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PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Tese de Doutorado

SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS EM

MEIOS POROSOS QUASE INDEFORMÁVEIS

COM MUDANÇA DE CONDIÇÃO DE

SATURAÇÃO E RELAÇÃO CONSTITUTIVA

NÃO DIFERENCIÁVEL PARA A PRESSÃO

DO CONSTITUINTE LÍQUIDO

DÁRIO MONTE ALEGRE

JULHO DE 2017

DÁRIO MONTE ALEGRE

SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOSQUASE INDEFORMÁVEIS COM MUDANÇA DE

CONDIÇÃO DE SATURAÇÃO E RELAÇÃO CONSTITUTIVANÃO DIFERENCIÁVEL PARA A PRESSÃO DO

CONSTITUINTE LÍQUIDO

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-

Graduação em Engenharia Mecânica da UFF

como parte dos requisitos para a obtenção do

título de Doutor em Ciências em Engenharia

Mecânica

Orientadores: Maria Laura Martins Costa (PGMEC/UFF)

Felipe Bastos de Freitas Rachid (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

A366 Alegre, Dário Monte

Simulação de escoamentos em meios porosos quase

indeformáveis com mudança de condição de saturação e relação

constitutiva não diferenciável para a pressão do constituinte líquido

/ Dário Monte Alegre. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017.

146 f.

Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) - Universidade

Federal Fluminense, 2017.

Orientadores: Maria Laura Martins Costa, Felipe Bastos de Freitas

Rachid.

1. Escoamento de fluido. 2. Problema de Reimman. 3.Método de

Glimm. 4. Porosidade. I. Título.

CDD 620.106

NITERÓI, 11 DE JULHO DE 2017

SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOSQUASE INDEFORMÁVEIS COM MUDANÇA DE

CONDIÇÃO DE SATURAÇÃO E RELAÇÃO CONSTITUTIVANÃO DIFERENCIÁVEL PARA A PRESSÃO DO

CONSTITUINTE LÍQUIDO

Esta Tese é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Termociências

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense

(Orientadora)

Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense

Prof. Daniel Rodríguez Álvarez (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense

Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D.Sc.)Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. Gustavo César Rachid Bodstein (PhD.)Universidade Federal do Rio de Janeiro

Agradecimentos

Agradeço ao Deus Todo Poderoso, por sua Graça e pelos talentos dados.

À minha esposa pelo apoio incondicional e paciência ao longo desse Doutorado e

momentos difíceis.

Aos meus familiares pelo apoio, motivação e torcida.

Agradeço à professora Dra. Maria Laura Martins Costa e ao Professor Dr. Felipe

Bastos de Freitas Rachid por toda a ajuda com esse Doutorado. E também aos professores

do PGMEC que contribuíram para minha formação.

Agradeço aos meus amigos Oficiais da Marinha do Brasil, que me apoiaram,

contribuíram e facilitaram meu trabalho até aqui.

RESUMO

Este trabalho modela o enchimento de uma matriz porosa quase indeformável

insaturada por um fluido, identificando a transição do escoamento insaturado para saturado.

A descrição utilizada é feita de um ponto de vista da Teoria de Misturas e trata o

escoamento como uma superposição de constituintes contínuos – um constituinte gasoso

com densidade muito baixa (que permite considerar a compressibilidade da mistura como

um todo), um constituinte líquido (representando um fluido newtoniano), que é denotado

como constituinte fluido e um constituinte sólido (que representa a matriz porosa quase

indeformável).

Neste trabalho considera-se uma matriz porosa fracamente deformável, de tal forma

que a fração de fluido pode ser ligeiramente maior que a porosidade, admitindo uma

pequena supersaturação, que equivale a permitir uma deformação muito pequena na matriz

porosa, de modo a poder considerar uma relação constitutiva contínua para a pressão. Esta

relação constitutiva, proposta no trabalho, origina um modelo matemático que garante que

o problema permaneça hiperbólico mesmo quando a saturação é atingida, preservando

dessa forma a natureza física do problema.

A vantagem do problema permanecer hiperbólico é a possibilidade de empregar um

método para aproximar sistemas hiperbólicos, como o método de Glimm e marchar no

tempo através da solução de um certo número previamente determinado de problemas de

Riemann.

As soluções completas para o problema de Riemann associado são apresentadas,

assim como a implementação do Método de Glimm, com base no qual várias simulações

numéricas são conduzidas para descreve a mudança da condição de saturação do meio

poroso.

Palavras-Chave: Escoamento em meio poroso insaturado, transição insaturado-saturado,matriz porosa quase rígida, problema de Riemann, método de Glimm.

ABSTRACT

This work models the filling up of an unsaturated almost undeformable porous

medium by a liquid, identifying the transition from unsaturated to saturated flow.

The description presented uses a mixture theory approach and deals the flow as

three overlapping continuous constituents – a very low-density gas (to account the mixture

compressibility), a liquid (Newtonian fluid), which is denoted by fluid constituent and a

solid (almost undeformable porous matrix).

In this work the porous matrix is considered as slightly deformable, in such a way

that the fluid fraction can be slightly larger then the porosity, allowing a small

supersaturation and a very small deformation in the porous medium, in a way that a

continuous constitutive relation for the pressure can be considered. This constitutive

relation, proposed in the work, gives rise to a mathematical model that assures that the

problem remains hyperbolic even when the saturation is reached and the physics of the

phenomenon are preserved.

The advantage of the problem remaining hyperbolic is the possibility of employing

a method to approximate hyperbolical systems, such as Glimm's method and advancing in

time using a solution of a certain number of Riemann's problem previously determined.

The complete solutions for the associated Riemann's Problem and the Glimm's

method implementation are presented. These are the basis for several numerical simulations

conducted to describe the change of saturation condition in the porous medium.

Keywords: Flows in unsaturated medium, unsaturated-saturated transition, almostrigid porous matrix, Riemann's Problem, Glimm's method.

SUMÁRIO

Lista de Figuras ......................................................................................................................i

Lista de Tabelas ....................................................................................................................vi

Lista de Símbolos ................................................................................................................vii

Capítulo 1. Introdução

1.1. Considerações Gerais ......................................................................................................1

1.2. Revisão Bibliográfica ......................................................................................................5

1.2.1. Teoria de Misturas …..................................................................................................5

1.2.2. O Problema de Riemann e o Método de Glimm …....................................................8

1.2.3. Escoamentos com Restrições em Meios Porosos ….................................................11

1.3. Objetivos …...................................................................................................................13

Capítulo 2. Modelagem Mecânica

2.1. Introdução .....................................................................................................................15

2.2. Balanço de Massa .........................................................................................................16

2.3. Balanço de Momentum Linear ….................................................................................19

2.4. Modelo Mecânico Considerado …............................................................................... 22

Capítulo 3. Solução Completa do Problema de Riemann

3.1. Introdução .................................................................................................................... 31

3.2. Condições de Entropia e Invariantes de Riemann …................................................... 36

3.3. Solução do Problema de Riemann associado ….......................................................... 38

3.4. Soluções Completas do problema de Riemann Associado …...................................... 55

3.5. Determinação das soluções do Problema de Riemann …............................................ 58

Capítulo 4. Método de Glimm

4.1. Introdução .....................................................................................................................69

4.2. O Método de Glimm ....................................................................................................71

4.3. Aplicação ao Problema de Riemann Associado …........................................................77

Capítulo 5. Resultados

5.1. Solução do Problema de Riemann ............................................................................... 86

5.1.1. Choque-1/Choque-2 ….............................................................................................. 86

5.1.2. Rarefação-1/Rarefação-2 …...................................................................................... 93

5.1.3. Rarefação-1/Choque-2 e Choque-1/Rarefação-2 …................................................. 95

5.2. Método de Glimm ….................................................................................................... 98

5.2.1. Choque-1/Choque-2 ….............................................................................................. 99

5.2.1.1. Exemplo 1 ….......................................................................................................... 99

5.2.1.2. Exemplo 2 …........................................................................................................ 103

5.2.2. Rarefação-1/Rarefação-2 ….................................................................................... 107

5.2.2.1. Exemplo 1 …........................................................................................................ 107

5.2.2.2. Exemplo 2 …........................................................................................................ 112

5.2.3. Choque-1/Rarefação-2 …........................................................................................ 116

5.2.3.1. Exemplo 1 …........................................................................................................ 116

5.2.3.2. Exemplo 2 …........................................................................................................ 121

5.2.4. Rarefação-1/Choque-2 …........................................................................................ 125

5.2.4.1. Exemplo 1 ….........................................................................................................125

5.2.4.2. Exemplo 2 …........................................................................................................ 130

Capítulo 6. Conclusões e Sugestões ................................................................................ 134

Referências Bibliográficas .............................................................................................. 138

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Escoamento através da matriz porosa considerada …................................ 26

Figura 2.2 - Pressão versus fração do fluido em um escoamento supersaturado através

de uma matriz porosa …............................................................................... 28

Figura 2.3 - Pressão versus saturação em um escoamento supersaturado através de uma

matriz porosa …............................................................................................ 30

Figura 3.1 - Possível solução para o Problema de Riemann Associado ….................... 39

Figura 4.1 - Divisão do domínio para o emprego do Método de Glimm ….................. 72

Figura 4.2 - Solução do Problema de Riemann para emprego do Método de Glimm .. 73

Figura 4.3 - Amostragem da Solução do Problema de Riemann ….............................. 74

Figura 4.4 - Atualização da variável u mediante o método de Glimm …..................... 75

Figura 4.5 - Amostragem do Problema de Riemann Associado …............................... 78

Figura 4.6 - Análise da amostragem em relação à primeira descontinuidade

(choque-1) …................................................................................................ 80

Figura 4.7 - Análise da amostragem em relação à primeira descontinuidade

(rarefação-1) …............................................................................................. 81

Figura 4.8 -Análise da amostragem em relação à segunda descontinuidade

(choque-2) …................................................................................................ 83

Figura 4.9 - Análise da amostragem em relação à segunda descontinuidade

(rarefação-2) ................................................................................................ 84

Figura 5.1 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com

restrição (linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas),

considerando ωC=1,0, ψC=0,5 e cW=10. …................................. 91

i



considerando ωC=2,0, ψC=0,2 e cW=10000. …........................... 91

Figura 5.3 - Pressão (a) e Saturação (b) versus =x / t para os problemas com


considerando C=2,0, C=0,4 e cW=10000. …............................ 92



considerando ωC=3,0, ψC=0,6 e cW=1000. ….............................. 92

Figura 5.5 - Velocidade (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para a solução contínua com

condições iniciais em (5.2) …....................................................................... 95

Figura 5.6 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição

cW=1 , e ψC=0,5 e ωC=1,0. ….................................................. 100

Figura 5.7 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-

2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição

cW=1 , e ψC=0,5 e ωC=1,0. ….................................................. 101

Figura 5.8 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com restrição (CW=10) e sem restrição

(CW=1), e ψC=0,5 e ωC=1,0. …................................................. 102

ii

Figura 5.9 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1,

cW=10, cW=100, e cW=200. …................................................... 104

Figura 5.10 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-

2, considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1,

cW=10, cW=100, e cW=200. …................................................... 105

Figura 5.11 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1,

cW=10, cW=100, e cW=200. …................................................... 106

Figura 5.12 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-

1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem

restrição cW=1 , para ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0. …...... 109

Figura 5.13 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-


restrição cW=1 , para ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0. …....... 110

Figura 5.14 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-


restrição cW=1 , para ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0. …..... 111

Figura 5.15 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-

1/Rarefação-2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02,

ωE=−ωD=−2,0. e cW=1, cW=10 e cW=100. …................... 113

iii



ωE=−ωD=−2,0. e cW=1, cW=10 e cW=100. ….....................114

Figura 5.17 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-


ωE=−ωD=−2,0. e cW=1, cW=10 e cW=100. …................... 115

Figura 5.18 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-


restrição cW=1 , e ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. …...... 118

Figura 5.19 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-


restrição cW=1 , e ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. …...... 119

Figura 5.20 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,


cW=1 , e ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. ….................... 120

Figura 5.21 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-

2, considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100,

ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. ….......................................... 122

Figura 5.22 - Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-

1/Rarefação-2, considerando os problemas com cW=1, cW=10,

cW=100, ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. …...................... 123

iv

Figura 5.23 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,

considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100,

ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0. ….......................................... 124

Figura 5.24 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-

2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição

cW=1 , e ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. …................... 127


1/Choque-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem

restrição cW=1 , e ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. …..... 128

Figura 5.26 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,


cW=1 , e ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. ….................. 129

Figura 5.27 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-

2, considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100,

ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. ….........................................131


1/Choque-2, considerando os problemas com cW=1, cW=10,

cW=100, ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. …..................... 132

Figura 5.29 - Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,

considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100,

ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0. ….......................................... 133

v

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 - Condições para as possíveis soluções para o problema (3.15)-(3.18) … 54

Tabela 3.2 - Determinação das Soluções para o problema de Riemann …................. 67

Tabela 5.1 - Alguns resultados envolvendo a solução Choque-1/Choque-2 associada à

equação (5.1) …......................................................................................... 88

Tabela 5.2 - Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE>ψD (Rarefação-

1/Choque-2) ….......................................................................................... 97

Tabela 5.3 - Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE<ψD (Choque-

1/Rarefação-2) …...................................................................................... 98

vi

Lista de Símbolos

a - Velocidade máxima de propagação, em valor absoluto, da descontinuidade

considerando todos os problemas de Riemann no tempo t n

A - Área da superfície da Região R

A(u) - Matriz Jacobiana de f(u)

cW , c - Constantes da relação constitutiva entre pressão e fração de fluido

cW - Constante da relação constitutiva entre pressão e saturação

D - Coeficiente de difusão

D - Matriz diagonal, cujos componentes são os autovalores λ i de A(u)

DF - Parte simétrica do gradiente da velocidade do constituinte fluido

f α - Forças externas agindo no constituinte α de uma mistura, medidas por unidade

de massa de α

f F - Forças externas (por unidade de massa) agindo no constituinte fluido

f - Força de corpo externa total

f 1 - Saturação dentro da onda de rarefação-1

f 2 - Saturação dentro da onda de rarefação-2

f(u) - Fluxo de u

F(ψ*) - Função usada para determinar ψ* numericamente

g1 - Velocidade dentro da onda de rarefação-1

g2 - Velocidade dentro da onda de rarefação-2

h - Comprimento das divisões espaciais do domínio

vii

I - Tensor identidade

jα - Momentum Linear fornecido a α devido a reações químicas e/ou mudanças de

fase com outros constituintes

jF - Momentum Linear fornecido ao constituinte fluido devido a reações químicas

- com outros constituintes

k - Número de divisões espaciais do domínio para aplicar o método de Glimm

K - Porosidade específica do meio poroso

m1 - Número inteiro primo

m2 - Número inteiro primo

mα - Taxa temporal de produção de massa do constituinte α surgindo a partir da

reação com os outros constituintes

mF - Taxa temporal de produção de massa do constituinte fluido surgindo a partir

da reação com os outros constituintes

n - Vetor unitário normal à superfície ∂R

ni - Sequência de números primos gerados para distribuir mais uniformemente os

valores aleatórios do método de Glimm

p - Pressão adimensional

p̂ - Pressão

p - Pressão

pα - Força difusiva exercida em um constituinte α pelos demais constituintes

pE - Pressão inicial à esquerda (x < 0)

viii

pD - Pressão inicial à direita (x > 0)

p* - Pressão no estado intermedário (*)

pF - Fonte de Momentum Linear que atua sobre o constituinte fluido devido à sua

interação com os demais constituintes da mistura

R - Região arbitrária fixa dentro de uma mistura

R - Matriz cujas colunas são os autovetores R i à direita de A(u)

R i - Autovetores à direita de A(u)

s i - Velocidade de propagação de choques

t - Instante de tempo

Tα - Tensor Parcial de Tensões agindo no constituinte α de uma mistura

TF - Tensor parcial de tensões associado ao constituinte fluido

T - Tensor Parcial de tensões atuando sobre a mistura

u - Vetor com as variáveis do problema a ser resolvido

u0 - Solução fraca de um sistema hiperbólico

uE - Vetor com condições iniciais à esquerda (x < 0)

uD - Vetor com condições iniciais à direita (x > 0)

v α - Velocidade do constituinte α de uma mistura

v F - Velocidade do constituinte fluido na mistura

v - Componente na direção x da velocidade do constituinte fluido

v i - Variáveis características

v - Velocidade do baricentro da mistura

ix

V - Volume da Região R

V - Vetor das variáveis características

V0 - Vetor de condições iniciais das variáveis características

x - Vetor posição

α - Constituinte qualquer de uma mistura

δ - Número muito pequeno

Δ t - Intervalo de tempo utilizado para aplicar o método de Glimm

Δx - Comprimento das divisões espaciais do domínio para aplicar o método de

Glimm

ξ - Variável de similaridade

ρα - Densidade do constituinte α de uma mistura

ρf - Densidade mássica real do fluido

ρF - Densidade mássica do constituinte fluido

ρ - Densidade de uma mistura

∂R - Superfície da região R

ψ - Saturação

ψC - Constante positiva

ψD - Saturação inicial à direita (x > 0)

ψE - Saturação inicial à esquerda (x < 0)

ψ* - Saturação no estado intermediário (*)

φ - Fração de fluido

φ - Função vetorial teste

x

θ - Número gerado aleatoriamente entre -1 e +1

ε - Porosidade da matriz porosa

μ f - Viscosidade do fluido

λ - Constante positiva

λ i - Autovalores de A(u)

ω - Velocidade adimensional

ωC - Constante positiva

ωD - Velocidade inicial à direita (x > 0)

ωE - Velocidade inicial à esquerda (x < 0)

ω* - Velocidade no estado intermediário (*)

τ - Tempo adimensional

xi

Capítulo 1

Introdução

1.1. Considerações Iniciais

O presente trabalho apresenta um estudo de escoamentos em meios porosos,

considerando a transição insaturado/saturado, e apresentando uma nova relação constitutiva

contínua para a pressão como função da saturação, porém não diferenciável.

Entre as aplicações práticas de fenômenos de transporte em meios porosos, os

escoamentos subterrâneos, os processos de recuperação de petróleo, a contaminação de

solos por resíduos tóxicos, o armazenamento de lixo nuclear em profundas camadas

rochosas do leito marítimo e a dispersão de poluentes, podem ser mencionados como

1

exemplos. O interesse crescente relacionado a tais fenômenos pode ser explicado pela

importância dada a problemas que impactam na auto-suficiência energética e no meio

ambiente [1-4].

Os escoamentos em meios porosos, em muitos casos, podem ser tratados como uma

mistura líquido-gás-sólido. No presente trabalho, a matriz porosa é considerada levemente

deformável, de forma a dar origem a uma nova relação constitutiva entre pressão e

saturação. Além disso, é considerado que a deformação da matriz porosa é tão pequena que

não é levada em conta. Desta forma não é necessário satisfazer as equações de movimento

para o constituinte sólido da mistura. Além disso, como o constituinte gasoso tem, por

hipótese, uma densidade muito pequena, quando comparada à do líquido, sendo incluído

apenas para levar em conta a compressibilidade da mistura, é necessário resolver as

equações de movimento somente para o constituinte líquido da mistura.

A ferramenta utilizada para obter um modelo mecânico que represente tais

escoamentos foi a Teoria Contínua de Misturas. Combinando esta teoria com hipóteses

constitutivas apropriadas, obtém-se uma descrição matemática do problema. Essa descrição

é representada por um sistema hiperbólico não-linear de equações diferenciais parciais,

representando as equações de massa e de momentum linear (combinadas às relações

constitutivas pertinentes) para o constituinte líquido e para a mistura.

