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LEI DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS TURBULENTOS COM
TRANSPIRACAO
Mateus Carvalho Guimaraes
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso
de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientador: Daniel Onofre Cruz
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2016
LEI DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS TURBULENTOS COM
TRANSPIRACAO
Mateus Carvalho Guimaraes
PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECANICO.
Examinado por:
Prof. Daniel Onofre Cruz, D.Sc.
Prof. Atila Pantelao Silva Freire, Ph.D.
Prof. Fabio Antonio Tavares Ramos, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
FEVEREIRO DE 2016
Carvalho Guimaraes, Mateus
Lei de similaridade para escoamentos turbulentos com
transpiracao/Mateus Carvalho Guimaraes. – Rio de
Janeiro: UFRJ/ Escola Politecnica, 2016.
XI, 30 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Daniel Onofre Cruz
Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Mecanica, 2016.
Referencias Bibliograficas: p. 29 – 30.
1. Turbulencia. 2. Transpiracao na parede. 3. Lei
de similaridade. I. Onofre Cruz, Daniel. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politecnica, Curso de
Engenharia Mecanica. III. Tıtulo.
iii
Dedico este trabaho ao meu
irmao Lao.
iv
Agradecimentos
Gostaria de agradecer minha mae Marcia, meu irmao Lao, meus amigos e professores.
v
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico.
Lei de similaridade para escoamentos turbulentos com transpiracao
Mateus Carvalho Guimaraes
Fevereiro/2016
Orientador: Daniel Onofre Cruz
Curso: Engenharia Mecanica
Neste trabalho e proposta uma nova forma de calcular o perfil de velocidades medio
e uma equacao para o coeficiente de arrasto em escoamentos turbulentos com trans-
piracao. Este tipo de escoamento e muito comum na industria de oleo e gas. Nas
teorias classicas disponıveis na literatura[1, 2], os perfis de velocidade nao colapsam
em uma unica curva quando plotados em coordenadas adimensionais. Isso indica
que essas teorias nao absorvem completamente a fısica do problema. Aqui, uma lei
de similaridade e desenvolvida para se obter uma descricao mais completa da estru-
tura do escoamento. A expressao resultante contem a lei logarıtmica classica como
um caso particular. Os resultados obtidos sao comparados com dados experimentais
disponıveis apresentando boa concordancia.
Palavras-chave: Turbulencia, Transpiracao na parede, Lei de similaridade
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Engineer.
A SIMILARITY LAW FOR TRANSPIRED TURBULENT FLOWS
Mateus Carvalho Guimaraes
February/2016
Advisor: Daniel Onofre Cruz
Course: Mechanical Engineering
The present work introduces a new approach to evaluate the mean velocity profile
and to obtain an equation for the drag coefficient of turbulent flows subject to suction
or blowing at the wall. This type of flow is ubiquitous in the oil and gas industry. In
the classical theories available in literature[1, 2], the velocity profiles do not collapse
onto a single curve when plotted in non-dimensional parameters. This indicates
that the theories do not represent properly the phenomenon. Here, a similarity
law based on alternative arguments is developed to yield a better description of the
flow structure. The resulting expression contains the classical logarithmic law as a
particular case. The results are tested through some available experimental data
showing good agreement.
Keywords: Turbulence, Transpiration at the wall, Similarity law
vii
Sumario
Lista de Figuras ix
1 Introducao 1
2 Revisao Bibliografica: teoria classica para o calculo do perfil de
velocidades 2
2.1 A subcamada viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Regiao da esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Regiao turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 O comprimento de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 Lei de similaridade de TENNEKES [2] . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Analise critica do conteudo disponıvel na literatura . . . . . . . . . . 14
3 Teoria proposta: calculo do perfil de velocidades e equacao para o
atrito 16
3.1 Modelo de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Perfil de velocidades na regiao completamente turbulenta . . . . . . . 17
3.3 Deducao da velocidade caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Casos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 uτ >> Vw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2 Vw >> uτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 Vw → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Regiao da esteira e equacao para o atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Resultados 23
5 Conclusoes 28
Referencias Bibliograficas 29
viii
Lista de Figuras
2.1 Camada limite: as quatro sub-regioes[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Perfis de velocidade: teoria classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Ajuste grafico para obtencao de A(VwU0
). . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Velocidade logarıtmica[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Perfis de velocidade: coordenadas alternativas[2] . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Ajuste grafico para obtencao de A(Vwuτ
)[2] . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Perfis de velocidade nas novas coordenadas.α = 3.41, β = 8.7,C = 0.22 24
4.2 Perfis de velocidade nas coordenadas classicas: duas adimensiona-
