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SECRETARIA DA EDUCAÇÃOCoordenadoria de Gestão da Educação Básica 1

PCNP CéliaNúcleo Pedagógico de Jacareí

Diretoria de Ensino Região de JacareíOrientação Técnico-Pedagógica

Matemática março/2014

SECRETARIA DA EDUCAÇÃOCoordenadoria de Gestão da Educação Básica

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ORIENTAÇÕES DE MATEMÁTICA PARA A ORGANIZAÇÃO DOS TRABALHOS PARA O ANO LETIVO DE 2014

Para contribuir nessa tarefa apresentamos aos Professores do 6º ano uma proposta de resolução de problemas com base nas estruturas aditivas e multiplicativas com o objetivo de análise dos registros dos alunos. Para as demais séries/anos uma análise do Volume 4 do material de apoio e sugerimos que sejam retomadas e aprimoradas algumas competências e habilidades indicadas no Volume 4 da série/ano anterior, as quais podem ser relevantes à aprendizagem na série/ano subsequente. Este estudo oportuniza o encadeamento das ideias fundamentais da Matemática, visto que o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo apresenta uma abordagem espiralada. Cabe ao Professor traçar o mapa de relevância do volume a ser estudado e verificar a escala adequada para trabalhar com sua turma. Esperamos que esta sugestão possa contribuir com trabalho do Professor nos primeiros dias letivos de 2014. Bom trabalho!


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5ª série / 6º ano do Ensino Fundamental Apresentamos uma proposta de sondagem inicial para detecção do estágio de aprendizagem referente aos saberes estruturantes do campo aditivo e multiplicativo apoiado nos registros obtidos nos protocolos de resolução de problemas aplicados aos alunos do 6º ano do Ciclo Intermediário do Ensino Fundamental.


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Introdução

Muito se têm discutido sobre os objetivos, quando se aplica um diagnóstico aos alunos, na maioria dos casos, o objetivo principal, é a detecção quantitativa dos acertos e erros dos alunos referentes à lista de problemas que foram aplicados. A partir destes dados, prepara-se um relatório, que, pode oferecer ao professor uma visão panorâmica, concernentes aos conhecimentos dos educandos quanto aos saberes adquiridos nas etapas anteriores de aprendizagem auferidos aos educandos. A metodologia apresentada acima é totalmente válida, porém não se pode entender como um “produto final” de um processo, ela apenas apresenta indicadores quantitativos do processo, desta forma se faz necessário, apontar alguns indicadores que possibilitem identificar a causa do sucesso ou insucesso obtido em determinada atividade diagnóstica, ou seja, indicadores que possibilitem uma reflexão de percursos de aprendizagens que o educando formalizou em toda sua trajetória de aprendizagem.


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Ao aliarmos as duas metodologias apresentadas acima, a saber, a quantitativa e a qualitativa, resultam em um aspecto muito amplo que implica na realização de uma prática reflexiva do professor, campo de estudo do pesquisador Donald Schön, que destacaremos a seguir. O autor refere-se à prática reflexiva sob dois aspectos: conhecimento, aprendizagem e o ensino, primeiramente o autor ressalta a noção de saber

escolar é um conhecimento que os professores possuem e são transmitidos aos alunos, este saber é tido como certo, significando uma profunda crença em saberes que já são estabelecidos pelos alunos, e destaca que esse saber: É molecular, feito de peças isoladas, que podem ser combinadas em sistemas cada vez mais elaborados de modo a formar um conhecimento avançado. A progressão dos níveis mais elementares para os níveis mais avançados é vista como um movimento das unidades básicas para a sua combinação em estruturas complexas de conhecimento. (SCHÖN, 1992, p. 81)


