sec tema 1 teoria de sistemas 1314a ocw-5195

8/20/2019 Sec Tema 1 Teoria de Sistemas 1314a Ocw-5195

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Sistemas Electrónicos de Control

Curso 2013/2014-1

Tema 1. Teoría de Sistemas

Profesora: Rosa M. Fernández-Cantí


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ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a 2

Índice

1.

Introducción a la Teoría de Control ................................................................. ...................................... 4

2.

Representación de sistemas .................................................................................................................... . 5

2.1

Lenguajes matemáticos ................................................................. .................................................... 5

2.1.1 Ecuación diferencial (ED) .......................................................... .............................................. 5 2.1.2

Ecuaciones de estado (EE) .................................................................. ...................................... 7

2.1.3 Función de transferencia (FT) .............................................................................................. .... 9 2.2

Lenguajes gráficos ...................................................... ..................................................................... . 9

2.2.1

Esquemas de bloques ................................................................ ................................................ 9

2.2.2

Álgebra de bloques ......................................................... ........................................................ 10

2.2.3 Flujograma de señal ............................................................... ................................................. 14 2.2.4 Flujograma de estado ................................................................ .............................................. 14 2.2.5 Regla de Mason .............................................................................................................. ........ 15

2.3 Analogías ..................................................................... .................................................................... 17

2.4

Linealización ................................................................... ................................................................ 19

2.5

Ejercicios resueltos ................................................................ ......................................................... 22

3.

Respuesta temporal ............................................................... ................................................................. 32

3.1

Obtención de la respuesta temporal a partir de la ecuación diferencial (método clásico) ............. 32

3.2 Transformada de Laplace ............................................................................................................... 33

3.2.1

Definición y propiedades ............................................................... ......................................... 33

3.2.2

Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF) ........................................... 35

3.2.3

Solución de EDOs (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio s ............................ 35 3.2.4 Cálculo de residuos ............................................................ ..................................................... 36

3.3

Obtención de la respuesta temporal a partir de la función de transferencia .................................. 40

3.3.1 Diagramas de polos y ceros .................................................................................................... 40 3.3.2

Modos naturales ................................................................ ...................................................... 40

3.3.3 Polos dominantes ................................................................... ................................................. 42 3.4

Transitorios. Dinámica de orden 1, 2 y n ...................................................................... ................. 43

3.4.1 Dinámica de primer orden ............................................................. ......................................... 43 3.4.2

Dinámica de segundo orden.................................................................................................... 44

3.4.3 Bloque de segundo orden con un polo (o un cero) adicional .................................................. 46 3.4.4 Sistemas de orden n (I). Con polos dominantes ................................................................... .. 47 3.4.5 Sistemas de orden n (II). Sin polos dominantes: Formas prototipo ...................................... 47 3.4.6

Sistemas de orden infinito (retardo puro) ............................................................................... 49

3.5

Simulación de la respuesta temporal .............................................................................................. 50 3.5.1

Introducción del sistema. Polos, ceros y residuos .................................................................. 50

3.5.2

Respuesta temporal con Matlab .......................................................................... .................... 53

3.5.3 Respuesta temporal con Simulink........................................................................................... 55 3.6


4.

Respuesta frecuencial ............................................................................................................................ 65

4.1

Régimen permanente ............................................................... ........................................................ 65

4.1.1

Bases ..................................................................... ................................................................. . 65

4.1.2 Sistema resonante de segundo orden .............................................................. ........................ 67 4.2

Diagramas de Bode ....................................................... .................................................................. 69

4.2.1 Reglas para el trazado de la aproximación asintótica ............................................................. 69 4.2.2

Curvas de corrección de los diagramas asintóticos ................................................................. 72

4.3 Simulación de la respuesta frecuencial. Matlab.................................................... ......................... 73

4.4



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5.

Alfabeto griego ....................................................................................................................................... 87

6. Servomotor de corriente continua ........................................................................................................ 88 6.1

Introducción ........................................................... ................................................................ ......... 88

6.2

Descripción de los módulos ............................................................................................................ 88

6.2.1

Planta .................................................................... ................................................................. . 89

6.2.2 Etapa de potencia (alimentación de la planta) ..................................................................... .. 90

6.2.3

Sensores ........................................................ ................................................................ .......... 94

6.2.4 Módulos para la implementación de compensadores ............................................................. 95 6.2.5

Módulos auxiliares ................................................................................................................. 96

6.3

Características del motor MS150 utilizado en las prácticas ........................................................... 97


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1. Introducción a la Teoría de Control

Objetivo del control

La Teoría de Control es una rama de la Teoría de Sistemas que se encarga de analizar y modificar elcomportamiento de los sistemas dinámicos. En la terminología de control, el sistema dinámico bajoestudio recibe el nombre de “planta”.

La Ingeniería de Control consiste en diseñar e implementar sistemas/subsistemas que, de maneraautomática, fuerzan a la planta a tener un comportamiento dinámico adecuado y robusto.

Un comportamiento “adecuado” es, por ejemplo, que la respuesta temporal de la planta “ y” siga lasvariaciones de una señal de referencia “r ” (también llamada consigna o set-point ), r y . Que el

comportamiento sea además “robusto” implica que el seguimiento r y debe mantenerse a pesarde los errores en el modelo de la planta (incertidumbre) y la presencia de perturbaciones externas(ruido).

Los sistemas de control cuyo objetivo es el seguimiento de consignas también reciben el nombre de“servosistemas” puesto que, en cierto modo, se comportan como siervos (esclavos).

Ámbitos de aplicación del control

Son todos los tecnológicos, incluyendo también los económicos y ecológicos. Por ejemplo:

Regulación de procesos de producción (fábricas, refinerías, centrales nucleares,...) Electrónica y comunicaciones (amplificadores operacionales AOs, lazos de enganche defase PLLs, controles automáticos de ganancia AGC,...)

Ingeniería mecánica (servomecanismos,...) Ingeniería de estructuras (control de vibraciones,...) Automoción (sistemas de control en vehículos: frenado asistido ABS, servodirección,...) Navegación en general (náutica, aeronáutica, astronáutica, diseño de autopilotos,...) Cibernética (robótica, bioingeniería,...) Economía (control del PIB, relaciones de maximización/minimización de beneficios/costes,

identificación de series temporales para predicción bursátil,...) Sistemas ecológicos (establecimiento de paradas biológicas/periodos de veda, control de

fluviales, predicción meteorológica...) etc.

Dimensiones del problema de control

La Ingeniería de Control aborda todo tipo de problemas. Atendiendo a las dimensiones de los problemas, éstos se pueden clasificar en:

Problemas de pequeña escala: desensibilizar un AO, climatizar una estancia,... Problemas de gran escala (large scale systems, LSS): control de lentes en observatorios

astronómicos (Mauna Keck, Canarias), control de compuertas en presas y canales ... Problemas muy complejos (very complex systems, VCS): redes de distribución eléctrica,

ferrocarriles, redes de alcantarillado,…


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2. Representación de sistemas

2.1 Lenguajes matemáticos

Vamos a ilustrar la descripción de un mismo sistema dinámico por medio de una ecuacióndiferencial ordinaria (EDO), un sistema de ecuaciones de estado (EE) y una función de transferencia(FT). El sistema escogido es el péndulo simple de la figura.

mg

l

b

F

Fig. 1. Péndulo simple

2.1.1 Ecuación diferencial (ED)

La descripción del comportamiento de sistemas dinámicos por medio de EDOs es resultado directo

de la aplicación de las leyes de la física. En nuestro caso, la dinámica del péndulo viene descrita por medio de la EDO no lineal de segundo orden,

u

ml

F

l

g

ml

b

sin2

,dt

d

con, por ejemplo, las siguientes condiciones iniciales (CI),

2)0(

(posición: arriba, pegado al techo),

0)0( (velocidad: parado)

Ejemplo 1. Obtención de la ecuación diferencial ordinaria del péndulo simple. El modelo delcomportamiento dinámico del péndulo simple puede obtenerse de diversas maneras.

Aplicando la segunda ley de Newton.

