Universidade Federal dos Vales doJequitinhonha e MucuriInstituto de Ciencia e Tecnologia

EXERCICIOS de Calculo Numerico - SERIES DE TAYLOR - Prof. Anderson Porto

1. Use os resultados da serie de Taylor geometrica para escreverem as seguintes dızimas periodicas comoum numero racional, digo, como uma fracao.

a) 0,3333. . . b) 7,8232323. . . c) 2,5234234234. . .

2. Use os testes da razao ou da raiz para testar a convergencia das seguintes series numericas:

a)

∞∑n=1

(−2)n

nn; b)

∞∑n=1

(3n− 5

7n− 8

)n

; c)

∞∑n=0

n!

en; d)

∞∑n=0

en

n!; e)

∞∑n=0

n2

2n; f)

∞∑n=0

an

n!; a ∈ R, a 6= 0.

3. Verifique para quais valores de x ∈ R, as series de potencias em x convergem e divergem. Nao e necessarioaqui, estudar a convergencia ou a divergencia nos extremos dos intervalos caso os mesmos existam.

a)∞∑

n=0

nxn; b)

∞∑n=0

nnxn; c)

∞∑n=0

(−1)nxn; d)

∞∑n=0

(x− 2)n

10n; e)

∞∑n=0

xn

n√n3n

.

4. Calcule a serie de Taylor em torno de x0 = 0 para as funcoes abaixo:

a)x3

1 + x2; b) x3arctg(x); c)

ln(1 + x)

x2; d)

ex − 1

x.

Lembre-se que se f(x) =

∞∑n=0

anxn e uma serie de Taylor de f(x) convergindo para essa funcao na regiao

de convergencia I = (ρ−x0, ρ+x0), e h(x) e uma funcao contınua de x, entao f(h(x)) =

∞∑n=0

an (h(x))n

e a serie de Taylor de f(h(x)) que converge num intervalo J tal que |h(x)| < ρ.

5. Calcule as aproximacoes em series numericas para as seguintes integrais abaixo:

a)

∫ 1

0

e−x4

dx; b)

∫ 1

0

sen(x2) dx; c)

∫ 1

0

cosh(x) dx. Depois disso, use os 5 primeiros termos de cada

integracao para estimar o valor das integrais dadas nesse exercıcio.

6. Sabe-se que a serie de Taylor de f(x) = 1√1−x2

= 1 +

∞∑n=1

1 · 3 · 5 · (2n− 1)

n!2nx2n, |x| < 1. Determine uma

expressao para a serie de Taylor de arcsen(x) e qual e o seu intervalo de convergencia? Faca a expansaodos seus 6 primeiros termos e use esse fato para calcular o arcsen( 1

2 ). Compare com o valor exato.

7. Utilize series para avaliar os seguintes limites:

a) limx→0

ex − (1 + x)

x2;

b) limx→0

1− cos(x)−(

x2

2

)x4

;

c) limx→0

1− cos(x)

x.