10 - séries de taylor e de maclaurin

Análise Matemática I

Séries de Taylor e de Maclaurin

Joana PeresJoana Peres

MIEQ – 2009/2010

FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I

Aproximação de funções por meio de polinómios

Aproximação linear da função y = f (x) na visinhança do ponto x = a:numa visinhança de P, o gráfico da função y=f(x) é praticamente coincidente com o gráfico da recta tangente nesse ponto

)()( 1 xpxf ≈

))(()()(1 axafafxp −′+=

Donde se conclui que em x = a:)()(1 afap =

)()(1 afap ′=′


)(0)(1 afxp ′+=′

Derivando vem:


Aproximação quadrática da função y = f (x) na vizinhança do ponto x = 0:

2210)( xcxccxf ++≈

22102 )( xcxccxp ++=

),0()0( 2pf = ),0()0( 2pf ′=′ )0()0( 2pf ′′=′′

Temos que determinar os coeficientes do polinómio:

C

tal que

Como

12212 )0(2)( cpxccxp =′⇒+=′

2222 2)0(2)( cpcxp =′′⇒=′′

022

2102 )0()( cpxcxccxp =⇒++=

2

2)0()0()0()( xfxffxf

′′+′+≈

)0(0 fc =

)0(1 fc ′=

2)0(

2fc′′

=

Então



ExemploDeterminar a aproximação linear e quadrática da função ex na vizinhança do ponto x = 0.

xex +≈1

xe2

12xxex ++≈

xex +≈1

xee e

Como esperado a aproximação quadrática é mais precisa do que a aproximação linear na vizinhança do ponto x = 0.


Polinómios de Taylor

Problema:Dada uma função f qualquer derivável n vezes no ponto x = a, encontrar o polinómio pn (x) de grau n com a seguinte propriedade: o valor do polinómio e o valor de todas as suas derivadas até à ordem n ser igual ao valor da função e correspondentes derivadas até à ordem n em a .

Queremos o polinómio:n

nn axcaxcaxcaxccxp )()()()()( 33

2210 −++−+−+−+=

tal que:

),()( apaf n= ),()( apaf n′=′ )()( apaf n′′=′′ )()( )()( apaf nn

n =,,

CComon

nn axcaxcaxcaxccxp )()()()()( 33

2210 −++−+−+−+=

12321 )()(3)(2)( −−++−+−+=′ n

nn axncaxcaxccxp2

32 )()1()(.2.32)( −−−++−+=′′ nnn axcnnaxccxp

33 )()2)(1(.2.3)( −−−−++=′′′ n

nn axcnnncxp

nn

n cnnnxp )1()2)(1()()( −−=

)()( 0 afcapn ==⇒

)()( 1 afcapn ′==′⇒

)(2)( 2 afcapn ′′==′′⇒

)(2.3)( 3 afcapn ′′′==′′′⇒

)(!)( )()( afcnap nn

nn ==⇒

então:),(0 afc = ),(1 afc ′= ,

!2)(

2afc

′′=

!3)(

3afc

′′′= ,,…

!)()(

nafc

n

n =


Polinómios de Taylor e de Maclaurin

Definição do polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado no ponto x = a:

nn

n axn

afaxafaxafafxp )(!

)()(!2

)())(()()()(

2 −++−′′

+−′+=

que é a melhor aproximação polinomial de grau n à função f (x) na vizinhança do ponto x = a.

Representação do polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado no ponto x = a duma forma mais compacta:

Ao polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado em x = 0chamamos polinómio de Maclaurin:

∑=

−=n

r

rr

n axr

afxp0

)()(

!)()(

Utilizada só quando conhecemos a fórmula geral de f (r)(a)

∑=

=++′′

+′+=n

r

rr

nn

n xr

fxn

fxfxffxp0

)()(2

!)0(

!)0(

!2)0()0()0()(



Atendendo à forma como o polinómio de Taylor pn (x) foi construído, é de esperar que se verifiquem os dois factos seguintes:

na vizinhança do ponto x = a, a aproximação será tanto melhor quanto maior for o grau n de pn (x)

para cada valor fixo do grau n, a aproximação vai piorando à medida que nos afastamos de x = a



Como devemos proceder para determinar o polinómio de Taylor de uma função:

A derivada de ordem r da função f (x): ( ) ( )[ ] ++ Ζ∈∀′≡ 0

def1 , )()( rxfxf rr

em que o índice (r) em expoente representa a ordem da derivada, e em que, por convenção, a derivada de ordem zero é a própria função f (x): f (0)(x) ≡ f (x).

