Resumo:Neste trabalho foram expandidos e analisadas com uso de ferramentas computacionais algumas aproximaes atravs de polinmios de Taylor, com o intudo de observar graficamente a convergncia e verificar o raio de convergncia calculado das sries de Taylor. So propostas quatro funes para serem expandidas e aproximadas para as seguintes quantidades de termos: 1,2,3,5 e 10 centrados em 0 ou em algum outro ponto. Para cada srie foi encontrado o termo geral atravs das funes bsicas ou da definio e verificado pelo teste da razo, a convergncia e seu raio de convergncia. Todo o desenvolvimento aqui presente ser apresentado na forma de seminrio em sala de aula.

IntroduoAs sries de Taylor so de profunda importncia em matemtica para o Clculo e a Analise Real, sendo uma ferramenta inestimvel para diversos campos da engenharia, tanto para compreenso de outros conceitos matemticos, quanto em aplicaes das sries para clculos de funes como a exponencial em computadores, resoluo de equaes diferenciais, dentre vrios outros. A srie de Taylor tem sua origem fundada em muitos conceitos que fundamentam a base da disciplina de Clculo, remontando ideias surgidas na Grcia antiga e o prprio desenvolvimento do Clculo no sculo XVII. O conceito das sries de Taylor foi descoberto pelo matemtico escocs James Gregory(1638-1675), e introduzido formalmente pelo matemtico ingls Brook Taylor (1685-1731) que sem conhecer o trabalho de Gregory em 1715 publica seu trabalho sobre Clculo:Methodus Incrementorum Directa et Inversa [1]. Quando a srie de Taylor centrada no ponto 0, ela conhecida como srie de Maclaurin, em homenagem ao matemtico escocs Colin Maclaurin (1698-1746) que com base no trabalho de Taylor utilizou este caso particular em seu trabalho de 1742 intitulado Treatise on Fluxions [2].Antes de entrar no conceito de srie de Taylor e polinmio de Taylor, de grande importncia revisar a definio de polinmio e quais as propriedades que faz com que este tipo de funo seja to interessante para estudos e anlises.Um polinmio p de grau n pode ser representado da seguinte maneira:

Efetuando apenas operaes de adio e multiplicao possvel calcular o valor de p para qualquer valor de x real, ento p dita uma funo real em x. No Clculo, as funes polinomiais so consideradas as mais simples, diferente das funes trigonomtricas ou logartmicas que no possuem tal simplicidade. Da a importncia da aproximao por polinmios de Taylor, pois assim possvel aproximar qualquer funo para uma forma polinomial, com uma margem de erro to pequena quanto se queira.O polinmio de Taylor est na forma (x-a), sendo centrado em x=a, da seguinte forma:

Neste caso temos que: , derivando p sucessivamente, temos:

Logo, pode-se mostrar por induo que:

Dada uma funo que tenha derivadas at ordem n no ponto x=a, associamos a f o polinmio de grau n dado por:

Onde os coeficientes so definidos por:

O polinmio recebe o nome de Polinmio de Taylor de grau n para f centrada em . Escrevendo com a notao de somatrio, temos que:

Sries infinitas formam a base para que nos permite expressar muitas funes como polinmios infinitos e, ao mesmo tempo, calcular o erro quando truncamos esses polinmios para torna-los finitos. Alm de produzir aproximaes polinomiais eficazes de funes diferenciveis esses polinmios infinitos tm muitas outras utilidades.[3]Se comearmos com uma funo arbitrria que infinitamente derivvel em um intervalo I centrado em x=a e a usarmos para gerar uma srie na forma do polinmio de Taylor. Ento, a srie de Taylor gerada por f em x=a :

Fazendo a=0, obtemos o caso particular chamado de srie de Maclaurin.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funes trigonomtricas, exponenciais e logartmicas em polinmios.Uma vez que utilizando as derivadas para encontrar um termo geral, expandimos algumas funes bsicas, possvel desenvolver outras atravs de substituio e manipulaes algbricas, facilitando o trabalho de encontrar um polinmio. Segue algumas das funes comuns que sero utilizadas de base neste trabalho.

Funo exponencial:

ou

Srie geomtrica:

Funes trigonomtricas:

Existem vrios testes de convergncia e raio de convergncia, sento este raio que define a regio de convergncia de uma srie infinita, se olharmos para as funes acima veremos que a nica dessas que possu raio finito da srie geomtrica cujo o raio 1. Para analisar a convergncia das sries encontradas neste trabalho ser utilizado o teste da razo, em que calculado o seguinte limite:

Sendo possvel afirmar para L:

Primeira funo, Curva Gaussiana.A funo que representa a curva Gaussiana, extremamente conhecida pelo seu uso como uma das mais importantes distribuies da estatstica conhecida como distribuio normal. Segue abaixo a funo e o grfico correspondente

Grfico 1. Curva Gaussiana.A proposta desenvolver a srie de Taylor para a curva gaussiana centra em zero, logo:Valendo-se de:

Fazendo uma substituio de por , obtm-se:

Aproximando a funo pelo polinmio de Taylor, veja a seguir os polinmios e representao grfica destas aproximaes. Para um termo, representada em vermelho no grfico 2:

Dois termos, representada em azul no grfico 2:

Trs termos, representada em verde escuro no grfico 2:

Cinco termos, representada em cor de rosa no grfico 2.

