidas

– gradiente de velocidade pouco relevante perto das paredes sólidas, o que implica um efeito pouco relevante da viscosidade).

� Com base na 2ª foma do teorema de bernoulli é possível deduzir a velocidade de um jacto líquido à saída de um reservatório para a atmosfera - Fórmula de Torricelli

34

Aplicação do Teorema de Bernoulli – fórmula de Torricelli

� Para deduzir a fórmula de Torricelliconsidere-se um reservatório de grandes dimensões dotado de um pequeno orifício numa das suas paredes laterais.

� Neste caso o movimento é considerado permanente visto que a velocidade de variação da cota da superfície é muito pequena.

� Não obstante, a massa líquida do reservatório participa no escoamento, o campo de velocidades só é relevante numa zona perto do orifício onde as trajectórias são convergentes. À saída do orifício o jacto sofre uma grande contracção cujo limite é uma secção em que as tangentes às linhas de corrente são praticamente rectilíneas e paralelas – a secção contraída.

� Questão: com base no termo da equação de Euler segundo , explique a razão da formação da secção contraída à saída do jacto

líquido.

n�

35

Aplicação do Teorema de Bernoulli – fórmula de Torricelli

� Em todos os pontos da secção contraída a pressão tem aproximadamente o mesmo valor da patmosférica (pressão relativa nula)

� Como o movimento é permanente e o efeito de viscosidade no interior do reservatório pode ser desprezado, pode aplicar-se a 2ª forma do teorema de Bernoulli, a uma trajectória fictícia entre dois pontos (A e P), logo

A – ponto da superfície livre (V=0)

P – ponto da secção contraída, situado sobre o eixo do jacto

Se H=zA-zP for a carga hidráulica no ponto P do eixo d orifício, obtém-se a fórmula de Torricelli (1604-1647):

Observação: para líquidos “reais”, sem a aproximação de “fluido perfeito”, a expressão deve incluir um coeficiente adimensional de correcção.

022

22

==⇒++=++γγγγ

APPB

PAA

A pp

g

Vz

p

g

Vz

p

HgV 2=

36

Jactos líquidos na atmosfera

� A trajectória de um líquido para a atmosfera a pós a saída por um orifício é designada por jacto. Os jactos líquidos podem ser encontrados em estruturas de lazer (ex.: fontes de água) e em estruturas hidráulicas de grande porte (ex.: descarregador de barragens de jacto livre). A determinação das trajectórias dos jactos é importante para a obtenção da zona de impacto e a protecção contra erosões.

37

Barragem de Cahora Bassa


� Considere-se um jacto líquido na atmosfera: desprezando as acções tangenciais entre o jacto e o ar (e se considerarmos a pressão nula no interior do jacto) a força resultante reduz-se ao próprio peso do líquido do trecho

� Considere-se um jacto de água que é lançado na atmosfera com a velocidade inicial V0.

� A equação que rege o escoamento é a Equação de Euler no plano x,z, sendo a pressão sempre nula.

38

z

x0

atmosfera

Jacto de água na atmosfera


� Aplicação da Equação de Euler:

� De acordo com esta equação, as partículas de fluido ficam sujeitas a forças de gravidade (peso) e forças de inércia (consideram-se forças tangenciais nulas)

� A equação é vectorial e tem duas componentes: segundo xx e segundo zz.

39

gdt

Vd �

�

ρρ =


� Tendo em conta o sistema de eixos definido, com origem no eixo do jacto temos as duas componentes:

A integração destas equações conduz a:

40

tesconsCeC

CtgVeCV

gdt

dVa

dt

dVa

Zx

zz

xx

tan

,

,0

21

21 +−==

−====

z

x0 xV0

zV0

0Vz

g

V

2

2

0

g

V z

2

2

0

g

V

2

2

g

V x

2

2

0

0=zα


� Se a velocidade na origem (x0=z0=0) tiver um valor V0 e fizer um dado ângulo inicial com a horizontal, α:

41

2

2

2

1sin,cos

2

1,

,,

tgtVztVx

aindaou

tgtVztVx

tgVVVV

oo

ozox

ozZoxx

−==

−==

−==

αα z

x0 xV0

zV0

0Vz

g

V

2

2

0

g

V z

2

2

0

g

V

2

2

g

V x

2

2

0

0=zα


� Se eliminarmos tt nas duas equações anteriores obtemos a equação que define a trajectória do jacto:

42

2

22

0 cos2x

V

gxtgz

αα −=

� De modo análogo podemos usar as equações anteriores para obter a carga hidráulica

g

V

g

Vz

g

V

g

V

g

Vz

VVVVV

comoeg

V

g

Vz

xzz

zxzx

zz

22

222

,22

2

0

2

2

0

2

0

2

22

0

222

2

0

2

=+⇔

⇔+=+⇒

⇒+=+=

=+

z

x0 xV0

zV0

0Vz

g

V

2

2

0

g

V z

2

2

0

g

V

2

2

g

V x

2

2

0

0=zα

Observação: a pressão actuante é considerada nula (patmosférica)


� Esta equação exprime pois a carga total em relação ao plano horizontal que passa pela origem (o plano de referência), carga essa que é constante.

43

g

V

g

Vz

22

2

0

2

=+

� A partir dela é possível saber, por exemplo, qual o ponto mais alto atingido pelo jacto – ponto onde Vz=0, e, consequentemente, V=Vx=V0x

g

V

g

V

g

Vz zx

máx222

2

0

2

0

2

0 =−=

É, deste modo, igual à altura cinética correspondente à componente vertical da velocidade na origem.

z

x0 xV0

zV0

0Vz

g

V

2

2

0

g

V z

2

2

0

g

V

2

2

g

V x

2

2

0

0=zα

Vórtices de eixo vertical

� O movimento de um fluido com trajectórias circulares e concêntricas é designado por Vórtice.

� Se os centros das trajectórias contidas nos diferentes planos estiverem sobre a mesma vertical, está-se na presença de um vórtice de eixo vertical.

� Os vórtices podem ocorrer na Natureza (tornados e trombas de água), em escoamentos junto a orifícios ou no interior de recipientes em rotação.

� A variação da cota piezométrica com o raio, num vórtice de eixo vertical obedece à seguinte componente da equação de Euler:

Observação: o sentido positivo de é oposto ao de , o que explica o facto do segundo membro da equação ser positivo! 44

n�

r�

γγ

21 V

gz

p

r=

+

∂

∂


� A componente segundo a vertical (binormal) é a seguinte:

Concluindo-se que a distribuição hidrostática de pressões mantém-se válida neste caso.

� Vórtice forçado – sob a acção de um binário exterior que mantém a rotação do vórtice como sendo um movimento de corpo rígido:

� Demonstra-se que, neste caso, as tensões tangenciais são nulas � a equação de Euler (fluido perfeito) é válida.

Exemplo: líquido no interior de um recipiente cilíndrico que roda com velocidade angular constante em torno do eixo vertical.

45

0=

+

∂

∂z

p

z γ

rwV =


� A integração da equação de Euler segundo r conduz à seguinte distribuição de pressões:

Que mostra que as superfícies de igual pressão (isobáricas) são parabolóides de revolução. A superfície livre em contacto com a pressão atmosférica é uma isobárica � a superfície livre éparabólica.

� A carga hidráulica é constante ao longo de cada trajectória circular (2ª forma do teorema de Bernoulli)

Observação: para cada trajectória (valor específico para V) existe um valor de H. 46

g

rwzz

p

2

22

0 +=+γ

g

rwzH

2

22

0 += QUINTELA 4.12

Vórtice livre

� O movimento de rotação de um fluido que ocorre livremente em torno de um eixo, após ter causado a actuação dos binários que o originaram, é designada por vórtice livre.

� Neste caso, a carga hidráulica H é constante em todos os pontos, o que implica a seguinte lei de velocidade (tangencial):

Sendo KK uma constante.

47

r

KV =

Vórtice livre

� De acordo com a equação de Euler

E integrando entre dois pontos do escoamento com trajectórias diferentes

� A carga total H, em todos os pontos, é igual à cota da superfície livre do líquido a uma distância infinita do eixo.