A descrição de grande parte dos fenômenos de transporte envolve a aplicação de

equações diferenciais parciais elípticas ou parabólicas que, em geral, admitem soluções

regulares e cujas simulações podem ser implementadas através de métodos numéricos

conhecidos, tais como elementos finitos, volumes finitos ou diferenças finitas.

Os sistemas hiperbólicos, por outro lado, permitem uma descrição mais realista de

2

certos fenômenos do transporte, uma vez que a propagação de qualquer quantidade ou

informação presente nestes fenômenos pode ser caracterizada por uma velocidade finita. No

entanto, tais sistemas podem não admitir soluções regulares, mas sim soluções

descontínuas, que se caracterizam por soluções generalizadas envolvendo ondas de choque,

o que requer o emprego de ferramentas numéricas específicas, tais como o esquema de

Glimm [5] ou o esquema de Godunov [6] para tratar a natureza descontínua do problema.

Assim, um dos grandes desafios que envolvem o tratamento de soluções descontínuas

reside no fato que técnicas analíticas eficientes que predominam na teoria de equações

diferenciais parciais dissipativas não podem ser diretamente aplicadas àquelas situações.

A relação constitutiva proposta para a pressão permite que a saturação da matriz

porosa seja alcançada e o sistema de equações diferenciais parciais não-lineares, permaneça

hiperbólico mesmo quando a supersaturação é atingida. Dessa forma é possível empregar o

Método de Glimm para o problema estudado.

O Método de Glimm [5], que é um esquema de escolha aleatória, especialmente

desenvolvido para tratar de problemas envolvendo propagação de descontinuidades e ondas

de choque, tem sido usado para descrever fenômenos distintos caracterizados por

velocidades de propagação finitas. Exemplos são os estudos das equações de águas rasas do

problema de quebra de barragem [7], propagação de onda em tubulações elasto-visco-

plásticas [8], escoamentos de gases em tubulações [9], propagação de ondas em fluidos

[10], redução de vazios de ar em concreto asfáltico [11], transporte de poluentes na

atmosfera [12-14] e escoamentos em meios porosos insaturados [1-2].

Para a utilização do Método de Glimm, no entanto, é necessário conhecer a priori, a

solução do problema de Riemann associado ao sistema hiperbólico originado pelo modelo

3

proposto. A solução do problema de Riemann associado a um sistema hiperbólico é uma

ferramenta importante em muitos campos de pesquisa distintos como escoamentos

magneto-gás-dinâmicos, escoamentos bifásicos compressíveis isoentrópicos não ideais,

sistemas hiperbólicos não conservativos modelando elasto-dinâmica, ou um modelo

hiperbólico incompressível para fluidos, por exemplo. Algumas aplicações podem ser vistas

em [15-21].

Em resumo, este trabalho propõe uma descrição via Teoria de Misturas para o

escoamento unidimensional transiente de um fluido através de uma matriz porosa, com

transição insaturado/saturado, considerando a matriz porosa como levemente deformável,

sempre dando origem a um sistema de equações hiperbólico não-linear, que tem como

incógnitas a velocidade e a saturação do constituinte líquido. Dessa forma, após obter a

solução completa do problema de Riemann associado, pode-se aplicar o método de Glimm

ao modelo proposto, obtendo-se evolução da solução do problema com o tempo para

quaisquer condições iniciais.

O modelo utilizado nesse trabalho (escoamento unidimensional em uma matriz

porosa), apesar de simplificado, serve como base para a descrição de situações práticas

muito comuns e importantes, como, por exemplo, escoamentos em reservatórios de

petróleo, ou contaminação do solo por poluentes. Na abordagem empregada no presente

trabalho supõe-se que uma das direções do escoamento é de ordem de grandeza superior às

demais, o que justifica empregar uma abordagem unidimensional.

4

1.2. Revisão Bibliográfica

1.2.1. Teoria de Misturas

Neste trabalho, os escoamentos em meios porosos são descritos empregando uma

modelagem de Teoria de Misturas, uma generalização da Mecânica do Contínuo clássica,

especialmente desenvolvida para tratar fenômenos multifásicos [4].

O primeiro trabalho conhecido, no qual foi estudado escoamento através de meios

porosos foi publicado por Darcy em 1856 [22], no qual foi postulada a conhecida lei de

Darcy. Com esta lei é possível estudar a porosidade, a vazão da água e a permeabilidade em

aquíferos. Ao longo da história alguns autores publicaram trabalhos empregando a lei de

Darcy, dentre os quais podemos citar Sundaravadivelu e Tso [23], que estudaram a

influência da viscosidade na transferência de calor por convecção forçada. Estes autores

estudaram analiticamente o problema empregando a lei de Darcy e concluíram que o perfil

de velocidade é fortemente afetado pela variação das características da matriz porosa e da

viscosidade do fluido.

O trabalho analítico publicado por Kelly [24], apresenta as tradicionais equações de

balanço de massa, momentum, energia e entropia além de introduzir equações de balanço

de carga elétrica e fluxo magnético, considerando reações químicas. Neste trabalho são

introduzidos termos que levam em conta a interação entre os constituintes existentes antes

ou depois dessas reações. O autor afirma que as equações postuladas por ele são as mais

gerais existentes na literatura.

5

A Teoria de Misturas foi empregada por Bowen [25] para apresentar modelos que

descrevem a mistura de sólidos e fluidos. Os modelos propostos foram postulados a partir

da cinemática e das equações de balanço de massa e de momentum. Também é feita uma

análise termodinâmica para os casos de mistura de sólidos elásticos incompressíveis e

fluidos incompressíveis, mistura de sólidos rígidos e fluidos incompressíveis.

Saldanha da Gama e Martins-Costa [26] simularam a transferência de momentum e

de energia num meio poroso insaturado por um fluido incompressível, modelado via Teoria

de Misturas levando a uma descrição matemática de quarto equações diferenciais não

lineares. A simulação do problema foi feita através da aplicação de um esquema de Glimm,

combinado a uma técnica de fatoração do operador para o problema hidrodinâmico, que

permite transformar um problema complexo em dois sequenciais mais simples.

Jiang e Ren [27] postularam equações para um fluido bidimensional escoando

através de um meio poroso, a partir do modelo de Darcy. O problema foi estudado

considerando as condições de contorno postuladas em [28-31] a fim de calcular

aproximações numéricas que permitissem a comparação com resultados experimentais,

permitindo observar que o modelo proposto apresenta boa exatidão.

O estudo de múltiplos fluidos imiscíveis escoando através de um meio poroso foi

estudado por Wei e Muraleetharan [32], usando a Teoria de Misturas. Os autores provaram

que a Teoria de Misturas pode ser deduzida a partir do princípio de potências virtuais.

Hanyga [33] empregou a Teoria de Misturas para estudar o escoamento de dois (ou

mais) fluidos imiscíveis através de uma matriz porosa. Foram introduzidas equações

constitutivas para a energia, o tensor tensão, o momentum e o fluxo de calor. Efeitos como

6

a capilaridade e as forças de arrasto responsáveis pelo aumento da difusão foram incluídos

na formulação apresentada para descrever o problema.

Massoudi [34] explicou a importância das condições de contorno para resolver

problemas empregando a Teoria de Misturas. O trabalho estuda o caso de misturas de um

sólido e um líquido. O caso de condições de contorno nas paredes sólidas foi estudado,

sendo introduzida uma velocidade de deslizamento, considerando que, de fato, alguns

fluidos escorregam na parede.

A Teoria de Misturas foi empregada por Ristinmaa et al. [35] para estudar o

escoamento em um sólido poroso termoelasto-plástico. No modelo proposto são

consideradas as trocas de massa entre as fases líquida e vapor. As equações de balanço de

massa, de momentum e também a equação da energia livre de Helmholtz foram postuladas

para cada fase. Foram considerados os efeitos térmicos, os efeitos da deformação tanto na

fase sólida quanto na fase líquida, da difusão e condução, evolução plástica e a troca de

massa. Como resultados, foram obtidas as curvas de equilíbrio considerando os seguintes

casos: que o sólido absorve massa, que o sólido cede massa e que o sólido nem absorve

nem cede massa.

Um modelo macroscópico, considerando rochas insaturadas e isotérmicas, foi

postulado por Chen e Hicks [36], que usaram a teoria de Biot e elementos de não equilíbrio

termodinâmico para obter um modelo que considera três fases: sólida, líquida e gasosa.

Esses autores afirmam ser possível com seu modelo descrever o grau de saturação, a

pressão nos poros, a tensão e a deformação em função do tempo e da distância.

Outra relação que dever ser levada em conta no escoamento através de meios

porosos é a relação entre porosidade e permeabilidade. Na bibliografia encontram-se

7

estudos deste tipo onde a equação de Kozeny-Carman é empregada [37-40]. Essa expressão

que relaciona a porosidade e a permeabilidade requer uma constante que depende do

material e do tamanho dos grãos que compõem a matriz porosa. Esta constante tem um

papel fundamental na aplicação da equação, o valor deste parâmetro muda para cada tipo de

material poroso.

Os modelos matemáticos obtidos a partir da Teoria de Misturas podem resultar em

sistemas hiperbólicos de equações diferenciais. Tais sistemas possuem soluções e

implementações numéricas muito características, uma vez que essas podem ser

descontínuas. A solução de tais sistemas envolve a solução do Problema de Riemann

associado ao sistema, que é utilizada como dado de entrada para o Método de Glimm.

1.2.2. O Problema de Riemann e o Método de Glimm

O estudo matemático de soluções descontínuas teve início com o trabalho pioneiro

de Riemann [41], que primeiro resolveu um problema de valor inicial, para as condições

isoentrópicas unidimensionais de Euler. Riemann estudou a solução das equações de Euler

para um tubo longo contendo gás, inicialmente a condições diferentes de densidade e

pressão, separados por uma membrana. Após o rompimento dessa membrana, ele observou

que o comportamento do gás era tal que suas propriedades apresentavam ondas (choques ou

rarefações) ao longo do comprimento do tubo. Esse problema hoje é conhecido por seu

nome e desempenha um papel essencial na análise numérica e computacional de soluções

descontínuas.

8

Inúmeros métodos para resolver as equações de Euler foram propostos desde o

início dos anos cinquenta, quando Courant et al. [42] e Lax [43] desenvolveram métodos de

primeira ordem de precisão, sendo este último um dos primeiros a utilizar a ideia de

diferenças finitas para provar a existência de soluções fracas, obtendo soluções auto-

similares para o problema de Riemann e o conceito de admissibilidade para choques, o qual

hoje leva seu nome. Posteriormente, diversos outros métodos foram propostos, como os de

Lax e Wendroff [44] e MacCormack [45], os quais foram desenvolvidos empregando

esquemas centrados e ambos apresentam segunda ordem de precisão no tempo e no espaço.

Entretanto, os esquemas centrados não levam em consideração as características físicas de

direção de propagação de informações presentes no escoamento.

A partir da metade do século passado, o estudo analítico da teoria de leis de

conservação teve um grande desenvolvimento devido a renomados matemáticos, como

Hopf [46], um dos precursores na utilização do método de viscosidade nula, seguido por

Oleinik [47], que provou existência, unicidade, comportamento assintótico e decaimento de

soluções para equações escalares em uma variável espacial.

Em 1959, Godunov [6] propôs um esquema upwind de primeira ordem de precisão,

como uma extensão aos métodos desenvolvidos por Courant et al. [42] para sistemas

hiperbólicos não lineares de leis de conservação, no qual resolve um problema de Riemann

exato para cada intervalo da malha, em função das descontinuidades dos valores das

variáveis de estado nas interfaces desta mesma malha. Nesta mesma linha, podemos citar os

esquemas de Engquist e Osher [48], Osher [49] e Roe [50], que são métodos de separação

de diferenças de fluxos.

9

Em 1965, Glimm [5] introduziu o Método de Escolha Aleatória (Random Choice

Method). Este esquema surge como uma prova construtiva da existência de soluções para

uma classe de sistemas hiperbólicos não lineares de leis de conservação, onde se provou a

existência global de soluções para estes sistemas. Glimm amostrou a solução de um

problema de Riemann de forma a obter a solução de escoamentos com descontinuidade

para um tempo qualquer. Em 1976, Chorin [51] implementou com sucesso uma versão

modificada deste esquema como uma ferramenta computacional para resolver as equações

de Euler de dinâmica de gases. Além disso, Chorin propôs uma alteração no processo de

amostragem, de forma a distribuir uniformemente as amostras, dando origem a resultados

mais precisos. Outros exemplos de aplicação com sucesso do Método de Glimm podem ser

encontrados em [52,53].

Entre as principais características do método de Glimm estão a sua capacidade de

não dissipar o choque, preservando, assim, a sua magnitude e posição, além do baixo custo

computacional se comparado a outros métodos de aproximação de problemas não lineares

como o método de elementos finitos associado a uma técnica de captura de choques, por

exemplo. Além disto, quando o comprimento dos passos tomados em relação à variável

espacial tende a zero, a aproximação obtida tende a solução exata do problema,

considerando, neste caso, a sua solução fraca [3, 52].

Atualmente, vários matemáticos chineses têm dado relevantes contribuições ao

problema de Riemann e problemas correlatos. Basta ver, por exemplo, os trabalhos de Gu et

al. [54] e Ding et al. [55], bem como as contribuições mais recentes em Chang e Hsiao [56],

Ding e Liu [57], Li et al. [58] e Li e Yu [59].

10

1.2.3. Escoamentos com restrição em meios porosos

O problema de Riemann e o Método de Glimm são ferramentas importantes na

resolução de problemas de escoamentos em meios porosos, os quais podem apresentar

propagação de descontinuidades. Buscando encontrar modelos fisicamente realistas para

tais problemas, foram desenvolvidos sucessivos modelos para o preenchimento de um meio

poroso utilizando Teoria de Misturas [60, 61].

Daganzo [62], Aw e Rascle [63], Berthelin e Bouchut. [64], Colombo e Goatin [65],

Berthelin et al. [66], Herty e Schleper [67], e Colombo et al. [68] utilizaram modelos de

escoamento de tráfico (traffic flow models) para estudar escoamentos com restrição e

propagação de descontinuidades. Esse modelos, no entanto, podem apresentar resultados

não realistas, tais como densidades negativas [69].

Bouchut et al. [70] discutiram escoamentos bifásicos de um gás e um líquido, e

propuseram um modelo a partir de uma restrição para a fração volumétrica. A metodologia

proposta pelos autores captura as fortes diferenças entre a dinâmica de regiões

congestionadas e livres, assim como permite determinar sua transição.

Rossmanith [71] utilizou um método de volumes finitos, baseado em um método de

propagação de ondas, empregando um artefato de restrição para aproximar um sistema de

equações hiperbólicas não-lineares para problemas de hidrodinâmica magnética, sujeito a

ondas de choque e outras descontinuidades.

Saldanha da Gama [72], propôs uma restrição ao sistema hiperbólico, na qual a

rigidez da matriz porosa e a incompressibilidade do fluido dão origem a uma relação

constitutiva para a pressão parcial do constituinte líquido que leva em conta uma fronteira

11

geométrica, a qual admite soluções realistas. A relação constitutiva para a pressão parcial é

uma restrição geométrica unilateral para a fração do fluido, válida em todo o domínio. Na

sequência, Martins Costa e Saldanha da Gama [73] consideraram uma restrição geométrica

unilateral para a fração do fluido em uma vizinhança conveniente da porosidade, garantindo

continuidade para a pressão e sua primeira derivada e calcularam analiticamente os

Invariantes de Riemann associados com o problema.

Després et al. [74] observaram que entender as restrições impostas aos modelos

matemáticos e o desenvolvimento de soluções para equações diferenciais parciais não

lineares permanecem grandes desafios até os dias atuais. Esses autores apresentaram um

desenvolvimento matemático para soluções fracas de sistemas hiperbólicos com restrições,

com a finalidade de modelar a plasticidade compressível com choques, a qual dá origem a

soluções descontínuas. Os modelos foram propostos nos sistemas de Friedrich com uma

restrição geral convexa, provando que essas soluções fracas são únicas.

Saldanha da Gama et al. [69] impuseram matematicamente uma restrição

geométrica unilateral e apresentaram a solução exata de um Problema de Riemann não

linear com restrição, garantindo que o maior valor da fração do fluido fosse a porosidade e

identificando claramente a transição do escoamento insaturado para o escoamento saturado.

No entanto, quando a saturação era alcançada o problema deixava de ser hiperbólico

impedindo, por exemplo, a utilização do esquema de Glimm, que permite obter soluções

numéricas para quaisquer condições iniciais. Em outras palavras, o esquema de Glimm só

poderia ser aplicado antes da saturação ser atingida. Para superar essa deficiência, o

presente trabalho empregará um artifício matemático: permitir uma pequena saturação –

levando a fração do fluido a exceder levemente a porosidade. Isso é equivalente a permitir

12

uma saturação muito pequena na matriz porosa. Este artifício matemático garante que o

problema permaneça hiperbólico mesmo quando a saturação é alcançada. É importante

notar que a descrição hiperbólica permite implementar um método como o de Glimm para

avançar no tempo (qualquer condição inicial pode ser considerada).

1.3. Objetivos

O presente trabalho foi motivado por [69] no qual a transição entre escoamentos

insaturados e saturados foi identificada e uma restrição física associada ao enchimento de

uma matriz porosa insaturada foi imposta: a porosidade nominal como um limite superior

para a fração de fluido. A referida restrição imposta em [69] fazia com que a

hiperbolicidade do sistema fosse perdida quando a saturação era atingida. No presente

trabalho é apresentada uma restrição que permite definir uma relação constitutiva inédita

para a pressão, a qual garante que o problema permaneça hiperbólico mesmo para

escoamentos saturados.

Utilizando a relação constitutiva proposta, foi simulado o enchimento de uma

matriz porosa unidimensional, que representa problemas práticos nos quais uma das

dimensões é muito maior que as outras, como é o caso de escoamentos em reservatórios de

petróleo ou o caso da contaminação do solo por poluentes.

A descrição utilizada é feita de um ponto de vista da Teoria de Misturas e trata o

escoamento como uma superposição de constituintes contínuos – um constituinte gasoso

com densidade muito baixa (que permite considerar a compressibilidade da mistura como

um todo), um constituinte líquido (representando um fluido newtoniano), que é denotado

13

como constituinte fluido e um constituinte sólido (que representa a matriz porosa quase

indeformável).

Em geral, quando o escoamento torna-se saturado, o modelo matemático deixa de

ser hiperbólico. Neste trabalho considera-se uma matriz porosa fracamente deformável, de

tal forma que a fração de fluido pode ser ligeiramente maior que a porosidade, admitindo

uma pequena supersaturação, que equivale a permitir uma deformação muito pequena na

matriz porosa, de modo a poder considerar uma relação constitutiva contínua e convexa

para a pressão. Este artifício matemático garante que o problema permaneça hiperbólico

mesmo quando a saturação é atingida, além disso, a física do problema é preservada.

A vantagem do problema permanecer hiperbólico é a possibilidade de empregar

uma metodologia apropriada para simular sistemas hiperbólicos, como o método de Glimm,

e marchar no tempo através da solução de um certo número previamente determinado de

problemas de Riemann.

O Capítulo 2 apresenta o Modelo Mecânico do problema discutido nesta tese.

Inicialmente são apresentados os conceitos de Teoria de Misturas e, em seguida, as

hipóteses constitutivas empregadas, permitindo o desenvolvimento equações do Modelo

Mecânico para o problema analisado.

No Capítulo 3, a solução completa para o problema de Riemann associado é

apresentada e, no Capítulo 4 é apresentado o procedimento adotado para a implementação

do método de Glimm ao modelo matemático proposto.

