aplicaÇÕes em escoamentos com re

APLICAÇÕES EM

ESCOAMENTOS COM RE<1

I. Meios Porosos (Darcy)

II. Tubo de Seção Variável

III. Mancais

IV. Hele shaw

Tópico I – Meios porosos

• Os meios porosos são constituídos por uma matriz porosa

composta por uma fase sólida e estacionária e preenchida por

uma fase gás ou líquida ou ambas.

Porosidade ()

• Porosidade define o volume

livre de armazenamento.

• = Vv / (VV +Vs)

Vs vol. sólidos VV vol. vazios

• A razão volumétrica num meio isotrópico também coincide

com a razão entre a área transversal livre para o escoamento e

a área transversal total.

• = Av / (AV +As)

Porosidade: arranjos com esferas

• arranjo geométrico

• granulometria

• Para esferas de mesmo diâmetro,

não depende do diâmetro mas do

arranjo: cúbico ou romboedro!

Porosidade não isotrópica

• Propriedade direcional!

• Inter-granular ou fraturas

Clark, 1969 Clark, 1969

Lei de Darcy (1856)

base de quase todos os

métodos para a medição

de permeabilidades!!!

Amyx (1960)

http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Darcy

Permeabilidade absoluta, k (m2)

2Q Lk m

A P

2

P kQ A Darcy

L

P aQ A Poiseiulle

L 12

Rearranjando lei de Darcy p/ expressar Q e

comparando contra um canal plano com

espaçamento ‘a’ encontra-se grande

semelhança!

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Permeabilidade k (m2) (wikipedia)

Na geologia, a permeabilidade é a medida da capacidade de um material

(tipicamente uma rocha) para transmitir fluídos. É de grande importância na

determinação das características de fluxo dos hidrocarbonetos em

reservatórios de petróleo e gás e dos fluxos da água em aquíferos.

A unidade de permeabilidade é o darcy ou, mais habitualmente, o mili-

darcy ou md (1 darcy = 1 x 10-12 m2). A permeabilidade é usada para

calcular taxas de fluxo através da lei de Darcy.

Para que uma rocha seja considerada um reservatório de hidrocarbonetos

explorável, a sua permeabilidade deve ser maior que cerca de 100 md (o

valor exato depende da natureza do hidrocarboneto - reservatórios de gás

com permeabilidades mais baixas ainda são exploráveis devido à menor

viscosidade do gás relativamente ao petróleo). Rochas com permeabilidades

significativamente menores que 100 md podem formar selos eficientes .

Areias não consolidadas podem ter permeabilidades de mais de 5000 md.


Ranges of common intrinsic permeabilities

Source: wikipedia


Lei de Darcy

A velocidade média por unidade de área através da seção transversal

da coluna de material poroso é diretamente proporcional ao gradiente

de pressão estabelecido através da coluna e inversamente proporcional

a viscosidade do fluido, .

k é o coef. Permeabilidade; unidades m2 ou Darcy;

1 Darcy é equivalente a 9.869233×10−13 m² ou 0.9869233 (µm)².

Esta conversão é usualmente aproximada por 1 (µm)²

k dpu

dx


Lei de Darcy: um processo de média Ela informa a velocidade média em um ponto no espaço mesmo se naquele ponto haja um material sólido.

Ela trata os meios sólido e fluido como se fossem interpenetrantes.

O resultado da lei de Darcy (empírica) equivale a uma média na velocidade na seção transversal da matriz porosa.

Na S.C. da figura a velocidade calculada é a média na seção e não aquela que passa através dos poros.

k dpu

dx

u u


Relação entre velocidades do poro, uf e média u

A relação entre a velocidade média que cruza a seção transversal de

uma matriz porosa e a velocidade média nos poros é dada por meio da

porosidade

u – velocidade média na seção transversal matriz

uf – velocidade média do fluido nos espaços livres

u u

f v fuA u A u u


Lei de Darcy – análise de escala

A lei de Darcy (empírica) está fundamentada por escoamentos com

ausência de termos inerciais.