En movimiento rectilíneo, la segunda ley de Newton establece que la fuerza neta F (N) aplicadasobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración a (m/s2) siendo la constante de

proporcionalidad la masa m (kg). Así, amF .


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La versión para movimiento rotacional establece que el par neto T (Nm) aplicado a un cuerpo es proporcional a su aceleración angular (rad/s2) siendo la constante de proporcionalidad el momentode inercia J (Nmrad-1s2). Así, J T .

Suponer que la bola está subiendo con una aceleración . El balance de las fuerzas que actúan

tangencialmente al movimiento de la bola (par debido a la gravedad, rozamiento y excitación) es:

J lF blmg sin

Notar que el par debido al rozamiento y a la gravedad se oponen al par de excitación. El momento

de inercia se calcula como 2ii r m J . En nuestro caso,2ml J . Sustituyendo valores se

obtiene:

ml

F

l

g

ml

b sin

2

Aplicando las ecuaciones de Lagrange (opcional).

En sistemas más complicados es más conveniente modelizar el comportamiento dinámico mediantelas ecuaciones de Lagrange. Éstas se basan en el principio de Hamilton que establece que, en unsistema dinámico, un movimiento entre dos configuraciones del sistema y entre dos intervalos detiempo es natural si y solo si la energía del sistema se mantiene constante.

En los sistemas conservativos (no disipativos), la ecuación de Lagrange es

0

ii

q

L

q

L

dt

d

donde V T L es el Lagrangiano (T y V son las energías cinética y potencial respectivamente) yqi son las coordenadas generalizadas (las coordenadas generalizadas, o número de grados delibertad, son el mínimo número de variables independientes que hay que especificar para definir la

posición de un objeto).

En los sistemas más generales (con disipación de energía y excitación externa), la ecuación deLagrange es

i

iii

Q

q

P

q

L

q

L

dt

d

donde la función de potencia P describe la disipación de energía del sistema y Qi son las fuerzasexternas generalizadas que actúan sobre el sistema.

Para obtener la EDO del péndulo simple por Lagrange, el procedimiento es el siguiente. Suponerque = 0 es el origen de potencial (posición vertical del péndulo = 0). Si se sube el péndulo a una

posición vertical de h, la energía cinética es 22 )(2

1

2

1 lmmvT E

cinet y la energía potencial

es )cos1( mglmghV E pot . La disipación por el rozamiento es2

2

1 bP . Y el par de

excitación aplicado a sistema es lF Q .


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El Lagrangiano es )cos1(2

1 22 mglmlV T L . Las ecuaciones de Lagrange, con un

grado de libertad (en nuestro caso ), son:

Q

P L L

dt

d

Lo que da: lF bmglmldt

d

sin22

1 2 lF bmglml sin2 .

Si la ED es complicada o presenta un orden elevado se hace difícil trabajar con ella. Por eso, esconveniente convertirla en un sistema de ecuaciones de estado o en una función de transferencia,que son descripciones mucho más sencillas de manejar y, como veremos más adelante, nos

permitirán diseñar sistemas de control.

2.1.2 Ecuaciones de estado (EE)

Variables de estado

Las variables de estado se definen como el mínimo conjunto de variables capaces de describir en sutotalidad el comportamiento de un sistema dinámico. Para identificarlas hay varias guías:

Una variable es variable de estado si necesitamos conocer su valor inicial para caracterizarla evolución temporal del sistema.

Si una variable determinada corresponde a un elemento capaz de almacenar energía,entonces también es una variable de estado. Por ejemplo, en un circuito RLC las variablesde estado son dos: la tensión en el condensador y la corriente en la bobina. Puesto que sondos, el sistema es de segundo orden.

Ecuaciones de estado

Las ecuaciones de estado (EE) no son otra cosa que ecuaciones diferenciales de primer orden, cadauna correspondiente a una variable de estado.

Conversión de EDO a EE

Para pasar de la siguiente EDO de orden n

u sin

a n EDOs de 1er orden, hay que renombrar las variables. Lo habitual es empezar por la variable sinderivar, que en nuestro caso es . Así, asignamos la primera variable de estado x1 a , 1 x .

Notar que 1 x . La segunda variable de estado, x2, se escoge como la derivada de la primera,

12 x x , o lo que es lo mismo, 2 x . Notar que dos variables de estado bastan para describir el

comportamiento del péndulo, puesto que el sistema de segundo orden. Notar también que 2 x .


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Si el sistema fuera de orden superior, cada nueva variable de estado se escoge como la derivada dela anterior, es decir, 23 x x , 34 x x ,...

u sin

1

212

21

sin

x

u x x x

x x

CI:2

)0(1 x , 0)0(2 x

La descripción EE consiste en las dos ecuaciones de estado, más la ecuación de salida ( 1 x ),más el conjunto de condiciones iniciales (CI).

Caso de sistemas lineales. Matrices A, B, C, D.

Si el sistema es lineal (en nuestro caso, podemos suponerlo así para pequeños desplazamientosalrededor del punto de equilibrio, 11sin x x ) se puede utilizar la notación matricial (A, B, C, D)

)0(x

DCx

BAxx

u y

u

02/)0(

001

1

010

2

1

2

1

2

1

x

DC

BA

u x

x y

u x

x

x

x

Si el sistema es lineal, pero sus parámetros varían con el tiempo, las matrices A, B, C, D seránfunciones del tiempo,

)0(

)()(

)()(

x

DxC

BxAx

ut t y

ut t

Si el sistema es MIMO (multiple input multiple output ), en vez de señales entrada/salida escalares,

u(t ), y(t ), tendremos vectores u(t ), y(t ).

)0(x

DuCxy

BuAxx

Si el sistema no es lineal, las ecuaciones de estado no serán lineales tampoco. Una notación general para un sistema SISO (single input single output ) no lineal es:

)0(

))(),(()(

))(),(()(

2

1

x

x

xx

t ut f t y

t ut f t

excitación

1 x 21 x x 2 x


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2.1.3 Función de transferencia (FT)

La función de transferencia (FT) describe el comportamiento de un sistema SISO y lineal concondiciones iniciales nulas en el dominio transformado (Laplace o Z). Vamos a ilustrar cómo seobtiene la FT a partir de la ED del péndulo linealizada.

En primer lugar hay que obtener la ecuación transformada (notar que, al transformar, hay que teneren cuenta las condiciones iniciales):

)()()0()()0()0()(2

sU ssssss

u

Transformada de Laplace

Se agrupan términos,

)0()0()()(2 ssU sss

Y se despeja la variable de salida (posición del péndulo, en nuestro caso)

Respuesta

Zero state (ZS)

Respuesta

Zero input (ZI)

FT (CI=0)

)0(1

)0()(1

)(222

ssss

ssU

sss

Notar que la función de transferencia es el término que relaciona únicamente entrada (excitación) ysalida (respuesta). Si trabajamos con funciones de transferencia estamos asumiendo que lascondiciones iniciales son nulas ya que no estamos teniendo en cuenta la respuesta zero-input .

2.2 Lenguajes gráficos

2.2.1 Esquemas de bloques

Los esquemas de bloques facilitan la construcción de modelos, su interpretación y reducción.Representan relaciones algebraicas (es decir, no diferenciales) y, en principio, son válidos parasistemas lineales (aunque por abuso de notación pueden incluir bloques no lineales, funcionesdescriptivas, etc.)

Símbolos

Las variables se representan por medio de flechas y están en el dominio transformado:


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X (s)

Los sistemas/subsistemas son cajas que contienen el nombre de la función de transferencia(también llamada transmitancia). Estos bloques pueden corresponder a sistemas físicos o aalgoritmos. En general son un conjunto de operaciones que transforman la señal:

T (s)

Las operaciones son sumas y restas, y tomas de información (sin que haya drenaje, es decir,no se tiene en cuenta la conservación de la energía, sólo se toma información)

++

X 1

X 1

X 1

X 1

X 2

X 3

Y

Ejemplo 2. Esquema de bloques de un circuito RC

Considerar el circuito de la figura, R

C V 2V 1

+

_

+

_

I

Fig. 2. Circuito RC

Puesto que R

V V I 21

y I

CsV

12 , el esquema de bloques es el siguiente:

R

1

Cs

1

+ I

V 2

V 1

Fig. 3. Esquema de bloques del circuito RC

Si se desea obtener la función de transferencia en lazo cerrado V 2(s)/V 1(s) una opción es usar lasreglas reducción que nos proporciona el álgebra de bloques (ver Ejemplo 4).