lizacoes diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Perfis de velocidade nas novas coordenadas.α = 3.41, β = 8.7,C = 0.22 25
4.4 Valores medios de Π versus Vw/U∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Comparacao dos resultados experimentais de ANDERSEN et al. [4]
com a equacao 3.42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ix
Lista de Sımbolos
A,A∗ Constantes de integracao
Cf Coeficiente de arrasto
c, C Constantes de integracao
kr Comprimento caracterıstico de rugosidade
Rδ Numero de Reynolds: U∞δ/ν
u Componente horizontal media do campo de velocidades
u′ Flutuacao da componente horizontal do campo de velocidades
uc Velocidade caracterıstica do escoamento:αVw± 2
√α2V 2
w+4u2τ2
uτ Velocidade de friccao:√
τwρ
U0 Velocidade do escoamento nao perturbado
v Componente vertical media do campo de velocidades
v′ Flutuacao da componente vertical do campo de velocidades
v′w Parcela de v′ devido a transpiracao
v′0 v′ − v′w
Vw Velocidade de transpiracao
V +w Velocidade de transpiracao adimensional
x Coordenada na direcao horizontal paralela a placa
y Coordenada na direcao vertical transversal a placa
y+ Coordenada adimensional na direcao vertical transversal a placa
w∗ Velocidade logarıtmica: y ∂u∂y
x
W(yδ
)Funcao de Coles
w Variavel na propriedade dos logaritmos
z Variavel utilizada para substituicao de variaveis numa integracao
α Constante de proporcionalidade na formula de uc
β Constantes de proporcionalidade no modelo de turbulencia
δ Espessura da camada limite
δ+ Espessura da camada limite adimensional: δuc/ν
δ∗ Espessura de deslocamento: −∫∞
0
[ (u−U0)U0
]dy
θ Espessura de quantidade de movimento: −∫∞
0
[ u(u−U0)
U20
]dy
ν Viscosidade cinematica
νt Viscosidade turbulenta
ρ Massa especifica
τw Tensao na parede
κ Constante de Von Karman
Λ Parametro de equilıbrio: ρVwU0
τw= VwU0
u2τ
Π Parametro de equilıbrio: δ∗
τwdPdx
Π Parametro de Coles
Π Parametro da esteira devido a transpiracao
xi
Capıtulo 1
Introducao
A figura 2.1 mostra um esboco do problema a ser estudado. Um escoamento tur-
bulento com transpiracao de fluido na parede. Apesar da figura 2.1 mostrar uma
camada limite, a teoria proposta nesse trabalho tambem se aplica a tubulacoes, uma
vez que este problema e regido pela mesma equacao.
Este tipo de escoamento e comum na industria do petroleo, assim como em
alguns sistemas modernos de distribuicao de ar condicionado em que os dutos de
distribuicao do ar sao porosos e tambem em pas de turbinas, onde o fluido injetado
atraves das pas funciona como uma protecao termica contra o fluido quente do
combustor, evitando assim que as pas derretam.
No caso sem transpiracao, quando perfis de velocidade media sao plotados em
coordenadas adimensionais eles colapsam em uma so curva. Isto indica que os
perfis sao de certa forma similares, distinguido-se apenas por um fator de escala,
e que, quando adimensionalizados por parametros denominados caracterısticos do
problema, esta diferenca de escala desaparece. Assim, a dinamica do escoamento e
completamente caracterizada pelos parametros caracterısticos.
Ja no caso com transpiracao, nas teorias classicas disponıveis na literatura[1, 2],
os perfis de velocidade nao colapsam em uma unica curva quando plotados em co-
ordenadas adimensionais, indicando que essas teorias nao absorvem completamente
a fısica do problema. Neste trabalho, sera desenvolvida uma lei de similaridade que
tente caracterizar melhor a dinamica do escoamento.
1
Capıtulo 2
Revisao Bibliografica: teoria
classica para o calculo do perfil de
velocidades
A camada limite turbulenta pode ser dividida em quatro sub-regioes chamadas de
subcamada viscosa, buffer layer, regiao turbulenta e regiao de esteira. A regiao
compreendida entre a parede e a turbulenta e chamada de regiao da parede.
Figura 2.1: Camada limite: as quatro sub-regioes[3]
A equacao que rege o escoamento dentro da camada limite e dada por 2.1. Ela
representa um balanco da quantidade de movimento somado com uma analise de or-
dens de grandeza e, no caso deste trabalho, escoamento turbulento, incompressıvel,
de fluido Newtoniano com propriedades constantes, regime permanente, bidimensio-
2
nal, sem gradiente de pressao. A transpiracao e considerada homogenea e a superfıcie
da parede lisa.
u∂u
∂x+ Vw
∂u
∂y= −∂u
′v′
∂y+ ν
∂2u
∂y2(2.1)
Na equacao 2.1 foi feita a aproximacao usual[1, 2] que v = Vw proximo a parede.
A partir dela, pode-se fazer um estudo separado de cada sub-regiao da camada
limite.
2.1 A subcamada viscosa
A sub camada viscosa e a regiao da camada limite turbulenta mais proxima da
parede. Nela, o termo viscoso (ν ∂2u∂y2
) na equacao 2.1 domina e o escoamento e
laminar. Uma lei de similaridade e o perfil de velocidades nessa regiao podem ser
obtidos da seguinte maneira: na subcamada viscosa o termo turbulento (−∂u′v′
∂y) e
o convectivo na direcao horizontal (u∂u∂x
) na equacao 2.1 sao desprezıveis quando
comparados com os outros termos, logo, esta assume a seguinte forma:
ν∂2u
∂y2− Vw
∂u
∂y= 0 (2.2)
Utilizando a equacao de Newton para fluidos e a condicao de nao deslizamento
obtem-se as condicoes de contorno na parede:
ν∂u
∂y
∣∣∣∣y=0
=τwρ
(2.3)
u
∣∣∣∣y=0
= 0 (2.4)
A equacao 2.2 e uma equacao diferencial ordinaria homogenea, linear e de co-
eficientes constantes assim, usando as condicoes de contorno 2.3 e 2.4, obtem-se a
seguinte solucao:
3
Vwu
u2τ
= eVwνy − 1 (2.5)
A equacao 2.5 sugere a seguinte lei de similaridade na subcamada viscosa:
Vwu
u2τ
= f
(Vwy
ν
)(2.6)
De acordo com TENNEKES [2], os perfis de velocidade na subcamada viscosa
colapsam quando plotados num grafico adimensional segundo a equacao 2.6.