� A superfície livre é um hiperbolóide de revolução, tendo por eixo o eixo do vórtice:

48

3

2

rg

Kz

p

z=

+

∂

∂

γ

cterg

Kz

p=++

2

2

2γ

Hrg

Kz =+

2

2

2

Vórtice livre

� Num vórtice livre, a superfície livre do líquido baixa na aproximação do eixo (onde a velocidade seria infinita) e não o atinge.

� Quando a zona central do vórtice está preenchida por líquido, obtém-se um vórtice misto.

� Nos tornados ou nas trombas de água, o escoamento na zona central também ocorre sob a forma de vórtice forçado, combinado com um movimento axial

� FIGURA 4.17 QUINTELA

49

Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)

� Um escoamento é designado como irrotacional quando o respectivo campo de velocidades obedece, simultaneamente, às seguintes duas condições:

condição de incompressibilidade

condição de irrotacionalidade

� Estas condições estão associadas a uma aproximação que corresponde à anulação do termo das tensões tangenciais das equações de Navier-Stokes e à simplificação na obtenção de soluções.

50

0)( =Vdiv�

0)( =Vrot�

Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)

� Recorda-se que:

51

zyx

xyxzyz

VVV

zyx

kji

Vrot

ou

ky

V

x

Vj

z

V

x

Vi

z

V

y

VVVrot

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂=×∇=

��

�

��

Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)Teorema de Bernoulli (3ª Forma)

� Substituindo na equação de Euler obtém-se:

sendo

Tendo em conta que

obtém-se a seguinte expressão (3ª Forma do Teorema de Bernoulli)

válida para todos os pontos do escoamento Irrotacional

52

dt

Vd�

02

2

=

+++

∂

∂

g

Vh

pgrad

t

V

γ

�

hgradgg −=�

Φ= gradV�

tg

Vh

pgrad

∂

Φ∂−=

++

2

2

γ


� Em escoamentos Irrotacionais permanentes

� Conclusão: nos escoamentos Irrotacionais, a carga hidráulica H0 éuma constante para todos os pontos do escoamento! Conhecido o valor de H0 num ponto do escoamento, esse será o valor de H0 em todos os restantes pontos do escoamento!

(3ª Forma do Teorema de Bernoulli para escoamentos permanentes)

53

0

2

2

tan2

,02

Hteconsg

Vh

p

eg

Vh

pgrad

==++

=

++

γ

γ


� Equação de Laplace

� Substituindo

Na equação da continuidade obtém-se a seguinte condição:

O potencial de velocidade φ obedece à equação de Laplace!

Esta equação é uma equação fundamental para a obtenção das soluções dos campos de velocidade e de pressão em escoamentos irrotacionais (potenciais)

54

Φ= gradV�

0)( ==Φ= φlapgraddivVdiv�

02

2

2

2

2

2

=∂

Φ∂+

∂

Φ∂+

∂

Φ∂

zyx


� Processo de análise dos escoamentos Irrotacionais

� Resolução da equação de Laplace

� Obtenção do campo de velocidades

� Obtenção do campo de pressões (escoamento permanente)

Sendo H0 a carga hidráulica

� Conclusão: nos escoamentos irrotacionais uma única equação escalara – Equação de Laplace – permite a análise dos campos de velocidade e de pressão

55

),,,(0 tzyxsoluçãolap Φ→=Φ

Φ= gradV�

hg

VHzyxp −−=

2),,(

2

0


� Exemplo: escoamento em torno de um

ângulo recto� Função potencial de velocidade φ

� Campo de velocidades

� Campo de pressões (admite-se que o plano é horizontal)

56

( )22

2yx

a−=Φ

xax

Vx =∂

Φ∂= ya

yVy −=

∂

Φ∂=

)(2

).(2

222

0

222

0

0

2

yxapp

VVV

H

BernoulliTHcteg

Vh

p

yx

+−=

+=

==++

ρ

γ

- valor da carga hidráulica no ponto (0,0)