2.2.2 Álgebra de bloques

Reglas de reducción

Primera interconexión: serie (tándem o cascada), i

ieq T T .


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T 1 T 2 X 1 Y 1= X 2 Y 2

T eq

112222 X T T X T Y Fig. 4. Interconexión en cascada

Nota: Cuidado con la propiedad conmutativa. Si los bloques son SISO no pasa nada pero si sonMIMO el orden del producto es relevante a fin de que las dimensiones de las matrices seancompatibles. (Consejo: es conveniente multiplicar siempre de atrás hacia delante, desde la salida ala entrada)

Segunda interconexión: paralelo, i

ieq T T

T 1

T 2

X + Y

T eq

+

X T T Y )( 21

Fig. 5. Interconexión en paralelo

Tercera interconexión: retroacción,GH

G

R

Y T

eq

1

G

H

R + Y

T eq

+

Fig. 6. Interconexión retroactiva

Notar que en el numerador va la ganancia directa entre la entrada ( R) y la salida (Y ) y, en eldenominador se pone 1 menos la ganancia de lazo.

La ganancia directa es el producto de todos los bloques que se encuentran en el camino directo entre R e Y . La ganancia de lazo es el producto de todos los bloques que se encuentran en el lazo.

Ejemplo 3. Retroacción negativa

Considerar el servo de la figura. La ganancia directa entre la entrada R y la salida Y es GC .


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La ganancia de lazo es ahora L=- HGC (notar que el signo negativo se puede interpretar como sihubiera un bloque encargado de cambiar el signo antes de entrar en el sumador. Si hubiera unnúmero par de cambios de signo en el lazo, L sería positiva)

C

H

R + Y

T eq

_

G

Fig. 7. Esquema de bloques de un servo

Por tanto, la función de transferencia en lazo cerrado que relaciona Y con R es: HGC

GC

R

Y

1.

Si la ganancia directa es muy grande, GC , el servo se comporta como un inversor H R

Y 1 .

Ejemplo 4. Circuito RC

Considerar de nuevo el esquema de bloques

R

1

Cs

1

+ I

V 2

V 1

Fig. 8. Esquema de bloques de un circuito RC

La función de transferencia en lazo cerrado que relaciona la tensión de entrada V 1 con la de salidaV 2 es

1

1

)/(11

)/(1

111

11

)(

)(

1

2

RCs RCs

RCs

RCs

RCs

sV

sV

Reglas auxiliares

Toma de información: Si tenemos Y =TX ,

T X Y

y queremos acceder a X pero no es posible acceder físicamente (puede que sea una variable interna

del sistema), podemos hacer lo siguiente (puesto que X =(1/T )Y ),


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T X Y

1/T X

Fig. 9. Regla auxiliar de toma de información

Inversión de orden: Si queremos cambiar el orden entre un bloque y un sumador, podemos aplicarla propiedad distributiva, 2121 )( TX TX X X T Y .

T X 1 Y +

+

X 2

T X 1 Y +

+

X 2

T

Fig. 10. Regla auxiliar de inversión de orden

Ejemplo 5. Retroacción unitaria

La mayoría de las herramientas de análisis que veremos en el próximo tema asumen que laretroacción es unitaria. Si ello no fuera así, siempre podemos aplicar el álgebra de bloques paraconseguirlo:

G

H

R + Y

_ GH 1/ H

R + Y

_

Fig. 11. Álgebra de bloques para conseguir retroacción unitaria

Notar que son equivalentes puesto que H GH

GH

GH

G

R

Y 1

11

.

Sistemática de reducción

Para simplificar los esquemas de bloques hay que seguir los pasos detallados a continuación:1) Reducir las interconexiones evidentes (serie, paralelo, retroacción).2) Cuando no se pueda acceder a alguna señal, aplicar las reglas auxiliares.3) No cruzar lazos.4) Reducir desde dentro hacia fuera (empezar por los lazos más internos).


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2.2.3 Flujograma de señal

El flujograma de señal es una alternativa al esquema de bloques.

Símbolos

Las variables se representan por medio de nodos y están en el dominio transformado, X (s)

Los sistemas/subsistemas son flechas con el nombre de la función de transferencia (tambiénllamada transmitancia). Es habitual hacer trazos curvos. Notar que la flecha va en mediodel trazo.

T (s)

Las operaciones de suma y resta se llevan a cabo en los propios nodos. En realidad sontodo sumas, si se quiere restar hay que cambiar el signo de la transmitanciacorrespondiente.

-T (s)

H (s)

Ejemplo 6. Flujograma de señal del lazo retroactivo negativo

R E

-H

G

Y1 1

Fig. 12. Flujograma de señal

2.2.4 Flujograma de estado

El flujograma de estado es un caso particular de flujograma de señal que se caracteriza por que las

variables de los nodos son variables de estado (y no cualquier variable general) y las transmitanciasque nos llevan de una a otra son integradores.


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Ejemplo 7. Flujograma de estado del péndulo simple. Vamos a obtener el flujograma de estadodel péndulo simple considerado en apartados anteriores.

Primero se despejan las variables con mayor orden de derivación

u u

y, para cada una de ellas, se construye el flujo de integradores hasta anular dicha derivación

s-1 s-1

Finalmente, se representan el resto de relaciones de la ecuación y se renombran los nodos(empezando por el final)

s-1 s-1

-

-

u y

1 12 x 21 x x 1 x

Fig. 13. Flujograma de estado del péndulo simple

2.2.5 Regla de Mason

La regla de Mason permite obtener la función de transferencia entre cualquier entrada y cualquiersalida de un flujograma. Es muy útil en los casos de flujogramas muy complejos, con muchos lazosy cruces entre ellos.

La fórmula de Mason es:

k

k k p

sU

sY

)(

)(

El factor se calcula como:

lk ji

k ji

k ji

ji

ji

i

i L L L L L L L L L L1

donde Li son todos los lazos (caminos cerrados con circulación, es decir, donde el sentido de lasflechas forma un círculo) del flujograma; Li L j son productos de todos los lazos Li, L j que no setocan entre ellos (si tuvieran un solo nodo en común se supondría que ya se tocan); Li L j Lk sonternas de lazos que no se tocan entre ellos; y así sucesivamente.

El factor pk , k = 1, ... , K indica camino directo ( path) entre la entrada y la salida consideradas.


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El factor k se construye exactamente como pero sólo tiene en cuenta los lazos que no tocan a pk .

La fórmula de Mason es muy fácil de recordar (hay que saberla de memoria). Notar que lacondición siempre es que no se tocan.

Ejemplo 8. Péndulo simple

Para obtener)(

)(

sU

sY , hay que identificar todos los caminos directos entre u e y. En nuestro caso sólo

hay uno: 2111 11 sss p .

También hay que identificar todos los lazos del flujograma. En nuestro caso hay dos:

)(11 s L y )(112

ss L .

s-1 s-1

-

-

u y

1 12 x 12 x x 1 x p1

L1 L2

Fig. 14. Péndulo simple. Regla de Mason

A continuación hay que construir el factor :

ji

ji

i

i L L L2

1

1 . Los factores cruzados son

para pares, ternas, etc. de lazos que no se tocan. Puesto que, en nuestro caso, L1 y L2 se tocan, no

existen términos cruzados y nos queda: 21212

1

111

ssss Li

i .

Finalmente, hay que construir el factor k para cada uno de los caminos directos pk . Estos factoresse construyen únicamente con los lazos del flujograma que no tocan al camino directocorrespondiente. Puesto que, en nuestro caso, todos los lazos del flujograma tocan a p1, nos queda1 = 1.

