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Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012.

ISBN: 978-85-8001-069-5

SINTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS PI MULTI-MALHAS

DESCENTRALIZADO

Bruno M. Goncalves∗, Eduardo N. Goncalves†, Reinaldo M. Palhares‡, Ricardo H. C.

Takahashi§

∗Programa de Pos-graduacao em Engenharia Eletrica - UFSJ/CEFET-MG

†Departamento de Engenharia EletricaCentro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais

Av. Amazonas 7675, 31510-470, Belo Horizonte - MG - Brasil

‡Departamento de Engenharia EletronicaUniversidade Federal de Minas Gerais

Av. Antonio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil

§Departamento de MatematicaUniversidade Federal de Minas Gerais

Av. Antonio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil

Emails: bruno.mac47@hotmail.com, eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br,

taka@mat.ufmg.br

Abstract— This paper presents a new tuning procedure for robust decentralized milti-loop PI controllers.

The control objectives are to decouple the multiple control loops, to attain the specifications of the reference

signal tracking responses, to reject disturbances and to attenuate the measurement noises. It is proposed to apply

H∞ model approximation to achieve the first two goals. The control problem is formulated as a multi-objective

non-convex optimization problem directly in the space of PI controller parameters. The multivariable process

and decentralized PI controllers are represented in state space. Polytopic models are employed to represent the

uncertain system. The proposed procedure to solve the optimization problem has been successfully applied to

various problems in the robust control field. An illustrative example is presented to demonstrate the efficiency

of the proposed tuning procedure.

Keywords— Robust multi-loop PID control, decentralized control, H∞ model approximation, polytopic mod-

els.

Resumo— Este trabalho apresenta um novo procedimento de sintonia de controladores PI multi-malhas des-

centralizados robustos. Os objetivos de controle sao desacoplar as multiplas malhas de controle, atender as es-

pecificacoes da resposta de rastreamento do sinal de referencia, rejeitar perturbacoes e atenuar ruıdos de medicao.

E proposto aplicar aproximacao de modelo H∞ para atingir os primeiros dois objetivos. O problema de controle

e formulado como um problema de otimizacao nao convexo multiobjetivo diretamente no espaco de parametros

dos controladores PI. O processo multivariavel e os controladores PI descentralizados sao representados no es-

paco de estados. Modelos politopicos sao utilizados para representar o sistema incerto. O procedimento proposto

para resolver o problema otimizacao tem sido aplicado com sucesso em diferentes problemas na area de controle

robusto. Um exemplo numerico e apresentado para ilustrar a eficiencia do procedimento de sintonia proposto.

Keywords— Controle PID multi-malhas robusto, controle descentralizado, aproximacao de modelo H∞, mo-

delos politopicos.

1 Introducao

O uso de controladores proporcional-integral-derivativo (PID) descentralizados para o controlede processos multivariaveis e bastante popularna industria porque os controladores PID saoeficazes, os operadores tem maior facilidade deentende-los, implementa-los e sintoniza-los, e asestruturas descentralizadas sao tolerantes a falhas(Dittmar et al., 2012). No entanto, quando ocontrole descentralizado e empregado para contro-lar sistemas multivariaveis com canais altamenteacoplados, a tarefa de projeto de controle podetornar-se difıcil devido a existencia de interacoesentre as malhas de controle. Devido a este fato,a tarefa de desenvolver um procedimento satis-fatorio de sintonia de controladores PI/PID em ar-

quiteturas de controle multi-malhas constitui umproblema de grande interesse. O controle PI/PIDde processos multivariaveis pode ser classificadoem dois tipos: controle descentralizado e con-trole com desacoplamento (Shen et al., 2010). Amaioria dos procedimentos de sintonia de con-troladores PID multi-malhas considera represen-tacoes no domınio da frequencia. Entre as difer-entes abordagens de projeto podem ser citadas,por exemplo, o desacoplador estatico combinadocom controlador PI descentralizado com ponder-acao do sinal de referencia (Astrom et al., 2002)ou a tecnica generalizada de desacoplamento in-vertido (Garrido et al., 2011). Solucoes analıti-cas para a sintonia PID baseadas em modelode referencia foram apresentadas em (Alcantaraet al., 2010). Outros procedimentos de sintonia

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de controladores PI/PID multi-malhas podem serencontrados em Huang et al. (2003) e suas refer-encias internas.