1. obter uma fórmula geral para a derivada de ordem r, por inspecção das primeiras três ou quatro derivadas de f (x);

2. fazer uma conjectura, com base nestas derivadas, acerca da fórmula que representa a derivada de ordem r de f (x), isto é, f (r)(x) = P(r), em que

Para algumas funções elementares relativamente simples:

representa a derivada de ordem r de f (x), isto é, f (x) P(r), em que P(r) representa a fórmula conjecturada;

3. validar a fórmula conjecturada pelo método de indução matemática;4. uma vez obtida a fórmula geral para f (r)(x), basta substituir x por a para

se obter a fórmula geral para f (r)(a), e depois dividir por r! para se obter a fórmula geral para os coeficientes cr =f (r)(a)/r! do polinómio de Taylor centrado no ponto a

Método de indução matemática:

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

+=⇒=

=+ )1()()()( )(

)1()( )()1()(

)1(

rPxfrPxfii

Pxfirr

a conjectura f (r)(x) = P(r) é verdadeira


Polinómios de Taylor de algumas funções importantes

∑=

+++ +

−=

+−

+−+−=n

r

rr

nn

n xr

xn

xxxxp0

12125312 )!12(

)1( )!12(

)1(!5

1!3

1)(

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0xxf sen)( =



∑=

−=

−+−+−=

n

r

rr

nn

n xr

xn

xxxp0

22422 )!2(

)1( )!2()1(

!41

!211)(

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0xxf cos)( =



∑=

=++++=n

r

rnn x

rx

nxxxp

0

2

!1

!1

!211)(

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0xexf =)(



∑=

++

−−

=−−

+−−+−−−=n

r

rr

nn

n xr

xn

xxxxp1

1132 )1()1()1()1()1(

31)1(

21)1()(

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 1xxf ln)( =



∑=

++ −=

−+−+−=

n

r

rr

nn

n xr

xn

xxxxp1

1132 )1()1(

31

21)(

Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0)1ln()( xxf +=


Estimativa do resto de um polinómio de Taylor

Queremos calcular:Estimativa do erro cometido ao substituirmos a função f (x) por qualquer um dos

seus polinómios de Taylor

Temos que definir:o resto do polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado no ponto x = a.

∑=

−−=−≡n

r

rr

nn axr

afxfxpxfxR0

)(def)(

!)( )( )( )()(Definição

Rn(x) pode por vezes ser estimado recorrendo ao seguinte teorema:

)()!1(

)( )( 1)1(

++

−+

= nn

n axn

cfxR

Teorema (Teorema de Taylor)Se f (x) for derivável (n+1) vezes no intervalo [a, x] , em que x > a, então existe um número c ∈ ] a, x[ tal que:

(Se x < a, basta trocar [a, x] por [x, a] e ]a, x[ por ]x, a[ no enunciado acima escrito)



Se conseguirmos majorar o valor absoluto do resto, isto é, descobrir um número positivo M tal que para todos os valores de x num certo intervalo:

MxRn )( ≤

vamos poder obter uma estimativa do valor de Rn(x).

Fórmula de Taylor “de grau n” com resto no ponto x = a

)()( )1()( +nn r ff=+= )( )( )( xRxpxf nn )(

)!1()( )(

!)( 1

)1(

0

)(+

+

=

−+

+−∑ nnn

r

rr

axn

cfaxr

af

)()!1(

)( )(!

