5. escoamentos internos 5.1. introdução neste capítulo serão estudados os efeitos da viscosidade...
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5. ESCOAMENTOS INTERNOS
5.1. Introdução
Neste capítulo serão estudados os efeitos da viscosidade em escoamentos internos e incompressíveis.
Compreende:
Escoamento em:
tubos circulares
dutos não circulares
canais abertos (Hidráulica)
O escoamento de fluidos viscosos se dá em dois regimes:
laminar e
turbulento.
O parâmetro empregado para identificar o regime de escoamento é o número de Reynolds.
ascosvisForçasinérciadeForçasVVRe
Quando essa razão torna-se grande, é esperado que as forças de inércias predominem sobre as forças viscosas.
Essa situação ocorre em mudanças de geometria repentinas (perdas localizadas).
Não é o caso de tubos longos ou canis abertos, onde os efeitos viscosos predominam (perdas distribuídas).
Tubos Re < 2000 escoamento laminar
Canal largo Re < 1500 escoamento laminar
u = u(y)
espessura da camada limite
(região na qual ocorre 99% da variação da velocidade)
= (x)
V = cte. V
y
x
Camada limite
5.2. Escoamento de Entrada e Escoamento Totalmente desenvolvido
Camada limite
Camada Limite laminar
y
x
Sub camada laminar
V
T
u = u(y)
C. L. laminar C. L. turbulenta
transição
V
u = u(y)
Camada limite turbulenta
V = cte.
T
T
Vmáx
Estabelecimento de um escoamento laminar em um tubo
Núcleo sem efeitos viscosos; du/dy = 0.
Re065,0DLE
V = cte.
TVmáx
Estabelecimento de um escoamento turbulento
T
Escoamento laminar Sub camada laminar
Escoamento turbulento
D120LE
n/1
0máx )
rr1(u)r(u
5.3. Escoamento Laminar em um Tubo
5.3.1. Abordagem elementar
Hipótese:
• regime laminar (totalmente desenvolvido),
• regime permanente e
• incompressível.
Um volume elementar do fluido é mostrado na Fig. 7.4.
Se o diâmetro é constante em um escoamento permanente e incompressível, é sinal que a aceleração em x é nula.
Assim, considerando a 2ª Lei de Newton, vem:
0sendxrdxr2r)dpp(rp 222 dividindo por r,
0)dxdh(dxrdx2dpr
dhsendx dxdhsen
0)dxdh(dxrdx2dpr
)dhdp(2rdx )hp(d
2r
ou:
)hp(dxd
2r
Escoamento laminar ou turbulento
Para escoamento laminar unidimensional, considera-se a Lei da viscosidade de Newton.
dydu
Onde y = 0 na parede e cresce para dentro do escoamento.
Com estas considerações a Lei de viscosidade de Newton, passa a ser escrita como:
drdu
Na Eq. anterior, vem:
)hp(dxd
2r
drdu
• u = u(r) não depende de “x”
• (p + h) = p* pressão de movimento
• p* = p*(x) não depende de “r”
Como no problema em estudo a variável é o raio (r), há necessidade de se proceder a uma mudança de variável.
rry 0 drdy
Considerando a condição de contorno:
p/ r = r0 u = 0 (parede do tubo condição de aderência).
A)hp(dxd
4r0
20
)hp(dxd
4rA
20
)rr)(hp(dxd
41u 2
02
perfil parabólico.
Escoamento de Poiseuille.
Jean L. Poiseuille (1799 – 1869).
Separando as variáveis e integrando,
drr)hp(dxd
21du A)hp(
dxd
4ru
2
5.3.2 Resolvendo as equações de Navier–Stokes5.3.3. Quantidades do escoamento em um tubo
• Velocidade média V
Pelo teorema do valor médio,
dA = 2r dr
r
dr
r0
AQdAu
A1V
A
0r
020
drr2ur1V
0r
0
20
220
drr)rr(dx
)hp(d41
r2V
0r
0
20
320
dr)rrr(dx
)hp(dr2
1V
0r
0
20
320
dr)rrr(dx
)hp(dr2
1V
0r
0
220
4
20 2
rr4r
dx)hp(d
r21V
dx
)hp(d8r20
No caso de tubos horizontais
h = Cte. dh = 0.
Para escoamento totalmente desenvolvido,
de modo que:.Ctedxdp
x
p
dx
p + dp
Lp p - p
p queda de pressão.
1 2
dxp)dpp(
Lp)pp(
Lp
dxdp
Assim, para tubos horizontais
ou, explicitando a queda de pressãoLp
8rV
20
20r
LV8p
A vazão será de:
Lp
8)2D(
4DAVQ
22
L128pDQ
4
Eq. de Hagen-Poiseuille.
Para tubos inclinados basta substituir “p” por “p + h”.
A velocidade máxima ocorre no centro do tubo (r = 0).
Ou seja:
dx)hp(d
4ru
20
máx
)rr)(hp(
dxd
41u 2
02
Foi visto que:
dx)hp(d
8rV
20
máxu21V
Lp
8rV
20
No caso do escoamento em tubos, foi mostrado que a tensão de cisalhamento é dada por:
drdu
dx
)hp(d2r
Na parede do tubo, r = r0 e = 0, de modo que:
dx)hp(d
2r0
0
Lp
2r0
0
0
rL2p
x
= (r) distribuição linear.
0
0
r
Lp
2r
Seja:
f fator de atrito (tensão de cisalhamento adimensional).
Com:
281
0
Vf
Considerando que,
p queda de pressão (perda).
Tem-se:
0
0L r
L2hp
DL4 0
g
VDL
8f4 2
g2V
DLfh
2
L Eq. de Darcy-Weisbch
Henri P. G. Darcy (1803 – 1858); Julius Weisbach (1806 – 1871).
Combinado a Eq. abaixo com a Eq. de Darcy-Weisbach
20r
LV8p
g2V
DLfh
2
L 20rLV8
2DLV32
g2
VDL
DV64 2
Portanto, para o escoamento laminar, tem-se:
Re64f
Observa-se, ainda, que para o escoamento laminar a perda de carga varia linearmente com a velocidade.
p
Exemplo 7.1
Um tubo horizontal de diâmetro pequeno é conectado a um reservatório, como mostra a Fig. E7.1. Se 6600 mm3 são capturados na saída em 10 s, estime a viscosidade da água.
FIGURA E7.1
Dados: = 6600 mm3 = 6,60·10-6 m3,t = 10 s,
L = 1,20 m,D = 1 mm = 10-3 m,
H = 2,0 m.Solução:
Escoamento viscoso Equação da Energia.
L1
211
0
200 hz
g2Vpz
g2Vp
= 0 = 0 = 0 = 0 = 0Hzh 0L
.s/m1060,610
1060,6t
Q 376
13821008,610101060,64
DQ4DVRe 43
37
Re < 2000 escoamento laminar. OK!
Hagen – Poiseuille
Lp
128DQ
4
Lp
Q128D4
20,1
21081,91060,6128)10( 3
7
43
smkg1008,6 4
Exemplo 7.2
Obtenha uma expressão para a distribuição de velocidades entre tubos horizontais e concêntricos, no caso de um escoamento permanente, incompressível e totalmente desenvolvido (Fig. E7.2).
(regime laminar)
r2
r1
u(r)
x
FIGURA E7.2
r2
r1 r
dr
dx
Solução:
x
dA = 2r dr
Considerando a Eq. da continuidade
0zw
yv
xu
0
xu
mas: v = w = 0
)dxxpp(drr2
drr2p
dr)dxr2(r
dxr2
dxr2
Ou seja: u = cte. em x. Então: ax = 0.
