Método Misto e Híbrido Adaptado para Malha Não Uniforme

Carlos Gustavo Lima Barreto (discente) Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Engenharia Mecânica

38400-902, Uberlândia, MG E-mail: barreto_cg@hotmail.com

César Guilherme de Almeida

Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática 38400-902, Uberlândia, MG

E-mail: cesargui@ufu.br Palavras-chave: métodos numéricos, equação de Darcy, elementos finitos

Resumo: O objetivo deste trabalho é o de apresentar uma formulação fraca para equações

diferenciais parciais elípticas, que será baseada em aproximações por elementos finitos mistos

e híbridos definidos em uma malha não uniforme de um domínio retangular. Especificamente,

a técnica será empregada na equação elíptica associada à velocidade de Darcy. A parte

teórica do trabalho consiste na demonstração, usando argumentos locais, do fato que o sistema

linear associado a uma formulação fraca das equações de Darcy, com multiplicadores de

Lagrange relacionados ao fluxo normal e que aproximam a pressão nas arestas, possui matriz

simétrica e definida positiva. As ideias principais utilizadas neste trabalho foram extraídas de

Chavent e Roberts [6] e Almeida [2].

1. Introdução A importância de se trabalhar com malhas não uniformes em problemas envolvendo aproximações de equações diferenciais, que empregam técnicas de discretizações tais como as diferenças finitas e os elementos finitos, vem sendo ressaltada em diversas áreas do conhecimento. Uma referência na área de dinâmica de fluidos computacional é o livro [7] (Hirsch, 2007). Métodos numéricos utilizados em problemas de escoamentos em meios porosos [3] (Almeida, Douglas e Pereira, 2002) e [1, 4, 8] (Abreu et al. 2006; Aquino et al., 2007; Silva, 2008) podem ser aperfeiçoados através de esquemas de multi-resolução em malhas adaptativas [5] (Bürger e Kozakevicius, 2007). Neste caso, as simulações numéricas devem ser realizadas considerando-se malhas não uniformes. Assim, surgiu a motivação para o desenvolvimento deste presente trabalho, que tem o objetivo de apresentar uma formulação fraca para a equação elíptica associada à velocidade de Darcy, baseada em aproximações por elementos finitos mistos e híbridos definidos em uma malha não uniforme de um domínio retangular. Teoricamente, o objetivo deste trabalho é o de mostrar que a formulação fraca para a velocidade de Darcy, considerando uma malha não uniforme, vai gerar um sistema linear que possui matriz simétrica e definida positiva. Desta forma, esta formulação apresenta as mesmas características da formulação que utiliza malha uniforme. Assim, um código desenvolvido para malha não uniforme terá essencialmente a mesma versão de um código computacional, que utiliza o método dos elementos finitos mistos e híbridos, desenvolvido para malha uniforme. Para iniciar os estudos deste trabalho, considere a lei de Darcy (desprezando-se os efeitos gravitacionais):

u(x) = Q/A = -(K/µ)∇p, ∀ x ∈ Ω, (1)

onde Ω = [0, X] × [0, Y] ⊂ R2 é um domínio retangular; Q é a taxa volumétrica do fluxo; ∇p, p = p(x,y) ≡ p(x), é o gradiente de pressão; A é a área da seção transversal normal à direção do

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fluxo; µ = µ(x) é a viscosidade do fluido e K = K(x) é a permeabilidade do meio poroso. As técnicas de discretização utilizadas neste trabalho são aplicadas em um sistema de equações formado pela equação (1) anterior e pela equação dada a seguir:

∇.u = q, ∀ x ∈ Ω (2)

onde q = q(x) é um termo de fonte. A discretização da equação da pressão, Eq. (2), usará elementos finitos mistos e híbridos definidos em uma malha não uniforme. Maiores informações sobre elementos finitos mistos e híbridos podem ser obtidas no artigo [6]. 2. Espaço de Raviart-Thomas Sejam, respectivamente, Πx = x0, x1, ..., xn e Πy = y0, y1, ..., ym partições dos intervalos [0, X] e [0, Y] (associados ao domínio retangular Ω). Se n = nx e m = ny denotam os números de subintervalos de [0, X] e [0, Y] e, hx,i = xi - xi-1, hy,j = yj - yj-1, denotam os comprimentos dos subintervalos [xi-1, xi] e [yj-1, yj], com 1 ≤ i ≤ nx e 1 ≤ j ≤ ny , então o espaço vetorial de Raviart-Thomas, sobre um elemento retangular E = [xi-1, xi] × [yj-1, yj], é gerado pelas funções vetoriais:

WR =

jyix hh ,,

1 (x - xi-1, 0), WL =

jyix hh ,,

1(x - xi, 0);

WU = jyix hh ,,

1(0, y - yj-1 ), WD =

jyix hh ,,

1 (0, y - yj ).