La aplicación de la Regla de Mason da como resultado la función de transferencia que ya habíamosobtenido en un apartado anterior:

ssss

s p p

sU

sY k k 221

211 1

1)(

)(


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2.3 Analogías

Todos los sistemas cuyo comportamiento se describe por una ED con la misma forma reciben el

nombre de sistemas "análogos". Por ejemplo, el péndulo simple y un PLL ( phase-lock loop) sonsistemas análogos.

En la Teoría de Sistemas es indiferente cuál es el origen físico del sistema (eléctrico, mecánico,hidráulico,...). Una vez pasado a dominio transformado todos se tratan igual. Ello es posible por lasanalogías presentes en los modelos de parámetros concentrados.

Tipos de variables

Variables across ("diferencia") Variables through ("transversales")

Para entender mejor a que se refieren, considerar una resistencia R. La variable across es la tensióny la variable through es la corriente.

Tipos de relaciones

Producto: acrossct through . (disipación de energía)

Integración: dt acrossct through . (almacenamiento inductivo de energía)

Derivación: acrossdt

d ct through . (almacenamiento capacitivo de energía)

Los tres tipos de relaciones dan lugar a tres tipos de elementos ideales.

sistemas eléctricos mecánica de traslación mecánica de rotaciónthrough across

i corriente [A]v tensión [V]

F fuerza [N]v veloc. lineal [m/s]

T par [Nm] veloc. ang. [rad/s]

Disipadorde energía

Rv

Ri

1

fricciónbvF

fricción bT

Almacenamientoenergía inductivo

L vdt Li

1

muelle vdt k F

muelle dt k T

Almacenamientoenergía capacitivo

C

dt

dvC i

masa

dt

dvmF

inercia

dt

d J T

J

Tabla 1. Analogías (I)


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sistemas hidráulicos sistemas térmicosthrough across

q caudal [m3/s]h nivel [m]

q flujo calorífico [W] dif. temperatura [K]

Disipadorde energía

resistencia

hidráulica h Rq

1

resistencia

térmica Rq

1

Almacenamientode energía inductivo

inertancia

hdt I q

(sólo en tuberías)

No hay

Almacenamientode energía capacitivo

capacidad

dt

dh Aq

capacidadtérmica

dt

d C q

Tabla 2. Analogías (II)

La capacidad hidráulica corresponde a un depósito de sección A mientras que la capacidad térmicacorresponde a un horno de capacidad térmica C . Notar que el hecho de que no existan elementosinductivos de almacenamiento de energía térmica implica que la dinámica de este tipo de sistemasno es oscilatoria (los sistemas térmicos no oscilan puesto que no se pueden intercambiar la energíaentre un elemento de almacenamiento capacitivo y otro inductivo).

Ejemplo 9. Analogías. Los siguientes sistemas físicos tienen modelos análogos.

Circuito eléctrico:

Fig. 15. Circuito RLC

dt

dV C dt V

L R

V I oo

o

in 1

, oin V Cs Ls R

I

11

, R Ls RLCs

RLs

I

V

in

o

2

Sistema mecánico de traslación:

Fig. 16. Sistema mecánico de traslación

0)(

2

2

dt x xd

bdt

xd mkxF

in

, inbsX bXs X mskX 2

, k bsms

bs

X

X

in 2

I in L R C V o

+

_

mkb

x xin


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2.4 Linealización

A menudo, las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema no son lineales.

También las características de los elementos sensores y actuadores suelen ser no lineales. En todasestas ocasiones, a fin de poder analizar los sistemas y diseñar controladores lineales, es muyinteresante contar con herramientas que nos permitan obtener aproximaciones lineales de losmodelos.

Las aproximaciones lineales sólo son válidas en una región próxima al punto de operación alrededordel cual se ha obtenido el modelo linealizado. Aun así son muy útiles y, si es necesario, se puedenadoptar estrategias multi-modelo para diferentes puntos de operación (o de equilibrio) y diseñarotros tantos controladores lineales.

El método más común para obtener una aproximación lineal de una expresión no lineal f ( x) es hallarel desarrollo en serie de Taylor de f ( x) alrededor del punto de operación x0

0 0

22

0 0 02

1( ) ( ) ( ) ( )

2 x x

df d f f x f x x x x x

dx dx

y descartar todos los términos de orden 2 y superiores:

0

0 0( ) ( ) ( ) x

df f x f x x x

dx

En este punto es posible definir unas nuevas variables, llamadas variables incrementales,

consistentes en restar el punto de operación a las variables originales. Así, las nuevas variables“linealizadas” serán: 0 x x x x y 0( ) ( ) f f f x f x . Notar que de esta manera la

relación entre f y x ya es lineal (e igual a la derivada en el punto de equilibrio0 x

df

dx) y, por

tanto, todas las herramientas de análisis y diseño de controladores lineales las aplicaremos sobre

estas nuevas variables f y x .

Ejemplo 10. Linealización. Suponer que se dispone de un sensor no lineal cuya característica es

( ) 3 10 ( ) 4cv t c t . A fin de poder trabajar con él con métodos lineales, por ejemplo en undiagrama de bloques, hay que obtener una aproximación lineal alrededor del punto de operación c0.

El desarrollo en serie del término no lineal es:

0

0 0 0

0

1

2c

d cc c c c c c

dc c ,

con lo que la característica del sensor puede expresarse como:


20/97



0

0

1( ) 3 10 ( ) 4 3 10 3 10 ( ) 4

2cv t c t c c t

c

obteniendo la siguiente relación entre las variables incrementales:

0 0( )

1( ) 3 10 4 3 10 ( )2

c

c

v t

v t c c t c

Suponiendo que el punto de trabajo es 0 0.4c , tenemos que 03 10 4 10cov c y que la

relación entre las variables incrementales es0

1( ) 3 10 ( ) 7.5 ( )

2cv t c t c t

c .

La Fig. 17 muestra gráficamente el concepto de linealización. En la figura (a) se muestra lacaracterística no lineal que relaciona las dos variables originales c(t ), vc(t ). Linealizar esequivalente a situar el origen de coordenadas en el punto de trabajo y, por tanto, tomar como nuevasvariables a 0( ) ( )c t c t c , 0( ) ( )c c cv t v t v (ver fig. (b)). Así, la nueva característica es unarecta que pasa por el origen y tiene como pendiente la derivada de la característica original en el

punto de operación c0, vc0.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

2

4

6

8

10

12

c

v c

c0

vc0

-0. 25 -0. 2 - 0. 15 -0. 1 - 0.05 0 0. 05 0. 1 0. 15 0.2 0. 25-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

c = c - c0

v c

= v c

- v c 0

(a) (b)

Fig. 17. Linealización de una característica no lineal

Si la expresión a linealizar es una función de dos variables, ( , ) z f x y , el desarrollo en serie de

Taylor se obtiene con el cálculo de las derivadas parciales:

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0, ,

2 2 22 2

0 0 0 02 2

, , ,

( , ) ( ) ( )

1.( ) .( ) ( ) ( )

2!

x y x y

x y x y x y

f f z f x y x x y y

x y

f f f x x y y x x y y

x y x y

Ejemplo 11. Linealización de una ecuación diferencial con dos variables. La ecuación

diferencial que relaciona la tensión en un electroimán u y la altura h que alcanza una bola metálicaen un levitador magnético de un eje es:


21/97



2

22

h

u

m

k k gh v

Se desea obtener la función de transferencia que relaciona ambas variables suponiendo que el resto

de parámetros son constantes.

El desarrollo en serie de2

2

h

u es:

hh

uu

h

u

h

uhh

huuuu

hh

u

h

u

huhu

~2~2)(

1)2()(2

130

20

20

020

20

0,

32

0,

220

20

2

2

0000

Por tanto,

2 2 2 2 20 0 0 02 2 3 20 0 0 0 0 0

2 22 2 1v v

g

k k u u u k k uh g u h g u h

m h h h m h u h

Puesto que 2020

2h

k

mguk v , g

h

u

m

k k v

20

20

2

, por lo que queda

0 0

2 2h u

g gh h u k h k u

h u

donde hemos definido0

2

h

gk h y

00

22

i

gk

u

gk vu .