Da Lei de movimento de Newton,
0]dr)dxr2(r
dxr2[dxr2)dxxpp(drr2drr2p
dxdrr2d 0)r(rr
dxdrr2xpdxdrr2
0)r(rr
1xp
)r()x(pp
com
0)r(ddrdxdpr
Ardxdp
2r2
drdu
Considerando a Lei da viscosidade de Newton (Laminar)
Adrdur
dxdp
2r2
r
dr
dx
)dxxpp(drr2
drr2p
dr)dxr2(r
dxr2
dxr2 integrando,
0urr0urr
:contornodeCondições2
1
rdrAdr
dxdp
2rdu
BrlnAdxdp
4ru
2
BrlnAdxdp
4r0 1
21
1
2BrlnAdxdp
4r0 2
22
2 1 )rlnr(lnAdxdp)rr(
410 12
21
22
integrando,
O que leva a:
2
Brlndxdp
)rrln(rr
41
dxdp
4r0 2
12
21
22
22
222
12
21
22 rrln
)rrln(rr
dxdp
41B
2
2212
21
22
12
21
222 rrln
)rrln(rrrln
)rrln(rrr
dxdp
41u
221
21
222
22
rrln
)rrln(rrrr
dxdp
41u
dxdp
)rrln(rr
41A
12
21
22
De
?drrrlnrI2
22 r
drduurr
2
1uln2urduulnur
rdr
rrln
rrrI
222
22
222
22
21
rrln
2r
21
rrln
rr
2rI
2
2
222
222
Para se obter a vazão, integra-se a distribuição de velocidades
2
1
r
rAdrr2udAuQ
2
1
r
r221
21
222
23 dr
rrlnr
)rrln(rrrrr
dxdp
2Q
2r
2rr
)rrln(4rr
2rr
4r
4r
dxdp
2Q
41
22
21
21
221
22
22
21
41
42
)rrln(
rrrrdxdp
8Q
12
221
224
142
2
1
r
r2
2
21
21
22
222
4
21
rrln
2r
)rrln(rr
2rr
4r
dxdp
2Q
2rr
2r
4r
4r
dxdp
2Q
22
21
42
41
42
= 0
4r
rrln
2r
4r
)rrln(rr
2rr
4r
4r
dxdp
2Q
21
2
12
122
21
21
22
22
21
41
42
21
rrln
2r
21
rrln
2r
)rrln(rr
2
12
1
2
222
21
21
22
Incompressível;
permanente;
totalmente desenvolvido.
5.4. Escoamento Laminar entre Placas Paralelas
5.4.1. Abordagem elementar
Escoamento:
Figura 7.5 Escoamento totalmente desenvolvido
dxdhsen
U
Considere a Lei de movimento de Newton na direção “x”.
0sendzdydxdzdx)d(dzdxdzdy)dpp(dzdyp
0sendzdydxdzdxddzdydp dzdydxpor
sen
dxdp
dyd
dxdh
dxdp
dx
)hp(d
Uma vez que “d(p + h)/dx = Cte.” em y, vem:
dydx
)hp(dd integrando,
dzdyp
dzdy)dpp(
dzdx)d(
dzdx
dzdydx
Aydx
)hp(d
mas,
dydu
Lei de Newton da viscosidade.
dyAdyydx
)hp(d1du
integrando,
ByAdx
)hp(d2yu
2
Levando em conta as condições de contorno,
• p/ y = 0 u = 0 e B = 0.
• p/ y = a u = U. Então:
aAdx
)hp(d2aU
2
dx
)hp(d2a
aUA
dx)hp(d
2yay
aU
dx)hp(d
2yu
2
yaU)yay(
dx)hp(d
21u 2
Escoamento com:
• U 0
•
• U = 0
•
0dx
)hp(d
Escoamento de Couette.
0dx
)hp(d
Escoamento de Poiseuille.
5.4.2. Integrando as equações de Navier–Stokes
5.4.3. Situação de escoamento simplificado
A distribuição de velocidades entre placas fixas é obtida fazendo U = 0.
)yay(dx
)hp(d21)y(u 2
A vazão é obtida da equação:
A
dAuQ dA = 1dy (unidade de largura)
a
0
2 dy)yay(dx
)hp(d21Q
dx)hp(d
12aQ
3
a
0
23
)2ya
3y(
dx)hp(d
21
Por outro lado, a velocidade média é dada por:
dx)hp(d
12a
1aQ
AQV
2
Para o caso de placas horizontais, h = Cte. e:
Lp
dxdp
de modo que:
2aLV12p
A velocidade máxima é encontrada a partir da distribuição de velocidades.
)yay(L2pu 2
0)ay2(L2p
dydu
2aye
Logo, a velocidade máxima ocorre no meio da distância entre as placas.
Lp
8a)
2a
4a(
L2pu
222
máx
V23
LaVL12
8au 2
2
máx
Assim, a velocidade média é
máxu32V
A tensão de cisalhamento pode ser encontrada
dydu
)ay2(L2p
)ay2(L2p
Considerando as condições de contorno,
• p/ y = 0 = 0.
• p/ y = a = 0.
Uma vez que = (y) é uma distribuição linear, vem:
x
0
0
y
a
Na parede, na qual y = 0, resulta:
Lp
2a
0
A queda de pressão em um comprimento L de um trecho horizontal é
La
2p 0
Considerando o fator de atrito (tensão de atrito adimensional), introduzida no item 5.3.3, vem:
20
V8f
2VL
pa4
22aVLaLV48f
2aLV12p
mas,
então
Va48
Re48
Re
Perda de carga
2L aLV12ph
gV
aL
aV1
448 2
g2
Va2
LRe48 2
g2V
a2Lfh
2
L Eq. de Darcy-Weisbch
Exemplo 7.3Água a 15° C escoa com um número de Reynolds de 1500, entre placas horizontais de 500 mm de largura, como mostra a Fig. E7.3. Calcule: a) a vazão, b) a tensão de cisalhamento na parede, c) a queda de pressão sobre 3 m, e d) a velocidade em y = 5 mm.
3,00 m
13 mm
Figura E7.3
Dados:T Re b L y a
15º 1500 500 3,00 5,00 13,00C / mm m mm mm
0,500 0,005 0,013 m m m
a)
aVRe
Solução:
= 999,1 kg/m3;Água a 15° C = 1,128·10-3 kg/(m s).
a
ReV1,999013,0
10128,11500 3
.s/m1317,0
Lp
2a
0
2aV12
Lp
Pa97,3100,366,10LLpp
b)
c)
)ayy(Lp
21)ayy(
dxdp
21u 22
d)
)005,0013,0005,0(66,1010128,12
1u 23
2
3
013,01317,010128,112
m/Pa66,10
66,102013,0
.m/N06927,0 2
.s/m1870,0
Exemplo 7.4Encontre uma expressão para o gradiente de pressão que resulte em uma tensão de cisalhamento igual a zero na parede inferior de duas placas paralelas, na qual y = O; esboce também os perfis de velocidade para uma velocidade U da placa superior, com vários gradientes de pressão. Suponha placas paralelas horizontais.
Figura E7.4
Uy
x
U
0dydu
Solução:
yaU)ayy)(hp(
dxd
21)y(u 2
Placas horizontais, logo dh/dx = 0 e,
yaU)ayy(
dxdp
21)y(u 2
A tensão de cisalhamento é dada pela Lei de Newton.
dydu
= 0 em y = 0 , então du/dy = 0 em y = 0 ( 0) e:
0aU)a(
dxdp
21
dydu
0y
de modo que,
2aU2
dxdp
Se dp/dx é maior que esse valor, a inclinação du/dy, em y = 0 é negativa e assim, a velocidade u será negativa perto de y = 0.
