Solução Geral de uma Equação Diferencial

● Solução da equação homogênea

● Solução da equação particular

● Solução completa

● Diagrama de Blocos

Solução da Equação Particular

● Excitação externa não nula

● Não há método de solução geral

● É possível um método considerando restrições– a derivada da excitação se anula a partir de um índice

– as derivadas se repetem a partir de um índice

– nesse caso, a solução particular é encontrada como

conhecido como método dos coeficientes indeterminados.

���� +++= )()()()( tuCtuBtAuty p

Variáveis Complexas

Representação no plano complexo

111 ωσ jp +=

ωj

(Real)

(Imag)

σ1σ

1ωj 1p

θ

r

Variáveis Complexas

Módulo de uma grandeza complexa

Angulo de uma grandeza complexa

ωσ jp += 22 ωσ +=r

ωσ jp +=σωθ ==

real parte

imaginária partetg

= −

σωθ 1tg

Representação Variáveis Complexas

ωσ jp +=

Componentereal

fase

Conjugado ωσ jp −=*

Representaçãoretangular

θ rp =Representaçãopolar

módulo

Componenteimaginária

Conversões retangular/polar

Retangular p/ polar

Polar p/ retangular

)(1

22

σωθ

ωσ−=

+=

tg

r

θωθσ

sen

cos

r

r

==

Operações Complexas

● Soma e subtração

111 ωσ jp +=

222 ωσ jp +=)()( 2121 ωωσσ ±+±= jp±

● Multiplicação e divisão

111 θrp =

222 θrp =)( )/*( 2121 θθ ±= rrp

Na forma retangular

Na forma polar

/*

Função Complexa

imagreal jGGsG +=)(

função de umavariável complexa

funçãocomplexa

apresenta parte reale parte imaginária

ωj

σ1σ

1ωj 1p

θ

r

ωj

σrealG

imagjG

( )realimag GGatan

G

( )sG

Forma exponencial

Com base na fórmula de Euler

define-se a forma exponencial

θθθ sencos je j +=

θθθθ sencos rjrrre j +==

Solução da Equação ParticularMétodo dos coeficientes indeterminados

Determinar a solução particular

tetydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd 32

2

3

3

4)(50)(

37)(

8)( −=+++

)(12)(

4)(3

3

tAuetu

etut

t

=−=

=−

−

�)()( tAuty =

tetydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd 32

2

3

3

4)(50)(

37)(

8)( −=+++

soluçãoparticular

tAety 3)( −=

tAety 33)( −−=�

tAety 39)( −=��

tAety 327)( −−=���

( ) ( ) ttttt eAeAeAeAe 33333 4503379827 −−−−− =+−++−

4501117227 =+−+− AAAA4

1−=A

tety 3

4

1)( −−=

Solução da Equação Particular

Determinar a solução particular

ttydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd3cos4)(50

)(37

)(8

)(2

2

3

3

=+++

)(3cos36)(

3sen12)(

3cos4)(

tAuttu

ttu

ttu

=−=−=

=

��� tBtAty 3sen3cos)( +=

tBtAty 3sen3cos)( +=

tBtAty 3cos33sen3)( +−=�

( ) ( )( ) ( ) ttBtAtBtA

tBtAtBtA

3cos43sen3cos503cos33sen337

3sen93cos983cos273sen27

=+++−++−−+−

soluçãoparticular

tBtAty 3sen93cos9)( −−=��

tBtAty 3cos273sen27)( −=���

ttydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd3cos4)(50

)(37

)(8

)(2

2

3

3

=+++

( ) ( )( ) ( ) ttBtAtBtA

tBtAtBtA

3cos43sen3cos503cos33sen337

3sen93cos983cos273sen27

=+++−++−−+−

( ) 05011172273sen =+−− BABAt

( ) tABABt 3cos45011172273cos =++−−

48422

02284

=+−=−−

BA

BA 188522−=A

188584=B

ttty 3sen1885

843cos

1885

22)( +−=

Matlab: processamento simbólico

● Comando básico: sym

● Cálculo de derivada: diff

● Cálculo de integral: int

● Solução de sistemas algébricos: solve

● Solução de eq. diferenciais ordinárias: dsolve

∫=

++=

+=

dtfi

dt

fd

dt

dffy

tbtaef t

2

2

))sen()cos(( ωωω

Programa simbólico

● t = sym(’t’);

● w = sym(’w’);

● a = sym(’a’);

● b = sym(’b’);

● % syms t w a b;

● f=exp(w*t)*(a*cos(w*t)+b*sin(w*t));

● dfdt=diff(f,t);

● d2fdt2=diff(dfdt,t);

● y=f+dfdt+d2fdt2;

● intf=int(f,t);

Exemplo anterior

● t = sym(’t’);