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Em contrapartida pode-se ilustrar uma segunda visão do conhecimento e do ensino, ou seja, do saber escolar, em que o trabalho docente está centralizado no esforço em aceitar o tempo correto de aprendizagem do educando, enfatizando a perfeita articulação dos diferentes níveis de reflexão que culminam no que o autor chama de conhecimento na ação descrito nos estudos de prática reflexiva e segundo Schön: Existe primeiramente um momento de surpresa: um professor reflexivo permite ser surpreendido pelo que o aluno faz. Num segundo momento, reflete sobre esse fato, ou seja, pensa sobre aquilo que o aluno disse ou fez e, simultaneamente procura compreender a razão por que foi surpreendido. Depois, num terceiro momento, reformula o problema suscitado pela situação; talvez o aluno não seja de aprendizagem lenta, mas pelo contrário, seja exímio no cumprimento das instruções. Num quarto momento, efetua uma experiência para testar a sua nova hipótese; por exemplo, coloca uma nova questão ou estabelece uma nova tarefa para testar a hipótese que formulou sobre o modo de pensar do aluno. (SCHÖN,1992, p. 80)


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Desta forma podem-se elencar três dimensões ou níveis de reflexões, para o perfeito estabelecimento da aquisição de novos saberes para o educando. O primeiro nível se refere a “reflexão-na-ação”, que incide num processo dialógico inserido numa situação problemática, circunscrita ao momento em que a própria ação ocorre, e a temporariedade que depende da duração e do ritmo da ação.

O segundo nível trata da “reflexão-sobre-a-ação”, que se desenvolve posteriormente à própria ação, através da formalização das ações, com apoio da linguagem, que tem a finalidade de mostrar aos educadores momentos de análise sobre o ensino que desenvolvem. É nesse momento que se toma a consciência do conhecimento tácito (conhecimento do cotidiano) que o educando traz para a escola e o conhecimento tácito que o professor formaliza ao promover o encadeamento de conhecimentos e de pensamentos de seus alunos.


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O último nível incide na retrospectiva das ações, ou seja, a “reflexão sobre a reflexão na ação”, indicando assim alguns subsídios como: o que aconteceu, o que se observou, qual foi o significado atribuído e que outros significados podem ser atribuídos à ação ocorrida. As contribuições de Schön são importantes para ressaltar a importância da experiência na prática incidindo sobre a o processo de ensino aprendizagem, defendendo de certa maneira a pesquisa-ação e o desenvolvimento de procedimentos que permitem ao educador aprimorar sua prática docente e assim enriquecendo o aprendizado do educando.


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Procedimentos metodológicos. Baseado na prática reflexiva, destacado no texto anterior, apresenta-se a seguir um processo que pretende subsidiar o professor de Matemática, que atuará em uma especificamente em uma turma do 6º ano do Ciclo Intermediário do Ensino Fundamental, durante os primeiros dias do ano letivo, tal período será de quinze dias. Desta forma estaremos dividindo este período em quatro fases distintas1, a saber: Fase 1 (Análise elementar) – Nesta fase, os professores realizam a análise dos problemas, verificando se há uma determinada relação existente entre os diferentes problemas apresentados e assim apresentar as possíveis estratégias de resolução que o aluno irá apresentar e indicar os problemas que

1LEMBRAMOS QUE EM UM PROCESSO DE SONDAGEM, NÃO CONVÉM NENHUMA FORMA DE EXPOSIÇÃO OU A FORMALIZAÇÃO DE CONCEITOS, APENAS O ACOMPANHAMENTO E REGISTRO DAS AÇÕES.


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apresentarão mais dificuldade de resolução e ainda os problemas deverão ser separados em quatro blocos distintos para os problemas de estrutura aditiva e multiplicativa, independente de seu nível de dificuldade de resolução2. Fase 2( Concepção e análise apriori) - Após o planejamento inicial, a fase 2, consiste na aplicação dos problemas com os alunos, divididas em aproximadamente quatro aulas no total, sendo, duas aulas para os problemas aditivos e duas para os multiplicativos. Na aplicação dos problemas a classe deverá estar dividida em grupos, com quatro alunos em cada grupo, sendo que este grupo realizará as atividades em duplas da seguinte maneira.

Uma dupla resolve os problemas aditivos e a outra os problemas multiplicativos, previamente estabelecidos na fase 1, em uma aula. Na outra aula a dupla que resolveu os problemas aditivos resolverá os problemas multiplicativos e vice-versa3.