Nao e comum encontrar na literatura pro-cedimentos de sintonia de controladores PI/PIDmulti-malhas no espaco de estados, que permitemtratar sistemas incertos representados por mode-los politopicos. A contribuicao deste trabalho eapresentar um procedimento de sintonia de con-troladores PI multi-malhas descentralizado robus-tos que busca desacoplar os canais de controleem sistemas multivariaveis assegurando o desem-penho da resposta de rastreamento, a rejeicao dedisturbios e a atenuacao de ruıdos de medicao.Neste trabalho, o procedimento de sintonia ro-busto apresentado em Goncalves et al. (2008) eestendido para tratar sistemas multivariaveis in-cluindo uma estrategia de aproximacao de mo-delo H∞ para obter o desacoplamento entre asmalhas de controle e atender as especificacoes daresposta transitoria de rastreamento (Goncalveset al., 2011). O procedimento de sintonia pro-posto neste trabalho baseia-se na representacaono espaco de estados e emprega modelos politopi-cos para representar o sistema incerto, e consistede um procedimento iterativo de dois passos: sın-tese e analise. A etapa de sıntese e baseada emum problema de otimizacao multiobjetivo nao-convexo. O problema de otimizacao do pior casode infinitos sistemas e substituıdo por um pro-blema de otimizacao que considera um conjuntofinito de pontos do domınio de incerteza. Na etapade analise, um algoritmo branch-and-bound, con-siderando funcoes limitantes superiores baseadasem desigualdades matriciais lineares (LMI), e apli-cado para verificar a funcao objetivo e as restri-coes para todo o domınio de incerteza. A moti-vacao para considerar este procedimento esta rela-cionada com os bons resultados ja obtidos parasıntese de controladores robustos por realimen-tacao de estado (Goncalves et al., 2005), sıntesede filtros (Goncalves, Palhares e Takahashi, 2006),sintonia de controladores PID para malha sim-ples (Goncalves et al., 2008) e sıntese de con-troladores por realimentacao dinamica de saıda(Bachur et al., 2011).

A eficiencia do procedimento proposto de sin-tonia de controladores robustos PI multi-malhasdescentralizado sera mostrada atraves de um ex-emplo ilustrativo.

2 Formulacao do Problema

Considere um sistema linear invariante no tempoem tempo contınuo descrito por

x(t) = Ax(t) +Buu(t) +Bww(t),z(t) = Czx(t) +Dzuu(t) +Dzww(t),y(t) = Cyx(t) +Dyww(t),

(1)

sendo x(t) ∈ Rn o vetor de estados, u(t) ∈ Rnu ovetor de entradas (variaveis manipuladas), w(t) ∈R

nw o vetor de variaveis exogenas (sinais de re-ferencia, r(t) ∈ Rm, disturbios, d(t), e ruıdos demedicao, n(t) ∈ Rm), z(t) ∈ Rm o vetor de va-riaveis controladas (saıdas da planta, c(t) ∈ Rm)e y(t) ∈ R

2m o vetor de variaveis medidas quesao as entradas dos controladores PI multi-malhasdescentralizados (sinais de referencia e saıdas daplanta com adicao dos ruıdos de medicao).

Para simplicar a notacao, as matrizes do sis-tema na Eq. (1) sao agrupadas da forma:

S ,

A Bu Bw

Cz Dzu Dzw

Cy 0 Dyw

, (2)

que pode conter parametros incertos, pertencendoa um conjunto compacto convexo, ou politopo,definido como sendo a combinacao convexa de seusvertices:

P(α) ,

S : S =N∑

i=1

αiSi; α ∈ Ω

, (3)

Ω ,

α : αi ≥ 0,N∑

i=1

αi = 1

, (4)

sendo Si, i = 1, . . . , N , os vertices do politopo eα =

[

α1 . . . αN

]′o vetor que parametriza o

politopo. A dependencia das matrizes do sistemade α sera omitida para simplificar a representacao.