Considere ‘d’ uma dimensão representativa do espaço instersticial do

material poroso; uf a velocidade média do fluido entre os interstícios;

então a razão:

sendo que d é estimado pelo coef. Permeabilidade: então

Desde que Rek <<1 o escoamento nos interstícios não possui inércia e

pode ser representado pela equação de Stokes 2p v

2

f f

2

f

Inércia u d u d1

Viscosos u d

d k

u

fk

ku dInérciaRe 1

Viscosos


Lei de Darcy – campo 3D

Um detalhado conhecimento da distribuição espacial dos interstícios

não é disponível. Consequentemente o conhecimento da velocidade

local também não será.

Considerando o escoamento através de um grande número de poros

pode-se tirar uma média espacial da velocidade.

Se o meio for isotrópico (um gradP aplicado nas 3 direções produz a

mesma vazão) pode-se re-escrever a equação q. movimento como:

p e u representam a pressão e velocidade médias, k é a permeabilidade

do meio e é a porosidade

u k u kp ou u p desde que 1

k

k equivalente (isotrópico) – associação em paralelo

Os meios porosos estão submetidos a mesma pressão. Área transversal,

A = hx1 (largura unitária)

O resultado possui analogia direta c/ lei

de ohm, V=P, i=u e R=hi/ki

i i i

i

p 1Q Q h k

L

eq

i

k p Q h

L

k4, h4

k3, h3

k2, h2

k1, h1

Q1

Q2

Q3

Q4

Q1

Q2

Q3

Q4

k, h =

ii i i i

k pQ u h h

L

i i

eq

i

h k

kh

k equivalente (isotrópico) – associação em série

Os meios em série estão submetidos a mesma vazão ou velocidade!

O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e Ri=hi/ki

ieq i

i i i

Lk L

k

k4

L4

k3

L3

k2

L2

k1

L1 u u

k, L

=

ii

i i i

Lp p u

k

i

i

eq

L

p uk

i i

i

ii

i

k pu

L

L

p uk

p1 p2 p3 p4


O potencial de Velocidades

A pressão modificada, , engloba a contribuição da força e campo,

possibilitando que o campo de velocidade seja determinado tanto pela

pressão como pelo peso da coluna de líquido:

Note que o campo de velocidades é irrotacional:

A equação massa é satisfeita desde que o Laplaciano de seja nulo:

Portanto é uma função potencial: o gradiente de expressa o campo

de velocidades. Vamos visitar este tópico nas aulas 14 e 15.

k

u onde p gz

ku 0

2ku 0

g alinhado eixo z


Solução do potencial de velocidades

A Equação de Laplace é uma equação elíptica e necessita de

informação em todo contorno para ser resolvida:

2 0

n 0 para fronteira impermeáveisc.c.

p const em superfícies livres.


Exemplo: escoamento em um poço radial

2 1r 0 r Aln r B

r r r

r

P

Pw Condição de

contorno

w

w

w w

w w

p pA

Ln r rp Aln r B

p Aln r B p A Ln r ouB

p A Ln r

As constantes de integração

Cálculo da velocidade radial em r = rw

w w

w

w

w w

kU r r

p pk A k 1U r

r Ln r r r

w

w

w

Q U 2 r h

p p2 hkQ

Ln r r

Vazão m3/s por metro de poço

h


IP de um reservatório • O índice de produtividade de um reservatório, IP (em inglês

Productivity Index) é uma razão entre o volume produzido e a razão

entre a diferença de pressão do reservatório e do fundo do poço:

w

QIP

P P

w w

w

2 hkQ p p Q IP p p

Ln r r

• A origem desta expressão está na relação de vazão dada no slide

anterior:

• A vazão produzida é determinada pela diferença (p-pw), quanto

menor pw maior é a vazão.

• Mas pw acopla o reservatório com a linha de elevação, pw é

determinado pela perda de carga causada pelo escoamento na linha.