Se dp/dx = 0, observa-se que resulta uma distribuição de velocidades linear, isto é,
aU)ay2(
dxdp
21
dydu
yaU)y(u
Se dp/dx é negativo, u(y) é maior que a distribuição linear em cada localização y, pois (y2 – ay) é uma quantidade negativa para todos os y de interesse.
5.5. Escoamento Laminar entre Cilindros em Rotação
5.6. Escoamento Turbulento em um Tubo
O estudo de um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo circular é de substancial interesse em escoamentos reais.
Na prática a maioria dos escoamentos se dão em tubos circulares.
Laboratórios Escoamento laminar Re 40.000.
Na prática sob condições de
operação padrão Re 4.000 Esc. turbulento
2.000 < Re < 4.000 o escoamento oscila ao acaso entre laminar e turbulento.
Em termos práticos:
• Re = 2.000 – limite inferior para o escoamento turbulento
• Re = 4.000 – limite superior para o escoamento laminar.
Considere por exemplo, água a 20º C escoando em um tubo com diâmetro de 5 mm.
• Água a 20º C = 10-6 m2/s.
DVRe .s/m80,0105
100004D
ReV 3
6
Na maioria das situações de engenharia o regime de escoamento é turbulento.
Em um escoamento turbulento todos os três componentes da velocidade são diferentes de zero.
Com os componentes medidos em função do tempo, gráficos semelhantes aos da Figura 7.7 são obtidos para o escoamento em um tubo em que u, v e w são os componente da velocidade nas direções x, r e , respectivamente.
Figura 7.7 Componentes da velocidadeRaramente existe algum interesse (para o engenheiro) nos detalhes das flutuações aleatórias dos componentes da velocidade.
Assim, é introduzido a noção de uma quantidade média no tempo.
'uuu
'vvv
'www
Tomando o componente u como exemplo, a média temporal é definida como:
T
0
dt)t(uT1u
Onde “T” deve ser suficientemente grande, para eliminar toda a dependência do tempo.
Em um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo,
0u
0v
.0w
Exemplo 7.7
Mostre que para um escoamento turbulento.,yu
yue0u
Solução:
'uu)t(u T
0dt)t(u
T1u
T
0
T
0
T
0dt'u
T1dtu
T1dt)'uu(
T1u 'uu'udt
T1u
T
0
0u'uuuu 0'u
?0'u a)
onde,
Tomando a média temporal da derivada du/dy,
T
0dt
yu
T1
yu u
yudt
T1
yT
0
b) ?yu
yu
yu
yu
Já que T é constante. Então:
5.6.1. Equação diferencial
Figura 7.8 Escoamento turbulento em um tubo horizontal
Considere um escoamento turbulento em um tubo horizontal
Partículas de fluido movendo através da área elementar dA, troca q.d.m. com as camadas adjacentes.
O componente em x da força devido ao movimento aleatório de uma partícula de fluido passando através da área dA é:
'udA'vdF
u’ flutuação da velocidade em x.
v’dA fluxo de massa através do elemento de área.
Veja que:
u’
v’Pela continuidade,
um v’ (+), produz um u’ (-).
Portanto u’v’ (-).
dA
Dividindo por dA,
'u'vdAdF
turb tensão de cisalhamento turbulenta.
Cuja média temporal é:
'u'vturb
Observe que:
0'w'u
0'w'v
(u = Cte. em ).
(v = Cte. em ).
Não altera a energia da camada adjacente, portanto o cisalhamento é nulo, (mesma velocidade em ).
A tensão de cisalhamento total em uma localização particular é devido à viscosidade e a troca de quantidade de movimento descrita.
turblam
'u'vyu
Já foi mostrado que:
L2pr
dxpd
2r
Viu-se que a tensão de cisalhamento é linear, tanto para o escoamento turbulento, quanto para o escoamento laminar.
Figura 7.9.
Figura 7.9 Distribuição da tensão de cisalhamento
u’ = 0 na parede, portanto:
na parede.
Fora da sub-camada laminar (viscosa)
0turb
.0lam !0yu
Considerando o raio do tubo no lugar de y, vem:
rry 0 ,edrdy
'u'vyu
'u'vru
dx
pd2r
'u'vru
dxpd
2r
A primeira tentativa para exprimir a tensão de cisalhamento no escoamento turbulento foi feira por Boussinesq, que, seguindo o modelo do escoamento laminar, escreveu:
dyud'v'uturb
drud
Ou seja:
drud
ru
dxpd
2r
drud)(
De modo que:
drud)(
dxpd
2r
Prandtl introduziu o “comprimento de mistura” “m” e sugeriu que a variação de velocidade sofrida por uma partícula fluida que se move na distância m é proporcional a u’ e v’.
Isto é:
dyud'u
dyud'v
Com este raciocínio e associando o coeficiente de proporcionalidade ao comprimento de mistura, vem:
22mturb dy
ud'v'u
De modo que:
dyud2
m
Comparando as propriedades do perfil de velocidades na turbulência com as variações de m em função de y, Von Kármán (1936) propôs a seguinte relação:
22uvm dyuddyudK
Onde Kuv é uma constante (adimensional) da turbulência.
Por outro lado, medidas experimentais demonstram que Kuv não é estritamente constante.
Exemplo 7.8Note que na Fig.7.9b há uma região perto da parede onde o cisalhamento turbulento está próximo de seu máximo e é relativamente constante, como mostra a Fig. E7.8, e o cisalhamento viscoso é bastante pequeno. Suponha que o comprimento de mistura seja diretamente proporcional a distância da parede. Com essa hipótese, mostre que a distribuição de velocidades é logarítmica nessa região perto da parede.
Figura E7.8 Solução:Cisalhamento viscoso desprazível, então
turbturblam
yc2m
22mturb dy
ud'v'u
Por outro lado, viu-se que:
Por hipótese, o cisalhamento turbulento é relativamente constante, ou seja:
1turb c.cte
Lembrando que o comprimento de mistura é tomado diretamente proporcional a distância da parede, então:
222
21 dyudycc
substituindo, vem
extraindo a raiz quadrada,
32
1 cc1c
dyudy
separando as variáveis,
43 cylnc)y(u
O que mostra que um perfil logarítmico é previsto para a região de tensão de cisalhamento turbulento constante.
ydycud 3 integrando, resulta:
5.6.2. Perfil de velocidades
Figura 7.10 a) Superfície lisa b) Superfície rugosa
O perfil da média da velocidade no tempo é sensível a altura média da rugosidade “e”.
Vide Fig. 7.10.
Como observado no item anterior, o cisalhamento laminar é significativo apenas perto da parede, na subcamada viscosa com espessura .
Se a espessura é suficientemente grande, ela sobrepõe os elementos de rugosidade da parede de tal forma que eles têm efeito desprezível sobre o escoamento; é como se a parede fosse lisa.
Tal condição é muitas vezes citada como hidraulicamente lisa.
Por outro lado, se a subcamada viscosa é relativamente fina, os elementos de rugosidade projetam-se para fora dessa camada e a parede é considerada hidraulicamente rugosa.
A rugosidade relativa “e/D” e o número de Reynolds, podem ser usados para determinar se um tubo é liso ou rugoso.
Como u’v’ não pode ser determinado analiticamente, não se tem uma equação analítica para a distribuição de velocidades no escoamento turbulento.