� Exemplos de redes isométricas (φ, χ)� O caudal entre duas linhas de corrente mantém-se constante� Quando as linhas de corrente se aproximam, a velocidade média

aumenta, e quando se afastam diminui� Nos pontos angulosos (duas tangentes) das linhas de corrente a

velocidade do escoamento num ponto é:a) Nula – ponto de estagnaçãob) infinita

57


� Mais alguns exemplos

de redes isométricas (φ, χ)

58

Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)Escoamentos planos(x,y)

� A equação de Laplace possui duas famílias de soluções que são ortogonais entre si:� Uma das funções é a função potencial de velocidade, φ

� A outra solução é a função χ designada por função de corrente

59

As soluções podem ser representadas por linhas de

igual valor de φ e de χ (linhas ortogonais)

x

y

1Φ

3Φ2Φ4Φ

6Φ

5Φ

1χ2χ

3χ

5χ

4χ


� As linhas de χ constante correspondem a linhas de corrente do escoamento. Estas linhas são ortogonais às equipotenciais φ:

� Observação:

A função χ obedece também à equação de Laplace � lap χ =0

60

yV

xV

y

x

∂

∂−=

∂

∂=

χ

χ

Linha de corrente

χ = cte

Linha equipotencial

φ = cte

V�


� Num escoamento plano, a diferença entre dois valores de χcorresponde ao valor do caudal por metro de largura que se escoaentre as respectivas linhas de corrente:

� Sendo o caudal constante entre duas linhas de corrente, conclui-se o seguinte:� Quando as linhas de corrente se aproximam, a velocidade aumenta;� Quando as linhas de corrente se afastam a velocidade diminui.

61

q = χ2- χ1

(p.u.largura)2χ

1χ


� Exemplos de escoamentos irrotacionais simples� Escoamento uniforme

U,V – componentes de velocidade

segundo xx e yy

� Nascente (poço)

Nascente ou poço consoante o sinal de q

(q – caudal por metro, ao longo do eixo)

� Vórtice potencial rectilíneo (vórtice livre)

Γ - circulação em torno do eixo do vórtice62

yVxU +=Φ

rq

log2Π

=Φ

θΠ

Γ=Φ

2

Propriedades das soluções da equação de Laplace

� Princípio da solidificação - princípio de Rankine

� Ao sobrepor soluções pode ser obtida uma linha de corrente fechada que separa duas zonas de escoamento: um escoamento exterior e umescoamento interior. O resultado corresponde à solução de um escoamento em torno de um corpo sólido com a forma da rgiãoisolada (escoamento interno). A forma do corpo pode ser obtida por sobreposição de soluções simples.

� [exemplo 2]

63


� Exemplo 21 – a sobreposição de um escoamento uniforme

com uma nascente e um poço origina uma linha de corrente fechada;

2 – as linhas de corrente exteriores a essa linha fachada correspondem ao escoamento perturbado por um corpo com a forma indicada (sombreado). Essa forma pode ser “construída”através do escoamento simples sobreposto.

Observação: a zona exterior do escoamento potencial pode ser obscurecida e ser considerada como um corpo sólido (exemplo: uma secção do pilar de uma ponte).

64


� Exemplo 3:

A selecção de nascentes e poços com caudais (intensidades) adequadas permite “construir” uma asa (ou uma pá de máquina) envolvida por um escoamento).

65

nascentes poços


� Escoamento em torno de um cilindro

1 – Dipolo� Sobrepondo uma nascente com um poço, com idênticos valores de

q, e impondo que a distância d entre estes tenda para zero mantendo constante o valor de q.d, obtém-se um escoamento irrotacional designado por dipolo

2 – Cilindro� Sobrepondo um dipolo com um escoamento uniforme obtém-se o

escoamento em torno de uma linha de corrente fechada (circunferência) que pode ser considerada como a superfície limítrofe de um cilindro.

66


3 – ResultadoSobreposição de um escoamento

uniforme (velocidade Vx=U) com um dipolo � aparecimento de uma linha de corrente fechada � superfície de um cilindro hipotético com eixo normal ao plano.

� Malha resultante das linhas de corrente e das equipotenciais. As velocidades e as pressões em torno do cilindro podem ser obtidas!

� Não esquecer: estas linhas são ortogonais!