Para obtener la función de transferencia aplicamos la transformada de Laplace con condicionesiniciales nulas,

)(~

)(~

)(~2

sU k s H k s H s uh

Así, la función de transferencia que relaciona en pequeña señal la tensión de entrada al electroimán

u(t ) con la posición de la bola h(t ) esh

u

k s

k

sU

s H

2)(~

)(~

.


22/97



2.5 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Representación de sistemas: Esquema de bloques y regla de Mason. Considerarel circuito (red en escalera) de la figura:

R2

C 1V 2V 1

R1

C 2

V’

I 1 I 2

+

_

+

_

Se pide:

(a) Representar su esquema de bloques (tomar como entrada V 1 y como salida V 2).

(b) Representar su flujograma de señal.

(c) Aplicar la regla de Mason a fin de obtener las transmitancias)(

)()(

1

21

sV

sV sT y

)(

)()(

1

22

sV

s I sT .

Solución:

(a) En primer lugar escribimos las relaciones algebraicas (en el dominio transformado s) que secumplen en cada uno de los elementos resistores y condensadores:

1

11

'

R

V V I

,

sC

I I V

1

21'

,2

22

'

R

V V I

,

sC

I V

2

22

Y a continuación las representamos (las variables E 1, E 2, E 3 las hemos definido porconveniencia pero no es obligatorio hacerlo):

(b) Flujograma de señal. Una opción directa es poner un nodo para cada variable del esquema de bloques anterior (notar que en un flujograma las flechas van en medio de cada trazo y no pegadas a los nodos):

1

1

R sC 1

1

2

1

R sC 2

1 I 1V 1 V’ +

_ +

+

_

_ E 2 I 2 V 2 E 1 E 3


23/97



Otra opción también válida es representar el flujograma a partir de los sumadores (cada nodocorresponde a un sumador)

(c) Regla de Mason: Calcular)(

)()(

1

21

sV

sV sT y

)(

)()(

1

22

sV

s I sT

Se trata de aplicar la fórmula

k

k k p

, donde , k dependen de los lazos del flujograma y pk son

los caminos directos entre las entradas y salidas consideradas.

En ambos casos T 1, T 2 el denominador será el mismo puesto que sólo depende de los lazos L1, L2 y L3 (y éstos no cambian aunque entremos por un nodo cualquiera y salgamos por otro nododiferente cada vez).

Los lazos son:sC R

L11

1

1 ,

sC R L

122

1 ,

sC R L

223

1 . Los lazos L1 y L3 no se tocan

puesto que no tienen ningún nodo en común. Así

2

112222121131321

111111

sC RC RsC RsC RsC R L L L L L

211221122

112122 11sC RC RsC RC R

C RC RC R

V 1 I 2

V 2

sC 2

1

2

1

R

sC 1

1

1

1

R

1

L1 L3

sC 1

1

L2

2

1

R

E 2 E 1 E 3 sC 2

1

E 1 I 1 E 2 V’ V 1 E 3 I 2 V 2 sC 2

1

2

1

R sC 1

1 1

1

R

1

-1

1

-1

-1

1

L1 L3

L2


24/97



Para hallar la transmitancia T 1 hay que identificar los caminos directos entre V 1 y V 2. En nuestro

caso sólo hay un camino,2

11221

1

sC RC R p , y puesto que todos los lazos tocan a este camino,

tenemos 1=1. Así,

11

1

21 )(

)()(

p

sV

sV sT ,

11

11

1

)(112122

21122

211221122

112122

21122

1

sC RC RC RsC RC R

sC RC RsC RC R

C RC RC R

sC RC RsT

Para hallar la transmitancia T 2 hay que identificar los caminos directos entre V 1 y I 2. En nuestro

caso sólo hay un camino,sC R R

p112

1

1 , y puesto que todos los lazos tocan a este camino,

tenemos 1=1. Así, 11

1

22 )(

)()( psV s I sT ,

111

1

)(112122

21122

2

211221122

112122

1122

sC RC RC RsC RC R

sC

sC RC RsC RC R

C RC RC R

sC R RsT

Nota: Cuando se pide una transmitancia hay que llegar hasta el final, es decir, hay que dar el

resultado como fracción de dos polinomios en s, numerador y denominador. Notar también cómo eldenominador en ambos casos es el mismo puesto que el flujograma (con sus lazos) no ha cambiado.El hecho de entrar y salir por distintos puntos del flujograma afecta sólo a los ceros (raíces delnumerador) de la transmitancia y no a los polos (raíces del denominador).

Ejercicio 2. Representación de sistemas. Regla de Mason. Considerar el sistema de rotación deun eje flexible con rozamiento de la figura

J

B

k

1(t ) 2(t )

Las dos ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que describen su comportamiento son

211 k J T y 1220 k B , siendo T el par aplicado (excitación), J el momentode inercia, k la constante de elasticidad y B la constante de rozamiento viscoso. 1 y 2 son las

posiciones angulares correspondientes a un extremo y otro del eje flexible.

Se pide: (a) representar el flujograma de estado, (b) a partir de él, obtener las ecuaciones de estado,(c) aplicar la regla de Mason al flujograma de estado a fin de obtener las funciones de transferencia

1(s)/T (s) y 2(s)/T (s).


25/97



Solución:

(a) Flujograma de estado (FGE)

En primer lugar se despejan las derivadas de mayor orden de cada una de las ecuaciones:

122

211

B

k

B

k

J

k

J

k

J

T

Luego se disponen tantas líneas de integración como sean necesarias y, a continuación, serepresentan las relaciones que aparecen en las ecuaciones:

s-1

s-1

s-1

1

2 2

1 1

s-1

s-1

s-1

1

2 2

1 1

1/ J

-k / B

T

-k / J

k / B

k / J

(b) Ecuaciones de estado (EE)

Se renombran los nodos del FGE (empezando por las variables sin derivar y siguiendo el sentido dederivación) y se escriben las ecuaciones en función de las variables de estado xi:

s-1

s-

s-1 1

2 2

1 1

1/ J

-k / B

T

-k / J

k / B

k / J

x1

x3

21 x x 2 x

3 x

313

312

21

1

x B

k x

B

k x

T J

x J

k x

J

k x

x x

Puesto que el sistema es lineal podemos expresar las EE en formato matricial. Si, por ejemplo, sedefinen dos salidas, y1= 1= x1 y y2= 2= x3, el conjunto de ecuaciones de estado más la ecuación desalida puede escribirse como:


26/97



duCxy

buAxx

,

T

T J

Bk Bk

J k J k

0

0

100

001

0

/1

0

/0/

/0/

010

xy

xx

(c) Regla de Mason:

k k p

entrada

salida

En primer lugar se identifican todos los lazos y se construye .

11

s B

k L , 22

s J

k L , 33

s J

k

B

k L

2132

32

2121321 111

s J

k s

B

k s

BJ

k s

BJ

k s

J

k s

B

k L L L L L

s-1

s-1

s-1 1

2 2

1 1

1/ J

-k / B

T

-k / J

k / B

k / J

x1

x3

21 x x 2 x

3 x L1

L2

L3

Para cada una de las funciones de transferencia, 1(s)/T (s) y 2(s)/T (s), hay que identificar,además, los caminos directos entre entrada y salida (para cada una de las funciones de transferenciasólo hay un camino directo, marcados en verde y rojo respectivamente).

Así:

kBskJs BJs

k Bs

s J k s

Bk

s JB

k s

J p

s Bk L

s J

p

sT

s

23

21

32

11

111

21

1

1

1

11

1

)(

)(

kBskJs BJs

k

s J

k s

B

k

s JB

k

ps JB

k p

sT

s

2321

3

11

1

312

11)(

)(


27/97



Ejercicio 3. Representación de sistemas. Regla de Mason. A continuación se muestra unarepresentación conceptual del fenómeno de acoplamiento elástico entre un motor y su carga. Estefenómeno da lugar a la aparición de polos parásitos, de “alta frecuencia” y muy resonantes, demanera que si la ganancia de lazo es lo suficientemente elevada, puede provocar su “aparición” ycrear problemas de estabilidad.