Considere o controlador por realimentacaodinamica de saıda, U(s) = K(s)Y (s),

K(s) =

[

Ac Bc

Cc Dc

]

. (5)

A matriz de transferencia em malha-fechada rela-cionando as variaveis controladas, z(t), e as vari-aveis exogenas, w(t),

Z(s) = Tzw(s)W (s), Tzw(s) ,

[

Af Bf

Cf Df

]

,

(6)pode ser calculada como

Af =

[

A+BuDcCy BuCc

BcCy Ac

]

,

Bf =

[

Bw +BuDcDyw

BcDyw

]

,

Cf =[

Cz +DzuDcCy DzuCc

]

,

Df =[

Dzw +DzuDcDyw

]

,

(7)

podendo ser dividida em tres blocos:

Z(s) =[

Tcr(s) Tcd(s) Tcn(s)]

R(s)D(s)N(s)

.

(8)Para desacoplamento das malhas de controle,

a configuracao do controlador PI mais indicada

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e a configuracao com dois graus de liberdade I-P,onde a acao integral e aplicada sobre o erro de ras-treamento e a acao proporcional e aplicada sobrea saıda da planta medida com ruıdo de medicao(Astrom et al., 2002). Considerando que o vetorde entradas e organizado de tal modo que a en-trada ui(t) sera utilizada para controlar a saıdaci(t), i = 1, . . . ,m, as matrizes dos controladoresI-P multi-malhas descentralizados podem ser es-critas como:

Ac =

0 . . . 0...

. . ....

0 . . . 0

, (9)

Bc =

1Ti,1

0 − 1Ti,1

0

. . .. . .

0 1Ti,m

0 − 1Ti,m

,

(10)

Cc =

kp,1 0. . .

0 kp,m

, (11)

Dc =

0 . . . 0 −kp,1 0...

. . ....

. . .

0 . . . 0 0 −kp,m

. (12)

Considere um modelo de referencia bloco di-agonal para garantir o desacoplamento das m ma-lhas de controle e atender as especificacoes daresposta transitoria de rastreamento dos sinaisde referencia (sobre-sinal, tempo de acomodacaoetc.):

Tm(s) =

Tm,1(s) 0. . .

0 Tm,m(s)

. (13)

Cada bloco Tm,i(s), i = 1, . . . ,m, pode ser dequalquer ordem desejada. Neste trabalho sao con-siderados

Tm,i =ω2n,i

s2 + 2ζiωn,is+ ω2n,i

, i = 1, . . . ,m. (14)

Seja

Tm(s) ,

[

Am Bm

Cm Dm

]

, Tcr(s) ,

[

Acr Bcr

Ccr Dcr

]

.

(15)O erro de aproximacao de modelo, E(s) , Tm(s)−Tcr(s), pode ser representado no espaco de estadoscomo

E(s) =

Am 0 Bm

0 Acr Bcr

Cm −Ccr Dm −Dcr

. (16)

O problema de sintonia dos controladores PImulti-malhas descentralizados para aproximacao

de modelo de referencia, rejeicao de disturbios eatenuacao de ruıdos pode ser descrito como sendo:determine os parametros kp,j e Ti,j , j = 1, . . . ,m,do controlador K(s), descrito pelas equacoes (9)-(12), de modo a minimizar a norma H∞ do errode aproximacao E(s), a norma H∞ da matriz detransferencia relacionando as saıdas da planta e osdisturbios e a norma H2 da matriz de transferen-cia relacionando as saıdas da planta e os ruıdosde medicao garantindo que o sistema em malha-fechada seja robustamente estavel:

K∗(s) = arg minK(s)

maxα∈Ω

‖E(s, α,K)‖∞

maxα∈Ω

‖Tcd(s, α,K)‖∞

maxα∈Ω

‖Tcn(s, α,K)‖2

,

sujeito a: K(s) ∈ F ,(17)

sendo F o conjunto de controladores com para-metros dentro das faixas aceitaveis que garan-tem a estabilidade robusta do sistema em malha-fechada.