2.2 Regiao da esteira
Esta e a porcao mais externa da camada limite e, segundo TENNEKES [2], com-
preende cerca de 90% da sua espessura. Sera apresentado uma lei de similaridade
como a equacao 2.6 para a regiao da esteira. Ela sera util para o calculo do perfil
de velocidades na regiao turbulenta, como sera visto na secao 2.3.
Para dar continuidade a analise sera apresentada uma lei de similaridade para o
caso sem transpiracao, equacao 2.7:
u− U0
uτ= F
(y
δ
)(2.7)
Segundo TENNEKES [2] a equacao 2.7 e uma lei de natureza totalmente
empırica, onde δ e a espessura da camada limite. TENNEKES [2] propoe uma forma
de estender a validade da equacao 2.7 para os casos com transpiracao, equacao 2.8:
Vw(u− U0)
u2τ
= F
(y
δ
)(2.8)
4
2.3 Regiao turbulenta
2.3.1 O comprimento de mistura
Na regiao completamente turbulenta e possıvel obter uma expressao bi-logarıtmica
para o perfil de velocidades utilizando o metodo das aproximacoes assintoticas[1].
Tambem e possıvel obter uma expressao bi-logarıtmica similar, porem mais simples,
utilizando a analise feita por STEVENSON [5] como sera mostrado nesta secao.
u∂u
∂x+ Vw
∂u
∂y= −∂u
′v′
∂y+ ν
∂2u
∂y2(2.1)
Na regiao da parede o termo u∂u∂x
e desprezıvel em relacao aos outros termos da
equacao 2.1, assim, esta se reduz a:
Vw∂u
∂y= −∂u
′v′
∂y+ ν
∂2u
∂y2(2.9)
Integrando a equacao 2.9 em y:
Vwu = −u′v′ + ν∂u
∂y+ C (2.10)
A constante de integracao C pode ser obtida utilizando as condicoes de contorno
na parede:
ν∂u
∂y
∣∣∣∣y=0
=τwρ
(2.11)
u′v′∣∣∣∣y=0
= 0 (2.12)
u
∣∣∣∣y=0
= 0 (2.13)
C = −u2τ (2.14)
Utilizando o modelo de comprimento de mistura de PRANTDL [6]:
5
u′v′ = −(κy
∂u
∂y
)2
(2.15)
A equacao 2.10 se reduz a:
Vwu =
(κy
∂u
∂y
)2
+ ν∂u
∂y− u2
τ (2.16)
Na regiao turbulenta, o termo molecular (ν ∂u∂y
) e desprezıvel em relacao aos outros
termos da equacao 2.16, logo:
Vwu =
(κy
∂u
∂y
)2
− u2τ (2.17)
Integrando a equacao 2.17 em y obtem-se a seguinte expressao:
∫∂u√
Vwu+ u2τ
=1
κ
∫∂y
y(2.18)
2
Vw
√Vwu+ u2
τ =1
κln(y) + C (2.19)
Onde C e uma constante (em y) de integracao. Adimensionalizando y com um
comprimento caracterıstico ν/uτ :
2
Vw
√Vwu+ u2
τ =1
κln
(yuτν
)+
(1
κln
(ν
uτ
)+ C
)(2.20)
O termo 1κ ln( ν
uτ) + C tambem e constante em y, assim, sera denominado de
constante C. Introduzindo o comprimento adimensional y+ = yuτν
, a equacao 2.20
se reduz a:
y+ =yuτν
(2.21)
1
κln y+ + C =
2uτVw
(Vw
u
u2τ
+ 1
) 12
(2.22)
Adicionando o termo −2uτ/Vw em ambos os lados da equacao 2.22:
6
1
κln y+ +
(C − 2uτ/Vw
)=
2uτVw
[(Vw
u
u2τ
+ 1
) 12
− 1
](2.23)
Segundo STEVENSON [5], o termo (C − 2uτ/Vw) varia pouco com injecao ou
succao, logo, ele pode ser substituıdo por uma constante A.
1
κln y+ + A =
2uτVw
[(Vw
u
u2τ
+ 1
) 12
− 1
](2.24)
Manipulando algebricamente a equacao 2.24 obtem-se a seguinte expressao para
o perfil de velocidades:
u
uτ=
(1
κln y+ + A
)+Vw4uτ
(1
κln y+ + A
)2
(2.25)
Onde A = (C−2uτ/Vw) e a constante para o caso sem injecao A = 5. A expressao
2.25 e a lei da parede classica para o caso com injecao ou succao. Como foi comentado
anteriormente, SILVA-FREIRE [1] chega numa expressao similar porem mais geral
utilizando uma aproximacao assintotica e plota num grafico adimensional segundo
a equacao 2.24 perfis de velocidade obtidos experimentalmente para obter o valor
de A pois, segundo ele observacoes experimentais mostram que, ao contrario do que
pensou STEVENSON [5], esta pode variar com a injecao ou succao. Este grafico e
mostrado na figura 2.2. Foi usado por SILVA-FREIRE [1] os valores experimentais
obtidos por ANDERSEN et al. [4].
A figura 2.2 mostra que os perfis de velocidade nao colapsam quando plotados
nessas coordenadas. Isso faz com que seja necessario algum ajuste grafico para obter
a variacao de A com Vw. Este e mostrado na figura 2.3 e o resultado na equacao
2.26.