La figura muestra el esquema de bloques correspondiente, que relaciona el par generado por laconversión (T E ) con la posición (angular) del motor (P M ) y la de la carga (P L) que, obviamente, sondistintas. Las fuerzas elásticas son proporcionales (K s) a la diferencia de posición entre el motor y

la carga (P M -P L). Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales (b) a la diferencia develocidad entre el motor y la carga (V M -V L).

Fig. 18. Esquema de bloques de un acoplamiento elástico

Se pide calcular, usando la regla de Mason las siguientes funciones de transferencia:

y

Solución:

Aunque no es obligatorio, se puede dibujar el flujograma de señal para ver mejor los lazos ycaminos directos. Hay varios posibles flujogramas (unos contienen todas las variables incluyendolas intermedias, como el de la siguiente figura; otros pueden ser más simplificados).

Control decorriente

I c I F T E T M A M V M P M

T L A L V L P L

K s

b

+

+

+K T

++

T E

P MV M

A M

P LV L

A L

K s

J L J M


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En primer lugar hay que identificar todos los lazos (caminos cerrados) del flujograma.Dependiendo del grado de simplificación del flujograma puede haber un número diferente de lazos,

pero, en cualquier caso, el resultado final una vez aplicada la regla de Mason debe ser el mismo.

Solución con 6 lazos:

s

M

K ss J

L 1111

1 , , ,

1

1

-1

1

-1 b

-b

-K s

1/s1/s

1/s1/s

K s

1/JM

1/JL

TEPM

PL

L1

L2

L3

L4

1

1

-1

1

-11

-1

-1

1/s1/s

1/s1/s

K s

1/JM

1/JL

TEPM

PL

b

1


29/97



,

Hay que identificar cuáles son los pares de lazos que no se tocan entre sí, es decir, que no tienenningún nodo en común. Éstos son ( L1 , L3) y ( L2 , L4). No hay ningún triplete de lazos que no setoquen entre sí.

Con estos lazos ya se puede construir el denominador de ambas funciones de transferencia,

42316543211 L L L L L L L L L L

Función de transferencia : Para construirla hay que identificar todos los caminos

directos (es decir, sin repetir nodos) entre la entrada T E y la salida P M . En nuestro caso sólo hay 1camino directo:

El factor delta asociado a este camino, 1, se construye de forma análoga a la general peroteniendo en cuenta sólo los lazos que no tocan a p1. En nuestro caso son L3 y L4:

Así,

1

1

-1

1

-1 b

-b

-K s

1/s1/s

1/s1/s

K s

1/JM

1/JL

TEPM

PL

L5

L6


30/97



Función de transferencia : Para construirla hay que identificar todos los caminos

directos (es decir, sin repetir nodos) entre la entrada T E y la salida P L. En este caso hay 2 caminosdirectos.

Ambos caminos tocan a todos los lazos, por tanto, sus factores delta son directamente 1=2=1.

Así,

Solución alternativa (con 8 lazos):

, , ,

1

-b

-K s

1/s1/s

1/s 1/s

K s

1/JM

1/JL

TEPM

PL

L1

L2

L3

L4

TM

-K s

TL

K s -b

b b


31/97



,

,

1

-b

-K s

1/s1/s

1/s 1/s

K s

1/JM

1/JL

TEPM

PL

L8

L7

TM

-K s

TL

K s -b b b

1

-b

-K s

1/s1/s

1/s 1/s

K s

1/JM

1/JL

TEPM

PL

L5

L6

TM

-K s

TL

K s -b b b


32/97



3. Respuesta temporal

El objetivo en este apartado es obtener la evolución temporal de la salida y(t ) de un sistemaconociendo:

1) la dinámica del sistema (descrita por medio de su ecuación diferencial o su función detransferencia),2) la señal de excitación u(t ) y3) las condiciones iniciales (CI).

3.1 Obtención de la respuesta temporal a partir de la ecuación diferencial(método clásico)

Ejemplo 12. Respuesta temporal a partir de la EDO (método clásico)

Los datos son: Ecuación diferencial ordinaria (sistema): )()(2)(3)( t ut yt yt y Excitación: u(t ) es un escalón unitario que empieza en t =0 Condiciones iniciales: y(0)=1, 0)0( y

La respuesta total y(t ) es la suma de la solución homógenea y H (correspondiente al transitorio,respuesta libre) y la solución particular yP (permanente, respuesta forzada).

1) Solución de la ecuación homogénea :

Su ecuación característica (expresada en términos del operador derivación D) es .Las raíces (autovalores) de esta ecuación son -1 y -2. Cada autovalor

lleva asociada una función

en el tiempo con la forma exp( t ) que recibe el nombre de autofunción o modo natural, t et y )(1

e t et y 22 )( . La solución homogénea es una combinación lineal de los dos modos naturales:

.

2) Solución de la ecuación particular , donde A es una constante (misma forma que laexcitación)

5.01200)()(2)(3)( A At ut yt yt y p p p

3) Solución total:

.

Para obtener el valor de los coeficientes c1, c2 se aplican las condiciones iniciales:

02)0(

15.0)0(

21

21

cc y

cc y

La solución del sistema de ecuaciones resultante es c1=1, c2=-0.5. Así

.


33/97


34/97



Derivación en t :

0

1

0

2

0

21 )()(...)(

)0()()(

t

n

t

n

t

nnn

n

n

dt

t yd

dt

t yd s

dt

t dys yssY s

dt

t yd

Por ejemplo, la transformada de Laplace de )(t x es

)0()0()0()()( 23 x xs xss X st x L siendo )()( t x Ls X . (Nota: el punto sobre

una variable denota derivada respecto al tiempo,dt

t dxt x

)()( ).

Tabla de transformadas

La siguiente tabla muestra las transformadas que se utilizarán en este curso. Es necesarioaprenderlas de memoria. Notar la aplicación de las propiedades presentadas anteriormente.

)(t x X (s)

)(t 10,1 t (escalón unitario) 1/s

0, t t (rampa unitaria) 1/s2

0,1 t eat as

1

t osin 0, t 22

0

os

t ocos 0, t 22os

s

t Ae oat sin 0, t 22

0

)( oas A

Tabla 3. Principales transformadas de Laplace

Filtro generador

La transformada de Laplace de una señal determinada puede interpretarse como la función detransferencia de su filtro generador. Por ejemplo, la función de transferencia H (s) del filtro

generador de la señal y(t ) = eat esas

s H

1

)( , ya que, al excitar dicho filtro con un impulso u(t )

= (t ), la salida del mismo es la señal en cuestión,

at eas

LsU s H LsY Lt y

11

)()()()( 111 , t 0.

Si a>0, este filtro presenta un polo inestable (en el semiplano derecho del plano s) de valor p = a.Los polos con parte real positiva son inestables puesto que su modo natural asociado eat esfuertemente creciente con el tiempo (la forma matemática de expresar inestabilidad es por tanto unaexponencial creciente).


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3.2.2 Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)

Sistemas continuos en el tiempo:TVI: )(lim)(lim)0(

0ssY t y y

st

TVF: )(lim)(lim)( 0 ssY t y y st

3.2.3 Solución de EDOs (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio s

Dada la ecuación diferencial ordinaria (EDO),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t a y t a y t a y t u t 2 1 0 ;

con condiciones iniciales (CI): y(0), ( ) y 0 , ( ) y 0 ,

la solución y(t ) se obtiene a partir de los pasos siguientes:

1) Aplicar L[ ] a los dos términos de la EDO.

2) Despejar )(sY (quedará una función racional Y s N s

D s( )

( )

( ) ).

3) Descomponer Y (s) en suma de fracciones simples (de primer orden):

Y s A

s p

A

s p

A

s p( )

1

1

2

2

3

3

.

Para ello:3.1) Hallar los polos (raíces de D(s)): p1, p2, p3.

3.2) Hallar los residuos A Y s s pi i s pi ( )( ) . (Nota: Si los polos son complejos, convienedeterminar los residuos gráficamente a partir del diagrama de polos y ceros. Si lamultiplicidad de algún polo es mayor que 1, proceder como se indica en el Ejemplo 13).

4) Aplicar L-1[ ].