)()(!2

)())(()( 1)1()(

2 ++

−+

+−++−′′

+−′+= nn

nn

axn

cfaxn

afaxafaxafaf

em que c é um número “compreendido entre a e x, isto é, c ∈ ]a, x[se a < x, ou c ∈ ]x, a[ se x < a.



• Se fizermos x – a = h ⇔ x = a + h podemos reescrever a fórmula de Taylor “de grau n” com resto no ponto x = a de uma forma alternativa:

)!1(

)( !

)(!2

)()()()( 1)1()(

2 ++

++++

′′+′+=+ n

nn

nh

ncfh

nafhafhafafhaf

)O( !

)(!2

)()()( 1)(

2 ++++′′

+′+= nnn

hhn

afhafhafaf

em que a notação O(hn+1) que se lê “da ordem de hn+1” pretende salientar oem que a notação O(h ), que se lê da ordem de h , pretende salientar ofacto de o resto do polinómio de Taylor de grau n ser proporcional a hn+1.

O resultado expresso no teorema de Taylor pode ser utilizado na prática para:

1. obter uma estimativa do erro cometido com a aproximação pn (x) para um valor fixo do grau n do polinómio;

2. calcular o menor valor do grau n que deve ser utilizado para um valor fixo do erro máximo que pode ser cometido.



Exemplo 1

Calcular 1/e utilizando o polinómio de Taylor de grau 3 para a função f(x) = ex centrado no ponto x = 0 . Em seguida, obter uma estimativa do erro cometido com esta aproximação.

E l 2Exemplo 2

Calcular e com erro inferior a 0.001, utilizando para o efeito um polinómio de Taylor de grau apropriado para a função f(x) = ex centrado no ponto x = 0.


Série de Taylor (ou de Mclaurin)

Se a função f (x) for infinitamente derivável no ponto x = apodemos em teoria considerar o polinómio de Taylor “de grau infinito” da função f (x) centrado no ponto x = a. A este polinómio “de grau infinito” chamamos série de Taylor da função f (x) centrado no ponto x = a (ou “em torno do ponto x = a ”):

∑∑→→

∞

−=≡−n

rr

nr

rax

rafxpax

raf )(def)(

)(!

)( lim )(lim )(!

)(Definição

∑∑=∞→∞→= rnnr rr 00 !!

No caso de a = 0 designa-se a série de Taylor pelo nome alternativo de série de Maclaurin da função f (x).


Série de Taylor (ou de Mclaurin)

A série de Taylor da função f (x) centrada no ponto x = a só será igual à própria função f (x) para intervalos bem definidos da variável x onde Rn(x)→0:

Teorema Se f (x) for infinitamente derivável no ponto x = a, e se então:

0 )(lim =∞→

xRnn

∑∞

=

−=0

)()(

!)()(

r

rr

axr

afxf

Se esta condição for satisfeita dizemos que:a série de Taylor da função f (x) centrada no ponto x = a convergepara a função f (x) ou então

f f ( ) l é lque a função f (x) pode ser representada pela sua série de Taylor centrada no ponto x = a .

O conjunto de valores reais de x para os quais este resultado é válido designa-se por:

intervalo de convergência da série de Taylor de f (x) centrada no ponto x = a .

fora deste intervalo de convergência, a função f (x) nunca deverá ser representada pela sua série de Taylor centrada no ponto x = a

mesmo se a função e a sua série de Taylor estiverem ambas definidas!


Determinação do intervalo de convergência utilizando o teorema de Taylor

Utilizando o teorema de Taylor, é possível (embora trabalhoso!) calcular-se o intervalo de convergência da série de Maclaurin de cada uma das quatro funções cujos polinómios de Taylor centrados em x = 0 foram obtidos atrás:

IRxxxxxr

xr

rr

∈∀−+−=+

−=∑

∞

=

+ ,!5

1!3

1)!12(

)1(sen 53

0

12

IRxxxxr

xr

rr

∈∀−+−=−

= ∑∞

=

, !4

1!2

11)!2()1( cos 42

0

2

∑∞ 11 2

Para calcular logaritmos quando x > 1 usamos a conhecida propriedade dos logaritmos:

IRxxxxr

er

rx ∈∀+++== ∑=

,!2

11!