Calcule k p/ geometrias cilíndricas: série e paralelo.

eq

w

2 hk pQ

ln r r

Todas camadas estão na m/ma P

Leitos paralelos

rw

r

k1, h1

k2, h2

k3, h3

i i i eq i

i w w

eq i i i

P 2 2 pQ h k k h

Ln r r Ln r r

k h k h

Q cruza todas camadas

Leitos em série

rw r1 r

i Ni i 1 w

i

i i 0 i eq

i Ni i 1

eq w

i 0 i

Ln r r Ln r rQ QP

2 h k 2 h k

Ln r r k Ln r r

k

w

eq

ln r rQp

2 h k

h

Aplicação em barragens


Extensão Lei de Darcy: Forchheimer (1901)

Relação quadrática entre o gradiente de pressão e a velocidade. A

forma mais comum é:

O termo de Darcy e Forchheimer estão associados ao arrasto (ou

resistência) que o meio poroso causa a passagem do fluido. A extensão

de Forchheimer está associada ao arrasto de forma interno a matriz

porosa e ajustada por meio do coeficiente da matriz, CF.

Tanto a relação de Darcy quanto Forchheimer não possuem

embasamento matemático/teórico, são relações empíricas.

F

U Uup C

k k


FIM DO TEMA SOBRE

MEIOS POROSOS


Tópico II - Tubo de Seção Variável (Batchelor)

• Tubo seção circular cujo raio ‘a’ varia lentamente ao longo da

direção axial.

• Será procurada uma solução onde a contribuição dos termos inerciais

sejam desprezíveis (aprox. Stokes)

i. O escoamento ocorre em regime permanente.

ii. As extremidades do tubo estão a uma diferença de pressão.

iii. O dP/dz varia com z porque o raio a varia, a = a(z)

Note que este caso é um caso particular do escoamento de Jeffery-Hamel em

coordenadas esféricas para um tubo com pequena inclinação entre as paredes. Isto

foi visto no similar paredes planas quando -> 0.

a r

z


Análise da ordem de magnitude dos termos

O problema simplifica se pudermos desprezar os termos de inércia.

Neste caso a solução reduz para a solução de Poiseuille. A questão é:

quando a aproximação é válida?

1. Se o raio ‘a’ for constante a solução de Poiseuilli é exata.

2. Queremos conhecer para qual taxa de variação de ‘a’ com ‘z’

ainda é válida a aproximação de inércia desprezível.

3. Para isto temos que determinar escalas para as velocidades axial

(z) e radial (r), W e V.

a r

z


Eq. massa e q. mov. direção z

O termo de inércia e viscoso eq. q. mov. na direção z:

2

2

W W 1 W W pV W r -

r z r r r zz

(termo dominante

desde que << 1)

Conservação da massa: rV1 W

=0 r r z

a r

z


Escalas

de W e V

Tan =r/z << 1 Tan ~ a

z

ar a

W0

Escala vel. W : W W0

Balanço massa dir. z: 220 0

WW a W z a r

z

0

0 0

0

2 WW escala W/ z :

z a

W 2 WW a escala z: então z

z z a 2

WW escala W/ r:

r a

tan

tan

tan

Balanço de massa na

direção r:

220 0W a a r V a r z

0 0escala de V : V 2 W tan

Escala da velocidade radial: ?


Avaliação do termos inercial x viscosos

O termo de inércia e viscoso na eq. q. mov. direção z:

Os termos inerciais são desprezíveis desde que .Rea<<1 e <<

1. A eq. q. movimento na direção z reduz para:

02

2a0 0

W

Viscoso 1 1a

Inercia Re2 W W 2a

a

tan tan

tan

2

2

w w 1 w w pv w r -

r z r r r zz

p 1 wr Poiseuille

z r r r

(termo dominante

desde que << 1)


Perfil de velocidades (Batchelor)

Desprezando os termos de inércia, vamos encontrar a solução

de Poiseuille:

a r

x

V V

2 2a z rdpw z r

dz 4

,

A vazão é constante em qualquer seção do tubo:

4a

0

dp dz aQ w z r 2 rdr

8,

4

dp 8Q

dz a z


Perfil de Velocidades (Batchelor)

Substituindo a definição de dp/dz no perfil de velocidade:

2 2

4

a z r 8 dpW z r W z onde W z Q

4 dza z

,

As linhas de corrente não são exatamente paralelas a z mas inclinadas

pelo ângulo . Existe uma componente radial v ~ .w,

conhecendo-se w a velocidade v é estimada.

A queda de pressão vem da integral do gradiente de pressão:

2

1

z

1 24 4z

dp 8 8 Q dzQ p p

dza z a z


Influência do perfil a(z) A solução é válida se << 1 e

tan().Rea<<1.