A = 5− 512VwU0
(2.26)
Vale a pena observar que neste grafico as velocidades u e Vw estao adimensiona-
lizadas por uτ conforme as equacao 2.27 e 2.28. Como os perfis de velocidades nao
7
Figura 2.2: Perfis de velocidade: teoria classica[1]
colapsam quando esta adimensionalizacao e feita, uτ nao representa a velocidade
caracterıstica do escoamento.
u+ =u
uτ(2.27)
V +w =
Vwuτ
(2.28)
2.3.2 Lei de similaridade de TENNEKES [2]
Para obter uma lei de similaridade na regiao turbulenta, TENNEKES [2] argumenta
que nela a lei obtida para a sub-camada viscosa, equacao 2.6, e a lei obtida para a
regiao da esteira, equacao 2.8, ambas sao validas, logo, devem colapsar em alguma
regiao de transicao. Isso implica que o gradiente de velocidade deve ser o mesmo
nas duas expressoes. Assim, de 2.6 tem-se que:
u =u2τ
Vwf
(Vwy
ν
)(2.29)
8
Figura 2.3: Ajuste grafico para obtencao de A(VwU0
)[1]
∂u
∂y=u2τ
νf ′(Vwy
ν
)(2.30)
Da equacao 2.8:
u = F
(y
δ
)u2τ
Vw+ U0 (2.31)
∂u
∂y=
u2τ
VwδF ′(y
δ
)(2.32)
Igualando 2.30 e 2.32:
∂u
∂y=u2τ
νf ′(Vwy
ν
)=
u2τ
VwδF ′(y
δ
)(2.33)
Fazendo uma manipulacao algebrica na equacao 2.33:
Vwy
νf ′(Vwy
ν
)=y
δF ′(y
δ
)= C1 (2.34)
As duas expressoes devem ser constantes uma vez que a primeira so depende de Vwyν
e a segunda de yδ. Integrando 2.34 em y:
f
(Vwy
ν
)= C1 ln
(− Vwy
ν
)+ A (2.35)
Utilizando a equacao 2.6 em 2.35, obtem-se a seguinte equacao para o perfil de
velocidades na regiao turbulenta(os sinais negativos foram introduzidos artificial-
9
mente por TENNEKES [2] pois para injecao Vw < 0, e ele propoe essa equacao
apenas para injecao):
Vwu
u2τ
= −C1 ln
(− Vwy
ν
)+ A (2.36)
Para calcular as contantes C1 e A, TENNEKES [2] introduz o conceito de velo-
cidade logarıtmica w∗:
w∗ = y∂u
∂y(2.37)
u = w∗ ln(y) + A (2.38)
Para o caso sem transpiracao (Vw = 0), a velocidade logarıtmica tem a forma da
equacao 2.39 conforme a lei da parede de PRANTDL [6] equacao 2.40:
w∗
uτ=
1
κ(2.39)
u
uτ=
1
κln(
yν
uτ) + 5 (2.40)
A constante κ nas equacoes 2.39 e 2.40 e a contante de Von karman e tem o
valor de κ = 0.41. A contante C1 na equacao 2.36 e a velocidade logarıtmica se
relacionam de acordo com a expressao:
w∗ = −C1u2τ
Vw(2.41)
Vale notar que a velocidade logarıtmica faz com que os perfis de velocidade
plotados num grafico devidamente adimensionalizados tenham mesma inclinacao,
assim, e analogo ao conceito de velocidade caracterıstica usado neste trabalho desde
que a contante A nao dependa de Vw.
Para obter a contante C1, TENNEKES [2] plota um grafico de acordo com a
equacao 2.41. Assim, C1 e o valor que faz essa curva melhor se aproximar aos
valores experimentais conforme mostra o grafico da figura 2.4 abaixo obtido por
10
TENNEKES [2], utilizando dados de MIKLEY e DAVIS [7], CLAUSER [8], BLACK
e SARNECKI [9], KAY [10], DUTON [11] e TENNEKES [2]:
Figura 2.4: Velocidade logarıtmica[2].
A figura 2.4 mostra duas curvas para velocidade logarıtmica, uma delas e a
equacao 2.41 com C1 = 0.06 e a outra e uma reta que aproxima os valores expe-
rimentais em um domınio maior. De acordo com TENNEKES [2] para −Vwuτ
> 0.1
seus experimentos indicam que ocorre transicao para escoamento laminar. Assim,
os resultados para a velocidade logarıtmica podem ser resumidos de acordo com as
seguintes expressoes:
w∗ = −0.06u2τ
Vw, 0.04 < −Vw
uτ< 0.1 (2.42)
w∗ = 2.3(uτ + 9Vw) , −0.04 <Vwuτ
< 0.2 (2.43)
Embora a curva da equacao 2.43 abranja um domınio bem maior que o da 2.42,
TENNEKES [2] argumenta que a 2.42 tem uma base teorica mais elegante logo a
2.43 so deve ser usada no domınio que a equacao 2.42 nao cobre.
Juntando as equacoes 2.38, 2.42 e 2.36, a equacao 2.36 do perfil de velocidades
11
fica com a seguinte forma:
Vwu
u2τ
= −0.06 ln
(− Vwy
ν
)+ A (2.44)
Para analisar o valor de A, TENNEKES [2] faz o seguinte grafico adimensional
utilizando dados de KAY [10], DUTON [11] e TENNEKES [2], figura 2.5:
Figura 2.5: Perfis de velocidade: coordenadas alternativas[2]
A figura 2.5 mostra um grafico adimensionalizado de acordo com a equacao 2.6,
com escala logarıtmica na abscisa. Neste grafico foram plotadas retas com inclinacao
de 0.06. Como pode ser observado, os perfis de velocidade nao colapsam em uma so
curva indicando que a A varia com −Vwuτ
.
