simulação do escoamento em sistemas porosos usando mps...

1

Nikolas Lukin

Simulação do escoamento em sistemas porosos usando MPS

(Moving-Particle Semi-Implicit).

São Paulo

2009

3

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Simulação do escoamento em sistemas porosos usando MPS

(Moving-Particle Semi-Implicit).

Trabalho de formatura apresentado à Escola Politécnica

da Universidade de São Paulo para a obtenção do título

de Graduação em Engenharia

Nikolas Lukin

Orientador: Liang Yee Cheng

Área de Concentração:

Engenharia Mecânica

São Paulo

2009

4

FICHA CATALOGRÁFICA

Lukin, Nikolas

Simulação do escoamento em sistemas poros os usando MPS (Moving-Particle Semi-Implicit) /

N. Lukin. – São Paulo, 2009. 52 p.

Trabalho de Formatura - Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo. Departamento de Engenharia Mecânica.

1. Hidrodinâmica 2. Mecânica dos fluídos computacional

3. Permeabilidade do solo I. Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia Mecânica II. t.

5

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à todos áqueles que se esforçaram para se aperfeiçoar.

E que com a sua coragem e ousadia, questionaram e desafiaram os tabus. E

ainda conseguiram “dar um jeito”. Aos que dedicaram as suas vidas para

fazer um mundo melhor.

À minha mãe, uma destas pessoas.

6

Resumo

Recentemente, as descobertas de reservas naturais de petróleo impulsionaram o

desenvolvimento de soluções para o problema de simulação numérica de escomentos

em meio poroso. Diversas simulações numéricas foram realizadas para investigar o

fenômeno, entretanto pouco ainda se estudou utilizando métodos sem malhas para o

cálculo os quais deverão simplificar o pré-processamento e assim como possibilitar a

modelagem de geometrias complexas. O MPS (Moving-Particle Semi-Implicit) é um

método computacional desenvolvido para simular o comportamento dinâmico de um

fluido. O método consiste em dividir o domínio em partículas e, sob o ponto de vista

Lagrangeano, resolver as equações da continuidade e de Navier-Stokes aplicando

operadores derivados de um modelo de interação entre partículas. Por trabalhar sem a

necessidade do uso de malhas, o método tem diversas aplicações em problemas que

envolvem fragmentações, superfícies livres e grandes deformações. Neste trabalho, o

MPS será utilizado para simular o escoamento de um fluido através de um meio poroso,

modelado, por simplificação, como um aglomerado de cilindros. A disposição, o

diâmetro dos cilindros e a distância entre eles assim como a distância entre as

partículas e o incremento de tempo são variados sistematicamente para se determinar

as melhores condições do cálculo. As simulações realizadas em um ambiente 2D e 3D

mostraram boa aderência com os resultados previstos pela lei de Darcy e pela equação

de Carman Kozeny.

Palavras-chave: Hidromecânica, Mecânica dos fluidos computacional, Permeabilidade

do solo

7

Abstract

Recently, new discoveries of oil reservoirs have pushed the development of the

numerical method to simulate flow in porous media. In the past, several numerical

methods have been proposed to investigate the phenomena, however few of approaches

are meshless ones, which may simplify the pre-processing and be able to model complex

geometry, as well. For this purpose, MPS (Moving-Particle Semi-Implicit) is a

Lagrangean method originally developed to simulate dynamic behavior of

incompressible fluid by dividing the domain in particles. The continuity equations and

Navier-Stokes equations are solved by using operators, which are devised from a

particle interaction model that replaces the differential operator. As a meshless method,

it is very powerful approach for the problems that involve fragmentations, free surfaces

and great deformations. In the present work, MPS is used to simulate a fluid flow in a

porous media. For the sake of simplicity, the porous media is modeled as a

conglomerate of spheres. The effects of the spheres arrangement, diameter and distance

as well as the distance of particle used to discretized the domain is analyzed

systematically. The validation for the numerical approach was done by comparing

numerical results with those one predicted by Darcy law and Carman Kozeny equation

for laminar flow in porous media. 2D and 3D simulation results shows a good

correlation to those theorical data.

Keywords: Hydromechanics, Computational Fluid Dynamics, Permeability of Soil

8

Sumário

LISTA DE TABELAS

LISTA DE FIGURAS

Conteúdo

1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 13

2. REVISÃO DE LITERATURA .................................................................................. 16

2.1 Meios porosos ....................................................................................................... 16

2.2 Propriedades do escoamento ................................................................................ 16

2.3 Tipos de rochas ..................................................................................................... 17

2.4 Empacotamento .................................................................................................... 11

2.5 Tamanho dos grãos ............................................................................................... 12

2.6 Porosidade ............................................................................................................ 13

2.7 Permeabilidade ..................................................................................................... 13

2.8 Lei de Darcy ......................................................................................................... 14

3. Modelos para simulação ............................................................................................. 18

3.1 Abordagem numérica ........................................................................................... 18

3.2 Algoritmo do MPS ............................................................................................... 20

3.3 Casos de estudo .................................................................................................... 22

4 Resultados e discussões ............................................................................................... 24

4.1 Cálculo e metodologia de análise ......................................................................... 24

4.2 Análise dos efeitos dos parâmetros de simulação ................................................ 26

9

4.2.1 Incremento de tempo ..................................................................................... 26

4.2.2 Distância entre partículas............................................................................... 28

4.2.3 Tempo de amostragem................................................................................... 29

4.2. Efeito das propriedades do escoamento............................................................... 30

4.3 Efeito da porosidade ............................................................................................. 36

4.4. Validação ............................................................................................................. 39

4.4.3. Estudo de Convergência ............................................................................... 39

4.5. Simulações em ambiente 3D ............................................................................... 40

5. Conclusões .................................................................................................................. 43

6. Direitos autorais .......................................................................................................... 43

Bibliografia ..................................................................................................................... 44

ANEXOS ........................................................................................................................ 47

Anexo A: Rotina em C++ para geração dos modelos cilíndricos .............................. 47

Anexo B: Tabela dos casos simulados ....................................................................... 52

10

Índice de figuras

Figura 1: distribuição da matriz energética brasileira ................................................... 15

Figura 2: Representação dos poros para diversas rochas ............................................. 17

Figura 3: Representação das camadas de rochas em um reservatório .......................... 17

Figura 4: Representação dos modelos de Silin e Patzek ............................................... 11

Figura 5: Representação da estrutura alinhada .............................................................. 11

Figura 6: Representação da estrutura cruzada .............................................................. 11

Figura 7: Diferentes arranjos estruturais para os cilindros do meio poroso ................... 12

Figura 8: Microfotografia de uma rocha-reservatório contendo óleo ............................ 12

Figura 9: Imagem obtida por microscópio eletrônico de varredura (MEV) para uma

amostra de caolinita mostrando os seus grãos bem como seus poros .......................... 13

Figura 10: Representação dos poros permeáveis e impermeáveis em areias e rochas ... 14

Figura 11: Esquema do experimento realizado por Henry Darcy para estudar o

comportamento da água em um meio poroso ................................................................ 15

Figura 12: Comparação do perfil de velocidades do escoamento em função do tempo

com o resultado teórico obtido a partir da equação de Navier-Stokes. .......................... 19

