capítulo 8 simulação de grandes escalas de escoamentos turbulentos
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Capítulo 8
Simulação de Grandes Escalas de
Escoamentos Turbulentos
• Simulação de Grandes Escalas (SGE) é uma metodologia intermediária à Simulação Numérica Direta (SND) e à simulação via equações médias de Reynolds (URANS).
• Em SGE as estruturas turbulentas transportadoras de energia e quantidade de movimento são resolvidas diretamente da solução das equações filtradas, enquanto que a transferência de energia entre as duas partes do espectro é modelada.
• Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia média clássica.
• As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e transientes das equações de Navier-Stokes.
• Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, torna-se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds.
8.1. Introdução
•Equações filtradas: revisão
u u1 pi iu u C Li j ij ij ijt x x x xj o i j j
ui 0xi
T Tu T C Lj j j jt x x xj j j
8.2. Equações da Turbulência
u u Tensor de Re ynolds sub malhaij i j
C u u u u Tensor cruzadoij i j i j
L u u u u Tensor de Leonardij i j i j
u T Fluxo turbulento sub malhaj j
C u T u T Fluxo turbulento cruzadoj j j
L u T u T Fluxo turbulento de Leonarj j j
d
uu 2ji kij t ijx x 3j i
uu jk iL Cij ij 12 x xk k
•Testes de importância relativa
D .R D . L CL ij ij
D . 2 SM ij
uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i
“Equações Médias de Reynolds”
Equações Filtradas Globais
Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard
Equações Globais da Turbulência
8.3. Modelo sub-malha de Smagorinsky
•Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação:
u u S 2 S Si j ij t ij ij 3 / 2c u u /1 i j
Na expressão para ,
e l, são as escalas de velocidade e de comprimento respectivamente.
u ui j
•Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de velocidade e de comprimento, tem-se que:
c u ut 1 i j
•Com estas três equações, chega-se a uma expressão para a viscosidade turbulenta:
2C S St S ij ij
•A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e isotrópica.
•Aplicações para escoamentos não homogêneos e não isotrópicos?
8.4. Modelo sub-malha Função Estrutura de Velocidade
•Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de (viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de Fourier
•Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta no espaço de Fourier:
E k ,tck ,tt c t kc
•A constante t+ é determinada fazendo-se um balanço de energia
como segue:
k 2c 2 k E k ,t dk tt0
Considerando-se 2 / 3 5 / 3E k ,t C kK
3 / 22 / 3 Ct K Obtém-se
Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço de Fourier exige determinar o nível de energia cinética turbulenta na freqüência de corte.
Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem, utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2:
2F x,r ,t u x r ,t u x ,t2
•Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia (definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea e isotrópica.
•Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov, chega-se ao seguinte resultado:
E x,k ,t 0 ,03 F x, ,tc
Logo,
Com
2F x,r ,t u x r ,t u x ,t2 r
3 / 2x , ,t 0 ,104 C F x, ,tt 2K
•Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos parietais, um novo tipo de modelo foi proposto por Germano (1993)
8.5. Modelagem dinâmica sub-malha
•A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de proporcionalidade ad-hoc imposta. Apesar das limitações advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos.
•Os resultados que podem ser obtidos em turbulência completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996).
•Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da imposição ad-hoc de uma constante de proporcionalidade
•A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços importantes.
•A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos característicos diferentes.
•No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha.
•No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro teste.
•Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha), conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas entre as escalas dos dois filtros.