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Verifica-se que nesta primeira etapa desta fase, não foi estabelecido nenhum processo de intervenção docente, e, portanto o único papel do professor, será o registro das ações que os alunos estão apresentando quanto a resolução dos problemas. A próxima etapa que tem duração de duas aulas consiste na discussão das resoluções apresentadas pelos alunos na etapa anterior, na qual, os alunos apresentarão as soluções dos problemas, sendo que na primeira aula discutem-se todos os problemas aditivos e na segunda aula os problemas multiplicativos. Fica a critério do professor de acordo com uma triagem pré-estabelecida, o problema que uma determinada dupla apresentará.

2 SOLICITA-SE AOS PROFESSORES NÃO SE ATENHAM NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS PROPRIAMENTE DITO E QUE DÊ PREFERÊNCIA NAS POSSIBILIDADES QUE OS ALUNOS IRÃO APRESENTAR QUANTO A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA. 3 TODOS OS PROTOCOLOS DE RESOLUÇÃO REALIZADOS PELOS ALUNOS DEVERÃO SER ENTREGUES AO FINAL DESTA ETAPA.


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A atuação docente nesta fase se resume simplesmente em duas ações a saber: o gerenciamento do tempo de apresentação dos alunos e o registro das observações. Solicitamos que para este bloco, os professores confeccionem cartazes com o enunciado dos problemas, nos cartazes os alunos apresentarão suas estratégias de resolução. Fase 3 (Experimentação) – Consiste no fechamento da ação pelo professor, que consiste nas duas últimas aulas destinadas ao período, na qual ele discutirá com os alunos a partir dos registros efetuados nos cartazes, quais as possíveis resoluções que não estão corretas e quais estão corretas. Fase 4- (Análise a posteriori) – Apesar de não estar inserida na aplicação propriamente dita da sondagem, esta fase trata da análise de todos os registro obtidos na aplicação e assim fornecer importantes subsídios para que o professor estabeleça um plano de ação docente para o ano letivo.


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Problemas de estruturas aditivas: A01- Pedro acabou de jogar duas partidas de bolinhas de gude. Ele perdeu treze na primeira partida e ganhou sete na segunda, e ele tem agora 45. Quantas ele tinha antes de começar a jogar? (Composição de transformação negativa)

A02- Mario ganhou apenas vinte figurinhas, jogando com Maria. Tem agora quarenta e cinco figurinhas. Quantas figurinhas ele tinha antes de jogar? (transformação positiva)

A03- Em uma festa de aniversário haviam doze crianças sete eram meninos, quantas meninas haviam na festa? (combinação)

A04- João jogou duas partidas de bolinha de gude. Na primeira partida ele ganhou dezesseis bolinhas. Na segunda partida ganhou nove. Ao final o que aconteceu?(composição de transformação positiva) A05- João jogou duas partidas de bolinha de gude. Na primeira partida ele ganhou dezesseis bolinhas. Na segunda perdeu nove. Ao final o que aconteceu?(composição de transformação positiva)

A06- Existem quatro meninas e cinco meninos sentados à mesa. Quantas crianças existem ao todo?(combinação)


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A07- João jogou duas partidas de bolinhas de gude. Na primeira partida ele ganhou nove bolinhas. Na segunda perdeu dezesseis. Ao final, o que aconteceu? (composição de transformação negativa)

A08- Pedro jogou duas partidas de bolinha de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou sete bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo duas bolinhas. O que ocorreu na segunda partida? (composição de transformação negativa)

A09- Marina comprou três livros. Dois livros custaram nove reais cada e o outro custou cinco reais. Quanto pagou pelos três livros? (transformação positiva)busca estado final

A10- Dos vinte pastéis que Cida colocou na mesa, nove já foram consumidos, Quantos ainda restam? (transformação negativa)

A11- Renata ganhou um livro de histórias. Já leu 135 páginas do livro e ainda faltam 86 para terminar. Quantas páginas tem o livro? (transformação positiva)

A12- Em um jardim foram contadas vinte e duas flores entre cravos e rosas, destas flores doze eram cravos. Quantas rosas existiam no jardim? (combinação)

A13- Maria tem 4 bonecas, Julia sua irmã tem 3 bonecas a mais. Quantas bonecas Maria têm a mais do que Julia. (comparação positiva)


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Problemas de Estrutura Multiplicativa.