Figura 13: Fluxograma das rotinas do MPS ................................................................. 20

Figura 14: representação da lista de vizinhança de uma partícula ................................ 21

Figura 15: Modelo alinhado para a simulação................................................................ 23

Figura 16: Modelo cruzado para a simulação ................................................................. 23

Figura 17: Cluster (Altix) do TPN (Cluster do TPN, 2007) .......................................... 24

Figura 18: modelo alinhado 2D para a simulação visualizado no MPSview ................. 25

Figura 19: modelo cruzado 2D para a simulação visualizado no MPSview .................. 25

11

Figura 20: gráfico da pressão em função da posição axial (x) para um escoamento no

modelo cruzado mostrando a linha de tendência da pressão das partículas e o desvio

padrão em relação à média. ............................................................................................ 26

Figura 21: visualização do gradiente de pressão em função da posição axial (x) para um

escoamento no modelo cruzado mostrando a média e a distribuição dos pontos........... 26

Figura 22: Resposta da pressão para diferentes valores de time-step ............................. 27

Figura 23: Resposta da pressão para diferentes valores de distância entre partículas .... 28

Figura 24: Queda da pressão em função do tempo de simulação ................................... 30

Figura 25: Variação da queda de pressão para diferentes valores de densidade fluido .. 31

Figura 26: Variação da queda pressão para diferentes valores velocidade escoamento 32

Figura 27: Variação da queda pressão para diferentes valores de viscosidade fluido .... 33

Figura 28: Variação da queda pressão para diferentes comprimentos caminho poroso . 34

Figura 29: Pressão em função de diâmetro poro / poro efetivo ...................................... 35

Figura 30: Desvio-padrão da queda pressão para diferentes valores diâmetro poro/poro

efetivo ............................................................................................................................. 36

Figura 31: Variação da permeabilidade do modelo cruzado em função da porosidade . 37

Figura 32: Permeabilidade do modelo alinhado em função da porosidade .................... 38

Figura 33: Variação do desvio do valor teórico para diferentes valores de razão raio do

cilindro e distância entre partículas ................................................................................ 39

Figura 34: Visualização do modelo 3D (com corte) no Pos3D ...................................... 41

12

Índice de tabelas

Tabela 1: Coeficientes empíricos para a equação de Carman Kozeny .......................... 16

Tabela 2: Alguns valores típicos dos parâmetros de Carman-Kozeny .......................... 17

Tabela 3: Parâmetros da simulação para analisar o efeito do incremento de tempo ...... 27

Tabela 4: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da distância entre partículas 28

Tabela 5: Parâmetros da simulação para analisar o efeito do tempo de amostragem .... 29

Tabela 6: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da densidade do fluido ........ 31

Tabela 7: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da velocidade escoamento ... 32

Tabela 8: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da viscosidade do fluido ...... 33

Tabela 9: Parâmetros da simulação para analisar o efeito de L ...................................... 34

Tabela 10: Parâmetros da simulação para analisar o efeito de D ................................... 35

Tabela 11: Parâmetros da simulação para estudar o efeito porosidade do meio ............ 37

Tabela 12: Valores da constante de Carman-Kozeny para o modelo 2D ....................... 38

Tabela 13: Valores otimizados para o modelo ............................................................... 40

Tabela 14: Parâmetros da simulação para estudar a simulação 3D ................................ 41

Tabela 15: Dimensões dos modelos 3D para a simulação numérica .............................. 42

Tabela 16: Resultados para os ensaios 3D...................................................................... 42

13

1. INTRODUÇÃO

Uma das atividades da engenharia mecânica é a aplicação da matemática e da

física na concepção, construção e análise de sistemas mecânicos. Neste âmbito, o MPS

(Moving-Particle Semi-Implicit) é um método computacional que tem a finalidade de

simular o comportamento e a dinâmica de um fluido. O método consiste em dividir o

domínio em partículas e, sob o ponto de vista Lagrangeano, resolver as equações da

continuidade e de Navier Stokes. A simulação consiste em duas etapas: na primeira,

explicita, são consideradas as forças externas que agem na partícula, como a gravidade,

a viscosidade e a tensão superficial, enquanto que na segunda, são computadas a pressão

interna do fluido que, combinadas com a conservação de momento, fazem com que o

fluido seja incompressível.

Esse método pode ser usado na exploração de soluções para muitos problemas da

engenharia. Por trabalhar sem a necessidade do uso de malhas, o método tem diversas

aplicações em problemas que envolvem fragmentações, superfícies livres e grandes

deformações. Muito se estuda a sua aplicação na influência do movimento de ondas em

navios e até mesmo o escoamento de fluidos em sistemas biológicos. O TPN (Tanque

de Provas Numérico), parceiro da PETROBRÁS na pesquisa e desenvolvimento das

indústrias offshore e de petróleo atua na simulação de corpos flutuantes e na

hidrodinâmica aplicada. O impulso para o desenvolvimento deste método advém da

necessidade de se simular a dinâmica de fluidos em condições extremas como é o caso

em processos prospecção do petróleo onde muitas vezes é difícil e economicamente

inviável fazer ensaios físicos. Entretanto, pouco ainda se estudou sobre esses processos

utilizando o método MPS.

14

Esse trabalho de formatura tem por objetivo estudar, com base no MPS, o

escoamento de fluidos em meios porosos. Aproveitando o potencial do MPS, são

simulados sistemas que envolvem escoamento em meios porosos com a finalidade de

verificar a perda de carga provocada pelas dissipações de energia que são

principalmente devidas ao atrito viscoso. Estas perdas de carga são comparadas com os

valores teóricos da equação de Carman-Kozeny e com as tendências que a Lei de Darcy

sugere. Nesta análise, são determinadas as condições ótimas de simulação do

escoamento.

Sabe-se que o escoamento em meios porosos obedece a lei de Darcy. De acordo

com esta lei, proposta pelo engenheiro francês Henry Darcy em 1856, a perda de carga

de um fluido em um meio poroso homogêneo é linear e, conhecendo-se as propriedades

do meio e do fluido o seu comportamento é facilmente previsto. Como casos de estudo,

serão considerados escoamentos 2D através de cilindros, que representarão uma

idealização de um reservatório de petróleo, cujas dimensões variar-se-ão

sistematicamente. Os resultados obtidos serão analisados e comparados com os

experimentais e serão avaliados os efeito das dimensões do modelo e do grau de

compactação dos cilindros.

Cabe notar que esse estudo poderá ser de grande interesse para a indústria de

petróleo. Dado que a matriz energética brasileira se baseia principalmente no petróleo

como combustível (figura 1), são fundamentais que se tenham em mãos métodos

eficientes para a sua exploração. Desta forma, este trabalho de conclusão de curso não

apenas tem a função de aprimorar o MPS para as situações as quais lhe são solicitadas

como também o de possivelmente atender às necessidades da indústria de petróleo off-

shore.