De acordo com TENNEKES [2] o valor de A tambem depende da rugosidade
na parede e em seus experimentos havia um valor consideravel de rugosidade. Ele
estima que, em seus experimentos, o comprimento caracterıstico da rugosidade de
superfıcie da placa seja de kr = 10−4m resultando em um numero de Reynold de
rugosidade no valor de−Vwkr/ν = 1, valor que, segundo TENNEKES [2], e suficiente
para caracterizar a superfıcie como completamente rugosa. Fazendo uma analogia
entre a lei da parede para o caso com rugosidade,sem injecao ou succao [8, 12], com
a equacao 2.44, ele propoe uma equacao para o perfil de velocidades no caso com
12
rugosidade e com injecao ou succao, equacao 2.45.
Vwu
u2τ
= C ln
(y
kr
)+ A
(Vwuτ
)(2.45)
Utilizando resultados colhidos em seu laboratorio, TENNEKES [2] obtem a ex-
pressao 2.46 para A(Vwuτ
)via um ajuste de curva conforme mostra a figura 2.6.
Figura 2.6: Ajuste grafico para obtencao de A(Vwuτ
)[2]
A
(Vwuτ
)= −11
Vwuτ
+ cnst (2.46)
Supondo que a equacao 2.46 tambem e valida para os casos sem rugosidade,
TENNEKES [2] utiliza os dados experimentais de KAY [10], supostamente validos
para superfıcies lisas, para obter a seguinte expressao para A(Vwuτ
)valida para casos
sem rugosidade.
A
(Vwuτ
)= −11
Vwuτ
+ 0.19 (2.47)
Utilizando as equacoes 2.47 e 2.44, o perfil de velocidades assume a seguinte
13
forma:
Vwu
u2τ
= −0.06 ln
(− Vwy
ν
)− 11
Vwuτ
+ 0.19 (2.48)
Para os casos com succao pequena (−Vwuτ
< 0.04) ou injecao, a figura 2.4 mostra
que a equacao 2.41 nao vale e, alem disso, a expressao 2.48 nao tende para a lei da
parede de PRANTDL [6], equacao 2.40, quando o limite Vw → 0 e tomado. Por
esses motivos, TENNEKES [2] propoe a seguinte expressao 2.49 para o perfil de
velocidade:
u
w∗= ln
(− u2
τy
νw∗
)+ A∗
(Vwuτ
)(2.49)
A equacao 2.49 pode ser usada tanto nos casos com succao moderada (0.04 <
−Vwuτ
< 0.1), baixa succao ou injecao (−0.04 < Vwuτ
< 0.2) ou sem injecao (Vw = 0)
portanto que seja utilizado a velocidade logarıtmica apropriada conforme as equacoes
2.39, 2.42 e 2.43 e tambem de A∗(Vwuτ
)conforme a equacao 2.50 ou 2.51. Vale ressaltar
que a dependencia de A∗ com Vw neste caso tambem usa o mesmo ajuste grafico
equacao 2.46 nos casos com Vw 6= 0. Ou seja, a equacao 2.49 em conjunto com 2.50
e 2.42 se reduz a 2.48. De forma similar, a equacao 2.49 em conjunto com 2.51 e
2.39 se reduz a 2.40.
A∗(Vwuτ
)= −183
Vwuτ
+ 0.33 ; Vw 6= 0 (2.50)
A∗(Vwuτ
)= 3 ; Vw = 0 (2.51)
2.4 Analise critica do conteudo disponıvel na li-
teratura
Nas duas abordagens apresentadas para o calculo do perfil de velocidades media na
regiao completamente turbulenta e necessario a obtencao do valor de uma constante
14
de integracao. Na falta de condicoes de contorno apropriadas para esta regiao, se
faz uso de resultados experimentais para obte-la.
Em ambas as teorias apresentadas os perfis de velocidade nao colapsam em uma
so curva quando plotados num grafico adimensional, indicando que os parametros
caracterısticos do caso sem transpiracao (equacoes 2.27 e 2.21) nao caracterizam o
caso com transpiracao.
u+ =u
uτ(2.27)
y+ =yuτν
(2.21)
Assim, se faz necessario um ajuste grafico como o da figura 2.3 para obter uma
expressao para a constante de integracao.
15
Capıtulo 3
Teoria proposta: calculo do perfil
de velocidades e equacao para o
atrito
3.1 Modelo de turbulencia
Na regiao completamente turbulenta, a tensao turbulenta u′v′ pode ser dividida em
duas parcelas, uma devido a influencia da velocidade de transpiracao Vw.
u′v′ = u′(v′0 + v′w) = u′v′0 + u′v′w (3.1)
Na equacao 3.1, v′w e a flutuacao da velocidade na direcao y devido a transpiracao.
Este termo deve depender de Vw, pois ele e a influencia de Vw na tensao turbulenta.