67


� Método da imagem� O principio da sobreposição permite resolver de forma simples alguns

problemas de escoamentos condicionados por paredes planas. Um plano sólido (linha de corrente através da qual não pode passar fluido) pode ser considerado um eixo de simetria).

� O efeito desse eixo de simetria no escoamento em estudo pode serobtido através da sobreposição deste com um outro escoamento idêntico mas colocado numa posição simétrica (imagem), relativamente à parede (eixo de simetria)

� Exemplo:

68


� Obtenção de soluções de equação de Laplace� Para além das soluções analíticas de escoamentos simples, a obtenção das

funções φ e χ que obedecem à equação de Laplace, tendo em conta as condições de fronteira (nos limites da zona do escoamento) pode ser obtida por meio de métodos numéricos e computacionais.

69

Exemplo: linhas de corrente obtidas em computador num canal com uma soleira descarregadora a jusante; a velocidade do escoamento aumenta na zona próxima do descarregador (as linhas

de corrente convergem).


� Condições de fronteira� Na integração da equação de Laplace não é imposta a condição de

velocidade nula ao longo das superfícies sólidas!

� No caso de superfícies não porosas pode ser imposta a condição da componente da velocidade normal à superfície ser nula

sendo a direcção normal à superfície sólida.

Em outras zonas das fronteiras poderá ser especificado o valor de χ (ou de φ)70

n�

0=∂

∂−=

nV n

χ

Vórtice de Rankine

� Os escoamentos em vórtice podem ocorrer na Natureza (tornados e trombas de agua na atmosfera) e em instalações hidráulicas

� É o caso do esvaziamento de um reservatório por um orifício no fundo, onde há tendência para a formação de um vórtice de Rankine � combinação de um vórtice livre com um movimento radial e vertical e um vórtice forçado na zona central.

71

Vórtice de Rankine

� No esvaziamento de um reservatório tende a formar-se numa zona afastada do eixo do orifício um escoamento irrotacional (aceleração a partir do repouso) com um momento angular constante (região I)

72

rr

KV

Π

Γ==

2θ

� Pela 3ª forma do Teorema de Bernoulli obtém-se a lei da altura de água h(r) (perfil de tipo hiperbólico):

Sendo Γ a “circulação” em torno do eixo do orifício e h0 a altura de água longe deste (r=R)

22

2

08

)(rg

hrhΠ

Γ−=

Vórtice de Rankine

� A velocidade num vórtice potencial é puramente tangencial…

73

Vórtice de Rankine

� Os efeitos de viscosidade (tensões viscosas) aumentam à medida que rr decresce. A partir de um determinado valor de rr a tensão tangencial é suficiente para mover a massa de líquido do interior de acordo com um “vórtice forçado” (núcleo de vórtice) com um vector vorticidade constante e um perfil parabólico (zona II).

� Observação: este tipo de vórtice pode propiciar a entrada de ar nas tubagens e provocar danos relevantes.

74

Vórtices (cont.)

� A sobreposição do vórtice potencial rectilíneo (conservação da quantidade de movimento angular) com o escoamento radial para o orifício (poço) resulta num escoamento com linhas de corrente (trajectórias) rectilíneas:

75

rkm

krm

ln

ln

−=

+=Φ

θχ

θ

Irrotacionalidade - Validade

� Validade da aproximação da irrotacionalidade:� A não consideração dos efeitos da viscosidade implica (à semelhança do

que também acontece com a aproximação de “fluido perfeito”) a perda de validade dos escoamentos irrotacionais nas zonas sob forte influência de paredes sólidas: a condição de aderência deixa de ser imposta e são nulas as tensões viscosas.

� A aproximação será especialmente válida em escoamentos que aceleram a partir da situação em repouso (com ) e em zonas afastadas das fronteiras sólidas.

• Exemplo: zonas de aproximação a canais descarregadores a partir de albufeiras

76

00 =⇒= VrotV��

Irrotacionalidade - Validade

� Limitação importante dos modelos aproximados irrotacionais� A não consideração da viscosidade e da condição de aderência nas

paredes sólidas pode conduzir a consequências importantes nos escoamentos; uma dessas consequências é a conclusão que a força resultante exercida pelo escoamento num corpo imerso é nula (Paradoxo d’Alembert).