15

Figura 1: distribuição da matriz energética brasileira (Matriz energética brasileira, 2001)

16

2. REVISÃO DE LITERATURA

2.1 Meios porosos

Por definição, um meio poroso é um meio sólido pelo qual existem espaços

vazios por onde um fluido pode passar. Como exemplo de meios porosos pode ser

citado rochas, argilas e solos em geral. O escoamento em meios porosos é de grande

interesse para engenharia, pois muitos fenômenos de transporte importantes tais como o

enchimento de mananciais e a extração de petróleo ocorrem nestes meios.

Conhecer e detalhar um fenômeno são fundamentais para prever e

eventualmente prevenir suas conseqüências. O problema de estudar um meio poroso

advém da grande complexidade geométrica do meio.

2.2 Propriedades do escoamento

No escoamento em regimes permanente, são válidas as hipóteses de conservação

de massa e da conservação de energia do fluido. Por conservação de massa, entende-se

que a quantidade de fluxo que entra deve ser igual àquela que sai do meio e no caso do

regime ser permanente, o divergente da velocidade deve ser nulo. Para análise do

escoamento, considerar-se-á que o meio está saturado pelo fluido (monofásico). A

energia pode ser decomposta em 3 parcelas principais: potencial, cinética e de pressão.

Entretanto, as duas primeiras somente são relevantes em situações aonde o fluido sofre

grandes variações de altura e velocidades. Este estudo estará focado em descrever a

variação da energia de pressão em escoamento laminares e isentos da variação da

17

energia potencial gravitacional, pois é admitido que o fluido escoa a baixas velocidades

num fluxo que se resumem em baixos números de Reynolds (Berman, 1953).

Adicionalmente, para comodidade de cálculos, o meio será considerado isotrópico.

2.3 Tipos de rochas

Existem basicamente 3 grandes grupos de rochas: são elas, as ígneas as

sedimentares e as rochas metamórficas. As rochas ígneas são formadas pelo

resfriamento e solidificação do magma, as sedimentares a partir da decomposição e

compactação da matéria orgânica e inorgânica e as metamórficas por sua vez, a partir da

erosão de outras rochas. O petróleo, em geral, fica armazenado nos poros de rochas

sedimentares (rocha reservatório). Como este projeto está destinado principalmente a

simular escoamentos em reservatórios de petróleo, a síntese do problema estará focada

nas rochas sedimentares. Mais especificamente, as rochas sedimentares formadas por

arenito (pós-sal) serão de maior interesse por apresentarem uma maior predominância

no cenário petro-geológico brasileiro.

Figura 2: Representação dos poros para

diversas rochas (Estrutura solo)

Figura 3: Representação das camadas de rochas

em um reservatório (Estrutura solo)

11

2.4 Empacotamento

As rochas sedimentares podem ser modeladas como um empacotamento de grãos. Conforme

resultados numéricos (Silin, 2006), modelos de esferas compactadas se ajustam bem aos arenitos.

Entretanto, em uma primeira abordagem, as simulações são feitas em um ambiente 2D e no lugar de

esferas, os obstáculos serão cilíndricos.

Figura 4: Representação dos modelos de Silin e Patzek (petroleum, 2006)

Na medida em que a rocha encontra-se mais profunda, as tensões sobre ela aplicadas

tenderão à aumentar. Em termos práticos, isso fará com que o seu arranjo geométrico seja mais

compactado diminuindo a sua porosidade. Para fins de análise e por idealização, os grãos do meio

serão arranjadas em 2 estruturas principais: alinhada e cruzada (maior grau de compactação). As

estruturas estão representadas a seguir nas figuras 5 e 6.

Figura 5: Representação da estrutura alinhada

(Anteparos moleculares)

Figura 6: Representação da estrutura cruzada

(Anteparos moleculares)

12

Figura 7: Diferentes arranjos estruturais para os cilindros do meio poroso (Mesofases líquido cristalinas)

Figura 8: Microfotografia de uma rocha-reservatório contendo óleo (geologia do petroleo)

2.5 Tamanho dos grãos

Tamanho dos gãos refere-se às dimensões físicas das partículas de uma rocha ou de um

outro sólido e essa propriedade define a maioria das propriedades básicas dos sedimentos. As

medidas de tamanho de grão podem ser determinadas através de diversas técnicas. Devido à

irregularidade de formatos dos grãos, o conceito de diâmetro de grão é muito arbitrário. Um dos

13

métodos mais utilizados consiste na determinação da média da medida de vários grãos e o tamanho

é definido como a média deles.

Figura 9: Imagem obtida por microscópio eletrônico de varredura (MEV) para uma amostra de caolinita

mostrando os seus grãos bem como seus poros (Maia, Saldanha, Angélica, Souza, & Neves, 2007)

2.6 Porosidade

Um outro parâmetro fundamental para a caracterização de meios porosos é a porosidade. A

porosidade é a relação entre os espaços vazios de um meio e o espaço total que o meio poroso

ocupa. A porosidade é um parâmetro adimensional e geralmente tem o seu valor tabelado para cada

tipo de rocha. O arenito, como exemplo, geralmente tem a sua porosidade dentro do intervalo de 5 a

30%.

2.7 Permeabilidade

Juntamente com a porosidade, a permeabilidade é um dos principais fatores para a

caracterização do meio poroso. A permeabilidade é a facilidade com que um dado fluido escoa pelo

meio poroso. Em geral este parâmetro está diretamente ligado à porosidade, entretanto, meios

altamente porosos em que os poros não estão concatenados entre si apresentam uma baixa

14

permeabilidade. A permeabilidade é medida em Darcy (D) ou, mais usualmente, em miliDarcy

(mD) [L2].

A relação entre permeabilidade e porosidade está ilustrada na figura 10 a seguir:

Figura 10: Representação dos poros permeáveis e impermeáveis em areias e rochas (Água subterrânea)

2.8 Lei de Darcy

Em 1856 o engenheiro civil e cientista francês Henry Darcy (1803-1858) propôs uma

relação numérica para caracterizar o escoamento em meios porosos (Darcy, 1856). Esta lei deriva

da observação que ele fez dos instrumentos de medida de cargas piezométricas do seu aparato para

analisar o escoamento em meios porosos enquanto estava envolvido em um projeto para a

construção da rede de abastecimento de água para França. Estudando a perda de carga em

tubulações, inicialmente verticais, o cientista criou um modelo de escoamento por onde a água

passava por um conduto contendo um meio sedimentar. O aparato que ele utilizou está ilustrado a

seguir na figura 11:

15

Figura 11: Esquema do experimento realizado por Henry Darcy para estudar o comportamento da água em um

meio poroso (Li, 2000)

Após várias leituras, Darcy concluiu que a perda de carga é inversamente proporcional à um

parâmetro que ele definiu como a condutividade hidráulica e diretamente proporcional à

viscosidade e ao comprimento do caminho poroso. A forma mais completa da sua equação pode ser

verificada a partir da fórmula de Bernoulli para escoamentos incompressíveis.

L

HHKv

)( 01 −= (1)

Sendo, K definido como a condutividade hidráulica do fluido no meio [LT-1 ou m s-1] e k a

permeabilidade intrínseca do meio poroso [m2 ou Da (10-12m2)];

µk

K = (2)

Para baixos números de Reynolds e para um escoamento horizontal, a perda de carga

piezométrica pode ser resumida à componente da pressão, ou seja, ρP

H∆=∆ , onde ρ é a densidade

específica do fluido.

