secretaria de estado da educação de santa catarina 22ª...

Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina – 22ª GEREI

1) Escola de Ensino Médio Macário Borba

Município: Sombrio

Disciplina: Matemática

Série: 2º ano Nível: Ensino Médio Turma: 01

Professora: Patrícia Becker Delfino

Tempo Previsto: 3 horas/aula

2) Tema: Trigonometria

Subtemas: Equações Trigonométricas

3) Justificativa

Sabemos que o ato de medir envolve sempre uma comparação entre grandezas, mas

há vários caminhos pelos quais podemos fazer uma medição, a escolha de um deles depende

da necessidade e da possibilidade de cada situação. Por exemplo, como é possível medir a

altura de uma torre ou de uma árvore, a largura de um rio ou a distância entre dois planetas,

para resolver estes certos problemas é necessário termos noções de Trigonometria.

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática

responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos

retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos

notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno,

cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas

na busca pela relação entre os ângulos e os lados.

Em relação ao conteúdo de equações trigonométricas, uma das grandes diferenças

dessas equações para as demais equações é a natureza periódica das funções que originam

estas equações.

4) Objetivos:

a) Identificar equações trigonométricas do tipo seno, cosseno, tangente, cotangente,

cossecante, secante;

b) Resolver problemas que envolvam equações trigonométricas;

c) Determinar soluções das equações trigonométricas em IR e em Intervalos Determinados.

5) Conteúdos envolvidos:

- Funções trigonométricas;

- Valores dos arcos e ângulos;

- Números Reais;

- Intervalos no Ciclo Trigonométrico.

6) Estratégia:

6.1 – recursos: quadro, folha de papel, multimídia, jogo da trilha.

6.2 – técnicas: aula expositiva dialogada, atividades em sala de aula.

7) Procedimentos

7.1 – Problematização:

1) Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios variam

periodicamente em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua profundidade

determinada pela função d(t) = 3sen [ π/6 (t – 4) ] + 8, onde d é a sua profundidade em metros

e t é a sua hora do dia ( sendo t = 0 à meia noite e t medido na forma de 24 h). Qual o horário

em que esse rio atinge 6,5 m de profundidade?

2) A escada magirus de um caminhão de bombeiros atinge um ponto de um edifício a

13 m de altura em relação ao solo plano e horizontal. Sabe-se que a base dessa escada está a

3m de altura em relação ao solo e a 10m de distância do edifício, conforme mostra a figura.

Qual a medida do cateto vertical do triângulo destacado?

Qual é a medida α do ângulo agudo que a escada forma com a horizontal?

7.2 – Historicização:

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do

desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela

Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e

babilônios.

A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao

certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a

civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo

sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de

suas cordas. O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de

ser chamado "o pai da Trigonometria", pois, na segunda metade do século II a.C., fez um

tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela

trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. O objetivo principal da trigonometria é

determinar medidas de ângulos e distâncias inacessíveis.

7.3.1 – Operacionalização da aula:

A aula será iniciada relembrando o que são equações e que já estudamos equações do

1º grau, do 2º grau, exponenciais e logarítmicas. Também lembraremos o ciclo

trigonométrico, bem como suas posições; em seguida cada aluno receberá um ciclo

trigonométrico.

Após este breve diálogo, entraremos nas equações trigonométricas, apresentando

primeiramente aos educandos as problematizações e a historicização. Logo, começarei a

seguinte explicação.

Equações Trigonométricas

Equações trigonométricas são aquelas que envolvem funções trigonométricas de

incógnita que se deseja determinar. Equações do tipo:

Utilizaremos como exemplo:

.

No intervalo : Marcando no eixo das ordenadas o valor

. Em seguida, traçamos

pelo ponto 2

1uma reta horizontal paralela ao eixo das abscissas. Logo, no intervalo

, o conjunto solução da equação

é S=

.

No conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a

também tem seno igual a

. Logo,

. O mesmo pode-se considerar para

, assim tem-se

.

Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação

é S=

.

- E para

? O que precisamos fazer para chegar ao valor de x no intervalo

? E em IR?

Resolução:

No intervalo : Localizamos o quadrante em que o seno tem valor negativo e em

seguida onde ele vale

. Assim, obtemos os valores de x.

.

Em IR: Todo arco côngruo a

também tem seno igual a

. Logo,

. O mesmo

pode-se considerar para

, assim tem-se

. Logo, no conjunto dos números reais,

o conjunto solução da equação

é S=

.

Exemplos:

1) Resolver a equação

a) para Determinando os pontos do círculo trigonométrico que tem ordenada

igual a 1, obtemos apenas um ponto que satisfaz essa condição, o ponto A representado a

seguir. Assim temos

. Logo,

.

b) em IR: O conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados ao ponto

A, nas infinitas voltas do círculo trigonométrico, logo:

.

2) Resolva a equação

, sendo U=IR:

ou

Logo,

.


a) no intervalo Fazendo

.