● A=sym(’A’);

● B=sym(’B’);

● u=4*cos(3*t);

● dudt=diff(u,t);

● y=A*u+B*dudt;

● dydt=diff(y,t);

● d2ydt2=diff(dydt,t);

● d3ydt3=diff(d2ydt2,t);

● dpy=d3ydt3+8*d2ydt2+37*dydt+50*y;

● ff=collect(dpy,’sin(3*t)’)

● (-336*A+264*B)*sin(3*t)-1008*B*cos(3*t)-88*A*cos(3*t)● fff=collect(ff,’cos(3*t)’)

● (-1008*B-88*A)*cos(3*t)+(-336*A+264*B)*sin(3*t)

ttydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd3cos4)(50

)(37

)(8

)(2

2

3

3

=+++

Continuação

● % Usando a resposta anterior define-se o sistema abaixo

● S=solve(’-1008*B-88*A=4’,’-336*A+264*B=0’,’A,B’);

● A=double(S.A);

● B=double(S.B);

● yp1=eval(y)

● -22/1885*cos(3*t)+84/1885*sin(3*t)

● % Plotando a resposta no tempo

● t=0:0.1:5;

● yp2=eval(y);

● plot(t,yp2),grid

0264336

4100888

=+−=−−

BA

BA

Solução Completa da Equação Diferencial

solução homogênea

solução particular+

soluçãocompleta

+

determinação dasconstantes

Substituiçãodas condições

iniciais

Solução Completa da Equação DiferencialExemplo

Determinar a solução completa

tetydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd 32

2

3

3

4)(50)(

37)(

8)( −=+++

CondiçõesIniciais

1)0(

2)0(

1)0(

2

2

=

=

=

dt

yd

dt

dy

y

tttt eteAteAeAty 333

32

21 4

14sen4cos)( −−−− −++=solução

homogênea particular

C.I

1)0(

2)0(

1)0(

2

2

=

=

=

dt

yd

dt

dy

y

125.22474)0(

275.0432)0(

125.0)0(

321

321

21

=−−−−==++−−=

=−+=

AAAy

AAAy

AAy

��

�

1742

1 =A 6883

2 −=A 6843

3 =A

tttt eteteety 3332

4

14sen

68

434cos

68

83

17

42)( −−−− −+−=

Usando o comando “dsolve”% Sol. Completa c/ CI(s) (c/ computação simbólica):Sc = dsolve('D3y=-8*D2y-37*Dy-50*y+4*exp(-3*t)',... 'y(0)=1, Dy(0)=2, D2y(0)=1');for i=1:n, t=tt(i); yc(i)=eval(Sc);end% Sol. analíticay=42/17*exp(-2*tt)-83/68*exp(-3*tt).*cos(4*tt)+... 43/68*exp(-3*tt).*sin(4*tt)-1/4*exp(-3*tt);% Comparandoplot(tt,yc,tt,y)legend('dsolve', 'analitica')xlabel('tempo')

Os processadores simbólicosResultado do dsolve:Sc =-256/1105*exp(-3*t)*cos(t)^8+2048/1105*exp(-3*t)*cos(t)^7*sin(t)+ 512/1105*exp(-3*t)*cos(t)^6-3072/1105*exp(-3*t)*cos(t)^5*sin(t)- 64/221*exp(-3*t)*cos(t)^4+256/221*exp(-3*t)*cos(t)^3*sin(t)+ 64/1105*exp(-3*t)*cos(t)^2-128/1105*exp(-3*t)*cos(t)*sin(t)- 262/1105*exp(-3*t)+2/1105*exp(-3*t)*cos(8*t)- 16/1105*exp(-3*t)*sin(8*t)- 2/17*exp(-3*t)*cos(t)^4*cos(4*t)+ 2/17*exp(-3*t)*cos(t)^2*cos(4*t)- 8/17*exp(-3*t)*cos(t)^3*cos(4*t)*sin(t)+ 4/17*exp(-3*t)*cos(t)*cos(4*t)*sin(t)- 2/17*exp(-3*t)*cos(t)^3*sin(4*t)*sin(t)+ 1/17*exp(-3*t)*cos(t)*sin(4*t)*sin(t)+ 8/17*exp(-3*t)*cos(t)^4*sin(4*t)-8/17*exp(-3*t)*cos(t)^2*sin(4*t)+ 42/17*exp(-2*t)-21/17*exp(-3*t)*cos(4*t)+47/68*exp(-3*t)*sin(4*t)Comparar com:

tttt eteteety 3332

4

14sen

68

434cos

68

83

17

42)( −−−− −+−=

Diagrama de blocos básicos

∫)(tx )(ty

)0(y

∑)(1 tx

)(ty

)(txn

�

)(tx )(tyk

Integrador

Somador

Multiplicador

∫ +=t

ydxty0

)0()()( ττ

)()()()( 21 txtxtxty n+++= �

)( )( txkty =

Realização direta

)()(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tutydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd =+++