16

A determinação analítica da permeabilidade é muito difícil pela geometria complexa do

meio. Uma tentativa de descrever o escoamento em um meio poroso foi feita por Carman e Kozeny

(1948) que supuseram que um meio poroso pode ser modelado por um aglomerado de partículas

que formam tubos capilares por onde o fluido pode escoar. Aplicando a equação de Navier-Stokes

ao escoamento neste modelo, eles concluíram que existe uma relação entre a porosidade (θ) e a

permeabilidade do meio (k). Pelas suas deduções, conhecendo-se a porosidade, a permeabilidade do

meio pode ser calculada por (Sutera S. P., 1993):

2

3

20 )1(

..

1

θθ−

=oSc

k (3)

onde S0 é a área específica (relação entre a sua área e o volume) das partículas de solo e c0 é um

coeficiente empírico cujo valor pode ser encontrado na tabela 1:

Tabela 1: Coeficientes empíricos para a equação de Carman Kozeny (Scheidegger, 1960)

Porosidade Escoamento

em cilindros

paralelos

Escoamento em

cilindros

perpendiculares

Escoamento em

cilindros

orientados

aleatoriamente

Escoamento

em um arranjo

de esferas

0,99 31,10 53,83 46,25 71,63

0,90 7,31 11,03 9,79 11,34

0,80 5,23 7,46 6,72 7,22

0,70 4,42 6,19 5,60 5,79

0,60 3,96 5,62 5,07 5,11

0,50 3,67 5,38 4,97 4,74

0,40 3,44 5,28 4,66 5,54

Outros modelos foram propostos para descrever o comportamento do fluido em meios

porosos. Uma alternativa para a equação de Karman e Kozeny (Carman, 1948), eficiente apenas

para 0,2 > θ > 0,8, foi feita por Rudnick (Scheidegger, 1960) que considerou que ao invés de

17

capilares, o meio poroso deveria ser modelado como um aglomerado de esferas. Ele concluiu que a

permeabilidade pode ser calculada por (2):

3/8

23/53/1

2 )1.(2)1.(3

)1.(3)1.(5,4)1.(45,3.

.5

1

θθθθθ

−+−−−−+−=

oSk (4)

Todavia, esta última solução é muito complicada! No âmbito de corrigir os desvios

observados em casos reais, a equação de Karman e Kozeny foi sendo aperfeiçoada de forma a

incorporar as contribuições do tamanho dos grãos e da sua forma, da tortuosidade do meio, efeitos

de sedimentação entre outros. O resultado final foi uma generalização desta equação de modo a

relacionar a porosidade com a permeabilidade através de duas constantes empíricas (Nield, 1999) C

e n (parâmetros de Carman-Kozeny). No campo da engenharia do petróleo, esta relação é

comumente verificada em rochas.

n

n

Ck

)1(.

1 1

θθ−

=+

(5)

Tabela 2: Alguns valores típicos dos parâmetros de Carman-Kozeny (Rodriguez E., 2004)

Material C (m-2) n

Sisal 4,8.108 1,48

Juta 5,3. 108 1,48

Fibra de vidro 7,4. 108 0,90

18

3. Modelos para simulação

3.1 Abordagem numérica

Nos últimos anos, com o desenvolvimento da tecnologia computacional, a modelagem de

fluidos tem se tornado possível e utilizada na solução de muitos problemas da engenharia. Isso de

deve ao fato de as leis que governam esses sistemas serem equações diferenciais de difícil (ou quase

impossível) solução analítica sendo a resolução numérica uma alternativa eficaz para as suas

soluções. Neste âmbito na dinâmica dos fluidos computacional (CFD), a grosso modo há dois tipos

de modelos para a simulação numérica: por malhas (grid-based methods) e por partículas (particle-

based methods).

Os métodos de malhas mais conhecidos e utilizados são o método das Diferenças Finitas, o

método de Volumes Finitos e o método de Elementos Finitos. Esses métodos são baseadas na

descrição Euleriana e necessitam de malhas para caracterizar as geometrias dos modelos, exigindo

uma grande sofisticação do modelo para simular fenômenos que apresentam grandes deslocamentos

de fluidos e de sólidos, sendo ineficientes para descrever fenômenos altamente não-lineares. Para

gerar as malhas, são necessárias ferramentas de criação de malhas, que para modelos complexos,

são extremamente sofisticados e em alguns casos tornam-se impraticáveis (Tsukamoto 2006).

Como alternativa o método de partículas foi desenvolvido.

O MPS (Moving-Particle Semi-Implicit) é um método computacional originalmente

desenvolvido para simular o comportamento dinâmico de um fluido. Este método foi desenvolvido

por Koshizuka e Oka (Koshizuka S. T. H., 1995) e por trabalhar sem a necessidade do uso de

malhas, o método tem diversas aplicações em problemas que envolvem fragmentações, superfícies

livres e grandes deformações. O método consiste em dividir o domínio em partículas e, sob o ponto

de vista Lagrangeano, resolver as equações diferenciais da continuidade (6) e de Navier Stokes (7):

19

0=∂∂+

∂∂+

∂∂

z

w

y

v

x

u (6)

guPDt

Du ++∇−= ∇21 νρ

(7)

Para a realização deste trabalho, o método original foi aprimorado. No método original, a

velocidade do fluido adjacente às paredes é próxima de zero, mas não-nula. O método foi

modificado de modo a se impor a condição de aderência que garante o não-escorregamento do

fluido nas superfícies das paredes (Lukin, 2008). O resultado do ensaio de validação desta função,

realizado por um escoamento com uma velocidade de entrada de 5mm/s em um conduto fechado de

diâmetro 15mm, pode ser visto na figura 12.

Figura 12: Comparação do perfil de velocidades do escoamento com vo=5mm/s em função do tempo com o resultado teórico obtido a partir da equação de Navier-Stokes.

20

3.2 Algoritmo do MPS

O MPS está organizado em quatro grandes etapas: pré-processamento, criação da lista de

vizinhança, parte explícita e parte implícita. Um fluxograma com as principais etapas será

brevemente descrito a seguir.

Figura 13: Fluxograma das rotinas do MPS (TSUKAMOTO, 2006)

O pré-processamento consiste na definição dos parâmetros de simulação e a geração de listas

de partículas com as posições e velocidades iniciais. Após ler e armazenar as informações iniciais

do problema, o programa inicia a parte explícita. Nesta parte, serão atribuídas às partículas a

contribuição das forças externas como é o caso da viscosidade, da gravidade e da tensão superficial.

Nesta etapa serão gerados valores intermediários para a velocidade e a posição do passo seguinte da

simulação. Com relação à modelagem matemática do termo viscoso, Koshizuka et al. (1996),

propôs o uso do operador laplaciano em um domínio discretizado conforme mostram a equação (8):

21

)]()[(2

02

ijiij

jirrwuu

n

du −−=∇ ∑

≠λ (8)

A cada nova etapa, o programa inicia a criação das listas de vizinhança. Como as interações

entre as partículas são calculadas dentro de um raio de vizinhança, o programa divide o domínio

espacial da simulação em “grids” e dentro de grids vizinhos, localiza as partículas vizinhas para

uma dada partícula dentro de um raio de vizinhança. Cabe notar que esta etapa é de extrema

importância, visto que por hipótese, partículas muito distantes entre si têm contribuições uma a

outra desprezíveis, otimizando assim o processamento.