No capítulo 5 são apresentados os resultados numéricos e, por fim, no capítulo 6

são apresentadas as conclusões do trabalho e algumas sugestões para o desenvolvimento de

trabalhos futuros.

14

Capítulo 2

MODELAGEM MECÂNICA

2.1. Introdução

Nesse capítulo serão apresentadas as equações básicas da teoria contínua de

misturas, empregada na descrição do processo de enchimento de um meio poroso

insaturado por um líquido. Quando descreve-se o comportamento de materiais tais como

água, borracha ou polímeros, os mesmos são observados como um único meio contínuo, no

entanto, existem muitas substâncias, como por exemplo, misturas de gases ideais, misturas

de líquidos, líquidos com bolhas, suspensões, meios porosos ou ligas metálicas, para as

quais seria mais apropriado assumir que o meio consiste de mais de um constituinte. Dessa

15

forma, serão apresentadas as equações para o Balanço de Massa e Balanço de Momentum

Linear para cada um dos constituintes e para uma mistura qualquer.

Uma das formas de apresentar as equações para as leis de balanço para um único

constituinte envolve a introdução do conceito de região material. Essa região é definida de

forma que a mesma sempre contenha as mesmas partículas assim, em geral, a fronteira

dessa região varia com o tempo. Esse método pode ser estendido para a dedução de

equações de balanço para misturas.

Uma forma alternativa de apresentar as equações de balanço para um único

constituinte é utilizar uma região arbitrária fixa e regular no espaço. Essa segunda

alternativa também pode ser aplicada para misturas e será utilizada nas subseções seguintes.

Nas próximas subseções será considerada uma região fixa R de volume V delimitada por

uma superfície ∂R também regular de área A. Todas as equações são deduzidas para o

instante de tempo t e todos os campos são funções de x e t. Quando considerado um

constituinte da mistura, será suposto que o mesmo pode ser isolado do restante da mistura,

desde que o efeito dos demais constituintes sobre o mesmo seja considerado.

2.2. Balanço de Massa

A ocorrência de reações químicas e/ou mudanças de fase entre os constituintes pode

alterar a quantidade de qualquer um dos constituintes presentes na mistura.

Consequentemente a massa de um constituinte α não necessariamente é conservada e o

balanço de massa para esse constituinte pode ser escrito como [60]

16

∂∂ t∫V

ραdV +∫∂Vραvα⋅n dA=∫V

mαdV (2.1)

sendo mα a taxa temporal de produção de massa do constituinte α surgindo a partir da

reação com os outros constituintes, n é o vetor unitário normal à superfície ∂R,

apontando para fora da mesma, ρα é a densidade do constituinte α de tal forma que a

densidade da mistura é dada por ρ=∑α

ρα e v α é a velocidade do constituinte α.

Para a mistura como um todo, postula-se a conservação de massa. Em outras palavras,

enquanto consideramos o intercâmbio de massa entre os constituintes, para a mistura, a

criação de massa adicional não ocorre [60]. A equação (2.2) a seguir apresenta a

conservação de massa para a mistura

∂∂ t∫V∑

α

ρα dV+∫∂V ∑

α

ρα vα⋅ndA=0. (2.2)

As equações (2.1) e (2.2) são as formulações integrais para o balanço de massa de

um constituinte e para a mistura, respectivamente. Para obter essas equações em sua forma

diferencial, é necessário utilizar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss1). Aplicando

o Teorema da Divergência à equação (2.1), tem-se

1 O Teorema de Gauss converte uma integral de superfície em uma integral de volume, da seguinte forma:

∫∂ Rv⋅n dA=∫V

(∇⋅v )dV .

17

∫V [∂ ρα

∂ t+∇⋅( ρα vα )−mα]dV= 0. (2.3)

Como R é uma região arbitrária fixa sendo ocupada integralmente pela mistura e,

considerando que o integrando é um campo regular na região R, tem-se que

∂ ρα

∂ t∇⋅ ρα v α =mα . (2.4)

A equação (2.4) é a equação diferencial para o Balanço de Massa de um constituinte

em uma mistura.

Aplicando procedimento semelhante à equação (2.2), tem-se

∂ ρ∂ t

+∇⋅( ρ v )=0 . (2.5)

sendo v a velocidade do baricentro da mistura, e ρ a densidade de mistura, definidos por

(2.6) e (2.7), respectivamente

v ρ=∑α

v α ρα (2.6)

ρ=∑α

ρα (2.7)

18

Realizando a soma em (2.4) observa-se que uma equação equivalente para a

equação (2.5) é

∑α

mα=0 (2.8)

As equações (2.6) e (2.8) são formas equivalentes do Balanço de Massa para a

mistura.

2.3. Balanço de Momentum Linear

Antes de deduzir a equação do Balanço de Momentum Linear para um dado

constituinte α, consideremos as forças agindo nesse constituinte na região R. Assim como

as força de campo (como, por exemplo, o campo gravitacional), devem ser levados em

consideração os efeitos da mistura fora da região R. Isso é feito mediante um tensor

Tα (n , x , t ) definido em toda a região R, que expressa localmente o estado de tensão

decorrente da força de contato exercida sobre o constituinte α pelo exterior a ∂R. Esse

tensor é chamado Tensor Parcial de Tensões e possui uma função na Teoria das Misturas,

análoga ao Tensor Tensão na Mecânica do Contínuo. Dois outros efeitos a serem

considerados no balanço de Momentum Linear de α são (1) o Momentum Linear fornecido

a α devido a reações químicas e/ou mudanças de fase com outros constituintes e (2) a

transferência de Momentum Linear devido a outras interações, como por exemplo, o

movimento relativo entre os constituintes e os efeitos devido a uma distribuição não

19

uniforme de um constituinte no interior de outro constituinte. De acordo com essas

observações, a equação do Balanço de Momentum Linear para o constituinte α fica da

forma da equação (2.9) a seguir

∂∂ t∫V

ρα vα dV+∫∂ R ( ρα vα v α )⋅n dA−∫Vmα jα dV=∫V (ρα f α+ pα )dV+∫∂ R

Tα⋅n dA . (2.9)

sendo que fα representa as forças externas agindo no constituinte α, medidas por unidade

de massa de α. O terceiro e o quinto termos da equação (2.9) contabilizam os efeitos

mencionados em (1) e (2) acima, tendo jα dimensões de velocidade e pα é a força

difusiva exercida em α pelos demais constituintes. Observa-se que, quando não ocorrem

reações químicas e/ou mudanças de fase na mistura (mα=0) , o terceiro termo de (2.9) e

jα não figuram na teoria.

Como foi suposta conservação de massa para a mistura (equação (2.5)) e que a

força pα é um efeito interno, o qual não afetará a mistura como um todo, a equação que

representa o balanço de Momentum Linear para a mistura é dada por

∂∂ t∫V∑

α

ρα vα dV+∫∂R∑

α ρα vα vα ⋅ndA=∫V ∑

α

ρα f α dV+∫∂R∑

α

T α⋅n dA . (2.10)

Aplicando o Teorema de Gauss à equação (2.9) obtém-se

20

∫V [∂ ρα vα

∂ t+∇⋅( ρα v α vα )−mα jα−(ρα f α+ pα )−∇⋅Tα] dV=0 . (2.11)

Como R é uma região arbitrária fixa no interior da mistura e, considerando que o

integrando é regular na região R, tem-se que

∂ ρα v α

∂ t∇⋅ρα vα v α =∇⋅T αmα jαρα f αpα (2.12)

que é a equação do Balanço do Momentum Linear para um constituinte α da mistura.

Aplicando-se um procedimento semelhante à equação (2.10) obtém-se a equação do

Balanço de Momentum Linear para a Mistura, dada pela equação (2.13) a seguir

∑α[∂ ρα v α

∂ t+∇⋅( ρα v α v α)]=∇⋅T+ ρ f (2.13)

sendo f=∑

α

ρα f α

ρ a força de corpo externa total e T=∑

α

T α o tensor de tensões atuando

sobre a mistura.

Somando (2.12) para todos constituintes, obtém-se uma equação equivalente a

(2.13), dada por

∑α

( pα +mα jα )=0 (2.14)

21

2.4. Modelo Mecânico Considerado

No presente trabalho, o modelo mecânico considera um escoamento isotérmico de

uma mistura de três constituintes quimicamente não reagentes: um constituinte gasoso com

densidade muito pequena (inserido para levar em conta a compressibilidade do constituinte

líquido), um constituinte sólido fracamente deformável e um líquido newtoniano, que a

partir de agora será denominado como constituinte fluido. É importante ressaltar que o

comportamento do constituinte sólido não é considerado, por ser ele suposto fracamente

deformável. Além disso, o componente gasoso é considerado um gás muito rarefeito, sendo

incluído apenas para considerar a compressibilidade do constituinte fluido, não sendo

necessário, portanto, resolver as equações de conservação para esse constituinte. Sob estas

hipóteses basta resolver equações de conservação de massa (equação (2.4)) e Momentum

Linear (equação (2.12)) para o constituinte fluido [60, 61]

∂ ρF

∂t∇⋅ ρF vF =mF . (2.15)

∂ ρF vF

∂ t∇⋅ ρF vF v F =∇⋅T FmF jFρF f F pF (2.16)

sendo que ρF representa a densidade mássica do constituinte fluido (razão local entre a

massa do constituinte fluido e o volume correspondente de mistura), v F é a velocidade do

constituinte fluido na mistura, TF é o tensor parcial de tensões associado ao constituinte

fluido, f F representa as forças externas (por unidade de massa) agindo no constituinte

22

fluido, pF é a fonte (fornecimento) de Momentum Linear que atua sobre o constituinte

fluido devido à sua interação com os demais constituintes da mistura. O termo jF

representa o Momentum Linear fornecido ao constituinte fluido devido a reações químicas

com outros constituintes e mF a produção de massa do constituinte fluido surgindo a

partir da reação com os outros constituintes.

Como no presente trabalho os constituintes da mistura são considerados como não

reagentes, tem-se que mF=0. Além disso, será considerado que o efeito das forças

externas é desprezível em relação às forças causadas pela pressão e pelo escoamento, assim

f F=0. A partir dessas simplificações, as equações (2.15) e (2.16) podem ser reescritas

como

∂ ρF

∂ t+∇⋅(ρF v F )=0 (2.17)

∂ ρF v F

∂ t+∇⋅(ρF v F v F )=∇⋅T F+ pF (2.18)

Além disso, no presente trabalho o tensor parcial de tensões é suposto simétrico,

satisfazendo, assim, automaticamente o Balanço de Momentum Angular para cada

constituinte e, consequentemente, para a mistura.

A fração de fluido φ é definida como a razão entre a densidade mássica real do

fluido (de um ponto de vista de Mecânica do Contínuo) e a densidade mássica do

constituinte fluido (de um ponto de vista de Teoria de Misturas), e a saturação ψ é

23

definida como a razão entre a fração de fluido e a porosidade da matriz porosa ε ,

portanto, tem-se:

φ=ρFρf

(2.19)

ψ=φε=

ρFρf ε

(2.20)

sendo ρf a densidade mássica real do fluido (de um ponto de vista de Mecânica do

Contínuo), enquanto ρF representa a densidade mássica do constituinte fluido (de um

ponto de vista de Teoria de Misturas, que é a razão local entre a massa constituinte fluido e

o volume correspondente de mistura). É importante notar que se o constituinte sólido, que

representa a matriz porosa fosse suposto indeformável (rígido), então 0<ψ⩽1. Como é

admitido que a matriz porosa seja fracamente deformável, não é necessário satisfazer a

restrição ψ⩽1. Observa-se que ψ não é ilimitado. Ou seja, ele apenas ultrapassa

discretamente a unidade. Assim ψ=1+δ , sendo δ≪1.

O Modelo Mecânico é obtido combinando-se as equações de conservação de Massa

e Momentum Linear para o constituinte fluido (equações (2.17) e (2.18) respectivamente)

com relações constitutivas para o tensor parcial de tensões (T) e o termo de fonte de

momentum ( pF) .

Inicialmente a relação entre a fonte de Momentum Linear é considerada [26, 60,

75]. Esse termo usualmente é escrito como um termo relacionado com a velocidade do

constituinte fluido e um termo relacionado com o gradiente da fração de fluido. De acordo

com [76], as equações clássicas de Darcy consideram as forças de arrasto que surgem a

24

partir da velocidade relativa entre os constituintes de uma mistura. Assim, o termo

relacionado com a velocidade do constituinte fluido é usualmente chamado termo darciano.

O termo relacionado com o gradiente da fração de fluido representa o efeito das forças

capilares que surgem devido a distribuição não-uniforme do fluido na matriz porosa não-

saturada. Dessa forma o termo pF é dado por [1]

pF=−μf

Kφ

2 v F−μf D

K∇φ (2.21)

sendo μ f a viscosidade do fluido, K a porosidade específica do meio poroso (ambas

medidas sob um ponto de vista de Mecânica do Contínuo), e D é um coeficiente de difusão

(análogo ao coeficiente de difusão de massa). Neste trabalho o termo darciano é

desprezado, portanto pF depende apenas do gradiente de concentração.

A seguinte relação é assumida para o tensor parcial de tensões [1, 2, 26]

TF=−φ p̂ I+2λφ2μ f DF (2.22)

sendo p̂ a pressão, I o tensor identidade, μf a viscosidade do fluido, λ é um

parâmetro sempre positivo que depende da microestrutura da matriz porosa [9] e DF é a

parte simétrica do gradiente da velocidade do constituinte fluido.

De acordo com [77] as tensões normais são dominantes em relação às cisalhantes e

às trações interfaciais, permitindo que o tensor parcial de tensões (2.22) seja escrito como

25

TF=−φ p̂ I . (2.23)

Substituindo as equações (2.20), (2.21) e (2.23) nas equações (2.17) e (2.18),

tem-se

∂φ

∂ t+∇⋅(φ v F )= 0 (2.24)

ρf [ ∂φ v F

∂ t+∇⋅(φ v F v F)]=−∇(φ p̂)−

μf D

K∇ φ . (2.25)

Nesse ponto será considerado que o escoamento ocorre em uma matriz porosa que

apresenta uma dimensão muito maior que as demais, como ilustrado na Figura 2.1, a seguir.

Nessa figura, o escoamento ocorrerá na direção x e as equações poderão ser modificadas

para contemplar apenas as variações nessa direção. Destaca-se que o modelo da Figura 2.1

pode representar um escoamento em um reservatório de petróleo, ou mesmo a dispersão de

poluentes no solo.

Figura 2.1 - Escoamento através da matriz porosa considerada.

26

Redefinindo a pressão p̄= p̄(φ) como p̄=p̂ρfφ+

μf D

K ρf

φ , supondo que todas as

quantidades dependem apenas da posição x e do tempo t, e que a única componente não

nula da velocidade do constituinte fluido v F seja v, pode-se reescrever o sistema não-

linear formado pelas equações (2.24) e (2.25) como

∂φ

∂ t+ ∂∂ x

(φ v )= 0 (2.26)

∂∂ t

(φ v )+ ∂∂ x

(φv2+ p̄ )=0 . (2.27)

Nesse ponto uma relação constitutiva contínua e convexa para a pressão é proposta.

A seguinte relação assegura que o problema permaneça hiperbólico para escoamentos

insaturados e saturados

p̄={ c̄ ²φ , φ<ε

c̄ ² ε+ c̄W2(φ−ε) , φ⩾ε} (2.28)

sendo que c̄W>c̄>0 e ε>0 são constantes.

A definição da pressão em (2.28) garante que os autovalores da matriz jacobiana

do sistema associado sejam sempre reais e distintos, o que caracteriza um sistema

hiperbólico. Isso será melhor explicado no capítulo 3. Além disso, a pressão como definida

em (2.28) é função apenas de uma variável, assim sua derivada será denotada por p̄' .

Além disso, observa-se que p̄' é sempre positiva.

27

A figura 2.2 mostra a pressão em função da fração de fluido. Se a matriz porosa

fosse considerada rígida, a pressão deixaria de ser uma variável constitutiva para φ⩾ε ,

pois o valor máximo da fração de fluido para um meio poroso rígido seria φ=ε [69],

correspondendo a um meio poroso saturado, quando a pressão seria representada por uma

linha vertical ( p̄⩾ c̄2ε para φ=ε ) . Como a supersaturação admitida é muito pequena a

inclinação da parcela na qual φ⩾ε , está muito exagerada.

Figura 2.2. Pressão versus fração do fluido em um escoamento supersaturado através de

uma matriz porosa.

Nesse trabalho, a supersaturação φ>ε é permitida, presente na relação constitutiva

proposta, equação (2.28). O parâmetro c̄W é uma constante convenientemente escolhida

de tal forma que, quando c̄W→∞ a matriz porosa tende a ser rígida e a pressão tende a

uma linha vertical quando φ=ε . Como qualquer curva diferenciável pode ser aproximada

28

por uma linha reta, será suposto que δ>φ−ε⩾0 , sendo δ um número muito pequeno,

assim, o parâmetro c̄W não depende da fração de fluido. De fato, considerar δ muito

pequeno corresponde a considerar o parâmetro c̄W muito grande, que é o procedimento

adotado no presente trabalho.

O parâmetro c̄W pode ser escolhido livremente, desde que não seja menor que 1.

Quanto maior o valor desse parâmetro, mais próximo do problema real. No entanto, para as

simulações numéricas, esse parâmetro fica limitado, uma vez que, valores elevados para

c̄W geram valores pequenos para φ−ε , sendo esses limitados pela precisão do

computador (que normalmente é em torno de 1x 10−8 ) .

A hipótese da supersaturação busca preservar a hiperbolicidade das equações

diferenciais parciais, enquanto não descarta qualquer variação não desprezível na

permeabilidade e na porosidade. Tal hipótese é válida apenas para pequenas deformações

na matriz porosa e dá origem a velocidades de propagação muito altas, quando a fração de

fluido é maior ou igual à porosidade. Esse ponto de vista foi baseado nas considerações

clássicas de elasticidade infinitesimal (na qual as configurações de referência e deformada

são praticamente coincidentes).

Observa-se que, se fosse adotado uma curva parabólica para a pressão, que

aproximasse a curva da Figura 2.2, a solução analítica do Problema de Riemann associado

seria muito mais complexa, devido à álgebra associada.

Neste ponto é conveniente introduzir as seguintes quantidades adimensionais:

29

ω=vc̄

, p=p̄

ε c̄2 , τ=c̄ t , e cW=c̄W

c̄(2.29)

as quais, combinadas com a definição de saturação (equação (2.20)), originam o problema

∂ψ∂ τ +

∂∂ x

(ψω)=0 (2.30)

∂∂ τ (ψω)+

∂∂ x

( p+ψω2)=0 (2.31)

p={ ψ , seψ<11+cw

2(ψ−1) , seψ⩾1}, cw

2>1 (2.32)

A pressão dada pela equação (2.32) fica da forma apresentada na Figura 2.3, a

seguir.

Figura 2.3. Pressão versus saturação em um escoamento supersaturado através de uma

matriz porosa.

30

Capítulo 3

Solução Completa do Problema de Riemann

3.1. Introdução

O Problema de Riemann trata da um sistema hiperbólico de equações diferenciais

sujeito a um tipo particular de condições iniciais. O sistema em questão é representado por

∂u∂ t+∂ f (u)∂ x

=0, x∈ℝ , t>0 (3.1)

sendo que:

• u é um vetor de dimensão m x 1, cujas componentes são as variáveis do

problema a ser resolvido;

31

• f(u) representa o fluxo de u.