Considere, por ex., um perfil

linear em z com r(z) = a0 – .z;

sendo:

- a0 = 0.05, e

- = 0.005, 0.010 e 0.025 rad.

2

1

zz ini

4z

p p dz

8 Qa z

A figura mostra que a diferença

de pressão varia de forma não

linear.

a r

z z

(graus)

(rad)

1.43 0.025

0.57 0.010

0.29 0.005

Topico III - Forças em Mancais e

Equação de Reynolds


Classificacao de mancais Capacidade de carga área x pressão

Tipos de mancais Hidrodinâmico, Hidrostático, e Hibrido

Mancal Hidrodinâmico a pressão é gerada por forcas heterodinâmicas devido ao movimento relativo entre as superfícies.

Mancal Hidrostático a pressão é gerada por meio de uma bomba que pressuriza o fluido de trabalho.

Tipos de Mancais

jounal bearing thrust bearing conical pivot bearing

Veja princípio operacional de mancais hidrodinâmicos e diagnóstico link

universe_brochure.pdf

Mancal hidrodinâmico com

placas deslizantes


Mancal hidrodinâmico com placas

deslizantes

Dedução a partir da aproximação por um escoamento de Couette +

Poiseuille para .Re << 1, baseada no caso do “Tubo de seção

variável” estudado.

x

y

z

x=0 x=L


• Perfil de velocidades adimensional para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas, placa superior movendo-se com velocidade U.

• Solução: superposição linear:

22

0 0

u y y 1 dp a y y

U a U dx 2 a a

0 1 2 3

(y/a)

1

(u/U0)

0dx

dp

0dx

dp

0dx

dp

Revisão: Couette + Poiseuille


Revisão Poiseuille+Couette p/ canais

Poiseuille + Couette P + C

y = 0 u = 0 + u = 0 u = 0

y = a u = 0 + u = U u = U

u(y) +

Q +

w p/ y =0

22dP a y y

dx 2 a a

*y

Ua

22y dP a y yU

a dx 2 a a

U vel média Área**

U 2 a 1 2

Área*

U vel média

dp aa 1

dx 12

2

Área*U vel médiaU vel média

dp a Ua 1

dx 12 2

• (*) placa superior deslocando-se com U.

• (**) ‘1’ significa por unidade de largura = 1m

• Grad. P favorável, dp/dx<0, desfavorável, dp/dx > 0

dp0

dx

0

1 (y/a)

y

U

(x)

U

2

dP a

dx 2

dP a U

dx 2 2

Slide 40


A figura representa um bloco estacionário com uma parede deslizante

com velocidade U0.

Veja Mancal Deslizamento Low Reynolds Number Flow, Sir Geofrey

I. Taylor; 8’15” a 10’ 15” YOUTUBE

Mancal de deslizamento

x

y

z

x=0 x=L

Referencial (x,y,z) estacionário

ligado, solidário ao bloco.

Eixo y tem origem na placa.

u(x,0) =U0 e u(x,h(x)) = 0, não

deslizamento Velocidade parede, U0,

medida ref. (x,y,z)

U0

https://www.youtube.com/watch?v=j_d7_V2gXv0


Q por unidade de comprimento z vem de Couette + Poiseuille plano:

3h

00

dp h 1Q udy U h

dx 12 2

Como Q independe da coordenada x isto requer que:

0

2 3

Udp 2Q6

dx h h


Aproximações:

(i) h/L << 1, garante ausência efeitos

de borda e d2u/dy2 >> d2u/dx2;

(ii) Red.(h/L) << 1 garante inércia

desprezível, sol. Stokes x

y

z

x=0 x=L

vel. parede, U0, medida ref. (x,y,z)

Veja slide 38


Integrando a pressão em x teremos:

x x

0 0 2 30 0

d dp x p 6 U 12Q

h h

A solução baseia-se na aproximação do tubo com seção cônica mostrada na seção anterior. p0 é a pressão em x = 0. A distribuição de pressão é determinada conhecendo como h varia com x, isto é definido na forma do mancal.