Figura 14: representação da lista de vizinhança de uma partícula (TSUKAMOTO, 2006)

Finalmente, o programa inicia a parte implícita do programa. Nesta etapa, serão resolvidas as

equações de Poisson de pressão (equação 6), cuja função é garantir a manutenção da densidade do

fluido (condição de incompressibilidade). Neste âmbito, a função densidade numérica das partículas

(“pnd”) (9) foi definida como a somatória dos valores da função peso (10), que é uma medida da

contribuição das partículas vizinhas.

∑≠

−=ij

ijirrwpnd |)(| , onde (9)

22

( )

−=

0

1r

rrw

e ( )err <≤0

( )rre ≤( )

−=

0

1r

rrw

e ( )err <≤0

( )rre ≤ (10)

As pressões calculadas e inseridas em um sistema linear que é resolvido para se achar um

valor de correção da velocidade. Findado os cálculos, o programa corrige os valores intermediários

para a velocidade e a posição do passo seguinte da simulação.

)]()(

)[(.

.2

11

0 ij

ij

iji

n

ij

jn

i rrwrr

rrPP

pnd

tdu −

−

−−∆=′ +

≠

+∑ρ (11)

O programa atualiza o tempo e volta para a parte explícita. Esse loop continua até o tempo

chegar ao tempo final de simulação. Como dados de saída, o MPS cria um arquivo binário contendo

as informações inerentes a cada partícula tais como pressão, velocidade e posição a cada intervalo

de tempo definido pelo usuário.

3.3 Casos de estudo

Para a simulação do escoamento, um modelo foi definido como um conduto forçado

contendo cilindros circulares no seu interior, idealizando um meio poroso. Este modelo foi

projetado assim para representar o arenito, rocha mais abundante nos poços de petróleo brasileiros.

Um modelo para ensaios numéricos bem-sucessido foi obtido por (Nield, 1999) e por (Silva, 2001)

utilizando um método de volumes finitos. Este modelo serviu de base para o modelo projetado para

este trabalho.

Os dados de entrada do modelo são: raio (R), arranjo (alinhado ou cruzado) e distância entre

os centros (b) dos cilindros, largura (L), diâmetro (D) e distância entre partículas. Desta forma essa

23

simulação pode ser feita para qualquer meio poroso desde que se tenham estas informações. Os dois

modelos, com arranjos diferentes, podem ser vistos nas figuras 15 e 16. A seta indica a direção do

escoamento.

Figura 15: Modelo alinhado para a simulação

Figura 16: Modelo cruzado para a simulação

Em ambos modelos, a entrada de partículas de fluido dá-se pela extremidade esquerda,

enquanto o sorvedouro de fluido está localizado na extremidade direita do modelo. O meio poroso

ocupa 50% de todo comprimento de tal forma que está simetricamente posicionado no modelo.

L

0,25.L

b b D

R

D

0,25.L L

R b

b

24

4 Resultados e discussões

4.1 Cálculo e metodologia de análise

“O laboratório TPN - Tanque de Provas Numérico - da Universidade de São Paulo (USP) adquiriu o sistema

SGI Altix com 16 processadores Intel Itanium 2, com o Novell SUSE Linux Enterprise 9 e o SGI ProPack 4. A USP

também optou por uma solução SGI InfiniteStorage, com uma capacidade inicial de 2.4 TB. O principal foco do

laboratório é desenvolver e analisar sistemas flutuantes de produção offshore para a produção de óleo e gás em águas

profundas da Petrobrás”

-SGI press releases

Todos os cálculos foram feitos no cluster Intel Altix do TPN utilizando processadores Intel

Itanium. Para os cálculos, foram utilizadas as bibliotecas dinâmicas da Intel e o Solver utilizado na

resolução dos sistemas lineares foi o Intel MKL.

Figura 17: Cluster (Altix) do TPN (Cluster do TPN, 2007)

Em uma primeira etapa de estudo do escoamento, uma análise de sensibilidade foi feita para

se verificar a influência das variáveis de simulação, do modelo e das propriedades físicas do fluido.

25

Este último conjunto serviu para se fazer a validação do escoamento e encontrar as condições em

que os resultados são os mais próximos daqueles previstos teoricamente.

Figura 18: modelo alinhado 2D, com L=200mm, r=3mm, b=10mm (porosidade = 71,72%) para a simulação

visualizado no MPSview

Figura 19: modelo cruzado 2D, com L=200mm, r=3mm, b=10mm (porosidade = 85,86%) para a simulação

visualizado no MPSview

Nestes ensaios, para cada simulação, será feito uma análise da pressão relativa de cada

partícula em função da sua posição axial, tomando como referencial a extremidade direita do

conduto como tendo pressão nula. Como metodologia de análise, para se calcular a queda de

pressão em cada caso, será calculada a média das pressões de todas as partículas nos primeiros 45%

do conduto. Um exemplo da distribuição da pressão relativa de cada pode ser visto nas figuras 20 e

26

21. Observa-se uma distribuição normal de pressão (esquematizado na figura 20) em torno da linha

de tendência da pressão.

Figura 20: gráfico da pressão em função da posição horizontal (x) para um escoamento no modelo cruzado com

b=10mm, r=3mm, dPart=1mm, ν=50cp e v=5,0mm/s mostrando a linha de tendência da pressão das partículas e

o desvio padrão em relação à média.

Figura 21: visualização do gradiente de pressão em função da posição axial (x) para um escoamento no modelo

cruzado com b=10mm, r=3mm, dPart=0,4mm, ν=27,44cp e v=5,0mm/s mostrando a média e a distribuição dos

pontos.

4.2 Análise dos efeitos dos parâmetros de simulação

4.2.1 Incremento de tempo

As variáveis de simulação foram analisadas sistematicamente. O incremento de tempo (dt)

foi a primeira variável a ser estudada e, nas simulações, a distância entre as partículas, é mantida

27

constante e igual a 1mm por uma questão de tempo computacional. Esta variável resume o grau de

precisão na integração das equações diferenciais. Foram simulados casos com incremento de tempo

entre 0,1ms e 0,025ms enquanto os demais parâmetros mostrados na tabela 3 são mantidos

constantes:

Tabela 3: Parâmetros da simulação para analisar o efeito do incremento de tempo

Parâmetro Valor

Raio das esferas (R) 3mm

Distância entre os centros (b) 10mm

Comprimento do modelo (L) 200mm

Largura do modelo (D) 50mm

Viscosidade 80,0cST

Densidade 0,88g/cm3

Velocidade de entrada (V0) 0,005m/s

Distância entre partículas 1,0mm

Figura 22: Resposta da pressão para diferentes valores de time-step

Observa-se, pela figura 22, que na faixa de valores estudada, o aumento do incremento de

tempo tende a diminuir a queda de pressão, convergindo para um valor constante. Este fato está

associado ao efeito de amplificação das oscilações de pressão quando o incremento de tempo é

28

reduzido no MPS (ENDO ET AL, 2008). A figura 22 mostra a faixa de incremento de tempo

adequada para o caso.