Se o sistema definido em (3.1) estiver sujeito a uma condição inicial do tipo degrau,

então esse é um problema de Riemann. A condição inicial do tipo degrau é definida como

u(x ,0)={uE=const , para x<0uD=const ,para x>0} (3.2)

Um sistema de equações diferenciais é dito estritamente hiperbólico se a matriz

Jacobiana de f(u) possui apenas autovalores reais e distintos [79]. Para encontrar a matriz

Jacobiana do sistema dado por (3.1) aplica-se a regra da cadeia, da seguinte forma

∂u∂ t+∂ f (u)∂ x

=∂u∂ t+∂ f (u)∂u

∂u∂ x=∂u∂ t+A(u)

∂u∂ x=0 (3.3)

sendo A(u) a matriz Jacobiana de f(u), definida por

A(u)=∂ f (u)∂u

=[∂ f 1 /∂u1 ∂ f 1 /∂u2 ⋯ ∂ f 1/∂um

∂ f 2 /∂u1 ∂ f 2 /∂u2 ⋯ ∂ f 2/∂um

⋯ ⋯ ⋱ ⋯∂ f m /∂u1 ∂ f m /∂u2 ⋯ ∂ f m /∂um

] (3.4)

Se a matriz A(u) definida em (3.4) é uma matriz constante, o sistema (3.1) é um

sistema linear. Caso contrário, esse sistema é não-linear.

32

Consideremos inicialmente o caso de sistemas lineares. Definindo-se a matriz D

como a matriz diagonal, cujos componentes são os autovalores λ i de A(u), e a matriz R,

cujas colunas são os autovetores R(i ) à direita de A(u), pode-se escrever

A=RDR−1 ou D=R−1 AR . (3.5)

A existência da matriz inversa R−1 permite definir um novo conjunto de variáveis

dependentes V=(v1 , v2 , ... , vm)T , chamadas variáveis características, dadas pela seguinte

transformação

V=R−1 u ou u=RV (3.6)

Substituindo (3.5) e (3.6) em (3.3), tem-se que

∂RV∂ t

+RD R−1 ∂RV∂ x

=R∂V∂ t+RD R

−1R∂V∂ x=R(∂V

∂ t+D∂V∂ x )=

∂V∂ t+D∂V∂ x=0 (3.7)

Escrevendo (3.7) em forma matricial, tem-se

∂∂ t [

v1

v2

⋮v m]+[λ1 0 ... 00 λ2 ... 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ... λm

] ∂∂ x [v1

v2

⋮vm]=[

00⋮0] (3.8)

33

A equação (3.8) pode ser desacoplada em m equações diferenciais da seguinte forma

∂v i

∂ t+λ i

∂ v i

∂ x=0, i=1, ...,m (3.9)

Observa-se que a equação (3.9) é análoga à equação da advecção linear, cuja

solução é uma onda que se desloca com velocidade λ i . Ou seja, o seguinte problema de

valor inicial

∂V∂ t+D∂V∂ x=0

V (x , t=0)=V 0(x)

é formado por m equações escalares da forma de (3.9), cujas soluções são

v i(x , t)=v i(x−λ i t ,0) .

Dessa forma, a solução do sistema (3.3)-(3.2) é dada por

u(x , t)=RV (x , t)=∑p=1

m

v p(x , t)Rp=∑p=1

m

v p(x−λp t ,0)R p .

34

Assim, a solução para u pode ser vista como a superposição de m ondas, que se

propagam sem que suas formas sofram qualquer deformação. Logo, a i-ésima onda tem a

forma v i(x , t=0) e se propaga com velocidade λ i .

Para sistemas não-lineares, ou seja, aqueles cuja matriz A(u) definida em (3.4) não é

constante, a velocidade característica λ i é função da própria solução u, o que provoca

distorções na forma de propagação das ondas.

Embora possam existir soluções generalizadas para todo o tempo para sistemas não

lineares, elas podem deixar de ser diferenciáveis a partir de um certo instante. Para

equações lineares, as singularidades na condição inicial são propagadas ao longo das

características (que são curvas no plano x-t). No caso não linear isto em geral não ocorre,

uma vez que as singularidades (no caso de serem choques) são propagadas ao longo das

curvas do espaço-tempo que não são necessariamente características.

Algumas vezes, ao invés da singularidade na condição inicial ser propagada ao

longo das características, ela é suavizada instantaneamente, de modo que no instante

imediatamente posterior, ou seja, para qualquer t > 0, a solução já é contínua.

Exigir que uma solução u, para um sistema não linear, seja C1 (classe das funções

continuamente diferenciáveis) é uma condição muito forte. Logo, para aumentar o conjunto

que contemple tais soluções é preciso diminuir as restrições sobre a regularidade das

mesmas. Tal procedimento dá origem às chamadas soluções fracas para (3.1)-(3.2).

35

Definição: A função u0 é uma solução fraca de (3.1)-(3.2) se

∫0

∞

∫−∞∞

[φ t⋅u0+φ x⋅f (u0)]dx dt+∫−∞∞

φ( x ,0)⋅u0(x ,0)dx=0 (3.10)

para toda função teste φ∈C10 [79]. Observa-se que φ é uma função vetorial. Assim,

escolhendo-se φ=(0,0,…,0 ,φi ,0 ,…,0 ,0) com φi∈C10 e i = 1, …, m, a equação (3.10)

define uma solução fraca para a i-ésima componente do problema de Riemann (3.1)-(3.2).

As soluções fracas podem ser suaves. No caso de não serem suaves, isto ocorrerá

para um número finito de conjuntos. No entanto, existe uma restrição que deve ser satisfeita

pelas soluções fracas. Tal condição é chamada de condição de salto ou condição de

Rankine- Hugoniot.

3.2. Condições de Entropia e Invariantes de Riemann

Para que ocorra um choque, a condição de Rankine-Hugoniot deve ser satisfeita.

Essa condição também é chamada de condição de salto e estabelece que, se u é uma

solução para o problema de Riemann associado, então a condição de choque é dada por

[f ]=[u] dxdt

(3.11)

36

sendo [f ]=f (u+)−f (u-) , [u]=u+−u- . , u+ e u- respectivamente os valores de u

à direita e à esquerda do choque e dxdt=s é a velocidade do choque, ou seja a velocidade

de propagação da descontinuidade [3,79].

Adicionalmente à condição de Rankine-Hugoniot, a condição de entropia de Lax

estabelece condições para a ocorrência de choque. Dado um problema de Riemann com m

equações, para que ocorra um choque-k, as seguintes condições devem ser satisfeitas

[3,79]

ku+skk1u+ (3.12)

λk−1(u-)<sk<λk (u-) (3.13)

As Eqs. (3.12) e (3.13) originam a condição k u+k u- .

Os invariantes de Riemann são utilizados para determinar as rarefações. Um

invariante-k de Riemann é uma função suave w, de tal forma que

R(k)⋅∇w (u)=0 (3.14)

sendo que o gradiente de w é tomado em relação a u [79].

37

3.3. Solução do Problema de Riemann associado

No presente trabalho o problema estudado é representado pelo seguinte sistema

hiperbólico, que representa um problema de Riemann

∂ψ∂ τ +

∂∂ x(ψω)=0 (3.15)

∂∂ τ (ψω)+

∂∂ x( p+ψω2

)=0 (3.16)

p={ ψ , seψ<11+cw

2(ψ−1) , seψ⩾1}, cw

2>1 (3.17)

(ψ,ω)={(ψE ,ωE) ,−∞<x<0, τ=0(ψD ,ωD) ,0<x<∞ , τ=0 } (3.18)

sendo ψE e ψD valores positivos.

A solução do Problema de Riemann apresentado pelas equações (3.15) a (3.18) não

é trivial. Como visto na seção anterior, a solução desse problema apresenta duas ondas que

se deslocam com velocidades diferentes. Os estados iniciais à esquerda e à direita são então

conectados por um estado intermediário, denominado estado *. As ondas que conectam os

estados à esquerda ou à direita ao estado intermediário podem ser choques ou rarefações.

Dessa forma, para construir a solução do problema, é necessário, inicialmente, determinar

os tipos de ondas que ocorrem entre esses estados. Em seguida, é necessário determinar

equações para as variáveis no estado intermediário (ψ* ,ω*) apenas em função das

variáveis iniciais (ψE ,ωE) e (ψD ,ωD). A Figura 3.1 abaixo resume um exemplo de

38

solução do problema de Riemann, no qual tem-se um estado à esquerda (E), seguido de um

leque de rarefação associado ao autovalor λ1, depois um estado intermediário, seguido de

um choque associado ao autovalor λ2 e, finalmente, um estado à direita D.

Figura 3.1 – Possível solução para o Problema de Riemann Associado.

O primeiro passo para encontrar as soluções desse problema de Riemann é deixar as

equações (3.15) e (3.16) no formato da equação (3.3). Para tal, modificaremos a equação

(3.16) utilizando a derivada do produto e a regra da cadeia, da seguinte forma

∂∂ τ(ψω)+ ∂

∂ x( p+ψω

2)= ∂∂ τ(ψω)+

d pd ψ

∂ ψ

∂ x+ω

2 ∂ψ

∂ x+2ψω ∂ω

∂ x=0 (3.19)

Observa-se que

∂∂ x(ψω)

2=2ψω ∂

∂ x(ψω)=2ψ2

ω ∂ω∂ x+2ψω2 ∂ψ

∂ x⇒ψ∂ω

∂ x= ∂∂ x(ψω)−ω

∂ψ

∂ x. (3.20)

39

Substituindo (3.20) em (3.19), tem-se

∂∂ τ (ψω)+( p '−ω2

)∂ψ

∂ x+2ω ∂

∂ x(ψω)=0, (3.21)

sendo p' a primeira derivada de p em relação a ψ. Pela equação (3.17) verifica-se que a

pressão é função apenas de ψ. Assim, essa diferencial é uma derivada ordinária sendo

denotada por p'.

Assim (3.15) e (3.21) podem ser reescritas como

∂∂ τ [ ψψω]+[ 0 1

p '−ω2 2ω] ∂∂ x [ψψω ]=0. (3.22)

É importante notar que o vetor u que representa os estados é dado por [ ψψω] .

Os autovalores associados à matriz da equação (3.22), em ordem crescente,

λ1<λ2, são

λ1=ω−√ p ' (3.23)

λ2=ω+√ p ' (3.24)

Pela definição da pressão em (3.17) verifica-se que, como a pressão é crescente, a

sua derivada é sempre positiva. Assim, os autovalores definidos em (3.23) e (3.24) são

sempre reais. Além disso, como a pressão em (3.17) é uma função convexa e crescente, os

40

autovalores serão sempre distintos e crescentes, garantindo, assim, a hiperbolicidade do

problema. A convexidade da pressão também garante a unicidade da solução do problema

de Riemann.

Assim, os autovalores λ1 e λ2 são respectivamente as velocidades de

propagação das ondas 1 e 2, na Figura 3.1. É necessário, no entanto, determinar quais os

tipos de ondas que podem acontecer.

Rarefação-1

Uma onda de rarefação é uma solução contínua de (3.1)-(3.2) na forma

u=u(x / τ) . No caso do estado à esquerda (E) ser conectado ao estado intermediário (*)

por uma onda de rarefação, não ocorre descontinuidade na solução. Dessa forma, para que

ocorra rarefação, é necessário que a velocidade característica λ1 aumente com x / τ . Ou

seja, é necessário que λ1(u(x / τ)) aumente com x / τ [3,79].

Fazendo ξ=x / τ , uma variável de similaridade, tem-se que

∂ξ

∂ x=

1τ (3.25)

∂ξ∂ τ=−

x

τ2

(3.26)

41

Considerando que ∂u∂ τ=

dud ξ∂ ξ∂ τ

e que ∂u∂ x=

dud ξ∂ξ

∂ x, pode-se, com base em

(3.25) e (3.26) reescrever a equação (3.22) como

−ξd

d ξ [ψψω]+[ 0 1

p '−ω2 2ω] dd ξ [

ψψω]=0, (3.27)

ou

[( 0 1p '−ω2 2ω)−ξ I ] d

d ξ [ψψω ]=[ −ξ 1

p '−ω2 2ω−ξ] dd ξ [

ψψω]=0 (3.28)

Sed

d ξ [ψψω ]≠0 então

dd ξ [

ψψω ] é um autovetor de [ 0 1

p '−ω2 2ω ] e ξ um

autovalor. Observa-se que os autovalores da equação (3.28) são os mesmos da equação

(3.22) e são dados pelas equações (3.23) e (3.24). Como existem dois autovalores, duas

ondas de rarefação são possíveis.

Foquemos, inicialmente, na rarefação associada ao primeiro autovalor λ1. A

equação (3.28) pode ser reescrita como

[ −λ1 1

p '−ω2 2ω−λ1][

d ψd ξ

dψωd ξ

]=0 (3.29)

42

o que leva a

−λ1

dψd ξ+

d ψωd ξ

=0 (3.30)

( p '−ω2)

dψd ξ+(2ω−λ1)

d ψωd ξ

=0 (3.31)

Da equação (3.30), tem-se que

−λ1 dψ+d ψω=0 (3.32)

ou

−(ω−√ p ')dψ+ψdω+ωdψ=√ p ' d ψ+ψdω=0. (3.33)

A equação (3.33) pode ser integrada da seguinte forma

∫ωE

ω*

dω=−∫ψE

ψ*

√ p 'dψψ (3.34)

ou

ω*−ωE=−∫ψE

ψ*

√ p 'dψψ . (3.35)

43

Assim, para que os estados à esquerda (E) e intermediário (*) sejam conectados por

uma rarefação-1, é necessário que ω aumente com ξ . Verifica-se, pela equação (3.35),

que isso ocorrerá quando a função do lado direito da igualdade for uma função crescente de

ξ . Com base na equação (3.17), o lado direito da equação (3.35) pode ser reescrito como

ω*−ωE=√ p ' (ψE) ln (ψE)−√ p ' (ψ*) ln(ψ*) (3.36)

sendo que

{p ' (ψ)=1, se ψ<1p ' (ψ)=cW

2, se ψ⩾1}

Como p'>0, a função em (3.36) será uma função crescente se e somente se

ψE>ψ* . Assim, para que ocorra rarefação-1 é necessário que ωE<ω* e ψE>ψ* .

O estado intermediário (*) é obtido a partir da equação (3.35), da seguinte forma

ω*−ωE=−∫ψE

1

√ p 'dψψ −∫

1

ψ*

√ p 'dψψ . (3.37)

Resolvendo a integral do lado direito de (3.37), e levando em conta a definição de p

em (3.17), tem-se os seguintes resultados

ω*−ωE=ln (ψE)−ln(ψ*) se ψE ,ψ*<1 (3.38)

44

ou

ω*−ωE=cW ( ln (ψE)−ln(ψ*)) se ψE ,ψ*⩾1 (3.39)

ou

ω*−ωE=cW ln(ψE)−ln(ψ*) se ψ*<1 e ψE⩾1 (3.40)

Para o caso de rarefação-1, a solução varia suavemente ao longo da onda e, cada

valor de (ψ,ω) entre ψE ,ωE e ψ* ,ω* se move com λ1(ψ ,ω) . Para determinar a

solução dentro da onda de rarefação, é necessário determinar (ψ,ω)=( f 1, g1) , de tal

forma que λ1(ψE ,ωE)<λ1( f 1, g1)<λ1(ψ* ,ω*) .

Pela equação (3.28) verifica-se que ξ=xτ é um autovalor da equação (3.22).

Assim, considerando-se rarefação-1, pode-se reescrever a equação (3.23) como

xτ=λ1( f 1 , g1)=g1−√ p '( f 1) (3.41)

sendo x e τ referentes ao ponto em que se deseja determinar f1 e g1.

A equação (3.41) apresenta duas incógnitas (f1 e g1). É necessário, portanto, uma

segunda equação. Inserindo f1 e g1 em (3.32), e integrando essa equação, obtém-se

45

g1−ωE=−∫ψE

f 1

√ p '(ψ)d ψψ . (3.42)

Por fim, considerando a equação (3.17), substitui-se a equação (3.41) em (3.42),

obtendo-se

√ p ' (f 1)[1+ ln ( f 1)]−√ p ' (ψE)[ ln (ψE)]+xτ −ωE=0 . (3.43)

sendo que

{p ' (f 1)=1, se f 1<1

p ' (f 1)=cW2 , se f 1⩾1}.

Esta equação é solucionada para encontrar f1. Em seguida, utiliza-se a equação

(3.41) para determinar-se g1.

Rarefação-2

A rarefação-2 ocorre quando o estado à direita (D) é conectado ao estado

intermediário (*) por uma onda contínua. Nesse caso, é utilizado um um procedimento

análogo ao usado para determinar a solução para rarefação-1. Assim, substitui-se o segundo

autovalor (equação 3.24) na equação (3.32), da seguinte forma

46

−λ2 dψ+d ψω=−(ω+√ p ')dψ+ψdω+ωdψ=−√ p ' dψ+ψdω=0. (3.44)

Em seguida, integra-se a equação (3.44), obtendo-se

ωD−ω*=∫ψ*

ψD

√ p 'd ψψ =√ p ' (ψD) ln (ψD)−√ p '(ψ*) ln (ψ*). (3.45)

Para que os estados à direita (D) e intermediário (*) sejam conectados por uma

rarefação, é necessário que a função do lado direito da igualdade em (3.45) seja crescente.

Verifica-se que ω será crescente (ωD>ω*) somente se ψD>ψ* . Assim, os estados à

direita (D) e intermediário (*) serão conectados por uma rarefação-2, se e somente se

ψD>ψ* . Nesse caso, o estado intermediário (*) é determinado por

ωD−ω*=∫ψ*

1

√ p 'd ψψ +∫

1

ψD

√ p 'd ψψ . (3.46)

Resolvendo a integral do lado direito de (3.46), e levando em conta a definição de p

em (3.17), tem-se os seguintes resultados

ωD−ω*=ln(ψD)−ln(ψ*) se ψD ,ψ*<1 (3.47)

ou

ωD−ω*=cW ( ln(ψD)−ln(ψ*)) se ψD ,ψ*⩾1 (3.48)

47

ou

ωD−ω*=cW ln(ψD)−ln (ψ*) se ψ*<1 e ψD⩾1 (3.49)

De forma análoga ao caso de rarefação-1, a solução varia suavemente ao longo da

onda e, a solução dentro da onda de rarefação (ψ,ω)=( f 2, g2) , deve ser tal que

λ2(ψ* ,ω*)<λ2( f 2 , g2)<λ2(ψD ,ωD) . Adotando procedimento semelhante ao feito para a

rarefação-1, obtém-se as seguinte equações, para a determinação de f2 e g2

xt=g2+√ p' ( f 2) (3.50)

−√ p ' ( f 2)[1+ ln( f 2)]+√ p ' (ψD)[ ln(ψD)]+xt−ωD=0 . (3.51)

Inicialmente, resolve-se a equação (3.51) para f2 e, em seguida, insere-se f2 em

(3.50) para obter-se g2.

Choque-1

Para que o estado à esquerda (E) seja conectado ao estado intermediário (*) por um

choque-1, a condição de salto de Rankine-Hugoniot (equação 3.11) deve ser satisfeita.

Assim

48

s1=[ψω][ψ]

=[ p+ψω2

][ψω]

(3.52)

sendo s a velocidade de propagação do choque. Para que ocorra choque entre o estado à

esquerda e o estado intermediário, a equação (3.52) é reescrita como

s1=ψ*ω*−ψEωE

ψ*−ψE=

p*+ψ*ω*2−pE−ψEωE

2

ψ*ω*−ψEωE(3.53)

Além da equação (3.53) as condições de entropia de Lax, equações (3.12) e (3.13),

também devem ser satisfeitas. Assim

s1<λ1(ψE ,ωE) :=λ1 E e λ1* :=λ1(ψ* ,ω*)<s1<λ2(ψ* ,ω*) (3.54)

logo λ1E>s1>λ1 * (3.55)

A equação da pressão garante a segunda equação de (3.54), uma vez que p' > 0.