Pode-se rescrevê-la na forma

)()(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tutydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd +−−−=

•Exemplo

( )D p y u=

3 2( ) 8 37 50

u uy

D p p p p= =

+ + + 1/D

u y

)()(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tutydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd +−−−=

∑)(tu )(tyy��� y�� y�

)0(y�� )0(y� )0(y

∫ ∫ ∫

8−

37−

50−

3 2( ) 8 37 50

u uy

D p p p p= =

+ + +

Realização direta

)(5)(

3)(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tudt

tduty

dt

tdy

dt

tyd

dt

tyd +=+++

Pode-se rescrevê-la na notação de operador

( ) ( )upyppp 5350378 23 +=+++

•Exemplo

)( pD )( pN

upNypD )()( =

Como o sistema é linear

N1/D

u yx

upNypD )()( =

upN

ypD =

)()( uxpD =)(

)( pD

ux =

xpNy )(=x

continuando

uxpD =)()( pD

ux =

diagrama debloco já

construídoanteriormente

)( pN

yx = xpNy )(=

utiliza-se osvalores de x que

saíram dodiagrama acima

)()(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tutxdt

tdx

dt

txd

dt

txd +−−−=)(tx

)(ty xpNy )(=

xpy )53( +=x

dt

dxy 53 +=

∑)(tu )(tyx��� x�� x�∫ ∫ ∫

8−

37−

50−

3

5x ∑

Realização em cascata

pode ser fatorada)(pL )(. ).().()( 21 pLpLpLpL m�=

Sistema visto como umasérie de subsistemaspara evitar a

necessidade deum diferenciador

os subsistemas devemser escolhidos

adequadamente

O grau do numeradornão deve exceder o grau

do denominador emcada subsistema

)(5)(

3)(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tudt

tduty

dt

tdy

dt

tyd

dt

tyd +=+++

Pode-se rescreve-la na notação de operador

•Exemplo

( ) ( )upyppp 5350378 23 +=+++

)(pD )(pNupNypD )()( =

upD

pNy

)(

)(=upLy )(=50378

53)(

23 ++++=

ppp

ppL

50378

53)(

23 ++++=

ppp

ppL

2

1

256

53)(

2 +⋅

+++=

ppp

ppLfatorando

)(1 pL )(2 pL

upLy )(=

( ) )()().()( 21 tupLpLty =

)(tz)()()( 1 tzpLty =

)()()( 2 tupLtz =

como

)(tz

)(ty )(256

53)(

2tz

pp

pty

++

+=

)(2

1)( tu

ptz

+

=

zpNypD )()( =

zpN

ypD =

)()(

aplico agora amontagem direta

x

)(pD

zx =

xpNy )(=)(ty

)()()( 2 tupLtz =

)()()( 1 tzpLty =

∑)(tu )(tyx�

∫ ∫ ∫

2−

6−

25−

3

5x

∑

)(tz

)(ty

)(256

1)(

2tz

pptx

++

=

)(2

1)( tu

ptz

+

=

)(tx

xpNy )(= xpy )53( +=

x��z

Realização em paralelo

pode serexpandida

)(pL )( )()()( 21 pLpLpLpL m+++= �

)(5)(

3)(50)(

37)(

8)(

2

2

3

3

tudt

tduty

dt

tdy

dt

tyd

dt

tyd +=+++

Pode-se rescreve-la na notação de operador

•Exemplo

( ) ( )upyppp 5350378 23 +=+++

)(pD )(pNupNypD )()( =

upD

pNy

)(

)(=upLy )(=50378

53)(

23 ++++=

ppp

ppL

50378

53)(

23 ++++=

ppp

ppL

2561755

172

171

)(2 ++

++

+

−=

pp

p

ppL

expandindo

)(1 pL )(2 pLupLy )(=

( ) )()()()( 21 tupLpLty +=

como

)()()()()( 21 tupLtupLty +=

∑

)(tu

)(ty∫ ∫

2−

6−

25−

17

1

17

55 ∑

)(256

1755

172

171

)(2

tupp

p

pty

++

++

+

−=

∑ ∫ 17

1 −

Matlab: exemplo

Implementar usando Simulink a realização direta doexemplo de solução completa.

y

S ign a lGe n e ra to r

s

1

In te g ra to r2s

1

In te g ra to r1s

1

In te g ra to r

50

Ga in4

3 7

Ga in3

8

Ga in 2

3

Ga in1

5

Ga in

Resultados esperados

● Gráfico da saída p/ uma entrada senoidal unitáriade 1 Hz.