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Simulação

Introdução a Sistemas Dinâmicos

1. Introdução Modelar um sistema significa obter uma representação

matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento do sistema na prática.

A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso entre precisão e complexidade do modelo em relação à dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido.

A complexidade de se modelar um sistema dinâmico depende do conhecimento que se tem do sistema, por exemplo:

1. Introdução Exemplo 1:

Um corpo se movimentando a uma velocidade v1(m/s) com massa m1(kg) e se choca com um outro corpo em repouso, de massa m2(kg). A quantidade de movimento medida no instante do choque é dada por:

• Q = m1. v1 [kgm/s]

Se o modelo for ideal, essa mesma quantidade de movimento será transferida ao corpo de massa m2 , de forma que este se deslocará com uma velocidade v2 dada por:

• v2 = Q/m2 [m/s]

1. Introdução Exemplo 2:

Deseja-se determinar a força que se deve aplicar ao caixote de massa m = 50 [kg], para que a aceleração obtida seja igual a 10 [m/s2]. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível e vale μ=0,1. A constante de gravidade vale g= 10 [m/s2].

O somatório das forças vale: • F = F1 - μN = F1 - 0,1 . 50 . 10 = F1 - 50.

Esta resultante deve ser igual a massa do corpo multiplicada pela aceleração do mesmo, de forma que

• F1 - 50 = 50 . 10 = 500• F1 = 500 + 50 = 550 [N]

A modelagem do exemplo 2 requer mais detalhes do que a do exemplo 1. Também verifica-se que se desprezarmos a constante de atrito,

produziremos um resultado diferente (menos preciso).

1. Introdução Basicamente em sistemas dinâmicos deve-se estudar:

Modelagem, representação do sistema físico através de um modelo matemático.Determinação das caracterísitcas dinamicas, levantamento prévio de dados.Análise, a partir de uma metodologia, analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou distúrbio.

1. Introdução Variáveis Dinâmicas Contínuas

Modelar um sistema dinâmico é fundamental para análise de seu comportamento frente a uma excitaçãoVariáveis dinâmicas contínuas (figura) são aquelas em que para todo e qualquer instante de tempo, têm valores definidos.O objetivo é analisar se a variável contínua tende a um valor finito, após a aplicação de uma excitação ou distúrbio.Também verificar se o sistema vai alcançar um novo ponto de equilíbrio estável o mais rápido possível.

1. Introdução Variáveis Dinâmicas Contínuas

A resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em duas parcelas:

1. Componente de regime permanente (ou valor final) que é obtida quando o tempo tende a um valor suficiente para a resposta se acomodar, seu valor é:

A resposta em um instante qualquer é dada por y(t).

2. Componente transitória, é a parcela da resposta observada imediatamente após a aplicação de um distúrbio, seu valor é:

1. Introdução Resposta a excitações em Variáveis Dinâmicas Contínuas

A resposta dinâmica de um sistema também pode ser classificada em três tipos:

1. Resposta livre, é a saída obtida quando não se considera qualquer excitação ao sistema 2. Reposta forçada, é a resposta obtida para uma determinada excitação, considerando nulas as condições iniciais 3. Resposta total, é a união das respostas anteriores.

1. Introdução Classificação dos sistemas

Algumas definições importantes: 1. Variáveis de estado, definem a condição operativa de um sistema dinâmico, dependem do sistema, por exemplo: corrente em um circuito, velocidade de um corpo etc. 2. Variáveis de perturbação, tendem a mudar o ponto operativo de um sistema, podendo ser interpretadas como um distúrbio 3. Variáveis de controle, permitem manter o sistema operando dentro de algumas condições pré-especificadas

Uma vez apresentados os tipos de respostas, devemos apresentar os tipos de sistemas existentes

1. Introdução Classificação dos sistemas

Uma vez apresentados os tipos de respostas, devemos apresentar os tipos de sistemas existentes.

Considerando x como um vetor de variável de estados, u o vetor de entrada (ou perturbação) e t o tempo (um escalar), temos: a) ẋ = ƒ(x,u,t) Sistema não linear, dependente do tempo e forçado. b) ẋ = ƒ(x,t) Sistema não linear, dependente do tempo e não forçado. c) ẋ = ƒ(x,u) Sistema não linear, não dependente do tempo e forçado. d) ẋ = ƒ(x) Sistema não linear ou linear, não dependente do tempo e não forçado.

2. ModelagemNas análises e estudos de sistemas complexos são necessárias representações adequadas que permitam modelar características relevantes dos mesmos.

A modelagem matemática de sistemas dinâmicos é realizada por meio de equações que representam suas dinâmicas com um determinado grau de precisão pré-estabelecido.

Devido a complexidade inerente aos sistemas reais, na prática, deve-se trabalhar com aproximações que dependem da precisão desejada.