0

2 3

Udp 2Q6

dx h h

x

y

z

x=0 x=L



h1

h2

Mancal de deslizamento Vamos considerar uma variação linear de H com x

1 1 2h x h x onde = h -h L

A pressão na entrada e saída, seções h1 e h2, é igual a p0. A variação

de pressão entre a entrada e uma posição x, x < L é:

Como a pressão na seção h = h2 é p0 e, o lado direito da expressão é

nulo em x = L. A vazão Q é calculada por:

0 0 2 21 1

6 1 1 1 1p x p U Q

h h h h

1 20

1 2

h hQ U

h h



A variação de pressão passa a ser:

i. A pressão no mancal é

maior que p0, p - p0 > 0,

somente quando h1>h2.

ii. A pressão é gerada pelo

movimento relativo entre as

placas que arrasta fluido da

abertura mais larga para a

mais estreita.

1 20

0 21 2

h h h h6 Up x p

h h h

distribuição de pressão centro de

pressão

L

p máx

Exemplo: L = 0.1m, h1 = 0.005 m

= 0.01

= 0.02

= 0.03



A força normal exercida no bloco por unidade de largura

A força tangencial:

L1 20 1

0 20 2 1 2

h h6 U hp x p dx 2

h h h

log

L1 20 1

0 21 2y h

h h2 U hudx 3

y hh h

log


Um modelo que descreve a distribuição de pressão em corpos

sólidos separados por um filme de líquido ou gás foi originalmente

proposto por Osborne Reynolds em 1886. A equação aplica-se para

mancal hidrostático, hidrodinâmico ou misto. Fonte: wikipedia

Equação de Reynolds

Equação de Reynolds I

Condições de contorno:

u(0) = u0 e w(0) = 0

u(h) = 0 e w(h) = 0

Perfil velocidades Couette + Poiseiulle

Referencial estacionário (x,y,z) , y = 0

Bloco estacionário, u(x,h) = 0,

Parede com u(x,0) = U0

2y y y

0a a a

2y y

a a

h dpu y 1 1 U

2 dx

h dpw y 1

2 dz

hh L 1 e Re h L 1

x

y

z

x=0 x=L


3h

x 00

3h

z0

h dp 1Q udy U h

12 dx 2

h dpQ wdy

12 dz

Integração dos perfis vel. Qx e Qz

Equação Reynolds II - uso equação da massa

A eq. Reynolds irá relacionar a distribuição de pressão com o espaçamento h e a velocidade U0.

h h h

0 0 0

du dw dvdy dy dy

dx dz dy

O termo do lado direito é um diferencial exato: ∫dv/dy dy = v(h) – v(0).

Paredes sem sucção/injeção, a integral é ∫dv/dy dy = 0.

A eq. massa então reduz para:

h h

0 0

du dwdy dy 0

dx dz

x

y

z

x=0 x=L


Integrando-se a eq. massa na espessura h


Equação de Reynolds III – Teorema Leibniz

A equação da continuidade pode ser reescrita termo a termo usando o Teorema de Leibniz (*)

h h

0 0

d dudy wdy 0

dx dz

Para bloco estacionário, a equação integral do volume na seção

transversal (y) do mancal passa a ser:

h x h x

0 0 y h0 y 0

h x h x

0 0

d du dh dhudy dy u h u 0

dx dx dx dx

d dwwdy dy

dz dz

(*) Observe o termo d/dx ∫udx tem dois extremos. O primeiro extremo está no bloco onde

dh/dx 0 mas u(h) = 0 porque o bloco está parado, quem anda é a parede inferior. O segundo extremo está na parede porém, y = 0 e dh/dx = 0.

x

y

z

x=0 x=L



Equação de Reynolds IV

Observe que os termos da integral representam as vazões nas direções x e z, b é a largura do mancal na dir. z

3 30

HidrodinâmicaHidrostática

d p d p dhh h 6 U

dx x dz z dx

Dependendo da ordem de magnitude dos termos o mancal pode ser

governado por forças hidrostáticas ou hidrodinâmicas ou misto.

h h

x z0 0

d d d dubdy wbdy 0 Q Q 0

dx dz dx dz

Qx vem da superposição de Couette + Poiseuille na dir X

3

x 0

dP h hQ b U b

dx 12 2

Qz vem de Poiseuille dir. Z 3

z

dP hQ b

dz 12

• A Eq. de Reynolds (1886) é um

modelo básico em lubrificação.