O primeiro método para expressar empiricamente a distribuição de velocidades, envolve escoamentos com paredes lisas e escoamentos com paredes rugosas.
Se o escoamento tem paredes lisas, como na Fig. 7.10a, identifica-se duas regiões do escoamento:
• a região da parede e
• a região externa.
Na região da parede, a velocidade e o comprimento característico são:
• velocidade de atrito e
• comprimento de viscosidade.
0u
uObserve que:
s
mmkg
smkgu 32
mms
smu
2
Expressões empíricas para o perfil de velocidadesTubos lisos:
yuuu 5yu0
Subcamada viscosa.
9,4uln44,2uu
15,0ry;yu300
No intervalo 5 < uy/ < 30 (zona intermediária), os dados experimentais não se ajustam a nenhuma das curvas anteriores, mas unem as duas curvas como mostra a Fig. 7.11.
Figura 7.11 Relações empíricas para o esc. Turbulento a) turbulento liso
A subcamada viscosa tem espessura .
É na subcamada viscosa que se imagina que a turbulência seja iniciada.
Essa camada possui uma distribuição de velocidades média no tempo linear, mas instantaneamente a camada é altamente dependente do tempo.
O limite externo da região da parede é completamente dependente do número de Reynolds, conforme mostrado.
Para Reynolds baixo ele pode ser localizado perto de uy/ = 3000.
Tubos rugosos:Neste caso a subcamada viscosa não é importante, pois a turbulência inicia-se a partir dos elementos de rugosidade da parede que se projetam para fora desta subcamada, de forma que é necessário apenas um perfil logaritmo na região da parede.
O comprimento característico passa a ser a altura média da rugosidade “e”.
Assim:
5,8eyln44,2
uu
15,0ry
0
(região da parede)
Na região externa o comprimento característico é r0, Fig. 7.11b.
Figura 7.11 Relações empíricas para o esc. Turbulento b) turbulento rugoso
A deficiência de velocidade é normalizada com u.)uu( máx
8,0yrln44,2
uuu 0máx
15,0ry
0
(região externa)
Uma equação empírica adicional é necessária para completar o perfil para 0,15 < y/r0 1.
A região da parede e a região externa sobrepõe-se, como mostrado na Fig. 7.11a.
Na região de sobreposição
7,5rruln44,2
uu 0máx
(tubos lisos)
3,9erln44,2
uu 0máx
(tubos rugosos)
Para calcular umáx, deve-se conhecer u.
Para calcular u, deve-se conhecer 0.
0 é calculado a partir do gradiente de pressão,
dxdp
2r0
0
Ou do fator de atrito,
8Vf
2
0
Quando nem dp/dx, nem f são conhecidos, pode-se usar a lei de potência.
n/1
0máx ry
uu
(perfil da lei de potência)
Com 5 n 10.
Considerando esta distribuição de velocidades, a velocidade média é calculada.
0r
020
drr2)r(ur1V
Fazendo uma mudança de variável, com:
n/1
0máx ry
uu
n/1
0
0
rrr
n/1
0máx r
r1uu
0r
0
n/1
020
máx drrrr1
ru2V
arr10
0r
drda
Os novos limites de integração, serão:
• para r = 0 a = 1
• para r = r0 a = 0.
Com r = r0(1 – a), vem:
0
100
n/120
máx da)r)(a1(raru2V
1
0
1n1
n/1máx da)aa(u2V
1
0
2n11
n1
máx a2
n1
1a1
n1
1u2V
)1n2)(1n()1n1n2(nu2 máx
máx
2
u)1n2)(1n(
n2V
Figura 7.12 Perfil de velocidades turbulento
Re 4·103 105 106 > 2·106
n 6 7 9 10
Tabela 7.1 Expoente n para tubos lisos
A distribuição de velocidades é comparada com o perfil laminar na Fig. 7.12.
Por seu lado, n é relacionado ao fator de atrito f, pela expressão empírica
f1n
Observações:O perfil da lei de potência não pode ser usado para obter a inclinação na parede, pois sempre fornecerá:
parededy
ud (não pode ser usado)
Do mesmo modo,
0dyud
centro
(não pode ser usado)
0 é calculado pela expressão:
.8Vf
2
0
Fatores de correção da energia cinética “”.
n = 5 = 1,11
n = 7 = 1,06
n = 10 = 1,03.
Portanto, 1, para n > 7.
Exemplo 7.9A água a 20°C escoa em um tubo de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de 1,6 m/s. Se os elementos de rugosidade têm 0,046 mm de altura, a parede é considerada lisa ou rugosa? Tome como referência a Fig.7.10
Dados:Ta D V e20º 10-6 103 10 1,60 0,046C m2/s kg/m3 cm m/s mm 0,100 0,000046
m m
Solução:Da Fig. 7.11
5yu
56 1060,1
1010,06,1DVRe
Da Tabela 7.1, para Re = 1,6·105 tem-se n 7,5. Assim
018,05,71
n1f 22
Da definição do fator de atrito
22320 m/N80,5018,060,110
81fV
81
limite da subcamada viscosa (y = )
A velocidade de atrito será
.s/m076,010
8,5u 30
E a espessura da subcamada viscosa
m106,6076,0105
u5 5
6
e = 0,046 mm < = 0,066 mm. Portanto, a superfície é lisa.
.mm066,0
Exemplo 7.10O tubo liso horizontal de 4 cm de diâmetro da Fig. E7.10 transporta 0,004 m3/s de água a 20º C. Usando o perfil da lei da potência, faça uma aproximação para: a) o fator de atrito, b) a velocidade máxima, c) a posição radial em que u = V, d) o cisalhamento na parede, e) a queda de pressão sobre um comprimento de 10 m e f) a velocidade máxima usando a Eq. 7.6.16.
Figura E7.10
D Q Ta g L 4 0,004 20º 10-6 103 9,81 10
cm m3/s C m2/s kg/m3 m/s2 m0,040
m
Dados:
Solução:a) Cálculo do fator de atrito
.s/m18,304,0004,04
DQ4V 22
56 1027,1
1004,018,3DVRe
Da Tabela 7.1, para Re = 1,27·105 tem-se n 7,5. Assim
018,05,71
n1f 22
b) Cálculo da velocidade máxima
18,35,7
)15,72)(15,7(Vn2
)1n2)(1n(u 22máx
c) Cálculo da posição radial em que u = V
n/1
0máxmáxmáx ry
uV
uu
uu
.s/m84,3
5,7n
máx0 84,3
18,3204,0
uVry
Ou, y = 0,49 cm..m0049,0
Assim, a posição radial será:
.cm51,149,02yrr 0
d) Cálculo do cisalhamento na parede
fV81 2
0
e) Cálculo da queda de pressão
0
0
rL2p
223 m/N0,23018,018,31081
Pa2300002,0
100,232
.kPa23pou
f) Cálculo da velocidade máxima usando a fórmula 7.6.16
s/m152,010
0,23u 30
7,5rln44,2u
u 0máx
)7,5ruln44,2(uu 0máx
)7,510
02,0152,1ln44,2(152,0 6
.s/m84,3
5.6.3. Perdas em um escoamento totalmente desenvolvido em um tuboConsiderando a Eq. Da energia em um tubo retilíneo, sem adição ou extração de energia, vem:
L2
222
1
211 hh
g2Vph
g2Vp
)hh(pph 2121
L
Equação de Darcy-Weisbach
)g,,e,D,V,,(Fh 1L
n = 8
m = 3 n – m = 8 – 3 = 5 parâmetros .