Resolvendo a equação:

Voltando a substituição:

.

Resolvendo as equações trigonométricas:

Logo,

.

b) em IR: O conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados ao ponto

A, nas infinitas voltas do círculo trigonométrico, logo:

.

. Utilizaremos como exemplo

:

No intervalo : Marcando no eixo das abscissas o valor

, traçamos pelo ponto

uma reta vertical, paralela ao eixo das ordenadas. Logo, no intervalo o conjunto

solução da equação

é

.


também tem cosseno igual a

.

Logo,


, assim tem-se

.


é S=

.

- E para

? O que precisamos fazer para chegar ao valor de x no intervalo

? E em IR?

Resolução:

No intervalo : Localizamos o quadrante em que o cosseno tem valor negativo e

em seguida onde ele vale

. Assim, obtemos os valores de x.

.

Em IR: Todo arco côngruo a

também tem cosseno igual a

. Logo,

. O

mesmo pode-se considerar para

, assim tem-se

. Logo, no conjunto dos números

reais, o conjunto solução da equação

é S=

.

Exemplos:


para e para em IR:

Para : Devemos localizar no ciclo trigonométrico onde o cosseno tem valor

negativo, após onde ele vale

. Assim, obtemos

ou

. Logo, o conjunto solução

para a equação

no intervalo é

.

Em IR, sabemos que o conjunto solução da equação é formado pelos números reais

associados a

ou

, nas infinitas voltas do círculo trigonométrico, logo:

.


a) para : Quando uma equação apresenta seno e cosseno, um recurso muito útil

para transformá-la em uma equação equivalente, que apresente somente seno ou cosseno, é

aplicar uma das identidades: ou . Na equação

proposta, vamos substituir por , obtendo:

Efetuamos a mudança da variável

.

Como , temos

.

Resolvendo essas equações temos:

Logo,

b) em IR: Observando que as raízes obtidas estão associadas a pontos que dividem a

circunferência trigonométrica em três arcos congruentes, temos, no universo IR, o conjunto

solução S da equação:

.

3) Resolva a equação , para Precisamos encontrar os pontos da

circunferência trigonométrica que tem . Portanto, os valores de x são

. Sabendo que em IR o conjunto solução da equação é formado por

e

, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo:

.

Com o que estudamos até o momento podemos resolver o nosso primeiro problema

proposto no início da aula:

Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios variam

periodicamente em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua

profundidade determinada pela função

, onde d é a sua

profundidade em metros e t é a sua hora do dia ( sendo t = 0 à meia noite e t medido na

forma de 24 h). Qual o horário em que esse rio atinge 6,5 m de profundidade?

Resolução: Se

Agora devemos verificar onde

, logo obtemos

e

.

Assim, podemos resolver as equações:

Para

Para

Para

Para

ou

Para

Para

Para

Para

Levando-se em conta que , a solução da equação

tem como resoluções , ou seja, o rio atinge a profundidade de 6,5 metros às 3h,

11h, 15h e 23h.

Utilizaremos como exemplo

:

No intervalo Marcamos no eixo das tangentes o valor da ordenada

.

Unimos esse ponto de ordenada

com o ponto O, até obter um diâmetro na circunferência.

Logo, no intervalo , o conjunto solução para a equação

é:

.


também tem tangente igual a

.

Logo,


, assim tem-se

.


é S=

.

Exemplos:

1) Determine o conjunto solução da equação , para .

Fazendo

Daí, obtemos: ou

Voltando à substituição: .

Logo,

.

Temos como solução:

.


a) para Marcamos no eixo das tangentes o ponto de ordenada -1 e traçamos por

ele uma reta que passa pelo centro da circunferência trigonométrica. Essa reta intercepta a

circunferência em dois pontos, aos quais são as raízes da equação. Assim encontramos o

conjunto solução, onde

. Logo,

.

b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos

números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência

trigonométrica, logo:

.

3) Resolva a equação para Marcamos no eixo das tangentes o

ponto de ordenada 1 e traçamos por ele uma reta que passa pelo centro da

circunferência trigonométrica. Essa reta intercepta a circunferência em dois pontos,

aos quais são as raízes da equação. Assim encontramos o conjunto solução, onde

. Logo,

.

Agora conseguimos resolver o segundo problema proposto:

A escada magirus de um caminhão de bombeiros atinge um ponto de um edifício a

13 m de altura em relação ao solo plano e horizontal. Sabe-se que a base dessa escada está

a 3m de altura em relação ao solo e a 10m de distância do edifício, conforme mostra a

figura.

Qual a medida do cateto vertical do triângulo destacado?

Qual é a medida α do ângulo agudo que a escada forma com a horizontal?

Resolução: Para calcularmos a medida do cateto vertical basta diminuirmos da altura do ponto

do edifício em que a escada magirus alcança a altura da base da mesma em relação ao solo.