Resolvendo a equação (3.53) para ω* tem-se

ω*=ωE±√( ψ*−ψE

ψ*ψE )( p*−pE) . (3.56)

Inicialmente é necessário definir o sinal na equação (3.56). Para tal, substitui-se a

primeira equação de (3.53) na primeira equação de (3.54), resultando em

49

ψ*ω*−ψEωE

ψ*−ψE<λ1(ψE ,ωE). (3.57)

Substituindo (3.23) em (3.57), obtém-se

ψ*ω*−ψEωE

ψ*−ψE<ωE−√ p ' (ψE). (3.58)

Para resolver a equação (3.58) existem duas possibilidades: ψ*−ψE>0 ou

ψ*−ψE<0. Ou seja, ψ*>ψE ou ψ*<ψE .

Analisando inicialmente ψ*−ψE>0 observa-se que a equação (3.58) pode ser

manipulada, obtendo-se a seguinte equação

ω*−ωE<−(ψ*−ψE

ψ*)√ p ' (ψE). (3.59)

Como ψ*−ψE>0 e p'>0, o lado direito da equação (3.59) apresenta valor

negativo. Assim, ω*−ωE<0. Ou ainda ω*<ωE .

Observa-se que ψ*>ψE e ω*<ωE satisfazem a condição de entropia de Lax,

apresentada pela primeira equação de (3.54), uma vez que

ω*−√ p ' (ψ*)<ωE−√ p ' (ψE) (3.60)

50

ou

ω*−ωE<√ p ' (ψ*)−√ p ' (ψE) . (3.61)

O lado esquerdo da equação (3.61) apresenta valor negativo, uma vez que

ω*<ωE . O lado direito dessa equação apresenta valor nulo se ψE<ψ* (ambos menores

ou ambos maiores que um) ou positivo, se ψE<1<ψ* .

Analisando, agora, o caso em que ψ*−ψE<0 observa-se que a equação (3.58)

pode ser manipulada, obtendo-se a seguinte equação

ω*−ωE>−(ψ*−ψE

ψ*)√ p ' (ψE). (3.62)

Como ψ*−ψE<0 e p'>0, o lado direito da equação (3.62) apresenta valor

positivo. Assim, ω*>ωE .

No entanto, ψ*<ψE e ω*>ωE não satisfazem a condição de entropia de Lax,

apresentada pela primeira equação de (3.54) e reescrita em (3.61). Analisando a equação

(3.61), observa-se que o lado esquerdo dessa equação apresenta valor positivo se

ω*>ωE . Por outro lado, o lado direito dessa equação apresenta valor nulo se ψE>ψ*

(ambos menores ou ambos maiores que um) ou apresenta valor negativo, se ψ*<1<ψE .

Assim, é impossível que um valor positivo seja menor que zero ou um valor negativo.

Dessa forma, ψE>ψ* e ω*>ωE não satisfazem a condição de entropia de Lax.

51

Finalmente, para que ocorra choque-1, as equações (3.53) e (3.54) devem ser

satisfeitas e deve ocorrer ψE<ψ* e ω*<ωE . Nesse caso, o estado intermediário (*) é

determinado por

ω*=ωE−√( ψ*−ψE

ψ* ψE )( p*−pE) . (3.63)

Choque-2

Para determinar condições para a ocorrência de choque-2, o procedimento é análogo

ao adotado para choque-1. Assim, para que o estado intermediário (*) seja conectado ao

estado à direita (D) por um choque, a condição de salto de Rankine-Hugoniot (equação

3.11) deve ser satisfeita, assim

s2=ψDωD−ψ*ω*

ψD−ψ*=

pD+ψDωD2−p*−ψ*ω*

2

ψDωD−ψ*ω*(3.64)

sendo s2 a velocidade de propagação do choque.

Além da equação (3.64) as condições de entropia de Lax, equações (3.12) e (3.13) ,

também devem ser satisfeitas. Assim

λ2 D :=λ2(ψD ,ωD)<s2 e λ1(ψ* ,ω*)<s2<λ2(ψ* ,ω*) :=λ2* (3.65)

52

logo λ2 *>s2>λ2 D (3.66)

A equação da pressão garante a segunda equação de (3.65), uma vez que p' > 0.

Resolvendo a equação (3.64) para ω* tem-se

ω*=ωD±√( ψ*−ψD

ψ*ψD )( p*−pD) . (3.67)

Como feito para a equação (3.56), é necessário definir o sinal em (3.65). Para tal,

substitui-se a primeira equação de (3.64) na primeira equação de (3.65), resultando em

λ2(ψD ,ωD)<ψDωD−ψ*ω*

ψD−ψ*. (3.68)

Substituindo (3.24) em (3.66), tem-se

ωD+√ p' (ψD)<ψDωD−ψ*ω*

ψD−ψ*. (3.69)

Fazendo uma análise semelhante àquela feita para a equação (3.58), obtém-se que

ocorrerá choque somente se ψD<ψ* e ω*>ωD . Nesse caso, o sinal da equação (3.67)

deve ser positivo e essa equação é reescrita como

53

ω*=ωD+√(ψ*−ψD

ψ*ψD )( p*−pD). (3.70)

Finalmente, para que ocorra 2-choque, as equações (3.64) e (3.65) devem ser

satisfeitas e deve ocorrer ψD<ψ* e ω*>ωD . Nesse caso, o estado intermediário (*) é

determinado pela equação (3.70).

Como visto anteriormente, é possível que ocorram quatro tipos distintos de soluções

para o problema apresentado por (3.15)-(3.18), que são as combinações entre os possíveis

tipos de ondas que podem ocorrer. São elas: choque-1/choque-2, choque-1/rarefação-2,

rarefação-1/choque-2, rarefação-1/rarefação-2. A Tabela 3.1, a seguir, resume as soluções

possíveis e as condições para que ocorram.

Tabela 3.1 – Condições para as possíveis soluções para o problema (3.15)-(3.18).

1 choque-1/choque-2 ψE<ψ*>ψD ωE>ω*>ωD

2 choque-1/rarefação-2 ψE<ψ*⩽ψD ωE>ω*⩽ωD

3 rarefação-1/choque-2 ψE⩾ψ*>ψD ωE⩽ω*>ωD

4 rarefação-1/rarefação-2 ψE⩾ψ*⩽ψD ωE⩽ω*⩽ωD

Na Tabela 3.1, as desigualdades não estritas foram incluídas para considerar a

continuidade das ondas de rarefação.

Observa-se que existem, ainda, possíveis soluções do tipo choque-1 ou rarefação-1

(com ψ*=ψD , ω*=ωD ) e choque-2 ou rarefação-2 (com ψ*=ψE , ω*=ωE ) .

54

3.4. Soluções Completas do problema de Riemann Associado

Em qualquer das possíveis soluções da Tabela 3.1, é necessário determinar as

variáveis do estado intermediário (ψ* ,ω*). Como a pressão é relacionada à saturação

pela equação (3.17), são necessárias apenas duas equações para determinar todas essas

variáveis. Essas equações, vêm das soluções encontradas para cada tipo de onda.

Rarefação-1/Rarefação-2

No caso da solução contínua, quando os estado à esquerda e intermediário são

conectados por rarefação-1, enquanto os estados à direita e intermediário são conectados

por rarefação-2, a velocidade do estado intermediário (ω*) é determinada pelas equações

(3.35) ou (3.45). Combinando essas equações obtém-se

ωD−ωE−∫ψ*

ψD

√ p 'dψψ +∫

ψE

ψ*

√ p 'd ψψ =0. (3.71)

Para esta solução, ψ* é a única raiz da equação (3.71). A partir do valor de ψ*

determina-se o valor de ω* utilizando-se (3.35) ou (3.45).

55

Choque-1/Choque-2

Se os estado à esquerda e intermediário são conectados por choque-1, enquanto os

estados à direita e intermediário são conectados por choque-2, a velocidade do estado

intermediário (ω*) é determinada pelas equações (3.63) ou (3.70). Igualando essas

equações obtém-se

ωE−ωD−√( ψ*−ψD

ψ*ψD )( p*−pD)−√(ψ*−ψE

ψ*ψE )(p*−pE)=0 . (3.72)

Assim, ψ* é a única raiz da equação (3.72). A partir do valor de ψ* determina-se

o valor de ω* a usando-se (3.63) ou (3.70).

Rarefação-1/Choque-2

Se os estado à esquerda e intermediário são conectados por rarefação-1, enquanto os

estados à direita e intermediário são conectados por choque-2, a velocidade do estado

intermediário (ω*) é determinada pelas equações (3.35) ou (3.70). Combinando essas

equações obtém-se

ωD−ωE+√(ψ*−ψD

ψ*ψD )( p*−pD)+∫ψE

ψ*

√ p 'dψψ =0. (3.73)

56

Neste caso, ψ* é a única raiz da equação (3.73). A integral da equação (3.73)

pode apresentar três resultados distintos, se ψE ,ψ*<1 ou ψE ,ψ*>1 ou ψ*<1 e

ψE>1. A partir do valor de ψ* determina-se o valor de ω* utilizando-se de (3.35) ou

(3.70).

Choque-1/Rarefação-2

Se os estado à esquerda e intermediário são conectados por choque-1, a velocidade

do estado intermediário é determinada por (3.63). Se o estado à direita e o estado

intermediário são conectados por rarefação-2, então a velocidade do estado intermediário

pode ser determinada pela equação (3.45). Combinando essas equações obtém-se

ωD−ωE+√(ψ*−ψE

ψ*ψE )( p*−pE)−∫ψ*

ψD

√ p 'dψψ =0. (3.74)

Assim, ψ* é a única raiz da equação (3.74). A integral da equação (3.74) pode

apresentar três resultados distintos, se ψD ,ψ*<1 ou ψD ,ψ*>1 ou ψ*<1 e ψD>1. A

partir do valor de ψ* determina-se o valor de ω* a usando-se (3.45) ou (3.63).

57

3.5. Determinação das soluções do Problema de Riemann

A Tabela 3.1 apresenta condições para as possíveis soluções do problema de

Riemann, esses resultados, no entanto, não podem ser usados para resolver esse problema,

uma vez que, inicialmente, não se conhece ω* ou ψ* . É necessário encontrar uma

forma de determinar a priori, qual situação irá ocorrer, a partir dos dados iniciais.

A partir da Tabela 3.1, observa-se que as relações entre os dados iniciais não são

suficientes para determinar qual caso irá ocorrer. Por exemplo, se ωD>ωE e ψD>ψE , é

possível que ocorram os casos de rarefação-1/rarefação-2 ou choque-1/rarefação-2. Dessa

forma, é necessário obter condições adicionais para determinar qual dos casos da Tabela 3.1

ocorrerá.

1ª Hipótese:

Considerando inicialmente que ψE>ψD e ωE>ωD , verifica-se que podem

ocorrer os casos 1 ou 3. Ou seja, pode ocorrer choque-1/choque-2 ou rarefação-1/choque-2.

Em ambos os casos, a segunda onda será sempre um choque. A análise para diferenciar os

casos deve partir, portanto, da análise da primeira onda. Para a ocorrência de choque-1,

tem-se pela equação (3.63) e tabela 3.1, que

ω*=ωE−√( ψ*−ψE

ψ*ψE )( p*−pE)>ωD . (3.75)

58

A equação (3.75) pode ser manipulada, de tal forma que

ωD−ωE<−√(ψ*−ψE

ψ*ψE )( p*−pE)=−√( 1ψE−

1ψ* )( p*−pE). (3.76)

Como para choque-1/choque-2 tem-se ψE<ψ*>ψD então

ωD−ωE<−√( 1ψE−

1ψ* )( p*−pE)<−√( 1

ψE−

1ψD )( pD−pE) . (3.77)

A equação (3.77) pode ser reescrita como

ωD−ωE<−√(ψD−ψE

ψDψE )( pD−pE) . (3.78)

A equação (3.78) é uma condição para que ocorra choque-1/choque-2. Assim, se

ocorrerem ψE>ψD e ωE>ωD e a equação (3.78) for satisfeita, então ocorre choque-

1/choque-2 . Caso ocorra ψE>ψD e ωE>ωD e na equação (3.78) a desigualdade for

invertida, então não ocorrerá choque-1. Nesse caso ocorrerá rarefação-1/choque-2. Dessa

forma, a equação (3.78) pode ser usada para diferenciar os dois casos em análise.

59

Deve-se analisar agora os casos em que ψE=ψD e ωE=ωD . Esses casos não

podem ocorrer simultaneamente, pois então não haveria descontinuidade inicial, e não se

teria um problema de Riemann.

Inicialmente observa-se que, se ψE=ψD o lado direito da equação (3.78) se anula

e, se ωE>ωD então a equação (3.78) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se choque-

1/choque-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.78) se anula e essa equação não é

satisfeita. Nesse caso, tem-se rarefação-1/choque-2.

Assim, conclui-se, que se ψE⩾ψD e ωE>ωD e a equação (3.78) é satisfeita,

então tem-se choque-1/choque-2. Se ψE>ψD e ωE⩾ωDe a equação (3.78) não é

satisfeita, então tem-se rarefação-1/choque-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψE>ψD e ωE>ωD , verifica-se que pode

ocorrer apenas Choque-2. Pois, se ocorre apenas Choque-2, tem-se ωE=ω* e ψE=ψ* e,

pela Tabela 3.1, verifica-se que ψE>ψD e ωE>ωD . Além disso, se for substituído

ωE=ω* e ψE=ψ* na equação (3.70), equação que determina o estado intermediário

para Choque-2, tem-se

ωE−ωD=√( ψE−ψD

ψEψD )( pE−pD)

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Choque-2.

60

2ª Hipótese:

Considerando que ψE>ψD e ωE<ωD , verifica-se que podem ocorrer os casos 3

ou 4. Ou seja, pode ocorrer rarefação-1/choque-2 ou rarefação-1/rarefação-2. Em ambos os

casos, a primeira onda será sempre uma rarefação. A análise para diferenciar os casos deve

partir, portanto, da análise da segunda onda. Para a ocorrência de rarefação-2, tem-se pela

equação (3.45) e tabela 3.1, que

ω*=ωD−∫ψ*

ψD

√ p 'd ψψ >ωE . (3.79)


ωE−ωD<−∫ψ*

ψD

√ p 'dψψ . (3.80)

Como para rarefação-1/rarefação-2 tem-se ψE>ψ*<ψD então

ωE−ωD<∫ψE

ψD

√ p 'dψψ . (3.81)

A equação (3.81) é uma condição para que ocorra rarefação-1/rarefação-2. Assim, se

ocorrerem ψE>ψD , ωE<ωD e a equação (3.81) for satisfeita, então ocorre rarefação-

61

1/rarefação-2 . Caso ocorra ψE>ψD , ωE<ωD e na equação (3.81) a desigualdade for

invertida, então não ocorrerá rarefação-2. Nesse caso ocorrerá rarefação-1/choque-2. Dessa






e, se ωE<ωD então a equação (3.81) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se rarefação-

1/rarefação-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.81) se anula e essa equação não é

satisfeita para ψE>ψD . Nesse caso, tem-se rarefação-1/choque-2.

Assim, conclui-se, que se ψE⩾ψD e ωE<ωD e a equação (3.81) é satisfeita,

então tem-se rarefação-1/rarefação-2. Se ψE>ψD e ωE⩽ωDe a equação (3.81) não é

satisfeita, então tem-se rarefação-1/choque-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψE>ψD e ωE<ωD , verifica-se que pode

ocorrer apenas Rarefação-1. Pois, se ocorre apenas Rarefação-1, tem-se ωD=ω* e

ψD=ψ* e, pela Tabela 3.1, verifica-se que ψE⩾ψD e ωE⩽ωD . Além disso, se for

substituído ωD=ω* e ψD=ψ* na equação (3.35), equação que determina o estado

intermediário para Rarefação-1, tem-se

ωD−ωE=−∫ψE

ψD

√ p 'dψψ

62

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Rarefação-1.

3ª Hipótese:

Considerando que ψE<ψD e ωE>ωD , verifica-se pela tabela 3.1, que podem

ocorrer os casos 1 ou 2. Ou seja, pode ocorrer choque-1/choque-2 ou choque-1/rarefação-2.

Em ambos os casos, a primeira onda será sempre um choque. A análise para diferenciar os

casos deve partir, portanto, da análise das equações da segunda onda. Para a ocorrência de

choque-2, tem-se pela equação (3.70) e tabela 3.1, que

ω*=ωD+√(ψ*−ψD

ψ*ψD )( p*−pD)<ωE . (3.82)


ωE−ωD>√(ψ*−ψD

ψ*ψD )( p*−pD)=√( 1ψD−

1ψ* )( p*−pD). (3.83)

Como para choque-1/choque-2 tem-se ψE<ψ*>ψD então pode-se concluir que

ωE−ωD>√(ψE−ψD

ψEψD )( pE−pD). (3.84)

63

A equação (3.84) é uma condição para que ocorra choque-1/choque-2. Assim, se

ocorrerem ψE<ψD , ωE>ωD , e a equação (3.84) for satisfeita, então ocorre choque-

1/choque-2. Caso ocorra ψE<ψD , ωE>ωD , e na equação (3.84) a desigualdade for

invertida, então não ocorrerá choque-2. Nesse caso ocorrerá choque-1/rarefação-2. Dessa






e, se ωE>ωD então a equação (3.84) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se choque-

1/choque-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.84) se anula e essa equação não é

satisfeita. Nesse caso, tem-se choque-1/rarefação-2.

Assim, conclui-se, que se ψE⩽ψD e ωE>ωD e a equação (3.84) é satisfeita,

então tem-se choque-1/choque-2. Se ψE<ψD e ωE⩾ωDe a equação (3.84) não é

satisfeita, então tem-se choque-1/rarefação-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψE<ψD e ωE>ωD , verifica-se que pode

ocorrer apenas Choque-1. Pois, se ocorre apenas Choque-1, tem-se ωD=ω* e ψD=ψ*

e, pela Tabela 3.1, verifica-se que ψE<ψD e ωE>ωD . Além disso, se for substituído

ωD=ω* e ψD=ψ* na equação (3.63), equação que determina o estado intermediário

para Choque-1, tem-se

64

ωD−ωE=−√(ψD−ψE

ψDψE )( pD−pE)

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Choque-1.

4ª Hipótese:

Considerando que ψE<ψD e ωE<ωD , verifica-se pela Tabela 3.1, que podem

ocorrer os casos 2 ou 4. Ou seja, pode ocorrer choque-1/rarefação-2 ou rarefação-

1/rarefação-2. Em ambos os casos, a segunda onda será sempre uma rarefação. A análise

para diferenciar os casos deve partir, portanto, da análise das equações da primeira onda.

Para a ocorrência de rarefação-1, tem-se pela equação (3.37) e Tabela 3.1, que

ω*=ωE−∫ψE

ψ*

√ p 'dψψ <ωD . (3.85)


ωE−ωD<−∫ψ*

ψE

√ p 'dψψ . (3.86)

Como para rarefação-1/rarefação-2 tem-se ψE>ψ*<ψD então

ωE−ωD<−∫ψE

ψD

√ p 'dψψ . (3.87)

65

A equação (3.87) é uma condição para que ocorra rarefação-1/rarefação-2. Assim, se

ocorrerem ψE<ψD , ωE<ωD e a equação (3.87) for satisfeita, então ocorre rarefação-

1/rarefação-2. Caso ocorra ψE<ψD , ωE<ωD e a equação (3.87) não for satisfeita,

então não ocorrerá 1-rarefação. Nesse caso ocorrerá choque-1/rarefação-2. Dessa forma, a

equação (3.87) pode ser usada para diferenciar os dois casos em análise.





e, se ωE<ωD então a equação (3.87) sempre será satisfeita. Nesse caso, tem-se rarefação-

1/rarefação-2. Se ωE=ωD então o lado esquerdo de (3.87) se anula e essa equação não é

satisfeita para ψE<ψD . Nesse caso, tem-se choque-1/rarefação-2.