)hp()hp( 2211
)hp(
D [D] = [L] L = D
[] = [ML-3] M = D3
V [V] = [LT-1] T = DV-1
m = 3 3 grandezas de base
1) [] = [ML-1T-1] = D3D-1D-1V = DV
2) [e] = [L] e = D
3) [] = [L] = D
4) [g] = [LT-2] g = DD-2V2 = D-1V2
5) [hL] = [L] hL = D
ReVD1
De
2
D3
DgV2
4
DhL
5
)DgV,
D,
De(Re,F
Dh 2
2L
Estes parâmetros podem ser agrupados na seguinte relação funcional.
É razoável supor que a perda de carga varie diretamente com o comprimento da tubulação, como também que a perda varie diretamente com o termo cinético (Bernoulli). Assim, chega-se a uma nova relação funcional.
)g2
VD1
D)
De(Re,F
Dh 2
3L
De modo que a perda de carga passe a ser escrita como:
g2V
D)
De(Re,Fh
2
3L
)De(Re,ff)
De(Re,F3 fator de atrito
)De(Re,f diagrama de Moody
Lewis F. Moody (1880 – 1953)
g2V
DLfh
2
L Eq. de Darcy-Weisbach
Tubos lisos e Tubos rugosos Subcamada viscosa
ve
Figura 1 Superfície hidraulicamente lisa
v = espessura da subcamada viscosa
e = altura das projeções rugosas
Subcamada viscosav e
Figura 2 Superfície rugosa
Experiência de Nicuradse
D - e
e/2
e
D
Grãos de areia
Superfície interna do tubo
Figura 3 Rugosidade artificial de Nikuradse (homogênea)
rugosidade resultantediâmetro original do tubo
diâmetro resultante
eD2/e
= rugosidade relativa
resultante
e/D = rugosidade relativa adotada por
Nikuradse
diâmetro dos grãos de areia
Figura 4 Diagrama de Nikuradse
Estes resultados ilustram as seguintes observações fundamentais.
1. A diferença física entre o escoamento laminar e o turbulento é indicada pela variação da relação de f com Re, próximo do número de Reynolds crítico (2000).
2. O regime laminar é caracterizado por uma única curva dada pela equação f = 64/Re, para qualquer rugosidade das superfícies. Donde se conclui que, em escoamentos laminares, a perda de carga é independente da rugosidade da superfície.
3. No escoamento turbulento uma curva de f versus Re pode ser feita para cada rugosidade relativa, e/D, e do aspecto horizontal das curvas podemos concluir que para tubos rugosos a rugosidade é mais importante que o número de Reynolds, para determinar o módulo do fator de atrito.
4. Para números de Reynolds elevados os fatores de atrito de tubos rugosos se tornam constantes, dependentes inteiramente da rugosidade do tubo; e portanto, independentes do número de Reynolds. Da equação de Darcy podemos concluir que hL V2 para escoamento com turbulência completa sobre superfícies rugosas.
5. Embora a curva inferior tenha sido obtida de testes com tubos hidraulicamente lisos, muitos dos resultados de Nikuradse com tubos rugosos coincidem com esta curva para 5.000 < Re < 50.000. Nestes casos, a rugosidade fica submersa na subcamada viscosa e em geral não produz efeito sobre a perda de carga e o fator de atrito, que neste caso dependeriam somente dos efeitos de viscosidade.
6. A série de curvas para tubos rugosos diverge da curva do tubo liso à medida que o número de Reynolds cresce. Ou seja, tubos lisos, para baixos valores de Re, tornam-se rugosos para valores elevados de Re. Isto pode ser explicado pela espessura da subcamada viscosa que decresce à medida que o número de Reynolds cresce, produzindo uma exposição menor das protuberâncias ao escoamento turbulento e fazendo com que o tubo se comporte como se fosse um tubo rugoso.
Fórmulas Para o Cálculo das perdas em escoamento em tubos
a) Fórmula de Darcy-Weisbach (universal)
g2V
DLfh
22
L
b) Escoamento laminar Fórmula de Poiseuille
Re/64f Reta de Poiseuille
fRe51,2log28,0)flog(Re2
f1
c) Escoamento turbulento liso Fórmula de Prandtl-Von Kármàn
Re 105. Reta de Blasius4/1Re3164,0f
d) Escoamento turbulento liso Fórmula de Blasius
e) Escoamento turbulento rugoso Fórmula de Nikuradse
7,3D/elog214,1
Delog2
f1
Figura 4 Diagrama de Nikuradse
Reta de Poiseuille
Retas de Nikuradse (horizontais)
Reta de Blasius
Experiências de Colebrook - rugosidade equivalente
Colebrook mostrou que os resultados das experiências de Nikuradse podem ser usados em medidas quantitativas de rugosidade de tubos comerciais, chegando-se a uma rugosidade “equivalente”.
Ou seja, se o valor do fator de atrito (f), para um tubo comercial operando na região de escoamento turbulento rugoso, for conhecido, obtido com o auxilio da equação de Darcy-Weisbach, pode-se calcular um valor de “e”, equivalente à rugosidade artificial de Nikuradse, usando para tanto a equação proposta por ele para tubos rugosos.
Assim, a altura da rugosidade “e”, para tubos de rugosidade artificial de areia, é usada como uma medida da rugosidade de tubos comerciais.
Posteriormente, verificou-se que o valor desta rugosidade não dependia do diâmetro do tubo, mantendo-se aproximadamente constante.
Esse valor é como se fosse uma propriedade hidráulica do tubo e foi denominada “rugosidade equivalente”.
Deste modo, a rugosidade indicada para tubos comerciais é na realidade, uma “rugosidade equivalente” à rugosidade artificial de grãos de areia introduzida por Nikuradse.
Na região de transição, onde o fator de atrito (f) depende da rugosidade relativa (e/D) e do número de Reynolds (Re), os resultados dos ensaios com tubos de rugosidade artificial diferem dos resultados obtidos com tubos comerciais.
Este fato fica evidente num gráfico baseado nas equações para tubo liso e tubo rugoso, onde resultados de ensaios com tubos comerciais e com tubos de rugosidade artificial são mostrados.
14,1Delog2
f1
8,0)Deflog(Re2
Delog2
f1
Rearranjando a expressão para tubos rugosos,
e somando 2log(e/D) em ambos os lados da equação para tubos lisos,
Tomando:
Delog2
f1
como ordenada e,
)Deflog(Re como abscissa,
Colebrook obteve o interessante diagrama da Figura 5.
)Deflog(Re
Delog2
f1
Tubo liso
Figura 5 Função de Colebrook para a transição
Os resultados de Nikuradse com rugosidade artificial formam a curva tracejada na região de transição e os resultados dos ensaios com tubos comerciais formam a linha curva inferior.
Visando resolver o problema, não só na região de transição, mas para todo o escoamento turbulento, Colebrook, a partir de uma associação por soma das equações para tubos lisos e para tubos rugosos, propôs a seguinte equação.
)fRe
51,27,3D/elog(2
f1
a qual é a base para o diagrama de Moody.
Figura 6 Diagrama universal = (D/k, Re)
Figura 7.13 Diagrama de Moody
8,0)fln(Re86,0f
1
As equações empíricas que seguem, representam o diagrama de Moody para Re > 4000.