4.2.2 Distância entre partículas

Em uma segunda etapa, a distância entre as partículas, foi variada sistematicamente,

assumindo valores entre 1,0mm e 0,3mm e mantendo-se as dimensões dos modelos. Os demais

parâmetros mostrados na tabela 4 também foram mantidos constantes. Os resultados obtidos foram

comparados com aqueles correspondentes previstos pela equação de Carman Kozeny que, nas

condições da simulação, prevê uma queda de pressão de 37Pa.

Tabela 4: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da distância entre partículas

Parâmetro Valor

Raio das esferas (R) 3mm




Viscosidade 27,18cST

Densidade 0,88g/cm3


Time step 0,05ms

Figura 23: Resposta da pressão para diferentes valores de distância entre partículas

29

Da figura 23, podemos observar que o erro entre a pressão calculada e o valor teórico é

tende a convergir e se aproximar de zero para distâncias entre partículas menores que 0,6mm.

4.2.3 Tempo de amostragem

No intento de reduzir o tempo de processamento, foram analisadas as contribuições que o

tempo de amostragem provoca sobre a simulação. Nesta etapa, o escoamento foi rastreado com a

finalidade de se determinar quanto tempo o fluido demora para atingir o regime permanente. Foram

avaliadas as quedas de pressão nos instantes de amostragem de 3,0s, a 10,0s de simulação. Para

analisar o efeito do tempo de amostragem, foram utilizados os parâmetros mostrados na tabela 5:

Tabela 5: Parâmetros da simulação para analisar o efeito do tempo de amostragem

Parâmetro Valor

Time step 0,05ms


Densidade 0,88g/cm3


Raio das cilindros (R) 3mm




Arranjo Cruzado

30

Figura 24: Queda da pressão em função do tempo de simulação

Observa-se na figura 24 que, neste ensaio, após 3,0s, a queda de pressão tende a oscilar em

torno um valor de equilíbrio e apresenta uma tendência ao escoamento permanente, depois do seu

rápido crescimento.

4.2. Efeito das propriedades do escoamento

As propriedades do escoamento que estão relacionadas na Lei de Darcy também foram

estudadas. Pela Lei de Darcy, existe uma relação entre a velocidade do escoamento, comprimento

do caminho poroso, a densidade e a viscosidade do fluido com a queda de pressão.

As contribuições que a densidade do fluido provoca sobre a simulação foram feitas

simulando-se escoamentos com densidades de 0,70kg/l, 0,88 kg/l, 0,90 kg/l, e 1,00 kg/l,. Para

analisar o efeito da densidade do fluido, foram utilizados os parâmetros mostrados na tabela 6:

31

Tabela 6: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da densidade do fluido

Parâmetro Valor







Time step 0,05ms


Figura 25: Variação da queda de pressão para diferentes valores de densidade do fluido

Observa-se que a queda de pressão apresenta uma tendência à relação linear com a

densidade do fluido, conforme previsto pela lei de Darcy e ilustrado na figura 25.

Por outro lado, foram simulados casos com velocidades em uma faixa entre 0,50mm/s e

5,00mm/s para analisar as contribuições que a velocidade de escoamento provoca sobre a

simulação. Para analisar o efeito da velocidade do fluido, foram utilizados os parâmetros mostrados

na tabela 7:

32

Tabela 7: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da velocidade do escoamento

Parâmetro Valor






Densidade 0,88g/cm3

Time step 0,05ms


Figura 26: Variação da queda de pressão para diferentes valores de velocidade de escoamento

Conforme esperado pela lei de Darcy, observa-se que a queda de pressão também apresenta

uma tendência de relação linear com a velocidade de escoamento (figura 26).

As contribuições que a viscosidade do fluido provoca sobre a queda de pressão foram

analisadas. Foram simulados casos com viscosidades de 27,4 cST, 50,0 cST, 60,0 cST, 80,0 cST e

90,0 cST. Para analisar o efeito da viscosidade do fluido, foram utilizados os parâmetros mostrados

na tabela 8:

33

Tabela 8: Parâmetros da simulação para analisar o efeito da viscosidade do fluido

Parâmetro Valor





Densidade 0,88g/cm3



Time step 0,05ms


Figura 27: Variação da queda de pressão para diferentes valores de viscosidade do fluido

Observa-se que, dentro da faixa de valores estudada, a queda de pressão pode muito bem ser

representada por uma relação linear com a viscosidade do fluido, conforme já era previsto pela lei

de Darcy. (figura 27).

Os efeitos que o comprimento do modelo provoca sobre os resultados foram analisados.

Sabe-se que a queda de pressão é diretamente proporcional ao comprimento do caminho poroso

pela Lei de Darcy. Foram simulados modelos com comprimento da região porosa variando entre

25mm e 150mm. Nesta análise, os parâmetros mostrados na tabela 9 foram mantidos constantes:

34

Tabela 9: Parâmetros da simulação para analisar o efeito de L

Parâmetro Valor




Densidade 0,88g/cm3



Time step 0,05ms


Figura 28: Variação da queda de pressão para diferentes comprimentos do caminho poroso

Pela figura 28, observa-se que a queda de pressão apresenta uma relação linear com o

comprimento do meio poroso, conforme previsto pela lei de Darcy.

Finalmente, foram analisadas as contribuições que a largura do modelo provoca sobre a

simulação. A lei de Darcy não prediz nenhuma contribuição da largura do modelo na perda de carga

do fluido. Foram simulados casos com larguras de 15mm, 20 mm, 25 mm, 30mm, 35mm, 40 mm e

50mm. Para analisar o efeito da largura do modelo, foram utilizados os parâmetros mostrados na

tabela 10:

35

Tabela 10: Parâmetros da simulação para analisar o efeito de D

Parâmetro Valor

Time step 0,05ms


Densidade 0,88g/cm3





Arranjo Cruzado

No âmbito de generalizar o problema estudado, os resultados de pressão foram expressos em

termos das respectivas razões entre o comprimento da passagem de fluido projetada e o raio do

cilindro. Os resultados estão expressos na figura 29 e 30:

Figura 29: Pressão em função de diâmetro poro / poro efetivo

36

Figura 30: Desvio-padrão da queda de pressão para diferentes valores de diâmetro poro / poro efetivo

As equações para a descrição de meios porosos não prevêm nunhuma mudança

noescoamento associada à largura do conduto. De acordo com o resultado, observa-se uma zona de

convergência quando a relação é maior do que 1,5. Isso ocorre devido à extricção da passagem de

fluido se tornar expressiva para o escoamento.