Assim, conclui-se, que se ψE⩽ψD e ωE<ωD e a equação (3.87) é satisfeita,

então tem-se rarefação-1/rarefação-2. Se ψE<ψD e ωE⩽ωDe a equação (3.87) não é

satisfeita, então tem-se choque-1/rarefação-2.

Ainda para essa hipótese, ou seja, ψE<ψD e ωE<ωD , verifica-se que pode

ocorrer apenas Rarefação-2. Pois, se ocorre apenas Rarefação-2, tem-se ωE=ω* e

ψE=ψ* e, pela Tabela 3.1, verifica-se que ψE⩽ψD e ωE⩽ωD . Além disso, se for

substituído ωE=ω* e ψE=ψ* na equação (3.45), equação que determina o estado

intermediário para Rarefação-2, tem-se

66

ωD−ωE=∫ψE

ψD

√ p 'dψψ

que é uma condição para ocorrência do caso somente com Rarefação-2.

As quatro hipóteses acima podem ser resumidas na Tabela 3.2, a seguir

Tabela 3.2 – Determinação das Soluções para o problema de Riemann.

ψE⩾ψDe ωE>ωD ωD−ωE<−√(ψD−ψE

ψDψE )( pD−pE)

choque-1/choque-2

ψE⩽ψD e ωE>ωD ωE−ωD>√(ψE−ψD

ψEψD )( pE−pD)

ψE>ψD e ωE⩾ωD ωD−ωE>−√(ψD−ψE

ψDψE )( pD−pE)

rarefação-1/choque-2

ψE>ψD e ωE⩽ωD ωE−ωD>∫ψE

ψD

√ p 'dψψ

ψE<ψD e ωE⩽ωD ωE−ωD>−∫ψE

ψD

√ p 'dψψ

choque-1/rarefação-2

ψE<ψD e ωE⩾ωD ωE−ωD<√(ψE−ψD

ψEψD )( pE−pD)

ψE⩽ψD e ωE<ωD ωE−ωD<−∫ψE

ψD

√ p 'dψψ

rarefação-1/rarefação-2

ψE⩾ψD e ωE<ωD ωE−ωD<∫ψE

ψD

√ p 'dψψ

ψE<ψD e ωE>ωD ωD−ωE=−√(ψD−ψE

ψDψE )( pD−pE) Choque-1

ψE⩾ψD e ωE⩽ωD ωD−ωE=−∫ψE

ψD

√ p 'dψψ Rarefação-1

ψE>ψD e ωE>ωD ωE−ωD=√( ψE−ψD

ψEψD )( pE−pD) Choque-2

ψE⩽ψD e ωE⩽ωD ωD−ωE=∫ψE

ψD

√ p 'dψψ Rarefação-2

67

Uma vez que o estado intermediário (ψ* ,ω*) é conhecido, a solução (ψ,ω) é

dada em função da variável de similaridade ξ=x / τ , como:

a) Rarefação-1/Rarefação-2:

(ψ,ω)={(ψE ,ωE) se −∞<ξ⩽λ1 E

( f 1, g1) se λ1 E⩽ξ⩽λ1 *

(ψ* ,ω*) se λ1*⩽ξ⩽λ2*

( f 2, g2) se λ2*⩽ξ⩽λ2 D

(ψD ,ωD) se λ2 D⩽ξ⩽+∞} (3.88)

b) Choque-1/Choque-2:

(ψ,ω)={(ψE ,ωE) se −∞<ξ<s1

(ψ* ,ω*) se s1<ξ<s2

(ψD ,ωD) se s2<ξ<+∞} (3.89)

c) Rarefação-1/Choque-2:

(ψ,ω)={(ψE ,ωE) se −∞<ξ⩽λ1 E

( f 1, g1) se λ1 E⩽ξ⩽λ1 *

(ψ* ,ω*) se λ1*⩽ξ<s2

(ψD ,ωD) se s2<ξ<+∞} (3.90)

d) Choque-1/Rarefação-2:

(ψ,ω)={(ψE ,ωE) se −∞<ξ<s1

(ψ* ,ω*) se s1<ξ⩽λ2*

( f 2, g2) se λ2*⩽ξ⩽λ2 D

(ψD ,ωD) se λ2 D⩽ξ⩽+∞} (3.91)

68

Capítulo 4

Método de Glimm

4.1. Introdução

O Método de Glimm é uma técnica semi-analítica de natureza estatística para obter

soluções aproximadas de sistemas hiperbólicos de leis de conservação, as quais são

representadas por funções constantes por partes [3]. Em contraste com outros métodos

numéricos, tais como diferenças finitas ou elementos finitos, o Método de Glimm resolve

problemas com ondas de choque e outras descontinuidades com relativa facilidade e sem

necessidade de adicionar termos de viscosidade artificial [52]. Uma desvantagem deste

método é ser restrito à simulação de problemas unidimensionais, ou seja, o Método de

69

Glimm é consequência de um resultado [5] que se aplica apenas a problemas

unidimensionais.

Glimm [5] introduziu um método de aproximação para a construção da solução de

sistemas hiperbólicos de leis de conservação. A partir de então, numerosas tentativas de

utilizar essa construção como ferramenta computacional não obtiveram êxito aparente [52].

Uma década depois, Chorin [51] apresentou os primeiros resultados computacionais

consistentes baseados na construção de Glimm para problemas de dinâmica de gases.

Desde então, foram realizados inúmeros trabalhos utilizando o método de Glimm, que vem

se mostrando ser um método de grande precisão no tratamento numérico de problemas com

descontinuidades [52].

Entre as principais características do método de Glimm estão a sua capacidade de

não dissipar o choque, preservando, assim, a sua magnitude e posição, além do baixo custo

computacional, se comparado a outros métodos de aproximação de problemas não lineares,

como o método de elementos finitos associado a uma técnica de captura de choques, por

exemplo. Além disto, quando o comprimento dos passos tomados em relação à variável


considerando, neste caso, a sua solução fraca [5].

No entanto, tal método apresenta uma inconveniente desvantagem, uma vez que sua

implementação, na simulação de problemas de valor inicial, requer o conhecimento prévio

da solução completa do problema de Riemann associado a sistemas hiperbólicos [3].

70

4.2. O Método de Glimm

O Método de Glimm é um método de escolha aleatória, que consiste basicamente

em realizar uma amostragem estatística da solução teórica de problemas de Riemann. O

poder dessa técnica é que as soluções teóricas locais contém extensas informações sobre o

fenômeno de interação entre as ondas e a amostragem estatística evita o surgimento da

viscosidade numérica típica de métodos de elementos finitos e diferenças finitas [52]. Em

particular, o método de Glimm permite o tratamento automático da formação espontânea e

da evolução de descontinuidades (típicas de sistemas hiperbólicos lineares).

Em essência, o método consiste em um procedimento numérico que utiliza a

solução do problema de Riemann associado na geração de soluções aproximadas de

equações hiperbólicas, sujeitas a condições iniciais arbitrárias. Como o esquema de Glimm

constrói a solução para um problema de valor inicial a partir da solução de um certo

número pré-determinado de problemas de Riemann associados, para marchar no tempo de

um instante t=tn a um instante t n+1=t n+Δ t , a condição inicial arbitrária deve ser

aproximada por funções constantes por partes.

Como visto no Capítulo 2, a função proposta para a pressão permite que o sistema

de leis de conservação se mantenha hiperbólico, mesmo quando a saturação é atingida.

Dessa forma, o método de Glimm pode ser empregado no presente trabalho.

Para a utilização do método de Glimm, o domínio é dividido em k intervalos de

comprimento Δx = h. Em seguida, para cada dois intervalos consecutivos, um problema de

Riemann é resolvido, conforme ilustrado na Figura 4.1.

71

Figura 4.1 – Divisão do domínio para o emprego do Método de Glimm.

O Método de Glimm permite resolver um sistema hiperbólico para uma condição

inicial qualquer. Dessa forma, o valor da variável u no instante t=tn é tomado como

constante em cada intervalo formado por dois subintervalos consecutivos de comprimento

h. Assim, na posição ih, o valor da variável é igual ao valor de u na posição ih, no tempo n.

Esse valor é representado por uin e é constante em todo o intervalo (i-1)h e (i+1)h, sendo

que o índice i se refere ao intervalo em que a amostra é tomada e n indica o instante de

tempo considerado, conforme mostrado na Figura 4.1. O mesmo é feito para o intervalo

(i+1)h e (i+3)h, no qual o valor da variável é tomada como constante e igual a ui+2n , ou

seja, igual ao valor da variável na posição i+2, no instante de tempo n.

Realizando esse procedimento em todo o domínio, o mesmo será formado por

sucessivos problemas de Riemann, sendo que cada Problema de Riemann se forma a cada

72

x=i hih (i+2)h(i+1)h

uin

ui+2nu

(i−1)h (i+3)h

dois subintervalos consecutivos de comprimento h. Em cada um dos problemas de Riemann

tem-se o estado constante à esquerda dado por uin e à direita dado por ui+2

n .

Para cada um desses problemas de Riemann, a solução analítica deve ser calculada.

A Figura 4.2 apresenta um exemplo de solução (Rarefação-1/Choque-2) para o problema de

Riemann apresentado na Figura 4.1.

Figura 4.2 – Solução do Problema de Riemann para emprego do Método de Glimm.

Como pode ser visto na Figura 4.2, a cada dois intervalos consecutivos, tem-se uma

solução de um problema de Riemann. Nesse momento, deve-se atualizar o valor da variável

u. Tomando-se como exemplo o nó (i+1), isso é feito utilizando-se um valor aleatório no

intervalo entre ih e (i+2)h. Dessa forma o valor de ui+1n+1 será igual ao valor da solução

teórica do problema de Riemann na posição (i+1+θ)h , sendo θ um número gerado

aleatoriamente entre -1 e +1, com densidade de probabilidade uniforme, no instante de

tempo n. A Figura 4.3 ilustra esse procedimento.

Observa-se que, de acordo com [51], utilizar um valor de θ para cada um dos

problemas de Riemann das Figuras 4.1 ou 4.4, leva a resultados pouco precisos. Portanto,

73

x=i hih (i+2)h(i+1)h(i−1)h (i+3)h

n+1

n

uma boa prática adotada por [51] foi de utilizar θn=θ=const para cada intervalo de

tempo.

Figura 4.3 – Amostragem da Solução do Problema de Riemann.

Como pode ser observado no exemplo da Figura 4.3, o valor amostrado (aleatório)

encontra-se dentro da onda de rarefação à esquerda. Logo, o valor da variável u no nó i+1,

no instante t n+1=t n+Δ t , corresponderá ao valor de u dentro da onda de rarefação-1.

Dessa forma é feita a atualização do valor de u em todos os intervalos, conforme

ilustrado na Figura 4.4.

74


n+1

n

(i+1+θ)h

Figura 4.4 – Atualização da variável u mediante o método de Glimm.

Pela Figura 4.4, verifica-se que, a partir dos valores obtidos pela amostragem da

solução dos problemas de Riemann iniciais, obtém-se um novo conjunto de problemas de

Riemann (linhas vermelhas), dessa vez defasados por um intervalo h. O mesmo

procedimento pode ser aplicado para cada um dos novos problemas de Riemann, ou seja,

amostra-se a solução do problema de Riemann e, a partir dela, atualiza-se o valor da

variável desejada. Esse procedimento pode ser repetido até o instante de tempo desejado,

dando origem a uma sucessão de soluções que se aproximam da solução exata.

Pela Figura 4.2 observa-se que podem ocorrer interações entre as ondas de dois

problemas de Riemann consecutivos. Isso deve ser evitado e, para que não ocorram

interações entre as ondas, a condição de Courant-Friedrichs-Lewy (equação 4.1) deve ser

respeitada [3, 52]

75


ui−1n+1

ui+3n+1

u

(i−1)h (i+3)h

ui+1n+1

Δ t⩽Δ x2|a|

(4.1)

sendo que a é a velocidade máxima de propagação, em valor absoluto, da descontinuidade

considerando todos os problemas de Riemann no tempo t n. Em outras palavras, a norma

de a é a norma do valor máximo dos autovalores do sistema.

A equação (4.1) garante que não haja interações entre as ondas de dois problemas de

Riemann consecutivos e, quando o comprimento dos passos tomados em relação à variável


considerando, neste caso, a sua solução fraca [3, 52].

Como pode ser visto acima, o número aleatório θ representa um papel fundamental

nesse método. Chorin [51] propôs outra melhoria para a escolha de θ, que consiste em

adotar um procedimento para que θ seja distribuído igualmente no intervalo [-1, +1] mais

rapidamente.

O procedimento adotado em [51] consiste, inicialmente, em adotar m1<m2 dois

números inteiros primos (serão adotados m1=3 e m2=7 , no presente trabalho,

conforme referência [52]). Em seguida, considere a seguinte sequência

ni+ 1=mod (m2 ,m1+ni) . (4.2)

sendo n0m2 um número primo qualquer e mod representa o resto da divisão entre

(m1+ni) e m2.

76

Se for considerada uma sequência de números aleatórios θ1 ,θ2 ,…,θn , com

θi∈(0,1) , a seguinte alteração produz melhorias significativas no método de Glimm:

θ 'i=((ni+θi+1)/m2)−1, para i=1,2,…, n . (4.3)

Assim, ao utilizar θ ' ao invés de θ , obtém-se valores aleatórios com

distribuição mais uniforme no intervalo entre -1 e +1. Dessa forma a solução obtida

mediante o método de Glimm produz resultados mais precisos, e as posições das ondas (de

choque ou de rarefação) se aproximam da solução real.

4.3. Aplicação ao Problema de Riemann Associado

Para a resolução do problema de Riemann representado pelas equações (3.15) a

(3.18) através do Método de Glimm, é necessário, inicialmente obter-se a solução analítica

desse problema, a qual é apresentada no capítulo 3.

Como foi visto no Capítulo 3, o problema de Riemann estudado possui quatro

soluções possíveis: Choque-1/Choque-2, Choque-1/Rarefação-2, Rarefação-1/Choque-2

ou Rarefação-1/Rarefação-2, as quais dependem das condições iniciais, isto é, dos valores

de (ψE ,ωE) e (ψD ,ωD).

Em seguida, faz-se uma discretização espacial e uma aproximação por partes das

condições iniciais desse problema (conforme a Figura 4.1), dando origem à Figura 4.5, na

qual u representa um propriedade qualquer ( ψ ,ω ) .

77

Na Figura 4.5, as linhas vermelhas representam descontinuidades genéricas

presentes na solução do problema de Riemann associado, podendo ser ondas de choque ou

de rarefação. A primeira descontinuidade se move com velocidade característica λ1

enquanto que a segunda se move com velocidade característica λ2 .

Figura 4.5 – Amostragem do Problema de Riemann Associado.

Observa-se que, inicialmente, tem-se um estado constante à esquerda igual a uin e

outro estado constante à direita igual a ui+2n . Como ambos esses estados são constantes e

tem-se uma descontinuidade em (i+1)h, ou seja, um degrau. Esse problema de valor inicial

é um problema de Riemann.

O próximo passo é amostrar a solução desse problema. Como mencionado

anteriormente, os valores das propriedades no instante de tempo t n+1=t n+Δ t ,

corresponderão à solução do problema de Riemann no instante de tempo t n na posição

78


uin

ui+2n

(i−1)h (i+3)h

λ1 λ2

n

n+1

Área de amostragem

(i+1+θ)h , sendo θ um número aleatório entre -1 e 1. Dessa forma, a posição amostrada

estará dentro do intervalo compreendido por x=ih e x=(i+2)h , conforme mostrado na

Figura 4.5. Se θ = - 1, o valor amostrado coincide com x=ih . Enquanto que, se θ = + 1,

o valor amostrado coincide com x=(i+2)h .

Independente do tipo de descontinuidade encontrado na solução do problema de

Riemann (Figura 4.5), as seguintes situações são possíveis para o valor amostrado:

1. O valor amostrado encontra-se à esquerda da primeira descontinuidade;

2. O valor amostrado encontra-se à direita da segunda descontinuidade;

3. O valor amostrado encontra-se entre as duas descontinuidades;

4. O valor amostrado encontra-se dentro da primeira onda de rarefação; e

5. O valor amostrado encontra-se dentro da segunda onda de rarefação.

Observa-se que as duas últimas situações somente podem ocorrer se existirem

rarefações na solução do problema de Riemann.

Inicialmente, verifica-se se o valor amostrado encontra-se à esquerda ou à direita da

primeira descontinuidade, com velocidade característica λ1. Caso a amostragem

encontre-se à direita da primeira descontinuidade, deve ser analisada a sua posição em

relação à segunda descontinuidade. Dessa forma, é possível concluir qual das cinco

situações acima ocorre.

Se a primeira descontinuidade for um choque (choque-1), a velocidade λ1 é

calculada pela equação (3.53). Esse caso é representado pela Figura 4.6 a seguir.

79

Figura 4.6 – Análise da amostragem em relação à primeira descontinuidade (choque-1).

Caso o valor amostrado esteja à esquerda do choque-1 após um intervalo de tempo

Δ t , ou seja, dentro da região 1 da Figura 4.6, tem-se

(i+1+θ)h<S1 Δ t (4.4)

e o valor de ui+1n+1 será atualizado para ui

n . Caso o valor amostrado esteja à direita do

choque-1 (região 2 da Figura 4.6) é necessário analisar a segunda descontinuidade, antes de

concluir sua posição.

A Figura 4.7 representa o caso da primeira descontinuidade ser uma rarefação-1.

80

x

t

1

2

S1

Figura 4.7 – Análise da amostragem em relação à primeira descontinuidade (rarefação-1).

Se a primeira descontinuidade for uma rarefação (rarefação-1), a velocidade de

propagação do início dessa onda é dada por (3.23), sendo reescrita como

λ1(ψE ,ωE)=λ1(ψin ,ωi

n)=ω i

n−√ p ' (ψi

n) (4.5)

Caso o valor amostrado esteja à esquerda do início da rarefação-1 após um intervalo

de tempo Δ t , ou seja, dentro da região 3 da Figura 4.7, tem-se

(i+1+θ)h<λ1(ψin ,ωi

n)Δ t (4.6)

e o valor de ui+1n+1 será atualizado para ui

n .

Ainda no caso de rarefação-1, o término da onda tem velocidade de propagação

dada por

81

x

t

3

54

λ1(ψin ,ωi

n)

λ1(ψi+1n ,ωi+1

n)

λ1(ψ* ,ω*)=λ1(ψi+1n ,ω i+1

n)=ωi+1

n−√ p ' (ψi+1

n) . (4.7)

Se o valor amostrado estiver entre o início e o término dessa onda, ou seja, dentro

da região 4 da Figura 4.7, tem-se

λ1(ψin ,ωi

n)Δ t<(i+1+θ)h<λ1(ψi+1

n ,ωi+1n

)Δ t (4.8)

e o valor amostrado encontra-se dentro da onda de rarefação-1. Os valores de ωi+1n+1 e

ψi +1n+1 são calculados pelas equações (3.41) e (3.43) respectivamente.

Caso o valor amostrado não se encontre nem na região 3, nem na região 4 da Figura

4.7, isto é, o ponto amostrado encontra-se na região 5 dessa Figura, deve ser analisada a

segunda descontinuidade, com velocidade característica λ2 .