Tubo liso:
fRe51,2ln86,0
Ou, em termos de logaritmo decimal,
fRe51,2log2
f1
Prandtl-Von Kármán
4/1Re316,0f Re 105 (1913) Eq. de Blasius
(0,86859)
Tubo rugoso:
Deln86,014,1
f1
7,3D/eln86,0
7,3D/elog2
f1
fórmula de Nikuradse
Região de transição:
fRe51,2
7,3D/eln86,0
f1
fRe51,2
7,3D/elog2
f1
Eq. de Colebrook (1938)
Problemas Tipo:
Tipo Dados Incógnita
I Q,D,e, hL
III Q,hL,e, D
II hL,D,e, Q
Fórmulas de Swamee e Jain (1976) para o cálculo do fator de atrito.
2
9,0Re74,5
7,3D/eln
325,1f
8
26
10Re5000
10De10
2
9,0Re74,5
7,3D/elog2
1f
8
26
10Re5000
10De10
Fórmulas de Swamee e Jain (1976) para a solução dos problemas de perda em escoamento em tubos.
29,0
5
2
L QD62,4
7,3D/eln
DgLQ07,1h
8
26
103Re5000
10De10
5,0
L3
25,0
L5
hDgL17,3
7,3D/eln
LhDg965,0Q 4000Re
04,02,5
L
4,975,4
L
225,1
hgLQ
hgQLe66,0D
8
26
103Re5000
10De10
Exemplo 7.11A água a 20º C é transportada por 450 m em um tubo de ferro forjado, horizontal, com diâmetro de 38 mm a uma vazão de 3,0 /s. Calcule a queda de pressão sobre o comprimento de 450 m de tubo usando: a) o diagrama de Moody e b) o método alternativo.
Ta L e D Q g 20° 10-6 998,0 450 0,046 38 3,00 9,81C m2/s kg/m3 m mm mm /s m/s2
0,038 0,003 m m3/s
Dados:
Solução:a) Cálculo pelo diagrama de Moody.
56 10005,1
10038,0003,04
DQ4Re
2
9,0Re74,5
7,3D/eln
325,1f
0230,0
10005,174,5
7,338/046,0ln
325,12
9,05
g2V
DLfh
2
L
4DVQ
2 2D
Q4V
2
5LQ
DL
gf8h
00121,038046,0
De
023,0f
2
5LQ
DL
gf8h
Considerando a Eq. da energia
L2
222
1
211 hh
g2Vph
g2Vp
.m14,97003,0038,0450
81,90230,08 2
5
L21 hppp
.Pa95100026,9781,9998hgp L
b) Cálculo pelo Método alternativo.
.Pa94870090,9681,9998hgp L
29,0
5
2
L QD62,4
7,3D/eln
DgLQ07,1h
.m90,96003,0
038,01062,47,3
38/046,0ln038,081,9450003,007,1h
29,06
5
2
L
%246,010014,97
90,9614,97100h
hhDifL
LAL
Exemplo 7.12Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300 m de um tubo (horizontal) em ferro forjado de 100 mm de diâmetro que transporta óleo (S = 0,9; = 10-5 m2/s). Calcule a vazão usando: a) o diagrama de Moody e b) o método alternativo.
Dados:
p L e D S a g 700 300 0,046 10 0,9 10-5 1000 9,81kPa m mm cm m2/s kg/m3 m/s2
7105 4,610-5 0,100 Pa m m
Solução:a) Cálculo pelo diagrama de Moody.
.m28,7981,9109,0
107gph 3
5
L
Solução por tentativas.
1ª tentativa – calcula-se um primeiro valor para f = f1.
Escoamento rugoso. (Nikuradse)
hL
Dados: D
Incógnita: Q
Problema Tipo II
21
7,3D/eln
325,1f
LfhDg2V
1
L1
45
11 1063,5
10100,0625,5DVRe
Com o número de Reynolds, calcula-se um novo valor para f.
2
9,01
2
Re74,5
7,3D/eln
325,1f
0164,0
7,3100,0106,4ln
325,125
.s/m625,53000164,0
28,79100,081,92
0220,0
1063,574,5
7,3100,0106,4ln
325,12
9,04
5
.s/m851,43000220,0
28,79100,081,92V2
452 1085,4
10100,0851,4Re
0226,0
1085,474,5
7,3100,0106,4ln
325,1f 2
9,04
53
f2 f1 procede-se a uma nova tentativa com f = f2.
0226,0
1079,474,5
7,3100,0106,4ln
325,1f 2
9,04
54
f4 = f3 assim o problema está resolvido e V = 4,790 m/s.
.s/m03762,0790,44100,0V
4DQ 3
22
f3 f2 nova tentativa com f = f3.
.s/m790,43000226,0
28,79100,081,92V3
453 1079,4
10100,0790,4Re
5,0
3
1055,05
28,79100,081,93001017,3
7,3100,0106,4ln
30028,79100,081,9965,0Q
.s/m03761,0Q 3
%0369,010003762,0
03761,003762,0100Q
QQDif A
b) Cálculo pelo Método alternativo.
5,0
L3
25,0
L5
hDgL17,3
7,3D/eln
LhDg965,0Q
Exemplo 7.13Que diâmetro de tubo estirado deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 20º C por um comprimento de 400 m, de modo que a perda de carga não exceda a 30 m? a) use o diagrama de Moody e b) o método alternativo.
e Q Ta L hL g0,0015 0,002 20º 10-6 998 400 30 9,81
mm m3/s C m2/s kg/m3 m m m/s2
1,510-6 m
Dados:
Solução:a) Pelo diagrama de Moody. (cálculo por tentativas)
30QDL
gf8h
2
5L
555
2
f08488,0f002,030400
81,98D
D/254610D002,04
DQ4Re 6
2
9,0Re74,5
7,3D/eln
325,1f
2
5
002,0D400
81,9f8
2
9,0
6
D/254674,5
7,3D105,1ln
325,1
Com estes valores pode-se montar a seguinte tabela:
f D Re e/D f / m / / /
1ª tentativa 0,0300 0,0421 6,05104 3,5610-5 0,0201
O resultado indica um diâmetro de 0,0387 m. Ou D = 39 mm.
3ª tentativa 0,0197 0,0387 6,58104 3,87 10-5 0,0197 O.K!
2ª tentativa 0,0201 0,0388 6,56104 3,86 10-5 0,0197
b) Cálculo pelo Método alternativo.
04,02,5
L
4,975,4
L
225,1
hgLQ
hgQLe66,0D
04,02,54,96
75,4225,16
3081,9400002,010
3081,9002,0400)105,1(66,0D
.m0391,0D
Novamente, o resultado indica um diâmetro D = 39 mm.
Porem, a solução do problema será obtida com um diâmetro comercial imediatamente superior a 39 mm.
Talvez 50 mm.
4.6.4. Perdas em condutos não circularesBoas aproximações são conseguidas com o conceito de “raio hidráulico” (Rh). Ver Streeter.
PA
molhadoPerímetroÁreaR h
Exemplo: Tubo circular operando à plena seção
4D
D4DR
2
h
hh R4Dou
Utiliza-se desse conceito apenas para calcular o número de Reynolds e o fator de atrito.
Exemplo 7.14O ar, nas condições normais, está para ser transportado através de 500 m de um duto retangular horizontal e liso medindo 30 cm x 20 cm, e uma vazão de 0,24 m3/s. Calcular a queda de pressão.