Ele deve ser zero no caso em que Vw = 0. A partir dessas consideracoes, sera proposto
um modelo linear para variacao de v′w com Vw. O termo u′ sera modelado como sendo
da ordem de uma velocidade caracterıstica uc a ser determinada a posteriori. Assim:
v′w ∝ Vw , u′ ≈ uc , u′v′w = βVwuc (3.2)
Onde β e uma constante de proporcionalidade. Para o o termo u′v′0 sera utilizado
o seguinte modelo, equacao 3.3:
16
u′v′0 = νt∂u
∂y(3.3)
Onde a viscosidade turbulenta e dada pela equacao 3.4:
νt ≈ ucκy (3.4)
Juntando as equacoes de 3.2 ate 3.4 em 3.1, obtem-se a seguinte expressao para
a tensao turbulenta:
u′v′ = ucκy∂u
∂y+ βVwuc (3.5)
3.2 Perfil de velocidades na regiao completa-
mente turbulenta
Substituindo a expressao 3.5 para a tensao turbulenta na equacao da camada limite
2.10 ja desprezando o termo molecular obtem-se a seguinte expressao:
Vwu = ucκy∂u
∂y+ βVwuc − u2
τ (3.6)
A equacao 3.6 pode ser resolvida fazendo a seguinte substituicao de variaveis:
z = Vwu+ u2τ − βVwuc , dz = Vwdu , du =
dz
Vw(3.7)
Usando 3.7 em 3.6:
dy
yκuc=
1
Vw
dz
z(3.8)
1
κuclog y =
1
Vwlog z + C (3.9)
log(y1
κuc ) = log(Cz1Vw ) (3.10)
y1
κucC = z1Vw (3.11)
17
yVwκucC = z (3.12)
Usando 3.7 em 3.12:
yVwκucC = Vwu+ u2
τ − βVwuc (3.13)
Definindo a velocidade e o comprimento adimensional u+ e y+:
u+ =u
uc, y+ =
yucν
(3.14)
De 3.13 temos que:
(y+C)Vwκuc = Vwucu
+ + u2τ − βVwuc (3.15)
u+ =
((y+C)
Vwκuc
1
Vwuc− u2
τ
Vwuc
)+ β (3.16)
u+ =u2τ
ucVw
((y+C)
Vwκuc
1
u2τ
− 1
)+ β (3.17)
A constante C absorve o termo 1u2τ
virando uma nova constante que tambem sera
denominada de C:
u+ =u2τ
ucVw
((y+C)
Vwκuc − 1
)+ β (3.18)
A equacao 3.18 deve tender a lei da logarıtmica de PRANTDL [6] quando Vw
tende a zero! Isso de fato acontece como sera visto na secao 3.4.3.
3.3 Deducao da velocidade caracterıstica
Para obter uma estimativa para a velocidade caracterıstica uc sera utilizado a
equacao 2.10. :
Vwu = −u′v′ + ν∂u
∂y− u2
τ (2.10)
18
Na regiao turbulenta pode-se fazer a seguinte analise de ordens de grandeza:
ord(Vwu) = ord(Vwuc) (3.19)
ord(u′v′) = ord(u2c) (3.20)
ord
(ν∂u
∂y
)� ord(u′v′) (3.21)
Onde uc e uma velocidade caracterıstica do escoamento. Utilizando as equacoes
3.19,3.20, 3.21 e uma constante de proporcionalidade α a expressao 2.10 se reduz a:
αVwuc = +u2c − u2
τ (3.22)
−u2c + αVwuc + u2
τ = 0 (3.23)
A equacao 3.23 e de segundo grau na variavel uc e pode ser resolvida utilizando
a formula de Bhaskara:
uc =αVw ± 2
√α2V 2
w + 4u2τ
2(3.24)
Vale ressaltar que o termo u′v′ e sempre negativo por isso aparece o sinal de
menos na aproximacao u′v′ ≈ −u2c . Outro detalhe e que uma constante de propor-
cionalidade α so foi inserida no termo Vwuc, e nao no termo u′v′ pois no caso limite
em que Vw tende a zero a equacao 3.23 deve tender a do caso sem injecao.
3.4 Casos limite
3.4.1 uτ >> Vw
Neste caso o termo α2V 2w dentro da raiz da equacao 3.24 pode ser desprezado em
relacao ao termo 4u2τ . Assim, a equacao3.24 fica com a seguinte forma:
uc =αVw ± 2
√α2V 2
w + 4u2τ
2≈ α
2Vw ± uτ , uτ >> Vw (3.25)
19
3.4.2 Vw >> uτ
Fazendo a seguinte manipulacao algebrica na equacao 3.24 :
uc =αVw ± 2
√α2V 2
w + 4u2τ
2=αVw ± αVw 2
√1 + 4u2τ
α2V 2w
2(3.26)
Como Vw >> uτ o termo 4u2τα2V 2
we pequeno e e possıvel fazer uma expansao em serie
de Taylor primeira ordem no termo 2
√1 + 4u2τ
α2V 2w
em torno de 4u2τα2V 2
w= 0:
uc =αVw ± 2
√α2V 2
w + 4u2τ
2≈αVw ± αVw
(1 + 2u2τ
α2V 2w
)2
, Vw >> uτ (3.27)
Caso o sinal da raiz quadrada na equacao 3.27 seja o negativo:
uc =αVw − αVw
(1 + 2u2τ
α2V 2w
)2
= −(
1
α
)u2τ
Vw, Vw >> uτ (3.28)
As equacoes 3.25 e 3.28 lembram muito as 2.42 e 2.43 obtidas por TENNEKES
[2]. Caso a constante tenha o valor de α = 18, essa semelhanca e ainda mais evidente,
como mostra a comparacao abaixo:
uc ≈ −0.056u2τ
Vw, Vw >> uτ (3.29)
uc ≈ uτ ± 9Vw , uτ >> Vw (3.30)
Resultados de TENNEKES [2]:
uTennekesc = −0.06u2τ
Vw, 0.04 < −Vw
uτ< 0.1 2.42
uTennekesc = 2.3(uτ + 9Vw) , −0.04 <Vwuτ
< 0.2 2.43
Isso mostra que a expressao 3.24 para a velocidade caracterıstica de certa forma
contem as expressoes obtidas por TENNEKES [2].