Se a descontinuidade da direita for um choque (choque-2) a velocidade λ2 é

calculada pela equação (3.64). Esse caso é representado pela Figura 4.8, a seguir.

82

Figura 4.8 – Análise da amostragem em relação à segunda descontinuidade (choque-2).

Caso o valor amostrado esteja à direita do choque-2 após um intervalo de tempo

Δ t , dentro da região 1 da Figura 4.8, tem-se

S2 Δ t<(i+1+θ)h (4.9)

e o valor de ui+1n+1 será atualizado para ui+2

n . Caso contrário, o valor amostrado encontra-

se na região 2 da Figura 4.8 e dentro do estado intermediário “*” da solução. O valor de

ui+1n+1 deve ser atualizado para (ψ* ,ω*) , calculado no capítulo 3, e que depende do tipo

de solução do problema de Riemann.

A Figura 4.9 representa o caso da segunda descontinuidade ser uma rarefação-2.

83

x

t

1

2

S2

Figura 4.9 – Análise da amostragem em relação à segunda descontinuidade (rarefação-2).

Caso a descontinuidade da direita seja uma rarefação (rarefação-2), sua velocidade

de propagação é dada por (3.24), sendo reescrita como

λ2(ψD ,ωD)=λ2(ψi+2n ,ω i+2

n)=ωi+2

n+√ p '(ψi+2

n) . (4.10)

Se o valor amostrado estiver à direita da segunda onda após um intervalo de tempo

Δ t , ou seja, na região 3 da Figura 4.9, tem-se

λ2(ψi+2n ,ω i+2

n)Δ t <( i+1+θ)h (4.11)

e o valor de ui+1n+1 será atualizado para ui+2

n .

Ainda no caso de rarefação-2, o início da onda tem velocidade de propagação dada

por

84

x

t

3

54

λ2(ψi+2n ,ωi+2

n)

λ2(ψi+1n ,ωi+1

n)

λ2(ψ* ,ω*)=λ2(ψi+1n ,ω i+1

n)=ωi+1

n+√ p '(ψi+1

n) . (4.12)

Se o valor amostrado estiver entre o início e o término da onda rarefação-2 (região 4

da Figura 4.9), ou seja

λ2(ψi+1n ,ω i+1

n)Δ t <(i+1+θ)h<λ2(ψi+2

n ,ωi+2n

)Δ t (4.13)

então o valor amostrado encontra-se dentro da onda de rarefação-2 e os valores de ωi+1n+1 e

ψi +1n+1 são calculados pelas equações (3.50) e (3.51) respectivamente.

Por fim, caso o valor amostrado não se encontre nas regiões 3 ou 4 da Figura 4.9,

então ele se encontra entre as duas descontinuidades (região 5) e os valores das

propriedades são determinados pelo valor das propriedades no estado intermediário “*”. Ou

seja, o valor de ui +1n+1 deve ser atualizado para (ψ*,ω* , p*) , calculado no capítulo 3, e

que depende do tipo de solução do problema de Riemann.

85

Capítulo 5

Resultados

5.1. Solução do Problema de Riemann

Nessa seção são apresentados alguns resultados numéricos para ilustrar a solução do

Problema de Riemann, a partir dos resultados obtidos no capítulo 3.

5.1.1. Choque-1/Choque-2

Para ilustrar as conexões Choque-1/Choque-2, serão utilizadas as seguintes

condições iniciais

86

ωE=ωC>0 para −∞< x<0

ωD=−ωC<0 para 0<x<∞ (5.1)

ψE=ψD=ψC<1 para −∞< x<∞

sendo ωC e ψC duas constantes positivas e os subíndices “E” e “D” denotam os valores

à esquerda e à direita de x=0.

Nesse caso tem-se que ωE>ωD e, pela Tabela 3.2, verifica-se que o único caso

possível de ocorrer, para essas condições iniciais é Choque-1/Choque-2. As velocidades das

ondas de choque no estado intermediário podem ser obtidas pelas equação (3.63) ou (3.70).

A saturação no estado intermediário é obtida pela equação (3.72), sendo a única raiz

desta equação. Uma vez conhecida esta saturação ψ* , volta-se à Eq. (3.63) ou à Eq.(3.70)

para determinar ω* . Devido à não linearidade dessa equação, adotou-se um processo

iterativo para a sua determinação. Foi utilizado o método de Newton-Raphson para a

obtenção da raiz (ψ*) de forma que F(ψ*)=0, sendo a função F(ψ*) dada por

(3.72). Como foi utilizado um procedimento iterativo, a tolerância utilizada (critério de

parada) foi o erro de 1x 10−8 .

A Tabela 5.1, obtida a partir da equação (3.89), apresenta alguns resultados para os

dados iniciais propostos pela equação (5.1). Para cada dado inicial associado com (5.1),

tem-se os valores de ψC e ωC respectivamente nas colunas 1 e 2. A coluna 3 apresenta

o valor considerado para cW . Esta variável é associada à rigidez da matriz porosa, de tal

forma que no limite, quando cW ∞ a matriz porosa é rígida, além de estar associada à

87

velocidade de propagação do constituinte fluido. A saturação intermediária ψ* e a pressão

intermediária p* são apresentadas nas colunas 4 e 5. A pressão obtida com o

procedimento exato (no qual o meio poroso é rígido e a hiperbolicidade é perdida) é

mostrada na coluna 6. Essa pressão é obtida utilizando-se o procedimento descrito em [69].

Nas colunas 7 e 8 são apresentadas respectivamente a saturação intermediária (ψ*) e a

pressão intermediária ( p*) sem nenhuma restrição p=ψ . A coluna 9 apresenta a

velocidade da onda de choque para o caso sem restrição (nesse caso, as ondas de choque

são simétricas, se movendo com mesma velocidade em sentidos opostos, ou seja,

|s1|=|s2|=|s|) e a coluna 10 apresenta a velocidade da onda de choque para o caso com

restrição.

No caso de pressão exata (coluna 6), a pressão seria representada por uma linha

vertical na Figura 2.2, isto é p= c̄2ε para φ=ε .

Tabela 5.1 – Alguns resultados envolvendo a solução Choque-1/Choque-2 associada à

equação (5.1).

cW≠1com restr.

ValorExato

cW=1sem restr.

cW≠1c/ restr.

ψCωC c w

ψ* p* p*ψ* p* ∣s∣ ∣s∣

0,2 1,00 10 0,5236 0,5236 0,524 0,5236 0,5236 0,618 0,618

0,2 1,00 10000 0,5240 0,5240 0,524 0,5236 0,5236 0,618 0,618

0,3 1,00 10 0,7854 0,7854 0,785 0,7854 0,7854 0,618 0,618

0,3 1,00 10000 0,7850 0,7850 0,785 0,7854 0,7854 0,618 0,618

0,4 1,00 10 1,0006 1,0664 1,067 1,0472 1,0472 0,618 0,666

0,4 1,00 1000 1,0000 1,0670 1,067 1,0472 1,0472 0,618 0,665

0,5 1,00 10 1,0049 1,4951 1,500 1.309 1.309 0,618 0,991

88

0,5 1,00 1000 1,0000 1,5000 1,500 1.309 1.309 0,618 0,997

0,6 1,00 10 1,0108 2,0764 2,100 1,5708 1,5708 0,618 1.500

0,6 1,00 10000 1,0000 2,1000 2,100 1,5708 1,5708 0,618 1,500

0,2 2,00 10 1,0020 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,499

0,2 2,00 100 1,0000 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,500

0,2 2,00 1000 1,0000 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,500

0,2 2,00 10000 1,000 1,200 1,200 1,1657 1,166 0,414 0,500

0,3 2,00 10 1,0101 2,007 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,845

0,3 2,00 100 1,0001 2,014 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,857

0,3 2,00 1000 1,0000 2,014 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,857

0,3 2,00 10000 1,0000 2,014 2,014 1,7485 1,749 0,414 0,857

0,4 2,00 10 1,0203 3,032 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,290

0,4 2,00 100 1,0002 3,066 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,333

0,4 2,00 1000 1,0000 3,067 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,333

0,4 2,00 10000 1,0000 3,067 3,067 2,3314 2,331 0,414 1,333

0,5 2,00 10 1,0337 4,374 4,500 2,9142 2,914 0,414 1,874

0,5 2,00 100 1,0003 4,499 4,500 2,9142 2,914 0,414 1,999

0,5 2,00 1000 1,000 4,500 4,500 2,9142 2,914 0,414 2,000

0,6 2,00 10 1,0519 6,187 6,600 3,4971 3,497 0,414 2,656

0,6 2,00 100 1,0006 6,595 6,600 3,4971 3,497 0,414 2,996

0,6 2,00 1000 1,0000 6,600 6,600 3,4971 3,497 0,414 3,000

0,6 2,00 10000 1,0000 6,600 6,600 3,4971 3,497 0,414 3,000

0,2 3,00 10 1,0144 2,442 2,450 2,1817 2,182 0,303 0,737

0,2 3,00 100 1,0001 2,450 2,450 2,1817 2,182 0,303 0,750

0,2 3,00 1000 1,0000 2,450 2,450 2,1817 2,182 0,303 0,750

0,3 3,00 10 1,0311 4,108 4,157 3,2725 3,272 0,303 1,231

0,3 3,00 100 1,0003 4,157 4,157 3,2725 3,272 0,303 1,285

0,3 3,00 1000 1,0000 4,157 4,157 3,2725 3,272 0,303 1,286

0,4 3,00 10 1,0521 6,208 6,400 4,3633 4,363 0,303 1,840

0,4 3,00 100 1,0005 6,398 6,400 4,3633 4,363 0,303 1,998

0,4 3,00 1000 1,0000 6,400 6,400 4,3633 4,363 0,303 2,000

0,5 3,00 10 1,0789 8,887 9,500 5,4542 5,454 0,303 2,591

89

0,5 3,00 100 1,0008 9,492 9,500 5,4542 5,454 0,303 2,995

0,5 3,00 1000 1,0000 9,500 9,500 5,4542 5,454 0,303 3,000

0,6 3,00 10 1,1131 12,314 14,100 6,5450 6,545 0,303 3,508

0,6 3,00 100 1,0013 14,074 14,100 6,5450 6,545 0,303 4,485

0,6 3,00 1000 1,0000 14,100 14,100 6,5450 6,545 0,303 4,500

Pelos dados da Tabela 5.1 pode se verificar que, para valores mais altos de cW o

valor da pressão calculada (mediante o modelo proposto) se aproxima do valor da pressão

exata. Um segundo fato interessante diz respeito às velocidades das ondas de choque.

Verifica-se que, quanto maior o valor de cW maior a velocidade (em módulo) das ondas

de choque. Sendo estas maiores que as velocidades encontradas para os casos sem restrição.

No entanto, os valores das velocidades de choque não aumentam livremente com o

aumento de cW . As velocidades dos choques tendem a se estabilizar para valores de

cW muito altos, como se verifica na tabela 5.1. Além disso, para valores muito altos de

cW o valor da saturação no estado intermediário fica cada vez mais próximo da unidade,

quando a conexão for do tipo choque-1 / choque-2, o que dificulta a realização de

simulações numéricas devido à precisão do computador (em torno de 1 x 10−8 ) . Logo, o

valor de cW deve ser sempre escolhido de forma conveniente a se obter valores

computacionalmente adequados (ordens de grandeza semelhantes) para os autovalores.

De forma enfatizar a importância do procedimento proposto no presente trabalho,

alguns resultados da Tabela 5.1 são plotados nas Figuras 5.1 a 5.4. Analisando os gráficos

da saturação versus ξ fica bastante claro que os resultados para o caso sem restrição não

são realistas, conforme destacado em [69]. Como a matriz porosa é quase indeformável, a

90

diferença entre a fração de fluido e a porosidade não pode exceder um valor muito pequeno

δ .

(a) (b)

Figura 5.1 – Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição

(linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando ωC=1,0,

ψC=0,5 e cW=10.

(a) (b)

Figura 5.2 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição


ψC=0,2 e cW=10000.

91

(a) (b)

Figura 5.3 - Pressão (a) e Saturação (b) versus =x / t para os problemas com restrição

(linhas contínuas) e sem restrição (linhas pontilhadas), considerando C=2,0,

C=0,4 e cW=10000.

(a) (b)

Figura 5.4 - Pressão (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para os problemas com restrição


ψC=0,6 e cW=1000.

92

Na Figura 5.1, o pequeno valor escolhido para a constante cW=10 deu origem a

uma saturação pouco superior a 1 (como apresentado na Tabela 5.1). Esse fato poderia ser

facilmente evitado aumentando o valor de cW . De qualquer forma, deve-se ter em mente

que nenhuma matriz porosa é completamente rígida, assim, supor uma dilatação muito

pequena na matriz porosa é admissível. Por outro lado, os resultados para o problema sem

restrição dão origem a valores não realistas para a saturação, mas também levam a

velocidades das ondas de choque não razoáveis. As velocidades dos choques e os valores

das pressões são subestimados, enquanto a saturação é superestimada. A mesma conclusão

pode ser feita observando-se a Figura 5.2, na qual o valor de cW é suficientemente alto, de

forma a garantir que a saturação seja sempre próxima a 1.

Na Figura 5.3 os valores das velocidades do choque e da pressão são fortemente

subestimados (aproximadamente 2,5 vezes) e a saturação é fortemente superestimada (2,25

vezes), quando uma descrição do problema sem restrição é considerada. Todos esses efeitos

são muito aumentados na Figura 5.4, para o problema sem restrição.

5.1.2. Rarefação-1/Rarefação-2

As seguintes condições iniciais são consideradas para ilustrar o caso Rarefação-

1/Rarefação-2, o qual dá origem a uma solução contínua

ωE=−2,0 para −∞< x<0

ωD=2,0 para 0<x<∞ (5.2)

ψE=ψD=ψ=1,02 para −∞< x<∞

93

e cuja solução (estado intermediário) é obtida pelas equações (3.35) e (3.71). As

velocidades das ondas de rarefação são calculadas pelas equações (3.23) e (3.24).

Adicionalmente, foi considerado cW=10.

Nesse caso, a saturação no estado intermediário é a única raiz da equação (3.71).

Uma vez conhecida esta saturação ψ* , volta-se à Eq. (3.35) para determinar ω* .

Novamente foi utilizado o método de Newton-Raphson para a obtenção da raiz ψ* de

forma que F(ψ*)=0, sendo a função F(ψ*) dada por (3.71). A tolerância utilizada

(critério de parada) foi o erro de 1x 10−8 .

A partir da equação (3.88) foram traçados os gráficos exibidos na Figura 5.5, que

apresenta o comportamento da velocidade (Fig. 5.5 (a)) e da saturação (Fig. 5.5 (b)) para a

única solução contínua possível para esse problema hiperbólico não-linear. Destaca-se que,

para obter esse resultado interessante, uma saturação um pouco superior a 1

(ψE=ψD=1,02) foi considerada nas condições iniciais. Esse problema envolve uma

subdiferencial quando ψ=1,0, que estão entre λ1b=−11,8020 e λ1a=−2,8020

(associados ao menor e maior valor da subdiferencial para o primeiro autovalor,

respectivamente) para rarefação-1 e entre λ2a=2,8020 e λ2b=11,8020 (associados ao

menor e maior valor da subdiferencial para o segundo autovalor, respectivamente) para

rarefação-2.

Um fato interessante é que o estado intermediário é caracterizado por

(ψ*=0,1650,ω*=0,0) e λ1E=λ1(ψE ,ωE)=−12,0, λ1*=λ1(ψ* ,ω*)=−1,0,

λ2*=λ2(ψ* ,ω*)=1,0 e λ2D=λ2(ψD ,ωD)=12,0. O primeiro leque de rarefação é

94

caracterizado por λ1 E⩽λ1*e ψE⩾ψ⩾ψ* , enquanto o segundo leque de rarefação é

corresponde a λ2 *⩽λ2De ψD⩾ψ⩾ψ* .

(a) (b)

Figura 5.5 - Velocidade (a) e Saturação (b) versus ξ=x /t para a solução contínua com

condições iniciais em (5.2).

5.1.3. Rarefação-1/Choque-2 e Choque-1/Rarefação-2

Sejam condições iniciais a seguir, que originam um problema com conexões

Rarefação-1/Choque-2,

ω=ωD=ωE=0 para −∞< x<∞

ψ=ψE>1 para −∞< x<0 (5.3)

ψ=ψD<1 para 0<x<∞

95

A Tabela 5.2 apresenta alguns resultados para o caso Rarefação-1/Choque-2,

associadas aos dados iniciais da equação (5.3), enquanto a Tabela 5.3 apresenta resultados

para as conexões do tipo Choque-1/Rarefação-2. Observa-se que foi forçado um valor

ligeiramente superior a 1 para a saturação à esquerda. Este resultado poderia ser

proveniente de um passo intermediário no caso do uso do esquema de Glimm, por exemplo,

ou ainda de uma pressão excessivamente alta imposta a uma matriz porosa que houvesse

sido suposta rígida. A solução do sistema é obtida pelas equações (3.35) e (3.73) para o

caso Rarefação-1/Choque-2, e pelas equações (3.45) e (3.74) para o caso Choque-

1/Rarefação-2. Neste último caso, é forçado um valor inicial para a saturação um pouco

superior a 1 à direita.

Todas saturações (nos estados intermediários) das Tabelas 5.2 e 5.3 foram obtidas

utilizando-se o método de Newton-Raphson, considerando-se um critério de parada (erro)

de 1x 10−8 .

Observa-se pelas Tabelas 5.2 e 5.3 que os casos são simétricos, isto é, apresentam as

mesmas velocidades de ondas, mas em sentidos opostos. Novamente nesses casos, pode-se

verificar que, quanto maior o valor de cW , maiores são as velocidades de propagação das

ondas.

Além disso, verifica-se que as condições da Tabela 3.1 são verificados para os

resultados obtidos para ψ* e ω* , para os casos Rarefação-1/Choque-2 e Choque-

1/Rarefação-2.

96

Tabela 5.2 – Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE>ψD

(Rarefação-1/Choque-2).

cW pEψE ψD ψ*

ω* λ1E λ1* s2

10 6,0 1,05 0,20 0,558 1,071 -10 0,071 1,7

10 11,0 1,10 0,20 0,692 1,322 -10 0,322 1,9

10 16,0 1,15 0,20 0,844 1,567 -10 0,567 2,1

10 21,0 1,20 0,20 1,000 1,820 -10 -8,180 2,3

100 500,0 1,05 0,20 1,001 4,829 -100 -95,17 6,0

100 1000,0 1,10 0,20 1,002 9,322 -100 -90,68 11,6

100 1500,0 1,15 0,20 1,004 13,53 -100 -86,47 16,9

100 2000,0 1,20 0,20 1,008 17,48 -100 -82,52 21,8

1000 50000 1,05 0,20 1,001 48,21 -1000 -951,79 60,3

1000 100000 1,10 0,20 1,002 93,15 -1000 -906,86 116,4

1000 150000 1,15 0,20 1,005 135,2 -1000 -864,79 168,8

1000 200000 1,20 0,20 1,008 174,7 -1000 -825,27 218,0

10000 5000000 1,05 0,20 1,001 482,1 -10000 -9517,91 602,5

10000 10000000 1,10 0,20 1,002 931,4 -10000 -9068,55 1163,7

10000 15000000 1,15 0,20 1,005 1352,1 -10000 -8647,93 1688,2

10000 20000000 1,20 0,20 1,008 1747,3 -10000 -8252,68 2180,0

97

Tabela 5.3 – Alguns resultados obtidos com ωE=ωD=0 e ψE<ψD

(Choque-1/Rarefação-2).

cW pDψE ψD ψ*

ω* λ2D λ2* s1

10 6,0 0,20 1,05 0,558 -1,071 10 -0,071 -1,7

10 11,0 0,20 1,10 0,692 -1,322 10 -0,322 -1,9

10 16,0 0,20 1,15 0,844 -1,567 10 -0,567 -2,1

10 21,0 0,20 1,20 1,000 -1,820 10 8,180 -2,3

100 500,0 0,20 1,05 1,001 -4,829 100 95,17 -6,0

100 1000,0 0,20 1,10 1,002 -9,322 100 90,68 -11,6

100 1500,0 0,20 1,15 1,004 -13,53 100 86,47 -16,9

100 2000,0 0,20 1,20 1,008 -17,48 100 82,52 -21,8

1000 50000 0,20 1,05 1,001 -48,21 1000 951,79 -60,3

1000 100000 0,20 1,10 1,002 -93,15 1000 906,86 -116,4

1000 150000 0,20 1,15 1,005 -135,2 1000 864,79 -168,8

1000 200000 0,20 1,20 1,008 -174,7 1000 825,27 -218,0

10000 5000000 0,20 1,05 1,001 -482,1 10000 9517,91 -602,5

10000 10000000 0,20 1,10 1,002 -931,4 10000 9068,55 -1163,7

10000 15000000 0,20 1,15 1,005 -1352,1 10000 8647,93 -1688,2

10000 20000000 0,20 1,20 1,008 -1747,3 10000 8252,68 -2180,0

5.2. Método de Glimm

Nessa seção serão apresentados alguns resultados obtidos com o método de Glimm.