2. ModelagemGeralmente, busca-se um compromisso entre a simplicidade do modelo matemático adotado e a precisão resultante.

Muitos sistemas práticos são modelados através de conhecimentos relacionados a áreas da física, quimica, biologia. Esta abordagem é chamada modelagem caixa branca ou fenomenológica.

Nesse caso conhece-se detalhes ou propriedades básicas do sistema, suas relações entre seus parâmetros e as variáveis pertinentes. Estas relações são expressas por equações diferenciais, funções de transferência, variáveis de estado etc.

2. ModelagemModelagem de Sistemas Elétricos

Normalmente sistemas elétricos são descritos por meio de suas grandezas físicas (tensões ou correntes) em função do tempo (t) que normalmente é variável independente.

Os elementos básicos nesses tipos de sistemas são fontes de tensão ou corrente, resistores, capacitores e indutores. As equações que definem seus fenômenos são leis da eletricidade descritas resumidamente como:

Lei de Ohm: i(t) = v(t)/R (dominio do tempo) ou v(s)/i(s) = R (dominio da frequencia)Lei de Lenz: v(t) = L di(t)/dt ou v(s)/i(s) = LsRelação entre corrente i e tensão v no tempo t em um capacitor C, ou seja:

i(t) = C dv(t)/dt ou v(s)/i(s) = 1/Cs Lei de Kirchoff: a somatória das tensões em um laço fechado de um

circuito elétrico é sempre nula. Ou a somatória das correntes em um nó é sempre zero.


Com as leis e equações citadas é possível resolver os sistemas elétricos obtendo-se expressões matemáticas que representem sua dinâmica, sem a necessidade de acessar sistemas físicos.

Exemplo: Circuito RL, tipo de sistema muito frequente em modelos de enrolamentos de máquinas elétricas, bobinas de excitação de máquinas síncronas, máquinas de corrente contínua etc. Uma fonte de tensão va alimenta um circuito associado que fornece uma corrente conforme a figura:

L

R

iva

Utilizando as leis de Kirchof, Ohm e Lenz: Ri(t) + Ldi(t)/dt – va(t) = 0 Ri(s) + sLi(s) – va(s) = 0

A função de transferencia i(s)/v(s) representa a condutância do circuito: i(s) / v(s) = 1 / Ls + R


Sistemas Térmicos, tipo de sistemas onde as variáveis ou grandezas mas comuns são temperatura e fluxo de calor. Os elementos típicos desses sistemas são a resistência e a capacitância térmica: As relações que expressam os fenômenos nesses sistemas sao:

Resistência térmica R: relaciona o fluxo de calor q que passa através de um determinado corpo (ou meio) devido a uma diferença de temperatura: ΔT(t) = Ti (t) - To (t) entre os extremos do corpo, ou seja, q(t) = ΔT(t)/R (que indica a oposição ou resistência à passagem de calor)Capacitância térmica C: relaciona a variação do fluxo de calor Δq(t) = qi (t) - qo (t) de um corpo pela taxa de variação da sua temperatura T no tempo t ou C = Δq(t) / (dT(t)/dt)


Exemplo: Sistema de aquecimento, este tipo de sistema é usado para aquecimento de fluidos em processos industriais, vide figura.

Nesse modelo será considerado que a estrutura da planta possui isolação térmica ideal, isto é, não perde nem ganha calor através de suas paredes.

Um elemento de aquecimento, uma resistencia elétrica submetida a uma tensão (ou queima de gás etc.) fornece o fluxo de calor qi para o interior do processo como cladeiras.

Fluido

Fluido aquecido

qo

Ti

To

Aquecimento

qi


Considera-se que a energia do fluido de entrada seja agregada à energia do elemento de aquecimento. Admite-se que o calor está distribuído de forma homogênea no interior do recipiente.

O fluido entra com a temperatura Ti e é aquecido com uma temperatura To saindo do sistema para um outro processo:

Fluido

Fluido aquecido

qo

Ti

To

Aquecimento

qi


Exemplo: Usando a expressão da capacidade térmica: C = dTo(t) / dt = qi(t) – qo(t)

Aplicando a relação da resistividade térmica do conjunto, obtém-se: qo(t) = [Ti(t) – To (t) ] / R

Combinando, vem: C = dTo(t) / dt = qi(t) – qo(t) = C dTo(t) / dt = qi(t) - { [Ti(t) – To (t) ] / R }

ou então: RC dTo(t) / dt = To (t) = R qi(t) - Ti(t)

Fluido

Fluido aquecido

qo

Ti

To

Aquecimento

qi

2. ModelagemRepresentação em Diagramas de Blocos

Exemplo: O fluxo de calor qi fornece a energia necessária para elevar a temperatura do material na saída do processo, essa energia é considerada uma entrada do sistema.