• É aplicada em um canal variável

h(x) com uma superfície movendo-

se com velocidade U0.

•. A distribuição de pressão pode ser determinada conhecendo-se a geometria

e a velocidade da parede.

• A essência do fenômeno de lubrificação está na pequena espessura do filme

e paredes inclinadas que geram altas tensões no fluido que por sua vez geram

elevadas pressões.

• A força motriz do escoamento é o movimento relativo entre as paredes.

3 30

HidrodinâmicaHidrostática

d p d p dhh h 6 U

dx x dz z dx

Equação de Reynolds VI

Mancal hidrostático

com discos paralelos

Mancal Hidrostático de

Discos Paralelos

Um mancal hidrostático possui duas superfícies que se mantêm

separadas devido a um escoamento forçado. Se a folga entre as

superfícies diminuir, a vazão através das bordas será reduzida e a

pressão aumentará, forçando as superfícies a se separarem

novamente com muita força, proporcionando excelente controle da

folga e dando baixa fricção. WIKIPEDIA (link)

Pressão

Manométrica

https://en.wikipedia.org/wiki/Fluid_bearing

Exemplo - Encontre perfil de velocidades e o gradiente pressão no canal

entre dois discos paralelos.

Considere as hipóteses:

1. Os termos viscosos são muito maiores que os termos inerciais;

2. Escoamento desenvolvido, linhas de corrente paralelas,

1. Considere que as velocidades nas direções (r,z) são dadas por (v, w).

2. Pela hipótese (1) o modelo não possui termos inerciais!

3. Pela hipótese (2), Escoamento desenvolvido, vamos considerar que w = 0 (linhas de corrente paralelas) e que v = v(r,z) somente.

Ro Ri

L = Ro - Ri


Equações e análise escala

• Equação Massa: 1

rv w 0 rv 0 rv z v z rr r z r

• Equação Q. Mov, não há termos inerciais

2

2

P 1 v0 rv

r r r r z

• Equação Q. Mov direção (r): 2

2

P d0

r r dz

• Modelo válido para: 2

2

2vr o

voz

v VRInercia b 1

Viscoso R

• Escalas: r ~ Ro; z ~ b e v ~ V, sendo que V = Q/(2Ro2b)

• Em termos de Q

2 2

o o

Inercia 1 Q b 1 m b 1

Viscoso 4 b R 4 b R

A aproximação é tanto melhor quanto menor for (b/Ro) e m, e maior for .

• Para conhecer a faixa de validade da aproximação proposta é necessário fazer uma análise de escala do problema.


Solução

Equação Q. Mov: 2

12

r dP dc

dr dz

• Solução Pressão: 1 1 2

dPc P r c Ln r c

dr r

• Solução : 2 2

1 1 3 42

d zc z c c z c

2dz

• Condição não deslizamento: z = - b v = 0 & (-b) = 0 z = +b v = 0 & (+b) = 0

• Sendo v = (z)/r, resta definir (z) e dP/dr

• Substituindo (-b) = (+b) = 0 em (z) encontra-se c3 = 0 e c4 = -c1b2/2 e

22

1c b zz 1

2 b

• Considere que a pressão de descarga dos discos em P(Ro) = Po, isto é usualmente conhecido. Neste caso c2 = Po – c1Ln(Ro) então sol. P é:

O 1 O i O P r P c Ln r R para R r R


Solução

Se a vazão Q for conhecida P é determinado Usando a definição de Q em função de P chega-se a:

A soluções para P e que dependem da definição da constante c1.

2

O 1 O i O

2b12

P r P c Ln r R para R r R

z c 1 z b para b z b

Há duas maneiras: conhecendo a pressão na entrada, P(Ri) = Pi ou a vazão Q

Se a pressão de entrada for conhecida, Pi Q é determinado P(Ri) = Pi sendo Pi > Po, então: Pi – Po = P = c1Ln(Ri/Ro) e

c1 = P/[Ln(Ri/Ro)] note que c1 < 0.

i O3

QP Ln R R

12 b

2

2

i O

b Pz 1 z b 0 p/ b z b e v r, z z r

2 Ln R R

(z)

b b 3

i Ob b

12 b PQ v r,z 2 rdz z 2 dz 0

Ln R R

Q


Resu

ltad

os

No modelo sem inércia, a pressão é máxima na entrada e decai.