20
3.4.3 Vw → 0
Agora sera mostrado que a expressao 3.18 para o perfil de velocidades se reduz a lei
logarıtmica de PRANTDL [6] quando Vw tende a zero, ou seja:
limVw→0
u
uc=
1
κln(yνuτ
)+ 5 , lim
Vw→0uc = uτ (3.31)
Fazendo a seguinte manipulacao algebrica na equacao 3.18:
u+ =u2τ
ucVw
((y+C)
Vwκuc − 1
)+ β (3.17)
u+ =u2τ
κu2c
κucVw
((y+C)
Vwκuc − 1
)+ β (3.32)
Tomando o limite Vw → 0 em ambos os lados e lembrando que o limite do
produto e o produto dos limites:
limVw→0
u
uc= lim
Vw→0
[u2τ
κu2c
]limVw→0
[κucVw
(y+C
Vwκuc − 1
)]+ lim
Vw→0β (3.33)
limVw→0
uc = uτ , limVw→0
β = β (3.34)
u
uτ=
1
κlimVw→0
κucVw
(y+C
Vwκuc − 1
)+ β (3.35)
Utilizando a seguinte propriedade:
ln z = limw→0
1
w(zw − 1) (3.36)
Temos que:
limVw→0
κucVw
((y+C)
Vwκuc − 1
)= ln(y+C) (3.37)
Substituindo (3.37) em (3.35) obtemos:
u
uτ=
1
κln(y+C) + β (3.38)
21
u
uτ=
1
κln(y+) +
(1
κln(C) + β
)(3.39)
Finalmente, para (3.17) tender a lei da parede de PRANTDL [6] quando Vw
tende a zero, temos que:
1
κln(C) + β = 5 (3.40)
Assim, a equacao 3.18 proposta para o perfil de velocidades contem a lei lo-
garıtmica como uma caso particular desde que a relacao 3.40 seja satisfeita.
3.5 Regiao da esteira e equacao para o atrito
A equacao para o perfil de velocidades medio na regiao da esteira pode ser obtido
fazendo a seguinte modificacao na equacao 3.18:
u+ =u2τ
ucVw
((y+C)
Vwκuc − 1
)+ β +
Π
κW(yδ
)+
Π
κW(yδ
)(3.41)
Onde W e a funcao de Coles, Π = 0.55 e o parametro de Coles e Π e um
parametro da esteira devido a transpiracao, que deve tender a zero no limite em que
Vw tende a zero, a ser determinado.
Uma equacao para o fator de atrito pode ser obtida tomando a equacao 3.41 em
y = δ:
U∞uc
=u2τ
ucVw
((δ+C)
Vwκuc − 1
)+ β + 2
Π
κ+ 2
Π
κ(3.42)
Onde δ+ = δuc/ν. Assim, tendo os valores de Vw, U∞, ν, Π e Π se obtem uτ em
funcao de δ+. Os valores de Cf entao podem ser obtidos em funcao do numero de
Reynolds Rδ de acordo com as seguintes relacoes:
Cf2
=( uτU∞
)2(3.43)
Rδ =δU∞ν
(3.44)
22
Capıtulo 4
Resultados
Apos um extenso estudo de uma grande quantidade de dados experimentais dis-
ponıveis na literatura, SQUIRE [13] recomenda os dados obtidos por ANDERSEN
et al. [4] para injecao e de SIMPSON [14] para succao. Por esse motivo, esses dados
serao usados para testar a teoria proposta.
A figura 4.1 mostra 13 perfis de velocidades com valores de Vw/U0 diversos plo-
tados de acordo com a equacao 3.18. Foi utilizado os valores de α e C conforme a
equacao 4.1 e β conforme 3.40.
α = 3.41, C = 0.22 (4.1)
A figura 4.2 mostra os dados experimentais de ANDERSEN et al. [4] nas coorde-
nadas da teoria classica. Foi dado um zoom na reiao turbulenta. O grafico da direita
usa uτ como velocidade caracterıstica, assim u+ e y+ sao dados pelas equacoes 2.27 e
2.28. Ja o grafico da esquerda usa uc da equacao 3.24 como velocidade caracterıstica.
E possıvel reparar que quando uc e utilizado como velocidade caracterıstica os perfis
colapsam bem mais. Alem disso, eles colapsam numa reta que faz o valor de A da
equacao 2.24 seja A = 5. Isso faz com que essa equacao tenda para a lei logarıtmica
quando Vw tende a zero.
23
Figura 4.1: Perfis de velocidade nas novas coordenadas.α = 3.41, β = 8.7,C = 0.22
Figura 4.2: Perfis de velocidade nas coordenadas classicas: duas adimensionalizacoes
diferentes
24
Na figura 4.1 os perfis de velocidade parecem colapsar muito bem, com excecao
do perfil com VwU0
= 0.00798. Este e o perfil com valor mais alto da velocidade de
injecao. Ele tem a forma muito diferente dos demais perfis que possuem varias
curvas, este parece uma grande reta com uma pequena curvatura so na regiao da
esteira. Isso da indıcios que este perfil nao esta completamente desenvolvido, logo,
a analise feita neste trabalho nao se aplica a ele. Alem disso, quando e feito balanco
de quantidade de movimento com os dados obtidos para este valor de Vw se obtem
resultados negativos para o coeficiente de friccao, indicando que eles nao sao tao
confiaveis quanto os outros[13].