A temperatura Ti é considerada uma outra entrada, uma variação do processo. Uma outra maneira de representar esse modelo é por meio da variável de estado. Fazendo a substituição das variáveis

x1 = To e u1 = qi e u2 = Ti obtém-se:

x'1 = - 1/RC x1 + 1/C u1 + 1/RC u2

Fluido

Fluido aquecido

qo

Ti

To

Aquecimento

qi


Em análise e simulação de sistemas dinâmicos, é comum representar os modelos dos mesmos na forma de diagramas de blocos.

Os diagramas podem ser expressos por meio de funções de transferencia genéricas ou por blocos básicos com elementos de soma, subtração, multiplicação, divisão integração etc.

Blocos em cascata equivalem a funções que são o produto de funções individuais.


Diagramas com retroação de informações ou com outros arranjos podem ser associados adequadamente conforme indicado nas figuras a seguir.

As equivalencias nas próximas figuras podem ser usadas para simplificar diagramas representativos de sistemas (ou funções) mais complexos.

A modelagem e representação de sistemas dinâmicos na forma de diagramas de blocos também são bastante utilizadas em análises e projetos de malhas de controle.


A partir de uma equação diferencial que modela um sistema dinâmico, é possível construir diagramas de blocos que oriente implementações computacionais, visando solucionar numericamente o problema.

Um procedimento simples consiste em explicitar o termo da maior derivada da equação e obter a variável dependente desejada a partir de etapas de integração.


Ações de variáveis de entrada e das suas eventuais derivadas podem ser associadas através de blocos de soma, multiplicação etc.

A solução numérica do modelo de um sistema dinâmico e sua apresentação na forma de tabela de dados ou gráficos é chamada simulação.


O exemplo a seguir ilustra a construção de diagramas de blocos a partir de uma equação diferencial que modela um sistema dinâmico, visando uma simulação. A figura apresenta a representação da equação diferencial na forma de diagrama de blocos:

y'' + a1 y' + a2 y = b1 u explicitando a maior derivada, tem-se: Y'' = -a1 y' - a2 y + b1 u que resulta no diagrama:


As informações do diagrama de blocos facilitam a montagem de um programa de simulação numérica que será visto a seguir.

O conceito é o mesmo utilizado em cálculo numérico, a aproximação utilizada para as integrais será a retangular ou de Euler.

Neste exemplo assume-se que a entrada de excitação no sistema é unitária e que o mesmo possui os seguintes parâmetros: a1 = 3; a2 = 2; b1 = 2.

O intervalo de tempo da simulação vai de zero até dez segundos.

O passo de integração será de 0,01 segundos

2. ModelagemRepresentação em Listagem Matlab

As informações do diagrama de blocos facilitam a montagem de um programa de simulação numérica descrito a seguir: // Valores de parametros e variaveis a1=3; a2=2; b1=2; dt=0.01; tf = 10; vy(1 000); vt(1 000); y=0; y1p=0; t=0; n=0; Enquanto (t < tf) // Loop de repeticao u=1; // Entrada de excitacao do sistema: degrau unitario y2p= -a1*y1p – a2*y + b1*u; // Valor da derivada de maior ordem y1p= y1p + y2p*dt; // Integracao da variavel y2p y = y + y1p*dt; t= t + dt; // Incremento da variavel independente n= n+1; // Incremento da variavel de indexaxão vy(n) = y; // Armazena valor da variavel y em um vetor vt(n) = t; // Armazena valor da variavel t em um vetor fim Imprimir (vt e vy); // Valores numéricos de t e y(t) Plotar (vt,vy); // Tracar grafico da simulacao de y(t) // Final do código

2. ModelagemRepresentação em Listagem Matlab

Para exemplificar a realização de simulações computacionais, utilizamos a listagem da equação diferencial.

2. ModelagemRepresentação gráfico Matlab

2. ModelagemRepresentação em Listagem Scilab

clear; // Valores de parametros e variaveis a1=3; a2=2; b1=2; dt=0.01; tf = 10; y=0; y1p=0; t=0; n=0; while (t < tf), // Loop de repeticao u=1; // Entrada de excitacao do sistema: degrau unitario y2p= -a1*y1p – a2*y + b1*u; // Valor da derivada de maior ordem y1p= y1p + y2p*dt; // Integracao da variavel y2p y = y + y1p*dt; t= t + dt; // Incremento da variavel independente n= n+1; // Incremento da variavel de indexaxão vy(n) = y; // Armazena valor da variavel y em um vetor vt(n) = t; // Armazena valor da variavel t em um vetor end plot (vt,vy); // Tracar grafico da simulacao de y(t)

2. ModelagemRepresentação em Listagem

Alguns softwares de simulação podem processar diretamente blocos com funções de transferência relativas ao modelo utilizado.