4.3 Efeito da porosidade

Em uma outra etapa, as dimensões da distância entre os centros (b) foi variada

sistematicamente e estudou-se o comportamento da permeabilidade de cada modelo, calculada a

partir da queda de pressão obtida, em função da porosidade (Φ). Foram simulados modelos com b

em uma faixa de 7mm a 15mm. Os demais parâmetros na tabela permaneceram constantes. Os

resultados estão expressos em termos da permeabilidade calculada em função de Φ 3/(1- Φ)2 é

mostrado nas figuras 31 e 32 para os arranjos alinhado e cruzado:

37

Tabela 11: Parâmetros da simulação para estudar o efeito porosidade do meio

Parâmetro Valor




Densidade 0,88g/cm3



Time step 0,05ms


Figura 31: Variação da permeabilidade do modelo cruzado em função da porosidade

38

Figura 32: Permeabilidade do modelo alinhado em função da porosidade

Observa-se que a permeabilidade do meio poroso varia linearmente com a Φ 3/(1- Φ)2,

conforme era esperado por Carman e Kozeny. A partir das retas obtidas das figuras 31 e 32,

obtemos os parâmetros de Carman-Kozeny para os modelos alinhado e cruzado mostrados na tabela

8:

Tabela 12: Valores da constante de Carman-Kozeny para o modelo 2D

Modelo C

1 [m-2]

Cruzado 1,83.1012

Alinhado 1,21.1012

Nota-se ainda que, para um dado valor de porosidade, a razão entre a permeabilidade obtida

pelo modelo cruzado e a permeabilidade obtida pelo modelo alinhado é de aproximadamente 1,5

vezes.

39

4.4. Validação

Verifica-se que as variáveis de simulação alteravam significativamente o resultado. Com a

finalidade de se determinar àquelas que produziam os resultados mais próximos dos valores

teóricos, todas as variáveis envolvidas nos resultados obtidos foram exaustivamente analisadas e

correlacionadas de modo à serem correlacionadas em formas adimensionais para evitar o problema

de escala. A melhor correlação encontradas está mostrada na figura 33:

Figura 33: Variação do desvio do valor teórico para diferentes valores de razão raio do cilindro e distância entre

partículas

4.4.3. Estudo de convergência

40

Com base nos resultados obtidos e levando-se em conta os desvios dos valores teóricos, a

estabilização dos valores e as variações dos resultados, os valores otimizados estão mostrados na

tabela 13:

Tabela 13: Valores otimizados para o modelo

Parâmetro Valor

Poro efetivo / Diâmetro poro ≥ 1,5

Tempo de simulação / Comprimento do modelo *

velocidade do fluido

≥ 0,05

Raio das esferas / Distância entre partículas ≥ 6,0

4.5. Simulações em ambiente 3D

Simulações numéricas em ambiente 2D representam a idealização de um perfil de uma secção

infinita. Entretanto, este tipo de idealização não é adequada para representar muitos modelos de

escoamento tal como o escoamento em rochas reservatórios como foi visto. Desta forma, é

necessário estudar o escoamento em ambientes 3D.

Em uma primeira etapa para a validação do método em 3D, o modelo 2D foi extrudado para

gerar um modelo tridimensional com dimensões finitas. Como nestas condições a simulação

demanda um consumo computacional maior, a otimização obtida foi aplicada para dimensionar o

modelo cuja representação pode ser vista na figura 34.

41

Figura 34: Visualização do modelo 3D (com corte) no Pos3D

Seguindo o mesmo procedimento dos ensaios anteriores, os seguintes casos descritos na tabela

15 foram simulados, enquanto os parâmetros da tabela 14 foram mantidos constantes. A escolha

destas dimensões para os modelos se justifica para etapas futuras do desenvolvimento e validação

do método.

Tabela 14: Parâmetros da simulação para estudar a simulação 3D

Parâmetro Valor

Time step 0,01ms


Densidade 0,88g/cm3


42

Tabela 15: Dimensões dos modelos 3D para a simulação numérica

Modelo Dist. entre

partículas (mm)

Comprimento

(L) mm

Largura

(D) mm

Distância entre os

centros (b) mm

Raio das cilindros

(R) mm

1 0,1 9,5 2,2 0,8 0,35

2 0,1 9,5 3,0 1,2 0,5

3 0,2 19,0 5,2 2,0 0,85

4 0,2 19,0 5,8 2,3 1,0

5 0,3 28,5 7,8 3,0 1,4

Obtendo-se os seguintes resultados para a queda de pressão:

Tabela 16: Resultados para os ensaios 3D

Modelo Queda de pressão (Pa)

Teórico 2D Desvio (%) 3D Desvio (%)

1 48,8 49,4 -1,3 53,9 -10,5

2 17,5 27,2 -55,6 22,8 -30,4

3 13,7 29,6 -116,0 9,9 27,9

4 11,5 18,2 -58,7 10,0 12,8

5 14,2 24,9 -75,2 14,6 -2,7

De acordo com os resultados da tabela 16, nota-se que nas condições das simulações, os

resultados 3D apresentaram uma melhor aderência que as simulações 2D. Este fato sugere que as

simulações em 2D necessitam de um grau de discretização maior do que os seus análogos em 3D.

43

5. Conclusões

As simulações numéricas de ambos os modelos ensaiados apresentaram uma boa aderência

em relação aos resultados teóricos. Nas simulações em ambiente 2D, observa-se que em todas as

condições ensaiadas, as respostas da permeabilidade do meio, para as variações dos parâmetros do

fluido como a velocidade do escoamento, a viscosidade e a densidade do fluido obedecem a Lei de

Darcy e a queda de pressão exibe um perfil linear. É notável também que a variação das dimensões

do modelo também resultaram em respostas de pressão compatíveis com o modelo de Carman-

Kozeny e com a lei de Darcy. Observa-se ainda que o ajuste dos parâmetros de simulação fizeram

com que os resultados convergissem para valores próximos daqueles previstos pela equação de

Carman Kozeny nas mesmas condições, obtendo-se assim os valores ótimos para a simulação e

construção do modelo. Comparando-se os resultados 2D com os 3D correspondentes, nota-se que os

últimos resultados tendem a se aproximar melhor daqueles previstos pelo modelo analítico.

6. Direitos autorais

Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluídos neste

trabalho.

44

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de São Paulo.

47

ANEXOS

Anexo A: Rotina em C++ para geração dos modelos cilíndricos

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <string.h> #define PI 3.141593 int main() { FILE *arq_o; /* associado ao arquivo copia */ char nome_c[128]; /* armazena o nome do arquivo copia */ float yo=0.0, xo, x=0.0, y=0.0, z=0.0, r, dt, teta, dpar t, tampa_x, tampa_y, xl, yl, par, L, re, b, emp, R; long type, n=0, i, m, j; /* Dados de Entrada */ /* 3. leia o nome do arquivo copia */ printf( "Digite o nome do arquivo a ser criado: " ); /* Neste exemplo, digite "copia.pmg" */ scanf( "%s" , nome_c); /* 4. abra arquivo copia.dat para escrita */ arq_o = fopen(nome_c, "w" ); if (arq_o == NULL) { printf( "Erro na abertura do arquivo %s.\n" , nome_c); system( "pause" ); /* para WINDOWNS */ fclose(arq_o); /* feche o arquivo original.pmg */ exit(-1); /* abandona a execucao do programa */ } printf( "Digite o dpart (mm):" ); scanf( "%f" , &dpart); //printf("dpart = %f\n", dpart); printf( "Digite o raio das esferas (mm):" ); scanf( "%f" , &re); //printf("Digite L (mm):"); //scanf("%f", &L); L=95.5*dpart; //printf("Digite R (mm):"); //scanf("%f", &R); printf( "Digite o espaçamento entre as esferas (b) (mm):" ); scanf( "%f" , &b); R=2.5*b; //system ("pause"); printf( "Criando arqv .grid\n" ); fprintf(arq_o, "0.0\n" ); //main loop //Parametros tampa_x = floor(L/dpart)*dpart;