L b h Q g
500 30 20 0,24 1,510-5 9,81 1,20m cm cm m3/s m2/s m/s2 kg/m3
0,300 0,200 m m
Dados:
)hb(2hb
PAR h
Solução:
.m240,0060,04R4D hh
.s/m00,420,030,0
240,0AQV
45
h 1040,6105,1240,04DVRe
Tubo liso, Re < 105 Blasius
0199,0)1040,6(
3164,0Re3164,0f 25,044/1
.m060,0)20,030,0(2
20,030,0
g2V
DLfh
2
L
Tubo liso, Prandtl-Von Kàrmán
2
fRe51,2log2f
.m64,3381,92
424,0
5000198,0h2
L
%505,010064,33
64,3381,33Dif
.Pa0,39664,3381,920,1hgp L
.m81,3381,92
424,0
5000199,02
0198,00199,01040,6
51,2log22
4
4.6.5. Perdas singularesPara o caso de alargamento brusco seção, viu-se que:
g2V
AA1h
21
2
2
1L
V maior velocidade (menor seção).
Fazendo tem-se:,KAA1
2
2
1
g2VKh
2
L fórmula geral (perdas singulares)
Figura 7.14 Escoamento em um cotovelo
Figura 7.15 Coeficientes de perda em uma expansão cônica
Figura 7.16 Vena Contracta em contrações e orifícios
Muitas vezes é habitual expressar o coeficiente de perda como um “comprimento equivalente (Le)” de tubo.
Ou seja:
g2V
DLf
g2VKh
2e
2
L
O que leva a:
fDKLe
TABELA 7.2 Coeficientes de perda nominais K (escoamento turbulento)
Tipos de AcessórioDiâmetro
Rosqueado Flangeado
2,5 cm 5 in 10
cm5
cm10 cm
20 cm
Válvula globo (totalmente aberta) 8,2 6,9 5,7 8,5 6,0 5,8
(meio aberta) 20 17 14 21 15 14
(um quarto aberta) 57 48 40 60 42 41
Válvula em ângulo (totalmente aberta) 4,7 2,0 1,0 2,4 2,0 2,0
Válvula de retenção (totalmente aberta) 2,9 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0
Válvula de gaveta (totalmente aberta) 0,24 0,16 0,11 0,35 0,16 0,07
Curva de Retorno (em “U”) 1,5 0,95 0,64 0,35 0,30 0,25
Tê (ramal) 1,8 1,4 1,1 0,80 0,64 0,58
Tê (em linha) 0,9 0,9 0,9 0,19 0,14 0,20
Cotovelo-padrão 1,5 0,95 0,64 0,39 0,30 0,26
Cotovelo de grande diâmetro 0,72 0,41 0,23 0,30 0,19 0,15
Cotovelo de 45° 0,32 0,30 0,29
Entrada com quinas vivas 0,5
Entrada reentrante 0,8
Entrada arredondada 0,03
Saída do tubo 1,0
Razão de área
Contração súbita
2:1 0,25
5:1 0,41
10:1 0,46
Razão de área A/A0
Placa de orifício
1,5:1 0,85
2:1 3,4
4:1 29
6:1
Alargamento súbito
2
0
6,0AA78,2
2
2
1AA
1
Exemplo 7.15Se a vazão através de um tubo de ferro forjado de 100 mm de diâmetro (Fig. E7.15) é de 0,04 m3/s, encontre a diferença de elevação H para os dois reservatórios.
Figura E7.15
Dados:e D Q L g
0,046 0,100 0,040 50 10-6 9,81mm m m3/s m m2/s m/s2
KEn KVg KCo KSa
0,50 5,70 0,64 1,00
Solução:
L2
222
1
211 hz
g2Vpz
g2Vp
Hzzh 21L
= 0 (pb)
Eq. da Energia 0
Como ilustração, a perda distribuída será calculada separada da perda localizada.
.s/m093,5100,0040,04
DQ4V 22
56 1009,5
10100,009,5DVRe
00046,0100
046,0De
0175,0
1009,574,5
7,300046,0ln
325,1
Re74,5
7,3D/eln
325,1f 2
9,05
2
9,0
2
g2V
DLf
g2V)KK2KK(H
22
SaCoVgEn
81,9209,5
10,0500175,0
81,9209,5)164,0270,550,0(H
22
.m8,2257,1121,11H
4.6.6. Linha piezométrica e linha de energiaConsidere a Eq. da Energia:
pz
LT2
222
p1
211 hHz
g2VpHz
g2Vp
Linha piezométrica
Linha de energia
g2Vpz
2
Lugar geométrico dos pontos que têm como elevação
Lugar geométrico dos pontos que têm como elevação
Figura 7.17 Linha piezométrica (LP) e linha de energia (LE)
• Ocorre um salto na LP e na LE quando energia útil é adicionada ao fluido, como acontece com uma bomba, e uma queda ocorre, se energia útil é extraída do escoamento, como ocorre com uma turbina.
• Nos pontos em que a LP passa através da linha central do tubo, a pressão é zero. Se o tubo é localizado acima da LP, há um vácuo no tubo, uma condição que muitas vezes é evitada, se possível, nos projetos de tubulações; uma exceção seria um projeto de um sifão.
Exemplo 7.17Água a 20º C escoa entre dois reservatórios a uma vazão de 0,06 m3/s, como mostra a Fig. E7.17. Esboce a LP e a LE. Qual é o diâmetro DB mínimo permissível para evitar a ocorrência de cavitação?
Figura E7.17
Dados:
Ta Q D L1 L2 e Kent HCon g
20º 0,060 0,200 30 20 0,260 0,500 0,250 9,81C m3/s m m m mm m/s2
Solução:
.s/m918,120,0060,04
DQ4V 221
= 103 kg/m3
Água a 20° C, logo: = 10-6 m2/spv = 2450 Pa (abs).
561 1082,3
1020,091,1DVRe
0217,0
1082,374,5
7,320026,0ln
325,1
Re74,5
7,3D/eln
325,1f 2
9,05
2
9,01
1
1
No segundo trecho, o que se procura é o diâmetro. Explicitando em função deste valor, vem:
22
22
22
2 D07639,0
D060,04
DQ4V
2
4
622
222 D
10639,710D
D07639,0DVRe
222 D00026,0
D100026,0
De
g2V
DLf
g2V
DLf
g2VK
g2VK
g2V)p(z)p( 2
2
2
22
21
1
11
22
con
21
en
22abs2
1abs1
A pressão barométrica é tomada igual a 101 kPa. Então:
totalL2
22abs2
1
21abs1 hz
g2V)p(z
g2V)p(
Só não haverá cavitação no ponto 2 se a pressão neste ponto for mantida acima da pressão de vapor.
Uma vez que a pressão de vapor é expressa na escala de pressões absolutas, deve-se: ou trabalhar com pressões absolutas, ou converter a pressão de vapor para a escala efetiva. Assim,
0
52
2
242
2
2
3
3
D81,9207639,020f
D81,9207639,0)25,01(
81,9291,1)
20,0300217,050,0(20
1081,910)45,2101(
0
52
242
22
D20f
D25,107639,0/91,1)
20,0300217,050,0(2)81,92055,98(
52
242 D
20fD25,198660
Resolvendo por tentativas,
Nº D e/D Re f 1,25/D4 f×20/D5
1ª 0,10000 0,002600 7,64105 0,0254 12500 50836 63336
Logo, para não haver cavitação D2 > 91,55 mm.
Portanto, D = 100 mm resolve satisfatoriamente o problema.
4ª 0,09155 0,0028408,3410
5 0,0260 17793 80867 98660
2ª 0,09000 0,0028898,4910
5 0,0261 19052 88480 1075323ª 0,09200 0,002826
8,30105 0,0260 17449 78816 96264
4.6.7. Sistema simples de tubo com bomba
Característica da bomba fornecida pelo fabricante.
Figura 7.18 Curvas características
Característica de cano
Característicade rotor
Exemplo 7.18Estime a vazão na tubulação simples da Fig. E 7.18a, se as curvas características da bomba são como mostrado na Fig. E7.18b. Calcule também a potência requerida pela bomba.