4.1) Polo real: t pii

i ie A ps

A L

1 .

4.2) Polos complejos: )cos(2*

*1 At e A

ps

A

ps

A L

t

; ( A je A A ,

A je A A *

, j p , j p * ).

Nota:2

cos jx jx

ee x

,

j

ee x

jx jx

2sin

5) Comentarios:5.1) El valor de y(t ) en régimen permanente depende de algunos de los coeficientes de los

polinomios. Por ejemplo, para

j

j

i

i

n

n

n

n

ps

zs

k asa

bsb

sU

sY s M

)(

)(

)(

)()(

0

01

1

:


36/97



- Excitación en escalón (unitario): El valor en régimen de y(t ) es la ganancia en

continua,0

0)0(a

b M , por lo que el error en régimen

permanente es

0

00)0(1)(

a

ba M e

.

- Excitación en rampa: El error es0

1111)(a

ba

p ze

ji

(en el supuesto de

que 00 ba )5.2) El transitorio depende de la forma compleja de la totalidad de Y (s) (polos y residuos).

3.2.4 Cálculo de residuos

La expresión racional

)()(

)()()(

1

1

n

m

ps ps

zs zsk sY

puede descomponerse en suma de fracciones

simples,n

n

ps

A

ps

AsY

1

1)( , siendo los coeficientes Ai los residuos correspondientes a

los polos pi.

Cálculo analítico de residuos

La fórmula general para calcular los residuos (en el caso de polos simples) es

i psii sY ps A )()( .

En el caso de que haya polos complejos conjugados es más conveniente obtener el residuográficamente (es más rápido y se evitan los errores de cálculo, muy frecuentes al usar la fórmulaanterior). Además, cuando dos polos son complejos conjugados, sus residuos también lo son.

En el caso de polos múltiples, la descomposición en suma de fracciones es la siguiente:

213

21

23

1

1

23

1

1

)()(

)()()(

ps

B

ps

A

ps

A

ps

A

ps ps

zs zsk sY m

y el cálculo de los residuos Ai es como sigue:

1

)()( 311 ps

sY ps A

1

)()( 312 ps

sY psds

d A

1)()( 312

2

3 ps

sY psds

d A

Ejemplo 13. Cálculo (analítico) de residuos cuando hay polos múltiples

Dado)5(

1)(

2

sssY , se desea obtener y(t ). La idea es expresar Y (s) como suma de factores

simples de los cuales nos sepamos de memoria la trasformada de Laplace inversa. En otras palabras, interesa descomponer Y (s) de la siguiente manera,


37/97



5)5(

1)( 22

12

s

B

s

A

s

A

sssY

para luego realizar la transformada inversa término a término.

Si hubiera polos complejos conjugados, también se separarían en fracciones simples, A/(s-p) y A*/(s-p*) (notar que, si los polos son complejos conjugados, sus residuos también lo son).

Hay que determinar los residuos A1, A2 y B.

Analíticamente,

5

1

)5(

1)(

00

21

s

s sssY A

25

1

)5(

1

)5(

1)(

02

00

22

sss ssds

d ssY

ds

d A

25

11)5)((

525

ss s

ssY B

Por tanto,

5

)25/1()25/1()5/1(

)5(

1)(

22

ssssssY .

Finalmente, la aplicación de la transformada inversa nos da

0,1251

5

1

)(5

t et t y t

Cálculo gráfico de residuos

En la Fig. 19 se ilustra el cálculo gráfico del residuo de p3. En primer lugar, hay que trazar todoslos vectores que van de todas las raíces (polos y ceros) hacia el polo en cuestión, p3.

p3

p1

p2

z1

j

Fig. 19. Cálculo gráfico de residuos

Puesto que p3 es complejo, su residuo A3 también lo es, por tanto hay que obtener módulo y fase:

Módulo: Para calcular el módulo notar que se incluye la ganancia de Y (s), k , y que el módulo de losvectores con origen en los ceros se sitúa en el numerador y el módulo de los vectores con origen en

los polos en el denominador.


38/97



Módulo:)()(

)(

2313

13

3

p p p p

z pk A

Fase: Para calcular la fase, se suman todas las fases de los vectores con origen en los ceros y se lesresta la suma de todas las fases de los vectores con origen en los polos.

Fase: 0)(0)()()( 2313133 p p p p z p A

Ejemplo 14. Cálculo gráfico de residuos.

Vamos a obtener gráficamente los residuos de la descomposición en suma de fracciones simples dela siguiente expresión

)3(

)1(2)(

ss

ssY

Para ello, en primer lugar, hay que representar los polos y ceros de Y (s) en el plano complejo s,

Llamaremos A al residuo del polo en el origen y B al residuo del polo en -3,

3)3(

)1(2)(

s

B

s

A

ss

ssY

Para obtener el valor del residuo A correspondiente al polo s=0, se trazan los vectores que van delresto de raíces (polos y ceros) hacia el polo en cuestión s=0. En nuestro caso, como sólo hay un

polo más y un cero sólo tenemos dos vectores V p y V z.

Para obtener el valor de A hay que obtener su módulo y su fase:

Módulo:3

2

3

122

p

z

V

V A , Fase:

000 p z V V A

donde y denotan el módulo y argumento del vector V z respectivamente.

j

-1 -2 -3 -4

V p V z

j

-1 -2 -3 -4


39/97



Notar que, al calcular el módulo, hay que tener en cuenta la ganancia k de Y (s) (en este caso vale 2).Si hubiéramos tenido n polos y m ceros, las fórmulas hubieran sido:

Módulo:

Fase:

Y si hubiéramos tenido n polos y ningún cero:

Módulo:

Fase:

Para obtener el residuo B se trazan los vectores que van del resto de raíces (polos y ceros) hacia el polo en s=-3.

El residuo es:

Módulo: , Fase:

Así pues, finalmente,

3

3/43/2

3)3(

)1(2

)(

sss B

s

A

ss

s

sY

Ejemplo 15. Cálculo de residuos en funciones no estrictamente propias.

Considerar la función61.1

1)(

s

ss H . Puesto que no es estrictamente propia, sino propia (igual

número de polos que de ceros), la descomposición en suma de fracciones simples se puede obtener previa división de los dos polinomios numerador y denominador. Así,

61.0/

1)61.1(61.11

sss

61.1

61.01

61.1

1)(

ss

ss H

Comprobación vía Matlab:

>> num=[ 1 1] ; den=[ 1 1. 61] ;>> [ r , p, k] =r esi due(num, den)

r =- 0. 6100

j

-1 -2 -3 -4

V p

V z


40/97



p =- 1. 6100

k =1

3.3 Obtención de la respuesta temporal a partir de la función detransferencia

3.3.1 Diagramas de polos y ceros

Una función de transferencia racional H (s) puede descomponerse en producto de factores simples

)()(

)()(

1

1

n

m

ps ps

zs zsk

, donde se explicitan la ganancia, los polos pi y los ceros z j. Obsérvese la

“normalización” de los coeficientes de s. Así, cada factor (s - p i) corresponde a un vector desde el polo pi al punto complejo s general (ver Fig. 20).

s

j

)( 1 ps p1

s 1 p

p2

p3

z1

Fig. 20. Diagrama de polos y ceros

Nota: En el caso discreto es igual.

3.3.2 Modos naturales

Cada polo o autovalor (eigenvalue) tiene asociado un modo natural o autofunción (eigenfunction)que puede representarse gráficamente. En los sistemas en tiempo continuo el modo naturalasociado a un polo p es e pt y el modo natural asociado a un par de polos complejos conjugados p,

p* es e pt + e p*t .

La Fig. 21 muestra un conjunto de polos junto con sus modos naturales asociados.

j

-3

-2 -1 1

- j

j(a)

(b)

(c)(d)

Fig. 21. Modos naturales


41/97



(a) El modo natural asociado al polo p=-3 es la exponencial decreciente e-3t . Notar que la constantede tiempo de la exponencial es la inversa del polo, =1/3.