No caso da equação diferencial em estudo a função de transferencia equivalente está indicada na figura a seguir: u y

Geralmente as funções de transferencia de modelos de sistemas dinâmicos são obtidas considerando condições iniciais nulas nas suas variáveis ou grandezas físicas.

Em algumas situações é necessário obter simulações das respostas temporais de sistemas sujeitos a condições iniciais não-nulas.

b1

s2 + a1s + a2

2. ModelagemExercício:1. Traduzir a listagem Matlab para a linguagem C/C++2. Desenvolver o simulador em MatLab/SciLab a equação do istema de aquecimento: x'1 = - 1/RC x1 + 1/C u1 + 1/RC u2 x1 = To e u1 = qi e u2 = Ti

Conforme o pseudocódigo://Valores de parametros e variáveisR=5; C=20; u2=25; dt=0.1; tf=1000; vy(10000); vt(10000); x1=0; t=0; n=0;Faça //Loop de repetição: u1= 50; //Entrada de excitação do sistema. x1p= -x1/(R*C) + u1/C + u2/(R*C); //Derivada da maior ordem x1= x1 + x1p*dt; //Integracao da variavel x1p t= t + dt; //Incrementa a variavel independente n= n +1; //Incrementa a variavel de indexação vy(n) = x1; //Armazena valor da variavel x1 no vetor vt(n) = t; //Armazena o valor de t no vetor Enquanto (t < tf); Imprimir (vt e vy); //Valores numericos de t e x1(t); Plotar (vt,vy); //Tracar grafico da simulacao de y=x1(t)//Final do codigo.

3. RespostasModelos matemáticos lineares de sistemas dinamicos apresentam respostas típicas que os caracterizam. Essas respostas dependem dos modelos e do tipo de excitação de suas entradas.

As entradas de excitações mais usuais são funções do tipo impulso, degrau, rampa e senoidal.

As respostas podem ser obtidas através de métodos analíticos ou numéricos quando se conhecem os modelos matemáticos do sistema, ou mediante medidas experimentais efetuadas em sistemas reais.

3. RespostasSistemas de primeira ordemVários sistemas práticos são modelados por funções de primeira ordem (como no circuito RL).

A expressão:

É uma representação genérica de um sistema de primeira ordem onde a função de transferência define a relação da saída do sistema pela sua entrada.

O parâmetro é chamado de constante de tempo e K é o ganho do sistema. O pólo da função é

Lembrando que pólo de G(s) é o valor de s que leva G(s) -> ∞

G (s)= y (s )u (s )

= Ksτ+ 1

τ

s=−1τ

3. RespostasSistemas de primeira ordemO cálculo da reposta analítica do modelo:

Para uma entrada degrau é:

Um exemplo típico é o circuito RC

G (s)= y (s )u (s )

= Ksτ+ 1

y ( t )=K (1−e−tτ )

3. RespostasSistemas de primeira ordemO gráfico resultante da simulação representa a resposta típica desse tipo de sistema para a entrada degrau.

Nesse caso a saída tende a estabilizar em um valor proporcional a excitação de entrada do sistema.

Para o instante a saída y(t) possui um valor que é aproximadamente 63% do valor final.

t=τ= 1

3. RespostasSistemas de primeira ordem

Quanto menores os valores dos parâmetros (R ou C) no circuito menor será o valor de

Para uma entrada degrau unitário, o valor final da variável y(∞) tende à unidade, assim 63% correponde ao valor y(t)=0,63 para t=1 segundo.

Para um valor de contante de tempo igual a o valor da saída seria y(t)=0,63 e ocorreria em um tempo t= 0,5 s e assim sucessivamente para outros valores.

τ

τ= 0,5


Com o parâmetro K=10, o valor final da variável de saída tenderia a y(∞) =10 (63% dete valor seria 6,3) e de maneira proporcional para outros valores..


Sinais de excitação do tipo senoidal são usados para obter a chamada resposta em frequencia de um sistema dinâmico.

Este tipo de resposta é definido como sendo a relação entre amplitudes e a diferença de fase entre os sinais de entrada e saída de um sistema em regime permanente, variando-se a frequencia do sinal de excitação da entrada do mesmo.

Os dados obtidos podem ser expressos graficamente por meio de curvas de módulo e fase pela frequencia. Esses graficos são chamados modelos não paramétricos.


Existem softwares comerciais que facilitam a obtenção da resposta em frequencia de sistemas dinâmicos, esses gráficos também são conhecidos como diagramas de Bode.

Estes diagramas desenvolvido por Hendrik Wade Bode são utilizados em vários métodos de análise e sintonia de sistemas de controle.

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