Dez termos, representada em verde claro no grfico 2.

Utilizando-se o programa Wplotpr para Windows, possvel observar as aproximaes utilizando-se os polinmios de grau 1, 2, 3, 5, e 10. Conforme o grfico a seguir:

Grfico 2. Aproximaes para curva gaussiana.

Como a srie foi encontrada atravs de uma simples substituio na srie da funo exponencial, que j sabe-se que possu raio infinito, esperamos que seu raio de convergncia seja infinito, segue abaixo o teste da razo:

Segunda funo, produto dos quadrados de seno e cossenoSegue abaixo a funo e seu grfico:

Grfico 3. Segunda funo.Assim como na primeira funo, a proposta expandi-la centrada em zero. Porm para fazer com que est funo fique em uma forma mais conveniente substituio pelas sries que conhecemos das funes trigonomtricas, ser necessrio fazer algumas manipulaes algbricas, utilizando duas identidades trigonomtricas:

Logo:

Substituindo pela srie do cosseno vem:

Segue o grfico de aproximao:

Grfico 4. Aproximaes da segunda funo.O polinmio com o primeiro termo est representado em azul no grfico 4.

O polinmio com dois termos est representado pela cor verde no grfico 4.

O polinmio com trs termos est representado pela cor de rosa no grfico 4.

O polinmio com cinco termos est representado na cor alaranjado no grfico 4.

O polinmio com dez termos est representado pela cor vermelha no grfico 4.

Segue o teste da razo para esta srie centrada em 0:

Terceira funo, funo racional.Segue abaixo a funo racional deste exemplo e o seu grfico.

Grfico 5. Terceira funo.Para esta funo centrada em 0, bastante fcil fazer uma substituio na srie geomtrica:

Veja que utilizando a substituio e sabendo-se que a srie geomtrica comum tem raio 1 foi possvel descobrir que esta tem raio 3. Confirmando pelo teste da razo tem-se:

O polinmio de primeiro grau est representado em azul no grfico 6.

O polinmio de segundo grau est representado pela cor verde no grfico 6.

O polinmio de terceiro grau est representado pela cor de rosa no grfico 6.

O polinmio de quinto grau est representado na cor alaranjado no grfico 6.

O polinmio de dcimo grau est representado pela cor vermelha no grfico 4.

Grfico 6. Aproximaes para terceira funo centrada em zero.

Para esta funo foi feita tambm uma aproximao centrada em a=6. Para isso foi utilizada a prpria definio do polinmio de Taylor, fazendo as derivadas chega-se rapidamente a seguinte concluso:

O polinmio de primeiro grau est representado em azul no grfico 7.

O polinmio de segundo grau est representado pela cor verde no grfico 7.

O polinmio de terceiro grau est representado pela cor de rosa no grfico 7.

O polinmio de quinto grau est representado na cor alaranjado no grfico 7.O polinmio de dcimo grau est representado pela cor vermelha no grfico 4.

Grfico 7. Aproximaes para terceira funo centrada em a=6.Fazendo o teste da rao para esta srie temos:

Quarta funo, segunda funo racional.Segue abaixo a funo racional deste exemplo e o seu grfico.

Grfico 8. Quarta funo.

Esta funo tambm remete a srie geomtrica, porm necessrio fazer uma decomposio por fraes parciais, seque que:

Substituindo para srie centrada em a=0:

Observando que a srie composta pela soma de duas sries convergentes centradas em zero, j vistas neste trabalho com raios conhecidos, 1 e 3 respectivamente.

Como o raio de convergncia o menor, neste caso: R=1. Segue o grfico de aproximao:

Grfico 9. Aproximao da Quarta funoSendo as aproximaes representas por P1 em azul, P2 em alaranjado, P3 em cor de rosa, P5 em verde e P10 em vermelho

Referencias[1] http://www.17centurymaths.com/contents/taylorscontents.html[2] http://web.archive.org/web/20071031133538/http://www.m-a.org.uk/docs/library/2064.pdf [3] Tomas, George B. Clculo Volume 2, (2005)

Sries de Taylor e MaclaurinSeminrio de Clculo VI

Aluno: Junio Cesar Ferreira Professor: Mauricio Chiarello Universidade de Franca - UNIFRAN