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fprintf(stderr, "tampax = %lf\n" , tampa_x); //tampa_x *=dpart; tampa_y = -floor((R+dpart/10)/dpart)*dpart; fprintf(stderr, "tampay = %lf\n" , tampa_y); //tampa_y *=dpart; /* Construção do domínio da simulação */ for (m=0;m<7;m++) { if (m==1) continue ; //for(z=0;z>=(tampa_y);z-=dpart) //{ z=0; //printf("etapa 1 ok/n"); for (y=0;y>=(tampa_y-dpart/10.0);y-=dpart) { //printf("etapa 2 ok/n"); for (x=0.0; x<=tampa_x+0.3*dpart; x+=dpart) { //printf("etapa 3 ok/n"); type=3; //parede extexna (dummy) - superior if ( ( x>=0.0 && (x<tampa_x-2.0*dpart) ) && (y>-2*dpart || y<tampa_y+2.0*dpart)) type=3; //parede externa (dummy) - tampa if (x<=tampa_x-0.5*dpart && x>=tampa_x-2.5*dpart && (y<=-2*dpart && y>=tampa_y+2.0*dpart)) type=3; //criação do wall pressuxe - superior if ( ( x>=0.0 && (x<tampa_x-2.0*dpart) ) && ( y==-2*dpart || ( y<=tampa_y+2.5*dpart && y>=tampa_y+1.5 *dpart ))) type=2; //criação do wall pressuxe - tampa if ( ( x>=tampa_x-2.5*dpart && x<=tampa_x-1.5*dpart ) && ( y<=-2*dpart && y>=tampa_y+2.0*dpart )) type=2; //criação do wall pressuxe - tampa inferior if ( y<=tampa_y+2.1*dpart) type=2; //criação do wall dummy - tampa inferior if ( y<=tampa_y+1.1*dpart) type=3; //inFlow (pressure) if ( x==2*dpart && y<-2*dpart && y>tampa_y+2.5*dpart) type=4; //inFlow (dummy) if ( x<2*dpart && (y<-2*dpart && y>tampa_y+2.5*dpart)) type=5; //outFlow if ( x>=tampa_x-3*dpart && (y<=-2*dpart && y>=tampa_y+2.0*dpart)) type=6; //interior do tubo é preenchido if ( (x>2*dpart && x<tampa_x-2.0*dpart) && (y<-2*dpart && y>tampa_y+2.5*dpart)) { type=0; for ( yl = 0.0; yl <= 0.5*R; yl+=2*b) { for ( xl = 0.25*L; xl<= 0.75*L; xl+=2*b )

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{ r=pow((x-x l),2)+pow((y-yl+0.5*R),2); if (pow(re+dpart,2)>r) type = 20; } } for ( yl = 0.0; yl >= 0.5*R; yl-=2*b) { for ( xl = 0.25*L; xl<= 0.75*L; xl+=2*b ) { r=pow((x-x l),2)+pow((y-yl+0.5*R),2); if (pow(re+dpart,2)>r) type = 20; } } for ( yl = b; yl <= 0.5*R; yl+=2*b) { for ( xl = 0.25*L+b; xl<= 0.75*L; xl+=2*b ) { r=pow((x-x l),2)+pow((y-yl+0.5*R),2); if (pow(re+dpart,2)>r) type = 20; } } for ( yl = -b; yl >= -0.5*R; yl-=2*b) { for ( xl = 0.25*L+b; xl<= 0.85*L; xl+=2*b ) { r=pow((x-x l),2)+pow((y-yl+0.5*R),2); if (pow(re+dpart,2)>r) type = 20; } } } if (type==m) { fprintf(arq_o, "%d %f %f %f 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000\n" , type, x/1000, y/1000, z/1000); n++; //printf("etapa 4 ok/n"); } } } printf( "etapa 1 ok/n" ); /* rotina p/ criar esferas */ //1. Calcula a posição x', y', z' na origem if ((m==2||m==3)) { //if((z<-2*dpart && z>tampa_y+2*dpart)) //{ for (r = re, j=0; r>dpart/2.0 && j<3 ; r-=dpart, j++) { //printf("etapa 1 ok/n"); if (j==0) type=2; if (j==1||j==2) type=3; if (j>2) type=-1;

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dt=acos(1.00-(pow(dpart,2)/( float )(2*pow(r,2)))); if (dt<0) dt=(-1)*dt; for (teta=0, i=0; teta<=( float )PI*( float )2.0-0.97*dt; teta=teta+dt) i++; dt = dt + (( float )PI*( float )2.0-teta)/( float )i; for (teta=0.0; teta<=( float )PI*2.0-0.97*dt;teta=teta+dt) { xo=r*cos(teta); //z=(float)yo/1000; yo=r*sin(teta); //2. Calcula a posição x', y', z' da esfera no meio poroso //linha média if (type==m) { for ( x = 0.25*L; x<= 0.80*L; x+=2*b ) { fprintf(arq_o, "%d %f %f %f 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000\n" , type, (xo+x)/1000, (yo-0.5*R)/1000, z/1000); n++; } } //printf("etapa 0 ok/n"); for ( y = 2*b; y+yo+0.5*tampa_y <= -2*dpart; y+=2*b) { //printf("etapa 1 ok/n"); for ( x = 0.25*L; x<= 0.80*L; x+=2*b ) { //printf("etapa 2 ok/n"); if (type==m && (yo+y-0.5*R)<-2.8*dpart ) { //principal fprintf(ar q_o, "%d %f %f %f 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000\n" , type, (xo+x)/1000, (yo+y-0.5*R)/1000, z/1000); n++; } if (type==m && (-yo-y-0.5*R)>=tampa_y+2.8*dpart ) { //simétrico fprintf(ar q_o, "%d %f %f %f 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000\n" , type, (xo+x)/1000, (-yo-y-0.5*R)/1000, z/1000); n++; } } } for ( y = b; y+yo+0.5*tampa_y <= -2*dpart; y+=2*b) { //printf("etapa 1 ok/n"); for ( x = 0.25*L+b; x<= 0.80*L; x+=2*b ) { //printf("etapa 2 ok/n"); if (type==m && (yo+y-0.5*R)<=-2.8*dpart ) { //principal fprintf(ar q_o, "%d %f %f %f 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000\n" , type, (xo+x)/1000, (yo+y-0.5*R)/1000, z/1000);

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n++; } if (type==m && (-yo-y-0.5*R)>=tampa_y+2.8*dpart ) { //simétrico fprintf(ar q_o, "%d %f %f %f 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000\n" , type, (xo+x)/1000, (-yo-y-0.5*R)/1000, z/1000); n++; } } } } } } // } // } } fprintf(arq_o, "%d \n" , n); system ( "pause" ); return 0; }

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Anexo B: Tabela dos casos simulados

simulação do escoamento em sistemas porosos usando mps...

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