Como foi feito na seção 5.1, todos os estados intermediários são obtidos pelo método

iterativo de Newton-Raphson, utilizando um critério de parada igual a 1 x 10−8 .

98

5.2.1. Choque-1/Choque-2

5.2.1.1. Exemplo 1

Para a simulação do caso Choque-1/Choque-2 foi utilizado um caso presente na

Tabela 5.1. Foi considerado o caso em que ψC=0,5, ωC=1,0 e cW=10.

Foi considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade

inicial inserida na posição x = 0,5 m (a metade do domínio). O domínio foi dividido em

1000 divisões espaciais. A simulação foi realizada para um intervalo de tempo igual a 1,0

segundo, o qual foi dividido em 4000 sub-intervalos. Dessa forma, foi obtido

x t

=1,0/10001,0 /4000

=42s1≈2 (5.4)

mostrando que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)) foi atendida.

As Figuras 5.6 a 5.8 apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão, para

os primeiros instantes de tempo. Para efeito de comparação, nessas figuras também foi

plotado o caso sem a restrição, ou seja, cW=1.

99

t = 0s t = 0,1s

t = 0,2s t = 0,3s

t = 0,4s t = 0,5s

Figura 5.6 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , e

ψC=0,5 e ωC=1,0.

100

t = 0s t = 0,1s

t = 0,2s t = 0,3s

t = 0,4s t = 0,5Figura 5.7 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,


ψC=0,5 e ωC=1,0.

101

t = 0s t = 0,1s

t = 0,2s t = 0,3s

t = 0,4s t = 0,5sFigura 5.8 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com restrição (CW=10) e sem restrição (CW=1), e

ψC=0,5 e ωC=1,0.

102

Pelas Figuras 5.6 a 5.8 verifica-se que ocorrem variações bruscas nas propriedades

do escoamento, marcando as descontinuidades características de choques. Além disso,

pode-se verificar que o valor das propriedades no estado intermediário (entre as

descontinuidades) corresponde àquelas calculadas na Tabela 5.1. E, por fim, verifica-se da

posição das descontinuidades ao longo do tempo, que as mesmas apresentam velocidades

de propagação muito próximas daquelas calculadas na Tabela 5.1.

5.2.1.2. Exemplo 2

Neste exemplo foram feitas simulações com o método de Glimm, para os casos com

ψC=0,6 e ωC=1,0, utilizando-se os valores 1, 10, 100 e 200 para cW . Novamente foi

considerado um domínio de 1 metro de comprimento, com a descontinuidade inicial

inserida na posição x = 0,5 m. O domínio foi dividido em 1000 divisões espaciais e as

simulações foram realizadas para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi

dividido em 4000 sub-intervalos (mesmas condições do primeiro exemplo). Pela Tabela 5.1

verifica-se que a maior velocidade de propagação das ondas de choque é 1,5 m/s. Dessa

forma, a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação 4.1) foi atendida.

As Figuras 5.9, 5.10 e 5.11 apresentam os resultados obtidos para a saturação,

velocidade e pressão nos casos considerados.

103

t = 0s t = 0,05s

t = 0,1s t = 0,15s

t = 0,2s t = 0,25sFigura 5.9 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,

considerando os problemas com ψC=0,6, ωC=1,0, cW=1, cW=10, cW=100,

e cW=200.

104

t = 0s t = 0,05s

t = 0,1s t = 0,15s

t = 0,2s t= 0,25sFigura 5.10 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,


e cW=200.

105

t = 0s t = 0,05s

t = 0,10s t = 0,15s

t = 0,2s t = 0,25sFigura 5.11 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Choque-2,


e cW=200.

106

Pelas Figuras 5.9, 5.10 e 5.11 (assim como pela Tabela 5.1) observa-se que, para

cW1 o valor da velocidade de propagação dos choques não se altera. No entanto, o

valor de cW influencia, mesmo que discretamente, o valor da saturação e da pressão no

estado intermediário.

Na Figura 5.9, verifica-se que, para valores mais altos de cW , a saturação se

aproxima do valor 1,0, que corresponde à saturação. Aliás, para cW=200, o resultado

obtido para a saturação é praticamente o mesmo que o obtido com cW=100. Dessa

forma, conclui-se que, nesse caso, realizar as simulações utilizando o valor cW=100 já é

suficiente para gerar resultados precisos.

A Figura 5.11 mostra outro resultado interessante que é o fato da pressão se

aproximar do valor 2,1 (que é o valor exato) quando o valor de cW aumenta. Novamente

verifica-se que os resultados para cW=200 e cW=100 diferem muito pouco.

Os resultados obtidos para a evolução de velocidade são praticamente os mesmos

para os quatro casos simulados, como pode-se verificar na Figura 5.10.

5.2.2. Rarefação-1/Rarefação-2

5.2.2.1. Exemplo 1

Na simulação do caso Rarefação-1/Rarefação-2 foi utilizado o mesmo caso da seção

5.1.2. Foi utilizado ψE=ψD=1,02, ωE=−ωD=−2,0 e cW=10.

107


inicial inserida na posição x = 0,5 m. O domínio foi dividido em 400 divisões espaciais. A

simulação foi realizada para um intervalo de tempo igual a 1,0 segundo, o qual foi dividido

em 10400 sub-intervalos. Dessa forma, foi obtido

Δ xΔ t

=

1,04001,0

10400

=26>2λ1(ψE ,ωE)≈24 (5.5)

o que mostra que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação 4.1) foi atendida.

As Figuras 5.12 a 5.14, a seguir, apresentam a evolução da saturação, velocidade e

pressão para os instantes de tempo iniciais. Para efeito de comparação, nessas figuras

também foi plotado o caso sem a restrição, ou seja, cW=1.

108

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.12 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-

1/Rarefação-2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição

cW=1 , para ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0.

109

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.13– Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-

2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , para

ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0.

110

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.14 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-

2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , para

ψE=ψD=1,02, e ωE=−ωD=−2,0.

111

Nas Figuras 5.12 a 5.14 pode-se verificar a evolução das propriedades ao longo do

tempo. Verifica-se que há uma transição contínua entre o estado intermediário e o valor das

propriedades à esquerda e à direita, caracterizando as ondas de rarefação. No entanto,

conforme mencionado na seção anterior, esse problema envolve uma subdiferencial quando

ψ=1,0 entre λ1b=−11,8020 e λ1a=−2,8020 para rarefação-1 e entre

λ2a=2,8020 e λ2b=11,8020 para rarefação-2 quando cW=10. Essa subdiferencial

causa um “patamar” nos gráficos das propriedades nas Figuras 5.12 a 5.14.

5.2.2.2. Exemplo 2

Nesse exemplo, foram consideradas as mesmas condições iniciais da seção 5.2.1, no

entanto também foi feita a simulação para cW=100. Também foi ajustado o valor de M

para 104000, de forma a atender a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação 4.1).

Nas Figuras 5.15, 5.16 e 5.17 observa-se o comportamento da saturação, velocidade

e pressão, respectivamente, para esse caso. Nessas figuras é possível observar o maior

deslocamento das curvas em que cW=100. Isso evidencia a maior velocidade de

propagação das ondas de rarefação para maiores valores de cW .

Outro fato interessante pode ser observado na Figura 5.17, na qual se observa os

altos valores da pressão, para o caso com cW=100, mostrando que esse caso se aproxima

mais das situações reais, nas quais ocorre um aumento da pressão conforme a saturação é

atingida.

112

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.15 - Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-

2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02, ωE=−ωD=−2,0. e cW=1, cW=10

e cW=100.

113

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s


1/Rarefação-2, considerando os problemas ψE=ψD=1,02, ωE=−ωD=−2,0. e

cW=1, cW=10 e cW=100.

114

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.17- Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Rarefação-2,

considerando os problemas ψE=ψD=1,02, ωE=−ωD=−2,0. e cW=1, cW=10 e

cW=100.

115

5.2.3. Choque-1/Rarefação-2

5.2.3.1. Exemplo 1

Para a simulação do caso Choque-1/Rarefação-2 foi utilizado, nesse exemplo,

ψE=0,2, ψD=1,15, ωE=ωD=0,0 e cW=10.





Δ xΔ t

=

1,04001,0

10400

=26>2λ2(ψD ,ωD)=20 (5.6)

o que mostra que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)) foi atendida.

As Figuras 5.18 a 5.20 apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão

para os instantes de tempo iniciais. Para efeito de comparação, nessas Figuras também foi




propriedades à direita, caracterizando a onda rarefação-2, enquanto há uma transição

descontínua entre o estado intermediário e o estado à esquerda. Novamente verifica-se que

116

ocorre uma subdiferencial quando ψ=1,0 na onda rarefação-2, para o caso com

cW=10. Essa subdiferencial causa um “patamar” nos gráficos das propriedades nas

Figuras 5.18 a 5.20, no qual a saturação se mantém com valor muito próximo de 1,0.

Pelas Figuras 5.18 e 5.20, tem-se a impressão de que ocorrem duas ondas de choque

na onda de rarefação-2. No entanto, pela Figura 5.14, verifica-se uma transição contínua da

pressão, entre o estado intermediário, a região em que ψ≈1,0 e estado à direita.

117

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.18 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,


ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0.

118

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.19 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-

2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , e

ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0.

119

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.20 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,


ψE=0,2, ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0.

120

5.2.3.2. Exemplo 2

Nesse exemplo foram consideradas as mesmas condições iniciais da seção 5.2.3.1,

no entanto também foi feita a simulação para cW=100. Também foi ajustado o número

de sub-intervalos temporais para 104000, de forma a atender a condição de Courant-

Friedrichs-Lewy (equação (4.1)).





Outro fato interessante pode ser observado na Figura 5.17, na qual se observa os

altos valores da pressão, para o caso com cW=100, Isto mostra que esse caso se aproxima

mais das situações reais, nas quais ocorre um aumento da pressão conforme a saturação é

atingida.

Nas Figuras 5.22 e 5.23 pode-se observar algumas deformações nas curvas da

velocidade e da pressão. Essas deformações são erros numéricos que não aparecem nas

curvas da saturação, devido ao fato dessa apresentar valores próximos a 1,0. No entanto,

como o valor de cW=100, é um pouco alto, essas imperfeições ficam mais evidentes nas

curvas de pressão e velocidade.

121

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004sFigura 5.21 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,

considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100, ψE=0,2,

ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0.

122

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.22 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-

2, considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100, ψE=0,2,

ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0.

123

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.23 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Choque-1/Rarefação-2,


ψD=1,15 e ωE=ωD=0,0.

124

5.2.4. Rarefação-1/Choque-2

5.2.4.1. Exemplo 1

No primeiro exemplo de simulação do caso Rarefação-1/Choque-2 foi utilizado o

caso em que ψE=1,15, ψD=0,2, ωE=ωD=0,0 e cW=10.





Δ xΔ t

=

1,04001,0

10400

=26>2|λ1(ψE ,ωE)|=20 (5.7)

o que mostra que a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)) foi atendida.

As Figuras 5.24 a 5.26 apresentam a evolução da saturação, velocidade e pressão

para os instantes de tempo iniciais. Para efeito de comparação, nessas Figuras também foi




propriedades à esquerda, caracterizando a onda de rarefação-1, enquanto há uma transição

descontínua entre o estado intermediário e o estado à direita. Novamente verifica-se que

125

ocorre uma subdiferencial quando ψ=1,0 na onda rarefação-1, para o caso com

cW=10. Essa subdiferencial causa um “patamar” nos gráficos das propriedades nas

Figuras 5.24 a 5.26, no qual a saturação se mantém com valor muito próximo de 1,0.

126

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.24 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,


ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0.

127

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.25 – Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-

2, considerando os problemas com restrição cW=10 e sem restrição cW=1 , e

ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0.

128

t = 0s t = 0,01s

t = 0,02s t = 0,03s

t = 0,04sFigura 5.26 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,


ψE=1,15, ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0.

129

5.2.4.2. Exemplo 2

Nesse exemplo, foram consideradas as mesmas condições iniciais da seção 5.2.4.1,

adicionalmente, foi feita a simulação para cW=100. Também foi ajustado o valor de M

para 104000, de forma a atender a condição de Courant- Friedrichs-Lewy (equação (4.1)).





Pelas Figuras 5.27 a 5.29, observa-se um resultado semelhante aos observados nos

Exemplos de Choque-1/rarefação-2, que é o fato do aumento do valor de cW produzir

significativas alterações nos valores das propriedades do estado intermediário, além de

alterar fortemente as velocidades de propagação das ondas.

130

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004sFigura 5.27 – Evolução da saturação ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,


ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0.

131

t = 0,001s t = 0,002

t = 0,003 t = 0,004sFigura 5.28– Evolução da velocidade ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-

2, considerando os problemas com cW=1, cW=10, cW=100, ψE=1,15,

ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0.

132

t = 0,001s t = 0,002s

t = 0,003s t = 0,004s

Figura 5.29 – Evolução da pressão ao longo do tempo para o caso Rarefação-1/Choque-2,


ψD=0,2 e ωE=ωD=0,0.

133

Capítulo 6

Conclusões e Sugestões

No presente trabalho foi proposta uma relação constitutiva contínua para a pressão

como função da saturação, como uma continuação do trabalho de Saldanha da Gama et al.

[69], que identificava a transição entre escoamentos insaturados e saturados, impondo uma

restrição física associada ao enchimento de uma matriz porosa insaturada: a porosidade

nominal como um limite superior para a fração de fluido. Essa restrição imposta em [69]

faz com que a hiperbolicidade do sistema seja perdida quando a saturação é atingida.

A metodologia proposta consiste em supor um meio poroso levemente deformável,

com uma deformação tão pequena que não seja necessário analisar o movimento do

134

constituinte sólido. Ou seja, a física do escoamento é preservada. No entanto, a deformação

do meio poroso permite definir uma nova equação constitutiva para a pressão do

constituinte fluido. A relação constitutiva para a pressão é uma função contínua da

saturação, e é definida de forma que o sistema hiperbólico resultante permaneça hiperbólico

mesmo quando a saturação é atingida. Na verdade, o modelo matemático permite uma

pequena supersaturação da matriz porosa, correspondendo a admitir uma matriz porosa

fracamente deformável.

Foram obtidas as soluções completas para o problema de Riemann associado ao

modelo proposto. A partir da solução do problema de Riemann, foi possível analisar

resultados numéricos para os casos choque-1/choque-2, choque-1/rarefação-2, rarefação-

1/choque-2 e rarefação-1/rarefação-2. Esses resultados, quando comparados com resultados

propostos na literatura, se mostrou eficiente para tratar escoamentos insaturados e

saturados. Além disso, esses resultados se mostraram realistas ao abordar problemas dessa

natureza, uma vez que foram obtidos valores para a pressão próximos de valores reais, sem

que fosse necessário supor uma supersaturação exagerada (saturação obtida somente

ultrapassava discretamente a porosidade).

O modelo proposto permitiu implementar o método de Glimm para o sistema

hiperbólico estudado, utilizando a solução do problema de Riemann associado. Dessa

forma, foi possível analisar a variação das propriedades dos escoamentos ao longo do

tempo.

Com o método de Glimm foi possível realizar simulações numéricas para os casos

choque-1/choque-2, choque-1/rarefação-2, rarefação-1/choque-2 e rarefação-1/rarefação-2.

135

Além disso, foi possível comparar a evolução das propriedades do escoamento para

diferentes valores da constante proposta cW .

A partir dos resultados numéricos obtidos com o método de Glimm, observou-se

que o modelo proposto gerou valores mais realistas para as propriedades intermediárias,

isto é, as propriedades do escoamento entre duas descontinuidades. Além disso, utilizando o

modelo proposto, verificou-se que as velocidades de propagação das descontinuidades

aumentavam quando a saturação era atingida.

Foi observado que, o aumento da constante definida cW permitiu que o modelo

estudado produzisse resultados mais realistas, de forma que os escoamentos, quando

atingiam a saturação, também apresentavam altos valores para a pressão e velocidades de

propagação de descontinuidades mais altas.

Nos resultados obtidos, foram encontrados valores bastante elevados para a pressão,

os quais podem ser utilizados como uma forma de verificar a fratura em um meio poroso.

Se for estabelecido um critério para a ocorrência de uma fratura (um valor de pressão

máxima, por exemplo), pode-se analisar os valores da pressão, de forma que se garanta a

não ocorrência de quebra (fratura) do meio poroso. A partir do momento em que ocorre a

quebra, as equações diferenciais deixam de ser aplicáveis e o problema mecânico deve ser

reformulado.

Como sugestões para trabalhos futuros, a primeira será implementar o método de

Glimm para resolver problemas de valor inicial e de contorno mais realistas, aproveitando

todas as potencialidades do método.

136

Outras sugestões para trabalhos futuros seriam não desprezar o atrito ou o

aquecimento decorrentes do escoamento. Esse tipo de problema envolve a redefinição do

tensor das tensões e, principalmente, levar em conta o termo darciano na força de interação

entre os constituintes da matriz porosa, para o caso de se considerar o atrito, e a inclusão de

equações diferencias adicionais (conservação da energia) tanto para o constituinte fluido

como para o constituinte sólido, para solucionar o problema com variação de temperatura.

Destaca-se que, para solucionar o problema com atrito pode-se utilizar uma técnica de

fatoração do operador, como aquela utilizada em [3]. No caso de se considerar um

problema de convecção forçada, a solução do problema hidrodinâmico pode ser usada

como dado de entrada para o problema térmico, que pode ser aproximado por diferenças

finitas [2].

Uma outra sugestão seria tratar adequadamente a classe de problemas considerados

nesse trabalho, permitindo-se relações não-convexas entre a pressão e a saturação. Para tal,

pretende-se utilizar o procedimento proposto em [80]. Quando a relação entre a pressão e a

saturação não é convexa, o problema de Riemann associado requer procedimentos mais

complexos para a sua solução, pois não é garantido o mesmo comportamento para cada

autovalor entre dois estados, devido à mudança de sinal na segunda derivada da pressão.

Esse procedimento é ilustrado em [80].

137

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simulaÇÃo de escoamentos em meios porosos … · dÁrio monte alegre simulaÇÃo de escoamentos...

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