� Nos escoamentos reais (manifesta-se a viscosidade, obedecendo àcondição de aderência) o efeito de parede sólida pode modificar significativamente o comportamento do escoamento, nomeadamente o campo de pressões em torno de um corpo sólido

• Exemplo: ocorrência do fenómeno de separação

� A capacidade actual dos computadores já permite que as equações de Navier-Stokes possa ser uma plataforma para a análise dos escoamentos complexos, tendo em conta a condição de aderência

• Exemplo: escoamentos em torno de aviões

77

Líquidos perfeitos e líquidos reaisCamada limite. Separação

� Considere-se o escoamento irrotacional em torno de um cilindro recto, de directriz circular e eixo normal à direcção do escoamento incidente (paralelo e uniforme). A velocidade é nula e a pressão máxima, nos pontos A e D (pontos deestagnação); a velocidade é máxima e a pressão mínima, nos pontos B e C.

� Conclusão: o escoamento é simétrico, o campo de pressões ésimétrico e, a força resultante sobre o cilindro é nula! (Paradoxo)

78

Escoamento irrotacional em torno de um cilindro


� A condição de irrotacionalidade permite o deslizamento das partículas líquidas sobre a parede sem se desenvolverem tensões tangenciais. Não haveria, assim, perda de energia. Se o escoamento ocorre no plano horizontal, o excesso da energia de pressão em A em relação ao escoamento uniforme incidente transformar-se-ia integralmente em energia cinética até B e C; a energia cinética em B e C voltaria a ser recuperada na totalidade, como energia de pressão, no percurso de B para D e de C para D (o campo de pressões é simétrico e a força resultante é nula).

79

Escoamento irrotacional em torno de um cilindro


� O escoamento de um líquido real em torno do cilindro (e ao longo de qualquer parede) difere do obtido pela aproximação irrotacional (potencial); de facto, a velocidade (relativa) de um líquido real em contacto com a parede sólida é nula, o que implica a existência de uma região do escoamento com forte gradiente de velocidade segundo a normal à parede e, portanto, o aparecimento de tensões tangenciais viscosas.

� Surge, então, o conceito de camada limite: zona adjacente àparede sólida onde os efeitos viscosos são importantes. Exteriormente à camada limite, onde os gradientes da velocidade são pequenos, o escoamento pode ser estudado como se fosse perfeito ou, eventualmente, irrotacional.

80


� EXEMPLO: escoamento em torno de uma asa

81


� No contacto entre o líquido em movimento e a parede sólida origina-se o desenvolvimento da camada limite,cuja espessura cresce para jusante.

82

Camada limite provocada por uma placa plana, fina e paralela à velocidade do

escoamento


� Numa conduta ou num canal com origem num reservatório, a camada limite desenvolve-se a partir da entrada e, a determinada distância ocupa a totalidade da secção.

� O crescimento da espessura da camada limite é menor quando as pressões no exterior a ela decrescem no sentido do escoamento.

83

Progressão da camada limite no trecho inicial de uma conduta


� Assim, se um trecho curto de escoamento nas proximidades de uma parede for acelerado a partir do repouso (pressões decrescentes para jusante), poderá admitir-se que o escoamento équase irrotacional, pois a espessura da camada limite poderá ser pequena. Este procedimento não é válido no caso de escoamento retardado, em que a espessura da camada limite tende a crescer mais rapidamente, podendo ainda dar lugar à separação da camada limite, ou simplesmente separação (a estudar a seguir).

84

Progressão da camada limite no trecho inicial de uma conduta


� A fim de ilustrar o fenómeno da separação, considere-se o movimento de um líquido real em torno de um cilindro. Entre A e B e entre A e C a camada limite vai crescendo mas é sempre muito pequena.