(b) El modo natural asociado al par de polos complejos conjugados j p p 2*, es la

oscilación decreciente con el tiempo )cos(2 t e t . La frecuencia de oscilación en rad/s

coincide con la parte imaginaria de los polos y la constante de tiempo de la exponencialenvolvente coincide con la inversa de la parte real de los polos.

(c) El modo natural asociado al polo p=-1 es la exponencial decreciente e-t . Esta exponencial esmás persistente en el tiempo que la asociada al polo -3. Por tanto el polo en -1 se dice que esmás dominante que el polo en -3.

(d) El modo natural asociado al polo p=1 es la exponencial creciente et . Notar que un polo con parte real positiva (polo en el semiplano derecho del plano complejo) tiene asociado comomodo natural una exponencial creciente con el tiempo. Se trata por tanto de un polo inestable.

Nota: En los sistemas discretos, los modos naturales son pn para el caso de polo real y ( p*)n + ( p)n para el caso de polos complejos conjugados, respectivamente.

Ejemplo 16. Respuesta temporal (método transformado).

Suponer que tenemos un sistema)34(

)2(2)(

2

ss

ss H y queremos conocer la evolución temporal

de su salida y(t ), al excitarlo con un escalón unitario u(t ).

La transformada de Laplace del escalón es

s

sU 1

)( .

La transformada de Laplace de la salida del sistema serásss

ssU s H sY

1

)34(

)2(2)()()(

2

.

Para obtener y(t ) sólo queda aplicar la transformada de Laplace inversa a Y (s). Para ello, primerodescomponemos Y (s) en suma de fracciones simples (de las cuales nos sabemos de memoria sustransformadas inversas),

13)(

s

C

s

B

s

AsY ,

y calculamos los residuos A, B, C a partir del diagrama de polos y ceros, j

-3 -2 -1 0

El resultado es:

3

4

31

22

A 0000 A

3

1

32

12 B 180180180180 B


42/97



121

12

C 18001800C

Por tanto,1

)1(

3

)3/1(3/4)(

ssssY . La aplicación de la transformada de Laplace inversa

término a término nos da:

0,3

1

3

4)( 3 t eet y t t

Una manera de verificar que no hay errores es comprobar que y(0)=0 (condiciones iniciales nulas puesto que partíamos de una función de transferencia estrictamente propia).

En cuanto a la representación gráfica, notar que la respuesta total es la suma de cada uno de los trestérminos:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

y(t)

y1(t)=4/3

y2(t)=-(1/3)*e

-3t

y3(t)=-e

-t

3.3.3 Polos dominantes

Los polos dominantes son aquellos con más peso y más persistentes en la respuesta temporaltransitoria. Para identificarlos hay que tener en cuenta tanto el valor del polo como el de su residuo.Considerar el diagrama de polos y ceros de la Fig. 22.

(1)(2)(3)

j

Fig. 22. Polos dominantes

En la Fig. 22 el polo dominante es el (2).

El polo (3) no es dominante puesto que está lejos del eje imaginario. Ello hace que su aportación al

transitorio sea pequeña por dos motivos: (a) Modo natural: t e 3 tiende más rápidamente a cero, y

(b) Residuo: A3 es de menor valor pues en su cálculo aparecen valores (módulos) elevados en eldenominador.


43/97



El polo (1) tampoco es dominante por la presencia cercana de un cero. Si hay un cero cercano, elresiduo resulta pequeño, al aparecer un factor (módulo) reducido en el numerador.

3.4 Transitor ios. Dinámica de orden 1, 2 y n

3.4.1 Dinámica de primer orden

1) Modelo: Función de transferencia:

1)(

)()(

s

k

sU

sY sG

Diagrama de polos y ceros:

-1/

j

Fig. 23. Polos y ceros de primer orden

2) Respuesta indicial (a escalón unitario): Formulación:

)1()( / t ek t y

t error

37%

2 12%3 4.5%

4 1.7%

Representación gráfica (k = 1):

0 2 3 4 5

0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.0

0.0

Fig. 24. Respuesta indicial de primer orden

3) Respuesta impulsional:

Formulación:

/)( t ek

t y

Área:

0

/ dt e t

Representación gráfica (k / = 1):

0 2 3 4 5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

Fig. 25. Respuesta impulsional de primer orden


44/97



4) Respuesta a la rampa: Formulación:

/)()( t et k t y

Representación gráfica (k / = 1):

0 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.0

Fig. 26. Respuesta a la rampa de primer orden

3.4.2 Dinámica de segundo orden

1) Modelo:

Función de transferencia:

22

2

2)(

)()(

nn

n

ss

k

sU

sY sG

Diagrama de polos y ceros:

n

d n 12

n

p

p*

j

Fig. 27. Polos y ceros de segundo orden

n: frecuencia natural de oscilación, d : frecuencia de oscilación amortiguada (damped ), :coeficiente de amortiguamiento (notar que su símbolo es la letra “dseta” y no la “chi” )

: ángulo relacionado con el amortiguamiento (si =0, el sistema no está amortiguado =0; si =180º, el sistema presenta amortiguamiento crítico =1; lo deseable en la mayoría de los casos esun amortiguamiento moderado =0.7, lo que corresponde a =135º y a un rebase del R pt =5% en larespuesta indicial)

2) Respuesta indicial:

Formulación: )sin(

1

1)(2

t e

t y d

t n


45/97



Representación gráfica:

1

t r t p t s

R pt 0.02

( )1 e n t 0.5

0

t D

0.04

Fig. 28. Respuesta indicial de segundo orden

Tiempo de subida: t r d

Tiempo de pico: t pd

Tiempo de establecimiento (2%): t sn

4

Tiempo de establecimiento (5%):n

st

3

Error permanente: e G( ) ( ) 1 0

Rebase máximo: R e pt

1 2

Rebase R pt en función del coeficiente deamortiguamiento :

R pt (aprox.)

0.4 25%

0.5 15%

0.6 10%

0.7 5%

La expresión exacta es R e pt

1 2

0. 6 1. 0

1. 0

R p t

0. 2 0. 4 0. 8 0. 0

0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 0

Fig. 29. Rebase en función delamortiguamiento

Detalle en el origen: ( )1 e nt pasa porlos mínimos excepto en las cercanías delorigen. Más allá se confunde con la

envolvente )1

11(

2

t ne

.

0

t ne

21

11

t ne 1

21

1

y(t )

Fig. 30. Detalle en origen de la respuesta

indicial de segundo orden

Para trazar el amortiguamiento hay dos alternativas. La exacta es )1

11(

2

t ne

pero, por

comodidad, se usa la aproximación ( )1 e nt .

3) Respuesta impulsional:

Expresión temporal: )sin(1

)(2

t et y d t n n


46/97



Representación gráfica:

)sen( t d

t n ne

21

t 1

0

21

n

t 2 t 3 Fig. 31. Respuesta impulsional de segundo orden

Tiempo de pico: pd

t t

1

Punto tangente a la exponencial envolvente

(tiempo de pico de )sen( t d ):

d

T t

242

Tiempo de medio periodo:d

T t

23

4) Otras respuestas temporales. Régimen permanente

A la rampa: Error o desviación última de la respuesta forzada: e pi n

( ) 1 2

A la exponencial. Cálculo rápido del régimen permanente de la respuesta forzada: y G s e forzada s a

at

( )

3.4.3 Bloque de segundo orden con un polo (o un cero) adicional

Con cero adicional ( )s b

b

:

Rbp

be R

pzt pt

n

d

1

t pzd

1

Con polo adicionala

s a( ):

Ra

ape R ppt pt

n

d

2

t ppd

2

y z

y

p

p*

1

-b

y p

y

p

p*

2

-a


47/97



Cero de fase no mínima(respuesta inversa):

c

cs )(

3.4.4 Sistemas de orden n (I). Con polos dominantes

1) Caso de no tener ceros: H ss s s s

( )( )( )( )

200

1 8 20 152

Al estar el polo -1 más cerca del ejeimaginario que el resto, resulta dominante yaque los otros presentan transitorios 4 y 15veces más rápidos respectivamente y,además, sus residuos son más pequeños. Deesta manera

sec tema 1 teoria de sistemas 1314a ocw-5195

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