O perfil de velocidade radial varia nas direções (r,z). Note que a medida que r aumenta a velocidade máxima diminui devido a divergência de área!

A vazão volumétrica que cruza qualquer seção r/Ro é sempre constante

Ri 0,2 m

Ro 0,8 m

b 0,007 m

rho 1249 kg/m3

mi 0,791 kg/m/s

P 1000 Pa

P0 100000 Pa

Q 0,0118 m3/s

V ref 0,3348 m/s

I/V 0,0162

dados simulação

Perfil adimensional Pressão Perfil de velocidade ao longo canal

FIM do mancal hidrostático

com discos paralelos


FIM DO TEMA SOBRE

MANCIAS HIDRODINÂMICOS

Tópico IV - HELESHAW FLOW

O aparato Hele-Shaw gera um escoamento dominado pela viscosidade mas que no plano de visualização é irrotacional. Esta técnica é utilizada para representar escoamentos potenciais, assunto das aulas 13 e 14.


How to build

The cell consists primarily of two

transparent plates separated by a

narrow gap. A thin spacer runs along

the internal edges of the plates to

maintain their separation and keep the

fluid from leaking out. Air bubbles

are introduced into the cell through a

port along one of the edges. The fluid

can be pushed or pulled through the

cell by a pump connected to other

ports. Alternatively, the cell can

simply be propped up at a slant or

mounted vertically so that gravity and

buoyancy move the fluid and the

bubbles.

• Nesta seção vamos demonstrar que o escoamento no plano (xy) no centro do canal é irrotacional.

Vista lateral e de topo

do cilindro dentro do

canal

z

x

y

x

h/d << 1

h/L << 1

h

L

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/19/Hele_Shaw_Geometry.jpg

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

u u 1 p u u ux u v

x y x x y z

v v 1 p v v vy u v

x y y x y z

Para escoamento laminar dominado por forças viscosas o sistema reduz

para: 2

2

2

2

1 p ux

x z

1 p vy

y z

Porque o espaçamento em z é muito menor que nas direções x e y e

portanto os termos d2u/dz2 e d2v/dz2 dominam!

Plano z,x Plano x,y

z, w

x, u y, v

x, u

h/d << 1

h/L << 1

L

Para escoamento laminar dominado por forças viscosas o sistema reduz

para:

Porque o espaçamento em z é muito menor que nas direções x e y e

portanto os termos d2u/dz2 e d2v/dz2 dominam!

O sistema:

2

2

2

2

1 p ux

x z

1 p vy

y z

As soluções das eqs. acima são dadas pelo escoamento de Poiseuille

2 22

2

22 22

1 p h h pu x y z z u x y z f z h

2 x 4 2 x z 1onde f z h

4h1 p h h pv x y z z v x y z f z h

2 y 4 2 y

, , , ,

, , , ,

Observe que : i. A dependência em z no perfil e u e v é introduzida pelo termo f(z/h) que é

também adimensional; ii. A pressão varia nas direções (x,y) e os termos associados ao grad. P

possuem unidade de velocidade! iii. Os termos (h2/2) p/y e (h2/2) p/y estão associados com a

dependência de u e v nas direções (x,y)

x, u

y, v

Na linha de centro, z = 0, f(0) =-1/4 e o

campo de velocidades deixa de possuir

dependência na direção z.

Os campos e u e v passam a ser:

2 2

2 2

h p h pu x y 0 u x y 0 U x y

8 x 8 x ou

h p h pv x y 0 v x y 0 V x y

2 y 2 y

, , , , ,

, , , , ,

A vorticidade no plano z = 0 é zU x y V x y

y x

, ,

Substituindo U(x,y) e V(x,y) em z encontra que z =0.

Conclui-se que na linha de centro, z = 0, o escoamento é irrotacional e

representa um escoamento de um fluido ideal!

x, u

y, v

aplicaÇÕes em escoamentos com re

Documents