Outros dois perfis que parecem na se ajustar completamente a teoria desenvolvida
sao os com alto valor de coeficiente de succao Vw/U0 = −0.0040 e Vw/U0 = −0.0045.
Para estes perfis, parece que ocorre transicao para escoamento laminar[1], assim a
teoria proposta nao e aplicavel para estes casos. A figura 4.3 mostra somente os
perfis que se ajustam bem a teoria desenvolvida.
Figura 4.3: Perfis de velocidade nas novas coordenadas.α = 3.41, β = 8.7,C = 0.22
Utilizando a equacao 3.42 com valores experimentais de δ e Cf , o parametro Π
25
pode ser calculado para diferentes valores de Vw/U∞ e um ajuste grafico pode ser
feito para obter uma relacao entre Π e Vw/U∞ como mostra a figura 4.4. A figura
4.5 compara resultados experimentais de ANDERSEN et al. [4] com os da equacao
3.42. Como pode ser visto, a concordancia dos resultados e muito boa.
Figura 4.4: Valores medios de Π versus Vw/U∞
Figura 4.5: Comparacao dos resultados experimentais de ANDERSEN et al. [4] com
a equacao 3.42.
26
Tabela 4.1: Comparacao dos resultados experimentais de SIMPSON [14] com a
equacao 3.42.
Vw/U∞ 104 Cf/2 104 experimental Cf/2 104 calculado Rδ
0.0 17.6 15.7 31016
0.0 16.5 15.0 40112
−11.0 24.4 22.9 16145
−25.1 33.2 32.6 11430
−23.8 29.0 30.1 16606
−40.0 45.0 67.0 1113
−45.0 45.0 76.7 1200
A tabela 4.1 mostra uma comparacao dos resultados experimentais de SIMPSON
[14] com o da equacao 3.42. Como pode ser visto, a concordancia dos resultados
e boa com excecao dos dois casos com alta succao, aonde parece ter ocorrido uma
laminarizacao do escoamento.
27
Capıtulo 5
Conclusoes
Neste trabalho foi desenvolvido uma nova teoria para o calculo do perfil de veloci-
dades medio e de uma equacao para o coeficiente de arrasto em escoamentos com
transpiracao. Foi mostrado que a equacao obtida para o perfil de velocidades con-
tem a lei logarıtmica como um caso particular. Alem disso, a expressao 3.24 obtida
para a velocidade caracterıstica tende para as expressoes 2.42 e 2.43 obtidas por
TENNEKES [2] nos casos limite.
A teoria desenvolvida foi testada utilizando os dados experimentais obtidos por
ANDERSEN et al. [4] e SIMPSON [14] apresentando boa concordancia. Os perfis
de velocidades quando plotados em um grafico devidamente adimensionalizado co-
lapsam em uma so curva indicando que o efeito da transpiracao foi completamente
capturado pela teoria proposta.
28
Referencias Bibliograficas
[1] SILVA-FREIRE, A. P. “An asumptotic solution for transpired turbulent boun-
dary layers”, Heat Mass Transfer, v. 31, n. 5, pp. 11, 10 1988.
[2] TENNEKES, H. Similarity Laws for Turbulent Boundary Layers with Suction or
Injection. In: Report VTH-119, Technology University Delft, Department
of Aeronautical Engineering, Delft, the Netherlands., 1964.
[3] INCROPERA, D. P., DEWITT, F. P. Transferencia de Calor e Massa. 5 ed.
Rio de Janeiro, LTC Editora S.A., 2003.
[4] ANDERSEN, P. S., KAYS, W. M., MOFFAT, R. J. The turbulent boundary
layer on a porous plate: an experimental study of the fluid mechanics for
adverse free stream pressure gradients. In: Report HMT-15, Stanford
University, 1972.
[5] STEVENSON, T. N. A law of the wall for turbulent boundary layers with injec-
tion and suction. Relatorio Tecnico 166, Cranfield College of Aero Rep
Aero, 1963.
[6] PRANTDL, L. “The Mechanics of Viscous Fluids”, W.F. Durand, Aerodynamic
Theory, v. III, n. Section G, pp. 34–208, 1935.
[7] MIKLEY, H. S., DAVIS, R. S. Momentum Transfer over a Flat Plate with
Blowing. In: Report NACA TN 4017, 1957.
[8] CLAUSER, F. H. “The Turbulent Boundary Layer”. v. IV, Advances in Applied
Mechanics, Academic Press, pp. 1–51, New York, 1956.
[9] BLACK, T. J., SARNECKI, A. J. The Turbulent Boundary Layer with Suction
or Injection. In: Report ARC 20, 501, (FM2745), 1958.
[10] KAY, J. M. Boundary Layer Flow with Uniform Suction. In: Report ARC R
and M 2628, 1948.
[11] DUTON, R. A. The Efects of Distributed Suction on the Development of Tur-
bulent Boundary Layers. In: Report ARC 20, 036, (FM2671), 1958.
29
[12] HINZE, J. O. Turbulence. 2 ed. New York, McGraw-Hill Book Co., 1959.
[13] SQUIRE, L. C. Turbulent boundary layers with suction or blowing. In: Re-
port Conference on Data and Computation for Complex Turbulent Flow,
Cambridge University Engineering Department, 1980.
[14] SIMPSON, R. L. The turbulent boundary layer on a porous plate: an expe-
rimental study of the fluid dynamics with injection and suction. Ph.d.
thesis, Stanford Univ., Stanford, 1967.
30