3 Procedimento Proposto para Sintonia

de Controladores PID

Uma estrategia para lidar com o problema deotimizacao multiobjetivo e transforma-lo em umproblema escalar e aplicar tecnicas de otimiza-cao escalar. Neste trabalho sera considerada aseguinte formulacao escalar para o problema (17):

K∗(s) = arg minK(s)

(

λ1 maxα∈Ω

‖Tcd(s, α,K)‖∞

+λ2 maxα∈Ω

‖Tcn(s, α,K)‖2

)

,

sujeito a: maxα∈Ω

‖E(s)(s, α,K)‖∞ ≤ ǫm,

K(s) ∈ F ,(18)

sendo que ǫm pode ser escolhido para garantircerto nıvel de desacoplamento e proximidade comas respostas transitorias especificadas ao passo queλ1 e λ2 podem ser escolhidos para obter um bomcompromisso entre rejeicao de disturbios e atenu-acao de ruıdos de medicao.

A principal dificuldade para lidar com o pro-blema de otimizacao nao-convexo (18) e mini-mizar/restringir o pior caso das funcoes-objetivoem um conjunto Ω de infinitos pontos. O procedi-mento proposto para solucionar o problema (18)diretamente no espaco de parametros do contro-lador e baseado em dois passos: sıntese e analise.No passo de sıntese, e aplicado um algoritmo deotimizacao nao-linear para resolver o problema deotimizacao escalar (18) com o conjunto infinito Ωsubstituıdo por um conjunto finito de pontos Ω ⊂Ω. Este conjunto finito e inicialmente o conjuntodos vertices do politopo como considerado nas for-mulacoes convexas. Considerar apenas os verticesdo politopo nao e suficiente para garantir a es-tabilidade robusta do sistema em malha-fechada

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e a minimizacao das funcoes-objetivo para todosos α ∈ Ω. Para verificar o controlador obtidono primeiro passo, no segundo passo e aplicadoum procedimento de analise baseado numa com-binacao de um algoritmo branch-and-bound e for-mulacoes de analise LMI (Goncalves et al., 2007).Se o procedimento de analise encontra um caso desistema instavel no domınio incerto ou se for ve-rificado que o valor maximo das funcoes objetivonao ocorre em um ponto pertencente a Ω, entaoeste ponto e incluıdo em Ω e e necessario execu-tar os dois passos do procedimento novamente. Oprocedimento termina quando se verifica que o sis-tema em malha-fechada e robustamente estavel eos valores maximos das funcoes objetivo estao empontos pertencentes a Ω (ou perto deles de acordocom uma precisao especificada).

Na etapa de sıntese, o problema de otimizacaoescalar pode ser resolvido por meio do algoritmocone-elipsoidal (Takahashi et al., 2003). Seja χ ∈R

d o vetor de parametros de otimizacao (nestecaso, os parametros dos controladores PI multi-malhas descentralizado), f(χ) : Rd → R a funcaoobjetivo escalar a ser minimizada e gi(χ) : R

d →R, i = 1, . . . , s o conjunto de funcoes de restricao.Seja χk o centro do elipsoide e Qk = QT

k ≻ 0a matriz que determina as direcoes e dimensoesdos eixos da elipsoide. Dado os valores iniciais deχ0 e Q0, o algoritmo elipsoidal e descrito pelasseguintes equacoes recursivas:

χk+1 = χk −1

d+ 1Qkm,

Qk+1 =d2

d2 − 1

(

Qk −2

d+ 1QkmmTQk

)

,

(19)com

m = mk/√

mTkQkmk,

sendo mk a soma normalizada dos gradientes (ousub-gradientes) das funcoes restricoes violadas,gi(χ) > 0, quando χk e uma solucao nao factıvel,ou o gradiente (ou sub-gradiente) da funcao ob-jetivo, f(χ), quando χk e uma solucao factıvel.Os gradientes (ou sub-gradientes) sao calculadosnumericamente pelo metodo de diferencas finitas.