� Entre B e D, e C e D, a pressão tende a crescer no sentido do escoamento (gradiente adverso da pressão), a espessura da camada limite cresce rapidamente e a pressão vai retardar a velocidade do escoamento no seu interior e inverter o respectivosentido: ocorre a separação do escoamento e a formação de uma zona especial rotacional - esteira 85

esteira


86

SEPARAÇÃO NUMESCOAMENTO EMTORNO DE UM CILINDRO

SENTIDO DO ESCOAMENTO


87


88


� A energia cinética é máxima em B e C e tende a ser recuperada como energia de pressão de B e C para D. O escoamento separa-se da parede em dois pontos simétricos, onde se originam vórtices (em sentidos contrários em cada um dos pontos de separação). Em determinadas condições, os vórtices desprendem-se e deslocam-se dando lugar a uma esteira.

89Esteira a jusante de um cilindro

esteira


� Exemplo: fenómeno de separação numa conduta divergente� Quando a separação ocorre, as fronteiras sólidas deixam de

corresponder a linhas de corrente exterior;

� A separação é inconveniente devido ás perdas de energia a que dálugar no transporte de líquidos e pelas vibrações que pode originar –uma forma de reduzir esta últimas é conferir formas apropriadas, as ditas hidrodinâmicas.

90

Distribuição da velocidade num canal divergente


91

A velocidade é nula na paredesólida.A pressão aumenta no sentido do escoamento e faz retardar e até inverter o sentidodas camadas de fluido próximasda perede sólida.

Zonas Separadas

LÍQUIDO REALCondição de aderência


92

ESCOAMENTO SEPARADO

DIVERGENTE RISCO DE SEPARAÇÃOZona quase irrotacional

Outras aproximações da hidrodinâmica

� Escoamentos em meios porosos – Modelo de Darcy� Muitos dos escoamentos em solos naturais ou em meios artificiais

obedecem à lei de Darcy:

Em que é a velocidade aparente (ou macroscópica) do escoamento –velocidade nos poros dividida pela porosidade do meio e, desprezando a altura cinética,

� A constante de proporcionalidade K é designada por coeficiente de

permeabilidade.

93

V�

Φ∇−= KV�

γ

ph +=Φ carga hidráulica


� Condição da incompressibilidade:

� Conclusão: este tipo de modelo aproximado de escoamento obedece também à equação de Laplace � malhas isométricas

� Observação: o modelo de Darcy é muito utilizado na engenharia civil (mecânica dos solos, geotecnia) nomeadamente na análise de fundações e na estabilidade de barragens de aterro.� Na realidade, o escoamento nos poros do solo é viscoso (laminar) e

não irrotacional!!

94

0=Φ−= lapKVdiv�


� Escoamento sem inércia (escoamento lento)

� Quando os escoamentos são muito lentos os termos de inércia na equação de Navier-Stokes poderão ser desprezados:

• Exemplo de aplicação: estudo de movimentos de pequenas partículas sólidas no ar ou na água � Solução de Stokes

95

Vlaphp

grad�

µγ

=

+

Modelos aproximados

� A aproximação de “fluido perfeito” permite um conhecimento de algumas características importantes dos escoamentos.� Salientam-se os efeitos das curvaturas das linhas de corrente

� A consideração da viscosidade nula ou a hipótese da irrotacionalidade podem ser aceitáveis em alguns tipos ou zonas de escoamentos, nos quais a influência das superfície sólidas não seja significativa, ou não estejam instaladas tensões tangenciais relevantes.

96

Modelos aproximados

� A aproximação do escoamento irrotacional (potencial) permite, quando válida, a obtenção dos campos de velocidade e de pressão, a partir do conhecimento de funções escalares (φ ou χ) associadas a escoamentos biou tridimensionais (2D ou 3D).� Salienta-se a adopção destes métodos na análise das turbo-máquinas e na

aeronáutica

� Os efeitos da viscosidade junto das paredes sólidas (formação da camada limite) conduz em muitas situações práticas relevantes a comportamentos que as afastam significativamente das soluções aproximadas� Exemplo: a ocorrência de separação

� A capacidade computável actual permite a obtenção de soluções numéricas aplicáveis a casos práticos com base nas equações de Navier– Stokes (2D e 3D)

� A instabilidade do escoamento (ocorrência de escoamentos turbulentos) exige, contudo, modificação das equações de Navier - Stokes

97

hidrodinâmica: “fluidos perfeitos” e escoamentos (módulo 8)

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