Assim temos, . Logo, a medida do cateto vertical é de 10m. Agora

devemos achar a medida de α que a escada forma com a horizontal. Obtemos,

. Olhando no ciclo trigonométrico podemos verificar que

, ou ainda, 45º. Ou

seja, a escada forma um ângulo agudo de 45º com a horizontal.

, para Utilizaremos como exemplo .

No intervalo Sabendo que

e que , para verificarmos

em que ponto a , basta sabermos em que ponto e tem o mesmo valor.

Assim, podemos verificar que

. Logo,

.

No Conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a

também tem cotangente igual a .

Logo,


, assim tem-se

.

Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S=

.

Exemplos:

1) Resolva a equação: :

a) para Podemos utilizar a circunferência trigonométrica e ir calculando a razão

entre os cossenos e os senos até obter . Mas caso não tenhamos a circunferência

trigonométrica, podemos fazer da seguinte maneira:

.

Logo,

ou

.

.




.

2) Resolva a equação:

:

a) para

.

Logo,

ou

.

.




.

para Utilizaremos


e que , para verificarmos em

que ponto a , basta sabermos em que ponto tem valor que podemos dividir de 1

e que podemos obter 2. Assim, podemos verificar que

. Caso não tenhamos o

circulo trigonométrico podemos calcular da seguinte maneira:

. Assim,

ou

. Logo,

.


também tem secante igual a .

Logo,


, assim tem-se

.

Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S=

.

Exemplos:


sendo :

.

Assim,

ou

. Sabendo que , temos: S=

.

2) Resolva a equação :

a) para

.

Assim,

ou

. Logo,

.




.

para . Utilizaremos


e que , para verificarmos

em que ponto a , basta sabermos em que ponto tem valor que podemos

dividir de 1 e que podemos obter -1. Assim, podemos verificar que

. Caso não

tenhamos o circulo trigonométrico podemos calcular da seguinte maneira:

. Assim,

. Logo,

.


também tem cossecante igual a

. Logo,

. Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação

é S=

.

Exemplos:


a) para

.

Assim,

ou

. Logo,

.




.


a) para

.

Assim,

ou

. Logo,

.




.

Após o término da explicação e da aplicação de exemplos a turma será dividida em

grupo de 4 componentes para jogar o jogo da trilha. Onde o aluno que cair na casa verde

deverá avançar uma casa, o que cair na casa vermelha deverá ficar uma rodada sem jogar e o

que cair na casa amarela deverá pegar uma pergunta sobre equações trigonométricas e

responder, caso acerte poderá avançar uma casa, se errar deverá voltar uma casa.

?

?

?

corresponde ao que no ciclo trigonométrico?

Resolva a equação:




Obtenha o conjunto solução da equação:

Resolva, em IR, a equação:


O que significa TRIGONOMETRIA?

Qual o objetivo principal da trigonometria?

Identifique no ciclo trigonométrico onde











Logo alguns exercícios serão passados para que os alunos resolvam e possam tirar suas

dúvidas.

Exercícios

1) Calcule as seguintes equações, para :

a) d)

b) e)

c) f)

7.4.1 – Conclusão da aula:

Aplicação da prova.

8) Avaliação

O seguinte trabalho será entregue para que os alunos para resolverem durante a aula

a fim de identificar os conceitos abordados sobre equações trigonométricas.

Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio

Nome:________________________________ Turma:__________ Data:___/___/_____

Conteúdo: Equações Trigonométricas Peso: 10 pontos Nota:______

PROVA DE MATEMÁTICA

1) Considerando os conceitos aprendidos sobre equações trigonométricas, determine se as

sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando as que julgar falsas:

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do

desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela

Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e

babilônios.

Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os egípcios ou se

eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais.

para

Equações trigonométricas são aquelas que envolvem funções trigonométricas de

incógnita que se deseja determinar.

2) Na equação , o conjunto solução é:

a)

b)

c)

d)

3) Resolva a equação , para

4) Um engenheiro projetou uma rampa reta e plana, com 100m de comprimento, que vai unir

dois patamares horizontais entre os quais há um desnível vertical de 50m. iniciada a

construção a partir do patamar inferior, determine a inclinação da rampa, ou seja, a medida do

ângulo agudo que deve ser mantida constante, entre o plano da rampa e o plano horizontal,

para que a construção termine exatamente no nível do patamar superior:

5) Determine a soma das alternativas verdadeiras:

02 – Na equação

, temos

05 – Na equação , temos conjunto solução

.

08 –

, para

01 –

para

SOMA:

BOA SORTE!!!

8.1.1 – Instrumentos de avaliação

Prova.

9) Bibliografia

PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Editora Moderna 1ª Edição; 2009.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; JR, José Ruy Giovanni. Matemática

Fundamental – Uma nova abordagem. São Paulo: Editora FTD S.A. Volume único; 2002.

SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Editora

Saraiva. 8ª Edição; 2013.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática. 4ª

Edição; 2010.

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