No passo de analise, e necessario determinarα ∈ Ω que correspondente ao maximo de cadafuncao objetivo ou encontrar um α ∈ Ω que cor-responde a um sistema instavel. A estrategiabasica do algoritmo branch-and-bound e a par-ticao do domınio de incerteza, Ω, de modo que asfuncoes limite inferior e superior convirjam parao valor maximo das normas. Este algoritmo ter-mina quando a diferenca entre as funcoes limitese inferior a precisao relativa requerida. O algo-ritmo e implementado considerando como funcaolimite inferior o maximo valor da norma H∞ (ouH2) considerando os valores computados nos ver-tice e como funcao limite superior o custo garan-tido H∞ (ou H2), computado por meio de formu-

lacoes de analise LMI, sendo ambas as funcoes cal-culadas para o politopo inicial e suas subdivisoes(Goncalves et al., 2007). Se o sistema nao e ro-bustamente estavel, o algoritmo encontra um sis-tema instavel no politopo enquanto procura pelovalor maximo da norma. Uma tecnica de par-ticao baseada em malhas simpliciais (Goncalves,Palhares, Takahashi e Mesquita, 2006) e aplicadapara permitir que este procedimento seja aplicadoaos modelos politopicos com maior eficiencia.

4 Exemplo Ilustrativo

Considere o problema de controle de nıvel dedois tanques interligados apresentado na Fig. 1.Sera considerado um modelo linear de um pontode operacao. As variaveis em letras maiuscu-las correspondem aos valores do ponto de ope-racao: H1 = 2m, H2 = 1m, Qu1 = Q1 =0,2m3/s, Qu2 = 0,05m3/s, Qd = 0,0m3/s eQ2 = 0,25m3/s. As variaveis em letras minus-culas corresponde as variacoes em torno do pontode operacao. O vetor de estados e definido comosendo x(t) , [h1(t) h2(t)]

T . As saıdas con-troladas do sistema sao os nıveis dos dois tan-ques, c(t) = [h1(t) h2(t)]

T . Os sinais de con-trole sao as vazoes de entrada em cada tanque,u(t) = [qu1(t) qu2(t)]

T , e a perturbacao e a se-gunda vazao de entrada no tanque 2, d(t) = qd(t).A representacao no espaco de estados linear emtempo contınuo do sistema pode ser escrita como

d

dt

[

h1

h2

]

=

[

− k1

A1

k1

A1

k1

A2

−k1+k2

A2

]

[

h1

h2

]

+

[ 1A1

0

0 1A2

] [

qu1qu2

]

+

[

0 0 0 0 00 0 1

A2

0 0

]

r1r2qdn1

n2

,

z =

[

1 00 1

]

x,

y =

0 00 01 00 1

x

+

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

w.

(20)As areas transversais dos tanques sao A1 =

10m2 e A2 = 5m2. Os parametros consideradosincertos sao os coeficientes k1 e k2 (inverso da re-sistencia hidraulica dos dutos) que podem variarnos intervalos: k1 ∈ [0.15, 0.25] e k2 ∈ [0.2, 0.3].O sistema incerto pode ser representado por ummodelo politopico com 4 vertices correspondendo

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AA1 2k

Q +q (t) Q +q (t)1 2

H +h (t)1 H +h (t)2

1

12

1

Q +q (t)

k2

2

d d

Q +q (t)u2 u2

Q +q (t)u1 u1

Figura 1: Sistema de tanques interligados.

as combinacoes do valores limites dos dois para-metros incertos.

Os objetivos de controle sao: obter respostade rastreamento do sinal de referencia similar aespecificada por um modelo de referencia, de-sacoplar as duas malhas de controle, minimizar ainfluencia da perturbacao sobre os nıveis dos tan-ques e atenuar os efeitos dos ruıdos de medicaosobre os sinais do sistema.

Considerando os parametros do modelo de re-ferencia como sendo ζ1 = ζ2 = 2 e ω1 = ω2 = 0,8,e adotando os parametros λ1 = 0,1, λ2 = 0,9e ǫm = 0,05 para o problema de otimizacao es-calar (18), sao obtidos os seguintes parametrospara os controladores PI multi-malhas descentra-lizados apos uma unica iteracao do procedimentode sintonia proposto (valor maximo ocorre no ver-tice): kp,1 = 18,2858, Ti,1 = 5,0636, kp,2 =8,6244, Ti,2 = 4,6907. Este controlador resultanos seguintes valores para as funcoes-objetivo:maxα∈Ω ‖E‖∞ ≤ 0,0498, maxα∈Ω ‖Tcd‖∞ ≤0,1115 e maxα∈Ω ‖Tcn(s, α,K)‖2 ≤ 1,3917.