As quatro funções base são linearmente independentes. O espaço vetorial gerado por tais funções fornecerá aproximações para o campo de velocidades em E. As letras R, L, U e D são referentes às arestas direita, esquerda, de cima e de baixo, respectivamente, do elemento E. Assim, a velocidade de Darcy, neste elemento, é aproximada por:

u = uRWR + uLWL + uUWU + uDWD ≡ Σα uα Wα, (3)

onde uα, α ∈ R, L, U, D, são denominadas componentes ortogonais do fluxo através das interfaces na direção normal exterior. Note que, dada uma aresta α qualquer de um elemento E da partição do domínio Ω, a notação para o elemento vizinho de E em relação à aresta α é dada por Ẽ (veja a Fig. 1). As seguintes arestas são ditas opostas: se α = L, então α’ = R; se α = R, então α’ = L; se α = D, então α’ = U; se α = U, então α’ = D. Por exemplo, se α = L, então Ẽ será o elemento vizinho à esquerda de E (na Fig. 1, Ẽ = Ei-1,j). Para garantir a continuidade do fluxo na aresta α do elemento E, e conseqüentemente na aresta α’ do elemento vizinho Ẽ, a seguinte igualdade deve ser satisfeita: uE,α + uẼ,α’ = 0. No elemento E, será considerada a razão rE = hx,E /hy,E. Se o elemento for E = Eij então rE = hx,i / hy,j. Como a malha não é uniforme então, provavelmente, rE ≠ rẼ . Neste trabalho, a permeabilidade será considerada uma função escalar. 3. Sistema de equações envolvendo os multiplicadores de Lagrange

É possível construir um sistema de equações relacionando a pressão, as componentes ortogonais do fluxo e os multiplicadores de Lagrange, em cada elemento E: AE (uE,R uE,L uE,U uE,D)T

= aE pE (1 1 1 1)T - (ℓE,R ℓE,L ℓE,U ℓE,D)T,

onde

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AE =

−

−

−

−

−−

−−

3/6/00

6/3/00

003/6/

006/3/

11

11

rr

rr

rr

rr

⇒ (AE) -1

=

−−

−−

rr

rr

rr

rr

4200

2400

0042

002411

11

,

e r = rE.

Figura 1. Elemento E = Ei,j da partição do domínio Ω e seus vizinhos. Obtém-se, a partir destas informações, o sistema global envolvendo somente os multiplicadores de Lagrange, cuja matriz é simétrica e definida positiva. REFERÊNCIAS [1] E. Abreu, F. Pereira and S. Ribeiro. Central schemes for porous media flows, Computational & Applied Mathematics, Volume 28, N. 1, pp. 87 - 110, 2009. [2] C. G. Almeida, Análise de sistemas lineares oriundos da formulação fraca da velocidade de Darcy baseada em multiplicadores de Lagrange, em “Anais do 31º Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional”, ISBN: 978-85-60064-12-0, Belém, 2008. [3] C. G. Almeida, J. Douglas Jr. e F. Pereira, A new characteristics-based numerical method for miscible displacement in heterogeneous formations, Computational and Applied

Mathematics, vol. 21, fascículo 2, pp. 573-605, (2002). [4] J. Aquino, F. Pereira, H. P. A. Souto e A. S. Francisco. A forward tracking scheme for solving radionuclide advective problems in unsaturated porous media. International Journal of

Nuclear Energy Science an Technology, vol. 3, n. 2, pp. 196–205, ( 2007). [5] R. Bürger and A. Kozakevicius. Adaptive multiresolution WENO schemes for multi-species kinematic flow models, Journal of Computational Physics, vol. 224, Issue 2, 10, pp. 1190-1222,

(2007). [6] G. Chavent e J. E. Roberts, A unified physical presentation of mixed, mixed-hybrid finite element and standard finite difference aproximations for the determination of velocities in waterflow problems, Adv. Water Resources, vol. 14, 6, 329-348, (1991). [7] C. Hirsch, “Numerical Computation of Internal & External Flows”. Fundamentals of Computational Fluid Dynamics, second edition, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2007. [8] C. A. Silva, “Um novo algoritmo, naturalmente paralelizável, para o cálculo de permeabilidades equivalentes em reservatórios”, Dissertação de Mestrado, Instituto Politécnico-UERJ, Nova Friburgo, Rio de Janeiro, Brasil, 2008.

Eij Ei-1,j Ei+1,j

Ei,j+1

Ei,j-1

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