1 2

0

] ]1 , 1 ,31

21 )1()1ln( 32

1

1−∈∀−+−=

−=+ ∑

∞

=

+

xxxxxr

xr

rr

xx

+−≡+

11ln )1ln(

Como calcular ln(3)?


Cálculo da soma exacta de séries numéricas convergentes

Atribuindo valores numéricos a x dentro do intervalo de convergência da série de Taylor ou de Maclaurin de uma função f (x), esta série transforma-se numa série de números reais

que é necessariamente convergente para o valor que a função f (x) assume nesse ponto.

útil para calcular a soma exacta de muitas séries numéricas que sabemos serem convergentes não sabendo para que valor convergem.

IRxxxxr

er

rx ∈∀+++== ∑∞

=

,!2

11!

1 2

0e

rr

x

!41

!31

!2111

!1

0

1=+++++=⇒ ∑

∞

=

=

IRxxxxxr

xr

rr

∈∀−+−=+

−=∑

∞

=

+ ,!5

1!3

1)!12(

)1(sen 53

0

12

,!4

1!2

11)!2()1( cos 42

0

2 IRxxxxr

xr

rr

∈∀−+−=−

= ∑∞

=

] ]1 , 1 ,31

21 )1()1ln( 32

1

1−∈∀−+−=

−=+ ∑

∞

=

+

xxxxxr

xr

rr

1sen !7

1!5

1!3

11 )!12(

)1( 0

1=+−+−=

+−

⇒ ∑∞

=

=

r

rx

r

1 cos !6

1!4

1!2

11 )!2()1(

0

1=+−+−=

−⇒ ∑

∞

=

=

r

rx

r

2ln 41

31

211 )1(

1

11=+−+−=

−⇒ ∑

∞

=

+=

r

rx

rFEUP / MIEQ 21Joana Peres / Análise Matemática I

Obtenção de novas séries de Taylor ou de Maclaurinpor substituição a partir de séries conhecidas

Como as séries que deduzimos são identicamente iguais às correspondentes funções para todos os valores de x dentro do intervalo de convergência, é possível obter novas séries por substituição, desde que a série assim obtida seja ainda uma série de Taylor (ou de Maclaurin). O intervalo de convergência da nova série poderá ser deduzido entrando em linha de conta com a substituição efectuada e com o intervalo de convergência da série original.

⇒∈∀−+−=+

−= ∑

∞

=

+ )2(,)2(!5

1)2(!3

1)2( )2( )!12(

)1( 2sen 53

0

12 IRxxxxxr

xr

rr

IRxxxxxx rrr

∈∀−+−=−

=⇒ ∑∞

++

,!5

2!3

22)!12(

2)1( 2sen 55

33

1212

⇒∈−∀−+−+−+=−= ∑∞

=

− )(,)(!3

1)(!2

1)(1)(!

1 32

0IRxxxxx

re

r

rx

⇒≤<−−+−=−

=+ ∑∞

=

+

1 2 1 ,)2(31)2(

21)2( )2()1( )21ln( 32

1

1xxxxx

rx

r

rr

rr +∑= !5!3)!12(0

IRxxxxxr

er

rr

x ∈∀−+−=−

=⇒ ∑∞

=

− ,!3

1!2

11!)1( 32

0

21

21 ,

3822 2)1( )21ln( 32

1

1≤<−−+−=

−=+⇒ ∑

∞

=

+

xxxxxr

xr

rrr


Série geométrica de razão x

A série de Maclaurin da funçãox

xf−

=1

1)(

é por definição a série seguinte:

++++=∑∞

=

32

01 xxxx

r

r série geométrica de razão x

só converge quando 1 <xe converge para

x−11

jou seja:

] [1 , 1,1 1

1 32

0−∈∀++++==

− ∑∞

=

xxxxxx r

r

Por exemplo:

] [1 , 1,1)1( 1

1 32

0−∈∀+−+−=−=

+ ∑∞

=

xxxxxx r

rr

série geométrica alternada


10 - séries de taylor e de maclaurin

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