As respostas transitorias para o sistema como controlador K(s) obtido, para variacoes nossinais de referencia de r1(t) = −0,1 × 1(t) er2(t) = 0,1 × 1(t − 100), perturbacao qd(t) =0,05 × 1(t − 200) − 0,05 × 1(t − 225) e ruıdos demedicao com distribuicao normal e variancia iguala 0,001, sao apresentadas nas Figs. 2 e 3. Nesteexemplo o pior caso da funcao objetivo ocorre emum dos vertices. Pode ser observado que, alemde se obter as respostas transitorias similares asdeterminadas pelo modelo de referencia, para to-dos os vertices, e obtido um excelente desacopla-mento entre as malhas de controle: variacao dosinal de referencia do nıvel em um tanque influen-cia pouco o nıvel no outro tanque. A rejeicao deperturbacoes tambem e bastante satisfatoria.

Uma maior atenuacao dos ruıdos de medicao,em detrimento dos demais objetivos, pode serobtida relaxando a restricao sobre o erro deaproximacao. Adotando ǫm = 0,25, sao obti-dos os seguintes parametros para os contro-ladores PI multi-malhas descentralizados: kp,1 =6,2626, Ti,1 = 5,3252, kp,2 = 2,9088,Ti,2 = 5,0844. Este controlador resultanos seguintes valores para as funcoes-objetivo:

0 50 100 150 200 250 300

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−0.15

Time (s)

h 1,h2 (

m)

h1

h2

Figura 2: Respostas transitorias dos nıveis dostanques (linha solida) e modelo de referencia(linha tracejada) para os quatro vertices e ǫm =0,05.

0 50 100 150 200 250 300−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Time (s)

q u1,q

u2 (

m3 /s

)

qu2

qu1

Figura 3: Respostas transitorias das vazoes deentrada dos tanques para os quatro vertices eǫm = 0,05.

maxα∈Ω ‖E‖∞ ≤ 0,2485, maxα∈Ω ‖Tcd‖∞ ≤0,3073 e maxα∈Ω ‖Tcn(s, α,K)‖2 ≤ 0,86402.

As respostas transitorias para esta segundasintonia sao apresentadas nas Figs. 4 e 5. Podeser observada a melhoria da atenuacao dos ruıdosde medicao em detrimento dos demais objetivosmas, de uma forma geral, a sintonia ainda apre-senta resultados bastante satisfatorios.

5 Conclusoes

Foi proposto neste trabalho um novo procedi-mento de sintonia de controladores PI multi-malhas descentralizados robustos aplicados emcontrole de processos multivariaveis. Os objetivosde controle considerados sao: desacoplar as multi-plas malhas de controle, atender as especificacoesda resposta de rastreamento dos sinais de referen-cia, rejeitar as perturbacoes e atenuar os efeitosdos ruıdos de medicao. Foi verificado que o usoda tecnica de aproximacao de modelo H∞ e bas-tante eficiente para atingir os dois primeiros obje-tivos. O problema de sintonia foi formulado como

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0 50 100 150 200 250 300

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−0.15

Time (s)

h 1,h2 (

m)

h2

h1

Figura 4: Respostas transitorias dos nıveis dostanques (linha solida) e modelo de referencia(linha tracejada) para os quatro vertices e ǫm =0,25.

0 50 100 150 200 250 300−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Time (s)

q u1,q

u2 (

m3 /s

)

qu1

qu2

Figura 5: Respostas transitorias das vazoes deentrada dos tanques para os quatro vertices eǫm = 0,25.

um problema de otimizacao nao-convexo multiob-jetivo. Um procedimento, ja aplicado com sucessoem diferentes problemas da area de controle ro-busto, foi aplicado para viabilizar a solucao doproblema de otimizacao multiobjetivo que requera minimizacao do pior caso em um conjunto in-finito de pontos do domınio de incerteza. O pro-cedimento de sintonia proposto ja foi testado emdiferentes problemas, um do quais apresentadoneste artigo, apresentando sempre bons resulta-dos.

6 Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio das agenciasCAPES, CNPq e FAPEMIG.

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