•A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de Navier-Stokes:
u u1 pi iu ui jt x x x xj i j j
u u1 pi iu ui it x x x xj i j j
Primeiro processo de filtragem
u u u uij i j i j Tensor de Reynolds sub-malha
generalizado
u u1 pi iu ui j ijt x x x xj i j j
Chega-se a:
Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação seguinte:
u u1 pi iu ui it x x x xj i j j
ˆ ˆˆu u1 pi iu ui jt x x x xj i j j
•Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos dos dois filtros é utilizada
ˆ 2
•Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, também chamadas de sub-teste, como sendo:
ˆ ˆT u uu uij i ji j
Logo, tem-se que:
ˆ ˆˆu u1 pi iˆ ˆu u Ti j ijt x x x xj i j j
Filtrando-se a seguinte equação:
u u1 pi iu ui j ijt x x x xj i j j
ˆ ˆˆu u1 pi i ˆu ui j ijt x x x xj i j j
Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo:
ˆ ˆˆu u1 pi iˆ ˆu u Ti j ijt x x x xj i j j
ˆ ˆˆu u1 pi i ˆu ui j ijt x x x xj i j j
Tem-se, ˆ ˆu u ˆu u Ti j i j ij ijx xj j
Define-se, daí, o tensor global de Leonard:
ˆu u ˆL u u Ti ji j i j ij ij
•A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode ser modelada com a hipótese de Bousinesq
ij 22 S 2c x,t S Sij ij t ij ij3
•Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, tem-se:
ij ˆ ˆˆ 2T T 2c x,t S Sij ij ij3
•Filtrando-se a primeira destas duas equações equações, tem-se:
ij ˆ 2ˆ ˆ 2 S 2c x,t S Sij ij t ij ij ij3
Utilizando-se estas três equações, mais a identidde de Germano, isola-se a função de proporcionalidade procurada:
L M1 i j i j
c x ,t2 M Mi j i j
ˆ ˆˆ 2 2M S S S Si j i j i j
Com Mi j e Li j dados por:
ˆu uL u ui ji j i j
8.5. Métodos Numéricos para LES
Discretização
Elementos Finitos
Diferenças Finitas
Volumes Finitos
Métodode
Vórtices
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Esquema temporal: deve ser de, pelo menos, segunda ordem
• Euler: primeira ordem – não recomendado
n 1 nu u n n n ni i f u ,u P Fi j i it
• Adams Bashforth: segunda ordem – apropriado
n 1 nu u 3 1n n n 1 n 1 n ni i f u ,u f u ,u P Fi j i j i it 2 2
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Runge Kuta: segunda ordem ou maior – apropriado
1
nn2u u n n n ni i f u ,u P Fi j i it
2
1 1n 1 n n nu u n ni i 2 2f u ,u P Fi j i it
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Esquema espacial: no mínimo de segunda ordem
• Esquemas Up-Wind: não recomendados por apresentar difusão numérica• Esquemas centrados: são os mais apropriados por não apresentar difusão numérica
O esquema centrado de segunda ordem tem sido considerado inapropriado para discretização do
termo advectivo por ser oscilante!!
A experiência tem mostrado que isto não é um problema numérico e sim deuso e de interpretação
física.
De fato: quando se associa segunda ordem no tempo com esquema centrado de segunda ordem no espaço
mais modelagem da turbulência: estabilidade numérica, livre de difusão numérica
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Acoplamento pressão velocidade: passo fracionado tem sido utilizado com sucesso. Nada impede que outros sejam utilizados com sucesso, desde que garantam convergência e conservação de massa.
passo fracionado
n nn 1 n nu uu u ui j u1 pi j ni i Fef it x x x x xj i j j i
2 n 1 n 1p' .ut
n 1t p'n 1 n 1u ui i xi
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Solver de sistemas lineares:
• SOR: caro e pode patinar
• MSI: método interativo – tem sido utilizado
• Gradiente conjugado: tem sido utilizado
• Multi-grid: é o melhor procedimento do momento – não patina e é muito mais rápido que os demais permite chegar a baixos resíduos de pressão e em consequencia a pequenos resíduos de massa. No entanto, é umm método mais apropriado para metodologias implícitas.
8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem
Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte.
Malha: 32x32x32
8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem
Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte.
Malha: 64x64x64
8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem
Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,18
Transferência excessiva de energia!
Malha: 64x64x64
8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem
Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,028
Transferência adequada de energia!
Incoveniente: ajustar a consntante!!
Malha: 64x64x64
8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem
Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – modelagem Dinâmica da turbulência foi introduzida a partir de 5 segundos –
Transferência adequada de energia!
Vantagem: não ter que ajustar a consntante!!
Malha: 64x64x64
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
d
7.5d
15d
16.5d
30d
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re = 10.000 – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re = 10.000 – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência
tU/D
Cd
0 100 200 300
0.5
1.0
1.5
2.0
Re = 100
Re = 300
Re = 10.000
Re = 1.000
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
tU/D
Cd
0 50 100 150 2000.30
0.60
0.90
1.20
1.50
without model, Re = 1.000
without model, Re = 10.000
with model, Re = 1.000
with model, Re = 10.000
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Sem modelagem: e Re=10.000 - 125 x 250 pontos
Com modelagem: Re=10.000 - (250 x 500 pontos
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência
Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
tU/D
Cd
0 50 100 1500.30
0.60
0.90
1.20
1.50
Re = 10.000
Re = 1.000
8.8. Aspectos conclusivos
• Esquemas centrados no espaço não são instáveis para os termos advectivos, desde que combinados com esquemas de segunda ordem no tempo e mais modelagem da turbulência para altos Reynolds isto é fisicamente consistente
• Esquemas descentrados de baixa ordem de precisão são sempre estáveis, independente do número de Reynolds, devido à “viscosidade numérica” inerente a eles
• Esquemas centrados são preferíveis – exigem modelagem da turbulência para exercer o papel de transferência de energia sobre a freqüência de corte, sem a interferência de viscosidade numérica.
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência
Re
Cd
Present work
Braza et al. (1986)
Henderson
(1997)
Lima e Silva
(2002)
Sucker e Brauer(1975)
100 1.38 1.36 1.35 1.39 1.45
300 1.22 - - 1.22 1.22
1.000 1.16 1.20 1.51 - 0.96
10.000 0.91 - - - 1.10