M01- Para transportar 840 ovos, um motorista dispõe de 7 caixas e bandejas de 24 ovos, quantas bandejas o motorista irá montar? (isomorfismo de medida divisão por quota)

M02- Um restaurante faz um pedido de 540 garrafas de água mineral a $ 3,00 a cada unidade. Em cada pacote encontramos 12 garrafas, quantos pacotes o restaurante receberá? (isomorfismo de medida divisão por quota)

M03- Para vestir uma boneca, temos 5 calças e 12 blusas de cores variadas, de quantas maneiras se pode vestir uma boneca? (isomorfismo de medida – multiplicação- propabilidade)

M04- Um retângulo quadriculado é composto de 48 quadrados, sobre sua largura encontramos 8 quadrados, quantos quadrados encontramos em seu comprimento? (Produto de medidas – espaço continuo– configuração retangular)

M05- A diária de um hotel é de $ 250,00, por pessoa, quanto pagará um grupo de 5 pessoas por uma estadia de 17 dias? (Produto de medidas produto cartesiano bilinearidade)


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M06- Para regar as árvores de seu pomar, um produtor de frutas utilizou 560 litros de água por árvore. Se são necessárias 8 litros de água a cada dia. Quantas árvores existem no pomar? (Isomorfismo de medidas – divisão por quotas)

M07- Em uma caixa de chocolates, existem 6 chocolates amargos e 3 vezes a mais de chocolates com leite. Quantos chocolates com leite existem na caixa? (comparação multiplicativa)

M08- Em um Grupo A, existem 15 meninos, três vezes menos que no Grupo B. Quantos meninos existem no Grupo B? (comparação multiplicativa)

M09- Juan tem 54 figurinhas e verificou que tem o triplo da quantidade de figurinhas de Pedro, qual é a quantidade de figurinhas de Pedro? (comparação multiplicativa)

M10- Um objeto custa $ 18,00 em um supermercado e num armazém ele custa $ 27,00. Quantas vezes a mais esse objeto custa no armazém? (comparação multiplicativa)

M11- 3 novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários 8 para fazer um pulôver. Quanto pesará o pulôver? (isomorfismo de medida – multiplicação)

M12- Minha mãe quer comprar tecido a $ 24,80 o metro para fazer um vestido e um paletó. Ela necessita de 3,50 metros de tecido. Quanto ela deverá gastar? (isomorfismo de medida – multiplicação)


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Considerações Finais.

O processo de sondagem apresentado no contexto deste trabalho está centralizado na resolução de problemas, porém não se trata aqui a verificação de certos procedimentos que deverão ser aplicados na resolução destes, ou seja, para os problemas aditivos, a crença de que todos os problemas pertencentes a esta classe se resumem na verificação da relação parte todo, ou seja, dadas duas partes se pergunta sobre o todo, ou as possíveis variantes deste campo conceitual, e salientamos que existem outras classes de problemas em que podemos verificar as diferentes nuances dos problemas aditivos. Da mesma forma, concluímos que os problemas multiplicativos não se restringem apenas na crença de que a multiplicação pode inicialmente ser pensada apenas na adição de parcelas repetidas porém existem outras classes de complexidades variadas possibilitando ao educando o incremento de seu repertório de esquemas operatórios e assim estabelecer uma rede de conhecimentos a ser utilizada em qualquer situação problema.


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Anexo a este documento apresentamos um artigo, abordando em linhas gerais os estudos referentes à Teoria dos Campos Conceituais, de autoria da pesquisadora Profª. Sandra Magina, Phd em Educação Matemática, auxiliando o professor em suas possíveis indagações que surgirão no momento da análise dos registros apresentados pelos educandos.

“Prezado Professor, este trabalho que se propõe neste documento é de suma importância, pois estamos dando início a um estudo investigativo, a respeito das reais necessidades da implementação de ações referentes ao Ciclo Intermediário, notadamente na intervenção referente ao 6º Ano do referido ciclo.” Equipe Curricular de Matemática- CGEB/CEFAF/DEGEB

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