Figura E7.18 a)
Figura E7.18 b)
z1 z2 D e Ke KSa
60 90 0,2 0,046 10-6 0,50 1,00m m m mm m2/s
Dados:
Solução:Da Eq. da energia, com:
L12B21
21 h)zz(H0VV0pp
g2V)
DLfKK()zz(H
2
saen12B
Como primeira tentativa para a solução do problema, pode-se supor que o escoamento se dá na região de escoamento turbulento rugoso.
Assim, considerando a Eq. de Nikuradse para escoamento turbulento rugoso, vem:
0141,0
7,3200046,0ln
325,1
7,3D/eln
325,1f 221
Levando na Eq. anterior,
2
2B 20,0Q4
81,921)
20,04000141,00,15,0()6090(H
2B Q153030H Eq. do sistema.
Entrando com valores de vazão na Fig. E7.18 b),
tira-se os valores correspondentes para a altura total de elevação, o que permite montar a tabela a seguir.
BombaH Q
68,70 0,2573,90 0,2077,70 0,1580,00 0,10
Agora, entrando com valores para a vazão, na equação do sistema, chega-se a seguinte tabela relacionando valores de H e Q do sistema.
SistemaH Q
30,00 0,0046,30 0,1066,68 0,1595,20 0,20
Considerando estas duas tabelas e com o auxilio do excel, chega-se ao seguinte gráfico, sendo a solução o cruzamento da duas curvas.
Ou seja:
HB = -290 Q2 + 26,1 Q + 80,295R2 = 1
H = 1530 Q2 + 30R2 = 1
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
Vazão
Altu
ras Bomaba
Sistema
Operação
O gráfico nos dá a Eq. da linha de tendência para a característica de rotor. Ou seja:
295,80Q1,26Q290H 2R
Uma vez que o ponto de operação vai estar no cruzamento destas duas equações, a vazão é obtida ao se igualar uma com a outra.
295,80Q1,26Q290Q153030 22
0295,50Q1,26Q1820 2 Resolvendo,
18202285,50182041,261,26Q
2
.s/m159,0''Q
s/m174,0'Q3
3
O valor significativo é o positivo. Levando em uma das duas equações, chega-se à altura total de elevação da bomba.
.m1,76174,0153030H 2
Com o valor da vazão tem-se como calcular o número de Reynolds e retornar no diagrama de Moody, de modo a verificar o valor obtido para o fator de atrito.
Com esse procedimento se chegaria ao valor correto para a vazão (0,169 m3/s) e para a altura de elevação (76,4 m).
Do gráfico da Fig. E7.18 b), tira-se = 0,65%.
Com esse valor a potência pode ser calculada.
.kW8,1991065,0
1,7681,9174,010HgQP 33
BB
4.7. Escoamento Turbulento Uniforme em Canais Abertos
Figura 7.19 Escoamento uniforme em um canal aberto
S declividade (inclinação) – (I)
Para muito pequeno, sen S.
Considere a Eq. da energia:
L2
222
1
211 hz
g2Vpz
g2Vp
0 0
O que leva a: 21L zzh
Por outro lado,
g2
VR4Lf
g2V
DLfSLsenLh
2
h
2
hL
2h V
g8fSR
Ou:
Antoine Chezy (1718 – 1798).
SRCV h Eq. de Chezy.
6/1h
1 RncC
.inglessistemadounidades49,1cSIdounidades00,1c
1
1
n coeficiente de Manning
Robert Manning (1816 – 1897).
Para o SI,
2/13/2h SRA
n1Q Eq. de Chezy Manning.
TABELA 7.3 Valores médios do n de Manning
Material da Parede n de Manning
Madeira aplainada 0,012
Madeira não-aplainada 0,013
Concreto acabado 0,012
Concreto inacabado 0,014
Cano de esgoto 0,013
Tijolo 0,016
Ferro fundido, ferro forjado 0,015
Tubo de concreto 0,015
Aço rebitado 0,017
Terra, tal qual 0,022
Canalete de metal enrugado 0,025
Cascalho 0,03
Terra com pedras e plantas rasteiras 0,035
Corredeiras de montanhas 0,05
Exemplo 7.19A profundidade medida de água a 15º C, escoando em um canal aberto retangular de concreto acabado, de 3,60 m de largura é de 1,20 m. A inclinação (declividade) medida foi de 0,0016. Estime a vazão usando: a) a equação de Chezy-Manning e b) a equação de Darcy-Weisbach.
Dados:Tág b h S g15º 3,6 1,2 0,0016 1,1410-6 9,81C m m m2/s m/s2
Solução:O raio hidráulico pode ser calculado.
.m720,06,32,12
2,16,3bh2
hbPARmol
h
.s/m57,11016,072,02,16,3012,01SRA
n1Q 32/13/22/13/2
h
.m88,2720,04R4D hh
a) Chezy – ManningConcreto acabado n = 0,012
b) Darcy – WeisbchConcreto 0,30 e 3 mm acabado e = 0,46 mm.
Eq. de Nikuradse,
0131,0
7,3288046,0ln
325,1
7,3D/eln
325,1f 221
.s/m625,20131,0
0016,088,281,92f
SDg2V1
h1
2h V
g8fSR
66
h1 1063,6
1014,188,2625,2DVRe
Pela Eq. de Swamee - Jain,
0134,0
)1063,6(74,5
7,3288046,0ln
325,1
Re74,5
7,3D/eln
325,1f 2
9,06
2
9,0
2
.s/m601,20134,0
0016,088,281,92V2
662 1057,6
1014,188,2601,2Re
!K.O0134,0
)1057,6(74,5
7,3288046,0ln
325,1f 2
9,06
3
Desta forma o problema está resolvido e:
.s/m601,2V
.s/m24,1120,160,3601,2AVQ 3
%94,210024,11
24,1157,11100Q
QQDifDar
DarChe
Exemplo 7.20Um tubo de concreto de 1,0 m de diâmetro transporta água a 20º C em uma profundidade de 0,4 m. Se a inclinação é 0,001, encontre a vazão usando:
a) a equação de Chezy-Manning e
b) a equação de Darcy-Weisbach.
Dados:
D Tág h S
1,00 20º 0,4 0,001 10-6
m C m m2/s
Figura E7.20
Solução:Cálculo dos ângulos e .
m10,040,0200,1hR
º9,15654,1121802180
º54,1150,010,0arcsen
.m4899,0º54,11cos50,0cosR2b
222
m2934,04899,01,02360
9,15641
3604DA
m2147,0369,12934,0
PAR h m8569,02147,04R4D hh
Os demais valores são calculados.
m369,1360
9,156360
DP
a) Chezy – ManningTubo de esgoto (concreto) n = 0,013
.s/m255,0001,02142,02934,0013,01SRA
n1Q 32/13/22/13/2
h
b) Darcy – WeisbchTubo de concreto e = 2 mm. Por Colebrook
hDVRe
g2V
DLfh
2
hL
hDReV
3h
22
2h
22
hL Dg2
LRefg2D
ReDLfh
512
3
2
3L 1011,1
1108569,0001,081,92
LDhg2fR
0246,0
1011,151,2
7,38572ln
325,1
fRe51,2
7,3D/eln
325,1f 2
5
2
.s/m8261,010246,0
857,0001,081,92Lf
Dhg2V hL
.s/m2423,02934,08261,0AVQ 3
%43,5100242,0
242,0255,0100Q
QQDifDar
DarChe
Característica da bomba
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30